أوجد أكبر أو أصغر قيمة للدالة. كيفية العثور على أكبر قيمة للدالة على فترة

بيان المشكلة 2:

إعطاء دالة محددة ومستمرة في فترة زمنية معينة. تحتاج إلى العثور على أكبر (أصغر) قيمة للدالة في هذه الفترة.

اساس نظرى.
نظرية (نظرية فايرستراس الثانية):

إذا كانت الدالة محددة ومستمرة في فترة مغلقة، فإنها تصل إلى قيمها القصوى والدنيا في هذه الفترة.

يمكن للدالة أن تصل إلى أكبر وأصغر قيمها إما عن طريق النقاط الداخليةالفجوة أو عند حدودها. دعونا نوضح جميع الخيارات الممكنة.

توضيح:
1) تصل الدالة إلى قيمتها الكبرى على الحد الأيسر للفاصل الزمني عند النقطة ، وإلى قيمتها الدنيا على الحد الأيمن للفاصل الزمني عند النقطة .
2) تصل الدالة إلى أكبر قيمة لها عند النقطة (هذه هي النقطة القصوى)، وأصغر قيمة لها عند الحد الأيمن للفاصل الزمني عند النقطة.
3) تصل الدالة إلى قيمتها القصوى على الحد الأيسر للفاصل الزمني عند النقطة، وإلى قيمتها الدنيا عند النقطة (هذه هي النقطة الدنيا).
4) الدالة ثابتة على الفترة، أي. حيث تصل إلى قيمها الدنيا والقصوى عند أي نقطة في الفترة، وتكون القيم الدنيا والقصوى متساوية مع بعضها البعض.
5) تصل الدالة إلى قيمتها العظمى عند النقطة، وإلى قيمتها الدنيا عند النقطة (على الرغم من أن الدالة لها قيمة عظمى وأدنى في هذه الفترة).
6) تصل الدالة إلى قيمتها العظمى عند نقطة ما (هذه هي النقطة القصوى)، وإلى قيمتها الدنيا عند نقطة ما (هذه هي النقطة الدنيا).
تعليق:

"الأقصى" و" القيمة القصوى" - أشياء مختلفة. وينبع هذا من تعريف الحد الأقصى والفهم البديهي لعبارة "القيمة القصوى".

خوارزمية لحل المشكلة 2.



4) اختر الأكبر (الأصغر) من القيم التي تم الحصول عليها واكتب الإجابة.

مثال 4:

تحديد أكبر وأصغر قيمة للدالة على الجزء.
حل:
1) أوجد مشتقة الدالة.

2) أوجد النقاط الثابتة (والنقاط المشتبه في وجودها القصوى) من خلال حل المعادلة. انتبه إلى النقاط التي لا يوجد فيها مشتق محدود ذو وجهين.

3) احسب قيم الدالة عند النقاط الثابتة وعند حدود الفاصل الزمني.

4) اختر الأكبر (الأصغر) من القيم التي تم الحصول عليها واكتب الإجابة.

تصل الدالة في هذا المقطع إلى أكبر قيمة لها عند النقطة ذات الإحداثيات.

تصل الدالة في هذا المقطع إلى أدنى قيمة لها عند النقطة ذات الإحداثيات.

يمكنك التحقق من صحة الحسابات من خلال النظر إلى الرسم البياني للدالة قيد الدراسة.


تعليق:تصل الدالة إلى قيمتها العظمى عند النقطة القصوى، وإلى قيمتها الدنيا عند حدود القطعة.

حالة خاصة.

لنفترض أنك بحاجة إلى العثور على القيم القصوى والدنيا لبعض الوظائف في مقطع ما. بعد الانتهاء من النقطة الأولى من الخوارزمية، أي. حساب المشتقة، يصبح من الواضح أنه، على سبيل المثال، يستغرق الأمر فقط القيم السلبيةعلى كامل الجزء قيد النظر. تذكر أنه إذا كانت المشتقة سالبة، فإن الدالة تتناقص. لقد وجدنا أن الدالة تتناقص على المقطع بأكمله. ويوضح هذا الوضع الرسم البياني رقم 1 في بداية المقال.

الدالة تتناقص على القطعة، أي. ليس لديها نقاط متطرفة. يتضح من الصورة أن الدالة ستأخذ أصغر قيمة لها على الحد الأيمن للمقطع، و أعلى قيمة- على اليسار. إذا كانت مشتقة القطعة موجبة في كل مكان، فإن الدالة تزداد. أصغر قيمة موجودة على الحد الأيسر للمقطع، والقيمة الأكبر موجودة على اليمين.

مشكلة مصغرة وبسيطة إلى حد ما من النوع الذي يعمل بمثابة المنقذ للحياة للطالب العائم. إنها الطبيعة في منتصف شهر يوليو، لذا فقد حان الوقت للاستقرار مع الكمبيوتر المحمول الخاص بك على الشاطئ. لعبت في الصباح الباكر الأرنب المشمسالنظرية من أجل التركيز قريبًا على الممارسة، والتي، على الرغم من سهولتها المزعومة، تحتوي على شظايا زجاج في الرمال. وفي هذا الصدد، أوصي بأن تنظر بضمير حي في الأمثلة القليلة لهذه الصفحة. للحصول على حلول المهام العمليةيجب أن يكون قادرا على العثور على المشتقاتوفهم مادة المقال فترات الرتابة والحدود القصوى للوظيفة.

أولا، لفترة وجيزة عن الشيء الرئيسي. في الدرس حول استمرارية الوظيفةلقد قدمت تعريف الاستمرارية عند نقطة والاستمرارية عند فترة زمنية. تتم صياغة السلوك المثالي للدالة على المقطع بطريقة مماثلة. تكون الدالة مستمرة على فترة إذا:

1) أنها مستمرة على الفترة .
2) مستمرة عند نقطة ما على اليمينوعند هذه النقطة غادر.

وفي الفقرة الثانية تحدثنا عن ما يسمى الاستمرارية من جانب واحدوظائف عند نقطة ما. هناك عدة طرق لتعريفه، لكنني سألتزم بالسطر الذي بدأته سابقًا:

الدالة مستمرة عند النقطة على اليمين، إذا تم تعريفها عند نقطة معينة وكان حدها الأيمن يتزامن مع قيمة الدالة عند نقطة معينة: . وهو مستمر عند هذه النقطة غادر، إذا تم تعريفها عند نقطة معينة وكان حدها الأيسر يساوي القيمة عند هذه النقطة:

تخيل أن النقاط الخضراء عبارة عن مسامير متصلة بها شريط مطاطي سحري:

خذ عقليا الخط الأحمر في يديك. من الواضح أنه بغض النظر عن مدى تمديد الرسم البياني لأعلى ولأسفل (على طول المحور)، ستظل الوظيفة قائمة محدود- سياج في الأعلى، وسياج في الأسفل، ومنتجاتنا ترعى في المرعى. هكذا، دالة مستمرة على فترة محددة بها. في سياق التحليل الرياضي، يتم ذكر هذه الحقيقة التي تبدو بسيطة وإثباتها بدقة. نظرية فايرستراس الأولى....ينزعج الكثير من الناس من أن العبارات الأولية يتم إثباتها بشكل مضجر في الرياضيات، لكن هذا له معنى مهم. لنفترض أن أحد سكان العصور الوسطى تيري قام بسحب رسم بياني إلى السماء خارج نطاق الرؤية، فقد تم إدراجه. قبل اختراع التلسكوب، لم تكن وظيفته المحدودة في الفضاء واضحة على الإطلاق! حقاً، كيف تعرف ما ينتظرنا في الأفق؟ بعد كل شيء، كانت الأرض تعتبر ذات يوم مسطحة، لذلك حتى النقل الآني العادي يتطلب إثباتًا =)

وفق نظرية فايرستراس الثانية, مستمر على قطعةتصل الدالة إلى دقيق الحافة العلوية وما تملكه الحافة السفلية بالضبط .

ويسمى الرقم أيضا الحد الأقصى لقيمة الدالة على المقطعويشار إليها بـ ، والرقم هو الحد الأدنى لقيمة الدالة على المقطعتم وضع علامة .

في حالتنا هذه:

ملحوظة : من الناحية النظرية، التسجيلات شائعة .

بشكل تقريبي، القيمة الأكبر هي حيثما تكون الأكثر نقطة عاليةالرسومات، والأصغر – أين هو الأكثر نقطة منخفضة.

مهم!كما تم التأكيد عليه بالفعل في المقال حول الحد الأقصى للوظيفة, أعظم قيمة وظيفةو أصغر قيمة دالة – ليس هو نفسه، ماذا أقصى وظيفةو وظيفة الحد الأدنى. لذلك، في المثال قيد النظر، الرقم هو الحد الأدنى للدالة، ولكن ليس الحد الأدنى للقيمة.

بالمناسبة ماذا يحدث خارج القطاع؟ نعم، حتى الفيضان، في سياق المشكلة قيد النظر، لا يهمنا على الإطلاق. تتضمن المهمة فقط العثور على رقمين وهذا كل شيء!

علاوة على ذلك، فإن الحل تحليلي بحت لا حاجة لعمل رسم!

تقع الخوارزمية على السطح وتقترح نفسها من الشكل أعلاه:

1) ابحث عن قيم الوظيفة في نقاط حرجة, التي تنتمي هذا الجزء .

التقط كعكة أخرى: ليست هناك حاجة للتحقق هنا شرط كافأقصى، لأنه، كما هو موضح للتو، وجود الحد الأدنى أو الحد الأقصى لا يضمن بعد، ما هي القيمة الدنيا أو القصوى. تصل وظيفة العرض التوضيحي إلى الحد الأقصى، وبإرادة القدر، يكون نفس الرقم هو أكبر قيمة للدالة في المقطع. ولكن، بطبيعة الحال، لا تحدث مثل هذه الصدفة دائما.

لذلك، في الخطوة الأولى، يكون من الأسرع والأسهل حساب قيم الدالة عند النقاط الحرجة التابعة للقطعة، دون الحاجة إلى الاهتمام بما إذا كانت هناك نقاط متطرفة فيها أم لا.

2) نحسب قيم الدالة في نهايات القطعة.

3) من بين قيم الوظائف الموجودة في الفقرتين الأولى والثانية، حدد الأصغر والأكثر رقم ضخم، اكتب الجواب.

نجلس على الشاطئ بحر ازرقونضرب المياه الضحلة بأعقابنا:

مثال 1

العثور على أعظم و أصغر قيمةوظائف على فترات

حل:
1) لنحسب قيم الدالة عند النقاط الحرجة التابعة لهذا المقطع:

دعونا نحسب قيمة الدالة في الثانية نقطة حرجة:

2) لنحسب قيم الدالة في نهايات المقطع:

3) تم الحصول على نتائج "غامقة" باستخدام الأسس واللوغاريتمات، مما يعقد مقارنتها بشكل كبير. لهذا السبب، دعونا نتسلح بالآلة الحاسبة أو برنامج Excel ونحسب القيم التقريبية، دون أن ننسى ما يلي:

الآن كل شيء واضح.

إجابة:

مثال عقلاني كسري ل قرار مستقل:

مثال 6

العثور على الحد الأقصى و الحد الأدنى للقيمةوظائف على فترات

ولحلها سوف تحتاج إلى الحد الأدنى من المعرفة بالموضوع. وينتهي التالي السنة الأكاديميةالجميع يريد الذهاب في إجازة، ولتقريب هذه اللحظة، سأدخل مباشرة في صلب الموضوع:

لنبدأ بالمنطقة. المنطقة المشار إليها في الشرط هي محدود مغلق مجموعة من النقاط على متن الطائرة على سبيل المثال، مجموعة النقاط التي يحدها مثلث، بما في ذلك المثلث الكامل (إذا من الحدود"وخز" نقطة واحدة على الأقل، فلن يتم إغلاق المنطقة بعد الآن). ومن الناحية العملية، هناك أيضًا مساحات مستطيلة ودائرية وأكبر قليلاً. الأشكال المعقدة. وتجدر الإشارة إلى أنه من الناحية النظرية التحليل الرياضييتم إعطاء تعريفات صارمة القيود والعزلة والحدود وما إلى ذلك.، لكنني أعتقد أن الجميع يدركون هذه المفاهيم على مستوى بديهي، والآن ليست هناك حاجة إلى أي شيء أكثر من ذلك.

يُشار إلى المنطقة المسطحة بشكل قياسي بالحرف، وعادةً ما يتم تحديدها تحليليًا من خلال عدة معادلات (ليست بالضرورة خطية); في كثير من الأحيان عدم المساواة. الإسهاب النموذجي: "منطقة مغلقة، يحدها خطوط ».

جزء لا يتجزأالمهمة المعنية هي بناء منطقة في الرسم. كيف افعلها؟ تحتاج إلى رسم جميع الخطوط المدرجة (في في هذه الحالة 3 مستقيم) وتحليل ما حدث. عادة ما تكون المنطقة التي تم البحث فيها مظللة بشكل خفيف، ويتم تحديد حدودها بخط سميك:


يمكن أيضًا ضبط نفس المنطقة المتباينات الخطية: ، والتي غالبًا ما تتم كتابتها لسبب ما كقائمة معدودة بدلاً من نظام.
وبما أن الحدود تنتمي إلى المنطقة، فإن جميع المتباينات، بالطبع، التراخي.

والآن جوهر المهمة. تخيل أن المحور يخرج نحوك مباشرة من نقطة الأصل. النظر في وظيفة ذلك مستمر في كلنقطة المنطقة. الرسم البياني لهذه الوظيفة يمثل بعض سطحوالسعادة الصغيرة هي أنه لحل مشكلة اليوم لا نحتاج إلى معرفة شكل هذا السطح. يمكن أن يكون أعلى أو أقل أو يتقاطع مع المستوى - كل هذا لا يهم. والمهم ما يلي: بحسب نظريات ويرستراس, مستمرالخامس مغلقة محدودةالمنطقة التي تصل فيها الدالة إلى قيمتها القصوى (الاعلى")والأقل (الأخفض")القيم التي يجب العثور عليها. يتم تحقيق هذه القيم أوالخامس نقاط ثابتة, تابعة للمنطقةد , أوفي النقاط التي تقع على حدود هذه المنطقة. وهذا يؤدي إلى خوارزمية حل بسيطة وشفافة:

مثال 1

في محدودة منطقة مغلقة

حل: أولا وقبل كل شيء، تحتاج إلى تصوير المنطقة في الرسم. لسوء الحظ، من الصعب علي تقنيًا أن أصنع نموذجًا تفاعليًا للمشكلة، ولذلك سأقدم على الفور الرسم التوضيحي النهائي، الذي يوضح جميع النقاط “المشبوهة” التي تم العثور عليها أثناء البحث. وعادة ما يتم إدراجها واحدة تلو الأخرى عند اكتشافها:

وبناء على الديباجة يمكن تقسيم القرار بسهولة إلى نقطتين:

ط) العثور على نقاط ثابتة. هذا إجراء قياسي قمنا به بشكل متكرر في الفصل. حول الحدود القصوى للعديد من المتغيرات:

وجدت نقطة ثابتة ينتميالمناطق: (ضع علامة على الرسم)، مما يعني أننا يجب أن نحسب قيمة الدالة عند نقطة معينة:

- كما في المقال أكبر وأصغر قيم الدالة على القطعة, نتائج مهمةوسوف أبرز بخط عريض بخط سميك. من الملائم تتبعها في دفتر ملاحظات بقلم رصاص.

انتبه إلى سعادتنا الثانية - فلا فائدة من التحقق منها حالة كافية للأقصى. لماذا؟ حتى لو وصلت الدالة عند نقطة ما، على سبيل المثال، إلى الحد الأدنى المحلي، فهذا لا يعني أن القيمة الناتجة ستكون الحد الأدنىفي جميع أنحاء المنطقة (انظر بداية الدرس حول التطرف غير المشروط) .

ماذا تفعل إذا كانت النقطة الثابتة لا تنتمي إلى المنطقة؟ لا شيء تقريبا! تجدر الإشارة إلى ذلك والانتقال إلى النقطة التالية.

II) نستكشف حدود المنطقة.

بما أن الحدود تتكون من جوانب مثلث، فمن المناسب تقسيم الدراسة إلى 3 أقسام فرعية. لكن من الأفضل عدم القيام بذلك بأي حال من الأحوال. من وجهة نظري، من الأفضل أن نفكر أولاً في القطع المتوازية محاور الإحداثيات، وقبل كل شيء، أولئك الذين يكذبون على المحاور أنفسهم. لفهم التسلسل الكامل ومنطق الإجراءات، حاول دراسة النهاية "في نفس واحد":

1) دعونا نتعامل مع الجانب السفلي من المثلث. للقيام بذلك، استبدل مباشرة في الدالة:

بدلا من ذلك، يمكنك القيام بذلك على النحو التالي:

هندسيا هذا يعني ذلك خطة تنسيق (والتي تعطى أيضا في المعادلة)"ينحت" من الأسطحقطع مكافئ "مكاني" يصبح قمته موضع شك على الفور. هيا نكتشف أين تقع:

- "سقطت" القيمة الناتجة في المنطقة، وقد يحدث ذلك عند هذه النقطة (محدد على الرسم)تصل الدالة إلى أكبر أو أصغر قيمة في المنطقة بأكملها. بطريقة أو بأخرى، دعونا نجري الحسابات:

"المرشحون" الآخرون هم بالطبع نهايات المقطع. لنحسب قيم الدالة عند النقاط (محدد على الرسم):

هنا، بالمناسبة، يمكنك إجراء فحص شفهي صغير باستخدام نسخة "مبسطة":

2) للبحث الجانب الأيمننستبدل المثلث في الدالة و"نرتب الأمور":

هنا سنقوم على الفور بإجراء فحص تقريبي، "رنين" نهاية المقطع التي تمت معالجتها بالفعل:
، عظيم.

الوضع الهندسي مرتبط النقطة السابقة:

- القيمة الناتجة أيضًا "دخلت في مجال اهتماماتنا"، مما يعني أننا بحاجة إلى حساب ما تساويه الدالة عند النقطة الظاهرة:

دعونا نتفحص الطرف الثاني من المقطع:

باستخدام الوظيفة ، فلنجري فحصًا للتحكم:

3) ربما يستطيع الجميع تخمين كيفية استكشاف الجانب المتبقي. نستبدلها في الوظيفة ونقوم بالتبسيط:

نهايات المقطع لقد تم بحثها بالفعل، ولكن في المسودة ما زلنا نتحقق مما إذا كنا قد وجدنا الوظيفة بشكل صحيح :
- تزامنت مع نتيجة الفقرة الفرعية الأولى؛
- تزامنت مع نتيجة الفقرة الفرعية الثانية.

يبقى معرفة ما إذا كان هناك أي شيء مثير للاهتمام داخل المقطع:

- هنالك! باستبدال الخط المستقيم في المعادلة، نحصل على إحداثية "الأهمية" هذه:

نحدد نقطة على الرسم ونجد القيمة المقابلة للوظيفة:

دعونا نتحقق من الحسابات باستخدام إصدار "الميزانية". :
، طلب.

والخطوة النهائية: نحن ننظر بعناية في جميع الأرقام "الجريئة"، وأوصي بأن يقوم المبتدئين حتى بإعداد قائمة واحدة:

والتي نختار منها القيم الأكبر والأصغر. إجابةدعنا نكتب بأسلوب مشكلة البحث أكبر وأصغر قيم دالة على قطعة ما:

فقط في حالة، سأعلق مرة أخرى معنى هندسينتيجة:
– هنا أعلى نقطة على السطح في المنطقة؛
- هنا أدنى نقطة من السطح في المنطقة.

في المهمة التي تم تحليلها، حددنا 7 نقاط “مشبوهة”، لكن عددها يختلف من مهمة إلى أخرى. بالنسبة لمنطقة مثلثة، يتكون الحد الأدنى من "مجموعة البحث" من ثلاث نقاط. يحدث هذا عندما تحدد الوظيفة، على سبيل المثال طائرة– من الواضح تمامًا أنه لا توجد نقاط ثابتة، ولا يمكن للدالة أن تصل إلى قيمها القصوى/الأصغر إلا عند رؤوس المثلث. ولكن لا يوجد سوى مثال واحد أو مثالين مشابهين - وعادة ما يتعين عليك التعامل مع بعضها سطح من الدرجة الثانية.

إذا حاولت حل مثل هذه المهام قليلاً، فإن المثلثات يمكن أن تجعل رأسك يدور، ولهذا السبب أعددت لك أمثلة غير عاديةحتى تصبح مربعة :))

مثال 2

العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة في منطقة مغلقة تحدها الخطوط

مثال 3

ابحث عن أكبر وأصغر قيم للدالة في منطقة مغلقة محدودة.

انتباه خاصانتبه إلى الترتيب العقلاني وتقنية دراسة حدود المنطقة، وكذلك إلى سلسلة الفحوصات الوسيطة، والتي ستتجنب تمامًا الأخطاء الحسابية. بشكل عام، يمكنك حلها بالطريقة التي تريدها، ولكن في بعض المشكلات، على سبيل المثال، في المثال 2، هناك فرصة كبيرة لجعل حياتك أكثر صعوبة. عينة تقريبيةالانتهاء من الواجبات في نهاية الدرس.

دعونا ننظم خوارزمية الحل، وإلا مع اجتهادي كعنكبوت، فقد ضاعت بطريقة ما في سلسلة التعليقات الطويلة للمثال الأول:

– في الخطوة الأولى نقوم ببناء منطقة، ومن المستحسن تظليلها وإبراز الحدود بخط غامق. أثناء الحل، ستظهر النقاط التي تحتاج إلى وضع علامة على الرسم.

- البحث عن النقاط الثابتة وحساب قيم الدالة فقط في تلك منهمالتي تنتمي إلى المنطقة. نسلط الضوء على القيم الناتجة في النص (على سبيل المثال، ضع دائرة حولها بقلم رصاص). إذا كانت النقطة الثابتة لا تنتمي إلى المنطقة، فإننا نحتفل بهذه الحقيقة برمز أو لفظيا. إذا لم تكن هناك نقاط ثابتة على الإطلاق، فإننا نخلص إلى استنتاج مكتوب بأنهم غائبون. وفي كل الأحوال لا يمكن تخطي هذه النقطة!

– نحن نستكشف حدود المنطقة. أولاً، من المفيد فهم الخطوط المستقيمة المتوازية مع محاور الإحداثيات (إذا كان هناك أي على الإطلاق). نسلط الضوء أيضًا على قيم الوظائف المحسوبة عند النقاط "المشبوهة". لقد قيل الكثير أعلاه عن تقنية الحل وسيقال شيء آخر أدناه - اقرأ، أعد القراءة، تعمق فيها!

– من الأرقام المختارة حدد القيم الأكبر والأصغر وأعطي الإجابة. في بعض الأحيان يحدث أن تصل الدالة إلى هذه القيم في عدة نقاط في وقت واحد - في هذه الحالة، يجب أن تنعكس كل هذه النقاط في الإجابة. دعونا، على سبيل المثال، واتضح أن هذه هي القيمة الأصغر. ثم نكتب ذلك

الأمثلة النهائية مخصصة للآخرين أفكار مفيدةوالتي ستكون مفيدة في الممارسة العملية:

مثال 4

ابحث عن أكبر وأصغر قيم للدالة في منطقة مغلقة .

لقد احتفظت بصيغة المؤلف، حيث يتم إعطاء المساحة في شكل متباينة مزدوجة. يمكن كتابة هذا الشرط بواسطة نظام مكافئ أو بشكل أكثر تقليدية لهذه المشكلة:

أذكرك بذلك غير خطيةلقد واجهنا عدم مساواة، وإذا كنت لا تفهم المعنى الهندسي للتدوين، فيرجى عدم التأخير وتوضيح الموقف الآن؛-)

حلكما هو الحال دائمًا، يبدأ ببناء منطقة تمثل نوعًا من "النعل":

حسنًا، في بعض الأحيان يتعين عليك مضغ ليس فقط جرانيت العلم...

ط) البحث عن نقاط ثابتة:

النظام حلم احمق :)

هناك نقطة ثابتة تابعة للمنطقة، أي تقع على حدودها.

وهكذا، لا بأس... لقد سار الدرس على ما يرام - هذا هو معنى شرب الشاي المناسب =)

II) نستكشف حدود المنطقة. وبدون مزيد من اللغط، لنبدأ بالمحور السيني:

1) إذاً

لنجد أين يقع رأس القطع المكافئ:
– نقدر مثل هذه اللحظات – لقد وصلت إلى النقطة التي أصبح كل شيء فيها واضحًا بالفعل. لكننا ما زلنا لا ننسى التحقق:

لنحسب قيم الوظيفة في نهايات المقطع:

2) ج قاعدعونا نتعرف على "القيعان" "في جلسة واحدة" - نستبدلها في الوظيفة دون أي مجمعات، وسنكون مهتمين فقط بالمقطع:

يتحكم:

وهذا يجلب بالفعل بعض الإثارة للقيادة الرتيبة على طول المسار المخرش. دعونا نجد النقاط الحرجة:

دعونا نقرر معادلة من الدرجة الثانية، هل تتذكر أي شيء آخر عن هذا؟ ...ومع ذلك، تذكر بالطبع، وإلا فلن تقرأ هذه السطور =) إذا كانت الحسابات في المثالين السابقين في الكسور العشرية(وهو بالمناسبة نادر)، فالأشياء المعتادة تنتظرنا هنا الكسور المشتركة. نجد جذور "X" ونستخدم المعادلة لتحديد إحداثيات "اللعبة" المقابلة لنقاط "المرشح":


لنحسب قيم الوظيفة عند النقاط الموجودة:

تحقق من الوظيفة بنفسك.

الآن ندرس بعناية الجوائز التي تم الفوز بها ونكتبها إجابة:

هؤلاء "مرشحون"، هؤلاء "مرشحون"!

لحلها بنفسك:

مثال 5

ابحث عن أصغر وأكبر قيم للدالة في منطقة مغلقة

يُقرأ الإدخال الذي يحتوي على أقواس متعرجة على النحو التالي: "مجموعة من النقاط من هذا القبيل."

في بعض الأحيان في أمثلة مماثلةيستخدم طريقة لاغرانج المضاعفولكن من غير المرجح أن تكون هناك حاجة حقيقية لاستخدامه. لذلك، على سبيل المثال، إذا تم إعطاء دالة لها نفس المساحة "de"، فبعد التعويض فيها - مع المشتقة دون أي صعوبات؛ علاوة على ذلك، يتم رسم كل شيء في "سطر واحد" (مع العلامات) دون الحاجة إلى النظر في نصف الدائرة العلوية والسفلية بشكل منفصل. ولكن، بالطبع، هناك المزيد الحالات المعقدةحيث بدون وظيفة لاغرانج (حيث، على سبيل المثال، هي نفس معادلة الدائرة)إنه أمر صعب - تمامًا كما يصعب العيش دون راحة جيدة!

أتمنى لكم وقتًا ممتعًا جميعًا ونراكم قريبًا في الموسم المقبل!

الحلول والأجوبة:

مثال 2: حل: لنرسم المنطقة في الرسم:

أكبر (أصغر) قيمة للدالة هي أكبر (أصغر) قيمة مقبولة للإحداثي في ​​الفاصل الزمني المدروس.

للعثور على أكبر أو أصغر قيمة للدالة، عليك القيام بما يلي:

1. تحقق من النقاط الثابتة المضمنة في مقطع معين.
2. احسب قيمة الدالة عند نهايات المقطع وعند النقاط الثابتة من الخطوة 3
3. حدد القيمة الأكبر أو الأصغر من النتائج التي تم الحصول عليها.

للعثور على الحد الأقصى أو الحد الأدنى من النقاط تحتاج إلى:

1. أوجد مشتقة الدالة $f"(x)$
2. أوجد النقاط الثابتة من خلال حل المعادلة $f"(x)=0$
3. عامل مشتقة دالة.
4. ارسم خطًا إحداثيًا، وضع نقاطًا ثابتة عليه، وحدد علامات المشتقة في الفترات الناتجة، باستخدام الرمز الموجود في الخطوة 3.
5. ابحث عن الحد الأقصى أو الحد الأدنى من النقاط وفقًا للقاعدة: إذا كانت التغييرات المشتقة عند نقطة معينة من علامة زائد إلى ناقص، فستكون هذه هي النقطة القصوى (إذا كانت من ناقص إلى علامة زائد، فستكون هذه هي النقطة الدنيا). من الناحية العملية، من الملائم استخدام صورة الأسهم على فترات: في الفترة التي يكون فيها المشتق موجبًا، يتم رسم السهم لأعلى والعكس صحيح.

جدول مشتقات بعض الوظائف الأولية:

وظيفة	المشتق
$ج$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1)، n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(ن)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$سينكس$	$كوسكس$
$كوسكس$	$-سينكس$
$تجكس$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(الخطيئة^2x)$
$cos^2x$	$-الخطيئة2x$
$الخطيئة^2x$	$الخطيئة2x$
$ه^س$	$ه^س$
$أ^س$	$ا^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(أ)x$	$(1)/(xlna)$

القواعد الأساسية للتمايز

1. مشتقة المجموع والفرق تساوي مشتقة كل حد

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

أوجد مشتقة الدالة $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

مشتقة المجموع والفرق تساوي مشتقة كل حد

$f'(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. مشتق من المنتج.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

أوجد المشتقة $f(x)=4x∙cosx$

$f'(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. مشتق الحاصل

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

أوجد المشتقة $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. المشتقة وظيفة معقدةيساوي منتج المشتقة وظيفة خارجيةإلى مشتقة الوظيفة الداخلية

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - الخطيئة(5x)∙5= -5الخطيئة(5x)$

أوجد النقطة الصغرى للدالة $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. دعونا نجد وظائف ODZ: $x+11>0; س>-11$

2. أوجد مشتقة الدالة $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. أوجد النقاط الثابتة عن طريق مساواة المشتقة بالصفر

$(2x+21)/(x+11)=0$

الكسر يساوي صفر إذا كان البسط يساوي الصفر، والمقام ليس صفراً

$2x+21=0; س≠-11$

4. لنرسم خطًا إحداثيًا ونضع عليه نقاطًا ثابتة ونحدد علامات المشتق في الفواصل الزمنية الناتجة. للقيام بذلك، استبدل أي رقم من المنطقة الموجودة في أقصى اليمين بالمشتقة، على سبيل المثال، صفر.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. عند النقطة الدنيا، تتغير المشتقات من ناقص إلى زائد، وبالتالي فإن النقطة $-10.5$ هي النقطة الدنيا.

الجواب: $-10.5$

أوجد القيمة الأكبر للدالة $y=6x^5-90x^3-5$ في المقطع $[-5;1]$

1. أوجد مشتقة الدالة $y′=30x^4-270x^2$

2. مساواة المشتقة بالصفر وإيجاد النقاط الثابتة

$30x^4-270x^2=0$

سوف نخرجها المضاعف المشترك$30x^2$ بين قوسين

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

دعونا نساوي كل عامل بالصفر

$x^2=0 ; س-3=0; س+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. حدد النقاط الثابتة التي تنتمي إليها شريحة معينة $[-5;1]$

النقاط الثابتة $x=0$ و $x=-3$ تناسبنا

4. احسب قيمة الدالة عند نهايات المقطع وعند النقاط الثابتة من الخطوة 3

من الناحية العملية، الفائدة الأكبر هي استخدام المشتق للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة. ما علاقة هذا؟ تعظيم الأرباح وتقليل التكاليف وتحديد الحمل الأمثل للمعدات... بمعنى آخر، يتعين علينا في العديد من مجالات الحياة حل مشكلات تحسين بعض المعلمات. وهذه هي مهام إيجاد القيم الأكبر والأصغر للدالة.

تجدر الإشارة إلى أنه عادة ما يتم البحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة في فترة معينة X، وهي إما مجال الدالة بالكامل أو جزء من مجال التعريف. الفاصل الزمني X نفسه يمكن أن يكون قطعة، فاصل زمني مفتوح ، فاصل لا نهائي.

سنتحدث في هذه المقالة عن إيجاد القيم الأكبر والأصغر بشكل صريح وظيفة معينةمتغير واحد y=f(x) .

التنقل في الصفحة.

أكبر وأصغر قيمة للدالة - التعريفات والرسوم التوضيحية.

دعونا نلقي نظرة سريعة على التعاريف الرئيسية.

أكبر قيمة للدالة ذلك لأي شخص عدم المساواة صحيح.

أصغر قيمة للدالة y=f(x) على الفاصل الزمني X تسمى هذه القيمة ذلك لأي شخص عدم المساواة صحيح.

هذه التعريفات بديهية: القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة هي أكبر (أصغر) قيمة مقبولة في الفترة قيد النظر عند الإحداثي السيني.

نقاط ثابتة– هذه هي قيم الوسيطة التي يصبح عندها مشتق الدالة صفراً.

لماذا نحتاج إلى نقاط ثابتة عند إيجاد القيم الأكبر والأصغر؟ الجواب على هذا السؤال يأتي من نظرية فيرما. ويترتب على هذه النظرية أنه إذا كانت الدالة القابلة للتفاضل لها حد أقصى (حد أدنى محلي أو حد أقصى محلي) في مرحلة ما، فإن هذه النقطة تكون ثابتة. وبالتالي، فإن الدالة غالبًا ما تأخذ أكبر (أصغر) قيمة لها على الفاصل الزمني X عند إحدى النقاط الثابتة من هذا الفاصل الزمني.

كما أن الدالة يمكن أن تأخذ قيمها الأكبر والأصغر في كثير من الأحيان عند نقاط لا يوجد فيها المشتق الأول لهذه الدالة، ويتم تعريف الدالة نفسها.

دعنا نجيب على الفور على أحد الأسئلة الأكثر شيوعًا حول هذا الموضوع: "هل من الممكن دائمًا تحديد القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة"؟ لا، ليس دائما. في بعض الأحيان تتطابق حدود الفاصل الزمني X مع حدود مجال تعريف الدالة، أو يكون الفاصل الزمني X لانهائيًا. وبعض الدوال عند اللانهاية وعند حدود مجال التعريف يمكن أن تأخذ قيمًا كبيرة بلا حدود وقيمًا صغيرة بلا حدود. في هذه الحالات، لا يمكن قول أي شيء عن القيمة الأكبر والأصغر للدالة.

من أجل الوضوح، سنقدم رسما توضيحيا. انظر إلى الصور وسيصبح الكثير أكثر وضوحًا.

على الجزء

في الشكل الأول، تأخذ الدالة القيم الأكبر (max y) والأصغر (min y) عند نقاط ثابتة تقع داخل المقطع [-6;6].

النظر في الحالة المبينة في الشكل الثاني. دعونا نغير المقطع إلى . في هذا المثال، يتم تحقيق أصغر قيمة للدالة عند نقطة ثابتةوالأكبر - عند النقطة التي تتوافق مع الحد الأيمن للفاصل الزمني.

في الشكل 3، النقاط الحدودية للمقطع [-3;2] هي حدود النقاط المقابلة لأكبر وأصغر قيمة للدالة.

على فترة مفتوحة

في الشكل الرابع، تأخذ الدالة القيم الأكبر (max y) والأصغر (min y) عند النقاط الثابتة الموجودة بالداخل الفاصل الزمني المفتوح (-6;6) .

في الفترة، لا يمكن استخلاص أي استنتاجات حول القيمة الأكبر.

في اللانهاية

في المثال المعروض في الشكل السابع، تأخذ الدالة القيمة الأكبر (max y) عند نقطة ثابتة مع الإحداثي السيني x=1، ويتم تحقيق أصغر قيمة (min y) على الحد الأيمن للفاصل الزمني. عند علامة ناقص اللانهاية، تقترب قيم الدالة بشكل مقارب من y=3.

خلال الفترة، لا تصل الدالة إلى القيمة الأصغر أو الأكبر. عندما تقترب x=2 من اليمين، تميل قيم الدالة إلى سالب ما لا نهاية (الخط x=2 هو خط مقارب عمودي)، وبما أن الإحداثي السيني يميل إلى زائد اللانهاية، فإن قيم الدالة تقترب بشكل غير مقارب من y=3. يظهر الرسم التوضيحي لهذا المثال في الشكل 8.

خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة على القطعة.

دعونا نكتب خوارزمية تسمح لنا بالعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على القطعة.

1. نجد مجال تعريف الوظيفة ونتحقق مما إذا كانت تحتوي على المقطع بأكمله.
2. نجد جميع النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول والموجودة في المقطع (عادةً ما توجد هذه النقاط في الدوال ذات الوسيطة تحت علامة المعامل وفي وظائف الطاقةمع الأس الكسرى). إذا لم تكن هناك مثل هذه النقاط، فانتقل إلى النقطة التالية.
3. نحدد جميع النقاط الثابتة التي تقع ضمن المقطع. للقيام بذلك، نساويه بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة ونختار الجذور المناسبة. إذا لم تكن هناك نقاط ثابتة أو لم يقع أي منها في المقطع، فانتقل إلى النقطة التالية.
4. نحسب قيم الدالة عند نقاط ثابتة محددة (إن وجدت)، عند النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول (إن وجد)، وكذلك عند x=a وx=b.
5. من قيم الوظيفة التي تم الحصول عليها، نختار الأكبر والأصغر - ستكون القيم الأكبر والأصغر المطلوبة للوظيفة، على التوالي.

دعونا نحلل الخوارزمية لحل مثال للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على قطعة ما.

مثال.

أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة

• على المقطع؛
• على المقطع [-4;-1] .

حل.

مجال الدالة هو المجموعة بأكملها أرقام حقيقية، باستثناء الصفر، أي. كلا القطاعين يقعان ضمن مجال التعريف.

أوجد مشتقة الدالة بالنسبة إلى:

من الواضح أن مشتق الدالة موجود في جميع نقاط القطع و [-4;-1].

نحدد النقاط الثابتة من المعادلة. الوحيد الجذر الحقيقيهو س=2 . تقع هذه النقطة الثابتة في الجزء الأول.

في الحالة الأولى، نحسب قيم الدالة عند نهايات المقطع وعند النقطة الثابتة، أي بالنسبة لـ x=1 وx=2 وx=4:

وبالتالي فإن القيمة الأكبر للدالة يتم تحقيقه عند x=1، وأصغر قيمة – عند س=2.

في الحالة الثانية، نحسب قيم الدالة فقط في نهايات المقطع [-4;-1] (نظرًا لأنه لا يحتوي على نقطة ثابتة واحدة):