تتم دراسة المعادلات التربيعية في الصف الثامن، لذلك لا يوجد شيء معقد هنا. القدرة على حلها ضرورية للغاية.

المعادلة التربيعية هي معادلة على الصورة ax 2 + bx + c = 0، حيث المعاملات a وb وc هي أرقام تعسفيةو ≠ 0.

قبل الدراسة طرق محددةالحلول، لاحظ أنه يمكن تقسيم جميع المعادلات التربيعية إلى ثلاث فئات:

1. ليس لها جذور.
2. لديك جذر واحد بالضبط؛
3. يملك اثنان جذور مختلفة.

وهذا فرق مهم بين المعادلات التربيعية والمعادلات الخطية، حيث يكون الجذر موجودًا دائمًا وفريدًا. كيفية تحديد عدد جذور المعادلة؟ هناك شيء رائع لهذا - تمييزي.

مميز

دع المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0. إذن فإن المميز هو ببساطة الرقم D = b 2 − 4ac.

عليك أن تعرف هذه الصيغة عن ظهر قلب. من أين يأتي ليس مهما الآن. شيء آخر مهم: من خلال علامة المميز يمكنك تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية. يسمى:

1. إذا د< 0, корней нет;
2. إذا كان D = 0، هناك جذر واحد بالضبط؛
3. إذا كان D > 0، سيكون هناك جذرين.

يرجى ملاحظة: يشير المميز إلى عدد الجذور، وليس علاماتها على الإطلاق، كما يعتقد الكثير من الناس لسبب ما. ألقِ نظرة على الأمثلة وستفهم كل شيء بنفسك:

مهمة. ما عدد جذور المعادلات التربيعية:

1. س 2 − 8س + 12 = 0;
2. 5س 2 + 3س + 7 = 0؛
3. س 2 − 6س + 9 = 0.

لنكتب معاملات المعادلة الأولى ونوجد المميز:
أ = 1، ب = −8، ج = 12؛
د = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

إذن يكون المميز موجبًا، وبالتالي فإن المعادلة لها جذرين مختلفين. نقوم بتحليل المعادلة الثانية بنفس الطريقة:
أ = 5؛ ب = 3؛ ج = 7؛
د = 2 3 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

المميز سالب، ولا توجد جذور. المعادلة الأخيرة المتبقية هي:
أ = 1؛ ب = −6؛ ج = 9؛
د = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

مميز يساوي الصفر- سيكون هناك جذر واحد.

يرجى ملاحظة أنه تم كتابة المعاملات لكل معادلة. نعم، إنها طويلة، نعم، إنها مملة، لكنك لن تخلط بين الاحتمالات وترتكب أخطاء غبية. اختر لنفسك: السرعة أو الجودة.

بالمناسبة، إذا تمكنت من ذلك، فلن تحتاج بعد فترة إلى كتابة جميع المعاملات. سوف تقوم بإجراء مثل هذه العمليات في رأسك. يبدأ معظم الأشخاص في القيام بذلك في مكان ما بعد حل المعادلات بنسبة 50-70 - بشكل عام، ليس كثيرًا.

جذور المعادلة التربيعية

الآن دعنا ننتقل إلى الحل نفسه. إذا كان المميز D > 0، فيمكن العثور على الجذور باستخدام الصيغ:

صيغة الجذر الأساسية معادلة من الدرجة الثانية

عندما يكون D = 0، يمكنك استخدام أي من هذه الصيغ - سوف تحصل على نفس الرقم، والذي سيكون الجواب. وأخيراً إذا كان د< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. س 2 − 2س − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. × 2 + 12س + 36 = 0.

المعادلة الأولى:
س 2 − 2س − 3 = 0 ⇒ أ = 1; ب = −2؛ ج = −3;
د = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ للمعادلة جذرين. دعونا نجدهم:

المعادلة الثانية:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ أ = −1; ب = −2؛ ج = 15؛
د = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ المعادلة لها جذرين مرة أخرى. دعونا نجدهم

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \النهاية(محاذاة)\]

وأخيراً المعادلة الثالثة:
س 2 + 12س + 36 = 0 ⇒ أ = 1; ب = 12؛ ج = 36؛
د = 12 2 − 4 1 36 = 0.

د = 0 ⇒ المعادلة لها جذر واحد. يمكن استخدام أي صيغة. على سبيل المثال، الأول:

كما ترون من الأمثلة، كل شيء بسيط للغاية. إذا كنت تعرف الصيغ وتستطيع العد، فلن تكون هناك مشاكل. في أغلب الأحيان، تحدث الأخطاء عند استبدال المعاملات السلبية في الصيغة. هنا مرة أخرى، ستساعد التقنية الموضحة أعلاه: انظر إلى الصيغة حرفيًا، واكتب كل خطوة - وسرعان ما تتخلص من الأخطاء.

المعادلات التربيعية غير الكاملة

يحدث أن المعادلة التربيعية تختلف قليلاً عما ورد في التعريف. على سبيل المثال:

1. س 2 + 9س = 0؛
2. س 2 − 16 = 0.

من السهل ملاحظة أن هذه المعادلات تفتقد أحد المصطلحات. إن حل هذه المعادلات التربيعية أسهل من حل المعادلات القياسية: فهي لا تتطلب حتى حساب المميز. لذلك، دعونا نقدم مفهوما جديدا:

تسمى المعادلة ax 2 + bx + c = 0 بمعادلة تربيعية غير مكتملة إذا كان b = 0 أو c = 0، أي. معامل المتغير x أو العنصر الحر يساوي صفر.

بالطبع، هناك حالة صعبة للغاية عندما يكون كلا هذين المعاملين مساويًا للصفر: b = c = 0. في هذه الحالة، تأخذ المعادلة الشكل ax 2 = 0. من الواضح أن هذه المعادلة لها جذر واحد: x = 0.

دعونا ننظر في الحالات المتبقية. لنفترض أن b = 0، ثم نحصل على معادلة تربيعية غير كاملة بالصيغة ax 2 + c = 0. فلنحولها قليلاً:

منذ الحساب الجذر التربيعيموجود فقط من رقم غير سالب، المساواة الأخيرة منطقية فقط بالنسبة لـ (-c /a) ≥ 0. الخلاصة:

1. إذا كانت في معادلة تربيعية غير مكتملة من الصيغة ax 2 + c = 0 تم تحقيق المتراجحة (−c /a) ≥ 0، فسيكون هناك جذرين. الصيغة مذكورة أعلاه.
2. إذا (-ج /أ)< 0, корней нет.

كما ترون، لم يكن المميز مطلوبًا - في المعادلات التربيعية غير المكتملة لا يوجد حسابات معقدة. في الواقع، ليس من الضروري حتى أن نتذكر المتراجحة (−c /a) ≥ 0. يكفي التعبير عن القيمة x 2 ومعرفة ما هو على الجانب الآخر من علامة المساواة. إن كان هناك رقم موجب، عدد إيجابي- سيكون هناك جذرين. إذا كانت سلبية، فلن يكون هناك جذور على الإطلاق.

الآن دعونا نلقي نظرة على المعادلات ذات الصيغة ax 2 + bx = 0، حيث العنصر الحر يساوي الصفر. كل شيء بسيط هنا: سيكون هناك دائمًا جذرين. يكفي تحليل كثير الحدود إلى عوامل:

إزالة المضاعف المشتركخارج القوس

يكون الناتج صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل صفرًا. ومن هنا تأتي الجذور. وفي الختام، دعونا نلقي نظرة على عدد قليل من هذه المعادلات:

مهمة. حل المعادلات التربيعية:

1. س 2 − 7س = 0;
2. 5س 2 + 30 = 0؛
3. 4س 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; س 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. لا توجد جذور، لأنه لا يمكن للمربع أن يساوي رقمًا سالبًا.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; × 2 = −1.5.

على سبيل المثال، بالنسبة إلى ثلاثي الحدود \(3x^2+2x-7\)، فإن المميز سيكون مساويًا لـ \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). وبالنسبة لثلاثية الحدود \(x^2-5x+11\)، فستكون مساوية \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

يُشار إلى المميز بالحرف \(D\) ويستخدم غالبًا في الحل. أيضًا، من خلال قيمة المميز، يمكنك فهم الشكل التقريبي للرسم البياني (انظر أدناه).

المميز وجذور المعادلة

توضح القيمة المميزة عدد المعادلات التربيعية:
- إذا كانت \(D\) موجبة، فإن المعادلة سيكون لها جذرين؛
- إذا كان \(D\) يساوي صفرًا - فهناك جذر واحد فقط؛
- إذا كانت \(D\) سالبة، فلا توجد جذور.

لا يلزم تدريس هذا، فليس من الصعب التوصل إلى مثل هذا الاستنتاج، ببساطة معرفة أنه من المميز (أي \(\sqrt(D)\) يتم تضمينه في صيغة حساب جذور المعادلة : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) و \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\).دعونا نلقي نظرة على كل حالة بمزيد من التفصيل.

إذا كان المميز موجباً

في هذه الحالة، جذره هو رقم موجب، مما يعني أن \(x_(1)\) و \(x_(2)\) سيكون لهما معاني مختلفة، لأنه في الصيغة الأولى \(\sqrt(D)\ ) مضاف، وفي الثانية مطروح. ولدينا جذرين مختلفين.

مثال : أوجد جذور المعادلة \(x^2+2x-3=0\)
حل :

إجابة : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

إذا كان المميز صفراً

ما عدد الجذور إذا كان المميز صفرًا؟ دعونا السبب.

تبدو صيغ الجذر كما يلي: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) و \(x_(2)=\)\(\frac(- ب- \sqrt(D))(2a)\) . وإذا كان المميز يساوي صفرًا، فإن جذره يساوي صفرًا أيضًا. ثم يتبين:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

أي أن قيم جذور المعادلة ستكون هي نفسها، لأن إضافة الصفر أو طرحه لا يغير شيئاً.

مثال : أوجد جذور المعادلة \(x^2-4x+4=0\)
حل :

\(س^2-4x+4=0\)		نكتب المعاملات:
\(أ=1;\) \(ب=-4;\) \(ج=4;\)		نحسب المميز باستخدام الصيغة \(D=b^2-4ac\)
\(د=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		العثور على جذور المعادلة
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		حصلت على اثنين جذور متطابقة، فلا فائدة من كتابتها بشكل منفصل - نكتبها كواحدة.

إجابة : \(س=2\)

المعادلات التربيعية. مميز. الحل، الأمثلة.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

أنواع المعادلات التربيعية

ما هي المعادلة التربيعية؟ كيف تبدو؟ في فترة معادلة من الدرجة الثانيةالكلمة الأساسية هي "مربع".وهذا يعني أنه في المعادلة بالضرورةيجب أن يكون هناك مربع x. بالإضافة إلى ذلك، قد تحتوي المعادلة (أو لا!) على X فقط (للأس الأول) ورقم فقط (عضو مجاني).ويجب ألا يكون هناك علامة X للأس الأكبر من اثنين.

من الناحية الرياضية، المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل:

هنا أ، ب، ج- بعض الأرقام. ب و ج- على الاطلاق، ولكن أ– أي شيء آخر غير الصفر. على سبيل المثال:

هنا أ =1; ب = 3; ج = -4

هنا أ =2; ب = -0,5; ج = 2,2

هنا أ =-3; ب = 6; ج = -18

حسنا، أنت تفهم...

في هذه المعادلات التربيعية على اليسار يوجد طقم كاملأعضاء. X تربيع بمعامل أ، x للقوة الأولى مع المعامل بو عضو حر س.

تسمى هذه المعادلات التربيعية ممتلىء.

و إذا ب= 0، ماذا نحصل؟ لدينا سيتم فقدان X للقوة الأولى.يحدث هذا عند الضرب في الصفر.) ويتبين على سبيل المثال:

5س 2 -25 = 0،

2س 2 -6س=0،

-س 2 +4س=0

وما إلى ذلك وهلم جرا. وإذا كان كلا المعاملات بو جتساوي صفرًا، فالأمر أبسط:

2×2 =0،

-0.3×2 =0

تسمى هذه المعادلات التي يوجد فيها شيء مفقود المعادلات التربيعية غير كاملة.وهو أمر منطقي تمامًا.) يرجى ملاحظة أن x تربيع موجود في جميع المعادلات.

بالمناسبة لماذا ألا يمكن أن يساوي الصفر؟ وأنت بديل بدلا من ذلك أصفر.) سوف يختفي مربع X الخاص بنا! ستصبح المعادلة خطية. والحل مختلف تماما..

هذه هي جميع الأنواع الرئيسية للمعادلات التربيعية. كاملة وغير كاملة.

حل المعادلات التربيعية.

حل المعادلات التربيعية الكاملة.

المعادلات التربيعية سهلة الحل. وفق صيغ وقواعد واضحة وبسيطة. في المرحلة الأولى فمن الضروري معادلة معينةتؤدي طريقة العرض القياسية، أي. إلى النموذج:

إذا كانت المعادلة معطاة لك بالفعل في هذا النموذج، فلن تحتاج إلى القيام بالمرحلة الأولى.) الشيء الرئيسي هو تحديد جميع المعاملات بشكل صحيح، أ, بو ج.

تبدو صيغة إيجاد جذور المعادلة التربيعية كما يلي:

يسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر تمييزي. ولكن المزيد عنه أدناه. كما ترون، للعثور على X، نستخدم فقط أ، ب، ج. أولئك. معاملات من المعادلة التربيعية. فقط استبدل القيم بعناية أ، ب، جنحن نحسب في هذه الصيغة. دعونا نستبدل مع علاماتك الخاصة! على سبيل المثال، في المعادلة:

أ =1; ب = 3; ج= -4. وهنا نكتبها:

تم حل المثال تقريبا:

هذا هو الجواب.

كل شيء بسيط جدا. وماذا تعتقد أنه من المستحيل ارتكاب خطأ؟ حسنًا، نعم، كيف...

الأخطاء الأكثر شيوعًا هي الخلط بين قيم الإشارة أ، ب، ج. أو بالأحرى، ليس مع علاماتهم (أين يمكن الخلط؟)، ولكن مع الاستبدال القيم السلبيةفي صيغة حساب الجذور. ما يساعد هنا هو التسجيل التفصيلي للصيغة أرقام محددة. إذا كانت هناك مشاكل في الحسابات، إفعل ذلك!

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المثال التالي:

هنا أ = -6; ب = -5; ج = -1

لنفترض أنك تعلم أنك نادرًا ما تحصل على إجابات في المرة الأولى.

حسنًا، لا تكن كسولًا. سوف يستغرق الأمر حوالي 30 ثانية لكتابة سطر إضافي وعدد الأخطاء سوف تنخفض بشكل حاد. لذلك نكتب بالتفصيل مع جميع الأقواس والعلامات:

يبدو من الصعب جدًا الكتابة بعناية شديدة. ولكن يبدو الأمر كذلك. جربها. حسنا، أو اختر. ما هو الأفضل، سريع أم صحيح؟ علاوة على ذلك، سأجعلك سعيدًا. بعد فترة من الوقت، لن تكون هناك حاجة لكتابة كل شيء بعناية. وسوف تعمل بشكل صحيح من تلقاء نفسها. خاصة إذا كنت تستخدم التقنيات العملية الموضحة أدناه. هذا المثال الشرير مع مجموعة من السلبيات يمكن حله بسهولة وبدون أخطاء!

لكن، في كثير من الأحيان، تبدو المعادلات التربيعية مختلفة قليلًا. على سبيل المثال، مثل هذا:

هل تعرفت عليه؟) نعم! هذا المعادلات التربيعية غير كاملة.

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة.

ويمكن أيضًا حلها باستخدام صيغة عامة. كل ما عليك فعله هو أن تفهم بشكل صحيح ما يساويهم هنا. أ، ب، ج.

هل عرفت ما هو؟ في المثال الأول أ = 1؛ ب = -4؛أ ج؟ انها ليست هناك على الاطلاق! حسنا نعم، هذا صحيح. في الرياضيات هذا يعني ذلك ج = 0 ! هذا كل شئ. عوّض بالصفر في الصيغة بدلاً من ذلك ج،وسوف ننجح. نفس الشيء مع المثال الثاني لكن ليس لدينا صفر هنا مع، أ ب !

ولكن يمكن حل المعادلات التربيعية غير المكتملة بطريقة أكثر بساطة. بدون أي صيغ. دعونا نفكر في الأول معادلة غير مكتملة. ماذا يمكنك أن تفعل على الجانب الأيسر؟ يمكنك إخراج X من الأقواس! دعونا نخرجه.

وماذا من هذا؟ والحقيقة أن الناتج يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان أحد العوامل يساوي صفرًا! لا تصدقني؟ حسنًا، إذن توصل إلى رقمين غير الصفر، وعند ضربهما يعطيان صفرًا!
لا يعمل؟ هذا كل شيء...
لذلك يمكننا أن نكتب بثقة: × 1 = 0, × 2 = 4.

الجميع. ستكون هذه جذور المعادلة. كلاهما مناسب. عند استبدال أي منها في المعادلة الأصلية، نحصل على الهوية الصحيحة 0 = 0. كما ترون، الحل أبسط بكثير من استخدام الصيغة العامة. اسمحوا لي أن أشير، بالمناسبة، إلى أي X سيكون الأول وأيهما سيكون الثاني - غير مبال تمامًا. أنها مريحة للكتابة بالترتيب ، × 1- ما هو أصغر و × 2- ما هو أعظم.

ويمكن أيضًا حل المعادلة الثانية ببساطة. تحرك 9 إلى الجانب الأيمن. نحن نحصل:

كل ما تبقى هو استخراج الجذر من 9، وهذا كل شيء. سوف يتحول:

وأيضا جذوران . × 1 = -3, × 2 = 3.

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل جميع المعادلات التربيعية غير الكاملة. إما عن طريق وضع X خارج الأقواس، أو ببساطة عن طريق تحريك الرقم إلى اليمين ثم استخراج الجذر.
من الصعب للغاية الخلط بين هذه التقنيات. ببساطة لأنه في الحالة الأولى سيتعين عليك استخراج جذر X، وهو أمر غير مفهوم إلى حد ما، وفي الحالة الثانية لا يوجد شيء يمكن إخراجه من الأقواس...

مميز. صيغة التمييز.

كلمة سحرية تمييزي ! نادرا ما لم يسمع طالب في المدرسة الثانوية هذه الكلمة! إن عبارة "نحل بالمتميز" توحي بالثقة والطمأنينة. لأنه ليست هناك حاجة لتوقع الحيل من المُميز! إنه سهل الاستخدام وخالي من المتاعب.) أذكرك بالأكثر صيغة عامةللحلول أيالمعادلات التربيعية:

ويسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر بالمميز. عادة يتم الإشارة إلى المميز بالحرف د. صيغة التمييز:

د = ب 2 - 4أ

وما هو اللافت للنظر في هذا التعبير؟ ولماذا استحق اسما خاصا؟ ماذا معنى التمييز ؟بعد كل ذلك -ب،أو 2 أفي هذه الصيغة لا يسمونها على وجه التحديد أي شيء ... حروف وحروف.

هنا الحاجة. عند حل معادلة تربيعية باستخدام هذه الصيغة، يكون ذلك ممكنًا ثلاث حالات فقط.

1. المميز إيجابي.وهذا يعني أنه يمكن استخراج الجذر منه. ما إذا كان يتم استخراج الجذر بشكل جيد أم سيئ هو سؤال آخر. المهم هو ما يتم استخراجه من حيث المبدأ. إذن فإن المعادلة التربيعية لها جذرين. اثنين حلول مختلفة.

2. المميز هو صفر.ثم سيكون لديك حل واحد. حيث أن إضافة أو طرح الصفر في البسط لا يغير شيئًا. بالمعنى الدقيق للكلمة، هذا ليس جذر واحد، ولكن اثنان متطابقان. ولكن في نسخة مبسطة، ومن المعتاد الحديث عنه حل واحد.

3. المميز سلبي.لا يمكن أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب. حسنا، حسنا. وهذا يعني أنه لا توجد حلول.

بصراحة متى حل بسيطالمعادلات التربيعية، مفهوم المميز ليس مطلوبًا بشكل خاص. نستبدل قيم المعاملات في الصيغة ونحسبها. كل شيء يحدث هناك من تلقاء نفسه، جذرين، واحد، ولا شيء. ومع ذلك، عند حل المزيد المهام الصعبة، بلا علم معنى وصيغة التمييزليس كافي. خاصة في المعادلات ذات المعلمات. مثل هذه المعادلات الأكروباتلامتحان الدولة وامتحان الدولة الموحدة!)

لذا، كيفية حل المعادلات التربيعيةمن خلال المميز الذي تذكرته. أو تعلمت، وهذا ليس سيئًا أيضًا.) أنت تعرف كيفية التحديد بشكل صحيح أ، ب، ج. هل تعرف كيف؟ بانتباهاستبدلها في صيغة الجذر و بانتباهاحسب النتيجة. هل فهمت ذلك الكلمة الرئيسيةهنا - بانتباه؟

الآن لاحظ التقنيات العملية التي تقلل بشكل كبير من عدد الأخطاء. نفس تلك التي تكون بسبب الغفلة... والتي تصبح فيما بعد مؤلمة ومهينة...

الموعد الأول . لا تتكاسل قبل حل المعادلة التربيعية وإعادتها إلى الصورة القياسية. ماذا يعني هذا؟
لنفترض أنه بعد كل التحويلات تحصل على المعادلة التالية:

لا تتعجل في كتابة صيغة الجذر! من المؤكد أنك سوف تختلط الاحتمالات أ، ب، ج.بناء المثال بشكل صحيح. أولاً، X مربع، ثم بدون مربع، ثم الحد الحر. مثله:

ومرة أخرى، لا تتعجل! إن وضع علامة ناقص أمام علامة X يمكن أن يزعجك حقًا. من السهل أن تنسى... تخلص من الطرح. كيف؟ نعم كما علمنا في الموضوع السابق! نحن بحاجة إلى ضرب المعادلة بأكملها في -1. نحن نحصل:

لكن يمكنك الآن كتابة صيغة الجذور بأمان وحساب المميز والانتهاء من حل المثال. تقرر لنفسك. يجب أن يكون لديك الآن جذور 2 و-1.

الاستقبال ثانيا تحقق من الجذور! وفقا لنظرية فييتا. لا تخف، سأشرح لك كل شيء! تدقيق آخر شيءالمعادلة. أولئك. الذي استخدمناه لكتابة صيغة الجذر. إذا (كما في هذا المثال) المعامل أ = 1التحقق من الجذور أمر سهل. يكفي مضاعفة عددهم. يجب أن تكون النتيجة عضوا حرا، أي. في حالتنا -2. يرجى ملاحظة، ليس 2، ولكن -2! عضو مجاني مع علامة الخاص بك . إذا لم ينجح الأمر، فهذا يعني أنهم أخطأوا بالفعل في مكان ما. ابحث عن الخطأ.

إذا كان يعمل، تحتاج إلى إضافة الجذور. الفحص الأخير والأخير. يجب أن يكون المعامل بمع عكس مألوف. في حالتنا -1+2 = +1. معامل بالتي تقع قبل X، تساوي -1. لذلك، كل شيء صحيح!
من المؤسف أن هذا الأمر بسيط جدًا فقط بالنسبة للأمثلة التي يكون فيها x مربعًا نقيًا، مع معامل أ = 1.لكن على الأقل تحقق من مثل هذه المعادلات! الجميع أخطاء أقلسوف.

الاستقبال ثالثا . إذا كانت المعادلة الخاصة بك لديها احتمالات كسرية- تخلص من الكسور! اضرب المعادلة ب القاسم المشترككما هو موضح في الدرس "كيف تحل المعادلات؟ التحويلات المتطابقة." عند التعامل مع الكسور، تستمر الأخطاء في الزحف لسبب ما...

بالمناسبة، لقد وعدت بتبسيط المثال الشرير بمجموعة من السلبيات. لو سمحت! هنا هو.

لكي لا نخلط بين السلبيات، نضرب المعادلة في -1. نحن نحصل:

هذا كل شئ! الحل هو متعة!

لذلك دعونا نلخص الموضوع.

نصيحة عملية:

1. قبل الحل، نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصورة القياسية ونبنيها يمين.

2. إذا كان هناك معامل سالب أمام مربع X، فإننا نحذفه بضرب المعادلة بأكملها في -1.

3. إذا كانت المعاملات كسرية، فإننا نحذف الكسور عن طريق ضرب المعادلة بأكملها في العامل المقابل.

4. إذا كانت x مربعة نقية، فإن معاملها يساوي واحديمكن التحقق من الحل بسهولة باستخدام نظرية فييتا. افعلها!

الآن يمكننا أن نقرر.)

حل المعادلات:

8س 2 - 6س + 1 = 0

× 2 + 3س + 8 = 0

س 2 - 4س + 4 = 0

(س+1) 2 + س + 1 = (س+1)(س+2)

الإجابات (في حالة من الفوضى):

× 1 = 0
× 2 = 5

× 1.2 =2

× 1 = 2
× 2 = -0.5

س - أي رقم

× 1 = -3
× 2 = 3

لا توجد حلول

× 1 = 0.25
× 2 = 0.5

هل كل شيء مناسب؟ عظيم! المعادلات التربيعية ليست الشيء الخاص بك صداع. الثلاثة الأولى عملت والباقي لم يعمل؟ إذن المشكلة ليست في المعادلات التربيعية. المشكلة هي في تحويلات متطابقة من المعادلات. ألقِ نظرة على الرابط، فهو مفيد.

لا يعمل تماما؟ أم أنها لا تعمل على الإطلاق؟ إذًا سوف يساعدك القسم 555. كل هذه الأمثلة مقسمة هناك. معروض رئيسيأخطاء في الحل. وبطبيعة الحال، فإنه يتحدث أيضا عن الاستخدام تحولات الهويةفي حل المعادلات المختلفة . يساعد كثيرا!

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

آمل، بعد أن درست هذا المقالسوف تتعلم كيفية العثور على جذور معادلة تربيعية كاملة.

باستخدام التمييز يتم حل المعادلات التربيعية الكاملة فقط، ولحل المعادلات التربيعية غير الكاملة يتم استخدام طرق أخرى، ستجدها في مقال “حل المعادلات التربيعية غير الكاملة”.

ما المعادلات التربيعية تسمى كاملة؟ هذا معادلات من الشكل الفأس 2 + ب س + ج = 0حيث المعاملات a وb وc لا تساوي الصفر. إذن، لحل معادلة تربيعية كاملة، علينا حساب المميز D.

د = ب 2 – 4أ.

اعتمادًا على قيمة المميز، سنكتب الإجابة.

إذا كان التمييز رقم سلبي(د< 0),то корней нет.

إذا كان المميز صفرًا، فإن x = (-b)/2a. عندما يكون المميز رقمًا موجبًا (D > 0)،

ثم x 1 = (-b - √D)/2a، وx 2 = (-b + √D)/2a.

على سبيل المثال. حل المعادلة × 2– 4س + 4= 0.

د = 4 2 - 4 4 = 0

س = (- (-4))/2 = 2

الجواب: 2.

حل المعادلة 2 × 2 + س + 3 = 0.

د = 1 2 - 4 2 3 = - 23

الجواب: لا جذور.

حل المعادلة 2 × 2 + 5س – 7 = 0.

د = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

× 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

× 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

الجواب: – 3.5؛ 1.

لذلك دعونا نتخيل حل المعادلات التربيعية الكاملة باستخدام الرسم البياني في الشكل 1.

باستخدام هذه الصيغ يمكنك حل أي معادلة تربيعية كاملة. عليك فقط أن تكون حذرا ل تمت كتابة المعادلة على أنها كثيرة الحدود بالشكل القياسي

أ × 2 + بكس + ج،وإلا فقد ترتكب خطأ. على سبيل المثال، عند كتابة المعادلة x + 3 + 2x 2 = 0، يمكنك أن تقرر بالخطأ أن

أ = 1، ب = 3، ج = 2. ثم

د = 3 2 – 4 1 2 = 1 ثم للمعادلة جذرين. وهذا ليس صحيحا. (انظر حل المثال 2 أعلاه).

لذلك، إذا لم تتم كتابة المعادلة على هيئة كثيرة حدود بالشكل القياسي، فيجب أولاً كتابة المعادلة التربيعية الكاملة على هيئة كثيرة حدود بالشكل القياسي (يجب أن تأتي أحادية الحد ذات الأس الأكبر أولاً، أي أ × 2 ، ثم مع أقل – bxومن ثم عضو حر مع.

عند حل المعادلة التربيعية المختزلة والمعادلة التربيعية ذات المعامل الزوجي في الحد الثاني، يمكنك استخدام صيغ أخرى. دعونا نتعرف على هذه الصيغ. إذا كان الحد الثاني في معادلة تربيعية كاملة له معامل زوجي (b = 2k)، فيمكنك حل المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 2.

تسمى المعادلة التربيعية الكاملة مخفضة إذا كان المعامل عند × 2 يساوي واحدًا والمعادلة تأخذ الشكل س 2 + بيكسل + ف = 0. يمكن إعطاء مثل هذه المعادلة للحل، أو يمكن الحصول عليها بقسمة جميع معاملات المعادلة على المعامل أ، واقفاً عند × 2 .

يوضح الشكل 3 رسمًا تخطيطيًا لحل المربع المصغر
المعادلات. دعونا نلقي نظرة على مثال لتطبيق الصيغ التي تمت مناقشتها في هذه المقالة.

مثال. حل المعادلة

3× 2 + 6س – 6 = 0.

دعونا نحل هذه المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 1.

د = 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√د = √108 = √(36 3) = 6√3

× 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

× 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

الإجابة: –1 – √3؛ -1 + √3

يمكنك ملاحظة أن معامل x في هذه المعادلة رقم زوجي، أي b = 6 أو b = 2k، ومن ثم k = 3. فلنحاول بعد ذلك حل المعادلة باستخدام الصيغ الواردة في الرسم التخطيطي للشكل D 1 = 3 2 – 3 · (- 6) = 9 + 18 = 27

√(د 1) = √27 = √(3 9) = 3√3

× 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

س 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

الإجابة: –1 – √3؛ -1 + √3. مع ملاحظة أن جميع المعاملات في هذه المعادلة التربيعية قابلة للقسمة على 3 وبإجراء عملية القسمة نحصل على المعادلة التربيعية المختزلة x 2 + 2x – 2 = 0 حل هذه المعادلة باستخدام صيغ المعادلة التربيعية المختزلة
المعادلات الشكل 3.

د 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√(د ٢) = √١٢ = √(٣ ٤) = 2√3

س 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

× 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

الإجابة: –1 – √3؛ -1 + √3.

كما نرى، عند حل هذه المعادلة بواسطة صيغ مختلفةلقد تلقينا نفس الجواب. لذلك، بعد أن أتقنت تمامًا الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 1، ستتمكن دائمًا من حل أي معادلة تربيعية كاملة.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

غالبًا ما تظهر المعادلات التربيعية أثناء الحل المهام المختلفةالفيزياء والرياضيات. في هذه المقالة سوف ننظر في كيفية حل هذه المساواة بطريقة عالمية"من خلال التمييز". وترد أيضًا أمثلة على استخدام المعرفة المكتسبة في المقالة.

ما هي المعادلات التي سنتحدث عنها؟

يوضح الشكل أدناه صيغة تكون فيها x متغيرًا غير معروف و الأحرف اللاتينية a، b، c تمثل بعض الأرقام المعروفة.

ويسمى كل من هذه الرموز بمعامل. كما ترون، يظهر الرقم "a" قبل المتغير x تربيع. هذا أقصى درجةتعبير معين، لذلك يطلق عليه معادلة تربيعية. ويستخدم اسمها الآخر غالبًا: معادلة من الدرجة الثانية. قيمة نفسها هي معامل مربع(يقف عند المتغير تربيع)، ب هو معامل خطي(يقع بجوار المتغير المرفوع للقوة الأولى)، وأخيرًا، الرقم c هو الحد الحر.

لاحظ أن شكل المعادلة الموضح في الشكل أعلاه هو الشكل الكلاسيكي العام التعبير التربيعي. بالإضافة إلى ذلك، هناك معادلات أخرى من الدرجة الثانية يمكن أن يكون فيها المعاملان b وc صفرًا.

عندما يتم تعيين مهمة حل المساواة المعنية، فهذا يعني أنه يجب العثور على قيم المتغير x التي ترضيها. أول شيء عليك أن تتذكره هنا هو الشيء التالي: بما أن الحد الأقصى لقوة X هو 2، إذن هذا النوعلا يمكن أن تحتوي التعبيرات على أكثر من حلين. هذا يعني أنه عند حل المعادلة، تم العثور على قيمتين لـ x ترضيها، فيمكنك التأكد من عدم وجود رقم ثالث، واستبداله بـ x، وستكون المساواة صحيحة أيضًا. تسمى حلول المعادلة في الرياضيات جذورها.

طرق حل المعادلات من الدرجة الثانية

وحل المعادلات من هذا النوع يتطلب معرفة بعض النظريات عنها. في دورة المدرسةالجبر النظر 4 أساليب مختلفةحلول. دعونا قائمة لهم:

• باستخدام التخصيم.
• باستخدام صيغة المربع الكامل؛
• من خلال تطبيق الرسم البياني للدالة التربيعية المقابلة؛
• باستخدام المعادلة التمييزية.

ميزة الطريقة الأولى هي بساطتها، ومع ذلك، لا يمكن استخدامها لجميع المعادلات. الطريقة الثانية عالمية ولكنها مرهقة إلى حد ما. تتميز الطريقة الثالثة بالوضوح، لكنها ليست دائما مريحة وقابلة للتطبيق. وأخيرًا، يعد استخدام المعادلة المميزة طريقة عامة وبسيطة إلى حد ما للعثور على جذور أي معادلة من الدرجة الثانية. لذلك، في هذه المقالة سننظر فيه فقط.

صيغة للحصول على جذور المعادلة

دعونا ننتقل إلى المظهر العاممعادلة من الدرجة الثانية. لنكتبها: a*x²+ b*x + c =0. قبل استخدام طريقة حلها "من خلال التمييز"، يجب عليك دائمًا إحضار المساواة إلى شكلها المكتوب. أي أنه يجب أن يتكون من ثلاثة حدود (أو أقل إذا كانت b أو c تساوي 0).

على سبيل المثال، إذا كان هناك تعبير: x²-9*x+8 = -5*x+7*x²، فيجب عليك أولاً نقل جميع حدوده إلى جانب واحد من المساواة وإضافة الحدود التي تحتوي على المتغير x في نفس القوى.

في في هذه الحالةستؤدي هذه العملية إلى التعبير التالي: -6*x²-4*x+8=0، وهو ما يعادل المعادلة 6*x²+4*x-8=0 (هنا قمنا بضرب الجانبين الأيسر والأيمن من المساواة بنسبة -1).

في المثال أعلاه، أ = 6، ب = 4، ج = -8. لاحظ أن جميع حدود المساواة قيد النظر يتم جمعها معًا دائمًا، فإذا ظهرت علامة "-"، فهذا يعني أن المعامل المقابل سلبي، مثل الرقم c في هذه الحالة.

بعد أن تناولنا هذه النقطة، دعونا ننتقل الآن إلى الصيغة نفسها، التي تتيح لنا الحصول على جذور المعادلة التربيعية. يبدو مثل الذي يظهر في الصورة أدناه.

كما يتبين من هذا التعبير، فإنه يسمح لك بالحصول على جذرين (انتبه إلى علامة "±"). للقيام بذلك، يكفي استبدال المعاملات ب، ج، وأ.

مفهوم التمييز

في الفقرة السابقةتم تقديم صيغة تسمح لك بحل أي معادلة من الدرجة الثانية بسرعة. في ذلك، يسمى التعبير الجذري بالمميز، أي D = b²-4*a*c.

لماذا تم تسليط الضوء على هذا الجزء من الصيغة، وقد تم بالفعل ذلك الاسم الصحيح؟ الحقيقة هي أن المميز يربط المعاملات الثلاثة للمعادلة في تعبير واحد. الحقيقة الأخيرةيعني أنها تحمل معلومات كاملة عن الجذور، وهو ما يمكن التعبير عنه في القائمة التالية:

1. D>0: المساواة لها حلان مختلفان، وكلاهما أعداد حقيقية.
2. D=0: المعادلة لها جذر واحد فقط، وهو عدد حقيقي.

مهمة تحديد التمييز

دعونا نعطي مثالا بسيطا لكيفية العثور على المميز. لنحصل على المساواة التالية: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

لنحولها إلى الصورة القياسية، نحصل على: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0، ومنها نصل إلى المساواة : -2*x² +2*x-11 = 0. هنا a=-2، b=2، c=-11.

يمكنك الآن استخدام الصيغة المذكورة أعلاه للمميز: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. الرقم الناتج هو الجواب على المهمة. وبما أن المميز في المثال أقل من الصفر، فيمكننا القول أن هذه المعادلة التربيعية لا تحتوي على شيء جذور حقيقية. سيكون حلها مجرد أرقام من النوع المعقد.

مثال على عدم المساواة من خلال التمييز

دعونا نحل مشاكل من نوع مختلف قليلاً: مع مراعاة المساواة -3*x²-6*x+c = 0. من الضروري العثور على قيم c التي لها D>0.

في هذه الحالة، لا يُعرف سوى 2 من أصل 3 معاملات، لذلك لا يمكن حساب قيمة المميز بدقة، ولكن من المعروف أنه موجب. نستخدم الحقيقة الأخيرة عند تكوين المتراجحة: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. يؤدي حل المتراجحة الناتجة إلى النتيجة: c>-3.

دعونا نتحقق من الرقم الناتج. للقيام بذلك، نحسب D لحالتين: c=-2 وc=-4. الرقم -2 يفي بالنتيجة التي تم الحصول عليها (-2>-3)، وسيكون للمميز المقابل القيمة: D = 12>0. وفي المقابل، فإن الرقم -4 لا يحقق المتراجحة (-4. وبالتالي، فإن أي أرقام c أكبر من -3 ستحقق الشرط.

مثال على حل المعادلة

دعونا نقدم مشكلة لا تتضمن إيجاد المميز فحسب، بل تتضمن أيضًا حل المعادلة. من الضروري إيجاد جذور المساواة -2*x²+7-9*x = 0.

في هذا المثال، المميز يساوي القيمة التالية: D = 81-4*(-2)*7= 137. ثم يتم تحديد جذور المعادلة على النحو التالي: x = (9±√137)/(- 4). هذا القيم الدقيقةالجذور، إذا قمت بحساب الجذر تقريبًا، فستحصل على الأرقام: x = -5.176 و x = 0.676.

مشكلة هندسية

سنحل مشكلة لا تتطلب القدرة على حساب المميز فحسب، بل تتطلب أيضًا تطبيق المهارات التفكير المجردومعرفة كيفية كتابة المعادلات التربيعية.

كان لدى بوب لحاف مقاس 5 × 4 أمتار. أراد الصبي خياطته حول المحيط بأكمله قطاع مستمرمن القماش الجميل . ما مدى سُمك هذا الشريط إذا علمنا أن لدى بوب 10 متر مربع من القماش.

لنفترض أن سمك الشريط x m، فإن مساحة القماش على طول الجانب الطويل من البطانية ستكون (5+2*x)*x، وبما أن هناك وجهين طويلين، لدينا: 2*x *(5+2*س). على الجانب القصير تكون مساحة القماش المخيط 4*x، وبما أن هناك وجهين من هذه الجوانب، نحصل على القيمة 8*x. لاحظ أنه تم إضافة القيمة 2*x إلى الجانب الطويل لأن طول البطانية زاد بهذا الرقم. المساحة الإجمالية للقماش المخيط للبطانية 10 متر مربع. وبالتالي نحصل على المساواة: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

في هذا المثال، المميز يساوي: D = 18²-4*4*(-10) = 484. جذره هو 22. باستخدام الصيغة، نجد الجذور المطلوبة: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5؛ 0.5). ومن الواضح أن الرقم 0.5 فقط من الجذرين هو المناسب وفقًا لظروف المشكلة.

وبالتالي، فإن شريط القماش الذي يخيطه بوب لبطانيته سيكون عرضه 50 سم.