مساحة شبه منحرف من ثلاث جهات. مساحة شبه منحرف: الصيغ وطرق الحساب

من أجل الشعور بالثقة وحل المشكلات بنجاح في دروس الهندسة، لا يكفي تعلم الصيغ. يجب أن يتم فهمهم أولاً. إن الخوف، بل والأكثر من ذلك، كراهية الصيغ، أمر غير مثمر. ستحلل هذه المقالة بلغة يسهل الوصول إليها الطرق المختلفة للعثور على مساحة شبه المنحرف. لفهم القواعد والنظريات المقابلة بشكل أفضل، سنولي بعض الاهتمام لخصائصها. سيساعدك هذا على فهم كيفية عمل القواعد وفي أي الحالات يجب تطبيق صيغ معينة.

تعريف شبه منحرف

ما هو نوع هذا الرقم بشكل عام؟ شبه المنحرف هو مضلع ذو أربع زوايا وضلعين متوازيين. يمكن أن يميل الجانبان الآخران من شبه المنحرف بزوايا مختلفة. وتسمى أضلاعها المتوازية قواعد، أما الأضلاع غير المتوازية فيستخدم اسم "الأضلاع" أو "الوركين". مثل هذه الأرقام شائعة جدًا في الحياة اليومية. يمكن رؤية ملامح شبه المنحرف في الصور الظلية للملابس والعناصر الداخلية والأثاث والأطباق وغيرها الكثير. هناك أنواع مختلفة من شبه المنحرف: مختلف الأضلاع، متساوي الأضلاع، ومستطيل. وسوف ندرس أنواعها وخصائصها بمزيد من التفصيل لاحقًا في المقالة.

خصائص شبه منحرف

دعونا نتناول بإيجاز خصائص هذا الرقم. مجموع الزوايا المجاورة لأي جانب هو دائمًا 180 درجة. وتجدر الإشارة إلى أن مجموع زوايا شبه المنحرف يصل إلى 360 درجة. شبه المنحرف لديه مفهوم خط الوسط. إذا قمت بتوصيل نقاط منتصف الجوانب بقطعة، فسيكون هذا هو الخط الأوسط. تم تعيين م. يتمتع الخط الأوسط بخصائص مهمة: فهو دائمًا موازٍ للقواعد (نتذكر أن القواعد متوازية أيضًا مع بعضها البعض) وتساوي نصف مجموعها:

وهذا التعريف يجب تعلمه وفهمه، لأنه المفتاح لحل الكثير من المشاكل!

باستخدام شبه المنحرف، يمكنك دائمًا خفض الارتفاع إلى القاعدة. الارتفاع هو خط عمودي، يُشار إليه غالبًا بالرمز h، يتم رسمه من أي نقطة من قاعدة إلى قاعدة أخرى أو امتدادها. سيساعدك خط الوسط والارتفاع في العثور على مساحة شبه المنحرف. مثل هذه المشكلات هي الأكثر شيوعًا في مقرر الهندسة المدرسية وتظهر بانتظام بين أوراق الاختبار والامتحانات.

أبسط الصيغ لمنطقة شبه منحرف

دعونا نلقي نظرة على الصيغتين الأكثر شعبية وبساطة المستخدمة للعثور على مساحة شبه المنحرف. يكفي ضرب الارتفاع في نصف مجموع القواعد للعثور بسهولة على ما تبحث عنه:

ق = ح*(أ + ب)/2.

في هذه الصيغة، أ، ب تشير إلى قواعد شبه المنحرف، ح - الارتفاع. لسهولة الإدراك، في هذه المقالة، يتم تمييز علامات الضرب بالرمز (*) في الصيغ، على الرغم من حذف علامة الضرب عادةً في الكتب المرجعية الرسمية.

لنلقي نظرة على مثال.

معطى: شبه منحرف طول قاعدتيه 10 و 14 سم، وارتفاعه 7 سم. ما مساحة شبه المنحرف؟

دعونا نلقي نظرة على الحل لهذه المشكلة. باستخدام هذه الصيغة، تحتاج أولاً إلى إيجاد نصف مجموع القواعد: (10+14)/2 = 12. إذن، نصف المجموع يساوي 12 سم. الآن نضرب نصف المجموع في الارتفاع: 12*7 = 84. لقد تم العثور على ما نبحث عنه. الجواب: مساحة شبه المنحرف 84 متراً مربعاً. سم.

الصيغة الثانية المعروفة تقول: مساحة شبه المنحرف تساوي حاصل ضرب خط الوسط وارتفاع شبه المنحرف. أي أنه يتبع في الواقع المفهوم السابق للخط الأوسط: S=m*h.

استخدام الأقطار في العمليات الحسابية

هناك طريقة أخرى للعثور على مساحة شبه المنحرف وهي في الواقع ليست بهذه التعقيد. وهي متصلة بأقطارها. باستخدام هذه الصيغة، للعثور على المساحة، عليك ضرب نصف ناتج قطريها (د 1 د 2) في جيب الزاوية بينهما:

S = ½ د 1 د 2 خطيئة أ.

دعونا نفكر في مشكلة توضح تطبيق هذه الطريقة. معطى: شبه منحرف طول قطريه يساوي 8 و13 سم على التوالي، وقياس الزاوية a بين القطرين هو 30°. أوجد مساحة شبه المنحرف.

حل. باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه، من السهل حساب ما هو مطلوب. كما تعلم، فإن sin 30° يساوي 0.5. وبالتالي، S = 8*13*0.5=52. الجواب: المساحة 52 متر مربع. سم.

إيجاد مساحة شبه منحرف متساوي الساقين

يمكن أن يكون شبه المنحرف متساوي الساقين (متساوي الساقين). وأضلاعه متساوية والزوايا عند قاعدتيه متساوية، وهو ما يوضحه الشكل جيدًا. شبه منحرف متساوي الساقين له نفس خصائص شبه المنحرف العادي، بالإضافة إلى عدد من الخصائص الخاصة. يمكن تحديد دائرة حول شبه منحرف متساوي الساقين، ويمكن كتابة دائرة داخلها.

ما هي الطرق الموجودة لحساب مساحة هذا الشكل؟ ستتطلب الطريقة أدناه الكثير من الحسابات. لاستخدامها، تحتاج إلى معرفة قيم الجيب (الخطيئة) وجيب التمام (جيب التمام) للزاوية عند قاعدة شبه المنحرف. لحسابها، تحتاج إما إلى جداول Bradis أو آلة حاسبة هندسية. هنا هي الصيغة:

س= ج*الخطيئة أ*(أ - ج*كوس أ),

أين مع- الفخذ الجانبي، أ- الزاوية عند القاعدة السفلية .

شبه منحرف متساوي الأضلاع له أقطار متساوية في الطول. والعكس صحيح أيضًا: إذا كان شبه المنحرف له أقطار متساوية، فهو متساوي الساقين. ومن هنا جاءت الصيغة التالية للمساعدة في العثور على مساحة شبه المنحرف - نصف منتج مربع الأقطار وجيب الزاوية بينهما: S = ½ d 2 sin أ.

إيجاد مساحة شبه منحرف مستطيل

هناك حالة خاصة من شبه المنحرف المستطيل معروفة. هذا هو شبه منحرف، حيث يجاور جانب واحد (فخذه) القواعد بزاوية قائمة. له خصائص شبه منحرف منتظم. بالإضافة إلى ذلك، فهو يحتوي على ميزة مثيرة جدًا للاهتمام. الفرق في مربعات أقطار هذا شبه المنحرف يساوي الفرق في مربعات قاعدته. يتم استخدام جميع الطرق الموضحة مسبقًا لحساب المساحة لذلك.

نحن نستخدم البراعة

هناك خدعة واحدة يمكن أن تساعدك إذا نسيت صيغًا معينة. دعونا نلقي نظرة فاحصة على ما هو شبه منحرف. إذا قسمناها عقليًا إلى أجزاء، فسنحصل على أشكال هندسية مألوفة ومفهومة: مربع أو مستطيل ومثلث (واحد أو اثنان). إذا كان ارتفاع شبه المنحرف وجوانبه معروفين، فيمكنك استخدام الصيغ الخاصة بمساحة المثلث والمستطيل، ثم جمع كل القيم الناتجة.

دعونا نوضح ذلك بالمثال التالي. نظرا لشبه منحرف مستطيلة. الزاوية C = 45 درجة، والزوايا A، D هي 90 درجة. القاعدة العلوية للشبه المنحرف 20 سم، الارتفاع 16 سم. تحتاج إلى حساب مساحة الشكل.

من الواضح أن هذا الشكل يتكون من مستطيل (إذا كانت الزاويتان تساوي 90 درجة) ومثلث. بما أن شبه المنحرف مستطيل الشكل، فإن ارتفاعه يساوي طول ضلعه، أي 16 سم. لدينا مستطيل طول ضلعه 20 و16 سم على التوالي. الآن فكر في مثلث زاويته 45 درجة. نحن نعلم أن أحد أضلاعه يساوي 16 سم، وبما أن هذا الضلع هو أيضًا ارتفاع شبه المنحرف (ونعلم أن الارتفاع ينحدر إلى القاعدة بزاوية قائمة)، فإن الزاوية الثانية للمثلث هي 90 درجة. ومن ثم فإن الزاوية المتبقية للمثلث هي 45 درجة. والنتيجة هي أننا نحصل على مثلث متساوي الساقين قائم، فيه ضلعان متماثلان. وهذا يعني أن الضلع الآخر للمثلث يساوي الارتفاع، أي 16 سم، وكل ما تبقى هو حساب مساحة المثلث والمستطيل وإضافة القيم الناتجة.

مساحة المثلث القائم تساوي نصف حاصل ضرب ساقيه: S = (16*16)/2 = 128. مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب عرضه وطوله: S = 20*16 = 320. وجدنا المطلوب: مساحة شبه المنحرف S = 128 + 320 = 448 متر مربع. انظر، يمكنك بسهولة التحقق مرة أخرى من نفسك باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه، وستكون الإجابة متطابقة.

نحن نستخدم صيغة الذروة

أخيرًا، نقدم صيغة أصلية أخرى تساعد في إيجاد مساحة شبه المنحرف. يطلق عليه صيغة الاختيار. إنه مناسب للاستخدام عند رسم شبه منحرف على ورق مربعات. غالبًا ما توجد مشكلات مماثلة في مواد GIA. تبدو هكذا:

ق = م/2 + ن - 1،

في هذه الصيغة M هو عدد العقد، أي. تقاطعات خطوط الشكل مع خطوط الخلية عند حدود شبه المنحرف (النقاط البرتقالية في الشكل)، N هو عدد العقد داخل الشكل (النقاط الزرقاء). إنه أكثر ملاءمة لاستخدامه عند العثور على مساحة مضلع غير منتظم. ومع ذلك، كلما كانت ترسانة التقنيات المستخدمة أكبر، قلت الأخطاء وتحسنت النتائج.

وبطبيعة الحال، فإن المعلومات المقدمة لا تستنفد أنواع وخصائص شبه المنحرف، وكذلك طرق العثور على منطقته. تقدم هذه المقالة لمحة عامة عن أهم خصائصه. عند حل المشكلات الهندسية، من المهم التصرف تدريجيًا، والبدء بالصيغ والمسائل السهلة، وتعزيز فهمك باستمرار، والانتقال إلى مستوى آخر من التعقيد.

ستساعد الصيغ الأكثر شيوعًا، المجمعة معًا، الطلاب على التنقل بين الطرق المختلفة لحساب مساحة شبه المنحرف والاستعداد بشكل أفضل للاختبارات والواجبات حول هذا الموضوع.

تُظهر ممارسة امتحان الدولة الموحدة وامتحان الدولة العام الماضي أن المشكلات الهندسية تسبب صعوبات للعديد من تلاميذ المدارس. يمكنك التعامل معها بسهولة إذا حفظت جميع الصيغ الضرورية وتدربت على حل المشكلات.

ستشاهد في هذه المقالة صيغًا لإيجاد مساحة شبه المنحرف، بالإضافة إلى أمثلة للمشكلات مع الحلول. قد تصادف نفس الأشياء في KIMs أثناء اختبارات الشهادة أو في الأولمبياد. لذلك، تعامل معهم بعناية.

ما تحتاج لمعرفته حول شبه منحرف؟

وبادئ ذي بدء، دعونا نتذكر ذلك شبه منحرفيسمى الشكل الرباعي الذي يكون فيه ضلعان متقابلان، ويسمىان أيضًا القاعدتين، متوازيين، والضلعان الآخران ليسا كذلك.

في شبه المنحرف، يمكن أيضًا خفض الارتفاع (عموديًا على القاعدة). تم رسم الخط الأوسط - وهو خط مستقيم موازٍ للقواعد ويساوي نصف مجموعهما. وكذلك الأقطار التي يمكن أن تتقاطع لتشكل زوايا حادة ومنفرجة. أو في بعض الحالات، بزاوية قائمة. بالإضافة إلى ذلك، إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين، فيمكن كتابة دائرة فيه. ووصف دائرة حوله.

صيغ منطقة شبه منحرف

أولاً، دعونا نلقي نظرة على الصيغ القياسية لإيجاد مساحة شبه المنحرف. سننظر أدناه في طرق حساب مساحة متساوي الساقين وشبه المنحرف المنحني الخطوط.

لذا، تخيل أن لديك شبه منحرف له القاعدتان a وb، حيث ينخفض ​​الارتفاع h إلى القاعدة الأكبر. يعد حساب مساحة الشكل في هذه الحالة أمرًا سهلاً مثل قشر الكمثرى. كل ما عليك فعله هو قسمة مجموع أطوال القواعد على اثنين وضرب الناتج في الارتفاع: ق = 1/2(أ + ب)*ح.

لنأخذ حالة أخرى: لنفترض أنه في شبه المنحرف، بالإضافة إلى الارتفاع، يوجد خط وسط m. نحن نعرف صيغة إيجاد طول الخط الأوسط: م = 1/2(أ + ب). لذلك، يمكننا بحق تبسيط صيغة مساحة شبه المنحرف إلى النموذج التالي: ق = م * ح. وبعبارة أخرى، للعثور على مساحة شبه منحرف، تحتاج إلى ضرب خط الوسط في الارتفاع.

لنفكر في خيار آخر: يحتوي شبه المنحرف على قطرين d 1 و d 2، لا يتقاطعان عند الزوايا القائمة α. لحساب مساحة شبه المنحرف هذا، تحتاج إلى تقسيم منتج الأقطار على اثنين وضرب النتيجة في جيب الزاوية بينهما: S= 1/2د 1 د 2 *الخطيئةα.

الآن فكر في صيغة إيجاد مساحة شبه المنحرف إذا لم يكن معروفًا عنه سوى أطوال جميع جوانبه: a و b و c و d. هذه صيغة مرهقة ومعقدة، ولكن سيكون من المفيد لك أن تتذكرها فقط في حالة: S = 1/2(أ + ب) * √ج 2 – ((1/2(ب – أ)) * ((ب – أ) 2 + ج 2 – د 2)) 2.

بالمناسبة، الأمثلة المذكورة أعلاه تنطبق أيضًا على الحالة التي تحتاج فيها إلى صيغة لمنطقة شبه منحرف مستطيل. هذا شبه منحرف، جانبه يجاور القواعد بزاوية قائمة.

شبه منحرف متساوي الساقين

شبه المنحرف الذي تكون أضلاعه متساوية يسمى متساوي الساقين. سننظر في عدة خيارات للصيغة الخاصة بمنطقة شبه منحرف متساوي الساقين.

الخيار الأول: في الحالة التي يتم فيها إدراج دائرة نصف قطرها r داخل شبه منحرف متساوي الساقين، ويشكل الجانب والقاعدة الأكبر زاوية حادة α. يمكن نقش الدائرة في شبه المنحرف بشرط أن يكون مجموع أطوال قاعدتيها مساوياً لمجموع أطوال أضلاعها.

يتم حساب مساحة شبه منحرف متساوي الساقين على النحو التالي: اضرب مربع نصف قطر الدائرة المنقوشة بأربعة واقسمها كلها على sinα: ق = 4ص 2 /الخطيئةα. صيغة مساحة أخرى هي حالة خاصة للخيار عندما تكون الزاوية بين القاعدة الكبيرة والجانب 30 0: ق = 8ر2.

الخيار الثاني: هذه المرة نأخذ شبه منحرف متساوي الساقين، حيث يتم رسم القطرين d 1 و d 2 بالإضافة إلى الارتفاع h. إذا كانت أقطار شبه المنحرف متعامدة بشكل متبادل، فإن الارتفاع يكون نصف مجموع القاعدتين: h = 1/2(a + b). بمعرفة ذلك، من السهل تحويل صيغة مساحة شبه المنحرف المألوفة لك بالفعل إلى هذا النموذج: س = ح 2.

صيغة لمنطقة شبه منحرف منحني

لنبدأ بمعرفة ما هو شبه المنحرف المنحني. تخيل محورًا إحداثيًا ورسمًا بيانيًا لدالة مستمرة وغير سالبة f لا تغير الإشارة داخل مقطع معين على المحور السيني. يتم تشكيل شبه منحرف منحني الأضلاع من خلال الرسم البياني للدالة y = f(x) - في الجزء العلوي، يكون المحور x في الأسفل (القطعة)، وعلى الجانبين - خطوط مستقيمة مرسومة بين النقطتين a و b والرسم البياني لـ الوظيفة.

من المستحيل حساب مساحة هذا الشكل غير القياسي باستخدام الطرق المذكورة أعلاه. هنا تحتاج إلى تطبيق التحليل الرياضي واستخدام التكامل. وهي: صيغة نيوتن-لايبنتز - S = ∫ ب أ f(x)dx = F(x)│ ب أ = F(b) – F(a). في هذه الصيغة، F هو المشتق العكسي للدالة في الجزء المحدد. وتتوافق مساحة شبه المنحرف المنحني مع زيادة المشتق العكسي في قطعة معينة.

مشاكل العينة

لتسهيل فهم كل هذه الصيغ في ذهنك، إليك بعض الأمثلة على المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحة شبه المنحرف. سيكون من الأفضل أن تحاول أولاً حل المشكلات بنفسك، وعندها فقط تقارن الإجابة التي تتلقاها بالحل الجاهز.

مهمة 1:نظرا شبه منحرف. قاعدتها الكبرى 11 سم، والصغرى 4 سم. شبه المنحرف له قطران، طول أحدهما 12 سم، والثاني 9 سم.

الحل: إنشاء شبه منحرف AMRS. ارسم خطًا مستقيمًا РХ عبر قمة الرأس P بحيث يكون موازيًا للقطر MC ويتقاطع مع الخط المستقيم AC عند النقطة X. وستحصل على مثلث APХ.

سننظر في الشكلين اللذين تم الحصول عليهما نتيجة لهذه التلاعبات: المثلث APX ومتوازي الأضلاع CMRX.

بفضل متوازي الأضلاع، تعلمنا أن PX = MC = 12 سم وCX = MR = 4 سم. ومن هنا يمكننا حساب الضلع AX للمثلث ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 سم.

يمكننا أيضًا إثبات أن المثلث APX قائم الزاوية (للقيام بذلك، قم بتطبيق نظرية فيثاغورس - AX 2 = AP 2 + PX 2). واحسب مساحتها: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9*12) = 54 سم2.

بعد ذلك، ستحتاج إلى إثبات أن المثلثين AMP وPCX متساويان في المساحة. سيكون الأساس هو المساواة بين الطرفين MR وCX (كما سبق إثباته أعلاه). وكذلك الارتفاعات التي تخفضها على هذه الجوانب - فهي تساوي ارتفاع شبه منحرف AMRS.

كل هذا سيسمح لك بالقول أن S AMPC = S APX = 54 سم 2.

المهمة رقم 2:يتم إعطاء شبه منحرف KRMS. على جوانبه توجد النقطتان O وE، بينما OE وKS متوازيان. ومن المعروف أيضًا أن مساحات شبه المنحرف ORME وOKSE تكون بنسبة 1:5. RM = أ وKS = ب. أنت بحاجة إلى العثور على OE.

الحل: ارسم خطًا موازيًا لـ RK عبر النقطة M، وحدد نقطة تقاطعه مع OE بالرمز T. A هي نقطة تقاطع الخط المرسوم عبر النقطة E الموازي لـ RK مع القاعدة KS.

دعونا نقدم تدوينًا آخر - OE = x. وكذلك الارتفاع h 1 للمثلث TME والارتفاع h 2 للمثلث AEC (يمكنك إثبات تشابه هذه المثلثات بشكل مستقل).

سنفترض أن ب> أ. مساحات شبه المنحرف ORME وOKSE تكون بنسبة 1:5، مما يمنحنا الحق في إنشاء المعادلة التالية: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. دعونا نحول ونحصل على: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

وبما أن المثلثين TME وAEC متشابهان، فلدينا h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). لنجمع كلا المدخلين ونحصل على: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( ب + س)(ب – س) ↔ 5(س 2 – أ 2) = (ب 2 – س 2) ↔ 6x 2 = ب 2 + 5أ 2 ↔ x = √(5أ 2 + ب 2)/6.

وبالتالي، OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

خاتمة

الهندسة ليست من أسهل العلوم، ولكن يمكنك بالتأكيد التعامل مع أسئلة الامتحان. يكفي إظهار القليل من المثابرة في التحضير. وبطبيعة الحال، تذكر جميع الصيغ اللازمة.

لقد حاولنا جمع كل الصيغ لحساب مساحة شبه المنحرف في مكان واحد حتى تتمكن من استخدامها عند الاستعداد للامتحانات ومراجعة المادة.

تأكد من إخبار زملائك وأصدقائك على الشبكات الاجتماعية حول هذه المقالة. فليكن هناك المزيد من الدرجات الجيدة لامتحان الدولة الموحدة وامتحانات الدولة!

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

قامت هذه الآلة الحاسبة بحساب 2192 مسألة في موضوع "مساحة شبه المنحرف"

منطقة شبه منحرف

اختر صيغة حساب مساحة شبه المنحرف التي تخطط لاستخدامها لحل المشكلة المخصصة لك:

النظرية العامة لحساب مساحة شبه المنحرف.

شبه منحرف - هذا شكل مسطح يتكون من أربع نقاط، ثلاث منها لا تقع على نفس الخط، وأربعة أجزاء (جوانب) تربط هذه النقاط الأربع في أزواج، حيث يكون الجانبان المتقابلان متوازيين (يقعان على خطوط متوازية)، والضلع الاثنان الآخران ليسا متوازيين.

يتم استدعاء النقاط رؤوس شبه منحرف ويشار إليها بأحرف لاتينية كبيرة.

يتم استدعاء الأجزاء جوانب شبه منحرف ويتم الإشارة إليها بزوج من الحروف اللاتينية الكبيرة المقابلة للقمم التي تربط الأجزاء.

يسمى الجانبان المتوازيان لشبه المنحرف قواعد شبه منحرف .

يسمى الجانبان غير المتوازيين لشبه المنحرف جوانب شبه منحرف .

الشكل رقم 1: شبه منحرف ABCD

الشكل رقم 1 يوضح شبه المنحرف ABCD مع الرؤوس A، B، C، D والأضلاع AB، BC، CD، DA.

AB à DC - قواعد شبه منحرف ABCD.

AD، BC - الجوانب الجانبية لشبه المنحرف ABCD.

الزاوية التي يشكلها الشعاعان AB وAD تسمى الزاوية عند الرأس A. ويشار إليها بـ ÐA أو ÐBAD، أو ÐDAB.

الزاوية التي يشكلها الشعاعان BA وBC تسمى الزاوية عند الرأس B. ويشار إليها بـ ÐB أو ÐABC أو ÐCBA.

الزاوية التي يشكلها الشعاعان CB وCD تسمى الزاوية الرأسية C. ويشار إليها بـ ÐC أو ÐDCB أو ÐBCD.

الزاوية التي تشكلها الأشعة AD وCD تسمى الزاوية الرأسية D. ويشار إليها بـ ÐD أو ÐADC أو ÐCDA.

الشكل رقم 2: شبه منحرف ABCD

في الشكل 2، يسمى الجزء MN الذي يربط بين نقاط منتصف الجوانب الجانبية خط الوسط شبه المنحرف.

خط الوسط شبه منحرفموازية للقواعد وتساوي نصف مجموعها. إنه، .

الشكل رقم 3: شبه منحرف متساوي الساقين ABCD

في الشكل 3، م = قبل الميلاد.

شبه منحرف يسمى متساوي الساقين (متساوي الساقين)، إذا كانت أضلاعه متساوية.

الشكل رقم 4: شبه منحرف مستطيل ABCD

في الشكل رقم 4، الزاوية D مستقيمة (تساوي 90 درجة).

شبه منحرف يسمى مستطيلي،إذا كانت الزاوية على الجانب مستقيمة.

المنطقة S مسطحةتسمى الأشكال، التي تشمل شبه المنحرف، مساحة مغلقة محدودة على المستوى. مساحة الشكل المسطح توضح حجم هذا الشكل.

تتميز المنطقة بعدة خصائص:

1. لا يمكن أن تكون سلبية.

2. إذا تم إعطاء منطقة مغلقة معينة على المستوى، والتي تتكون من عدة أشكال لا تتقاطع مع بعضها البعض (أي أن الأشكال ليس لها نقاط داخلية مشتركة، ولكنها قد تلامس بعضها البعض)، فإن المنطقة هذه المنطقة تساوي مجموع مساحات الشخصيات المكونة لها.

3. إذا كان الرقمان متساويين فإن مساحتهما متساوية.

4. مساحة المربع المبني على قطعة وحدة تساوي واحدا.

خلف وحدة قياسات منطقةخذ مساحة المربع الذي يساوي ضلعه وحدة قياساتشرائح.

عند حل المشكلات، غالبًا ما تستخدم الصيغ التالية لحساب مساحة شبه المنحرف:

1. مساحة شبه المنحرف تساوي نصف مجموع قواعده مضروبة في ارتفاعه:

2. مساحة شبه المنحرف تساوي حاصل ضرب خط وسطه وارتفاعه:

3. مع الأطوال المعروفة لقواعد وجوانب شبه المنحرف، يمكن حساب مساحته باستخدام الصيغة:

4. من الممكن حساب مساحة شبه منحرف متساوي الساقين معلوم طول نصف قطر الدائرة المدرج في شبه المنحرف وقيمة معروفة للزاوية عند القاعدة باستخدام الصيغة التالية:

مثال 1:احسب مساحة شبه منحرف قاعدته a=7، b=3 وارتفاعه h=15.

حل:

إجابة:

مثال 2:أوجد ضلع قاعدة شبه منحرف مساحته S = 35 سم 2، وارتفاعه h = 7 سم، والقاعدة الثانية ب = 2 سم.

حل:

للعثور على جانب قاعدة شبه منحرف، نستخدم الصيغة لحساب المساحة:

دعونا نعبر من هذه الصيغة عن جانب قاعدة شبه المنحرف:

وبالتالي لدينا ما يلي:

إجابة:

مثال 3:أوجد ارتفاع شبه منحرف مساحته S = 17 سم 2 وقاعدته أ = 30 سم، ب = 4 سم.

حل:

للعثور على ارتفاع شبه منحرف، نستخدم صيغة حساب المساحة:

وبالتالي لدينا ما يلي:

إجابة:

مثال 4:احسب مساحة شبه منحرف ارتفاعه h=24 وخط مركزه m=5.

حل:

للعثور على مساحة شبه منحرف، نستخدم الصيغة التالية لحساب المساحة:

وبالتالي لدينا ما يلي:

إجابة:

مثال 5:أوجد ارتفاع شبه منحرف مساحته S = 48 سم 2 وخط مركزه م = 6 سم.

حل:

للعثور على ارتفاع شبه منحرف، نستخدم صيغة حساب مساحة شبه منحرف:

دعونا نعبر عن ارتفاع شبه المنحرف من هذه الصيغة:

وبالتالي لدينا ما يلي:

إجابة:

مثال 6:أوجد خط المنتصف لشبه منحرف مساحته S = 56 وارتفاعه h = 4.

حل:

للعثور على خط الوسط لشبه منحرف، نستخدم الصيغة لحساب مساحة شبه منحرف:

دعونا نعبر عن الخط الأوسط لشبه المنحرف من هذه الصيغة:

وبالتالي لدينا ما يلي.

شبه المنحرف هو نوع خاص من الأشكال الرباعية التي يكون فيها ضلعان متقابلان متوازيين مع بعضهما البعض، لكن الضلعين الآخرين ليسا كذلك. العديد من الأشياء الحقيقية لها شكل شبه منحرف، لذلك قد تحتاج إلى حساب محيط هذا الشكل الهندسي لحل المشكلات اليومية أو المدرسية.

هندسة شبه منحرف

شبه المنحرف (من "شبه المنحرف" اليوناني - الجدول) هو شكل على مستوى محدد بأربعة أجزاء، اثنان منها متوازيان واثنان غير متوازيين. تسمى الأجزاء المتوازية قواعد شبه المنحرف، وتسمى الأجزاء غير المتوازية جوانب الشكل. تحدد الجوانب وزوايا ميلها نوع شبه المنحرف، الذي يمكن أن يكون مختلف الأضلاع أو متساوي الساقين أو مستطيلًا. بالإضافة إلى القواعد والجوانب، يحتوي شبه المنحرف على عنصرين آخرين:

• الارتفاع - المسافة بين القاعدتين المتوازيتين للشكل؛
• الخط الأوسط - الجزء الذي يربط بين منتصف الجانبين.

هذا الشكل الهندسي منتشر على نطاق واسع في الحياة الحقيقية.

شبه منحرف في الواقع

في الحياة اليومية، تتخذ العديد من الأشياء الحقيقية شكلًا شبه منحرف. يمكنك بسهولة العثور على شبه منحرف في مجالات النشاط البشري التالية:

• التصميم الداخلي والديكور - الأرائك، والطاولات، والجدران، والسجاد، والأسقف المعلقة؛
• تصميم المناظر الطبيعية - حدود المروج والخزانات الاصطناعية، وأشكال العناصر الزخرفية؛
• الموضة - شكل الملابس والأحذية والإكسسوارات؛
• الهندسة المعمارية - النوافذ والجدران وأساسات البناء؛
• الإنتاج - مختلف المنتجات والأجزاء.

مع هذا الاستخدام الواسع النطاق لشبه المنحرف، غالبًا ما يتعين على المتخصصين حساب محيط الشكل الهندسي.

محيط شبه منحرف

محيط الشكل هو خاصية عددية يتم حسابها كمجموع أطوال جميع جوانب n-gon. شبه المنحرف هو شكل رباعي، وبشكل عام جميع أضلاعه لها أطوال مختلفة، لذلك يتم حساب المحيط باستخدام الصيغة:

ف = أ + ب + ج + د،

حيث a وc هما قاعدتا الشكل، وb وd هما ضلعاه.

على الرغم من أننا لا نحتاج إلى معرفة الارتفاع عند حساب محيط شبه المنحرف، إلا أن رمز الآلة الحاسبة يتطلب إدخال هذا المتغير. نظرًا لأن الارتفاع ليس له أي تأثير على الحسابات، فعند استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت، يمكنك إدخال أي قيمة ارتفاع أكبر من الصفر. دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة.

أمثلة من الحياة الحقيقية

منديل

لنفترض أن لديك وشاحًا على شكل شبه منحرف وتريد قصه بأهداب. ستحتاج إلى معرفة محيط الوشاح حتى لا تشتري مواد إضافية أو تذهب إلى المتجر مرتين. دع وشاحك متساوي الساقين يحتوي على المعلمات التالية: أ = 120 سم، ب = 60 سم، ج = 100 سم، د = 60 سم. نقوم بإدخال هذه البيانات في النموذج عبر الإنترنت ونحصل على الإجابة في النموذج:

وبالتالي، فإن محيط الوشاح هو 340 سم، وهذا هو بالضبط طول جديلة هامش لإنهائه.

المنحدرات

على سبيل المثال، قررت أن تصنع منحدرات للنوافذ البلاستيكية المعدنية غير القياسية التي لها شكل شبه منحرف. تستخدم هذه النوافذ على نطاق واسع في تصميم المباني، مما يخلق تركيبة من عدة وشاحات. في أغلب الأحيان، تصنع هذه النوافذ في شكل شبه منحرف مستطيل. دعونا نتعرف على كمية المواد اللازمة لصنع منحدرات هذه النافذة. تحتوي النافذة القياسية على المعلمات التالية أ = 140 سم، ب = 20 سم، ج = 180 سم، د = 50 سم. نستخدم هذه البيانات ونحصل على النتيجة في النموذج

لذلك، يبلغ محيط النافذة شبه المنحرفة 390 سم، وهذا هو بالضبط عدد الألواح البلاستيكية التي ستحتاج إلى شرائها لتشكيل المنحدرات.

خاتمة

شبه المنحرف هو شخصية مشهورة في الحياة اليومية، وقد تكون هناك حاجة لتحديد معالمها في المواقف غير المتوقعة. يعد حساب محيط شبه المنحرف أمرًا ضروريًا للعديد من المهنيين: من المهندسين والمهندسين المعماريين إلى المصممين والميكانيكيين. سيسمح لك كتالوج الآلات الحاسبة عبر الإنترنت بإجراء العمليات الحسابية لأي أشكال وأجسام هندسية.

في الرياضيات، تُعرف عدة أنواع من الأشكال الرباعية: المربع، المستطيل، المعين، متوازي الأضلاع. ومن بينها شبه المنحرف - وهو نوع من الأشكال الرباعية المحدبة التي يكون فيها الجانبان متوازيين والجانبان الآخران ليسا كذلك. تسمى الجوانب المقابلة المتوازية بالقواعد، ويسمى الجانبان الآخران الجوانب الجانبية لشبه المنحرف. الجزء الذي يصل بين منتصف الجانبين يسمى خط الوسط. هناك عدة أنواع من شبه المنحرف: متساوي الساقين، مستطيل، منحني. لكل نوع من شبه المنحرف توجد صيغ لإيجاد المساحة.

مساحة شبه منحرف

للعثور على مساحة شبه منحرف، عليك أن تعرف طول قاعدته وارتفاعه. ارتفاع شبه المنحرف هو قطعة عمودية على القواعد. لتكن القاعدة العلوية a، والقاعدة السفلية b، والارتفاع h. ثم يمكنك حساب المساحة S باستخدام الصيغة:

ق = ½ * (أ+ب) * ح

أولئك. خذ نصف مجموع القواعد مضروبا في الارتفاع.

سيكون من الممكن أيضًا حساب مساحة شبه المنحرف إذا كان الارتفاع وخط الوسط معروفين. دعنا نشير إلى الخط الأوسط - م. ثم

دعونا نحل مشكلة أكثر تعقيدًا: أطوال الجوانب الأربعة لشبه المنحرف معروفة - أ، ب، ج، د. ثم سيتم العثور على المنطقة باستخدام الصيغة:

إذا كانت أطوال الأقطار والزاوية بينها معروفة، يتم البحث عن المساحة على النحو التالي:

S = ½ * d1 * d2 * الخطيئة α

حيث d مع المؤشرين 1 و 2 قطريان. في هذه الصيغة، يتم إعطاء جيب الزاوية في الحساب.

بمعلومية الأطوال المعروفة للقاعدتين a وb والزاويتين عند القاعدة السفلية، يتم حساب المساحة على النحو التالي:

S = ½ * (b2 - a2) * (الخطيئة α * الخطيئة β / الخطيئة (α + β))

مساحة شبه منحرف متساوي الساقين

شبه منحرف متساوي الساقين هو حالة خاصة من شبه منحرف. الفرق بينهما هو أن هذا شبه المنحرف هو شكل رباعي محدب مع محور تناظر يمر عبر نقاط المنتصف لجانبين متقابلين. جوانبها متساوية.

هناك عدة طرق للعثور على مساحة شبه منحرف متساوي الساقين.

• من خلال أطوال الجوانب الثلاثة. في هذه الحالة، ستتطابق أطوال الجوانب، لذلك يتم تحديدها بقيمة واحدة - ج، و أ و ب - أطوال القواعد:

• إذا كان طول القاعدة العلوية والضلع والزاوية عند القاعدة السفلية معروفة، يتم حساب المساحة على النحو التالي:

S = ج * الخطيئة α * (أ + ج * كوس α)

حيث a هي القاعدة العلوية، c هو الجانب.

• إذا كان طول القاعدة السفلية معروفًا بدلاً من القاعدة العلوية - ب، يتم حساب المنطقة باستخدام الصيغة:

S = ج * الخطيئة α * (ب – ج * كوس α)

• إذا، عندما تكون القاعدتان معلومتين والزاوية عند القاعدة السفلية، يتم حساب المساحة من خلال مماس الزاوية:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• يتم حساب المساحة أيضًا من خلال الأقطار والزاوية بينهما. في هذه الحالة، الأقطار متساوية في الطول، لذا نشير إلى كل منها بالحرف d بدون سفوح:

S = ½ * d2 * الخطيئة α

• لنحسب مساحة شبه المنحرف بمعرفة طول ضلعه وخط المنتصف والزاوية عند القاعدة السفلية.

ليكن الضلع الجانبي ج، والخط الأوسط م، والزاوية تكون أ، ثم:

S = م * ج * الخطيئة α

في بعض الأحيان يمكنك كتابة دائرة في شبه منحرف متساوي الأضلاع، نصف قطرها سيكون r.

من المعروف أنه يمكن رسم دائرة في أي شبه منحرف إذا كان مجموع أطوال قاعدتيه يساوي مجموع أطوال أضلاعه. ومن ثم يمكن إيجاد المساحة من خلال نصف قطر الدائرة المحيطية والزاوية عند القاعدة السفلية:

S = 4r2 / الخطيئة α

يتم إجراء نفس الحساب باستخدام القطر D للدائرة المنقوشة (بالمناسبة، يتزامن مع ارتفاع شبه المنحرف):

بمعرفة القاعدة والزاوية يتم حساب مساحة شبه المنحرف متساوي الساقين كما يلي:

S = أ * ب / الخطيئة α

(هذه الصيغ والصيغ اللاحقة صالحة فقط للأشباه المنحرفة ذات الدائرة المنقوشة).

وباستخدام قواعد الدائرة ونصف قطرها، يمكن إيجاد المساحة كما يلي:

إذا كانت القواعد معروفة فقط، فسيتم حساب المساحة باستخدام الصيغة:

من خلال القواعد والخط الجانبي يتم حساب مساحة شبه المنحرف مع الدائرة المدرجه ومن خلال القواعد والخط الأوسط - م كما يلي:

مساحة شبه منحرف مستطيلة

يسمى شبه المنحرف مستطيلاً إذا كان أحد أضلاعه متعامدًا مع القاعدة. في هذه الحالة، طول الجانب يتزامن مع ارتفاع شبه المنحرف.

شبه منحرف مستطيل يتكون من مربع ومثلث. بعد العثور على مساحة كل شكل من الأشكال، قم بجمع النتائج والحصول على المساحة الإجمالية لهذا الشكل.

كما أن الصيغ العامة لحساب مساحة شبه المنحرف مناسبة لحساب مساحة شبه المنحرف المستطيل.

• إذا كانت أطوال القواعد والارتفاع (أو الضلع المتعامد) معروفة، فسيتم حساب المساحة باستخدام الصيغة:

ق = (أ + ب) * ح / 2

الجانب الجانبي c يمكن أن يكون بمثابة h (الارتفاع). ثم تبدو الصيغة كما يلي:

ق = (أ + ب) * ج / 2

• هناك طريقة أخرى لحساب المساحة وهي ضرب طول خط الوسط في الارتفاع:

أو بطول الضلع المتعامد الجانبي:

• الطريقة التالية للحساب هي من خلال نصف حاصل ضرب القطرين وجيب الزاوية بينهما:

S = ½ * d1 * d2 * الخطيئة α

إذا كان القطران متعامدين، يتم تبسيط الصيغة إلى:

ق = ½ * د1 * د2

• هناك طريقة أخرى للحساب وهي من خلال نصف المحيط (مجموع أطوال الجانبين المتقابلين) ونصف قطر الدائرة المنقوشة.

هذه الصيغة صالحة للقواعد. إذا أخذنا أطوال الأضلاع، فإن أحدها سيكون مساويًا لضعف نصف القطر. ستبدو الصيغة كما يلي:

ص = (2ص + ج) * ص

• إذا تم إدراج دائرة داخل شبه منحرف، فسيتم حساب المساحة بنفس الطريقة:

حيث m هو طول خط الوسط.

مساحة شبه منحرف منحني

شبه منحرف منحني الأضلاع هو شكل مسطح يحده الرسم البياني للدالة المستمرة غير السالبة y = f(x)، المحددة على المقطع ومحور الإحداثي السيني والخطوط المستقيمة x = a، x = b. في الأساس، اثنان من أضلاعها متوازيان مع بعضهما البعض (القواعد)، والجانب الثالث متعامد مع القواعد، والرابع عبارة عن منحنى يتوافق مع الرسم البياني للدالة.

يتم البحث عن مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع من خلال التكامل باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز:

هذه هي الطريقة التي يتم بها حساب مساحات الأنواع المختلفة من شبه المنحرف. ولكن، بالإضافة إلى خصائص الجوانب، فإن شبه المنحرف له نفس خصائص الزوايا. مثل جميع الأشكال الرباعية الموجودة، مجموع الزوايا الداخلية لشبه المنحرف هو 360 درجة. ومجموع الزوايا المجاورة للضلع يساوي 180 درجة.