حل المعادلات بالكسوردعونا نلقي نظرة على الأمثلة. الأمثلة بسيطة وتوضيحية. بمساعدتهم أنت أكثر بطريقة واضحةيمكنك أن تتعلم.
على سبيل المثال، تحتاج إلى حل المعادلة البسيطة x/b + c = d.

تسمى المعادلة من هذا النوع خطية لأنها يحتوي المقام على أرقام فقط.

يتم الحل بضرب طرفي المعادلة في b، فتأخذ المعادلة الصورة x = b*(d – c)، أي. يُلغى مقام الكسر الموجود على الجانب الأيسر.

على سبيل المثال كيفية الحل معادلة كسرية:
س/5+4=9
نضرب كلا الطرفين في 5. نحصل على:
س+20=45
س = 45-20 = 25

مثال آخر عندما يكون المجهول في المقام:

تسمى المعادلات من هذا النوع كسرًا عقلانيًا أو كسريًا ببساطة.

سنحل معادلة كسرية بالتخلص من الكسور، وبعدها تتحول هذه المعادلة في أغلب الأحيان إلى معادلة خطية أو تربيعية يتم حلها بالطريقة المعتادة. تحتاج فقط إلى النظر في النقاط التالية:

• لا يمكن أن تكون قيمة المتغير الذي يحول المقام إلى 0 جذرًا؛
• لا يمكنك قسمة أو ضرب معادلة بالتعبير =0.

وهنا يأتي مفهوم المنطقة حيز التنفيذ القيم المقبولة(ODZ) هي قيم جذور المعادلة التي تكون المعادلة منطقية لها.

وبالتالي، عند حل المعادلة، من الضروري العثور على الجذور، ومن ثم التحقق منها للتأكد من امتثالها لـ ODZ. يتم استبعاد تلك الجذور التي لا تتوافق مع ODZ من الإجابة.

على سبيل المثال، تحتاج إلى حل معادلة كسرية:

بناءً على القاعدة المذكورة أعلاه، لا يمكن أن تكون x = 0، أي. ODZ في في هذه الحالة: x - أي قيمة غير الصفر.

نتخلص من المقام بضرب جميع شروط المعادلة في x

ونحل المعادلة المعتادة

5س – 2س = 1
3س = 1
س = 1/3

الجواب: س = 1/3

دعونا نحل معادلة أكثر تعقيدا:

ODZ موجود أيضًا هنا: x -2.

عند حل هذه المعادلة، لن ننقل كل شيء إلى جانب واحد ونقلل الكسور إلى القاسم المشترك. سنضرب طرفي المعادلة على الفور في مقدار يلغي جميع المقامات مرة واحدة.

لتقليل القواسم التي تحتاجها الجهه اليسرىاضرب في x+2، واليد اليمنى في 2. هذا يعني أنه يجب ضرب طرفي المعادلة في 2(x+2):

هذا بالضبط الضرب العاديالكسور التي ناقشناها بالفعل أعلاه

دعونا نكتب نفس المعادلة، ولكن بشكل مختلف قليلا

يتم تقليل الجانب الأيسر بمقدار (x+2)، والجانب الأيمن بمقدار 2. وبعد التخفيض نحصل على المعادلة الخطية المعتادة:

x = 4 - 2 = 2، وهو ما يتوافق مع ODZ الخاص بنا

الجواب: س = 2.

حل المعادلات بالكسورليست صعبة كما قد يبدو. وقد أظهرنا ذلك في هذه المقالة بالأمثلة. إذا كان لديك أي صعوبات مع كيفية حل المعادلات مع الكسور، ثم قم بإلغاء الاشتراك في التعليقات.

توكاريف كيريل

يساعدك العمل على تعلم كيفية استخراج الجذر التربيعي لأي رقم دون استخدام الآلة الحاسبة وجدول المربعات وتحرير مقام الكسر من اللاعقلانية.

تحرر نفسك من لاعقلانية مقام الكسر

جوهر الطريقة هو ضرب وقسمة الكسور بتعبير من شأنه القضاء على اللاعقلانية (المربع و جذور مكعبة) من المقام وسيجعل الأمر أكثر بساطة. بعد ذلك، يكون من الأسهل اختزال الكسور إلى قاسم مشترك وتبسيط التعبير الأصلي في النهاية.

استخراج الجذر التربيعي بتقريب لرقم معين.

لنفترض أننا بحاجة إلى استخراج الجذر التربيعي للعدد الطبيعي 17358122، ومن المعلوم أنه يمكن استخراج الجذر. للعثور على النتيجة، في بعض الأحيان يكون من المناسب استخدام القاعدة الموضحة في العمل.

تحميل:

معاينة:

لاستخدام المعاينة، قم بإنشاء حساب ( حساب) جوجل وتسجيل الدخول: https://accounts.google.com

معاينة:

لاستخدام معاينات العرض التقديمي، قم بإنشاء حساب Google وقم بتسجيل الدخول إليه: https://accounts.google.com

التسميات التوضيحية للشرائح:

متطرف. تحرر نفسك من لاعقلانية مقام الكسر. استخراج الجذر التربيعي بدرجة محددة من الدقة. طالب في الصف 9 ب من المدرسة الثانوية التعليمية البلدية رقم 7، سالسك كيريل توكاريف

سؤال أساسي: هل من الممكن استخراج الجذر التربيعي لأي رقم بدرجة معينة من الدقة، دون الحاجة إلى آلة حاسبة وجدول المربعات؟

الأهداف والغايات: النظر في حالات حل التعبيرات ذات الجذور التي لم يتم دراستها في دورة المدرسةالرياضيات، ولكنها ضرورية لامتحان الدولة الموحدة.

تاريخ الجذر علامة الجذر تأتي من الأحرف الصغيرة حرف لاتينيص (الأولي في كلمة لاتينيةالجذر - الجذر)، تنصهر مع مرتفع. في الأيام الخوالي، تم استخدام وضع خط تحت التعبير بدلاً من القوسين الحاليين، لذا فهي مجرد طريقة قديمة معدلة لكتابة شيء من هذا القبيل. تم استخدام هذه التسمية لأول مرة عالم الرياضيات الألمانيتوماس رودولف عام 1525.

التحرر من لاعقلانية مقام الكسر جوهر الطريقة هو ضرب وقسمة الكسر بتعبير من شأنه إزالة اللاعقلانية (الجذور التربيعية والمكعبية) من المقام وجعلها أكثر بساطة. بعد ذلك، يكون من الأسهل اختزال الكسور إلى قاسم مشترك وتبسيط التعبير الأصلي في النهاية. خوارزمية للتخلص من اللاعقلانية في مقام الكسر: 1. قسّم مقام الكسر إلى عوامل. 2. إذا كان المقام على الصورة أو يحتوي على عامل، فيجب ضرب البسط والمقام. إذا كان المقام على الصورة أو أو يحتوي على عامل من هذا النوع، فيجب ضرب بسط ومقام الكسر بـ أو بـ، على التوالي. تسمى الأرقام المترافقة. 3. قم بتحويل بسط الكسر ومقامه، إن أمكن، ثم قم بتبسيط الكسر الناتج.

أ) ب) ج) د) = - التحرر من اللاعقلانية في مقام الكسر.

استخراج الجذر التربيعي للوصول إلى رقم محدد. 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 6 8326 6 2) الطريقة البابلية القديمة: مثال: بحث. لحل المشكلة رقم معينتتحلل إلى مجموع حدين: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100، أولهما هو مربع ممتاز. ثم نطبق الصيغة. الطريقة الجبرية:

استخراج الجذر التربيعي للوصول إلى رقم محدد. , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6 6 0 0 , 3

المراجع 1. مجموعة المسائل في الرياضيات للمقبلين على الجامعات، تحرير M.I Skanavi. V. K. Egerev, B. A. Kordemsky, V. V. Zaitsev, "ONICS 21st Century"، 2003 2. الجبر والوظائف الأولية. ر. أ. كالنين، "العلم"، 1973 3. الرياضيات. المواد المرجعية. V. A. Gusev، A. G. Mordkovich، دار النشر "Prosveshcheniye"، 1990. 4. تلاميذ المدارس حول الرياضيات وعلماء الرياضيات. جمعه م.م. ليمان، التنوير، 1981.

بناء على طلبك!

5. حل عدم المساواة:

6 . تبسيط التعبير:

17. و(س)=6س 2 +8س+5، ف(-1)=3. أوجد F(-2).

لنجد C، مع العلم أن F(-1) = 3.

3 = 2 ∙ (-1) 3 + 4 ∙ (-1) 2 + 5 ∙ (-1) + C;

3 = -2 + 4 – 5 + ج؛

ومن ثم، فإن المشتق العكسي F(x) = 2x 3 + 4x 2 + 5x + 6. فلنوجد F(-2).

F(-2) = 2∙(-2) 3 +4∙(-2) 2 +5∙(-2)+6 = -16+16-10+6=-4.

20. التخلص من اللاعقلانية في القاسم

يعتمد الحل على الخاصية الأساسية للكسر، والتي تسمح لك بضرب بسط الكسر ومقامه في نفس الشيء، دون يساوي الصفررقم. للتخلص من العلامات الجذرية في مقام الكسر، عادة ما يستخدمون صيغ الضرب المختصرة. بعد كل شيء، إذا تم ضرب الفرق بين جذرين في مجموعهما، فسنحصل على الفرق بين مربعات الجذور، أي. تحصل على تعبير بدون علامات جذرية.

21. تبسيط التعبير:

دعونا نحل هذا المثال بطريقتين. 1) لنتخيل التعبير الجذري للعامل الثاني على شكل مربع مجموع تعبيرين، أي. بالشكل (أ + ب) 2 . سيسمح لنا ذلك باستخراج الجذر التربيعي الحسابي.

2) لنقم بتربيع العامل الأول ونضعه تحت إشارة الجذر التربيعي الحسابي للعامل الثاني.

قرر بالطريقة التي تناسبك!

22. أوجد (x 1 ∙y 1 +x 2 ∙y 2)، حيث (x n; y n) هي حلول لنظام المعادلات:

بما أن الجذر التربيعي الحسابي لا يمكن أخذه إلا منه رقم غير سالبثم القيم المسموح بها للمتغير فيجميع الأرقام تحقق عدم المساواة ص≥0. حيث أن المنتج في المعادلة الأولى للنظام يساوي عدد السلبي، فيجب استيفاء الشرط التالي: س<0 . دعونا نعرب Xمن المعادلة الأولى ونعوض بقيمتها في المعادلة الثانية. دعونا نحل المعادلة الناتجة ل في، ثم ابحث عن القيم X، المقابلة للقيم التي تم الحصول عليها سابقا في.

23. حل المتراجحة: 7sin 2 x+cos 2 x>5sinx.

بما أنه وفقًا للهوية المثلثية الرئيسية: sin 2 x+cos 2 x=1، ثم تقديم هذه المتباينة في الصورة 6sin 2 x+ sin 2 x +cos 2 x>5sinx وتطبيق المتطابقة الرئيسية الهوية المثلثية، نحصل على: 6sin 2 x+ 1>5sinx. حل عدم المساواة:

6سين 2 ×-5سينكس+1 >0. لنقم بالتعويض: sinx=y ونحصل على المتباينة التربيعية:

6ص 2 -5ص+1>0. دعونا نحل هذه المتباينة باستخدام طريقة الفترات، مع تحليل الطرف الأيسر. للقيام بذلك، نجد جذور المعادلة التربيعية الكاملة:

6ص 2 -5ص+1=0. المميز D=ب 2 -4ac=5 2 -4∙6∙1=25-24=1. ثم نحصل على y 1 و y 2:

24. في قاعدة المنشور المستقيم يكمن مثلث منتظمالذي تكون مساحته احسب مساحة السطح الجانبي للمنشور إذا كان حجمه 300 سم3.

دعونا نعطي الحق منشور ثلاثي ABCA 1 B 1 C 1، والذي يعتمد على Δ ABC الصحيح، ومساحته معروفة لنا. تطبيق صيغة المنطقة مثلث متساوي الاضلاع، سوف نجد جانبنا المثلث ABC. بما أن حجم المنشور المستقيم يتم حسابه بالصيغة V=S الرئيسية. ∙ H، ونعلم أيضًا أنه يمكننا إيجاد H - ارتفاع المنشور. ستكون الحافة الجانبية للمنشور مساوية لارتفاع المنشور: AA 1 =H. بمعرفة جانب القاعدة وطول الحافة الجانبية للمنشور، يمكنك العثور على مساحة سطحه الجانبي باستخدام الصيغة: الجانب S. = ف الأساسية ∙ ح.

25. كان هناك 20 سؤالا في مسابقة المدرسة. لكل إجابة صحيحة تم منح المشارك 12 نقطة، ولكل إجابة غير صحيحة تم خصم 10 نقاط. ما عدد الإجابات الصحيحة التي قدمها أحد المشاركين إذا أجاب على جميع الأسئلة وحصل على 86 نقطة؟

دع المشارك يعطي x الإجابات الصحيحة. ثم لديه (20) إجابة خاطئة. مع العلم أنه حصل على كل إجابة صحيحة 12 نقطة، وعلى كل إجابة غير صحيحة تم خصم 10 نقاط، وفي نفس الوقت حصل على 86 نقطة، سننشئ المعادلة:

12س-10·(20)=86;

12x-200+10x=86;

22س=286 ⇒ س=286:22 ⇒ س=13. أعطى المشارك 13 إجابة صحيحة.

أتمنى لك أن تعطي 25 إجابة صحيحة لاختبار الرياضيات في UNT!

24. على اليمين الهرم الرباعيالارتفاع 3، الضلع الجانبي 6. أوجد نصف قطر الكرة المحيطة بالهرم.

دع الكرة التي مركزها عند النقطة O 1 ونصف قطرها MO 1 يتم وصفها الهرم المنتظم MABCD بارتفاع MO=3 والحافة الجانبية MA=6. مطلوب العثور على نصف قطر الكرة MO 1. خذ بعين الاعتبار ΔMAM 1، حيث يكون الجانب MM 1 هو قطر الكرة. ثم ∠MAM 1 = 90°. دعونا نجد الوتر MM 1 إذا كان الجانب MA وإسقاط هذا الجانب MO على الوتر معروفين. يتذكر؟ الارتفاع المرسوم من قمة الرأس زاوية مستقيمةإلى الوتر هناك وسيلة القيمة النسبيةبين نتوءات الساقين على الوتر، وكل ساق هي متوسط ​​​​القيمة المتناسبة بين الوتر بأكمله وإسقاط هذه الساق على الوتر.في هذه المهمة، لن يكون مفيدًا لنا سوى الجزء الذي تحته خط من القاعدة.

نكتب المساواة: MA 2 = MO∙MM 1. نعوض ببياناتنا: 6 2 =3∙MM 1. وبالتالي مم 1 = 36:3 = 12. لقد وجدنا قطر الكرة، وبالتالي نصف قطر MO 1 = 6.

25. بيتيا أكبر من كوليا، وهي أكبر من ميشا، وماشا أكبر من كوليا، وداشا أصغر من بيتيا، ولكنها أكبر من ماشا. من هو ثالث أقدم؟

لنفترض: كبار السن يعني المزيد. بيتيا أكبر من كوليا، وهي أكبر من ميشالنكتبها على النحو التالي: بيتيا>كوليا>ميشا. داشا أصغر من بيتيا ولكنها أكبر من ماشالنكتبها هكذا: ماشا<Даша<Петя, что будет равнозначно записи: Петя>داشا>ماشا. لأن ماشا أكبر من كوليا،ثم نحصل على: بيتيا>داشا>ماشا>كوليا. وأخيرًا: بيتيا>داشا>ماشا>كوليا>ميشا. وهكذا فإن ثالث أقدم هو ماشا.

يتمنى تحضير ناجحإلى UNT!

تعليمات

قبل أن تتخلص اللاعقلانيةالخامس المقام - صفة مشتركة - حالة، يتبع نوعه، وبناءً على ذلك، تابع الحل. وعلى الرغم من أن أي لاعقلانية تنبع من الحضور البسيط، إلا أن مجموعاتها ودرجاتها المختلفة تفترض مسبقًا خوارزميات مختلفة.

التواجد تحت السطر الكسورجذر قوة كسريةمن النموذج m/n، مع n>m يبدو هذا التعبير كما يلي: a/√(b^m/n).

تخلص من هذا اللاعقلانيةوأيضًا عن طريق إدخال مضاعف، وهذه المرة أكثر تعقيدًا: b^(n-m)/n، أي. من أس الجذر نفسه، تحتاج إلى درجة التعبير تحت علامته. ثم في المقام - صفة مشتركة - حالةفقط :a/(b^m/n) → a √(b^(n-m)/n)/b سيبقى. المثال 2: 5/(4^3/5) → 5 √(4^2/5). / 4 = 5 √(16^1/5)/4.

مجموع الجذور التربيعيةاضرب كلا المكونين الكسوربفارق مماثل. ثم من الجمع غير العقلاني للجذور يتحول المقام إلى / تحت علامة الجذر:a/(√b + √c) → a (√b - √c)/(b - c).مثال 3: 9/(√ 13 + √23) → 9 (√13 - √23)/(13 - 23) = 9 (√23 - √13)/10.

مجموع/الفرق بين الجذور التكعيبية اختر المربع الجزئي للفرق كعامل إضافي إذا كان موجودًا المقام - صفة مشتركة - حالةهو المجموع، وبالتالي المربع غير الكامل لمجموع الفرق بين الجذور: a/(∛b ± ∛c) → a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/ ((∛b ± ∛c ) ∛b² ∓ ∛(b c ) + ∛c²) →a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/(b ± c).المثال 4: 7/(∛5 + ∛4) → 7 (∛25) - ∛20 + ∛16) /9.

إذا كانت المشكلة تحتوي على كل من المربع و ، قم بتقسيم الحل إلى مرحلتين: اشتقاق الجذر التربيعي من المقام على التوالي، ثم الجذر التكعيبي. يتم ذلك باستخدام طرق معروفة لك بالفعل: في الخطوة الأولى، تحتاج إلى تحديد مضاعف الفرق/مجموع الجذور، وفي الثانية - المربع غير المكتمل للمجموع/الفرق.

فيديو حول الموضوع

مصادر:

• كيفية التخلص من اللاعقلانية في الكسور

نصيحة 2: كيفية التخلص من اللاعقلانية في المقام

الإدخال الصحيح عدد كسريلا يحتوي اللاعقلانيةالخامس المقام - صفة مشتركة - حالة. من السهل إدراك مثل هذا التسجيل بالعين المجردة، وذلك عند ظهوره اللاعقلانيةالخامس المقام - صفة مشتركة - حالةومن الحكمة التخلص منه. في هذه الحالة، يمكن أن تصبح اللاعقلانية بسطًا.

تعليمات

في البداية، يمكننا النظر في أبسطها - 1/sqrt(2). الجذر التربيعي لاثنين هو رقم في هذه الحالة، تحتاج إلى ضرب البسط والمقام في مقامه. هذا سوف يوفر المقام - صفة مشتركة - حالة. في الواقع، sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. سيؤدي ضرب جذرين تربيعيين متماثلين ببعضهما البعض في النهاية إلى الحصول على ما هو موجود تحت كل من الجذور: في هذه الحالة، اثنان. sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. تنطبق هذه الخوارزمية أيضًا على الكسور، في المقام - صفة مشتركة - حالةالذي يتم ضرب جذره بعدد نسبي. يجب ضرب البسط والمقام في هذه الحالة بالجذر الموجود فيه المقام - صفة مشتركة - حالةمثال: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.

عليك أن تتصرف بنفس الطريقة تمامًا إذا المقام - صفة مشتركة - حالةلم يتم العثور على الجذر، ولكن، على سبيل المثال، المكعب أو أي درجة أخرى. الجذر في المقام - صفة مشتركة - حالةتحتاج إلى الضرب في نفس الجذر تمامًا، وضرب البسط في نفس الجذر. ثم سوف يذهب الجذر إلى البسط.

وفي حالات أكثر، في المقام - صفة مشتركة - حالةيوجد مجموع عدد غير منطقي و/أو رقمين غير منطقيين في حالة مجموع (الفرق) لجذرين تربيعيين أو جذر تربيعي و رقم منطقييمكن استخدامها بشكل جيد صيغة معروفة(س+ص)(س-ص) = (س^2)-(ص^2). وسوف تساعدك على التخلص من المقام - صفة مشتركة - حالة. إذا كان في المقام - صفة مشتركة - حالةالفرق، فأنت بحاجة إلى ضرب البسط والمقام بمجموع نفس الأرقام، إذا كان المجموع - ثم بالفرق. سيُطلق على هذا المبلغ أو الفرق المضروب اسم المرافق للتعبير المقام - صفة مشتركة - حالةوتأثير ذلك واضح في المثال: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = ( sqrt(2) -1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

إذا كان في المقام - صفة مشتركة - حالةهناك مجموع (فرق) يوجد فيه الجذر إلى حد كبير، ثم يصبح الوضع غير تافه والتخلص منه اللاعقلانيةالخامس المقام - صفة مشتركة - حالةليس من الممكن دائما

مصادر:

• التخلص من الجذر في المقام في عام 2019

نصيحة 3: كيف تحرر نفسك من اللاعقلانية في مقام الكسر

يتكون الكسر من البسط الموجود في أعلى السطر والمقام الذي يتم تقسيمه عليه الموجود في الأسفل. الرقم غير العقلاني هو رقم لا يمكن تمثيله في النموذج الكسورمع عدد صحيح في البسط وعدد طبيعي فيه المقام - صفة مشتركة - حالة. هذه الأرقام هي، على سبيل المثال، الجذر التربيعي لاثنين أو باي. عادة عندما يتحدثون عن اللاعقلانيةالخامس المقام - صفة مشتركة - حالة، الجذر ضمني.

تعليمات

تخلص من الضرب بالمقام. وبالتالي سيتم نقله إلى البسط. عند ضرب البسط والمقام بنفس الرقم تكون القيمة الكسورلم يتغير. استخدم هذا الخيار إذا كان المقام بأكمله جذرًا.

اضرب البسط والمقام بالمقام الرقم الصحيحمرات، اعتمادا على الجذر. إذا كان الجذر مربعا، فمرة واحدة.

اضرب البسط والمقام الكسورإلى المقام، أي إلى √(x+2). المثال الأصلي (56-y)/√(x+2) سيتحول إلى ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). ستكون النتيجة ((56-y)*√(x+2))/(x+2). الآن الجذر في البسط، وفي المقام - صفة مشتركة - حالةلا اللاعقلانية.

اضرب المقام في مجموع الجذور. اضرب البسط بنفس الطريقة لتحصل على القيمة الكسورلم يتغير. سيأخذ الكسر الشكل ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) ).

استفد من الخاصية المذكورة أعلاه (x+y)*(x-y)=x²-y² وحرر المقام من اللاعقلانية. ستكون النتيجة ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). الآن أصبح الجذر في البسط، وتم التخلص من المقام اللاعقلانية.

في الحالات الصعبةكرر كلا الخيارين، وقم بالتطبيق حسب الضرورة. يرجى ملاحظة أنه ليس من الممكن دائمًا التخلص منه اللاعقلانيةالخامس المقام - صفة مشتركة - حالة.

مصادر:

الكسر الجبري هو تعبير عن الصيغة A/B، حيث يشير الحرفان A وB إلى أي رقم أو رقم التعبيرات الحرفية. في كثير من الأحيان البسط والمقام الكسور الجبريةلها مظهر مرهق، ولكن يجب تنفيذ العمليات مع مثل هذه الكسور وفقًا لنفس القواعد المطبقة على العمليات العادية، حيث يكون البسط والمقام أعدادًا صحيحة أرقام إيجابية.

تعليمات

إذا أعطيت الكسور، قم بتحويلها (الكسر الذي يكون فيه البسط أكبر من المقام): اضرب المقام في الجزء بالكامل وأضف البسط. وبالتالي فإن الرقم 2 1/3 سيتحول إلى 7/3. للقيام بذلك، اضرب 3 في 2 وأضف واحدًا.

إذا كنت بحاجة إلى تحويل كسر إلى كسر غير حقيقي، فتخيله كأرقام بدون علامة عشرية لكل واحد وبها عدد من الأصفار يساوي عدد الأرقام بعد العلامة العشرية. على سبيل المثال، تخيل أن الرقم 2.5 هو 25/10 (إذا تم اختصاره، فستحصل على 5/2)، والرقم 3.61 هو 361/100. غالبًا ما يكون العمل مع الوحدات غير المنتظمة أسهل من العمل مع الوحدات المختلطة أو العشرية.

إذا كنت بحاجة إلى طرح جزء واحد من الآخر، وقد فعلوا ذلك قواسم مختلفة، جلب الكسور إلى قاسم مشترك. للقيام بذلك، ابحث عن الرقم الذي سيكون المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لكلا المقامين أو عدة إذا كان هناك أكثر من كسرين. LCM هو الرقم الذي سيتم تقسيمه إلى مقامات جميع الكسور المعطاة. على سبيل المثال، بالنسبة للرقمين 2 و5، هذا الرقم هو 10.

بعد علامة المساواة، ارسم خطًا أفقيًا واكتب هذا الرقم (NOC) في المقام. أضف عوامل إضافية لكل حد - الرقم الذي يجب ضرب كل من البسط والمقام للحصول على المضاعف المشترك الأصغر. ضرب البسطين بالعوامل الإضافية تسلسليًا، مع الحفاظ على علامة الجمع أو الطرح.

احسب النتيجة أو اختصرها إذا لزم الأمر أو حدد الجزء بأكمله. على سبيل المثال، تحتاج إلى إضافة ⅓ و ¼. المضاعف المشترك الأصغر لكلا الكسرين هو 12. ثم العامل الإضافي للكسر الأول هو 4، وللكسر الثاني - 3. الإجمالي: ⅓+¼=(1·4+1·3)/12=7/12.

إذا أعطيت للضرب، فاضرب البسطين (سيكون هذا هو بسط النتيجة) والمقامات (سيكون هذا مقام النتيجة). في هذه الحالة، ليست هناك حاجة لاختزالها إلى قاسم مشترك.

عامل البسط والمقام حسب الحاجة. على سبيل المثال، أخرج العامل المشترك من الأقواس أو استخدم صيغ الضرب المختصرة بحيث يمكنك بعد ذلك، إذا لزم الأمر، تقليل البسط والمقام بمقدار gcd - الأصغر القاسم المشترك.

ملحوظة

أضف أرقامًا تحتوي على أرقام وحروف من نفس النوع مع حروف من نفس النوع. على سبيل المثال، لا يمكنك إضافة 3a و4b، مما يعني أن مجموعهما أو الفرق بينهما سيبقى في البسط - 3a±4b.

مصادر:

• ضرب وقسمة الكسور

في الحياة اليومية، غالبًا ما نواجه أرقامًا غير طبيعية: 1، 2، 3، 4، إلخ. (5 كجم من البطاطس)، والأعداد الكسرية غير الصحيحة (5.4 كجم من البصل). يتم تقديم معظمها في استمارةالكسور العشرية. لكن عدد عشريتقديم ل استمارة الكسوربسيطا بما فيه الكفاية.

تعليمات

على سبيل المثال، يتم إعطاء الرقم "0.12". إذا لم يكن هذا الكسر وتخيله كما هو، فسيبدو هكذا: 12/100 ("اثنا عشر"). للتخلص من المائة، عليك قسمة كل من البسط والمقام على الرقم الذي يقسم أعدادهما. هذا الرقم هو 4. ثم بقسمة البسط والمقام نحصل على الرقم: 3/25.

إذا نظرنا إلى منتج يومي أكثر، فغالبًا ما يكون من الواضح على بطاقة السعر أن وزنه، على سبيل المثال، 0.478 كجم أو ما إلى ذلك، ومن السهل أيضًا تخيل هذا الرقم استمارة الكسور:
478/1000 = 239/500. هذا الكسر قبيح جدًا، وإذا كان ذلك ممكنًا، فيمكن تقليل هذا الكسر العشري بشكل أكبر. وكل ذلك باستخدام نفس الطريقة: اختيار رقم يقسم البسط والمقام. هذا الرقم هو الأكبر عامل مشترك. العامل هو "الأكبر" لأنه من الملائم أكثر أن تقوم بتقسيم كل من البسط والمقام مباشرة على 4 (كما في المثال الأول) بدلاً من قسمته مرتين على 2.

عند دراسة تحويلات التعبير غير العقلاني، هناك سؤال مهم للغاية وهو كيفية التخلص من اللاعقلانية في مقام الكسر. والغرض من هذه المقالة هو شرح هذا الإجراء في أمثلة محددةمهام. سنتناول في الفقرة الأولى القواعد الأساسية لهذا التحول، وفي الثانية - أمثلة نموذجيةمع شرح مفصل.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

مفهوم التحرر من اللاعقلانية في القاسم

لنبدأ بشرح معنى هذا التحول. للقيام بذلك، تذكر الأحكام التالية.

يمكننا التحدث عن اللاعقلانية في مقام الكسر إذا كان هناك جذر هناك، والمعروفة أيضًا بعلامة الجذر. الأرقام المكتوبة باستخدام هذه العلامة غالبًا ما تكون غير منطقية. الأمثلة هي 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5. الكسور ذات المقامات غير النسبية تتضمن أيضًا تلك التي لها جذورها درجات متفاوته(مربع، مكعب، إلخ)، على سبيل المثال، 3 4 3، 1 x + x y 4 + y. يجب عليك التخلص من اللاعقلانية لتبسيط التعبير وتسهيل إجراء المزيد من العمليات الحسابية. دعونا صياغة التعريف الأساسي:

التعريف 1

حرر نفسك من اللاعقلانية في مقام الكسر- يعني تحويله واستبداله بمثله جزء متساويالتي لا يحتوي مقامها على جذور أو قوى.

يمكن أن يسمى هذا الإجراء التحرير أو التخلص من اللاعقلانية، لكن المعنى يبقى كما هو. لذلك، فإن الانتقال من 1 2 إلى 2 2، أي. إلى كسر له قيمة متساوية بدون علامة الجذر في المقام وسيكون الإجراء الذي نحتاجه. لنعطي مثالا آخر: لدينا كسر x x - y. دعونا ننفذ التحولات الضروريةونحصل على كسر متساوي تمامًا x · x + y x - y , خاليًا من اللاعقلانية في المقام.

بعد صياغة التعريف، يمكننا أن ننتقل مباشرة إلى دراسة تسلسل الإجراءات التي يتعين القيام بها لمثل هذا التحول.

الخطوات الأساسية للتخلص من اللاعقلانية في مقام الكسر

للتخلص من الجذور، تحتاج إلى إجراء تحويلين متتاليين للكسر: ضرب كلا جزأين الكسر برقم آخر غير الصفر، ثم تحويل التعبير الذي تم الحصول عليه في المقام. دعونا ننظر في الحالات الرئيسية.

في الأكثر حالة بسيطةيمكنك القيام بذلك عن طريق تحويل المقام. على سبيل المثال، يمكننا أن نأخذ كسرًا بمقام، يساوي الجذرمن 9. بعد أن حسبنا 9، نكتب 3 في المقام وبالتالي نتخلص من اللاعقلانية.

ومع ذلك، في كثير من الأحيان يكون من الضروري أولاً ضرب البسط والمقام برقم يسمح بعد ذلك بإحضار المقام إلى الشكل المطلوب (بدون جذور). لذا، إذا ضربنا 1 x + 1 في x + 1، نحصل على الكسر x + 1 x + 1 x + 1 ويمكننا استبدال التعبير في مقامه بـ x + 1. لذلك قمنا بتحويل 1 x + 1 إلى x + 1 x + 1، للتخلص من اللاعقلانية.

في بعض الأحيان تكون التحويلات التي تحتاج إلى تنفيذها محددة تمامًا. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة التوضيحية.

كيفية تحويل التعبير إلى مقام الكسر

وكما قلنا، أسهل طريقة للقيام بذلك هي تحويل المقام.

مثال 1

حالة:حرر الكسر 1 2 · 18 + 50 من اللاعقلانية في المقام.

حل

أولًا، دعونا نفتح الأقواس ونحصل على المقدار 1 2 18 + 2 50. باستخدام الخصائص الأساسية للجذور، ننتقل إلى التعبير 1 2 18 + 2 50. نحسب قيم كلا التعبيرين تحت الجذور ونحصل على 1 36 + 100. هنا يمكنك بالفعل استخراج الجذور. ونتيجة لذلك، حصلنا على الكسر 1 6 + 10، يساوي 1 16. يمكن إكمال التحول هنا.

دعنا نكتب التقدم المحرز في الحل بأكمله دون تعليق:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

إجابة: 1 2 18 + 50 = 1 16.

مثال 2

حالة:بالنظر إلى الكسر 7 - س (س + 1) 2. التخلص من اللاعقلانية في القاسم.

حل

سبق في المقال عن التحولات تعبيرات غير عقلانيةباستخدام خصائص الجذور، ذكرنا أنه لأي A وحتى n يمكننا استبدال التعبير A n n بـ | أ | على كامل نطاق القيم المسموح بها للمتغيرات. لذلك، في حالتنا يمكننا كتابتها هكذا: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. وبهذه الطريقة حررنا أنفسنا من اللاعقلانية في القاسم.

إجابة: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 .

التخلص من اللاعقلانية عن طريق الضرب بالجذر

إذا كان مقام الكسر يحتوي على تعبير بالشكل A والتعبير A نفسه لا يحتوي على علامات الجذور، فيمكننا تحرير أنفسنا من اللاعقلانية ببساطة عن طريق ضرب طرفي الكسر الأصلي في A. يتم تحديد إمكانية هذا الإجراء من خلال حقيقة أن A لن تتحول إلى 0 في نطاق القيم المقبولة. بعد الضرب سيحتوي المقام على عبارة على الصورة A · A مما يسهل التخلص من الجذور: A · A = A 2 = A. دعونا نرى كيفية تطبيق هذه الطريقة بشكل صحيح في الممارسة العملية.

مثال 3

حالة:الكسور المعطاة x 3 و - 1 x 2 + y - 4. تخلص من اللاعقلانية في قواسمها.

حل

دعونا نضرب الكسر الأول في الجذر الثاني لـ 3. نحصل على ما يلي:

س 3 = س 3 3 3 = س 3 3 2 = س 3 3

في الحالة الثانية، نحتاج إلى الضرب في x 2 + y - 4 وتحويل التعبير الناتج إلى المقام:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 × 2 + ص - 4

إجابة: x 3 = x · 3 3 و - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

إذا كان مقام الكسر الأصلي يحتوي على تعبيرات من الصيغة A n m أو A m n (تخضع للطبيعي m و n)، نحتاج إلى اختيار عامل بحيث يمكن تحويل التعبير الناتج إلى A n n k أو A n k n (خاضع للطبيعي ك) . بعد ذلك، سيكون من السهل التخلص من اللاعقلانية. دعونا ننظر إلى هذا المثال.

مثال 4

حالة:الكسور المعطاة 7 6 3 5 و x x 2 + 1 4 15. التخلص من اللاعقلانية في القواسم.

حل

نحن بحاجة إلى أن نأخذ عدد طبيعيوالتي يمكن قسمتها على خمسة، ولكن يجب أن تكون أكبر من ثلاثة. لكي يصبح الأس 6 يساوي 5، علينا الضرب في 6 2 5. لذلك، سيتعين علينا ضرب كلا جزأين الكسر الأصلي في 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

وفي الحالة الثانية، نحتاج إلى عدد أكبر من 15، والذي يمكن قسمته على 4 بدون باقي. نحن نأخذ 16. للحصول على هذا الأس في المقام، علينا أن نأخذ x 2 + 1 4 كعامل. ولنوضح أن قيمة هذا التعبير لن تكون صفراً بأي حال من الأحوال. نحسب:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = س س 2 + 1 4 × 2 + 1 4

إجابة: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 و x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

التخلص من اللاعقلانية عن طريق الضرب بالتعبير المرافق

الطريقة التالية مناسبة لتلك الحالات التي يحتوي فيها مقام الكسر الأصلي على التعبيرات a + b، a - b، a + b، a - b، a + b، a - b. في مثل هذه الحالات، علينا أن نأخذ التعبير المرافق كعامل. دعونا نوضح معنى هذا المفهوم.

للتعبير الأول a + b سيكون المرافق a - b، وللتعبير الثاني a - b - a + b. من أجل أ + ب - أ - ب، من أجل أ - ب - أ + ب، من أجل أ + ب - أ - ب، ومن أجل أ - ب - أ + ب. بمعنى آخر، التعبير المرافق هو التعبير الذي تظهر فيه الإشارة المقابلة قبل الحد الثاني.

دعونا ننظر إلى ما هو عليه بالضبط هذه الطريقة. لنفترض أن لدينا منتج بالصيغة a - b · a + b. يمكن استبداله بفرق المربعات أ - ب · أ + ب = أ 2 - ب 2، وبعد ذلك ننتقل إلى التعبير أ - ب، خاليًا من الجذور. وهكذا حررنا أنفسنا من اللاعقلانية في مقام الكسر عن طريق الضرب في التعبير المرافق. لنأخذ بعض الأمثلة التوضيحية.

مثال 5

حالة:تخلص من اللاعقلانية في التعبيرات 3 7 - 3 و x - 5 - 2.

حل

في الحالة الأولى، نأخذ التعبير المرافق الذي يساوي 7 + 3. الآن نضرب كلا جزأين الكسر الأصلي به:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

وفي الحالة الثانية، نحتاج إلى التعبير - 5 + 2، وهو مرافق التعبير - 5 - 2. اضرب البسط والمقام به واحصل على:

س - 5 - 2 = س · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = س · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = س · - 5 + 2 5 - 2 = س · 2 - 5 3

من الممكن أيضًا إجراء تحويل قبل الضرب: إذا قمنا أولاً بإزالة الطرح من المقام، فسيكون الحساب أكثر ملاءمة:

س - 5 - 2 = - س 5 + 2 = - س 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - س 5 - 2 5 2 - 2 2 = - س 5 - 2 5 - 2 = - س · 5 - 2 3 = = س · 2 - 5 3

إجابة: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 و س - 5 - 2 = س 2 - 5 3.

ومن المهم الانتباه إلى أن التعبير الذي تم الحصول عليه نتيجة الضرب لا يتحول إلى 0 لأي متغيرات في نطاق القيم المقبولة لهذا التعبير.

مثال 6

حالة:بالنظر إلى الكسر x x + 4. قم بتحويله بحيث لا توجد تعبيرات غير منطقية في المقام.

حل

لنبدأ بإيجاد نطاق القيم المقبولة للمتغير x. يتم تعريفه بالشروط x ≥ 0 و x + 4 ≠ 0. منهم يمكننا أن نستنتج أن المنطقة المطلوبة هي مجموعة x ≥ 0.

مرافق المقام هو x - 4 . متى يمكننا الضرب به؟ فقط إذا كان x - 4 ≠ 0. في نطاق القيم المقبولة، سيكون هذا معادلاً للشرط x≠16. ونتيجة لذلك نحصل على ما يلي:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

إذا كانت x تساوي 16 نحصل على:

س س + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

ولذلك فإن x x + 4 = x · x - 4 x - 16 لجميع قيم x التي تنتمي إلى نطاق القيم المقبولة، باستثناء 16. عند x = 16 نحصل على x x + 4 = 2.

إجابة: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

تحويل الكسور غير المنطقية في المقام باستخدام صيغ مجموع وفرق المكعبات

في الفقرة السابقةلقد ضربنا في التعبيرات المترافقة حتى نتمكن بعد ذلك من استخدام صيغة الفرق بين المربعات. في بعض الأحيان، للتخلص من اللاعقلانية في المقام، من المفيد استخدام صيغ ضرب مختصرة أخرى، على سبيل المثال، الفرق بين المكعبات أ 3 − ب 3 = (أ − ب) (أ 2 + أ ب + ب 2). هذه الصيغة ملائمة للاستخدام إذا كان مقام الكسر الأصلي يحتوي على تعبيرات ذات جذور من الدرجة الثالثة للصيغة A 3 - B 3، A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2. إلخ. لتطبيقها، نحتاج إلى ضرب مقام الكسر في المربع الجزئي للمجموع A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 أو الفرق A 3 - B 3. يمكن تطبيق صيغة المبلغ بنفس الطريقة أ 3 + ب 3 = (أ) (أ 2 − أ ب + ب 2).

مثال 7

حالة:حول الكسور 1 7 3 - 2 3 و 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 وذلك للتخلص من اللاعقلانية في المقام.

حل

بالنسبة للكسر الأول، نحتاج إلى استخدام طريقة ضرب كلا الجزأين في المربع الجزئي للمجموع 7 3 و2 3، حيث يمكننا بعد ذلك التحويل باستخدام صيغة فرق المكعبات:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

في الكسر الثاني، نمثل المقام بالشكل 2 2 - 2 x 3 + x 3 2. يوضح هذا التعبير المربع غير المكتمل للفرق 2 وx 3، مما يعني أنه يمكننا ضرب جزأي الكسر في المجموع 2 + x 3 واستخدام صيغة مجموع المكعبات. للقيام بذلك، يجب استيفاء الشرط 2 + x 3 ≠ 0، أي ما يعادل x 3 ≠ - 2 و x ≠ − 8:

3 4 - 2 س 3 + س 2 3 = 3 2 2 - 2 س 3 + س 3 2 = = 3 2 + س 3 2 2 - 2 س 3 + س 3 2 2 + س 3 = 6 + 3 × 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

لنعوض بـ 8 في الكسر ونجد القيمة:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

دعونا نلخص. لجميع x المدرجة في نطاق قيم الكسر الأصلي (المجموعة R)، باستثناء - 8، نحصل على 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x. إذا كانت x = 8، فإن 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4.

إجابة: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8.

التطبيق المتسق لطرق التحويل المختلفة

في كثير من الأحيان في الممارسة العملية هناك المزيد أمثلة معقدةعندما لا نستطيع تحرير أنفسنا من اللاعقلانية في المقام باستخدام طريقة واحدة فقط. بالنسبة لهم، تحتاج إلى إجراء العديد من التحولات بالتتابع أو التحديد الحلول غير القياسية. لنأخذ واحدة من هذه المشاكل.

مثال ن

حالة:حوّل 5 7 4 - 2 4 للتخلص من علامات الجذور في المقام.

حل

لنضرب طرفي الكسر الأصلي في التعبير المرافق 7 4 + 2 4 بقيمة غير الصفر. نحصل على ما يلي:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

والآن لنستخدم نفس الطريقة مرة أخرى:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

إجابة: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter