حل المعادلات ذات الدرجات العليا باستخدام طرق مختلفة. معادلات الدرجات العليا في الرياضيات

يتم نشر نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملة من العمل متاحة في علامة التبويب "ملفات العمل" بتنسيق PDF

مقدمة

يعد حل المعادلات الجبرية ذات الدرجات الأعلى بمجهول واحد من أصعب وأقدم المسائل الرياضية. لقد تعامل أبرز علماء الرياضيات في العصور القديمة مع هذه المشكلات.

يعد حل المعادلات من الدرجة التاسعة مهمة مهمة في الرياضيات الحديثة. هناك الكثير من الاهتمام بها، حيث أن هذه المعادلات ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالبحث عن جذور المعادلات التي لم يتم تناولها في مناهج الرياضيات المدرسية.

مشكلة:إن افتقار الطلاب إلى مهارات حل المعادلات ذات الدرجات العليا بطرق مختلفة يمنعهم من الإعداد بنجاح للحصول على الشهادة النهائية في الرياضيات وأولمبياد الرياضيات، والتدريب في فصل متخصص في الرياضيات.

تم تحديد الحقائق المذكورة ملاءمةعملنا "حل المعادلات ذات الدرجات العليا".

إن معرفة أبسط طرق حل المعادلات من الدرجة التاسعة تقلل من الوقت اللازم لإنجاز المهمة التي تعتمد عليها نتيجة العمل وجودة عملية التعلم.

الهدف من العمل:دراسة الطرق المعروفة لحل المعادلات ذات الدرجات العليا وتحديد أكثرها سهولة للاستخدام العملي.

بناءً على الهدف يتم تحديد ما يلي في العمل: مهام:

دراسة الأدبيات وموارد الإنترنت حول هذا الموضوع؛

التعرف على الحقائق التاريخية المتعلقة بهذا الموضوع؛

وصف الطرق المختلفة لحل المعادلات ذات الدرجات الأعلى

مقارنة درجة تعقيد كل منها؛

تعريف زملاء الدراسة بطرق حل المعادلات ذات الدرجات العليا؛

قم بإنشاء مجموعة مختارة من المعادلات للتطبيق العملي لكل طريقة من الطرق المدروسة.

موضوع الدراسة- معادلات الدرجات العليا بمتغير واحد.

موضوع الدراسة- طرق حل المعادلات ذات الدرجات العليا.

فرضية:لا توجد طريقة عامة أو خوارزمية واحدة تسمح للشخص بإيجاد حلول لمعادلات الدرجة n في عدد محدود من الخطوات.

طرق البحث:

- الطريقة الببليوغرافية (تحليل الأدبيات حول موضوع البحث)؛

- طريقة التصنيف

- طريقة التحليل النوعي.

الأهمية النظريةيتكون البحث من تنظيم طرق حل المعادلات ذات الدرجات العليا ووصف خوارزمياتها.

أهمية عملية- تقديم مواد حول هذا الموضوع وتطوير وسيلة تعليمية للطلاب حول هذا الموضوع.

1. معادلات الدرجات العليا

1.1 مفهوم معادلة الدرجة n

التعريف 1.معادلة الدرجة n هي معادلة من الشكل

أ 0 سⁿ+أ 1 سن -1 +أ 2 سⁿ - ²+…+أن -1 س+أن = 0، حيث المعاملات أ 0, أ 1, أ 2…, أن -1, أن- أي أعداد حقيقية، و ،أ 0 ≠ 0 .

متعدد الحدود أ 0 سⁿ+أ 1 سن -1 +أ 2 سⁿ - ²+…+أن -1 س+أ n يسمى متعدد الحدود من الدرجة n. يتم تمييز المعاملات بالأسماء: أ 0 - معامل كبار؛ أن عضو حر.

التعريف 2. الحلول أو الجذور لمعادلة معينةهي جميع قيم المتغير X، والتي تحول هذه المعادلة إلى مساواة عددية حقيقية أو كثيرة الحدود أ 0 سⁿ+أ 1 سن -1 +أ 2 سⁿ - ²+…+أن -1 س+أن يذهب إلى الصفر. هذه القيمة المتغيرة Xويسمى أيضًا جذر كثير الحدود. حل المعادلة يعني إيجاد جميع جذورها أو إثبات عدم وجودها.

لو أ 0 = 1، فإن هذه المعادلة تسمى معادلة عقلانية ذات عدد صحيح مختزل n ذدرجات.

بالنسبة للمعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة، هناك صيغ كاردانو وفيراري التي تعبر عن جذور هذه المعادلات من خلال الجذور. اتضح أنه نادرا ما يتم استخدامها في الممارسة العملية. وبالتالي، إذا كانت n ≥ 3 ومعاملات كثيرة الحدود عبارة عن أرقام حقيقية عشوائية، فإن العثور على جذور المعادلة ليس بالمهمة السهلة. ومع ذلك، في العديد من الحالات الخاصة يتم حل هذه المشكلة بالكامل. دعونا ننظر إلى بعض منهم.

1.2 الحقائق التاريخية لحل المعادلات من الدرجة العليا

صيغة عالمية لإيجاد جذور المعادلة الجبرية نلا درجة. بالطبع، كانت لدى الكثيرين فكرة مغرية تتمثل في إيجاد، لأي درجة n، صيغ من شأنها التعبير عن جذور المعادلة من خلال معاملاتها، أي حل المعادلة بالجذور.

فقط في القرن السادس عشر، تمكن علماء الرياضيات الإيطاليون من التقدم أكثر - للعثور على صيغ لـ n = 3 و n = 4. وفي الوقت نفسه، كان سكيبيو ودال وفيرو وطلابه فيوري وتارتاليا يدرسون مسألة الحل العام لـ معادلات من الدرجة الثالثة.

في عام 1545، تم نشر كتاب عالم الرياضيات الإيطالي د. كاردانو "الفن العظيم، أو حول قواعد الجبر"، حيث، إلى جانب مسائل الجبر الأخرى، يتم النظر في الطرق العامة لحل المعادلات المكعبة، وكذلك طريقة ل حل معادلات الدرجة الرابعة التي اكتشفها تلميذه ل.فيراري.

تم تقديم عرض كامل للقضايا المتعلقة بحل معادلات الدرجة الثالثة والرابعة بواسطة F. Viet.

في العشرينات من القرن التاسع عشر، أثبت عالم الرياضيات النرويجي ن. أبيل أن جذور معادلات الدرجة الخامسة لا يمكن التعبير عنها من حيث الجذور.

وكشفت الدراسة أن العلم الحديث يعرف طرقاً عديدة لحل معادلات الدرجة التاسعة.

وكانت نتيجة البحث عن طرق حل معادلات الدرجات العليا التي لا يمكن حلها باستخدام الطرق المدروسة في المناهج المدرسية هي طرق تعتمد على تطبيق نظرية فييتا (لمعادلات الدرجات ن>2)، ونظريات بيزوت، ومخططات هورنر، وكذلك صيغة كاردانو وفيراري لحل المعادلات التكعيبية والربيعية.

يعرض العمل طرق حل المعادلات وأنواعها والتي أصبحت بمثابة اكتشاف لنا. وتشمل هذه طريقة المعاملات غير المحددة، واختيار الدرجة الكاملة، والمعادلات المتماثلة.

2. حل المعادلات بأكملها من الدرجات العليا مع معاملات صحيحة

2.1 حل معادلات الدرجة الثالثة. الصيغة د. كاردانو

النظر في معادلات النموذج س 3 +بكسل+ف=0.دعونا نحول المعادلة العامة إلى الشكل: س 3 +بكسل 2 +س+ص=0.دعونا نكتب صيغة مكعب المجموع؛ لنضيفها إلى المساواة الأصلية ونستبدلها بـ ذ. نحصل على المعادلة: ذ 3 + (ف -) (ص -) + (ص - =0.بعد التحولات لدينا: ذ 2 +py + س=0.الآن، دعونا نكتب صيغة مجموع المكعب مرة أخرى:

(أ + ب) 3 =أ 3 + 3 أ 2 ب + 3اب 2 +ب 3 =أ 3 +ب 3 + 3أب (أ + ب)،يستبدل ( أ + ب)على س، نحصل على المعادلة س 3 - 3ABX - (أ 3 +ب 3) = 0. الآن يمكننا أن نرى أن المعادلة الأصلية تعادل النظام: وبحل النظام نحصل على:

لقد حصلنا على صيغة لحل معادلة الدرجة الثالثة أعلاه. ويحمل اسم عالم الرياضيات الإيطالي كاردانو.

لنلقي نظرة على مثال. حل المعادلة: .

لدينا ر= 15 و س= 124، ثم باستخدام صيغة كاردانو نحسب جذر المعادلة

الخلاصة: هذه الصيغة جيدة ولكنها غير مناسبة لحل جميع المعادلات التكعيبية. وفي الوقت نفسه، فهو مرهق. لذلك، في الممارسة العملية، نادرا ما يتم استخدامه.

لكن أي شخص يتقن هذه الصيغة يمكنه استخدامها عند حل معادلات الدرجة الثالثة في امتحان الدولة الموحدة.

2.2 نظرية فييتا

من خلال دورة الرياضيات، نعرف هذه النظرية للمعادلة التربيعية، لكن القليل من الناس يعرفون أنها تستخدم أيضًا لحل المعادلات ذات الترتيب الأعلى.

خذ بعين الاعتبار المعادلة:

دعونا نحلل الجانب الأيسر من المعادلة ونقسمها على ≠ 0.

دعونا نحول الجانب الأيمن من المعادلة إلى النموذج

; ويترتب على ذلك أنه يمكننا كتابة المعادلات التالية في النظام:

الصيغ التي اشتقها فييت للمعادلات التربيعية والتي أظهرناها للمعادلات من الدرجة الثالثة تنطبق أيضًا على كثيرات الحدود ذات الدرجات الأعلى.

دعونا نحل المعادلة التكعيبية:

الخلاصة: هذه الطريقة عالمية وسهلة الفهم للطلاب، حيث أن نظرية فييتا مألوفة لهم من المناهج الدراسية لـ n = 2. في الوقت نفسه، من أجل العثور على جذور المعادلات باستخدام هذه النظرية، يجب أن تكون لديك مهارات حسابية جيدة.

2.3 نظرية بيزوت

سميت هذه النظرية على اسم عالم الرياضيات الفرنسي ج. بيزوت الذي عاش في القرن الثامن عشر.

نظرية.إذا كانت المعادلة أ 0 سⁿ+أ 1 سن -1 +أ 2 سⁿ - ²+…+أن -1 س+أ n = 0، حيث تكون جميع المعاملات أعدادًا صحيحة، والحد الحر غير صفر وله جذر صحيح، فإن هذا الجذر هو مقسوم على الحد الحر.

بالنظر إلى أنه يوجد على الجانب الأيسر من المعادلة كثيرة الحدود من الدرجة n، فإن النظرية لها تفسير آخر.

نظرية.عند تقسيم كثيرة الحدود من الدرجة n بالنسبة إلى سبواسطة ذات الحدين س-أوالباقي يساوي قيمة الأرباح عندما س = أ. (خطاب أيمكن أن تشير إلى أي عدد حقيقي أو وهمي، أي. أي عدد مركب).

دليل:يترك و(س) يدل على كثير الحدود التعسفي من الدرجة n فيما يتعلق بالمتغير x و دع، عند القسمة على ذات الحدين ( س-أ) اتضح على انفراد ف(س)، والباقي ر. من الواضح أن ف(خ)سيكون هناك بعض كثيرات الحدود (ن - 1) الدرجة الرابعة نسبة إلى س، والباقي رستكون قيمة ثابتة، أي. مستقلة عن س.

إذا كان الباقي رإذا كانت كثيرة الحدود من الدرجة الأولى بالنسبة لـ x، فإن هذا يعني فشل القسمة. لذا، رمن سلا يعتمد. من خلال تعريف القسمة نحصل على الهوية: و(س)=(س-أ) ف(س)+ر.

