أمثلة على حل المعادلات الخطية. المعادلات الخطية

وما إلى ذلك، فمن المنطقي التعرف على معادلات من أنواع أخرى. التالي في الخط هم المعادلات الخطية والتي تبدأ دراستها المستهدفة في دروس الجبر في الصف السابع.

من الواضح أنك تحتاج أولاً إلى شرح ماهية المعادلة الخطية، وإعطاء تعريف للمعادلة الخطية، ومعاملاتها، وإظهارها منظر عام. بعد ذلك يمكنك معرفة عدد الحلول التي تحتوي عليها المعادلة الخطية اعتمادًا على قيم المعاملات وكيفية العثور على الجذور. سيسمح لك ذلك بالانتقال إلى حل الأمثلة، وبالتالي تعزيز النظرية المكتسبة. في هذه المقالة سنقوم بذلك: سنتناول بالتفصيل جميع النقاط النظرية والعملية المتعلقة بالمعادلات الخطية وحلولها.

لنفترض على الفور أننا سننظر هنا فقط في المعادلات الخطية ذات المتغير الواحد، وفي مقال منفصل سندرس مبادئ الحل المعادلات الخطية ذات متغيرين.

التنقل في الصفحة.

ما هي المعادلة الخطية؟

يتم تعريف المعادلة الخطية من خلال طريقة كتابتها. علاوة على ذلك، في الكتب المدرسية المختلفةتحتوي صيغ الرياضيات والجبر لتعريفات المعادلات الخطية على بعض الاختلافات التي لا تؤثر على جوهر المسألة.

على سبيل المثال، في كتاب الجبر للصف السابع لـ N. Makarychev وآخرين، يتم تعريف المعادلة الخطية على النحو التالي:

تعريف.

معادلة النموذج أ س = ب، حيث x متغير، a و b عبارة عن بعض الأرقام، يتم استدعاؤها معادلة خطية ذات متغير واحد.

دعونا نعطي أمثلة على المعادلات الخطية التي تلبي التعريف المذكور. على سبيل المثال، 5 x = 10 هي معادلة خطية ذات متغير واحد x، هنا المعامل a هو 5، والرقم b هو 10. مثال آخر: −2.3·y=0 هي أيضًا معادلة خطية، ولكن بمتغير y، حيث a=−2.3 وb=0. وفي المعادلات الخطية x=−2 و −x=3.33 a غير موجودة بشكل صريح وتساوي 1 و −1 على التوالي، بينما في المعادلة الأولى b=−2، وفي الثانية - b=3.33.

وقبل عام، في كتاب الرياضيات N. Ya Vilenkin، تم اعتبار المعادلات الخطية ذات المجهول الواحد، بالإضافة إلى معادلات النموذج a x = b، معادلات يمكن إحضارها إلى هذا النموذج عن طريق نقل المصطلحات. من جزء من المعادلة إلى آخر علامة معاكسة، وكذلك عن طريق تقليل المصطلحات المماثلة. ووفقاً لهذا التعريف، فإن المعادلات من الصيغة 5 x = 2 x + 6، إلخ. خطية أيضا.

بدوره، في كتاب الجبر للصف السابع من تأليف A. G. Mordkovich، يتم تقديم التعريف التالي:

تعريف.

معادلة خطية ذات متغير واحد xهي معادلة من الشكل a·x+b=0، حيث a وb عبارة عن أرقام تسمى معاملات المعادلة الخطية.

على سبيل المثال، المعادلات الخطية من هذا النوع هي 2 x−12=0، هنا المعامل a هو 2، وb يساوي −12، و0.2 y+4.6=0 مع المعاملين a=0.2 وb =4.6. ولكن في الوقت نفسه، هناك أمثلة للمعادلات الخطية التي ليس لها الشكل a·x+b=0، ولكن a·x=b، على سبيل المثال، 3·x=12.

دعونا، حتى لا يكون لدينا أي اختلافات في المستقبل، من خلال معادلة خطية بمتغير واحد x والمعاملين a و b نعني معادلة بالشكل a x + b = 0. يبدو أن هذا النوع من المعادلات الخطية هو الأكثر تبريرًا، نظرًا لأن المعادلات الخطية كذلك المعادلات الجبرية الدرجة الأولى. وجميع المعادلات الأخرى المذكورة أعلاه، وكذلك المعادلات التي تستخدم التحولات المكافئةيتم تقليلها إلى النموذج a·x+b=0 ، سوف نسميها المعادلات التي يتم اختزالها إلى المعادلات الخطية. بهذا النهج، المعادلة 2 x+6=0 هي معادلة خطية، و2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12، إلخ. - هذه هي المعادلات التي يتم اختزالها إلى المعادلات الخطية.

كيفية حل المعادلات الخطية؟

حان الوقت الآن لمعرفة كيفية حل المعادلات الخطية a·x+b=0. بمعنى آخر، حان الوقت لمعرفة ما إذا كانت المعادلة الخطية لها جذور، وإذا كان الأمر كذلك، فما عددها وكيفية العثور عليها.

يعتمد وجود جذور المعادلة الخطية على قيم المعاملين a و b. في هذه الحالة، المعادلة الخطية a x+b=0

الجذر الوحيد لـ a≠0،
ليس له جذور لـ a=0 وb≠0،
له عدد لا نهائي من الجذور لـ a=0 وb=0، وفي هذه الحالة يكون أي رقم هو جذر المعادلة الخطية.

دعونا نشرح كيف تم الحصول على هذه النتائج.

نحن نعلم أنه لحل المعادلات، يمكننا الانتقال من المعادلة الأصلية إلى المعادلات المكافئة، أي إلى معادلات لها نفس الجذور، أو بدون جذور، مثل المعادلة الأصلية. للقيام بذلك، يمكنك استخدام التحويلات المكافئة التالية:

نقل حد من جزء من المعادلة إلى جزء آخر بإشارة معاكسة،
وكذلك ضرب أو قسمة طرفي المعادلة على نفس الرقم غير الصفر.

إذن، في معادلة خطية ذات واحد متغير النموذج a·x+b=0 يمكننا نقل الحد b من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمن بإشارة معاكسة. في هذه الحالة، المعادلة سوف تأخذ الشكل a·x=−b.

ومن ثم يطرح سؤال قسمة طرفي المعادلة على الرقم أ. لكن هناك شيء واحد: العدد a يمكن أن يساوي صفرًا، وفي هذه الحالة تكون هذه القسمة مستحيلة. للتعامل مع هذه المشكلة، نفترض أولاً أن الرقم a غير صفر، والحالة كذلك يساوي الصفرسننظر إليها بشكل منفصل بعد ذلك بقليل.

لذلك، عندما لا يساوي a الصفر، فيمكننا قسمة طرفي المعادلة a·x=−b على a، وبعد ذلك ستتحول إلى الشكل x=(-b):a، ويمكن كتابة هذه النتيجة باستخدام الشرطة المائلة الكسرية مثل.

وبالتالي، بالنسبة لـ a≠0، فإن المعادلة الخطية a·x+b=0 تعادل المعادلة التي يظهر منها جذرها.

ومن السهل أن نبين أن هذا الجذر فريد من نوعه، أي أن المعادلة الخطية ليس لها جذور أخرى. هذا يسمح لك أن تفعل الطريقة المعاكسة.

دعنا نشير إلى الجذر بـ x 1. لنفترض أن هناك جذرًا آخر للمعادلة الخطية، والذي نشير إليه بـ x 2، وx 2 ≠x 1، والذي يرجع إلى التعاريف أعداد متساويةمن خلال الفرقيعادل الشرط x 1 −x 2 ≠0. بما أن x 1 وx 2 هما جذور المعادلة الخطية a·x+b=0، فإن المساواة العددية a·x 1 +b=0 وa·x 2 +b=0 تظل ثابتة. يمكننا طرح الأجزاء المتناظرة من هذه المعادلات، والتي تسمح لنا خصائص المساواة العددية بفعلها، لدينا a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0، ومنها a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 ثم a·(x 1 −x 2)=0 . لكن هذه المساواة مستحيلة، لأن كلا من a≠0 و x 1 − x 2 ≠0. لذلك وصلنا إلى تناقض يثبت تفرد جذر المعادلة الخطية a·x+b=0 لـ a≠0.

لذلك قمنا بحل المعادلة الخطية a·x+b=0 لـ a≠0. النتيجة الأولى الواردة في بداية هذه الفقرة لها ما يبررها. هناك اثنان آخران يستوفيان الشرط a=0.

عندما تكون a=0، فإن المعادلة الخطية a·x+b=0 تأخذ الشكل 0·x+b=0. من هذه المعادلة ومن خاصية ضرب الأعداد في الصفر، يترتب على ذلك أنه بغض النظر عن الرقم الذي نأخذه كـ x، عندما يتم استبداله في المعادلة 0 x + b=0، سيتم الحصول على المساواة العددية b=0. تكون هذه المساواة صحيحة عندما تكون b=0، وفي حالات أخرى عندما تكون b≠0 تكون هذه المساواة خاطئة.

وبالتالي، مع a=0 وb=0، أي رقم هو جذر المعادلة الخطية a·x+b=0، لأنه في ظل هذه الظروف، استبدال أي رقم لـ x يعطي المساواة العددية الصحيحة 0=0. وعندما يكون a=0 وb≠0، فإن المعادلة الخطية a x+b=0 ليس لها جذور، لأنه في ظل هذه الظروف، يؤدي استبدال أي رقم لـ x إلى رقم غير صحيح المساواة العدديةب=0 .

تسمح لنا المبررات المقدمة بصياغة سلسلة من الإجراءات التي تسمح لنا بحل أي معادلة خطية. لذا، خوارزمية لحل المعادلة الخطيةيكون:

أولاً، من خلال كتابة المعادلة الخطية، نجد قيم المعاملين a وb.
إذا كانت a=0 وb=0، فإن هذه المعادلة لها عدد لا نهائي من الجذور، أي أن أي رقم هو جذر لهذه المعادلة الخطية.
إذا كان a غير صفر، إذن

يتم نقل المعامل b إلى الجانب الأيمن بالإشارة المعاكسة، ويتم تحويل المعادلة الخطية إلى الشكل a·x=−b،
وبعد ذلك يتم تقسيم طرفي المعادلة الناتجة على رقم غير صفري، مما يعطي الجذر المطلوب للمعادلة الخطية الأصلية.

الخوارزمية المكتوبة هي إجابة شاملة لسؤال كيفية حل المعادلات الخطية.

في ختام هذه النقطة، تجدر الإشارة إلى أنه يتم استخدام خوارزمية مماثلة لحل المعادلات من الشكل a·x=b. الفرق هو أنه عندما يكون a≠0، يتم تقسيم طرفي المعادلة على الفور على هذا الرقم؛ هنا b موجود بالفعل في الجزء المطلوب من المعادلة وليست هناك حاجة لنقله.

لحل المعادلات من الصورة a x = b، يتم استخدام الخوارزمية التالية:

إذا كانت a=0 وb=0، فإن المعادلة لها عدد لا نهائي من الجذور، وهي أي أرقام.
إذا كانت a=0 وb≠0، فإن المعادلة الأصلية ليس لها جذور.
إذا كانت a غير الصفر، فسيتم قسمة طرفي المعادلة على رقم غير الصفر a، ومنه يوجد الجذر الوحيد للمعادلة، وهو b/a.

أمثلة على حل المعادلات الخطية

دعنا ننتقل إلى الممارسة. دعونا نلقي نظرة على كيفية استخدام الخوارزمية لحل المعادلات الخطية. وهنا الحلول أمثلة نموذجية، مُتَجَانِس معاني مختلفةمعاملات المعادلات الخطية.

مثال.

حل المعادلة الخطية 0·x−0=0.

حل.

في هذه المعادلة الخطية, a=0 و b=−0 , وهو نفس b=0 . ولذلك فإن هذه المعادلة لها عدد لا نهائي من الجذور؛ أي عدد هو جذر لهذه المعادلة.

إجابة:

س – أي رقم.

مثال.

هل للمعادلة الخطية 0 x + 2.7 = 0 حلول؟

حل.

في في هذه الحالةمعامل أ يساوي الصفر، ومعامل b لهذه المعادلة الخطية يساوي 2.7، أي يختلف عن الصفر. وبالتالي، فإن المعادلة الخطية ليس لها جذور.

سنتناول في هذا الدرس طرق حل نظام من المعادلات الخطية. في دورة الرياضيات العليا، يلزم حل أنظمة المعادلات الخطية في النموذج المهام الفرديةعلى سبيل المثال، "حل النظام باستخدام صيغ كرامر"، وفي سياق حل المسائل الأخرى. يجب التعامل مع أنظمة المعادلات الخطية في جميع فروع الرياضيات العليا تقريبًا.

أولا، القليل من النظرية. ماذا يعني في هذه الحالة؟ كلمة الرياضيات"خطي"؟ وهذا يعني أن معادلات النظام الجميعالمتغيرات المدرجة في الدرجة الأولى: دون أي أشياء فاخرة مثل وما إلى ذلك، وهو ما يسعد به فقط المشاركون في أولمبياد الرياضيات.

في الرياضيات العليالتعيين المتغيرات، لا يتم استخدام الحروف المألوفة منذ الطفولة فقط.
الخيار الشائع إلى حد ما هو المتغيرات ذات الفهارس: .
أو الحروف الأولية الأبجدية اللاتينية، الصغيرة والكبيرة:
ليس من النادر العثور عليه الحروف اليونانية: – معروف لدى الكثيرين باسم “ألفا، بيتا، جاما”. وأيضًا مجموعة بها مؤشرات، على سبيل المثال، بالحرف "mu":

يعتمد استخدام مجموعة أو أخرى من الحروف على قسم الرياضيات العليا الذي نواجه فيه نظام المعادلات الخطية. لذلك، على سبيل المثال، في أنظمة المعادلات الخطية التي تتم مواجهتها عند حل التكاملات، المعادلات التفاضليةمن التقليدي استخدام التدوين

ولكن بغض النظر عن كيفية تعيين المتغيرات، فإن المبادئ والأساليب والأساليب لحل نظام المعادلات الخطية لا تتغير. وبالتالي، إذا صادفت شيئًا مخيفًا مثل، فلا تتسرع في إغلاق كتاب المشكلة خوفًا، ففي النهاية، يمكنك رسم الشمس بدلاً من ذلك، والطائر بدلاً من ذلك، والوجه (المعلم) بدلاً من ذلك. وعلى الرغم من أن الأمر قد يبدو مضحكًا، إلا أنه من الممكن أيضًا حل نظام من المعادلات الخطية بهذه الرموز.

لدي شعور بأن المقالة ستكون طويلة جدًا، لذا فهي تحتوي على جدول محتويات صغير. وبالتالي فإن "استخلاص المعلومات" التسلسلي سيكون على النحو التالي:

– حل نظام من المعادلات الخطية بطريقة الاستبدال (( طريقة المدرسة») ;
– حل النظام عن طريق الجمع (الطرح) لمعادلات النظام حدًا تلو الآخر;
– حل النظام باستخدام صيغ كرامر;
- حل النظام باستخدام المصفوفة العكسية;
– حل النظام باستخدام الطريقة الغوسية.

الجميع على دراية بأنظمة المعادلات الخطية من دورة المدرسةالرياضيات. في الأساس، نبدأ بالتكرار.

حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة الاستبدال

هذه الطريقةويمكن أيضًا أن يطلق عليها "الطريقة المدرسية" أو طريقة إزالة المجهول. من الناحية المجازية، يمكن أن يطلق عليها أيضًا "طريقة غاوسية غير مكتملة".

مثال 1

هنا لدينا نظام من معادلتين مع مجهولين. لاحظ أن الحدين الحرين (الرقمين 5 و7) موجودان على الجانب الأيسر من المعادلة. بشكل عام، لا يهم مكان وجودهم، على اليسار أو على اليمين، فقط في مشاكل الرياضيات العليا غالبًا ما يتم تحديد موقعهم بهذه الطريقة. ويجب ألا يؤدي مثل هذا التسجيل إلى الارتباك، وإذا لزم الأمر، يمكن دائمًا كتابة النظام "كالمعتاد": . ولا تنس أنه عند نقل حد من جزء إلى جزء، فإنه يحتاج إلى تغيير إشارته.

ماذا يعني حل نظام المعادلات الخطية؟ حل نظام المعادلات يعني إيجاد العديد من حلوله. حل النظام هو مجموعة من القيم لجميع المتغيرات المتضمنة فيه، الذي يحول كل معادلة النظام إلى المساواة الحقيقية. وبالإضافة إلى ذلك، يمكن أن يكون النظام غير مشترك (ليس لديهم حلول).لا تقلق، إنه كذلك تعريف عام=) سيكون لدينا قيمة واحدة فقط "x" وقيمة واحدة "y" والتي تحقق كل معادلة s-we.

موجود طريقة الرسمحل النظام الذي يمكن العثور عليه في الفصل أبسط المشاكل مع الخط. هناك تحدثت عنه هندسيا أنظمة معادلتين خطيتين مع مجهولين. ولكن الآن هذا هو عصر الجبر، والأرقام والأعداد والأفعال والأفعال.

دعونا نقرر: من المعادلة الأولى نعبر عن:
نعوض بالتعبير الناتج في المعادلة الثانية:

نفتح الأقواس ونعطي مصطلحات مماثلةوابحث عن القيمة:

بعد ذلك، نتذكر ما رقصنا من أجله:
نحن نعرف القيمة بالفعل، كل ما تبقى هو العثور على:

إجابة:

بعد حل أي نظام من المعادلات بأي طريقة، أوصي بشدة بالتحقق (شفهيًا، على المسودة أو على الآلة الحاسبة). ولحسن الحظ، يتم ذلك بسهولة وبسرعة.

1) عوض بالإجابة التي وجدتها في المعادلة الأولى:

- يتم الحصول على المساواة الصحيحة.

2) عوض بالإجابة التي وجدتها في المعادلة الثانية:

- يتم الحصول على المساواة الصحيحة.

أو بعبارة أبسط: "كل شيء جاء معًا"

إن طريقة الحل المدروسة ليست الوحيدة من المعادلة الأولى التي أمكن التعبير عنها و لا .
يمكنك فعل العكس - عبر عن شيء ما من المعادلة الثانية واستبدله في المعادلة الأولى. وبالمناسبة، لاحظ أن أسوأ الطرق الأربعة هو التعبير من المعادلة الثانية:

والنتيجة هي كسور، ولكن لماذا؟ هناك حل أكثر عقلانية.

ومع ذلك، في بعض الحالات، لا يمكنك الاستغناء عن الكسور. وفي هذا الصدد، أود أن ألفت انتباهكم إلى الطريقة التي كتبت بها التعبير. ليس هكذا: وليس هكذا بأي حال من الأحوال: .

إذا كنت تتعامل مع أرقام كسرية في الرياضيات العليا، فحاول إجراء جميع الحسابات في الكسور غير الصحيحة العادية.

بالضبط، وليس أو!

لا يمكن استخدام الفاصلة إلا في بعض الأحيان، على وجه الخصوص، إذا كانت هي الإجابة النهائية على بعض المشاكل، ولا يلزم تنفيذ أي إجراءات أخرى مع هذا الرقم.

ربما تساءل العديد من القراء "لماذا نفعل هذا؟ شرح مفصلأما فئة التصحيح فكل شيء واضح. لا شيء من هذا القبيل، يبدو بسيطا جدا مثال المدرسةوكم هو جدا استنتاجات مهمة! وهنا واحد آخر:

يجب أن تسعى جاهدة لإكمال أي مهمة بأفضل ما تستطيع. بطريقة عقلانية . فقط لأنه يوفر الوقت والأعصاب ويقلل أيضًا من احتمالية ارتكاب الأخطاء.

إذا صادفت في مشكلة رياضية أعلى نظامًا من معادلتين خطيتين مع مجهولين، فيمكنك دائمًا استخدام طريقة الاستبدال (ما لم تتم الإشارة إلى أن النظام يحتاج إلى حل بطريقة أخرى، فلن يفكر أي مدرس). أنك مغفل وستخفض درجتك لاستخدامك "الطريقة المدرسية" "
علاوة على ذلك، في بعض الحالات، يُنصح باستخدام طريقة الاستبدال عندما أكثرالمتغيرات.

مثال 2

حل نظام المعادلات الخطية مع ثلاثة مجاهيل

غالبًا ما ينشأ نظام مماثل من المعادلات عند استخدام الطريقة المزعومة معاملات غير مؤكدةعندما نجد تكامل الدالة الكسرية. تم أخذ النظام المعني من هناك بواسطتي.

عند العثور على التكامل، فإن الهدف هو سريعإيجاد قيم المعاملات، وعدم اللجوء إلى طريقة صيغ كريمر مصفوفة معكوسةإلخ. لذلك، في هذه الحالة، طريقة الاستبدال مناسبة.

عندما يتم إعطاء أي نظام من المعادلات، فمن المستحسن أولاً معرفة ما إذا كان من الممكن تبسيطه بطريقة أو بأخرى على الفور؟ وبتحليل معادلات النظام نلاحظ أن المعادلة الثانية للنظام يمكن قسمتها على 2 وهذا ما نقوم به:

مرجع: علامة رياضيةتعني "من هذا يتبع هذا"، وغالبًا ما يتم استخدامها أثناء حل المشكلات.

الآن دعونا نحلل المعادلات، ونحن بحاجة إلى التعبير عن بعض المتغيرات بدلالة المتغيرات الأخرى. أي معادلة يجب أن أختار؟ ربما خمنت بالفعل أن أسهل طريقة لهذا الغرض هي أخذ المعادلة الأولى للنظام:

هنا، بغض النظر عن المتغير المراد التعبير عنه، يمكن للمرء بسهولة التعبير عن أو .

بعد ذلك، نعوض بالتعبير "ل" في المعادلتين الثانية والثالثة للنظام:

نفتح الأقواس ونقدم مصطلحات مماثلة:

قسمة المعادلة الثالثة على 2:

من المعادلة الثانية نعبر ونعوض في المعادلة الثالثة:

كل شيء تقريباً جاهز، ومن المعادلة الثالثة نجد:
من المعادلة الثانية :
من المعادلة الأولى:

تحقق: دعنا نستبدل القيم الموجودة للمتغيرات بها الجانب الأيسركل معادلة للنظام:

1)
2)
3)

تم الحصول على الأطراف اليمنى المقابلة للمعادلات، وبالتالي تم العثور على الحل بشكل صحيح.

مثال 3

حل نظام المعادلات الخطية مع 4 مجاهيل

وهذا مثال ل قرار مستقل(الإجابة في نهاية الدرس).

حل النظام عن طريق الجمع (الطرح) لمعادلات النظام

عند حل أنظمة المعادلات الخطية، يجب أن تحاول عدم استخدام "الطريقة المدرسية"، ولكن طريقة الجمع (الطرح) لمعادلات النظام. لماذا؟ وهذا يوفر الوقت ويبسط العمليات الحسابية، ولكن الآن سيصبح كل شيء أكثر وضوحًا.

مثال 4

حل نظام المعادلات الخطية:

أخذت نفس النظام كما في المثال الأول.
وبتحليل نظام المعادلات نلاحظ أن معاملي المتغير متطابقان في المقدار ومتعاكسان في الإشارة (-1 و 1). في مثل هذه الحالة، يمكن إضافة المعادلات مصطلحًا تلو الآخر:

يتم تنفيذ الإجراءات المحاطة بدائرة باللون الأحمر عقليًا.
كما ترون، نتيجة لإضافة حد تلو الآخر، فقدنا المتغير. هذا، في الواقع، هو ما جوهر الطريقة هو التخلص من أحد المتغيرات.

في هذا الفيديو سوف نقوم بتحليل مجموعة كاملة من المعادلات الخطية التي تم حلها باستخدام نفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.

أولاً، دعونا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها تسمى الأبسط؟

المعادلة الخطية هي تلك التي يوجد فيها متغير واحد فقط، وحتى الدرجة الأولى فقط.

أبسط معادلة تعني البناء:

يتم تقليل جميع المعادلات الخطية الأخرى إلى أبسطها باستخدام الخوارزمية:

قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت؛
نقل الحدود التي تحتوي على متغير إلى أحد جانبي علامة التساوي، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر؛
أعط مصطلحات مشابهة لليسار واليمين لعلامة المساواة؛
اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $x$.

وبطبيعة الحال، هذه الخوارزمية لا تساعد دائما. والحقيقة هي أنه في بعض الأحيان بعد كل هذه المكائد، يكون معامل المتغير $x$ مساويًا للصفر. في هذه الحالة، هناك خياران ممكنان:

المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال، عندما يظهر شيء مثل $0\cdot x=8$، أي. على اليسار صفر، وعلى اليمين رقم غير الصفر. في الفيديو أدناه سنلقي نظرة على عدة أسباب وراء حدوث هذا الموقف.
الحل هو كل الارقام الحالة الوحيدة، عندما يكون ذلك ممكنًا، يتم تقليل المعادلة إلى البناء $0\cdot x=0$. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن $x$ الذي نستبدله، فسيظل "الصفر يساوي صفرًا"، أي. المساواة العددية الصحيحة

الآن دعونا نرى كيف يعمل كل هذا باستخدام أمثلة من الحياة الواقعية.

أمثلة على حل المعادلات

اليوم نحن نتعامل مع المعادلات الخطية، وأبسطها فقط. بشكل عام، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط، ولا تصل إلا إلى الدرجة الأولى.

يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:

بادئ ذي بدء، تحتاج إلى فتح الأقواس، إن وجدت (كما في موقعنا المثال الأخير);
ثم الجمع بين مماثلة
وأخيرا، عزل المتغير، أي. انقل كل ما يتعلق بالمتغير – أي المصطلحات التي يحتوي عليها – إلى جهة، وانقل كل ما بقي دونه إلى الجهة الأخرى.

بعد ذلك، كقاعدة عامة، تحتاج إلى إحضار مماثلة على كل جانب من المساواة الناتجة، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على معامل "x"، وسنحصل على الإجابة النهائية.

من الناحية النظرية، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا، ولكن من الناحية العملية، حتى طلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة يمكن أن يرتكبوا أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادة، يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس أو عند حساب "الإيجابيات" و"السلبيات".

بالإضافة إلى ذلك، قد يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق، أو أن الحل هو خط الأعداد بأكمله، أي. أي رقم. سننظر في هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ، كما فهمت بالفعل، مع جدا مهام بسيطة.

مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة

أولاً، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:

قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت.
نحن نعزل المتغيرات، أي. نقوم بنقل كل ما يحتوي على "X" إلى جانب واحد، وكل شيء بدون "X" إلى الجانب الآخر.
نقدم مصطلحات مماثلة.
نقسم كل شيء على معامل "x".

بالطبع، هذا المخطط لا يعمل دائمًا؛ هناك بعض التفاصيل الدقيقة والحيل فيه، والآن سنتعرف عليها.

حل أمثلة حقيقية للمعادلات الخطية البسيطة

المهمة رقم 1

الخطوة الأولى تتطلب منا فتح الأقواس. ولكنها ليست في هذا المثال، لذلك نحن تخطيها هذه المرحلة. في الخطوة الثانية نحتاج إلى عزل المتغيرات. يرجى الملاحظة: نحن نتحدث عنهفقط حول المصطلحات الفردية. دعنا نكتبها:

نقدم مصطلحات مماثلة على اليسار واليمين، ولكن تم القيام بذلك بالفعل هنا. لذلك، دعونا ننتقل إلى الخطوة الرابعة: مقسوما على المعامل:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

لذلك حصلنا على الجواب.

المهمة رقم 2

يمكننا أن نرى الأقواس في هذه المسألة، لذلك دعونا نوسعها:

نرى على اليسار وعلى اليمين نفس التصميم تقريبًا، ولكن دعونا نتصرف وفقًا للخوارزمية، أي. فصل المتغيرات:

وهنا بعض منها مماثلة:

في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك، يمكننا أن نكتب أن $x$ هو أي رقم.

المهمة رقم 3

المعادلة الخطية الثالثة هي الأكثر إثارة للاهتمام:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

هناك عدة أقواس، لكن لا يتم ضربها بأي شيء، فهي ببساطة مسبوقة بـ علامات مختلفة. دعونا نقسمها:

نقوم بالخطوة الثانية المعروفة لنا بالفعل:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

دعونا نفعل الرياضيات:

ننفذ الخطوة الأخيرة - نقسم كل شيء على معامل "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية

إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا، أود أن أقول ما يلي:

كما قلت أعلاه، ليس كل معادلة خطية لها حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور؛
وحتى لو كانت هناك جذور، فقد يكون بينها صفر، فلا حرج في ذلك.

الصفر هو نفس الرقم الموجود في الأرقام الأخرى، ويجب ألا تميز ضده بأي شكل من الأشكال أو تفترض أنك إذا حصلت على الصفر، فهذا يعني أنك ارتكبت خطأ ما.

ميزة أخرى تتعلق بفتح الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون هناك "ناقص" أمامهم، نقوم بإزالته، ولكن بين قوسين نقوم بتغيير العلامات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه باستخدام الخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.

فهم هذا حقيقة بسيطةسيسمح لك بتجنب ارتكاب أخطاء غبية ومهينة في المدرسة الثانوية، عندما يكون القيام بمثل هذه الأفعال أمرا مفروغا منه.

حل المعادلات الخطية المعقدة

دعنا ننتقل إلى المزيد معادلات معقدة. الآن ستصبح التصاميم أكثر تعقيدًا عند تنفيذها التحولات المختلفةسوف تنشأ وظيفة تربيعية. ومع ذلك، لا ينبغي لنا أن نخاف من ذلك، لأنه إذا كنا، وفقا لخطة المؤلف، نحل معادلة خطية، فعند عملية التحويل، سيتم إلغاء جميع أحاديات الحد التي تحتوي على دالة تربيعية بالضرورة.

المثال رقم 1

من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. دعونا نفعل ذلك بعناية فائقة:

والآن دعونا نلقي نظرة على الخصوصية:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

وهنا بعض منها مماثلة:

ومن الواضح أن معادلة معينةلا توجد حلول لذلك سنكتب هذا في الرد:

\[\varnothing\]

أو لا توجد جذور.

المثال رقم 2

نحن نقوم بنفس الإجراءات. الخطوة الأولى:

دعنا ننقل كل شيء بمتغير إلى اليسار، وبدونه - إلى اليمين:

وهنا بعض منها مماثلة:

من الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل، لذا سنكتبها بهذه الطريقة:

\[\فارنوثينغ\]،

أو لا توجد جذور.

الفروق الدقيقة في الحل

تم حل كلتا المعادلتين بالكامل. باستخدام هذين التعبيرين كمثال، كنا مقتنعين مرة أخرى أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية، قد لا يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك جذور واحدة، أو لا شيء، أو عدد لا نهائي من الجذور. في حالتنا، تناولنا معادلتين، ليس لكل منهما جذور.

لكني أود أن ألفت انتباهكم إلى حقيقة أخرى: كيفية العمل مع الأقواس وكيفية فتحها إذا كانت هناك علامة ناقص أمامها. خذ بعين الاعتبار هذا التعبير:

قبل الفتح، تحتاج إلى مضاعفة كل شيء بـ "X". يرجى ملاحظة: يتضاعف كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل فترتان - على التوالي، فترتان ومضروبة.

وفقط بعد الانتهاء من هذه التحولات التي تبدو بدائية ولكنها مهمة وخطيرة للغاية، يمكنك فتح القوس من وجهة نظر حقيقة وجود علامة ناقص بعدها. نعم، نعم: الآن فقط، عند اكتمال التحويلات، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام الأقواس، مما يعني أن كل شيء أدناه يغير العلامات ببساطة. وفي الوقت نفسه، تختفي الأقواس نفسها، والأهم من ذلك، أن "الطرح" الأمامي يختفي أيضًا.

ونفعل نفس الشيء مع المعادلة الثانية:

ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه إلى هذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير ذات أهمية. لأن حل المعادلات يكون دائمًا متتابعًا التحولات الأوليةحيث عدم القدرة على الأداء بوضوح وكفاءة خطوات بسيطةيؤدي إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون مرة أخرى حل مثل هذه المعادلات البسيطة.

وبطبيعة الحال، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات إلى درجة التلقائية. لن تضطر بعد الآن إلى إجراء العديد من التحويلات في كل مرة؛ بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. ولكن بينما تتعلم فقط، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.

حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا

ما سنقوم بحله الآن، بالكاد يمكن أن يسمى أبسط مهمة، لكن المعنى يبقى كما هو.

المهمة رقم 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

دعونا نضرب جميع العناصر في الجزء الأول:

دعونا نفعل بعض الخصوصية:

وهنا بعض منها مماثلة:

فلنكمل الخطوة الأخيرة:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

هنا هو جوابنا النهائي. وعلى الرغم من أنه أثناء عملية الحل كانت لدينا معاملات ذات دالة تربيعية، إلا أنها ألغت بعضها البعض، مما يجعل المعادلة خطية وليست تربيعية.

المهمة رقم 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

لننفذ الخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر من القوس الأول بكل عنصر من القوس الثاني. يجب أن يكون هناك إجمالي أربعة مصطلحات جديدة بعد التحويلات:

الآن دعونا نجري عملية الضرب بعناية في كل حد:

لننقل المصطلحات التي تحتوي على "X" إلى اليسار، وتلك التي لا تحتوي على - إلى اليمين:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

وهنا مصطلحات مماثلة:

ومرة أخرى تلقينا الجواب النهائي.

الفروق الدقيقة في الحل

والملاحظة الأكثر أهمية حول هاتين المعادلتين هي أنه بمجرد أن نبدأ بضرب الأقواس التي تحتوي على أكثر من حد واحد، يتم ذلك عن طريق القاعدة التالية: نأخذ الحد الأول من الأول ونضربه في كل عنصر من الثاني؛ ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضربه كذلك في كل عنصر من الثاني. ونتيجة لذلك، سيكون لدينا أربعة حدود.

حول المجموع الجبري

بهذا المثال الأخير، أود أن أذكر الطلاب بماذا مجموع جبري. في الرياضيات الكلاسيكية، نعني بـ 1-7 دولارات بناءًا بسيطًا: طرح سبعة من واحد. ونقصد في الجبر ما يلي: إلى العدد "واحد" نضيف رقما آخر وهو "ناقص سبعة". هذه هي الطريقة التي يختلف بها المجموع الجبري عن المجموع الحسابي العادي.

بمجرد إجراء جميع التحويلات، كل إضافة وضرب، تبدأ في رؤية إنشاءات مماثلة لتلك الموصوفة أعلاه، فلن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.

أخيرًا، دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة أخرى ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو، ولحلها، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا قليلاً.

حل المعادلات بالكسور

لحل مهام مماثلةسيتعين علينا إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً، دعني أذكرك بالخوارزمية التي لدينا:

افتح الأقواس.
متغيرات منفصلة.
إحضار مماثلة.
القسمة على النسبة.

للأسف، هذه الخوارزمية الرائعة، على الرغم من فعاليتها، ليست مناسبة تمامًا عندما تكون أمامنا كسور. وفيما سنراه أدناه، لدينا كسر على كل من اليسار واليمين في كلتا المعادلتين.

كيفية العمل في هذه الحالة؟ نعم، الأمر بسيط جدًا! للقيام بذلك، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية، والتي يمكن القيام بها قبل الإجراء الأول وبعده، أي التخلص من الكسور. لذلك ستكون الخوارزمية كما يلي:

تخلص من الكسور.
افتح الأقواس.
متغيرات منفصلة.
إحضار مماثلة.
القسمة على النسبة.

ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا يمكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع، في حالتنا، جميع الكسور عددية في مقامها، أي. في كل مكان القاسم هو مجرد رقم. ولذلك، إذا ضربنا طرفي المعادلة في هذا العدد، فسنتخلص من الكسور.

المثال رقم 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

دعونا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة، أي. فقط لأن لديك قوسين لا يعني أن عليك ضرب كل منهما بـ "أربعة". دعونا نكتب:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

الآن دعونا نتوسع:

نعزل المتغير:

نقوم بإجراء تخفيض المصطلحات المماثلة:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

وصلنا القرار النهائيلننتقل إلى المعادلة الثانية.

المثال رقم 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

هنا نقوم بتنفيذ جميع الإجراءات نفسها:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

تم حل المشكلة.

وهذا، في الواقع، هو كل ما أردت أن أخبرك به اليوم.

النقاط الرئيسية

النتائج الرئيسية هي:

معرفة خوارزمية حل المعادلات الخطية.
القدرة على فتح الأقواس.
لا تقلق إذا رأيت وظائف تربيعيةعلى الأرجح، في عملية مزيد من التحولات، سوف تنخفض.
هناك ثلاثة أنواع من الجذور في المعادلات الخطية، حتى أبسطها: جذر واحد، وخط الأعداد بأكمله هو جذر، ولا توجد جذور على الإطلاق.

آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لمزيد من الفهم لجميع الرياضيات. إذا كان هناك شيء غير واضح، فانتقل إلى الموقع وحل الأمثلة المعروضة هناك. لا تنزعج، العديد من الأشياء الأكثر إثارة للاهتمام في انتظاركم!

المعادلات. وبعبارة أخرى، فإن حل جميع المعادلات يبدأ بهذه التحولات. عند حل المعادلات الخطية يكون (الحل). تحولات الهويةوينتهي بالإجابة النهائية.

حالة المعامل غير الصفري لمتغير غير معروف.

الفأس+ب=0، أ ≠ 0

ننقل المصطلحات التي تحتوي على X إلى جانب واحد، والأرقام إلى الجانب الآخر. تأكد من تذكر ذلك عند نقل الشروط إلى الجانب الآخرالمعادلات، تحتاج إلى تغيير العلامة:

الفأس:(أ)=-ب:(أ)

دعونا نختصر أفي Xونحصل على:

س=-ب:(أ)

هذا هو الجواب. إذا كنت بحاجة إلى التحقق مما إذا كان الرقم -ب :(أ)جذر المعادلة، ثم علينا التعويض به المعادلة الأوليةبدلاً من Xهذا هو الرقم:

أ(-ب:(أ))+ب=0 (أولئك. 0=0)

لأن فهذه المساواة صحيحة إذن -ب :(أ)والحقيقة هي جذر المعادلة.

إجابة: س=-ب:(أ)، أ ≠ 0.

المثال الأول:

5س+2=7س-6

ننقل المصطلحات إلى جانب واحد Xوعلى الجانب الآخر الأرقام:

5س-7س=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

إذا كان غير معروف، تم تخفيض المعامل وحصلنا على الجواب:

هذا هو الجواب. إذا كنت بحاجة إلى التحقق مما إذا كان الرقم 4 هو بالفعل جذر المعادلة، فإننا نستبدل هذا الرقم بدلاً من X في المعادلة الأصلية:

5*4+2=7*4-6 (أولئك. 22=22)

لأن إذا كانت هذه المساواة صحيحة، فإن 4 هو جذر المعادلة.

المثال الثاني:

حل المعادلة:

5س+14=س-49

عن طريق نقل المجهول والأرقام إلى جوانب مختلفة، تلقى:

قسمة أجزاء المعادلة على المعامل في س(بنسبة 4) ونحصل على:

المثال الثالث:

حل المعادلة:

أولاً نتخلص من اللاعقلانية في معامل المجهول بضرب جميع الحدود في:

يعتبر هذا النموذج مبسطا، لأنه الرقم له جذر الرقم الموجود في المقام. علينا تبسيط الإجابة عن طريق ضرب البسط والمقام في نفس العدد، لدينا هذا:

حالة عدم وجود حلول.

حل المعادلة:

2س+3=2س+7

أمام الجميع سمعادلتنا لن تصبح مساواة حقيقية. وهذا يعني أن المعادلة ليس لها جذور.

الجواب: لا توجد حلول.

حالة خاصة هي عدد لا حصر له من الحلول.

حل المعادلة:

2س+3=2س+3

بتحريك x والأرقام في اتجاهات مختلفة وإضافة مصطلحات مماثلة نحصل على المعادلة:

وهنا أيضًا لا يمكن تقسيم الجزأين على 0، لأن هذا محظور. ومع ذلك، وضع Xأي رقم، نحصل على المساواة الصحيحة. أي أن كل رقم هو حل لمثل هذه المعادلة. وهكذا هنا عدد لا نهائيالقرارات.

رد: عدد لا نهائي من الحلول

حالة المساواة بين شكلين كاملين.

الفأس + ب = ج س + د

الفأس-cx=d-b

(أ-ج)س=د-ب

س = (د-ب):(أ-ج)

إجابة: س = (د-ب):(أ-ج)، لو د≠ب و أ≠جوإلا فإن هناك عددًا لا نهائيًا من الحلول، ولكن إذا أ = ج، أ د≠ب، ثم لا توجد حلول.

باستخدام هذا برنامج الرياضياتيمكنك حل نظام من معادلتين خطيتين باثنين طريقة متغيرةطريقة الاستبدال والإضافة.

البرنامج لا يعطي الجواب على المشكلة فحسب، بل يعطي أيضا حل مفصلمع شرح خطوات الحل بطريقتين: طريقة الاستبدال وطريقة الجمع.

هذا البرنامجقد تكون مفيدة لطلاب المدارس الثانوية المدارس الثانويةاستعدادا ل الاختباراتوالامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، ليتمكن الآباء من التحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك تريد فقط إنجاز الأمر في أسرع وقت ممكن؟العمل في المنزل

في الرياضيات أو الجبر؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية. بهذه الطريقة يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو التدريب الخاص بك.الاخوة الاصغر

أو الأخوات، في حين يرتفع مستوى التعليم في مجال المشاكل التي يتم حلها.

قواعد لإدخال المعادلات
أي حرف لاتيني يمكن أن يكون بمثابة متغير.

على سبيل المثال: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$، إلخ. عند إدخال المعادلاتيمكنك استخدام الأقواس
. في هذه الحالة، يتم تبسيط المعادلات أولاً.

المعادلات بعد التبسيط يجب أن تكون خطية، أي. من النموذج ax+by+c=0 مع دقة ترتيب العناصر. على سبيل المثال: 6س+1 = 5(س+ص)+2في المعادلات، يمكنك استخدام ليس فقط الأعداد الصحيحة، ولكن أيضًا

أرقام كسرية
الأجزاء الصحيحة والكسرية في الكسور العشريةيمكن فصلها إما بنقطة أو بفاصلة.
على سبيل المثال: 2.1 ن + 3.5 م = 55

قواعد إدخال الكسور العادية.
يمكن للعدد الصحيح فقط أن يكون بمثابة البسط والمقام والجزء الصحيح من الكسر.
لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.
عند الدخول جزء رقمييتم فصل البسط عن المقام بعلامة القسمة: /
الجزء كلهمفصولة عن الكسر بعلامة الضم: &

أمثلة.
-1&2/3ص + 5/3س = 55
2.1ع + 55 = -2/7(3.5ع - 2&1/8q)

حل نظام المعادلات

تم اكتشاف أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المشكلة لم يتم تحميلها، وقد لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.
وفي هذه الحالة، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

تم تعطيل JavaScript في متصفحك.
لكي يظهر الحل، تحتاج إلى تمكين JavaScript.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية...

إذا كنت لاحظت خطأ في الحل، فيمكنك الكتابة عن هذا في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى المهمةعليك أن تقرر ما أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

القليل من النظرية.

حل أنظمة المعادلات الخطية. طريقة الاستبدال

تسلسل الإجراءات عند حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة الاستبدال:
1) التعبير عن متغير واحد من معادلة النظام بدلالة متغير آخر؛
2) استبدل التعبير الناتج بمعادلة أخرى للنظام بدلاً من هذا المتغير؛

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

لنعبر عن y بدلالة x من المعادلة الأولى: y = 7-3x. باستبدال التعبير 7-3x في المعادلة الثانية بدلاً من y نحصل على النظام:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

من السهل توضيح أن النظامين الأول والثاني لهما نفس الحلول. وفي النظام الثاني تحتوي المعادلة الثانية على متغير واحد فقط. دعونا نحل هذه المعادلة:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

باستبدال الرقم 1 بدلاً من x في المساواة y=7-3x، نجد القيمة المقابلة لـ y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

الزوج (1;4) - حل النظام

تسمى أنظمة المعادلات في متغيرين لهما نفس الحلول مقابل. الأنظمة التي ليس لديها حلول تعتبر أيضًا متكافئة.

حل أنظمة المعادلات الخطية بالجمع

لنفكر في طريقة أخرى لحل أنظمة المعادلات الخطية - طريقة الجمع. عند حل الأنظمة بهذه الطريقة، وكذلك عند الحل بالتعويض، ننتقل من هذا النظام إلى نظام آخر مكافئ، حيث تحتوي إحدى المعادلات على متغير واحد فقط.

تسلسل الإجراءات عند حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة الجمع:
1) ضرب معادلات حد النظام بحد مع اختيار العوامل بحيث تصبح معاملات أحد المتغيرات أرقام متضادة;
2) أضف الجانبين الأيسر والأيمن من معادلات النظام حدًا تلو الآخر؛
3) حل المعادلة الناتجة بمتغير واحد.
4) أوجد القيمة المقابلة للمتغير الثاني.

مثال. دعونا نحل نظام المعادلات:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

في معادلات هذا النظام، معاملات y هي أرقام متضادة. وبجمع الطرفين الأيمن والأيسر من المعادلات حدًا تلو الآخر، نحصل على معادلة بمتغير واحد 3x=33. لنستبدل إحدى معادلات النظام، مثلاً الأولى، بالمعادلة 3x=33. دعونا الحصول على النظام
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

من المعادلة 3س=33 نجد أن س=11. بتعويض قيمة x هذه في المعادلة $x-3y=38$ نحصل على معادلة بالمتغير y: $11-3y=38$. دعونا نحل هذه المعادلة:
$-3y=27 \Rightarrow y=-9 $

وهكذا وجدنا حل نظام المعادلات بالجمع: $x=11; y=-9$ أو $(11;-9)$

وبالاستفادة من حقيقة أن معاملات y في معادلات النظام هي أرقام متضادة، قمنا بتقليل حلها إلى الحل نظام مكافئ(بجمع طرفي كل من معادلات الرمز الأصلي)، حيث تحتوي إحدى المعادلات على متغير واحد فقط.

كتب (كتب مدرسية) ملخصات امتحان الدولة الموحدة واختبارات امتحان الدولة الموحدة الألعاب عبر الإنترنت والألغاز رسم الرسوم البيانية للوظائف قاموس إملائي للغة الروسية قاموس الشباب العامية كتالوج المدارس الروسية كتالوج المؤسسات التعليمية الثانوية في روسيا كتالوج الجامعات الروسية قائمة من المهام