يبدو تحويل المعادلة التربيعية الكاملة إلى معادلة غير كاملة كما يلي (في الحالة \(b=0\))):

بالنسبة للحالات التي يكون فيها \(c=0\) أو عندما يكون كلا المعاملين مساويًا للصفر، يكون كل شيء متشابهًا.

يرجى ملاحظة أنه ليس هناك شك في أن \(a\) يساوي الصفر، ولا يمكن أن يساوي الصفر، لأنه في هذه الحالة سيتحول إلى:

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة.

بادئ ذي بدء، عليك أن تفهم أن المعادلة التربيعية غير المكتملة لا تزال، وبالتالي يمكن حلها بنفس طريقة حل المعادلة التربيعية العادية (عبر). للقيام بذلك، نجمع ببساطة العنصر الناقص في المعادلة بمعامل صفر.

مثال : أوجد جذور المعادلة \(3x^2-27=0\)
حل :

		لدينا معادلة تربيعية غير كاملة معاملها \(b=0\). أي أنه يمكننا كتابة المعادلة بالشكل التالي:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		في الواقع، هذه هي نفس المعادلة التي كانت في البداية، ولكن الآن يمكن حلها كمعادلة تربيعية عادية. أولاً نكتب المعاملات.
\(أ=3;\) \(ب=0;\) \(ج=-27;\)		دعونا نحسب المميز باستخدام الصيغة \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		دعونا نجد جذور المعادلة باستخدام الصيغ \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) و \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2أ)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		اكتب الجواب

إجابة : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

مثال : أوجد جذور المعادلة \(-x^2+x=0\)
حل :

		مرة أخرى، معادلة تربيعية غير مكتملة، لكن المعامل \(c\) الآن يساوي صفرًا. نكتب المعادلة كاملة.

المعادلات التربيعية. مميز. الحل، الأمثلة.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

أنواع المعادلات التربيعية

ما هي المعادلة التربيعية؟ كيف تبدو؟ في فترة معادلة من الدرجة الثانيةالكلمة الأساسية هي "مربع".وهذا يعني أنه في المعادلة بالضرورةيجب أن يكون هناك مربع x. بالإضافة إلى ذلك، قد تحتوي المعادلة (أو لا!) على X فقط (للأس الأول) ورقم فقط (عضو مجاني).ويجب ألا يكون هناك علامة X للأس الأكبر من اثنين.

من الناحية الرياضية، المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل:

هنا أ، ب، ج- بعض الأرقام. ب و ج- على الاطلاق، ولكن أ– أي شيء آخر غير الصفر. على سبيل المثال:

هنا أ =1; ب = 3; ج = -4

هنا أ =2; ب = -0,5; ج = 2,2

هنا أ =-3; ب = 6; ج = -18

حسنا، أنت تفهم...

في هذه المعادلات التربيعية على اليسار يوجد طقم كاملأعضاء. X تربيع بمعامل أ، x للقوة الأولى مع المعامل بو عضو حر س.

تسمى هذه المعادلات التربيعية ممتلىء.

و إذا ب= 0، ماذا نحصل؟ لدينا سيتم فقدان X للقوة الأولى.يحدث هذا عند الضرب في الصفر.) ويتبين على سبيل المثال:

5×2 -25 = 0،

2س 2 -6س=0،

-س 2 +4س=0

وما إلى ذلك وهلم جرا. وإذا كان كلا المعاملات بو جتساوي صفرًا، فالأمر أبسط:

2×2 =0،

-0.3×2 =0

تسمى هذه المعادلات التي يوجد فيها شيء مفقود المعادلات التربيعية غير كاملة.وهو أمر منطقي تمامًا.) يرجى ملاحظة أن x تربيع موجود في جميع المعادلات.

بالمناسبة لماذا ألا يمكن أن يساوي الصفر؟ وأنت بديل بدلا من ذلك أصفر.) سوف يختفي مربع X الخاص بنا! ستصبح المعادلة خطية. والحل مختلف تماما..

هذه هي جميع الأنواع الرئيسية للمعادلات التربيعية. كاملة وغير كاملة.

حل المعادلات التربيعية.

حل المعادلات التربيعية الكاملة.

المعادلات التربيعية سهلة الحل. وفق صيغ وقواعد واضحة وبسيطة. في المرحلة الأولى، من الضروري تحويل المعادلة المعطاة إلى شكل قياسي، أي. إلى النموذج:

إذا كانت المعادلة معطاة لك بالفعل في هذا النموذج، فلن تحتاج إلى القيام بالمرحلة الأولى.) الشيء الرئيسي هو تحديد جميع المعاملات بشكل صحيح، أ, بو ج.

تبدو صيغة إيجاد جذور المعادلة التربيعية كما يلي:

يسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر تمييزي. لكن المزيد عنه أدناه. كما ترون، للعثور على X، نستخدم فقط أ، ب، ج. أولئك. معاملات من المعادلة التربيعية. فقط استبدل القيم بعناية أ، ب، جنحن نحسب في هذه الصيغة. دعونا نستبدل مع علاماتك الخاصة! على سبيل المثال، في المعادلة:

أ =1; ب = 3; ج= -4. وهنا نكتبها:

تم حل المثال تقريبًا:

هذا هو الجواب.

كل شيء بسيط جدا. وماذا تعتقد أنه من المستحيل ارتكاب خطأ؟ حسنًا، نعم، كيف...

الأخطاء الأكثر شيوعًا هي الخلط بين قيم الإشارة أ، ب، ج. أو بالأحرى، ليس مع علاماتهم (أين يمكن الخلط؟)، ولكن مع استبدال القيم السالبة في صيغة حساب الجذور. ما يساعد هنا هو التسجيل التفصيلي للصيغة بأرقام محددة. إذا كانت هناك مشاكل في الحسابات، إفعل ذلك!

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المثال التالي:

هنا أ = -6; ب = -5; ج = -1

لنفترض أنك تعلم أنك نادرًا ما تحصل على إجابات في المرة الأولى.

حسنًا، لا تكن كسولًا. سيستغرق الأمر حوالي 30 ثانية لكتابة سطر إضافي وعدد الأخطاء سوف تنخفض بشكل حاد. لذلك نكتب بالتفصيل مع جميع الأقواس والعلامات:

يبدو من الصعب جدًا الكتابة بعناية شديدة. ولكن يبدو الأمر كذلك. جربها. حسنا، أو اختر. ما هو الأفضل، سريع أم صحيح؟ علاوة على ذلك، سأجعلك سعيدًا. بعد فترة من الوقت، لن تكون هناك حاجة لكتابة كل شيء بعناية. وسوف تعمل بشكل صحيح من تلقاء نفسها. خاصة إذا كنت تستخدم التقنيات العملية الموضحة أدناه. هذا المثال الشرير مع مجموعة من السلبيات يمكن حله بسهولة وبدون أخطاء!

لكن، في كثير من الأحيان، تبدو المعادلات التربيعية مختلفة قليلًا. على سبيل المثال، مثل هذا:

هل تعرفت عليه؟) نعم! هذا المعادلات التربيعية غير كاملة.

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة.

ويمكن أيضًا حلها باستخدام صيغة عامة. كل ما عليك فعله هو أن تفهم بشكل صحيح ما يساويهم هنا. أ، ب، ج.

هل عرفت ما هو؟ في المثال الأول أ = 1؛ ب = -4؛أ ج؟ انها غير موجودة على الاطلاق! حسنا نعم، هذا صحيح. في الرياضيات هذا يعني ذلك ج = 0 ! هذا كل شئ. عوّض بالصفر في الصيغة بدلاً من ذلك ج،وسوف ننجح. نفس الشيء مع المثال الثاني لكن ليس لدينا صفر هنا مع، أ ب !

ولكن يمكن حل المعادلات التربيعية غير المكتملة بطريقة أكثر بساطة. بدون أي صيغ. لنفكر في المعادلة الأولى غير الكاملة. ماذا يمكنك أن تفعل على الجانب الأيسر؟ يمكنك إخراج X من الأقواس! دعونا نخرجه.

وماذا من هذا؟ والحقيقة أن الناتج يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان أحد العوامل يساوي صفرًا! لا تصدقني؟ حسنًا، إذن توصل إلى رقمين غير الصفر، وعند ضربهما يعطيان صفرًا!
لا يعمل؟ هذا كل شيء...
لذلك يمكننا أن نكتب بثقة: × 1 = 0, × 2 = 4.

الجميع. ستكون هذه جذور المعادلة. كلاهما مناسب. عند استبدال أي منها في المعادلة الأصلية، نحصل على الهوية الصحيحة 0 = 0. كما ترون، الحل أبسط بكثير من استخدام الصيغة العامة. اسمحوا لي أن أشير، بالمناسبة، إلى أي X سيكون الأول وأيهما سيكون الثاني - غير مبال تمامًا. أنها مريحة للكتابة بالترتيب ، × 1- ما هو أصغر و × 2- ما هو أعظم.

ويمكن أيضًا حل المعادلة الثانية ببساطة. تحرك 9 إلى الجانب الأيمن. نحن نحصل:

كل ما تبقى هو استخراج الجذر من 9، وهذا كل شيء. سوف يتحول:

وأيضا جذوران . × 1 = -3, × 2 = 3.

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل جميع المعادلات التربيعية غير الكاملة. إما عن طريق وضع X خارج الأقواس، أو ببساطة عن طريق تحريك الرقم إلى اليمين ثم استخراج الجذر.
من الصعب للغاية الخلط بين هذه التقنيات. ببساطة لأنه في الحالة الأولى سيتعين عليك استخراج جذر X، وهو أمر غير مفهوم إلى حد ما، وفي الحالة الثانية لا يوجد شيء يمكن إخراجه من الأقواس...

مميز. صيغة التمييز.

كلمة سحرية تمييزي ! نادرا ما لم يسمع طالب في المدرسة الثانوية هذه الكلمة! إن عبارة "نحل بالمتميز" توحي بالثقة والطمأنينة. لأنه ليست هناك حاجة لتوقع الحيل من المُميز! إنه سهل الاستخدام وخالي من المتاعب.) أذكرك بالصيغة الأكثر عمومية للحل أيالمعادلات التربيعية:

ويسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر بالمميز. عادة يتم الإشارة إلى المميز بالحرف د. صيغة التمييز:

د = ب 2 - 4أ

وما هو اللافت للنظر في هذا التعبير؟ ولماذا استحق اسما خاصا؟ ماذا معنى التمييز ؟بعد كل ذلك -ب،أو 2 أفي هذه الصيغة لا يسمونها على وجه التحديد أي شيء ... الحروف والحروف.

هنا الحاجة. عند حل معادلة تربيعية باستخدام هذه الصيغة، فمن الممكن ثلاث حالات فقط.

1. المميز إيجابي.وهذا يعني أنه يمكن استخراج الجذر منه. ما إذا كان يتم استخراج الجذر بشكل جيد أم سيئ هو سؤال مختلف. المهم هو ما يتم استخراجه من حيث المبدأ. إذن فإن المعادلة التربيعية لها جذرين. حلين مختلفين.

2. المميز هو صفر.ثم سيكون لديك حل واحد. حيث أن إضافة أو طرح الصفر في البسط لا يغير شيئًا. بالمعنى الدقيق للكلمة، هذا ليس جذر واحد، ولكن اثنان متطابقان. ولكن، في نسخة مبسطة، من المعتاد التحدث عنه حل واحد.

3. المميز سلبي.لا يمكن أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب. حسنا، حسنا. وهذا يعني أنه لا توجد حلول.

لنكون صادقين، عند حل المعادلات التربيعية ببساطة، لا تكون هناك حاجة لمفهوم المميز. نستبدل قيم المعاملات في الصيغة ونحسبها. كل شيء يحدث هناك من تلقاء نفسه، جذرين، واحد، ولا شيء. ومع ذلك، عند حل المهام الأكثر تعقيدا، دون معرفة معنى وصيغة التمييزليس كافي. خاصة في المعادلات ذات المعلمات. مثل هذه المعادلات هي بمثابة ألعاب بهلوانية لامتحان الدولة وامتحان الدولة الموحدة!)

لذا، كيفية حل المعادلات التربيعيةمن خلال المميز الذي تذكرته. أو تعلمت، وهذا ليس سيئًا أيضًا.) أنت تعرف كيفية التحديد بشكل صحيح أ، ب، ج. هل تعرف كيف؟ بانتباهاستبدلها في صيغة الجذر و بانتباهاحسب النتيجة. أنت تفهم أن الكلمة الأساسية هنا هي بانتباه؟

الآن لاحظ التقنيات العملية التي تقلل بشكل كبير من عدد الأخطاء. نفس تلك التي تكون بسبب الغفلة... والتي تصبح فيما بعد مؤلمة ومهينة...

الموعد الأول . لا تتكاسل قبل حل المعادلة التربيعية وإعادتها إلى الصورة القياسية. ماذا يعني هذا؟
لنفترض أنه بعد كل التحويلات تحصل على المعادلة التالية:

لا تتعجل في كتابة صيغة الجذر! من المؤكد أنك سوف تختلط الاحتمالات أ، ب، ج.بناء المثال بشكل صحيح. أولاً، X مربع، ثم بدون مربع، ثم الحد الحر. مثله:

ومرة أخرى، لا تتعجل! علامة ناقص أمام مربع X يمكن أن تزعجك حقًا. من السهل أن تنسى... تخلص من الطرح. كيف؟ نعم كما علمنا في الموضوع السابق! نحن بحاجة إلى ضرب المعادلة بأكملها في -1. نحن نحصل:

لكن يمكنك الآن كتابة صيغة الجذور بأمان وحساب المميز والانتهاء من حل المثال. تقرر لنفسك. يجب أن يكون لديك الآن جذور 2 و-1.

الاستقبال ثانيا تحقق من الجذور! وفقا لنظرية فييتا. لا تخف، سأشرح لك كل شيء! تدقيق آخر شيءالمعادلة. أولئك. الذي استخدمناه لكتابة صيغة الجذر. إذا (كما في هذا المثال) المعامل أ = 1التحقق من الجذور أمر سهل. يكفي مضاعفة عددهم. يجب أن تكون النتيجة عضوا حرا، أي. في حالتنا -2. يرجى ملاحظة، ليس 2، ولكن -2! عضو مجاني مع علامة الخاص بك . إذا لم ينجح الأمر، فهذا يعني أنهم قد أخطأوا بالفعل في مكان ما. ابحث عن الخطأ.

إذا كان يعمل، تحتاج إلى إضافة الجذور. الفحص الأخير والأخير. يجب أن يكون المعامل بمع عكس مألوف. في حالتنا -1+2 = +1. معامل بالتي تقع قبل X، تساوي -1. لذلك، كل شيء صحيح!
من المؤسف أن هذا الأمر بسيط جدًا فقط بالنسبة للأمثلة التي يكون فيها x مربعًا نقيًا، مع معامل أ = 1.لكن على الأقل تحقق من مثل هذه المعادلات! سيكون هناك عدد أقل وأقل من الأخطاء.

الاستقبال ثالثا . إذا كانت معادلتك تحتوي على معاملات كسرية، فتخلص من الكسور! اضرب المعادلة في قاسم مشترك كما هو موضح في الدرس "كيف تحل المعادلات؟ تحويلات الهوية." عند التعامل مع الكسور، تستمر الأخطاء في الزحف لسبب ما...

بالمناسبة، لقد وعدت بتبسيط المثال الشرير بمجموعة من السلبيات. لو سمحت! هنا هو.

لكي لا نخلط بين السلبيات، نضرب المعادلة في -1. نحن نحصل:

هذا كل شئ! الحل هو متعة!

لذلك دعونا نلخص الموضوع.

نصائح عملية:

1. قبل الحل، نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصورة القياسية ونبنيها يمين.

2. إذا كان هناك معامل سالب أمام مربع X، فإننا نحذفه بضرب المعادلة بأكملها في -1.

3. إذا كانت المعاملات كسرية، فإننا نحذف الكسور بضرب المعادلة بأكملها في العامل المقابل.

4. إذا كانت x مربعة نقية، فإن معاملها يساوي واحدًا، ويمكن التحقق من الحل بسهولة باستخدام نظرية فييتا. افعلها!

الآن يمكننا أن نقرر.)

حل المعادلات:

8س 2 - 6س + 1 = 0

× 2 + 3س + 8 = 0

س 2 - 4س + 4 = 0

(س+1) 2 + س + 1 = (س+1)(س+2)

الإجابات (في حالة من الفوضى):

× 1 = 0
× 2 = 5

× 1.2 =2

× 1 = 2
× 2 = -0.5

س - أي رقم

× 1 = -3
× 2 = 3

لا توجد حلول

× 1 = 0.25
× 2 = 0.5

هل كل شيء مناسب؟ عظيم! المعادلات التربيعية ليست صداعك. الثلاثة الأولى عملت والباقي لم يعمل؟ إذن المشكلة ليست في المعادلات التربيعية. المشكلة هي في تحويلات متطابقة من المعادلات. ألقِ نظرة على الرابط، فهو مفيد.

لا يعمل تماما؟ أم أنها لا تعمل على الإطلاق؟ إذن سوف يساعدك القسم 555 في تفصيل كل هذه الأمثلة هناك. معروض رئيسيأخطاء في الحل. بالطبع، نتحدث أيضًا عن استخدام التحويلات المتطابقة في حل المعادلات المختلفة. يساعد كثيرا!

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

5س (س - 4) = 0

5 س = 0 أو س - 4 = 0

س = ± √ 25/4

بعد أن تعلمت حل معادلات الدرجة الأولى، بالطبع، تريد العمل مع الآخرين، على وجه الخصوص، مع معادلات الدرجة الثانية، والتي تسمى خلاف ذلك من الدرجة الثانية.

المعادلات التربيعية هي معادلات مثل ax² + bx + c = 0، حيث المتغير هو x، والأرقام هي a، b، c، حيث a لا يساوي الصفر.

إذا كان أحد المعاملين (ج أو ب) في معادلة تربيعية يساوي الصفر، فسيتم تصنيف هذه المعادلة على أنها معادلة تربيعية غير كاملة.

كيف تحل معادلة تربيعية غير مكتملة إذا كان الطلاب حتى الآن قادرين على حل معادلات الدرجة الأولى فقط؟ دعونا نفكر في المعادلات التربيعية غير المكتملة ذات الأنواع المختلفة وطرق بسيطة لحلها.

أ) إذا كان المعامل c يساوي 0، والمعامل b لا يساوي الصفر، فإن ax ² + bx + 0 = 0 يتم اختزاله إلى معادلة بالصيغة ax ² + bx = 0.

لحل مثل هذه المعادلة، عليك أن تعرف صيغة حل المعادلة التربيعية غير الكاملة، والتي تتمثل في تحليل الطرف الأيسر منها ثم استخدام شرط أن حاصل الضرب يساوي صفرًا.

على سبيل المثال، 5x² - 20x = 0. نقوم بتحليل الجانب الأيسر من المعادلة، أثناء إجراء العملية الحسابية المعتادة: إخراج العامل المشترك من الأقواس

5س (س - 4) = 0

نستخدم شرط أن حاصل الضرب يساوي صفرًا.

5 س = 0 أو س - 4 = 0

سيكون الجواب: الجذر الأول هو 0؛ الجذر الثاني هو 4

ب) إذا كان b = 0، والحد الحر لا يساوي صفر، فإن المعادلة ax ² + 0x + c = 0 يتم تحويلها إلى معادلة على الشكل ax ² + c = 0. ويتم حل المعادلات بطريقتين : أ) عن طريق تحليل كثير الحدود للمعادلة على الجانب الأيسر؛ ب) استخدام خصائص الجذر التربيعي الحسابي. يمكن حل هذه المعادلة باستخدام إحدى الطرق، على سبيل المثال:

س = ± √ 25/4

س = ± 5/2. الجواب سيكون: الجذر الأول هو 5/2؛ الجذر الثاني يساوي - 5/2.

ج) إذا كانت b تساوي 0 وc تساوي 0، فإن ax ² + 0 + 0 = 0 يتم اختزالها إلى معادلة على الشكل ax ² = 0. في مثل هذه المعادلة س تساوي 0.

كما ترى، لا يمكن للمعادلات التربيعية غير المكتملة أن تحتوي على أكثر من جذرين.

معادلة تربيعية سهلة الحل! *يشار إليها فيما بعد باسم "KU".أيها الأصدقاء، يبدو أنه لا يوجد شيء أسهل في الرياضيات من حل مثل هذه المعادلة. لكن شيئًا ما أخبرني أن الكثير من الناس لديهم مشاكل معه. قررت معرفة عدد مرات الظهور التي تقدمها Yandex شهريًا عند الطلب. إليك ما حدث، انظر:

ماذا يعني ذلك؟ وهذا يعني أن حوالي 70 ألف شخص يبحثون عن هذه المعلومات شهريًا، وهذا هو الصيف، وماذا سيحدث خلال العام الدراسي - سيكون هناك ضعف عدد الطلبات. هذا ليس مفاجئا، لأن هؤلاء الرجال والفتيات الذين تخرجوا من المدرسة لفترة طويلة ويستعدون لامتحان الدولة الموحدة يبحثون عن هذه المعلومات، ويسعى تلاميذ المدارس أيضا إلى تحديث ذاكرتهم.

وعلى الرغم من وجود الكثير من المواقع التي تخبرك بكيفية حل هذه المعادلة، فقد قررت أيضًا المساهمة ونشر المادة. أولاً، أود أن يأتي الزوار إلى موقعي بناءً على هذا الطلب؛ ثانيًا، في مقالات أخرى، عندما يأتي موضوع "KU"، سأقدم رابطًا لهذه المقالة؛ ثالثًا، سأخبرك بالمزيد عن حله أكثر مما يُذكر عادةً في المواقع الأخرى. هيا بنا نبدأ!محتوى المقال:

المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل:

حيث المعاملات أ،بو c أرقام عشوائية، مع a≠0.

في الدورة المدرسية يتم تقديم المادة بالشكل التالي - تنقسم المعادلات إلى ثلاث فئات:

1. لديهم جذرين.

2. * لديك جذر واحد فقط.

3. ليس لها جذور. ومن الجدير بالذكر هنا بشكل خاص أنه ليس لديهم جذور حقيقية

كيف يتم حساب الجذور؟ فقط!

نحن نحسب المميز. تحت هذه الكلمة "الرهيبة" تكمن صيغة بسيطة للغاية:

صيغ الجذر هي كما يلي:

*عليك أن تحفظ هذه الصيغ عن ظهر قلب.

يمكنك الكتابة على الفور وحلها:

مثال:

1. إذا كانت D > 0، فإن المعادلة لها جذرين.

2. إذا كانت D = 0، فإن المعادلة لها جذر واحد.

3. إذا كان د< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

لننظر إلى المعادلة:

في هذا الصدد، عندما يكون المميز يساوي صفرًا، تقول الدورة المدرسية أنه يتم الحصول على جذر واحد، وهنا يساوي تسعة. كل شيء صحيح، إنه كذلك، ولكن...

هذه الفكرة غير صحيحة إلى حد ما. في الواقع، هناك جذوران. نعم، نعم، لا تتفاجأ، تحصل على جذرين متساويين، ولكي نكون دقيقين رياضيا، فالإجابة يجب أن تكتب جذرين:

× 1 = 3 × 2 = 3

ولكن هذا هو الحال - استطرادا صغيرا. في المدرسة، يمكنك كتابتها والقول أن هناك جذرًا واحدًا.

والآن المثال التالي:

وكما نعلم، لا يمكن أخذ جذر العدد السالب، لذا لا يوجد حل في هذه الحالة.

هذه هي عملية اتخاذ القرار برمتها.

وظيفة من الدرجة الثانية.

وهذا يوضح كيف يبدو الحل هندسيًا. من المهم للغاية أن نفهم (في المستقبل، في إحدى المقالات، سنحلل بالتفصيل حل عدم المساواة التربيعية).

هذه وظيفة النموذج:

حيث x و y متغيران

أ، ب، ج - أرقام معينة، مع ≠ 0

الرسم البياني هو القطع المكافئ:

أي أنه يتبين أنه من خلال حل معادلة تربيعية حيث "y" تساوي صفر، نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور x. يمكن أن يكون هناك نقطتان (المميز إيجابي)، واحدة (المميز صفر) ولا شيء (المميز سلبي). تفاصيل حول الدالة التربيعية يمكنك عرضمقال بقلم إينا فيلدمان.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

مثال 1: حل 2x 2 +8 س–192=0

أ=2 ب=8 ج= –192

د = ب 2 -4ac = 8 2 –4∙2∙(-192) = 64+1536 = 1600

الإجابة: × 1 = 8 × 2 = -12

*كان من الممكن قسمة طرفي المعادلة الأيمن والأيسر على 2 مباشرة، أي تبسيطها. الحسابات ستكون أسهل.

مثال 2: يقرر × 2–22 س+121 = 0

أ=1 ب=–22 ج=121

د = ب 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

لقد وجدنا أن x 1 = 11 و x 2 = 11

ويجوز كتابة x = 11 في الجواب.

الجواب: س = 11

مثال 3: يقرر س 2 –8س+72 = 0

أ=1 ب= –8 ج=72

د = ب 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

المميز سالب، لا يوجد حل في الأعداد الحقيقية.

الجواب: لا يوجد حل

التمييز سلبي. هل هناك حل!

سنتحدث هنا عن حل المعادلة في حالة الحصول على مميز سلبي. هل تعرف شيئا عن الأعداد المركبة؟ لن أخوض في التفاصيل هنا حول سبب وأين نشأت وما هو دورها المحدد وضرورتها في الرياضيات؛ فهذا موضوع لمقالة منفصلة كبيرة.

مفهوم العدد المركب.

القليل من النظرية.

الرقم المركب z هو رقم من النموذج

ض = أ + ثنائية

حيث a وb عددان حقيقيان، i هو ما يسمى بالوحدة التخيلية.

أ + ثنائية – هذا رقم فردي وليس إضافة.

الوحدة التخيلية تساوي جذر ناقص واحد:

الآن فكر في المعادلة:

نحصل على جذرين مترافقين.

معادلة تربيعية غير مكتملة.

لنفكر في حالات خاصة، وذلك عندما يكون المعامل "b" أو "c" مساويًا للصفر (أو كلاهما يساوي الصفر). ويمكن حلها بسهولة دون أي تمييز.

الحالة 1. المعامل ب = 0.

تصبح المعادلة:

دعونا تحويل:

مثال:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => × 2 = 4 => × 1 = 2 × 2 = –2

الحالة 2. المعامل ج = 0.

تصبح المعادلة:

لنقم بالتحويل والتحليل:

* يكون حاصل الضرب صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل مساويًا للصفر.

مثال:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 أو x–5 =0

× 1 = 0 × 2 = 5

الحالة 3. المعاملات ب = 0 و ج = 0.

من الواضح هنا أن حل المعادلة سيكون دائمًا x = 0.

خصائص وأنماط مفيدة من المعاملات.

هناك خصائص تسمح لك بحل المعادلات ذات المعاملات الكبيرة.

أس 2 + bx+ ج=0 المساواة تحمل

أ + ب+ ج = 0،الذي - التي

- إذا لمعاملات المعادلة أس 2 + bx+ ج=0 المساواة تحمل

أ+ ج =ب, الذي - التي

تساعد هذه الخصائص في حل نوع معين من المعادلات.

مثال 1: 5001 س 2 –4995 س – 6=0

مجموع الاحتمالات هو 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 يعني

مثال 2: 2501 س 2 +2507 س+6=0

المساواة تحمل أ+ ج =ب, وسائل

انتظام المعاملات.

1. إذا كان في المعادلة ax 2 + bx + c = 0 المعامل "b" يساوي (a 2 +1)، والمعامل "c" يساوي عددياً المعامل "a" فإن جذوره متساوية

الفأس 2 + (أ 2 +1)∙س+ أ= 0 = > × 1 = –أ × 2 = –1/أ.

مثال. خذ المعادلة 6x 2 + 37x + 6 = 0.

× 1 = -6 × 2 = -1/6.

2. إذا كان في المعادلة ax 2 - bx + c = 0 فإن المعامل "b" يساوي (a 2 +1)، والمعامل "c" يساوي عددياً المعامل "a" فإن جذوره متساوية

الفأس 2 – (أ 2 +1)∙س+ أ= 0 = > × 1 = أ × 2 = 1/أ.

مثال. خذ بعين الاعتبار المعادلة 15x2 –226x +15 = 0.

× 1 = 15 × 2 = 1/15.

3. إذا كان في معادل.الفأس 2 + ب س - ج = 0 معامل "ب" يساوي (2 - 1)، والمعامل "ج" يساوي عدديا المعامل "أ", فإن جذورها متساوية

الفأس 2 + (أ 2 –1)∙س – أ= 0 = > × 1 = – أ × 2 = 1/أ.

مثال. خذ المعادلة 17x2 +288x – 17 = 0.

× 1 = – 17 × 2 = 1/17.

4. إذا كان في المعادلة ax 2 – bx – c = 0 فإن المعامل “b” يساوي (a 2 – 1)، والمعامل c يساوي عددياً المعامل “a” فإن جذوره متساوية

الفأس 2 – (أ 2 –1)∙س – أ= 0 = > × 1 = أ × 2 = – 1/أ.

مثال. خذ بعين الاعتبار المعادلة 10x2 – 99x –10 = 0.

× 1 = 10 × 2 = – 1/10

نظرية فييتا.

تم تسمية نظرية فييتا على اسم عالم الرياضيات الفرنسي الشهير فرانسوا فييتا. باستخدام نظرية فييتا، يمكننا التعبير عن مجموع ومنتج جذور KU التعسفية من حيث معاملاتها.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

في المجمل، الرقم 14 يعطي فقط 5 و 9. هذه جذور. بمهارة معينة، وباستخدام النظرية المقدمة، يمكنك حل العديد من المعادلات التربيعية شفهيًا على الفور.

بالإضافة إلى ذلك، نظرية فييتا. ومن الملائم أنه بعد حل المعادلة التربيعية بالطريقة المعتادة (من خلال المميز)، يمكن التحقق من الجذور الناتجة. أوصي بفعل هذا دائمًا.

طريقة النقل

وبهذه الطريقة يتم ضرب المعامل "أ" بالحد الحر، كما لو "ألقيت" عليه، ولهذا سمي طريقة "النقل".يتم استخدام هذه الطريقة عندما يمكنك بسهولة العثور على جذور المعادلة باستخدام نظرية فييتا، والأهم من ذلك، عندما يكون المميز مربعًا دقيقًا.

لو أ± ب+ج≠ 0، ثم يتم استخدام تقنية النقل، على سبيل المثال:

2X 2 – 11س+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11س+ 10 = 0 (2)

باستخدام نظرية فييتا في المعادلة (2)، من السهل تحديد أن x 1 = 10 x 2 = 1

يجب قسمة جذور المعادلة الناتجة على 2 (حيث تم "طرح" الاثنين من x 2)، نحصل على

× 1 = 5 × 2 = 0.5.

ما هو الأساس المنطقي؟ انظر ماذا يحدث.

مميزات المعادلتين (1) و (2) متساوية:

إذا نظرت إلى جذور المعادلات، فلن تحصل إلا على مقامات مختلفة، وتعتمد النتيجة بدقة على معامل x 2:

والثاني (المعدل) له جذور أكبر مرتين.

لذلك، نقسم النتيجة على 2.

*إذا أخذنا ثلاثة، فسنقسم النتيجة على 3، وما إلى ذلك.

الجواب: × 1 = 5 × 2 = 0.5

مربع. ur-ie وامتحان الدولة الموحدة.

سأخبرك بإيجاز عن أهميتها - يجب أن تكون قادرًا على اتخاذ القرار بسرعة ودون تفكير، فأنت بحاجة إلى حفظ صيغ الجذور والمتميزات عن ظهر قلب. تتلخص العديد من المشكلات المدرجة في مهام امتحان الدولة الموحدة في حل معادلة تربيعية (بما في ذلك المعادلات الهندسية).

شيء جدير بالملاحظة!

1. يمكن أن تكون صيغة كتابة المعادلة “ضمنية”. على سبيل المثال، الإدخال التالي ممكن:

15+ 9x 2 - 45x = 0 أو 15x+42+9x 2 - 45x=0 أو 15 -5x+10x 2 = 0.

تحتاج إلى إحضاره إلى نموذج قياسي (حتى لا تتشوش عند الحل).

2. تذكر أن x كمية مجهولة ويمكن الإشارة إليها بأي حرف آخر - t، q، p، h وغيرها.

سنتناول في هذه المقالة حل المعادلات التربيعية غير الكاملة.

لكن أولًا، دعونا نكرر ما يسمى بالمعادلات التربيعية. معادلة من الشكل ax 2 + bx + c = 0، حيث x متغير، والمعاملات a وb وc هي بعض الأرقام، وa ≠ 0 تسمى مربع. وكما نرى فإن معامل x 2 لا يساوي صفراً، وبالتالي يمكن أن تكون معاملات x أو الحد الحر مساوية للصفر، وفي هذه الحالة نحصل على معادلة تربيعية غير كاملة.

هناك ثلاثة أنواع من المعادلات التربيعية غير الكاملة:

1) إذا كان ب = 0، ج ≠ 0، ثم الفأس 2 + ج = 0؛

2) إذا كان ب ≠ 0، ج = 0، ثم الفأس 2 + ب س = 0؛

3) إذا كان ب = 0، ج = 0، فإن الفأس 2 = 0.

• دعونا معرفة كيفية حلها معادلات الشكل الفأس 2 + ج = 0.

لحل المعادلة، ننقل الحد الحر c إلى الجانب الأيمن من المعادلة، فنحصل على

الفأس 2 = -s. بما أن ≠ 0، نقسم طرفي المعادلة على a، ثم x 2 = ‒c/a.

إذا كانت ‒с/а > 0، فإن المعادلة لها جذرين

س = ±√(–ج/أ) .

إذا -ج/أ< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

دعونا نحاول أن نفهم بالأمثلة كيفية حل مثل هذه المعادلات.

مثال 1. حل المعادلة 2س 2 - 32 = 0.

الإجابة: × 1 = - 4، × 2 = 4.

مثال 2. حل المعادلة 2س 2 + 8 = 0.

الجواب: المعادلة ليس لها حلول.

• دعونا معرفة كيفية حلها معادلات من الشكل ax 2 + bx = 0.

لحل المعادلة ax 2 + bx = 0، دعونا نحولها إلى عوامل، أي نخرج x من الأقواس، نحصل على x(ax + b) = 0. الناتج يساوي صفر إذا كان أحد العوامل على الأقل متساويًا إلى الصفر. ثم إما x = 0، أو ax + b = 0. وبحل المعادلة ax + b = 0، نحصل على ax = - b، حيث x = - b/a. المعادلة ذات الصيغة ax 2 + bx = 0 لها دائمًا جذرين x 1 = 0 وx 2 = ‒ b/a. انظر كيف يبدو حل المعادلات من هذا النوع في الرسم التخطيطي.

دعونا نعزز معرفتنا بمثال محدد.

مثال 3. حل المعادلة 3س 2 - 12س = 0.

س(3س - 12) = 0

س= 0 أو 3س – 12 = 0

الإجابة: × 1 = 0، × 2 = 4.

• معادلات النوع الثالث الفأس 2 = 0يتم حلها بكل بساطة.

إذا كان الفأس 2 = 0، فإن x 2 = 0. المعادلة لها جذرين متساويين x 1 = 0، x 2 = 0.

من أجل الوضوح، دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني.

دعونا نتأكد عند حل المثال رقم 4 من أن المعادلات من هذا النوع يمكن حلها بكل بساطة.

مثال 4.حل المعادلة 7×2 = 0.

الجواب: × 1، 2 = 0.

ليس من الواضح دائمًا على الفور نوع المعادلة التربيعية غير الكاملة التي يتعين علينا حلها. النظر في المثال التالي.

مثال 5.حل المعادلة

دعونا نضرب طرفي المعادلة في قاسم مشترك، وهو 30

دعونا نقطعها

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

دعونا نفتح الأقواس

25س 2 + 45 – 24س 2 + 54 = 90.

دعونا نعطي مماثلة

لننقل 99 من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين، مع تغيير الإشارة إلى العكس

الجواب: لا جذور.

لقد نظرنا في كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة. آمل ألا تواجه الآن أي صعوبات في مثل هذه المهام. كن حذرا عند تحديد نوع المعادلة التربيعية غير المكتملة، فسوف تنجح.

إذا كانت لديك أسئلة حول هذا الموضوع، فقم بالتسجيل في دروسي، وسنحل المشكلات التي تنشأ معًا.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.