Tere, kallid sõbrad! Täna vaatame ülesannet osast C. See on kahe võrrandi süsteem. Võrrandid on üsna omapärased. Siin on siinus ja koosinus ning on ka juured. Vaja on ruut- ja lihtsate ülesannete lahendamise oskust. Esitatud ülesandes nad üksikasjalikud lahendused ei esitata, peaksite seda juba tegema. Esitatud linke kasutades saate vaadata vastavat teooriat ja praktilisi ülesandeid.

Peamine raskus selles sarnased näited seisneb selles, et saadud lahendusi on vaja võrrelda leitud definitsioonipiirkonnaga, siin võib tähelepanematusest kergesti eksida.

Süsteemi lahenduseks on alati arvude x ja y paar(id), mis on kirjutatud kujul (x;y).Pärast vastuse saamist kontrollige kindlasti.Teile on esitatud kolm võimalust, ei, mitte viise, vaid kolm arutlusviisi, mida saate kasutada. Mulle isiklikult on see kolmas kõige lähedasem. Alustame:

Lahendage võrrandisüsteem:

ESIMESE TEE!

Leiame võrrandi definitsioonipiirkonna. On teada, et radikaalsel väljendil on mittenegatiivne tähendus:

Mõelge esimesele võrrandile:

1. See on võrdne nulliga, kui x = 2 või x = 4, kuid 4 radiaani ei kuulu avaldise (3) definitsiooni.

*Nurk 4 radiaani (229,188 0) asub kolmandas kvartalis, mille siinusväärtus on negatiivne. Sellepärast

Järele jääb vaid juur x = 2.

Vaatleme teist võrrandit x = 2 jaoks.

Selle x väärtuse korral peab avaldis 2 – y – y 2 olema võrdne nulliga, kuna

Lahendame 2 – y – y 2 = 0, saame y = – 2 või y = 1.

Pange tähele, et y = – 2 korral ei ole cos y juurel lahendust.

*Nurk –2 radiaani (– 114,549 0) asub kolmandas kvartalis ja selles on koosinusväärtus negatiivne.

Seetõttu jääb alles ainult y = 1.

Seega on süsteemi lahenduseks paar (2;1).

2. Esimene võrrand on samuti võrdne nulliga, kui cos y = 0, see tähendab

Kuid võttes arvesse definitsiooni (2) leitud domeeni, saame:

Vaatleme selle y teist võrrandit.

Avaldis 2 – y – y 2 y = – Pi/2 ei ole võrdne nulliga, mis tähendab, et selle lahendi saamiseks peab olema täidetud järgmine tingimus:

Otsustame:

Võttes arvesse definitsiooni (1) leitud domeeni, saame selle

Seega on süsteemi lahendus veel üks paar:

TEINE VIIS!

Leiame avaldise määratluspiirkonna:

Teadaolevalt on juure all oleval väljendil mittenegatiivne tähendus.
Lahendades võrratuse 6x – x 2 + 8 ≥ 0, saame 2 ≤ x ≤ 4 (2 ja 4 on radiaanid).

Mõelge juhtumile 1:

Olgu x = 2 või x = 4.

Kui x = 4, siis sin x< 0. Если х = 2, то sin x > 0.

Arvestades, et sin x ≠ 0, selgub, et sel juhul on süsteemi teises võrrandis 2 – y – y 2 = 0.

Võrrandi lahendamisel leiame, et y = – 2 või y = 1.

Saadud väärtusi analüüsides võime öelda, et x = 4 ja y = – 2 ei ole juured, kuna saame sin x< 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

On näha, et x = 2 ja y = 1 kuuluvad definitsioonipiirkonda.

Seega on lahenduseks paar (2;1).

Vaatleme juhtumit 2:

Las nüüd 2< х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. Selle põhjal võime järeldada, et esimeses võrrandis peaks cos y olema võrdne nulliga.

Võrrandi lahendades saame:

Teises võrrandis avaldise määratluspiirkonna leidmisel:

Saame:

2 – y – y 2 ≥ 0

– 2 ≤ y ≤ 1

Kõigist võrrandi cos y = 0 lahendustest on see tingimus täidetud ainult siis, kui:

Kell antud väärtus y, avaldis 2 – y – y 2 ≠ 0. Seega, teises võrrandis on sin x võrdne nulliga, saame:

Kõigist selle võrrandi lahenditest on intervall 2< х < 4 принадлежит только

See tähendab, et süsteemi lahendus on veel üks paar:

*Me ei leidnud süsteemis kõigi avaldiste definitsioonipiirkonda korraga, vaatasime avaldist esimesest võrrandist (2 juhtumit) ja seejärel määrasime teel leitud lahenduste vastavuse väljakujunenud ala määratlused. Minu arvates pole see eriti mugav, see osutub kuidagi segaseks.

KOLMAS TEE!

See sarnaneb esimesele, kuid on erinevusi. Samuti leitakse kõigepealt avaldiste definitsiooniala. Seejärel lahendatakse esimene ja teine ​​võrrand eraldi ning seejärel leitakse süsteemi lahendus.

Leiame määratluse valdkonna. On teada, et radikaalsel väljendil on mittenegatiivne tähendus:

Lahendades võrratuse 6x – x 2 + 8 ≥ 0 saame 2 ≤ x ≤ 4 (1).

Väärtused 2 ja 4 on radiaanid, 1 radiaan nagu me teame ≈ 57,297 0

Kraadides saame ligikaudselt kirjutada 114,549 0 ≤ x ≤ 229,188 0.

Lahendades võrratuse 2 – y – y 2 ≥ 0 saame – 2 ≤ y ≤ 1 (2).

Kraadides saame kirjutada – 114,549 0 ≤ y ≤ 57,297 0 .

Otsustades ebavõrdsus patt x ≥ 0 saame selle

Lahendades võrratuse cos y ≥ 0 saame selle

On teada, et korrutis on võrdne nulliga, kui üks teguritest on võrdne nulliga (ja teised ei kaota oma tähendust).

Mõelge esimesele võrrandile:

Tähendab

Cos y = 0 lahendus on:

Lahendus 6x – x 2 + 8 = 0 on x = 2 ja x = 4.

Mõelge teisele võrrandile:

Tähendab

Sin x = 0 lahendus on:

Võrrandi 2 – y – y 2 = 0 lahend on y = – 2 või y = 1.

Nüüd, võttes arvesse määratlusvaldkonda, analüüsime

saadud väärtused:

Kuna 114,549 0 ≤ x ≤ 229,188 0, siis see segment võrrandil on ainult üks lahendus sin x = 0, see on x = Pi.

Kuna – 114,549 0 ≤ y ≤ 57,297 0, siis sisaldab see segment ainult ühte võrrandi lahendit cos y = 0, see on

Mõelge juurtele x = 2 ja x = 4.

Õige!

Seega on süsteemi lahenduseks kaks numbripaari:

*Võttes arvesse leitud definitsioonidomeeni, jätsime siin välja kõik saadud väärtused, mis sinna ei kuulunud, ja seejärel läbisime kõik võimalike paaride valikud. Järgmisena kontrollisime, millised neist on süsteemi lahendus.

Soovitan kohe kohe võrrandite, võrratuste ja nende süsteemide lahendamise alguses, kui on juured, logaritmid, trigonomeetrilised funktsioonid, kindlasti leida definitsioonipiirkond. Muidugi on näiteid, kus on lihtsam kohe lahendada ja siis lihtsalt lahendust kontrollida, aga neid on suhteliselt vähe.

See on kõik. Edu sulle!

Trigonomeetriliste võrrandite ja trigonomeetriliste võrrandisüsteemide lahendamine põhineb kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel.

Tuletagem meelde lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise põhivalemeid.

Võrrandite lahendamine kujul sin(x) = a.

Kui |a|< = 1 x = (-1)^k *arcsin(a) +π*k, где k принадлежит Z.

|a|>1 puhul pole lahendusi.

Võrrandite lahendamine kujul cos(x) = a.

Kui |a|< = 1 x = ±arccos(a) +2*π*k, где k принадлежит Z.

|a|>1 puhul pole lahendusi.

Võrrandite lahendamine kujul tg(x) = a.

x = arctan(a) + π*k, kus k kuulub Z-i.

Võrrandite lahendamine kujul cotg(x) = a.

x = arcctg(a)+ π*k, kus k kuulub Z-i.

Mõned levinumad juhtumid:

sin(x) =1; x = π/2 +2* π*k, kus k kuulub Z-sse.

sin(x) = 0; x = π*k, kus k kuulub Z-sse.

sin(x) = -1; x = - π/2 +2* π*k, kus k kuulub Z-sse.

cos(x) = 1; x = 2* π*k, kus k kuulub Z-sse.

cos(x) = 0; x= π/2 + π*k, kus k kuulub Z-sse.

cos(x) = -1; x = π+2* π*k, kus k kuulub Z-sse.

Vaatame mõnda näidet:

Näide 1. Lahendage trigonomeetriline võrrand 2*(sin(x))^2 + sin(x) -1 = 0.

Seda tüüpi võrrandid lahendatakse, taandades need ruutvõrrandiks muutuja muutmise teel.

Olgu y = sin(x). Siis saame,

2*y^2 + y - 1 = 0.

Lahendame saadud uvadraatilise võrrandi ühe tuntud meetodi abil.

y1 = 1/2, y2 = -1.

Järelikult saame kaks lihtsat trigonomeetrilist võrrandit, mida saab lahendada ülaltoodud valemite abil.

sin(x) = 1/2, x = ((-1)^k)*arcsin(1/2) + pi*k = ((-1)^k)*pi/6 + pi*k, mis tahes terve k.

sin(x) = -1, x = - pi/2 +2* pi*n, kus n kuulub Z-i.

Näide 2. Lahendage võrrand 6*(sin(x))^2 + 5*cos(x) – 2 = 0.

Põhilist trigonomeetrilist identiteeti kasutades asendame (sin(x))^2 väärtusega 1 - (cos(x))^2

Saame cos(x) ruutvõrrandi:

6*(cos(x))^2 – 5*cos(x) – 4 = 0.

Tutvustame asendust y=cos(x).

6*y^2-5*y-4 = 0.

Lahendame saadud ruutvõrrandi y1 = -1/2, y2 = 1(1/3).

Kuna y = cos(x), ja koosinus ei saa olla rohkem kui üks, saame ühe lihtsa trigonomeetrilise võrrandi.

x = ±2*pi/3+2*pi*k iga täisarvu k korral.

Näide 3. tg(x) + 2*ctg(x) = 3.

Toome sisse muutuja y = tan(x). Siis 1/y = cot(x). Saame

Korrutage y-ga mitte võrdne nulliga, saame ruutvõrrandi.

y^2 – 3*y + 2 = 0.

Lahendame selle:

tan(x) = 2, x = arctan(2)+pi*k, mis tahes täisarvu k korral.

tg(x) = 1, x = arctan(1) + pi*k, pi/4 + pi*k, mis tahes täisarvu k korral.

Näide 4. 3*(sin(x))^2 – 4*sin(x)*cos(x) + (cos(x))^2 = 0.

Seda võrrandit saab taandada ruutarvuks, jagades selle kas (cos(x))^2 või (sin(x))^2-ga. Jagades arvuga (cos(x)^2 saame

3*(tg(x))^2 – 4*tg(x) +1 = 0.

tg(x) = 1, x = pi/4+pi*n, mis tahes täisarvu n korral

tan(x) = 1/3, x = arctan(1/3) + pi*k, mis tahes täisarvu k korral.

Näide 4. Lahenda võrrandisüsteem

( sin(x) = 2*sin(y)

Mesilasleiva võrrandist väljendame y,

Siis saame, 2*sin(y) = 2*sin(x-5*pi/3) = 2*(sin(x)*cos(5*pi/3) - cos(x)*sin(5* pi /3)) = 2*(sin(x)*(1/2) –((√3)/2)*cos(x)) = sinx + √3*cos(x).

Tunnid 54-55. Trigonomeetriliste võrrandite süsteemid (valikuline)

09.07.2015 9098 895

Sihtmärk: kõige rohkem arvestama tüüpilised süsteemid trigonomeetrilised võrrandid ja nende lahendamise meetodid.

I. Tundide teema ja eesmärgi edastamine

II. Käsitletava materjali kordamine ja kinnistamine

1. Vastused küsimustele kodutöö(lahendamata probleemide analüüs).

2. Materjali omastamise jälgimine (iseseisev töö).

valik 1

Lahendage ebavõrdsus:

2. võimalus

Lahendage ebavõrdsus:

III. Uue materjali õppimine

Eksamitel on trigonomeetriliste võrrandite süsteemid palju vähem levinud kui trigonomeetrilised võrrandid ja võrratused. Puudub selge trigonomeetriliste võrrandisüsteemide klassifikatsioon. Seetõttu jagame need tinglikult rühmadesse ja kaalume nende probleemide lahendamise viise.

1. Lihtsamad võrrandisüsteemid

Nende hulka kuuluvad süsteemid, milles kas üks võrranditest on lineaarne või on süsteemi võrrandid lahendatavad üksteisest sõltumatult.

Näide 1

Lahendame võrrandisüsteemi

Kuna esimene võrrand on lineaarne, siis väljendame muutujat sellestja asendage teise võrrandiga:Kasutame redutseerimisvalemit ja peamist trigonomeetrilist identiteeti. Saame võrrandi või Tutvustame uut muutujat t = patt u. Meil on ruutvõrrand 3 t 2 - 7 t + 2 = 0, mille juured t 1 = 1/3 ja t 2 = 2 (ei sobi, sest patt y ≤ 1). Pöördume tagasi vana tundmatu juurde ja saame võrrandi patune = 1/3, mille lahendusNüüd on lihtne leida tundmatut:Seega on võrrandisüsteemil lahendused kus n ∈ Z.

Näide 2

Lahendame võrrandisüsteemi

Süsteemi võrrandid on sõltumatud. Seetõttu saame iga võrrandi lahendid üles kirjutada. Saame:Liidame ja lahutame selle lineaarvõrrandisüsteemi võrrandid termini kaupa ja leiame:kus

Pange tähele, et võrrandite sõltumatuse tõttu tuleb x - y ja x + y leidmisel määrata erinevad täisarvud n ja k. Kui k asemel tarniti ka n , siis näeksid lahendused välja sellised:Sel juhul läheks kaduma lõpmatu hulk lahendusi ja lisaks tekiks seos muutujate vahel x ja y: x = 3y (mis tegelikkuses nii ei ole). Näiteks on seda lihtne kontrollida see süsteem on lahend x = 5π ja y = n (vastavalt saadud valemitele), mis millal k = n võimatu leida. Nii et ole ettevaatlik.

2. Tüübisüsteemid

Sellised süsteemid taandatakse võrrandite liitmise ja lahutamise teel kõige lihtsamaks. Sel juhul saame süsteemidvõi Pangem tähele ilmset piirangut: Ja Selliste süsteemide lahendus iseenesest raskusi ei valmista.

Näide 3

Lahendame võrrandisüsteemi

Esmalt teisendame süsteemi teise võrrandi võrrandi abil Saame: Asendame esimese võrrandi selle murru lugejaga:ja väljendada Nüüd on meil võrrandisüsteemLiidame ja lahutame need võrrandid. Meil on: võiPaneme kirja selle lihtsaima süsteemi lahendused:Nende liitmine ja lahutamine lineaarvõrrandid, leiame:

3. Tüübisüsteemid

Selliseid süsteeme võib pidada kõige lihtsamaks ja vastavalt sellele ka lahendada. Selle lahendamiseks on aga veel üks viis: teisendada trigonomeetriliste funktsioonide summa korrutiseks ja kasutada ülejäänud võrrandit.

Näide 4

Lahendame võrrandisüsteemi

Esiteks teisendame esimese võrrandi, kasutades nurkade siinuste summa valemit. Saame:Kasutades teist võrrandit, saame:kus Kirjutame üles selle võrrandi lahendused:Võttes arvesse selle süsteemi teist võrrandit, saame lineaarsete võrrandite süsteemiSellest süsteemist leiame Selliseid lahendusi on mugav rohkem kirja panna ratsionaalne vorm. Ülemiste märkide jaoks on meil:madalamate märkide jaoks -

4. Tüübisüsteemid

Kõigepealt on vaja saada võrrand, mis sisaldab ainult ühte tundmatut. Selleks näiteks väljendame ühest võrrandist sin y, teisest - cos u. Paneme need suhted ruutu ja liidame kokku. Siis saame trigonomeetrilise võrrandi, mis sisaldab tundmatut x-i. Lahendame selle võrrandi. Seejärel, kasutades selle süsteemi mis tahes võrrandit, saame võrrandi tundmatu y leidmiseks.

Näide 5

Lahendame võrrandisüsteemi

Kirjutame süsteemi vormileTeeme süsteemi iga võrrandi ruudu ruudu ja saame:Liidame selle süsteemi võrrandid kokku: või Kasutades põhilist trigonomeetrilist identiteeti, kirjutame võrrandi vormile või Selle võrrandi lahendused cos x = 1/2 (siis ) ja cos x = 1/4 (kust ), kus n, k ∈ Z . Arvestades seost tundmatute vahel cos y = 1 – 3 cos x, saame: kui cos x = 1/2 cos y = -1/2; kui cos x = 1/4 cos y = 1/4. Tuleb meeles pidada, et võrrandisüsteemi lahendamisel viidi läbi kvadratuur ja see toiming võib põhjustada kõrvaliste juurte ilmnemist. Seetõttu on vaja arvesse võtta selle süsteemi esimest võrrandit, millest järeldub, et kogused sin x ja patt y-l peab olema sama märk.

Seda arvesse võttes saame selle võrrandisüsteemi lahendusedJa kus n, m, k, l ∈ Z . Sel juhul valitakse tundmatute x ja y jaoks samaaegselt kas ülemised või alumised märgid.

Erijuhulsüsteemi saab lahendada, teisendades trigonomeetriliste funktsioonide summa (või vahe) korrutiseks ja jagades seejärel võrrandid liikmeks.

Näide 6

Lahendame võrrandisüsteemi

Igas võrrandis teisendame funktsioonide summa ja erinevuse korrutiseks ning jagame iga võrrandi 2-ga.Kuna ükski võrrandite vasakul küljel olev tegur ei ole võrdne nulliga, jagame võrrandi liigete kaupa (näiteks teise esimesega). Saame:kus Asendame leitud väärtusenäiteks esimeses võrrandis:Arvestame sellega Siis kus

Saime lineaarvõrrandisüsteemiSelle süsteemi võrrandeid liites ja lahutades leiameJa kus n, k ∈ Z.

5. Tundmatute asendamisega lahendatud süsteemid

Kui süsteem sisaldab ainult kahte trigonomeetrilist funktsiooni või on taandatav sellisele kujule, siis on mugav kasutada tundmatute asendust.

Näide 7

Lahendame võrrandisüsteemi

Kuna see süsteem sisaldab ainult kahte trigonomeetrilist funktsiooni, võtame kasutusele uued muutujad a = tan x ja b = sin u. Saame algebraliste võrrandite süsteemiEsimesest võrrandist väljendame = b + 3 ja asendage teisega:või Selle ruutvõrrandi juured b 1 = 1 ja b 2 = -4. Vastavad väärtused on a1 = 4 ja a2 = -1. Tuleme tagasi vanade tundmatute juurde. Saame kaks lihtsate trigonomeetriliste võrrandite süsteemi:

a) tema otsus kus n, k ∈ Z.

b) pole lahendusi, sest sin y ≥ -1.

Näide 8

Lahendame võrrandisüsteemi

Teisendame süsteemi teise võrrandi nii, et see sisaldab ainult funktsioone sin x ja cos u. Selleks kasutame redutseerimisvalemeid. Saame:(kus ) Ja (Siis ). Süsteemi teine ​​võrrand on kujul: või Saime trigonomeetriliste võrrandite süsteemiTutvustame uusi muutujaid a = sin x ja b = cos u. Meil on sümmeetriline võrrandisüsteem ainus otsus mis a = b = 1/2. Lähme tagasi vanade tundmatute juurde ja saame kõige lihtsam süsteem trigonomeetrilised võrrandid mille lahendus kus n, k ∈ Z.

6. Süsteemid, mille puhul on võrrandite tunnused olulised

Peaaegu mis tahes võrrandisüsteemi lahendamisel kasutatakse selle üht või teist tunnust. Eelkõige üks kõige enam üldised tehnikad süsteemi lahendused on identsed teisendused, mis võimaldavad saada võrrandi, mis sisaldab ainult ühte tundmatut. Teisenduste valiku määrab loomulikult süsteemivõrrandite eripära.

Näide 9

Lahendame süsteemi

Pöörame tähelepanu võrrandite vasakpoolsetele külgedele, näiteksReduktsioonivalemeid kasutades muudame selle funktsiooniks argumendiga π/4 + x. Saame:Siis näeb võrrandisüsteem välja selline:Muutuja x kõrvaldamiseks korrutame võrrandid liikme kaupa ja saame:või 1 = sin 3 2у, kust sin 2у = 1. Leiame Ja Eraldi on mugav käsitleda paaris- ja paaritu väärtuste juhtumeid n. Paaris n jaoks (n = 2 k, kus k ∈ Z) Seejärel saame selle süsteemi esimesest võrrandist:kus m ∈ Z. Imelikuks Seejärel saame esimesest võrrandist:Niisiis, sellel süsteemil on lahendused

Nagu võrranditegi puhul, leidub üsna sageli võrrandisüsteeme, milles siinus- ja koosinusfunktsioonide piiratus mängib olulist rolli.

Näide 10

Lahendame võrrandisüsteemi

Kõigepealt teisendame süsteemi esimese võrrandi:või või või või Võttes arvesse siinusfunktsiooni piiratud olemust, näeme seda vasak pool võrrand ei ole väiksem kui 2 ja parempoolne pool ei ole suurem kui 2. Seetõttu on selline võrrand samaväärne tingimustega sin 2 2x = 1 ja sin 2 y = 1.

Kirjutame süsteemi teise võrrandi vormile sin 2 y = 1 - cos 2 z või sin 2 y = sin 2 z ja siis sin 2 z = 1. Saime lihtsate trigonomeetriliste võrrandite süsteemiKasutades astme vähendamise valemit, kirjutame süsteemi vormilevõi Siis

Muidugi tuleb teiste trigonomeetriliste võrrandisüsteemide lahendamisel tähelepanu pöörata ka nende võrrandite tunnustele.

Laadige materjal alla

Materjali täisteksti leiate allalaaditavast failist.
Leht sisaldab ainult killukest materjalist.

Ärakiri

1 I. V. Yakovlev Materjalid matemaatikast MathUs.ru Trigonomeetriliste võrrandite süsteemid Käesolevas artiklis käsitleme kahe tundmatuga võrrandi trigonomeetrilisi süsteeme. Uurime selliste süsteemide lahendamise meetodeid ja erinevaid eritehnikaid kohe kl konkreetsed näited. Võib juhtuda, et üks süsteemi võrranditest sisaldab tundmatute x ja y trigonomeetrilisi funktsioone, samas kui teine ​​võrrand on x ja y puhul lineaarne. Sel juhul toimime ilmselgelt: väljendame ühe tundmatutest lineaarvõrrandist ja asendame selle süsteemi teise võrrandiga. Ülesanne 1. Lahenda süsteem: x + y =, sin x + sin y = 1. Lahendus. Esimesest võrrandist väljendame y kuni x: ja asendame selle teise võrrandiga: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Tulemuseks on x lihtsaim trigonomeetriline võrrand. Kirjutame selle lahendid kahe jada kujul: x 1 = 6 + n, x = n n Z). Jääb üle leida y vastavad väärtused: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Nagu võrrandisüsteemi puhul ikka, on vastus antud paaride x loendina; y). 6 + n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. Pange tähele, et x ja y on omavahel seotud täisarvu parameetri n kaudu. Nimelt, kui x avaldises esineb +n, siis n ilmub automaatselt y avaldisesse ja sama n-ga. See on x ja y vahelise "kõva" seose tagajärg, mis on antud võrrandiga x + y =. Ülesanne. Lahendage süsteem: cos x + cos y = 1, x y =. Lahendus. Siin on mõttekas esmalt teisendada süsteemi esimene võrrand: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 Seega on meie süsteem samaväärne järgmise süsteemiga: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. Asendage esimeses võrrandis x y =: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). Selle tulemusena jõuame süsteemini: x + y = n, x y =. Liidame need võrrandid, jagame ja leiame x; lahutage esimesest võrrandist teine, jagage ja leidke y: x = + n, y = + n n Z). +n; + n), n Z. Paljudel juhtudel saab trigonomeetrilise süsteemi sobiva muutujate muutmisega taandada algebraliste võrrandite süsteemiks. Ülesanne. Lahendage süsteem: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Lahendus. Asendus u = sin x, v = cos y viib u ja v algebralise süsteemini: u + v = 1, u v = 1. Selle süsteemi saate hõlpsalt ise lahendada. Lahendus on unikaalne: u = 1, v = 0. Vastupidine asendus viib kahe lihtsaima trigonomeetrilise võrrandini: sin x = 1, cos y = 0, kust + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Nüüd sisaldab vastusekirje kahte täisarvu parameetrit k ja n. Vastupidiselt sellele varasemad ülesanded seisneb selles, et selles süsteemis puudub x ja y vahel "jäik" seos, näiteks lineaarvõrrandi kujul), seetõttu on x ja y palju rohkem. suuremal määralüksteisest sõltumatud.

3 V sel juhul Viga oleks kasutada ainult ühte täisarvu parameetrit n, kirjutades vastuseks + n;) + n. See tooks kaasa kaotuse lõpmatu arv 5 süsteemset lahendust. Näiteks kaoks lahendus ;), mis tekib k = 1 ja n = 0. Ülesanne 4. Lahenda süsteem: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. Lahendus. Esmalt teisendame teise võrrandi: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Nüüd teeme asendused: u = sin x, v = sin y. Saame süsteemi: u + v = 1, u + 4v = 1. Selle süsteemi lahendid on kaks paari: u 1 = 0, v 1 = 1/ ja u = /, v = 1/6. Jääb vaid teha pöördasendus: sin x = 0, sin x = sin y = 1 või sin y = 1 6 ja kirjutada vastus üles. k; 1) n 6 + n), 1) k arcsin + k; 1)n arcsin 16 + n), k, n Z. Ülesanne 5. Lahendage süsteem: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Lahendus. Siin peate algebralise süsteemi saamiseks töötama veelgi rohkem. Kirjutame oma süsteemi esimese võrrandi kujul: Teises võrrandis on meil: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Seega algne süsteem on samaväärne süsteemiga: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.

4 Teeme asendused u = cos x y, v = cos x + y ja saame algebralise süsteemi: uv = 1, u v = 4. Selle süsteemi lahendid on kaks paari: u 1 = 1, v 1 = 1/ ja u = 1, v = 1/. Esimene paar annab süsteemi: x y = 1, = k, Siit cos x y cos x + y Teine paar annab süsteemi: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1 , = 1 = ± + n k, n Z). = ± + n k). x y = + k, x + y = ± + n k, n Z). Seega x = ± + n + k), y = ± + n k). ±) + n + k); ± + n k), ± + n + k); ±) + n k), k, n Z. Siiski ei ole alati võimalik trigonomeetriliste võrrandite süsteemi taandada algebraliste võrrandite süsteemiks. Mõnel juhul on vaja kasutada erinevaid eritehnikaid. Mõnikord on võimalik süsteemi lihtsustada võrrandite liitmise või lahutamise teel. Ülesanne 6. Lahenda süsteem: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. Lahendus. Nende võrrandite liitmisel ja lahutamisel saame samaväärne süsteem: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. Ja see süsteem on omakorda samaväärne kahe süsteemi kombinatsiooniga: x + y = + k, x + y = x y = + k või 6 + n x y = n k, n Z). 4

5 Seega x = + k + n), x = + k + n), y = või + k n) y = + k n) k + n);)) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 Mõnikord võib lahendini jõuda võrrandite üksteisega korrutamisega. Ülesanne 7. Lahendage süsteem: tg x = sin y, ctg x = cos y. Lahendus. Tuletagem meelde, et süsteemi võrrandite korrutamine üksteisega tähendab võrrandi kirjutamist kujul "vasakpoolsete külgede korrutis võrdub parempoolsete külgede korrutisega". Saadud võrrand on algse süsteemi tagajärg, see tähendab, et kõik algse süsteemi lahendid vastavad saadud võrrandile). Sel juhul saadakse süsteemi võrrandite korrutamisel võrrand: 1 = sin y cos y = sin y, kust y = /4 + n n Z). Sel kujul y-d on ebamugav süsteemiga asendada, parem on jagada see kaheks jadaks: y 1 = 4 + n. Asendage y 1 süsteemi esimeses võrrandis: y = 4 + n. tan x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). On lihtne näha, et y 1 asendamine süsteemi teise võrrandiga annab sama tulemuse. Nüüd asendame y: tan x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k;) 4 + n, 4) + k; 4 + n, k, n Z. Mõnikord viib tulemuseni võrrandite jagamine üksteisega. Ülesanne 8. Lahendage süsteem: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Lahendus. Teisendame: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5

6 Toome ajutiselt sisse järgmise tähise: α = x + y, β = x y. Seejärel kirjutatakse saadud süsteem ümber kujul: cos α cos β = 1, sin α cos β =. On selge, et cos β 0. Seejärel jagades teise võrrandi esimesega, saame võrrandi tg α =, mis on süsteemi tagajärg. Meil on: α = + n n Z) ja jällegi, süsteemi edasise asendamise eesmärgil on meil mugav jagada saadud hulk kaheks seeriaks: α 1 = + n, α = 4 + n. Asendades α 1 süsteemi mis tahes võrrandis, tekib võrrand: cos β = 1 β 1 = k k Z). Samamoodi annab α asendamine süsteemi mis tahes võrrandis võrrandi: cos β = 1 β = + k k Z). Niisiis, meil on: st kus α 1 = + n, β 1 = k või α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y või + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = või + n k) y = + n k). + n + k);) 7 + n k), + n + k);) + n k), k, n Z. Mõnel juhul tuleb appi trigonomeetriline põhiidentiteet. Ülesanne 9. Lahenda süsteem: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. Lahendus. Paneme iga võrrandi mõlemad pooled ruutu ruutu: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6

7 Liidame saadud võrrandid: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, kust sin y = 0 ja y = n n Z). See on algse süsteemi tagajärg; see tähendab mis tahes paari x jaoks; y), mis on süsteemi lahend, on selle paari teine ​​arv kujul n mõne täisarvuga n. Jagame y kaheks jadaks: y 1 = n, y = + n. Asendame y 1 algsesse süsteemi: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Selle süsteemi lahenduseks on jada sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z ). Pange tähele, et nüüd ei piisa y 1 asendamisest ühes süsteemi võrrandis. Kui asendada y 1 süsteemi esimeses ja teises võrrandis, tekib süsteem kahest erinevad võrrandid x suhtes.) Samamoodi asendame y algsesse süsteemi: Siit sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z).)) 4 + k; n + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Mõnikord on teisenduste käigus võimalik saada tundmatute vahel lihtne seos ja väljendada sellest suhtest üht tundmatut teise terminiga. Ülesanne 10. Lahendage süsteem: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. Lahendus. Süsteemi teises võrrandis teisendame siinuste kaksikkorrutise koosinuste erinevuseks: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). Siit edasi väljendame y-d x: y = x + n, 7

8 ja asendage süsteemi esimesse võrrandisse: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Ülejäänu on triviaalne. Saame: cos x = 1, kust x = ± Eespool saadud seosest jääb üle leida y: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n), k, n Z. Loomulikult ei hõlma vaadeldavad ülesanded kõiki trigonomeetriliste võrrandite süsteeme. Igal ajal raske olukord nõuab leidlikkust, mida arendab ainult lahendamise harjutamine erinevaid ülesandeid. Kõik vastused eeldavad, et k, n Z. Ülesanded 1. Lahendage süsteem: x + y =, cos x cos y = 1. b) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4 n); b) n; n). Lahendage süsteem: x + y = 4, tg x tan y = 1 b) 6. x y = 5, sin x = sin y. arctaan 1 + n; arctg 1 n), arctg 1 + n; arctg 1 n) ; b) + n; 6 + n). Lahendage süsteem: sin x + sin y = 1, x y = 4 b). x + y =, sin x sin y = n; 6 + n); b) 6 + n; 6 n) 8

9 4. Lahendage süsteem: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. b) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + k; ± + n), 1) k k; ± + n) ; b) 1) k 4 + k; + n) 5. Lahendage süsteem: cos x + cos y = 1, tan x + tan y =, sin x sin y = b) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; n) ; b) arctaan 5 + k; arctaan 1 + n), arctaan 1 + k; arctan 5 + n) 6. Lahendage süsteem: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. b) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1 ) k 6 + k; ± + n) ; b) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. Lahendage süsteem: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1) k 4 + k n)), 1) k k + n + 1); 1)k k n 1)) 8. Lahendage süsteem: sin x sin y = 1 4, tg x tan y =, cos x cos y = b) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + k n)) ; b) ± + k + n); ± + k n)) 9. Lahendage süsteem: 4 sin x cos y = 1, tg x = tan y. b) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y)k n k) ; 1) k 1 + n + k)) ; b)) 4 + k ; 4 + k + n 9

10 10. Lahendage süsteem: cos x = tan cos y = tan y +), 4 x +). 4k; n), 4 + k; 4 + n), + k; + n) 11. Lahenda süsteem:) tan 4 + x = cos y,) tan 4 x = sin y. k; 4 + n), + k; 4 + n) 1. Lahendage süsteem: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Lahendage süsteem: tg x + tan y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Lahendage süsteem: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. Lahendage süsteem: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4 + k; arccos n) 16. Lahendage süsteem: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. b) cot x + sin y = sin x, sin x sinx + y) = cos y. k; n); b)) 4 + k ; n, + k; + n) 10

11 17. “Phystech”, 010) Lahenda võrrandisüsteem 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + k, 6 + n) ; k, n Z 18. Moskva Riiklik Ülikool, koopia. välismaalaste jaoks gr-n, 01) Lahenda võrrandisüsteem: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6 n), + n; 5 6 n), n Z 19. MGU, VMK, 005) Leia kõik süsteemi lahendused patu võrrandid x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, kus xn = 8 + n ± n) 6, n Z, n, 1, 0, 1 0. Moskva Riiklik Ülikool, geograafiline. f-t, 005) Lahendage võrrandisüsteem 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y =. 1) n n, k), k, n Z 1. Moskva Riiklik Ülikool, Riigiteaduskond. kontroll, 005) Lahenda võrrandisüsteem sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. MIPT, 199) Lahenda võrrandisüsteem 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x sin y. arccos + n, 1)k arcsin 5); 6 + k arccos + n, 1) k + 1 arcsin 5), 6 + k k, n Z 11

12 . MIPT, 199) Lahendage võrrandisüsteem tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y. arctan 4 + n, arccos 4 + k) ; + arctan 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. MIPT, 1996) Lahendage võrrandisüsteem sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1 )k k ) ; k, n Z 5. MIPT, 1996) Lahendage võrrandisüsteem sin x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) n 1 + n, 4 + 1) k 4 + k) ; k, n Z 6. MIPT, 1997) Lahendage võrrandisüsteem 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + k) ; k, n Z 1

I. V. Yakovlev Matemaatika materjalid MathUs.ru Minimax ülesanded trigonomeetrias Sellel lehel käsitletakse võrrandeid, mille lahendamiseks kasutatakse parema ja vasaku külje hinnanguid. Saama

I. V. Jakovlev Matemaatika materjalid MathUs.ru Trigonomeetrilised võrrandid mooduliga See voldik on pühendatud trigonomeetrilistele võrranditele, milles tundmatu suuruse trigonomeetrilised funktsioonid sisaldavad

Praktiline töö: Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine erinevat tüüpi Arendaja: I. A. Kochetkova, Zh. I. Timoshko Töö eesmärk: 1) Korda trigonomeetrilisi valemeid kahekordne argument, liitmise valemid,

I V Jakovlev Matemaatika materjalid MathUsru Trigonomeetrilised võrratused Eeldatakse, et lugeja suudab lahendada kõige lihtsama trigonomeetrilised ebavõrdsused Liigume edasi keerulised ülesandedÜlesanne

I. V. Yakovlev Matemaatika materjalid MathUs.ru Trigonomeetrilised teisendused ja arvutused Trigonomeetriliste teisenduste ja arvutustega seotud probleemid ei ole reeglina keerulised ja seetõttu harvad

Sisu I V Jakovlev Materjalid matemaatikast MathUsru Irratsionaalsed võrrandid ja süsteemid 1 Kodutarvete arvestus 1 Samaväärsed teisendused 3 Muutuja muutus 6 4 Korrutamine konjugaadiga 7 5 Võrrandisüsteemid

I. V. Yakovlev Matemaatika materjalid MathUs.ru Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid Hakkame uurima trigonomeetrilisi võrrandeid keskne teema kogu trigonomeetriline osa. Olgu a

Haridusamet Krasnojarski territoorium Krasnojarsk Riiklik Ülikool Krasnojarski Riikliku Ülikooli loodusteaduste korrespondentkool, matemaatika: 0-klassi moodul Hariduslik ja metoodiline osa/ Comp:

Invariantsus ja probleemid G.I parameetritega Falin, A.I. Falin Lomonossovi Moskva Riiklik Ülikool http://mech.math.msu.su/ falin 1 Sissejuhatus B kaasaegne matemaatika oluline roll mängib muutumatuse mõistet, st. muutumatus

I. V. Yakovlev Matemaatika materjalid MthUs.ru Trigonomeetriliste funktsioonide uurimine Tuletage meelde, et funktsiooni fx) nimetatakse perioodiliseks, kui on olemas arv T 0, et mis tahes x jaoks definitsioonipiirkonnast

Teema 14" Algebralised võrrandid ja süsteemid mittelineaarsed võrrandid» N-astme polünoom on polünoom kujul P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, kus a 0, a 1, a n-1, a n antud numbrid, 0,

I. V. Jakovlev Matemaatika materjalid MathUs.ru Treeningülesanded Sümmeetria ülesannetes parameetritega 1. (MSU, Mullateaduse teaduskond, 001) Milliste b väärtuste korral on võrrandil täpselt üks juur? tan b = log

Teadus- ja Haridusministeerium Venemaa Föderatsioon Moskva Riiklik Geodeesia ja Kartograafia Ülikool T. M. Koroleva, E. G. Markaryan, Yu. M. Neiman MATEMAATIKA KÄSIRAAMAT TAOTLEJATELE

Algebratund 10. klassis Tunni teema: Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid Tunni eesmärk: Õpilaste teemakohaste teadmiste üldistamine ja süstematiseerimine. Tunni eesmärgid: 1) Hariv – laiendada ja süvendada

Näited testlahustest, autor L.I. Terekhina, I.I. Parandus 1 Test 1 Lineaaralgebra Otsustama maatriksvõrrand((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 Korrutame maatriksid kõigepealt

TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE INTEGREERIMINE Erinevate argumentide siinuste ja koosinuste korrutise integreerimine Trigonomeetrilised valemid k m [ (m k (m k ], k m [ (m k (m k ], k m [ (m k (m k))

Vene Föderatsiooni haridus- ja teadusministeerium, Moskva Füüsika ja Tehnoloogia Instituut(riigiülikool) Osakoormus füüsiline ja tehnikakool MATEMAATIKA Identiteedi transformatsioonid. Lahendus

Irratsionaalvõrrandid ja võrratused Sisukord Irratsionaalvõrrandid Võrrandi mõlema poole samale astmele tõstmise meetod Ülesandmine Ülesanne Irratsionaalvõrrandi asendamine segavõrrandiga

Valgevene Vabariigi Haridusministeerium Molodechno osariik polütehniline kool Praktiline töö: Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine taandatuna kõige lihtsamatele. Arendaja: I.

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM TOMSK RIIKÜLIKOOL Rakendusmatemaatika ja küberneetika teaduskond Tõenäosusteooria osakond ja matemaatiline statistika PIIRID Metoodilised

10. klass, algtaseÜlesanne 1 Variant 0 (demonstratsioon, lahendustega) Kirjavahetus matemaatika kool 009/010 õppeaasta 1 Väljendage avaldis polünoomina standardvaade ja leia ta üles

Loengud “DEFINITE INTEGRAAL” Koostanud: VPBelkin Loeng Määramatu integraal Põhimõisted Määramata integraali omadused 3 Antiderivaatide põhitabel 3 4 Tüüpilised näited 3 5 Algloomad

4. Trigonomeetria Nüüd on kõik valmis andma trigonomeetriliste funktsioonide rangeid määratlusi. Esmapilgul tunduvad need ilmselt üsna kummalised; siiski näitame, et kindel

Teema FUNKTSIOONIDE PIIRANGUD Arvu A nimetatakse funktsiooni y = f) piiriks, kusjuures x kaldub lõpmatuseni, kui mis tahes arvu ε> korral on positiivne arv s, nii et kõigi >S,

Föderaalne agentuur Riik hariduse järgi haridusasutus kõrgemale kutseharidus Ukhta osariik Tehnikaülikool(USTU) LIITFUNKTSIOON Metodoloogiline

NOT DEMIDOV TRIGONOMETRIA ALUSED Õppejuhend välisriikide kodanikud Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium riigi rahastatud organisatsioon kõrgem professionaal

Teema 1 Reaalarvud ja toimingud nendega 4 tundi 11 Arvu 1 mõiste arendamine Algselt mõisteti ainult numbreid täisarvud, millest piisab kokkulugemiseks üksikud esemed Trobikond

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine Eesmärgid: Tutvuda trigonomeetriliste võrrandite tüüpidega Tutvuda võrrandite lahendamise meetoditega. Arendada rakendusoskusi

I. V. Yakovlev Matemaatika materjalid MathUs.ru Sümmeetria parameetritega seotud ülesannetes Sümmeetria on üks võtmemõisteid matemaatika ja füüsika. Kas sa tead geomeetriline sümmeetria arvud ja üldiselt erinevad

Test. Antud maatriksid A, B ja D. Leidke AB 9D, kui: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Korrutage maatriksid A 3 ja B 3. olema C suurusega 3 3, mis koosneb elementidest

13. loeng: Nelinurksete klassifikatsioon Uurali tasapinnal föderaalülikool, Matemaatika Instituut ja arvutiteadus, Algebra ja diskreetse matemaatika osakond Sissejuhatavad märkused Eelmises kolmes

Klass. Suvalise reaalastendajaga aste, selle omadused. Toitefunktsioon, selle omadused, graafikud.. Tuletame meelde astme c omadusi ratsionaalne näitaja. a a a a a loomulikuks ajaks

8.3 klass, matemaatika (õpik Makarõtšev) 2016-2017 õppeaasta 5. mooduli teema “ Ruutjuur. Kraad täisarvu indikaatoriga” Testis testitakse teoreetilist ja praktilist osa. TEEMA Teadma Oskama teada

VSTU-VGASU kõrgmatemaatika osakond, dots. Sedaev A.A. 06 TOODETUD?.. nullist?.. C H A Y N I K O V?... SEE EI OLE LIHTNE Hea lugeja. Kui teil tekib vajadus leida

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium RAHVUSLIKU UURIMISTÖÖ MOSKVA RIIKLIKU TSIVIILÜLIKOOLI osakond rakendusmehaanika ja matemaatikud TAVALINE DIFERENTSIAAL

Teema: Transformatsioon trigonomeetrilised avaldised ODZ-ga arvestamine trigonomeetrilistes võrrandites Ettevalmistus ühtseks riigieksamiks (ülesanne 9; ; 8) Definitsioon: võrrandi f g või piirkonna määratluspiirkond vastuvõetavad väärtused

Moskva lennundusinstituut(Rahvuslik teadusülikool) osakond " Kõrgem matemaatika"Limits Derivatives Mitme muutuja funktsioonid Juhised ja testimisvõimalused

Peatükk 4 Funktsiooni piirmäär 4 1 FUNKTSIOONI PIIRANGU MÕISTE See peatükk keskendub funktsiooni piiri mõistele. Määratakse, milline on funktsiooni piir lõpmatuses ja seejärel piir punktis, piirid

Teema 7 Maatriksiaste Põhi-minor Lause maatriksiastmest ja selle tagajärjed M lineaarvõrrandi süsteemid tundmatutega Kroneckeri-Capelli teoreem Fundamentaalne süsteem lahendusi homogeenne süsteem lineaarne

Teema 1-8: Kompleksarvud A. Ya. Ovsyannikov Uurali föderaalülikooli matemaatika ja arvutiteaduse instituut Algebra ja diskreetmatemaatika osakond mehaanika algebra ja geomeetria (1 semester)

MATEMAATILISE ANALÜÜSI PÕHIMÕISTED mõisted, mida saab kirjeldada, kuid mida ei saa rangelt defineerida, kuna iga katse anda ranget definitsiooni taandub paratamatult defineeritud mõiste asendamisele sellega.

Muutujate eraldamise meetod (Fourier' meetod) Üldised põhimõtted muutujate eraldamise meetod Lihtsaima osadiferentsiaalvõrrandi jaoks on muutujate eraldamine lahenduste otsimine kujul ainult t. u(x,t

64 7. klassi algebra (5 tundi nädalas, 175 tundi) Algebraline komponent (3 tundi nädalas) 105 tundi ja geomeetriline komponent (2 tundi nädalas) 70 tundi Kasutatud õppevahendid: 1. Arefieva, I. G. Algebra: õpik. toetust

Vene Föderatsiooni Haridusministeerium Venemaa Riiklik Nafta- ja Gaasiülikool, mis sai nime IM Gubkin VI Ivanovi järgi. Juhised teema “DIFERENTSIVÕRRADUSED” õppimiseks (üliõpilastele

Praktiline tund Teema: Funktsioon Funktsiooni definitsioonivaldkond ja väärtuste kogum Eesmärk: funktsioonide definitsioonipiirkonna leidmise ja funktsioonide osaväärtuste arvutamise oskuste arendamine Täida

VARIANTI 0 ÜLESANNE LAHENDUSED Tuletame meelde, et testimiseks esitatakse ülesannete lahendused ainult osast Osade ülesannete lahendused teostatakse mustanditena ja ei mõjuta kuidagi hindamist Osast ülesannete täitmisel

57(07) D DG Demyanov INDETERMINATE INTEGRAL Õppe- ja teatmeteos Tšeljabinsk 00 UDC 57 (0765) Demjanov DG Indefinite integraal: Haridus- ja teatmeteos / Toimetanud SA Ufimtsev Tšeljabinsk: kirjastus

Phystech 0, 0 klass, pileti lahendused cos x cosx Lahenda võrrand = cos x sin x Vastus x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Lahendus On kaks võimalikku juhtumit cos x cos x sin x sin x a) cos x 0 Siis = = tan x = x =

TRIGONOMEETRILISED VALEMID Edu trigonomeetriliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel, tõestus trigonomeetrilised identiteedid ja arvutusprobleemide lahendused määravad suuresti põhiteadmised

14. tund Keerulised numbrid. LODU koos konstantsed koefitsiendid. 14.1 Kompleksarvud Kompleksnumber nimetatakse avaldiseks kujul z = x+iy, kus x R. Hulga vahel on üks-ühele vastavus

Küsimus: Milliseid arve nimetatakse naturaalarvudeks? Vastus Naturaalarvud on arvud, mida kasutatakse loendamisel Mis on klassid ja järgud arvude tähistuses? Kuidas nimetatakse numbreid lisamisel? Sõnasta kaashäälik

AA KIRSANOV KOMPLEKSNUMBRID PSKOV BBK 57 K45 Välja antud algebra ja geomeetria osakonna ning SM Kirovi nimelise PSPI toimetus- ja kirjastusnõukogu otsusel Retsensent: Medvedeva IN, füüsika ja matemaatika kandidaat, dotsent

Loeng Diferentsiaalvõrrandid-th order (DU-) Üldine vorm n järku diferentsiaalvõrrand kirjutatakse: (n) F, = 0 () Järkjärgu võrrand (n =) saab kujul F(,) = 0 Sarnased võrrandid

DIFERENTSIVÕRDED Habarovsk 01 FÖDERAALNE HARIDUSAGENTUUR Riigieelarveline erialane kõrgharidusasutus "Vaikse ookeani osariik

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Peterburi Riiklik Arhitektuuri- ja Ehitusülikool V B SMIRNOVA, L E MOROZOVA TARILISED DIFERENTSIAALVÕRDED Haridus

MATEMAATIKA, klass Vastused ja kriteeriumid, aprill Valik/ülesanded VASTUSED B B B4 B B7 C 4 7 4 arccos 7 44,7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9, 4 (;) ( log ;) + n, 8 49 8,7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7

Probleemsed tingimused 1 Vallalava 8. klass 1. Tahvlile kirjutatakse kaks numbrit. Ühte neist suurendati 6 korda ja teist vähendati 2015. aasta kohta, kusjuures numbrite summa ei muutunud. Leidke neist vähemalt üks paar

Määramatu integraal Sissejuhatus Definitsioon Funktsiooni F() nimetatakse antud funktsiooni f() antituletiseks, kui F() f(), või mis on sama, df f d See funktsioon f() võib omada erinevaid antiderivaate,

Moskva Füüsika ja Tehnoloogia Instituut Irratsionaalsed võrrandid ja ebavõrdsused Tööriistakomplekt olümpiaadideks valmistumisest Koostanud: Parkevich Egor Vadimovich Moskva 04 Sissejuhatus Selles töös vaatleme

VEKTORARVUTUSE ALUSED Vektorit nimetatakse kvantitatiivne omadus, millel pole mitte ainult arvväärtus, aga ka suund. Mõnikord öeldakse, et vektor on suunatud segment Vektorsüsteem

Eksponentvõrrandid. Lahendusmeetodid. Dubova Maria Igorevna 7 78-57 Eksponentvõrrand on selline, mis sisaldab muutujat ainult eksponendis. Vaatame mitut tüüpi eksponentsiaalvõrrandid,

MAV(S)OU "TsO 1" Matemaatika 1. klassi trigonomeetria TEST 1, tabelid, proovipaberid, testid Õpetaja Nemova N.M. Esimene kvalifikatsioon 15 õppeaastat Selgitav märkus. The didaktiline materjal mõeldud

Antiderivatiiv ja määramatu integraal Põhimõisted ja valemid 1. Antituletise ja määramata integraali definitsioon. Definitsioon. Funktsiooni F(x) nimetatakse intervalli funktsiooni f(x) antituletiseks

PRAKTILINE TUND Ratsionaalmurdude integreerimine Ratsionaalne murd on murd kujust P Q, kus P ja Q on polünoomid Ratsionaalne murdosa nimetatakse õigeks, kui polünoomi P aste on astmest madalam

I. V. Yakovlev Materjalid matemaatikast MthUs.ru Artikkel on kirjutatud koostöös A. G. Malkovaga Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid. Eelmine artikkel oli pühendatud lihtsaimate trigonomeetriliste ülesannete lahendamise põhiideele

Teema Määratlemata integraal Põhilised integreerimise meetodid Integreerimine osade kaupa Olgu u ja v kaks sama argumendi diferentseeruvat funktsiooni On teada, et d(u v) udv vdu (77) Võtke mõlemast

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Moskva Füüsika- ja Tehnoloogiainstituut (riiklik ülikool) Füüsika ja tehnoloogia korrespondentkool MATEMAATIKA RuutvõrrandidÜlesanne 8

Üheastmelised ülesanded täisarvudega (formaalne) lk 1 09.06.2012 1) Lahendage võrratus: x 7 17. 2) Korrutage 612 100 000-ga. 3) Mis vahe on arvudel 661 ja 752? 4) Võrdle avaldisi: 54 6 ja 7.

LOENG N Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid, lahendusmeetodid Cauchy ülesanne Kõrgemate astmete lineaarsed diferentsiaalvõrrandid Homogeensed lineaarvõrrandid Kõrgemate järkude diferentsiaalvõrrandid,