عندما يكون للمعادلة التربيعية جذران مختلفان. المعادلات التربيعية

فقط. وفق صيغ وقواعد واضحة وبسيطة. في المرحلة الأولى

نحن بحاجة إلى تقليل المعادلة المعطاة إلى طريقة العرض القياسية، أي. إلى النموذج:

إذا كانت المعادلة معطاة لك بالفعل بهذا النموذج، فلن تحتاج إلى القيام بالمرحلة الأولى. الشيء الأكثر أهمية هو أن تفعل ذلك بشكل صحيح

تحديد جميع المعاملات ، أ, بو ج.

صيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية.

يسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر تمييزي . كما ترون، للعثور على X، نحن

نحن نستخدم فقط أ، ب، ج. أولئك. معاملات من معادلة من الدرجة الثانية. فقط ضعه بعناية

قيم أ، ب، جنحن نحسب في هذه الصيغة. نستبدل ب هُمعلامات!

على سبيل المثال، في المعادلة:

أ =1; ب = 3; ج = -4.

نستبدل القيم ونكتب:

تم حل المثال تقريبًا:

هذا هو الجواب.

الأخطاء الأكثر شيوعًا هي الخلط بين قيم الإشارة أ، بو مع. أو بالأحرى مع الاستبدال

القيم السلبية في صيغة حساب الجذور. يأتي التسجيل التفصيلي للصيغة للإنقاذ هنا

مع أرقام محددة. إذا كان لديك مشاكل مع الحسابات، افعلها!

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المثال التالي:

هنا أ = -6; ب = -5; ج = -1

نحن نصف كل شيء بالتفصيل، بعناية، دون فقدان أي شيء بكل العلامات والأقواس:

غالبًا ما تبدو المعادلات التربيعية مختلفة قليلًا. على سبيل المثال، مثل هذا:

الآن لاحظ التقنيات العملية التي تقلل بشكل كبير من عدد الأخطاء.

الموعد الأول. لا تكن كسولًا من قبل حل معادلة تربيعيةإحضاره إلى النموذج القياسي.

ماذا يعني هذا؟

لنفترض أنه بعد كل التحويلات تحصل على المعادلة التالية:

لا تتعجل في كتابة صيغة الجذر! من المؤكد أنك سوف تختلط الاحتمالات أ، ب، ج.

بناء المثال بشكل صحيح. أولاً، X مربع، ثم بدون مربع، ثم الحد الحر. مثله:

تخلص من الطرح. كيف؟ نحن بحاجة إلى ضرب المعادلة بأكملها في -1. نحن نحصل:

لكن يمكنك الآن كتابة صيغة الجذور بأمان وحساب المميز والانتهاء من حل المثال.

تقرر لنفسك. يجب أن يكون لديك الآن جذور 2 و-1.

الاستقبال ثانياتحقق من الجذور! بواسطة نظرية فييتا.

لحل المعادلات التربيعية المعطاة، أي. إذا كان المعامل

س 2 + ب س + ج = 0،

ثم× 1 × 2 = ج

س 1 + س 2 =−ب

للحصول على معادلة تربيعية كاملة فيها أ≠1:

× 2+بس+ج=0,

قسّم المعادلة بأكملها على أ:

→ →

أين × 1و س 2- جذور المعادلة .

الاستقبال ثالثا. إذا كانت المعادلة الخاصة بك لديها احتمالات كسرية- تخلص من الكسور! تتضاعف

معادلة ذات قاسم مشترك.

خاتمة. نصيحة عملية:

1. قبل الحل، نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصورة القياسية ونبنيها يمين.

2. إذا كان هناك معامل سالب أمام مربع X، فإننا نحذفه بضرب كل شيء

المعادلات بواسطة -1.

3. إذا كانت المعاملات كسرية، فإننا نحذف الكسور بضرب المعادلة بأكملها في المقابل

عامل.

4. إذا كانت x مربعة نقية، فإن معاملها يساوي واحد، يمكن التحقق من الحل بسهولة عن طريق

في مجتمع حديثيمكن أن تكون القدرة على إجراء العمليات باستخدام المعادلات التي تحتوي على متغير مربع مفيدة في العديد من مجالات النشاط وتستخدم على نطاق واسع في الممارسة العملية في التطورات العلمية والتقنية. يمكن العثور على دليل على ذلك في تصميم السفن البحرية والنهرية والطائرات والصواريخ. وباستخدام مثل هذه الحسابات، يتم تحديد مسارات الحركة الأكثر أجسام مختلفة، مشتمل الأجسام الفضائية. تُستخدم الأمثلة على حل المعادلات التربيعية ليس فقط في التنبؤ الاقتصادي، وفي تصميم وتشييد المباني، ولكن أيضًا في الظروف اليومية الأكثر شيوعًا. قد تكون هناك حاجة إليها في رحلات المشي لمسافات طويلة، وفي الأحداث الرياضية، وفي المتاجر عند إجراء عمليات الشراء وفي المواقف الأخرى الشائعة جدًا.

دعونا نقسم التعبير إلى العوامل المكونة له

يتم تحديد درجة المعادلة القيمة القصوىدرجة المتغير الذي يحتوي عليه هذا التعبير. إذا كانت تساوي 2، فإن هذه المعادلة تسمى تربيعية.

إذا تحدثنا بلغة الصيغ، فيمكن دائمًا إحضار التعبيرات المشار إليها، بغض النظر عن مظهرها، إلى النموذج عندما يتكون الجانب الأيسر من التعبير من ثلاثة مصطلحات. من بينها: ax 2 (أي متغير مربع بمعامله)، bx (مجهول بدون مربع بمعامله) و c (مركب حر، أي رقم عادي). كل هذا على الجانب الأيمن يساوي 0. في الحالة التي تفتقر فيها كثيرة الحدود إلى أحد المصطلحات المكونة لها، باستثناء المحور 2، فإنها تسمى معادلة تربيعية غير كاملة. يجب أولاً النظر في الأمثلة على حل مثل هذه المشكلات، وقيم المتغيرات التي يسهل العثور عليها.

إذا كان التعبير يبدو بطريقة تجعل التعبير الموجود على الجانب الأيمن يحتوي على حدين، بشكل أكثر دقة ax 2 وbx، فإن أسهل طريقة للعثور على x هي وضع المتغير خارج الأقواس. الآن ستبدو معادلتنا كما يلي: x(ax+b). بعد ذلك، يصبح من الواضح أن x=0، أو أن المشكلة تكمن في العثور على متغير من التعبير التالي: ax+b=0. وهذا ما تمليه إحدى خصائص الضرب. تنص القاعدة على أن حاصل ضرب عاملين ينتج عنه 0 فقط إذا كان أحدهما يساوي الصفر.

مثال

س=0 أو 8س - 3 = 0

ونتيجة لذلك، نحصل على جذرين للمعادلة: 0 و0.375.

ويمكن للمعادلات من هذا النوع أن تصف حركة الأجسام تحت تأثير الجاذبية، والتي بدأت تتحرك من نقطة معينة تؤخذ على أنها أصل الإحداثيات. هنا يأخذ التدوين الرياضي النموذج التالي: ص = الخامس 0 ر + GT 2 /2. ومن خلال استبدال القيم الضرورية، ومساواة الجانب الأيمن بالصفر وإيجاد المجهولات المحتملة، يمكنك معرفة الوقت الذي يمر من لحظة صعود الجسم إلى لحظة سقوطه، بالإضافة إلى العديد من الكميات الأخرى. لكننا سنتحدث عن هذا لاحقًا.

تحليل التعبير

القاعدة الموضحة أعلاه تجعل من الممكن اتخاذ القرار المهام المحددةو اكثر الحالات الصعبة. دعونا نلقي نظرة على أمثلة لحل المعادلات التربيعية من هذا النوع.

× 2 - 33س + 200 = 0

هذا ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةاكتمل. أولاً، دعونا نحول التعبير ونقوم بتحليله. هناك اثنان منهم: (x-8) و(x-25) = 0. ونتيجة لذلك، لدينا جذرين 8 و25.

تسمح أمثلة حل المعادلات التربيعية في الصف التاسع لهذه الطريقة بالعثور على متغير في التعبيرات ليس فقط من الدرجة الثانية، ولكن حتى من الرتبتين الثالثة والرابعة.

على سبيل المثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. عند تحليل الجانب الأيمن إلى عوامل ذات متغير، هناك ثلاثة منها، وهي (x+1) و(x-3) و(x+ 3).

ونتيجة لذلك، يصبح من الواضح أن هذه المعادلة لها ثلاثة جذور: -3؛ -1؛ 3.

الجذر التربيعي

حالة أخرى لمعادلة غير مكتملة من الدرجة الثانية هي التعبير الذي يتم تمثيله بلغة الحروف بحيث يتم إنشاء الجانب الأيمن من المكونين ax 2 وc. وهنا للحصول على قيمة المتغير يتم نقل الحد الحر إليه الجانب الأيمنوبعد ذلك من طرفي المساواة نستخرج الجذر التربيعي. تجدر الإشارة إلى أنه في في هذه الحالةعادة ما يكون هناك جذرين للمعادلة. يمكن أن تكون الاستثناءات الوحيدة هي المعادلات التي لا تحتوي على حد على الإطلاق، حيث يكون المتغير يساوي صفرًا، بالإضافة إلى متغيرات التعبيرات عندما يكون الجانب الأيمن سالبًا. في الحالة الأخيرةلا توجد حلول على الإطلاق، حيث لا يمكن تنفيذ الإجراءات المذكورة أعلاه مع الجذور. ينبغي النظر في أمثلة حلول المعادلات التربيعية من هذا النوع.

في هذه الحالة، جذور المعادلة ستكون الرقمين -4 و4.

حساب مساحة الأرض

ظهرت الحاجة إلى هذا النوع من الحسابات في العصور القديمة، لأن تطور الرياضيات في تلك الأوقات البعيدة كان يتحدد إلى حد كبير من خلال الحاجة إلى تحديد مناطق ومحيط قطع الأراضي بأكبر قدر من الدقة.

يجب علينا أيضًا أن نفكر في أمثلة لحل المعادلات التربيعية بناءً على مسائل من هذا النوع.

لنفترض أن هناك قطعة أرض مستطيلة الشكل يزيد طولها عن عرضها بـ 16 مترًا. يجب أن تجد طول الموقع وعرضه ومحيطه إذا علمت أن مساحته 612 م2.

للبدء، دعونا أولاً ننشئ المعادلة الضرورية. لنرمز بـ x إلى عرض المساحة، فيكون طولها (x+16). يتبين من ما كتب أن المساحة يتم تحديدها بواسطة التعبير x(x+16)، والذي، وفقًا لشروط مسألتنا، هو 612. وهذا يعني أن x(x+16) = 612.

حل المعادلات التربيعية الكاملة، وهذا التعبير هو بالضبط، لا يمكن أن يتم بنفس الطريقة. لماذا؟ على الرغم من أن الجانب الأيسر لا يزال يحتوي على عاملين، إلا أن حاصل ضربهما لا يساوي 0 على الإطلاق، لذلك يتم استخدام طرق مختلفة هنا.

مميز

أولا وقبل كل شيء، دعونا ننتج التحولات الضرورية، ثم مظهر التعبير المعطىستبدو بالشكل التالي: x 2 + 16x - 612 = 0. وهذا يعني أننا تلقينا تعبيرًا في شكل يتوافق مع المعيار المحدد مسبقًا، حيث a=1، b=16، c=-612.

قد يكون هذا مثالاً على حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز. هنا الحسابات اللازمةيتم إنتاجها وفقًا للمخطط: D = b 2 - 4ac. هذه الكمية المساعدة لا تتيح فقط إيجاد الكميات المطلوبة في معادلة من الدرجة الثانية، بل تحدد الكمية أيضًا الخيارات الممكنة. إذا كان D > 0، فهناك اثنان منهم؛ بالنسبة لـ D=0 يوجد جذر واحد. في حالة د<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

عن الجذور وصيغتها

في حالتنا، المميز يساوي: 256 - 4(-612) = 2704. وهذا يشير إلى أن مشكلتنا لها إجابة. إذا كنت تعرف k، فيجب الاستمرار في حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة أدناه. انها تسمح لك لحساب الجذور.

وهذا يعني أنه في الحالة المعروضة: x 1 = 18، x 2 = -34. الخيار الثاني في هذه المعضلة لا يمكن أن يكون حلا، لأن أبعاد قطعة الأرض لا يمكن قياسها بكميات سالبة، مما يعني أن x (أي عرض قطعة الأرض) هو 18 م، ومن هنا نحسب الطول: 18 +16=34، والمحيط 2(34+18)=104(م2).

الأمثلة والمهام

نواصل دراستنا للمعادلات التربيعية. سيتم تقديم الأمثلة والحلول التفصيلية للعديد منها أدناه.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

دعونا ننقل كل شيء إلى الجهه اليسرىالمساواة، سنقوم بإجراء تحويل، أي أننا سنحصل على شكل المعادلة، والتي تسمى عادة المعيار، وسوف نساويها بالصفر.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

بإضافة تلك المتشابهة، نحدد المميز: D = 49 - 48 = 1. هذا يعني أن المعادلة سيكون لها جذرين. لنحسبهما وفق الصيغة المذكورة أعلاه، مما يعني أن الأول منهما يساوي 4/3، والثاني يساوي 1.

2) الآن دعونا نحل ألغازًا من نوع مختلف.

لنكتشف ما إذا كان هناك أي جذور هنا x 2 - 4x + 5 = 1؟ للحصول على إجابة شاملة، دعونا نختصر كثيرة الحدود إلى الصورة المعتادة المقابلة ونحسب المميز. في المثال أعلاه، ليس من الضروري حل المعادلة التربيعية، لأن هذا ليس جوهر المشكلة على الإطلاق. في هذه الحالة، D = 16 - 20 = -4، مما يعني عدم وجود جذور حقًا.

نظرية فييتا

المعادلات التربيعيةمن السهل حلها من خلال الصيغ المذكورة أعلاه والمميز، عندما يتم أخذ الجذر التربيعي من قيمة الأخير. ولكن هذا لا يحدث دائما. ومع ذلك، هناك طرق عديدة للحصول على قيم المتغيرات في هذه الحالة. مثال: حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا. تم تسميتها على اسم من عاش في فرنسا في القرن السادس عشر وحقق مسيرة مهنية رائعة بفضل موهبته الرياضية وعلاقاته في المحكمة. ويمكن رؤية صورته في المقال.

وكان النمط الذي لاحظه الفرنسي الشهير على النحو التالي. لقد أثبت أن جذور المعادلة تضيف عددًا إلى -p=b/a، وحاصل ضربها يتوافق مع q=c/a.

الآن دعونا نلقي نظرة على مهام محددة.

3س2 + 21س - 54 = 0

للتبسيط، دعونا نحول التعبير:

× 2 + 7س - 18 = 0

دعونا نستخدم نظرية فييتا، وهذا سيعطينا ما يلي: مجموع الجذور هو -7، وحاصل ضربها هو -18. من هنا نستنتج أن جذور المعادلة هي الأرقام -9 و 2. وبعد التحقق، سنتأكد من أن هذه القيم المتغيرة تتناسب بالفعل مع التعبير.

الرسم البياني والمعادلة القطع المكافئ

ترتبط مفاهيم الدالة التربيعية والمعادلات التربيعية ارتباطًا وثيقًا. وقد سبق تقديم أمثلة على ذلك في وقت سابق. الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الألغاز الرياضية بمزيد من التفصيل. يمكن تمثيل أي معادلة من النوع الموصوف بصريًا. تسمى هذه العلاقة، المرسومة على شكل رسم بياني، بالقطع المكافئ. يتم عرض أنواعها المختلفة في الشكل أدناه.

أي قطع مكافئ له قمة، أي النقطة التي تخرج منها فروعه. إذا كانت a>0، فإنها ترتفع إلى ما لا نهاية، وعندما تكون a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

تساعد التمثيلات المرئية للدوال في حل أي معادلات، بما في ذلك المعادلات التربيعية. هذه الطريقة تسمى رسومية. وقيمة المتغير x هي إحداثيات الإحداثي السيني عند النقاط التي يتقاطع فيها خط الرسم البياني مع 0x. يمكن إيجاد إحداثيات الرأس باستخدام الصيغة المعطاة للتو x 0 = -b/2a. ومن خلال استبدال القيمة الناتجة في المعادلة الأصلية للدالة، يمكنك معرفة y 0، أي الإحداثي الثاني لرأس القطع المكافئ، الذي ينتمي إلى المحور الإحداثي.

تقاطع فروع القطع المكافئ مع محور الإحداثي السيني

هناك الكثير من الأمثلة على حل المعادلات التربيعية، ولكن هناك أيضًا أنماط عامة. دعونا ننظر إليهم. من الواضح أن تقاطع الرسم البياني مع المحور 0x لـ a>0 ممكن فقط إذا كان y 0 يأخذ القيم السلبية. و ل<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0.V خلاف ذلكد<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

من الرسم البياني للقطع المكافئ يمكنك أيضًا تحديد الجذور. والعكس صحيح أيضا. أي أنه إذا لم يكن من السهل الحصول على تمثيل مرئي للدالة التربيعية، فيمكنك مساواة الجانب الأيمن من التعبير بالصفر وحل المعادلة الناتجة. ومعرفة نقاط التقاطع مع المحور 0x يسهل إنشاء رسم بياني.

من التاريخ

باستخدام المعادلات التي تحتوي على متغير تربيعي، لم يقتصر الأمر في الأيام الخوالي على إجراء حسابات رياضية وتحديد مساحات الأشكال الهندسية. لقد احتاج القدماء إلى مثل هذه الحسابات من أجل الاكتشافات الكبرى في مجالات الفيزياء وعلم الفلك، وكذلك لوضع التنبؤات الفلكية.

وكما يشير العلماء المعاصرون، كان سكان بابل من بين أول من حل المعادلات التربيعية. حدث هذا قبل أربعة قرون من عصرنا. وبطبيعة الحال، كانت حساباتهم مختلفة جذريا عن تلك المقبولة حاليا وتبين أنها أكثر بدائية. على سبيل المثال، لم يكن لدى علماء الرياضيات في بلاد ما بين النهرين أي فكرة عن وجود الأعداد السالبة. كما أنهم لم يكونوا على دراية بالتفاصيل الدقيقة الأخرى التي يعرفها أي تلميذ حديث.

وربما حتى قبل علماء بابل، بدأ الحكيم الهندي بودهاياما في حل المعادلات التربيعية. حدث هذا قبل حوالي ثمانية قرون من ظهور المسيح. صحيح أن المعادلات من الدرجة الثانية، وطرق الحل التي قدمها، كانت الأبسط. وإلى جانبه، كان علماء الرياضيات الصينيون مهتمين أيضًا بمسائل مماثلة في الأيام الخوالي. في أوروبا، بدأ حل المعادلات التربيعية فقط في بداية القرن الثالث عشر، ولكن في وقت لاحق تم استخدامها في أعمالهم من قبل علماء عظماء مثل نيوتن وديكارت وغيرهم الكثير.

مستوى اول

المعادلات التربيعية. دليل شامل (2019)

في مصطلح "المعادلة التربيعية"، الكلمة الأساسية هي "المعادلة التربيعية". هذا يعني أن المعادلة يجب أن تحتوي بالضرورة على متغير (نفس x) مربع، ولا ينبغي أن يكون هناك x للقوة الثالثة (أو أكبر).

يأتي حل العديد من المعادلات في حل المعادلات التربيعية.

دعونا نتعلم كيفية تحديد أن هذه معادلة تربيعية وليست معادلة أخرى.

مثال 1.

دعونا نتخلص من المقام ونضرب كل حد في المعادلة

دعنا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر ونرتب المصطلحات بترتيب تنازلي لقوى X

الآن يمكننا أن نقول بكل ثقة أن هذه المعادلة تربيعية!

مثال 2.

اضرب الجانبين الأيسر والأيمن بـ:

وهذه المعادلة رغم أنها كانت موجودة أصلاً، إلا أنها ليست تربيعية!

مثال 3.

دعونا نضرب كل شيء بـ:

مخيف؟ الدرجة الرابعة والثانية... لكن إذا قمنا بالتعويض سنجد أن لدينا معادلة تربيعية بسيطة:

مثال 4.

يبدو أن هناك، ولكن دعونا نلقي نظرة فاحصة. دعنا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر:

انظر، لقد تم تقليلها - والآن أصبحت معادلة خطية بسيطة!

حاول الآن أن تحدد بنفسك أي من المعادلات التالية تعتبر من الدرجة الثانية وأيها ليست كذلك:

أمثلة:

الإجابات:

مربع؛
مربع؛
ليست مربعة
ليست مربعة
ليست مربعة
مربع؛
ليست مربعة
مربع.

يقسم علماء الرياضيات بشكل تقليدي جميع المعادلات التربيعية إلى الأنواع التالية:

المعادلات التربيعية كاملة- المعادلات التي لا تساوي فيها المعاملات، وكذلك الحد الحر c، الصفر (كما في المثال). بالإضافة إلى ذلك، من بين المعادلات التربيعية الكاملة هناك منح- هذه معادلات يكون فيها المعامل (المعادلة في المثال الأول ليست كاملة فحسب، بل مخفضة أيضًا!)

المعادلات التربيعية غير الكاملة- المعادلات التي يكون فيها المعامل و/أو الحد الحر c مساوياً للصفر:
إنها غير مكتملة لأنها تفتقد بعض العناصر. لكن المعادلة يجب أن تحتوي دائما على x تربيع!!! وإلا فلن تكون معادلة تربيعية، بل معادلة أخرى.

لماذا توصلوا إلى مثل هذا التقسيم؟ يبدو أن هناك X مربع، حسنا. ويتم تحديد هذا التقسيم بطرق الحل. دعونا ننظر إلى كل واحد منهم بمزيد من التفصيل.

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

أولاً، دعونا نركز على حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط بكثير!

هناك أنواع من المعادلات التربيعية غير الكاملة:

، في هذه المعادلة المعامل متساوي.
، في هذه المعادلة يساوي الحد الحر.
، في هذه المعادلة المعامل والحد الحر متساويان.

1. أنا. بما أننا نعرف كيفية أخذ الجذر التربيعي، فلنعبر عنه من هذه المعادلة

يمكن أن يكون التعبير سلبيًا أو إيجابيًا. لا يمكن أن يكون الرقم المربع سالبًا، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين، ستكون النتيجة دائمًا رقمًا موجبًا، لذا: إذا، فالمعادلة ليس لها حلول.

وإذا حدث ذلك، فسنحصل على جذرين. هذه الصيغ لا تحتاج إلى حفظها. الشيء الرئيسي هو أنك يجب أن تعرف وتتذكر دائمًا أنه لا يمكن أن يكون أقل من ذلك.

دعونا نحاول حل بعض الأمثلة.

مثال 5:

حل المعادلة

الآن كل ما تبقى هو استخراج الجذر من الجانبين الأيسر والأيمن. بعد كل شيء، هل تتذكر كيفية استخراج الجذور؟

إجابة:

لا تنس أبدًا الجذور التي تحمل علامة سلبية !!!

مثال 6:

حل المعادلة

إجابة:

مثال 7:

حل المعادلة

أوه! لا يمكن أن يكون مربع العدد سالبًا، مما يعني أن المعادلة

لا جذور!

لمثل هذه المعادلات التي ليس لها جذور، توصل علماء الرياضيات إلى أيقونة خاصة - (مجموعة فارغة). ويمكن كتابة الجواب هكذا:

إجابة:

ومن ثم، فإن هذه المعادلة التربيعية لها جذرين. لا توجد قيود هنا، لأننا لم نستخرج الجذر.
مثال 8:

حل المعادلة

لنأخذ العامل المشترك من بين قوسين:

هكذا،

هذه المعادلة لها جذرين.

إجابة:

أبسط نوع من المعادلات التربيعية غير المكتملة (على الرغم من أنها كلها بسيطة، أليس كذلك؟). من الواضح أن هذه المعادلة دائمًا لها جذر واحد فقط:

سنستغني عن الأمثلة هنا.

حل المعادلات التربيعية الكاملة

نذكرك أن المعادلة التربيعية الكاملة هي معادلة من الصيغة حيث

يعد حل المعادلات التربيعية الكاملة أصعب قليلًا (قليلًا) من هذه.

يتذكر، يمكن حل أي معادلة تربيعية باستخدام المميز! وحتى غير مكتملة.

ستساعدك الطرق الأخرى على القيام بذلك بشكل أسرع، لكن إذا كانت لديك مشاكل مع المعادلات التربيعية، أتقن الحل أولًا باستخدام المميز.

1. حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.

يعد حل المعادلات التربيعية باستخدام هذه الطريقة أمرًا بسيطًا للغاية؛ الشيء الرئيسي هو تذكر تسلسل الإجراءات وبعض الصيغ.

إذا، فإن المعادلة لها جذر، ويجب أن تولي اهتمامًا خاصًا لهذه الخطوة. المميز () يخبرنا بعدد جذور المعادلة.

إذا، فسيتم تقليل الصيغة الموجودة في الخطوة إلى. وبالتالي، فإن المعادلة سيكون لها جذر فقط.
إذا، فلن نتمكن من استخراج جذر المميز في الخطوة. وهذا يدل على أن المعادلة ليس لها جذور.

دعونا نعود إلى معادلاتنا وننظر إلى بعض الأمثلة.

مثال 9:

حل المعادلة

الخطوة 1نحن نتخطى.

الخطوة 2.

نجد التمييز:

وهذا يعني أن المعادلة لها جذرين.

الخطوه 3.

إجابة:

مثال 10:

حل المعادلة

يتم تقديم المعادلة في شكل قياسي، لذلك الخطوة 1نحن نتخطى.

الخطوة 2.

نجد التمييز:

وهذا يعني أن المعادلة لها جذر واحد.

إجابة:

مثال 11:

حل المعادلة

يتم تقديم المعادلة في شكل قياسي، لذلك الخطوة 1نحن نتخطى.

الخطوة 2.

نجد التمييز:

هذا يعني أننا لن نتمكن من استخراج جذر المميز. لا توجد جذور للمعادلة.

الآن نحن نعرف كيفية كتابة هذه الإجابات بشكل صحيح.

إجابة:لا جذور

2. حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا.

إذا كنت تتذكر، هناك نوع من المعادلة يسمى مخفضة (عندما يكون المعامل a يساوي):

من السهل جدًا حل هذه المعادلات باستخدام نظرية فييتا:

مجموع الجذور منحالمعادلة التربيعية متساوية، وحاصل ضرب الجذور متساوي.

مثال 12:

حل المعادلة

يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نظرية فييتا لأن .

مجموع جذور المعادلة متساوي، أي. نحصل على المعادلة الأولى:

والمنتج يساوي:

دعونا نؤلف ونحل النظام:

و. المبلغ يساوي؛
و. المبلغ يساوي؛
و. المبلغ متساوي.

و هي الحل للنظام :

إجابة: ; .

مثال 13:

حل المعادلة

إجابة:

مثال 14:

حل المعادلة

يتم إعطاء المعادلة، مما يعني:

إجابة:

المعادلات التربيعية. مستوى متوسط

ما هي المعادلة التربيعية؟

وبعبارة أخرى، المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل، حيث - المجهول، - بعض الأرقام، و.

الرقم يسمى الأعلى أو المعامل الأولمعادلة من الدرجة الثانية، - المعامل الثاني، أ - عضو مجاني.

لماذا؟ لأنه إذا أصبحت المعادلة خطية على الفور، لأن سوف تختفي.

في هذه الحالة، ويمكن أن يساوي الصفر. في هذا الكرسي تسمى المعادلة غير مكتملة. إذا كانت جميع الشروط موجودة، أي أن المعادلة قد اكتملت.

حلول لأنواع مختلفة من المعادلات التربيعية

طرق حل المعادلات التربيعية غير الكاملة:

أولاً، دعونا نلقي نظرة على طرق حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط.

يمكننا التمييز بين أنواع المعادلات التالية:

أولا: في هذه المعادلة المعامل والحد الحر متساويان.

ثانيا. ، في هذه المعادلة المعامل متساوي.

ثالثا. ، في هذه المعادلة يساوي الحد الحر.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحل لكل من هذه الأنواع الفرعية.

من الواضح أن هذه المعادلة دائمًا لها جذر واحد فقط:

لا يمكن أن يكون الرقم المربع سالبًا، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين، ستكون النتيجة دائمًا رقمًا موجبًا. لهذا السبب:

إذا، فإن المعادلة ليس لها حلول؛

إذا كان لدينا جذرين

هذه الصيغ لا تحتاج إلى حفظها. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو أنه لا يمكن أن يكون أقل.

أمثلة:

حلول:

إجابة:

لا تنس أبدًا الجذور ذات الإشارة السلبية!

لا يمكن أن يكون مربع العدد سالبًا، مما يعني أن المعادلة

لا جذور.

لتدوين باختصار أن المشكلة ليس لها حلول، نستخدم أيقونة المجموعة الفارغة.

إجابة:

إذن، هذه المعادلة لها جذرين: و.

إجابة:

لنخرج العامل المشترك من الأقواس:

يكون حاصل الضرب صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. وهذا يعني أن المعادلة لها حل عندما:

إذن، هذه المعادلة التربيعية لها جذرين: و.

مثال:

حل المعادلة.

حل:

دعونا نحلل الجانب الأيسر من المعادلة ونجد الجذور:

إجابة:

طرق حل المعادلات التربيعية الكاملة:

1. التمييز

من السهل حل المعادلات التربيعية بهذه الطريقة، والشيء الرئيسي هو أن تتذكر تسلسل الإجراءات وبعض الصيغ. تذكر أنه يمكن حل أي معادلة تربيعية باستخدام المميز! وحتى غير مكتملة.

هل لاحظت الجذر من المميز في صيغة الجذور؟ ولكن المميز يمكن أن يكون سلبيا. ما يجب القيام به؟ علينا أن نولي اهتمامًا خاصًا للخطوة رقم 2. يخبرنا المميز بعدد جذور المعادلة.

إذا كانت المعادلة لها جذور:
إذا كانت المعادلة لها نفس الجذور، وفي الواقع جذر واحد:
تسمى هذه الجذور بالجذور المزدوجة.
إذا، فلا يتم استخراج جذر المميز. وهذا يدل على أن المعادلة ليس لها جذور.

لماذا هناك أعداد مختلفة من الجذور ممكنة؟ دعونا ننتقل إلى المعنى الهندسي للمعادلة التربيعية. الرسم البياني للدالة هو القطع المكافئ:

وفي حالة خاصة، وهي معادلة تربيعية، . وهذا يعني أن جذور المعادلة التربيعية هي نقاط التقاطع مع محور الإحداثي السيني (المحور). قد لا يتقاطع القطع المكافئ مع المحور على الإطلاق، أو قد يتقاطع عند نقطة واحدة (عندما يكون رأس القطع المكافئ على المحور) أو نقطتين.

وبالإضافة إلى ذلك، فإن المعامل هو المسؤول عن اتجاه فروع القطع المكافئ. إذا، فإن فروع القطع المكافئ موجهة للأعلى، وإذا، ثم للأسفل.

أمثلة:

حلول:

إجابة:

إجابة: .

إجابة:

وهذا يعني أنه لا توجد حلول.

إجابة: .

2. نظرية فييتا

من السهل جدًا استخدام نظرية فييتا: ما عليك سوى اختيار زوج من الأرقام الذي يساوي منتجها الحد الحر للمعادلة، والمجموع يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالعلامة المعاكسة.

من المهم أن نتذكر أن نظرية فييتا لا يمكن تطبيقها إلا في المعادلات التربيعية المخفضة ().

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

مثال 1:

حل المعادلة.

حل:

يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نظرية فييتا لأن . معاملات أخرى: ; .

مجموع جذور المعادلة هو:

والمنتج يساوي:

لنختار أزواجًا من الأرقام التي يكون منتجها متساويًا ونتحقق مما إذا كان مجموعها متساويًا:

و. المبلغ يساوي؛
و. المبلغ يساوي؛
و. المبلغ متساوي.

و هي الحل للنظام :

وبالتالي، و هي جذور المعادلة لدينا.

إجابة: ؛ .

المثال رقم 2:

حل:

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي تظهر في المنتج، ثم نتحقق مما إذا كان مجموعها متساويًا:

و: يعطون إجمالاً.

و: يعطون إجمالاً. للحصول عليه، يكفي ببساطة تغيير علامات الجذور المفترضة: وبعد كل شيء، المنتج.

إجابة:

المثال رقم 3:

حل:

الحد الحر للمعادلة سالب، وبالتالي فإن حاصل ضرب الجذور هو عدد سالب. وهذا ممكن فقط إذا كان أحد الجذرين سالبًا والآخر موجبًا. وبالتالي فإن مجموع الجذور يساوي الاختلافات في وحداتهم.

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي تعطي المنتج، والتي يساوي فرقها:

و: فرقهم متساوي - لا يصلح؛

و: - غير مناسب؛

و: - مناسب. كل ما تبقى هو أن نتذكر أن أحد الجذور سلبي. وبما أن مجموعهما يجب أن يكون متساويًا، فإن الجذر ذو المعامل الأصغر يجب أن يكون سالبًا: . نحن نفحص:

إجابة:

المثال رقم 4:

حل المعادلة.

حل:

يتم إعطاء المعادلة، مما يعني:

الحد الحر سالب، وبالتالي فإن حاصل ضرب الجذور سالب. وهذا ممكن فقط عندما يكون أحد جذر المعادلة سالبًا والآخر موجبًا.

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي يكون حاصل ضربها متساويًا، ثم نحدد الجذور التي يجب أن تكون لها علامة سالبة:

من الواضح أن الجذور فقط هي المناسبة للشرط الأول:

إجابة:

المثال رقم 5:

حل المعادلة.

حل:

يتم إعطاء المعادلة، مما يعني:

مجموع الجذور سالب، مما يعني أن واحدًا على الأقل من الجذور سالب. لكن بما أن حاصل ضربهما موجب، فهذا يعني أن كلا الجذرين لهما علامة الطرح.

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي يساوي منتجها:

من الواضح أن الجذور هي الأرقام و.

إجابة:

أوافق، من المريح للغاية التوصل إلى جذور شفويا، بدلا من حساب هذا التمييز السيئ. حاول استخدام نظرية فييتا كلما أمكن ذلك.

لكن نظرية فييتا ضرورية لتسهيل وتسريع العثور على الجذور. لكي تستفيد من استخدامه، يجب عليك جعل الإجراءات تلقائية. ولهذا، حل خمسة أمثلة أخرى. لكن لا تغش: لا يمكنك استخدام أداة التمييز! نظرية فييتا فقط:

حلول لمهام العمل المستقل:

المهمة 1. ((x)^(2))-8x+12=0

وفقا لنظرية فييتا:

كالعادة نبدأ الاختيار بالقطعة:

غير مناسب لأن المبلغ؛

: المبلغ هو فقط ما تحتاجه.

إجابة: ؛ .

المهمة 2.

ومرة أخرى نظرية فييتا المفضلة لدينا: يجب أن يكون المجموع متساويًا، ويجب أن يكون حاصل الضرب متساويًا.

ولكن بما أنه لا بد أن لا يكون، بل نغير علامات الجذور: و(إجمالا).

إجابة: ؛ .

المهمة 3.

همم... أين ذلك؟

تحتاج إلى نقل جميع المصطلحات إلى جزء واحد:

مجموع الجذور يساوي المنتج.

حسنًا، توقف! لم يتم إعطاء المعادلة. لكن نظرية فييتا قابلة للتطبيق فقط في المعادلات المعطاة. لذا عليك أولاً أن تعطي معادلة. إذا لم تتمكن من القيادة، فتخلى عن هذه الفكرة وحلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال، من خلال التمييز). اسمحوا لي أن أذكرك أن إعطاء معادلة تربيعية يعني جعل المعامل الرئيسي متساويًا:

عظيم. ثم مجموع الجذور يساوي والمنتج.

هنا يكون الاختيار سهلاً مثل قشر الكمثرى: فهو في النهاية رقم أولي (آسف على التكرار).

إجابة: ؛ .

المهمة 4.

العضو الحر سلبي. ما هو المميز في هذا؟ والحقيقة هي أن الجذور سيكون لها علامات مختلفة. والآن، أثناء الاختيار، لا نتحقق من مجموع الجذور، ولكن الفرق في وحداتها: هذا الاختلاف متساوي، ولكن منتج.

إذن، الجذران يساويان و، لكن أحدهما سالب. تخبرنا نظرية فييتا أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني ذو الإشارة المعاكسة، أي. وهذا يعني أن الجذر الأصغر سيكون له ناقص: و، منذ ذلك الحين.

إجابة: ؛ .

المهمة 5.

ما الذى ينبغى عليك فعله اولا؟ هذا صحيح، أعط المعادلة:

مرة أخرى: نختار عوامل العدد، ويجب أن يكون الفرق بينهما مساوياً لـ:

الجذور تساوي و، لكن أحدهما سالب. أيّ؟ يجب أن يكون مجموعهما متساويا، مما يعني أن الطرح سيكون له جذر أكبر.

إجابة: ؛ .

اسمحوا لي أن ألخص:

تُستخدم نظرية فييتا فقط في المعادلات التربيعية المعطاة.
باستخدام نظرية فييتا، يمكنك العثور على الجذور عن طريق الاختيار، شفهيًا.
إذا لم يتم إعطاء المعادلة أو لم يتم العثور على زوج مناسب من العوامل للمصطلح الحر، فلن تكون هناك جذور كاملة، وتحتاج إلى حلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال، من خلال المميز).

3. طريقة اختيار مربع كامل

إذا تم تمثيل جميع الحدود التي تحتوي على المجهول في شكل حدود من صيغ الضرب المختصرة - مربع المجموع أو الفرق - فبعد استبدال المتغيرات، يمكن تقديم المعادلة في شكل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع.

على سبيل المثال:

مثال 1:

حل المعادلة: .

حل:

إجابة:

مثال 2:

حل المعادلة: .

حل:

إجابة:

في منظر عامسيبدو التحول كما يلي:

هذا يعني: .

لا يذكرك بأي شيء؟ هذا شيء تمييزي! وهذا هو بالضبط كيف حصلنا على صيغة التمييز.

المعادلات التربيعية. باختصار عن الأشياء الرئيسية

معادلة من الدرجة الثانية- هذه معادلة من الشكل حيث - المجهول - معاملات المعادلة التربيعية - الحد الحر.

معادلة تربيعية كاملة- معادلة لا تساوي معاملاتها الصفر.

معادلة تربيعية مخفضة- معادلة فيها المعامل أي : .

معادلة تربيعية غير مكتملة- معادلة يكون فيها المعامل و/أو الحد الحر c مساوياً للصفر:

إذا كان المعامل تبدو المعادلة كما يلي:
إذا كان هناك حد حر، فإن المعادلة لها الشكل: ,
إذا كانت و فإن المعادلة تبدو كالتالي: .

1. خوارزمية حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

1.1. معادلة تربيعية غير مكتملة من الشكل، حيث:

1) نعرب عن المجهول : ,

2) التحقق من علامة التعبير:

إذا، فإن المعادلة ليس لها حلول،
إذا كانت المعادلة لها جذرين.

1.2. معادلة تربيعية غير مكتملة من الشكل، حيث:

1) لنخرج العامل المشترك بين القوسين : ,

2) يكون حاصل الضرب صفراً إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفراً. وبالتالي فإن المعادلة لها جذرين:

1.3. معادلة تربيعية غير كاملة من الشكل، حيث:

هذه المعادلة دائمًا لها جذر واحد فقط: .

2. خوارزمية حل المعادلات التربيعية الكاملة من حيث الشكل

2.1. الحل باستخدام التمييز

1) لنجعل المعادلة بالشكل القياسي : ,

2) لنحسب المميز باستخدام الصيغة: التي تشير إلى عدد جذور المعادلة:

3) أوجد جذور المعادلة:

إذا كانت المعادلة لها جذور، والتي تم العثور عليها بالصيغة:
إذا، فإن المعادلة لها جذر، والذي تم العثور عليه بالصيغة:
إذا، فالمعادلة ليس لها جذور.

2.2. الحل باستخدام نظرية فييتا

مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة (معادلة الشكل حيث) متساوي، وحاصل ضرب الجذور متساوي، أي. ، أ.

2.3. الحل بطريقة اختيار مربع كامل

مع برنامج الرياضيات هذا يمكنك حل المعادلة التربيعية.

لا يقدم البرنامج الإجابة على المشكلة فحسب، بل يعرض أيضًا عملية الحل بطريقتين:
- باستخدام التمييز
- استخدام نظرية فييتا (إن أمكن).

علاوة على ذلك، يتم عرض الإجابة على أنها دقيقة وليست تقريبية.
على سبيل المثال، بالنسبة للمعادلة $81x^2-16x-1=0$ يتم عرض الإجابة بالشكل التالي:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81)، \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ وليس هكذا: $x_1 = 0.247; \رباعي x_2 = -0.05$

يمكن أن يكون هذا البرنامج مفيدًا لطلاب المدارس الثانوية في مدارس التعليم العام عند التحضير للاختبارات والامتحانات، وعند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، وللآباء والأمهات للتحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك ترغب فقط في إنجاز واجباتك المنزلية في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية.

بهذه الطريقة، يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو تدريب إخوتك أو أخواتك الصغار، بينما يرتفع مستوى التعليم في مجال حل المشكلات.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال كثيرات الحدود التربيعية، فنوصيك بالتعرف عليها.

قواعد لإدخال كثيرات الحدود من الدرجة الثانية

أي حرف لاتيني يمكن أن يكون بمثابة متغير.
على سبيل المثال: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$، إلخ.

يمكن إدخال الأرقام كأرقام كاملة أو كسرية.
علاوة على ذلك، يمكن إدخال الأرقام الكسرية ليس فقط في شكل كسر عشري، ولكن أيضًا في شكل كسر عادي.

قواعد إدخال الكسور العشرية.
في الكسور العشرية، يمكن فصل الجزء الكسري عن الجزء بأكمله إما بنقطة أو بفاصلة.
على سبيل المثال، يمكنك إدخال الكسور العشرية مثل هذا: 2.5x - 3.5x^2

قواعد إدخال الكسور العادية.
يمكن للعدد الصحيح فقط أن يكون بمثابة البسط والمقام والجزء الصحيح من الكسر.

لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.

عند إدخال كسر رقمي، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة القسمة: /
يتم فصل الجزء بأكمله عن الكسر بعلامة العطف: &
الإدخال: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
النتيجة: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2$

عند إدخال التعبير يمكنك استخدام الأقواس. في هذه الحالة، عند حل معادلة من الدرجة الثانية، يتم تبسيط التعبير المقدم أولاً.
على سبيل المثال: 1/2(ص-1)(ص+1)-(5ص-10&1/2)

يقرر

تم اكتشاف أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المشكلة لم يتم تحميلها، وقد لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.
وفي هذه الحالة، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
لكي يظهر الحل، تحتاج إلى تمكين JavaScript.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية...

اذا أنت لاحظت خطأ في الحل، فيمكنك الكتابة عن هذا في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى المهمةعليك أن تقرر ما أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

القليل من النظرية.

المعادلة التربيعية وجذورها. المعادلات التربيعية غير الكاملة

كل من المعادلات
$-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 $
يشبه
$ax^2+bx+c=0, $
حيث x متغير، a، b، c أرقام.
في المعادلة الأولى أ = -1، ب = 6 و ج = 1.4، في الثانية أ = 8، ب = -7 و ج = 0، في الثالثة أ = 1، ب = 0 و ج = 4/9. تسمى مثل هذه المعادلات المعادلات التربيعية.

تعريف.
معادلة من الدرجة الثانيةتسمى معادلة من الشكل ax 2 +bx+c=0، حيث x متغير، وa وb وc هي بعض الأرقام، و$a \neq 0 $.

الأرقام a وb وc هي معاملات المعادلة التربيعية. الرقم a يسمى المعامل الأول، والرقم b هو المعامل الثاني، والرقم c هو الحد الحر.

في كل من المعادلات ذات الصيغة ax 2 +bx+c=0، حيث $a\neq 0$، أكبر قوة للمتغير x هي مربع. ومن هنا الاسم: المعادلة التربيعية.

لاحظ أن المعادلة التربيعية تسمى أيضًا معادلة من الدرجة الثانية، نظرًا لأن طرفها الأيسر متعدد الحدود من الدرجة الثانية.

تسمى المعادلة التربيعية التي معامل x 2 يساوي 1 نظرا للمعادلة التربيعية. على سبيل المثال، المعادلات التربيعية المعطاة هي المعادلات
$x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 $

إذا كان في المعادلة التربيعية ax 2 +bx+c=0 واحد على الأقل من المعاملات b أو c يساوي الصفر، فإن هذه المعادلة تسمى معادلة تربيعية غير مكتملة. وبالتالي، فإن المعادلات -2x 2 +7=0، 3x 2 -10x=0، -4x 2 =0 هي معادلات تربيعية غير كاملة. في الأول ب = 0، في الثاني ج = 0، في الثالث ب = 0 و ج = 0.

هناك ثلاثة أنواع من المعادلات التربيعية غير الكاملة:
1) الفأس 2 +c=0، حيث $c \neq 0 $;
2) الفأس 2 +bx=0، حيث $b \neq 0 $;
3) الفأس 2 =0.

دعونا نفكر في حل المعادلات لكل من هذه الأنواع.

لحل معادلة تربيعية غير كاملة من الصيغة ax 2 +c=0 لـ $c \neq 0 $، انقل حدها الحر إلى الجانب الأيمن واقسم طرفي المعادلة على a:
$x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) $

منذ $c \neq 0 $، ثم $-\frac(c)(a) \neq 0 $

إذا كان $-\frac(c)(a)>0$، فإن المعادلة لها جذرين.

إذا $-\frac(c)(a) لحل معادلة تربيعية غير كاملة من الشكل ax 2 +bx=0 مع \(b \neq 0 $ عامل طرفها الأيسر واحصل على المعادلة
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (صفيف)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

هذا يعني أن المعادلة التربيعية غير المكتملة بالصيغة ax 2 +bx=0 لـ $b \neq 0 $ لها دائمًا جذرين.

المعادلة التربيعية غير المكتملة ذات الصيغة ax 2 =0 تعادل المعادلة x 2 =0 وبالتالي لها جذر واحد 0.

صيغة لجذور المعادلة التربيعية

دعونا نفكر الآن في كيفية حل المعادلات التربيعية التي تكون فيها معاملات المجهول والحد الحر غير صفر.

دعونا نحل المعادلة التربيعية بشكل عام ونتيجة لذلك نحصل على صيغة الجذور. ويمكن بعد ذلك استخدام هذه الصيغة لحل أي معادلة تربيعية.

حل المعادلة التربيعية ax 2 +bx+c=0

بقسمة الطرفين على a، نحصل على المعادلة التربيعية المخفضة المكافئة
$x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 $

دعونا نحول هذه المعادلة عن طريق تحديد مربع ذات الحدين:
$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow $

$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow $ $\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow $ $x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2)) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac)) (2a) \Rightarrow $ $x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac)) )(2a) $

يسمى التعبير الجذري مميز المعادلة التربيعيةالفأس 2 +bx+c=0 ("المميز" باللاتينية - المميز). يتم تحديده بالحرف D، أي.
$د = ب^2-4ac$

الآن، باستخدام التمييز، نعيد كتابة صيغة جذور المعادلة التربيعية:
$x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) $، حيث $D= b^2-4ac $

من الواضح أن:
1) إذا كانت D > 0، فإن المعادلة التربيعية لها جذرين.
2) إذا كانت D=0، فإن المعادلة التربيعية لها جذر واحد $x=-\frac(b)(2a)$.
3) إذا D وهكذا، اعتمادًا على قيمة المميز، يمكن أن تحتوي المعادلة التربيعية على جذرين (لـ D > 0)، أو جذر واحد (لـ D = 0) أو ليس لها جذور (لـ D عند حل معادلة تربيعية باستخدام هذا الصيغة، فمن المستحسن القيام بالطريقة التالية:
1) احسب المميز وقارنه بالصفر؛
2) إذا كان المميز موجبًا أو يساوي صفرًا، فاستخدم صيغة الجذر؛ وإذا كان المميز سالبًا، فاكتب أنه لا توجد جذور.

نظرية فييتا

المعادلة التربيعية المعطاة ax 2 -7x+10=0 لها جذور 2 و5. مجموع الجذور هو 7، وحاصل الضرب 10. نرى أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني المأخوذ من علامة المعاكسوحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر. أي معادلة تربيعية مختزلة لها جذور لها هذه الخاصية.

مجموع جذور المعادلة التربيعية أعلاه يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر.

أولئك. تنص نظرية فييتا على أن الجذور x 1 و x 2 للمعادلة التربيعية المختزلة x 2 +px+q=0 لها الخاصية:
$\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. $

معادلة النموذج

تعبير د= ب 2 - 4 مكيفاتمُسَمًّى تمييزيمعادلة من الدرجة الثانية. لود = 0، فإن المعادلة لها جذر حقيقي واحد؛ إذا د> 0، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين.
في حال د = 0 يقال أحيانًا أن المعادلة التربيعية لها جذرين متطابقين.
باستخدام التدوين د= ب 2 - 4 مكيفاتيمكننا إعادة كتابة الصيغة (2) في النموذج

لو ب= 2 كيلو، فإن الصيغة (2) تأخذ الشكل:

أين ك= ب / 2 .
الصيغة الأخيرة مناسبة بشكل خاص في الحالات التي يكون فيها ب / 2 - عدد صحيح، أي. معامل في الرياضيات او درجة ب - رقم زوجي.
مثال 1:حل المعادلة 2 س 2 - 5 × + 2 = 0 . هنا أ = 2، ب = -5، ج = 2. لدينا د= ب 2 - 4 ميلان = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . لأن د > 0 ، فالمعادلة لها جذرين. لنجدهم باستخدام الصيغة (2)

لذا س 1 =(5 + 3) / 4 = 2، س 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
إنه س 1 = 2 و س 2 = 1 / 2 - جذور ل معادلة معينة.
مثال 2:حل المعادلة 2 س 2 - 3 × + 5 = 0 . هنا أ = 2، ب = -3، ج = 5. إيجاد التمييز د= ب 2 - 4 ميلان = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . لأن د 0 ، فالمعادلة لا تملك جذور حقيقية.

المعادلات التربيعية غير الكاملة. إذا كان في معادلة تربيعية فأس 2 +بكس+ج =0 المعامل الثاني بأو عضو حر جيساوي صفراً، فتسمى المعادلة التربيعية غير مكتمل. معادلات غير كاملةمعزولة لأنه للعثور على جذورها، لا يتعين عليك استخدام صيغة جذور المعادلة التربيعية - فمن الأسهل حل المعادلة عن طريق تحليل طرفها الأيسر.
مثال 1:حل المعادلة 2 س 2 - 5 × = 0 .
لدينا س(2 × - 5) = 0 . ذلك إما س = 0 ، أو 2 س - 5 = 0 ، إنه س = 2.5 . إذن المعادلة لها جذرين: 0 و 2.5
مثال 2:حل المعادلة 3 س 2 - 27 = 0 .
لدينا 3 س 2 = 27 . وبالتالي فإن جذور هذه المعادلة هي 3 و -3 .

نظرية فييتا. إذا كانت المعادلة التربيعية المخفضة س 2 +بكسل+س =0 لها جذور حقيقية، فإن مجموعها يساوي - ص، والناتج متساوي س، إنه

س 1 + س 2 = -ص،
× 1 × 2 = ف

(مجموع جذور المعادلة التربيعية أعلاه يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر).