المؤسسة التعليمية "الدولة البيلاروسية
الأكاديمية الزراعية"
قسم الرياضيات العليا
القواعد الارشادية
دراسة موضوع “المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية” لطلبة كلية المحاسبة التربية بالمراسلة (NISPO)
غوركي، 2013
المعادلات التفاضلية الخطية
الترتيب الثاني مع الثوابتمعاملات
المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة
معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة تسمى معادلة النموذج
أولئك. معادلة تحتوي على الدالة المطلوبة ومشتقاتها فقط من الدرجة الأولى ولا تحتوي على منتجاتها. في هذه المعادلة 
و 
- بعض الأرقام، والدالة 
تعطى في فترة معينة 
.
لو 
على الفاصل الزمني 
، فإن المعادلة (1) سوف تأخذ الشكل
,
(2)
ويسمى متجانسة خطية . وإلا تسمى المعادلة (1). خطية غير متجانسة .
النظر في الوظيفة المعقدة
,
(3)
أين 
و 
- وظائف حقيقية. إذا كانت الدالة (3) حلًا معقدًا للمعادلة (2)، فإن الجزء الحقيقي 
، والجزء الخيالي 
حلول 
بشكل منفصل حلول لنفس المعادلة المتجانسة. وبالتالي، فإن أي حل معقد للمعادلة (2) يولد حلين حقيقيين لهذه المعادلة.
حلول المعادلة الخطية المتجانسة لها الخصائص التالية:
لو 
هو حل المعادلة (2) ثم الدالة 
، أين مع- الثابت الاعتباطي سيكون أيضًا حلاً للمعادلة (2)؛
لو 
و 
هناك حلول للمعادلة (2) ثم الدالة 
سيكون أيضًا حلاً للمعادلة (2)؛
لو 
و 
هناك حلول للمعادلة (2)، ثم مجموعتها الخطية 
سيكون أيضًا حل المعادلة (2) حيث 
و 
- الثوابت التعسفية.
المهام 
و 
وتسمى تعتمد خطيا
على الفاصل الزمني 
، إذا كانت هذه الأرقام موجودة 
و 
، لا يساوي الصفر في نفس الوقت، وذلك في هذه الفترة المساواة
إذا كانت المساواة (4) تحدث فقط عندما 
و 
ثم الوظائف 
و 
وتسمى مستقل خطيا
على الفاصل الزمني 
.
مثال 1
. المهام 
و 
تعتمد خطيا، منذ ذلك الحين 
على خط الأعداد بأكمله في هذا المثال 
.
مثال 2
. المهام 
و 
مستقلة خطيا على أي فترة، منذ المساواة 
ممكن فقط في حالة متى 
، و 
.
بناء الحل العام للمتجانس الخطي
المعادلات
لإيجاد حل عام للمعادلة (2)، عليك إيجاد حلين مستقلين خطيًا لها 
و 
. مزيج خطي من هذه الحلول 
، أين 
و 
هي ثوابت اعتباطية، وسوف تعطي حلا عاما لمعادلة متجانسة خطية.
سنبحث عن حلول مستقلة خطيًا للمعادلة (2) في الصورة
,
(5)
أين 
– عدد معين . ثم 
,
. لنعوض بهذه التعبيرات في المعادلة (2):
أو 
.
لأن 
، الذي - التي 
. وبالتالي فإن الوظيفة 
سيكون حل المعادلة (2) إذا 
سوف ترضي المعادلة
.
(6)
تسمى المعادلة (6). معادلة مميزة للمعادلة (2). هذه المعادلة هي معادلة تربيعية جبرية.
يترك 
و 
هناك جذور لهذه المعادلة. يمكن أن تكون حقيقية ومختلفة، أو معقدة، أو حقيقية ومتساوية. دعونا ننظر في هذه الحالات.
دع الجذور 
و 
المعادلات المميزة حقيقية ومتميزة. إذن حلول المعادلة (2) ستكون الدوال 
و 
. هذه الحلول مستقلة خطيا، لأن المساواة 
لا يمكن تنفيذها إلا عندما 
، و 
. ولذلك، فإن الحل العام للمعادلة (2) له الشكل
,
أين 
و 
- الثوابت التعسفية.
مثال 3
.
حل
. المعادلة المميزة لهذا التفاضل ستكون 
. وبعد حل هذه المعادلة التربيعية، نجد جذورها 
و 
. المهام 
و 
هي حلول للمعادلة التفاضلية. الحل العام لهذه المعادلة هو 
.
عدد مركب 
يسمى تعبيرا عن النموذج 
، أين 
و 
هي أعداد حقيقية، و 
تسمى الوحدة التخيلية لو 
، ثم الرقم 
ويسمى وهمية بحتة. لو 
، ثم الرقم 
يتم تحديده مع عدد حقيقي 
.
رقم 
يسمى الجزء الحقيقي من العدد المركب 
- الجزء الخيالي. إذا كان هناك عددان مركبان يختلفان عن بعضهما البعض فقط بإشارة الجزء التخيلي، فإنهما يسمىان مترافقين: 
,
.
مثال 4
. حل المعادلة التربيعية 
.
حل
. المعادلة التمييزية 
. ثم. على نفس المنوال، 
. ومن ثم، فإن هذه المعادلة التربيعية لها جذور مركبة مترافقة.
لتكن جذور المعادلة المميزة معقدة، أي. 
,
، أين 
. يمكن كتابة حلول المعادلة (2) في النموذج 
,
أو 
,
. وفقا لصيغ أويلر
,
.
ثم ،. وكما هو معروف، إذا كانت الدالة المركبة هي حل لمعادلة خطية متجانسة، فإن حلول هذه المعادلة هي الجزأين الحقيقي والتخيلي لهذه الدالة. وبالتالي، فإن حلول المعادلة (2) ستكون الدوال 
و 
. منذ المساواة
لا يمكن تنفيذها إلا إذا 
و 
، فإن هذه الحلول مستقلة خطيًا. ولذلك، فإن الحل العام للمعادلة (2) له الشكل
أين 
و 
- الثوابت التعسفية.
مثال 5
. أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية 
.
حل
. المعادلة 
هو سمة من التفاضلية معينة. دعونا نحلها ونحصل على جذور معقدة 
,
. المهام 
و 
هي حلول مستقلة خطيا للمعادلة التفاضلية. الحل العام لهذه المعادلة هو :
لتكن جذور المعادلة المميزة حقيقية ومتساوية، أي. 
. ثم حلول المعادلة (2) هي الوظائف 
و 
. هذه الحلول مستقلة خطيًا، حيث أن التعبير يمكن أن يساوي الصفر بشكل مماثل فقط عندما 
و 
. ولذلك، فإن الحل العام للمعادلة (2) له الشكل 
.
مثال 6
. أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية 
.
حل
. معادلة مميزة 
له جذور متساوية 
. في هذه الحالة، الحلول المستقلة خطيًا للمعادلة التفاضلية هي الدوال 
و 
. الحل العام له الشكل 
.
المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة
والجانب الأيمن الخاص
الحل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة (1) يساوي مجموع الحل العام 
المعادلة المتجانسة المقابلة وأي حل معين 
معادلة غير متجانسة: 
.
