يعتمد ذلك على خصائصها الرئيسية: إذا تم تقسيم البسط والمقام لكسر على نفس كثير الحدود غير الصفر، فسيتم الحصول على كسر متساوي.
يمكنك فقط تقليل المضاعفات!
لا يمكن اختصار أعضاء كثيرات الحدود!
لتقليل كسر جبري، يجب أولاً تحليل كثيرات الحدود في البسط والمقام.
دعونا نلقي نظرة على أمثلة للحد من الكسور.
يحتوي بسط ومقام الكسر على أحاديات الحد. إنهم يمثلون عمل(الأعداد والمتغيرات وصلاحياتها) مضاعفاتيمكننا تقليل.
نقوم بتبسيط الأعداد من خلال القاسم المشترك الأكبر لها، أي من خلال أكبر عدد يقسم عليه كل من هذه الأعداد. بالنسبة للعددين 24 و36، يكون هذا 12. وبعد التخفيض، يبقى 2 من 24، و3 من 36.
نقوم بتقليل الدرجات بالدرجة ذات المؤشر الأدنى. إن تقليل الكسر يعني قسمة البسط والمقام على المقسوم عليه نفسه، وطرح الأسس.
يتم تقليل a² وa⁷ إلى a². في هذه الحالة، يبقى واحد في بسط a² (نكتب 1 فقط في حالة عدم وجود عوامل أخرى بعد الاختزال. من 24، يبقى 2، لذلك لا نكتب 1 متبقي من a²). من a⁷، بعد التخفيض، يبقى a⁵.
يتم تقليل b و b بمقدار b؛ ولا تتم كتابة الوحدات الناتجة.
يتم اختصار c³° وc⁵ إلى c⁵. من c³° ما يبقى هو c²⁵، من c⁵ هو واحد (لا نكتبه). هكذا،
البسط والمقام لهذا الكسر الجبري هما متعددو الحدود. لا يمكنك إلغاء شروط كثيرات الحدود! (لا يمكنك تقليل، على سبيل المثال، 8x² و2x!). لتقليل هذا الكسر، تحتاج. البسط له عامل مشترك هو 4x. لنخرجها من بين قوسين:
كل من البسط والمقام لهما نفس العامل (2x-3). نقوم بتقليل الكسر بهذا العامل. في البسط حصلنا على 4x، في المقام - 1. وفقًا لخاصية واحدة للكسور الجبرية، فإن الكسر يساوي 4x.
يمكنك فقط تقليل العوامل (لا يمكنك تقليل هذا الكسر بمقدار 25x²!). لذلك، يجب تحليل كثيرات الحدود في بسط ومقام الكسر.
البسط هو المربع الكامل للمجموع، والمقام هو الفرق بين المربعين. بعد التحلل باستخدام صيغ الضرب المختصرة نحصل على:
نقوم بتبسيط الكسر بمقدار (5x+1) (للقيام بذلك، شطب الاثنين في البسط كأس، تاركًا (5x+1)² (5x+1)):
البسط له عامل مشترك وهو 2، فلنخرجه من الأقواس. المقام هو صيغة الفرق بين المكعبات:
ونتيجة للتوسع، تلقى البسط والمقام نفس العامل (9+3a+a²). نحن نختصر الكسر به:
يتكون كثير الحدود في البسط من 4 حدود. الحد الأول مع الثاني، والثالث مع الرابع، وإزالة العامل المشترك x² من القوسين الأولين. نقوم بتحليل المقام باستخدام صيغة مجموع المكعبات:
في البسط، لنأخذ العامل المشترك (x+2) من الأقواس:
اختصر الكسر بمقدار (x+2):
لفهم كيفية تبسيط الكسور، دعونا نلقي نظرة أولاً على مثال.
إن تقليل الكسر يعني تقسيم البسط والمقام على نفس الشيء. ينتهي كل من 360 و420 برقم، لذا يمكننا تقليل هذا الكسر بمقدار 2. في الكسر الجديد، كل من 180 و210 قابلان للقسمة أيضًا على 2، لذلك نقوم بتقليل هذا الكسر بمقدار 2. في الرقمين 90 و105، يكون المجموع من الأرقام يقبل القسمة على 3، لذا فإن هذين الرقمين يقبلان القسمة على 3، نقوم بتبسيط الكسر بمقدار 3. في الكسر الجديد، 30 و 35 ينتهيان بـ 0 و 5، مما يعني أن كلا الرقمين قابلان للقسمة على 5، لذلك نقوم بتبسيط الكسر بمقدار 5. الكسر الناتج وهو ستة أسباع غير قابل للاختزال. هذا هو الجواب النهائي.
يمكننا أن نصل إلى نفس الإجابة بطريقة مختلفة.
ينتهي كل من 360 و420 بالصفر، مما يعني أنهما يقبلان القسمة على 10. نقوم بتبسيط الكسر بمقدار 10. في الكسر الجديد، يتم قسمة كل من البسط 36 والمقام 42 على 2. نقوم بتبسيط الكسر بمقدار 2. الكسر التالي، كل من البسط 18 والمقام 21 مقسوم على 3، مما يعني أننا نقوم بتبسيط الكسر بمقدار 3. وصلنا إلى النتيجة - ستة أسباع.
وحل آخر.
في المرة القادمة سننظر إلى أمثلة على تقليل الكسور.
في هذه المقالة سننظر بالتفصيل في كيفية ذلك تقليل الكسور. أولاً، دعونا نناقش ما يسمى بتقليل الكسر. بعد ذلك، دعونا نتحدث عن اختزال الكسر القابل للاختزال إلى صورة غير قابلة للاختزال. بعد ذلك، سنحصل على قاعدة تبسيط الكسور، وأخيرًا، سننظر في أمثلة لتطبيق هذه القاعدة.
التنقل في الصفحة.
ماذا يعني تقليل الكسر؟
نحن نعلم أن الكسور العادية تنقسم إلى كسور قابلة للاختزال وغير قابلة للاختزال. يمكنك التخمين من الأسماء أنه يمكن تبسيط الكسور القابلة للاختزال، لكن لا يمكن تبسيط الكسور غير القابلة للاختزال.
ماذا يعني تقليل الكسر؟ تقليل جزء- وهذا يعني قسمة بسطه ومقامه على موجبهما والمختلف عن الوحدة. من الواضح أنه نتيجة لتقليل الكسر، يتم الحصول على كسر جديد ببسط ومقام أصغر، وبسبب الخاصية الأساسية للكسر، فإن الكسر الناتج يساوي الكسر الأصلي.
على سبيل المثال، لنقم بتبسيط الكسر المشترك 8/24 عن طريق قسمة بسطه ومقامه على 2. بمعنى آخر، دعونا نختصر الكسر 8/24 بمقدار 2. بما أن 8:2=4 و24:2=12، فإن هذا التخفيض ينتج عنه الكسر 4/12، وهو ما يعادل الكسر الأصلي 8/24 (انظر الكسور المتساوية وغير المتساوية). ونتيجة لذلك، لدينا.
اختزال الكسور العادية إلى شكل غير قابل للاختزال
عادةً ما يكون الهدف النهائي من تقليل الكسر هو الحصول على كسر غير قابل للاختزال يساوي الكسر الأصلي القابل للاختزال. يمكن تحقيق هذا الهدف عن طريق تقليل الكسر الأصلي القابل للاختزال بواسطة بسطه ومقامه. ونتيجة لهذا التخفيض، يتم الحصول دائما على جزء غير قابل للاختزال. في الواقع، جزء صغير 
غير قابل للاختزال، لأنه معلوم ذلك 
و 
- . سنقول هنا أن القاسم المشترك الأكبر لبسط ومقام الكسر هو أكبر رقم يمكن من خلاله تبسيط هذا الكسر.
لذا، اختزال جزء عادي إلى شكل غير قابل للاختزاليتكون من قسمة البسط والمقام للكسر الأصلي القابل للاختزال على gcd.
لننظر إلى مثال نعود فيه إلى الكسر 8/24 ونطرحه بالمقسوم المشترك الأكبر للرقمين 8 و 24، وهو ما يساوي 8. بما أن 8:8=1 و24:8=3، نصل إلى الكسر غير القابل للاختزال 1/3. لذا، .
لاحظ أن عبارة "اختزال الكسر" غالبًا ما تعني تقليل الكسر الأصلي إلى شكله غير القابل للاختزال. بمعنى آخر، يشير تبسيط الكسر في كثير من الأحيان إلى قسمة البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر لهما (وليس على أي عامل مشترك).
كيفية تقليل الكسر؟ قواعد وأمثلة للحد من الكسور
كل ما تبقى هو إلقاء نظرة على قاعدة تقليل الكسور، والتي تشرح كيفية تقليل جزء معين.
قاعدة لتقليل الكسوريتكون من خطوتين:
- أولاً، تم العثور على gcd لبسط ومقام الكسر؛
- ثانيًا، يتم تقسيم بسط ومقام الكسر على gcd، مما يعطي كسرًا غير قابل للاختزال يساوي الكسر الأصلي.
دعونا فرزها مثال على تقليل الكسروفقا للقاعدة المذكورة.
مثال.
تقليل الكسر 182/195.
حل.
لننفذ كلتا الخطوتين المنصوص عليهما في قاعدة تصغير الكسر.
أولاً نجد GCD(182, 195) . من الأكثر ملاءمة استخدام الخوارزمية الإقليدية (انظر): 195=182·1+13، 182=13·14، أي GCD(182, 195)=13.
الآن نقسم بسط ومقام الكسر 182/195 على 13، ونحصل على الكسر غير القابل للاختزال 14/15، وهو ما يساوي الكسر الأصلي. هذا يكمل الحد من الكسر.
باختصار يمكن كتابة الحل كالتالي: .
إجابة:
هذا هو المكان الذي يمكننا فيه الانتهاء من تبسيط الكسور. لكن لإكمال الصورة، دعونا نلقي نظرة على طريقتين أخريين لتصغير الكسور، والتي تستخدم عادة في الحالات السهلة.
في بعض الأحيان لا يكون بسط ومقام الكسر الذي يتم تخفيضه أمرًا صعبًا. يعد تقليل الكسر في هذه الحالة أمرًا بسيطًا للغاية: ما عليك سوى إزالة جميع العوامل المشتركة من البسط والمقام.
ومن الجدير بالذكر أن هذه الطريقة تتبع مباشرة قاعدة اختزال الكسور، حيث أن حاصل ضرب جميع العوامل الأولية المشتركة للبسط والمقام يساوي القاسم المشترك الأكبر لهما.
دعونا نلقي نظرة على الحل على المثال.
مثال.
اختزال الكسر 360/2940.
حل.
دعونا نحلل البسط والمقام إلى عوامل بسيطة: 360=2·2·2·3·3·5 و2,940=2·2·3·5·7·7. هكذا، 
.
الآن نتخلص من العوامل المشتركة في البسط والمقام، لتسهيل الأمر، فإننا ببساطة نحذفها: 
.
وأخيرًا، نضرب العوامل المتبقية: ، ويكتمل اختزال الكسر.
وفيما يلي ملخص الحل: 
.
إجابة:
دعونا نفكر في طريقة أخرى لتقليل الكسر، والتي تتكون من التخفيض المتسلسل. هنا، في كل خطوة، يتم اختزال الكسر بواسطة قاسم مشترك ما بين البسط والمقام، والذي يكون إما واضحًا أو يمكن تحديده بسهولة باستخدام