المساواة صحيحة لأي قيمة لـ x، مما يعني أنها صحيحة أيضًا بالنسبة إلى س=أ، نحن نحصل: و(أ)=(أ-أ) ف(أ)+ر. رمز و(أ) يدل على قيمة كثير الحدود f (x) في س = أ، ف (أ)يرمز إلى القيمة ف(س) في س=أ.بقية ربقي كما كان من قبل، لأنه رمن سلا يعتمد. عمل ( س-أ) ف(أ) = 0، حيث أن العامل ( س-أ) = 0،والمضاعف ف (أ)هناك عدد معين. إذن من المساواة نحصل على: و (أ) = ص،إلخ.

مثال 1.أوجد باقي كثيرة الحدود س 3 - 3س 2 + 6س- 5 لكل ذات الحدين

س- 2. من خلال نظرية بيزوت : ص = و(2) = 23-322 + 62 -5=3. إجابة: ص = 3.

لاحظ أن نظرية بيزوت مهمة ليس في حد ذاتها بقدر ما هي مهمة في عواقبها. (المرفق 1)

دعونا نتناول بعض تقنيات تطبيق نظرية بيزوت في حل المسائل العملية. وتجدر الإشارة إلى أنه عند حل المعادلات باستخدام نظرية بيزوت لا بد من:

البحث عن جميع المقسومات الصحيحة للمصطلح الحر؛

أوجد جذرًا واحدًا على الأقل للمعادلة من هذه المقسومات؛

اقسم الجانب الأيسر من المعادلة على (ها);

اكتب حاصل ضرب المقسوم عليه وحاصل القسمة على الجانب الأيسر من المعادلة؛

حل المعادلة الناتجة.

لنلقِ نظرة على مثال حل المعادلة x 3 + 4X 2 + س - 6 = 0 .

الحل: أوجد مقسومات الحد الحر ±1 ; ± 2; ± 3; ± 6. دعونا نحسب القيم في س= 1, 1 3 + 41 2 + 1- 6=0. قسمة الجانب الأيسر من المعادلة على ( X- 1). لنجري عملية القسمة باستخدام "الزاوية" ونحصل على:

الاستنتاج: نظرية بيزوت هي إحدى المناهج التي نعتمدها في عملنا، والتي تمت دراستها في برنامج الصفوف الاختيارية. من الصعب فهمها، لأنه لكي تتقنها، عليك أن تعرف كل العواقب المترتبة عليها، لكن في الوقت نفسه تعتبر نظرية بيزوت أحد المساعدين الرئيسيين للطلاب في امتحان الدولة الموحدة.

2.4 مخطط هورنر

لتقسيم كثيرة الحدود على ذات الحدين س-ألفايمكنك استخدام تقنية خاصة بسيطة اخترعها علماء الرياضيات الإنجليز في القرن السابع عشر، والتي سُميت فيما بعد بمخطط هورنر. بالإضافة إلى إيجاد جذور المعادلات، يمكنك باستخدام مخطط هورنر حساب قيمها بسهولة أكبر. للقيام بذلك، تحتاج إلى استبدال قيمة المتغير في كثيرة الحدود Pn (خ)=أ 0 س + أ 1 س ن-1 +أ 2 سⁿ - ²+…++أن -1 س+أن. (1)

فكر في قسمة كثيرة الحدود (1) على ذات الحدين س-α.

دعونا نعبر عن معاملات الحاصل غير المكتمل ب 0 سⁿ - ¹+ ب 1 سⁿ - ²+ ب 2 سⁿ - ³+…+ مليار -1 والباقي صمن خلال معاملات كثير الحدود Pn( س) والرقم α. ب 0 =أ 0 , ب 1 = α ب 0 +أ 1 , ب 2 = α ب 1 +أ 2 …, مليار -1 =

= α مليار -2 +أن -1 = α مليار -1 +أن .

يتم عرض الحسابات باستخدام مخطط هورنر في الجدول التالي:

	أ 0	أ 1	أ 2 ,
	ب 0 =أ 0	ب 1 = α ب 0 +أ 1	ب 2 = α ب 1 +أ 2		ص = αب ن-1 +أن

بسبب ال ص = الحزب الشيوعي (α)،ثم α هو جذر المعادلة. من أجل التحقق مما إذا كان α جذرًا متعددًا، يمكن تطبيق مخطط هورنر على حاصل القسمة b 0 س+ب 1 س+…+مليار -1 وفقا للجدول. إذا كان في العمود تحت bn -1 والنتيجة هي 0 مرة أخرى، مما يعني أن α هو جذر متعدد.

دعونا نلقي نظرة على مثال: حل المعادلة X 3 + 4X 2 + س - 6 = 0.

دعونا نطبق على الجانب الأيسر من المعادلة تحليل كثير الحدود على الجانب الأيسر من المعادلة، مخطط هورنر.

الحل: إيجاد مقسومات الحد الحر ± 1; ± 2؛ ± 3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

معاملات حاصل القسمة هي الأرقام 1، 5، 6 والباقي r = 0.

وسائل، X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.

من هنا: X- 1 = 0 أو X 2 + 5X + 6 = 0.

X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. إجابة: 1,- 2, - 3.

الخلاصة: وهكذا، في إحدى المعادلات أظهرنا استخدام طريقتين مختلفتين لتحليل كثيرات الحدود. في رأينا، مخطط هورنر هو الأكثر عملية واقتصادية.

2.5 حل معادلات الدرجة الرابعة. طريقة فيراري

اكتشف لودوفيك فيراري، طالب كاردانو، طريقة لحل معادلة من الدرجة الرابعة. تتكون طريقة فيراري من مرحلتين.

المرحلة الأولى: يتم تمثيل المعادلات بالشكل كحاصل ضرب ثلاثيتين مربعتين؛ وذلك لأن المعادلة من الدرجة الثالثة ولها حل واحد على الأقل.

المرحلة الثانية: يتم حل المعادلات الناتجة باستخدام التحليل، ولكن لإيجاد التحليل المطلوب لا بد من حل المعادلات التكعيبية.

الفكرة هي تمثيل المعادلات بالشكل A 2 = B 2، حيث A = س 2+س،

ب- دالة خطية س. ثم يبقى حل المعادلات A = ±B.

للتوضيح، خذ المعادلة: بعزل الدرجة الرابعة نحصل على: لأي دسيكون التعبير مربعًا كاملاً. أضف إلى طرفي المعادلة التي نحصل عليها

على الجانب الأيسر يوجد مربع كامل، يمكنك التقاطه د، بحيث يصبح الجانب الأيمن من (2) أيضًا مربعًا كاملاً. دعونا نتخيل أننا حققنا هذا. ثم تبدو معادلتنا كما يلي:

العثور على الجذر لن يكون صعبا في وقت لاحق. لاختيار الحق دفمن الضروري أن يصبح مميز الجانب الأيمن من (3) صفراً، أي.

حتى تجد د, علينا حل هذه المعادلة من الدرجة الثالثة. تسمى هذه المعادلة المساعدة مذيب.

يمكننا بسهولة العثور على الجذر الكامل للمذيب: د = 1

باستبدال المعادلة في (1) نحصل على

الخلاصة: طريقة فيراري عالمية ولكنها معقدة ومرهقة. وفي الوقت نفسه، إذا كانت خوارزمية الحل واضحة، فيمكن حل معادلات الدرجة الرابعة باستخدام هذه الطريقة.

2.6 طريقة المعاملات غير المحددة

يعتمد نجاح حل معادلة الدرجة الرابعة باستخدام طريقة فيراري على ما إذا كنا نحل المذيب - معادلة من الدرجة الثالثة، والتي، كما نعلم، ليست ممكنة دائمًا.

جوهر طريقة المعاملات غير المحددة هو أن نوع العوامل التي تتحلل إليها كثيرة الحدود يتم تخمينها، ويتم تحديد معاملات هذه العوامل (أيضًا متعددات الحدود) عن طريق ضرب العوامل ومساواة المعاملات بنفس قوى عامل.

مثال: حل المعادلة:

لنفترض أن الجانب الأيسر من المعادلة يمكن تحليله إلى ثلاثيتي حدود مربعتين بمعاملات صحيحة بحيث تكون المساواة المتطابقة صحيحة

من الواضح أن المعاملات الموجودة أمامهم يجب أن تساوي 1، ويجب أن تكون الحدود الحرة تساوي واحدًا + 1، والآخر - 1.

المعاملات التي تواجه X. دعونا نشير إليهم ب أولتحديدهما، نضرب كلا الحدين في الجانب الأيمن من المعادلة.

ونتيجة لذلك نحصل على:

معادلة المعاملات بنفس الدرجات Xعلى الجانبين الأيسر والأيمن من المساواة (1)، نحصل على نظام لإيجاد و

وبعد حل هذا النظام، سيكون لدينا

إذن، المعادلة لدينا تعادل المعادلة

وبعد حلها نحصل على الجذور التالية: .

تعتمد طريقة المعاملات غير المحددة على العبارات التالية: أي كثيرة حدود من الدرجة الرابعة في المعادلة يمكن أن تتحلل إلى منتج متعدد الحدود من الدرجة الثانية؛ تكون كثيرتا الحدود متساويتين بشكل متطابق إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما متساوية لنفس القوى X.

2.7 المعادلات المتناظرة

تعريف.تسمى المعادلة ذات الشكل متماثلة إذا كانت المعاملات الأولى على يسار المعادلة مساوية للمعاملات الأولى على اليمين.

نلاحظ أن المعاملات الأولى على اليسار تساوي المعاملات الأولى على اليمين.

إذا كانت هذه المعادلة ذات درجة فردية، فإن لها جذرًا X= - 1. بعد ذلك يمكننا خفض درجة المعادلة بقسمتها على ( س+ 1). اتضح أنه عند قسمة معادلة متماثلة على ( س+ 1) تم الحصول على معادلة متماثلة ذات درجة زوجية. ويرد أدناه دليل على تماثل المعاملات. (الملحق 6) مهمتنا هي معرفة كيفية حل المعادلات المتماثلة ذات الدرجة الزوجية.

على سبيل المثال: (1)

دعونا نحل المعادلة (1)، نقسم على X 2 (إلى درجة متوسطة) = 0.

دعونا نجمع المصطلحات مع المتناظرة

) + 3(س+ . دعونا نشير في= س+ ، لنربّع الطرفين، وبالتالي = في 2 إذن 2( في 2 أو 2 في 2 + 3 حل المعادلة نحصل عليها في = , في= 3. بعد ذلك، دعونا نعود إلى الاستبدال س+ = و س+ = 3. حصلنا على المعادلتين و الأولى ليس لها حل والثانية لها جذرين. إجابة:.

الخلاصة: هذا النوع من المعادلات لا يتم مواجهته كثيرًا، ولكن إذا صادفته، فيمكن حله بسهولة وبساطة دون اللجوء إلى حسابات مرهقة.

2.8 العزلة بدرجة كاملة

خذ بعين الاعتبار المعادلة.

والطرف الأيسر هو مكعب المجموع (x+1)، أي.

نستخرج الجذر الثالث من الجزأين: ثم نحصل عليه

أين هو الجذر الوحيد؟

نتائج البحث

وبناء على نتائج العمل توصلنا إلى الاستنتاجات التالية:

بفضل النظرية المدروسة، تعرفنا على طرق مختلفة لحل المعادلات بأكملها من الدرجات العليا؛

D. صيغة كاردانو صعبة الاستخدام وتعطي احتمالية كبيرة لارتكاب أخطاء في الحساب؛

- تتيح طريقة ل.فيراري اختزال الحل إلى معادلة من الدرجة الرابعة إلى معادلة مكعبة؛

- يمكن استخدام نظرية بيزوت في المعادلات التكعيبية وفي المعادلات من الدرجة الرابعة؛ وهو أكثر قابلية للفهم والرؤية عند تطبيقه على حل المعادلات؛

يساعد مخطط هورنر على تقليل وتبسيط العمليات الحسابية بشكل كبير في حل المعادلات. بالإضافة إلى العثور على الجذور، باستخدام مخطط هورنر، يمكنك ببساطة حساب قيم كثيرات الحدود على الجانب الأيسر من المعادلة؛

كانت حلول المعادلات بطريقة المعاملات غير المحددة وحل المعادلات المتماثلة ذات أهمية خاصة.

خلال العمل البحثي، وجد أن الطلاب يتعرفون على أبسط طرق حل المعادلات من الدرجة الأولى في فصول الرياضيات الاختيارية بدءًا من الصف التاسع أو العاشر، وكذلك في الدورات الخاصة في مدارس الرياضيات الزائرة. تم إثبات هذه الحقيقة نتيجة لاستطلاع رأي معلمي الرياضيات في MBOU "المدرسة الثانوية رقم 9" والطلاب الذين أظهروا اهتمامًا متزايدًا بموضوع "الرياضيات".

أشهر طرق حل معادلات الدرجات العليا والتي يتم مواجهتها عند حل الأولمبياد والمسائل التنافسية ونتيجة تحضير الطلاب للامتحانات، هي طرق تعتمد على تطبيق نظرية بيزوت ومخطط هورنر وإدخال متغير جديد.

عرض نتائج العمل البحثي، أي. طرق حل المعادلات التي لم يتم تدريسها في مناهج الرياضيات المدرسية أثارت اهتمام زملائي في الصف.

خاتمة

بعد دراسة الأدبيات التربوية والعلمية وموارد الإنترنت في المنتديات التعليمية للشباب

"طرق حل المعادلات ذات الدرجات العليا"

( قراءات كيسيليف)

مدرس الرياضيات أفاناسييفا إل.

مدرسة MKOU Verkhnekarachskaya الثانوية

منطقة غريبانوفسكي، منطقة فورونيج

2015

يعد التعليم الرياضي الذي يتم تلقيه في مدرسة أساسية عنصرًا أساسيًا في التعليم العام والثقافة العامة للإنسان الحديث.

كتب عالم الرياضيات الألماني الشهير كورانت: "على مدى أكثر من ألفي عام، كان امتلاك بعض المعرفة، غير السطحية، في مجال الرياضيات عنصرًا ضروريًا في المخزون الفكري لكل شخص متعلم". ومن بين هذه المعرفة، ليس أقلها المكانة التي تنتمي إليها القدرة على حل المعادلات.

بالفعل في العصور القديمة، أدرك الناس مدى أهمية تعلم حل المعادلات الجبرية. منذ حوالي 4000 سنة عرف علماء البابليين كيفية حل معادلة تربيعية وحلوا أنظمة من معادلتين إحداهما من الدرجة الثانية. بمساعدة المعادلات، تم حل المشكلات المختلفة المتعلقة بمسح الأراضي والهندسة المعمارية والشؤون العسكرية؛ وتم اختصار العديد من الأسئلة المتنوعة المتعلقة بالممارسة والعلوم الطبيعية إليها، نظرًا لأن اللغة الدقيقة للرياضيات تسمح للمرء بالتعبير ببساطة عن الحقائق والعلاقات التي، عندما المذكورة باللغة العادية، قد تبدو مربكة ومعقدة. المعادلة هي واحدة من أهم المفاهيم في الرياضيات. إن تطوير طرق حل المعادلات، منذ ولادة الرياضيات كعلم، كان لفترة طويلة الموضوع الرئيسي لدراسة الجبر. واليوم في دروس الرياضيات، ابتداء من المرحلة التعليمية الأولى، يتم إيلاء اهتمام كبير لحل المعادلات بمختلف أنواعها.

لا توجد صيغة عالمية لإيجاد جذور المعادلة الجبرية من الدرجة n. بالطبع، كان لدى الكثيرين فكرة مغرية للعثور على أي درجة علمية نالصيغ التي تعبر عن جذور المعادلة من خلال معاملاتها، أي أنها تحل المعادلة بالجذور. ومع ذلك، تبين أن "العصور الوسطى المظلمة" كانت قاتمة قدر الإمكان فيما يتعلق بالمشكلة قيد المناقشة - لمدة سبعة قرون كاملة لم يجد أحد الصيغ المطلوبة! فقط في القرن السادس عشر تمكن علماء الرياضيات الإيطاليون من التقدم أكثر - للعثور على صيغ لـ ن =3 و ن =4 . في الوقت نفسه، تمت دراسة مسألة الحل العام للمعادلات من الدرجة الثالثة من قبل سكيبيو دال فيرو وطالبه فيوري وتارتاليا. في عام 1545، تم نشر كتاب عالم الرياضيات الإيطالي د كاردانو "الفن العظيم، أو حول قواعد الجبر"، حيث يتم النظر، إلى جانب مسائل الجبر الأخرى، في الطرق العامة لحل المعادلات التكعيبية، وكذلك طريقة الحل معادلات من الدرجة الرابعة اكتشفها تلميذه ل.فيراري. تم تقديم عرض كامل للقضايا المتعلقة بحل المعادلات من الدرجة الثالثة إلى الرابعة بواسطة F. Viet. وفي العشرينات من القرن التاسع عشر، أثبت عالم الرياضيات النرويجي ن. أبيل أن جذور المعادلات من الدرجة الخامسة والدرجات العليا لا يمكن التعبير عنها من حيث الجذور.

تتضمن عملية إيجاد حلول للمعادلة عادةً استبدال المعادلة بمعادلة مكافئة. يعتمد استبدال المعادلة بأخرى مكافئة على استخدام أربع بديهيات:

1. إذا زادت القيم المتساوية بنفس العدد فإن النتائج ستكون متساوية.

2. إذا طرحت نفس العدد من كميات متساوية، ستكون النتائج متساوية.

3. إذا ضربت القيم المتساوية في نفس العدد فإن النتائج ستكون متساوية.

4. إذا قسمت الكميات المتساوية على نفس العدد فإن النتائج ستكون متساوية.

بما أن الجانب الأيسر من المعادلة P(x) = 0 هو متعدد الحدود من الدرجة n، فمن المفيد تذكر العبارات التالية:

أقوال حول جذور كثيرة الحدود ومقسوماتها:

1. كثير الحدود من الدرجة n له عدد من الجذور لا يتجاوز n، وجذور التعدد m تحدث بالضبط m مرات.

2. كثيرة الحدود ذات الدرجة الفردية لها جذر حقيقي واحد على الأقل.

3. إذا كان α هو جذر P(x)، فإن P n (x) = (x - α) Q n - 1 (x)، حيث Q n - 1 (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة (n - 1).

4. كل جذر صحيح لكثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة هو مقسوم على الحد الحر.

5. لا يمكن أن يكون لكثيرة الحدود المخفضة ذات المعاملات الصحيحة جذور كسرية.

6. لكثيرة الحدود من الدرجة الثالثة

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d أحد أمرين ممكن: إما أن تتحلل إلى منتج ثلاثة ذوات حدين

P 3 (x) = a (x - α)(x - β)(x - γ)، أو يتحلل إلى منتج ذو الحدين وثلاثي الحدود P 3 (x) = a(x - α)(x 2 + βx + γ ).

7. يمكن توسيع أي كثيرة حدود من الدرجة الرابعة إلى حاصل ضرب ثلاثيتي حدود مربعتين.

8. كثير الحدود f (x) قابل للقسمة على كثير الحدود g(x) بدون باقي إذا كان هناك كثير الحدود q(x) بحيث f(x) = g(x) q(x). لتقسيم كثيرات الحدود، يتم استخدام قاعدة "التقسيم الزاوية".

9. لكي تكون كثيرة الحدود P(x) قابلة للقسمة على ذات الحدين (x - c)، فمن الضروري والكافي أن يكون c هو جذر P(x) (النتيجة الطبيعية لنظرية بيزوت).

10. نظرية فييتا: إذا كانت x 1، x 2، ...، x n هي جذور حقيقية لكثيرة الحدود

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n، فإن المساواة التالية تكون:

س 1 + س 2 + … + س ن = -أ 1 /أ 0,

س 1 × 2 + س 1 × 3 + ... + س ن - 1 × ن = أ 2 /أ 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n = -a 3 /a 0,

س 1 × 2 × 3 × ن = (-1) ن أ ن /أ 0 .

حل الأمثلة

مثال 1 . أوجد باقي القسمة P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 على (x – 1/3).

حل. وبحسب النتيجة الطبيعية لنظرية بيزوت: "إن باقي كثيرة الحدود مقسومة على ذات الحدين (x - c) يساوي قيمة كثيرة حدود c." لنجد P(1/3) = 0. وبالتالي، الباقي هو 0 والرقم 1/3 هو جذر كثيرة الحدود.

الجواب: ر = 0.

مثال 2 . قسّم باستخدام "الزاوية" 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 على (x + 2). أوجد الباقي والحاصل غير الكامل.

حل:

2x 3 + 3x 2 - 2x + 3| س + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 - س

× 2 - 2x

الجواب: ر = 3؛ حاصل القسمة: 2x2 - x.

الطرق الأساسية لحل المعادلات ذات الدرجة العليا

1. إدخال متغير جديد

طريقة إدخال متغير جديد هي أنه لحل المعادلة f(x) = 0، يتم إدخال متغير جديد (استبدال) t = x n أو t = g(x) ويتم التعبير عن f(x) من خلال t، والحصول على المعادلة الجديدة r(t) . ومن ثم حل المعادلة r(t) يتم إيجاد الجذور: (t 1, t 2, ..., t n). بعد ذلك، يتم الحصول على مجموعة من المعادلات n q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n والتي منها يتم العثور على جذور المعادلة الأصلية.

مثال؛(س 2 + س + 1) 2 - 3س 2 - 3س - 1 = 0.

الحل: (س 2 + س + 1) 2 – 3س 2 – 3س – 1 = 0.

(س 2 + س + 1) 2 – 3(س 2 + س + 1) + 3 – 1 = 0.

التعويض (س 2 + س + 1) = ر.

ر 2 - 3ر + 2 = 0.

ر 1 = 2، ر 2 = 1. الاستبدال العكسي:

س 2 + س + 1 = 2 أو س 2 + س + 1 = 1؛

س 2 + س - 1 = 0 أو س 2 + س = 0؛

من المعادلة الأولى: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2، من الثانية: 0 و -1.

يتم استخدام طريقة إدخال متغير جديد في الحل قابلة للإرجاع المعادلات، أي معادلات من الصيغة a 0 x n + a 1 x n – 1 + .. + a n – 1 x + a n =0، حيث تكون معاملات حدود المعادلة متباعدة بالتساوي من البداية والنهاية، متساوون.

2. التحليل عن طريق التجميع وصيغ الضرب المختصرة

أساس هذه الطريقة هو تجميع المصطلحات بحيث تحتوي كل مجموعة على عامل مشترك. للقيام بذلك، في بعض الأحيان يكون من الضروري استخدام بعض التقنيات الاصطناعية.

مثال:س 4 - 3س 2 + 4س - 3 = 0.

حل. تخيل - 3x 2 = -2x 2 - x 2 والمجموعة:

(س 4 - 2س 2) - (س 2 - 4س + 3) = 0.

(س 4 – 2س 2 +1 – 1) – (س 2 – 4س + 3 + 1 – 1) = 0.

(س 2 – 1) 2 – 1 – (س – 2) 2 + 1 = 0.

(س 2 - 1) 2 - (س - 2) 2 = 0.

(س 2 - 1 - س + 2)(س 2 - 1 + س - 2) = 0.

(س 2 - س + 1)(س 2 + س - 3) = 0.

س 2 - س + 1 = 0 أو س 2 + س - 3 = 0.

لا توجد جذور في المعادلة الأولى، من الثانية: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. التخصيم بطريقة المعاملات غير المحددة

جوهر الطريقة هو أن كثير الحدود الأصلي يتم تحليله بمعاملات غير معروفة. باستخدام خاصية تساوي كثيرات الحدود إذا كانت معاملاتها متساوية عند نفس القوى، يتم إيجاد معاملات التمدد المجهولة.

مثال:س 3 + 4س 2 + 5س + 2 = 0.

حل. يمكن توسيع كثيرة الحدود من الدرجة 3 إلى منتج العوامل الخطية والتربيعية.

س 3 + 4س 2 + 5س + 2 = (س - أ)(س 2 + ب س + ج)،

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx - الفأس 2 - abx - ac،

س 3 + 4س 2 + 5س + 2 = س 3 + (ب - أ) × 2 + (ج - أ ب) س - أ.

بعد حل النظام:

نحن نحصل

س 3 + 4س 2 + 5س + 2 = (س + 1)(س 2 + 3س + 2).

من السهل العثور على جذور المعادلة (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0.

الجواب: -1؛ -2.

4. طريقة اختيار الجذر باستخدام المعامل الأعلى والحر

تعتمد الطريقة على تطبيق النظريات:

1) كل جذر صحيح لكثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة هو مقسوم على الحد الحر.

2) لكي يكون الكسر غير القابل للاختزال p/q (p - عدد صحيح، q - طبيعي) هو جذر معادلة ذات معاملات صحيحة، من الضروري أن يكون الرقم p مقسومًا صحيحًا على الحد الحر a 0، و ف - المقسوم عليه الطبيعي للمعامل الرئيسي.

مثال: 6س 3 + 7س 2 - 9س + 2 = 0.

حل:

2: ع = ±1، ±2

6: ف = 1، 2، 3، 6.

لذلك، p/q = ±1، ±2، ±1/2، ±1/3، ±2/3، ±1/6.

بعد إيجاد جذر واحد، على سبيل المثال - 2، سنجد جذورًا أخرى باستخدام القسمة الزاوية، أو طريقة المعاملات غير المحددة أو مخطط هورنر.

الجواب: -2؛ 1/2؛ 1/3.

5. الطريقة الرسومية.

تتكون هذه الطريقة من بناء الرسوم البيانية واستخدام خصائص الوظائف.

مثال:س 5 + س – 2 = 0

لنتخيل المعادلة على الصورة x 5 = - x + 2. الدالة y = x 5 تزايدية، والدالة y = - x + 2 تتناقص. هذا يعني أن المعادلة x 5 + x – 2 = 0 لها جذر واحد -1.

6. ضرب المعادلة بالدالة.

في بعض الأحيان يكون حل معادلة جبرية أسهل بكثير إذا قمت بضرب كلا الطرفين في دالة معينة - كثيرة الحدود في المجهول. وفي الوقت نفسه، يجب أن نتذكر أنه من الممكن أن تظهر جذور إضافية - جذور كثيرة الحدود التي تم ضرب المعادلة بها. لذلك، يجب عليك إما أن تضرب في كثيرة حدود ليس لها جذور وتحصل على معادلة مكافئة لها، أو أن تضرب في كثيرة حدود لها جذور، ومن ثم يجب استبدال كل من هذه الجذور في المعادلة الأصلية وتحديد ما إذا كان هذا العدد هو جذرها.

مثال. حل المعادلة:

X 8 – × 6 + × 4 – × 2 + 1 = 0. (1)

حل: بضرب طرفي المعادلة في كثيرة الحدود X 2 + 1، التي ليس لها جذور، نحصل على المعادلة:

(X 2 +1) (X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1) = 0 (2)
يعادل المعادلة (1). يمكن كتابة المعادلة (2) على النحو التالي:

× 10 + 1= 0 (3)
من الواضح أن المعادلة (3) ليس لها جذور حقيقية، وبالتالي فإن المعادلة (1) ليس لها جذور.

إجابة: لا توجد حلول.

بالإضافة إلى الطرق المذكورة أعلاه لحل المعادلات ذات الدرجات الأعلى، هناك طرق أخرى. على سبيل المثال، تسليط الضوء على مربع كامل، مخطط هورنر، الذي يمثل الكسر ككسرين. من الطرق العامة لحل المعادلات ذات الدرجات الأعلى، والتي تستخدم في أغلب الأحيان، يتم استخدام: طريقة تحليل الجانب الأيسر من المعادلة؛

طريقة استبدال المتغير (طريقة إدخال متغير جديد)؛ طريقة الرسم. نقدم هذه الطرق لطلاب الصف التاسع عند دراسة موضوع "المعادلة الكاملة وجذورها". في الكتاب المدرسي الجبر 9 (المؤلفون Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، وما إلى ذلك) في السنوات الأخيرة من النشر، تمت مناقشة الطرق الرئيسية لحل المعادلات ذات الدرجات العليا بتفاصيل كافية. بالإضافة إلى ذلك، في قسم "لأولئك الذين يريدون معرفة المزيد"، في رأيي، يتم تقديم المواد المتعلقة بتطبيق النظريات على جذر كثير الحدود والجذور الكاملة للمعادلة بأكملها عند حل المعادلات ذات الدرجات الأعلى بطريقة يمكن الوصول إليها طريقة. يدرس الطلاب المجهزون جيدًا هذه المادة باهتمام ثم يقدمون المعادلات التي تم حلها إلى زملائهم في الفصل.

يرتبط كل ما يحيط بنا تقريبًا بدرجة أو بأخرى بالرياضيات. والإنجازات في الفيزياء والتكنولوجيا وتكنولوجيا المعلومات تؤكد ذلك فقط. والمهم جدًا هو أن حل العديد من المشكلات العملية يتلخص في حل أنواع مختلفة من المعادلات التي تحتاج إلى تعلم كيفية حلها.

عند حل المعادلات الجبرية، غالبًا ما يتعين عليك تحليل كثيرة الحدود. تحليل كثيرة الحدود يعني تمثيلها كمنتج لاثنين أو أكثر من كثيرات الحدود. نحن نستخدم في كثير من الأحيان بعض الطرق لتحليل كثيرات الحدود: أخذ عامل مشترك، واستخدام صيغ الضرب المختصرة، وعزل مربع كامل، والتجميع. دعونا نلقي نظرة على بعض الأساليب الأخرى.

في بعض الأحيان تكون العبارات التالية مفيدة عند تحليل كثيرة الحدود:

1) إذا كانت كثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة لها جذر عقلاني (أين يوجد كسر غير قابل للاختزال، فهو مقسوم على الحد الحر ومقسوم على المعامل الرئيسي:

2) إذا قمت بطريقة ما بتحديد جذر كثير الحدود من الدرجة، فيمكن تمثيل كثير الحدود في النموذج حيث يكون كثير الحدود من الدرجة

يمكن العثور على كثيرة الحدود إما عن طريق تقسيم كثيرة الحدود إلى ذات الحدين في "عمود"، أو عن طريق تجميع شروط كثيرة الحدود وفصل المضاعف عنها، أو عن طريق المعاملات غير المحددة.

مثال. عامل كثير الحدود

حل. نظرًا لأن معامل x4 يساوي 1، فإن الجذور المنطقية لهذا كثير الحدود موجودة وهي قواسم للرقم 6، أي يمكن أن تكون أعدادًا صحيحة ±1، ±2، ±3، ±6. دعونا نشير إلى كثير الحدود هذا بـ P4(x). بما أن P P4 (1) = 4 وP4(-4) = 23، فإن الرقمين 1 و-1 ليسا جذورًا لكثيرة الحدود PA(x). بما أن P4(2) = 0، فإن x = 2 هو جذر كثيرة الحدود P4(x)، وبالتالي فإن كثيرة الحدود هذه قابلة للقسمة على ذات الحدين x - 2. لذلك x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2x4 -2x3x3 -3x2 +x-3

3x3 +7x2 -5x +6

3x3 +6x2x2 - 5x + 6x2- 2x

وبالتالي، P4(x) = (x - 2)(x3 - 3x2 + x - 3). بما أن xz - 3x2 + x - 3 = x2 (x - 3) + (x - 3) = (x - 3)(x2 + 1)، إذن x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 = (x - 2) ( س - 3)(س2 + 1).

طريقة إدخال المعلمة

في بعض الأحيان، عند تحليل كثيرة الحدود، تساعد طريقة إدخال المعلمة. سنشرح جوهر هذه الطريقة باستخدام المثال التالي.

مثال. x3 –(√3 + 1) x2 + 3.

حل. خذ بعين الاعتبار كثيرة الحدود ذات المعلمة a: x3 - (a + 1)x2 + a2، والتي عند a = √3 تتحول إلى كثيرة حدود معينة. لنكتب كثير الحدود هذا في صورة ثلاثية الحدود لـ a: a - ax2 + (x3 - x2).

بما أن جذور هذه الثلاثية المربعة بالنسبة لـ a هي a1 = x و a2 = x2 - x، فإن المساواة a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x)(a - x2 + x) صحيحة. وبالتالي، فإن كثيرة الحدود x3 - (√3 + 1)x2 + 3 تتحلل إلى عوامل √3 - x و√3 - x2 + x، أي.

x3 – (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3).

طريقة إدخال مجهول جديد

في بعض الحالات، عن طريق استبدال التعبير f(x) المتضمن في كثير الحدود Pn(x)، من خلال y يمكن للمرء الحصول على كثير الحدود فيما يتعلق بـ y، والذي يمكن تحليله بسهولة. ثم، بعد استبدال y بـ f(x)، نحصل على تحليل متعدد الحدود Pn(x).

مثال. عامل متعدد الحدود x(x+1)(x+2)(x+3)-15.

حل. دعونا نحول كثيرة الحدود هذه كما يلي: x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x (x + 3)][(x + 1)(x + 2)] - 15 =( x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) - 15.

دعنا نشير إلى x2 + 3x بواسطة y. ثم لدينا y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1)2 - 16 = (y + 1 + 4)(y + 1 - 4)= (ص+ 5)(ص - 3).

ولذلك x(x + 1)(x+ 2)(x + 3) - 15 = (x2+ 3x + 5)(x2 + 3x - 3).

مثال. عامل متعدد الحدود (x-4)4+(x+2)4

حل. دعنا نشير إلى x- 4+x+2 = x - 1 بواسطة y.

(س - 4)4 + (س + 2)2= (ص - 3)4 + (ص + 3)4 = ص4 - 12y3 +54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(yg + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48)(y2 + 27+√b48)=

2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+√b48)=2(x2-2x + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2) ).

الجمع بين الأساليب المختلفة

في كثير من الأحيان، عند تحليل كثيرة الحدود، من الضروري تطبيق العديد من الطرق التي تمت مناقشتها أعلاه على التوالي.

مثال. عامل متعدد الحدود x4 - 3x2 + 4x-3.

حل. باستخدام التجميع، نعيد كتابة كثيرة الحدود في الصورة x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 – 2x2) – (x2 -4x + 3).

بتطبيق طريقة عزل مربع كامل إلى القوس الأول، نحصل على x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

باستخدام صيغة المربع الكامل، يمكننا الآن كتابة x4 – 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1)2 - (x - 2)2.

أخيرًا، بتطبيق صيغة فرق المربعات، نحصل على x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 - 1 + x - 2)(x2 - 1 - x + 2) = (x2+x-3)(x2 -x + 1).

§ 2. المعادلات المتناظرة

1. المعادلات المتناظرة من الدرجة الثالثة

تسمى المعادلات ذات الشكل ax3 + bx2 + bx + a = 0, a ≠ 0 (1) بالمعادلات المتماثلة من الدرجة الثالثة. بما أن ax3 + bx2 + bx + a = a(x3 + 1) + bx (x + 1) = (x+1)(ax2+(b-a)x+a)، فإن المعادلة (1) تعادل مجموعة المعادلات x + 1 = 0 و ax2 + (b-a)x + a = 0، وهو أمر ليس من الصعب حله.

مثال 1: حل المعادلة

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

حل. المعادلة (2) هي معادلة متماثلة من الدرجة الثالثة.

بما أن 3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3(x3 + 1) + 4x(x + 1) = (x+ 1)(3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1)(3x2 + x + 3) , فإن المعادلة (2) تعادل مجموعة المعادلات x + 1 = 0 و 3x3 + x +3=0.

حل المعادلة الأولى هو x = -1، المعادلة الثانية ليس لها حلول.

الجواب: س = -1.

2. المعادلات المتناظرة من الدرجة الرابعة

معادلة النموذج

(3) تسمى معادلة متماثلة من الدرجة الرابعة.

بما أن x = 0 ليس جذرًا للمعادلة (3)، فمن خلال قسمة طرفي المعادلة (3) على x2، نحصل على معادلة مكافئة للمعادلة الأصلية (3):

دعونا نعيد كتابة المعادلة (4) على النحو التالي:

لنقم بالتعويض في هذه المعادلة، ثم نحصل على معادلة تربيعية

إذا كانت المعادلة (5) لها جذرين y1 وy2، فإن المعادلة الأصلية تعادل مجموعة من المعادلات

إذا كانت المعادلة (5) لها جذر واحد y0، فإن المعادلة الأصلية تعادل المعادلة

وأخيرًا، إذا كانت المعادلة (5) ليس لها جذور، فإن المعادلة الأصلية أيضًا ليس لها جذور.

مثال 2: حل المعادلة

حل. هذه المعادلة هي معادلة متماثلة من الدرجة الرابعة. بما أن x = 0 ليس جذرها، فمن خلال قسمة المعادلة (6) على x2، نحصل على معادلة مكافئة:

بعد تجميع المصطلحات، نعيد كتابة المعادلة (7) في الصورة أو في الصورة

وبعبارة أخرى، نحصل على معادلة لها جذرين y1 = 2 و y2 = 3. وبالتالي، فإن المعادلة الأصلية تعادل مجموعة من المعادلات

حل المعادلة الأولى من هذه المجموعة هو x1 = 1، وحل المعادلة الثانية هو u.

لذلك، فإن المعادلة الأصلية لها ثلاثة جذور: x1، x2، x3.

الجواب: ×1=1.

§3. المعادلات الجبرية

1. تقليل درجة المعادلة

بعض المعادلات الجبرية، من خلال استبدال كثير حدود معينة فيها بحرف واحد، يمكن اختزالها إلى معادلات جبرية درجتها أقل من درجة المعادلة الأصلية وحلها أبسط.

مثال 1: حل المعادلة

حل. دعونا نشير إلى أنه يمكن إعادة كتابة المعادلة (1) حيث أن المعادلة الأخيرة لها جذور وبالتالي فإن المعادلة (1) تعادل مجموعة المعادلات و. حل المعادلة الأولى من هذه المجموعة هو وحل المعادلة الثانية هو

حلول المعادلة (1) هي

مثال 2: حل المعادلة

حل. ضرب طرفي المعادلة بـ 12 والدلالة على،

نحصل على المعادلة ونعيد كتابة هذه المعادلة في النموذج

(3) وندل على ذلك نعيد كتابة المعادلة (3) على الصورة المعادلة الأخيرة لها جذور وبالتالي نحصل على أن المعادلة (3) تعادل مجموعة من معادلتين وهناك حلول لهذه المجموعة من المعادلات أي المعادلة (2) يعادل مجموعة من المعادلات و (4)

حلول المجموعة (4) هي و، وهي حلول المعادلة (2).

2. معادلات النموذج

المعادلة

(5) حيث - يمكن اختزال الأرقام المعطاة إلى معادلة تربيعية عن طريق استبدال المجهول، أي استبدال

مثال 3: حل المعادلة

حل. دعونا نشير ب، ر. هـ نقوم بتغيير المتغيرات أو يمكن إعادة كتابة المعادلة (6) في النموذج أو باستخدام الصيغة في النموذج.

بما أن جذور المعادلة التربيعية هي و، فإن حلول المعادلة (7) هي حلول لمجموعة المعادلات و. هذه المجموعة من المعادلات لها حلان وبالتالي فإن حلول المعادلة (6) هي و

3. معادلات النموذج

المعادلة

(8) حيث تكون الأرقام α و β و γ و δ و Α هكذا α

مثال 4: حل المعادلة

حل. دعونا نغير المجهولات، أي y=x+3 أو x = y – 3. ثم يمكن إعادة كتابة المعادلة (9) بالشكل

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10، أي في النموذج

(ص2- 4)(ص2-1)=10(10)

المعادلة التربيعية (10) لها جذرين. وبالتالي فإن المعادلة (9) لها أيضًا جذرين:

4. معادلات النموذج

المعادلة (11)

حيث أن x = 0 ليس له جذر، لذلك بقسمة المعادلة (11) على x2 نحصل على معادلة مكافئة

والتي بعد استبدال المجهول ستتم إعادة كتابتها على شكل معادلة تربيعية حلها ليس صعبا.

مثال 5: حل المعادلة

حل. بما أن h = 0 ليس جذرًا للمعادلة (12)، فعند قسمتها على x2 نحصل على معادلة مكافئة

لجعل الاستبدال مجهولًا، نحصل على المعادلة (y+1)(y+2)=2، والتي لها جذرين: y1 = 0 وy1 = -3. وبالتالي فإن المعادلة الأصلية (12) تعادل مجموعة المعادلات

تحتوي هذه المجموعة على جذرين: x1= -1 وx2 = -2.

الإجابة: x1= -1، x2 = -2.

تعليق. معادلة النموذج

والتي يمكن دائمًا اختزالها إلى النموذج (11)، علاوة على ذلك، مع الأخذ في الاعتبار α > 0 و lect > 0 إلى النموذج.

5. معادلات النموذج

المعادلة

،(13) حيث يمكن إعادة كتابة الأرقام α و β و γ و δ و Α بضرب القوس الأول بالثاني والثالث بالرابع بالشكل أي. المعادلة (13) مكتوبة الآن على الصورة (11) ويمكن حلها بنفس طريقة حل المعادلة (11).

مثال 6: حل المعادلة

حل. المعادلة (14) لها الصورة (13)، لذلك نعيد كتابتها على الصورة

بما أن x = 0 ليس حلاً لهذه المعادلة، فمن خلال قسمة كلا الطرفين على x2، نحصل على معادلة أصلية مكافئة. وبتغيير المتغيرات نحصل على معادلة تربيعية حلها هو و. وبالتالي فإن المعادلة الأصلية (14) تعادل مجموعة المعادلات و.

حل المعادلة الأولى من هذه المجموعة هو

المعادلة الثانية من مجموعة الحلول هذه ليس لها حلول. إذن، المعادلة الأصلية لها جذر x1 وx2.

6. معادلات النموذج

المعادلة

(15) حيث تكون الأرقام a، b، c، q، A بحيث أن x = 0 ليس لها جذر، وبالتالي يتم قسمة المعادلة (15) على x2. نحصل على معادلة مكافئة لها والتي بعد استبدال المجهول ستعاد كتابتها على شكل معادلة تربيعية حلها ليس صعبا.

مثال 7. حل المعادلة

حل. بما أن x = 0 ليس جذرًا للمعادلة (16)، فقسمة الطرفين على x2، نحصل على المعادلة

، (17) يعادل المعادلة (16). وبعد التعويض بمجهول، نعيد كتابة المعادلة (17) في الصورة

المعادلة التربيعية (18) لها جذرين: y1 = 1 و y2 = -1. وبالتالي فإن المعادلة (17) تعادل مجموعة المعادلات و (19)

مجموعة المعادلات (19) لها 4 جذور: ,.

ستكون جذور المعادلة (16).

§4. المعادلات العقلانية

تسمى المعادلات ذات الصيغة = 0، حيث H(x) وQ(x) كثيرة الحدود، عقلانية.

بعد العثور على جذور المعادلة H(x) = 0، فأنت بحاجة إلى التحقق من أي منها ليس جذور المعادلة Q(x) = 0. هذه الجذور فقط ستكون حلولاً للمعادلة.

دعونا نفكر في بعض الطرق لحل المعادلات من النموذج = 0.

1. معادلات النموذج

المعادلة

(1) في ظل ظروف معينة على الأرقام يمكن حلها على النحو التالي. من خلال تجميع شروط المعادلة (1) في اثنين وجمع كل زوج، من الضروري الحصول على كثيرات الحدود من الدرجة الأولى أو الصفرية في البسط، والتي تختلف فقط في العوامل العددية، وفي المقامات - ثلاثيات الحدود التي تحتوي على نفس المصطلحين x، ثم بعد استبدال المتغيرات، فإن المعادلة الناتجة إما أن يكون لها أيضًا الشكل (1)، ولكن بعدد أقل من الحدود، أو ستكون مكافئة لمجموعة من معادلتين، إحداهما ستكون من الدرجة الأولى، و والثانية ستكون معادلة من النوع (1)، ولكن بعدد أقل من الحدود.

مثال. حل المعادلة

حل. بعد أن جمعنا على الجانب الأيسر من المعادلة (2) الحد الأول مع الأخير، والثاني مع ما قبل الأخير، نعيد كتابة المعادلة (2) بالشكل

بجمع الحدود الموجودة في كل قوس، نعيد كتابة المعادلة (3) في الصورة

وبما أنه لا يوجد حل للمعادلة (4)، فعند قسمة هذه المعادلة نحصل على المعادلة

، (5) يعادل المعادلة (4). فلنعوض بالمجهول، فتعاد كتابة المعادلة (5) على الصورة

وبالتالي فإن حل المعادلة (2) التي بها خمسة حدود في الطرف الأيسر يتم اختزاله إلى حل المعادلة (6) بنفس الصورة ولكن بثلاثة حدود في الطرف الأيسر. بجمع كل الحدود الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة (6)، نعيد كتابتها في الصورة

هناك حلول للمعادلة. لا شيء من هذه الأرقام يجعل مقام الدالة العقلانية على الجانب الأيسر من المعادلة (7) يختفي. وبالتالي فإن المعادلة (7) لها هذين الجذرين، وبالتالي فإن المعادلة الأصلية (2) تعادل مجموعة المعادلات

حلول المعادلة الأولى من هذه المجموعة هي

حلول المعادلة الثانية من هذه المجموعة هي

وبالتالي فإن المعادلة الأصلية لها جذور

2. معادلات النموذج

المعادلة

(8) في ظل ظروف معينة يمكن حل الأرقام على النحو التالي: من الضروري اختيار الجزء الصحيح في كل كسر من كسور المعادلة، أي استبدال المعادلة (8) بالمعادلة

اختصرها إلى الشكل (1) ثم حلها بالطريقة الموضحة في الفقرة السابقة.

مثال. حل المعادلة

حل. دعونا نكتب المعادلة (9) في الصورة أو في الصورة

بتلخيص الحدود الموجودة بين قوسين، نعيد كتابة المعادلة (10) في الصورة

وبالتعويض عن المجهول، نعيد كتابة المعادلة (11) على الصورة

بتلخيص الحدود الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة (12)، نعيد كتابتها في الصورة

من السهل أن نرى أن المعادلة (13) لها جذرين: و. وبالتالي فإن المعادلة الأصلية (9) لها أربعة جذور:

3) معادلات النموذج.

يمكن حل معادلة من الشكل (14)، في ظل ظروف معينة للأرقام، على النحو التالي: عن طريق توسيع (إذا كان ذلك ممكنًا بالطبع) كل كسر من الكسور الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة (14) إلى مجموع كسور بسيطة

اختزل المعادلة (14) إلى الشكل (1)، ثم بعد إجراء إعادة ترتيب ملائمة لشروط المعادلة الناتجة، قم بحلها باستخدام الطريقة الموضحة في الفقرة 1).

مثال. حل المعادلة

حل. منذ و، ثم بضرب بسط كل كسر في المعادلة (15) في 2 وملاحظة أنه يمكن كتابة المعادلة (15) على النحو التالي

المعادلة (16) لها الشكل (7). بعد إعادة ترتيب الحدود في هذه المعادلة، نعيد كتابتها على الصورة أو على الصورة

المعادلة (17) تعادل مجموعة المعادلات و

ولحل المعادلة الثانية للمجموعة (18) نعوض عن المجهول ثم نعيد كتابته على الصورة أو على الصورة

بجمع كل الحدود الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة (19)، أعد كتابتها في الصورة

وبما أن المعادلة ليس لها جذور، فإن المعادلة (20) لا تحتوي عليها أيضًا.

المعادلة الأولى للمجموعة (18) لها جذر واحد بما أن هذا الجذر متضمن في ODZ للمعادلة الثانية للمجموعة (18)، فهو الجذر الوحيد للمجموعة (18)، وبالتالي الأصل. معادلة.

4. معادلات النموذج

المعادلة

(21) في ظل ظروف معينة على الأرقام و A بعد تمثيل كل حد على الجانب الأيسر في النموذج يمكن اختزاله إلى الشكل (1).

مثال. حل المعادلة

حل. دعونا نعيد كتابة المعادلة (22) في الصورة أو في الصورة

وبذلك يتم تحويل المعادلة (23) إلى الصيغة (1). والآن بعد تجميع الحد الأول مع الأخير، والثاني مع الثالث، نعيد كتابة المعادلة (23) بالشكل

هذه المعادلة تعادل مجموعة المعادلات و. (24)

يمكن إعادة كتابة المعادلة الأخيرة للمجموعة (24) على النحو التالي:

توجد حلول لهذه المعادلة، وبما أنها مدرجة في ODZ للمعادلة الثانية للمجموعة (30)، فإن المجموعة (24) لها ثلاثة جذور:. وكلها حلول للمعادلة الأصلية.

5. معادلات النموذج.

معادلة النموذج (25)

في ظل ظروف معينة على الأرقام، عن طريق استبدال المجهول، يمكن للمرء أن يختزل إلى معادلة النموذج

مثال. حل المعادلة

حل. وبما أنه ليس حلاً للمعادلة (26)، فقسمة بسط ومقام كل كسر في الطرف الأيسر على، نعيد كتابته بالشكل

وبعد إجراء تغيير في المتغيرات، نعيد كتابة المعادلة (27) في الصورة

حل المعادلة (28) يوجد و. وبالتالي فإن المعادلة (27) تعادل مجموعة المعادلات و. (29)

لاستخدام معاينات العرض التقديمي، قم بإنشاء حساب Google وقم بتسجيل الدخول إليه: https://accounts.google.com

التسميات التوضيحية للشرائح:

المعادلات ذات الدرجات الأعلى (جذور كثيرة الحدود في متغير واحد).

خطة المحاضرة. رقم 1. معادلات الدرجات العليا في مقرر الرياضيات المدرسية. رقم 2. النموذج القياسي لكثيرة الحدود. رقم 3. الجذور الكاملة لكثيرة الحدود. مخطط هورنر. رقم 4. الجذور الكسرية لكثيرة الحدود. رقم 5. معادلات الشكل: (x + أ)(x + ب)(x + ج) ... = أ رقم 6. المعادلات المتبادلة. رقم 7. المعادلات المتجانسة. رقم 8. طريقة المعاملات غير المحددة. رقم 9. طريقة وظيفية - رسومية. رقم 10. صيغ فييتا للمعادلات ذات الدرجات العليا. رقم 11. الطرق غير القياسية لحل المعادلات ذات الدرجات العليا.

معادلات الدرجات العليا في مقرر الرياضيات المدرسية. الصف السابع. النموذج القياسي لكثيرة الحدود. الإجراءات مع كثيرات الحدود. تحليل كثير الحدود. في الفصل العادي 42 ساعة وفي الفصل الخاص 56 ساعة. 8 فئة خاصة. الجذور الصحيحة لكثيرة الحدود، تقسيم كثيرات الحدود، المعادلات المتبادلة، الفرق ومجموع القوى n من ذات الحدين، طريقة المعاملات غير المحددة. يو.ن. Makarychev "فصول إضافية لدورة الجبر المدرسية للصف الثامن"، مجموعة مسائل الجبر M.L. Galitsky للصفوف 8 - 9. 9 فئة خاصة. الجذور العقلانية لكثيرة الحدود. المعادلات المتبادلة المعممة. صيغ فييتا للمعادلات ذات الدرجات العليا. ن.يا. فيلينكين "الجبر الصف التاسع مع دراسة متعمقة. 11 فئة خاصة. هوية كثيرات الحدود. متعدد الحدود في عدة متغيرات. وظيفية - طريقة رسومية لحل المعادلات ذات الدرجات العليا.

النموذج القياسي لكثيرة الحدود. كثيرة الحدود P(x) = a ⁿ x ⁿ + a p-1 x p-1 + … + a₂x ² + a₁x + a₀. تسمى كثيرة الحدود بالشكل القياسي. a p x ⁿ هو الحد الرئيسي في كثيرة الحدود وp هو معامل الحد الرئيسي في كثيرة الحدود. عندما تكون n = 1، تسمى P(x) كثيرة الحدود مخفضة. و ₀ هو الحد الحر لكثيرة الحدود P(x). n هي درجة كثير الحدود.

الجذور الكاملة لكثيرة الحدود. مخطط هورنر. النظرية رقم 1. إذا كان العدد الصحيح a هو جذر كثير الحدود P(x)، فإن a هو مقسوم على الحد الحر P(x). المثال رقم 1. حل المعادلة. X⁴ + 2x³ = 11x² – 4x – 4 لنحول المعادلة إلى الصورة القياسية. X⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 = 0. لدينا كثيرة الحدود P(x) = x ⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 مقسومات الحد الحر: ± 1، ± 2، ±4. س = 1 جذر المعادلة لأن P(1) = 0، x = 2 هو جذر المعادلة لأن P(2) = 0 نظرية بيزوت. الباقي عند قسمة كثيرة الحدود P(x) على ذات الحدين (x - a) يساوي P(a). عاقبة. إذا كان a هو جذر كثيرة الحدود P(x)، فسيتم تقسيم P(x) على (x - a). في معادلتنا، P(x) مقسومة على (x – 1) وعلى (x – 2)، وبالتالي على (x – 1) (x – 2). عند قسمة P(x) على (x² - 3x + 2)، ينتج خارج القسمة ثلاثية الحدود x² + 5x + 2 = 0، والتي لها جذور x = (-5 ± √17)/2

الجذور الكسرية لكثيرة الحدود. النظرية رقم 2. إذا كان p / g هو جذر كثير الحدود P(x)، فإن p هو المقسوم على الحد الحر، وg هو المقسوم على معامل الحد الرئيسي P(x). المثال رقم 2: حل المعادلة. 6x³ - 11x² - 2x + 8 = 0. قواسم الحد الحر: ±1، ±2، ±4، ±8. لا شيء من هذه الأرقام يفي بالمعادلة. لا توجد جذور كاملة. المقسومات الطبيعية لمعامل الحد الرئيسي P(x): 1، 2، 3، 6. الجذور الكسرية المحتملة للمعادلة: ±2/3، ±4/3، ±8/3. بالتحقق نحن مقتنعون بأن P(4/3) = 0. X = 4/3 هو جذر المعادلة. باستخدام مخطط هورنر، نقسم P(x) على (x - 4/3).

أمثلة للحلول المستقلة. حل المعادلات: 9x³ - 18x = x – 2، x³ - x² = x – 1، x³ - 3x² -3x + 1 = 0، X⁴ - 2x³ + 2x – 1 = 0، X⁴ - 3x² + 2 = 0 ، x ⁵ + 5x³ - 6x² = 0، x ³ + 4x² + 5x + 2 = 0، X⁴ + 4x³ - x ² - 16x – 12 = 0 4x³ + x ² - x + 5 = 0 3x⁴ + 5x³ - 9x² - 9x + 10 = 0. الإجابات: 1) ±1/3؛ 2 2) ±1، 3) -1؛ 2 ±√3، 4) ±1، 5) ± 1؛ ±√2, 6) 0; 1 7) -2؛ -1، 8) -3؛ -1؛ ±2, 9) – 5/4 10) -2; - 5/3؛ 1.

معادلات من الصيغة (x + a)(x + b)(x + c)(x + d)... = أ. مثال رقم 3. حل المعادلة (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) =24. أ = 1، ب = 2، ج = 3، د = 4 أ + د = ب + ج. اضرب القوس الأول بالرابع والثاني بالثالث. (x + 1)(x + 4)(x + 20(x + 3) = 24. (x² + 5x + 4)(x² + 5x + 6) = 24. دع x² + 5x + 4 = y، ثم y (ص + 2) = 24، y² + 2y - 24 = 0 y₁ = - 6، y₂ = 4. x ² + 5x + 4 = -6 أو x ² + 5x + 4 = 4. x ² + 5x + 10 = 0، د

أمثلة للحلول المستقلة. (س + 1)(س + 3)(س + 5)(س + 7) = -15، س (س + 4)(س + 5)(س + 9) + 96 = 0، س (س + 3) )(x + 5)(x + 8) + 56 = 0، (x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1) = 24، (x – 3)(x -4)( س – 5)(س – 6) = 1680، (س² - 5س)(س + 3)(س – 8) + 108 = 0، (س + 4)² (س + 10)(س – 2) + 243 = 0 (x² + 3x + 2)(x² + 9x + 20) = 4، ملاحظة: x + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)، x² + 9x + 20 = (x + 4)( س + 5) الإجابات: 1) -4 ±√6؛ - 6؛ - 2. 6) - 1؛ 6؛ (5± √97)/2 7) -7؛ -1؛ -4 ±√3.

المعادلات المتبادلة. التعريف رقم 1. المعادلة من الشكل: ax⁴ + inx ³ + cx ² + inx + a = 0 تسمى معادلة مقلوبية من الدرجة الرابعة. التعريف رقم 2. المعادلة من الشكل: ax⁴ + inx ³ + cx ² + kinx + k² a = 0 تسمى معادلة متبادلة معممة من الدرجة الرابعة. ك² أ: أ = ك²؛ كيلو فولت: الخامس = ك. المثال رقم 6. حل المعادلة x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 = 0. اقسم طرفي المعادلة على x². x² - 7x + 14 – 7/ x + 1/ x² = 0، (x² + 1/ x²) – 7(x + 1/ x) + 14 = 0. دع x + 1/ x = y. نحن نربع طرفي المعادلة. x² + 2 + 1/ x² = y²، x² + 1/ x² = y² - 2. نحصل على المعادلة التربيعية y² - 7y + 12 = 0، y₁ = 3، y₂ = 4. x + 1/ x =3 أو x + 1/ x = 4. نحصل على معادلتين: x² - 3x + 1 = 0، x² - 4x + 1 = 0. المثال رقم 7. 3x⁴ - 2x³ - 31x² + 10x + 75 = 0. 75:3 = 25، 10:(- 2) = -5، (-5)² = 25. يتم استيفاء شرط المعادلة المتبادلة المعممة إلى = -5. الحل مشابه للمثال رقم 6. اقسم طرفي المعادلة على x². 3x⁴ - 2x – 31 + 10/ x + 75/ x² = 0, 3(x⁴ + 25/ x²) – 2(x – 5/ x) – 31 = 0. افترض أن x – 5/ x = y، نقوم بتربيع كليهما جوانب المساواة x² - 10 + 25/ x² = y²، x² + 25/ x² = y² + 10. لدينا معادلة تربيعية 3y² - 2y – 1 = 0، y₁ = 1، y₂ = - 1/ 3. س – 5/ س = 1 أو س – 5/ س = -1/3. نحصل على معادلتين: x² - x - 5 = 0 و 3x² + x - 15 = 0

أمثلة للحلول المستقلة. 1. 78x⁴ - 133x³ + 78x² - 133x + 78 = 0. 2. x ⁴ - 5x³ + 10x² - 10x + 4 = 0. 3. x ⁴ - x³ - 10x² + 2x + 4 = 0. 4. 6x⁴ + 5x³ - 38x² -10x + 24 = 0.5 x ⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 = 0. 6. x ⁴ - 5x³ + 10x² -10x + 4 = 0. الإجابات: 1) 2/3؛ 3/2, 2) 1;2 3) -1 ±√3; (3±√17)/2, 4) -1±√3; (7±√337)/12 5) 1؛ 2؛ (-5± √17)/2, 6) 1; 2.

المعادلات المتجانسة. تعريف. المعادلة من الشكل a₀ u³ + a₁ u² v + a₂ uv² + a₃ v³ = 0 تسمى معادلة متجانسة من الدرجة الثالثة بالنسبة إلى u v. تعريف. المعادلة من الشكل a₀ u⁴ + a₁ u³v + a₂ u²v² + a₃ uv³ + a₄ v⁴ = 0 تسمى معادلة متجانسة من الدرجة الرابعة بالنسبة إلى u v. المثال رقم 8. حل المعادلة (x² - x + 1)³ + 2x⁴(x² - x + 1) – 3x⁶ = 0 معادلة متجانسة من الدرجة الثالثة من أجل u = x²- x + 1, v = x². اقسم طرفي المعادلة على x ⁶. لقد تحققنا أولاً من أن x = 0 ليس جذرًا للمعادلة. (x² - x + 1/ x²)³ + 2(x² - x + 1/ x²) – 3 = 0. (x² - x + 1)/ x²) = y، y³ + 2y – 3 = 0، y = 1 جذر المعادلة. نقسم كثير الحدود P(x) = y³ + 2y – 3 على y – 1 وفقًا لمخطط هورنر. في خارج القسمة نحصل على ثلاثية الحدود ليس لها جذور. الجواب: 1.

أمثلة للحلول المستقلة. 1. 2(x² + 6x + 1)² + 5(X² + 6X + 1)(X² + 1) + 2(X² + 1)² = 0, 2. (X + 5)⁴ - 13X²(X + 5) )² + 36X⁴ = 0. 3. 2(X² + X + 1)² - 7(X – 1)² = 13(X³ - 1)، 4. 2(X -1)⁴ - 5(X² - 3X + 2)² + 2(x - 2)⁴ = 0. 5. (x² + x + 4)² + 3x(x² + x + 4) + 2x² = 0، الإجابات: 1) -1؛ -2±√3، 2) -5/3؛ -5/4؛ 5/2؛ 5 3) -1؛ -1/2؛ 2;4 4) ±√2; 3±√2, 5) لا توجد جذور.

طريقة المعاملات غير المحددة. النظرية رقم 3. اثنين من كثيرات الحدود P(x) وG(x) متطابقتان إذا وفقط إذا كان لهما نفس الدرجة وكانت معاملات نفس درجات المتغير في كلا كثيرتي الحدود متساوية. المثال رقم 9. y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1. y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1 = (y² + уу + с)(y² + в₁у + с₁) =у ⁴ + у³(в₁ + в) + у² ( с₁ + с + в₁в) + у(с₁ + св₁) + сс ₁. وفقًا للنظرية رقم 3، لدينا نظام من المعادلات: в₁ + в = -4, с₁ + с + в₁в = 5, сс₁ + св₁ = -4, сс₁ = 1. من الضروري حل النظام بالأعداد الصحيحة. يمكن أن يكون للمعادلة الأخيرة في الأعداد الصحيحة حلول: c = 1, c₁ =1; ص = -1، س₁ = -1. لنفترض أن с = с ₁ = 1، ومن المعادلة الأولى لدينا в₁ = -4 –в. نعوض في المعادلة الثانية للنظام в² + 4в + 3 = 0, в = -1, в₁ = -3 أو в = -3, в₁ = -1. تناسب هذه القيم المعادلة الثالثة للنظام. عندما с = с ₁ = -1 D

المثال رقم 10. قم بتحليل كثيرة الحدود y³ - 5y + 2. y³ -5y + 2 = (y + a)(y² + vy + c) = y³ + (a + b)y² + (ab + c)y + ac. لدينا نظام من المعادلات: a + b = 0، ab + c = -5، ac = 2. الحلول الصحيحة المحتملة للمعادلة الثالثة: (2؛ 1)، (1؛ 2)، (-2؛ -1) )، (-1؛ -2). دع أ = -2، ج = -1. من المعادلة الأولى للنظام في = 2 مما يحقق المعادلة الثانية. وبتعويض هذه القيم في المساواة المطلوبة نحصل على الجواب: (y – 2)(y² + 2y – 1). الطريقة الثانية. Y³ - 5y + 2 = y³ -5y + 10 – 8 = (y³ - 8) – 5(y – 2) = (y – 2)(y² + 2y -1).

أمثلة للحلول المستقلة. حلل كثيرات الحدود: 1. y⁴ + 4y³ + 6y² +4y -8, 2. y⁴ - 4y³ + 7y² - 6y + 2, 3. x ⁴ + 324, 4. y⁴ -8y³ + 24y² -32y + 15, 5. حل المعادلة باستخدام طريقة التحليل: أ) x ⁴ -3x² + 2 = 0، ب) x ⁵ +5x³ -6x² = 0. الإجابات: 1) (y² +2y -2)(y² +2y +4)، 2) (ص - 1)²(y² -2y + 2)، 3) (x² -6x + 18)(x² + 6x + 18)، 4) (y – 1)(y – 3)(y² - 4у + 5) ، 5 أ) ± 1؛ ±√2، 5ب) 0؛ 1.

وظيفية - طريقة رسومية لحل المعادلات ذات الدرجات العليا. المثال رقم 11. حل المعادلة x ⁵ + 5x -42 = 0. الدالة y = x ⁵ متزايدة، الدالة y = 42 – 5x متناقصة (k

أمثلة للحلول المستقلة. 1. باستخدام خاصية رتابة الدالة، أثبت أن المعادلة لها جذر واحد وأوجد هذا الجذر: أ) x ³ = 10 – x, b) x ⁵ + 3x³ - 11√2 – x. الإجابات: أ) 2، ب) √2. 2. حل المعادلة باستخدام الطريقة الوظيفية الرسومية: أ) x = ³ √x, b) l x l = ⁵ √x, c) 2 = 6 – x, d) (1/3) = x +4, d ) (x – 1)² = log₂ x, e) log = (x + ½)², g) 1 - √x = ln x, h) √x – 2 = 9/x. الإجابات: أ) 0؛ ±1، ب) 0؛ 1، ج) 2، د) -1، ه) 1؛ 2، و) ½، ز) 1، ح) 9.

صيغ فييتا للمعادلات ذات الدرجات العليا. النظرية رقم 5 (نظرية فييتا). إذا كانت المعادلة a x ⁿ + a x ⁿ + … + a₁x + a₀ لها n جذور حقيقية مختلفة x ₁، x ₂، …، x، فإنها تحقق التساويات: بالنسبة للمعادلة التربيعية ax² + bx + c = o: x ₁ + x ₂ = -в/а, x₁kh ₂ = с/а; بالنسبة للمعادلة التكعيبية a₃x ³ + a₂x ² + a₁x + a₀ = o: x ₁ + x ₂ + x ₃ = -a₂/a₃; س₁× ₂ + س₁× ₃ + س₂× ₃ = а₁/а₃; س₁×₂× ₃ = -а₀/а₃; ...، لمعادلة من الدرجة n: x ₁ + x ₂ + ... x = - a / a, x₁x ₂ + x₁x ₃ + ... + x x = a / a, ... , x₁x ₂ ·… · x = (- 1 ) ⁿ أ₀/أ. النظرية العكسية صحيحة أيضًا.

المثال رقم 13. اكتب معادلة تكعيبية جذورها عكسية لجذور المعادلة x ³ - 6x² + 12x – 18 = 0، ومعامل x ³ هو 2. 1. حسب نظرية فييتا للمعادلة التكعيبية لدينا: x ₁ + x ₂ + x ₃ = 6, x₁x ₂ + x₁х ₃ + x₂х ₃ = 12, x₁×₂x ₃ = 18. 2. نؤلف مقلوبات هذه الجذور ونطبق عليها نظرية فييتا العكسية. 1/ x ₁ + 1/ x ₂ + 1/ x ₃ = (x₂x ₃ + x₁x ₃ + x₁x ₂)/ x₁x₂x ₃ = 12/18 = 2/3. 1/ x₁× ₂ + 1/ x₁× ₃ + 1/ x₂× ₃ = (x ₃ + x ₂ + x ₁)/ x₁×₂x ₃ = 6/18 = 1/3, 1/ x₁×₂× ₃ = 1/18. نحصل على المعادلة x³ +2/3x² + 1/3x – 1/18 = 0 2 الإجابة: 2x³ + 4/3x² + 2/3x -1/9 = 0.

أمثلة للحلول المستقلة. 1. اكتب معادلة تكعيبية جذورها هي المربعات العكسية لجذور المعادلة x ³ - 6x² + 11x – 6 = 0، ومعامل x ³ هو 8. الإجابة: 8x³ - 98/9x² + 28/9x - 2/9 = 0. الطرق غير القياسية لحل المعادلات ذات الدرجات الأعلى. المثال رقم 12. حل المعادلة x ⁴ -8x + 63 = 0. دعونا نحلل الطرف الأيسر من المعادلة. دعونا نختار المربعات الدقيقة. X⁴ - 8x + 63 = (x⁴ + 16x² + 64) - (16x² + 8x + 1) = (x² + 8)² - (4x + 1)² = (x² + 4x + 9)(x² - 4x + 7) = 0. كلا التمييزين سلبيان. الجواب: لا جذور.

المثال رقم 14. حل المعادلة 21x³ + x² - 5x – 1 = 0. إذا كان الحد الوهمي للمعادلة هو ± 1، فسيتم تحويل المعادلة إلى المعادلة المخفضة باستخدام التعويض x = 1/y. 21/y³ + 1/y² - 5/y – 1 = 0 · y³, y³ + 5y² -y – 21 = 0. y = -3 جذر المعادلة. (ص + 3)(ص² + 2ص -7) = 0، ص = -1 ± 2√2. س ₁ = -1/3، س ₂ = 1/ -1 + 2√2 = (2√2 + 1)/7، X₃ = 1/-1 -2√2 = (1-2√2)/7 . المثال رقم 15. حل المعادلة 4x³-10x² + 14x – 5 = 0. اضرب طرفي المعادلة في 2. 8x³ -20x² + 28x – 10 = 0، (2x)³ - 5(2x)² + 14 (2x) -10 = 0. لندخل متغيرًا جديدًا y = 2x، نحصل على المعادلة المخفضة y³ - 5y² + 14y -10 = 0، y = 1 جذر المعادلة. (ص – 1)(ص² - 4ص + 10) = 0، د

المثال رقم 16. أثبت أن المعادلة x ⁴ + x ³ + x – 2 = 0 لها جذر موجب واحد. دع f (x) = x ⁴ + x ³ + x – 2, f' (x) = 4x³ + 3x² + 1 > o لـ x > o. الدالة f (x) تزداد لـ x > o، وقيمة f (o) = -2. من الواضح أن المعادلة لها جذر موجب واحد وما إلى ذلك. المثال رقم 17. حل المعادلة 8x(2x² - 1)(8x⁴ - 8x² + 1) = 1. I.F Sharygin "دورة اختيارية في الرياضيات للصف الحادي عشر." التنوير 1991 ص 90. 1. l x l 1 2x² - 1 > 1 و 8x⁴ -8x² + 1 > 1 2. لنقم بالاستبدال x = مريح، y € (0; n). بالنسبة لقيم y الأخرى، تتكرر قيم x، ولا تحتوي المعادلة على أكثر من 7 جذور. 2x² - 1 = 2 cos²y - 1 = cos2y، 8x⁴ - 8x² + 1 = 2(2x² - 1)² - 1 = 2 cos²2y - 1 = cos4y. 3. تأخذ المعادلة الشكل 8 cos2ycos4y = 1. اضرب طرفي المعادلة في siny. 8 sinycosycos2ycos4y = siny. بتطبيق صيغة الزاوية المزدوجة 3 مرات نحصل على المعادلة sin8y = siny، sin8y – siny = 0

نهاية الحل للمثال رقم 17 . نحن نطبق صيغة فرق الجيب. 2 sin7y/2 · cos9y/2 = 0 . مع الأخذ في الاعتبار أن y € (0;n)، y = 2pk/3، k = 1، 2، 3 أو y = n/9 + 2pk/9، k = 0، 1، 2، 3. وبالعودة إلى المتغير x، نحصل على الإجابة: Cos2 p/7، cos4 p/7، cos6 p/7، cos p/9، ½، cos5 p/9، cos7 p/9. أمثلة للحلول المستقلة. أوجد جميع قيم a التي تحتوي المعادلة (x² + x)(x² + 5x + 6) = a على ثلاثة جذور بالضبط. الجواب: 16/9. الاتجاهات: رسم بياني للجانب الأيسر من المعادلة. ماكس = و(0) = 9/16. الخط المستقيم y = 9/16 يتقاطع مع الرسم البياني للدالة عند ثلاث نقاط. حل المعادلة (x² + 2x)² - (x + 1)² = 55. الإجابة: -4؛ 2. حل المعادلة (س + 3)⁴ + (س + 5)⁴ = 16. الإجابة: -5؛ -3. حل المعادلة 2(x² + x + 1)² -7(x – 1)² = 13(x³ - 1).الإجابة: -1؛ -1/2, 2;4 أوجد عدد الجذور الحقيقية للمعادلة x ³ - 12x + 10 = 0 على [-3; 3/2]. التعليمات: ابحث عن المشتق وابحث عن الوحدة.

أمثلة للحلول المستقلة (تابع). 6. أوجد عدد الجذور الحقيقية للمعادلة x ⁴ - 2x³ + 3/2 = 0. الإجابة: 2 7. اجعل x ₁, x ₂, x ₃ هي جذور كثيرة الحدود P(x) = x ³ - 6x² -15x + 1. أوجد X₁² + x ₂² + x ₃². الجواب: 66. الاتجاهات: تطبيق نظرية فييتا. 8. أثبت أن a > o وقيمة حقيقية عشوائية في المعادلة x ³ + ax + b = o لها جذر حقيقي واحد فقط. ملحوظة: أثبت بالتناقض. تطبيق نظرية فييتا. 9. حل المعادلة 2(x² + 2)² = 9(x³ + 1). الجواب: ½؛ 1؛ (3 ± √13)/2. تلميح: حول المعادلة إلى معادلة متجانسة باستخدام المعادلات X² + 2 = x + 1 + x² - x + 1، x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1). 10. حل نظام المعادلات x + y = x², 3y – x = y². الإجابة: (0;0),(2;2), (√2; 2 - √2), (- √2; 2 + √2). 11. حل النظام: 4y² -3y = 2x –y، 5x² - 3y² = 4x – 2y. الجواب: (س؛س)، (١؛١)، (٢٩٧/٢٦٥؛ - ٢٧/٥٣).

امتحان. الخيار 1. 1. حل المعادلة (x² + x) – 8(x² + x) + 12 = 0. 2. حل المعادلة (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = - 15 3. حل المعادلة 12x²(x – 3) + 64(x – 3)² = x ⁴. 4. حل المعادلة x ⁴ - 4x³ + 5x² - 4x + 1 = 0 5. حل نظام المعادلات: x ² + 2y² - x + 2y = 6, 1.5x² + 3y² - x + 5y = 12.

الخيار 2 1. (x² - 4x)² + 7(x² - 4x) + 12 = 0. 2. x (x + 1)(x + 5)(x + 6) = 24. 3. x ⁴ + 18( س + 4)² = 11x²(س + 4). 4. x ⁴ - 5x³ + 6x² - 5x + 1 = 0. 5. x² - 2xy + y² + 2x²y – 9 = 0، x – y – x²y + 3 = 0. الخيار الثالث. 1. (x² + 3x)² - 14(x² + 3x) + 40 = 0 2. (x – 5)(x-3)(x + 3)(x + 1) = - 35. 3. x4 + 8x² (س + 2) = 9(س+ 2)². 4. x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 = 0. 5. x + y + x² + y² = 18، xy + x² + y² = 19.

الخيار 4. (x² - 2x)² - 11(x² - 2x) + 24 = س. (س -7)(س-4)(س-2)(س + 1) = -36. X⁴ + 3(س -6)² = 4x²(6 - س). X⁴ - 6x³ + 7x² - 6x + 1 = 0. X² + 3xy + y² = - 1, 2x² - 3xy – 3y² = - 4. مهمة إضافية: باقي قسمة كثيرة الحدود P(x) على (x – 1) هو 4، الباقي عند القسمة على (x + 1) يساوي 2، وعند القسمة على (x - 2) يساوي 8. أوجد الباقي عند قسمة P(x) على (x³ - 2x² - x + 2) ).

الإجابات والتعليمات: الخيار رقم 1 رقم 2. رقم 3. رقم 4. رقم 5. 1. - 3؛ ±2; 1 1;2;3. -5؛ -4؛ 1؛ 2. معادلة متجانسة: u = x -3, v = x² -2 ; -1؛ 3؛ 4. (2؛1)؛ (2/3؛4/3). تلميح: 1·(-3) + 2·2 2. -6؛ -2؛ -4±√6. -3±2√3; - 4؛ - 2.1 ± √11؛ 4؛ - 2. المعادلة المتجانسة: u = x + 4, v = x² 1; 5;3±√13. (2؛1)؛ (0؛3)؛ (- ثلاثون). تلميح: 2 2 + 1. 3. -6؛ 2؛ 4؛ 12 -3؛ -2؛ 4؛ 12 -6؛ -3؛ -1؛ 2. متجانس u = x+ 2, v = x² -6; ±3؛ 2 (2;3)، (3;2)، (-2 + √7؛ -2 - √7)؛ (-2 - √7؛ -2 + √7). التعليمات: 2 -1. 4. (3±√5)/2 2±√3 2±√3; (3±√5)/2 (5 ± √21)/2 (1;-2)، (-1;2). تلميح: ١·٤ + ٢ .

حل مهمة إضافية. حسب نظرية بيزوت: P(1) = 4، P(-1) = 2، P(2) = 8. P(x) = G(x) (x³ - 2x² - x + 2) + ax² + inx + With . البديل 1؛ - 1؛ 2. P(1) = G(1) 0 + أ + ب + ج = 4، أ + ب+ ج = 4. P(-1) = أ – ب + ج = 2، P(2) = 4a² + 2b + ج = 8. وبحل النظام الناتج من ثلاث معادلات، نحصل على: أ = ب = 1، ج = 2. الإجابة: x² + x + 2.

المعيار رقم 1 - 2 نقطة. نقطة واحدة - خطأ حسابي واحد. رقم 2،3،4 – 3 نقاط لكل منهما. نقطة واحدة - أدت إلى معادلة من الدرجة الثانية. نقطتان - خطأ حسابي واحد. رقم 5 – 4 نقاط. نقطة واحدة - يتم التعبير عن متغير واحد بدلالة متغير آخر. 2 نقطة - تلقى أحد الحلول. 3 نقاط – خطأ حسابي واحد. مهمة إضافية: 4 نقاط. نقطة واحدة – طبقت نظرية بيزوت على الحالات الأربع. 2 نقطة – تجميع نظام المعادلات. 3 نقاط – خطأ حسابي واحد.

تريفانوفا مارينا أناتوليفنا
مدرس رياضيات بالمؤسسة التعليمية البلدية "صالة للألعاب الرياضية رقم 48 (متعددة التخصصات)" تلناخ

الغرض الثلاثي من الدرس:

التعليمية:
تنظيم وتعميم المعرفة حول حل المعادلات ذات الدرجات العليا.
التنموية:
تعزيز تنمية التفكير المنطقي والقدرة على العمل بشكل مستقل ومهارات التحكم المتبادل وضبط النفس ومهارات التحدث والاستماع.
تعليم:
تنمية عادة العمل المستمر، وتعزيز الاستجابة، والعمل الجاد، والدقة.

نوع الدرس:

درس في التطبيق المتكامل للمعرفة والمهارات والقدرات.

شكل الدرس:

التهوية والتمارين البدنية وأشكال العمل المختلفة.

معدات:

الملاحظات الداعمة، وبطاقات المهام، ومصفوفة مراقبة الدرس.

خلال الفصول الدراسية

I. اللحظة التنظيمية

إيصال هدف الدرس إلى الطلاب.
التحقق من الواجبات المنزلية (الملحق 1). العمل مع الملاحظات الداعمة (الملحق 2).

المعادلات والإجابات لكل منها مكتوبة على السبورة. يتحقق الطلاب من إجاباتهم ويقدمون تحليلًا موجزًا لحل كل معادلة أو يجيبون على أسئلة المعلم (المسح الأمامي). ضبط النفس - يمنح الطلاب درجات لأنفسهم ويسلمون دفاتر ملاحظاتهم إلى المعلم لتصحيح الدرجة أو الموافقة عليها. درجات المدرسة مكتوبة على السبورة:

"5+" - 6 معادلات؛
"5" - 5 معادلات؛
"4" - 4 معادلات؛
"3" - 3 معادلات.

أسئلة المعلم حول الواجبات المنزلية:

1 معادلة

ما هو التغيير الذي يحدث في المتغيرات في المعادلة؟
ما المعادلة التي يتم الحصول عليها بعد تغيير المتغيرات؟

2 المعادلة

ما كثيرة الحدود التي تم استخدامها لتقسيم طرفي المعادلة؟
ما هو التغيير في المتغيرات الذي تم الحصول عليه؟

3 المعادلة

ما هي كثيرات الحدود التي يجب ضربها لتبسيط حل هذه المعادلة؟

4 المعادلة

قم بتسمية الدالة f(x).
كيف تم العثور على الجذور المتبقية؟

5 المعادلة

كم عدد الفترات التي تم الحصول عليها لحل المعادلة؟

6 المعادلة

كيف يمكن حل هذه المعادلة؟
أي حل أكثر عقلانية؟

ثانيا. العمل الجماعي هو الجزء الرئيسي من الدرس.

يتم تقسيم الفصل إلى 4 مجموعات. تُعطى كل مجموعة بطاقة تحتوي على أسئلة نظرية وعملية (الملحق 3): "افحص الطريقة المقترحة لحل المعادلة واشرحها باستخدام هذا المثال".

العمل الجماعي 15 دقيقة.
الأمثلة مكتوبة على السبورة (اللوحة مقسمة إلى 4 أجزاء).
يستغرق تقرير المجموعة 2-3 دقائق.
يقوم المعلم بتصحيح تقارير المجموعة ويساعد في حل الصعوبات.

يستمر العمل في المجموعات على البطاقات رقم 5 – 8. لكل معادلة يتم تخصيص 5 دقائق للمناقشة في المجموعة. ثم يقدم المجلس تقريرا عن هذه المعادلة - تحليلا موجزا للحل. قد لا يتم حل المعادلة بالكامل - يتم حلها في المنزل، ولكن تتم مناقشة تسلسل حلها في الفصل.

ثالثا. عمل مستقل.الملحق 4.

يتلقى كل طالب مهمة فردية.
يستغرق العمل 20 دقيقة.
قبل 5 دقائق من نهاية الدرس، يعطي المعلم إجابات مفتوحة لكل معادلة.
يتبادل الطلاب دفاتر الملاحظات في دائرة ويتحققون من إجاباتهم مع صديق. يعطون الدرجات.
يتم تسليم الدفاتر إلى المعلم لفحصها وتصحيح الدرجات.

رابعا. ملخص الدرس.

العمل في المنزل.

صياغة حلول للمعادلات غير المكتملة. الاستعداد لقطع السيطرة.

وضع العلامات.