كيفية تحديد خصائص الوظيفة. وظائفها وخصائصها

لفهم هذا الموضوع، دعونا نفكر في دالة مصورة على الرسم البياني // دعنا نوضح كيف يسمح لك الرسم البياني للدالة بتحديد خصائصها.

دعونا نلقي نظرة على خصائص الوظيفة باستخدام مثال

مجال تعريف الدالة هو تمتد [ 3.5؛ 5.5].

نطاق قيم الوظيفة هو تمتد [ 1؛ 3].

1. عند x = -3، x = - 1، x = 1.5، x = 4.5، تكون قيمة الدالة صفرًا.

تسمى قيمة الوسيطة التي تكون فيها قيمة الدالة صفرًا الدالة صفر.

//أولئك. الأرقام لهذه الوظيفة هي -3;-1;1.5; 4.5 هي أصفار.

2. على فترات [ 4.5؛ 3) و (1؛ 1.5) و (4.5؛ 5.5] يقع الرسم البياني للدالة f أعلى محور الإحداثي السيني، وفي الفترات (-3؛ -1) و (1.5؛ 4.5) أسفل محور الإحداثي السيني، هذا يتم شرحه على النحو التالي: على الفترات [ 4.5؛ -3) و (1؛ 1.5) و (4.5؛ 5.5) تأخذ الدالة قيمًا موجبة، وعلى الفترات (-3؛ -1) و (1.5؛ 4.5) سالبة.

تسمى كل فترة من الفواصل الزمنية المشار إليها (حيث تأخذ الدالة قيمًا لنفس الإشارة) بفاصل الإشارة الثابتة للدالة f.//أي. على سبيل المثال، إذا أخذنا الفترة (0؛ 3)، فهي ليست فترة ذات إشارة ثابتة لهذه الدالة.

في الرياضيات، عند البحث عن فترات ذات إشارة ثابتة لدالة، من المعتاد الإشارة إلى فترات ذات طول أقصى. //أولئك. الفاصل الزمني (2؛ 3) هو فترة ثبات الإشارةالدالة f، ولكن يجب أن تتضمن الإجابة الفاصل الزمني [ 4.5؛ 3) تحتوي على الفاصل (2، 3).

3. إذا تحركت على طول المحور السيني من 4.5 إلى 2، ستلاحظ أن الرسم البياني للدالة ينخفض، أي أن قيم الدالة تنخفض. // من المعتاد في الرياضيات قول ذلك على الفاصل الزمني [ 4.5؛ 2] تتناقص الدالة.

مع زيادة x من 2 إلى 0، يرتفع الرسم البياني للدالة، أي. تزداد قيم الوظيفة. // من المعتاد في الرياضيات قول ذلك على الفاصل الزمني [ 2; 0] تزيد الدالة.

يتم استدعاء الدالة f إذا كان لأي قيمتين للوسيطة x1 و x2 من هذا الفاصل بحيث يكون x2 > x1، فإن عدم المساواة f (x2) > f (x1) يحمل. // أو يتم استدعاء الدالة زيادة على مدى فترة معينة، إذا كانت أي قيم للوسيطة من هذا الفاصل الزمني، فإن القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أكبر للدالة.//أي. كلما زاد x، كلما زاد y.

تسمى الدالة f يتناقص خلال فترة معينة، إذا كانت أي قيمتين للوسيطة x1 و x2 من هذا الفاصل الزمني بحيث x2 > x1، فإن عدم المساواة f(x2) تتناقص في فترة ما، إذا كانت القيمة الأكبر لأي قيم للوسيطة من هذا الفاصل الزمني من الوسيطة يتوافق مع القيمة الأصغر للدالة. //أولئك. كلما زاد x، قل y.

إذا زادت الدالة على نطاق التعريف بأكمله، فسيتم استدعاؤها في ازدياد.

إذا انخفضت الدالة على نطاق التعريف بأكمله، فسيتم استدعاؤها متناقص.

مثال 1.الرسم البياني للوظائف المتزايدة والتناقصية على التوالي.

مثال 2.

تعريف الظاهرة . هل الدالة الخطية f(x) = 3x + 5 تتزايد أم تتناقص؟

دليل. دعونا نستخدم التعاريف. دع x1 وx2 قيمتان تعسفيتان للوسيطة، وx1< x2., например х1=1, х2=7

يحتوي القسم على مواد مرجعية حول الوظائف الأولية الرئيسية وخصائصها. ويرد تصنيف للوظائف الأولية. فيما يلي روابط للأقسام الفرعية التي تناقش خصائص وظائف محددة - الرسوم البيانية، والصيغ، والمشتقات، والمشتقات العكسية (التكاملات)، وتوسيعات السلسلة، والتعبيرات من خلال المتغيرات المعقدة.

الصفحات المرجعية للوظائف الأساسية

تصنيف الوظائف الأولية

دالة جبريةهي دالة تحقق المعادلة:
,
حيث هو متعدد الحدود في المتغير التابع y والمتغير المستقل x. يمكن كتابتها على النحو التالي:
,
أين كثيرات الحدود.

تنقسم الدوال الجبرية إلى متعددات الحدود (وظائف عقلانية كاملة)، ووظائف عقلانية، ووظائف غير عقلانية.

وظيفة عقلانية كاملة، والذي يسمى أيضًا متعدد الحدودأو متعدد الحدود، يتم الحصول عليها من المتغير x وعدد محدود من الأرقام باستخدام العمليات الحسابية من الجمع (الطرح) والضرب. بعد فتح الأقواس، يتم تقليل كثير الحدود إلى الشكل القانوني:
.

دالة عقلانية كسرية، أو ببساطة وظيفة عقلانية، يتم الحصول عليها من المتغير x وعدد محدود من الأرقام باستخدام العمليات الحسابية من الجمع (الطرح) والضرب والقسمة. يمكن اختزال الوظيفة العقلانية إلى النموذج
,
أين و هي كثيرات الحدود.

وظيفة غير عقلانيةهي دالة جبرية ليست عقلانية. كقاعدة عامة، تُفهم الوظيفة غير العقلانية على أنها جذور وتركيباتها ذات وظائف عقلانية. يتم تعريف جذر الدرجة n كحل للمعادلة
.
تم تعيينه على النحو التالي:
.

وظائف متعاليةتسمى الدوال غير الجبرية. هذه هي الدوال الأسية، المثلثية، الزائدية والدوال العكسية الخاصة بها.

نظرة عامة على الوظائف الأولية الأساسية

يمكن تمثيل جميع الوظائف الأولية بعدد محدود من عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة التي يتم إجراؤها على تعبير من النموذج:
ض ر .
يمكن أيضًا التعبير عن الوظائف العكسية من حيث اللوغاريتمات. الوظائف الأولية الأساسية مذكورة أدناه.

وظيفة الطاقة:
ص(س) = س ع ,
حيث p هو الأس. يعتمد ذلك على قاعدة الدرجة x.
معكوس دالة القدرة هو أيضًا دالة القدرة:
.
بالنسبة للقيمة الصحيحة غير السالبة للأس p، فهي كثيرة الحدود. للحصول على قيمة عددية p - دالة عقلانية. بمعنى عقلاني - وظيفة غير عقلانية.

وظائف متعالية

الدالة الأسية :
ص(س) = أ س ,
حيث a هو أساس الدرجة. ذلك يعتمد على الأس x.
الدالة العكسية هي اللوغاريتم للأساس a:
س = سجل ذ.

الأس، e إلى القوة x:
ص(س) = ه س ,
هذه دالة أسية مشتقتها تساوي الدالة نفسها:
.
أساس الأس هو الرقم e:
≈ 2,718281828459045... .
الدالة العكسية - اللوغاريتم الطبيعي - اللوغاريتم للأساس e:
س = ln y ≡ سجل e y.

الدوال المثلثية:
جيب: ;
جيب التمام: ;
الظل: ;
ظل التمام: ;
هنا i هي الوحدة التخيلية، i 2 = -1.

الدوال المثلثية العكسية:
أركسين: س = أرسين ذ, ;
قوس جيب التمام: س = أركوس ذ, ;
قوس الظل: س = اركتان ذ, ;
قوس الظل: س = arcctg ذ, .

الحدود والاستمرارية

مجموعات

تحت كثيريُفهم على أنه مجموعة من الأشياء المتجانسة. تسمى الكائنات التي تشكل مجموعة عناصرأو النقاطمن هذا التعدد. يتم الإشارة إلى المجموعات بأحرف كبيرة وعناصرها بأحرف صغيرة. لو أهو عنصر من عناصر المجموعة أ، ثم يتم استخدام الإدخال أÎ أ. لو بليس عنصرا من المجموعة أ، ثم يكتب هكذا: ب Ï أ. المجموعة التي لا تحتوي على عنصر واحد تسمى مجموعة فارغة ويشار إليها على النحو التالي: Ø.

إذا مجموعة بيتكون من جزء من عناصر المجموعة أأو يتزامن معه، ثم المجموعة بمُسَمًّى مجموعة فرعيةمجموعات وتدل بÌ أ.

يتم استدعاء المجموعتين متساويإذا كانت تتكون من نفس العناصر.

منظمةمجموعتين أو بتسمى مجموعة ج، تتكون من جميع العناصر التي تنتمي إلى مجموعة واحدة على الأقل: ج=أÈ ب.

بالعبورمجموعتين أو بتسمى مجموعة ج، وتتكون من جميع العناصر التي تنتمي إلى كل من هذه المجموعات: ج=أÇ ب.

بالفارقمجموعات أو بتسمى مجموعة ه أ، والتي لا تنتمي إلى المجموعة ب: .

ملحقمجموعات أÌ بتسمى مجموعة ج، تتكون من جميع عناصر المجموعة ب، لا ينتمي أ.

تسمى المجموعات التي عناصرها أعداد حقيقية عددي:

حيث نÌ زÌ سÌ ر, أناÌ رو ر=أناÈ س.

مجموعة من X، التي عناصرها تحقق عدم المساواة تسمى شريحة(الجزء) ويشار إليه [ أ; ب]; عدم المساواة أ<س<ب – فاصلةويشار إليه بـ () ؛ عدم المساواة و - نصف فتراتويتم الإشارة إليها بواسطة و على التوالي. يتعين عليك أيضًا في كثير من الأحيان التعامل مع فترات زمنية لا نهائية وأنصاف فترات: و و و و. من الملائم الاتصال بهم جميعًا على فترات .

الفاصل الزمني، أي. مجموعة من النقاط التي تحقق عدم المساواة (أين) ، ويسمى حي النقطة أ.

مفهوم الوظيفة. الخصائص الأساسية للوظيفة

إذا كان كل عنصر سمجموعات Xيتم مطابقة عنصر واحد ذمجموعات ي، ثم يقولون ذلك في المجموعة Xمنح وظيفة ذ=F(س). حيث سمُسَمًّى متغير مستقلأو دعوى، أ ذ – المتغير التابعأو وظيفة، أ Fيدل على قانون المراسلات. مجموعة من Xمُسَمًّى مجال التعريفوظائف، ومجموعة ي – مدى من القيمالمهام.

هناك عدة طرق لتحديد الوظائف.

1) الطريقة التحليلية - يتم إعطاء الدالة بصيغة النموذج ذ=F(س).

2) الطريقة الجدولية - يتم تحديد الدالة بواسطة جدول يحتوي على قيم الوسيطات وقيم الدالة المقابلة ذ=F(س).

3) الطريقة الرسومية - تصور رسما بيانيا للدالة، أي. مجموعة من النقاط ( س; ذ) المستوى الإحداثي، حيث تمثل الإحداثيات قيم الوسيطة، وتمثل الإحداثيات القيم المقابلة للدالة ذ=F(س).

4) الطريقة اللفظية - يتم وصف الوظيفة بقاعدة تكوينها. على سبيل المثال، تأخذ الدالة Dirichlet القيمة 1 if سهو رقم عقلاني و0 إذا س- عدد غير نسبي.

تتميز الخصائص الرئيسية التالية للوظائف.

1 زوجي وغريبوظيفة ذ=F(س) يسمى حتى، إذا كان لأي قيم سمن مجال تعريفه راضيا F(–س)=F(س)، و غريب، لو F(–س)=–F(س). إذا لم يتم استيفاء أي من المساواة المذكورة أعلاه، إذن ذ=F(س) يسمى وظيفة عامة. الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول المحور أويوالرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة لنقطة الأصل.

2 الرتابةوظيفة ذ=F(س) يسمى في ازدياد (متناقص) على الفاصل X، إذا كانت قيمة الوسيطة الأكبر من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة دالة أكبر (أصغر). يترك س 1 ,س 2 د X, س 2 >س 1 . ثم تزيد الدالة على الفاصل الزمني X، لو F(س 2)>F(س 1) وينقص إذا F(س 2)<F(س 1).

جنبا إلى جنب مع زيادة وتناقص الوظائف، يتم النظر في الوظائف غير المتناقصة وغير المتزايدة. يتم استدعاء الدالة غير متناقصة (غير متزايدة)، إذا كان في س 1 ,س 2 د X, س 2 >س 1 عدم المساواة يحمل F(س 2)≥F(س 1) (F(س 2)≤F(س 1)).

تسمى الوظائف المتزايدة والمتناقصة، وكذلك الوظائف غير المتزايدة وغير المتناقصة، رتيبة.

3 محدودةوظيفة ذ=F(س) يسمى يحدها الفاصل الزمني X، إذا كان هناك مثل هذا الرقم الإيجابي م>0، ماذا | F(س)|≤ملأي احد سÎ X. وإلا يقال أن الوظيفة غير محدودة X.

4 الترددوظيفة ذ=F(س) يسمى الدوري مع فترة ت≠0، إن وجدت سمن مجال الدالة F(س+ت)=F(س). في ما يلي، نعني بالفترة أصغر فترة موجبة للدالة.

يتم استدعاء الدالة صريحة، إذا تم إعطاؤه بصيغة النموذج ذ=F(س). إذا كانت الدالة معطاة بالمعادلة F(س, ذ)=0، غير مسموح به بالنسبة للمتغير التابع ذ، ثم يطلق عليه ضمني.

يترك ذ=F(س) هي دالة للمتغير المستقل المحدد في المجموعة Xمع النطاق ي. دعونا نطابق كل واحد ذÎ يمعنى واحد سÎ X، الذي F(س)=ذ.ثم الوظيفة الناتجة س=φ (ذ)، المحددة على المجموعة يمع النطاق X، مُسَمًّى يعكسويتم تعيينه ذ=F –1 (س). الرسوم البيانية للدوال العكسية المتبادلة متناظرة بالنسبة إلى منصف الربعين الإحداثيين الأول والثالث.

دع الوظيفة ذ=F(ش) هي دالة للمتغير ش، محددة على المجموعة شمع النطاق ي، والمتغير شوهي بدورها وظيفة ش=φ (س)، المحددة على المجموعة Xمع النطاق ش. ثم تعطى على المجموعة Xوظيفة ذ=F(φ (س)) يسمى وظيفة معقدة(تركيب الدوال، تراكب الدوال، دالة الدالة).

وظائف أولية

تشمل الوظائف الأولية الرئيسية ما يلي:

• وظيفة الطاقة ذ=س ن; ذ=س – نو ذ=س 1/ ن;
• وظيفة الأسية ذ=فأس;
• وظيفة لوغاريتمية ذ=log فأس;
• الدوال المثلثية ذ=الخطيئة س, ذ=cos س, ذ=tg سو ذ=ctg س;
• الدوال المثلثية العكسية ذ= أرسين س, ذ=arccos س, ذ=arctg سو ذ=arcctg س.

