مستوى اول

المعادلات التربيعية. دليل شامل (2019)

في مصطلح "المعادلة التربيعية"، الكلمة الأساسية هي "المعادلة التربيعية". هذا يعني أن المعادلة يجب أن تحتوي بالضرورة على متغير (نفس x) مربع، ولا ينبغي أن يكون هناك x للقوة الثالثة (أو أكبر).

يأتي حل العديد من المعادلات في حل المعادلات التربيعية.

دعونا نتعلم كيفية تحديد أن هذه معادلة تربيعية وليست معادلة أخرى.

مثال 1.

دعونا نتخلص من المقام ونضرب كل حد في المعادلة

دعونا ننقل كل شيء إلى الجهه اليسرىوترتيب المصطلحات ترتيبًا تنازليًا لقوى x

والآن يمكننا أن نقول بكل ثقة ذلك معادلة معينةمربع!

مثال 2.

اضرب الجانبين الأيسر والأيمن بـ:

وهذه المعادلة رغم أنها كانت موجودة أصلاً، إلا أنها ليست تربيعية!

مثال 3.

دعونا نضرب كل شيء بـ:

مخيف؟ الدرجة الرابعة والثانية... لكن إذا قمنا بالتعويض سنجد أن لدينا معادلة تربيعية بسيطة:

مثال 4.

يبدو أن هناك، ولكن دعونا نلقي نظرة فاحصة. دعنا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر:

انظر، لقد تم تقليلها - والآن أصبحت معادلة خطية بسيطة!

حاول الآن أن تحدد بنفسك أي من المعادلات التالية تعتبر من الدرجة الثانية وأيها ليست كذلك:

أمثلة:

الإجابات:

1. مربع؛
2. مربع؛
3. ليست مربعة
4. ليست مربعة
5. ليست مربعة
6. مربع؛
7. ليست مربعة
8. مربع.

يقسم علماء الرياضيات بشكل تقليدي جميع المعادلات التربيعية إلى الأنواع التالية:

• المعادلات التربيعية كاملة- المعادلات التي لا تساوي فيها المعاملات، وكذلك الحد الحر c، الصفر (كما في المثال). بالإضافة إلى ذلك، من بين المعادلات التربيعية الكاملة هناك منح- هذه معادلات يكون فيها المعامل (المعادلة في المثال الأول ليست كاملة فحسب، بل مخفضة أيضًا!)

• المعادلات التربيعية غير الكاملة- المعادلات التي يكون فيها المعامل و/أو الحد الحر c مساوياً للصفر:

  إنها غير مكتملة لأنها تفتقد بعض العناصر. لكن المعادلة يجب أن تحتوي دائما على x تربيع!!! وإلا فلن تكون معادلة تربيعية، بل معادلة أخرى.

لماذا توصلوا إلى مثل هذا التقسيم؟ يبدو أن هناك X مربع، حسنا. ويتم تحديد هذا التقسيم بطرق الحل. دعونا ننظر إلى كل واحد منهم بمزيد من التفصيل.

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

أولاً، دعونا نركز على حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط بكثير!

هناك أنواع من المعادلات التربيعية غير الكاملة:

1. ، في هذه المعادلة المعامل متساوي.
2. ، في هذه المعادلة يساوي الحد الحر.
3. ، في هذه المعادلة المعامل والحد الحر متساويان.

1. أنا. وبما أننا نعرف كيفية أخذ الجذر التربيعي، فلنعبر عنه من هذه المعادلة

يمكن أن يكون التعبير سلبيًا أو إيجابيًا. لا يمكن أن يكون الرقم المربع سالبًا، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين، ستكون النتيجة دائمًا رقم موجب، عدد إيجابي، إذًا: إذا، فالمعادلة ليس لها حلول.

وإذا حدث ذلك، فسنحصل على جذرين. ليست هناك حاجة لحفظ هذه الصيغ. الشيء الرئيسي هو أنك يجب أن تعرف وتتذكر دائمًا أنه لا يمكن أن يكون أقل من ذلك.

دعونا نحاول حل بعض الأمثلة.

مثال 5:

حل المعادلة

الآن كل ما تبقى هو استخراج الجذر من الجانبين الأيسر والأيمن. بعد كل شيء، هل تتذكر كيفية استخراج الجذور؟

إجابة:

لا تنس أبدًا الجذور التي تحمل علامة سلبية !!!

مثال 6:

حل المعادلة

إجابة:

مثال 7:

حل المعادلة

أوه! لا يمكن أن يكون مربع العدد سالبًا، مما يعني أن المعادلة

لا جذور!

لمثل هذه المعادلات التي ليس لها جذور، توصل علماء الرياضيات إلى أيقونة خاصة - ( مجموعة فارغة). ويمكن كتابة الجواب هكذا:

إجابة:

ومن ثم، فإن هذه المعادلة التربيعية لها جذرين. لا توجد قيود هنا، لأننا لم نستخرج الجذر.
مثال 8:

حل المعادلة

لنخرج العامل المشترك من الأقواس:

هكذا،

هذه المعادلة لها جذرين.

إجابة:

أبسط نوع من المعادلات التربيعية غير المكتملة (على الرغم من أنها كلها بسيطة، أليس كذلك؟). من الواضح أن هذه المعادلة دائمًا لها جذر واحد فقط:

وسنستغني عن الأمثلة هنا.

حل المعادلات التربيعية الكاملة

نذكرك أن المعادلة التربيعية الكاملة هي معادلة من الصيغة حيث

يعد حل المعادلات التربيعية الكاملة أصعب قليلًا (قليلًا) من هذه.

يتذكر، يمكن حل أي معادلة تربيعية باستخدام المميز! وحتى غير مكتملة.

ستساعدك الطرق الأخرى على القيام بذلك بشكل أسرع، لكن إذا كانت لديك مشاكل مع المعادلات التربيعية، أتقن الحل أولًا باستخدام المميز.

1. حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.

يعد حل المعادلات التربيعية باستخدام هذه الطريقة أمرًا بسيطًا للغاية؛ الشيء الرئيسي هو تذكر تسلسل الإجراءات وبعض الصيغ.

إذا، فإن المعادلة لها جذر. انتباه خاصاتخذ خطوة. المميز () يخبرنا بعدد جذور المعادلة.

• إذا، فسيتم تقليل الصيغة الموجودة في الخطوة إلى. وبالتالي، فإن المعادلة سيكون لها جذر فقط.
• إذا، فلن نتمكن من استخراج جذر المميز في الخطوة. وهذا يدل على أن المعادلة ليس لها جذور.

دعونا نعود إلى معادلاتنا وننظر إلى بعض الأمثلة.

مثال 9:

حل المعادلة

الخطوة 1نحن نتخطى.

الخطوة 2.

نجد التمييز:

وهذا يعني أن المعادلة لها جذرين.

الخطوه 3.

إجابة:

مثال 10:

حل المعادلة

يتم تقديم المعادلة في شكل قياسي، لذلك الخطوة 1نحن نتخطى.

الخطوة 2.

نجد التمييز:

وهذا يعني أن المعادلة لها جذر واحد.

إجابة:

مثال 11:

حل المعادلة

يتم تقديم المعادلة في شكل قياسي، لذلك الخطوة 1نحن نتخطى.

الخطوة 2.

نجد التمييز:

هذا يعني أننا لن نتمكن من استخراج جذر المميز. لا توجد جذور للمعادلة.

الآن نحن نعرف كيفية كتابة هذه الإجابات بشكل صحيح.

إجابة:لا جذور

2. حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا.

إذا كنت تتذكر، هناك نوع من المعادلة يسمى مخفضة (عندما يكون المعامل a يساوي):

من السهل جدًا حل هذه المعادلات باستخدام نظرية فييتا:

مجموع الجذور منح معادلة من الدرجة الثانيةمتساوي، وحاصل ضرب الجذور متساوي.

مثال 12:

حل المعادلة

يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نظرية فييتا لأن .

مجموع جذور المعادلة متساوي، أي. نحصل على المعادلة الأولى:

والمنتج يساوي:

دعونا نؤلف ونحل النظام:

• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ متساوي.

و هي الحل للنظام :

إجابة: ; .

مثال 13:

حل المعادلة

إجابة:

مثال 14:

حل المعادلة

يتم إعطاء المعادلة التي تعني:

إجابة:

المعادلات التربيعية. مستوى متوسط

ما هي المعادلة التربيعية؟

وبعبارة أخرى، المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل، حيث - المجهول، - بعض الأرقام، و.

الرقم يسمى الأعلى أو المعامل الأولمعادلة من الدرجة الثانية، - المعامل الثاني، أ - عضو مجاني.

لماذا؟ لأنه إذا أصبحت المعادلة خطية على الفور، لأن سوف تختفي.

وفي هذه الحالة، ويمكن أن يساوي الصفر. في معادلة الكرسي هذه تسمى غير مكتملة. إذا كانت جميع الشروط موجودة، أي أن المعادلة قد اكتملت.

حلول لأنواع مختلفة من المعادلات التربيعية

طرق حل المعادلات التربيعية غير الكاملة:

أولاً، دعونا نلقي نظرة على طرق حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط.

يمكننا التمييز بين أنواع المعادلات التالية:

أولا: في هذه المعادلة المعامل والحد الحر متساويان.

ثانيا. ، في هذه المعادلة المعامل متساوي.

ثالثا. ، في هذه المعادلة يساوي الحد الحر.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحل لكل من هذه الأنواع الفرعية.

من الواضح أن هذه المعادلة دائمًا لها جذر واحد فقط:

لا يمكن أن يكون الرقم المربع سالبًا، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين، ستكون النتيجة دائمًا رقمًا موجبًا. لهذا السبب:

إذا، فإن المعادلة ليس لها حلول؛

إذا كان لدينا جذرين

ليست هناك حاجة لحفظ هذه الصيغ. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو أنه لا يمكن أن يكون أقل.

أمثلة:

حلول:

إجابة:

لا تنس أبدًا الجذور ذات الإشارة السلبية!

لا يمكن أن يكون مربع العدد سالبًا، مما يعني أن المعادلة

لا جذور.

لتدوين باختصار أن المشكلة ليس لها حلول، نستخدم أيقونة المجموعة الفارغة.

إجابة:

إذن، هذه المعادلة لها جذرين: و.

إجابة:

سوف نخرجها المضاعف المشتركخارج الأقواس:

يكون حاصل الضرب صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي الصفر. وهذا يعني أن المعادلة لها حل عندما:

إذن، هذه المعادلة التربيعية لها جذرين: و.

مثال:

حل المعادلة.

حل:

دعونا نحلل الجانب الأيسر من المعادلة ونجد الجذور:

إجابة:

طرق حل المعادلات التربيعية الكاملة:

1. التمييز

من السهل حل المعادلات التربيعية بهذه الطريقة، والشيء الرئيسي هو أن تتذكر تسلسل الإجراءات وبعض الصيغ. تذكر أنه يمكن حل أي معادلة تربيعية باستخدام المميز! وحتى غير مكتملة.

هل لاحظت الجذر من المميز في صيغة الجذور؟ ولكن المميز يمكن أن يكون سلبيا. ما يجب القيام به؟ علينا أن نولي اهتمامًا خاصًا للخطوة رقم 2. يخبرنا المميز بعدد جذور المعادلة.

• إذا كانت المعادلة لها جذور:
• إذا كانت المعادلة موجودة جذور متطابقة، ولكن في الأساس جذر واحد:

  تسمى هذه الجذور بالجذور المزدوجة.

• إذا، فلا يتم استخراج جذر المميز. وهذا يدل على أن المعادلة ليس لها جذور.

لماذا هذا ممكن كميات مختلفةالجذور؟ دعونا ننتقل إلى الحس الهندسيمعادلة من الدرجة الثانية. الرسم البياني للدالة هو القطع المكافئ:

وفي حالة خاصة، وهي معادلة تربيعية، . وهذا يعني أن جذور المعادلة التربيعية هي نقاط التقاطع مع محور الإحداثي السيني (المحور). قد لا يتقاطع القطع المكافئ مع المحور على الإطلاق، أو قد يتقاطع عند نقطة واحدة (عندما يقع رأس القطع المكافئ على المحور) أو نقطتين.

وبالإضافة إلى ذلك، فإن المعامل هو المسؤول عن اتجاه فروع القطع المكافئ. إذا، فإن فروع القطع المكافئ موجهة للأعلى، وإذا، ثم للأسفل.

أمثلة:

حلول:

إجابة:

إجابة: .

إجابة:

وهذا يعني أنه لا توجد حلول.

إجابة: .

2. نظرية فييتا

من السهل جدًا استخدام نظرية فييتا: ما عليك سوى اختيار زوج من الأرقام الذي يساوي منتجها الحد الحر للمعادلة، والمجموع يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالعلامة المعاكسة.

من المهم أن نتذكر أن نظرية فييتا لا يمكن تطبيقها إلا في المعادلات التربيعية المخفضة ().

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

مثال 1:

حل المعادلة.

حل:

يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نظرية فييتا لأن . معاملات أخرى: ; .

مجموع جذور المعادلة هو:

والمنتج يساوي:

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي يكون منتجها متساويًا ونتحقق مما إذا كان مجموعها متساويًا:

• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ متساوي.

و هي الحل للنظام :

وبالتالي، و هي جذور المعادلة لدينا.

إجابة: ؛ .

المثال رقم 2:

حل:

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي تظهر في المنتج، ثم نتحقق مما إذا كان مجموعها متساويًا:

و: يعطون إجمالاً.

و: يعطون إجمالاً. للحصول عليه، يكفي ببساطة تغيير علامات الجذور المفترضة: وبعد كل شيء، المنتج.

إجابة:

المثال رقم 3:

حل:

الحد الحر للمعادلة هو سالب، وبالتالي فإن حاصل ضرب الجذور هو عدد سالب. وهذا ممكن فقط إذا كان أحد الجذرين سالبًا والآخر موجبًا. وبالتالي فإن مجموع الجذور يساوي الاختلافات في وحداتهم.

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي تعطي حاصل الضرب، والتي يساوي فرقها:

و: فرقهم متساوي - لا يصلح؛

و: - غير مناسب؛

و: - غير مناسب؛

و: - مناسب. كل ما تبقى هو أن نتذكر أن أحد الجذور سلبي. وبما أن مجموعهما يجب أن يكون متساويًا، فإن الجذر ذو المعامل الأصغر يجب أن يكون سالبًا: . نحن نفحص:

إجابة:

المثال رقم 4:

حل المعادلة.

حل:

يتم إعطاء المعادلة التي تعني:

الحد الحر سالب، وبالتالي يكون حاصل ضرب الجذور سالبًا. وهذا ممكن فقط عندما يكون أحد جذر المعادلة سالبًا والآخر موجبًا.

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي يكون حاصل ضربها متساويًا، ثم نحدد الجذور التي يجب أن تكون لها علامة سالبة:

من الواضح أن الجذور فقط هي المناسبة للشرط الأول:

إجابة:

المثال رقم 5:

حل المعادلة.

حل:

يتم إعطاء المعادلة التي تعني:

مجموع الجذور سالب، مما يعني أن واحدًا على الأقل من الجذور سالب. لكن بما أن حاصل ضربهما موجب، فهذا يعني أن كلا الجذرين لهما علامة الطرح.

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي يساوي منتجها:

من الواضح أن الجذور هي الأرقام و.

إجابة:

أوافق، من المريح للغاية التوصل إلى جذور شفويا، بدلا من حساب هذا التمييز السيئ. حاول استخدام نظرية فييتا كلما أمكن ذلك.

لكن نظرية فييتا ضرورية لتسهيل وتسريع العثور على الجذور. لكي تستفيد من استخدامه، يجب عليك جعل الإجراءات تلقائية. ولهذا، حل خمسة أمثلة أخرى. لكن لا تغش: لا يمكنك استخدام أداة التمييز! نظرية فييتا فقط:

حلول لمهام العمل المستقل:

المهمة 1. ((x)^(2))-8x+12=0

وفقا لنظرية فييتا:

كالعادة نبدأ الاختيار بالقطعة:

غير مناسب لأن المبلغ؛

: المبلغ هو فقط ما تحتاجه.

إجابة: ؛ .

المهمة 2.

ومرة أخرى نظرية فييتا المفضلة لدينا: يجب أن يكون المجموع متساويًا، ويجب أن يكون حاصل الضرب متساويًا.

لكن بما أنه لا يجب أن يكون، بل نغير علامات الجذور: و (إجمالا).

إجابة: ؛ .

المهمة 3.

همم... أين ذلك؟

تحتاج إلى نقل جميع المصطلحات إلى جزء واحد:

مجموع الجذور يساوي المنتج.

حسنًا، توقف! لم يتم إعطاء المعادلة. لكن نظرية فييتا قابلة للتطبيق فقط في المعادلات المعطاة. لذا عليك أولاً أن تعطي معادلة. إذا لم تتمكن من القيادة، فتخلى عن هذه الفكرة وحلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال، من خلال التمييز). اسمحوا لي أن أذكرك أن إعطاء معادلة تربيعية يعني جعل المعامل الرئيسي متساويًا:

عظيم. ثم مجموع الجذور يساوي والمنتج.

هنا يكون الاختيار سهلاً مثل قشر الكمثرى: فهو في النهاية رقم أولي (آسف على التكرار).

إجابة: ؛ .

المهمة 4.

العضو الحر سلبي. ما هو المميز في هذا؟ والحقيقة هي أن الجذور سيكون لها علامات مختلفة. والآن، أثناء الاختيار، لا نتحقق من مجموع الجذور، ولكن الفرق في وحداتها: هذا الاختلاف متساوي، ولكن المنتج.

إذن، الجذران يساويان و، لكن أحدهما سالب. تخبرنا نظرية فييتا أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني ذو الإشارة المعاكسة، أي. وهذا يعني أن الجذر الأصغر سيكون له ناقص: و، منذ ذلك الحين.

إجابة: ؛ .

المهمة 5.

ما الذى ينبغى عليك فعله اولا؟ هذا صحيح، أعط المعادلة:

مرة أخرى: نختار عوامل العدد، ويجب أن يكون الفرق بينهما مساوياً لـ:

الجذور تساوي و، لكن أحدهما سالب. أيّ؟ يجب أن يكون مجموعهما متساويًا، مما يعني أن الطرح سيكون له جذر أكبر.

إجابة: ؛ .

اسمحوا لي أن ألخص:

1. تُستخدم نظرية فييتا فقط في المعادلات التربيعية المعطاة.
2. باستخدام نظرية فييتا، يمكنك العثور على الجذور عن طريق الاختيار، شفهيًا.
3. إذا لم يتم إعطاء المعادلة أو لم يتم العثور على زوج مناسب من العوامل للمصطلح الحر، فلن تكون هناك جذور كاملة، وتحتاج إلى حلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال، من خلال المميز).

3. طريقة اختيار مربع كامل

إذا تم تمثيل جميع الحدود التي تحتوي على المجهول في شكل حدود من صيغ الضرب المختصرة - مربع المجموع أو الفرق - فبعد استبدال المتغيرات، يمكن تقديم المعادلة في شكل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع.

على سبيل المثال:

مثال 1:

حل المعادلة: .

حل:

إجابة:

مثال 2:

حل المعادلة: .

حل:

إجابة:

في منظر عامسيبدو التحول كما يلي:

هذا يعني: .

لا يذكرك بأي شيء؟ هذا شيء تمييزي! وهذا هو بالضبط كيف حصلنا على صيغة التمييز.

المعادلات التربيعية. باختصار عن الأشياء الرئيسية

معادلة من الدرجة الثانية- هذه معادلة من الشكل حيث - المجهول - معاملات المعادلة التربيعية - الحد الحر.

معادلة تربيعية كاملة- معادلة لا تساوي معاملاتها الصفر.

معادلة تربيعية مخفضة- معادلة فيها المعامل أي : .

معادلة تربيعية غير مكتملة- معادلة يكون فيها المعامل و/أو الحد الحر c مساوياً للصفر:

• إذا كان المعامل تبدو المعادلة كما يلي:
• إذا كان هناك حد حر، فإن المعادلة لها الشكل: ,
• إذا كانت و فإن المعادلة تبدو كالتالي: .

1. خوارزمية حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

1.1. معادلة تربيعية غير مكتملة من الشكل، حيث:

1) نعرب عن المجهول : ,

2) التحقق من علامة التعبير:

• إذا، فإن المعادلة ليس لها حلول،
• إذا كانت المعادلة لها جذرين.

1.2. معادلة تربيعية غير مكتملة من الشكل، حيث:

1) لنخرج العامل المشترك بين القوسين : ,

2) يكون حاصل الضرب صفراً إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفراً. وبالتالي فإن المعادلة لها جذرين:

1.3. معادلة تربيعية غير كاملة من الشكل، حيث:

هذه المعادلة دائمًا لها جذر واحد فقط: .

2. خوارزمية حل المعادلات التربيعية الكاملة من حيث الشكل

2.1. الحل باستخدام التمييز

1) لنجعل المعادلة بالشكل القياسي : ,

2) لنحسب المميز باستخدام الصيغة: التي تشير إلى عدد جذور المعادلة:

3) أوجد جذور المعادلة:

• إذا كانت المعادلة لها جذور، والتي تم العثور عليها بالصيغة:
• إذا كانت المعادلة لها جذر، والذي تم العثور عليه بالصيغة:
• إذا، فالمعادلة ليس لها جذور.

2.2. الحل باستخدام نظرية فييتا

مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة (معادلة الشكل حيث) متساوي، وحاصل ضرب الجذور متساوي، أي. ، أ.

2.3. الحل بطريقة اختيار مربع كامل

المعادلات التربيعية. مميز. الحل، الأمثلة.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

أنواع المعادلات التربيعية

ما هي المعادلة التربيعية؟ كيف تبدو؟ في فترة معادلة من الدرجة الثانيةالكلمة الأساسية هي "مربع".وهذا يعني أنه في المعادلة بالضرورةيجب أن يكون هناك مربع x. بالإضافة إلى ذلك، قد تحتوي المعادلة (أو لا!) على X فقط (للأس الأول) ورقم فقط (عضو مجاني).ويجب ألا يكون هناك علامة X للأس الأكبر من اثنين.

من الناحية الرياضية، المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل:

هنا أ، ب، ج- بعض الأرقام. ب و ج- على الاطلاق، ولكن أ– أي شيء آخر غير الصفر. على سبيل المثال:

هنا أ =1; ب = 3; ج = -4

هنا أ =2; ب = -0,5; ج = 2,2

هنا أ =-3; ب = 6; ج = -18

حسنا، أنت تفهم...

في هذه المعادلات التربيعية على اليسار يوجد طقم كاملأعضاء. X تربيع بمعامل أ، x للقوة الأولى مع المعامل بو عضو حر س.

تسمى هذه المعادلات التربيعية ممتلىء.

و إذا ب= 0، ماذا نحصل؟ لدينا سيتم فقدان X للقوة الأولى.يحدث هذا عند الضرب في الصفر.) ويتبين على سبيل المثال:

5س 2 -25 = 0،

2س 2 -6س=0،

-س 2 +4س=0

وما إلى ذلك وهلم جرا. وإذا كان كلا المعاملات بو جتساوي صفرًا، فالأمر أبسط:

2×2 =0،

-0.3×2 =0

تسمى هذه المعادلات التي يوجد فيها شيء مفقود المعادلات التربيعية غير كاملة.وهو أمر منطقي تمامًا.) يرجى ملاحظة أن x تربيع موجود في جميع المعادلات.

بالمناسبة لماذا ألا يمكن أن يساوي الصفر؟ وأنت بديل بدلا من ذلك أصفر.) سوف يختفي مربع X الخاص بنا! ستصبح المعادلة خطية. والحل مختلف تماما..

هذه هي جميع الأنواع الرئيسية للمعادلات التربيعية. كاملة وغير كاملة.

حل المعادلات التربيعية.

حل المعادلات التربيعية الكاملة.

المعادلات التربيعية سهلة الحل. وفق صيغ وقواعد واضحة وبسيطة. في المرحلة الأولى فمن الضروري معادلة معينةيؤدي إلى نموذج قياسي، أي. إلى النموذج:

إذا كانت المعادلة معطاة لك بالفعل في هذا النموذج، فلن تحتاج إلى القيام بالمرحلة الأولى.) الشيء الرئيسي هو تحديد جميع المعاملات بشكل صحيح، أ, بو ج.

تبدو صيغة إيجاد جذور المعادلة التربيعية كما يلي:

يسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر تمييزي. لكن المزيد عنه أدناه. كما ترون، للعثور على X، نستخدم فقط أ، ب، ج. أولئك. معاملات من المعادلة التربيعية. فقط استبدل القيم بعناية أ، ب، جنحن نحسب في هذه الصيغة. دعونا نستبدل مع علاماتك الخاصة! على سبيل المثال، في المعادلة:

أ =1; ب = 3; ج= -4. وهنا نكتبها:

تم حل المثال تقريبا:

هذا هو الجواب.

كل شيء بسيط جدا. وماذا تعتقد أنه من المستحيل ارتكاب خطأ؟ حسنًا، نعم، كيف...

الأخطاء الأكثر شيوعًا هي الخلط بين قيم الإشارة أ، ب، ج. أو بالأحرى، ليس مع علاماتهم (أين يمكن الخلط؟)، ولكن مع استبدال القيم السالبة في صيغة حساب الجذور. ما يساعد هنا هو التسجيل التفصيلي للصيغة أرقام محددة. إذا كانت هناك مشاكل في الحسابات، إفعل ذلك!

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المثال التالي:

هنا أ = -6; ب = -5; ج = -1

لنفترض أنك تعلم أنك نادرًا ما تحصل على إجابات في المرة الأولى.

حسنًا، لا تكن كسولًا. سيستغرق الأمر حوالي 30 ثانية لكتابة سطر إضافي وعدد الأخطاء سوف تنخفض بشكل حاد. لذلك نكتب بالتفصيل مع جميع الأقواس والعلامات:

يبدو من الصعب جدًا الكتابة بعناية شديدة. ولكن يبدو الأمر كذلك. جربها. حسنا، أو اختر. ما هو الأفضل، سريع أم صحيح؟ علاوة على ذلك، سأجعلك سعيدًا. بعد فترة من الوقت، لن تكون هناك حاجة لكتابة كل شيء بعناية. وسوف تعمل بشكل صحيح من تلقاء نفسها. خاصة إذا كنت تستخدم التقنيات العملية الموضحة أدناه. هذا المثال الشرير مع مجموعة من السلبيات يمكن حله بسهولة وبدون أخطاء!

لكن، في كثير من الأحيان، تبدو المعادلات التربيعية مختلفة قليلًا. على سبيل المثال، مثل هذا:

هل تعرفت عليه؟) نعم! هذا المعادلات التربيعية غير كاملة.

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة.

ويمكن أيضًا حلها باستخدام صيغة عامة. كل ما عليك فعله هو أن تفهم بشكل صحيح ما يساويهم هنا. أ، ب، ج.

هل عرفت ما هو؟ في المثال الأول أ = 1؛ ب = -4؛أ ج؟ انها ليست هناك على الاطلاق! حسنا نعم، هذا صحيح. في الرياضيات هذا يعني ذلك ج = 0 ! هذا كل شئ. عوّض بالصفر في الصيغة بدلاً من ذلك ج،وسوف ننجح. نفس الشيء مع المثال الثاني لكن ليس لدينا صفر هنا مع، أ ب !

ولكن يمكن حل المعادلات التربيعية غير المكتملة بطريقة أكثر بساطة. بدون أي صيغ. دعونا نفكر في الأول معادلة كاملة. ماذا يمكنك أن تفعل على الجانب الأيسر؟ يمكنك إخراج X من الأقواس! دعونا نخرجه.

وماذا من هذا؟ والحقيقة أن الناتج يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان أحد العوامل يساوي صفرًا! لا تصدقني؟ حسنًا، إذن توصل إلى رقمين غير الصفر، وعند ضربهما يعطيان صفرًا!
لا يعمل؟ هذا كل شيء...
لذلك يمكننا أن نكتب بثقة: × 1 = 0, × 2 = 4.

الجميع. ستكون هذه جذور المعادلة. كلاهما مناسب. عند استبدال أي منها في المعادلة الأصلية، نحصل على الهوية الصحيحة 0 = 0. كما ترون، الحل أبسط بكثير من استخدام الصيغة العامة. اسمحوا لي أن أشير، بالمناسبة، إلى أي X سيكون الأول وأيهما سيكون الثاني - غير مبال تمامًا. أنها مريحة للكتابة بالترتيب ، × 1- ما هو أصغر و × 2- ما هو أعظم.

ويمكن أيضًا حل المعادلة الثانية ببساطة. تحرك 9 إلى الجانب الأيمن. نحن نحصل:

كل ما تبقى هو استخراج الجذر من 9، وهذا كل شيء. سوف يتحول:

وأيضا جذوران . × 1 = -3, × 2 = 3.

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل جميع المعادلات التربيعية غير الكاملة. إما عن طريق وضع X خارج الأقواس، أو ببساطة عن طريق تحريك الرقم إلى اليمين ثم استخراج الجذر.
من الصعب للغاية الخلط بين هذه التقنيات. ببساطة لأنه في الحالة الأولى سيتعين عليك استخراج جذر X، وهو أمر غير مفهوم إلى حد ما، وفي الحالة الثانية لا يوجد شيء يمكن إخراجه من الأقواس...

مميز. صيغة التمييز.

كلمة سحرية تمييزي ! نادرا ما لم يسمع طالب في المدرسة الثانوية هذه الكلمة! إن عبارة "نحل بالمتميز" توحي بالثقة والطمأنينة. لأنه ليست هناك حاجة لتوقع الحيل من المُميز! إنه سهل الاستخدام وخالي من المتاعب.) أذكرك بالصيغة الأكثر عمومية للحل أيالمعادلات التربيعية:

ويسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر بالمميز. عادة يتم الإشارة إلى المميز بالحرف د. صيغة التمييز:

د = ب 2 - 4أ

وما هو اللافت للنظر في هذا التعبير؟ ولماذا استحق اسما خاصا؟ ماذا معنى التمييز ؟بعد كل ذلك -ب،أو 2 أفي هذه الصيغة لا يسمونها على وجه التحديد أي شيء ... حروف وحروف.

هنا الحاجة. عند حل معادلة تربيعية باستخدام هذه الصيغة، فمن الممكن ثلاث حالات فقط.

1. المميز إيجابي.وهذا يعني أنه يمكن استخراج الجذر منه. ما إذا كان يتم استخراج الجذر بشكل جيد أم سيئ هو سؤال آخر. المهم هو ما يتم استخراجه من حيث المبدأ. إذن فإن المعادلة التربيعية لها جذرين. حلين مختلفين.

2. المميز هو صفر.ثم سيكون لديك حل واحد. حيث أن إضافة أو طرح الصفر في البسط لا يغير شيئًا. بالمعنى الدقيق للكلمة، هذا ليس جذر واحد، ولكن اثنان متطابقان. ولكن في نسخة مبسطة، ومن المعتاد الحديث عنه حل واحد.

3. المميز سلبي.لا يمكن أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب. حسنا، حسنا. وهذا يعني أنه لا توجد حلول.

لنكون صادقين، عند حل المعادلات التربيعية ببساطة، لا تكون هناك حاجة لمفهوم المميز. نستبدل قيم المعاملات في الصيغة ونحسبها. كل شيء يحدث هناك من تلقاء نفسه، جذرين، واحد، ولا شيء. ومع ذلك، عند حل المزيد المهام الصعبة، بلا علم معنى وصيغة التمييزليس كافي. خاصة في المعادلات ذات المعلمات. مثل هذه المعادلات الأكروباتلامتحان الدولة وامتحان الدولة الموحدة!)

لذا، كيفية حل المعادلات التربيعيةمن خلال المميز الذي تذكرته. أو تعلمت، وهذا ليس سيئًا أيضًا.) أنت تعرف كيفية التحديد بشكل صحيح أ، ب، ج. هل تعرف كيف؟ بانتباهاستبدلها في صيغة الجذر و بانتباهاحسب النتيجة. هل فهمت ذلك الكلمة الرئيسيةهنا - بانتباه؟

الآن لاحظ التقنيات العملية التي تقلل بشكل كبير من عدد الأخطاء. نفس تلك التي تكون بسبب الغفلة... والتي تصبح فيما بعد مؤلمة ومهينة...

الموعد الأول . لا تتكاسل قبل حل المعادلة التربيعية وإعادتها إلى الصورة القياسية. ماذا يعني هذا؟
لنفترض أنه بعد كل التحويلات تحصل على المعادلة التالية:

لا تتعجل في كتابة صيغة الجذر! من المؤكد أنك سوف تختلط الاحتمالات أ، ب، ج.بناء المثال بشكل صحيح. أولاً، X مربع، ثم بدون مربع، ثم الحد الحر. مثله:

ومرة أخرى، لا تتعجل! إن وضع علامة ناقص أمام علامة X يمكن أن يزعجك حقًا. من السهل أن تنسى... تخلص من الطرح. كيف؟ نعم كما علمنا في الموضوع السابق! نحن بحاجة إلى ضرب المعادلة بأكملها في -1. نحن نحصل:

لكن يمكنك الآن كتابة صيغة الجذور بأمان وحساب المميز والانتهاء من حل المثال. تقرر لنفسك.

يجب أن يكون لديك الآن جذور 2 و-1. الاستقبال ثانيا تحقق من الجذور! وفقا لنظرية فييتا. لا تخف، سأشرح لك كل شيء! تدقيقآخر شيء المعادلة. أولئك. الذي استخدمناه لكتابة صيغة الجذر. إذا (كما في هذا المثال) المعاملأ = 1 التحقق من الجذور أمر سهل. يكفي مضاعفة عددهم. يجب أن تكون النتيجة عضوا حرا، أي. في حالتنا -2. يرجى ملاحظة، ليس 2، ولكن -2! عضو مجاني مع علامة الخاص بك

إذا كان يعمل، تحتاج إلى إضافة الجذور. الفحص الأخير والأخير. يجب أن يكون المعامل بمع عكس مألوف. في حالتنا -1+2 = +1. معامل بالتي تقع قبل X، تساوي -1. لذلك، كل شيء صحيح!
من المؤسف أن هذا الأمر بسيط جدًا فقط بالنسبة للأمثلة التي يكون فيها x مربعًا نقيًا، مع معامل أ = 1.لكن على الأقل تحقق من مثل هذه المعادلات! الجميع أخطاء أقلسوف.

الاستقبال ثالثا . إذا كانت المعادلة الخاصة بك لديها احتمالات كسرية- تخلص من الكسور! اضرب المعادلة ب القاسم المشترككما هو موضح في الدرس "كيف تحل المعادلات؟ التحويلات المتطابقة." عند التعامل مع الكسور، تستمر الأخطاء في الزحف لسبب ما...

بالمناسبة، لقد وعدت بتبسيط المثال الشرير بمجموعة من السلبيات. لو سمحت! ها هو.

لكي لا نخلط بين السلبيات، نضرب المعادلة في -1. نحن نحصل:

هذا كل شئ! الحل هو متعة!

لذلك دعونا نلخص الموضوع.

نصيحة عملية:

1. قبل الحل، نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصورة القياسية ونبنيها يمين.

2. إذا كان هناك معامل سالب أمام مربع X، فإننا نحذفه بضرب المعادلة بأكملها في -1.

3. إذا كانت المعاملات كسرية، فإننا نحذف الكسور عن طريق ضرب المعادلة بأكملها في العامل المقابل.

4. إذا كانت x مربعة نقية، فإن معاملها يساوي واحديمكن التحقق من الحل بسهولة باستخدام نظرية فييتا. افعلها!

الآن يمكننا أن نقرر.)

حل المعادلات:

8س 2 - 6س + 1 = 0

× 2 + 3س + 8 = 0

س 2 - 4س + 4 = 0

(س+1) 2 + س + 1 = (س+1)(س+2)

الإجابات (في حالة من الفوضى):

× 1 = 0
× 2 = 5

× 1.2 =2

× 1 = 2
× 2 = -0.5

س - أي رقم

× 1 = -3
× 2 = 3

لا توجد حلول

× 1 = 0.25
× 2 = 0.5

هل كل شيء مناسب؟ عظيم! المعادلات التربيعية ليست الشيء الخاص بك صداع. الثلاثة الأولى عملت والباقي لم يعمل؟ إذن المشكلة ليست في المعادلات التربيعية. المشكلة هي في تحويلات متطابقة من المعادلات. ألقِ نظرة على الرابط، فهو مفيد.

لا يعمل تماما؟ أم أنها لا تعمل على الإطلاق؟ إذن سوف يساعدك القسم 555 في تفصيل كل هذه الأمثلة هناك. معروض رئيسيأخطاء في الحل. وبطبيعة الحال، فإنه يتحدث أيضا عن الاستخدام تحولات الهويةفي القرار معادلات مختلفة. يساعد كثيرا!

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

مع هذا برنامج الرياضياتأنت تستطيع حل المعادلة التربيعية.

لا يقدم البرنامج الإجابة على المشكلة فحسب، بل يعرض أيضًا عملية الحل بطريقتين:
- باستخدام التمييز
- استخدام نظرية فييتا (إن أمكن).

علاوة على ذلك، يتم عرض الإجابة على أنها دقيقة وليست تقريبية.
على سبيل المثال، بالنسبة للمعادلة \(81x^2-16x-1=0\) يتم عرض الإجابة بالشكل التالي:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81)، \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ وليس هكذا: \(x_1 = 0.247; \رباعي x_2 = -0.05\)

هذا البرنامجقد تكون مفيدة لطلاب المدارس الثانوية المدارس الثانويةاستعدادا ل الاختباراتوالامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، ليتمكن الآباء من التحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك تريد فقط إنجاز الأمر في أسرع وقت ممكن؟ العمل في المنزلفي الرياضيات أو الجبر؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية.

بهذه الطريقة يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو التدريب الخاص بك. الأخوة الأصغر سناأو الأخوات، في حين يرتفع مستوى التعليم في مجال المشاكل التي يتم حلها.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال كثيرات الحدود التربيعية، فنوصيك بالتعرف عليها.

قواعد لإدخال كثيرات الحدود من الدرجة الثانية

أي حرف لاتيني يمكن أن يكون بمثابة متغير.
على سبيل المثال: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\)، إلخ.

يمكن إدخال الأرقام كأرقام كاملة أو كسرية.
علاوة على ذلك، أرقام كسريةيمكن إدخالها ليس فقط ككسر عشري، ولكن أيضًا ككسر عادي.

قواعد إدخال الكسور العشرية.
في الكسور العشرية جزءيمكن فصلها عن الكل إما بنقطة أو بفاصلة.
على سبيل المثال، يمكنك إدخال الكسور العشريةمثل هذا: 2.5x - 3.5x^2

قواعد إدخال الكسور العادية.
يمكن للعدد الصحيح فقط أن يكون بمثابة البسط والمقام والجزء الصحيح من الكسر.

لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.

عند الدخول جزء رقمييتم فصل البسط عن المقام بعلامة القسمة: /
يتم فصل الجزء بأكمله عن الكسر بواسطة علامة العطف: &
الإدخال: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
النتيجة: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

عند إدخال التعبير يمكنك استخدام الأقواس. في هذه الحالة، عند حل معادلة من الدرجة الثانية، يتم تبسيط التعبير المقدم أولاً.
على سبيل المثال: 1/2(ص-1)(ص+1)-(5ص-10&1/2)

=0

يقرر

تم اكتشاف أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المشكلة لم يتم تحميلها، وقد لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.
وفي هذه الحالة، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
لكي يظهر الحل، تحتاج إلى تمكين JavaScript.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية...

اذا أنت لاحظت خطأ في الحل، فيمكنك الكتابة عن هذا في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى المهمةعليك أن تقرر ما أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

القليل من النظرية.

المعادلة التربيعية وجذورها. المعادلات التربيعية غير الكاملة

كل من المعادلات
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
يشبه
\(ax^2+bx+c=0, \)
حيث x متغير، وa وb وc أرقام.
في المعادلة الأولى أ = -1، ب = 6 و ج = 1.4، في الثانية أ = 8، ب = -7 و ج = 0، في الثالثة أ = 1، ب = 0 و ج = 4/9. تسمى مثل هذه المعادلات المعادلات التربيعية.

تعريف.
معادلة من الدرجة الثانيةتسمى معادلة من الشكل ax 2 +bx+c=0، حيث x متغير، وa وb وc هي بعض الأرقام، و\(a \neq 0 \).

الأرقام a وb وc هي معاملات المعادلة التربيعية. الرقم a يسمى المعامل الأول، والرقم b هو المعامل الثاني، والرقم c هو الحد الحر.

في كل من المعادلات ذات الصيغة ax 2 +bx+c=0، حيث \(a \neq 0 \)، الأكثر درجة عاليةالمتغير x مربع. ومن هنا الاسم: المعادلة التربيعية.

لاحظ أن المعادلة التربيعية تسمى أيضًا معادلة من الدرجة الثانية، لأن ضلعها الأيسر هو كثيرة الحدود من الدرجة الثانية.

تسمى المعادلة التربيعية التي معامل x 2 يساوي 1 نظرا للمعادلة التربيعية. على سبيل المثال، المعادلات التربيعية المعطاة هي المعادلات
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

إذا كان في المعادلة التربيعية ax 2 +bx+c=0 واحد على الأقل من المعاملات b أو c يساوي الصفر، فإن هذه المعادلة تسمى معادلة تربيعية غير مكتملة. وبالتالي، فإن المعادلات -2x 2 +7=0، 3x 2 -10x=0، -4x 2 =0 هي معادلات تربيعية غير كاملة. في الأول ب = 0، في الثاني ج = 0، في الثالث ب = 0 و ج = 0.

هناك ثلاثة أنواع من المعادلات التربيعية غير الكاملة:
1) الفأس 2 +c=0، حيث \(c \neq 0 \);
2) الفأس 2 +bx=0، حيث \(b \neq 0 \);
3) الفأس 2 =0.

دعونا نفكر في حل المعادلات لكل من هذه الأنواع.

لحل معادلة تربيعية غير كاملة من الصيغة ax 2 +c=0 لـ \(c \neq 0 \)، انقل حدها الحر إلى الجانب الأيمن واقسم طرفي المعادلة على a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

منذ \(c \neq 0 \)، ثم \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

إذا كان \(-\frac(c)(a)>0\)، فإن المعادلة لها جذرين.

إذا \(-\frac(c)(a) لحل معادلة تربيعية غير كاملة من الصيغة ax 2 +bx=0 مع \(b \neq 0 \) عامل طرفها الأيسر واحصل على المعادلة
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (صفيف)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

هذا يعني أن المعادلة التربيعية غير المكتملة بالصيغة ax 2 +bx=0 لـ \(b \neq 0 \) لها دائمًا جذرين.

المعادلة التربيعية غير المكتملة ذات الصيغة ax 2 =0 تعادل المعادلة x 2 =0 وبالتالي لها جذر واحد 0.

صيغة لجذور المعادلة التربيعية

دعونا الآن نفكر في كيفية حل المعادلات التربيعية التي تكون فيها معاملات المجهول والحد الحر غير صفر.

دعونا نحل المعادلة التربيعية بشكل عام ونتيجة لذلك نحصل على صيغة الجذور. ويمكن بعد ذلك استخدام هذه الصيغة لحل أي معادلة تربيعية.

حل المعادلة التربيعية ax 2 +bx+c=0

بقسمة الطرفين على a، نحصل على المعادلة التربيعية المخفضة المكافئة
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

دعونا نحول هذه المعادلة عن طريق تحديد مربع ذات الحدين:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2)) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac)) (2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac)) )(2a) \)

يسمى التعبير الجذري مميز المعادلة التربيعيةالفأس 2 +bx+c=0 ("المميز" باللاتينية - المميز). يتم تحديده بالحرف D، أي.
\(د = ب^2-4ac\)

الآن، باستخدام التمييز، نعيد كتابة صيغة جذور المعادلة التربيعية:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \)، حيث \(D= b^2-4ac \)

من الواضح أن:
1) إذا كانت D > 0، فإن المعادلة التربيعية لها جذرين.
2) إذا كانت D=0، فإن المعادلة التربيعية لها جذر واحد \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) إذا D وهكذا، اعتمادًا على قيمة المميز، يمكن أن تحتوي المعادلة التربيعية على جذرين (لـ D > 0)، أو جذر واحد (لـ D = 0) أو ليس لها جذور (لـ D عند حل معادلة تربيعية باستخدام هذا الصيغة، فمن المستحسن القيام بالطريقة التالية:
1) احسب المميز وقارنه بالصفر؛
2) إذا كان المميز موجبًا أو يساوي صفرًا، فاستخدم صيغة الجذر؛ وإذا كان المميز سالبًا، فاكتب أنه لا توجد جذور.

نظرية فييتا

المعادلة التربيعية المعطاة ax 2 -7x+10=0 لها جذور 2 و5. مجموع الجذور هو 7، وحاصل الضرب 10. نرى أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني المأخوذ من علامة المعاكسوحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر. أي معادلة تربيعية مختزلة لها جذور لها هذه الخاصية.

مجموع جذور المعادلة التربيعية أعلاه يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر.

أولئك. تنص نظرية فييتا على أن الجذور x 1 و x 2 للمعادلة التربيعية المختزلة x 2 +px+q=0 لها الخاصية:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

تتم أيضًا دراسة مشاكل المعادلات التربيعية المنهج المدرسيوفي الجامعات. وهي تعني معادلات من الشكل a*x^2 + b*x + c = 0، حيث س-المتغير، أ، ب، ج - الثوابت؛ أ<>0 . المهمة هي العثور على جذور المعادلة.

المعنى الهندسي للمعادلة التربيعية

الرسم البياني للدالة الممثلة بمعادلة تربيعية هو القطع المكافئ. حلول (جذور) المعادلة التربيعية هي نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور الإحداثي السيني (x). ويترتب على ذلك أن هناك ثلاث حالات محتملة:
1) لا يحتوي القطع المكافئ على نقاط تقاطع مع محور الإحداثي السيني. وهذا يعني أنه في المستوى العلوي مع فروع لأعلى أو في الأسفل مع فروع لأسفل. في مثل هذه الحالات، المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية (لها جذرين معقدان).

2) القطع المكافئ له نقطة تقاطع مع محور الثور. تسمى هذه النقطة قمة القطع المكافئ، وتكتسب المعادلة التربيعية عندها الحد الأدنى أو الحد الأقصى لقيمتها. في هذه الحالة، المعادلة التربيعية لها جذر حقيقي واحد (أو جذرين متطابقين).

3) الحالة الأخيرةمن الناحية العملية، يكون الأمر أكثر إثارة للاهتمام - هناك نقطتان لتقاطع القطع المكافئ مع محور الإحداثي السيني. وهذا يعني أن هناك اثنين جذور حقيقيةالمعادلات

استنادا إلى تحليل معاملات قوى المتغيرات، يمكن استخلاص استنتاجات مثيرة للاهتمام حول موضع القطع المكافئ.

1) إذا كان المعامل a أكبر من الصفر، فإن فروع القطع المكافئ تتجه نحو الأعلى؛ وإذا كان سالباً، فإن فروع القطع المكافئ تتجه نحو الأسفل.

2) إذا كان المعامل b أكبر من الصفر فإن رأس القطع المكافئ يقع في نصف المستوى الأيسر إذا كان يأخذ معنى سلبي- ثم على اليمين.

اشتقاق الصيغة لحل المعادلة التربيعية

دعنا ننقل الثابت من المعادلة التربيعية

للحصول على علامة المساواة، نحصل على التعبير

اضرب كلا الجانبين بـ 4 أ

للحصول على اليسار مربع ممتازأضف b^2 إلى كلا الجانبين وقم بإجراء التحويل

من هنا نجد

صيغة المميز وجذور المعادلة التربيعية

المميز هو قيمة التعبير الجذري إذا كان موجبًا، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين، يتم حسابهما بالصيغة عندما يكون المميز صفرًا، يكون للمعادلة التربيعية حل واحد (جذران متطابقان)، والذي يمكن الحصول عليه بسهولة من الصيغة أعلاه لـ D=0. التمييز السلبيلا توجد معادلات الجذر الحقيقي. ومع ذلك، توجد حلول للمعادلة التربيعية في المستوى المركب، ويتم حساب قيمتها باستخدام الصيغة

نظرية فييتا

دعونا نفكر في جذرين لمعادلة تربيعية ونبني على أساسهما معادلة تربيعية تتبع نظرية فييتا نفسها بسهولة من الترميز: إذا كان لدينا معادلة تربيعية من الشكل فإن مجموع جذورها يساوي المعامل p المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب جذور المعادلة يساوي الحد الحر q. سيبدو التمثيل الصيغةي لما سبق كما لو كان الثابت a في المعادلة الكلاسيكية غير صفر، فأنت بحاجة إلى قسمة المعادلة بأكملها عليه، ثم تطبيق نظرية فييتا.

تحليل جدول المعادلات التربيعية

دع المهمة يتم تحديدها: تحليل المعادلة التربيعية. للقيام بذلك، نقوم أولاً بحل المعادلة (العثور على الجذور). بعد ذلك، نعوض بالجذور الموجودة في صيغة مفكوك المعادلة التربيعية، وهذا سيحل المشكلة.

مشاكل المعادلات التربيعية

مهمة 1. أوجد جذور المعادلة التربيعية

x^2-26x+120=0 .

الحل: اكتب المعاملات وعوض بها في صيغة التمييز

جذر ال قيمة معينةيساوي 14، من السهل العثور عليه باستخدام الآلة الحاسبة، أو تذكره مع الاستخدام المتكرر، ومع ذلك، للراحة، في نهاية المقالة، سأقدم لك قائمة بمربعات الأرقام التي يمكن مواجهتها غالبًا في مثل هذه المشكلات.
نستبدل القيمة التي تم العثور عليها في صيغة الجذر

ونحصل

المهمة 2. حل المعادلة

2س2 +س-3=0.

الحل: لدينا معادلة تربيعية كاملة، اكتب المعاملات وأوجد المميز


بواسطة الصيغ المعروفةإيجاد جذور المعادلة التربيعية

المهمة 3. حل المعادلة

9س2 -12س+4=0.

الحل: لدينا معادلة تربيعية كاملة. تحديد التمييز

لدينا حالة حيث تتطابق الجذور. أوجد قيم الجذور باستخدام الصيغة

المهمة 4. حل المعادلة

س^2+س-6=0 .

الحل: في الحالات التي تكون فيها معاملات x صغيرة، فمن المستحسن تطبيق نظرية فييتا. من خلال حالتها نحصل على معادلتين

ومن الشرط الثاني نجد أن حاصل الضرب يجب أن يساوي -6. وهذا يعني أن أحد الجذور سلبي. لدينا زوج الحلول الممكن التالي (-3;2), (3;-2) . ومع مراعاة الشرط الأول، نرفض الزوج الثاني من الحلول.
جذور المعادلة متساوية

المسألة 5. أوجد أطوال أضلاع المستطيل إذا كان محيطه 18 سم ومساحته 77 سم2.

الحل: نصف محيط المستطيل يساوي مجموع أضلاعه المجاورة. دعونا نشير إلى x - الجانب الكبير، ثم 18× ضلعه الأصغر. مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب هذه الأطوال:
س(18-س)=77;
أو
× 2 -18س+77=0.
دعونا نجد مميز المعادلة

حساب جذور المعادلة

لو س = 11،الذي - التي 18 = 7 ,والعكس صحيح أيضًا (إذا كانت x = 7، فإن 21 = 9).

المشكلة 6. تحليل المعادلة التربيعية 10x 2 -11x+3=0.

الحل: لنحسب جذور المعادلة، وللقيام بذلك نجد المميز

نستبدل القيمة التي تم العثور عليها في صيغة الجذر ونحسبها

نحن نطبق صيغة تحليل المعادلة التربيعية حسب الجذور

بفتح الأقواس نحصل على هوية.

المعادلة التربيعية مع المعلمة

مثال 1. في أي قيم المعلمة أ ،هل المعادلة (a-3)x2 + (3-a)x-1/4=0 لها جذر واحد؟

الحل: بالتعويض المباشر بالقيمة a=3 نجد أنه ليس لها حل. بعد ذلك، سوف نستخدم حقيقة أنه في حالة وجود تمييز صفري، فإن المعادلة لها جذر واحد للتعدد 2. دعونا نكتب المميز

دعونا نبسطها ونساويها بالصفر

لقد حصلنا على معادلة تربيعية فيما يتعلق بالمعلمة a، والتي يمكن الحصول على حلها بسهولة باستخدام نظرية فييتا. مجموع الجذور هو 7 وحاصل ضربها هو 12. من خلال البحث البسيط نثبت أن الأرقام 3،4 ستكون جذور المعادلة. وبما أننا رفضنا الحل a=3 بالفعل في بداية الحسابات، فإن الحل الصحيح الوحيد هو - أ=4.وبالتالي، بالنسبة لـ a=4، للمعادلة جذر واحد.

مثال 2. في أي قيم المعلمة أ ،المعادلة أ(أ+3)س^2+(2أ+6)س-3أ-9=0لديه أكثر من جذر واحد؟

الحل: دعونا ننظر أولا النقاط المفردةستكون القيمتين a=0 و a=-3. عندما يكون a=0، سيتم تبسيط المعادلة إلى الشكل 6x-9=0؛ x=3/2 وسيكون هناك جذر واحد. بالنسبة لـ a= -3 نحصل على الهوية 0=0.
دعونا نحسب المميز

وأوجد قيمة a التي تكون عندها موجبة

من الشرط الأول نحصل على> 3. وفي الحالة الثانية، نجد مميز المعادلة وجذورها


دعونا نحدد الفواصل الزمنية التي تستغرقها الوظيفة القيم الإيجابية. وبالتعويض بالنقطة a=0 نحصل على ذلك 3>0 . لذا، خارج الفترة (-3؛1/3) تكون الدالة سالبة. لا تنسى هذه النقطة أ = 0،والتي يجب استبعادها لأن المعادلة الأصلية لها جذر واحد.
ونتيجة لذلك، نحصل على فترتين تحققان شروط المشكلة

مهام مماثلةفي الممارسة العملية، سيكون هناك الكثير، حاول معرفة المهام بنفسك ولا تنس أن تأخذ في الاعتبار الشروط المتبادلة. ادرس صيغ حل المعادلات التربيعية جيدًا؛ فغالبًا ما تكون هناك حاجة إليها عند إجراء العمليات الحسابية مهام مختلفةوالعلوم.

قد يبدو هذا الموضوع صعبًا في البداية نظرًا للكثيرين وليس كذلك صيغ بسيطة. لا تحتوي المعادلات التربيعية نفسها على رموز طويلة فحسب، بل يمكن العثور على الجذور أيضًا من خلال المميز. في المجموع، تم الحصول على ثلاث صيغ جديدة. ليس من السهل أن نتذكر. وهذا ممكن فقط بعد حل مثل هذه المعادلات بشكل متكرر. ثم سيتم تذكر جميع الصيغ من تلقاء نفسها.

نظرة عامة على المعادلة التربيعية

وهنا نقترح تسجيلها الصريح، عندما يتم كتابة الدرجة الأكبر أولا، ثم بالترتيب التنازلي. غالبًا ما تكون هناك مواقف تكون فيها المصطلحات غير متناسقة. ومن الأفضل إعادة كتابة المعادلة بترتيب تنازلي لدرجة المتغير.

دعونا نقدم بعض الرموز. يتم عرضها في الجدول أدناه.

إذا قبلنا هذه الرموز، فسيتم تقليل جميع المعادلات التربيعية إلى الترميز التالي.

علاوة على ذلك، فإن المعامل أ ≠ 0. دع هذه الصيغة يتم تعيينها رقم واحد.

عند إعطاء معادلة، ليس من الواضح عدد الجذور الموجودة في الإجابة. لأن أحد الخيارات الثلاثة ممكن دائمًا:

• سيكون للحل جذرين؛
• الجواب سيكون رقم واحد؛
• المعادلة لن يكون لها جذور على الإطلاق.

وحتى يتم الانتهاء من القرار، من الصعب فهم الخيار الذي سيظهر في حالة معينة.

أنواع تسجيلات المعادلات التربيعية

المشاكل قد تحتوي عليها إدخالات مختلفة. لن يبدوا هكذا دائمًا صيغة عامةمعادلة من الدرجة الثانية. في بعض الأحيان سوف تفتقد بعض المصطلحات. ما كتب أعلاه هو المعادلة الكاملة. فإذا أزلت الحد الثاني أو الثالث فيه، تحصل على شيء آخر. وتسمى هذه السجلات أيضًا بالمعادلات التربيعية، ولكنها غير مكتملة.

علاوة على ذلك، فإن المصطلحات ذات المعاملين "b" و"c" فقط هي التي يمكن أن تختفي. الرقم "أ" لا يمكن أن يساوي الصفر تحت أي ظرف من الظروف. لأنه في هذه الحالة تتحول الصيغة إلى معادلة خطية. ستكون صيغ المعادلات غير الكاملة كما يلي:

لذلك، هناك نوعان فقط، بالإضافة إلى المعادلات الكاملة، هناك أيضًا معادلات تربيعية غير كاملة. دع الصيغة الأولى تكون رقم اثنين، والثانية - ثلاثة.

التمييز واعتماد عدد الجذور على قيمته

يجب أن تعرف هذا الرقم لتتمكن من حساب جذور المعادلة. ويمكن دائمًا حسابها، بغض النظر عن صيغة المعادلة التربيعية. لحساب المميز، عليك استخدام المساواة المكتوبة أدناه، والتي سيكون لها الرقم أربعة.

بعد استبدال قيم المعامل في هذه الصيغة، يمكنك الحصول على أرقام بها علامات مختلفة. إذا كانت الإجابة بنعم، فإن إجابة المعادلة هي اثنان جذور مختلفة. في عدد السلبيجذور المعادلة التربيعية ستكون مفقودة. وإذا كانت تساوي صفرًا، فسيكون هناك إجابة واحدة فقط.

كيفية حل معادلة تربيعية كاملة؟

في الواقع، لقد بدأ بالفعل النظر في هذه المسألة. لأنك تحتاج أولاً إلى العثور على المميز. بعد تحديد وجود جذور للمعادلة التربيعية ومعرفة عددها، عليك استخدام صيغ للمتغيرات. إذا كان هناك جذرين، فأنت بحاجة إلى تطبيق الصيغة التالية.

وبما أنه يحتوي على علامة "±"، فسيكون هناك معنيان. التعبير الموجود تحت علامة الجذر التربيعي هو المميز. ولذلك، يمكن إعادة كتابة الصيغة بشكل مختلف.

الصيغة رقم خمسة. ومن نفس السجل يتضح أنه إذا كان المميز يساوي صفرًا، فإن كلا الجذرين سيأخذان نفس القيم.

إذا لم يتم حل المعادلات التربيعية بعد، فمن الأفضل تدوين قيم جميع المعاملات قبل تطبيق الصيغ التمييزية والمتغيرة. في وقت لاحق هذه اللحظة لن تسبب صعوبات. ولكن في البداية هناك ارتباك.

كيفية حل معادلة تربيعية غير مكتملة؟

كل شيء أبسط بكثير هنا. ليس هناك حتى حاجة ل صيغ إضافية. ولن تكون هناك حاجة لتلك التي تم كتابتها بالفعل للمميز والمجهول.

دعونا نفكر أولا معادلة غير مكتملةفي رقم اثنين. وفي هذه المساواة لا بد من إخراج الكمية المجهولة من الأقواس وحل المعادلة الخطية التي ستبقى بين قوسين. الجواب سيكون له جذرين. فالأول يساوي بالضرورة صفرًا، لأن هناك مضاعفًا يتكون من المتغير نفسه. وسيتم الحصول على الثانية عن طريق حل معادلة خطية.

يتم حل المعادلة غير المكتملة رقم ثلاثة عن طريق نقل الرقم من الجانب الأيسر للمساواة إلى اليمين. ثم عليك أن تقسم على المعامل الذي يواجه المجهول. كل ما تبقى هو استخراج الجذر التربيعي وتذكر كتابته مرتين بعلامات متضادة.

فيما يلي بعض الخطوات التي ستساعدك على تعلم كيفية حل جميع أنواع المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية. سوف يساعدون الطالب على تجنب الأخطاء بسبب عدم الانتباه. هذه العيوب هي السبب درجات سيئةأثناء دراسة الموضوع الموسع "المعادلات التربيعية (الصف الثامن)". وبعد ذلك، لن يلزم تنفيذ هذه الإجراءات باستمرار. لأن مهارة مستقرة سوف تظهر.

• تحتاج أولاً إلى كتابة المعادلة في الصورة القياسية. وهذا هو، أولا المصطلح مع أكثر إلى حد كبيرمتغير، ومن ثم - بدون درجة وأخيرًا - مجرد رقم.

• إذا ظهر ناقص قبل المعامل "أ"، فإنه يمكن أن يعقد العمل للمبتدئين في دراسة المعادلات التربيعية. من الأفضل التخلص منه. ولهذا الغرض، يجب ضرب كل المساواة بـ "-1". وهذا يعني أن جميع المصطلحات سوف تتغير الإشارة إلى العكس.

• يوصى بالتخلص من الكسور بنفس الطريقة. ما عليك سوى ضرب المعادلة في العامل المناسب حتى يتم إلغاء المقامات.

أمثلة

مطلوب حل المعادلات التربيعية التالية:

س 2 − 7س = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

س 2 + 8 + 3س = 0؛

12س + س 2 + 36 = 0;

(س+1) 2 + س + 1 = (س+1)(س+2).

المعادلة الأولى: x 2 − 7x = 0. وهي غير كاملة، لذلك تم حلها كما هو موضح في الصيغة الثانية.

وبعد إخراجها من الأقواس يتبين أن: x (x - 7) = 0.

يأخذ الجذر الأول القيمة: x 1 = 0. وسيتم العثور على الجذر الثاني من معادلة خط مستقيم: س - 7 = 0. من السهل أن نرى أن س 2 = 7.

المعادلة الثانية: 5س2 + 30 = 0. مرة أخرى غير كاملة. فقط يتم حلها كما هو موضح للصيغة الثالثة.

بعد نقل 30 إلى الجانب الأيمن من المعادلة: 5x 2 = 30. الآن أنت بحاجة إلى القسمة على 5. اتضح: x 2 = 6. ستكون الإجابات هي الأرقام: x 1 = √6، x 2 = - √6.

المعادلة الثالثة: 15 − 2x − x 2 = 0. هنا وأكثر، سيبدأ حل المعادلات التربيعية بإعادة كتابتها طريقة العرض القياسية: − x 2 − 2x + 15 = 0. الآن حان الوقت لاستخدام الثانية نصيحة مفيدةوضرب كل شيء في ناقص واحد. اتضح أن x 2 + 2x - 15 = 0. باستخدام الصيغة الرابعة، عليك حساب المميز: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. إنه رقم موجب. مما سبق يتبين أن المعادلة لها جذرين. يجب حسابها باستخدام الصيغة الخامسة. اتضح أن x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. ثم x 1 = 3، x 2 = - 5.

المعادلة الرابعة x 2 + 8 + 3x = 0 يتم تحويلها إلى هذا: x 2 + 3x + 8 = 0. ومميزها يساوي هذه القيمة: -23. وبما أن هذا الرقم سلبي، فإن الإجابة على هذه المهمة ستكون الإدخال التالي: "لا توجد جذور".

يجب إعادة كتابة المعادلة الخامسة 12x + x 2 + 36 = 0 على النحو التالي: x 2 + 12x + 36 = 0. وبعد تطبيق صيغة المميز يتم الحصول على الرقم صفر. وهذا يعني أنه سيكون له جذر واحد، وهو: x = -12/ (2 * 1) = -6.

المعادلة السادسة (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) تتطلب تحويلات تتمثل في جلب مصطلحات مماثلة، قبل فتح الأقواس. بدل الأول يكون التعبير التالي: x 2 + 2x + 1. وبعد المساواة يظهر هذا المدخل: x 2 + 3x + 2. وبعد حساب الحدود المتشابهة تأخذ المعادلة الشكل: x 2 - س = 0. لقد أصبح غير مكتمل. لقد تمت بالفعل مناقشة شيء مشابه لهذا أعلى قليلاً. جذور هذا ستكون الأرقام 0 و 1.