في بعض الحالات، يمكن إيجاد حل معين لمعادلة غير متجانسة بكل بساطة من خلال شكل الطرف الأيمن 
المعادلة (1). دعونا نلقي نظرة على الحالات التي يكون فيها ذلك ممكنًا.
أولئك. الجانب الأيمن من المعادلة غير المتجانسة هو متعدد الحدود من الدرجة م. لو 
ليس جذرًا للمعادلة المميزة، فيجب البحث عن حل معين للمعادلة غير المتجانسة في صورة كثيرة الحدود من الدرجة م، أي.
احتمال 
يتم تحديدها في عملية إيجاد حل معين.
لو 
هو جذر المعادلة المميزة، فيجب البحث عن حل معين للمعادلة غير المتجانسة في الصورة
مثال 7
. أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية 
.
حل
. المعادلة المتجانسة المقابلة لهذه المعادلة هي 
. معادلة مميزة لها 
له جذور 
و 
. الحل العام للمعادلة المتجانسة له الشكل 
.
لأن 
ليس جذرًا للمعادلة المميزة، فسنبحث عن حل معين للمعادلة غير المتجانسة على شكل دالة 
. دعونا نجد مشتقات هذه الوظيفة 
,
ونعوض بهما في هذه المعادلة:
أو . دعونا نساوي المعاملات ل 
والأعضاء الأحرار: 
بعد حل هذا النظام، نحصل على 
,
. ثم يكون حل معين للمعادلة غير المتجانسة بالشكل 
، والحل العام لمعادلة غير متجانسة معينة سيكون مجموع الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة والحل الخاص للمعادلة غير المتجانسة: 
.
دع المعادلة غير المتجانسة لها الشكل
لو 
ليس جذرًا للمعادلة المميزة، فيجب البحث عن حل معين للمعادلة غير المتجانسة في الصورة. لو 
هو جذر معادلة التعددية المميزة ك
(ك=1 أو ك=2)، ففي هذه الحالة سيكون حل معين للمعادلة غير المتجانسة على الشكل .
مثال 8
. أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية 
.
حل
. المعادلة المميزة للمعادلة المتجانسة المقابلة لها الشكل 
. جذورها 
,
. في هذه الحالة، يتم كتابة الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة في النموذج 
.
بما أن الرقم 3 ليس جذرًا للمعادلة المميزة، فيجب البحث عن حل معين للمعادلة غير المتجانسة في الصورة 
. لنجد مشتقات الأمرين الأول والثاني:
لنعوض في المعادلة التفاضلية: 
+
+,
+,.
دعونا نساوي المعاملات ل 
والأعضاء الأحرار:
من هنا 
,
. إذن، الحل المحدد لهذه المعادلة له الصورة 
، والحل العام
.
طريقة لاغرانج لتغير الثوابت التعسفية
يمكن تطبيق طريقة تغيير الثوابت التعسفية على أي معادلة خطية غير متجانسة ذات معاملات ثابتة، بغض النظر عن نوع الجانب الأيمن. تسمح لك هذه الطريقة دائمًا بإيجاد حل عام لمعادلة غير متجانسة إذا كان الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة معروفًا.
يترك 
و 
هي حلول مستقلة خطيا للمعادلة (2). ثم الحل العام لهذه المعادلة هو 
، أين 
و 
- الثوابت التعسفية. جوهر طريقة تغيير الثوابت التعسفية هو أن الحل العام للمعادلة (1) مطلوب في النموذج
أين 
و 
- وظائف جديدة غير معروفة يجب العثور عليها. نظرًا لوجود دالتين مجهولتين، للعثور عليهما، هناك حاجة إلى معادلتين تحتويان على هاتين الدالتين. هاتان المعادلتان تشكلان النظام
وهو نظام جبري خطي من المعادلات فيما يتعلق 
و 
. وحل هذا النظام نجد 
و 
. نجد تكامل طرفي المساواة التي تم الحصول عليها
و 
.
باستبدال هذه التعبيرات في (9)، نحصل على حل عام للمعادلة الخطية غير المتجانسة (1).
مثال 9
. أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية 
.
حل.
المعادلة المميزة للمعادلة المتجانسة المقابلة لمعادلة تفاضلية معينة هي 
. جذورها معقدة 
,
. لأن 
و 
، الذي - التي 
,
والحل العام للمعادلة المتجانسة له الشكل. ثم سنبحث عن حل عام لهذه المعادلة غير المتجانسة في الصورة حيث 
و 
- وظائف غير معروفة.
نظام المعادلات لإيجاد هذه الوظائف غير المعروفة له الشكل
وبعد حل هذا النظام نجد 
,
. ثم
,
. دعونا نعوض بالتعبيرات الناتجة في صيغة الحل العام:
هذا هو الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية، والذي تم الحصول عليه باستخدام طريقة لاغرانج.
أسئلة للسيطرة على المعرفة الذاتية
ما هي المعادلة التفاضلية التي تسمى معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة؟
ما هي المعادلة التفاضلية الخطية التي تسمى متجانسة وأيها تسمى غير متجانسة؟
ما هي خصائص المعادلة الخطية المتجانسة؟
ما هي المعادلة التي تسمى مميزة للمعادلة التفاضلية الخطية وكيف يتم الحصول عليها؟
بأي شكل يكون الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة المكتوبة في حالة الجذور المختلفة للمعادلة المميزة؟
بأي شكل يكون الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة المكتوبة في حالة الجذور المتساوية للمعادلة المميزة؟
بأي شكل يكون الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة المكتوبة في حالة الجذور المعقدة للمعادلة المميزة؟
كيف تتم كتابة الحل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة؟
بأي شكل يتم البحث عن حل معين لمعادلة خطية غير متجانسة إذا كانت جذور المعادلة المميزة مختلفة ولا تساوي الصفر، وكان الجانب الأيمن من المعادلة متعدد الحدود من الدرجة م?
بأي شكل يتم البحث عن حل معين لمعادلة خطية غير متجانسة إذا كان هناك صفر واحد بين جذور المعادلة المميزة وكان الجانب الأيمن من المعادلة متعدد الحدود من الدرجة م?
ما هو جوهر طريقة لاغرانج؟
لقد رأينا أنه في حالة معرفة الحل العام لمعادلة متجانسة خطية، فمن الممكن إيجاد الحل العام لمعادلة غير متجانسة باستخدام طريقة تغيير الثوابت التعسفية. ومع ذلك، ظلت مسألة كيفية إيجاد حل عام لمعادلة متجانسة مفتوحة. وفي حالة خاصة عندما تكون في المعادلة التفاضلية الخطية (3) جميع المعاملات باي(X)= ط - الثوابت، يمكن حلها بكل بساطة، حتى بدون التكامل.
فكر في معادلة تفاضلية خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة، أي معادلات النموذج
ذ (ن) + أ 1 ذ (ن – 1) +...أ ن – 1 ذ " + أ ن ذ = 0, (14)
أين و انا- الثوابت (أنا= 1, 2, ...,ن).
كما هو معروف، بالنسبة للمعادلة الخطية المتجانسة من الدرجة الأولى، يكون الحل دالة في النموذج ه kx.سنبحث عن حل المعادلة (14) في الصورة ي (X) = ه kx.
دعونا نعوض الدالة في المعادلة (14) ي (X) ومشتقاته الترتيبية م (1 £ م£ ن)ي (م) (X) = ك م ه ككس. نحن نحصل
(ك ن + أ 1 ك ن – 1 +...ن – 1 ك + ن)ه ك س = 0,
لكن ه ك س ¹ 0 لأي X, لهذا
ك ن + أ 1 ك ن – 1 +...أ ن – 1 ك + أ ن = 0. (15)
تسمى المعادلة (15). معادلة مميزة, كثير الحدود على الجانب الأيسر- كثير الحدود مميزة ، جذورها- جذور مميزة المعادلة التفاضلية (14).
خاتمة:
وظيفةي (X) = ه kx - حل المعادلة الخطية المتجانسة (14) إذا وفقط إذا كان العدد ك - جذر المعادلة المميزة (15).
وبذلك تتحول عملية حل المعادلة الخطية المتجانسة (14) إلى حل المعادلة الجبرية (15).
حالات مختلفة من الجذور المميزة ممكنة.
1.جميع جذور المعادلة المميزة حقيقية ومتميزة.
في هذه الحالة نجذور مميزة مختلفة ك 1 ,ك 2 ,...، ك نيتوافق نحلول مختلفة للمعادلة المتجانسة (14)
يمكن إثبات أن هذه الحلول مستقلة خطيًا وبالتالي تشكل نظامًا أساسيًا للحلول. وبالتالي، فإن الحل العام للمعادلة هو الدالة
أين مع 1 , ج 2 ، ...، ج ن - الثوابت التعسفية.
مثال 7. أوجد الحل العام للمعادلة المتجانسة الخطية:
أ) في¢ ¢ (X) - 6في¢ (X) + 8في(X) = 0، ب) في¢ ¢ ¢ (X) + 2في¢ ¢ (X) - 3في¢ (X) = 0.
حل. لنقم بإنشاء معادلة مميزة. للقيام بذلك، نستبدل مشتقة الترتيب مالمهام ذ(س) بالدرجة المناسبة
ك(في (م) (س) « كم),
بينما الوظيفة نفسها في(X) حيث يتم استبدال مشتق الترتيب الصفري بـ ك 0 = 1.
في الحالة (أ) تكون المعادلة المميزة بالشكل ك 2 - 6ك + 8 = 0. جذور هذه المعادلة التربيعية ك 1 = 2,ك 2 = 4. وبما أنها حقيقية ومختلفة، فإن الحل العام له الشكل ي (X)= ج 1 ه 2X + ج2 ه 4x.
في الحالة (ب)، المعادلة المميزة هي معادلة الدرجة الثالثة ك 3 + 2ك 2 - 3ك = 0. دعونا نجد جذور هذه المعادلة:
ك(ك 2 + 2 ك - 3)= 0 Þ ك = 0i ك 2 + 2 ك - 3 = 0 Þ ك = 0, (ك - 1)(ك + 3) = 0,
ت . ه . ك 1 = 0, ك 2 = 1, ك 3 = - 3.
تتوافق هذه الجذور المميزة مع النظام الأساسي لحلول المعادلة التفاضلية:
ي 1 (X)= ه 0X = 1, ي 2 (X) = ه س, ي 3 (X)= ه - 3X .
الحل العام حسب الصيغة (9) هو الدالة
ي (X)= ج 1 + ج 2 ه س + ج 3 ه - 3X .
ثانيا . جميع جذور المعادلة المميزة مختلفة، ولكن بعضها معقد.
جميع معاملات المعادلة التفاضلية (14)، وبالتالي معادلتها المميزة (15)- الأعداد الحقيقية، مما يعني أنه إذا كان c بين الجذور المميزة هناك جذر معقد ك 1 = أ + إب،أي جذره المترافق ك 2 = ` ك 1 = أ- ب.إلى الجذر الأول ك 1 يتوافق مع حل المعادلة التفاضلية (14)
ي 1 (X)= ه (أ+ب)X = ه أ س ه ibx = ه الفأس(كوسبكس + إيسينبكس)
(استخدمنا صيغة أويلر e i x = cosx + isinx). وكذلك الجذر ك 2 = أ- بيتوافق مع الحل
ي 2 (X)= ه (أ - -يب)X = ه أ س ه - إب س= ه الفأس(com.cosbx - com.isinbx).
هذه الحلول معقدة. وللحصول على حلول حقيقية منها، نستخدم خصائص الحلول لمعادلة خطية متجانسة (انظر 13.2). المهام
هي الحلول الحقيقية للمعادلة (14). وعلاوة على ذلك، فإن هذه الحلول مستقلة خطيا. وهكذا يمكننا استخلاص الاستنتاج التالي.
المادة 1.زوج من الجذور المعقدة المترافقة أ± ib للمعادلة المميزة في FSR للمعادلة المتجانسة الخطية (14) يتوافق مع حلين جزئيين حقيقيينو .
مثال 8. أوجد الحل العام للمعادلة:
أ) في¢ ¢ (X) - 2في ¢ (X) + 5في(X) = 0 ؛ب) في¢ ¢ ¢ (X) - في¢ ¢ (X) + 4في ¢ (X) - 4في(X) = 0.
حل. وفي حالة المعادلة (أ)، جذور المعادلة المميزة ك 2 - 2ك + 5 = 0 هما رقمان مركبان مترافقان
ك 1, 2 = .
وبالتالي، وفقًا للقاعدة 1، فإنهما يتوافقان مع حلين حقيقيين مستقلين خطيًا: و والحل العام للمعادلة هو الدالة
ي (X)= ج 1 ه س كوس 2س + ج 2 ه × الخطيئة 2س.
في الحالة (ب)، لإيجاد جذور المعادلة المميزة ك 3 - ك 2 + 4ك- 4 = 0، نقوم بتحليل جانبها الأيسر:
ك 2 (ك - 1) + 4(ك - 1) = 0 Þ (ك - 1)(ك 2 + 4) = 0 Þ (ك - 1) = 0, (ك 2 + 4) = 0.
لذلك، لدينا ثلاثة جذور مميزة: ك 1 = 1,ك 2 , 3 = ± 2أنا.كورنو ك 1 يتوافق مع الحل وزوج من الجذور المعقدة المترافقة ك 2, 3 = ± 2أنا = 0 ± 2أنا- حلان صالحان: و . نشكل حلاً عامًا للمعادلة:
ي (X)= ج 1 ه س + ج 2 كوس 2س + ج 3 خطيئة 2س.
ثالثا . من بين جذور المعادلة المميزة هناك مضاعفات.
يترك ك 1 - الجذر الحقيقي للتعدد مالمعادلة المميزة (15) أي يوجد بين الجذور مجذور متساوية. وكل واحد منهم يتوافق مع نفس الحل للمعادلة التفاضلية (14) إلا أنها تشمل ملا توجد حلول متساوية في FSR، لأنها تشكل نظامًا تابعًا خطيًا للوظائف.
ويمكن أن يظهر ذلك في حالة وجود جذر متعدد ك 1حلول المعادلة (14)، بالإضافة إلى الدالة، هي الدوال
الوظائف مستقلة خطيًا عن المحور العددي بأكمله، حيث يمكن تضمينها في FSR.
القاعدة 2. الجذر المميز الحقيقي ك 1 التعدد مفي FSR يتوافق محلول:
لو ك 1 - تعدد الجذور المعقدة مالمعادلة المميزة (15)، ثم هناك جذر مرافق ك 1 التعدد م. بالقياس نحصل على القاعدة التالية.
القاعدة 3. زوج من الجذور المعقدة المترافقة أ± ib في FSR يتوافق مع حلول مستقلة خطيًا 2mreal:
, , ..., ,
, , ..., .
مثال 9. أوجد الحل العام للمعادلة:
أ) في¢ ¢ ¢ (X) + 3في¢ ¢ (X) + 3في¢ (X)+ ص ( X)= 0;ب) في الرابع(X) + 6في¢ ¢ (X) + 9في(X) = 0.
حل. في الحالة (أ) تكون المعادلة المميزة بالشكل
ك 3 + 3 ك 2 + 3 ك + 1 = 0
(ك + 1) 3 = 0,
أي. ك =- 1 - جذر التعدد 3. بناء على القاعدة 2 نكتب الحل العام:
ي (X)= ج 1 + ج 2 س + ج 3 س 2 .
والمعادلة المميزة في الحالة (ب) هي المعادلة
ك 4 + 6ك 2 + 9 = 0
او غير ذلك،
(ك 2 + 3) 2 = 0 Þ ك 2 = - 3 Þ ك 1, 2 = ± أنا.
لدينا زوج من الجذور المعقدة المترافقة، كل منها له تعدد 2. وفقًا للقاعدة 3، يتم كتابة الحل العام على النحو التالي
ي (X)= ج 1 + ج 2 س + ج 3 + ج 4 س.
ويترتب على ما سبق أنه بالنسبة لأي معادلة خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة، فمن الممكن إيجاد نظام أساسي من الحلول وتكوين حل عام. وبالتالي، فإن حل المعادلة غير المتجانسة المقابلة لأي دالة مستمرة F(س) على الجانب الأيمن يمكن العثور عليها باستخدام طريقة اختلاف الثوابت التعسفية (انظر القسم 5.3).
مثال 10. باستخدام طريقة التغاير، أوجد الحل العام للمعادلة غير المتجانسة في¢ ¢ (X) - في¢ (X) - 6في(X) = xe 2س .
حل. أولاً نجد الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة في¢ ¢ (X) - في¢ (X) - 6في(X) = 0. جذور المعادلة المميزة ك 2 - ك- 6 = 0 هي ك 1 = 3,ك 2 = - 2، أ الحل العام للمعادلة المتجانسة - وظيفة ` في ( X) = ج 1 ه 3X + ج 2 ه - 2X .
سنبحث عن حل للمعادلة غير المتجانسة في الصورة
في( X) = مع 1 (X)ه 3X + ج 2 (X)ه 2X . (*)
دعونا نجد محدد Wronski
دبليو[ه 3X ، ه 2X ] = .
دعونا نؤلف نظام المعادلات (12) لمشتقات الدوال المجهولة مع ¢ 1 (X) و مع¢ 2 (X):
وبحل النظام باستخدام صيغ كرامر نحصل على
التكامل نجد مع 1 (X) و مع 2 (X):
وظائف الاستبدال مع 1 (X) و مع 2 (X) إلى المساواة (*)، نحصل على حل عام للمعادلة في¢ ¢ (X) - في¢ (X) - 6في(X) = xe 2س :
في الحالة التي يكون فيها للجانب الأيمن من معادلة خطية غير متجانسة ذات معاملات ثابتة شكل خاص، يمكن إيجاد حل معين للمعادلة غير المتجانسة دون اللجوء إلى طريقة تغيير الثوابت التعسفية.
النظر في المعادلة ذات المعاملات الثابتة
ذ (ن) + 1 ص (ن– 1) +...أ ن – 1y " + أ ن ص = و (س), (16)
F( س) = هفأس(ص ن(س)كوسبكس + آر م(س)com.sinbx), (17)
أين ص ن(س) و ر م(س) - درجة كثيرات الحدود ن و معلى التوالى.
حل خاص ص*(X) من المعادلة (16) يتم تحديدها بواسطة الصيغة
في* (X) = xsه فأس(السيد(س)كوسبكس + رقم(س)com.sinbx), (18)
أين السيد(س) و رقم(س) - درجة كثيرات الحدود ص = الحد الأقصى(ن، م) بمعاملات غير مؤكدة , أ سيساوي مضاعفات الجذر ك 0 = أ + إبمتعددة الحدود المميزة للمعادلة (16)، ونفترض ق = 0 إذا ك 0 ليس جذرًا مميزًا.
من أجل إنشاء حل معين باستخدام الصيغة (18)، تحتاج إلى العثور على أربع معلمات - أ، ب، صو س.يتم تحديد الثلاثة الأولى من الجانب الأيمن من المعادلة، و ص- هذه هي في الواقع أعلى درجة س، وجدت على الجانب الأيمن. معامل سوجدت من مقارنة الأرقام ك 0 = أ + إبو مجموعة جميع الجذور المميزة للمعادلة (16) (مع مراعاة التعددية)، والتي تم العثور عليها عن طريق حل المعادلة المتجانسة المقابلة.
ولنتأمل حالات خاصة لشكل الدالة (17):
1) في أ ¹ 0, ب= 0F(س)= ه الفأس ص ن(س);
2) متى أ= 0, ب ¹ 0F(س)= ص ن(س) معأوسبكس + آر إم(س)سينبكس؛
3) متى أ = 0, ب = 0F(س)=Pn(س).
ملاحظة 1. إذا كان P n (x) º 0 أو RM(x)º 0، ثم الجانب الأيمن من المعادلة f(x) = e ax P n (x)с osbx أو f(x) = e ax R m (x)sinbx، أي يحتوي على وظيفة واحدة فقط - جيب التمام أو جيب التمام. ولكن في تسجيل حل معين، يجب أن يكون كلاهما موجودا، لأنه وفقا للصيغة (18)، يتم ضرب كل منهما في كثيرة الحدود بمعاملات غير محددة من نفس الدرجة r = max(n, m).
مثال 11. تحديد نوع الحل الجزئي لمعادلة خطية متجانسة من الدرجة الرابعة ذات معاملات ثابتة إذا كان الطرف الأيمن من المعادلة معروفا F(X) = ه س(2xcos 3س+(س 2 + 1)خطيئة 3س) وجذور المعادلة المميزة:
أ ) ك 1 = ك 2 = 1, ك 3 = 3,ك 4 = - 1;
ب ) ك 1, 2 = 1 ± 3أنا,ك 3, 4 = ± 1;
الخامس ) ك 1, 2 = 1 ± 3أنا,ك 3, 4 = 1 ± 3أنا.
حل. على الجانب الأيمن نجد ذلك في الحل المعين في*(X)، والتي تحددها الصيغة (18)، المعلمات: أ= 1, ب= 3, ص = 2. تظل كما هي بالنسبة لجميع الحالات الثلاث، ومن هنا العدد ك 0 الذي يحدد المعلمة الأخيرة سالصيغة (18) تساوي ك 0 = 1+ 3أنا. في الحالة (أ) لا يوجد عدد بين الجذور المميزة ك 0 = 1 + 3أنا،وسائل، س= 0، والحل المحدد له الشكل
ص*(X) = س 0 السابق(م 2 (س)كوس 3س+ن 2 (س)خطيئة 3س) =
= هس( (فأس 2 +بكس+ج)كوس 3س+(أ 1 س 2 +ب 1 س+ج 1)خطيئة 3س.
في حالة (ب) الرقم ك 0 = 1 + 3أنايحدث مرة واحدة بين الجذور المميزة، وهو ما يعني ق = 1 و
ص*(X) = س ه س((فأس 2 +بكس+ج)كوس 3س+(أ 1 س 2 +ب 1 س+ج 1)خطيئة 3س.
بالنسبة للحالة (ج) لدينا ق = 2 و
ص*(X) = س 2 السابق((فأس 2 +بكس+ج)كوس 3س+(أ1 س 2 +ب 1 س+ج 1)خطيئة 3س.
في المثال 11، يحتوي الحل المحدد على كثيرتي حدود من الدرجة 2 بمعاملات غير محددة. لإيجاد حل، تحتاج إلى تحديد القيم العددية لهذه المعاملات. دعونا صياغة قاعدة عامة.
لتحديد المعاملات المجهولة لكثيرات الحدود السيد(س) و لا(س) يتم التمييز بين المساواة (17) العدد المطلوب من المرات، ويتم استبدال الوظيفة ص*(X) ومشتقاتها في المعادلة (16). ومن خلال مقارنة الجانبين الأيسر والأيمن، يتم الحصول على نظام من المعادلات الجبرية لإيجاد المعاملات.
مثال 12. أوجد حلاً للمعادلة في¢ ¢ (X) - في¢ (X) - 6في(X) = xe 2س، بعد تحديد حل معين للمعادلة غير المتجانسة على شكل الطرف الأيمن.
حل. الحل العام للمعادلة غير المتجانسة له الشكل
في( X) = ` في(X)+ ص*(X),
أين ` في ( X) - الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة، و ص*(X) - حل خاص لمعادلة غير متجانسة.
أولا نحل المعادلة المتجانسة في¢ ¢ (X) - في¢ (X) - 6في(X) = 0. معادلتها المميزة ك 2 - ك- 6 = 0 له جذوران ك 1 = 3,ك 2 = - 2, لذلك، ` في ( X) = ج 1 ه 3X + ج 2 ه - 2X .
دعونا نستخدم الصيغة (18) لتحديد نوع الحل المعين في*(X). وظيفة F(س) = xe 2س يمثل حالة خاصة (أ) من الصيغة (17)، بينما أ = 2,ب = 0 و ص = 1, أي. ك 0 = 2 + 0أنا = 2. وبالمقارنة مع الجذور المميزة نستنتج ذلك ق = 0. استبدال قيم جميع المعلمات في الصيغة (18)، لدينا ص*(X) = (آه + ب)ه 2X .
للعثور على القيم أو في, دعونا نجد مشتقات الدرجة الأولى والثانية للدالة ص*(X) = (آه + ب)ه 2X :
ص*¢ (X)= أ 2X + 2(آه + ب)ه 2X = (2اه + اه + 2ب)ه 2x,
ص*¢ ¢ (X) = 2عبد اللطيف 2X + 2(2اه + اه + 2ب)ه 2X = (4اه + 4أ+ 4ب)ه 2X .
بعد استبدال الوظيفة ص*(X) ومشتقاته في المعادلة التي لدينا
(4اه + 4أ+ 4ب)ه 2X - (2اه + اه + 2ب)ه 2X - 6(آه + ب)ه 2X =xe 2س Þ Þ أ=- 1/4,ب=- 3/16.
وبالتالي، فإن الحل المحدد للمعادلة غير المتجانسة له الشكل
ص*(X) = (- 1/4X- 3/16)ه 2X ,
والحل العام - في ( X) = ج 1 ه 3X + ج 2 ه - 2X + (- 1/4X- 3/16)ه 2X .
ملاحظة 2.في حالة طرح مشكلة كوشي لمعادلة غير متجانسة، يجب أولاً إيجاد حل عام للمعادلة
في( X) = ,
بعد تحديد جميع القيم العددية للمعاملات في في*(X). ثم استخدم الشروط الأولية واستبدالها في الحل العام (وليس في ص*(X)))، أوجد قيم الثوابت ج ط.
مثال 13. ابحث عن حل لمشكلة كوشي:
في¢ ¢ (X) - في¢ (X) - 6في(X) = xe 2س ، ذ(0) = 0، ذ ¢ (X) = 0.
حل. الحل العام لهذه المعادلة هو
في(X) = ج 1 ه 3X + ج 2 ه - 2X + (- 1/4X- 3/16)ه 2X
تم العثور عليها في المثال 12. لإيجاد حل معين يلبي الشروط الأولية لمسألة كوشي هذه، نحصل على نظام من المعادلات
حلها، لدينا ج 1 = 1/8, ج 2 = 1/16. ولذلك، فإن حل مشكلة كوشي هو الدالة
في(X) = 1/8ه 3X + 1/16ه - 2X + (- 1/4X- 3/16)ه 2X .
ملاحظة 3(مبدأ التراكب). إذا في معادلة خطية Ln[ذ(س)]= و(س)، أين F(س) = و 1 (س)+و 2 (س) و ص* 1 (س) - حل المعادلة Ln[ذ(س)]= و 1 (س), أ ص* 2 (س) - حل المعادلة Ln[ذ(س)]= و 2 (س), ثم الوظيفة ص*(X)= ص* 1 (س)+ ص* 2 (س) يكون حل المعادلة Ln[ذ(س)]= و(س).
مثال 14. وضح نوع الحل العام للمعادلة الخطية
في¢ ¢ (X) + 4في(X) = س + جاينكس.
حل. الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة
` في(س) = ج 1 كوس 2س + ج 2 خطيئة 2س,
منذ المعادلة المميزة ك 2 + 4 = 0 له جذور ك 1, 2 = ± 2أنا.الجانب الأيمن من المعادلة لا يتوافق مع الصيغة (17) إلا إذا أدخلنا الترميز F 1 (س) = س, F 2 (س) = سينكسواستخدام مبدأ التراكب , ومن ثم يمكن إيجاد حل معين للمعادلة غير المتجانسة في النموذج ص*(X)= ص* 1 (س)+ ص* 2 (س)، أين ص* 1 (س) - حل المعادلة في¢ ¢ (X) + 4في(X) = س, أ ص* 2 (س) - حل المعادلة في¢ ¢ (X) + 4في(X) = سينكس.حسب الصيغة (18)
ص* 1 (س) = الفأس + ب,ص* 2 (س) = Ссosx + ديسينكس.
ثم الحل الخاص
ص*(X) = الفأس + ب + Ccosx + دسينكس,
وبالتالي فإن الحل العام له الصيغة
في(X) = ج 1 كوس 2س + ج 2 ه - 2X + أ س + ب + كوكس + دسينكس.
مثال 15. تتكون الدائرة الكهربائية من مصدر تيار متصل على التوالي مع قوة دافعة كهربية ه(ر) = ه الخطيئةثر،الحث لوالحاويات مع، و
أساسيات حل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية (LNDE-2) ذات المعاملات الثابتة (PC)
LDDE من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة $p$ و $q$ له الشكل $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$، حيث $f\left(x) \right)$ هي دالة مستمرة.
فيما يتعلق بـ LNDU 2 مع الكمبيوتر الشخصي، فإن العبارتين التاليتين صحيحتان.
لنفترض أن بعض الوظائف $U$ هي حل جزئي تعسفي لمعادلة تفاضلية غير متجانسة. لنفترض أيضًا أن بعض الوظائف $Y$ هي الحل العام (GS) للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة المقابلة (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. ثم GR لـ LHDE-2 يساوي مجموع الحلول الخاصة والعامة المشار إليها، أي $y=U+Y$.
إذا كان الجانب الأيمن من LMDE من الرتبة الثانية عبارة عن مجموع الوظائف، أي $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$، ثم يمكننا أولاً العثور على PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ التي تتوافق. إلى كل من الوظائف $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$، وبعد ذلك اكتب CR LNDU-2 بالصيغة $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
حل مشكلة LPDE من الدرجة الثانية مع الكمبيوتر
من الواضح أن نوع واحد أو آخر من PD $U$ لوحدة LNDU-2 معينة يعتمد على الشكل المحدد لجانبها الأيمن $f\left(x\right)$. تتم صياغة أبسط حالات البحث عن PD LNDU-2 في شكل القواعد الأربع التالية.
المادة 1.
الجانب الأيمن من LNDU-2 له الصيغة $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$، حيث $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $، أي أنه يسمى متعدد الحدود من الدرجة $n$. ثم يتم البحث عن PD $U$ الخاص به في النموذج $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $، حيث $Q_(n) \left(x\right)$ هو شكل آخر متعدد الحدود بنفس درجة $P_(n) \left(x\right)$، و $r$ هو عدد جذور المعادلة المميزة لـ LODE-2 المقابلة والتي تساوي الصفر. تم العثور على معاملات كثيرة الحدود $Q_(n) \left(x\right)$ بطريقة المعاملات غير المحددة (المملكة المتحدة).
القاعدة رقم 2.
الجانب الأيمن من LNDU-2 له الصيغة $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$، حيث $P_(n) \left( x\right)$ هي كثيرة الحدود من الدرجة $n$. ثم يتم البحث عن PD $U$ في النموذج $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $، حيث $Q_(n ) \ left(x\right)$ هي كثيرة حدود أخرى بنفس درجة $P_(n) \left(x\right)$، و $r$ هو عدد جذور المعادلة المميزة لـ LODE-2 المقابلة يساوي $\alpha $. تم العثور على معاملات كثيرة الحدود $Q_(n) \left(x\right)$ بواسطة طريقة NC.
القاعدة رقم 3.
الجانب الأيمن من LNDU-2 له الشكل $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $، حيث $a$ و$b$ و$\beta$ هي أرقام معروفة. ثم يتم البحث عن PD $U$ في النموذج $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $، حيث $A$ و$B$ معاملات غير معروفة، و$r$ هو عدد جذور المعادلة المميزة لمعادلة LODE-2 المقابلة، والتي تساوي $i\cdot \ بيتا $. تم العثور على المعاملين $A$ و $B$ باستخدام الطريقة غير المدمرة.
القاعدة رقم 4.
الجانب الأيمن من LNDU-2 له الصيغة $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$، حيث $P_(n) \left(x\right)$ هو كثيرة الحدود من الدرجة $ n$، و$P_(m) \left(x\right)$ هي كثيرة الحدود من الدرجة $m$. ثم يتم البحث عن PD $U$ الخاص به في النموذج $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $، حيث $Q_(s) \left(x\right)$ و $ R_(s) \left(x\right)$ هي متعددات الحدود من الدرجة $s$، والرقم $s$ هو الحد الأقصى لعددين $n$ و$m$، و$r$ هو عدد الجذور من المعادلة المميزة لـ LODE-2 المقابلة، والتي تساوي $\alpha +i\cdot \beta $. تم العثور على معاملات كثيرات الحدود $Q_(s) \left(x\right)$ و$R_(s) \left(x\right)$ بواسطة طريقة NC.
تتكون طريقة NK من تطبيق القاعدة التالية. من أجل إيجاد المعاملات المجهولة لكثيرة الحدود التي تشكل جزءاً من الحل الجزئي للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة LNDU-2، من الضروري:
- استبدل PD $U$، المكتوب بشكل عام، في الجانب الأيسر من LNDU-2؛
- على الجانب الأيسر من LNDU-2، قم بإجراء عمليات التبسيط وجمع المصطلحات بنفس الصلاحيات $x$؛
- في الهوية الناتجة، قم بمساواة معاملات الحدود بنفس القوى $x$ للجانبين الأيسر والأيمن؛
- حل النظام الناتج من المعادلات الخطية ذات المعاملات المجهولة.
مثال 1
المهمة: ابحث عن OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. ابحث أيضًا عن PD ، مع استيفاء الشروط الأولية $y=6$ لـ $x=0$ و $y"=1$ لـ $x=0$.
نكتب LOD-2 المقابل: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
المعادلة المميزة: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. جذور المعادلة المميزة هي: $k_(1) =-3$، $k_(2) =6$. هذه الجذور صالحة ومتميزة. وبالتالي، فإن OR الخاص بـ LODE-2 المقابل له الصيغة: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
الجانب الأيمن من LNDU-2 له الشكل $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. من الضروري النظر في معامل الأس $\alpha =3$. لا يتطابق هذا المعامل مع أي من جذور المعادلة المميزة. لذلك، فإن PD الخاص بـ LNDU-2 له الشكل $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
سوف نبحث عن المعاملات $A$، $B$ باستخدام طريقة NC.
نجد المشتق الأول لجمهورية التشيك:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
نجد المشتق الثاني لجمهورية التشيك:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
نقوم باستبدال الوظائف $U""$ و$U"$ و$U$ بدلاً من $y""$ و $y"$ و $y$ في NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ علاوة على ذلك، بما أن الأس $e^(3\cdot x) $ يتم تضمينه كعامل في جميع المكونات فيمكن حذفها فنحصل على:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
نقوم بتنفيذ الإجراءات على الجانب الأيسر من المساواة الناتجة:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
نحن نستخدم طريقة NDT. نحصل على نظام المعادلات الخطية مع مجهولين:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
الحل لهذا النظام هو: $A=-2$، $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ تبدو مشكلتنا كما يلي: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
يبدو OR $y=Y+U$ لمشكلتنا كما يلي: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ يسار(-2\cdot x-1\يمين)\cdot e^(3\cdot x) $.
من أجل البحث عن PD الذي يلبي الشروط الأولية المحددة، نجد المشتق $y"$ من OP:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
نعوض في $y$ و $y"$ بالشروط الأولية $y=6$ لـ $x=0$ و $y"=1$ لـ $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
لقد حصلنا على نظام المعادلات:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
دعونا حلها. نجد $C_(1) $ باستخدام صيغة كرامر، و$C_(2) $ نحددها من المعادلة الأولى:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ البدء (المصفوفة)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
وبالتالي، فإن احتمالية الاحتمال لهذه المعادلة التفاضلية لها الشكل: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
تتناول هذه المقالة مسألة حل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة. وستتم مناقشة النظرية مع أمثلة لمشاكل معينة. لفك رموز المصطلحات غير الواضحة، من الضروري الرجوع إلى موضوع التعريفات والمفاهيم الأساسية لنظرية المعادلات التفاضلية.
لنفكر في معادلة تفاضلية خطية (LDE) من الدرجة الثانية بمعاملات ثابتة بالشكل y "" + p · y " + q · y = f (x)، حيث p و q أرقام عشوائية، والدالة الحالية f (x) مستمرة على فترة التكامل x.
دعنا ننتقل إلى صياغة نظرية الحل العام لـ LNDE.
Yandex.RTB RA-A-339285-1
نظرية الحل العام لـ LDNU
النظرية 1حل عام يقع على الفترة x لمعادلة تفاضلية غير متجانسة على الصورة y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) مع معاملات التكامل المستمر على الفاصل الزمني x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . ، f n - 1 (x) والدالة المستمرة f (x) تساوي مجموع الحل العام y 0، والذي يتوافق مع LOD وبعض الحلول المحددة y ~، حيث المعادلة الأصلية غير المتجانسة هي y = y 0 + ذ ~.
يوضح هذا أن حل هذه المعادلة من الدرجة الثانية له الصيغة y = y 0 + y ~ . تمت مناقشة خوارزمية إيجاد y 0 في المقالة حول المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة. وبعد ذلك يجب أن ننتقل إلى تعريف y ~.
يعتمد اختيار حل معين لـ LPDE على نوع الدالة المتاحة f (x) الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة. للقيام بذلك، من الضروري النظر بشكل منفصل في حلول المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة.
عندما تعتبر f (x) متعددة الحدود من الدرجة n f (x) = P n (x)، فإنه يترتب على ذلك أنه تم العثور على حل معين لـ LPDE باستخدام صيغة النموذج y ~ = Q n (x) ) x γ، حيث Q n ( x) هي متعددة الحدود من الدرجة n، r هو عدد الجذور الصفرية للمعادلة المميزة. القيمة y ~ هي حل معين y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) ، ثم المعاملات المتاحة التي يتم تعريفها بواسطة كثير الحدود
Q n (x) نجد باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة من المساواة y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
مثال 1
احسب باستخدام نظرية كوشي y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
حل
بمعنى آخر، من الضروري الانتقال إلى حل معين لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية بمعاملات ثابتة y "" - 2 y " = x 2 + 1، والتي ستحقق الشروط المحددة y (0) = 2, ص " (0) = 1 4 .
الحل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة هو مجموع الحل العام الذي يتوافق مع المعادلة y 0 أو حل معين للمعادلة غير المتجانسة y ~، أي y = y 0 + y ~.
أولاً، سنجد حلاً عامًا لوحدة LNDU، ثم حلًا خاصًا.
دعنا ننتقل إلى إيجاد y 0. ستساعدك كتابة المعادلة المميزة في العثور على الجذور. لقد حصلنا على ذلك
ك 2 - 2 ك = 0 ك (ك - 2) = 0 ك 1 = 0، ك 2 = 2
لقد وجدنا أن الجذور مختلفة وحقيقية. لذلك، دعونا نكتب
ص 0 = ج 1 ه 0 س + ج 2 ه 2 س = ج 1 + ج 2 ه 2 س.
دعونا نجد y ~ . يمكن ملاحظة أن الطرف الأيمن من المعادلة المعطاة هو كثيرة الحدود من الدرجة الثانية، وأن أحد الجذور يساوي صفرًا. من هذا نحصل على حل معين لـ y ~ سيكون
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x، حيث تأخذ قيم A، B، C معاملات غير محددة.
لنوجدها من المساواة بالشكل y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1.
ثم نحصل على ذلك:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (أ x 3 + ب x 2 + ج x) "" - 2 (أ x 3 + ب x 2 + ج x) " = x 2 + 1 3 أ س 2 + 2 ب س + ج " - 6 أ س 2 - 4 ب س - 2 ج = س 2 + 1 6 أ س + 2 ب - 6 أ س 2 - 4 ب س - 2 ج = س 2 + 1 - 6 أ × 2 + س (6 أ - 4 ب) + 2 ب - 2 ج = س 2 + 1
بمساواة المعاملات بنفس أسس x، نحصل على نظام من التعبيرات الخطية - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. عند الحل بأي من الطرق، سنوجد المعاملات ونكتب: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 و y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 × 3 - 1 4 × 2 - 3 4 × .
يُسمى هذا الإدخال بالحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية الأصلية ذات المعاملات الثابتة.
لإيجاد حل معين يحقق الشروط y (0) = 2, y "(0) = 1 4، من الضروري تحديد القيم ج1و ج2, على أساس المساواة في الصيغة y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
لقد حصلنا على ذلك:
ص (0) = ج 1 + ج 2 ه 2 س - 1 6 س 3 + 1 4 س 2 + 3 4 س س = 0 = ج 1 + ج 2 ذ " (0) = ج 1 + ج 2 ه 2 س - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
نحن نعمل مع نظام المعادلات الناتج من الصيغة C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4، حيث C 1 = 3 2، C 2 = 1 2.
وبتطبيق نظرية كوشي، نحصل على ذلك
ص = ج 1 + ج 2 ه 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 ه 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
إجابة: 3 2 + 1 2 ه 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
عندما يتم تمثيل الدالة f (x) على أنها حاصل ضرب كثيرة الحدود بالدرجة n والأس f (x) = P n (x) · e a x ، فإننا نحصل على أن الحل المعين لـ LPDE من الدرجة الثانية سيكون معادلة من الشكل y ~ = e a x · Q n ( x) x γ، حيث Q n (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة n، و r هو عدد جذور المعادلة المميزة التي تساوي α.
تم العثور على المعاملات التي تنتمي إلى Q n (x) بالمساواة y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
مثال 2
أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية من الصورة y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
حل
المعادلة العامة هي y = y 0 + y ~ . المعادلة المشار إليها تتوافق مع LOD y "" - 2 y " = 0. من المثال السابق يمكن ملاحظة أن جذورها متساوية ك 1 = 0و k 2 = 2 و y 0 = C 1 + C 2 e 2 x بالمعادلة المميزة.
يمكن ملاحظة أن الطرف الأيمن من المعادلة هو x 2 + 1 · e x . من هنا يتم العثور على LPDE من خلال y ~ = e a x · Q n (x) · x γ، حيث Q n (x) هي متعددة الحدود من الدرجة الثانية، حيث α = 1 و r = 0، لأن المعادلة المميزة لا لها جذر يساوي 1. من هنا حصلنا على ذلك
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
A، B، C هي معاملات غير معروفة يمكن إيجادها بالمساواة y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.
تلقيت ذلك
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = ه × أ × 2 + × 4 أ + ب + 2 أ + 2 ب + ج
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + ب + ج = س 2 + 1 · ه س ⇔ ه س · - أ س 2 - ب س + 2 أ - ج = (س 2 + 1) · ه س ⇔ - أ س 2 - ب س + 2 أ - ج = س 2 + 1 ⇔ - أ × 2 - ب × + 2 أ - ج = 1 × 2 + 0 × + 1
نحن نساوي المؤشرات بنفس المعاملات ونحصل على نظام من المعادلات الخطية. ومن هنا نجد أ، ب، ج:
أ = 1 - ب = 0 2 أ - ج = 1 ⇔ أ = - 1 ب = 0 ج = - 3
إجابة:من الواضح أن y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 هو حل خاص لـ LNDDE، و y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - حل عام لمعادلة dif غير المتجانسة من الدرجة الثانية.
عندما يتم كتابة الدالة بالشكل f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x، و أ 1و في 1هي أرقام، فإن الحل الجزئي لـ LPDE يعتبر معادلة من الشكل y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ، حيث A و B تعتبر معاملات غير محددة، و r هو عدد الجذور المترافقة المعقدة المتعلقة بالمعادلة المميزة، تساوي ± i β . في هذه الحالة، يتم البحث عن المعاملات باستخدام المساواة y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
مثال 3
أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية من الصورة y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
حل
قبل كتابة المعادلة المميزة نجد y 0. ثم
ك 2 + 4 = 0 ك 2 = - 4 ك 1 = 2 ط , ك 2 = - 2 ط
لدينا زوج من الجذور المترافقة المعقدة. دعونا نتحول ونحصل على:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
تعتبر جذور المعادلة المميزة هي الزوج المترافق ± 2 i، ثم f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). هذا يوضح أن البحث عن y ~ سيتم من y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. سنبحث عن المعاملين A و B من المساواة في الصيغة y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
دعونا تحويل:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = (- 2 A cos (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
ثم فمن الواضح أن
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 ب cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 ب جتا (٢ س) = جتا (٢ س) + ٣ جا (٢ س)
من الضروري مساواة معاملات الجيب وجيب التمام. نحصل على نظام من النموذج:
4 أ = 3 4 ب = 1 ⇔ أ = - 3 4 ب = 4 1
ويترتب على ذلك أن y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
إجابة:تم النظر في الحل العام لـ LDDE من الدرجة الثانية الأصلية بمعاملات ثابتة
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
عندما f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x)، ثم y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ لدينا أن r هو عدد الأزواج المترافقة المعقدة من الجذور المتعلقة بالمعادلة المميزة، ويساوي α ± i β، حيث P n (x)، Q k (x)، ل م (س) و نانومتر (خ)هي متعددات الحدود من الدرجة n، k، m، m، أين م = م أ س (ن، ك). إيجاد المعاملات م (خ)و نانومتر (خ)يتم على أساس المساواة y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
مثال 4
أوجد الحل العام y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
حل
ووفقا للشرط فمن الواضح أن
α = 3، β = 5، P n (x) = - 38 x - 45، Q k (x) = - 8 x + 5، n = 1، k = 1
ثم م = م أ س (ن، ك) = 1. نجد y 0 عن طريق كتابة معادلة مميزة من النموذج أولاً:
ك 2 - 3 ك + 2 = 0 د = 3 2 - 4 1 2 = 1 ك 1 = 3 - 1 2 = 1، ك 2 = 3 + 1 2 = 2
وجدنا أن الجذور حقيقية ومتميزة. وبالتالي y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. بعد ذلك، من الضروري البحث عن حل عام يعتمد على المعادلة غير المتجانسة y ~ للنموذج
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
ومن المعروف أن A، B، C هي معاملات r = 0، لأنه لا يوجد زوج من الجذور المترافقة المتعلقة بالمعادلة المميزة مع α ± i β = 3 ± 5 · i. نجد هذه المعاملات من المساواة الناتجة:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - ه 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( أ x + ب) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (ه 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + د) الخطيئة (5 س))) = - ه 3 س ((38 س + 45) الخطيئة (5 س) + (8 س - 5) جتا (5 س))
العثور على المشتقات والمصطلحات المشابهة يعطي
هـ ٣ × ((١٥ أ + ٢٣ ج) × جا (٥ ×) + + (١٠ أ + ١٥ ب - ٣ ج + ٢٣ د) جا (٥ ×) + + (٢٣ أ - ١٥ ج) · x · cos (5 س) + (- 3 أ + 23 ب - 10 ج - 15 د) · جتا (5 س)) = = - ه 3 س · (38 · س · خطيئة (5 س) + 45 · خطيئة (5 س) ) + + 8 x جتا (5 س) - 5 جتا (5 س))
بعد معادلة المعاملات، نحصل على نظام النموذج
15 أ + 23 ج = 38 10 أ + 15 ب - 3 ج + 23 د = 45 23 أ - 15 ج = 8 - 3 أ + 23 ب - 10 ج - 15 د = - 5 ⇔ أ = 1 ب = 1 ج = 1 د = 1
من كل شيء يترتب على ذلك
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (س + ١) خطيئة (٥ س))
إجابة:لقد حصلنا الآن على حل عام للمعادلة الخطية المعطاة:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
خوارزمية لحل LDNU
التعريف 1أي نوع آخر من الوظائف f (x) للحل يتطلب الامتثال لخوارزمية الحل:
- إيجاد حل عام للمعادلة المتجانسة الخطية المقابلة، حيث y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2، حيث ذ 1و ذ 2هي حلول جزئية مستقلة خطيا من LODE، ج1و ج2تعتبر ثوابت اعتباطية؛
- قبول LNDE كحل عام y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ؛
- تحديد مشتقات الدالة من خلال نظام من الشكل C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x) ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) وإيجاد الدوال ج 1 (خ)وC 2 (x) من خلال التكامل.
مثال 5
أوجد الحل العام لـ y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.
حل
ننتقل إلى كتابة المعادلة المميزة، بعد أن كتبنا سابقًا y 0, y "" + 36 y = 0. لنكتب ونحل:
ك 2 + 36 = 0 ك 1 = 6 i , ك 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , ص 2 (س) = الخطيئة (6 س)
لدينا أن الحل العام للمعادلة المعطاة سيتم كتابته بالشكل y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . من الضروري الانتقال إلى تعريف الوظائف المشتقة ج 1 (خ)و C2(خ)وفقا لنظام المعادلات:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (الخطيئة (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) الخطيئة (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 الخطيئة (6 x) + C 2 "(س) (6 جتا (6 س)) = = 24 جا (6 س) - 12 جتا (6 س) + 36 ه 6 س
يجب اتخاذ قرار بشأن ج 1" (خ)و ج 2" (خ)باستخدام أي وسيلة. ثم نكتب:
C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) كوس (6 س) - 2 كوس 2 (6 س) + 6 ه 6 س كوس (6 س)
يجب أن تكون كل من المعادلات متكاملة. ثم نكتب المعادلات الناتجة:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 ه 6 × الخطيئة (6 ×) + ج 4
ويترتب على ذلك أن الحل العام سيكون له الشكل:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 cos (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 س) + ج 4 خطيئة (6 س)
إجابة: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 ×)
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter