Definitsioon. Vektori a (korrutis) ja mittekollineaarse vektori (korrutis) vektorkorrutis on kolmas vektor c (korrutis), mis konstrueeritakse järgmiselt:

1) selle moodul on arvuliselt võrdne rööpküliku pindalaga joonisel fig. 155), mis on ehitatud vektoritele, st see on võrdne nimetatud rööpküliku tasandiga risti oleva suunaga;

3) sel juhul valitakse vektori c suund (kahe võimaliku hulgast) nii, et vektorid c moodustavad parempoolse süsteemi (§ 110).

Nimetus: või

Täiendus definitsioonile. Kui vektorid on kollineaarsed, siis arvestades kujundit (tinglikult) rööpkülikuks, on loomulik määrata nullpindala. Seetõttu loetakse kollineaarsete vektorite vektorkorrutis võrdseks nullvektoriga.

Kuna nullvektorile saab määrata mis tahes suuna, siis see kokkulepe ei ole vastuolus definitsiooni lõigetega 2 ja 3.

Märkus 1. Mõiste “vektorkorrutis” esimene sõna näitab, et tegevuse tulemuseks on vektor (erinevalt skalaarkorrutisest; vrd § 104, märkus 1).

Näide 1. Leia vektorkorrutis, kus on õige koordinaatsüsteemi põhivektorid (joonis 156).

1. Kuna põhivektorite pikkused on võrdsed ühe skaalaühikuga, on rööpküliku pindala (ruut) arvuliselt võrdne ühega. See tähendab, et vektorkorrutise moodul on võrdne ühega.

2. Kuna tasandiga risti on telg, on soovitud vektorkorrutis vektoriga k kollineaarne vektor; ja kuna mõlemal on moodul 1, on soovitud vektorkorrutis võrdne kas k või -k-ga.

3. Nendest kahest võimalikust vektorist tuleb valida esimene, kuna vektorid k moodustavad parempoolse süsteemi (ja vektorid vasakukäelise).

Näide 2. Leidke ristkorrutis

Lahendus. Nagu näites 1, järeldame, et vektor on võrdne kas k või -k-ga. Kuid nüüd peame valima -k, kuna vektorid moodustavad paremakäelise süsteemi (ja vektorid moodustavad vasakukäelise süsteemi). Niisiis,

Näide 3. Vektorite pikkused on vastavalt 80 ja 50 cm ning moodustavad 30° nurga. Võttes pikkuse ühikuks meetri, leidke vektorkorrutise a pikkus

Lahendus. Vektoritele ehitatud rööpküliku pindala on võrdne Soovitud vektorkorrutise pikkus on võrdne

Näide 4. Leidke samade vektorite vektorkorrutise pikkus, võttes pikkuseühikuks sentimeetrid.

Lahendus. Kuna vektoritele konstrueeritud rööpküliku pindala on võrdne, on vektori korrutise pikkus võrdne 2000 cm, s.o.

Näidete 3 ja 4 võrdlusest selgub, et vektori pikkus ei sõltu ainult tegurite pikkustest, vaid ka pikkuseühiku valikust.

Vektorkorrutise füüsiline tähendus. Vektorkorrutisega esindatud arvukatest füüsikalistest suurustest võtame arvesse ainult jõumomenti.

Olgu A jõu rakendamise punkt. Jõumomenti punkti O suhtes nimetatakse vektorkorrutiseks, kuna selle vektorkorrutise moodul on arvuliselt võrdne rööpküliku pindalaga (joonis 157). Momendi moodul on võrdne aluse ja kõrguse korrutisega, st jõu korrutisega punktist O kaugusega sirgjoonest, mida mööda jõud mõjub.

Mehaanikas on tõestatud, et jäiga keha tasakaalus olemiseks on vajalik, et mitte ainult kehale rakendatavaid jõude esindavate vektorite summa ei oleks võrdne nulliga, vaid ka jõudude momentide summa. Juhul, kui kõik jõud on paralleelsed ühe tasapinnaga, saab momente kujutavate vektorite liitmise asendada nende suuruste liitmise ja lahutamisega. Kuid meelevaldsete jõudude suundade korral on selline asendamine võimatu. Selle kohaselt määratletakse vektorkorrutis täpselt vektori, mitte arvuna.

7.1. Ristkorrutise määratlus

Kolm mittetasatasandilist vektorit a, b ja c, mis on võetud näidatud järjekorras, moodustavad parempoolse kolmiku, kui kolmanda vektori c lõpust on näha lühim pööre esimesest vektorist a teise vektorisse b. olema vastupäeva ja vasakukäeline kolmik, kui päripäeva (vt joonis . 16).

Vektorite a ja vektori b vektorkorrutist nimetatakse vektoriks c, mis:

1. Risti vektoritega a ja b, st c ^ a ja c ^ b ;

2. Selle pikkus on arvuliselt võrdne vektoritele a ja konstrueeritud rööpküliku pindalagab nagu külgedel (vt joon. 17), st.

3. Vektorid a, b ja c moodustavad paremakäelise kolmiku.

Ristkorrutist tähistatakse a x b või [a,b]. Järgmised seosed ühikvektorite i vahel tulenevad otseselt vektorkorrutise definitsioonist, j Ja k(vt joonis 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Tõestame seda näiteks i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, kuid | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektorid i, j ja k moodustavad parempoolse kolmiku (vt joon. 16).

7.2. Ristkorrutise omadused

1. Faktorite ümberkorraldamisel muudab vektorkorrutis märki, s.o. ja xb =(b xa) (vt joonis 19).

Vektorid a xb ja b xa on kollineaarsed, neil on samad moodulid (rööpküliku pindala jääb muutumatuks), kuid on vastupidise suunaga (vastupidise orientatsiooni kolmikud a, b, a xb ja a, b, b x a). See on axb = -(b xa).

2. Vektorkorrutisel on skalaarteguri suhtes kombineeriv omadus, st l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Olgu l >0. Vektor l (a xb) on risti vektoritega a ja b. Vektor ( l a)x b on samuti risti vektoritega a ja b(vektorid a, l kuid lebavad samas tasapinnas). See tähendab, et vektorid l(a xb) ja ( l a)x b kollineaarne. On ilmne, et nende suunad langevad kokku. Neil on sama pikkus:

Sellepärast l(a xb)= l a xb. Seda tõestatakse sarnasel viisil l<0.

3. Kaks nullist erinevat vektorit a ja b on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui nende vektorkorrutis on võrdne nullvektoriga, st a ||b<=>ja xb = 0.

Täpsemalt i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektorkorrutisel on jaotusomadus:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Võtame vastu ilma tõenditeta.

7.3. Ristkorrutise väljendamine koordinaatidena

Kasutame vektorite i ristkorrutistabelit, j ja k:

kui lühima tee suund esimesest vektorist teise kattub noole suunaga, siis on korrutis võrdne kolmanda vektoriga, kui see ei lange kokku, võetakse kolmas vektor miinusmärgiga.

Olgu antud kaks vektorit a =a x i +a y j+a z k ja b = b x i+b a j+b z k. Leiame nende vektorite vektorkorrutise, korrutades need polünoomidena (vastavalt vektorkorrutise omadustele):

Saadud valemi saab kirjutada veelgi lühidalt:

kuna võrdsuse (7.1) parem pool vastab esimese rea elementide osas kolmandat järku determinandile Võrdsust (7.2) on lihtne meeles pidada.

7.4. Mõned risttoote rakendused

Vektorite kollineaarsuse tuvastamine

Rööpküliku ja kolmnurga pindala leidmine

Vastavalt vektorite vektorkorrutisele A ja b |a xb | =|a | * |b |sin g, st S paari = |a x b |. Ja seetõttu D S =1/2|a x b |.

Punkti suhtes mõjuva jõumomendi määramine

Punkti A rakendatakse jõudu F = AB lase sel minna KOHTA- mingi punkt ruumis (vt joonis 20).

Füüsikast on teada, et jõumoment F punkti suhtes KOHTA nimetatakse vektoriks M, mis läbib punkti KOHTA Ja:

1) risti punkte läbiva tasapinnaga O, A, B;

2) arvuliselt võrdne jõu korrutisega käe kohta

3) moodustab parempoolse kolmiku vektoritega OA ja A B.

Seetõttu M = OA x F.

Lineaarse pöörlemiskiiruse leidmine

Kiirus v nurkkiirusega pöörleva jäiga keha punkt M wümber fikseeritud telje, määratakse Euleri valemiga v =w xr, kus r =OM, kus O on telje mingi fikseeritud punkt (vt joonis 21).

Definitsioon Nimetatakse (x 1 , x 2 , ... , x n) n reaalarvu järjestatud kogumit n-mõõtmeline vektor, ja arvud x i (i = ) - komponendid, või koordinaadid,

Näide. Kui näiteks teatud autotehas peab vahetuses tootma 50 sõiduautot, 100 veoautot, 10 bussi, 50 komplekti autode varuosi ning 150 komplekti veoautodele ja bussidele, siis saab selle tehase tootmisprogrammi kirjutada vektorina. (50, 100, 10, 50, 150), millel on viis komponenti.

Märge. Vektoreid tähistatakse paksude väiketähtedega või tähtedega, mille ülaosas on riba või nool, nt. a või. Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne, kui neil on sama arv komponente ja nende vastavad komponendid on võrdsed.

Vektori komponente ei saa vahetada, näiteks (3, 2, 5, 0, 1) ja (2, 3, 5, 0, 1) erinevad vektorid.
Tehted vektoritega. Töö x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) reaalarvugaλ nimetatakse vektoriksλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Summax= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ja y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) nimetatakse vektoriks x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... , x n + + y n).

Vektorruum. N -dimensiooniline vektorruum R n on defineeritud kui kõigi n-mõõtmeliste vektorite hulk, mille jaoks on määratletud reaalarvudega korrutamise ja liitmise toimingud.

Majanduslik illustratsioon. N-mõõtmelise vektorruumi majanduslik illustratsioon: kaupade ruum (kaubad). Under kaubad me mõistame mõnda kaupa või teenust, mis tuli müüki teatud ajal kindlas kohas. Oletame, et saadaolevaid kaupu on lõplik arv n; iga tarbija poolt ostetud koguseid iseloomustab kaubakomplekt

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

kus x i tähistab tarbija poolt ostetud i-nda kauba kogust. Eeldame, et kõikidel kaupadel on suvalise jagavuse omadus, nii et neist saab osta iga mittenegatiivse koguse. Siis on kõik võimalikud kaubahulgad kaubaruumi vektorid C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Lineaarne iseseisvus. Süsteem e 1 , e 2 , ... , e nimetatakse m n-mõõtmelist vektorit lineaarselt sõltuv, kui selliseid numbreid onλ 1 , λ 2 , ... , λ m , millest vähemalt üks on nullist erinev, nii et võrdsusλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; vastasel juhul nimetatakse seda vektorite süsteemi lineaarselt sõltumatu, see tähendab, et näidatud võrdsus on võimalik ainult juhul, kui kõik . Vektorite lineaarse sõltuvuse geomeetriline tähendus in R 3, mida tõlgendatakse suunatud segmentidena, selgitage järgmisi teoreeme.

1. teoreem. Ühest vektorist koosnev süsteem on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui see vektor on null.

2. teoreem. Selleks, et kaks vektorit oleks lineaarselt sõltuvad, on vajalik ja piisav, et nad oleksid kollineaarsed (paralleelsed).

3. teoreem . Selleks, et kolm vektorit oleksid lineaarselt sõltuvad, on vajalik ja piisav, et need oleksid koplanaarsed (asuksid samal tasapinnal).

Vektorite vasak ja parem kolmik. Mitte-tasapinnaliste vektorite kolmik a, b, c helistas õige, kui nende ühise päritolu vaatleja möödub vektorite otstest a, b, c antud järjekorras näib toimuvat päripäeva. Muidu a, b, c -jäi kolm. Kutsutakse kõiki parempoolseid (või vasakpoolseid) vektorite kolmikuid sama orienteeritud.

Alus ja koordinaadid. Troika e 1, e 2 , e 3 mittetasatasandilist vektorit sisse R 3 kutsutakse alus ja vektorid ise e 1, e 2 , e 3 - põhilised. Mis tahes vektor a saab üheselt laiendada alusvektoriteks, st esitada kujul

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

laienduses (1.1) olevaid arve x 1 , x 2 , x 3 nimetatakse koordinaadida alusel e 1, e 2 , e 3 ja on määratud a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormaalne alus. Kui vektorid e 1, e 2 , e 3 on paarikaupa risti ja igaühe pikkus on võrdne ühega, siis nimetatakse alust ortonormaalne ja koordinaadid x 1 , x 2 , x 3 - ristkülikukujuline. Ortonormaalse aluse baasvektorid tähistatakse tähisega i, j, k.

Eeldame seda kosmoses R 3 on valitud õige ristkülikukujuliste koordinaatide süsteem (0, i, j, k}.

Vektorkunstiteos. Vektorkunstiteos A vektorile b nimetatakse vektoriks c, mille määravad järgmised kolm tingimust:

1. Vektori pikkus c arvuliselt võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga a Ja b, st.
c= |a||b| patt ( a^b).

2. Vektor c risti iga vektoriga a Ja b.

3. Vektorid a, b Ja c, võetud näidatud järjekorras, moodustavad parempoolse kolmiku.

Risttoote jaoks c tähistus võetakse kasutusele c =[ab] või
c = a × b.

Kui vektorid a Ja b on kollineaarsed, siis sin( a^b) = 0 ja [ ab] = 0, eelkõige [ aa] = 0. Ühikvektorite vektorkorrutised: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Kui vektorid a Ja b alusel täpsustatud i, j, k koordinaadid a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), siis

Segatööd. Kui kahe vektori vektorkorrutis A Ja b skalaarselt korrutatud kolmanda vektoriga c, siis nimetatakse sellist kolme vektori korrutist segatööd ja seda tähistab sümbol a b c.

Kui vektorid a, b Ja c alusel i, j, k antud nende koordinaatidega
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), siis

.

Segaproduktil on lihtne geomeetriline tõlgendus - see on skalaar, mis on absoluutväärtuselt võrdne kolmele antud vektorile ehitatud rööptahuka ruumalaga.

Kui vektorid moodustavad parempoolse kolmiku, siis on nende segakorrutis positiivne arv, mis võrdub näidatud mahuga; kui see on kolm a, b, c - lahkus siis a b c<0 и V = - a b c, seega V =|a b c|.

Eeldatakse, et esimese peatüki ülesannetes esinevate vektorite koordinaadid on antud õige ortonormaalse baasi suhtes. Ühikvektor on vektoriga kaassuunas A, tähistatud sümboliga A O. Sümbol r=OM tähistatakse punkti M raadiusvektoriga, sümbolid a, AB või|a|, | AB|tähistatakse vektorite mooduleid A Ja AB.

Näide 1.2. Leia vektorite vaheline nurk a= 2m+4n Ja b= m-n, Kus m Ja n-ühikvektorid ja nendevaheline nurk m Ja n võrdne 120 o.

Lahendus. Meil on: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, mis tähendab a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, mis tähendab, et b = . Lõpuks on meil: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Näide 1.3.Vektorite tundmine AB(-3,-2,6) ja B.C.(-2,4,4),arvutage kolmnurga ABC kõrguse AD pikkus.

Lahendus. Tähistades kolmnurga ABC pindala tähega S, saame:
S = 1/2 eKr pKr. Siis AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, mis tähendab vektorit A.C. on koordinaadid
. .

Näide 1.4 . Antud on kaks vektorit a(11,10,2) ja b(4,0,3). Leia ühikvektor c, vektoritega ortogonaalne a Ja b ja suunatud nii, et vektorite järjestatud kolmik a, b, c oli õige.

Lahendus.Tähistame vektori koordinaate c antud õige ortonormaalse aluse suhtes x, y, z kaudu.

Kuna c ⊥ a, c ⊥b, See ca= 0,cb= 0. Vastavalt ülesande tingimustele on nõutav, et c = 1 ja a b c >0.

Meil on võrrandisüsteem x,y,z leidmiseks: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Süsteemi esimesest ja teisest võrrandist saame z = -4/3 x, y = -5/6 x. Asendades y ja z kolmandas võrrandis, saame: x 2 = 36/125, kust
x =± . Tingimuse kasutamine a b c > 0, saame ebavõrdsuse

Võttes arvesse z ja y avaldisi, kirjutame saadud võrratuse ümber kujul: 625/6 x > 0, mis tähendab, et x>0. Niisiis, x = , y = - , z =- .

Selles õppetükis vaatleme veel kahte vektoritega tehtust: vektorite vektorkorrutis Ja vektorite segakorrutis (vahetu link neile, kes seda vajavad). Pole hullu, vahel juhtub, et täielikuks õnneks lisaks vektorite skalaarkorrutis, on vaja järjest rohkem. See on vektorsõltuvus. Võib tunduda, et oleme sattumas analüütilise geomeetria džunglisse. See on vale. Kõrgema matemaatika selles osas on puitu üldiselt vähe, välja arvatud ehk piisavalt Pinocchio jaoks. Tegelikult on materjal väga levinud ja lihtne – vaevalt keerulisem kui sama skalaarkorrutis, jääb tüüpilisi ülesandeid veelgi vähem. Peamine asi analüütilises geomeetrias, nagu paljud on veendunud või on juba veendunud, on MITTE MITTE TEHA ARVUTUSTES VIGA. Korrake nagu loitsu ja olete õnnelik =)

Kui vektorid sädelevad kusagil kaugel, nagu välk silmapiiril, pole see oluline, alustage õppetunniga Mannekeenide vektorid taastada või omandada algteadmised vektorite kohta. Ettevalmistumad lugejad saavad infoga tutvuda valikuliselt. Püüdsin kokku koguda kõige täielikuma näitekogu, mida praktilises töös sageli leidub

Mis teeb sind kohe õnnelikuks? Kui olin väike, oskasin kahe või isegi kolme palliga žongleerida. See tuli hästi välja. Nüüd ei pea te üldse žongleerima, sest me kaalume ainult ruumivektorid, ja kahe koordinaadiga lamevektorid jäetakse välja. Miks? Nii need tegevused sündisid – vektor ja vektorite segakorrutis on defineeritud ja toimivad kolmemõõtmelises ruumis. See on juba lihtsam!

See toiming, nagu ka skalaarkorrutis, hõlmab kaks vektorit. Olgu need kadumatud kirjad.

Tegevus ise tähistatud järgmisel viisil: . On ka teisi võimalusi, aga ma olen harjunud vektorite vektorkorrutist sel viisil tähistama nurksulgudes ristiga.

Ja kohe küsimus: kui sisse vektorite skalaarkorrutis kaasatud on kaks vektorit ja siin korrutatakse ka kaks vektorit, siis mis vahe on? Ilmne erinevus seisneb esiteks TULEMUSES:

Vektorite skalaarkorrutise tulemus on NUMBER:

Vektorite ristkorrutise tulemus on VECTOR: , ehk siis korrutame vektorid ja saame uuesti vektori. Suletud klubi. Tegelikult on operatsiooni nimi pärit siit. Erinevas õppekirjanduses võivad tähistused samuti erineda.

Ristkorrutise määratlus

Kõigepealt tuleb pildiga definitsioon, seejärel kommentaarid.

Definitsioon: vektortoode mittekollineaarne vektorid, võetud selles järjekorras, nimega VECTOR, pikkus mis on arvuliselt võrdne rööpküliku pindalaga, ehitatud nendele vektoritele; vektor vektoritega ortogonaalne, ja on suunatud nii, et alus oleks õiges suunas:

Jaotame määratluse tükkide kaupa, siin on palju huvitavat!

Seega saab esile tõsta järgmisi olulisi punkte:

1) Algsed vektorid, mis on definitsiooni järgi tähistatud punaste nooltega mitte kollineaarne. Kollineaarsete vektorite juhtumit on asjakohane käsitleda veidi hiljem.

2) Võetakse vektorid rangelt määratletud järjekorras: – "a" korrutatakse arvuga "olla", mitte "olema" koos "a". Vektori korrutamise tulemus on VECTOR, mis on tähistatud sinisega. Kui vektoreid korrutada vastupidises järjekorras, saame pikkuselt võrdse ja vastassuunalise vektori (vaarikavärv). See tähendab, et võrdsus on tõsi .

3) Nüüd tutvume vektorkorrutise geomeetrilise tähendusega. See on väga oluline punkt! Sinise vektori (ja seega ka karmiinpunase vektori) PIKKUS on arvuliselt võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku PIIRKONNAga. Joonisel on see rööpkülik mustaks varjutatud.

Märge : joonis on skemaatiline ja loomulikult ei võrdu vektorkorrutise nimipikkus rööpküliku pindalaga.

Tuletame meelde üht geomeetrilistest valemitest: Rööpküliku pindala on võrdne külgnevate külgede ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega. Seetõttu kehtib ülaltoodu põhjal vektorkorrutise PIKKUSE arvutamise valem:

Rõhutan, et valem käib vektori PIKKUSE kohta, mitte vektori enda kohta. Mis on praktiline tähendus? Ja tähendus on selles, et analüütilise geomeetria probleemide korral leitakse rööpküliku pindala sageli vektorkorrutise kontseptsiooni kaudu:

Saagem teine ​​oluline valem. Rööpküliku diagonaal (punane punktiirjoon) jagab selle kaheks võrdseks kolmnurgaks. Seetõttu saab vektoritele ehitatud kolmnurga pindala (punane varjutus) leida järgmise valemi abil:

4) Sama oluline fakt on see, et vektor on vektoritega ortogonaalne, st . Loomulikult on ka vastassuunaline vektor (vaarikanool) algsete vektoritega ortogonaalne.

5) Vektor on suunatud nii alus Sellel on õige orientatsiooni. Õppetunnis umbes üleminek uuele alusele Rääkisin piisavalt üksikasjalikult tasapinnaline orientatsioon, ja nüüd selgitame välja, mis on ruumi orientatsioon. Ma selgitan teile sõrmedel parem käsi. Vaimselt kombineerida nimetissõrm vektoriga ja keskmine sõrm vektoriga. Sõrmuse sõrm ja väike sõrm suruge see peopessa. Tulemusena pöial– vektorkorrutis vaatab üles. See on paremale orienteeritud alus (joonisel on see). Nüüd muuda vektoreid ( nimetis- ja keskmised sõrmed) mõnes kohas pöörab pöial ümber ja vektorkorrutis vaatab juba alla. See on ka paremale suunatud alus. Teil võib tekkida küsimus: milline alus on vasakule orienteeritud? "Määra" samadele sõrmedele vasak käsi vektorid ja saada ruumi vasakpoolne alus ja vasakpoolne orientatsioon (sel juhul asub pöial alumise vektori suunas). Piltlikult öeldes “väänavad” või orienteerivad need alused ruumi eri suundades. Ja seda kontseptsiooni ei tohiks pidada millekski kaugeks või abstraktseks - näiteks muudab ruumi orientatsiooni kõige tavalisem peegel ja kui "tõmbate peegeldunud objekti vaateklaasist välja", siis üldiselt. ei ole võimalik kombineerida seda "originaaliga". Muide, hoidke kolm sõrme peegli poole ja analüüsige peegeldust ;-)

...kui hea on, et sa nüüd sellest tead paremale ja vasakule suunatud alused, sest mõne õppejõu väited orientatsiooni muutumise kohta on hirmutavad =)

Kollineaarsete vektorite ristkorrutis

Definitsiooni on üksikasjalikult arutatud, jääb üle välja selgitada, mis juhtub, kui vektorid on kollineaarsed. Kui vektorid on kollineaarsed, siis saab need asetada ühele sirgele ja ka meie rööpkülik “voldib” üheks sirgeks. Selliste ala, nagu matemaatikud ütlevad, degenereerunud rööpkülik on võrdne nulliga. Sama tuleneb valemist - nulli ehk 180 kraadi siinus on võrdne nulliga, mis tähendab, et pindala on null

Seega, kui , siis . Rangelt võttes on vektorkorrutis ise võrdne nullvektoriga, kuid praktikas jäetakse see sageli tähelepanuta ja kirjutatakse, et see on lihtsalt võrdne nulliga.

Erijuhtum on vektori ristkorrutis iseendaga:

Vektorkorrutist kasutades saab kontrollida kolmemõõtmeliste vektorite kollineaarsust ning analüüsime muuhulgas ka seda probleemi.

Praktiliste näidete lahendamiseks võite vajada trigonomeetriline tabel sealt siinuste väärtuste leidmiseks.

Noh, paneme tule põlema:

Näide 1

a) Leia vektorite vektorkorrutise pikkus, kui

b) Leidke vektoritele ehitatud rööpküliku pindala, kui

Lahendus: Ei, see ei ole kirjaviga, teadlikult muutsin punktides algandmed samaks. Sest lahenduste kujundus on erinev!

a) Vastavalt tingimusele peate leidma pikkus vektor (ristkorrutis). Vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Kui teilt küsiti pikkuse kohta, siis vastuses märgime mõõtmed - ühikud.

b) Vastavalt tingimusele peate leidma ruut vektoritele ehitatud rööpkülik. Selle rööpküliku pindala on arvuliselt võrdne vektori korrutise pikkusega:

Vastus:

Pange tähele, et vastus ei räägi üldse vektorproduktist, mille kohta meilt küsiti figuuri pindala, vastavalt on mõõde ruutühikutes.

Vaatame alati, MIDA peame vastavalt olukorrale leidma, ja sellest lähtuvalt sõnastame selge vastama. See võib tunduda sõnasõnalisusena, kuid õpetajate seas on palju literaliste ja ülesandel on hea võimalus ülevaatamiseks tagasi saada. Kuigi see ei ole eriti kaugeleulatuv jama – kui vastus on vale, siis jääb mulje, et inimene ei saa lihtsatest asjadest aru ja/või pole ülesande olemusest aru saanud. Kõrgemas matemaatikas ja ka teistes ainetes tuleb seda punkti alati kontrolli all hoida.

Kuhu kadus suur "en" täht? Põhimõtteliselt oleks võinud selle lahendusele täiendavalt külge panna, aga kande lühendamiseks ma seda ei teinud. Loodan, et kõik saavad sellest aru ja tähistavad sama asja.

Populaarne näide isetegemise lahendusest:

Näide 2

Leidke vektoritele ehitatud kolmnurga pindala, kui

Vektorkorrutise kaudu kolmnurga pindala leidmise valem on toodud definitsiooni kommentaarides. Lahendus ja vastus on tunni lõpus.

Praktikas on see ülesanne tõesti väga tavaline, et kolmnurgad võivad teid üldiselt piinata.

Muude probleemide lahendamiseks vajame:

Vektorite vektorkorrutise omadused

Oleme juba vaaginud mõnda vektorprodukti omadust, kuid lisan need sellesse loendisse.

Suvaliste vektorite ja suvalise arvu korral kehtivad järgmised omadused:

1) Teistes teabeallikates ei ole seda elementi atribuutides tavaliselt esile tõstetud, kuid see on praktilises mõttes väga oluline. Nii et las olla.

2) – kinnisvarast on ka eespool juttu, vahel nimetatakse antikommutatiivsus. Teisisõnu, vektorite järjekord on oluline.

3) – assotsiatiivne või assotsiatiivne vektorkorrutise seadused. Konstandid saab hõlpsasti vektorkorrutisest väljapoole teisaldada. Tõesti, mida nad seal tegema peaksid?

4) – levitamine või jaotav vektorkorrutise seadused. Ka klambrite avamisega pole probleeme.

Selle demonstreerimiseks vaatame lühikest näidet:

Näide 3

Leia, kui

Lahendus: Tingimuseks on jällegi vaja leida vektorkorrutise pikkus. Maalime oma miniatuuri:

(1) Vastavalt assotsiatiivsetele seadustele võtame konstandid väljaspool vektorkorrutise ulatust.

(2) Me võtame konstandi väljaspool moodulit ja moodul "sööb" miinusmärgi. Pikkus ei saa olla negatiivne.

(3) Ülejäänu on selge.

Vastus:

On aeg lisada tulle rohkem puid:

Näide 4

Arvutage vektoritele ehitatud kolmnurga pindala, kui

Lahendus: leidke valemi abil kolmnurga pindala . Konks on selles, et vektorid "tse" ja "de" on ise esitatud vektorite summadena. Siinne algoritm on standardne ja meenutab mõneti tunni näiteid nr 3 ja 4 Vektorite punktkorrutis. Selguse huvides jagame lahenduse kolmeks etapiks:

1) Esimeses etapis väljendame vektorprodukti vektorkorrutise kaudu, tegelikult väljendame vektorit vektori kaudu. Pikkuse kohta pole veel sõnagi!

(1) Asendage vektorite avaldised.

(2) Kasutades distributsiooniseadusi, avame sulud polünoomide korrutamise reegli järgi.

(3) Kasutades assotsiatiivseid seadusi, viime kõik konstandid vektorkorrutistest kaugemale. Väikese kogemuse korral saab 2. ja 3. samme sooritada samaaegselt.

(4) Esimene ja viimane liige on toreda omaduse tõttu võrdsed nulliga (nullvektor). Teises terminis kasutame vektori korrutise antikommutatiivsuse omadust:

(5) Esitame sarnased terminid.

Selle tulemusel selgus, et vektor väljendati vektori kaudu, mille saavutamiseks oli vaja:

2) Teises etapis leiame meile vajaliku vektorkorrutise pikkuse. See toiming sarnaneb näitega 3:

3) Leidke vajaliku kolmnurga pindala:

Lahenduse etapid 2-3 oleks võinud kirjutada ühele reale.

Vastus:

Vaadeldav probleem on testides üsna tavaline, siin on näide selle enda lahendamiseks:

Näide 5

Leia, kui

Lühilahendus ja vastus tunni lõpus. Vaatame, kui tähelepanelik sa eelmisi näiteid uurides olid ;-)

Vektorite ristkorrutis koordinaatides

, määratud ortonormaalselt, väljendatakse valemiga:

Valem on tõesti lihtne: determinandi ülemisele reale kirjutame koordinaatvektorid, teisele ja kolmandale reale “paneme” vektorite koordinaadid ja paneme ranges järjekorras– kõigepealt “ve” vektori koordinaadid, seejärel “double-ve” vektori koordinaadid. Kui vektoreid on vaja korrutada teises järjekorras, tuleb read vahetada:

Näide 10

Kontrollige, kas järgmised ruumivektorid on kollineaarsed:
A)
b)

Lahendus: Kontroll põhineb ühel selle õppetunni väitel: kui vektorid on kollineaarsed, siis on nende vektorkorrutis võrdne nulliga (nullvektor): .

a) Leidke vektorkorrutis:

Seega ei ole vektorid kollineaarsed.

b) Leidke vektorkorrutis:

Vastus a) mitte kollineaarne, b)

Siin on võib-olla kogu põhiteave vektorite vektorkorrutise kohta.

See jaotis ei ole väga suur, kuna vektorite segakorrutise kasutamisel on vähe probleeme. Tegelikult sõltub kõik määratlusest, geomeetrilisest tähendusest ja paarist töövalemist.

Vektorite segakorrutis on kolme vektori korrutis:

Nii et nad rivistusid nagu rong ega jõua ära oodata, millal neid tuvastatakse.

Esiteks jällegi määratlus ja pilt:

Definitsioon: Segatööd mitte-tasapinnaline vektorid, võetud selles järjekorras, kutsus rööptahukas maht, mis on üles ehitatud nendele vektoritele, varustatud plussmärgiga, kui alus on õige, ja märgiga –, kui alus on vasakpoolne.

Teeme joonistamise. Meile nähtamatud jooned tõmmatakse punktiirjoontega:

Sukeldume määratlusse:

2) Võetakse vektorid kindlas järjekorras, see tähendab, et vektorite ümberpaigutamine korrutises, nagu võite arvata, ei toimu ilma tagajärgedeta.

3) Enne geomeetrilise tähenduse kommenteerimist märgin ühe ilmse fakti: vektorite segakorrutis on ARV: . Õppekirjanduses võib kujundus olla veidi erinev, olen harjunud tähistama segatoodet tähega ja arvutuste tulemust tähega “pe”.

A-prioor segaprodukt on rööptahuka ruumala, ehitatud vektoritele (joonis on joonistatud punaste vektorite ja mustade joontega). See tähendab, et arv on võrdne antud rööptahuka helitugevusega.

Märge : Joonis on skemaatiline.

4) Ärgem muretsegem uuesti aluse ja ruumi orientatsiooni mõiste pärast. Lõpuosa tähendus on see, et helitugevusele saab lisada miinusmärgi. Lihtsamalt öeldes võib segatoode olla negatiivne: .

Otseselt definitsioonist tuleneb vektoritele ehitatud rööptahuka ruumala arvutamise valem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Enne vektorkorrutise mõiste andmist pöördugem vektorite a →, b →, c → järjestatud kolmiku orientatsiooni küsimuse juurde kolmemõõtmelises ruumis.

Alustuseks paneme ühest punktist kõrvale vektorid a → , b → , c →. Kolmiku a → , b → , c → orientatsioon võib olla parem- või vasakpoolne, olenevalt vektori c → enda suunast. Kolmiku a → , b → , c → tüüp määratakse selle järgi, millises suunas tehakse lühim pööre vektorist a → punkti b → vektori c → lõpust.

Kui sooritada lühim pööre vastupäeva, siis vektorite kolmik a → , b → , c → nimetatakse õige, kui päripäeva – vasakule.

Järgmiseks võtame kaks mittekollineaarset vektorit a → ja b →. Joonistame siis vektorid A B → = a → ja A C → = b → punktist A. Koostame vektori A D → = c →, mis on samaaegselt risti nii A B → kui ka A C →. Seega saame vektori enda A D → = c → koostamisel teha kahte asja, andes sellele kas ühe suuna või vastupidi (vt joonist).

Vektorite järjestatud kolmik a → , b → , c → võib, nagu saime teada, olenevalt vektori suunast olla parem- või vasakpoolne.

Ülaltoodust saame tutvustada vektorkorrutise definitsiooni. See määratlus on antud kahe vektori jaoks, mis on määratletud kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

Definitsioon 1

Kahe vektori a → ja b → vektorkorrutis me nimetame sellist vektorit, mis on määratletud kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, nii et:

• kui vektorid a → ja b → on kollineaarsed, on see null;
• see on risti nii vektori a → ​​​​ kui ka vektori b → suhtes, st. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• selle pikkus määratakse valemiga: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• vektorite kolmik a → , b → , c → on sama orientatsiooniga kui antud koordinaatsüsteem.

Vektorite a → ja b → vektorkorrutis on järgmise tähistusega: a → × b →.

Vektorkorrutise koordinaadid

Kuna igal vektoril on koordinaatide süsteemis teatud koordinaadid, saame kasutusele võtta teise vektori korrutise definitsiooni, mis võimaldab leida selle koordinaadid vektorite antud koordinaatide abil.

2. definitsioon

Kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis kahe vektori a → = (a x ; a y ; a z) ja b → = (b x ; b y ; b z) vektorkorrutis nimetatakse vektoriks c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kus i → , j → , k → on koordinaatvektorid.

Vektorkorrutist saab esitada kolmandat järku ruutmaatriksi determinandina, kus esimene rida sisaldab vektorvektorid i → , j → , k → , teine ​​rida sisaldab vektori a → koordinaate ja kolmas rida. sisaldab vektori b → koordinaate antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, maatriksi determinant näeb välja selline: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Laiendades selle determinandi esimese rea elementidele, saame võrdsuse: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a = a · y b x b → → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Ristkorrutise omadused

Teada on, et vektorkorrutis koordinaatides esitatakse maatriksi determinandina c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , siis alusel maatriksdeterminandi omadused kuvatakse järgmised vektorprodukti omadused:

1. antikommutatiivsus a → × b → = - b → × a → ;
2. jaotus a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → või a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. assotsiatiivsus λ a → × b → = λ a → × b → või a → × (λ b →) = λ a → × b →, kus λ on suvaline reaalarv.

Nendel omadustel on lihtsad tõendid.

Näitena saame tõestada vektorkorrutise antikommutatiivse omaduse.

Antikommutatiivsuse tõend

Definitsiooni järgi a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ja b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Ja kui maatriksi kaks rida vahetatakse, peaks maatriksi determinandi väärtus muutuma vastupidiseks, seetõttu a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , mis ja tõestab, et vektorkorrutis on antikommutatiivne.

Vektortoode – näited ja lahendused

Enamasti on probleeme kolme tüüpi.

Esimest tüüpi ülesannetes on tavaliselt antud kahe vektori pikkused ja nendevaheline nurk ning tuleb leida vektorkorrutise pikkus. Sel juhul kasutage järgmist valemit c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Näide 1

Leia vektorite a → ja b → vektorkorrutise pikkus, kui tead a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Lahendus

Määrates vektorite a → ja b → vektorkorrutise pikkuse, lahendame ülesande: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Vastus: 15 2 2 .

Teist tüüpi ülesannetel on seos vektorite koordinaatidega, nendes vektorkorrutisega, selle pikkusega jne. otsitakse antud vektorite teadaolevate koordinaatide kaudu a → = (a x; a y; a z) Ja b → = (b x ; b y ; b z) .

Seda tüüpi probleemide puhul saate lahendada palju ülesandevalikuid. Näiteks ei saa määrata vektorite a → ja b → koordinaate, vaid nende laiendusi vormi koordinaatvektoriteks b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → ja c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → või vektoreid a → ja b → saab määrata nende alguse koordinaatidega ja lõpp-punktid.

Mõelge järgmistele näidetele.

Näide 2

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on antud kaks vektorit: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Leidke nende ristprodukt.

Lahendus

Teise definitsiooni järgi leiame kahe vektori vektorkorrutise antud koordinaatides: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Kui kirjutada vektorkorrutis läbi maatriksi determinandi, siis selle näite lahendus näeb välja selline: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Vastus: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Näide 3

Leia vektorite i → - j → ja i → + j → + k → vektorkorrutise pikkus, kus i →, j →, k → on ristkülikukujulise Descartesiuse koordinaatsüsteemi ühikvektorid.

Lahendus

Kõigepealt leiame antud vektorkorrutise i → - j → × i → + j → + k → koordinaadid antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

On teada, et vektoritel i → - j → ja i → + j → + k → on vastavalt koordinaadid (1; - 1; 0) ja (1; 1; 1). Leiame maatriksi determinandi abil vektorkorrutise pikkuse, siis saame i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Seetõttu on vektorkorrutisel i → - j → × i → + j → + k → antud koordinaatsüsteemis koordinaadid (- 1 ; - 1 ; 2).

Vektorkorrutise pikkuse leiame valemi abil (vt vektori pikkuse leidmise osa): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Vastus: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Näide 4

Ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis on antud kolme punkti A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) koordinaadid. Leia mõni vektor, mis on samaaegselt risti A B → ja A C →.

Lahendus

Vektoritel A B → ja A C → on järgmised koordinaadid (- 1 ; 2 ; 2) ja (0 ; 4 ; 1). Olles leidnud vektorite A B → ja A C → vektorkorrutise, on ilmne, et see on definitsiooni järgi risti vektor nii A B → kui ka A C → suhtes, st see on meie probleemi lahendus. Leiame selle A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Vastus: - 6 i → + j → - 4 k → . - üks risti vektoritest.

Kolmandat tüüpi ülesanded on suunatud vektorite vektorkorrutise omaduste kasutamisele. Pärast mille rakendamist saame antud probleemile lahenduse.

Näide 5

Vektorid a → ja b → on risti ja nende pikkused on vastavalt 3 ja 4. Leidke vektorkorrutise 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → pikkus. + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Lahendus

Vektorkorrutise jaotusomaduse järgi saame kirjutada 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Assotsiatiivsuse omaduse järgi võtame arvulised koefitsiendid välja viimase avaldise vektori korrutiste märgist: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorkorrutised a → × a → ja b → × b → on võrdsed 0-ga, kuna a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 ja b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, siis 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Vektorkorrutise antikommutatiivsusest järeldub - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Vektorkorrutise omadusi kasutades saame võrrandi 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Tingimuse järgi on vektorid a → ja b → risti, see tähendab, et nendevaheline nurk on võrdne π 2-ga. Nüüd jääb üle vaid asendada leitud väärtused vastavatesse valemitesse: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Vastus: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Vektorite vektorkorrutise pikkus definitsiooni järgi on võrdne a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Kuna on juba teada (koolikursusest), et kolmnurga pindala on võrdne poolega selle kahe külje pikkuste korrutisest nende külgede vahelise nurga siinusega. Järelikult on vektori korrutise pikkus võrdne rööpküliku pindalaga - kahekordse kolmnurgaga, nimelt külgede korrutisega vektorite a → ja b → kujul, mis on paigutatud ühest punktist siinuse võrra. nendevaheline nurk sin ∠ a →, b →.

See on vektorkorrutise geomeetriline tähendus.

Vektorkorrutise füüsiline tähendus

Mehaanikas, ühes füüsika harudest, saate tänu vektorkorrutisele määrata jõu momendi ruumipunkti suhtes.

3. määratlus

Punktile B rakendatud jõu F → punkti A suhtes punkti A suhtes saame aru järgmisest vektorkorrutisest A B → × F →.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter