يرتبط المضاعف المشترك الأصغر لعددين ارتباطًا مباشرًا بالمقسوم المشترك الأكبر لتلك الأرقام. هذا الاتصال بين GCD و NOCيتم تحديده من خلال النظرية التالية.
نظرية.
المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين a وb يساوي حاصل ضرب a وb مقسومًا على القاسم المشترك الأكبر لـ a وb، أي: LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب).
دليل.
يترك M هو أحد مضاعفات الأرقام a و b. أي أن M قابل للقسمة على a، ومن خلال تعريف قابلية القسمة، يوجد عدد صحيح k بحيث تكون المساواة M=a·k صحيحة. لكن M قابل للقسمة أيضًا على b، إذن a·k قابل للقسمة على b.
لنشير إلى gcd(a,b) بالرمز d. بعد ذلك يمكننا كتابة المعادلات a=a 1 ·d وb=b 1 ·d، وa 1 =a:d وb 1 =b:d ستكون أعدادًا أولية نسبيًا. وبالتالي، فإن الشرط الذي تم الحصول عليه في الفقرة السابقة وهو أن a · k قابل للقسمة على b يمكن إعادة صياغته على النحو التالي: a 1 · d · k مقسوم على b 1 · d ، وهذا، بسبب خصائص القسمة، يعادل الشرط أن a 1 · k يقبل القسمة على b 1 .
تحتاج أيضًا إلى كتابة نتيجتين طبيعيتين مهمتين من النظرية التي تم النظر فيها.
المضاعفات المشتركة لعددين هي نفس مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر لهما.
هذا هو الحال بالفعل، نظرًا لأن أي مضاعف مشترك لـ M للأرقام a وb يتم تحديده من خلال المساواة M=LMK(a, b)·t لبعض القيمة الصحيحة t.
المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الموجبة المتبادلة a وb يساوي حاصل ضربهما.
الأساس المنطقي لهذه الحقيقة واضح تماما. بما أن a وb أوليان نسبيًا، فإن gcd(a, b)=1، وبالتالي، GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر
يمكن اختزال العثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين بشكل تسلسلي. تتم الإشارة إلى كيفية القيام بذلك في النظرية التالية. وبما أن أصغر مضاعف موجب للرقم m k هو الرقم m k نفسه، فإن أصغر مضاعف مشترك للأرقام a 1، a 2، ...، a k هو m k.
فهرس.
- فيلينكين ن.يا. والرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام.
- فينوغرادوف آي إم. أساسيات نظرية الأعداد.
- ميخيلوفيتش ش. نظرية الأعداد.
- كوليكوف إل. وغيرها مجموعة من المشاكل في الجبر ونظرية الأعداد: كتاب مدرسي لطلاب الفيزياء والرياضيات. تخصصات المعاهد التربوية.
دعونا نلقي نظرة على ثلاث طرق للعثور على المضاعف المشترك الأصغر.
البحث عن طريق التحليل
الطريقة الأولى هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد المعطاة إلى عوامل أولية.
لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام: 99 و30 و28. للقيام بذلك، دعونا نحلل كل رقم من هذه الأرقام إلى عوامل أولية:
ولكي يكون العدد المطلوب قابلاً للقسمة على 99 و30 و28، فمن الضروري والكافي أن يشمل جميع العوامل الأولية لهذه المقسومات. للقيام بذلك، علينا أن نأخذ جميع العوامل الأولية لهذه الأعداد إلى أكبر قوة ممكنة ونضربها معًا:
2 2 3 2 5 7 11 = 13,860
وبالتالي، م م (99، 30، 28) = 13,860 ولا يوجد رقم آخر أقل من 13,860 يقبل القسمة على 99، 30، أو 28.
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لأرقام معينة، عليك تحليلها إلى عواملها الأولية، ثم أخذ كل عامل أولي بأكبر أس يظهر فيه، وضرب هذه العوامل معًا.
نظرًا لأن الأعداد الأولية نسبيًا لا تحتوي على عوامل أولية مشتركة، فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب هذه الأعداد. على سبيل المثال، ثلاثة أرقام: 20 و49 و33 هي أعداد أولية نسبيًا. لهذا
م م م (20، 49، 33) = 20 49 33 = 32,340.
يجب أن يتم الأمر نفسه عند إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية المختلفة. على سبيل المثال، المضاعف المشترك الأصغر (3، 7، 11) = 3 7 11 = 231.
البحث عن طريق الاختيار
الطريقة الثانية هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق الاختيار.
مثال 1. عندما يتم قسمة أكبر عدد من الأرقام المعطاة على رقم آخر، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام يساوي أكبرها. على سبيل المثال، إذا أعطيت أربعة أرقام: 60، 30، 10 و 6. كل واحد منهم يقبل القسمة على 60، وبالتالي:
م م م (60، 30، 10، 6) = 60
وفي حالات أخرى، للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، يتم استخدام الإجراء التالي:
- تحديد أكبر عدد من الأرقام المعطاة.
- بعد ذلك، نجد الأعداد التي هي مضاعفات الرقم الأكبر عن طريق ضربها في الأعداد الطبيعية بترتيب تصاعدي والتحقق مما إذا كان المنتج الناتج قابلاً للقسمة على الأرقام المعطاة المتبقية.
مثال 2. بالنظر إلى ثلاثة أرقام 24 و 3 و 18. نحدد أكبرها - وهذا هو الرقم 24. بعد ذلك، نجد الأرقام التي هي مضاعفات 24، والتحقق مما إذا كان كل منها قابل للقسمة على 18 و 3:
24 · 1 = 24 - يقبل القسمة على 3، لكن لا يقبل القسمة على 18.
24 · 2 = 48 - يقبل القسمة على 3، لكن غير قابل للقسمة على 18.
24 · 3 = 72 - يقبل القسمة على 3 و18.
وبالتالي، المضاعف المشترك الأصغر (24، 3، 18) = 72.
البحث عن طريق إيجاد LCM بشكل تسلسلي
الطريقة الثالثة هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بشكل تسلسلي.
المضاعف المشترك الأصغر لعددين محددين يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام مقسومًا على القاسم المشترك الأكبر لهما.
مثال 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لعددين معلومين: 12 و8. حدد القاسم المشترك الأكبر لهما: GCD (12، 8) = 4. اضرب هذه الأرقام:
نقسم المنتج على gcd الخاص بهم:
وبالتالي، م م م (12، 8) = 24.
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، استخدم الإجراء التالي:
- أولًا، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لأي اثنين من هذه الأرقام.
- بعد ذلك، تم العثور على المضاعف المشترك الأصغر للمضاعف المشترك الأصغر والرقم المعطى الثالث.
- ثم، المضاعف المشترك الأصغر للمضاعف المشترك الأصغر الناتج والرقم الرابع، وما إلى ذلك.
- وبالتالي، يستمر البحث عن LCM طالما أن هناك أرقامًا.
مثال 2. دعونا نوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الثلاثة المعطاة: 12، 8 و9. لقد وجدنا بالفعل المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 12 و8 في المثال السابق (هذا هو الرقم 24). يبقى العثور على المضاعف المشترك الأصغر للرقم 24 والرقم الثالث المحدد - 9. حدد القاسم المشترك الأكبر لهما: GCD (24, 9) = 3. اضرب المضاعف المشترك الأصغر في الرقم 9:
نقسم المنتج على gcd الخاص بهم:
وبالتالي، المضاعف المشترك الأصغر (12، 8، 9) = 72.
تتم دراسة موضوع "الأرقام المتعددة" في الصف الخامس الثانوي. هدفها هو تحسين مهارات الحساب الرياضي الكتابية والشفوية. في هذا الدرس، يتم تقديم مفاهيم جديدة - "الأعداد المتعددة" و"المقسومات"، وتقنية إيجاد المقسومات ومضاعفات الأعداد الطبيعية، والقدرة على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بطرق مختلفة.
هذا الموضوع مهم جدا يمكن تطبيق معرفتها عند حل الأمثلة بالكسور. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على القاسم المشترك عن طريق حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM).
مضاعف A هو عدد صحيح يقبل القسمة على A بدون باقي.
كل عدد طبيعي له عدد لا نهائي من مضاعفاته. ويعتبر في حد ذاته الأصغر. لا يمكن أن يكون المضاعف أقل من الرقم نفسه.
عليك أن تثبت أن الرقم 125 هو مضاعف للرقم 5. للقيام بذلك، عليك تقسيم الرقم الأول على الثاني. إذا كان العدد 125 يقبل القسمة على 5 بدون باقي، فالإجابة هي نعم.
هذه الطريقة قابلة للتطبيق على الأعداد الصغيرة.
هناك حالات خاصة عند حساب LOC.
1. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد مضاعف مشترك لعددين (على سبيل المثال، 80 و 20)، حيث يكون أحدهما (80) قابلاً للقسمة على الآخر (20)، فإن هذا الرقم (80) هو المضاعف الأصغر بينهما. رقمين.
م م م (80، 20) = 80.
2. إذا لم يكن هناك قاسم مشترك لاثنين، فيمكننا القول أن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهم هو حاصل ضرب هذين الرقمين.
المضاعف المشترك الأصغر(6، 7) = 42.
دعونا ننظر إلى المثال الأخير. 6 و 7 بالنسبة إلى 42 مقسومتان. يقسمون مضاعف الرقم بدون باقي.
في هذا المثال، 6 و 7 عوامل مقترنة. منتجهم يساوي الرقم الأكثر مضاعفات (42).
يسمى العدد أوليًا إذا كان يقبل القسمة على نفسه فقط أو على 1 (3:1=3; 3:3=1). والباقي يسمى مركب.
يتضمن مثال آخر تحديد ما إذا كان الرقم 9 هو المقسوم على 42.
42:9=4 (الباقي 6)
الإجابة: 9 ليس من المقسوم على 42 لأن الإجابة بها باقي.
ويختلف المقسوم عليه عن المضاعف في أن المقسوم عليه هو الرقم الذي تقسم عليه الأعداد الطبيعية، والمضاعف نفسه يقبل القسمة على هذا العدد.
القاسم المشترك الأكبر للأعداد أو ب، مضروبًا في المضاعف الأصغر، سيعطي حاصل ضرب الأرقام نفسها أو ب.
وهي: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
تم العثور على المضاعفات المشتركة للأعداد الأكثر تعقيدًا بالطريقة التالية.
على سبيل المثال، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 168، 180، 3024.
نقوم بتحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية ونكتبها كمنتج للقوى:
168=2³x3¹x7¹
2⁴x3³x5¹x7¹=15120
م م(168، 180، 3024) = 15120.
القاسم المشترك الأكبر
التعريف 2
إذا كان العدد الطبيعي a قابلاً للقسمة على عدد طبيعي $b$، فإن $b$ يسمى مقسومًا على $a$، ويسمى $a$ مضاعف $b$.
اجعل $a$ و $b$ عددين طبيعيين. يُطلق على الرقم $c$ القاسم المشترك لكل من $a$ و$b$.
مجموعة القواسم المشتركة للأرقام $a$ و $b$ محدودة، حيث لا يمكن أن يكون أي من هذه المقسومات أكبر من $a$. وهذا يعني أن من بين هذه المقسومات أكبر وهو ما يسمى القاسم المشترك الأكبر للأعداد $a$ و $b$ ويرمز له بالرمز التالي:
$GCD\(a;b)\ أو \D\(a;b)$
للعثور على القاسم المشترك الأكبر لعددين تحتاج إلى:
- ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.
مثال 1
ابحث عن GCD للأرقام $121$ و$132.$
242 دولارًا = 2\cdot 11\cdot 11$
132 دولارًا=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
اختر الأرقام المضمنة في توسيع هذه الأرقام
242 دولارًا = 2\cdot 11\cdot 11$
132 دولارًا=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.
$GCD=2\cdot 11=22$
مثال 2
أوجد gcd لأحاديات الحد $63$ و$81$.
سوف نجد وفقا للخوارزمية المقدمة. لهذا:
دعونا نحلل الأرقام إلى عوامل أولية
63 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
نختار الأرقام التي تم تضمينها في توسيع هذه الأرقام
63 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
لنجد حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.
$GCD=3\cdot 3=9$
يمكنك العثور على GCD لرقمين بطريقة أخرى، باستخدام مجموعة من قواسم الأرقام.
مثال 3
ابحث عن GCD للأرقام $48$ و $60$.
حل:
دعونا نجد مجموعة المقسومات للرقم $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
الآن لنجد مجموعة قواسم الرقم $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $
دعونا نجد تقاطع هذه المجموعات: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ستحدد هذه المجموعة مجموعة المقسومات المشتركة للأرقام $48$ و$60 $. أكبر عنصر في هذه المجموعة سيكون الرقم 12$. وهذا يعني أن القاسم المشترك الأكبر للأرقام $48$ و$60$ هو $12$.
تعريف القروض المتعثرة
التعريف 3
المضاعفات الشائعة للأعداد الطبيعية$a$ و$b$ هو عدد طبيعي مضاعف لكل من $a$ و$b$.
المضاعفات الشائعة للأرقام هي أرقام قابلة للقسمة على الأرقام الأصلية بدون باقي، على سبيل المثال، بالنسبة للأرقام $25$ و$50$، فإن المضاعفات المشتركة ستكون الأرقام $50,100,150,200$، إلخ.
يُطلق على أصغر مضاعف مشترك اسم المضاعف المشترك الأصغر ويُشار إليه بالرمز LCM$(a;b)$ أو K$(a;b).$
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين، عليك:
- تحليل الأعداد إلى عوامل أولية
- اكتب العوامل التي هي جزء من العدد الأول وأضف إليها العوامل التي هي جزء من الثاني وليست جزءا من الأول
مثال 4
أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام $99$ و$77$.
سوف نجد وفقا للخوارزمية المقدمة. لهذا
تحليل الأعداد إلى عوامل أولية
99 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 11$
اكتب العوامل المتضمنة في الأول
أضف إليها مضاعفات هي جزء من الثاني وليست جزءا من الأول
ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو المضاعف المشترك الأصغر المطلوب
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
غالبًا ما يكون تجميع قوائم مقسومات الأرقام مهمة كثيفة العمالة. هناك طريقة للعثور على GCD تسمى الخوارزمية الإقليدية.
البيانات التي تعتمد عليها الخوارزمية الإقليدية:
إذا كان $a$ و $b$ عبارة عن أعداد طبيعية، و $a\vdots b$، فإن $D(a;b)=b$
إذا كان $a$ و $b$ عبارة عن أعداد طبيعية مثل $b
باستخدام $D(a;b)= D(a-b;b)$، يمكننا تقليل الأرقام قيد النظر تباعًا حتى نصل إلى زوج من الأرقام بحيث يكون أحدهما قابلاً للقسمة على الآخر. ثم أصغر هذه الأرقام سيكون القاسم المشترك الأكبر المطلوب للأرقام $a$ و $b$.
خصائص GCD وLCM
- أي مضاعف مشترك لـ $a$ و$b$ قابل للقسمة على K$(a;b)$
- إذا كان $a\vdots b$، فإن К$(a;b)=a$
إذا كان K$(a;b)=k$ و$m$ عددًا طبيعيًا، فإن K$(am;bm)=km$
إذا كان $d$ هو القاسم المشترك لـ $a$ و $b$، فإن K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $
إذا كان $a\vdots c$ و $b\vdots c$، فإن $\frac(ab)(c)$ هو المضاعف المشترك لـ $a$ و $b$
بالنسبة لأي أعداد طبيعية $a$ و$b$، فإن المساواة تنطبق
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
أي قاسم مشترك للأرقام $a$ و $b$ هو قاسم للرقم $D(a;b)$
القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر هما مفاهيم حسابية أساسية تجعل التعامل مع الكسور أمرًا سهلاً. LCM وغالبًا ما يتم استخدامها للعثور على القاسم المشترك لعدة كسور.
مفاهيم أساسية
المقسوم على عدد صحيح X هو عدد صحيح آخر Y يتم قسمة X عليه دون ترك باقي. على سبيل المثال، المقسوم على 4 هو 2، و36 هو 4، 6، 9. مضاعف العدد الصحيح X هو الرقم Y الذي يقبل القسمة على X بدون باقي. على سبيل المثال، 3 هو مضاعف للرقم 15، و6 هو مضاعف للرقم 12.
بالنسبة لأي زوج من الأرقام، يمكننا العثور على المقسومات والمضاعفات المشتركة لها. على سبيل المثال، بالنسبة للعددين 6 و9، المضاعف المشترك هو 18، والمقسوم المشترك هو 3. من الواضح أن الأزواج يمكن أن تحتوي على عدة مقسومات ومضاعفات، لذلك تستخدم الحسابات القاسم الأكبر GCD وأصغر مضاعف LCM.
المقسوم عليه الأصغر لا معنى له، لأنه دائمًا ما يكون واحدًا لأي رقم. والمضاعف الأكبر لا معنى له أيضًا، لأن تسلسل المضاعفات يصل إلى ما لا نهاية.
البحث عن جي سي دي
هناك العديد من الطرق لإيجاد القاسم المشترك الأكبر، ومن أشهرها:
- البحث المتسلسل عن المقسومات واختيار القواسم المشتركة للزوج والبحث عن أكبرها؛
- تحليل الأرقام إلى عوامل غير قابلة للتجزئة؛
- الخوارزمية الإقليدية؛
- خوارزمية ثنائية.
اليوم في المؤسسات التعليمية الأساليب الأكثر شعبية هي التحلل إلى العوامل الأولية والخوارزمية الإقليدية. يتم استخدام الأخير بدوره عند حل معادلات ديوفانتاين: البحث عن GCD مطلوب للتحقق من المعادلة لمعرفة إمكانية الحل بالأعداد الصحيحة.
العثور على شهادة عدم الممانعة
يتم تحديد المضاعف المشترك الأصغر أيضًا عن طريق التعداد المتسلسل أو التحليل إلى عوامل غير قابلة للتجزئة. بالإضافة إلى ذلك، من السهل العثور على القاسم المشترك الأكبر إذا كان القاسم الأكبر محددًا بالفعل. بالنسبة للأرقام X وY، يرتبط LCM وGCD بالعلاقة التالية:
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).
على سبيل المثال، إذا كان GCM(15,18) = 3، فإن المضاعف المشترك الأصغر (15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. المثال الأكثر وضوحًا لاستخدام المضاعف المشترك الأصغر هو إيجاد المقام المشترك، وهو المضاعف المشترك الأصغر للعددين. الكسور المعطاة.
أرقام كوبريم
إذا لم يكن لزوج من الأرقام قواسم مشتركة، فإن هذا الزوج يسمى كوبريم. إن gcd لمثل هذه الأزواج يساوي دائمًا واحدًا، واستنادًا إلى العلاقة بين المقسومات والمضاعفات، فإن gcd لأزواج coprime يساوي منتجها. على سبيل المثال، الرقمان 25 و28 أوليان نسبيًا، لأنه ليس لهما قواسم مشتركة، وLCM(25, 28) = 700، وهو ما يتوافق مع حاصل ضربهما. أي رقمين غير قابلين للقسمة سيكونان دائمًا أوليين نسبيًا.
القاسم المشترك وآلة حاسبة متعددة
باستخدام الآلة الحاسبة الخاصة بنا، يمكنك حساب GCD وLCM لعدد عشوائي من الأرقام للاختيار من بينها. تم العثور على مهام حساب المقسومات المشتركة والمضاعفات في الرياضيات للصف الخامس والسادس، لكن GCD وLCM هما مفهومان أساسيان في الرياضيات ويستخدمان في نظرية الأعداد والقياس والجبر التواصلي.
أمثلة من الحياة الحقيقية
القاسم المشترك للكسور
يتم استخدام المضاعف المشترك الأصغر عند إيجاد القاسم المشترك لعدة كسور. لنفترض أنه في مسألة حسابية تحتاج إلى جمع 5 كسور:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
لجمع الكسور، يجب اختزال التعبير إلى قاسم مشترك، مما يقلل من مشكلة إيجاد القاسم المشترك الأصغر. للقيام بذلك، حدد 5 أرقام في الآلة الحاسبة وأدخل قيم المقامات في الخلايا المناسبة. سيقوم البرنامج بحساب المضاعف المشترك الأصغر (8، 9، 12، 15، 18) = 360. الآن تحتاج إلى حساب عوامل إضافية لكل كسر، والتي يتم تعريفها على أنها نسبة المضاعف المشترك الأصغر إلى المقام. لذلك ستبدو المضاعفات الإضافية كما يلي:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
بعد ذلك، نضرب جميع الكسور في العامل الإضافي المقابل ونحصل على:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
يمكننا بسهولة جمع هذه الكسور والحصول على النتيجة 159/360. نقوم بتقليل الكسر بمقدار 3 ونرى الإجابة النهائية - 53/120.
حل المعادلات الديوفانتينية الخطية
المعادلات الديوفانتية الخطية هي تعبيرات بالصيغة ax + by = d. إذا كانت النسبة d / gcd(a, b) عددًا صحيحًا، فإن المعادلة قابلة للحل بالأعداد الصحيحة. دعونا نتحقق من معادلتين لمعرفة ما إذا كان لديهما حل صحيح. أولًا، دعونا نتحقق من المعادلة 150x + 8y = 37. باستخدام الآلة الحاسبة، نجد GCD (150.8) = 2. نقسم 37/2 = 18.5. الرقم ليس عددًا صحيحًا، وبالتالي فإن المعادلة ليس لها جذور صحيحة.
دعونا نتحقق من المعادلة 1320x + 1760y = 10120. استخدم الآلة الحاسبة للعثور على GCD(1320, 1760) = 440. اقسم 10120/440 = 23. ونتيجة لذلك، نحصل على عدد صحيح، وبالتالي فإن معادلة ديوفانتين قابلة للحل في معاملات الأعداد الصحيحة. .
خاتمة
يلعب GCD وLCM دورًا كبيرًا في نظرية الأعداد، وتُستخدم المفاهيم نفسها على نطاق واسع في مجموعة واسعة من مجالات الرياضيات. استخدم الآلة الحاسبة الخاصة بنا لحساب المقسومات الكبرى والمضاعفات الصغرى لأي عدد من الأرقام.