كيفية العثور على أمثلة العقد العددية. إيماءة ونوك الأرقام - القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام

علامات قابلية القسمة الأعداد الطبيعية.

يتم استدعاء الأعداد التي تقبل القسمة على 2 بدون باقيحتى .

يتم استدعاء الأرقام التي لا تقبل القسمة على 2غريب .

اختبار قابلية القسمة على 2

إذا كان العدد الطبيعي ينتهي برقم زوجي فإن هذا العدد يقبل القسمة على 2 بدون باقي، وإذا كان العدد ينتهي برقم فردي فإن هذا العدد لا يقبل القسمة على 2 بالتساوي.

على سبيل المثال، الأرقام 60 , 30 8 , 8 4 تقبل القسمة على 2 بدون الباقي، والأرقام هي 51 , 8 5 , 16 7 لا تقبل القسمة على 2 بدون باقي.

اختبار قابلية القسمة على 3

إذا كان مجموع أرقام العدد يقبل القسمة على 3، فإن الرقم يقبل القسمة على 3؛ إذا كان مجموع أرقام العدد لا يقبل القسمة على 3، فإن العدد لا يقبل القسمة على 3.

على سبيل المثال، دعونا نكتشف ما إذا كان الرقم 2772825 قابلاً للقسمة على 3. للقيام بذلك، دعونا نحسب مجموع أرقام هذا الرقم: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - يقبل القسمة على 3. وهذا يعني أن الرقم 2772825 يقبل القسمة على 3.

اختبار قابلية القسمة على 5

إذا كانت تسجيلة عدد طبيعي تنتهي بالرقم 0 أو 5 فإن هذا الرقم يقبل القسمة على 5 بدون باقي. وإذا كانت تسجيلة العدد تنتهي برقم آخر فإن الرقم لا يقبل القسمة على 5 بدون باقي.

على سبيل المثال، الأرقام 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 تقبل القسمة على 5 بدون الباقي، والأرقام هي 17 , 37 8 , 9 1 لا تشارك.

اختبار قابلية القسمة على 9

إذا كان مجموع أرقام العدد يقبل القسمة على 9، فإن الرقم يقبل القسمة على 9؛ إذا كان مجموع أرقام العدد لا يقبل القسمة على 9، فإن العدد لا يقبل القسمة على 9.

على سبيل المثال، دعونا نكتشف ما إذا كان الرقم 5402070 يقبل القسمة على 9. للقيام بذلك، دعونا نحسب مجموع أرقام هذا الرقم: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - غير قابل للقسمة على 9 وهذا يعني أن الرقم 5402070 لا يقبل القسمة على 9.

اختبار قابلية القسمة على 10

إذا كان العدد الطبيعي ينتهي بالرقم 0، فإن هذا الرقم يقبل القسمة على 10 بدون باقي. وإذا كان العدد الطبيعي ينتهي برقم آخر، فهو غير قابل للقسمة على 10.

على سبيل المثال، الأرقام 40 , 17 0 , 1409 0 تقبل القسمة على 10 بدون الباقي، والأرقام 17 , 9 3 , 1430 7 - لا تشارك.

قاعدة إيجاد القاسم المشترك الأكبر (GCD).

للعثور على أكبر القاسم المشتركعدة أعداد طبيعية، تحتاج إلى:

2) من العوامل المدرجة في توسيع أحد هذه الأرقام، شطب تلك التي لم يتم تضمينها في توسيع الأرقام الأخرى؛

3) أوجد حاصل ضرب العوامل المتبقية.

مثال. دعونا نجد GCD (48؛36). دعونا نستخدم القاعدة.

1. دعونا نحلل الأرقام 48 و 36 إلى العوامل الأولية.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. من العوامل التي يشملها مفك العدد 48 نحذف ما لم يدخل في مفك العدد 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

العوامل المتبقية هي 2 و 2 و 3.

3. اضرب العوامل المتبقية واحصل على 12. هذا الرقم هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين 48 و36.

جي سي دي (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM).

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لعدة أعداد طبيعية، عليك:

1) تحليلها إلى عوامل أولية؛

2) اكتب العوامل المتضمنة في توسيع أحد الأرقام؛

3) أضف إليها العوامل المفقودة من مفكوكات الأعداد المتبقية؛

4) أوجد حاصل ضرب العوامل الناتجة.

مثال.دعونا نجد LOC (75؛60). دعونا نستخدم القاعدة.

1. دعونا نحلل الرقمين 75 و 60 إلى عوامل أولية.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. دعونا نكتب العوامل التي يتضمنها مفكوك العدد 75: 3، 5، 5.

م م(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. أضف إليها العوامل الناقصة من مفكوك العدد 60، أي: 2، 2.

م م(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. أوجد حاصل ضرب العوامل الناتجة

م م(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

يسمى أكبر عدد طبيعي يتم به قسمة العددين a وb بدون باقي القاسم المشترك الأكبرهذه الأرقام. تشير إلى GCD(أ، ب).

لنفكر في إيجاد GCD باستخدام مثال الرقمين الطبيعيين 18 و60:

1 لنحلل الأعداد إلى عوامل أولية:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

2 نحذف من مفكوك الرقم الأول جميع العوامل التي لا تدخل في مفكوك العدد الثاني فنحصل على 2×3×3 .

3 نضرب العوامل الأولية المتبقية بعد الشطب ونحصل على القاسم المشترك الأكبر للأرقام: gcd( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 لاحظ أنه لا يهم إذا شطبنا العوامل من الرقم الأول أو الثاني، فإن النتيجة ستكون واحدة:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

324 , 111 و 432

فلنحلل الأعداد إلى عوامل أولية:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3×37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

بشطب العوامل التي ليست في العددين الثاني والثالث من الرقم الأول نحصل على:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

ونتيجة لذلك، GCD( 324 , 111 , 432 )=3

العثور على GCD باستخدام الخوارزمية الإقليدية

الطريقة الثانية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر هي استخدام الخوارزمية الإقليدية. خوارزمية إقليدس هي الأكثر بطريقة فعالةالعثور على جي سي دي، باستخدامه تحتاج إلى العثور باستمرار على باقي أرقام القسمة وتطبيقها صيغة التكرار.

صيغة التكرارلـ جي سي دي، GCD(a, b)=GCD(b, a mod b)، حيث a mod b هو باقي القسمة على b.

خوارزمية إقليدس

مثال: أوجد القاسم المشترك الأكبر للأعداد 7920 و 594

لنجد GCD( 7920 , 594 ) باستخدام الخوارزمية الإقليدية، سنقوم بحساب باقي القسمة باستخدام الآلة الحاسبة.

جي سي دي( 7920 , 594 )

جي سي دي( 594 , 7920 وزارة الدفاع 594 ) = جي سي دي ( 594 , 198 )

جي سي دي( 198 , 594 وزارة الدفاع 198 ) = جي سي دي ( 198 , 0 )

جي سي دي( 198 , 0 ) = 198

• 7920 مود 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 مود 198 = 594 – 3 × 198 = 0

ونتيجة لذلك نحصل على GCD( 7920 , 594 ) = 198

المضاعف المشترك الأصغر

من أجل العثور على القاسم المشتركعند جمع وطرح الكسور مع قواسم مختلفةعليك أن تعرف وتكون قادرًا على الحساب المضاعف المشترك الأصغر(نوكيا).

مضاعف الرقم "أ" هو رقم يقبل القسمة على الرقم "أ" بدون باقي.

الأعداد من مضاعفات العدد 8 (أي أن هذه الأعداد قابلة للقسمة على 8 بدون باقي): هذه هي الأعداد 16، 24، 32...

مضاعفات العدد 9: 18، 27، 36، 45...

هناك عدد لا نهائي من مضاعفات رقم معين a، على عكس قواسم الرقم نفسه. هناك عدد محدود من المقسومات.

المضاعف المشترك لعددين طبيعيين هو الرقم الذي يقبل القسمة على هذين الرقمين..

المضاعف المشترك الأصغر(LCM) المكون من عددين طبيعيين أو أكثر هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على كل من هذه الأعداد.

كيفية العثور على NOC

يمكن العثور على LCM وكتابته بطريقتين.

الطريقة الأولى للعثور على LOC

تُستخدم هذه الطريقة عادةً للأعداد الصغيرة.

1. نكتب مضاعفات كل رقم على السطر حتى نجد المضاعف نفسه لكلا الرقمين.
2. نشير إلى مضاعفات الرقم "أ" حرف كبير"ل".

مثال. ابحث عن LCM 6 و8.

الطريقة الثانية للعثور على LOC

هذه الطريقة ملائمة للاستخدام للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

يمكن أن يكون عدد العوامل المتطابقة في تحليل الأرقام مختلفًا.

التأكيد على توسيع الرقم الأصغر ( أعداد أصغر) العوامل التي لم تدخل في مفكوك العدد الأكبر (في مثالنا هو 2) ونضيف هذه العوامل إلى مفكوك العدد الأكبر.
المضاعف المشترك الأصغر(24، 60) = 2 2 3 5 2

اكتب المنتج الناتج كإجابة.
الإجابة: المضاعف المشترك الأصغر (24، 60) = 120

يمكنك أيضًا إضفاء الطابع الرسمي على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) على النحو التالي. دعونا نجد LOC (12، 16، 24).

24 = 2 2 2 3

كما نرى من تحليل الأرقام، فإن جميع عوامل العدد 12 تدخل في تحليل 24 (الأكبر بين الأرقام)، لذلك نضيف 2 واحد فقط من تحليل الرقم 16 إلى المضاعف المشترك الأصغر.

المضاعف المشترك الأصغر (12، 16، 24) = 2 2 2 3 2 = 48

الإجابة: المضاعف المشترك الأصغر (12، 16، 24) = 48

حالات خاصة للحصول على شهادة عدم ممانعة

إذا كان أحد الأرقام يقبل القسمة على الأرقام الأخرى، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام يساوي هذا الرقم.

على سبيل المثال، المضاعف المشترك الأصغر (60، 15) = 60
نظرًا لأن الأعداد الأولية نسبيًا لا تحتوي على عوامل أولية مشتركة، فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب هذه الأعداد.

على موقعنا، يمكنك أيضًا استخدام آلة حاسبة خاصة للعثور على المضاعف المشترك الأصغر عبر الإنترنت للتحقق من حساباتك.

إذا كان العدد الطبيعي يقبل القسمة على نفسه وعلى 1 فقط، فإنه يسمى عدداً أولياً.

أي عدد طبيعي يقبل القسمة دائمًا على 1 وعلى نفسه.

الرقم 2 هو أصغر عدد أولي. هذا هو العدد الأولي الزوجي الوحيد، أما باقي الأعداد الأولية فهي فردية.

هناك العديد من الأعداد الأولية، وأولها هو الرقم 2. ومع ذلك، لا يوجد عدد أولي أخير. في قسم "للدراسة" يمكنك تنزيل جدول الأعداد الأولية حتى 997.

لكن العديد من الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة أيضًا على أعداد طبيعية أخرى.

• الرقم 12 قابل للقسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12؛
• الرقم 36 يقبل القسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12، على 18، على 36.

الأرقام التي يكون الرقم قابلاً للقسمة على الكل (12 هي 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12) تسمى مقسومات الرقم.

المقسوم عليه عدد طبيعي أ هو عدد طبيعي يقسم رقم معين"أ" بدون باقي.

العدد الطبيعي الذي له أكثر من مقسومين يسمى مركب.

يرجى ملاحظة أن الرقمين 12 و 36 لهما عوامل مشتركة. هذه الأرقام هي: 1، 2، 3، 4، 6، 12. القاسم الأكبر لهذه الأعداد هو 12.

القاسم المشترك لعددين معلومين "a" و"b" هو الرقم الذي يقسم به كلا الرقمين المعطاين "a" و"b" بدون باقي.

القاسم المشترك الأكبر(GCD) لعددين محددين "أ" و"ب" هو أكبر عدد، حيث يتم قسمة كلا الرقمين "أ" و "ب" بدون باقي.

باختصار القاسم المشترك الأكبر للرقمين "أ" و"ب" يكتب على النحو التالي::

مثال: جي سي دي (12؛ 36) = 12.

تتم الإشارة إلى قواسم الأرقام في سجل الحل بالحرف الكبير "D".

الرقمان 7 و 9 لهما قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. تسمى هذه الأرقام أرقام كوبريم.

أرقام كوبريم- هذه أعداد طبيعية لها قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. جي سي دي الخاص بهم هو 1.

كيفية العثور على القاسم المشترك الأكبر

للعثور على GCD لعددين طبيعيين أو أكثر، تحتاج إلى:

• تحليل مقسومات الأعداد إلى عوامل أولية؛

من الملائم كتابة العمليات الحسابية باستخدام شريط عمودي. على يسار السطر نكتب أولاً المقسوم، على اليمين - المقسوم عليه. بعد ذلك، في العمود الأيسر نكتب قيم القسمة.

دعونا نشرح ذلك على الفور بمثال. دعونا نحلل العددين 28 و64 إلى عوامل أولية.

نؤكد على نفس العوامل الأولية في كلا الرقمين.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
أوجد حاصل ضرب العوامل الأولية المتماثلة واكتب الإجابة؛
جي سي دي (28؛ 64) = 2 2 = 4

الجواب: جي سي دي (28؛ 64) = 4

يمكنك إضفاء الطابع الرسمي على موقع GCD بطريقتين: في عمود (كما هو موضح أعلاه) أو "في صف".

الطريقة الأولى لكتابة GCD

ابحث عن GCD 48 و 36.

جي سي دي (48; 36) = 2 2 3 = 12

الطريقة الثانية لكتابة gcd

الآن دعونا نكتب الحل لبحث GCD في سطر. ابحث عن GCD 10 و 15.

على موقع المعلومات الخاص بنا، يمكنك أيضًا استخدام مساعد القاسم المشترك الأكبر عبر الإنترنت للتحقق من حساباتك.

إيجاد المضاعف الأقل شيوعاً، طرق، أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر.

المادة المقدمة أدناه هي استمرار منطقي للنظرية من المقالة التي تحمل عنوان LCM - المضاعف الأقل شيوعًا، التعريف، الأمثلة، العلاقة بين LCM وGCD. هنا سوف نتحدث عن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، و اهتمام خاصدعونا نركز على حل الأمثلة. أولاً، سنوضح كيفية حساب المضاعف المشترك الأصغر لرقمين باستخدام GCD لهذه الأرقام. بعد ذلك، سنبحث في كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. بعد ذلك، سنركز على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة و أكثرالأرقام، وانتبه أيضًا إلى حساب LCM للأرقام السالبة.

التنقل في الصفحة.

حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) عبر GCD

إحدى الطرق للعثور على المضاعف المشترك الأصغر تعتمد على العلاقة بين LCM وGCD. الاتصال الموجودبين LCM وGCD يسمح لك بحساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين أرقام إيجابيةمن خلال القاسم المشترك الأكبر المعروف. الصيغة المقابلة هي LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب). دعونا نلقي نظرة على أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام الصيغة المعطاة.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لعددين 126 و70.

في هذا المثال أ=126 , ب=70 . دعونا نستخدم العلاقة بين LCM وGCD، والتي يتم التعبير عنها بالصيغة LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . أي أنه علينا أولاً إيجاد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 70 و126، وبعد ذلك يمكننا حساب المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام باستخدام الصيغة المكتوبة.

دعونا نوجد GCD(126, 70) باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 126=70·1+56، 70=56·1+14، 56=14·4، وبالتالي GCD(126, 70)=14.

الآن نجد المضاعف المشترك الأصغر المطلوب: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

ما هو LCM (68، 34) يساوي؟

بما أن 68 يقبل القسمة على 34، فإن GCD(68, 34)=34. الآن نقوم بحساب المضاعف المشترك الأصغر: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

لاحظ أن المثال السابق يتوافق مع القاعدة التالية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة a وb: إذا كان a يقبل القسمة على b، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو a.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية

هناك طريقة أخرى للعثور على المضاعف المشترك الأصغر وهي تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. إذا قمت بتكوين منتج من جميع العوامل الأولية لأرقام معينة، ثم استبعدت من هذا المنتج جميع العوامل الأولية المشتركة الموجودة في مفكوكات الأرقام المحددة، فسيكون المنتج الناتج مساويًا للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة .

القاعدة المعلنة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر تتبع من المساواة LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . في الواقع، فإن حاصل ضرب العددين a وb يساوي حاصل ضرب جميع العوامل المشاركة في مفكوك العددين a وb. في المقابل، gcd(أ، ب) يساوي المنتججميع العوامل الأولية الموجودة في نفس الوقت في توسعات الأرقام a و b (كما هو موضح في القسم الخاص بإيجاد GCD باستخدام توسيع الأرقام إلى عوامل أولية).

دعونا نعطي مثالا. دعنا نعرف أن 75=3·5·5 و210=2·3·5·7. لنؤلف الناتج من جميع عوامل هذه التوسعات: 2·3·3·5·5·5·7. الآن من هذا المنتج نستبعد جميع العوامل الموجودة في كل من مفكوك العدد 75 ومفكوك العدد 210 (هذه العوامل هي 3 و 5)، فيأخذ الناتج الشكل 2·3·5·5·7 . قيمة هذا المنتج تساوي المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و210، أي LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

قم بتحليل الرقمين 441 و 700 إلى عوامل أولية وأوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

دعونا نحلل الرقمين 441 و 700 إلى عوامل أولية:

نحصل على 441=3·3·7·7 و700=2·2·5·5·7.

الآن دعونا نجعل حاصل ضرب جميع العوامل المشاركة في توسيع هذه الأرقام: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. دعونا نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في نفس الوقت في كلا التوسعتين (يوجد عامل واحد فقط - وهذا هو الرقم 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. وبالتالي، LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

NOC(441, 700)= 44100 .

يمكن صياغة قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأعداد إلى عوامل أولية بشكل مختلف قليلاً. إذا تمت إضافة العوامل المفقودة من مفك الرقم ب إلى العوامل من مفك الرقم أ، فإن قيمة المنتج الناتج ستكون مساوية للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ و ب.

على سبيل المثال، لنأخذ نفس الرقمين 75 و210، وتحللهما إلى عوامل أولية كما يلي: 75=3·5·5 و210=2·3·5·7. إلى العوامل 3 و 5 و 5 من مفكوك الرقم 75 نضيف العوامل المفقودة 2 و 7 من مفكوك الرقم 210، نحصل على المنتج 2·3·5·5·7، وقيمته هي يساوي LCM(75، 210).

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 84 و648.

نحصل أولاً على تحليل الأرقام 84 و648 إلى عوامل أولية. تبدو مثل 84=2·2·3·7 و648=2·2·2·3·3·3·3. إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 من مفكوك الرقم 84 نضيف العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و 3 من مفكوك الرقم 648، نحصل على المنتج 2 2 2 3 3 3 3 7، وهو ما يساوي 4536 . وبالتالي، فإن المضاعف المشترك الأصغر المطلوب للعددين 84 و648 هو 4536.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

يمكن العثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر من خلال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين بشكل تسلسلي. دعونا نتذكر النظرية المقابلة، والتي توفر طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

دع الأعداد الصحيحة الموجبة a 1 , a 2 , …, a k يتم العثور على المضاعف المشترك الأصغر m k لهذه الأرقام عن طريق الحساب التسلسلي m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , م ك = LCM(م ك−1 , أ ك) .

لنفكر في تطبيق هذه النظرية باستخدام مثال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام 140، 9، 54، 250.

أولا نجد m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . للقيام بذلك، باستخدام الخوارزمية الإقليدية، نحدد GCD(140, 9)، لدينا 140=9·15+5، 9=5·1+4، 5=4·1+1، 4=1·4، وبالتالي، GCD(140, 9)=1، منها LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. أي أن م2=1260.

الآن نجد m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). لنحسبها من خلال GCD(1 260, 54)، والتي نحددها أيضًا باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 1 260=54·23+18, 54=18·3. ثم gcd(1,260, 54)=18، ومنها gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. أي أن م 3 = 3 780.

يبقى أن نجد m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). للقيام بذلك، نجد GCD(3,780, 250) باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 3,780=250·15+30، 250=30·8+10، 30=10·3. ولذلك، GCD(3,780, 250)=10، ومنها GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. أي أن م 4 = 94,500.

إذن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة الأصلية هو 94500.

م م(140, 9, 54, 250)=94,500 .

في كثير من الحالات، يكون من المناسب إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر باستخدام التحليلات الأولية للأرقام المعطاة. وفي هذه الحالة عليك الالتزام القاعدة التالية. المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام يساوي حاصل الضرب الذي يتكون على النحو التالي: العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني تضاف إلى جميع العوامل من مفكوك الرقم الأول، العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الأول ويضاف الرقم الثالث إلى العوامل الناتجة، وهكذا.

دعونا نلقي نظرة على مثال لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل الأولي.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الخمسة 84، 6، 48، 7، 143.

أولاً، نحصل على تحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية: 84=2·2·3·7، 6=2·3، 48=2·2·2·2·3، 7 (7 هو عدد أولي، وهو يتطابق مع تحللها إلى عوامل أولية) و143=11·13.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام، إلى عوامل الرقم الأول 84 (وهي 2 و2 و3 و7)، تحتاج إلى إضافة العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني 6. لا يحتوي تحليل الرقم 6 على عوامل مفقودة، حيث أن كلا من 2 و 3 موجودان بالفعل في تحليل الرقم الأول 84. بعد ذلك، إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 2 و 2 من مفكوك الرقم الثالث 48، نحصل على مجموعة من العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7. إلى هذه المجموعة الخطوة التاليةليست هناك حاجة لإضافة مضاعفات لأن الرقم 7 موجود فيه بالفعل. أخيرًا، إلى العوامل 2 و2 و2 و2 و3 و7 نضيف العوامل المفقودة 11 و13 من مفكوك العدد 143. نحصل على المنتج 2·2·2·2·3·7·11·13، وهو ما يساوي 48,048.

لذلك، المضاعف المشترك الأصغر (84، 6، 48، 7، 143) = 48,048.

م م(84, 6, 48, 7, 143)=48,048 .

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة

في بعض الأحيان تكون هناك مهام تحتاج فيها إلى العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام، من بينها رقم واحد أو عدة أرقام أو جميعها سالبة. في هذه الحالات كل شيء أرقام سلبيةتحتاج إلى استبدالها بالأرقام المقابلة لها، ثم العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الموجبة. هذه هي الطريقة للعثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة. على سبيل المثال، LCM(54, −34) = LCM(54, 34) و LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

يمكننا القيام بذلك لأن مجموعة مضاعفات a تتزامن مع مجموعة مضاعفات −a (a و −a هما أرقام متضادة). في الواقع، دع b يكون أحد مضاعفات a، إذن b قابل للقسمة على a، ومفهوم القسمة ينص على وجود عدد صحيح q بحيث يكون b=a.q. لكن المساواة b=(−a)·(−q) ستكون صحيحة أيضًا، والتي، بسبب نفس مفهوم القسمة، تعني أن b قابل للقسمة على −a، أي أن b هو مضاعف لـ −a. والعكس صحيح أيضًا: إذا كان b من مضاعفات −a، فإن b هو أيضًا من مضاعفات a.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة −145 و−45.

دعونا نستبدل الرقمين السالبين −145 و −45 بالأرقام المقابلة لهما 145 و 45. لدينا LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . بعد تحديد GCD(145, 45)=5 (على سبيل المثال، باستخدام الخوارزمية الإقليدية)، نحسب GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . وبالتالي، فإن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة السالبة −145 و−45 هو 1,305.

www.cleverstudents.ru

نواصل دراسة القسمة. في هذا الدرس سوف ننظر في مفاهيم مثل جي سي ديو شهادة عدم الممانعة.

جي سي ديهو القاسم المشترك الأكبر.

شهادة عدم الممانعةهو المضاعف المشترك الأصغر.

الموضوع ممل للغاية، لكنك بالتأكيد بحاجة إلى فهمه. بدون فهم هذا الموضوع، لن تتمكن من التعامل بفعالية مع الكسور، والتي تشكل عائقًا حقيقيًا في الرياضيات.

القاسم المشترك الأكبر

تعريف. القاسم المشترك الأكبر للأعداد أو ب أو بمقسمة بلا باقي.

لفهم هذا التعريف جيدًا، دعونا نعوض بالمتغيرات أو بأي رقمين، على سبيل المثال، بدلا من متغير أدعونا نعوض بالرقم 12، وبدلا من المتغير برقم 9. الآن دعونا نحاول قراءة هذا التعريف:

القاسم المشترك الأكبر للأعداد 12 و 9 ويسمى أكبر عدد من خلالها 12 و 9 مقسمة بلا باقي.

يتضح من التعريف أننا نتحدث عن القاسم المشترك للرقمين 12 و 9، وهذا المقسوم هو الأكبر من بين جميع المقسومات الموجودة. يجب إيجاد القاسم المشترك الأكبر (GCD).

للعثور على القاسم المشترك الأكبر لعددين، يتم استخدام ثلاث طرق. الطريقة الأولى كثيفة العمالة للغاية، ولكنها تتيح لك فهم جوهر الموضوع بوضوح ويشعر بمعناه الكامل.

الطريقتان الثانية والثالثة بسيطة للغاية وتجعل من الممكن العثور بسرعة على GCD. سننظر في جميع الطرق الثلاث. وأي واحد يجب استخدامه في الممارسة العملية متروك لك للاختيار.

الطريقة الأولى هي إيجاد جميع المقسومات الممكنة لعددين واختيار أكبرها. دعونا نلقي نظرة على هذه الطريقة باستخدام المثال التالي: أوجد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 12 و 9.

أولاً، سنجد جميع المقسومات الممكنة للرقم 12. وللقيام بذلك، سنقسم 12 على جميع المقسومات في النطاق من 1 إلى 12. إذا كان المقسوم عليه يسمح لنا بتقسيم 12 بدون باقي، فسوف نسلط الضوء عليه في باللون الأزرق وقدم الشرح المناسب بين قوسين.

12: 1 = 12
(12 مقسوم على 1 بدون باقي، مما يعني أن 1 هو مقسوم على الرقم 12)

12: 2 = 6
(12 مقسوم على 2 بدون باقي، مما يعني أن 2 هو مقسوم على الرقم 12)

12: 3 = 4
(12 مقسوم على 3 بدون باقي، مما يعني أن 3 هو مقسوم على الرقم 12)

12: 4 = 3
(12 مقسوم على 4 بدون باقي، مما يعني أن 4 هو مقسوم على الرقم 12)

12: 5 = 2 (2 متبقي)
(12 لا يقسم على 5 بدون باقي، مما يعني أن 5 ليس مقسوما على الرقم 12)

12: 6 = 2
(12 مقسوم على 6 بدون باقي، مما يعني أن 6 هو مقسوم على الرقم 12)

12: 7 = 1 (5 متبقية)
(12 لا يقسم على 7 بدون باقي، مما يعني أن 7 ليس مقسوما على الرقم 12)

12: 8 = 1 (4 متبقية)
(12 لا يقسم على 8 بدون باقي، مما يعني أن 8 لا يقبل القسمة على 12)

12: 9 = 1 (3 متبقية)
(12 لا يقسم على 9 بدون باقي، مما يعني أن 9 ليس قاسمًا للرقم 12)

12: 10 = 1 (2 متبقي)
(12 لا يقسم على 10 بدون باقي، مما يعني أن 10 ليس مقسوما على الرقم 12)

12: 11 = 1 (1 متبقي)
(12 لا يقسم على 11 بدون باقي، مما يعني أن 11 لا يقبل القسمة على 12)

12: 12 = 1
(12 مقسوم على 12 بدون باقي، مما يعني أن 12 هو مقسوم على الرقم 12)

الآن دعونا نجد قواسم الرقم 9. للقيام بذلك، تحقق من جميع المقسومات من 1 إلى 9

9: 1 = 9
(9 مقسوم على 1 بدون باقي، مما يعني أن 1 هو مقسوم على الرقم 9)

9: 2 = 4 (1 متبقي)
(9 لا يقسم على 2 بدون باقي، مما يعني أن 2 ليس قاسمًا للرقم 9)

9: 3 = 3
(9 مقسوم على 3 بدون باقي، مما يعني أن 3 هو مقسوم على الرقم 9)

9: 4 = 2 (1 متبقي)
(9 لا يقسم على 4 بدون باقي، مما يعني أن 4 ليس قاسمًا للرقم 9)

9: 5 = 1 (4 متبقية)
(9 لا يقسم على 5 بدون باقي، مما يعني أن 5 ليس قاسمًا للرقم 9)

9: 6 = 1 (3 متبقية)
(9 لا يقسم على 6 بدون باقي، مما يعني أن 6 ليس قاسمًا للرقم 9)

9: 7 = 1 (2 متبقي)
(9 لا يقسم على 7 بدون باقي، مما يعني أن 7 ليس قاسمًا للرقم 9)

9: 8 = 1 (1 متبقي)
(9 لا يقسم على 8 بدون باقي، مما يعني أن 8 ليس قاسمًا للرقم 9)

9: 9 = 1
(9 مقسوم على 9 بدون باقي، مما يعني أن 9 هو مقسوم على الرقم 9)

الآن دعونا نكتب مقسومات كلا الرقمين. الأرقام المميزة باللون الأزرق هي المقسومات. دعنا نكتبهم:

من خلال كتابة المقسومات، يمكنك على الفور تحديد ما هو الأكبر والأكثر شيوعا.

بحكم التعريف، القاسم المشترك الأكبر للرقمين 12 و9 هو الرقم الذي يقسم 12 و9 بدون باقي. القاسم الأكبر والمشترك للرقمين 12 و 9 هو الرقم 3

كلا من الرقم 12 والرقم 9 يقبل القسمة على 3 بدون باقي:

إذن جي سي دي (12 و 9) = 3

الطريقة الثانية للعثور على GCD

الآن دعونا نلقي نظرة على الطريقة الثانية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر. الجوهر هذه الطريقةهو تحليل كلا الرقمين إلى عوامل أولية وضرب العوامل المشتركة.

مثال 1. أوجد gcd للأرقام 24 و 18

أولاً، دعونا نحلل كلا الرقمين إلى عوامل أولية:

الآن دعونا نضربهم العوامل المشتركة. لتجنب الارتباك، يمكن التأكيد على العوامل المشتركة.

ننظر إلى مفكوك العدد 24. عامله الأول هو 2. ونبحث عن نفس العامل في مفكوك العدد 18 ونرى أنه موجود أيضًا. ونؤكد على كلا الأمرين:

ننظر مرة أخرى إلى مفكوك العدد 24. وعامله الثاني هو أيضًا 2. ونبحث عن نفس العامل في مفكوك العدد 18 ونرى أنه للمرة الثانية لم يعد موجودًا. ثم لا نؤكد على أي شيء.

والاثنان التاليان في توسعة الرقم 24 غائبان أيضًا في مفرقعة العدد 18.

دعنا ننتقل إلى العامل الأخير في مفكوك العدد 24. هذا هو العامل 3. ​​نبحث عن نفس العامل في مفكوك العدد 18 ونرى أنه موجود أيضًا. ونؤكد على كلا الثلاثيتين:

لذا، فإن العوامل المشتركة للرقمين 24 و18 هي العوامل 2 و3. للحصول على GCD، يجب ضرب هذه العوامل:

إذن جي سي دي (24 و 18) = 6

الطريقة الثالثة للعثور على GCD

الآن دعونا نلقي نظرة على الطريقة الثالثة لإيجاد القاسم المشترك الأكبر. جوهر هذه الطريقة هو أن الأعداد التي سيتم العثور عليها للمقسوم المشترك الأكبر تتحلل إلى عوامل أولية. ثم، من مفكوك الرقم الأول، يتم شطب العوامل التي لم يتم تضمينها في مفكوك الرقم الثاني. يتم ضرب الأرقام المتبقية في التوسعة الأولى والحصول على GCD.

على سبيل المثال، لنبحث عن GCD للرقمين 28 و16 باستخدام هذه الطريقة. بداية، نقوم بتحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية:

لقد حصلنا على توسعتين: و

الآن من تحليل الرقم الأول سوف نقوم بحذف العوامل التي لم تدخل في تحليل الرقم الثاني. وتوسيع العدد الثاني لا يشمل سبعة. لنشطبه من التوسيع الأول:

الآن نضرب العوامل المتبقية ونحصل على GCD:

الرقم 4 هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين 28 و16. كلا هذين الرقمين قابلان للقسمة على 4 بدون باقي:

مثال 2.أوجد gcd للأرقام 100 و 40

تحليل العدد 100

تحليل العدد 40

حصلنا على توسعتين:

الآن من تحليل الرقم الأول سوف نقوم بحذف العوامل التي لم تدخل في تحليل الرقم الثاني. توسيع الرقم الثاني لا يشمل واحد خمسة (هناك خمسة واحد فقط). لنشطبه من التوسعة الأولى

دعونا نضرب الأرقام المتبقية:

لقد حصلنا على الجواب 20. وهذا يعني أن الرقم 20 هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين 100 و 40. وهذان الرقمان يقبلان القسمة على 20 بدون باقي:

جي سي دي (100 و 40) = 20.

مثال 3.أوجد gcd للأرقام 72 و 128

تحليل العدد 72

تحليل الرقم 128

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

الآن من تحليل الرقم الأول سوف نقوم بحذف العوامل التي لم تدخل في تحليل الرقم الثاني. توسيع الرقم الثاني لا يشمل توأمين ثلاثيين (ليسا موجودين على الإطلاق). لنشطبها من التوسعة الأولى:

لقد حصلنا على الجواب 8. وهذا يعني أن الرقم 8 هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين 72 و 128. وهذان الرقمان يقبلان القسمة على 8 بدون باقي:

جي سي دي (72 و 128) = 8

العثور على GCD لعدة أرقام

يمكن العثور على القاسم المشترك الأكبر لعدة أرقام، وليس اثنين فقط. وللقيام بذلك، يتم تحليل الأعداد المطلوب إيجادها للمقسوم المشترك الأكبر إلى عوامل أولية، ثم إيجاد حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة لهذه الأعداد.

على سبيل المثال، لنبحث عن GCD للأرقام 18 و24 و36

دعونا نحلل الرقم 18

دعونا نحلل الرقم 24

دعونا نحلل الرقم 36

حصلنا على ثلاث توسعات:

والآن دعونا نسلط الضوء على العوامل المشتركة في هذه الأعداد ونسلط الضوء عليها. يجب أن تظهر العوامل المشتركة في الأعداد الثلاثة:

نرى أن العوامل المشتركة للأعداد 18 و24 و36 هي العوامل 2 و3. وبضرب هذه العوامل نحصل على gcd الذي نبحث عنه:

لقد حصلنا على الإجابة 6. وهذا يعني أن الرقم 6 هو القاسم المشترك الأكبر للأعداد 18 و24 و36. وهذه الأرقام الثلاثة قابلة للقسمة على 6 بدون باقي:

جي سي دي (18، 24 و 36) = 6

مثال 2.ابحث عن GCD للأرقام 12 و24 و36 و42

دعونا نحلل كل رقم إلى عوامل أولية. ثم نوجد حاصل ضرب العوامل المشتركة لهذه الأعداد.

دعونا نحلل الرقم 12

دعونا نحلل الرقم 42

حصلنا على أربعة توسعات:

والآن دعونا نسلط الضوء ونسلط الضوء على العوامل المشتركة في هذه الأعداد. يجب أن تظهر العوامل المشتركة في الأعداد الأربعة:

نرى أن العوامل المشتركة للأعداد 12 و24 و36 و42 هي عوامل 2 و3. وضرب هذه العوامل معًا يعطينا gcd الذي نبحث عنه:

لقد حصلنا على الجواب 6. وهذا يعني أن الرقم 6 هو القاسم المشترك الأكبر للأعداد 12 و 24 و 36 و 42. وهذه الأرقام قابلة للقسمة على 6 بدون باقي:

جي سي دي (12، 24، 36 و 42) = 6

عرفنا من الدرس السابق أنه إذا قسم عدد على آخر دون باقي، فإنه يسمى من مضاعفات هذا العدد.

اتضح أن العديد من الأرقام يمكن أن يكون لها مضاعف مشترك. والآن سنكون مهتمين بمضاعف الرقمين، ويجب أن يكون صغيرًا قدر الإمكان.

تعريف. المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام أو ب- أو ب أوالرقم ب.

التعريف يحتوي على متغيرين أو ب. دعونا نستبدل أي رقمين بدلا من هذه المتغيرات. على سبيل المثال، بدلا من متغير أدعونا نستبدل الرقم 9، وبدلا من المتغير بلنستبدل الرقم 12. الآن دعونا نحاول قراءة التعريف:

المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام 9 و 12 - هذا أصغر عدد، وهو متعدد 9 و 12 . بمعنى آخر، هذا عدد صغير يقبل القسمة على العدد دون باقي 9 وحسب العدد 12 .

يتضح من التعريف أن المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد يقبل القسمة على 9 و12 بدون باقي.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، يمكنك استخدام طريقتين. الطريقة الأولى هي أن تتمكن من كتابة المضاعفات الأولى لعددين، ثم تختار من بين هذه المضاعفات رقمًا سيكون مشتركًا بين الرقمين والصغير. دعونا نستخدم هذه الطريقة.

أولًا، دعونا نوجد المضاعفات الأولى للرقم 9. للعثور على مضاعفات الرقم 9، عليك ضرب هذا التسعة واحدًا تلو الآخر في أرقام من 1 إلى 9. ستكون الإجابات الناتجة مضاعفات الرقم 9. لذا، لنبدأ. سنسلط الضوء على المضاعفات باللون الأحمر:

الآن نجد مضاعفات الرقم 12. وللقيام بذلك، نضرب 12 واحدًا تلو الآخر في جميع الأرقام من 1 إلى 12.

من الآن فصاعدًا سنفترض أن واحدًا على الأقل من هذه الأرقام ليس صفرًا. إذا كانت جميع الأرقام المعطاة تساوي الصفر، فإن القاسم المشترك لها هو أي عدد صحيح، وبما أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الصحيحة، فلا يمكننا التحدث عن أكبرها. ولذلك لا يمكننا الحديث عن القاسم المشترك الأكبر للأعداد، وكل منها يساوي صفرًا.

الآن يمكننا أن نعطي تحديد القاسم المشترك الأكبررقمين.

تعريف.

القاسم المشترك الأكبرعددان صحيحان هو أكبر عدد صحيح يقسم عددين صحيحين محددين.

لكتابة القاسم المشترك الأكبر بإيجاز، غالبا ما يستخدم الاختصار GCD - القاسم المشترك الأكبر. أيضًا، غالبًا ما يُشار إلى القاسم المشترك الأكبر لعددين a و b بالرمز GCD(a, b) .

دعونا نعطي مثال على القاسم المشترك الأكبر (GCD)عددين صحيحين. القاسم المشترك الأكبر للأرقام 6 و −15 هو 3. دعونا نبرر هذا. دعونا نكتب جميع قواسم الرقم ستة: ±6، ±3، ±1، وقسومات الرقم −15 هي الأرقام ±15، ±5، ±3 و±1. يمكنك الآن العثور على جميع المقسومات المشتركة للأرقام 6 و −15، وهي الأرقام −3 و −1 و 1 و 3. منذ −3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .

تحديد القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أعداد صحيحة أو أكثر يشبه تحديد gcd لعددين.

تعريف.

القاسم المشترك الأكبرثلاثة أعداد صحيحة أو أكثر - هذا هو أكبر عدد صحيح يقسم جميع الأرقام المعطاة في نفس الوقت.

سنشير إلى القاسم المشترك الأكبر للأعداد الصحيحة n a 1 , a 2 , …, a n كـ GCD(a 1 , a 2 , …, a n) . إذا تم العثور على القيمة b للمقسوم المشترك الأكبر لهذه الأرقام، فيمكننا الكتابة GCD(أ 1 , أ 2 , …, أ ن)=ب.

على سبيل المثال، دعونا نعطي gcd لأربعة أعداد صحيحة −8، 52، 16 و −12، وهو يساوي 4، أي gcd(−8, 52, 16, −12)=4. يمكن التحقق من ذلك عن طريق كتابة جميع المقسومات على الأرقام المعطاة واختيار القواسم المشتركة منها وتحديد القاسم المشترك الأكبر.

لاحظ أن القاسم المشترك الأكبر للأعداد الصحيحة يمكن أن يساوي أحد هذه الأرقام. تكون هذه العبارة صحيحة إذا كانت جميع الأرقام المعطاة قابلة للقسمة على واحد منها (الدليل موجود في الفقرة التالية من هذه المقالة). على سبيل المثال، GCD(15, 60, −45)=15. هذا صحيح، حيث أن 15 يقسم كلاً من الرقم 15 والرقم 60 والرقم −45، ولا يوجد قاسم مشترك للأعداد 15 و60 و−45 يتجاوز 15.

من الأمور ذات الأهمية الخاصة ما يسمى بالأعداد الأولية النسبية - تلك الأعداد الصحيحة التي يكون قاسمها المشترك الأكبر يساوي واحدًا.

خصائص القاسم المشترك الأكبر، الخوارزمية الإقليدية

القاسم المشترك الأكبر له عدد من النتائج المميزة، بمعنى آخر، عدد من الخصائص. الآن سوف نقوم بإدراج الرئيسية خصائص القاسم المشترك الأكبر (GCD)، سنقوم بصياغتها في شكل نظريات وتقديم الأدلة على الفور.

سنقوم بصياغة جميع خصائص القاسم المشترك الأكبر للأعداد الصحيحة الموجبة، وسنأخذ في الاعتبار المقسومات الموجبة فقط لهذه الأعداد.

القاسم المشترك الأكبر للأرقام a و b يساوي القاسم المشترك الأكبر للأرقام b و a ، أي gcd(a, b) = gcd(a, b) .

هذه الخاصية لـ GCD تتبع مباشرة تعريف القاسم المشترك الأكبر.

إذا كان a قابل للقسمة على b، فإن مجموعة القواسم المشتركة للأرقام a و b تتزامن مع مجموعة قواسم الرقم b، على وجه الخصوص، gcd(a, b)=b.

دليل.

أي قاسم مشترك للرقمين a وb هو قاسم لكل من هذه الأرقام، بما في ذلك الرقم b. من ناحية أخرى، بما أن a هو أحد مضاعفات b، فإن أي مقسوم على الرقم b هو مقسوم على الرقم a نظرًا لأن قابلية القسمة لها خاصية العبور، وبالتالي فإن أي مقسوم على الرقم b هو قاسم مشترك المقسوم على الأرقام أ و ب. وهذا يثبت أنه إذا كان a يقبل القسمة على b، فإن مجموعة قواسم الرقمين a و b تتطابق مع مجموعة قواسم الرقم الواحد b. وبما أن القاسم الأكبر للرقم b هو الرقم b نفسه، فإن القاسم المشترك الأكبر للرقمين a وb يساوي أيضًا b، أي gcd(a, b)=b.

على وجه الخصوص، إذا كان الرقمان a وb متساويين، إذن gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. على سبيل المثال، GCD(132, 132)=132.

الخاصية المثبتة للمقسوم الأكبر تسمح لنا بإيجاد gcd لعددين عندما يتم قسمة أحدهما على الآخر. في هذه الحالة، GCD يساوي أحد هذه الأرقام، وهو مقسوم على رقم آخر. على سبيل المثال، GCD(8, 24)=8، حيث أن 24 هو أحد مضاعفات الثمانية.

إذا كانت a=b·q+c، حيث a وb وc وq أعداد صحيحة، فإن مجموعة القواسم المشتركة للأرقام a وb تتزامن مع مجموعة القواسم المشتركة للأرقام b وc، على وجه الخصوص، gcd (أ, ب)=gcd (ب, ج) .

دعونا نبرر خاصية GCD هذه.

بما أن المساواة a=b·q+c موجودة، فإن كل قاسم مشترك للأرقام a وb يقسم c أيضًا (وهذا يتبع من خصائص قابلية القسمة). لنفس السبب، كل قاسم مشترك لـ b وc يقسم a. لذلك، فإن مجموعة القواسم المشتركة للرقمين a وb تتزامن مع مجموعة القواسم المشتركة للرقمين b وc. على وجه الخصوص، يجب أيضًا أن يتطابق أعظم هذه المقسومات المشتركة، أي أن المساواة التالية GCD(a, b) = GCD(b, c) يجب أن تكون صحيحة.

الآن سوف نقوم بصياغة وإثبات النظرية، وهي الخوارزمية الإقليدية. تتيح لك خوارزمية إقليدس العثور على GCD لرقمين (راجع العثور على GCD باستخدام خوارزمية إقليدس). علاوة على ذلك، ستسمح لنا خوارزمية إقليدس بإثبات الخصائص التالية للمقسوم المشترك الأكبر.

قبل إعطاء صياغة النظرية، نوصي بتحديث ذاكرتك للنظرية من قسم النظرية، الذي ينص على أن المقسوم a يمكن تمثيله كـ b q + r، حيث b هو المقسوم عليه، q هو عدد صحيح يسمى حاصل غير مكتمل، و r هو عدد صحيح يحقق الشرط، ويسمى الباقي.

إذن، لنفترض أن سلسلة من التساويات تكون صحيحة لعددين صحيحين موجبين غير الصفر a وb

تنتهي عندما r k+1 =0 (وهو أمر لا مفر منه، حيث أن b>r 1 >r 2 >r 3 ، ... هي سلسلة من الأعداد الصحيحة المتناقصة، ولا يمكن أن تحتوي هذه السلسلة على أكثر من الرقم النهائيأرقام موجبة)، ثم r k هو القاسم المشترك الأكبر للأرقام a و b، أي r k = GCD(a, b) .

دليل.

دعونا نثبت أولاً أن r k هو قاسم مشترك للرقمين a وb، وبعد ذلك سنبين أن r k ليس مجرد مقسوم عليه، ولكنه القاسم المشترك الأكبر للرقمين a وb.

سوف نتحرك على طول المساواة المكتوبة من الأسفل إلى الأعلى. من المساواة الأخيرة يمكننا القول أن r k−1 قابل للقسمة على r k . مع الأخذ في الاعتبار هذه الحقيقة، بالإضافة إلى الخاصية السابقة لـ GCD، فإن المساواة قبل الأخيرة r k−2 =r k−1 ·q k +r k تسمح لنا بتوضيح أن r k−2 قابل للقسمة على r k، نظرًا لأن r k−1 قابل للقسمة على r k و r k قابل للقسمة على r k. بالقياس، من المساواة الثالثة من الأسفل نستنتج أن r k−3 قابل للقسمة على r k . وهكذا. ومن المساواة الثانية نحصل على أن b يقبل القسمة على r k، ومن المساواة الأولى نحصل على أن a يقبل القسمة على r k. لذلك، r k هو قاسم مشترك للأرقام a و b.

يبقى أن نثبت أن r k = GCD(a, b) . لأنه يكفي إظهار أن أي قاسم مشترك للأرقام a و b (دعنا نشير إليه r 0 ) يقسم r k .

سنتحرك على طول قيم المساواة الأصلية من الأعلى إلى الأسفل. بسبب الخاصية السابقة، يترتب على المساواة الأولى أن r 1 قابل للقسمة على r 0 . ثم من المساواة الثانية نحصل على أن r 2 يقبل القسمة على r 0 . وهكذا. ومن المساواة الأخيرة نحصل على أن r k قابل للقسمة على r 0 . وبالتالي، r k = GCD(a, b) .

من الخاصية المدروسة للقاسم المشترك الأكبر يترتب على ذلك أن مجموعة القواسم المشتركة للأرقام a و b تتزامن مع مجموعة قواسم القاسم المشترك الأكبر لهذه الأرقام. تسمح لنا هذه النتيجة الطبيعية من خوارزمية إقليدس بالعثور على جميع القواسم المشتركة لعددين كمقسومات على gcd لهذه الأرقام.

ليكن a وb عددين صحيحين، وليس في وقت واحد يساوي الصفر، ثم هناك مثل هذه الأعداد الصحيحة u 0 و v 0 ، فإن المساواة GCD(a, b)=a·u 0 +b·v 0 صحيحة. المساواة الأخيرة هي تمثيل خطي للقاسم المشترك الأكبر للعددين a وb، وتسمى هذه المساواة بعلاقة بيزوت، ويسمى الرقمان u 0 وv 0 بمعاملات بيزوت.

دليل.

باستخدام الخوارزمية الإقليدية يمكننا كتابة المعادلات التالية



من المساواة الأولى لدينا r 1 =a−b·q 1، وتدل على 1=s 1 و −q 1 =t 1، تأخذ هذه المساواة الشكل r 1 =s 1 ·a+t 1 ·b، و الأرقام s 1 و t 1 هي أعداد صحيحة. ثم من المساواة الثانية نحصل على r 2 =b−r 1 ·q 2 = ب−(s 1 ·a+t 1 ·b)·q 2 =−s 1 ·q 2 ·a+(1−t 1 ·q 2)·b. للدلالة على −s 1 ·q 2 =s 2 و1−t 1 ·q 2 =t 2، يمكن كتابة المساواة الأخيرة بالشكل r 2 =s 2 ·a+t 2 ·b، وs 2 وt 2 أعداد صحيحة (بما أن مجموع الأعداد الصحيحة وفرقها وحاصل ضربها هو عدد صحيح). وبالمثل، من المساواة الثالثة نحصل على r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b، ومن المساواة الرابعة r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b، وهكذا. أخيرًا، r k =s k ·a+t k ·b، حيث s k وt k عددان صحيحان. بما أن r k =GCD(a, b) والإشارة إلى s k =u 0 و t k =v 0 ، نحصل على تمثيل خطي لـ GCD بالشكل المطلوب: GCD(a, b)=a·u 0 +b·v 0 .

إذا كان m هو أي عدد طبيعي، إذن GCD(م أ، م ب)=م GCD(أ، ب).

الأساس المنطقي لهذه الخاصية للقاسم المشترك الأكبر هو كما يلي. إذا ضربنا بـ m كلا طرفي كل من مساواة الخوارزمية الإقليدية، فسنحصل على ذلك GCD(m·a, m·b)=m·r k و r k هو GCD(a, b) . لذلك، GCD(م أ، م ب)=م GCD(أ، ب).

تعتمد طريقة إيجاد GCD باستخدام التحليل الأولي على خاصية القاسم المشترك الأكبر.

دع p يكون أي قاسم مشترك للأرقام a و b، إذن gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p، على وجه الخصوص، إذا كان p=GCD(a, b) لدينا gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1، أي أن الأرقام a:GCD(a, b) وb:GCD(a, b) أولية نسبيًا.

بما أن a=p·(a:p) و b=p·(b:p) ونظرًا للخاصية السابقة، يمكننا كتابة سلسلة من التساويات بالشكل GCD(a, b)=GCD(p (a:p), p (b:p))= p·GCD(a:p, b:p) ، والذي يتبعه إثبات المساواة.

إن خاصية القاسم المشترك الأكبر التي أثبتناها للتو هي أساس .

الآن دعونا نتحدث عن خاصية GCD، والتي تقلل من مشكلة العثور على القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر للعثور على GCD لعددين بشكل تسلسلي.

القاسم المشترك الأكبر للأعداد أ 1، أ 2، ...، ك يساوي العدد d k ، والذي يتم العثور عليه عن طريق الحساب التسلسلي GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)=d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k - 1 , أ ك)=د ك .

ويستند الدليل على نتيجة طبيعية للخوارزمية الإقليدية. القواسم المشتركة للأرقام a 1 و a 2 تتطابق مع قواسم d 2. ثم تتطابق القواسم المشتركة للأرقام a 1 و a 2 و 3 مع القواسم المشتركة للأرقام d 2 و a 3، وبالتالي فهي تتطابق مع قواسم d 3. القواسم المشتركة للأرقام a 1 وa 2 وa 3 وa 4 تتطابق مع القواسم المشتركة للعدد d 3 وa 4، وبالتالي فهي تتطابق مع القواسم المشتركة للرقم d 4. وهكذا. أخيرًا، القواسم المشتركة للأرقام a 1، a 2، ...، a k تتطابق مع المقسومات d k. وبما أن القاسم الأكبر للعدد d k هو الرقم d k نفسه، إذن GCD(a 1 , a 2 , …, a k)=d k.

بهذا نختتم مراجعتنا للخصائص الأساسية للقاسم المشترك الأكبر.

مراجع.

• فيلينكين ن.يا. والرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام.
• فينوغرادوف آي إم. أساسيات نظرية الأعداد.
• ميخيلوفيتش ش. نظرية الأعداد.
• كوليكوف إل. وغيرها مجموعة من المسائل في الجبر ونظرية الأعداد: درس تعليميلطلاب الفيزياء والرياضيات. تخصصات المعاهد التربوية.

لتتعلم كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر، عليك أن تفهم ما هي الأعداد الطبيعية والأولية والمعقدة.

العدد الطبيعي هو أي رقم يستخدم لحساب العناصر الكاملة.

إذا كان العدد الطبيعي لا يمكن تقسيمه إلا على نفسه وعلى واحد، فإنه يسمى عدد أولي.

يمكن تقسيم جميع الأعداد الطبيعية إلى نفسها وواحد، ولكن الوحيد رقم أوليهو 2، ويمكن تقسيم جميع الآخرين على اثنين. لذلك، الأعداد الفردية فقط هي التي يمكن أن تكون أولية.

هناك الكثير من الأعداد الأولية القائمة الكاملةأنها غير موجودة. للعثور على GCD، من المناسب استخدام جداول خاصة بهذه الأرقام.

معظم الأعداد الطبيعية يمكن قسمتها ليس فقط على الواحد نفسه، ولكن أيضًا على أعداد أخرى. لذلك، على سبيل المثال، يمكن تقسيم الرقم 15 على 3 و5 آخرين. وتسمى جميعها مقسومات الرقم 15.

وبالتالي فإن المقسوم عليه لأي A هو الرقم الذي يمكن قسمته عليه دون باقي. إذا كان العدد أكثر من اثنين المقسومات الطبيعية، ويسمى مركبا.

يمكن أن يحتوي الرقم 30 على قواسم مثل 1، 3، 5، 6، 15، 30.

ستلاحظ أن 15 و30 لهما نفس المقسومات 1، 3، 5، 15. القاسم المشترك الأكبر لهذين الرقمين هو 15.

وبالتالي، فإن القاسم المشترك للرقمين A وB هو الرقم الذي يمكن قسمتهما بالكامل. الأكبر يمكن اعتباره الحد الأقصى العدد الإجمالي، حيث يمكن تقسيمها.

لحل المشاكل يتم استخدام النقش المختصر التالي:

جي سي دي (أ ؛ ب).

على سبيل المثال، جي سي دي (15؛ 30) = 30.

لتدوين جميع قواسم عدد طبيعي، استخدم الترميز:

د (15) = (1، 3، 5، 15)

جي سي دي (9، 15) = 1

في في هذا المثالالأعداد الطبيعية لها عامل مشترك واحد فقط. يطلق عليهم اسم أولي نسبيًا، لذا فإن الوحدة هي القاسم المشترك الأكبر لهم.

كيفية العثور على القاسم المشترك الأكبر للأرقام

للعثور على GCD لعدة أرقام، تحتاج إلى:

ابحث عن جميع قواسم كل عدد طبيعي بشكل منفصل، أي قم بتحليلها إلى عوامل (أعداد أولية)؛

تحديد جميع العوامل المتطابقة لأرقام معينة؛

اضربهم معًا.

على سبيل المثال، لحساب القاسم المشترك الأكبر للرقمين 30 و56، عليك كتابة ما يلي:

لتجنب الارتباك، من المناسب كتابة العوامل باستخدام الأعمدة الرأسية. على الجانب الأيسر من الخط، تحتاج إلى وضع الأرباح، وعلى الجانب الأيمن - المقسوم عليه. تحت الأرباح يجب أن تشير إلى الحاصل الناتج.

لذلك، في العمود الأيمن سيكون هناك جميع العوامل اللازمة للحل.

يمكن وضع خط تحت المقسومات المتطابقة (العوامل الموجودة) للراحة. وينبغي إعادة كتابتها ومضاعفتها وكتابة القاسم المشترك الأكبر.

جي سي دي (30؛ 56) = 2 * 5 = 10

هذا هو مدى سهولة العثور على القاسم المشترك الأكبر للأعداد. إذا تدربت قليلاً، يمكنك القيام بذلك بشكل تلقائي تقريبًا.

القاسم المشترك الأكبر

التعريف 2

إذا كان العدد الطبيعي a قابلاً للقسمة على عدد طبيعي $b$، فإن $b$ يسمى مقسومًا على $a$، ويسمى $a$ مضاعف $b$.

اجعل $a$ و $b$ عددين طبيعيين. يُطلق على الرقم $c$ القاسم المشترك لكل من $a$ و$b$.

مجموعة القواسم المشتركة للأرقام $a$ و $b$ محدودة، حيث لا يمكن أن يكون أي من هذه المقسومات أكبر من $a$. وهذا يعني أن من بين هذه المقسومات أكبر وهو ما يسمى القاسم المشترك الأكبر للأعداد $a$ و$b$ ويرمز له بالرمز التالي:

$GCD\(a;b)\ أو \D\(a;b)$

للعثور على القاسم المشترك الأكبر لعددين تحتاج إلى:

1. ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

مثال 1

ابحث عن GCD للأرقام $121$ و$132.$

242 دولارًا = 2\cdot 11\cdot 11$

132 دولارًا = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

اختر الأرقام المضمنة في توسيع هذه الأرقام

242 دولارًا = 2\cdot 11\cdot 11$

132 دولارًا = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

$GCD=2\cdot 11=22$

مثال 2

أوجد gcd لأحاديات الحد $63$ و$81$.

سوف نجد وفقا للخوارزمية المقدمة. للقيام بذلك:

دعونا نحلل الأرقام إلى عوامل أولية

63 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

نختار الأرقام التي تدخل في توسيع هذه الأرقام

63 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

لنجد حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

$GCD=3\cdot 3=9$

يمكنك العثور على GCD لرقمين بطريقة أخرى، وذلك باستخدام مجموعة من قواسم الأرقام.

مثال 3

ابحث عن GCD للأرقام $48$ و $60$.

حل:

دعونا نجد مجموعة المقسومات للرقم $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

الآن لنجد مجموعة قواسم الرقم $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

دعونا نجد تقاطع هذه المجموعات: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ستحدد هذه المجموعة مجموعة المقسومات المشتركة للأرقام $48$ و$60 $. أكبر عنصر في هذه المجموعة سيكون الرقم 12$. وهذا يعني أن القاسم المشترك الأكبر للأرقام $48$ و$60$ هو $12$.

تعريف القروض المتعثرة

التعريف 3

المضاعفات الشائعة للأعداد الطبيعية$a$ و$b$ هو عدد طبيعي مضاعف لكل من $a$ و$b$.

المضاعفات الشائعة للأرقام هي أرقام قابلة للقسمة على الأرقام الأصلية بدون باقي، على سبيل المثال، بالنسبة للأرقام $25$ و$50$، فإن المضاعفات المشتركة ستكون الأرقام $50,100,150,200$، إلخ.

يُطلق على أصغر مضاعف مشترك اسم المضاعف المشترك الأصغر ويُشار إليه بالرمز LCM$(a;b)$ أو K$(a;b).$

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين، عليك:

1. تحليل الأعداد إلى عوامل أولية
2. اكتب العوامل التي هي جزء من العدد الأول وأضف إليها العوامل التي هي جزء من الثاني وليست جزءا من الأول

مثال 4

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام $99$ و$77$.

سوف نجد وفقا للخوارزمية المقدمة. لهذا

تحليل الأعداد إلى عوامل أولية

99 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 11$

اكتب العوامل المتضمنة في الأول

أضف إليها مضاعفات هي جزء من الثاني وليست جزءا من الأول

ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو المضاعف المشترك الأصغر المطلوب

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

غالبًا ما يكون تجميع قوائم مقسومات الأرقام مهمة كثيفة العمالة. هناك طريقة للعثور على GCD تسمى الخوارزمية الإقليدية.

البيانات التي تعتمد عليها الخوارزمية الإقليدية:

إذا كان $a$ و $b$ عبارة عن أعداد طبيعية، و $a\vdots b$، فإن $D(a;b)=b$

إذا كان $a$ و $b$ عبارة عن أعداد طبيعية مثل $b

باستخدام $D(a;b)= D(a-b;b)$، يمكننا تقليل الأرقام قيد النظر تباعًا حتى نصل إلى زوج من الأرقام بحيث يكون أحدهما قابلاً للقسمة على الآخر. ثم أصغر هذه الأرقام سيكون القاسم المشترك الأكبر المطلوب للأرقام $a$ و $b$.

خصائص GCD وLCM

1. أي مضاعف مشترك لـ $a$ و$b$ قابل للقسمة على K$(a;b)$
2. إذا كان $a\vdots b$، فإن К$(a;b)=a$

إذا كان K$(a;b)=k$ و$m$ عددًا طبيعيًا، فإن K$(am;bm)=km$

إذا كان $d$ هو القاسم المشترك لـ $a$ و $b$، فإن K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

إذا كان $a\vdots c$ و $b\vdots c$، فإن $\frac(ab)(c)$ هو المضاعف المشترك لـ $a$ و $b$

بالنسبة لأي أعداد طبيعية $a$ و$b$، فإن المساواة تنطبق

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

أي قاسم مشترك للأرقام $a$ و $b$ هو قاسم للرقم $D(a;b)$