Täisarvudes võrrandite lahendamine on üks vanimaid matemaatilisi ülesandeid. Juba 2. aastatuhande alguses eKr. e. Babüloonlased teadsid, kuidas lahendada selliseid võrrandisüsteeme kahe muutujaga. See matemaatika valdkond saavutas oma suurima õitsengu Vana-Kreekas. Meie peamine allikas on Diophantuse Aritmeetika, mis sisaldab erinevat tüüpi võrrandeid. Selles näeb Diophantus (tema nime järgi on võrrandite nimi Diophantine võrrandid) ette mitmeid meetodeid 2. ja 3. astme võrrandite uurimiseks, mis kujunesid välja alles 19. sajandil.

Lihtsamad diofantiini võrrandid on ax + y = 1 (võrrand kahe muutujaga, esimene aste) x2 + y2 = z2 (kolme muutujaga võrrand, teine ​​aste)

Kõige põhjalikumalt on uuritud algebralisi võrrandeid, mille lahendamine oli 16. ja 17. sajandi algebra üks olulisemaid probleeme.

19. sajandi alguseks uurisid P. Fermat, L. Euleri, K. Gaussi teosed diofantiini võrrandit kujul: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, kus a, b, c , d, e, f on arvud; x, y tundmatud muutujad.

See on 2. astme võrrand kahe tundmatuga.

K. Gauss töötas välja ruutvormide üldteooria, mis on aluseks teatud tüüpi kahe muutujaga võrrandite lahendamisel (Diofantiini võrrandid). On olemas suur hulk spetsiifilisi diofantiini võrrandeid, mida saab lahendada elementaarsete meetodite abil. /p>

Teoreetiline materjal.

Selles tööosas kirjeldatakse matemaatilisi põhimõisteid, defineeritakse termineid ja formuleeritakse laiendusteoreem määramata koefitsientide meetodil, mida uuriti ja arvestati kahe muutujaga võrrandite lahendamisel.

Definitsioon 1: võrrand kujul ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, kus a, b, c, d, e, f on arvud; x, y tundmatuid muutujaid nimetatakse kahe muutujaga teise astme võrrandiks.

Kooli matemaatikakursusel õpitakse ruutvõrrandit ax2 + bx + c = 0, kus arvu x a, b, c on muutuja, ühe muutujaga. Selle võrrandi lahendamiseks on mitu võimalust:

1. Juurte leidmine diskriminandi abil;

2. paariskoefitsiendi juurte leidmine in (vastavalt D1=);

3. Juurte leidmine Vieta teoreemi abil;

4. Juurte leidmine binoomide täiusliku ruudu eraldamise teel.

Võrrandi lahendamine tähendab kõigi selle juurte leidmist või nende puudumise tõestamist.

Definitsioon 2: võrrandi juur on arv, mis võrrandiga asendamisel moodustab tõelise võrdsuse.

Definitsioon 3: Kahe muutujaga võrrandi lahendit nimetatakse arvupaariks (x, y), kui võrrandisse asendades muutub see tõeliseks võrduseks.

Võrrandi lahenduste leidmise protsess seisneb sageli enamasti võrrandi asendamises samaväärse võrrandiga, mida on lihtsam lahendada. Selliseid võrrandeid nimetatakse ekvivalentseteks.

Definitsioon 4: kahte võrrandit peetakse samaväärseks, kui ühe võrrandi iga lahendus on teise võrrandi lahend ja vastupidi ning mõlemat võrrandit käsitletakse samas valdkonnas.

Kahe muutujaga võrrandite lahendamiseks kasutage teoreemi võrrandi lagundamise kohta täisruutude summaks (määramatute koefitsientide meetodil).

Teist järku võrrandi ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) korral toimub laiendus a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Sõnastame tingimused, mille korral toimub kahe muutuja võrrandi (1) laienemine (2).

Teoreem: Kui võrrandi (1) koefitsiendid a, b, c vastavad tingimustele a0 ja 4ab – c20, siis on laiendus (2) määratud ainulaadsel viisil.

Teisisõnu saab kahe muutujaga võrrandi (1) taandada ebamääraste koefitsientide meetodil vormiks (2), kui teoreemi tingimused on täidetud.

Vaatame näidet määramatute koefitsientide meetodi rakendamisest.

MEETOD nr 1. Lahendage võrrand määramata koefitsientide meetodil

2x2 + y2 + 2xy + 2x +1 = 0.

1. Kontrollime teoreemi tingimuste täitmist a=2, b=1, c=2, mis tähendab a=2,4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Teoreemi tingimused on täidetud, neid saab valemi (2) järgi laiendada.

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, lähtudes teoreemi tingimustest, on identiteedi mõlemad osad samaväärsed. Lihtsustagem identiteedi paremat poolt.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Samastame identsete muutujate koefitsiendid nende astmetega.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Leiame võrrandisüsteemi, lahendame selle ja leiame koefitsientide väärtused.

7. Asendage koefitsiendid väärtusega (2), siis saab võrrand kuju

2 x 2 + y2 + 2xy + 2x +1 = 2 (x + 0,5 a + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 +0

Seega on algne võrrand võrdne võrrandiga

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), on see võrrand võrdne kahe lineaarse võrrandi süsteemiga.

Vastus: (-1; 1).

Kui pöörate tähelepanu laiendamise tüübile (3), märkate, et see on vormilt identne terve ruudu eraldamisega ruutvõrrandist ühe muutujaga: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Kasutame seda tehnikat kahe muutujaga võrrandi lahendamisel. Lahendame täisruudu valiku abil kahe muutujaga ruutvõrrandi, mis on teoreemi abil juba lahendatud.

MEETOD nr 2: Lahendage võrrand 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Lahendus: 1. Kujutleme 2x2 kahe liikme x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 summana.

2. Rühmitame terminid nii, et saaksime neid täisruudu valemi abil voltida.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. Valige sulgudes olevate avaldiste hulgast terved ruudud.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. See võrrand on samaväärne lineaarvõrrandisüsteemiga.

Vastus: (-1;1).

Kui võrrelda tulemusi, siis on näha, et teoreemi kasutades meetodiga nr 1 lahendatud võrrandil ja määramata koefitsientide meetodil ning meetodiga nr 2 täisruudu väljavõtmist kasutades lahendatud võrrandil on samad juured.

Järeldus: Kahe muutujaga ruutvõrrandit saab ruutude summaks laiendada kahel viisil:

➢ Esimene meetod on määramatute koefitsientide meetod, mis põhineb teoreemil ja laiendusel (2).

➢ Teine võimalus on kasutada identiteedi teisendusi, mis võimaldavad valida järjestikku täis ruute.

Muidugi on ülesannete lahendamisel eelistatav teine ​​meetod, kuna see ei nõua laienduse (2) ja tingimuste meeldejätmist.

Seda meetodit saab kasutada ka kolme muutujaga ruutvõrrandite jaoks. Täiusliku ruudu eraldamine sellistes võrrandites on töömahukam. Järgmisel aastal teen seda tüüpi ümberkujundamist.

Huvitav on märkida, et funktsiooni, mille kuju on f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f, nimetatakse kahe muutuja ruutfunktsiooniks. Ruutfunktsioonid mängivad olulist rolli matemaatika erinevates harudes:

Matemaatilises programmeerimises (ruutprogrammeerimine)

Lineaaralgebras ja geomeetrias (ruutkujulised vormid)

Diferentsiaalvõrrandite teoorias (teise järgu lineaarvõrrandi taandamine kanooniliseks vormiks).

Nende erinevate ülesannete lahendamisel tuleb põhimõtteliselt rakendada terve ruudu ruutvõrrandist (üks, kaks või enam muutujat) eraldamise protseduuri.

Sirgeid, mille võrrandeid kirjeldab kahe muutuja ruutvõrrand, nimetatakse teist järku kõverateks.

See on ring, ellips, hüperbool.

Nende kõverate graafikute koostamisel kasutatakse ka tervikliku ruudu järjestikuse eraldamise meetodit.

Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas toimib tervikliku ruudu järjestikuse valimise meetod.

Praktiline osa.

Lahendage võrrandid täieliku ruudu järjestikuse eraldamise meetodil.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

Vastus:(-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Vastus:(0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2a + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2a +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3 (x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Vastus:(-1;1).

Lahenda võrrandid:

1. 2x2 + 3a2 – 4xy + 6a +9 =0

(taandada kujule: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Vastus: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(taandada kujule: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

Vastus: (-1; 1)

3. x2 + 3a2+2xy + 28a +98 =0

(taandada kujule: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

Vastus: (7; -7)

Järeldus.

Selles teaduslikus töös uuriti kahe teise astme muutujaga võrrandeid ja käsitleti nende lahendamise meetodeid. Ülesanne on täidetud, sõnastatud ja kirjeldatud lühem lahendusmeetod, mis põhineb täisruudu eraldamisel ja võrrandi asendamisel ekvivalentse võrrandisüsteemiga, mille tulemusena on kahe muutujaga võrrandi juurte leidmise protseduur. lihtsustatud.

Töö oluliseks punktiks on see, et vaadeldavat tehnikat kasutatakse erinevate ruutfunktsiooniga seotud matemaatiliste ülesannete lahendamisel, teist järku kõverate koostamisel ja avaldiste suurima (väikseima) väärtuse leidmisel.

Seega on matemaatikas enim rakendusi tehnikal, mis lagundab kahe muutujaga teist järku võrrandi ruutude summaks.

Teema:Lineaarne funktsioon

Õppetund:Lineaarvõrrand kahes muutujas ja selle graafik

Saime tuttavaks koordinaattelje ja koordinaattasandi mõistetega. Teame, et iga tasapinna punkt määratleb üheselt numbripaari (x; y), kusjuures esimene arv on punkti abstsiss ja teine ​​ordinaat.

Väga sageli kohtame kahe muutujaga lineaarvõrrandit, mille lahenduseks on arvupaar, mida saab esitada koordinaattasandil.

Vormi võrrand:

Kus a, b, c on arvud ja

Seda nimetatakse lineaarvõrrandiks kahe muutujaga x ja y. Sellise võrrandi lahenduseks on mis tahes selline arvude paar x ja y, mille asendamisel võrrandisse saame õige arvulise võrdsuse.

Arvupaari kujutatakse koordinaattasandil punktina.

Selliste võrrandite puhul näeme palju lahendusi, see tähendab palju arvupaare ja kõik vastavad punktid asuvad samal sirgel.

Vaatame näidet:

Selle võrrandi lahenduste leidmiseks peate valima vastavad arvude x ja y paarid:

Olgu , siis muutub algne võrrand ühe tundmatu võrrandiks:

,

See tähendab, et esimene arvupaar, mis on antud võrrandi (0; 3) lahend. Saime punkti A(0; 3)

Laske . Saame algse võrrandi ühe muutujaga: , siit saime punkti B(3; 0)

Paneme numbripaarid tabelisse:

Joonistame graafikule punktid ja tõmbame sirge:

Pange tähele, et antud joone mis tahes punkt on antud võrrandi lahendus. Kontrollime – võta koordinaadiga punkt ja leia graafiku abil selle teine ​​koordinaat. On ilmne, et praegusel hetkel. Asendame selle numbripaari võrrandisse. Saame 0=0 - õige arvuline võrdus, mis tähendab, et sirgel asuv punkt on lahendus.

Praegu ei saa me tõestada, et mis tahes konstrueeritud sirgel asuv punkt on võrrandi lahend, seega aktsepteerime seda tõena ja tõestame seda hiljem.

Näide 2 – joonistage võrrand graafiku alusel:

Teeme tabeli; sirge konstrueerimiseks on vaja ainult kahte punkti, kuid kontrolliks võtame kolmanda:

Esimeses veerus valisime mugava, leiame selle järgmiselt:

, ,

Teises veerus valisime mugava, leiame x:

, , ,

Kontrollime ja leiame:

, ,

Koostame graafiku:

Korrutame antud võrrandi kahega:

Sellisest teisendusest lahenduste hulk ei muutu ja graafik jääb samaks.

Järeldus: õppisime lahendama kahe muutujaga võrrandeid ja koostama nende graafikuid, saime teada, et sellise võrrandi graafik on sirgjoon ja et mis tahes punkt sellel sirgel on võrrandi lahendus

1. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovitš E.A. ja teised Algebra 7. 6. väljaanne. M.: Valgustus. 2010. aasta

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. jt Algebra 7.M.: Valgustus. 2006

2. Portaal pere vaatamiseks ().

Ülesanne 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, nr 960, art 210;

Ülesanne 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, nr 961, art 210;

Ülesanne 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, nr 962, art 210;

7. klassi matemaatikakursusel puutume esimest korda kokku kahe muutujaga võrrandid, kuid neid uuritakse ainult kahe tundmatuga võrrandisüsteemide kontekstis. Seetõttu langeb silme alt välja terve rida probleeme, mille puhul kehtestatakse võrrandi koefitsientidele teatud tingimused, mis neid piiravad. Lisaks jäetakse tähelepanuta ka sellised ülesannete lahendamise meetodid nagu “Lahenda võrrand naturaal- või täisarvudes”, kuigi ühtse riigieksami materjalides ja sisseastumiseksamitel leidub sedalaadi ülesandeid üha sagedamini.

Millist võrrandit nimetatakse kahe muutujaga võrrandiks?

Näiteks võrrandid 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 või xy = 12 on kahe muutuja võrrandid.

Vaatleme võrrandit 2x – y = 1. See muutub tõeseks, kui x = 2 ja y = 3, seega on see muutuja väärtuste paar vaadeldava võrrandi lahendus.

Seega on mis tahes kahe muutujaga võrrandi lahenduseks järjestatud paaride komplekt (x; y), muutujate väärtused, mis muudavad selle võrrandi tõeliseks arvuliseks võrduseks.

Kahe tundmatuga võrrand võib:

A) on üks lahendus. Näiteks võrrandil x 2 + 5y 2 = 0 on kordumatu lahend (0; 0);

b) on mitu lahendust. Näiteks (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 on 4 lahendust: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) pole lahendusi. Näiteks võrrandil x 2 + y 2 + 1 = 0 pole lahendeid;

G) lahendusi on lõputult palju. Näiteks x + y = 3. Selle võrrandi lahenditeks on arvud, mille summa on 3. Selle võrrandi lahendite hulga saab kirjutada kujul (k; 3 – k), kus k on mis tahes reaalne number.

Peamised meetodid kahe muutujaga võrrandite lahendamiseks on meetodid, mis põhinevad faktoringuavaldistel, täisruudu eraldamisel, ruutvõrrandi omadusi kasutades, piiratud avaldistel ja hindamismeetoditel. Võrrand teisendatakse tavaliselt kujule, millest saab süsteemi tundmatute leidmiseks.

Faktoriseerimine

Näide 1.

Lahendage võrrand: xy – 2 = 2x – y.

Lahendus.

Rühmitame faktoriseerimise eesmärgil terminid:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Igast sulust võtame välja ühise teguri:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1) (y – 2) = 0. Meil ​​on:

y = 2, x – mis tahes reaalarv või x = -1, y – mis tahes reaalarv.

Seega vastuseks on kõik paarid kujul (x; 2), x € R ja (-1; y), y € R.

Mittenegatiivsete arvude võrdsus nulliga

Näide 2.

Lahendage võrrand: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Lahendus.

Rühmitamine:

(9x 2 – 12x + 4) + (4a 2 – 12a + 9) = 0. Nüüd saab iga klambri kokku voltida, kasutades ruudulise vahe valemit.

(3x – 2) 2 + (2a – 3) 2 = 0.

Kahe mittenegatiivse avaldise summa on null ainult siis, kui 3x – 2 = 0 ja 2y – 3 = 0.

See tähendab, et x = 2/3 ja y = 3/2.

Vastus: (2/3; 3/2).

Hindamismeetod

Näide 3.

Lahendage võrrand: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.

Lahendus.

Igas sulus valime täieliku ruudu:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Hindame sulgudes olevate väljendite tähendus.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ja (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, siis võrrandi vasak pool on alati vähemalt 2. Võrdsus on võimalik, kui:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ja (y – 2) 2 + 2 = 2, mis tähendab, et x = -1, y = 2.

Vastus: (-1; 2).

Tutvume teise meetodiga kahe teise astme muutujaga võrrandite lahendamiseks. See meetod seisneb võrrandi käsitlemises kui ruut mõne muutuja suhtes.

Näide 4.

Lahendage võrrand: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Lahendus.

Lahendame võrrandi x ruutvõrrandina. Leiame diskrimineerija:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4 (√y – 2) 2 . Võrrandil on lahendus ainult siis, kui D = 0, st kui y = 4. Asendame y väärtuse algse võrrandiga ja leiame, et x = 3.

Vastus: (3; 4).

Sageli näitavad nad kahe tundmatuga võrrandites piirangud muutujatele.

Näide 5.

Lahendage võrrand täisarvudes: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Lahendus.

Kirjutame võrrandi ümber kujul x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Saadud võrrandi parem pool jagamisel 5-ga annab jäägi 2. Seega x 2 ei jagu 5-ga. arv, mis ei jagu 5-ga, annab jäägi 1 või 4. Seega on võrdsus võimatu ja lahendeid pole.

Vastus: pole juuri.

Näide 6.

Lahendage võrrand: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Lahendus.

Tõstkem esile igas sulus olevad täielikud ruudud:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Võrrandi vasak pool on alati suurem kui 3 või sellega võrdne. Võrdsus on võimalik tingimusel |x| – 2 = 0 ja y + 3 = 0. Seega x = ± 2, y = -3.

Vastus: (2; -3) ja (-2; -3).

Näide 7.

Iga võrrandit rahuldava negatiivse täisarvu (x;y) paari jaoks
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, arvutage summa (x + y). Palun märkige vastuses väikseim summa.

Lahendus.

Valime täielikud ruudud:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4 a + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Kuna x ja y on täisarvud, on ka nende ruudud täisarvud. Kui liidame 1 + 36, saame kahe täisarvu ruutude summaks 37. Seega:

(x – y) 2 = 36 ja (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 ja (y + 2) 2 = 36.

Neid süsteeme lahendades ja arvestades, et x ja y on negatiivsed, leiame lahendid: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Vastus: -17.

Ärge heitke meelt, kui teil on raskusi kahe tundmatuga võrrandite lahendamisega. Veidi harjutades saate hakkama mis tahes võrrandiga.

Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas lahendada kahe muutuja võrrandeid?
Juhendajalt abi saamiseks -.
Esimene tund on tasuta!

blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.

Kahe tundmatuga mittelineaarsed võrrandid

Definitsioon 1. Olgu A mõni arvupaaride komplekt (x; y) . Nad ütlevad, et hulk A on antud numbriline funktsioon z kahest muutujast x ja y , kui on määratud reegel, mille abil seostatakse iga arvupaar hulgast A teatud arvuga.

Kahe muutuja x ja y arvfunktsiooni z määramine on sageli tähistama Niisiis:

Kus f (x , y) – mis tahes funktsioon peale funktsiooni

f (x , y) = kirves+by+c ,

kus a, b, c on antud numbrid.

3. määratlus. Võrrandi (2) lahendamine helista paarile numbrile ( x; y), mille valem (2) on tõeline võrdsus.

Näide 1. Lahenda võrrand

Kuna suvalise arvu ruut on mittenegatiivne, siis valemist (4) järeldub, et tundmatud x ja y rahuldavad võrrandisüsteemi

mille lahenduseks on arvupaar (6; 3).

Vastus: (6; 3)

Näide 2. Lahenda võrrand

Seetõttu on võrrandi (6) lahendus lõpmatu arv arvupaare lahke

(1 + y ; y) ,

kus y on suvaline arv.

lineaarne

4. määratlus. Võrrandisüsteemi lahendamine

helista paarile numbrile ( x; y), kui need asendatakse selle süsteemi igas võrrandis, saadakse õige võrdsus.

Kahest võrrandist koosnevatel süsteemidel, millest üks on lineaarne, on vorm

g(x , y)

Näide 4. Lahenda võrrandisüsteem

Lahendus. Avaldame tundmatu y süsteemi (7) esimesest võrrandist läbi tundmatu x ja asendame saadud avaldise süsteemi teise võrrandiga:

Võrrandi lahendamine

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Seega

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Kahe võrrandi süsteemid, millest üks on homogeenne

Kahest võrrandist koosnevatel süsteemidel, millest üks on homogeenne, on vorm

kus a, b, c on antud numbrid ja g(x , y) – kahe muutuja x ja y funktsioon.

Näide 6. Lahenda võrrandisüsteem

Lahendus. Lahendame homogeense võrrandi

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

käsitledes seda ruutvõrrandina tundmatu x suhtes:

.

Juhul kui x = - 5y, süsteemi (11) teisest võrrandist saame võrrandi

5y 2 = - 20 ,

millel pole juuri.

Juhul kui

süsteemi (11) teisest võrrandist saame võrrandi

,

mille juurteks on arvud y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Leides igale väärtusele y vastava väärtuse x, saame süsteemile kaks lahendust: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Vastus: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Näiteid teist tüüpi võrrandisüsteemide lahendamisest

Näide 8. Lahendage võrrandisüsteem (MIPT)

Lahendus. Toome sisse uued tundmatud u ja v, mida väljendatakse x ja y kaudu valemite järgi:

Süsteemi (12) ümberkirjutamiseks uute tundmatute järgi väljendame esmalt tundmatud x ja y u ja v kaudu. Süsteemist (13) järeldub, et

Lahendame lineaarsüsteemi (14), eemaldades selle süsteemi teisest võrrandist muutuja x. Sel eesmärgil teostame süsteemis (14) järgmised teisendused:

• Jätame süsteemi esimese võrrandi muutmata;
• teisest võrrandist lahutame esimese võrrandi ja asendame süsteemi teise võrrandi saadud erinevusega.

Selle tulemusena muudetakse süsteem (14) samaväärseks süsteemiks

millest leiame

Kasutades valemeid (13) ja (15), kirjutame vormile ümber algse süsteemi (12).

Süsteemi (16) esimene võrrand on lineaarne, seega saame väljendada sellest tundmatut u läbi tundmatu v ja asendada selle avaldise süsteemi teise võrrandiga.

Juhised

Asendusmeetod Avaldage üks muutuja ja asendage see teise võrrandiga. Saate väljendada mis tahes muutujat oma äranägemise järgi. Näiteks väljendage y teisest võrrandist:
x-y=2 => y=x-2Seejärel asendage kõik esimese võrrandiga:
2x+(x-2)=10 Liigutage kõik ilma "x"ta paremale poole ja arvutage:
2x+x=10+2
3x=12 Järgmiseks, et saada x, jagage võrrandi mõlemad pooled 3-ga:
x=4. Niisiis, leidsite "x. Leidke "y. Selleks asendage "x" võrrandis, millest väljendasite "y":
y=x-2=4-2=2
y = 2.

Tehke kontroll. Selleks asendage saadud väärtused võrranditesse:
2*4+2=10
4-2=2
Tundmatud on õigesti leitud!

Võimalus võrrandite liitmiseks või lahutamiseks Vabanege kohe igast muutujast. Meie puhul on seda lihtsam teha y-ga.
Kuna “y”-s on märk “+” ja teises “-”, siis saab teha liitmistoimingu, s.t. murra vasak külg vasakuga ja parem parempoolsega kokku:
2x+y+(x-y)=10+2Teisenda:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Asendage mis tahes võrrandis "x" ja leidke "y":
2*4+y=10
8+y=10
y = 10-8
y=2Esimese meetodiga näete, et need leiti õigesti.

Kui selgelt määratletud muutujaid pole, siis on vaja võrrandeid veidi teisendada.
Esimeses võrrandis on meil "2x" ja teises on meil lihtsalt "x". Selleks, et liitmise ajal x väheneks, korrutage teine ​​võrrand 2-ga:
x-y=2
2x-2y=4 Seejärel lahutage esimesest võrrandist teine:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Pange tähele, et kui sulgu ees on miinus, siis pärast avamist muutke see vastupidiseks:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
leida y=2x, väljendades mis tahes võrrandist, st.
x=4

Video teemal

Vihje 2: kuidas lahendada lineaarvõrrandit kahes muutujas

Võrrand, mis on kirjutatud üldkujul ax+bу+c=0, nimetatakse lineaarvõrrandiks kahega muutujad. Selline võrrand ise sisaldab lõpmatult palju lahendeid, mistõttu ülesannetes täiendatakse seda alati millegagi - mõne teise võrrandi või piiravate tingimustega. Sõltuvalt ülesande poolt pakutavatest tingimustest lahendage lineaarvõrrand kahega muutujad järgneb erineval viisil.

Sa vajad

• - kahe muutujaga lineaarvõrrand;
• - teine ​​võrrand või lisatingimused.

Juhised

Arvestades kahe lineaarse võrrandi süsteemi, lahendage see järgmiselt. Valige üks võrranditest, milles koefitsiendid asuvad muutujad väiksemad ja väljendada üht muutujatest, näiteks x. Seejärel asendage see y-d sisaldav väärtus teise võrrandiga. Saadud võrrandis on ainult üks muutuja y, liigutage kõik osad y-ga vasakule ja vabad paremale. Leidke y ja asendage see mis tahes algse võrrandiga, et leida x.

Kahest võrrandist koosneva süsteemi lahendamiseks on veel üks viis. Korrutage üks võrranditest arvuga nii, et ühe muutuja, näiteks x, koefitsient oleks mõlemas võrrandis sama. Seejärel lahutage üks võrranditest teisest (kui parempoolne külg ei võrdu 0-ga, ärge unustage samamoodi lahutada ka paremad küljed). Näete, et muutuja x on kadunud ja alles on jäänud ainult üks y muutuja. Lahendage saadud võrrand ja asendage leitud väärtus y mis tahes algse võrrandiga. Leia x.

Kolmas viis kahe lineaarvõrrandi süsteemi lahendamiseks on graafiline. Joonistage koordinaatide süsteem ja joonistage graafik kaks sirget, mille võrrandid on teie süsteemis antud. Selleks asendage võrrandis mis tahes kaks x väärtust ja leidke vastav y - need on joonele kuuluvate punktide koordinaadid. Kõige mugavam viis koordinaattelgedega ristumiskoha leidmiseks on lihtsalt asendada väärtused x=0 ja y=0. Ülesanneteks on nende kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.

Kui ülesande tingimustes on ainult üks lineaarvõrrand, siis on sulle antud lisatingimused, mille kaudu saad lahenduse leida. Nende tingimuste leidmiseks lugege probleem hoolikalt läbi. Kui muutujad x ja y tähistavad vahemaad, kiirust, kaalu – seadke vabalt piirid x≥0 ja y≥0. Täiesti võimalik, et x või y peidab õunte arvu jne. – siis saavad väärtused olla ainult . Kui x on poja vanus, on selge, et ta ei saa olla oma isast vanem, seega märkige see probleemi tingimustes.

Allikad:

• kuidas lahendada ühe muutujaga võrrandit

Iseenesest võrrand kolmega teadmata on palju lahendusi, nii et enamasti täiendatakse seda veel kahe võrrandi või tingimusega. Olenevalt sellest, millised on lähteandmed, sõltub suuresti otsuse käik.

Sa vajad

• - kolmest võrrandist koosnev süsteem kolme tundmatuga.

Juhised

Kui kahel süsteemil kolmest on kolmest tundmatust ainult kaks, proovige väljendada mõnda muutujat teistega ja asendada need võrrand kolmega teadmata. Teie eesmärk on sel juhul muuta see normaalseks võrrand tundmatu inimesega. Kui see on , on edasine lahendus üsna lihtne – asendage leitud väärtus teiste võrranditega ja leidke kõik muud tundmatud.

Mõningaid võrrandisüsteeme saab ühest võrrandist teise võrra lahutada. Vaadake, kas on võimalik korrutada ühte või muutujat nii, et kaks tundmatut tühistatakse korraga. Kui selline võimalus on, kasutage seda ära, tõenäoliselt pole järgnev lahendus keeruline. Pidage meeles, et arvuga korrutamisel tuleb korrutada nii vasak kui ka parem pool. Samuti tuleb võrrandite lahutamisel meeles pidada, et lahutada tuleb ka parempoolne pool.

Kui eelmised meetodid ei aidanud, kasutage mis tahes võrrandite lahendamiseks kolmega üldist meetodit teadmata. Selleks kirjuta võrrandid ümber kujul a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Nüüd loo x (A) koefitsientide maatriks, tundmatute maatriks (X) ja vabade maatriks (B). Pange tähele, et korrutades koefitsientide maatriksi tundmatute maatriksiga, saate vabade liikmete maatriksi, st A*X=B.

Leidke maatriks A astmele (-1), leides esmalt , pange tähele, et see ei tohiks olla võrdne nulliga. Pärast seda korrutage saadud maatriks maatriksiga B, mille tulemusena saate soovitud maatriksi X, mis näitab kõiki väärtusi.

Kolmest võrrandist koosnevale süsteemile saab lahenduse leida ka Crameri meetodi abil. Selleks tuleb leida süsteemimaatriksile vastav kolmandat järku determinant ∆. Seejärel leidke järjestikku veel kolm determinanti ∆1, ∆2 ja ∆3, asendades vastavate veergude väärtuste asemel vabade liikmete väärtused. Nüüd leia x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Allikad:

• kolme tundmatuga võrrandite lahendid

Võrrandisüsteemi lahendamine on keeruline ja põnev. Mida keerulisem on süsteem, seda huvitavam on seda lahendada. Kõige sagedamini on keskkooli matemaatikas kahe tundmatuga võrrandisüsteemid, kuid kõrgemas matemaatikas võib muutujaid olla rohkem. Süsteeme saab lahendada mitme meetodi abil.

Juhised

Kõige tavalisem meetod võrrandisüsteemi lahendamiseks on asendamine. Selleks peate väljendama üht muutujat teisega ja asendama selle teisega võrrand süsteemid, seega juhtiv võrrandühele muutujale. Näiteks kui on antud järgmised võrrandid: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Teisest avaldisest on mugav väljendada üht muutujatest, nihutades kõik muu avaldise paremale poole, unustamata muuta koefitsiendi märki: x = 3-y.

Avage sulud: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Asendame saadud väärtuse y avaldisesse: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Esimeses avaldises on kõik liikmed 2, korrutamise jaotusomaduseni võib sulust välja võtta 2: 2*(2x-y-3)=0. Nüüd saab avaldise mõlemat osa selle arvu võrra vähendada ja seejärel väljendada y-na, kuna selle moodulitegur on võrdne ühega: -y = 3-2x või y = 2x-3.

Nii nagu esimesel juhul, asendame selle avaldise teisega võrrand ja saame: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Asendage saadud väärtus avaldisesse: y=2x-3;y=4-3=1.

Näeme, et y koefitsient on väärtuselt sama, kuid märgilt erinev, seega kui need võrrandid liita, saame y-st täielikult lahti: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0;x=2. Asendage x väärtus süsteemi mis tahes kahes võrrandis ja saame y=1.

Video teemal

Bikvadraatne võrrand esindab võrrand neljas aste, mille üldkuju kujutab avaldis ax^4 + bx^2 + c = 0. Selle lahendus põhineb tundmatute asendusmeetodi kasutamisel. Sel juhul asendatakse x^2 teise muutujaga. Seega on tulemuseks tavaline ruut võrrand, mis vajab lahendamist.

Juhised

Lahenda ruut võrrand, mis tuleneb asendamisest. Selleks arvutage esmalt väärtus vastavalt valemile: D = b^2? 4ac. Sel juhul on muutujad a, b, c meie võrrandi koefitsiendid.

Leia bikvadraatvõrrandi juured. Selleks võtke saadud lahenduste ruutjuur. Kui oli üks lahendus, siis on neid kaks - ruutjuure positiivne ja negatiivne väärtus. Kui lahendusi oleks kaks, on bikvadraatvõrrandil neli juurt.

Video teemal

Üks klassikalisi meetodeid lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks on Gaussi meetod. See seisneb muutujate järjestikuses elimineerimises, kui lihtsaid teisendusi kasutav võrrandisüsteem teisendatakse astmeliseks süsteemiks, millest leitakse järjestikku kõik muutujad, alustades viimastest.

Juhised

Esiteks viige võrrandisüsteem sellisele kujule, kus kõik tundmatud on rangelt määratletud järjekorras. Näiteks kõik tundmatud X-id ilmuvad igal real esimesena, kõik Y-d tulevad X-i järel, kõik Z-d tulevad Y-i järel jne. Iga võrrandi paremal küljel ei tohiks olla tundmatuid. Määrake vaimselt iga tundmatu ees olevad koefitsiendid, samuti iga võrrandi paremal küljel olevad koefitsiendid.