MATEMAATIKA
LINEAARALGEBRA JA ANALÜÜTILINE GEOMEETIA
(standardarvutus)
Juhised ja kontrollülesanded
Sest iseseisev tööõpilased
mägede erialad täiskohaga koolitust
Koostanud M. K. Kurchin
Kinnitatud osakonna koosolekul
haridus- ja metoodiline komisjon
erialad 130403
27.04.2009 protokoll nr 10
Säilitatakse elektrooniline koopia
peahoone raamatukogus
GU KuzGTU
| |
see töö teenindab tüüparvutuste kvaliteetset rakendamist esmakursuslaste poolt esimeses akadeemiline semester teema järgi" Lineaaralgebra"Ja" analüütiline geomeetria" Põhiõpikuks on soovitatav kasutada “Kurchin M.K. algebra ja geomeetria inseneridele: õpik”. toetus / Riiklik Ülikool KuzGTU. – Kemerovo, 2004. – 158 lk. Nimelt on antud õpiku järgi etteantud ülesannete lahendustes ära märgitud lõigud iseseisvaks tööks. Juhendis on näide tüüpilise arvutuse (kuuest ülesandest) ja kontrollülesannete täitmisest 36 valiku ulatuses. Lõpus metoodilised juhised Kõigile probleemidele antakse vastused.
Tüüpilise arvutuse näide
Probleem 1. Lahendage süsteem
a) meetod järjestikune elimineerimine tundmatu;
b) determinantide meetod; c) maatriksmeetod.
Lahendus. a) Peaksime (§1) kirjutama süsteemi koefitsientidest välja maatriksi, lisama sellele vabade terminite veeru, mis on mugavuse huvides vertikaalse ribaga eraldatud, ja sooritama kõik teisendused selle laiendatud maatriksi ridadel.
Teisendame selle süsteemi laiendatud maatriksi: 
. Laiendatud maatriksi edasisi teisendusi pole vaja.
Seega jõuame võrrandisüsteemini
või 
omamine ainus lahendus X = –1, y = -2, z = 1.
Esialgne süsteem osutus kindlaks.
b). Meie süsteemi jaoks (§5 ja §6) arvutame välja kõik vajalikud determinandid. Siin:
,
,
,
,
Nüüd leiame selle.
c) Tundmatute koefitsientide maatriks on järgmine:
. Selle determinant D = | A| = 2, nii pöördmaatriks A- 1 on olemas (§44 ja §45) ja
Süsteemi võrrandite vabaliikmete veerumaatriks on: . Süsteemi lahendus on maatriks:
, st.
|
Probleem 2. Kolmnurga tipud asuvad punktides A(–5; 1; 3), B(–5; 4; 7) ja C(5; –4; –7). Leidke kolmnurga raskuskeskme koordinaadid, nurga suurus A ja selle nurga poolitaja suunakoosinused.
Lahendus. Punkti koordinaatide leidmiseks F on kolmnurga raskuskese, pange tähele, et see jagab mediaani BD suhtega 2:1, lugedes ülevalt B, ja punkt D poolitab AD pooleks (§§7-15). Leidke punkti koordinaadid D, mille jaoks kasutame segmendi pooleks jagamiseks valemeid:
Niisiis, 
ja periood F jagab segmendi BD suhtes
.
Punkti koordinaatide leidmine F:
Ja kolmnurga raskuskese on punktis 
Nurga leidmiseks A, tähistame vektoreid (joonis 1)
Ja 
(lõppkoordinaatidest lahutada alguskoordinaadid) ja leida nende pikkused:
Siis 
,
ja nurk ise A võrdub "37,17 kraadiga.
Nurgapoolitajate suunakoosinused A võib leida kahel viisil. Vaatame neid.
1 viis. Poolitaja sisemine nurk kolmnurk jagab vastaskülg osadeks, mis on proportsionaalsed külgnevate külgedega. Selle põhjal järeldame, et punkt K jagab segmendi NE suhtes 
Punkti koordinaatide leidmine K:
|
nii ja poolitaja vektor
Selle pikkus 
2. meetod. Vaatleme vektorite suundades ühikvektorid
Ja 
.
Kui need vektorid liita, siis rööpkülik AMLN on samal ajal romb ja selle diagonaal AL on nurga poolitaja A. Seega 
Leiame selle vektori pikkuse: 
Probleem 3. Arvutage kaugus punktist K(2; –1; –2) tasapinnale R, läbides punkti M 1 (3; –3; –5) ja sirgjoon 
R punktist K.
Lahendus. Antud sirge läbib punkti M 0 (6; 1; 2) paralleelselt vektoriga = (6; 8; –5) (§27, ülesanne 4). Leiame vektori =(–3; –4; –7). Normaaltasandi vektor R vektoritega risti ja , seega võime võtta tavavektorina vektorprodukt vektorid ja .
|
.
Meile on mugavam vektorina võtta, vektor on –19 korda lühem, st = (4; –3; 0). Nüüd paneme kirja punkti läbiva tasandi võrrandi M 1 vektoriga risti:
4(x – 3) – 3(y + 3) = 0, P: 4x – 3y – 21 = 0.
Jääb üle arvutada punkti kaugus K lennukist R:
.
Ja kirjutage üles punktist langenud risti võrrand K lennukile R:
.
Probleem 4. Antud võrrandid X – 2juures – 1 = 0, X + 3juures– 6 = 0 ja 3 X – juures+ 2 = 0 kolmnurga kahest küljest ja mediaanist. Kirjutage võrrandid kolmnurga kolmanda külje ja selle kõrguse kohta, mis on langetatud sellele küljele.
Lahendus. Olgu külgede võrrandid
AB: X – 2juures– 1 = 0 ja B.C.: X + 3juures – 6 = 0.
Leia (§28) tipu koordinaadid B: 
B(3; 1).
Tipu koordinaadid B mediaanvõrrand ei rahulda: 3 3 – 1 – 6 ¹ 0. Olgu mediaan tõmmatud tipust A küljele B.C.. Leia tipu koordinaadid
|
A: 
A(–1; –1).
Leiame nüüd punkti koordinaadid K keskmine ristmik A.K. küljega B.C.:
K: 
K(0; 2).
Punkt C jagab segmendi B.K. väliselt suhtes 
.
Seega C(–3; 3).
Vektor 
, ja külje võrrand A.C. nagu punkti läbimine A, paralleelselt vektoriga, kirjutatakse:
või 2 x + y + 3 = 0.
Kõrgus B.H. läheb ülevalt läbi B ja tavavektorina võid võtta vektori . Seejärel kirjutatakse selle võrrand:
–2(x – 3) + 4(y– 1) = 0 või x – 2y – 1 = 0.
Probleem 5. Läbi punkti IN(8; -3) tõmmake sirgjoon nii, et selle moodustatud kolmnurga ja koordinaattelgede pindala on võrdne ühe ruutühikuga.
Lahendus. Võtame sirgjoone võrrandi lõikude sirgjoone võrrandi kujul, kus A Ja b– sirgjoonega ära lõigatud segmentide väärtused punktis koordinaatteljed(§28).
|
Probleemil on 2 lahendust. Üks sirge L 1 lõikab esimest koordinaatnurka, mille puhul a > 0, b> 0 ja ab> 0. Teine sirgjoon L 2 lõikub kolmanda koordinaatnurgaga, mille puhul a < 0, b < 0 и ab > 0.
Kolmnurga pindala ja kuna meil on igal juhul
Lisaks läbib punkti soovitud sirge IN ja viimaste koordinaadid rahuldavad sirge võrrandi.
Seega on meil süsteem vastavalt probleemi tingimustele olemas
Lahendame selle süsteemi:
Või 
Selle süsteemi lahenduseks on kaks väärtuste paari:
Ja
Seetõttu on nõutavatel sirgjoontel järgmised võrrandid:
|
või x + 2y – 2 = 0;
või 9 x + 32y – 24 = 0.
Vastus: X + 2juures -2 = 0; 9X +32juures –24 = 0.
Probleem 6. Punktist B(4; 0) kiir on suunatud sirgjoone suhtes kaartg nurga all x – 2y
Lahendus. 1). Olgu langev kiir suunatud sirgjooneliselt B.A., seega nurk BAC x – 2y B.A., saadakse vektori pööramisel vastupäeva nurga φ võrra. Kasutame vastupäeva pöörates saadud vektori koordinaatide arvutamise valemeid antud vektor mõne nurga all (§20):
(1)
Vektoriks võib võtta venitatud vektori, s.t. Valemid (1) on siis järgmisel kujul:
või ülesande andmetega 
.
Leiame sirge võrrandi AB, läbides punkti B ja millel on normaalne vektor (§28):
4(x – 4) –3(y–0) = 0 või 4 x – 3y = 16.
Punkti koordinaatide leidmine A: 
Peegeldunud kiire puhul saab normaalvektori, pöörates vektorit sama nurga φ võrra, kuid nüüd päripäeva. Asendades teisendatud vektori koordinaatide arvutamise valemites nurga φ nurgaga –φ, saame süsteemi:
või ülesande andmetega 
Vektori koordinaatide määramiseks täisarvudena võtke vektor 
. Seejärel kirjutatakse peegeldunud kiire võrrand:
0(x – 10) – 5(y– 8) = 0 või y = 8.
2). Olgu nüüd langev kiir suunatud sirgjooneliselt B.C., seega nurk B.C.A. on võrdne φ = arctan. Antud sirge normaalvektor x – 2y+ 6 = 0 tuleb ka vektor, langeva kiire normaalvektor on sirge B.C., saadakse vektori pööramisel vastupäeva nurga π – φ võrra, mis on kuni suuna valikuni võrdne vektori päripäeva pööramisega nurga φ võrra. Kuid see on lihtsalt vektor . Juhtumi kiirte võrrand B.C. registreerun: 0( x – 4) – 5(y– 0) = 0 või y= 0. Siis KOOS(–6; 0) ja peegeldunud kiire puhul on normaalvektor . Lõpuks kirjutatakse peegeldunud kiire võrrand: 4( x + 6) – 3(y– 0) = 0 või 4 x – 3y + 24 = 0.
Vastus: 1) y = 8; 2) 4x – 3y + 24 = 0.
1. Lineaaralgebra.
Lahendage süsteem lineaarvõrrandid a) tundmatute järjestikuse välistamise meetodil; b) determinantide meetod; c) maatriksmeetod.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 23. 24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
33. 
34. 
35. 
36. 
2. Vektoralgebra.
Kolmnurga tipud asuvad punktides A, IN Ja KOOS. Leia kolmnurga raskuskeskme koordinaadid, nurgapoolitaja suunakoosinused A ja selle nurga suurus.
| valik | ||||||
| A | –4;–2;–4 | –4; 2; –2 | –1; 2; –8 | –6; 3; –2 | –8; 2; –4 | –3; –2; –2 |
| B | –3; 2; 4 | 4; –6; 2 | –3; –6; 8 | –6; 6; 2 | –7; 6; 4 | 4; 2; 2 |
| C | 4; 2; 4 | –2; 6; 2 | 3; 6; –1 | 6; –6; –2 | 8; –6; –2 | –1; 2; 2 |
| valik | ||||||
| A | 2; –1; –1 | –5; 3; –2 | 7; 2; 0 | –1; 3; –5 | –8; 2; –3 | 5; –6; –4 |
| B | 1; –3; –3 | 6; –7; –4 | –7; –6; –8 | 1; 7; –1 | –4; 6; 4 | –5; 5; –6 |
| C | –2; 3; –3 | –2; 9; 4 | 8; 6; 8 | 1; –7; 6 | 8; –6; –5 | 5; 0; 4 |
| valik | ||||||
| A | 4; –1; 4 | –6; –4; 2 | –2; 1; –1 | 6; –3; –4 | 4; 5; 0 | 3; –2; –1 |
| B | –4;–3;–12 | –8; 0; 6 | 2; –3; 1 | –10;–5; 4 | 5; 9; 8 | 5; 2; 3 |
| C | 5; 3; 12 | 8; 4; –6 | –1; 3; 1 | 10; 5; 4 | –4;–9;–8 | –5; 2; –2 |
| valik | ||||||
| A | 5; 2; 1 | –6;–6;–3 | 1; –8; –4 | –6; 1; –2 | –1;–4;–8 | –7;–4;–3 |
| B | –9;–6;–7 | –3; 0; 3 | –1; 8; 4 | –4; 5; 2 | 1; 4; 8 | –3; 4; 5 |
| C | 9; 6; 8 | 6; 6; 3 | 2; –4; 4 | 6; –5; 2 | 0;–2;–6 | 7; 4; 5 |
| valik | ||||||
| A | 4; 2; –7 | –1;–4;–8 | 0;–3;–4 | 5; –1; 4 | –1; –8; 1 | 3; –3; 1 |
| B | 5; 6; 1 | 1; 4; 8 | 3; –3; 0 | 6; 1; 6 | –3; 8; –7 | 7; 5; 9 |
| C | –4; –6; 7 | 1; 0; –4 | 0; 3; 4 | –6; 1; –6 | 3; –4; 8 | –7;–5;–10 |
| valik | ||||||
| A | –5;–6;–4 | –1; 4; 3 | 4; –8; –4 | 3; 1; –2 | –2; 2; –6 | –8;–1;–4 |
| B | 4; 6; –4 | 1; –7; –7 | 5; –4; 4 | –4; –3; 2 | 2; 6; 1 | –7; 3; 4 |
| C | –4; –2; 4 | –1; 7; 7 | –4; 8; –2 | 4; 3; 0 | –2; –7; 6 | 8; –3; 4 |
3. Tasapind ja sirgjoon ruumis.
1. Arvutage kaugus punktist K(–5; 3; –2) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (3; 2; 4) paralleelselt vektoriga 
ja risti tasapinnaga 4 x + y – 3z – 7 = 0, R punktist K.
2. Arvutage kaugus punktist K(1; –1; 4) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (–2; –5; 3) sirgjoonega risti 
ja kirjutage üles tasapinnale langetatud risti võrrandid R punktist K.
3. Arvutage kaugus punktist K(–3; 0; 1) tasapinnale R, läbides liini 
paralleelselt vektoriga 
ja kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
4. Arvutage kaugus punktist K(1; 1; 5) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (2;–1;–3) risti kahe tasandiga 5 x – 2y + 12z+ 4 = 0 ja 10 x + 7y + 24z R punktist K.
5. Arvutage kaugus punktist K(2; 5; 3) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (–4; 3; –1) paralleelselt kahe sirgega 
Ja 
ja kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
6. Arvutage kaugus punktist K(4; –1; –2) tasapinnale R, läbides liini 
risti tasapinnaga –4 x + 7z+ 3 = 0 ja kirjutage üles tasapinnale langetatud risti võrrandid R punktist K.
7. Arvutage kaugus punktist K(4; 1; 3) tasapinnale R läbides kahte punkti M 1 (5; 3; –4) ja M 2 (–8; 4; 8) R punktist K.
8. Arvutage kaugus punktist K(4; –5; –2) tasapinnale R 
Ja 
ja kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
9. Arvutage kaugus punktist K(1; –2; 3) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (4; –3; 1) paralleelselt kahe vektoriga 
R punktist K.
10. Arvuta kaugus punktist K(1; –1; 0) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (5; 2; –2) ja sirge ning kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
11. Arvuta kaugus punktist K(2; –1; –2) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (2; –4; 0) paralleelselt vektoriga 
ja tasapinnaga risti y + 3z R punktist K.
12. Arvuta kaugus punktist K(3; 1; 2) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (–4; –5; 1) sirgjoonega risti 
ja kirjutage üles tasapinnale langetatud risti võrrandid R punktist K.
13. Arvuta kaugus punktist K(2; –3; 4) tasapinnale R, läbides liini 
paralleelselt vektoriga 
ja kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
14. Arvuta kaugus punktist K(–3; 4; –8) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (–1; 3; –5) risti kahe tasandiga 4 x – 2y + 3z– 1 = 0 ja 5 x + z+ 9 = 0 ja kirjutage üles tasapinnale langetatud risti võrrandid R punktist K.
15. Arvuta kaugus punktist K(7; 2; 5) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (3; –2; 11) paralleelselt kahe sirgega 
Ja 
ja kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
16. Arvuta kaugus punktist K(3; 1; 6) tasapinnale R, läbides liini 
risti tasapinnaga –8 x + 3y + 5z– 1 = 0 ja kirjutage üles tasapinnale langetatud risti võrrandid R punktist K.
17. Arvuta kaugus punktist K(3; 6; –6) tasapinnale R läbides kahte punkti M 1 (2; 4; –5) ja M 2 (2; 5; –6) paralleelselt vektoriga 
ja kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
18. Arvuta kaugus punktist K(–2; –1; 7) tasapinnale R läbides kahte paralleelset sirget 
Ja 
ja kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
19. Arvuta kaugus punktist K(2; 1; 6) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (–1; –4; 8) paralleelselt kahe vektoriga 
Ja 
ja kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
20. Arvutage kaugus punktist K(1; 3; 1) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (5;2;–2) ja sirgjoon 
ja kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
21. Arvuta kaugus punktist K(6; 3; 3) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (4; –3; 5) paralleelselt vektoriga 
ja risti tasapinnaga 7 x + 4y + 3z– 2 = 0 ja kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
22. Arvuta kaugus punktist K(–3; 5; 3) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (–3; 1; 2) sirgjoonega risti 
ja kirjutage üles tasapinnale langetatud risti võrrandid R punktist K.
23. Arvuta kaugus punktist K(1; –2; 4) tasapinnale R, läbides liini 
paralleelselt vektoriga ja kirjutage üles tasapinnale langetatud risti võrrandid R punktist K.
24. Arvuta kaugus punktist K(7; 2; 5) tasapinnale R, läbides punkti M x + 3y – 4z+ 8 = 0 ja y + z R punktist K.
25. Arvuta kaugus punktist K(–1; 4; –3) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (4; –5; –2) paralleelselt kahe sirgega 
Ja 
ja kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
26. Arvuta kaugus punktist K(–1; –1; –9) tasapinnale R, läbides liini 
tasandiga risti 3 x + z+ 4 = 0 ja kirjutage üles tasapinnale langetatud risti võrrandid R punktist K.
27. Arvuta kaugus punktist K(–6; –1; –4) tasapinnale R läbides kahte punkti M 1 (–1; 2; –6) ja M 2 (4; –1; 2) paralleelselt vektoriga 
ja kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
28. Arvuta kaugus punktist K(2; 3; –3) tasapinnale R läbides kahte paralleelset sirget 
Ja 
ja kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
29. Arvuta kaugus punktist K(–2; 3; –1) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (1; –2; 3) paralleelselt kahe vektoriga 
ja , ning kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
30. Arvuta kaugus punktist K(0; –1; –2) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (3; –3; –5) ja otsene 
ja kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
31. Arvuta kaugus punktist K(0; 2; –1) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (–1; 1; –2) paralleelselt vektoriga 
ja risti tasapinnaga 2 x + 5y+ 6 = 0 ja kirjutage üles tasapinnale langetatud risti võrrandid R punktist K.
32. Arvuta kaugus punktist K(2; 4; 1) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (5; 2; –4) sirgjoonega risti 
ja kirjutage üles tasapinnale langetatud risti võrrandid R punktist K.
33. Arvuta kaugus punktist K(4; –2; 3) tasapinnale R, läbides liini 
paralleelselt vektoriga ja kirjutage üles tasapinnale langetatud risti võrrandid R punktist K.
34. Arvuta kaugus punktist K(7; 2; –4) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (2; –4; 1) risti kahe tasandiga 4 x + 3y – 4z+ 8 = 0 ja y + z– 3 = 0 ja kirjutage üles tasapinnale langetatud risti võrrandid R punktist K.
35. Arvuta kaugus punktist K(–3; –2; –5) tasapinnale R, läbides punkti M 0 (1; 4; –3) paralleelselt kahe sirgega 
ja , ning kirjutage üles tasapinnale langenud risti võrrandid R punktist K.
36. Arvuta kaugus punktist K(2; –4; 1) tasapinnale R, läbides liini 
risti tasapinnaga 7 x – 4y– 3 = 0 ja kirjutage üles tasapinnale langetatud risti võrrandid R punktist K.
4. Otse lennukis.
1. Antud võrrandid 2 X + 7juures– 4 = 0 ja 4 X – 5juures+ 30 = 0 rööpküliku ja punkti kahe kõrvutise küljega M(–6; 5) selle diagonaalide lõikepunkt. Kirjutage rööpküliku kahe ülejäänud külje ja diagonaalide võrrandid.
2. Koostage rombi külgede võrrandid ja arvutage nende tippude koordinaadid, teades üht selle tippu A(6; –1), punkt O(0; 1) diagonaalide ja punkti ristumiskoht F(2; 3) ühel küljel.
3. Ristkülikuna ABCD võrrandid on antud X + 3juures– 17 = 0 ja X + 3juures+ 3 = 0 selle kahest küljest ja võrrandist X + 7juures– 37 = 0 diagonaal. Leidke ristküliku kahe ülejäänud külje ja teise diagonaali võrrandid.
4. Antud kaks KOOS(–3; 2) ja D(1; 4) rööpküliku külgnevad tipud ABCD ja periood K(0; –1) selle diagonaalide lõikepunkt. Kirjutage kõigi külgede võrrandid ja tipust tõmmatud kõrgus A küljele Päike rööpkülik.
5. Arvutage tippude koordinaadid ja kirjutage üles rombi külgede võrrandid, kui võrrandid on teada X – 7juures+ 38 = 0 ja X – 7juures+ 8 = 0 selle kahest küljest ja võrrandist X – 2juures+ 8 = 0 ühest selle diagonaalist.
6. Antud kaks tippu IN(3; 7) ja KOOS(–11; –7) kolmnurk ja punkt R(4; 3) selle kõrguste ristumiskoht. Koostage kolmnurga kolmandast tipust tõmmatud külgede ja mediaani võrrandid.
7. Kolmnurgas ABC antud: külgvõrrand AB: X + juures+ 1 = 0 ja kahe kõrguse võrrandid: AN: 3X – 8juures+ 3 = 0 ja VK: 3X + 2juures+ 9 = 0. Kirjutage mediaani võrrand, mis on tõmmatud antud külje vastas olevast tipust.
8. Leidke tippude koordinaadid ja looge võrrandid kolmnurga külgedele, teades üht selle tippu A(1; 3) ja võrrandid 4 X + 7juures– 1 = 0 ja X – 4juures– 13 = 0 kaks kõrgust. Kirjutage üles selle kolmanda kõrguse võrrand.
9. Antud võrrandid X – 2juures – 4 = 0, 5X – juures+ 7 = 0 ja X + juures– 1 = 0 kolmnurga ja mediaani kahest küljest. Kirjutage võrrandid kolmnurga kolmanda külje ja selle kõrguse kohta, mis on langetatud sellele küljele.
10. Koostage võrrandid kolmnurga külgede jaoks, teades üht selle tippu IN(–1; 5), samuti kõrgusvõrrandid 3 X + juures+ 5 = 0 ja mediaan 3 X + 2juures+ 4 = 0 ühest tipust tõmmatud.
11. Looge rombi külgede võrrandid ja arvutage nende tippude koordinaadid, teades üht selle tippu IN(2; 1), punkt S(3; 3) diagonaalide ja punkti ristumiskoht R(1; 2) ühel küljel (läbib tippu IN).
12. Antud võrrandid X + 3juures + 7 = 0, 3X – 8juures+ 4 = 0 ja 4 X – 5juures– 6 = 0 kolmnurga ja mediaani kahest küljest. Kirjutage võrrandid kolmnurga kolmanda külje ja selle kõrguse kohta, mis on langetatud sellele küljele.
13. Ristkülikuna ABCD antud võrrandid 4 X – juures+ 34 = 0 ja 4 X – juures– 17 = 0 selle kahest küljest ja võrrand 7 X + 11juures– 17 = 0 diagonaal. Leidke ristküliku kahe ülejäänud külje ja teise diagonaali võrrandid.
14. Antud kaks tippu KOOS(–4; –4) ja A(3; –3) kolmnurgad ja punkt K(–1; 5) selle kõrguste ristumiskoht. Koostage kolmnurga kolmandast tipust tõmmatud külgede ja mediaani võrrandid.
15. Antud kaks D(4; 1) ja A(–2; 3) rööpküliku külgnevad tipud ABCD ja periood R(1; 0) selle diagonaalide lõikepunkt. Kirjutage kõigi külgede võrrandid ja tipust tõmmatud kõrgus IN küljele CD rööpkülik.
16. Leidke tippude koordinaadid ja koostage võrrandid kolmnurga külgedele, teades üht selle tippu IN(–3; 4) ja võrrandid X – 5juures+ 4 = 0 ja 4 X – 3juures+ 5 = 0 kaks kõrgust. Kirjutage üles selle kolmanda kõrguse võrrand.
17. Arvutage tippude koordinaadid ja kirjutage üles rombi külgede võrrandid, kui võrrandid on teada 13 X – juures+ 28 = 0 ja 13 X – juures– 108 = 0 selle kahest küljest ja võrrand 3 X + 5juures– 4 = 0 ühest selle diagonaalist.
18. Koosta võrrandid kolmnurga külgedele, teades selle üht tippu KOOS(5; 2), samuti kõrgusvõrrandid 2 X – juures– 2 = 0 ja mediaanid X – juures= 0, tõmmatud ühest tipust.
19. Antud võrrandid 2 X + juures+ 5 = 0 ja 4 X + 7juures= 0 rööpküliku ja punkti kahe kõrvutise küljega M(1; –2) selle diagonaalide lõikepunkt. Kirjutage rööpküliku kahe ülejäänud külje ja diagonaalide võrrandid.
20. Kolmnurgas ABC antud: külgvõrrand Päike: 7X – 2juures+ 13 = 0 ja kahe kõrguse võrrandid: SR: 5X + 2juures– 1 = 0 ja BR: 3X – 5juures– 11 = 0. Kirjutage antud külje vastas olevast tipust tõmmatud mediaani võrrand.
21. Ristkülikus ABCD võrrandid on antud X – juures+ 2 = 0 ja X – juures+ 6 = 0 selle kahest küljest ja võrrand 3 X – 7juures+ 26 = 0 diagonaal. Leidke ristküliku kahe ülejäänud külje ja teise diagonaali võrrandid.
22. Antud kaks tippu A(–10; 8) ja IN(11; 1) kolmnurk ja punkt N(5; –7) selle kõrguste ristumiskoht. Koostage kolmnurga kolmandast tipust tõmmatud külgede ja mediaani võrrandid.
23. Antud kaks A(2; –4) ja IN(4; 2) rööpküliku külgnevad tipud ABCD ja periood O(1; –1) selle diagonaalide lõikepunkt. Kirjutage kõigi külgede võrrandid ja tipust tõmmatud kõrgus KOOS küljele AD rööpkülik.
24. Leidke kolmnurga tippude koordinaadid ja koostage võrrandid kolmnurga külgedele, teades üht ja selle tippe KOOS(–2; –4) ja võrrandid 6 X + 5juures– 16 = 0 ja X + 2juures– 6 = 0 kaks kõrgust. Kirjutage üles selle kolmanda kõrguse võrrand.
25. Arvutage tippude koordinaadid ja kirjutage üles rombi külgede võrrandid, kui võrrandid on teada X + 4juures+ 9 = 0 ja X + 4juures– 21 = 0 selle kahest küljest ja võrrandist X – juures– 1 = 0 selle ühest diagonaalist.
26. Koosta võrrandid kolmnurga külgedele, teades selle üht tippu A(3; –7), samuti kõrgusvõrrandid 2 X + 3juures+ 5 = 0 ja mediaan X + 3juures+ 7 = 0 ühest tipust tõmmatud.
27. Antud võrrandid 3 X – 5juures+ 7 = 0 ja X + 5juures+ 9 = 0 rööpküliku ja punkti kahe kõrvutise küljega R(1; 0) selle diagonaalide lõikepunkt. Kirjutage rööpküliku kahe ülejäänud külje ja diagonaalide võrrandid.
28. Kolmnurgas ABC antud: külgvõrrand AC: X – 3juures– 10 = 0 ja kahe kõrguse võrrandid: AQ: 3 X + juures= 0 ja CM: X – 5juures– 4 = 0. Kirjutage antud külje vastas olevast tipust tõmmatud mediaani võrrand.
29. Koostage rombi külgede võrrandid ja arvutage nende tippude koordinaadid, teades üht selle tippu D(–4; 1), punkt N( 2; – 1) diagonaalide ja punkti ristumiskoht T(–5; –1) ühel küljel.
30. Antud võrrandid X – juures + 4 = 0, 2X + 3juures– 17 = 0 ja juures– 3 = 0 kolmnurga kahest küljest ja mediaanist. Kirjutage võrrand kolmnurga kolmanda külje jaoks ja selle kõrgus langes sellele küljele.
31. Antud kaks IN(–3; 1) ja KOOS(1; –4) rööpküliku külgnevad tipud ABCD ja periood N(2; 2) selle diagonaalide ristumiskoht. Kirjutage kõigi külgede võrrandid ja tipust tõmmatud kõrgus D küljele AB rööpkülik.
32. Leidke kolmnurga tippude koordinaadid ja koostage võrrandid kolmnurga külgedele, teades üht selle tippu A(3; –3) ja võrrandid 7 X – 4juures+ 2 = 0 ja X – 7juures+ 11 = 0 kaks kõrgust. Kirjutage üles selle kolmanda kõrguse võrrand.
33. Arvutage tippude koordinaadid ja kirjutage üles rombi külgede võrrandid, kui võrrandid on teada X – 8juures+ 11 = 0 ja X – 8juures– 49 = 0 selle kahest küljest ja võrrand 2 X – juures– 8 = 0 ühest selle diagonaalist.
34. Koostage võrrandid kolmnurga külgede jaoks, teades selle üht tippu IN(–9; –6), samuti kõrgusvõrrandid 4 X + juures+ 13 = 0 ja mediaan 2 X – juures+ 5 = 0 ühest tipust tõmmatud.
35. Antud võrrandid 7 X + 4juures+ 63 = 0 ja 3 X + 10juures+ 27 = 0 rööpküliku ja punkti kahe kõrvutise küljega K(–2; –5) selle diagonaalide lõikepunkt. Kirjutage rööpküliku kahe ülejäänud külje ja diagonaalide võrrandid.
36. Kolmnurgas ABC antud: külgvõrrand AB: X + juures+ 2 = 0 ja kahe kõrguse võrrandid: AN: 4X + juures+ 11 = 0 ja ВD: 6X – juures+ 5 = 0. Kirjutage mediaani võrrand, mis on tõmmatud antud külje vastas olevast tipust.
5. Segmentides sirgjoone võrrand.
Läbi punkti KOOS tõmmake sirgjoon nii, et selle moodustatud kolmnurga ja koordinaattelgede pindala on võrdne S ruutühikud.
| valik | |||||||||
| KOOS | –8; –9 | 2; –2 | 8; 3 | –4; 2 | 1; 2 | 6; 1 | –4; –5 | 9; –4 | –8; 6 |
| S, ruut ühikut | 1,5 | ||||||||
| valik | |||||||||
| KOOS | 4; 3 | 2; –3 | 2; –9 | –3; 8 | 6; 6 | 5; –6 | –2; 2 | 4; 4 | –3; 2 |
| S, ruut ühikut | 1,5 | 7,5 | 1,5 | ||||||
| valik | |||||||||
| KOOS | 2; 4 | –8; 1 | –6; –2 | 8; –5 | 1; –4 | 4; 6 | 4; –1 | 6; 8 | –2; –6 |
| S, ruut ühikut | |||||||||
| valik | |||||||||
| KOOS | 8; –1 | –4; 3 | –8; –2 | 5; –4 | 6; 5 | –5; –8 | 3; 2 | 8; 3 | 4; –2 |
| S, ruut ühikut | 7,5 |
6. Pöörake vektorit nurga võrra.
1. Antud on ruudu kahe külje võrrandid: x – 3y+ 8 = 0 ja x – 3y– 2 = 0. Kirjutage üles võrrandid selle kahe teise külje jaoks, eeldusel, et punkt A(–6, –6) asub selle ruudu küljel.
2. Punkt B(1; 4) on ruudu tipp, mille diagonaal asub joonel 3 x – 4y– 12 = 0. Leia ruudu ülejäänud tippude koordinaadid.
3. B täisnurkne kolmnurk tipus KOOS(4; –1) teravnurk võrdne arctaaniga 3 ja Eq. vastasjalg 2x + y– 2 = 0. Leidke ristküliku ülejäänud tippude koordinaadid.
4. Antud kaks vastassuunalised tipud ruut A(5; 1) ja KOOS(–4; 2). Leidke ülejäänud kahe tipu koordinaadid ja kirjutage ruudu diagonaalide võrrandid.
5. Punktist F(0; –4) kiir on suunatud sirge 2 suhtes nurga all arctan2 x – y+ 6 = 0. Leidke sellelt sirgelt peegelduva kiire võrrand.
6. Punkt KOOS(–4, –5) on ruudu tipp, mille üks külgedest asub sirgel x – 2y+ 4 = 0. Leia ruudu ülejäänud tippude koordinaadid.
7. Leia ristküliku tippude koordinaadid võrdhaarne kolmnurk, teades hüpotenuusi 2 võrrandit x – 3y– 5 = 0 ja ülevalt täisnurk A(–1; 2).
8. Antud ruudu kahe külje võrrandid x + 2y– 9 = 0 ja x + 2y+ 6 = 0. Kirjutage üles võrrandid selle kahe teise külje jaoks, eeldusel, et punkt F(–4; 4) asub selle ruudu küljel.
9. Punkt KOOS(2; 5) on ruudu tipp, mille diagonaal asub sirgel 2 x + 3y– 6 = 0. Leia ruudu ülejäänud tippude koordinaadid.
10. Täisnurkses kolmnurgas tipus A(–9; 5) teravnurk võrdub arctan5 ja vastasjala võrrandiga x + 2y+ 4 = 0. Leidke ristküliku ülejäänud tippude koordinaadid.
11. Antud on ruudu kaks vastandlikku tippu IN(–3; 1) ja D(3; 3). Leidke ülejäänud kahe tipu koordinaadid ja kirjutage ruudu diagonaalide võrrandid.
12. Punktist N(–8; 8) nurga all arktaan4 sirge 3 suhtes x – 2y– 12 = 0 kiir on suunatud. Leidke sellelt sirgelt peegelduva kiire võrrand.
13. Punkt D(–5; 1) on ruudu tipp, mille üks külgedest asub sirgel x + 2y– 7 = 0. Leia ruudu ülejäänud tippude koordinaadid.
14. Leidke täisnurkse võrdhaarse kolmnurga tippude koordinaadid, teades hüpotenuusi 2 võrrandit x + 3y= 0 ja täisnurga tipp IN(3; 5).
15. Antud on ruudu 4 kahe külje võrrandid x + y+ 33 = 0 ja 4 x + y– 18 = 0. Kirjutage üles võrrandid selle kahe teise külje jaoks, eeldusel, et punkt N(–1; 5) asub selle ruudu küljel.
16. Punkt D(–8, –5) on ruudu tipp, mille diagonaal asub joonel 3 x + 5y+ 15 = 0. Leia ruudu ülejäänud tippude koordinaadid.
17. Täisnurkses kolmnurgas tipus IN(5; 1) teravnurk on võrdne arctan2 ja vastaskülje võrrand on 2 x – y+ 6 = 0. Leidke kolmnurga ülejäänud tippude koordinaadid.
18. Antud on ruudu kaks vastandlikku tippu KOOS(6; 2) ja A(–5; 3). Leidke ülejäänud kahe tipu koordinaadid ja kirjutage ruudu diagonaalide võrrandid.
19. Punktist R(1; 4) kiir on suunatud sirgjoone suhtes nurga all x + 3y– 3 = 0. Leidke sellelt sirgelt peegelduva kiire võrrand.
20. Punkt A(2; 4) on ruudu tipp, mille üks külgedest asub joonel 7 x + 5y+ 40 = 0. Leia ruudu ülejäänud tippude koordinaadid.
21. Leidke täisnurkse võrdhaarse kolmnurga tippude koordinaadid, teades hüpotenuusi võrrandit 11 x – 5y– 13 = 0 ja täisnurga tipp KOOS(6; –4).
22. Antud on ruudu 2 kahe külje võrrandid x – 5y– 45 = 0 ja 2 x – 5y+ 13 = 0. Kirjutage üles võrrandid selle kahe teise külje jaoks, eeldusel, et punkt R(3; –2) asub selle ruudu küljel.
23. Punkt A(–1, –4) on ruudu tipp, mille diagonaal asub
1. 137 ruutmeetrit ühikut 2,10; 20. 3. 4. 
,
,
.
5. 
Ja 
6. 
,
,
.
7. 
,
,
,
.
8. 
,
,
. 9.1) ring, mille keskpunkt on poolusel ja mille raadius on 6. 2) poolusest väljuv kiir, mis on polaartelje suhtes nurga all . 3) polaarteljega risti olev sirgjoon, mis lõikab sellelt lõigu, lugedes poolusest 
. 4) sirgjoon, mis asub ülemises pooltasandis, paralleelselt polaarteljega, mis on sellest vahemaa kaugusel 6. 5) ring keskpunktiga 
ja raadius 3. 6) ring keskpunktiga 
ja raadius 1. 10. ellips 
,
,
,
,
. 11. hüperbool 
.
,
,
. 12. hüperbool 
. 13. parabool: b) c) 
14. a) -7, b) -21, c) -139, d) -2. 15. 
.
16. 
.
17. 
,
,
,
.
18. -2. 19. -2. 20. 
.
21. 
.
22. 
,
.
23. 
,
.
24. 
,
.
25.
.
26. 
.
27. -29. 28. 
- paremal kolm. 29. 
kuubik ühikut 30. - 6.
31. .
32. .
33. .
34. 
.
35. 
.
36. 
.
37. 
Ja 
..
38. 
.
39. 
.
40. 
.
41. 
.
42. 
.
43. 
.
44. 
.
45. 1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) ,
5) 
.
47. 
,
.
48. 
, Kus 
.
49. 
,
,
,
. 50. a) 
, b) 
.
51. 
,
,
.
52. a) jah, b) ei. 53. 
- mis tahes number. 54. jah. 55. a) projektsioon tasapinnale U
, b) peegeldus telje suhtes 
. 56. Operaator 
lineaarne;
– selle maatriks aluses 
.
57. 
,
,
.
58. Omaväärtused: 
,
,
, omavektorid: jaoks 
,
, Kus 
; Sest 
,
, Kus 
; Sest 
,
Kus 
.
VARIANT nr 23
ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA TASAKONDIL: ANALÜÜTILISE GEOMEETIA LIHTSAADUSED TASANDIL; OTSE LENNUKILE; TEISE KORDA READ LENNUKIS
1. Antud ruudu kaks kõrvuti asetsevat tippu A(2, 1) ja IN(6, -1). Arvutage selle pindala.
2. Antud kolm tippu A(4, -6), IN(6, -6), KOOS(-1, 6) rööpkülik ABCD, neljas tipp D vastupidine IN. Määrake selle rööpküliku diagonaalide pikkus.
3. Leidke punkti koordinaadid M 1 , sümmeetriline punkt M 2 (0, 1) punkte läbiva sirge suhtes A(8, 2), IN(5, 0).
4. Antud kolmnurga tipud A(4, 1), IN(1, –1), KOOS(5, 2). Kirjutage selle kõrguste võrrand.
5. Punktidega piiratud lõik A(7, 10) ja IN(13, 13), jagatud kolmeks võrdseks osaks. Määrake jaotuspunktide koordinaadid.
6. Antud kaks tippu A(–5, 2) ja IN(3, –2) kolmnurk ABC ja periood N(2, 2) selle kõrguste ristumiskoht. Kirjutage üles selle kolmnurga külgede võrrandid.
7. Punkt A(–2, 5) on ruudu tipp, mille diagonaal asub sirgel 
. Kirjutage üles selle ruudu külgede võrrandid.
8. Koostage kolmnurga külgede võrrandid ABC,
kui üks tippudest on antud A(2, 8) ja kahe mediaani võrrandid 
,
.
Märge. Veenduge, et punkt A
ja periood A
. Lase 
Ja 
- mediaanidel paiknevad kolmnurga tipud 
Ja 
ja punktid 
Ja 
- segmentide keskpunktid AB Ja AC vastavalt. Järgmiseks tuleb leida tippude koordinaadid IN Ja KOOS kolmnurk. Alates punktidest M Ja KOOS leba mediaanil 
, See 
. Siis suhtest 
leida 
; numbrilise väärtuse edasine asendamine 
võrrandisse 
, leia 
. Siis teades 
Ja 
, leia 
valemi järgi 
. Järgmisena asendage arvväärtus 
võrrandisse 
, leia 
. Teades 
Ja 
, suhtest 
leida 
. Lõpuks, teades kolmnurga kõigi tippude koordinaate, leidke selle külgede üldvõrrandid.
9. Määrake, millised sirged on polaarkoordinaatides määratud järgmiste võrranditega (konstrueerige need joonisele):
A) 
; b) 
; V) 
; G) 
;
d) 
; e) 
.
10. Määrake, milline sirge on võrrandiga määratud. Leidke selle keskpunkti, pooltelje, ekstsentrilisuse koordinaadid. Tee joonistus.
11. Kirjutage hüperbooli võrrand ja leidke selle keskpunkti ja pooltelje koordinaadid, kui on teada, et hüperbooli vasak tipp asub ellipsi paremas fookuses: , samas kui hüperbooli parem tipp asub punktis parabooli tipp 
, on hüperbooli ekstsentrilisus võrdne 
.
12. Koostage võrrand sirgest, mille iga punkti jaoks on kaugus punktist A(1, 2) kaks korda kaugemal kui sirgjoonest 
. Määrake, milline rida see on; teha joonis.
13. Sirge on antud võrrandiga 
V polaarsüsteem koordinaadid
Nõutav: a) konstrueerida sirge, kasutades punkte alates 
enne 
ja andes 
väärtused kogu intervalli ulatuses 
;
b) leida selle sirge võrrand Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, mille alguspunkt langeb kokku poolusega ja positiivne pooltelg kattub polaarteljega;
c) määrake saadud võrrandi abil, millise sirgega see on.
Determinandid. Alus ruumis. Vektori koordinaadid
14. Arvutage determinandid:
a) kolmnurga reegli järgi;
b) laiendamine esimese rea elementideks;
c) teise veeru elementideks laiendamine;
d) taandamine kolmnurkseks:
A) 
, b) 
, V) 
, G) 
.
15. Vektorid on antud: 
1 =(3,
-2, 1);
2 =(0,
-1, 3);
3 =(2,
4, 0);
=(-9, 4, 3) mingil alusel. Näidake, et kolm esimest vektorit moodustavad ise aluse ja leidke vektori koordinaadid 
sellel alusel.
3. Lineaartehted vektoritega. Vektori projektsioon teljele. Skalaar, vektor ja vektorite segakorrutis.
16. Leia ühikvektori (orta) koordinaadid 
, vektoriga kaassuunas 
=(7,
-4, 4).
17. Kaks vektorit 
=(6, 2, -3) ja 
=(-1, -2, 2) rakendatakse ühele punktile. Leia koordinaadid:
a) ortov 
Ja 
vektorid 
Ja 
;
b) vektor 
+
;
c) vektor 
, mis on suunatud piki vektorite vahelise nurga poolitajat 
Ja 
tingimusel, et 
.
18. Leia vektori projektsioon 
=(2, 4, 3) vektori suunal 
.
19. Leia vektori projektsioon 
telje kohta, komponent koordinaattelgedega 
Ja 
nurgad 
ja teljega 
nürinurk 
.
20. Antud ruut ABCD
(tippude tähistus võetakse päripäeva), mille külje pikkus on 8. Punkt KOHTA valitakse ruuttasapinnas nii, et 
,
. Otsi 
.
a) tutvustada Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi 
alustades punktist KOHTA nii et telg 
oli suunatud mööda vektorit 
ja telg 
osutage väljaku asukoha poole;
b) pikkuse loendamine 
ruudu diagonaalid, veenduge (kasutades Pythagorase teoreemi), et 
- ristkülikukujuline ( 
), ning seetõttu 
;
c) leida vektori koordinaadid 
, leidke vektorite koordinaadid 
Ja 
(ilmselgelt 
), kasutades võrdsust 
, leidke vektori koordinaadid 
;
d) vektorite koordinaatide tundmine 
Ja 
, leia 
, Kus 
, Ja 
.
21. Vektorid 
(0, -2, -4) ja 
on rööpküliku küljed OASV. Punkt N on külje keskel Päike. Otsi 
.
22. Antud 
2,
3,
. Otsi 
ja vektorite vahelise nurga suurus 
Ja 
, Kui 
.
23. Arvutage vektorkorrutise koordinaadid 
ja selle pikkus 
, Kui 
=(1,
3, 0), 
.
24. Antud kolmnurga tipud ABC: A(1, -1, 2),IN(2, 1, 0) ja KOOS(6, 3, 4). Leidke kolmnurga pindala ja tipust langenud kõrguse pikkus A.
25. Vektor 
, teljega risti 
ja vektor 
(-3, 4, 1) ja moodustab teljega 
terav nurk. Leidke vektori koordinaadid 
, Kui 
15.
26. Leidke vektoritele ehitatud rööpküliku pindala 
Ja 
, Kui 
,
Ja 
.
27. Arvutage vektorite segakorrutis 
,
(1,
-2, 0), 
(-1,
0, 2).
28. Õigel alusel 
vektorid on antud: 
,
,
. Näidake, et need kolm vektorit ei ole tasapinnalised; määrake vektori kolmiku orientatsioon 
.
29. Arvuta püramiidi ruumala, mille tipud A(1, 2, 1), IN(–2, 3, –3), KOOS(1, 3, 3), D(2, 1, -3).
30. Vektor 
vektoritega risti 
Ja 
. Arvutama 
, Kui 
,
,
1,
4 ja need kolm on vektorid 
- lahkus.
4. Analüütiline geomeetria ruumis: tasapind ja sirge ruumis; teist järku pinnad
31. Koostage võrrand tasapinnaga paralleelset punkti M 0 (1, 2, -1) läbiva tasapinna jaoks 
.
32. Koostage võrrand tasapinnale, mis läbib punkti M 0 (3, 4, 0) ja sirget 
.
33. Kirjutage sirget läbiva tasapinna võrrand 
tasapinnaga risti 
.
34. Koostage võrrand tasapinnale, mis läbib kahe tasandiga risti olevat punkti M 0 (3, 0, 2) 
Ja .
35. Leia kaugus 
punktist M 0 (2, 2, -1) tasapinnale.
36. Antud kolmnurga tipud A(2, 2, -1), IN(4, 3, 1), KOOS(2, –3, –2). Koostage selle tipu sisenurga poolitaja kanoonilised võrrandid IN.
37. Teljel 
leida tasapinnast kaugel asuvate punktide koordinaadid 
=2.
38. Koostage joonega paralleelset punkti M 0 (1, 2, –1) läbiva sirge kanoonilised võrrandid, 
,
,
.
39. Leia sirge lõikepunkti koordinaadid 
ja lennukid 
.
40. Leia punkti projektsioon R(3, 3, 0) sirgjoonele 
,
+1,
.
41. Leia punkti koordinaadid K, sümmeetriline punkt R(3, 3, 4) tasapinna suhtes 
.
42. Leia punkti koordinaadid K, sümmeetriline punkt R(5, 2, 4) sirgjoone suhtes 
.
43. Arvuta kaugus 
punktist R(1, -2, -2) sirgjoonele 
.
44. Leidke sirge kanoonilised võrrandid 
, mis läbib tasapinnaga paralleelset punkti M 0 (5, 1, 7) ja lõikub sirgega 
.
Märge. Kasutage toimingute jada:
a) loo tasandi võrrand 
, läbib punkti M 0, paralleelselt tasapinnaga 
;
b) leidke sirge lõikepunkti punkti M 1 koordinaadid 
lennukiga 
(vt ülesanne 39);
c) koostab punkte M 0 ja M 1 läbiva sirge kanoonilised võrrandid.
45. Antud püramiidi tippude koordinaadid A 1 (–1, 3, 3), A 2 (4, 2, 4), A 3 (2, 0, 1), A 4 (3, 3, 5). Leia:
nurk ribide vahel A 1 A 2 Ja A 1 A 4 ;
serva nurk A 1 A 4 ja serv A 1 A 2 A 3 ;
sirge võrrand A 1 A 2 ;
tasapinnaline võrrand A 1 A 2 A 3 ;
5) tipust langenud kõrguse võrrand A 4 äärele A 1 A 2 A 3 .
46. Konstrueerige pindadega piiratud keha eskiis:
A) 
,
,
(
).
b) 
,
,
.
5. Lineaaralgebra elemendid: lineaarvõrrandisüsteemid; maatriksid; lineaarne vektorruum; lineaarsed operaatorid
47. Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem
48. Leia kõik reaalmaatriksid, mis kommuteerivad maatriksiga 
.
49. Leia maatriks kus
A= 
, V= 
, C= 
.
50. Leidke maatriksite järk:
A) 
; b) 
.
51. Antud lineaarvõrrandisüsteem
Tõestage selle ühilduvus ja lahendage see kolmel viisil:
a) Gaussi meetod;
b) maatriksarvutuse abil;
c) Crameri valemite järgi.
52. Kas reaalsed lineaarruumid:
a) vormi kõigi teist järku reaalmaatriksite hulk 
, Kus 
;
b) vormi kõigi teist järku reaalmaatriksite hulk 
, Kus 
.
53. Leia kõik väärtused 
, mille jaoks vektor 
lineaarselt väljendatud vektorites 
, Kui 
=(1,
–2, 
),
=(-1,
-1, -1), 
=(1,
1, 2), 
=(2,
4, 6).
54. Uurige, kas see süsteem vektorid alates 
lineaarselt sõltuv? 
=(1,
2, 0, 1), 
=(2,
1, -1, -1), 
=(1,
2, 2, 2), 
=(3,
3, -1, 0).
55. Leia tavaruumis antud lineaaroperaatorite tegevuse geomeetriline tähendus Ohooz, mille maatriksid on ortonormaalse aluse suhtes 
omama vormi:
A) 
; b) 
.
56. Kosmoses R 2
kõik kraadipolünoomid 
lahke 
, Kus 
operaator 
töötab nii: 
. Tõesta, et operaator 
on lineaarne ja leia selle maatriks baasist 
,
,
.
57. Tavaruumis lineaaroperaator 
peegeldab vektoreid sirgjoone suhtes 
ja lineaaroperaator 
projitseerib vektorid tasapinnale ortogonaalselt 
. Leidke lineaartehte maatriksid 
,
,
alusel 
.
58. Leidke maatriksiga kindlal alusel määratud lineaarse teisenduse omaväärtused ja omavektorid 
.
§ 14. Sirge normaalvõrrand. Punkti ja sirge kauguse määramise probleem
Laske lennukisse xOy sirgjoon on antud. Joonistame selle sirgega risti läbi koordinaatide alguspunkti ja nimetame seda normaalseks. Tähistame
läbi R normaalpunkti lõikepunkti antud sirgega ja seada normaalse positiivse suuna punktist KOHTA asja juurde R.
Kui a on normaalväärtuse polaarnurk, lk- segmendi pikkus (joon. 10), siis saab selle sirge võrrandi kirjutada kujule
xcosα + y patt α - p = 0;
seda tüüpi võrrandit nimetatakse normaalseks.
Olgu antud mõni sirge ja suvaline punkt
Jama. 10 M*; tähistame punkti kaugust d-ga M* sellelt realt. Punktide kõrvalekalle M* realt nimetatakse numbriks +d , Kui antud punkt ja koordinaatide alguspunkt on möödas erinevad küljed antud realt ja - ja kui antud punkt ja alguspunkt asuvad antud sirge samal küljel. (Punktide puhul, mis asuvad kõige sirgemal joonel, = 0.)
Kui on antud x* koordinaadid, y* punktid M* ja sirge normaalvõrrand xcosα + y pattα -p = 0; siis kõrvalekalle https://pandia.ru/text/79/428/images/image003_21.gif" width="15" height="19"> = X*cosα a + y*patt α - R.
Seega, et leida mis tahes punkti M* kõrvalekalle antud sirgest, peate vasak pool Selle sirge normaalvõrrand asendab praeguste koordinaatide asemel punkti koordinaadid M*. Saadud arv võrdub soovitud kõrvalekaldega.
Punkti ja sirge kauguse d leidmiseks piisab, kui arvutada kõrvalekalde ja võtta selle moodul: d =
Kui antakse üldvõrrand sirgjoon Аx+Bу+С=0, siis selle normaalvormi viimiseks tuleb kõik selle võrrandi liikmed korrutada normaliseeriva teguriga μ ., määratletud valemiga
Valitakse normaliseeriva teguri märk vastupidine märk normaliseeritud võrrandi vaba liige.
309. Määrake, millised järgmistest joonvõrranditest on normaalsed:
1) x- y-3 = 0; 2) ET style="color:black">x - y-1 = 0;
3) https://pandia.ru/text/79/428/images/image010_3.gif" width="21" height="41 src="> juures + 2 = 0; 4) -värv:must">+värv:must">- 2 = 0;
5) - X + 2 = 0; 6) X - 2 = 0; 7) juures + 2 = 0; 8) - juures - 2 = 0.
310. Vähendage sirge üldvõrrand normaalkujule igal järgmistel juhtudel:
1) 4X -3juures-10 = 0; 2) x -y+10 = 0;
3) 12X - 5juures + 13 = 0; 4) X + 2 = 0; 5) 2X - juures -= 0.
311. Sirgede võrrandid on antud:
1) X-2 = 0; 2) X + 2 = 0; 3) juures -3 = 0; 4) juures + 3 = 0;
5) x + juures-6 = 0; 6) X-juures+2 = 0; 7) X + juures+2 = 0;
8) x cos b -y sin b - q = 0, q >0; b - teravnurk;
9) x cos b + y sin b + q = 0, q > 0; b - teravnurk.
Määrake normaalse polaarnurk a ja segmentida R iga nende ridade jaoks; saadud parameetrite väärtuste põhjal a Ja R tõmmake need jooned joonisele ( kahel viimasel juhul konstrueerida sirge loendamise teel b = 30° ja q = 2).
312. Arvutage kõrvalekalde suurus d ja vahemaa d punktid sirgjoonelt kõigil järgmistel juhtudel:
1)A(2;-1)) 4X + 3juures+10 = 0;
2) IN(0; - 3), 5X-12juures-23=0;
3) R(-2; 3), 3X -4juures -2 = 0;
4) K(l; -2), X-2juures -5 = 0.
313. Määrake, kas punkt valetab M(1; -3) ja koordinaatide alguspunkt iga järgmise joone ühel või vastasküljel:
1) 2X-juures + 5 = 0; 2) X -3juures -5 = 0; 3) 3X+2juures-1 = 0;
2) X-3juures+ 2 = 0; 5) 10X + 24juures+15 = 0.
314. Punkt A(2; -5) on ruudu pikkus, mille üks külgedest asub sirgel
X - 2juures- 7 = 0.
Arvutage selle ruudu pindala.
315. Antud ristküliku kahe külje võrrandid
3X -2juures - 5 = 0, 2X + 3juures + 7 = 0
ja üks selle tippudest A(-2; 1). Arvutage selle ristküliku pindala.
316. Tõesta, et see on sirge
2X+juures+3 = 0
lõikub punktidega piiratud lõiguga A(-5; 1) ja IN(3; 7).
317. Tõesta, et see on sirge
2X -3juures+6 = 0
ei lõiku sirglõikega piiratud punktidega M1(- 2; -3) ja M2(1; -2).
318. Nelinurga järjestikused tipud on punktid A(-3; 5), IN(- 1; -4), C(7;- 1) ja D(2; 9). Määrake, kas see nelinurk on kumer.
319. Nelinurga järjestikused tipud on punktid A(-1; 6), B(1; -3), KOOS(4; 10) ja D(9; 0). Määrake, kas see nelinurk on kumer.
320. Antud kolmnurga tipud: A(-10; -13), IN(- 2; 3) ja KOOS(2; 1). Arvutage tipust langenud risti pikkus IN tipust tõmmatud mediaanini KOOS.
321. Küljed AB, Päike Ja SA kolmnurk ABC on vastavalt antud võrranditega
X+ 21juures - 22 = 0, 5X- 12juures+ 7 = 0, 4X - 33juures+ 146 = 0.
Arvutage kaugus selle kolmnurga raskuskeskmest küljeni Päike.
322. Arvuta kaugus d paralleelsete joonte vahel kõigil järgmistel juhtudel:
1) 3X -4juures-10 = 0, 2) 5X-12juures + 26 = 0,
6X -8juures+ 5 = 0; 5X-12juures-13 = 0;
3) 4X - 3juures+ 15 = 0, 4) 24X-10juures + 39 = 0,
8X-6juures+ 25 = 0; 12X -2juures -26 = 0.
323. Ruudu kaks külge asetsevad sirgetel
5X- 12juures - 65 = 0, 5X- 12juures + 26 = 0.
Arvutage selle pindala.
324. Tõesta, et sirge
5X- 2juures- 1 = 0
Paralleelselt sirgetega
5X -2juures + 7 = 0, 5X -2juures-9 = 0
ja jagab nendevahelise kauguse pooleks.
325. Antud kolm paralleelset sirget
10X+15juures -3 = 0, 2X+3juures + 5 = 0, 2X+3juures -9 = 0.
Tehke kindlaks, et esimene neist asub kahe teise vahel, ja arvutage suhe, milles see jagab nendevahelise kauguse.
326. Tõesta, et läbi punkti P(2; 7) saab tõmmata kaks sirget nii, et nende kaugused punktist K(l; 2) olid võrdsed 5-ga. Kirjutage üles nende sirgete võrrandid.
327. Tõesta, et läbi punkti R(2; 5) saab tõmmata kaks sirget nii, et nende kaugused punktist oleksid K(5; 1) olid võrdsed 3-ga. Kirjutage üles nende sirgete võrrandid.
328. Tõesta, et läbi punkti KOOS(7; - 2) on võimalik tõmmata ainult üks sirge nii, et selle kaugus punktist A(4; - 6) oli võrdne 5-ga. Koostage selle võrrand.
329. Tõesta, et läbi punkti IN(4; -5) on võimatu tõmmata sirget nii, et selle kaugus punktist WITH(- 2; 3) oli võrdne 12-ga.
330. Tuletage võrrand lookus punktid, mille kõrvalekalle sirgest on 8 X-15juures- 25 = 0 võrdub -2.
331. Kirjutage 3. sirgega paralleelsete sirgete võrrandid X-4juures- 10 = 0 ja asub sellest kaugel d=3.
332. Antud ruudu kaks kõrvuti asetsevat tippu A(2; 0) ja IN(-1; 4). Kirjutage selle külgede võrrandid.
333. Punkt A(5; -1) on ruudu tipp, mille üks külgedest asub sirgel
4X - 3juures - 7 = 0.
Kirjutage nende sirgete võrrandid, millel asuvad selle ruudu ülejäänud küljed.
334. Antud ruudu kahe külje võrrandid
4X -3juures + 3 = 0, 4X-3juures-17 = 0
ja üks selle tippudest A(2; -3). Kirjutage võrrandid selle ruudu ülejäänud kahe külje jaoks.
335. Antud ruudu kahe külje võrrandid
5X+12juures-10 = 0, 5X+12juures+29 = 0.
Kirjutage võrrandid selle kahe teise külje jaoks, eeldusel, et punkt M 1(-3; 5) asub selle ruudu küljel.
336. Punktide kõrvalekalded M otsesest
5X-12juures-13 = 0 ja 3 X -4juures-19 = 0
on vastavalt - 3 ja - 5. Määrake punkti koordinaadid M.
337. Kirjutage võrrand punkti läbivale sirgele P(-2; 3) võrdsel kaugusel punktidest A(5; - 1) ja IN(3; 7).
338. Loo võrrand kahest paralleelsest sirgest võrdsel kaugusel asuvate punktide asukoha jaoks:
1) 3X- juures+ 7 = 0, 2) X - 2juures + 3 = 0, 3) 5X - 2juures - 6 = 0,
3X- juures- 3 = 0; X -2juures + 7 = 0; X-4u + 3 = 0.
339. Kirjutage üles kahe lõikuva sirge moodustatud nurkade poolitajate võrrandid:
1) X - 3juures + 5 = 0, 2) X - 2juures - 3 = 0, 3) 3X + 4juures - 1 = 0,
3X-juures -2 = 0; 2X + 4juures + 7 = 0; 5X+ 12juures - 2 = 0.
340. Kirjutage punkti läbivate sirgete võrrandid R(2; -1) ja koos sirgjoontega
2X- juures + 5 = 0, 3X + 6juures - 1 = 0
moodustavad võrdhaarsed kolmnurgad.
341. Määrake, kas punkt valetab M(1; -2) ja koordinaatide alguspunkti ühes, külgnevas või vertikaalsed nurgad, mis on moodustatud kahe sirge lõikepunktist:
1) 2X-juures -5 = 0, 2) 4X+3juures-10 = 0, 3) X - 2juures- 1=0,
3X+juures+10 = 0; 12X-5juures -5 = 0; 3X-juures -2 = 0.
342. Määrake, kas punktid asuvad M(2; 3) ja N(5; -1) ühes, külgnevates või vertikaalsetes nurkades, mis on moodustatud kahe sirge ristumiskohas:
1) X-3juures-5 = 0, 2)2X+7juures -5 = 0, 3) 12X+juures- 1=0,
2X+9juures -2 = 0; X + 3juures + 7 = 0; 13X + 2juures-5 = 0.
343. Määrake, kas alguspunkt asub sees või väljaspool kolmnurka, mille küljed on antud võrranditega
7X -5juures-11=0, 8X+ 3juures+ 31=0, X + 8juures-19 = 0.
344. Määrake, kas punkt valetab M(- 3; 2) kolmnurga sees või väljaspool, mille küljed on antud võrranditega
X + juures -4 = 0, 3X - 7juures + 8 = 0, 4X - juures - 31 = 0.
345. Määrake kahe sirge moodustatud terav- või nürinurk
3X - 2juures + 5 = 0 ja 2 X + juures - 3 = 0,
sisaldab päritolu.
346. Määrake kahe sirge moodustatud terav- või nürinurk
3X -5juures-4 = 0 ja X + 2juures + 3 = 0,
sisaldab punkti M(2; - 5).
347. Kirjutage sirgete 3 vahelise nurga poolitaja võrrand X-ja- 4 = 0 ja 2 X+6juures+3 = 0, kus asub koordinaatide alguspunkt.
348.
X-7y+5= 0, 5x+ 5ja- 3 = 0,
alguspunkti sisaldava nurga kõrval.
349. Kirjutage sirgetevahelise nurga poolitaja võrrand X + 2juures-11 = 0 ja 3 X - 6juures- 5 = 0, kus punkt asub M(1;-3).
350. Kirjutage sirgetevahelise nurga poolitaja võrrand
2X - 3juures - 5 = 0, 6X - 4juures+ 7 = Oh,
külgneb punkti sisaldava nurgaga C (2;-1).
351. Kirjutage poolitaja võrrand teravnurk, mille moodustavad kaks sirgjoont
3x+4y -5 = 0, 5X-12juures+3 = 0.
352. Kirjutage poolitaja võrrand nürinurk, mille moodustavad kaks sirgjoont X- 3juures+ 5 = 0, 3X- juures+15 = 0.