المعادلات العقلانية وأنظمة المعادلات العقلانية. خوارزمية لحل المعادلات العقلانية

يتم استخدام القاسم المشترك الأصغر للتبسيط معادلة معينة. يتم استخدام هذه الطريقة عندما لا تتمكن من كتابة معادلة معينة بتعبير منطقي واحد على كل جانب من المعادلة (واستخدم طريقة الضرب المتقاطعة). يتم استخدام هذه الطريقة عندما تحصل على معادلة منطقية تحتوي على 3 كسور أو أكثر (في حالة وجود كسرين، فمن الأفضل استخدام الضرب المتقاطع).

  • ابحث عن المقام المشترك الأصغر للكسور (أو المضاعف المشترك الأصغر).نوز هو أصغر عدد، وهو قابل للقسمة على كل مقام بالتساوي.

    • في بعض الأحيان يكون NPD رقمًا واضحًا. على سبيل المثال، إذا أعطيت المعادلة: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6، فمن الواضح أن المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 3 و2 و6 هو 6.
    • إذا لم يكن المرض غير واضح، فاكتب مضاعفات المقام الأكبر وابحث بينهم عن مضاعف للمقامات الأخرى. في كثير من الأحيان يمكن العثور على NOD ببساطة عن طريق ضرب مقامين. على سبيل المثال، إذا كانت المعادلة x/8 + 2/6 = (x - 3)/9، فإن NOS = 8*9 = 72.
    • إذا كان واحد أو أكثر من المقامات يحتوي على متغير، تصبح العملية أكثر تعقيدا إلى حد ما (ولكنها ليست مستحيلة). في هذه الحالة، NOC عبارة عن تعبير (يحتوي على متغير) مقسومًا على كل مقام. على سبيل المثال، في المعادلة 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1)، لأن هذا التعبير مقسوم على كل مقام: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3س(س-1)/س = 3(س-1).

  • اضرب كلاً من البسط والمقام لكل كسر برقم يساوي نتيجة قسمة NOC على المقام المقابل لكل كسر. بما أنك تضرب البسط والمقام بنفس الرقم، فأنت بذلك تضرب الكسر في 1 (على سبيل المثال، 2/2 = 1 أو 3/3 = 1).

    • لذا في مثالنا، اضرب x/3 في 2/2 لتحصل على 2x/6، واضرب 1/2 في 3/3 لتحصل على 3/6 (الكسر 3x +1/6 لا يحتاج إلى الضرب لأنه المقام هو 6).
    • تابع بالمثل عندما يكون المتغير في المقام. في مثالنا الثاني، NOZ = 3x(x-1)، لذا اضرب 5/(x-1) في (3x)/(3x) لتحصل على 5(3x)/(3x)(x-1)؛ 1/x مضروبًا في 3(x-1)/3(x-1) وتحصل على 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) مضروبًا في (x-1)/(x-1) وتحصل على 2(x-1)/3x(x-1).

  • ابحث عن x.الآن بعد أن قمت بتقليل الكسور إلى القاسم المشترك، يمكنك التخلص من القاسم. للقيام بذلك، اضرب كل طرف من المعادلة بالمقام المشترك. ثم قم بحل المعادلة الناتجة، أي ابحث عن "x". وللقيام بذلك، قم بعزل المتغير في أحد طرفي المعادلة.

    • في مثالنا: 2س/6 + 3/6 = (3س +1)/6. يمكنك جمع كسرين لهما نفس المقام، لذا اكتب المعادلة على النحو التالي: (2س+3)/6=(3س+1)/6. اضرب طرفي المعادلة في 6 وتخلص من المقامات: 2x+3 = 3x +1. حل واحصل على x = 2.
    • في مثالنا الثاني (مع وجود متغير في المقام)، تبدو المعادلة (بعد الاختزال إلى مقام مشترك): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (س-1)/3س(س-1). بضرب طرفي المعادلة في N3، تتخلص من المقام وتحصل على: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1)، أو 15x = 3x - 3 + 2x -2، أو 15x = x - 5 حل واحصل على: x = -5/14.

    • حل المعادلات العقلانية الكسرية

    دليل مرجعي

    المعادلات العقلانيةهي المعادلات التي يوجد فيها الطرفان الأيمن والأيسر التعبيرات العقلانية.

    (تذكر: التعبيرات العقلانية هي أعداد صحيحة و التعبيرات الكسريةبدون جذور، بما في ذلك عمليات الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة - على سبيل المثال: 6x؛ (م - ن)2؛ س/3ص، الخ.)

    عادةً ما يتم تقليل المعادلات العقلانية الكسرية إلى النموذج:

    أين ص(س) و س(س) هي كثيرات الحدود.

    لحل هذه المعادلات، اضرب طرفي المعادلة في Q(x)، مما قد يؤدي إلى ظهور جذور غريبة. لذلك، عند حل المعادلات العقلانية الكسرية، من الضروري التحقق من الجذور الموجودة.

    تسمى المعادلة العقلانية كاملة أو جبرية إذا لم تقسم على تعبير يحتوي على متغير.

    أمثلة على المعادلة العقلانية الكاملة:

    5س – 10 = 3(10 – س)

    3x
    - = 2س - 10
    4

    إذا كان هناك في معادلة عقلانية قسمة على تعبير يحتوي على المتغير (x)، فإن المعادلة تسمى عقلانية كسرية.

    مثال على معادلة عقلانية كسرية:

    15
    س + - = 5س - 17
    س

    عادة ما يتم حل المعادلات العقلانية الكسرية بالطريقة الآتية:

    1) العثور على القاسم المشترك للكسور وضرب طرفي المعادلة به؛

    2) حل المعادلة الكاملة الناتجة؛

    3) استبعاد من جذوره ما يخفض القاسم المشترك للكسور إلى الصفر.

    أمثلة على حل المعادلات العقلانية الصحيحة والكسرية.

    مثال 1. دعونا نحل المعادلة بأكملها

    س - 1 2x 5x
    -- + -- = --.
    2 3 6

    حل:

    إيجاد القاسم المشترك الأصغر. هذا هو 6. اقسم 6 على المقام واضرب النتيجة الناتجة في بسط كل كسر. نحصل على معادلة تعادل هذا:

    3(س – 1) + 4س 5س
    ------ = --
    6 6

    لأنه على الجانبين الأيسر والأيمن نفس القاسم، يمكن الاستغناء عنه. ثم نحصل على معادلة أبسط:

    3(س – 1) + 4س = 5س.

    نحلها بفتح الأقواس ودمج المصطلحات المتشابهة:

    3س - 3 + 4س = 5س

    3س + 4س – 5س = 3

    تم حل المثال .

    مثال 2. حل معادلة عقلانية كسرية

    س – 3 1 س + 5
    -- + - = ---.
    س – 5 س س(س – 5)

    إيجاد قاسم مشترك. هذا هو س(س - 5). لذا:

    س 2 - 3س س - 5 س + 5
    --- + --- = ---
    س(س – 5) س(س – 5) س(س – 5)

    الآن نتخلص من المقام مرة أخرى، لأنه هو نفسه لجميع التعبيرات. نختصر الحدود المتشابهة، ونساوي المعادلة بالصفر ونحصل على معادلة من الدرجة الثانية:

    س 2 – 3س + س – 5 = س + 5

    س 2 – 3س + س – 5 – س – 5 = 0

    س 2 – 3س – 10 = 0.

    بعد حل المعادلة التربيعية، نجد جذورها: -2، 5.

    دعونا نتحقق مما إذا كانت هذه الأرقام هي جذور المعادلة الأصلية.

    عند x = –2، لا يختفي القاسم المشترك x(x – 5). وهذا يعني أن -2 هو جذر المعادلة الأصلية.

    عند x = 5، يذهب القاسم المشترك إلى الصفر، ويفقد اثنان من التعبيرات الثلاثة معناهما. وهذا يعني أن الرقم 5 ليس جذر المعادلة الأصلية.

    الجواب: س = -2

    مزيد من الأمثلة

    مثال 1.

    × 1 = 6، × 2 = - 2.2.

    الجواب: -2,2;6.

    مثال 2.

    \(\bullet\) المعادلة المنطقية هي معادلة ممثلة بالشكل \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] حيث \(P(x), \Q(x)\ ) - كثيرات الحدود (مجموع "X" في قوى مختلفة مضروبًا في أرقام مختلفة).
    يسمى التعبير الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة بالتعبير العقلاني.
    ODZ (منطقة القيم المقبولة) من المعادلة المنطقية هي جميع قيم \(x\) التي لا يختفي مقامها، أي \(Q(x)\ne 0\) .
    \(\bullet\) على سبيل المثال، المعادلات \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]هي معادلات عقلانية.
    في الاول معادلة ODZ- هذه كلها \(x\) بحيث \(x\ne 3\) (اكتب \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); في المعادلة الثانية - هذه كلها \(x\) بحيث \(x\ne -1; x\ne 1\) (اكتب \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); وفي المعادلة الثالثة لا توجد قيود على ODZ، أي أن ODZ هو كل \(x\) (يكتبون \(x\in\mathbb(R)\)). \(\bullet\) نظريات:
    1) حاصل ضرب عاملين يساوي صفراً إذا وفقط إذا كان أحدهما يساوي الصفر، والآخر لا يفقد معناه، وبالتالي فإن المعادلة \(f(x)\cdot g(x)=0\) تعادل النظام \[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \ النص(معادلات ODZ)\end(الحالات)\] 2) يكون الكسر يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان البسط يساوي صفرًا والمقام لا يساوي صفرًا، وبالتالي تكون المعادلة \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) يعادل نظام المعادلات \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

    1) حل المعادلة \(x+1=\dfrac 2x\) . دعونا نوجد ODZ لهذه المعادلة - وهذا هو \(x\ne 0\) (نظرًا لأن \(x\) موجود في المقام).
    هذا يعني أنه يمكن كتابة ODZ على النحو التالي: .
    دعنا ننقل جميع المصطلحات إلى جزء واحد ونضعها في قاسم مشترك: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( الحالات) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(الحالات)\]حل المعادلة الأولى للنظام سيكون \(x=-2, x=1\) . نلاحظ أن كلا الجذرين ليسا صفرًا. وبالتالي فإن الجواب هو: \(x\in \(-2;1\)\) .

    2) حل المعادلة \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\). دعونا نجد ODZ لهذه المعادلة. نرى أن القيمة الوحيدة لـ \(x\) التي لا معنى لها في الجانب الأيسر هي \(x=0\) . لذلك، يمكن كتابة ODZ على النحو التالي: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
    وبالتالي فإن هذه المعادلة تعادل النظام:

    \[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(محاذاة) \end(مجمعة) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(محاذاة) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(محاذاة) \end(مجمع) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(gathered) \begin(محاذاة) &x=2\\ &x=1 \end(محاذاة) \end(مجمع) \right.\]في الواقع، على الرغم من أن \(x=0\) هو جذر العامل الثاني، إذا قمت بتعويض \(x=0\) في المعادلة الأصلية، فلن يكون لها معنى، لأن لم يتم تعريف التعبير \(\dfrac 40\).
    وبالتالي فإن حل هذه المعادلة هو \(x\in \(1;2\)\) .

    3) حل المعادلة \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]في معادلتنا \(4x^2-1\ne 0\) ، والتي منها \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) ، \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
    دعنا ننقل جميع المصطلحات إلى الجهه اليسرىوالوصول بها إلى قاسم مشترك:

    \(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

    \(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered) \begin( محاذاة) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(محاذاة)\end(مجمعة) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ السهم الأيمن والأيسر \quad x=-3\)

    الإجابة: \(x\in \(-3\)\) .

    تعليق. إذا كانت الإجابة مكونة من مجموعة منتهية من الأرقام فيمكن كتابتها مفصولة بفواصل منقوطة بين قوسين متعرجين، كما هو موضح في الأمثلة السابقة.

    يتم مواجهة المشكلات التي تتطلب حل المعادلات العقلانية كل عام في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، لذلك عند التحضير لاجتياز اختبار الشهادة، يجب على الخريجين بالتأكيد تكرار النظرية حول هذا الموضوع بأنفسهم. الخريجين يأخذون كلا من الأساسية و مستوى الملف الشخصيامتحان. بعد أن أتقن النظرية وتعامل معها تمارين عمليةفيما يتعلق بموضوع "المعادلات العقلانية"، سيتمكن الطلاب من حل المشكلات بأي عدد من الإجراءات والاعتماد على الحصول على درجات تنافسية بناءً على نتائج اجتياز اختبار الدولة الموحدة.

    كيف تستعد للامتحان باستخدام بوابة شكولكوفو التعليمية؟

    في بعض الأحيان يمكنك العثور على مصدر يقدم النظرية الأساسية للحل بشكل كامل المشاكل الرياضيةتبين أنه صعب للغاية. ببساطة قد لا يكون الكتاب المدرسي في متناول اليد. ويجد الصيغ اللازمةفي بعض الأحيان قد يكون الأمر صعبًا للغاية حتى على الإنترنت.

    ستريحك بوابة شكولكوفو التعليمية من الحاجة إلى البحث المواد المطلوبةوسوف تساعدك على الاستعداد جيدًا لاجتياز اختبار الشهادة.

    الجميع النظرية الضروريةحول موضوع "المعادلات العقلانية" قام المتخصصون لدينا بإعدادها وتقديمها إلى أقصى حد نموذج يمكن الوصول إليه. بعد دراسة المعلومات المقدمة، سيتمكن الطلاب من سد الفجوات في المعرفة.

    ل تحضير ناجحل امتحان الدولة الموحد للخريجينمن الضروري ليس فقط تحسين الأساسيات المادة النظريةحول موضوع "المعادلات العقلانية"، ولكن للتدرب على إكمال المهام أمثلة محددة. يتم عرض مجموعة كبيرة من المهام في قسم "الكتالوج".

    لكل تمرين على الموقع، كتب خبراؤنا خوارزمية حل وأشاروا إلى الإجابة الصحيحة. يمكن للطلاب التدرب على حل المشكلات درجات متفاوتهالصعوبات حسب مستوى التدريب. يتم استكمال وتحديث قائمة المهام في القسم المقابل باستمرار.

    دراسة المواد النظرية وصقل مهارات حل المشكلات في موضوع "المعادلات العقلانية" المشابهة لتلك الواردة فيه اختبارات امتحان الدولة الموحدة، يمكن إجراؤه عبر الإنترنت. إذا لزم الأمر، يمكن إضافة أي من المهام المقدمة إلى قسم "المفضلة". تكرار مرة أخرى النظرية الأساسيةفي موضوع "المعادلات العقلانية"، سيتمكن طالب المدرسة الثانوية من العودة إلى المشكلة في المستقبل لمناقشة مدى تقدم حلها مع المعلم في درس الجبر.

    الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

    جمع واستخدام المعلومات الشخصية

    تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

    قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

    فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

    ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

    • عندما تقوم بتقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

    كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

    • تم جمعها من قبلنا معلومات شخصيةيسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بذلك عروض فريدة من نوعهاوالترقيات وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
    • من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
    • يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية مثل التدقيق وتحليل البيانات و دراسات مختلفةمن أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
    • إذا شاركت في سحب على جوائز أو مسابقة أو عروض ترويجية مماثلة، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

    الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

    نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

    الاستثناءات:

    • إذا لزم الأمر، وفقا للقانون، الإجراء القضائي، الخامس محاكمةو/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
    • في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

    حماية المعلومات الشخصية

    نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

    احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

    للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.