Artiklis on toodud olulisem teoreetiline teave ja vajalikud lahendused konkreetsed ülesanded valemid. Olulised avaldused ja figuuride omadused on laotatud riiulitele.

Määratlus ja olulised faktid

Planimeetria on geomeetria haru, mis käsitleb objekte tasasel kahemõõtmelisel pinnal. Võib tuua välja mõned sobivad näited: ruut, ring, teemant.

Muuhulgas tasub esile tõsta punkt ja sirgjoon. Need on kaks peamist planimeetria mõistet.

Kõik muu on neile üles ehitatud, näiteks:

Aksioomid ja teoreemid

Vaatame aksioome üksikasjalikumalt. Planimeetrias on see nii kõige olulisemad reeglid, mille kallal töötab kogu teadus. Ja mitte ainult selles. A-prioor, me räägime väidete kohta, mis ei vaja tõestust.

Allpool käsitletavad aksioomid kuuluvad nn eukleidilise geomeetria alla.

• Seal on kaks punkti. Nende kaudu saate alati tõmmata ühe sirge joone.
• Kui on joon, siis on punkte, mis asuvad sellel, ja punkte, mis sellel ei asu.

Neid kahte väidet nimetatakse tavaliselt liikmelisuse aksioomideks ja järgmisi nimetatakse järjestuse aksioomideks:

• Kui sirgel on kolm punkti, siis üks neist asub tingimata kahe teise vahel.
• Tasapind on jagatud mis tahes sirgjoonega kaheks osaks. Kui segmendi otsad asuvad ühel poolel, siis kuulub kogu objekt sellele. Vastasel juhul on algsel sirgel ja lõigul lõikepunkt.

Mõõtmete aksioomid:

• Iga segmendi pikkus erineb nullist. Kui punkt jagab selle mitmeks osaks, võrdub nende summa objekti kogupikkusega.
• Igal nurgal on teatud kraadimõõt, mis ei ole võrdne nulliga. Kui purustate selle talaga, siis on algne nurk võrdne summaga haritud.

Paralleelsus:

• Lennukil on sirgjoon. Läbi mis tahes punkti, mis sinna ei kuulu, saab antud sirgega paralleelselt tõmmata ainult ühe sirge.

Planimeetria teoreemid ei ole enam täiesti fundamentaalsed väited. Neid peetakse üldiselt faktiks, kuid igaühel neist on ülalmainitud põhimõistetele üles ehitatud tõestus. Pealegi on neid palju. Kõike on üsna raske välja sorteerida, kuid mõned neist on esitatud materjalis olemas.

Järgmise kahega tasub varakult tutvuda:

• Summa külgnevad nurgad võrdne 180 kraadiga.
• Vertikaalsed nurgad on sama suured.

Need kaks teoreemi võivad olla lahendamisel kasulikud geomeetrilised probleemid seotud n-goonidega. Need on üsna lihtsad ja intuitiivsed. Tasub neid meeles pidada.

Kolmnurgad

Kolmnurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest järjestikku ühendatud segmendist. Neid klassifitseeritakse mitme kriteeriumi järgi.

Külgedel (suhted tulenevad nimedest):

Nurkades:

• teravnurkne;
• ristkülikukujuline;
• nüri.

Kaks nurka on olenemata olukorrast alati teravad ja kolmanda määrab sõna esimene osa. See on, täisnurkne kolmnurküks nurkadest on 90 kraadi.

Omadused:

• Mida suurem on nurk, seda suurem on vastaskülg.
• Kõikide nurkade summa on 180 kraadi.
• Pindala saab arvutada valemiga: S = ½ ⋅ h ⋅ a, kus a on külg, h on sellele tõmmatud kõrgus.
• Võite alati kirjutada ringi kolmnurka või kirjeldada seda selle ümber.

Planimeetria üks põhivalemeid on Pythagorase teoreem. See töötab eranditult täisnurkse kolmnurga puhul ja kõlab järgmiselt: hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga: AB 2 = AC 2 + BC 2.

Hüpotenuus tähendab 90° nurga vastas olevat külge ja jalad külgnevaid.

Nelinurgad

Sellel teemal on tohutult palju teavet. Allpool on toodud ainult kõige olulisemad.

Mõned sordid:

1. Parallelogramm - vastasküljed võrdsed ja paaris paralleelsed.
2. Romb on rööpkülik, mille külgedel on sama pikkusega.
3. Ristkülik – nelja täisnurgaga rööpkülik
4. Ruut on nii romb kui ka ristkülik.
5. Trapets - ainult kaks vastaskülge on paralleelsed.

Omadused:

• Suma sisemised nurgad võrdne 360 ​​kraadiga.
• Pindala saab alati arvutada valemiga: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), kus p on pool perimeetrist, a, b, c, d on joonise küljed.
• Kui ringjoont saab kirjeldada ümber nelinurga, siis nimetan seda kumeraks, kui mitte, siis mittekumeraks.

Videokursus “Get an A” sisaldab kõiki edu saavutamiseks vajalikke teemasid ühtse riigieksami sooritamine matemaatikas 60-65 punkti. Täiesti kõik probleemid 1-13 Profiili ühtne riigieksam matemaatika. Sobib ka matemaatika ühtse riigieksami põhieksami sooritamiseks. Kui soovid sooritada ühtse riigieksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus ühtseks riigieksamiks 10.-11.klassidele, samuti õpetajatele. Kõik, mida vajate matemaatika ühtse riigieksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei 100-punktiline ega humanitaartudeng.

Kõik vajalik teooria. Kiired viisidÜhtse riigieksami lahendused, lõksud ja saladused. Kõik FIPI Task Banki 1. osa praegused ülesanded on analüüsitud. Kursus vastab täielikult ühtse riigieksami 2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suured teemad, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad ühtse riigieksami ülesanded. Sõnaprobleemid ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad algoritmid probleemide lahendamiseks. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi ühtse riigieksami ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, arendus ruumiline kujutlusvõime. Trigonomeetria nullist probleemini 13. Tuupimise asemel mõistmine. Visuaalne selgitus keerulised mõisted. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Lahenduse alus keerulised ülesanded 2 osa ühtsest riigieksamist.

Selgitav märkus

Pakutavad piletid on mõeldud suuliseks teoreetilineüleandmine aastaeksam planimeetria abil 9. klassi õpilased Põhikool, samuti 10. ja 11. klassid, et valmistuda ühtseks riigieksamiks. Pakutavad materjalid on täielikult kooskõlas matemaatika programmiga ja erikoolituse programmiga.

Piletid koosnevad kümnest küsimusest, mis kajastavad geomeetria kursuse põhisuundi.

Küsimused on mõeldud meisterlikkuse kontrollimiseks kontseptuaalne aparaatõppeaine ja oluliste teoreetiliste faktide teadmiste taseme väljaselgitamine. Mõned neist nõuavad esitatud materjali tõestust, mis näitab kursuse teoreetiliste põhiprintsiipide tundmist ja oskust neid põhjendada.

Need küsimused on võetud juhenditest:

Geomeetria. Tõestusprobleemid. Smirnov V.A., Smirnova I.M.

Geomeetria. Õpik 7-9 klassile. Atanasjan, Butuzov, Kadomtsev jt.

Geomeetria. Õpik 7-11 klassile A.V. Pogorelov.

ÕPILASTE VASTUSTE HINDAMISE KRITEERIUMID

Õpilaste vastuste hindamisel saate juhinduda järgmisi kriteeriume.

Kõigile piletil olevatele küsimustele täieliku ja õige vastuse eest antakse hindeks "5". Hinde “3” saamiseks piisab kaheksale piletil olevale küsimusele vastamisest.

Kõigil muudel juhtudel on hindeks "4".

Planimeetria test

valik 1

Kolmnurkade võrdsuse märgid.

Kinnisvara keskjoon kolmnurk.

Kolmnurga kõrguse määramine.

Millised on täisnurkse kolmnurga sissekirjutatud ja piiritletud ringide raadiused?

Sarnaste kujundite omadused.

Kuidas mõõdetakse kesknurka?

Ringjoone akordide omadus.

Täisnurkse kolmnurga ümberringjoone keskpunkt.

Täisnurkse kolmnurga omadus, mille teravnurk on 30 kraadi.

Määratlege risti poolitaja.

2. võimalus

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid.

Kolmnurga mediaani määramine.

Pythagorase teoreem.

Kui suur on rööpküliku diagonaalide ruutude summa?

Tavalise kolmnurga pindala valem.

Trapetsi pindala.

Sissekirjutatud nurkade omadus.

Piiratud nelinurga omadus.

Kaare pikkus.

Siinus, koosinus, 30-kraadise nurga puutuja.

3. võimalus

Teoreem kolmnurga nurkade summa kohta.

Kolmnurga mediaanide omadused.

Kolmnurga poolitaja määramine.

Koosinusteoreem.

Kolmnurga poolitaja valem.

Rööpküliku pindala (3).

Miks võrdne nurgaga kahe väljaspool ringi lõikuva sekandi vahel.

Sissekirjutatud nelinurga omadus.

Ümbermõõt.

Akordide põhiomadused.

4. võimalus

Võrdhaarse kolmnurga omadused.

Perpendikulaarsete poolitajate omadus.

Kolmnurga mediaanide valem.

Siinuste teoreem.

Mis elemendid sisaldavad Võrdkülgne kolmnurk(kõrgus, raadiused, pindala)?

Võrdhaarse trapetsi omadused.

Samast punktist lähtuvate puutuja- ja lõikejoonte omadus.

Milline on ristuvate akordide vaheline nurk?

Siinus, koosinus, 60-kraadise nurga puutuja.

Kus on kolmnurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt?

5. võimalus

Kolmnurga ebavõrdsus.

Teoreem kolmnurga kõrguste kohta.

Sarnaste kolmnurkade pindalad.

Kolmnurga pindalade valemid (6).

Rööpküliku märgid.

Teoreem trapetsi keskjoone kohta.

Heroni valem nelinurga jaoks.

Kui suur on nurk puutuja ja puutepunktist tõmmatud kõõlu vahel?

Sektori piirkond.

Siinus, koosinus, 45-kraadise nurga puutuja.

6. valik

Kolmnurga keskjoone määramine.

Kolmnurga poolitaja teoreem.

Kolmnurkade sarnasuse märgid.

Koosinusteoreem.

Heroni valem.

Rööpküliku omadused.

Rombi pindala.

Kolmnurga sisse kirjutatud ja piiritletud ringi keskpunkt.

Defineeri siinus, koosinus, puutuja ja kotangens teravnurk täisnurkne kolmnurk

Keskmine tase

Planimeetria põhiaksioomid. Põhjalik juhend (2019)

1. Planimeetria põhimõisted



Miks on kõik piltidel ja sõnadeta? Kas sõnu on vaja? Mulle tundub, et esialgu pole need eriti vajalikud. Tegelikult oskavad matemaatikud muidugi kõike sõnadega kirjeldada ja selliseid kirjeldusi leiab järgmistest teooriatasemetest, aga jätkame nüüd piltidega.







Mida veel? Oh jah, me peame õppima, kuidas mõõta segmente ja nurki.

Igal lõigul on pikkus – number, mis on antud segmendile (millegipärast...). Tavaliselt mõõdetakse pikkust ... joonlauaga muidugi sentimeetrites, millimeetrites, meetrites ja isegi kilomeetrites.

Ja nüüd nurkade mõõtmine. Millegipärast mõõdetakse nurki tavaliselt kraadides. Miks? Selle jaoks on midagi ajaloolised põhjused, aga ajalooga me praegu ei tegele. Seetõttu peame järgmist kokkulepet lihtsalt enesestmõistetavaks pidama.



Arenenud kraadide nurga all.

Lühiduse mõttes kirjutavad nad: . Sel juhul saab muidugi teada kõigi teiste nurkade suuruse, kui teada saada, milline osa on lahtivoldimata nurgast antud nurk. Nurkade mõõtmise tööriista nimetatakse nurgamõõturiks. Ma arvan, et olete teda elus rohkem kui korra näinud.

2. Kaks peamist fakti nurkade kohta

I. Külgnevad nurgad liidetakse.



See on täiesti loomulik, kas pole? Lõppude lõpuks moodustavad külgnevad nurgad koos vastupidise nurga!

II. Vertikaalsed nurgad on võrdsed.



Miks? Ja vaata:

Mis nüüd? Noh, sellest muidugi järeldub. (Piisab näiteks esimesest võrrandist teise lahutamisest. Aga tegelikult võib lihtsalt pilti vaadata).

Mis on väärtus täisnurk?

No muidugi,! Pealegi.

4. Terav ja nürinurk.

See on põhimõtteliselt kõik, mida peate alustamiseks teadma. Miks me aksioomidest sõnagi ei rääkinud?

Aksioomid on tegevusreeglid planimeetria põhiobjektidega, kõige esimesed väited punktide ja joonte kohta. Neid väiteid võetakse aluseks, mitte ei tõestata.

Miks me neid ikkagi ei sõnasta ja aruta? Näete, planimeetria aksioomid kirjeldavad teatud mõttes lihtsalt intuitiivselt selgeid seoseid üsna pikas matemaatilises keeles. Aksiomaatika selge mõistmine on vajalik veidi hiljem, kui harjub geomeetrilised mõisted terve mõistuse tasemel. Siis – tere tulemast – on seal aksioomide üle päris üksikasjalik arutelu. Vahepeal proovige käituda nagu väga vanad kreeklased, enne Eukleidese aega – lihtsalt lahendage kasutamisega seotud probleemid terve mõistus. Kinnitan teile, et teie jaoks on palju ülesandeid võimalik!

KESKMINE TASE

Kujutage ette, et leiate end ootamatult teiselt planeedilt või... arvutimängust.

Teie ees on tundmatute toodete komplekt ja teie ülesandeks on valmistada sellest komplektist võimalikult palju maitsvaid roogasid. Mida sa vajad? Muidugi reeglid, juhised – mida teatud toodetega teha saab. Mis siis, kui keedad järsku midagi, mida süüakse ainult toorelt, või vastupidi, paned salatisse midagi, mis kindlasti vajab keetmist või praadimist? Niisiis, ilma juhisteta - mitte kuhugi!

Olgu, aga milleks selline sissejuhatus? Mis on geomeetrial sellega pistmist? Näete, paljud väited igasuguste geomeetria kujundite kohta on need väga paljud "toidud", mida peame õppima küpsetama. Aga millest? Geomeetria põhiobjektidest! Kuid nende "kasutamise" juhiseid nimetatakse tarkade sõnadega "aksioomide süsteem".

Niisiis, tähelepanu!

Planimeetria põhiobjektid ja aksioomid.

Punkt ja joon

Need on planimeetria kõige olulisemad mõisted. Matemaatikud ütlevad, et need on "määratlematud mõisted". Kuidas nii? Aga nii, kuskilt tuleb alustada.

Nüüd esimesed punktide ja joonte käsitlemise reeglid. Neid matemaatikareegleid nimetatakse "aksioomid"- aluseks võetavad väited, millest siis tuletatakse kõik põhiline (pidage meeles, et meil on suur kulinaarne missioon geomeetriat "küpsetada"?). Niisiis nimetatakse esimest aksioomide seeriat

I. Kuuluvuse aksioomid.

Pange tähele, et see aksioom võimaldab teil joonistada järgmiselt:



Nii: seal oli kaks punkti:



Ja siis leiti sirgjoon:

Aga teine ​​mitte!



Kui see kõik tundub teile liiga ilmne, siis pidage meeles, et olete teisel planeedil ega teadnud ikka veel, mida objektidega teha "punkt" Ja "sirge".

Kiir, segment, nurk.

Nüüd oleme õppinud joontele punkte panema ja läbi punktide jooni tõmbama, nii et saame juba esimesed lihtsad "road" valmistada -, joonelõik,nurk.

1) TALK

Siin ta on,





2) LÕIKA



Nüüd paneme asjad paika. Järgmist aksioomide seeriat nimetatakse:

II. Järjestuse aksioomid.



Nüüd – järgmine tase. Vajame juhiseid mõõtmine segmendid ja nurgad. Neid aksioome nimetatakse

III. Lõikude ja nurkade mõõtude aksioomid.

Ja nüüd on see täiesti imelik.

IV. Aksioomid antud kolmnurga olemasolu kohta.

Selle aksioomi kaks järeldust on selgemad:





Noh, viimane on legendaarne paralleelaksioom!

Aga esmalt määratlus:

V. Paralleelide aksioom.

Noh, see on läbi Planimeetria aksioomid! Kas neid on liiga palju? Kuid kujutage ette, neid kõiki on vaja. Igaühe neist on kaval, kaval arutluskäik, mis näitab, et kui see aksioom eemaldada, laguneb kogu geomeetria ehitis! No või jääb midagi, mis on täiesti erinev sellest, millega oleme harjunud.

Nüüd kaks peamist fakti nurkade kohta!

Külgnevad ja vertikaalsed nurgad.

Nurka moodustavaid kiiri nimetatakse nurga külgedeks ja nendeks üldine algus- ülemine

See on täiesti lihtne teoreem, Tõde?

Pealegi ühine pool külgnevad nurgad jagab sirge nurga lihtsalt kaheks nurgaks ja seetõttu (TÄHELEPANU: Axiom 3.2 töötab!) külgnevate nurkade summa on võrdne voltimata nurga suurusega, see tähendab.

Lihtsam on joonistada kui kirjeldada – vaata pilti.



See on ka lihtne teoreem. Tee kindlaks:

Terav ja nüri nurk.

LÜHIKIRJELDUS JA PÕHIVALEMID

Kuuluvuse aksioomid:

• Aksioom 1. Ükskõik, milline on sirge, on punkte, mis kuuluvad sellele sirgele, ja punkte, mis ei kuulu sellele.
• Aksioom 2. Suvalise kahe punkti kaudu saate tõmmata sirge ja ainult ühe.

Järjekorra aksioomid:

• Aksioom 3. Sirge kolmest punktist jääb üks ja ainult üks kahe teise vahele.
• Aksioom 4. Tasapinnas paiknev sirge jagab selle tasandi kaheks pooltasandiks. Kui lõigu otsad kuuluvad samale pooltasandile, siis lõik sirgega ei ristu. Kui lõigu otsad kuuluvad erinevatele pooltasanditele, siis lõik lõikub sirgega.

Segmentide ja nurkade mõõtude aksioomid:

• Aksioom 5. Igal lõigul on teatud pikkus, mis on suurem kui null. Lõigu pikkus võrdub nende osade pikkuste summaga, milleks see on jagatud mis tahes selle punktiga.
• Aksioom 6. Igal nurgal on teatud kraadimõõt, mis on suurem kui null. Sirge nurk on võrdne. Nurga kraadimõõt on võrdne summaga kraadimõõtmised nurgad, millesse ta on jagatud mis tahes selle külgede vahelt läbiva kiirga.

Aksioomid antud kolmnurga olemasolu kohta:

Paralleelaksioom:

• Aksioom 8. Tasapinnal saab läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, tõmmata maksimaalselt ühe antud sirgega paralleelse sirge.

Põhifaktid nurkade kohta:

• Teoreem. Külgnevate nurkade summa on võrdne.

Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Sest edukas lõpetamineÜhtne riigieksam, eelarvega kolledžisse vastuvõtmiseks ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...

Inimesed, kes said hea haridus, teenivad palju rohkem kui need, kes seda ei saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?

SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.

Eksami ajal teooriat ei küsita.

Sa vajad lahendada probleeme ajaga.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.

See on nagu spordis – seda on vaja mitu korda korrata, et kindlalt võita.

Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjalik analüüs ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.

Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage kõik selles artiklis peidetud toimingud - 299 hõõruda.
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - 999 hõõruda.

Jah, meie õpikus on 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.

Teisel juhul me anname teile simulaator "6000 ülesannet lahenduste ja vastustega iga teema jaoks, igal keerukusastmel." Kindlasti piisab sellest, kui saad oma käed mistahes teemal probleemide lahendamisele.

Tegelikult on see palju enamat kui lihtsalt simulaator - kogu programm ettevalmistus. Vajadusel saad kasutada ka TASUTA.

Juurdepääs kõigile tekstidele ja programmidele on tagatud KOGU saidi eksisteerimise perioodiks.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt peatuge teoorial.

“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda need!

Sellel lehel on planimeetria teoreemid, mida matemaatika juhendaja saab kasutada võimeka õpilase ettevalmistamisel tõsiseks eksamiks: olümpiaadiks või Moskva Riikliku Ülikooli eksamiks (Moskva Riikliku Ülikooli VMC mehaanika ja matemaatika ettevalmistuseks), olümpiaadiks kl. Kõrgkool Majandus, olümpiamängude jaoks Finantsakadeemia ja MIPTis. Nende faktide teadmine avaneb juhendaja ees suurepäraseid võimalusi võistlusülesannete koostamise kohta. Piisab mõne mainitud teoreemi numbrite kohta "mängimisest" või selle elementide täiendamisest lihtsate suhetega teistega matemaatilised objektid ja saad päris korraliku olümpiaadiprobleemi. Paljud omadused on olemas tugev kooliõpikud tõestusülesannetena ja need ei sisaldu konkreetselt lõikude pealkirjades ja jaotistes. Püüdsin seda puudust parandada.

Matemaatika on tohutu teema ja teoreemidena määratletavate faktide arv on lõputu. Matemaatikaõpetaja ei saa füüsiliselt kõike teada ja meeles pidada. Seetõttu on mõned keerulised suhted geomeetrilised objektid iga kord, kui need ilmuvad õpetajale uuesti. Neid kõiki korraga ühele lehele koguda on füüsiliselt võimatu. Seetõttu täidan lehekülge järk-järgult, kui kasutan oma tundides teoreeme.

Soovitan alustavatel matemaatikaõpetajatel olla lisavahendite kasutamisel ettevaatlik võrdlusmaterjalid, kuna koolilapsed ei tea enamikku neist faktidest.

Matemaatika juhendaja geomeetriliste kujundite omadustest

1) Kolmnurga küljega risti olev poolitaja lõikub selle vastas oleva nurga poolitajaga ringjoonel, mis on ümbritsetud umbes antud kolmnurk. See tuleneb kaare võrdsusest, millesse risti poolitaja jagab alumise kaare, ja teoreemist ringi sisse kirjutatud nurga kohta.

2)Kui kolmnurga ühest tipust tõmmatakse poolitaja b, mediaan m ja kõrgus h, siis jääb poolitaja kahe teise lõigu vahele ja kõigi lõikude pikkused järgivad topeltvõrratust.

3) IN suvaline kolmnurk kaugus mis tahes selle tipust selle ortotsentri (kõrguste lõikepunkti) on 2 korda rohkem kaugust selle kolmnurga ümber oleva ringi keskpunktist selle tipu vastasküljele. Selle tõestamiseks võite tõmmata sirgjooned läbi kolmnurga tippude, mis on paralleelsed selle kõrgustega. Seejärel kasutage algse ja saadud kolmnurga sarnasust.

4) Iga kolmnurga mediaanide M lõikepunkt (selle raskuskese) koos kolmnurga H ortotsentriga ja ümberringi keskpunktiga (punkt O) asuvad samal prima ja . See tuleneb eelmisest omadusest ja mediaanide lõikepunkti omadusest.

5) Kahe ristuva ringi ühiskõla pikendus jagab nende ühise puutuja lõigu kaheks võrdseks osaks. See omadus kehtib olenemata selle ristmiku olemusest (st ringide keskpunktide asukohast). Selle tõestamiseks võite kasutada puutuja segmendi ruudu omadust.

6) Kui kolmnurgas on oma nurga poolitaja, siis on selle ruut võrdne nurga külgede ja nende lõikude korrutistega, milleks poolitaja vastaskülje jagab.

See tähendab, et kehtib järgmine võrdsus

7) Kas olete tuttav olukorraga, kui kõrgus täisnurga tipust tõmmatakse hüpotenuusile? Kindlasti. Kas teadsite, et kõik saadud kolmnurgad on sarnased? Kindlasti tead. Siis sa ilmselt ei tea, et nende kolmnurkade mis tahes vastavad elemendid moodustavad võrdsuse, mis kordab Pythagorase teoreemi, see tähendab näiteks , kus ja on väikestesse kolmnurkadesse kirjutatud ringide raadiused ja on sisse kirjutatud ringi raadius suures kolmnurgas.

8)Kui satute juhusliku neljakordse kõigiga tuntud osapooled a, b, c ja d, siis saab selle pindala kergesti arvutada Heroni valemit meenutava valemi abil:
, kus x on mis tahes kahe summa vastasnurgad nelinurk. Kui antud nelinurk on kirjutatud ringi, on valem järgmine:
ja kutsutakse Brahmagupta valem

9)Kui teie nelinurk on ümbritsetud ringiga (see tähendab, et ring on sellesse sisse kirjutatud), arvutatakse nelinurga pindala valemiga