من الدوال الأولية الأساسية، يمكن الحصول على دوال جديدة باستخدام العمليات الجبرية وتراكب الدوال.

تسمى الدوال المبنية من الدوال الأولية الأساسية باستخدام عدد محدود من العمليات الجبرية وعدد محدود من عمليات التراكب ابتدائي.

جبريهي دالة يتم فيها تنفيذ عدد محدود من العمليات الجبرية على الوسيط. تشمل الوظائف الجبرية ما يلي:

· دالة عقلانية كاملة (متعددة الحدود أو متعددة الحدود)

· دالة كسرية عقلانية (نسبة بين كثيرتي الحدود)

· دالة غير عقلانية (إذا كانت العمليات على الوسيطة تتضمن استخراج الجذر).

يتم استدعاء أي دالة غير جبرية متسام. تشمل الدوال المتعالية الدوال الأسية واللوغاريتمية والمثلثية والدوال المثلثية العكسية.

صالة الألعاب الرياضية الروسية

خلاصة

مكتمل

طالب من الصف 10 "F" بورميستروف سيرجي

مشرف

مدرس رياضيات

يولينا أ.أ.

نيزهني نوفجورود

وظيفتها وخصائصها

وظيفة-الاعتماد المتغير فيمن متغير س , إذا كانت كل قيمة Xيطابق قيمة واحدة في .

متغير س-المتغير المستقل أو الوسيطة.

متغير ص-المتغير التابع

قيمة الوظيفة-معنى في، المقابلة للقيمة المحددة X .

نطاق الوظيفة هوجميع القيم التي يأخذها المتغير المستقل.

نطاق الوظيفة (مجموعة القيم) -كافة القيم التي تقبلها الدالة.

الدالة متساويةإذا لأي شخص X و(س)=و(-س)

الوظيفة غريبة-إذا لأي شخص Xمن مجال تعريف الدالة المساواة و(-س)=-و(خ)

زيادة الوظيفة-إذا لأي × 1و × 2،مثل ذلك × 1 < × 2، يستمر عدم المساواة F( × 1 ) × 2 )

وظيفة متناقصة-إذا لأي × 1و × 2،مثل ذلك × 1 < × 2، يستمر عدم المساواة F( × 1 )>و( × 2 )

طرق تحديد الوظيفة

¨ لتعريف دالة، تحتاج إلى تحديد طريقة يمكن من خلالها العثور على قيمة الدالة المقابلة لكل قيمة وسيطة. الطريقة الأكثر شيوعًا لتحديد دالة هي استخدام الصيغة في =و(س)، أين و(خ)-التعبير مع متغير X. في هذه الحالة، يقولون أن الدالة معطاة بواسطة صيغة أو أن الدالة معطاة تحليليا.

¨ في الممارسة العملية غالبا ما يتم استخدامه مجدولطريقة تحديد وظيفة. بهذه الطريقة يتم توفير جدول يوضح قيم الدالة لقيم الوسيطات المتوفرة في الجدول. من أمثلة وظائف الجدول جدول المربعات وجدول المكعبات.

أنواع الوظائف وخصائصها

1) وظيفة ثابتة-الوظيفة المعطاة بواسطة الصيغة ص= ب , أين ب-بعض العدد. الرسم البياني للدالة الثابتة y=b هو خط مستقيم موازي لمحور الإحداثي السيني ويمر عبر النقطة (0;b) على المحور الإحداثي

2) التناسب المباشر -الوظيفة المعطاة بواسطة الصيغة ص= kx , حيث ك¹0. رقم كمُسَمًّى عامل التناسب .

خصائص الوظيفة ص = ك س :

1. مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية

2. ص = ك س- وظيفة غريبة

3. عندما k>0 تزيد الدالة، وعندما k<0 убывает на всей числовой прямой

3)دالة خطية-الوظيفة التي تعطى بواسطة الصيغة ص = ك س + ب، أين كو ب - أرقام حقيقية. إذا على وجه الخصوص ك = 0، ثم نحصل على دالة ثابتة ص = ب; لو ب=0، ثم نحصل على التناسب المباشر ص = ك س .

خصائص الوظيفة ص = ك س + ب :

1. المجال - مجموعة جميع الأعداد الحقيقية

2. الوظيفة ص = ك س + بالشكل العام، أي لا حتى ولا غريب.

3. عندما k>0 تزيد الدالة، وعندما k<0 убывает на всей числовой прямой

الرسم البياني للوظيفة هو مستقيم .

4)التناسب العكسي-الوظيفة المعطاة بواسطة الصيغة ص = ك /س،حيث k¹0 رقم كمُسَمًّى معامل التناسب العكسي.

خصائص الوظيفة ص = ك / س:

1. المجال - مجموعة جميع الأعداد الحقيقية باستثناء الصفر

2. ص = ك / س - وظيفة غريبة

3. إذا كانت k>0، فإن الدالة تتناقص على الفاصل الزمني (0;+¥) وعلى الفاصل الزمني (-¥;0). إذا ك<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

الرسم البياني للوظيفة هو القطع الزائد .

5)وظيفة ص=x2

خصائص الوظيفة ص=س2:

2. ص=x2 - دالة زوجية

3. على الفاصل الزمني تنخفض الوظيفة

الرسم البياني للوظيفة هو القطع المكافئ .

6)وظيفة ص=س 3

خصائص الوظيفة ص=س 3:

1. مجال التعريف - خط الأعداد بأكمله

2. ص=س 3 - وظيفة غريبة

3. تزداد الدالة على طول خط الأعداد بأكمله

الرسم البياني للوظيفة هو القطع المكافئ المكعب

7)دالة القدرة مع الأس الطبيعي -الوظيفة المعطاة بواسطة الصيغة ص=سن، أين ن- عدد طبيعي. عندما نحصل على n=1 الدالة y=x، تمت مناقشة خصائصها في الفقرة 2. بالنسبة لـ n=2;3 نحصل على الدوال y=x 2 ; ص=س 3 . وتناقش خصائصها أعلاه.

دع n يكون رقمًا زوجيًا اعتباطيًا أكبر من اثنين: 4,6,8... في هذه الحالة، الدالة ص=سنلها نفس خصائص الدالة y=x 2. الرسم البياني للدالة يشبه القطع المكافئ y=x 2، فقط فروع الرسم البياني لـ |x|>1 ترتفع بشكل أكثر انحدارًا كلما زاد حجم n، ولـ |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

دع n يكون عددًا فرديًا عشوائيًا أكبر من ثلاثة: 5,7,9... في هذه الحالة، الدالة ص=سنلها نفس خصائص الدالة y=x 3 . الرسم البياني للدالة يشبه القطع المكافئ المكعب.

8)دالة القدرة مع عدد صحيح سالب -الوظيفة المعطاة بواسطة الصيغة ص=س -ن , أين ن- عدد طبيعي. بالنسبة لـ n=1 نحصل على y=1/x، تمت مناقشة خصائص هذه الوظيفة في الفقرة 4.

ليكن n عددًا فرديًا أكبر من واحد: 3,5,7... في هذه الحالة، الدالة ص=س -نلها نفس خصائص الدالة y=1/x.

ليكن n عددا زوجيا، على سبيل المثال n=2.

خصائص الوظيفة ص=س -2 :

1. تم تعريف الوظيفة لجميع x¹0

2. ص=س -2 -دالة زوجية

3. تقل الدالة بمقدار (0;+¥) وتزيد بمقدار (-¥;0).

أي دالة تحتوي على n أكبر من اثنين لها نفس الخصائص.

9)وظيفة ص= Ö X

خصائص الوظيفة ص= Ö X :

1. مجال التعريف - الشعاع)