نواصل النظر في المهام المدرجة في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات. لقد درسنا بالفعل المسائل التي يُعطى فيها الشرط ويلزم إيجاد المسافة بين نقطتين أو زاوية معينة.
في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على مسائل لحل الهرم المنتظم. هذه هي الأهرامات التي تقع في قاعدتها مضلع منتظم(في المشاكل المعروضة مثلث متساوي الاضلاعأو مربع).
تحتاج إلى العثور على بعض العناصر ومساحة السطح الجانبية والحجم والارتفاع. بالطبع، عليك أن تعرف نظرية فيثاغورس، وصيغة مساحة السطح الجانبي للهرم، وصيغة إيجاد حجم الهرم.
في المقالة "" يعرض كافة الصيغ اللازمة لحلها. إذن المهام:
سابكدنقطة يا- مركز القاعدة،سقمة الرأس, لذا = 51, مكيف الهواء= 136. أوجد الحافة الجانبيةSC..
في في هذه الحالةالقاعدة مربعة. وهذا يعني أن القطرين AC وBD متساويان، ويتقاطعان ويتقاطعان عند نقطة التقاطع. لاحظ أن في الهرم الصحيحويمر الارتفاع المسقط من قمته بمركز قاعدة الهرم. إذن SO هو الارتفاع والمثلثشركة نفط الجنوبمستطيلي. ثم حسب نظرية فيثاغورس:
كيفية استخراج الجذر من عدد كبير.
الجواب: 85
تقرر لنفسك:
في هرم رباعي منتظم سابكدنقطة يا- مركز القاعدة، سقمة الرأس, لذا = 4, مكيف الهواء= 6. ابحث عن الحافة الجانبية SC..
في هرم رباعي منتظم سابكدنقطة يا- مركز القاعدة، سقمة الرأس, SC. = 5, مكيف الهواء= 6. أوجد طول القطعة لذا.
في هرم رباعي منتظم سابكدنقطة يا- مركز القاعدة، سقمة الرأس, لذا = 4, SC.= 5. أوجد طول القطعة مكيف الهواء.
سابك ر- وسط الضلع قبل الميلاد, س- قمة. ومن المعروف أن أ.ب= 7، أ ريال سعودى.= 16. أوجد مساحة السطح الجانبية.
مساحة السطح الجانبي للهرم الثلاثي المنتظم تساوي نصف حاصل ضرب محيط القاعدة والقياس (القياس هو ارتفاع الوجه الجانبي للهرم المنتظم المرسوم من رأسه):
أو يمكننا أن نقول هذا: مساحة السطح الجانبي للهرم تساوي المجموع ثلاثة مربعاتحواف جانبية. الوجوه الجانبية في الهرم الثلاثي المنتظم هي مثلثات متساوية المساحة. في هذه الحالة:
الجواب: 168
تقرر لنفسك:
في هرم ثلاثي منتظم سابك ر- وسط الضلع قبل الميلاد, س- قمة. ومن المعروف أن أ.ب= 1، أ ريال سعودى.= 2. أوجد مساحة السطح الجانبية.
في هرم ثلاثي منتظم سابك ر- وسط الضلع قبل الميلاد, س- قمة. ومن المعروف أن أ.ب= 1، ومساحة السطح الجانبي 3. أوجد طول القطعة ريال سعودى..
في هرم ثلاثي منتظم سابك ل- وسط الضلع قبل الميلاد, س- قمة. ومن المعروف أن إس إل= 2، ومساحة السطح الجانبي 3. أوجد طول القطعة أ.ب.
المهمة 14.في شكل رباعي منتظم الهرم SABCDمع قمة الرأس S يكون جانب القاعدة 6. النقطة L هي منتصف الحافة SC. ظل الزاوية بين الخطين BL وSA يساوي 2.
أ) ليكن O مركز قاعدة الهرم. أثبت أن الخطين AS و OL متوازيان.
ب) أوجد مساحة سطح الهرم.
حل.
أ)يوجد في قاعدة الهرم المنتظم مربع، أي أن ABCD مربع. تتقاطع أقطار المربع عند النقطة O وتتقاطع عند هذه النقطة. النقطة L هي منتصف SC وفقًا لظروف المشكلة. ويترتب على ذلك أن OL هو خط الوسط للمثلث SAC، وبالتالي، و .
ب)أولاً، دعونا نوجد طول الحافة الجانبية AS. مع الأخذ في الاعتبار النقطة أ) يمكننا أن نستنتج أن المشكلة تعطي القيمة 
(انظر الصورة). ضع في اعتبارك مثلثًا متساوي الساقين DLB (نظرًا لأن DL=LB)، حيث تقع النقطة O في منتصف BD، وبالتالي، LO هو متوسط وارتفاع المثلث DLB، أي أن المثلث LOB قائم الزاوية. ثم يمكننا أن نكتب ذلك
.
وبدوره OB يساوي نصف BD ومن المثلث القائم BDC حسب نظرية فيثاغورس لدينا:
.
في النقطة أ) تبين أن هذا هو
9 مارس 2012
عند حل المشكلة C2 باستخدام الطريقة الإحداثية، يواجه العديد من الطلاب نفس المشكلة. لا يمكنهم الحساب إحداثيات النقاطالمدرجة في الصيغة المنتج نقطة. تنشأ أكبر الصعوبات الأهرامات. وإذا كانت النقاط الأساسية تعتبر طبيعية إلى حد ما، فإن القمم هي جحيم حقيقي.
اليوم سنعمل على هرم رباعي الزوايا منتظم. ويوجد أيضًا هرم ثلاثي (ويعرف أيضًا باسم - رباعي الاسطح). انها أكثر تصميم معقد، لذلك سيتم تخصيص درس منفصل لها.
أولا، دعونا نتذكر التعريف:
الهرم المنتظم هو الذي:
- القاعدة عبارة عن مضلع منتظم: مثلث، مربع، وما إلى ذلك؛
- الارتفاع المرسوم إلى القاعدة يمر عبر مركزها.
على وجه الخصوص، قاعدة الهرم الرباعي مربع. تماما مثل خوفو، فقط أصغر قليلا.
فيما يلي حسابات الهرم الذي تساوي جميع أحرفه 1. إذا لم يكن هذا هو الحال في مشكلتك، فلن تتغير الحسابات - فقط الأرقام ستكون مختلفة.
رؤوس الهرم الرباعي
لذلك، دعونا نعطي هرمًا رباعي الزوايا منتظمًا SABCD، حيث S هو الرأس والقاعدة ABCD هي مربع. جميع الحواف تساوي 1. تحتاج إلى إدخال نظام إحداثيات والعثور على إحداثيات جميع النقاط. لدينا:
نقدم نظام الإحداثيات مع الأصل عند النقطة A:
- يتم توجيه محور OX بالتوازي مع الحافة AB؛
- محور OY موازي لـ AD. بما أن ABCD مربع، AB ⊥ AD؛
- وأخيرًا، نقوم بتوجيه محور OZ لأعلى، بشكل عمودي على المستوى ABCD.
الآن نحسب الإحداثيات. البناء الإضافي: SH - الارتفاع المرسوم على القاعدة. للراحة، سنضع قاعدة الهرم في رسم منفصل. بما أن النقاط A وB وC وD تقع في مستوى OXY، فإن إحداثياتها هي z = 0. لدينا:
- أ = (0؛ 0؛ 0) - يتزامن مع الأصل؛
- B = (1؛ 0؛ 0) - خطوة بخطوة 1 على طول محور OX من الأصل؛
- C = (1؛ 1؛ 0) - خطوة بمقدار 1 على طول محور OX و1 على طول محور OY؛
- D = (0; 1; 0) - خطوة فقط على طول محور OY.
- H = (0.5; 0.5; 0) - مركز المربع، منتصف القطعة AC.
يبقى العثور على إحداثيات النقطة S. لاحظ أن إحداثيات x وy للنقطتين S وH هي نفسها، لأنها تقع على خط مستقيم، محور موازيأوقية. يبقى العثور على الإحداثي z للنقطة S.
النظر في المثلثين ASH وABH:
- AS = AB = 1 حسب الحالة؛
- الزاوية AHS = AHB = 90°، بما أن SH هو الارتفاع وAH ⊥ HB كقطري المربع؛
- الجانب AH شائع.
لذلك، المثلثان القائمان ASH و ABH متساويساق واحدة ووتر واحد لكل منهما. وهذا يعني SH = BH = 0.5 دينار بحريني. لكن BD هو قطر المربع الذي طول ضلعه 1. لذلك لدينا:
الإحداثيات الإجمالية للنقطة S:
في الختام، دعونا نكتب إحداثيات جميع رؤوس الهرم المستطيل المنتظم:
ماذا تفعل عندما تكون الأضلاع مختلفة
ماذا لو كانت الحواف الجانبية للهرم غير متساوية مع حواف القاعدة؟ في هذه الحالة، فكر في المثلث AHS:
مثلث AHS - مستطيلي، والوتر AS هو أيضًا حافة جانبية للهرم الأصلي SABCD. يتم حساب الساق AH بسهولة: AH = 0.5 AC. سوف نجد الساق المتبقية SH وفقا لنظرية فيثاغورس. سيكون هذا هو الإحداثي z للنقطة S.
مهمة. بالنظر إلى هرم رباعي الزوايا منتظم SABCD، يوجد في قاعدته مربع ذو ضلع 1. الحافة الجانبية BS = 3. أوجد إحداثيات النقطة S.
نحن نعرف بالفعل إحداثيات x وy لهذه النقطة: x = y = 0.5. ويأتي ذلك من حقيقتين:
- إسقاط النقطة S على مستوى OXY هو النقطة H؛
- وفي الوقت نفسه، النقطة H هي مركز المربع ABCD، وجميع أضلاعه تساوي 1.
يبقى العثور على إحداثيات النقطة S. النظر في المثلث AHS. وهو مستطيل، مع الوتر AS = BS = 3، والضلع AH هو نصف القطر. لمزيد من الحسابات نحتاج إلى طوله:
نظرية فيثاغورس للمثلث AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. لدينا:
إذن إحداثيات النقطة S:
في الهرم الرباعي المنتظم SABCD، النقطة O هي مركز القاعدة، SD=26، AC=20. أوجد طول القطعة SO.
حل المشكلة
يعرض درس الفيديو مسألة حسابية من اختبار الدولة الموحدة (B13) لإيجاد الحافة الجانبية للهرم الرباعي الزوايا. عند حل المسألة، تذكر أن الارتفاع في الهرم الرباعي المنتظم هو القطعة التي تصل قمة الهرم المعطى بمركز القاعدة. يتم استخدام مفهوم الهرم الرباعي المنتظم. هذا هرم ذو قاعدة مربعة و الأضلاع الجانبيةمتساوون. نستنتج أن النقطة الموجودة في وسط المربع تقسم القطر إلى قسمين متساويين. يعتبر المثلث الأيمن. للعثور على الساق في مثلث قائمتُستخدم نظرية فيثاغورس: مربع الوتر يساوي المبلغمربعات من الساقين. يتم التعبير عن الكمية المطلوبة.
حل هذه المشكلة مخصص لطلاب الصف العاشر عند دراسة موضوع: "الهرم الصحيح" (مفهوم الهرم المنتظم. حل المشكلات). سيكون درس الفيديو التعليمي مفيدًا لطلاب الصف الحادي عشر في التحضير لامتحان الدولة الموحدة.