Y هو 2 الجذر التكعيبي لـ x. جزء لا يتجزأ من وظيفة الطاقة

درس وعرض حول موضوع: "دوال القوة. الجذر التكعيبي. خصائص الجذر التكعيبي"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف التاسع
المجمع التعليمي 1C: "المشاكل الجبرية مع المعلمات، الصفوف 9-11" بيئة البرمجيات "1C: المنشئ الرياضي 6.0"

تعريف دالة القدرة - الجذر التكعيبي

يا رفاق، نحن نواصل الدراسة وظائف الطاقة. سنتحدث اليوم عن الدالة "الجذر التكعيبي لـ x".
ما هو الجذر التكعيبي؟
يُسمى الرقم y بالجذر التكعيبي لـ x (جذر الدرجة الثالثة) إذا كانت المساواة $y^3=x$ موجودة.
يُشار إليه بـ $\sqrt(x)$، حيث x هو رقم جذري، و3 هو الأس.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
وكما نرى، يمكن أيضًا استخراج الجذر التكعيبي من الأعداد السالبة. اتضح أن الجذر موجود لجميع الأعداد.
الجذر الثالث لعدد سالب هو عدد السلبي. عند رفعه إلى قوة فردية تبقى الإشارة، أما القوة الثالثة فهي فردية.

دعونا نتحقق من المساواة: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
دع $\sqrt((-x))=a$ و $\sqrt(x)=b$. لنرفع كلا التعبيرين إلى القوة الثالثة. $ –x=a^3$ و $x=b^3$. ثم $a^3=-b^3$ أو $a=-b$. في تدوين الجذور نحصل على الهوية المطلوبة.

خصائص الجذور التكعيبية

أ) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
ب) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

دعونا نثبت الخاصية الثانية. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
لقد وجدنا أن الرقم $\sqrt(\frac(a)(b))$ المكعب يساوي $\frac(a)(b)$ ثم يساوي $\sqrt(\frac(a)(b))$ ، والتي تحتاج إلى إثبات.

يا رفاق، دعونا نبني رسمًا بيانيًا لوظيفتنا.
1) مجموعة المجال أرقام حقيقية.
2) الدالة فردية، لأن $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. بعد ذلك، ضع في اعتبارك الدالة $x≥0$، ثم اعرض الرسم البياني بالنسبة إلى الأصل.
3) تزيد الدالة عند $x≥0$. بالنسبة للدالة، القيمة الأكبر للوسيطة تقابل قيمة أكبر للدالة، وهو ما يعني الزيادة.
4) الوظيفة لا تقتصر على ما سبق. في الواقع، من أي عدد كبيريمكننا حساب الجذر الثالث، ويمكننا الصعود إلى ما لا نهاية، وإيجاد كل شيء قيم كبيرةدعوى.
5) بالنسبة إلى $x≥0$، أصغر قيمة هي 0. هذه الخاصية واضحة.
دعونا نبني رسمًا بيانيًا للدالة بالنقاط عند x≥0.

لنقم ببناء الرسم البياني للدالة على نطاق التعريف بأكمله. تذكر أن الدالة لدينا فردية.

خصائص الوظيفة:
1) د(ص)=(-∞;+∞).
2) وظيفة غريبة.
3) يزيد بمقدار (-∞;+∞).
4) غير محدود.
5) لا يوجد حد أدنى أو أقصى للقيمة.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) محدب للأسفل بمقدار (-∞;0)، محدب لأعلى بمقدار (0;+∞).

أمثلة على حل وظائف الطاقة

أمثلة
1. حل المعادلة $\sqrt(x)=x$.
حل. دعونا نبني رسمين بيانيين على واحد خطة تنسيق$y=\sqrt(x)$ و$y=x$.

كما ترون، تتقاطع الرسوم البيانية لدينا عند ثلاث نقاط.
الإجابة: (-1;-1)، (0;0)، (1;1).

2. قم بإنشاء رسم بياني للوظيفة. $y=\sqrt((x-2))-3$.
حل. يتم الحصول على الرسم البياني الخاص بنا من الرسم البياني للدالة $y=\sqrt(x)$، نقل موازيوحدتين إلى اليمين وثلاث وحدات إلى الأسفل.

3. قم برسم الدالة بيانيًا وقراءتها. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≥-1 \end(cases)$.
حل. لنقم بإنشاء رسمين بيانيين للدوال على نفس المستوى الإحداثي، مع الأخذ في الاعتبار ظروفنا. بالنسبة إلى $x≥-1$، قمنا ببناء رسم بياني للجذر التكعيبي، وبالنسبة إلى $x≥-1$، قمنا ببناء رسم بياني لدالة خطية.
1) د(ص)=(-∞;+∞).
2) الدالة ليست زوجية ولا فردية.
3) يتناقص بمقدار (-∞;-1)، ويزيد بمقدار (-1;+∞).
4) غير محدود من الأعلى، محدود من الأسفل.
5) أعظم قيمةلا. أدنى قيمةيساوي ناقص واحد.
6) الدالة متصلة على خط الأعداد بأكمله.
7) E(y)= (-1;+∞).

مشاكل لحلها بشكل مستقل

1. حل المعادلة $\sqrt(x)=2-x$.
2. قم بإنشاء رسم بياني للدالة $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. ارسم رسمًا بيانيًا للوظيفة واقرأه. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≥1 \end(cases)$.

الأهداف الأساسية:

1) تكوين فكرة عن جدوى دراسة معممة لتبعيات الكميات الحقيقية باستخدام مثال الكميات، مرتبطة بالعلاقةص=

2) تطوير القدرة على بناء الرسم البياني y= وخصائصه؛

3) تكرار وتوحيد تقنيات الحسابات الشفهية والكتابية والتربيع واستخراج الجذور التربيعية.

معدات، مادة توضيحية: مذكرة.

1. الخوارزمية:

2. نموذج لإكمال المهمة في مجموعات:

3. نموذج للاختبار الذاتي للعمل المستقل:

4. بطاقة مرحلة التأمل:

1) فهمت كيفية رسم الدالة y=.

2) يمكنني سرد ​​خصائصه باستخدام الرسم البياني.

3) لم أرتكب أخطاء في العمل المستقل.

4) لقد ارتكبت أخطاء في العمل المستقل (اذكر هذه الأخطاء وبين سببها).

خلال الفصول الدراسية

1. تقرير المصير للأنشطة التعليمية

الغرض من المرحلة:

1) إشراك الطلاب في الأنشطة التعليمية؛

2) تحديد محتوى الدرس: نواصل العمل بالأعداد الحقيقية.

منظمة العملية التعليميةفي المرحلة 1:

– ماذا درسنا في الدرس الأخير؟ (درسنا مجموعة الأعداد الحقيقية، والعمليات عليها، وقمنا ببناء خوارزمية لوصف خصائص الدالة، وكررنا الدوال التي درسناها في الصف السابع).

- اليوم سنواصل العمل مع مجموعة من الأعداد الحقيقية، دالة.

2. تحديث المعرفة وتسجيل الصعوبات في الأنشطة

الغرض من المرحلة:

1) تحديث المحتوى التعليمي الضروري والكافي لإدراك المادة الجديدة: الوظيفة، المتغير المستقل، المتغير التابع، الرسوم البيانية

ص = ك س + م، ص = ك س، ص = ج، ص = س 2، ص = - س 2،

2) تحديث العمليات العقلية اللازمة والكافية لتصور المواد الجديدة: المقارنة والتحليل والتعميم؛

3) تسجيل جميع المفاهيم والخوارزميات المتكررة في شكل رسوم بيانية ورموز؛

4) سجل الصعوبة الفردية في النشاط، مما يدل على مستوى شخصي كبير عدم كفاية المعرفة الموجودة.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الثانية:

1. دعونا نتذكر كيف يمكنك ضبط التبعيات بين الكميات؟ (استخدام النص، الصيغة، الجدول، الرسم البياني)

2. ما هي وظيفة تسمى؟ (علاقة بين كميتين، حيث كل قيمة لمتغير واحد تقابل قيمة واحدة لمتغير آخر y = f(x)).

ما هو اسم العاشر؟ (المتغير المستقل - الوسيطة)

ما هو اسم ذ؟ (المتغير التابع).

3. في الصف السابع، هل درسنا الوظائف؟ (ص = ك س + م، ص = ك س، ص = ج، ص = س 2، ص = - س 2،).

المهمة الفردية:

ما هو الرسم البياني للوظائف y = kx + m، y =x 2، y =؟

3. تحديد أسباب الصعوبات وتحديد الأهداف للأنشطة

الغرض من المرحلة:

1) تنظيم التفاعل التواصلي الذي يتم خلاله خاصية مميزةمهمة تسببت في صعوبة في أنشطة التعلم؛

2) الاتفاق على غرض الدرس وموضوعه.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الثالثة:

- ما المميز في هذه المهمة؟ (يتم الحصول على الاعتماد من خلال الصيغة y = التي لم نواجهها بعد.)

– ما هو الهدف من الدرس؟ (تعرف على الدالة y = وخصائصها ورسمها البياني. استخدم الدالة الموجودة في الجدول لتحديد نوع الاعتماد وإنشاء صيغة ورسم بياني.)

– هل يمكنك صياغة موضوع الدرس؟ (الدالة y=، خصائصها ورسمها البياني).

– أكتب الموضوع في دفترك .

4. بناء مشروع للخروج من الصعوبة

الغرض من المرحلة:

1) تنظيم التفاعل التواصلي لبناء طريقة عمل جديدة تقضي على سبب الصعوبة المحددة؛

2) الإصلاح طريق جديدالإجراءات في شكل رمزي ولفظي وباستخدام معيار.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الرابعة:

يمكن تنظيم العمل في هذه المرحلة في مجموعات، حيث يطلب من المجموعات إنشاء رسم بياني y =، ثم تحليل النتائج. يمكن أيضًا أن يُطلب من المجموعات وصف خصائص دالة معينة باستخدام خوارزمية.

5. التوحيد الأساسي في الكلام الخارجي

الغرض من المرحلة: تسجيل المحتوى التعليمي المدروس بالكلام الخارجي.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الخامسة:

أنشئ رسمًا بيانيًا لـ y= - ووصف خصائصه.

خصائص ذ = - .

1. مجال تعريف الدالة.

2. نطاق قيم الوظيفة.

3. ص = 0، ص> 0، ص<0.

ص = 0 إذا كان س = 0.

ذ<0, если х(0;+)

4. زيادة ونقصان الوظائف.

الدالة تتناقص عندما x.

لنقم ببناء رسم بياني لـ y=.

دعونا نختار الجزء الخاص به على المقطع. لاحظ أن لدينا = 1 لـ x = 1، وy كحد أقصى. =3 عند س = 9.

الجواب: باسمنا. = 1، ص كحد أقصى. =3

6. العمل المستقل مع الاختبار الذاتي وفقًا للمعيار

الغرض من المرحلة: اختبار قدرتك على تطبيق المحتوى التعليمي الجديد في الظروف القياسية بناءً على مقارنة الحل الخاص بك بمعيار الاختبار الذاتي.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة السادسة:

يقوم الطلاب بإكمال المهمة بشكل مستقل، وإجراء اختبار ذاتي وفقًا للمعايير، وتحليل الأخطاء وتصحيحها.

لنقم ببناء رسم بياني لـ y=.

باستخدام الرسم البياني، ابحث عن أصغر وأكبر قيم الدالة على القطعة.

7. الدمج في منظومة المعرفة والتكرار

الغرض من المرحلة: التدريب على مهارات استخدام المحتوى الجديد مع ما سبق دراسته: 2) تكرار المحتوى التعليمي الذي سيكون مطلوبًا في الدروس القادمة.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة السابعة:

حل المعادلة بيانياً: = x – 6.

أحد الطلاب على السبورة، والباقي في دفاتر الملاحظات.

8. انعكاس النشاط

الغرض من المرحلة:

1) تسجيل المحتوى الجديد الذي تعلمته في الدرس؛

2) تقييم أنشطتك الخاصة في الدرس؛

3) أشكر زملاء الدراسة الذين ساعدوا في الحصول على نتيجة الدرس؛

4) تسجيل الصعوبات التي لم يتم حلها كتوجيهات للأنشطة التعليمية المستقبلية؛

5) مناقشة وكتابة واجباتك المنزلية.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الثامنة:

- يا رفاق، ماذا كان هدفنا اليوم؟ (دراسة الدالة y= وخصائصها ورسمها البياني).

– ما هي المعرفة التي ساعدتنا على تحقيق هدفنا؟ (القدرة على البحث عن الأنماط، والقدرة على قراءة الرسوم البيانية.)

– تحليل الأنشطة الخاصة بك في الصف. (بطاقات مع انعكاس)

العمل في المنزل

الفقرة 13 (قبل المثال 2) № 13.3, 13.4

حل المعادلة بيانيا:

أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة ووصف خصائصها.

وهو يساوي $أ.$بمعنى آخر، هذا هو حل المعادلة $س^3\; =\; أ$(عادةً ما يُقصد بالحلول الحقيقية).

الجذر الحقيقي

شكل توضيحي

يمكن تعريف جذر الأعداد المركبة على النحو التالي:

$x^(1/3)\; =\; \backslash exp\; (\backslash tfrac13\; \backslash ln(x))$

إذا كنت تتخيل $س$كيف

$س\; =\; ص\; \backslash \; إكسب\; (ط\; \backslash \; ثيتا)$

إذن صيغة العدد المكعب هي:

$\backslash sqrt(x)\; =\; \backslash sqrt(r)\backslash exp\; (\backslash tfrac13\; i\backslash theta).$

هذا يعني هندسيًا أنه في الإحداثيات القطبية، نأخذ الجذر التكعيبي لنصف القطر ونقسم الزاوية القطبية على ثلاثة لتحديد الجذر التكعيبي. حتى إذا $س$معقدة إذن $\backslash sqrt(-8)$سوف يعني لا $-2$، سوف يكون $1\; +\; ط\backslash sqrt(3).$

عند كثافة ثابتة للمادة، ترتبط أبعاد جسمين متشابهين ببعضهما البعض كالجذور التكعيبية لكتلتيهما. لذا، إذا كان وزن بطيخة واحدة ضعف وزن الأخرى، فسيكون قطرها (وكذلك محيطها) أكبر بقليل من الربع (26٪) من الأولى؛ ويبدو للعين أن الفرق في الوزن ليس كبيرًا جدًا. لذلك، في غياب المقاييس (البيع بالعين)، عادة ما يكون شراء فاكهة أكبر أكثر ربحية.

طرق الحساب

عمود

قبل البدء، تحتاج إلى تقسيم الرقم إلى ثلاثة توائم (الجزء الصحيح - من اليمين إلى اليسار، والجزء الكسري - من اليسار إلى اليمين). عندما تصل إلى النقطة العشرية، يجب عليك إضافة نقطة عشرية في نهاية النتيجة.

الخوارزمية هي على النحو التالي:

1. ابحث عن رقم مكعبه أصغر من المجموعة الأولى من الأرقام، ولكن عندما يزيد بمقدار 1 يصبح أكبر. اكتب الرقم الذي تجده على يمين الرقم المحدد. اكتب الرقم 3 تحته.
2. اكتب مكعب الرقم الموجود تحت مجموعة الأرقام الأولى ثم اطرحه. اكتب النتيجة بعد الطرح تحت المطروح. بعد ذلك، قم بإنزال المجموعة التالية من الأرقام.
3. بعد ذلك، نستبدل الإجابة المتوسطة التي تم العثور عليها بالحرف $أ$. احسب باستخدام الصيغة $$مثل هذا العدد $س$أن نتيجته أقل من الرقم الأقل، ولكن عند زيادته بمقدار 1 يصبح أكبر. اكتب ما تجده $س$على يمين الجواب. إذا تم تحقيق الدقة المطلوبة، قم بإيقاف الحسابات.
4. اكتب نتيجة الحساب تحت الرقم السفلي باستخدام الصيغة $300\backslash مرات\; أ^2\backslash مرات\; x+30\backslash مرات\; أ\backslash مرات\; x^2+x^3$والقيام بالطرح. انتقل إلى الخطوة 3.

أنظر أيضا

اكتب مراجعة عن مقالة "الجذر التكعيبي"

الأدب

• كورن جي، كورن تي. 1.3-3. تمثيل المبلغ والمنتج والحاصل. القوى والجذور // دليل الرياضيات. - الطبعة الرابعة. - م: ناوكا، 1978. - ص32-33.

مقتطف يميز الجذر التكعيبي

بحلول الساعة التاسعة صباحا، عندما تحركت القوات بالفعل عبر موسكو، لم يأت أحد ليطلب أوامر الكونت. كل من استطاع الذهاب فعل ذلك بمحض إرادته؛ أولئك الذين بقوا قرروا بأنفسهم ما يجب عليهم فعله.
أمر الكونت بإحضار الخيول للذهاب إلى سوكولنيكي ، وجلس في مكتبه عابسًا وأصفر وصامتًا ويداه مطويتان.
في الأوقات الهادئة، وليس العاصفة، يبدو لكل مسؤول أنه فقط من خلال جهوده يتحرك جميع السكان تحت سيطرته، وفي هذا الوعي بضرورته، يشعر كل مسؤول بالمكافأة الرئيسية لجهوده وجهوده. ومن الواضح أنه ما دام البحر التاريخي هادئا، فإن الحاكم الإداري، بقاربه الهش الذي يسند عموده على سفينة الشعب ويتحرك هو، يجب أن يبدو له أنه من خلال جهوده فإن السفينة التي يستريح عليها متحرك. ولكن بمجرد أن تنشأ عاصفة، يضطرب البحر وتتحرك السفينة نفسها، عندها يصبح الوهم مستحيلا. تتحرك السفينة بسرعتها الهائلة المستقلة، ولا يصل العمود إلى السفينة المتحركة، ويتحول الحاكم فجأة من منصب الحاكم، مصدر القوة، إلى شخص تافه وضعيف عديم الفائدة.
شعر راستوبشين بهذا وأزعجه. دخل الكونت قائد الشرطة الذي أوقفه الحشد مع المساعد الذي جاء للإبلاغ عن استعداد الخيول. كلاهما كانا شاحبين، وقال قائد الشرطة، الذي أبلغ عن تنفيذ مهمته، إنه كان هناك حشد كبير من الناس يريدون رؤيته في فناء الكونت.
وقف راستوبشين، دون أن يجيب على كلمة واحدة، وسار بسرعة إلى غرفة معيشته الفاخرة والمشرقة، وتوجه إلى باب الشرفة، وأمسك بالمقبض، وتركه وانتقل إلى النافذة، حيث يمكن رؤية الحشد بأكمله بوضوح أكبر. وقف رجل طويل القامة في الصفوف الأمامية وقال شيئًا بوجه صارم، وهو يلوح بيده. وقف الحداد الدموي بجانبه بنظرة قاتمة. وكان من الممكن سماع همهمة الأصوات من خلال النوافذ المغلقة.
- هل الطاقم جاهز؟ - قال راستوبشين وهو يبتعد عن النافذة.
قال المساعد: "جاهز يا صاحب السعادة".
اقترب راستوبشين مرة أخرى من باب الشرفة.
- ماذا يريدون؟ - سأل قائد الشرطة.
- يا صاحب السعادة، يقولون إنهم كانوا سيذهبون ضد الفرنسيين بناءً على أوامرك، لقد صرخوا بشيء عن الخيانة. ولكن حشد مشاغب، يا صاحب السعادة. لقد غادرت بالقوة. صاحب السعادة، أجرؤ على أن أقترح...
صاح روستوبشين بغضب: "إذا سمحت، اذهب، فأنا أعرف ما سأفعله بدونك". وقف عند باب الشرفة ينظر إلى الحشد. "هذا ما فعلوه بروسيا! وهذا ما فعلوه بي! - فكر روستوبشين وهو يشعر بغضب لا يمكن السيطرة عليه يتصاعد في روحه ضد شخص يمكن أن يُنسب إلى سبب كل ما حدث. كما يحدث غالبًا مع الأشخاص سريعي الغضب، كان الغضب يسيطر عليه بالفعل، لكنه كان يبحث عن موضوع آخر له. "La voila la populace، la lie du peuple،" فكر وهو ينظر إلى الحشد، "la plebe qu"ils ont sulevee par leur sottise. Il leur faut une الضحية، ["ها هو، أيها الناس، حثالة الـ السكان العوام الذين ربوهم بغبائهم! إنهم بحاجة إلى ضحية. "] - خطر بباله وهو ينظر إلى الرجل طويل القامة وهو يلوح بيده. وللسبب نفسه خطر في ذهنه أنه هو نفسه بحاجة إلى هذا الضحية، هذا الكائن لغضبه.
- هل الطاقم جاهز؟ - سأل مرة أخرى.
- جاهز يا صاحب السعادة. ماذا تطلب بشأن Vereshchagin؟ أجاب المساعد: "إنه ينتظر عند الشرفة".
- أ! - صرخ روستوبشين وكأنه ضربته ذكرى غير متوقعة.
وفتح الباب بسرعة وخرج إلى الشرفة بخطوات حاسمة. توقفت المحادثة فجأة، وخلعت القبعات، وارتفعت كل الأنظار نحو الكونت الذي خرج.
- مرحبا يا شباب! - قال العد بسرعة وبصوت عال. - شكرا لقدومك. سأخرج إليك الآن، لكن علينا أولاً أن نتعامل مع الشرير. نحن بحاجة إلى معاقبة الشرير الذي قتل موسكو. الانتظار لي! "وبالسرعة نفسها، عاد الكونت إلى غرفته، وأغلق الباب بقوة.
ركضت نفخة من المتعة عبر الحشد. "وهذا يعني أنه سيسيطر على جميع الأشرار! وأنت تقول الفرنسية... سيعطيك المسافة بأكملها! - قال الناس وكأنهم يوبخون بعضهم البعض على عدم إيمانهم.

يتم إعطاء الخصائص الأساسية لوظيفة الطاقة، بما في ذلك الصيغ وخصائص الجذور. يتم عرض المشتق، والتكامل، وتوسيع سلسلة الطاقة، وتمثيل الأعداد المركبة لدالة الطاقة.

تعريف

تعريف
دالة القدرة مع الأس pهي الدالة f (خ) = إكس بي، والتي قيمتها عند النقطة x تساوي قيمة الدالة الأسية ذات الأساس x عند النقطة p.
بالإضافة إلى ذلك، ف (0) = 0 ع = 0ل ع > 0 .

بالنسبة للقيم الطبيعية للأس، فإن دالة الطاقة هي حاصل ضرب أعداد n تساوي x:
.
يتم تعريفه لجميع صالح .

بالنسبة للقيم المنطقية الموجبة للأس، تكون دالة القوة هي حاصل ضرب n جذور الدرجة m للرقم x:
.
بالنسبة إلى m الغريب، يتم تعريفه لجميع x الحقيقي. بالنسبة إلى m، يتم تعريف وظيفة الطاقة للدالات غير السالبة.

بالنسبة للسالب، يتم تحديد دالة الطاقة بواسطة الصيغة:
.
لذلك، لم يتم تعريفه عند هذه النقطة.

بالنسبة للقيم غير المنطقية للأس p، يتم تحديد دالة الطاقة بالصيغة:
,
حيث a هو رقم موجب عشوائي لا يساوي واحدًا: .
متى يتم تعريفه لـ .
عندما يتم تعريف وظيفة الطاقة لـ .

استمرارية. دالة القدرة مستمرة في مجال تعريفها.

خصائص وصيغ دوال القدرة لـ x ≥ 0

سننظر هنا في خصائص دالة الطاقة للقيم غير السالبة للوسيطة x. كما هو مذكور أعلاه، بالنسبة لبعض قيم الأس p، يتم تعريف دالة الطاقة أيضًا للقيم السالبة لـ x. وفي هذه الحالة يمكن الحصول على خواصه من خواصه باستخدام الزوجي أو الفردي. تتم مناقشة هذه الحالات وتوضيحها بالتفصيل في الصفحة "".

دالة الطاقة، y = x p، مع الأس p لها الخصائص التالية:
(1.1) محددة ومستمرة على المجموعة
في ،
في ؛
(1.2) له معاني كثيرة
في ،
في ؛
(1.3) يزيد بشكل صارم مع ،
يتناقص بشدة عند ;
(1.4) في ؛
في ؛
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

يتم تقديم إثبات الخصائص في صفحة "وظيفة الطاقة (إثبات الاستمرارية والخصائص)"

الجذور - التعريف والصيغ والخصائص

تعريف
جذر عدد x من الدرجة nهو العدد الذي عند رفعه للأس n يعطي x :
.
هنا ن = 2, 3, 4, ... - عدد طبيعي أكبر من واحد.

يمكنك أيضًا القول أن جذر الرقم x من الدرجة n هو جذر (أي الحل) للمعادلة
.
لاحظ أن الدالة هي عكس الدالة.

الجذر التربيعي لـ xهو جذر الدرجة 2 : .

الجذر التكعيبي لـxهو جذر الدرجة 3 : .

حتى درجة

للقوى الزوجية n = 2 م، يتم تعريف الجذر لـ x ≥ 0 . الصيغة المستخدمة غالبًا صالحة لكل من x الموجب والسالب:
.
بالنسبة للجذر التربيعي:
.

الترتيب الذي تتم به العمليات مهم هنا - أي أنه أولاً يتم تنفيذ المربع فينتج عنه رقم غير سالب، ومن ثم يؤخذ الجذر منه (يمكن أخذ الجذر التربيعي من رقم غير سالب ). إذا قمنا بتغيير الترتيب:، فبالنسبة إلى x السالبة، سيكون الجذر غير محدد، ومعه سيكون التعبير بأكمله غير محدد.

درجة غريبة

بالنسبة للقوى الفردية، يتم تعريف الجذر لكل x:
;
.

خصائص وصيغ الجذور

جذر x هو دالة قوة:
.
عندما س ≥ 0 تنطبق الصيغ التالية:
;
;
, ;
.

يمكن أيضًا تطبيق هذه الصيغ على القيم السالبة للمتغيرات. كل ما عليك فعله هو التأكد من أن التعبير الجذري عن القوى الزوجية ليس سلبيًا.

القيم الخاصة

جذر 0 هو 0 : .
الجذر 1 يساوي 1: .
الجذر التربيعي للعدد 0 هو 0: .
الجذر التربيعي للعدد 1 هو 1: .

مثال. جذر الجذور

دعونا نلقي نظرة على مثال للجذر التربيعي للجذور:
.
دعونا نحول الجذر التربيعي الداخلي باستخدام الصيغ أعلاه:
.
الآن دعونا نحول الجذر الأصلي:
.
لذا،
.

y = x p لقيم مختلفة للأس p.

فيما يلي رسوم بيانية للدالة للقيم غير السالبة للوسيطة x. الرسوم البيانية لدالة الطاقة المحددة للقيم السالبة لـ x موضحة في صفحة "دالة الطاقة وخصائصها ورسومها البيانية"

وظيفة عكسية

معكوس دالة القوة ذات الأس p هي دالة قوة ذات الأس 1/p.

اذا ثم.

مشتق من وظيفة السلطة

مشتق من الترتيب ن:
;

اشتقاق الصيغ > > >

جزء لا يتجزأ من وظيفة السلطة

ف ≠ - 1 ;
.

توسيع سلسلة الطاقة

في - 1 < x < 1 ويحدث التحلل التالي:

التعبيرات باستخدام الأعداد المركبة

خذ بعين الاعتبار وظيفة المتغير المركب z :
F (ض) = ض ر.
دعونا نعبر عن المتغير المركب z بدلالة المعامل r والوسيطة φ (r = |z|):
ض = ص ه أنا φ .
نمثل العدد المركب t على شكل أجزاء حقيقية وتخيلية:
ر = ع + ط ف .
لدينا:

بعد ذلك، نأخذ في الاعتبار أن الوسيطة φ ليست محددة بشكل فريد:
,

دعونا نفكر في الحالة عندما تكون q = 0 أي أن الأس عدد حقيقي t = p. ثم
.

إذا كان p عددًا صحيحًا، فإن kp هو عدد صحيح. ثم، بسبب دورية الدوال المثلثية:
.
أي أن الدالة الأسية ذات الأس الصحيح، لـ z معينة، لها قيمة واحدة فقط وبالتالي فهي لا لبس فيها.

إذا كانت p غير عقلانية، فإن منتجات kp لأي k لا تنتج عددًا صحيحًا. بما أن k يمر عبر سلسلة لا حصر لها من القيم ك = 0، 1، 2، 3، ...، فإن الدالة z p لها عدد لا نهائي من القيم. كلما زادت الوسيطة z 2π(دورة واحدة)، ننتقل إلى فرع جديد من الدالة.

إذا كانت p عقلانية، فيمكن تمثيلها على النحو التالي:
، أين م، ن- الأعداد الصحيحة التي لا تحتوي على قواسم مشتركة. ثم
.
قيم n الأولى، مع k = k 0 = 0، 1، 2، ...ن-1، أعط قيمًا مختلفة لـ kp:
.
ومع ذلك، فإن القيم اللاحقة تعطي قيمًا تختلف عن القيم السابقة بعدد صحيح. على سبيل المثال، عندما ك = ك 0+نلدينا:
.
الدوال المثلثية التي تختلف وسيطاتها بمضاعفاتها 2π، لها قيم متساوية. لذلك، مع زيادة أخرى في k، نحصل على نفس قيم z p كما هو الحال بالنسبة لـ k = k 0 = 0، 1، 2، ...ن-1.

وبالتالي، فإن الدالة الأسية ذات الأس العقلاني تكون متعددة القيم ولها قيم n (فروع). كلما زادت الوسيطة z 2π(دورة واحدة)، ننتقل إلى فرع جديد من الدالة. وبعد هذه الثورات نعود إلى الفرع الأول الذي بدأ منه العد التنازلي.

على وجه الخصوص، جذر الدرجة n له قيم n. على سبيل المثال، فكر في الجذر النوني لعدد موجب حقيقي z = x. في هذه الحالة φ 0 = 0 , ض = ص = |ض| = س, .
.
إذن، بالنسبة للجذر التربيعي، n = 2 ,
.
حتى ك، (- 1 ) ك = 1. بالنسبة للغريب ك، (- 1 ) ك = - 1.
أي أن الجذر التربيعي له معنيان: + و-.

مراجع:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.

يا رفاق، نحن نواصل دراسة وظائف الطاقة. موضوع درس اليوم سيكون الدالة - الجذر التكعيبي لـ x. ما هو الجذر التكعيبي؟ يُسمى الرقم y بالجذر التكعيبي لـ x (جذر الدرجة الثالثة) إذا تم استيفاء المساواة بواسطة:، حيث x هو الرقم الجذري، و3 هو الأس.

وكما نرى، يمكن أيضًا استخراج الجذر التكعيبي من الأعداد السالبة. اتضح أن الجذر موجود لجميع الأعداد. الجذر الثالث لعدد سالب يساوي رقمًا سالبًا. عند رفعه إلى قوة فردية تبقى الإشارة، أما القوة الثالثة فهي فردية. دعونا نتحقق من المساواة: دعونا. دعونا نرفع كلا التعبيرين إلى القوة الثالثة ثم أو في تدوين الجذور نحصل على الهوية المطلوبة.

يا رفاق، دعونا الآن نبني رسمًا بيانيًا لوظيفتنا. 1) مجال التعريف هو مجموعة الأعداد الحقيقية. 2) الدالة فردية، حيث أننا بعد ذلك سننظر إلى الدالة عند x 0، ثم سنعرض الرسم البياني بالنسبة إلى الأصل. 3) تزيد الدالة بمقدار x 0. بالنسبة لوظيفتنا، فإن القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أكبر للدالة، مما يعني الزيادة. 4) الوظيفة لا تقتصر على ما سبق. في الواقع، من عدد كبير بشكل تعسفي، يمكننا حساب الجذر الثالث، ويمكننا التحرك لأعلى إلى أجل غير مسمى، وإيجاد قيم أكبر من أي وقت مضى للوسيطة. 5) عندما تكون x 0 أصغر قيمة هي 0. هذه الخاصية واضحة.

لنقم ببناء الرسم البياني للدالة على نطاق التعريف بأكمله. تذكر أن الدالة لدينا فردية. خصائص الدالة: 1) D(y)=(-;+) 2) دالة فردية. 3) يزيد بمقدار (-؛+) 4) غير محدود. 5) لا يوجد حد أدنى أو أقصى للقيمة. 6) الدالة متصلة على خط الأعداد بأكمله. 7) ه(ص)= (-؛+). 8) محدب للأسفل بمقدار (-;0)، محدب لأعلى بمقدار (0;+).

مثال. ارسم رسمًا بيانيًا للوظيفة واقرأه. حل. لنقم بإنشاء رسمين بيانيين للدوال على نفس المستوى الإحداثي، مع الأخذ في الاعتبار ظروفنا. بالنسبة لـ x-1 نبني رسمًا بيانيًا للجذر التكعيبي، وبالنسبة لـ x-1 نبني رسمًا بيانيًا لدالة خطية. 1) D(y)=(-;+) 2) الدالة ليست زوجية ولا فردية. 3) يتناقص بمقدار (-؛-1)، يزيد بمقدار (-1؛+) 4) غير محدود من الأعلى، محدود من الأسفل. 5) لا توجد قيمة أعظم. أصغر قيمة هي ناقص واحد. 6) الدالة متصلة على خط الأعداد بأكمله. 7) ه(ص)= (-1;+)