المعادلة هي مساواة تحتوي على حرف يجب إيجاد قيمته.
في المعادلات، عادة ما يتم تمثيل المجهول بحرف صغير. الحروف الأكثر استخدامًا هي "x" [ix] و"y" [y].
- جذر المعادلة- هذه هي قيمة الحرف الذي يتم عنده الحصول على المساواة العددية الصحيحة من المعادلة.
- حل المعادلة- يعني العثور على جميع جذورها أو التأكد من عدم وجود جذور.
بعد حل المعادلة، نكتب دائمًا شيكًا بعد الإجابة.
معلومات للآباء والأمهات
أعزائي أولياء الأمور، نلفت انتباهكم إلى حقيقة أن الأطفال في المدرسة الابتدائية والصف الخامس لا يعرفون موضوع "الأرقام السالبة".
ولذلك، يجب عليهم حل المعادلات باستخدام خصائص الجمع والطرح والضرب والقسمة فقط. فيما يلي طرق حل المعادلات للصف الخامس.
لا تحاول تفسير حل المعادلات بنقل الأرقام والحروف من جزء من المعادلة إلى جزء آخر مع تغيير الإشارة.
يمكنك تحسين المفاهيم المتعلقة بالجمع والطرح والضرب والقسمة في درس "قوانين الحساب".
حل معادلات الجمع والطرح
كيفية العثور على المجهول
شرط
كيفية العثور على المجهول
تذكير
كيفية العثور على المجهول
طرح
للعثور على الحد المجهول، عليك طرح الحد المعروف من المجموع.
للعثور على الحد الأدنى المجهول، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى الفرق.
للعثور على المطروح المجهول، عليك طرح الفرق من المطرح.
س + 9 = 15
س = 15 − 9
س=6
فحص
س - 14 = 2
س = 14 + 2
س = 16
فحص
16 − 2 = 14
14 = 14
5 - س = 3
س = 5 − 3
س = 2
فحص
حل معادلات الضرب والقسمة
كيفية العثور على مجهول
عامل
كيفية العثور على المجهول
أرباح
كيفية العثور على مجهول
مقسم
للعثور على عامل غير معروف، تحتاج إلى قسمة المنتج على العامل المعلوم.
للعثور على المقسوم المجهول، عليك ضرب حاصل القسمة على المقسوم عليه.
للعثور على مقسوم مجهول، عليك قسمة المقسوم على حاصل القسمة.
ص 4 = 12
ص=12:4
ص=3
فحص
ص: 7 = 2
ص = 2 7
ص=14
فحص
8:ص=4
ص=8:4
ص=2
فحص
المعادلة هي مساواة تحتوي على حرف يجب إيجاد إشارته. حل المعادلة هو مجموعة القيم الحرفية التي تحول المعادلة إلى مساواة حقيقية:
أذكر ذلك لحلها معادلةتحتاج إلى نقل الحدود مع المجهول إلى جزء من المساواة، والمصطلحات العددية إلى الطرف الآخر، وإحضار متشابهة والحصول على المساواة التالية:
ومن المساواة الأخيرة نحدد المجهول وفق القاعدة: "أحد العاملين يساوي حاصل القسمة على العامل الثاني".
بما أن الأعداد النسبية a وb يمكن أن يكون لها نفس العلامات أو علامات مختلفة، فإن علامة المجهول يتم تحديدها من خلال قواعد قسمة الأعداد النسبية.
إجراءات حل المعادلات الخطية
يجب تبسيط المعادلة الخطية عن طريق فتح الأقواس وإجراء عمليات الخطوة الثانية (الضرب والقسمة).
انقل المجهولات إلى أحد طرفي علامة التساوي، والأعداد إلى الجانب الآخر من علامة التساوي، لتحصل على مساواة مطابقة للمعطى،
أحضر المتشابهات عن يسار ويمين علامة التساوي لتحصل على مساواة في الشكل الفأس = ب.
احسب جذر المعادلة (أوجد المجهول Xمن المساواة س = ب : أ),
تحقق من خلال استبدال المجهول في المعادلة المعطاة.
إذا حصلنا على تطابق في المساواة العددية، فسيتم حل المعادلة بشكل صحيح.
حالات خاصة لحل المعادلات
- لو معادلةإذا كان حاصل الضرب يساوي 0، لحله نستخدم خاصية الضرب: “يكون الناتج يساوي صفرًا إذا كان أحد العاملين أو كلا العاملين يساوي صفرًا”.
- قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت؛
- نقل الحدود التي تحتوي على متغير إلى أحد جانبي علامة التساوي، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر؛
- أعط مصطلحات مشابهة لليسار واليمين لعلامة المساواة؛
- اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $x$.
- المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال، عندما يظهر شيء مثل $0\cdot x=8$، أي. على اليسار صفر، وعلى اليمين رقم غير الصفر. في الفيديو أدناه سنلقي نظرة على عدة أسباب وراء حدوث هذا الموقف.
- الحل هو كل الارقام الحالة الوحيدة التي يكون فيها ذلك ممكنًا هي عندما يتم اختزال المعادلة إلى البناء $0\cdot x=0$. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن $x$ الذي نستبدله، فسيظل "الصفر يساوي صفرًا"، أي. المساواة العددية الصحيحة
- أولًا، تحتاج إلى فك الأقواس، إن وجدت (كما في مثالنا الأخير)؛
- ثم الجمع بين مماثلة
- وأخيرا، عزل المتغير، أي. فكل ما ارتبط بالمتغير -الحدود التي ورد فيها- ينقل إلى جهة، وكل ما يبقى دونه ينقل إلى الجهة الأخرى.
- قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت.
- نحن نعزل المتغيرات، أي. نقوم بنقل كل ما يحتوي على "X" إلى جانب واحد، وكل شيء بدون "X" إلى الجانب الآخر.
- نقدم مصطلحات مماثلة.
- نقسم كل شيء على معامل "x".
- كما قلت أعلاه، ليس كل معادلة خطية لها حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور؛
- وحتى لو كانت هناك جذور، فقد يكون بينها صفر، فلا حرج في ذلك.
- متغيرات منفصلة.
- تخلص من الكسور.
- افتح الأقواس.
- إحضار مماثلة.
- القسمة على النسبة.
- معرفة خوارزمية حل المعادلات الخطية.
- القدرة على فتح الأقواس.
- لا تقلق إذا كانت لديك دوال تربيعية في مكان ما، فمن المرجح أن يتم تقليلها أثناء عملية التحويلات الإضافية.
- هناك ثلاثة أنواع من الجذور في المعادلات الخطية، حتى أبسطها: جذر واحد، وخط الأعداد بأكمله هو جذر، ولا توجد جذور على الإطلاق.
- المعادلة غير العقلانية: تعلم حلها باستخدام طريقة عزل الجذر
- كيفية حل المعادلة التربيعية
- اختبار للدرس "التعابير المركبة بالكسور" (سهل)
- امتحان الدولة الموحد التجريبي 2012 اعتبارًا من 7 ديسمبر. الخيار 1 (بدون اللوغاريتمات)
- درس فيديو حول المسائل C2: المسافة من نقطة إلى مستوى
- مدرس الرياضيات: أين تجد الطلاب؟
27 (س - 3) = 0
27 لا يساوي 0، مما يعني س - 3 = 0
المثال الثاني له حلين للمعادلة، منذ ذلك الحين
وهذه معادلة من الدرجة الثانية:
إذا كانت معاملات المعادلة كسورًا عادية، فعليك أولاً التخلص من القواسم. للقيام بذلك:
أوجد القاسم المشترك؛
تحديد عوامل إضافية لكل حد من المعادلة؛
ضرب بسط الكسور والأعداد الصحيحة في عوامل إضافية وكتابة جميع حدود المعادلة بدون مقامات (يمكن التخلص من القاسم المشترك)؛
انقل الحدود ذات المجهولات إلى أحد طرفي المعادلة، والحدود العددية إلى الجانب الآخر من علامة التساوي، لتحصل على مساواة مكافئة؛
جلب أعضاء مماثلين؛
الخصائص الأساسية للمعادلات
في أي جزء من المعادلة، يمكنك إضافة مصطلحات مشابهة أو فتح قوس.
يمكن نقل أي حد في المعادلة من جزء من المعادلة إلى آخر عن طريق تغيير إشارته إلى العكس.
يمكن ضرب طرفي المعادلة (قسمتهما) على نفس الرقم، باستثناء 0.
في المثال أعلاه، تم استخدام جميع خصائصه لحل المعادلة.
قاعدة لحل المعادلات البسيطة
انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا للغاية". »
وبالنسبة لأولئك الذين "كثيرا جدا. ")
المعادلات الخطية.
المعادلات الخطية ليست الموضوع الأكثر صعوبة في الرياضيات المدرسية. ولكن هناك بعض الحيل التي يمكن أن تحير حتى الطالب المتدرب. دعونا معرفة ذلك؟)
عادة يتم تعريف المعادلة الخطية كمعادلة من النموذج:
لا شيء معقد، أليس كذلك؟ خاصة إذا كنت لا تلاحظ الكلمات: "حيث a و b عبارة عن أي أرقام". وإذا لاحظت ذلك وفكرت فيه بلا مبالاة؟) بعد كل شيء، إذا أ = 0، ب=0(أي أرقام ممكنة؟)، ثم نحصل على تعبير مضحك:
ولكن هذا ليس كل شيء! إذا، قل، أ = 0،أ ب = 5،يبدو أن هذا شيء خارج عن المألوف تمامًا:
وهو أمر مرهق ويقوض الثقة في الرياضيات، نعم.) خاصة أثناء الامتحانات. ولكن من بين هذه التعبيرات الغريبة، عليك أيضًا العثور على X! وهو ما لا وجود له على الإطلاق. والمثير للدهشة أنه من السهل جدًا العثور على علامة X هذه. سوف نتعلم القيام بذلك. في هذا الدرس.
كيف تتعرف على المعادلة الخطية من مظهرها؟ يعتمد ذلك على المظهر.) الحيلة هي أن المعادلات الخطية ليست مجرد معادلات من النموذج الفأس + ب = 0 ولكن أيضًا أي معادلات يمكن اختزالها إلى هذا الشكل عن طريق التحويلات والتبسيطات. ومن يعلم هل ينزل أم لا؟)
يمكن التعرف على المعادلة الخطية بوضوح في بعض الحالات. لنفترض أنه إذا كانت لدينا معادلة لا يوجد فيها سوى مجاهيل من الدرجة الأولى وأرقام. وفي المعادلة لا يوجد الكسور مقسومة على مجهول , هذا مهم! والقسمة على رقم،أو كسرًا رقميًا - هذا مرحب به! على سبيل المثال:
هذه معادلة خطية. توجد كسور هنا، لكن لا توجد علامة x في المربع أو المكعب وما إلى ذلك، ولا توجد علامة x في المقامات، أي. لا القسمة على x. وهنا المعادلة
لا يمكن أن يسمى الخطية. هنا جميع علامات X في الدرجة الأولى، ولكن هناك القسمة على التعبير مع x. بعد التبسيط والتحويل، يمكنك الحصول على معادلة خطية أو معادلة تربيعية أو أي شيء تريده.
اتضح أنه من المستحيل التعرف على المعادلة الخطية في بعض الأمثلة المعقدة حتى تتمكن من حلها تقريبًا. هذا مزعج. لكن في المهام، كقاعدة عامة، لا يسألون عن شكل المعادلة، أليس كذلك؟ المهام تطلب المعادلات يقرر.وهذا يجعلني سعيدا.)
حل المعادلات الخطية. أمثلة.
يتكون الحل الكامل للمعادلات الخطية من تحويلات متطابقة للمعادلات. وبالمناسبة، هذه التحولات (اثنان منها!) هي أساس الحلول جميع معادلات الرياضيات.بمعنى آخر الحل أيتبدأ المعادلة بهذه التحولات ذاتها. وفي حالة المعادلات الخطية فهو (الحل) يعتمد على هذه التحويلات وينتهي بالإجابة الكاملة. من المنطقي اتباع الرابط، أليس كذلك؟) علاوة على ذلك، هناك أيضًا أمثلة لحل المعادلات الخطية هناك.
أولا، دعونا نلقي نظرة على أبسط مثال. دون أي مطبات. لنفترض أننا بحاجة إلى حل هذه المعادلة.
هذه معادلة خطية. علامات X كلها في القوة الأولى، ولا يوجد قسمة على X. لكن في الواقع، لا يهمنا نوع المعادلة. نحن بحاجة إلى حلها. المخطط هنا بسيط. اجمع كل شيء به علامات X على الجانب الأيسر من المعادلة، وكل شيء بدون علامات X على الجانب الأيمن.
للقيام بذلك تحتاج إلى نقل — 4x إلى الجانب الأيسر، مع تغيير الإشارة، بالطبع، و — 3 - إلى اليمين. بالمناسبة، هذا هو أول تحويل متطابق للمعادلات.متفاجئ؟ وهذا يعني أنك لم تتبع الرابط، ولكن عبثا.) نحصل على:
وهنا مماثلة، ونحن نعتبر:
ماذا نحتاج لتحقيق السعادة الكاملة؟ نعم، بحيث يكون هناك علامة X نقية على اليسار! خمسة في الطريق. التخلص من الخمس بالمساعدة التحويل المتطابق الثاني للمعادلات.وهي أننا نقسم طرفي المعادلة على 5. ونحصل على إجابة جاهزة:
مثال أولي بالطبع. هذا من أجل الإحماء.) ليس من الواضح لماذا تذكرت التحولات المتطابقة هنا؟ نعم. دعونا نمسك الثور من قرونه.) دعونا نقرر شيئًا أكثر صلابة.
على سبيل المثال، إليك المعادلة:
من أين نبدأ؟ مع X - إلى اليسار، بدون X - إلى اليمين؟ هذا ممكن. خطوات صغيرة على طريق طويل. أو يمكنك القيام بذلك على الفور، بطريقة عالمية وقوية. إذا كان لديك، بالطبع، تحويلات متطابقة للمعادلات في ترسانتك.
أطرح عليك سؤالا رئيسيا: ما هو أكثر ما لا يعجبك في هذه المعادلة؟
95 من 100 شخص سيجيبون: الكسور ! الجواب صحيح. لذلك دعونا نتخلص منهم. ولذلك، نبدأ على الفور مع تحويل الهوية الثانية. ما الذي تحتاجه لضرب الكسر الموجود على اليسار بحيث يتم تقليل المقام بالكامل؟ هذا صحيح، عند الساعة 3. وعلى اليمين؟ بواسطة 4. لكن الرياضيات تسمح لنا بضرب كلا الطرفين في نفس الرقم. كيف يمكننا الخروج؟ دعونا نضرب كلا الطرفين في 12! أولئك. إلى قاسم مشترك. ثم سيتم تخفيض كل من الثلاثة والأربعة. لا تنس أنك تحتاج إلى مضاعفة كل جزء تماما. إليك ما تبدو عليه الخطوة الأولى:
انتبه! البسط (س+2)لقد وضعته بين قوسين! وذلك لأنه عند ضرب الكسور، يتم ضرب البسط بأكمله! الآن يمكنك تقليل الكسور:
قم بتوسيع الأقواس المتبقية:
ليس مثالاً، بل متعة خالصة!) الآن دعونا نتذكر تعويذة من المدرسة الابتدائية: بعلامة X - إلى اليسار، بدون علامة X - إلى اليمين!وتطبيق هذا التحول:
ونقسم كلا الجزأين على 25 أي: قم بتطبيق التحويل الثاني مرة أخرى:
هذا كل شيء. إجابة: X=0,16
يرجى ملاحظة: لجلب المعادلة المربكة الأصلية إلى شكل جميل، استخدمنا اثنين (اثنين فقط!) تحولات الهوية– الترجمة من اليسار إلى اليمين مع تغيير الإشارة وقسمة الضرب للمعادلة على نفس الرقم. هذه طريقة عالمية! سوف نعمل بهذه الطريقة مع أي معادلات! أي شخص على الاطلاق. ولهذا السبب أكرر بشكل مضجر هذه التحولات المتطابقة طوال الوقت.)
كما ترون، مبدأ حل المعادلات الخطية بسيط. نأخذ المعادلة ونبسطها باستخدام التحويلات المتماثلة حتى نحصل على الإجابة. المشاكل الرئيسية هنا تكمن في الحسابات، وليس في مبدأ الحل.
لكن. هناك مثل هذه المفاجآت في عملية حل أبسط المعادلات الخطية التي يمكن أن تقودك إلى ذهول قوي.) ولحسن الحظ، لا يمكن أن يكون هناك سوى مفاجأتين من هذا القبيل. دعونا نسميها حالات خاصة.
حالات خاصة في حل المعادلات الخطية.
المفاجأة الأولى.
لنفترض أنك صادفت معادلة أساسية جدًا، مثل:
نشعر بالملل قليلاً، نتحرك بعلامة X إلى اليسار، بدون علامة X - إلى اليمين. مع تغير الإشارة كل شيء على ما يرام. نحصل على:
نعتقد، و أُووبس. نحصل على:
وهذه المساواة في حد ذاتها ليست مرفوضة. الصفر هو في الواقع صفر. لكن X مفقود! وعلينا أن نكتب في الجواب ما هو x يساوي؟وإلا فإن الحل لا يهم، أليس كذلك.) طريق مسدود؟
هادئ! في مثل هذه الحالات المشكوك فيها، ستوفر لك القواعد الأكثر عمومية. كيفية حل المعادلات؟ ماذا يعني حل المعادلة؟ هذا يعنى، أوجد جميع قيم x التي عند استبدالها في المعادلة الأصلية ستعطينا المساواة الصحيحة.
لكن لدينا مساواة حقيقية بالفعلعملت! 0=0، كم أكثر دقة؟! يبقى أن نعرف لماذا يحدث هذا. ما هي قيم X التي يمكن استبدالها إبداعيالمعادلة إذا كانت هذه x هل سيتم تخفيضها إلى الصفر؟تعال؟)
نعم. يمكن استبدال X أي!أي منها تريد؟ على الأقل 5، على الأقل 0.05، على الأقل -220. وسوف لا تزال تتقلص. إذا كنت لا تصدقني، يمكنك التحقق من ذلك.) استبدل أي قيم لـ X بها إبداعيالمعادلة وحساب. في كل وقت سوف تحصل على الحقيقة النقية: 0=0، 2=2، -7.1=-7.1، وهكذا.
وهنا إجابتك: س - أي رقم.
يمكن كتابة الإجابة برموز رياضية مختلفة، ولا يتغير الجوهر. هذه إجابة صحيحة وكاملة تمامًا.
المفاجأة الثانية.
لنأخذ نفس المعادلة الخطية الأولية ونغير فيها رقمًا واحدًا فقط. وهذا ما سنقرره:
وبعد نفس التحولات المتطابقة، نحصل على شيء مثير للاهتمام:
مثله. لقد حللنا معادلة خطية وحصلنا على مساواة غريبة. من الناحية الرياضية، حصلنا على المساواة الزائفةلكن بعبارات بسيطة، هذا ليس صحيحا. الهذيان. ولكن مع ذلك، فإن هذا الهراء هو سبب وجيه جدًا لحل المعادلة بشكل صحيح.)
مرة أخرى، نفكر بناءً على القواعد العامة. ما هو x، عند استبداله في المعادلة الأصلية، سوف يعطينا حقيقيالمساواة؟ نعم، لا شيء! لا يوجد مثل هذه العلامات X. بغض النظر عما قدمته، سيتم تقليل كل شيء، وسيبقى فقط الهراء.)
وهنا إجابتك: لا توجد حلول.
وهذه أيضًا إجابة كاملة تمامًا. في الرياضيات، غالبا ما توجد مثل هذه الإجابات.
مثله. الآن، آمل ألا يربكك اختفاء X أثناء حل أي معادلة (وليس فقط خطية) على الإطلاق. هذه مسألة مألوفة بالفعل.)
الآن بعد أن تعاملنا مع جميع المخاطر في المعادلات الخطية، فمن المنطقي حلها.
هل سيكونون في امتحان الدولة الموحدة؟ - أسمع سؤال الأشخاص العمليين. أجيب. في شكله النقي - لا. أساسي جدًا. لكن في GIA، أو عند حل المشكلات في امتحان الدولة الموحدة، ستواجهها بالتأكيد! لذلك، نغير الماوس إلى قلم ونقرر.
يتم تقديم الإجابات في حالة من الفوضى: 2.5؛ لا حلول؛ 51؛ 17.
هل نجحت؟! تهانينا! لديك فرصة جيدة في الامتحانات.)
الإجابات غير متطابقة؟ أمم. هذا لا يجعلني سعيدا. هذا ليس موضوعًا يمكنك الاستغناء عنه. أوصي بزيارة القسم 555. فهو موصوف بتفصيل كبير، ماذايجب القيام به و كيفافعل ذلك حتى لا تتشوش في القرار. باستخدام هذه المعادلات كمثال.
أ كيفية حل المعادلاتالمزيد من الماكرة - هذا في الموضوع التالي.
إذا كنت تحب هذا الموقع.
بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)
هنا يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)
وهنا يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.
حل المعادلات الخطية الصف 7
ل حل المعادلات الخطيةاستخدم قاعدتين أساسيتين (الخصائص).
العقار رقم 1
أو
قاعدة النقل
عند الانتقال من جزء من المعادلة إلى جزء آخر، يغير أحد أعضاء المعادلة إشارته إلى العكس.
دعونا نلقي نظرة على قاعدة النقل باستخدام مثال. لنفترض أننا بحاجة إلى حل معادلة خطية.
تذكر أن أي معادلة لها طرف أيمن وطرف أيسر.
لننقل الرقم "3" من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين.
بما أن الرقم "3" كان به علامة "+" على الجانب الأيسر من المعادلة، فهذا يعني أنه سيتم نقل "3" إلى الجانب الأيمن من المعادلة بعلامة "-".
تسمى القيمة العددية الناتجة "x = 2" جذر المعادلة.
ولا تنس كتابة الإجابة بعد حل أي معادلة.
دعونا نفكر في معادلة أخرى.
وفقا لقاعدة النقل، نقوم بتحريك "4x" من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين، مع تغيير الإشارة إلى العكس.
على الرغم من عدم وجود علامة قبل "4x"، فإننا نفهم أن هناك علامة "+" قبل "4x".
الآن دعونا نعطي متشابهات ونحل المعادلة حتى النهاية.
العقار رقم 2
أو
حكم التقسيم
في أي معادلة، يمكنك تقسيم الطرفين الأيسر والأيمن على نفس الرقم.
ولكن لا يمكنك تقسيم إلى المجهول!
دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية استخدام قاعدة القسمة عند حل المعادلات الخطية.
الرقم "4" الذي يرمز إلى "x" يسمى المعامل العددي للمجهول.
بين المعامل العددي والمجهول هناك دائما عملية ضرب.
لحل المعادلة، عليك التأكد من أن "x" له معامل "1".
دعونا نسأل أنفسنا السؤال التالي: "ما الذي يجب أن نقسمه على "4" لكي نفعل ذلك؟
الحصول على "1"؟ الجواب واضح، تحتاج إلى القسمة على "4".
نستخدم قاعدة القسمة ونقسم الطرفين الأيسر والأيمن للمعادلة على "4". لا تنس أنك تحتاج إلى تقسيم الأجزاء اليمنى واليسرى.
دعونا نستخدم اختزال الكسور ونحل المعادلة الخطية حتى النهاية.
كيفية حل المعادلة إذا كانت "x" سالبة
غالبًا ما يكون هناك موقف في المعادلات حيث يكون لـ "x" معامل سلبي. كما في المعادلة أدناه.
لحل هذه المعادلة، نسأل أنفسنا مرة أخرى السؤال: "ما الذي نحتاجه لتقسيم "-2" للحصول على "1"؟" تحتاج إلى القسمة على "-2".
حل المعادلات الخطية البسيطة
في هذا الفيديو سوف نقوم بتحليل مجموعة كاملة من المعادلات الخطية التي تم حلها باستخدام نفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.
أولاً، دعونا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها تسمى الأبسط؟
المعادلة الخطية هي تلك التي يوجد فيها متغير واحد فقط، وحتى الدرجة الأولى فقط.
أبسط معادلة تعني البناء:
يتم تقليل جميع المعادلات الخطية الأخرى إلى أبسطها باستخدام الخوارزمية:
وبطبيعة الحال، هذه الخوارزمية لا تساعد دائما. والحقيقة هي أنه في بعض الأحيان بعد كل هذه المكائد، فإن معامل المتغير $x$ يساوي الصفر. في هذه الحالة، هناك خياران ممكنان:
الآن دعونا نرى كيف يعمل كل هذا باستخدام أمثلة من الحياة الواقعية.
أمثلة على حل المعادلات
اليوم نحن نتعامل مع المعادلات الخطية، وأبسطها فقط. بشكل عام، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط، ولا تصل إلا إلى الدرجة الأولى.
يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:
بعد ذلك، كقاعدة عامة، تحتاج إلى إحضار مماثلة على كل جانب من المساواة الناتجة، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على معامل "x"، وسنحصل على الإجابة النهائية.
من الناحية النظرية، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا، ولكن من الناحية العملية، حتى طلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة يمكن أن يرتكبوا أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادة، يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس أو عند حساب "الإيجابيات" و"السلبيات".
بالإضافة إلى ذلك، قد يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق، أو أن الحل هو خط الأعداد بأكمله، أي. أي رقم. سننظر في هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ، كما فهمت بالفعل، بأبسط المهام.
مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة
أولاً، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:
وبطبيعة الحال، هذا المخطط لا يعمل دائما؛ هناك بعض الخفايا والحيل فيه، والآن سوف نتعرف عليها.
حل أمثلة حقيقية للمعادلات الخطية البسيطة
الخطوة الأولى تتطلب منا فتح الأقواس. لكنهم ليسوا في هذا المثال، لذلك نتخطى هذه الخطوة. في الخطوة الثانية نحتاج إلى عزل المتغيرات. يرجى ملاحظة: نحن نتحدث فقط عن المصطلحات الفردية. دعنا نكتبها:
نقدم مصطلحات مماثلة على اليسار واليمين، ولكن تم القيام بذلك بالفعل هنا. لذلك ننتقل إلى الخطوة الرابعة: القسمة على المعامل:
لذلك حصلنا على الجواب.
يمكننا أن نرى الأقواس في هذه المسألة، لذلك دعونا نوسعها:
نرى على اليسار وعلى اليمين نفس التصميم تقريبًا، ولكن دعونا نتصرف وفقًا للخوارزمية، أي. فصل المتغيرات:
في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك، يمكننا أن نكتب أن $x$ هو أي رقم.
المعادلة الخطية الثالثة هي الأكثر إثارة للاهتمام:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
هناك عدة أقواس هنا، لكنها غير مضروبة بأي شيء، فهي ببساطة مسبوقة بعلامات مختلفة. دعونا نقسمها:
نقوم بالخطوة الثانية المعروفة لنا بالفعل:
ننفذ الخطوة الأخيرة - نقسم كل شيء على معامل "x":
أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية
إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا، أود أن أقول ما يلي:
الصفر هو نفس الرقم الموجود في الأرقام الأخرى، ويجب ألا تميز ضده بأي شكل من الأشكال أو تفترض أنك إذا حصلت على الصفر، فهذا يعني أنك ارتكبت خطأ ما.
ميزة أخرى تتعلق بفتح الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون هناك "ناقص" أمامهم، نقوم بإزالته، ولكن بين قوسين نقوم بتغيير العلامات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه باستخدام الخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.
إن فهم هذه الحقيقة البسيطة سيساعدك على تجنب ارتكاب أخطاء غبية ومؤذية في المدرسة الثانوية، عندما يكون القيام بهذه الأشياء أمرا مفروغا منه.
حل المعادلات الخطية المعقدة
دعنا ننتقل إلى معادلات أكثر تعقيدا. الآن ستصبح الإنشاءات أكثر تعقيدًا وستظهر دالة تربيعية عند إجراء تحويلات مختلفة. ومع ذلك، لا ينبغي لنا أن نخاف من ذلك، لأنه إذا كنا، وفقا لخطة المؤلف، نحل معادلة خطية، فعند عملية التحويل، سيتم إلغاء جميع أحاديات الحد التي تحتوي على دالة تربيعية بالضرورة.
من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. دعونا نفعل ذلك بعناية فائقة:
والآن دعونا نلقي نظرة على الخصوصية:
ومن الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول، لذلك سنكتب هذا في الإجابة:
نحن نقوم بنفس الإجراءات. الخطوة الأولى:
دعنا ننقل كل شيء بمتغير إلى اليسار، وبدونه - إلى اليمين:
من الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل، لذا سنكتبها بهذه الطريقة:
أو لا توجد جذور.
الفروق الدقيقة في الحل
تم حل كلتا المعادلتين بالكامل. باستخدام هذين التعبيرين كمثال، كنا مقتنعين مرة أخرى أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية، قد لا يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك جذور واحدة، أو لا شيء، أو عدد لا نهائي من الجذور. في حالتنا، تناولنا معادلتين، ليس لكل منهما جذور.
لكني أود أن ألفت انتباهكم إلى حقيقة أخرى: كيفية العمل مع الأقواس وكيفية فتحها إذا كانت هناك علامة ناقص أمامها. خذ بعين الاعتبار هذا التعبير:
قبل الفتح، تحتاج إلى مضاعفة كل شيء بـ "X". يرجى ملاحظة: يتضاعف كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل فترتان - على التوالي، فترتان ومضروبة.
وفقط بعد الانتهاء من هذه التحولات التي تبدو بدائية ولكنها مهمة وخطيرة للغاية، يمكنك فتح القوس من وجهة نظر حقيقة وجود علامة ناقص بعدها. نعم، نعم: الآن فقط، عند اكتمال التحولات، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام الأقواس، مما يعني أن كل شيء أدناه يغير العلامات ببساطة. وفي الوقت نفسه، تختفي الأقواس نفسها، والأهم من ذلك، أن "الطرح" الأمامي يختفي أيضًا.
ونفعل نفس الشيء مع المعادلة الثانية:
ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه إلى هذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير ذات أهمية. لأن حل المعادلات هو دائمًا سلسلة من التحولات الأولية، حيث يؤدي عدم القدرة على تنفيذ إجراءات بسيطة بوضوح وكفاءة إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون مرة أخرى حل مثل هذه المعادلات البسيطة.
وبطبيعة الحال، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات إلى درجة التلقائية. لن تضطر بعد الآن إلى إجراء العديد من التحويلات في كل مرة؛ بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. ولكن بينما تتعلم فقط، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.
حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا
ما سنقوم بحله الآن، بالكاد يمكن أن يسمى أبسط مهمة، لكن المعنى يبقى كما هو.
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21=3\]
دعونا نضرب جميع العناصر في الجزء الأول:
دعونا نفعل بعض الخصوصية:
فلنكمل الخطوة الأخيرة:
هنا هو جوابنا النهائي. وعلى الرغم من أنه أثناء عملية الحل كانت لدينا معاملات ذات دالة تربيعية، إلا أنها ألغت بعضها البعض، مما يجعل المعادلة خطية وليست تربيعية.
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
لننفذ الخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر من القوس الأول بكل عنصر من القوس الثاني. يجب أن يكون هناك إجمالي أربعة مصطلحات جديدة بعد التحويلات:
الآن دعونا نجري عملية الضرب بعناية في كل حد:
لننقل المصطلحات التي تحمل علامة "X" إلى اليسار، وتلك التي لا تحتوي على علامة "X" إلى اليمين:
وهنا مصطلحات مماثلة:
ومرة أخرى تلقينا الجواب النهائي.
وأهم ملاحظة حول هاتين المعادلتين هي ما يلي: بمجرد أن نبدأ بضرب الأقواس التي تحتوي على أكثر من حد يتم ذلك وفق القاعدة التالية: نأخذ الحد الأول من الأول ونضرب بكل عنصر من الثاني؛ ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضربه كذلك في كل عنصر من العنصر الثاني. ونتيجة لذلك، سيكون لدينا أربعة حدود.
حول المجموع الجبري
بهذا المثال الأخير، أود أن أذكر الطلاب ما هو المجموع الجبري. في الرياضيات الكلاسيكية، نعني بـ 1-7 دولارات بناءًا بسيطًا: طرح سبعة من واحد. ونقصد في الجبر ما يلي: إلى العدد "واحد" نضيف رقما آخر وهو "ناقص سبعة". هذه هي الطريقة التي يختلف بها المجموع الجبري عن المجموع الحسابي العادي.
بمجرد إجراء جميع التحويلات، كل إضافة وضرب، تبدأ في رؤية إنشاءات مماثلة لتلك الموصوفة أعلاه، فلن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.
أخيرًا، دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة أخرى ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو، ولحلها، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا قليلاً.
حل المعادلات بالكسور
لحل مثل هذه المهام، سيتعين علينا إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً، دعني أذكرك بالخوارزمية التي لدينا:
للأسف، هذه الخوارزمية الرائعة، على الرغم من فعاليتها، ليست مناسبة تمامًا عندما تكون أمامنا كسور. وفيما سنراه أدناه، لدينا كسر على كل من اليسار واليمين في كلتا المعادلتين.
كيفية العمل في هذه الحالة؟ نعم، الأمر بسيط جدًا! للقيام بذلك، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية، والتي يمكن القيام بها قبل الإجراء الأول وبعده، أي التخلص من الكسور. لذلك ستكون الخوارزمية كما يلي:
ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا يمكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع، في حالتنا، جميع الكسور عددية في مقامها، أي. في كل مكان القاسم هو مجرد رقم. ولذلك، إذا ضربنا طرفي المعادلة في هذا العدد، فسنتخلص من الكسور.
دعونا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:
يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة، أي. فقط لأن لديك قوسين لا يعني أن عليك ضرب كل منهما بـ "أربعة". دعونا نكتب:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]
نعزل المتغير:
نقوم بإجراء تخفيض المصطلحات المماثلة:
\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]
لقد حصلنا على الحل النهائي، فلننتقل إلى المعادلة الثانية.
هنا نقوم بتنفيذ جميع الإجراءات نفسها:
وهذا، في الواقع، هو كل ما أردت أن أخبرك به اليوم.
النقاط الرئيسية
النتائج الرئيسية هي:
آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لمزيد من الفهم لجميع الرياضيات. إذا كان هناك شيء غير واضح، فانتقل إلى الموقع وحل الأمثلة المعروضة هناك. لا تنزعج، العديد من الأشياء الأكثر إثارة للاهتمام في انتظاركم!
لمشاهدة الفيديو، أدخل بريدك الإلكتروني وانقر على زر "بدء التدريب".
- مدرس خصوصي خبرة 12 سنة
- تسجيل فيديو لكل درس
- تكلفة الفصول الفردية - 3000 روبل لمدة 60 دقيقة
- م. مورو، M. A. بانتوفا وآخرون: الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف الثالث: في جزأين الجزء الأول. - م: "التنوير"، 2012.
- م. مورو، M. A. بانتوفا وآخرون: الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف الثالث: في جزأين الجزء الثاني. - م: "التنوير"، 2012.
- م. مورو. دروس الرياضيات: توصيات منهجية للمعلمين. الصف الثالث. - م: التربية، 2012.
- وثيقة تنظيمية. مراقبة وتقييم نتائج التعلم. - م: «التنوير»، 2011.
- "مدرسة روسيا": برامج للمدارس الابتدائية. - م: «التنوير»، 2011.
- إس.آي. فولكوفا. الرياضيات: اختبار العمل. الصف الثالث. - م: التربية، 2012.
- ف.ن. رودنيتسكايا. الاختبارات. - م: "الامتحان"، 2012.
- Festival.1september.ru ().
- Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
- Openclass.ru ().
- لو معادلةإذا كان حاصل الضرب يساوي 0، لحله نستخدم خاصية الضرب: “يكون الناتج يساوي صفرًا إذا كان أحد العاملين أو كلا العاملين يساوي صفرًا”.
- جذر المعادلة- هذه هي قيمة الحرف الذي يتم عنده الحصول على المساواة العددية الصحيحة من المعادلة.
- حل المعادلة- يعني العثور على جميع جذورها أو التأكد من عدم وجود جذور.
- جذر المعادلة- هذه هي قيمة الحرف الذي يتم عنده الحصول على المساواة العددية الصحيحة من المعادلة.
- حل المعادلة- يعني العثور على جميع جذورها أو التأكد من عدم وجود جذور.
- لو معادلةإذا كان حاصل الضرب يساوي 0، لحله نستخدم خاصية الضرب: “يكون الناتج يساوي صفرًا إذا كان أحد العاملين أو كلا العاملين يساوي صفرًا”.
- أنا أميز بين الكل والأجزاء.
- ما هو غير معروف؟
- أنا أطبق القاعدة.
- أجد غير معروف x.
- ما الذي لا يناسبك في هذه الخوارزمية؟ (نقطة واحدة)
- عندما كانت لديك معادلات جمع، قمت بربط مكوناتها بالأجزاء والكليات باستخدام القطع المستقيمة. ما الذي ربطت به مكونات الضرب؟ (مع المنطقة)
- ما الذي ستستخدمه بدلاً من المقطع؟ (نموذج المستطيل)
- صفات
- وصف
- اطرح سؤالاً
- اترك تقييم للخدمة
- عام
- جو عطلة العلامة التجارية
- المادة 1060173
- الشهادة لا تخضع للشهادة
- البلد روسيا
- التعبئة والتغليف
- العلبة تحتوي على 2000 قطعة
- التعبئة والتغليف: 20 جهاز كمبيوتر شخصى.
- التعبئة والتغليف الفردية لا التعبئة والتغليف
- حجم العبوة 0.1 سم × 6 سم × 13 سم
- الأبعاد والوزن
- المقاس 0.1 سم × 7 سم × 13 سم
- الوزن 3 جرام
- الخصائص
- الكثافة جم/م2 190
- تشطيب بدون تشطيب
- لمن هو للجنسين
- موضوع العطلة لا يوجد سبب
- المرسل إليه لا يوجد مرسل إليه
- المواد كرتون
- مادة الرياضيات المدرسة
- لا تتعلق بموضوع تشغيل المتجر أو إجراء عمليات شراء فيه؛
- تحتوي على ألفاظ نابية وعبارات مسيئة؛
- روابط لمواقع إلكترونية أخرى، بالإضافة إلى إشارات إلى بائعين ومستوردين محددين للسلع؛
- لا تتعلق بالتجربة الفعلية لاستخدام هذا المنتج؛
- لا تحتوي على معلومات مفيدة للمستخدمين الآخرين؛
- تحتوي على روابط لمواقع أخرى.
- روابط لمواقع أخرى في نص الاختيار والمراجعة، بالإضافة إلى إشارات إلى بائعين ومستوردين محددين للسلع؛
- البيانات التي تشوه شرف وكرامة وسمعة الأعمال للأطراف الثالثة (بما في ذلك المتاجر والمصنعين ومستوردي البضائع)؛
- المواد (بما في ذلك النصوص والفيديو والصور الرسومية والتعليمات البرمجية) التي تنتهك حقوق الأطراف الثالثة، بما في ذلك حقوق نتائج النشاط الفكري ووسائل التخصيص.
- برنامج معسكر صحي صيفي مع إقامة نهارية للأطفال إعداد: Pilipei O.N. (الفئة الأولى) ميلينتييفا آي.إن. (فئة الربع الأول) Demidova O.B. (فئة Q1) عمر الأطفال: 5 -15 سنة الفصل الدراسي […]
- كيفية عكس بيع الأصول الثابتة في المحاسبة الضريبية عند بيع الأصول الثابتة، املأ المستندات المحاسبية الأولية المعتمدة بقرار لجنة الدولة للإحصاء في روسيا بتاريخ 21 يناير 2003 رقم 7 (المواد 2 و 5 و […]
- الضريبة على الفائدة على الودائع: هل سيتعين عليك الدفع؟ لا تزال الضرائب على الفوائد على ودائع الأفراد في روسيا سارية حتى اليوم. في أي الحالات يجب على العميل دفع الضرائب على دخل الفوائد على الودائع؟ مع […]
- قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت؛
- نقل الحدود التي تحتوي على متغير إلى أحد جانبي علامة التساوي، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر؛
- أعط مصطلحات مشابهة لليسار واليمين لعلامة المساواة؛
- اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $x$.
- المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال، عندما يظهر شيء مثل $0\cdot x=8$، أي. على اليسار صفر، وعلى اليمين رقم غير الصفر. في الفيديو أدناه سنلقي نظرة على عدة أسباب وراء حدوث هذا الموقف.
- الحل هو كل الارقام الحالة الوحيدة التي يكون فيها ذلك ممكنًا هي عندما يتم اختزال المعادلة إلى البناء $0\cdot x=0$. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن $x$ الذي نستبدله، فسيظل "الصفر يساوي صفرًا"، أي. المساواة العددية الصحيحة
- أولًا، تحتاج إلى فك الأقواس، إن وجدت (كما في مثالنا الأخير)؛
- ثم الجمع بين مماثلة
- وأخيرا، عزل المتغير، أي. انقل كل ما يتعلق بالمتغير – أي المصطلحات التي يحتوي عليها – إلى جهة، وانقل كل ما بقي دونه إلى الجهة الأخرى.
- قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت.
- نحن نعزل المتغيرات، أي. نقوم بنقل كل ما يحتوي على "X" إلى جانب واحد، وكل شيء بدون "X" إلى الجانب الآخر.
- نقدم مصطلحات مماثلة.
- نقسم كل شيء على معامل "x".
- كما قلت أعلاه، ليس كل معادلة خطية لها حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور؛
- وحتى لو كانت هناك جذور، فقد يكون بينها صفر، فلا حرج في ذلك.
- افتح الأقواس.
- متغيرات منفصلة.
- إحضار مماثلة.
- القسمة على النسبة.
- تخلص من الكسور.
- افتح الأقواس.
- متغيرات منفصلة.
- إحضار مماثلة.
- القسمة على النسبة.
- معرفة خوارزمية حل المعادلات الخطية.
- القدرة على فتح الأقواس.
- لا تقلق إذا كانت لديك دوال تربيعية في مكان ما، فمن المرجح أن يتم تقليلها أثناء عملية التحويلات الإضافية.
- هناك ثلاثة أنواع من الجذور في المعادلات الخطية، حتى أبسطها: جذر واحد، وخط الأعداد بأكمله هو جذر، ولا توجد جذور على الإطلاق.
يناقش هذا الدرس بالتفصيل إجراءات إجراء العمليات الحسابية في التعبيرات التي لا تحتوي على أقواس ومعها. يتم منح الطلاب الفرصة، أثناء إكمال الواجبات، لتحديد ما إذا كان معنى التعبيرات يعتمد على الترتيب الذي يتم به تنفيذ العمليات الحسابية، لمعرفة ما إذا كان ترتيب العمليات الحسابية مختلفًا في التعبيرات بدون أقواس ومع أقواس، للتدرب على التطبيق القاعدة المستفادة، للعثور على الأخطاء وتصحيحها عند تحديد ترتيب الإجراءات.
في الحياة، نقوم باستمرار ببعض الإجراءات: نسير وندرس ونقرأ ونكتب ونحسب ونبتسم ونتشاجر ونصنع السلام. نقوم بتنفيذ هذه الإجراءات بترتيبات مختلفة. في بعض الأحيان يمكن تبديلها، وأحيانا لا. على سبيل المثال، عند الاستعداد للذهاب إلى المدرسة في الصباح، يمكنك أولاً القيام بالتمارين الرياضية، ثم ترتيب سريرك، أو العكس. لكن لا يمكنك الذهاب إلى المدرسة أولاً ثم ارتداء الملابس.
في الرياضيات، هل من الضروري إجراء العمليات الحسابية بترتيب معين؟
دعونا نتحقق
دعونا نقارن التعبيرات:
8-3+4 و8-3+4
نرى أن كلا التعبيرين متماثلان تمامًا.
لنقم بتنفيذ الإجراءات في تعبير واحد من اليسار إلى اليمين، وفي الآخر من اليمين إلى اليسار. يمكنك استخدام الأرقام للإشارة إلى ترتيب الإجراءات (الشكل 1).
أرز. 1. الإجراء
في التعبير الأول، سنقوم أولاً بعملية الطرح ثم نضيف الرقم 4 إلى النتيجة.
في التعبير الثاني، نقوم أولاً بإيجاد قيمة المجموع، ثم نطرح النتيجة الناتجة 7 من 8.
ونرى أن معاني العبارات مختلفة.
دعونا نستنتج: لا يمكن تغيير الترتيب الذي يتم به تنفيذ العمليات الحسابية.
دعونا نتعلم قاعدة إجراء العمليات الحسابية في التعبيرات التي لا تحتوي على أقواس.
إذا كان التعبير الذي لا يحتوي على قوسين يتضمن فقط الجمع والطرح أو الضرب والقسمة فقط، فسيتم تنفيذ الإجراءات بالترتيب الذي كتبت به.
دعونا نتدرب.
النظر في التعبير
يحتوي هذا التعبير على عمليات الجمع والطرح فقط. وتسمى هذه الإجراءات إجراءات المرحلة الأولى.
نقوم بتنفيذ الإجراءات من اليسار إلى اليمين بالترتيب (الشكل 2).
أرز. 2. الإجراء
النظر في التعبير الثاني
يحتوي هذا التعبير على عمليات الضرب والقسمة فقط - هذه هي إجراءات المرحلة الثانية.
نقوم بتنفيذ الإجراءات من اليسار إلى اليمين بالترتيب (الشكل 3).
أرز. 3. الإجراء
بأي ترتيب يتم تنفيذ العمليات الحسابية إذا كان التعبير لا يحتوي فقط على الجمع والطرح، بل يشمل أيضًا الضرب والقسمة؟
إذا كان التعبير الذي لا يحتوي على أقواس يتضمن ليس فقط عمليات الجمع والطرح، ولكن أيضًا الضرب والقسمة، أو كليهما، فقم أولاً بإجراء الضرب والقسمة بالترتيب (من اليسار إلى اليمين)، ثم الجمع والطرح.
دعونا نلقي نظرة على التعبير.
دعونا نفكر مثل هذا. يحتوي هذا التعبير على عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. نحن نتصرف وفقا للقاعدة. أولاً، نقوم بإجراء الضرب والقسمة بالترتيب (من اليسار إلى اليمين)، ثم الجمع والطرح. دعونا نرتب ترتيب الإجراءات.
دعونا نحسب قيمة التعبير.
18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7
بأي ترتيب يتم إجراء العمليات الحسابية إذا كان هناك أقواس في التعبير؟
إذا كان التعبير يحتوي على أقواس، فسيتم تقييم قيمة التعبيرات الموجودة بين الأقواس أولاً.
دعونا نلقي نظرة على التعبير.
30 + 6 * (13 - 9)
نرى أن في هذا التعبير إجراءً بين قوسين، مما يعني أننا سنقوم بهذا الإجراء أولًا، ثم الضرب والجمع بالترتيب. دعونا نرتب ترتيب الإجراءات.
30 + 6 * (13 - 9)
دعونا نحسب قيمة التعبير.
30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54
كيف يجب أن يكون السبب هو تحديد ترتيب العمليات الحسابية بشكل صحيح في تعبير رقمي؟
قبل البدء في الحسابات، تحتاج إلى إلقاء نظرة على التعبير (اكتشف ما إذا كان يحتوي على أقواس، وما هي الإجراءات التي يحتوي عليها) وبعد ذلك فقط قم بتنفيذ الإجراءات بالترتيب التالي:
1. الأفعال المكتوبة بين قوسين؛
2. الضرب والقسمة.
3. الجمع والطرح.
سيساعدك الرسم التخطيطي على تذكر هذه القاعدة البسيطة (الشكل 4).
أرز. 4. الإجراء
دعونا نتدرب.
دعونا نفكر في التعبيرات ونحدد ترتيب الإجراءات ونجري العمليات الحسابية.
43 - (20 - 7) +15
32 + 9 * (19 - 16)
سوف نتصرف وفقا للقاعدة. يحتوي التعبير 43 - (20 - 7) +15 على عمليات بين قوسين، بالإضافة إلى عمليات الجمع والطرح. دعونا إنشاء الإجراء. الإجراء الأول هو إجراء العملية بين قوسين، ثم بالترتيب من اليسار إلى اليمين، الطرح والجمع.
43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45
يحتوي التعبير 32 + 9 * (19 - 16) على عمليات بين قوسين، بالإضافة إلى الضرب والجمع. وفقًا للقاعدة، نقوم أولاً بتنفيذ الإجراء بين قوسين، ثم الضرب (نضرب الرقم 9 في النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق الطرح) والجمع.
32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59
في التعبير 2*9-18:3 لا توجد أقواس، ولكن توجد عمليات الضرب والقسمة والطرح. نحن نتصرف وفقا للقاعدة. أولاً، نقوم بإجراء الضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين، ثم نطرح النتيجة التي تم الحصول عليها من القسمة من النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق الضرب. أي أن الفعل الأول هو الضرب، والثاني هو القسمة، والثالث هو الطرح.
2*9-18:3=18-6=12
دعنا نكتشف ما إذا كان ترتيب الإجراءات في التعبيرات التالية محددًا بشكل صحيح.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
18: (11 - 5) + 47=
7 * 3 - (16 + 4)=
دعونا نفكر مثل هذا.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
لا يوجد أقواس في هذا التعبير، مما يعني أننا نقوم أولًا بعملية الضرب أو القسمة من اليسار إلى اليمين، ثم الجمع أو الطرح. وفي هذا التعبير، الفعل الأول هو القسمة، والثاني هو الضرب. وينبغي أن يكون العمل الثالث الجمع، والرابع - الطرح. الخلاصة: تم تحديد الإجراء بشكل صحيح.
دعونا نجد قيمة هذا التعبير.
37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37
دعونا نواصل الحديث.
التعبير الثاني يحتوي على أقواس، مما يعني أننا نقوم أولاً بإجراء الإجراء بين قوسين، ثم من اليسار إلى اليمين الضرب أو القسمة، أو الجمع أو الطرح. نتحقق: الإجراء الأول بين قوسين، والثاني هو القسمة، والثالث هو الجمع. الخلاصة: تم تعريف الإجراء بشكل غير صحيح. دعونا نصحح الأخطاء ونجد قيمة التعبير.
18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50
يحتوي هذا التعبير أيضًا على أقواس، مما يعني أننا نقوم أولاً بإجراء الإجراء بين قوسين، ثم من اليسار إلى اليمين الضرب أو القسمة، أو الجمع أو الطرح. نتحقق: الإجراء الأول بين قوسين، والثاني هو الضرب، والثالث هو الطرح. الخلاصة: تم تعريف الإجراء بشكل غير صحيح. دعونا نصحح الأخطاء ونجد قيمة التعبير.
7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1
دعونا نكمل المهمة.
دعونا نرتب ترتيب الإجراءات في التعبير باستخدام القاعدة المستفادة (الشكل 5).
أرز. 5. الإجراء
نحن لا نرى قيمًا عددية، لذا لن نتمكن من إيجاد معنى التعبيرات، لكننا سنتدرب على تطبيق القاعدة التي تعلمناها.
نحن نتصرف وفقا للخوارزمية.
يحتوي التعبير الأول على قوسين، مما يعني أن الإجراء الأول يقع بين قوسين. ثم من اليسار إلى اليمين الضرب والقسمة، ثم من اليسار إلى اليمين الطرح والجمع.
يحتوي التعبير الثاني أيضًا على أقواس، مما يعني أننا نقوم بالإجراء الأول بين قوسين. وبعد ذلك من اليسار إلى اليمين الضرب والقسمة، وبعد ذلك الطرح.
دعونا نتحقق من أنفسنا (الشكل 6).
أرز. 6. الإجراء
تعلمنا اليوم في الفصل عن قاعدة ترتيب الأفعال في التعبيرات التي بدون الأقواس ومعها.
مراجع
العمل في المنزل
1. تحديد ترتيب الإجراءات في هذه التعبيرات. العثور على معنى التعبيرات.
2. حدد التعبير الذي يتم به تنفيذ ترتيب الإجراءات هذا:
1. الضرب. 2. القسمة؛. 3. بالإضافة؛ 4. الطرح؛ 5. بالإضافة. ابحث عن معنى هذا التعبير.
3. قم بتكوين ثلاثة تعبيرات يتم فيها تنفيذ الترتيب التالي للإجراءات:
1. الضرب. 2. بالإضافة؛ 3. الطرح
1. بالإضافة؛ 2. الطرح؛ 3. بالإضافة
1. الضرب. 2. القسمة؛ 3. بالإضافة
ابحث عن معنى هذه التعبيرات.
المعادلة هي مساواة تحتوي على حرف يجب إيجاد إشارته. حل المعادلة هو مجموعة القيم الحرفية التي تحول المعادلة إلى مساواة حقيقية:
أذكر ذلك لحلها معادلةتحتاج إلى نقل الحدود مع المجهول إلى جزء من المساواة، والمصطلحات العددية إلى الطرف الآخر، وإحضار متشابهة والحصول على المساواة التالية:
ومن المساواة الأخيرة نحدد المجهول وفق القاعدة: "أحد العاملين يساوي حاصل القسمة على العامل الثاني".
بما أن الأعداد النسبية a وb يمكن أن يكون لها نفس العلامات أو علامات مختلفة، فإن علامة المجهول يتم تحديدها من خلال قواعد قسمة الأعداد النسبية.
إجراءات حل المعادلات الخطية
يجب تبسيط المعادلة الخطية عن طريق فتح الأقواس وإجراء عمليات الخطوة الثانية (الضرب والقسمة).
انقل المجهولات إلى أحد طرفي علامة التساوي، والأعداد إلى الجانب الآخر من علامة التساوي، لتحصل على مساواة مطابقة للمعطى،
أحضر المتشابهات عن يسار ويمين علامة التساوي لتحصل على مساواة في الشكل الفأس = ب.
احسب جذر المعادلة (أوجد المجهول Xمن المساواة س = ب : أ),
تحقق من خلال استبدال المجهول في المعادلة المعطاة.
إذا حصلنا على تطابق في المساواة العددية، فسيتم حل المعادلة بشكل صحيح.
حالات خاصة لحل المعادلات
27 (س - 3) = 0
27 لا يساوي 0، مما يعني س - 3 = 0
المثال الثاني له حلين للمعادلة، منذ ذلك الحين
وهذه معادلة من الدرجة الثانية:
إذا كانت معاملات المعادلة كسورًا عادية، فعليك أولاً التخلص من القواسم. للقيام بذلك:
أوجد القاسم المشترك؛
تحديد عوامل إضافية لكل حد من المعادلة؛
ضرب بسط الكسور والأعداد الصحيحة في عوامل إضافية وكتابة جميع حدود المعادلة بدون مقامات (يمكن التخلص من القاسم المشترك)؛
انقل الحدود ذات المجهولات إلى أحد طرفي المعادلة، والحدود العددية إلى الجانب الآخر من علامة التساوي، لتحصل على مساواة مكافئة؛
جلب أعضاء مماثلين؛
الخصائص الأساسية للمعادلات
في أي جزء من المعادلة، يمكنك إضافة مصطلحات مشابهة أو فتح قوس.
يمكن نقل أي حد في المعادلة من جزء من المعادلة إلى آخر عن طريق تغيير إشارته إلى العكس.
يمكن ضرب طرفي المعادلة (قسمتهما) على نفس الرقم، باستثناء 0.
في المثال أعلاه، تم استخدام جميع خصائصه لحل المعادلة.
طرق حل المعادلات البسيطة
مفهوم المعادلة.
غالبًا ما تصادف شيئًا مثل المعادلة. ما هذا الذي تحتاج إلى معرفته. لكن المعرفة ليست كافية. يجب أن يكون لديك على الأقل فكرة صغيرة عن كيفية حلها. دعونا نرى ما هو عليه.
دعونا نحصل على رقم ما، على سبيل المثال x. عادةً ما يتم وضع هذه الإشارة في معادلة وتسمى متغيرًا. لنفترض أن س = 3. يتم إعطاء التعبير x+2=5. هذا التعبير هو أبسط معادلة تحتاج فيها إلى العثور على قيمة x. x هي قيمة أو جذر هذه المعادلة. يمكن أن يكون هناك جذران أو ثلاثة أو العدد الذي تريده، أو لا شيء على الإطلاق. ولكن في أبسطها يوجد دائمًا جذر واحد.
معنى حل المعادلة.
دعونا نرى كيفية حل هذه المعادلة. في كثير من الأحيان تحتاج إلى فهم المعنى. المعادلة س+1=7 معطاة. خذ وارسم بعض الخطوط المستقيمة أو الخطوط، أو تخيل فقط. دع النقطة 7 محددة عليها، فهي أيضًا نقطة y (وهذا أيضًا متغير، وغالبًا ما يتم وضعه أيضًا. في هذه الحالة، x + 1 = y). الآن دعنا نعيد النقطة 7 بمقدار 1، أي أنها ستنتقل إلى النقطة 6. وستأخذ Y-1 نفس القيمة تمامًا. نحصل على y-1=x+1-1=x. لدينا س = 6. هذا هو حل المعادلة أو جذرها.
أي أن المعادلة تحتوي على جزأين تفصل بينهما علامة يساوي. وبتغيير الجزء الأول نغير الجزء الثاني أيضًا، أي نحصل على:
في المعادلة، يمكن جمع كل جزء أو طرحه أو ضربه أو قسمته أو رفعه على 1 وبنفس العدد، كما يمكن إضافته أيضًا.
الإجراءان الأخيران ليسا مهمين بالنسبة لنا في حل أبسط المعادلات. يتم استخدامها لحل المشاكل المعقدة.
في هذا المثال، طرحنا 1 من كل جزء وبقي كل شيء متساويًا. في الواقع، 6+1=7 وx+1=7، مما يعني أن x و6 متماثلان. يسمى هذا التحول مكافئًا. وهذا ما نفعله في جميع المعادلات البسيطة مع العمليات الحسابية العادية. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:
إجراءات مفيدة عند حل المعادلات.
1) 4+x=8 اطرح 4 من كل جزء، أي 0+x=4 أو x=4
2) x-5=2 أضف 5 إلى كلا الجزأين، نحصل على x-5+5=2+5، x-0=7، x=7
3) x+1=x أنت بحاجة إلى رقم لن يتغير عند إضافته إلى 1. لا يوجد مثل هذا العدد، لذا فإن x ليس له جذور
4) x+0=x أي رقم يضاف إلى 0 لا يتغير. لذلك x هو أي رقم
5) 3 = 2 هذا مثال معقد. وعلى الرغم من أنه يمكنك التخمين منطقيًا، إلا أننا سنحلها كما يثبت منطق الكرة. X ناقص. لذلك هذا أكثر تعقيدًا بعض الشيء. لدينا طريقتان:
1\ اطرح 3 من كل جزء: 0-x=2-3=-1 أو -x=-1(0-x=-x). هنا يمكنك استخدام طريقتين، لكننا سنختار الطريقة الدلالية. -س و -1. كلاهما لديه ناقص. أي أنها تعني x=1، لقد قمنا ببساطة بإزالة سلبياتها وتغييرها في الاتجاه الآخر. على الخط هناك نقطة 0 و -1. 0=يا، -1=أ. سنقوم بتدوير الجزء OA إلى +1. وهذا يدل على أنه يمكن التخلص من السلبيات، ولكن فقط إذا كان كلا الجزأين يحتويان عليها.
الآن سننظر إلى طريقة أخرى (النوع الثاني من الطريقة الأولى هو أنه يمكنك ضرب كلا الطرفين في -1، لكننا لم نصل إلى ذلك بعد): لنضيف x في كل معادلة: 3x+x=2 +س، 2+ س=3، س=1
6) 2+x=3+x من الواضح على الفور أن x ليس لها حلول، سواء من حيث المعنى أو: 2+x-x=3+x-x، 2=3 ما هذا؟ المساواة الزائفة! يمكننا استخلاص النتيجة التالية عند حل المعادلات البسيطة: يمكنك تحريك حد ما في المعادلة عن طريق تغيير إشارته إلى الإشارة المقابلة له، على سبيل المثال، x+4=6. دعنا نتحرك 4، ونغير الإشارة إلى العكس، أي. س = 6-4 = 2. الرقم المقابل للرقم 4 هو -4. إضافة أو إزالة ناقص. وهذا ما فعلناه، لكن فهمه من هذه الزاوية يجعل اتخاذ القرار أسهل. جربها بنفسك وسترى بنفسك.
7) x+5=15-x لننقل -x إلى الجانب الآخر، أي 2x+5=15 (يتم تجاهل علامة الضرب للتصغير). 2x=10, x=5 (لماذا يحدث هذا، سيأتي هذا لاحقًا)
معادلات الضرب والقسمة.
دعونا نلقي نظرة على مثال بسيط:
1) 2س=10
لقد زارنا مؤخراً. الآن سوف نشرح هذا. يمكننا تقسيم كلا الجزأين على 2: 2x:2=10:2، x=5. في الضرب، كل شيء يشبه الجمع. نحن نفعل نفس الشيء. يمكنك تحريك أي عامل في المعادلة عن طريق تغيير إشارته لتكون متبادلة. كيف تفهم ذلك؟ على سبيل المثال، عند تحريك 2 إلى الجانب الآخر نحصل على 1:2. 2:1 و 1:2 معكوسان. في بعض الأحيان 1: ليس من الضروري. في 2x=10، ننقل 2، وبتغيير الإشارة، نحصل على x=10x1:2. لقد غيرنا العلامة للتو. إذا كانت هناك علامة القسمة، أي x:4، فسنعيد ترتيبها بوضع علامة الضرب.
2)x:6=12:6 يتم نقله عن طريق تغيير الإشارة إلى العكس. ثم 12×6=72 x=72 في كثير من الأحيان في المعادلة، ليس من المهم فقط القدرة على الحل، ولكن أيضًا الخبرة في العد
3)21162:x=705.4 هنا يجب علينا استخدام الاعتبارات المنطقية. بالإضافة إلى ذلك، يمكننا نقل x إلى 705.4، نحصل على معادلة جديدة 705.4x=21162، x=21162:705.4=30. لا تخافوا من الأرقام والمعادلات. على سبيل المثال، المعادلة كبيرة، لكنها في الواقع سهلة للغاية، كل ما عليك فعله هو حلها. أو، على سبيل المثال، أعداد كبيرة. استبدلها بأرقام صغيرة، وسوف تفهم على الفور كيفية حلها. ثم استبدلها بالأصلية وقم بالعد. إذا كان الأمر صعبًا جدًا، فاستخدم الآلة الحاسبة.
4) x+x+5+x+4+x+x+5+x+x+x+6+1+x=102 هنا نقوم ببساطة بتوصيل x والأرقام: x+x+x+x+x+x +x+x+x+5+5+4+6+1=9x+21 بعد ذلك، تحرك 21، 102-21=81، نحصل على 9x=81، x=81:9=9
الآن دعونا نلقي نظرة على مثال آخر:
5)20x-6=51+12 أضف 51 و12، 51+12=63. والآن لننتقل إلى 6، 63+6=69. س=69:20. لكن 69 لا يقبل القسمة على 20. ولذلك يمكننا أن نترك الأمر على هذا النحو، ولكن هذا أفضل، 690:2:100=345:100=3.45. لقد حددنا: 100 لأسباب منطقية.
6)4:x=2x لننتقل:x إلى الجانب الآخر، نحصل على 2xx=4، x إلى x=2. في هذه الحالة، ستكون الإجابة هي جذر 2، لكنك لا تحتاج إلى ذلك بعد:
الجواب: جذر 2
تبسيط النقل.
خذ على سبيل المثال المعادلة أ+س=ب. في هذه الحالة، ننقل "a" إلى الجانب الآخر، فنحصل على x = b-a. يمكننا أن نفعل نفس الشيء للعثور على. مثال آخر: x-a=b. ثم ننقل a إلى الجانب الآخر، أي x = b + a. إذا كان a-x=b، فيمكننا نقل x إلى الجانب الآخر، أي a=x+b. لقد اعتبرنا هذا. الآن دعونا نزيل b، ثم x=a-b.
وفي الضرب والقسمة المنطق مماثل. للعثور على مصطلح، تحتاج إلى طرح المصطلح (المصطلحات) الأخرى من المجموع. (على سبيل المثال، 3+x=6. 3 هو حد آخر، لذا اطرح 3 من مجموع 6)
للعثور على Minuend، تحتاج إلى إضافة كافة الأرقام الأخرى. (على سبيل المثال، x-6 = 3. نضيف 6 و3، لأنهما الأرقام المتبقية)
للعثور على المطروح، تحتاج إلى طرح الفرق من المطرح. (على سبيل المثال، 6-x=3. 6-minuend، حاصل القسمة 3. وبالتالي، x=6-3)
ويحدث الشيء نفسه عندما يكون هناك الكثير من الأرقام. على سبيل المثال، 5-ص+3=12. للعثور على x، وهو المطروح، يجب عليك أولاً العثور على المطرح. إنها ليست 5، كما يعتقد الكثير من الناس. دعونا نجمع كل شيء في كومة واحدة، أي (5+3-y)-x=12، x=5+3-y-12 بالمناسبة، العثور على المطروح هو الأصعب، لكنك ستعتاد عليه.
1) س:3ص=12. للعثور على x، عليك مضاعفة كل شيء آخر. إنه مثل الجمع، نحن فقط نغير علامات الأفعال بنفس الطريقة: x = 3y X 12 = 36y.
2) 2y: (x+1) = 4m x+1 - هذا مثل x واحد، ولكن مع أرقام تابعة، مثل العبارة التشاركية أو الظرفية. يمكنك العثور على الدورة كالمعتاد: x + 1 = 2y: 4m, x = 0.5y: m-1 (لقد اختصرنا هنا. من المستحسن الاختصار حيثما أمكن، فهو أسهل في الحل) فتح الأقواس والخروج من الأقواس
لقد قررنا ذلك بالفعل وقمنا بتأجيله. لكن في بعض الأحيان يتعين عليك التعامل مع مشكلات أخرى تتعلق بحل المعادلات.
1) 4+(x-5)=12 إذا كان هناك + قبل الأقواس، فيمكن حذف الأقواس:
4+س-5=12-1+س=12س=13
على الرغم من أنه كان من الضروري هنا أن نقرر ليس بالضرورة بهذه الطريقة. لكننا فعلنا ذلك من أجل المثال. أما إذا كان هناك ناقص: 4-(x-5) فنفتحه أيضاً، لكن الإشارات الموجودة داخل القوسين ستصبح عكسية: 4-x+5 لماذا يحدث هذا؟ هذا يحتاج إلى حل. لنحصل على 12-(3+5)=4. سنطرح واحدًا تلو الآخر، أولًا 12-3، ثم 12-3-5، وبذلك نكون قد فتحنا الأقواس. ماذا لو كان 12-(3-5)=14؟ ثم يمكننا إضافة (3-5) إلى كلا الطرفين. نحصل على: 12=14+(3-5). ثم نقوم ببساطة بإزالة: 14+3-5 ونحصل على المساواة الصحيحة. ويرجع ذلك إلى انتقال وتغيير الإشارة إلى العلامة المقابلة. من ناحية أخرى، في 12-(3-5). يمكننا أولاً إضافة 5، وهذا واضح في المعنى، 3-5+5. ثم كل ما تبقى هو طرح 3: 12+5-3. ولكن هذا هو نفس 12-3+5. لذلك ليس من الصعب معرفة ذلك. وهذا صحيح بالنسبة للعديد من الأرقام. على سبيل المثال، -(x+y-2+4+6-2a+3b)= -x-y+2-4-6+2a-3b. لنحل على سبيل المثال:
2) 5+x-(x+2)=2+x من السهل القيام بذلك عن طريق فتح الأقواس: 5+x-x+2=2+x2+x=7, x=5
وهكذا لدينا الخصائص:
1) إعادة ترتيب الحدود لا يغير المجموع (حتى إعادة ترتيب العوامل)
2) عند فتح الأقواس مع الطرح، تتغير جميع العلامات الموجودة بين قوسين إلى علامات متقابلة (عند فتح القسمة نفس الشيء، تتغير فقط إلى علامات معكوسة بشكل متبادل) الآن دعونا نتعرف على شيء مثل خاصية التوزيع. على سبيل المثال، كيفية حل 5x-2x=12؟ في هذه الحالة، يتم إعطاء مصطلحات مماثلة، أي يتم دمج المعاملين 5 و 2: (5-2)x=12
كيف فعلوا ذلك؟ رائع؟ لكن هذه هي القاعدة الأساسية في الرياضيات تقريبًا. تقريبا جميع المهام تعتمد عليه. دعونا نفكر. لدينا مجموعتان من الزجاجات في صفين. هناك 5 قطع في المجموعة الأولى، و3 في الثانية، لكن يمكننا استبدال المجموعة الثانية بالأولى، ومن ثم سيكون لدينا 8 زجاجات في صفين. ولكن هذه هي الخاصية ذاتها: 5+5+3+3. بحسب الخاصية الأولى، لنغير الحدود: 5+3+5+3= (5+3)+(5+3). هذا كل شيء.
3) خاصية التوزيع للضرب هي ax+bx = (a+b)x والعكس صحيح3) 3(4+x)+5(4+x). اختزل:(3+5)(4+x)= 8(4+x)= 32+8x وهكذا، فقد جعلنا حل المعادلات الخطية أسهل. لقد نظرنا في العديد من الخصائص والتحولات. سنعرض الآن الشكل العام للمعادلات التي غالبًا ما نواجهها والتي يجب حلها.
هذا هو الأساس الأساسي. المعادلات الخطية على الشكل ax+b=0 أو ax+b=cx+d دعونا نعرض الأمثلة:
1) 4x+12=20 نقل 12 أو حسب الخاصية: 4x=20-12=8, x=2
وبالتالي، فإن حل المعادلة ax+b=c هو: x=(c-b):a
2) 12-40x=25 لنضعها هكذا: -40x+12=25، الآن x= (25-12):(-40)= -13:40=-0.325
3) 5x+2=7x-7 هنا يُنصح بنقل علامات X إلى جانب واحد، والأرقام إلى الجانب الآخر للتقصير. من الأفضل القيام بكل شيء واحدًا تلو الآخر ونقله لتجنب الأرقام السالبة 2=7x-5x-7=2x-7، ثم -7: 2+7=2x، 2x=9، x=4.5.
المهام.
في كثير من الأحيان في المشاكل يتم حل كل شيء من خلال المعادلات. أي مشكلة هي نوع من المعادلة، جذورها هي نوع من الكمية.
1) حرث فاسيا 6 أفدنة في 3 أيام أقل من 5 أيام. اكتشف مقدار الحرث. للوهلة الأولى يبدو أن المشكلة غير قابلة للحل، أي أنه لا توجد بيانات كافية فيها. في الواقع، كل ما عليك فعله هو أن تكون قادرًا على إنشاء نموذج رياضي. دع x يحرث بواسطة Vasya: 5x و 3x. 3x أقل من 5x في 5، أي 3x+5=5x. نحل هذه المعادلة ونحصل على x = 2.5 آرس. تم حل المشكلة.
2) لدى فاسيا 10 علامات أكثر من بيتيا. لكن معًا لديهم 40 علامة. أوجد عدد الطوابع التي يملكها كل شخص. افترض أن لدى بيتيا علامات x، إذن لدى Vasya علامات x+10، أي 10 أخرى. معًا، أي x+(x+10)=40، نحل المعادلة المقابلة: 2x=30، x=15 - هذه معادلة بيتيا. لدى Vasya 15+10=25 في بعض الأحيان يتعين عليك التعامل مع عدد كبير من المتغيرات، ولكن حتى هناك يتم استخدام الطرق الخطية غالبًا. لن نفكر في هذا هنا.
3) لدى فاسيا وبيتيا 30 سيارة. لكن Senya لديها أيضا سيارات، وإذا أعطى Vasya Senya 5 سيارات، فسيكون لدى Senya ضعف عدد السيارات مثل Vasya. ولكن إذا أعطت بيتيا 5 سيارات أخرى، فسيكون لدى سينيا ثلاث مرات أكثر من فاسيا. أوجد عدد السيارات التي يمتلكها كل شخص. لنقم بإنشاء عدة متغيرات: x-Vasya، y-Petya، a-Senya. ثم تحصل على نظام تحتاج فيه إلى إيجاد حلول عامة.x+y=30a+5=2(x-5)a+5+5=3(x-5) في هذه الحالة، عبر عن متغير واحد بدلالة آخر وحل المعادلات. لكن في بعض الأحيان يتم استخدام طرق أخرى. نرى أنه بإضافة 5 إلى السين، أضفنا x-5. ثم 5=س-5، و س=10. ص=30-10=20. إذن، فاسيا لديه 10، وبيتيا لديه 20. من السهل العثور على سينيا عن طريق استبدال القيم. أ+5=2(س-5). x-5=5، إذن: a+5=2X5=10، a=5 الإجابة: لدى Vasya 10، وPetya لديه 20، وSenya لديه 5. الآن دعونا نلقي نظرة على خيار واحد أكثر تعقيدًا:
4) مجموع أرقام الرقم المكون من ثلاثة أرقام هو 9. إذا قمت بإزالة الرقم الأخير وقمت بتبديل الأرقام في الرقم المكون من رقمين المتبقيين، فسيتبين أنه أقل بـ 9 من الرقم المكون من رقمين السابق. وإذا قمت بإزالة الرقم الأول وقمت أيضًا بتبديل الباقي، فستحصل على 45 رقمًا آخر. ابحث عن هذا الرقم. حاول حل هذه المشكلة بنفسك. إذا استطعت، فأنت بالفعل جيد في حل المعادلات ووضع نموذج رياضي. ولكن يمكنك، من حيث المبدأ، أن تنظر في كيفية اتخاذ القرار. دع x,y,z تكون أرقامًا. ثم، لدينا مرة أخرى نظام مثل هذا، نحصل على البيانات: x+y+z=9uh+9=xyuz+45=zu. سنختار أرقامًا مثل xy+9=xy. لدينا: 12 و21، 23 و32، 34 و43، 45 و54، إلخ. ولاحظنا أن الفرق بين الأعداد هو 1، أي 1+1=2 و2-1=1 وهكذا. من هذا يمكنك استبدال y كـ x-1، أي x+x-1+z=9, 2x+z=10 الآن دعونا نلقي نظرة على الخيارات الممكنة مع زائد 45. بالنسبة لهذا الرقم الثاني أكبر من الأول، نحن لديك: 16 و 61 و 27 و 72 و 38 و 83 و 49 و 94. ويترتب على هذه الخيارات أن الرقم الثاني هو 5 أكثر، أي، y+5=z، ولكن y=x-1. لقد حصلنا على 3=x-1+5=x+4. ثم: 2x+x+4=10، 3x=6، x=2. س-1=1، س+4=6. نحصل على الرقم 216. الجواب: 216
المتباينات الخطية.
وفي الختام، سوف نوضح ما هي المتباينات الخطية. إنها مثل المعادلة، لكن x أقل أو أكثر من شيء ما. تنطبق نفس المبادئ على عدم المساواة كما هو الحال في المعادلات. يمكن إضافة كلا الجزأين أو ضربهما أو تركيبهما وما إلى ذلك. على سبيل المثال:
1)x+4 4x-2هنا يمكننا الحصول على 5x+4>4x وx+4>0. ننقل ونجد أن x أكبر من -4 في المتباينات تنطبق جميع خصائص المعادلات الخطية، ويجب أن نأخذ في الاعتبار أن هناك أيضًا متباينات معقدة يتم حلها بشكل مختلف. تمامًا مثل المعادلات، قد لا يكون للمتباينات حلول أو أي حلول.
3)x+4x حالة أخرى مثيرة للاهتمام. لاحظ أننا إذا نقلنا x إلى ذلك الجزء، فسيتبين أن x أكبر من الصفر.
5) هاها
حل المعادلات البسيطة. الصف الخامس
المعادلة هي مساواة تحتوي على حرف يجب إيجاد قيمته.
في المعادلات، عادة ما يتم تمثيل المجهول بحرف صغير. الحروف الأكثر استخدامًا هي "x" [ix] و"y" [y].
بعد حل المعادلة، نكتب دائمًا شيكًا بعد الإجابة.
معلومات للآباء والأمهات
أعزائي أولياء الأمور، نلفت انتباهكم إلى حقيقة أن الأطفال في المدرسة الابتدائية والصف الخامس لا يعرفون موضوع "الأرقام السالبة".
ولذلك، يجب عليهم حل المعادلات باستخدام خصائص الجمع والطرح والضرب والقسمة فقط. فيما يلي طرق حل المعادلات للصف الخامس.
لا تحاول تفسير حل المعادلات بنقل الأرقام والحروف من جزء من المعادلة إلى جزء آخر مع تغيير الإشارة.
يمكنك تحسين المفاهيم المتعلقة بالجمع والطرح والضرب والقسمة في درس "قوانين الحساب".
حل معادلات الجمع والطرح
كيفية العثور على المجهول
شرط
كيفية العثور على المجهول
تذكير
كيفية العثور على المجهول
طرح
للعثور على الحد المجهول، عليك طرح الحد المعروف من المجموع.
للعثور على الحد الأدنى المجهول، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى الفرق.
للعثور على المطروح المجهول، عليك طرح الفرق من المطرح.
س + 9 = 15
س = 15 − 9
س=6
فحص
س - 14 = 2
س = 14 + 2
س = 16
فحص
16 − 2 = 14
14 = 14
5 - س = 3
س = 5 − 3
س = 2
فحص
حل معادلات الضرب والقسمة
كيفية العثور على مجهول
عامل
كيفية العثور على المجهول
أرباح
كيفية العثور على مجهول
مقسم
للعثور على عامل غير معروف، تحتاج إلى قسمة المنتج على العامل المعلوم.
للعثور على المقسوم المجهول، عليك ضرب حاصل القسمة على المقسوم عليه.
للعثور على مقسوم مجهول، عليك قسمة المقسوم على حاصل القسمة.
ص 4 = 12
ص=12:4
ص=3
فحص
ص: 7 = 2
ص = 2 7
ص=14
فحص
8:ص=4
ص=8:4
ص=2
فحص
معادلات الصف الخامس
سننظر اليوم إلى معادلات الصف الخامس الأكثر تعقيدًا والتي تحتوي على عدة إجراءات. للعثور على متغير غير معروف، في مثل هذه المعادلات، لا تحتاج إلى تطبيق قاعدة واحدة، بل قاعدتين.
1) س:7+11=21
التعبير الموجود على الجانب الأيسر هو مجموع حدين
وبالتالي فإن المتغير x جزء من الحد الأول. للعثور على الحد المجهول، عليك طرح الحد المعروف من المجموع:
لقد حصلنا على معادلة بسيطة من الدرجة الخامسة ونحتاج منها إلى إيجاد المقسوم المجهول. للعثور على المقسوم المجهول، عليك ضرب حاصل القسمة على المقسوم عليه:
2) 65-5z=30
الجانب الأيمن من المعادلة هو الفرق:
المتغير z هو جزء من المطروح المجهول. للعثور على المطروح المجهول، عليك طرح الفرق من المطروح:
لقد حصلنا على معادلة بسيطة حيث z عامل مجهول. للعثور على العامل المجهول، عليك قسمة المنتج على العامل المعلوم:
3) 120:ص-23=17
على الجانب الأيمن من المعادلة يوجد الفرق. المتغير y هو جزء من Minuend غير معروف.
للعثور على الحد الأدنى المجهول، عليك إضافة المطروح إلى الفرق:
هنا y مقسوم غير معروف. للعثور على مقسوم مجهول، عليك قسمة المقسوم على حاصل القسمة:
4) (48+ك) ∙ 8=400
الجانب الأيسر من المعادلة هو المنتج. المتغير k جزء من العامل الأول :
للعثور على العامل المجهول، عليك قسمة المنتج على العامل المعلوم:
في المعادلة الجديدة، k هو الحد المجهول:
لقد قمنا هنا بحل معادلات الصف الخامس دون استخدام خصائص الجمع والطرح. في الصف السادس، تم تبسيط قواعد فتح الأقواس، وأصبح حل هذه المعادلات أسهل.
182 تعليق
شكرا جزيلا، أفضل موقع كنت أبحث فيه عن المعادلات
شكرا لجهودكم! تم تقديم كل شيء بشكل واضح لدرجة أن ابني قال أنك مدرس "رائع". آسف على الاقتباس، ولكن بعد قراءة شرحك، فهم كل شيء. على الرغم من أنني قبل ذلك، في الصف الخامس، مررت بكل هذا، لكنني لم أفهم ذلك.
شكرا ناتاليا على كلماتك الرقيقة!
كيفية حل x(x+4)=77
في الصف الخامس، لا يسعني إلا أن أنصحك بتخمين جذور هذه المعادلة. يمكنك التفكير بهذه الطريقة: 77 = 7x11. لذلك، يجب أن يكون أحد العاملين مساويًا لـ 7، والآخر - 11. وبما أن x + 4 أكبر من x، فإن x = 7.
ستتعلم لاحقًا أن هذه المعادلة تربيعية ولها جذرين. الجذر الثاني هو رقم سالب؛ لم يتم تدريسه في الصف الخامس بعد. (الجذر الثاني س=-11).
كيف تحل هذه المعادلة؟؟144-(x:11+21)*5=14 شكرا
144 - النهاية الصغرى، (x:11+21)*5 - المطروح، 14 - الفرق. x هو عنصر المطروح المجهول. للعثور على المطروح المجهول، عليك طرح الفرق من الطرح: (x:11+21)*5=144-14، وبالتالي (x:11+21)*5=130. في المعادلة الجديدة، x: 11+21 هو العامل الأول، 5 هو العامل الثاني، 130 هو حاصل الضرب. x هو عنصر العامل الأول المجهول. للعثور على العامل المجهول، عليك قسمة الناتج على العامل المعلوم: x: 11 + 21 = 130: 5، وبالتالي x: 11 + 21 = 26. في المعادلة الجديدة، x: 11 هو الحد الأول، 21 هو الحد الثاني، 26 هو المجموع. x هو عنصر الحد الأول. للعثور على الحد المجهول، عليك طرح الحد المعروف من المجموع: x:11=26-21, x:11=5. في هذه المعادلة، x هو المقسوم، و11 هو المقسوم عليه، و5 هو حاصل القسمة. للعثور على المقسوم المجهول، عليك ضرب المقسوم عليه في حاصل القسمة: x=5∙11, x=55. الجواب: 55.
من المفيد أن تفحص نفسك: 144-(55:11+21)∙5=144-(5+21)∙5=144-26∙5=144-130=14. يمين.
أنهيت الصف الخامس. ميني 11 صخرة. ومن حقي أن أفك غيرتي. لقد قمت بتحرير جميع الروابط التي أعطيت لك وأصبح كل شيء بالنسبة لي كما حدث بالنسبة لك. دياكويو.
ساعدوني في حل 4x-x=8.7
نقدم مصطلحات مماثلة على الجانب الأيسر من المعادلة:
3س=8.7
نقسم طرفي المعادلة على الرقم الموجود أمام X:
س=8.7:3
س=2.9
كيفية حل هذه المعادلة:
(5.4 يو + 8.3) * 2.1= 23.1
(5.4ص + 8.3) * 2.1= 23.1
(5.4ص + 8.3) - مضاعف غير معروف. للعثور على العامل المجهول، عليك قسمة المنتج على العامل المعلوم:
5.4ص + 8.3 = 23.1:2.1
5.4ص + 8.3 =11
للعثور على الحد المجهول 5.4y، عليك طرح الحد المعروف من المجموع:
5.4 يو=11-8.3
5.4ص=2.7
للعثور على عامل غير معروف، تحتاج إلى تقسيم المنتج على هذا العامل:
ص=2.7:5.4
ص=0.5
عند حل المعادلات ذات الكسور العشرية، من الملائم التخلص أولاً من الفاصلة. سأحاول أن أخبرك بكيفية القيام بذلك في أحد هذه الأيام.
لدي نفس المشكلة. فقط عندما يكون هناك الضرب أطرح
كيفية حل هذه المعادلة؟
(5.4у + 8.3) - 2.1 = 23.1
أعتقد أنه حيث يوجد "الطرح" يجب أن يكون "الضرب"
قامت المعلمة بنفسها بكتابة المهمة، لذلك يجب أن يكون كل شيء صحيحًا. لكن لا أستطيع حلها.
الرجاء المساعدة، شكرا مقدما
(5.4у + 8.3) - 2.1 = 23.1
نحن نبحث عن Minuend غير معروف:
5.4 يو + 8.3 = 23.1 + 2.1
5.4 يو + 8.3 = 25.2
والآن لنجد المصطلح المجهول:
5.4 يو = 25.2 - 8.3
5.4 يو = 16.9
كل ما تبقى هو العثور على العامل المجهول:
ص=16.9/5/4
ص=169/54
وفصل الجزء كله عن الكسر غير الحقيقي
ص = 3 7/54
ساعدني في اتخاذ القرار:
14ص-2ص+76=100
ستيبان و14y و2y مصطلحات متشابهة. هذا يعني أنه يمكن طرحهما: 14y-2y=12y.
ثم في المعادلة 12y+76=100 12y هو الحد المجهول. أوجد 12y كمصطلح غير معروف. بعد ذلك، في حاصل ضرب 12y، ابحث عن y كعامل غير معروف.
ألينا، غالبًا ما يمكن العثور على المجموع الموجود على اليمين: (18)+10=56
بين القوسين و10 يوجد "+"، مما يعني أن التعبير بين القوسين هو مصطلح غير معروف: 18-x=56-10; 18 = 46. يبقى إيجاد المطروح المجهول x: x=18-46; س=-28.
التعبير الموجود بين قوسين، 5x-7 هو المقسوم عليه. للعثور على مقسوم مجهول، عليك قسمة المقسوم على حاصل القسمة: 5x-7=528:16; 5س-7=33. 5x - قابل للتناقص. للعثور على النهاية المجهولة، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى الفرق: 5x=33+7; 5س=40. يبقى إيجاد العامل المجهول: x=40:5; س = 8.
كيفية حل هذه المعادلة 11y+32y-127=45
تحتاج أولاً إلى إعطاء مصطلحات مشابهة: 11y+32y-127=45; 43ص-127=45. 43y - نهاية غير معروفة. للعثور على النهاية المجهولة، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى الفرق: 43y=45+127; 43ص=172. للعثور على العامل المجهول y، عليك قسمة المنتج على العامل المعلوم: y=172:43; ص=4.
شكرا لك، سفيتلانا.
يوم جيد. الرجاء مساعدتي في حل المعادلة (9x+7)*y=45x+y. شكرًا لك!
سيرجي، هذه المعادلة ذات متغيرين (x و y). إما أن تكون هناك حاجة إلى معادلة أخرى (بحيث لا يكون عدد المجهولين أكبر من عدد المجهولين)، أو بعض الشروط الإضافية.
ساعدني في كيفية حل المعادلات المشابهة - 7x-26.7-2x، حسنًا، على سبيل المثال، وإلا فلن تكون متوفرة في أي مكان. شكرا مقدما. الموقع مفيد جدا
داشا، هذه المعادلة لها شروط مماثلة. سأحاول أن أكتب تدوينة منفصلة عن حل مثل هذه المعادلات.
ملاحظة: هنا: http://www.for6cl.uznateshe.ru/uravneniya-s-podobnymi-slagaemymi/
ساعدوني في حل هذه المعادلة 10x+x+1=4*(x+x+1)
هذه معادلة خطية.
عليك أولًا أن تعطي مصطلحات مشابهة: 11x+1=4*(2x+1). ثم افتح الأقواس: 11x+1=8x+4. الآن ننقل المجهولات إلى جانب، والمعلومات إلى الجانب الآخر، مع تغيير إشاراتها: 11x-8x=4-1. دعونا نبسط: 3x=3. الآن نقسم طرفي المعادلة على الرقم الموجود أمام x: x=3:3, x=1.
لا أستطيع أن أفهم، سفيتلانا إيفانوفا، مساعدة..5(14+b)+6b=158... أعتقد أنني أفعل ذلك كما أوضحت، لكن يبدو أنني لم أفهم ذلك))) اكتبه مرة أخرى)))
عسكر، افتح القوسين أولا: 70+5ب+6ب=158. هذه معادلة لها حدود متشابهة، وقد تحدثنا مؤخرًا عن مثل هذه المعادلات. وبعد إحضار الحدود المتشابهة نحصل على 70+11ب=158. ثم كل شيء كالمعتاد: 11ب - مصطلح غير معروف، 11ب=158-70، 11ب=88. ب - عامل غير معروف، ب=88:11؟ ب = 8.
كيفية حل هذه المعادلة: (19*700):70+(850+x)=6000:50 شكرًا مقدمًا!
أولاً، يجب تبسيط المعادلة: 19*(700:70)+(850+x)=6000:50; 19*10+(850+x)=120; 190+(850+x)=120. هنا يمكنك الذهاب بطريقتين: إما فتح الأقواس، أو اعتبار التعبير الموجود بين قوسين مصطلحًا غير معروف. على سبيل المثال، 190+850+x=120;
1040+س=120;س=120-1040; س=-920.
مرحبًا! كيف تحل x ÷ 9 = x ÷ 5؟ إذا لم يكن الأمر صعبًا؟!)
هذه معادلة خطية. ننقل الحدود المجهولة إلى جهة، والمعلومة إلى جهة أخرى، مع تغيير إشاراتها: x-x=5-9؛ 0س=-4. هذه المعادلة ليس لها جذور.
الحل الخاص بك صحيح (إذا كانت الكسور قد مرت بالفعل). الخيار باستخدام خاصية التناسب الأساسية: 5x=9x; 5x-9x=0; -4x=0, x=0 - أسهل، ولكن لم يتم تدريس النسبة بعد.
الرجاء مساعدتي في كيفية حل هذه المشكلة،
شكرا مقدما!
عنكبوت وذبابة يجلسان على قمم متقابلة للمكعب. يمكن للعنكبوت أن يزحف على طول حافة المكعب وعلى طول قطري وجه المكعب. كم عدد الخيارات المتاحة للعنكبوت للتحرك نحو الذبابة؟
مرحبًا. سفيتلانا، ساعديني في حل هذه المشكلة، إذا لم تكن صعبة.
عنكبوت وذبابة يجلسان على قمم متقابلة للمكعب. يستطيع العنكبوت الزحف على طول حافة المكعب وعلى طول الوجه القطري للمكعب. كم عدد خيارات الحركة المتاحة للعنكبوت والذبابة؟
مرحبًا، ساعدني في فهم المعادلة 5أ + 5 *14= 8 * م - 8 *15
أليكسي، يرجى توضيح الشروط. لديك متغيرين في حالتك.
الرجاء مساعدتي في اتخاذ القرار!
9(143-13س)=234
بين الرقم 9 والتعبير الموجود بين قوسين توجد علامة "∙" (رغم أنها غير مكتوبة). وبالتالي فإن الجانب الأيسر هو المنتج. للعثور على العامل المجهول (143-13x)، عليك قسمة الناتج على العامل المعلوم: 143-13x=234:9;143-13x=26.
143-13x - الفرق. للعثور على المطروح المجهول 13x، عليك طرح الفرق من الطرح: 13x = 143-26؛ 13x = 117.
13x هو عمل. للعثور على العامل المجهول x، قم بتقسيم المنتج على العامل المعلوم: x=117:13; س = 9.
ساعدني في حل - 88000:110+x=809
نبسط: 800+x=809 ونجد الحد المجهول x=809-800,x=9.
ساعدوني، لا أستطيع حل المعادلة 5xxx=1
نحن في حاجة إليها على وجه السرعة!
ساعدوني في حل المعادلة (أمر عاجل جدًا) 5-x*x=1
5-س²=1. حيث x² هو المطروح المجهول. للعثور عليه، تحتاج إلى طرح الفرق من الحد الأدنى: x²=5-1، x²=4. ما هو مربع العدد 4؟ 2. إذا كانت الأرقام السالبة قد مرت بالفعل، فعندئذ أيضًا -2. أي أن x=2 وx=-2.
مرحبًا، من فضلك ساعدني في حل المعادلة 5(أ-2)+3(أ+3)
مرحبا أنجلينا! لقد نسيت الإشارة إلى ما يساويه هذا التعبير.
ساعد في حل المعادلة 13(x+6)-72=123
13(x+6) - نهاية غير معروفة. للعثور عليه، عليك إضافة المطروح إلى الفرق: 13(x+6)=123+72، 13(x+6)=195. الآن نبحث عن العامل المجهول (x+6). للقيام بذلك، عليك قسمة الناتج على عامل معروف: x+6=195:13، x+6=15. يبقى العثور على الحد المجهول x=15-6، x=9.
هل هذه معادلة في الصف الخامس؟ في الصف السادس، أنصح بضرب طرفي المعادلة في 7. نحصل على 7x+x=224∙7، 8x=1568، x=1568:8، x=196.
(8X+24):5:4+6 مقسوم مجهول، لذلك نقسم المقسوم على حاصل القسمة: (8X+24):5:4+6=10:1، (8X+24):5: 4+6= 10.
(8X+24):5:4 - حد غير معروف، اطرح الحد المعلوم من المجموع: (8X+24):5:4=10-6, (8X+24):5:4=4.
(8X+24):5 - توزيعات أرباح غير معروفة، لذا اضرب حاصل القسمة على المقسوم عليه: (8X+24):5=4∙4, (8X+24):5=16.
بعد ذلك، نبحث عن المقسوم المجهول: 8X+24=16∙5, 8X+24=80; مصطلح غير معروف 8X=80-24، 8X=56؛ وعامل غير معروف:
س=56:8، س=7.
كان الشرط كالتالي: أحد الرقمين أصغر بـ 7 مرات من الآخر. أوجد هذه الأرقام إذا كان مجموعها 224؟ هذه مشكلة الصف الخامس.
أولغا، عند حل المشكلات، من الأفضل دائمًا أن تأخذ x ما هو أقل. في مشكلتك، لنأخذ الرقم الأصغر كـ x، ثم الرقم الأكبر هو 7x. بما أن مجموعهما هو 224، فلدينا المعادلة: 7x+x=224، 8x=224، x=224:8، x=28.
هذا يعني أن الرقم الأصغر هو أوائل 28، والرقم الأكبر هو 7∙28=196.
كما ترون، الأمر أسهل بهذه الطريقة.
ساعدوني في حل المعادلة من فضلكم!
97+75:(50-5x)=300:3، 97+75:(50-5x)=100،
75:(50-5x)=100-97، 75:(50-5x)=3،
50-5x=75:3.50-5x=25,
5x=50-25.5x=25,
س=25:5، س=5.
شكرا جزيلا لك، سفيتلانا إيفانوفنا! طوال حياتي، لم أكن لأخمن أبدًا ما الذي كان سيكون أسهل.
من فضلك، أولغا!
فقط سفيتلانا إيفانوفا؟
ساعدوني في حل المعادلة 2x+8+4x=20
ساعد في حل المعادلة 4 نقطة 2 تسع + (16 نقطة 5 تاسع - x) = 15 نقطة 1 تاسع - 8 نقطة 7 تاسع
4 2/9 +(16 5/9 - س)=15 1/9 - 8 7/9
15 1/9 - 8 7/9=14 10/9 - 8 7/9=6 3/9.
4 2/9 +(16 5/9 - س)=6 3/9
16 5/9 - س=6 3/9 - 4 2/9
16 5/9 - س=2 1/9
س=16 5/9 - 2 1/9
س = 14 4/9
مرحبًا، ساعدوني في حل المعادلة (2س-200):13-1=123
ومن فضلكم، أحتاج حقًا إلى معادلة أخرى، ساعدوني (321+x)45-85=77
(321+س)∙45-85=77
(321+س)∙45=77+85
(321+س)∙45=162
321+س=162:45
321+س=3.6
س = 3.6-321
س=-317.4
(2س-200):13-1=123
(2س-200):13=123+1
(2س-200):13=124
2س-200=124∙13
2س-200=1612
2س=1612+200
2س=1812
س=1812:2
س=906
ساعد في حل المعادلة (476):31=320:31
(476):31=320:31
476س=320
س = 475-320
س = 155
كيف تشرح للطفل الانتقال من السطر الأول إلى الثاني؟ أين ذهبت القسمة على 31؟
رقمان مقسومان على نفس الرقم 31 يعطيان نتائج متساوية. وبالتالي فإن هذه الأرقام متساوية مع بعضها البعض.
مرحبا سفيتلانا، الرجاء مساعدتي في حل المعادلة. 123+ص=357-85
123+ص=357-85
123+ص=272
ص = 272-123
ص=149
أنطون، يمكنك بسهولة حل هذه المعادلة بنفسك. جميع النصائح والشروحات اللازمة موجودة على الموقع. حاول معرفة ذلك.
ساعدوني في حل هذه المعادلة:
7.5x-2.46x=78.3+124.56
أولا نقوم بتبسيط طرفي المعادلة:
5.04س=202.86
ثم نبحث عن العامل المجهول:
س=202.86:5.04
س=20286:504
س = 40.25
ساعدوني في حل المعادلة
2.4س+س+9.1=38
أولا نقوم بتبسيط الطرف الأيسر من المعادلة
3.4س+9.1=38. ثم نبحث عن الحد المجهول: 3.4x = 38-9.1؛ 3.4س=28.9. ثم - عامل غير معروف: س = 28.9: 3.4؛ س=8.5.
سفيتلانا مساء الخير. قرأت تعليقاتك وأعجبتني حقًا طريقة شرحك. يرجى توضيح كيفية حل المشكلة وكتابة معادلة لها: يوجد دجاج وحملان في الفناء. ومن المعروف أن عدد الحملان أقل بثلاث مرات من عدد الدجاج. عدد أرجل الدجاج والحملان 40. كم عدد الدجاجات وكم عدد الحملان الموجودة في الفناء؟ شكرا مقدما.
نورلان، مرحبا!
يجب أن يكون هناك x خروف في الفناء، سيكون هناك 3 دجاجات. كل خروف لديه 4 أرجل، لذلك كل الحملان لها 4 أرجل. تحتوي كل دجاجة على ساقين، لذا فإن جميع الدجاجات لها 3x∙2=6x أرجل. إجمالي عدد أرجل الدجاج والحملان هو 4x + 6x، وهو حسب شروط المشكلة يساوي 40. لنقم بإنشاء المعادلة وحلها: 4x + 6x = 40؛ 10س=20; س = 4. هذا يعني أن هناك 4 حملان و3∙4=12 دجاجة في الفناء.
كيفية حل مثل هذه المعادلة؟ 27(ن-27)=27؟
27(ن-27)=27
للكشف عن العامل المجهول، عليك قسمة المنتج على العامل المعلوم:
ن-27=27:27
ن-27=1. للعثور على الحد الأدنى المجهول، عليك إضافة الفرق إلى المطروح:
ن=27+1
ن = 28.
سفيتلانا، مساء الخير، من فضلك ساعدني في أن أشرح لطفل في الصف الخامس كيفية حل المشكلة: تكلفة فنجان القهوة بالسكر 1.10 دولار، تكلفة القهوة 1 دولار أكثر من السكر، كم تكلفة السكر؟ المشكلة هي أنهم لم يختبروا المعادلات ذات المجهولين حتى الآن.
عذرًا، ليس من الممكن دائمًا الرد في الوقت المحدد، للأسف.
لنفترض أن تكلفة السكر x $، ثم تكلفة القهوة (x+1) $. ولذلك فإن فنجان القهوة مع السكر يكلف x+(x+1) $، وهو حسب شروط المشكلة يساوي 1.10$، وننشئ معادلة ونحلها:
س+(س+1)=1.1
س+س+1=1.1
2س=1.1-1
2س=0.1
س=0.1:2
س = 0.55
إذن سعر السكر 0.55 دولار. إذا لم تتم معالجة الكسور العشرية بعد، فأنت بحاجة إلى تحويل الأسعار على الفور إلى سنتات.
كيفية حل المعادلات 29س-15س+16=100
الرجاء المساعدة
14س+16=100
14س=100-16
14س=84
س=84:14
س=6.
www.for6cl.uznateshe.ru
حل المعادلات
يناقش هذا الدرس بالتفصيل كيفية حل المعادلات. ويتم شرح طرق حل المعادلات سواء بالاختيار أو بمراعاة العلاقة بين مكونات عمليتي الجمع والطرح.
إذا واجهت صعوبة في فهم الموضوع ننصحك بمشاهدة درس "المعادلات والمتباينات"
مقدمة لمفهوم "المعادلة"
دعونا نحدد ما هي "المعادلة".
الإجابة الصحيحة: المعادلة هي معادلة رياضية تحتوي على رقم مجهول. يُشار إلى الرقم غير المعروف بأحرف الأبجدية اللاتينية.
دعونا نجد المعادلات بين هذه السجلات.
الإدخال الأول عبارة عن مساواة، لكنه يفتقر إلى حروف الأبجدية اللاتينية، مما يعني أنها ليست معادلة؛
الإدخال الثاني عبارة عن متباينة وبالتالي لا يتوافق مع تعريف المعادلة؛
المدخل الثالث هو مساواة رياضية تحتوي على رقم مجهول، يُشار إليه بحرف من الأبجدية اللاتينية، مما يعني أنها معادلة؛
المدخل الرابع ليس مساواة، مما يعني أنه ليس معادلة.
مقدمة لمفهوم "جذر المعادلة"
ماذا يعني "حل المعادلة"؟
الإجابة الصحيحة: حل المعادلة يعني إيجاد قيمة عددية للمجهول بحيث تكون المساواة صحيحة.
في الرياضيات يقولون: حل المعادلة يعني إيجاد جذر المعادلة.
حل المعادلة باستخدام طريقة الاختيار
من الأرقام 2، 5، 8، 11، نختار لكل معادلة قيمة x التي ستؤدي إلى المساواة الحقيقية.
في المعادلة الأولى 18 = 10 نعوض بالرقم الأول 2. نحصل على: 18-2 = 10. لا يمكن وصف هذه المساواة بأنها حقيقية. وهذا يعني أن الرقم 2 ليس جذر هذه المعادلة. لنعوض بالرقم 5 في هذه المعادلة فنحصل على: 18-5=10. هذه المساواة أيضًا لا يمكن وصفها بأنها حقيقية. وهذا يعني أن الرقم 5 ليس أيضًا جذر هذه المعادلة. لنعوض بالرقم 8 في هذه المعادلة فنحصل على: 18-8=10. يمكن تسمية هذه المساواة بأنها حقيقية. وهذا يعني أن الرقم 8 هو جذر هذه المعادلة.
دعونا نواصل الحديث. في المعادلة 2 + x = 7 نعوض بالرقم الأول 2. نحصل على: 2+2=7. لا يمكن وصف هذه المساواة بأنها حقيقية. وهذا يعني أن الرقم 2 ليس جذر هذه المعادلة. لنعوض بالرقم 5 في هذه المعادلة فنحصل على: 2+5=7. يمكن تسمية هذه المساواة بأنها حقيقية. وهذا يعني أن الرقم 5 هو جذر هذه المعادلة.
2-9=2، لكن 2 أقل من 9، لذلك لا يمكننا إجراء عملية الطرح. عليك أن تحاول استبدال رقم أكبر من 9 في المعادلة فلنعوض بالرقم 11. نحصل على: 11-9=2. يمكن تسمية هذه المساواة بأنها حقيقية. وهذا يعني أن الرقم 11 هو جذر هذه المعادلة.
دعونا نجد جذر المعادلة الأخيرة. لنعوض بالرقم 2 في المعادلة x+8=10. نحصل على: 2+8=10. يمكن تسمية هذه المساواة بأنها حقيقية. وهذا يعني أن الرقم 2 هو جذر هذه المعادلة.
لقد حللنا هذه المعادلات باستخدام طريقة الاختيار. هذه الطريقة ليست مريحة دائمًا. يمكن حل المعادلات بطريقة أخرى، ولكن للقيام بذلك عليك أن تعرف كيفية ارتباط مكونات الجمع والطرح ببعضها البعض.
حل المعادلات بناء على معرفة العلاقة بين مكونات عمليتي الجمع والطرح
دعونا نتحقق من أنفسنا. كيفية العثور على مكونات غير معروفة؟
أ) للعثور على الحد المجهول، عليك طرح الحد المعلوم من المجموع.
ب) للعثور على المطروح المجهول، عليك طرح قيمة الفرق من المطروح.
ج) للعثور على الحد الأدنى المجهول، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى قيمة الفرق.
يرجى ملاحظة: إذا عرفنا كيفية العثور على الحدود والمطرح والمطرح، فيمكننا حل المعادلات بطريقة أخرى.
دعونا نحل المعادلات مع الشرح.
دعونا نفكر مثل هذا. المعادلة 64 + د = 82 تقوم بعملية الجمع. الحد الأول في المعادلة معروف - 64 وقيمة المجموع - 82. الحد الثاني غير معروف. دعونا نتذكر القاعدة: للعثور على حد مجهول، عليك طرح الحد المعروف من المجموع. دعونا نكتبها.
جذر المعادلة هو 18. دعونا نتحقق: 64+18=64+10+8=82. 82=82. هذه معادلة حقيقية. نستنتج: إذا كانت المساواة صحيحة، فقد تم حل المعادلة بشكل صحيح.
المعادلة ب - 36 = 40 هي عملية طرح. المطروح في المعادلة معروف - 36 وقيمة الفرق هي 40. والطرح غير معروف. دعونا نتذكر القاعدة: للعثور على حد طرح غير معروف، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى قيمة الفرق. دعونا نكتبها.
جذر المعادلة هو 76. دعونا نتحقق: 76-36=76-30-6=40. 40=40. هذه معادلة حقيقية. نستنتج: إذا كانت المساواة صحيحة، فقد تم حل المعادلة بشكل صحيح.
المعادلة 82 - ك = 5 تطرح. في المعادلة، الطرح معروف - 82 وقيمة الفرق هي 5. والمطروح غير معروف. دعونا نتذكر القاعدة: للعثور على المطروح المجهول، عليك طرح قيمة الفرق من المطروح. دعونا نكتبها.
جذر المعادلة هو 77. دعونا نتحقق: 82-77=82-70-7=5. 5=5. هذه معادلة حقيقية. نستنتج: إذا كانت المساواة صحيحة، فقد تم حل المعادلة بشكل صحيح
حل المعادلات المقابلة للمخطط المقترح
دعونا نختار المعادلات التي تتوافق مع الرسم البياني ونجد القيمة العددية لـ x (الشكل 1).
أرز. 1. رسم توضيحي للمهمة
دعونا نتحدث. في هذا الرسم البياني نرى الكل - 16، الأجزاء - 2 وx.
دعونا نحاول العثور على معادلة.
خذ بعين الاعتبار المعادلة x-2=16. في هذه المعادلة، x هو الطرح، أي أكبر رقم. لكن العدد الأكبر في الرسم البياني هو 16، مما يعني أن هذه المعادلة غير مناسبة لهذا الرسم البياني.
خذ المعادلة الثانية 2+x=16. نرى أن 2 هو الحد الأول، وx هو الحد الثاني. من حدين نحصل على الكل - 16. نستنتج: هذه المعادلة تناسب الرسم التخطيطي.
دعونا نحلها، ونجد جذر المعادلة. المصطلح الثاني غير معروف. دعونا نتذكر القاعدة: للعثور على حد مجهول، عليك طرح الحد المعروف من المجموع. دعونا نكتبها.
خذ المعادلة الثالثة 16 = 2. في الرسم البياني نرى أن الطرح 16 هو عدد صحيح، x هو المطروح (جزء واحد)، 2 هي قيمة الفرق (الجزء الثاني). نستنتج: هذه المعادلة تناسب الرسم التخطيطي.
دعونا نحلها، ونجد جذر المعادلة. دعونا نتذكر القاعدة: للعثور على المطروح المجهول، عليك طرح قيمة الفرق من المطروح. دعونا نكتبها.
قمنا اليوم في الدرس بحل المعادلات باستخدام طريقة الاختيار وبناء على معرفة العلاقة بين مكونات الأفعال أثناء الجمع والطرح.
مراجع
المعادلة هي مساواة تحتوي على حرف يجب إيجاد قيمته.
في المعادلات، عادة ما يتم تمثيل المجهول بحرف صغير. الحروف الأكثر استخدامًا هي "x" [ix] و"y" [y].
بعد حل المعادلة، نكتب دائمًا شيكًا بعد الإجابة.
معلومات للآباء والأمهات
أعزائي أولياء الأمور، نلفت انتباهكم إلى حقيقة أن الأطفال في المدرسة الابتدائية والصف الخامس لا يعرفون موضوع "الأرقام السالبة".
ولذلك، يجب عليهم حل المعادلات باستخدام خصائص الجمع والطرح والضرب والقسمة فقط. فيما يلي طرق حل المعادلات للصف الخامس.
لا تحاول تفسير حل المعادلات بنقل الأرقام والحروف من جزء من المعادلة إلى جزء آخر مع تغيير الإشارة.
يمكنك تحسين المفاهيم المتعلقة بالجمع والطرح والضرب والقسمة في درس "قوانين الحساب".
حل معادلات الجمع والطرح
كيفية العثور على المجهول
شرط
كيفية العثور على المجهول
تذكير
كيفية العثور على المجهول
طرح
للعثور على الحد المجهول، عليك طرح الحد المعروف من المجموع.
للعثور على الحد الأدنى المجهول، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى الفرق.
للعثور على المطروح المجهول، عليك طرح الفرق من المطرح.
س + 9 = 15
س = 15 − 9
س=6
فحص
س - 14 = 2
س = 14 + 2
س = 16
فحص
16 − 2 = 14
14 = 14
5 - س = 3
س = 5 − 3
س = 2
فحص
حل معادلات الضرب والقسمة
كيفية العثور على مجهول
عامل
كيفية العثور على المجهول
أرباح
كيفية العثور على مجهول
مقسم
للعثور على عامل غير معروف، تحتاج إلى قسمة المنتج على العامل المعلوم.
للعثور على المقسوم المجهول، عليك ضرب حاصل القسمة على المقسوم عليه.
للعثور على مقسوم مجهول، عليك قسمة المقسوم على حاصل القسمة.
ص 4 = 12
ص=12:4
ص=3
فحص
ص: 7 = 2
ص = 2 7
ص=14
فحص
8:ص=4
ص=8:4
ص=2
فحص
المعادلة هي مساواة تحتوي على حرف يجب إيجاد إشارته. حل المعادلة هو مجموعة القيم الحرفية التي تحول المعادلة إلى مساواة حقيقية:
أذكر ذلك لحلها معادلةتحتاج إلى نقل الحدود مع المجهول إلى جزء من المساواة، والمصطلحات العددية إلى الطرف الآخر، وإحضار متشابهة والحصول على المساواة التالية:
ومن المساواة الأخيرة نحدد المجهول وفق القاعدة: "أحد العاملين يساوي حاصل القسمة على العامل الثاني".
بما أن الأعداد النسبية a وb يمكن أن يكون لها نفس العلامات أو علامات مختلفة، فإن علامة المجهول يتم تحديدها من خلال قواعد قسمة الأعداد النسبية.
إجراءات حل المعادلات الخطية
يجب تبسيط المعادلة الخطية عن طريق فتح الأقواس وإجراء عمليات الخطوة الثانية (الضرب والقسمة).
انقل المجهولات إلى أحد طرفي علامة التساوي، والأعداد إلى الجانب الآخر من علامة التساوي، لتحصل على مساواة مطابقة للمعطى،
أحضر المتشابهات عن يسار ويمين علامة التساوي لتحصل على مساواة في الشكل الفأس = ب.
احسب جذر المعادلة (أوجد المجهول Xمن المساواة س = ب : أ),
تحقق من خلال استبدال المجهول في المعادلة المعطاة.
إذا حصلنا على تطابق في المساواة العددية، فسيتم حل المعادلة بشكل صحيح.
حالات خاصة لحل المعادلات
27 (س - 3) = 0
27 لا يساوي 0، مما يعني س - 3 = 0
المثال الثاني له حلين للمعادلة، منذ ذلك الحين
وهذه معادلة من الدرجة الثانية:
إذا كانت معاملات المعادلة كسورًا عادية، فعليك أولاً التخلص من القواسم. للقيام بذلك:
أوجد القاسم المشترك؛
تحديد عوامل إضافية لكل حد من المعادلة؛
ضرب بسط الكسور والأعداد الصحيحة في عوامل إضافية وكتابة جميع حدود المعادلة بدون مقامات (يمكن التخلص من القاسم المشترك)؛
انقل الحدود ذات المجهولات إلى أحد طرفي المعادلة، والحدود العددية إلى الجانب الآخر من علامة التساوي، لتحصل على مساواة مكافئة؛
جلب أعضاء مماثلين؛
الخصائص الأساسية للمعادلات
في أي جزء من المعادلة، يمكنك إضافة مصطلحات مشابهة أو فتح قوس.
يمكن نقل أي حد في المعادلة من جزء من المعادلة إلى آخر عن طريق تغيير إشارته إلى العكس.
يمكن ضرب طرفي المعادلة (قسمتهما) على نفس الرقم، باستثناء 0.
في المثال أعلاه، تم استخدام جميع خصائصه لحل المعادلة.
معادلات الضرب
1) تنمية القدرة على بناء خوارزمية باستخدام مثال بناء خوارزمية لحل معادلات الضرب البسيطة، تنمية القدرة على استخدام الخوارزمية المشيدة عند حل المعادلة.
2) تدريب مهاراتك الحاسوبية وحل المسائل الكلامية.
العمليات العقلية اللازمة في مرحلة التصميم: التحليل، التركيب، المقارنة، القياس.
المرحلة 1. الدافع لأنشطة التعلم
1) تحفيز الطلاب على دراسة الأنشطة،
2) تحديد إطار محتوى الدرس.
تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الأولى:
— ما الموضوع الذي ندرسه في دروس الرياضيات الآن؟ (الضرب والقسمة)
— في أي المهام نستخدم هذه الإجراءات؟ (في حل الأمثلة والمسائل)
- هل تريد معرفة ما هي المهام الأخرى الموجودة التي يمكننا استخدام هذه الإجراءات فيها؟ (نعم)
يا رفاق، انظروا من جاء إلى درسنا اليوم؟ هل تعرفت عليهم؟ ماذا تعرف عن هؤلاء الأبطال؟ (...)
(تظهر علامات الاستفهام). ماذا يحدث؟ عائلة Koloboks في حيرة ومنزعجة. لقد أرادوا إكمال المهمة، لكنهم فشلوا لأول مرة. إنهم لا يعرفون كيفية اكتشاف المعرفة الجديدة. هل يجب أن نساعد؟ (...)
هل من الممكن العمل بنفس الحالة المزاجية مثل الكولوبوكس؟ (مستحيل، لن تكون هناك نتيجة)
دعونا نبتسم لبعضنا البعض ونتمنى لبعضنا البعض حظًا سعيدًا! حسنا، دعونا نتصرف وفقا للخطة لاكتشاف المعرفة الجديدة. أنت تعرفه جيدًا.
المرحلة 2. تحديث المعرفة وإصلاح الصعوبات في إجراء المحاكمة
1) تحديث أساليب العمل المدروسة الكافية للبناء وتثبيتها وتعميمها اللفظي والرمزي ؛
2) تحديث العمليات العقلية والمعرفية الكافية لبناء معرفة جديدة؛
3) الدافع للعمل التربوي التجريبي وتنفيذه المستقل؛
4) تحديد الطلاب للصعوبات الفردية في أداء العمل التربوي التجريبي أو تبريره.
تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الثانية:
1) تحديث صيغ إيجاد المساحة والضلع المجهول للمستطيل.
من أين نبدأ؟ (مع التكرار). هل يجب أن نكرر كل ما نعرفه؟ (لا، فقط ما هو مفيد لنا هو اكتشاف معرفة جديدة)
- ما الذي يجب أن تجده في هذه المهمة؟ (مساحة المستطيل)
- كيف تجد مساحة المستطيل؟ (لإيجاد مساحة المستطيل، اضرب الطول في العرض)
تظهر صيغة المنطقة.
الطلاب إكمال المهمة.
-ما هي المنطقة؟ (18 متر مربع)
- من حصل على إجابة مختلفة؟
- ما هو خطأك؟
- كيفية العثور على الجانب المجهول من المستطيل؟ (لإيجاد الضلع المجهول في المستطيل، قم بتقسيم المساحة على الضلع المعلوم)
- تظهر صيغة لإيجاد الجانب المجهول للمستطيل.
- أنشئ مسألة معكوسة تحتاج فيها إلى إيجاد طول المستطيل (...)
— دعونا نكتب الحل للمشكلة العكسية.
الطالب الذي قام بتأليف المسألة العكسية يحلها على السبورة: 18:3=6(م) – الطول
- الآن قم بإنشاء مشكلة عكسية أخرى.
الطالب الذي قام بتأليف المسألة العكسية يحلها على السبورة: 18:6=3 (م) – العرض
ومن لم يخطئ في هذه المهمة؟ ضع علامة + على ورقة المسار بجانب التكرار. من ارتكب الخطأ؟ لماذا حدث الخطأ؟ هل تفهم السبب؟ قم بتصحيح الخطأ. ماذا ستضع لنفسك؟ (؟ و +).
2) تحديث خوارزمية حل معادلات الجمع والطرح.
- اكتب: مجموع X + 5 يساوي 7. ماذا يمكنك أن تسمي هذا الإدخال؟ (معادلة)
- ما هي المعادلة؟ (المساواة التي يوجد فيها عدد مجهول تسمى معادلة)
- ما الذي سيساعدنا في حل هذه المعادلة؟ (معيار حل معادلات الجمع)
أحد الطلاب على السبورة يعلق. (سأقوم بتعيين مكونات المعادلة، ووضع خط تحت الأجزاء، ووضع دائرة حول الكل (المجموع). أرى أن الجزء غير معروف. للعثور على الجزء غير المعروف، تحتاج إلى طرح الجزء المعروف من المجموع.
ومن لم يخطئ في هذه المهمة؟ ضع علامة + على ورقة المسار بجانب التكرار. من ارتكب الخطأ؟ لماذا حدث الخطأ؟ هل تفهم السبب؟ قم بتصحيح الخطأ. ماذا ستضع لنفسك؟ (- و +).
- لماذا كررنا هذا؟ (سيكون هذا مفيدًا لنا لاكتشاف معرفة جديدة)
- ما هي الخطوة التالية؟ (إجراء اختباري) ما الغرض منه؟ (لنفهم ما لا نعلم)
يقوم المعلم بتوزيع البطاقات على الطلاب بمهمة إجراء تجريبي:
- ما هي المهمة التي يجب إكمالها؟ (حل المعادلة)
- بأي عمل؟ (مع الضرب)
- ما الجديد في هذه المهمة؟ (لم نحل معادلات الضرب)
جرب هذه المهمة. (30 ثانية)
- من لم يكمل المهمة؟
ما الذي لم تتمكن من فعله؟ (لم نتمكن من حل المعادلة)
- من وجد جذر المعادلة؟ ما هي النتائج التي حصلت عليها؟
يقوم المعلم بتسجيل النتائج على السبورة بجوار الإجراء التجريبي.
- تبرير رأيك.
ما الذي لا يمكنك فعله؟ (لا يمكننا تبرير إجابتنا).
لديك مشكلة. (صعوبة). لنضع... (علامة الاستفهام) بجانب الإجراء التجريبي في ورقة المسار.
- ما هي الخطوة التالية في الدرس؟ (اكتشف ما هي مشكلتنا)
- وبما أن هناك صعوبة، فأنت بحاجة إلى... (توقف وفكر)
المرحلة 3. تحديد مكان المشكلة وسببها
1) استعادة العمليات المنفذة وتسجيل موقع الصعوبة؛
2) اربط أفعالك بطريقة العمل المستخدمة، وعلى هذا الأساس، قم بتحديد وتسجيل سبب الصعوبة في الكلام الخارجي.
تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الثالثة:
-ما المهمة التي كان عليك إكمالها؟ (كان علينا حل معادلة الضرب)
- كيف كان تفكيرك أثناء تنفيذ إجراء الاختبار؟ (حاولنا استخدام خوارزمية معروفة لحل المعادلات...)
- ما هي الصعوبة؟ (الخوارزمية غير مناسبة)
لماذا ظهرت الصعوبة؟ (ليس لدينا طريقة لحل معادلات الضرب)
هل تفهم ما لا تعرفه؟ (نعم). ضع علامة + على ورقة المسار الخاصة بك بجوار الخطوة الثالثة.
المرحلة 4. بناء مشروع للخروج من المشكلة
1) الموافقة على الغرض وموضوع الدرس وتسجيله؛
2) بناء الخطة وتحديد وسائل تحقيق الهدف.
تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الرابعة:
- أدركنا ما لا نعرفه، الآن نستطيع... (اكتشف الطريقة بأنفسنا)
تحتاج أولاً إلى تحديد هدف. إذا كنت لا تعرف كيفية حل معادلات الضرب فهدفك هو... (اكتشف طريقة لحل مثل هذه المعادلات)
- صياغة موضوع درسنا (...)
كتابة الموضوع على السبورة:
- سوف نتصرف مثل المحققين الحقيقيين. دعونا نضع خطة عمل. شريحة
- دعونا نفكر في ما يمكن أن يساعدنا. تذكر أنك كررت ذلك في بداية الدرس. (خوارزمية حل معادلات الجمع، صيغة إيجاد المساحة)
- ما هي الصيغة التي يمكن أن تساعدنا؟ (صيغة إيجاد المساحة والضلع المجهول للمستطيل)
— دعونا نحاول تطبيق الصيغة على مساحة المستطيل.
— أقترح استخدام الخوارزمية المعروفة لديك لحل معادلات الجمع.
خوارزمية.
لنستبدل العنصر 1 بـ لنشير إلى مكونات المعادلة باستخدام نموذج المستطيل.
— هل تناسبك النقاط المتبقية من الخوارزمية؟
— باستخدام هذه الخوارزمية، هل يمكنك محاولة حل المعادلة؟
— ما الذي يمكننا فعله لجعل استخدام هذه القاعدة دائمًا أمرًا مناسبًا؟ (دعونا نكتب القاعدة بشكل عام)
لنكتب القاعدة بشكل عام.
- ما هي الوسائل التي سنستخدمها؟
دعونا نحاول تطبيق الصيغة الخاصة بمساحة المستطيل ...
الأدوات: نموذج المستطيل، الخوارزمية.
المرحلة 5. تنفيذ المشروع المكتمل
1) تنفيذ المشروع الذي تم إنشاؤه وفقًا للخطة؛
2) تحديد طرق كتابة العبارات على المعيار.
3) تنظيم تسجيل التغلب على الصعوبة.
4) تنظيم توضيح الطبيعة العامة للمعرفة الجديدة.
تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الخامسة:
أقترح عليك العمل في مجموعات. اذكر قواعد العمل في مجموعات.
قواعد العمل في مجموعات
1. يجب أن يكون هناك شخص مسؤول في المجموعة.
2. واحد يتكلم والآخرون يستمعون.
3. عبر عن عدم موافقتك بأدب.
4. يجب على الجميع العمل.
يشكل الطلاب مجموعات.
- تنفيذ الخطة في مجموعات.
يتلقى الشخص المسؤول من كل مجموعة مهمة.
1. سأستخدم نموذجًا مستطيلًا وأرسم مكونات المعادلة على النموذج.
2. سأطبق القاعدة على مساحة المستطيل. (لإيجاد الضلع المجهول في المستطيل، قم بتقسيم المساحة على الضلع المعلوم)
3. أوجد جذر المعادلة
قمنا بتمييز الأرقام على النموذج المستطيل. ويمكن ملاحظة أن جانب المستطيل غير معروف. للعثور على الجانب المجهول من المستطيل، تحتاج إلى تقسيم المساحة على الجانب المعلوم. أجرينا الحسابات ووجدنا جذر المعادلة، x=5.
- ما الذي يجب القيام به وفقًا للخطة؟ (اكتب المعادلة بالصورة العامة)
- كيف تكتب المعادلة بشكل عام؟ (باستخدام حروف الأبجدية اللاتينية)
- كيف يمكنك تعيين الأرقام في المعادلة التي تمثل جوانب المستطيل؟ (ونؤكد)
— أقترح أخذ الرقم، وهو المنطقة، إلى مستطيل، لماذا هذا مناسب؟ (يذكرني بالصيغة التي نستخدمها)
— هل سيكون من الضروري إنشاء معيار مختلف للحالة التي يكون فيها x مكان عامل آخر؟ (لا)
- لماذا؟ (يمكنك استخدام الخاصية التبادلية للضرب)
— كيف تتحقق من اكتشافك؟ ما هي مفاتيح المعرفة لدينا؟ (انظر في الكتاب المدرسي)
افتح كتبك المدرسية في الصفحة 1. اقرأ القاعدة.
أحسنت! لقد ساعدت الكولوبوكس. الشريحة (تصفيق).
دعنا نعود الآن إلى الإجراء التجريبي.
أكمل ما هو مطلوب على السبورة.
هل تمكنت من التغلب على الصعوبة؟ (نعم). لنضع علامة + على ورقة المسار.
على اللوحة العادية، ضمن الخطوة "سأجد طريقة بنفسي"، قم بإرفاق معايير جديدة.
ماذا يمكنك أن تفعل الآن بمساعدة معرفتك الجديدة؟ (حل المعادلات)
المرحلة 6. التوحيد الأولي
1) تنظيم استيعاب الأطفال لطريقة عمل جديدة عند حل معادلات الضرب مع نطقهم في الكلام الخارجي.
تنظيم العملية التعليمية في المرحلة السادسة:
1) العمل الأمامي. على اللوحة، الجانب الأيسر هو الخوارزمية، والجانب الأيمن هو المعادلة + النموذج.
2) 4 س = 8؛ 3 س = 9؛ س · 4=12.
3) يفتح المعلم مهمة للتوحيد على السبورة. يصعد الطلاب إلى اللوحة واحدًا تلو الآخر ويكملون المهمة بالتعليق. خيار التعليق:
- أولاً سأحدد مساحة المستطيل بمربع، وسأضع خطاً تحت الجوانب. في هذه المعادلة، جانب المستطيل غير معروف. وهذا يعني أنه يجب قسمة مساحة المستطيل على الضلع المعلوم. ثمانية مقسومة على 4 يساوي 2، x يساوي 2.
يتم التعليق على التنفيذ الإضافي للمهمة بنفس الطريقة.
تمارين بدنية للعيون.
سوف نأخذ قسطا من الراحة. وسوف نجد الجواب على كل شيء.
دعونا نقف على أصابع أقدامنا ونمد أذرعنا إلى أعلى.
الأيدي على الخصر، والانحناء إلى الأمام.
الآن دعونا نقفز ونجلس!
الآن استراح الجميع، وهناك قلق جديد:
أنت بحاجة إلى القيام بعمل زوجي ممتاز.
يقوم المعلم بتوزيع بطاقات بمهمة على الأزواج للعمل عليها.
يقوم الطلاب بإكمال المهام في أزواج مع التعليقات. يتم تنظيم الشيك وفقا لنموذج D-7.
- التحقق من النتائج الخاصة بك.
تصحيح الأخطاء. من منا لم يخطئ في هذه المهمة؟ ضع لنفسك علامة + على ورقة المسار بجوار الخطوة الخامسة. من ارتكب الخطأ؟ لماذا حدث الخطأ؟ هل تفهم السبب؟ قم بتصحيح الخطأ. ماذا ستضع لنفسك؟ (؟ و +)
- ما هي الخطوة التالية في الدرس؟ (اختبر أنفسنا لمعرفة ما إذا كان بإمكاننا التعامل مع الأمر بمفردنا)
المرحلة 7. المراقبة الذاتية مع الاختبار الذاتي مقابل المعيار
1) تدريب القدرة على ضبط النفس واحترام الذات؛
2) اختبر قدرتك على حل معادلات الضرب.
تنظيم العملية التعليمية في المرحلة السابعة:
- أكمل هذه المعادلات بنفسك. يقوم الطلاب بعمل مستقل على البطاقات
— يتم تنظيم الشيك وفقًا لمعيار D-8.
- استنتج. (بحاجة إلى مزيد من الممارسة.)
- استنتج. (لقد تعلمنا كل شيء جيدًا.)
- من لم يخطئ في هذه المهمة؟ ضع لنفسك علامة + على ورقة المسار بجوار الخطوة الخامسة. من ارتكب الخطأ؟ لماذا حدث الخطأ؟ هل تفهم السبب؟ قم بتصحيح الخطأ. ماذا ستضع لنفسك؟ (؟ و +).
المرحلة 8. الدمج في نظام المعرفة والتكرار
1) إدراج المعرفة الجديدة في نظام المعرفة؛
2) تدريب القدرة على حل المشكلات.
تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الثامنة:
- ما الذي تحتاج إلى معرفته لحل معادلات الضرب بشكل صحيح؟ (جداول الضرب والقسمة، صيغة المساحة). أقترح عليك حل المشكلة رقم 4 ص2.
يقوم الطلاب بإكمال المهمة. يتم تنظيم الشيك حسب نموذج D-9.
-ومن منكم أخطأ؟
- ما هو الخطأ؟ (في اختيار القاعدة، في الحسابات، ...)
المرحلة 9. التفكير في أنشطة التعلم في الفصل الدراسي
الأهداف:
1) تسجيل المحتوى الجديد الذي تعلمته في الدرس؛
2) تقييم عملك وعمل الفصل في الدرس؛
4) تحديد الاتجاهات للأنشطة التعليمية المستقبلية؛
3) مناقشة الواجبات المنزلية.
تنظيم العملية التعليمية في المرحلة التاسعة:
- ما الهدف الذي حددته لنفسك؟ (...)
– هل حققت هدفك؟ (أثبت ذلك)
- أقترح عليك تقييم عملك في الفصل. قم بإلقاء نظرة أخرى على خطط الدروس الخاصة بك، وانظر كم من الإيجابيات لديك.
— على السبورة العادية توجد صورة لكولوبوك بشكل فردي. واحد يبتسم. أولئك منكم الذين يعتقدون أنهم فهموا وتذكروا الموضوع الجديد، يأخذون علامات التعجب ويعلقونها بجانب Kolobok المبتسم. أولئك الذين ما زالوا غير متأكدين من شيء ما، والذين لا يزال لديهم أسئلة، والذين ارتكبوا أخطاء في عملهم المستقل، يعلقون علامة استفهام بجوار Kolobok الجاد. سوف تتدرب وسوف تتغلب بالتأكيد على الصعوبة التي تواجهك.
- لقد عملت جيدًا اليوم، لكن هل هذا يعني أنك لست بحاجة إلى التدريب بعد الآن؟ (أحتاج إلى القيام بواجباتي المنزلية)
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
حل المعادلات بالضرب
يمكن ربط كمية غير معروفة بكمية معروفة ليس فقط عن طريق علامة + أو -، ولكن أيضًا عن طريق مقسمبمقدار ما، كما في هذه المعادلة: $\frac = b$.
وهنا لا يمكن إيجاد الحل كما في الأمثلة السابقة بنقل حد في المعادلة. ولكن إذا كان كلا شروط المعادلة ضاعفعلى a، تأخذ المعادلة الشكل
$x = أب.$
وهذا يعني أن مقام الكسر الموجود في الطرف الأيسر يحذف. ويمكن إثبات ذلك من خلال خصائص الكسور.
عندما تكون الكمية غير معروفة مقسمبقيمة معلومة، يتم حل المعادلة بواسطة الضربكل جانب بهذا المقدار المعلوم.
ويجب إجراء نفس التحويلات في هذه الحالة كما في الأمثلة السابقة. ومع ذلك، يجب أن نتذكر أنه من الضروري الضرب كلمصطلح المعادلة.
مثال 1. حل المعادلة $\frac + a = b + d$
اضرب كلا الجانبين بـ $c$
سيكون الناتج $x + ac = bc + cd$
و$x = bc + cd - ac$.
مثال 1: حل المعادلة $\frac + د = ح$
اضرب في $a + b$ $x + ad + bd = ah + bh$.
و $x = ag + bh - ad - bd.$
عندما تكون القيمة غير المعروفة موجودة القاسمالكسور، يتم حل المعادلة بطريقة مماثلة، أي عن طريق ضرب المعادلة في المقام.
مثال 3: حل المعادلة $\frac + 7 = 8$
الضرب بـ $10 - x$ $6 + 70 - 7x = 80 - 8x$
ثم $x = 4 $.
على الرغم من أن هذا ليس ضروريا، ولكن غالبًا ما يكون من السهل جدًا التخلص من مقام الكسر الذي يتكون من فقط مشهوركميات ويمكن فعل ذلك بطريقة مماثلة، عندما نتخلص من المقام الذي يتضمن الكمية المجهولة.
لنأخذ $\frac = \frac كمثال +\فارك$
اضرب ب $x = \frac +\فارك$
اضرب في b $bx = ad + \frac $
اضرب بـ c $bcx = acd + abh$.
أو يمكننا الضرب في حاصل ضرب جميع المقامات مرة واحدة.
في نفس المعادلة $\frac = \frac +\فارك$
اضرب الحدود في abc $\frac = \frac +\فارك $
وبعد تخفيض كل قيمة متطابقة في كسر واحد نحصل على $bcx = acd + abh$، كما في الإصدار السابق. من هنا،
في المعادلة يمكننا التخلص منها الكسور، ضرب كل طرف من المعادلة في الكل القواسم.
عند التخلص من الكسور في المعادلة يجب التأكد من كتابة علامات ومعاملات كل كسر بشكل صحيح عند فتح الأقواس
بطاقة الغش "حل المعادلات. كيفية إيجاد المجهول، الضرب والقسمة، 11x20 سم
روسيا هي واحدة من الدول العشر الأكثر قراءة في العالم! إن الاهتمام بالقراءة بين مواطنينا يتزايد من سنة إلى أخرى، وهذا خبر سار، لأنها عادة رائعة ومفيدة للغاية.
من خلال دراسة الأدبيات المختلفة، يمكنك الحصول على الكثير من المعلومات القيمة وتوسيع آفاقك ومفرداتك وتصبح مثقفة. بالإضافة إلى ذلك، يعد الكتاب طريقة رائعة للاسترخاء والاستمتاع. دع ورقة الغش "حل المعادلات. كيفية العثور على المجهول، الضرب والقسمة، 11 × 20 سم سيكون منشورًا مفيدًا آخر في مجموعتك.
يحق لشركة Sima-land أن تختار الأسئلة للنشر بشكل مستقل ودون إخطار المستخدمين. نحن لا ننشر الأسئلة التي:
نحن لا ننشر الأسئلة التي تحتوي على:
تحتفظ Sima-land بالحق في حذف سؤال منشور في أي وقت، وكذلك تحديد الفترة التي تعتبر الأسئلة خلالها ذات صلة والتي يتم نشرها فيها داخل موقع Sima-land الإلكتروني.
ولا نتعهد بأي التزام بإبلاغ المستخدمين بأسباب رفض الأسئلة أو حذف الأسئلة المنشورة مسبقًا.
إذا طرح المستخدم سؤالاً، فإنه يوافق على تلقي إشعارات من موقع سيما لاند حول الإجابات الجديدة لأسئلته.
يحق لـ Sima-land أن تختار بشكل مستقل ودون إخطار المستخدمين المراجعات للنشر. نحن لا ننشر التعليقات التي:
نحن لا ننشر اختيارات ومراجعات المنتجات التي تحتوي على:
تحتفظ Sima-land بالحق في حذف المراجعة المنشورة واختيار ومراجعة المنتجات في أي وقت، وكذلك تحديد الفترة التي تعتبر خلالها المراجعات ذات صلة والتي يتم نشرها فيها داخل موقع Sima-land الإلكتروني بشكل مستقل.
نحن لا نتعهد بأي التزام بإبلاغ المستخدمين بأسباب رفض النشر أو حذف المراجعات والتقييمات والاختيارات ومراجعات المنتجات المنشورة مسبقًا.
إذا قام المستخدم بالرد على مراجعة أو سؤال، فإنه يوافق على تلقي إشعارات من موقع سيما لاند حول الردود الجديدة على تعليقاته.
www.sima-land.ru
في هذا الفيديو سوف نقوم بتحليل مجموعة كاملة من المعادلات الخطية التي تم حلها باستخدام نفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.
أولاً، دعونا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها تسمى الأبسط؟
المعادلة الخطية هي تلك التي يوجد فيها متغير واحد فقط، وحتى الدرجة الأولى فقط.
أبسط معادلة تعني البناء:
يتم تقليل جميع المعادلات الخطية الأخرى إلى أبسطها باستخدام الخوارزمية:
وبطبيعة الحال، هذه الخوارزمية لا تساعد دائما. والحقيقة هي أنه في بعض الأحيان بعد كل هذه المكائد، فإن معامل المتغير $x$ يساوي الصفر. في هذه الحالة، هناك خياران ممكنان:
الآن دعونا نرى كيف يعمل كل هذا باستخدام أمثلة من الحياة الواقعية.
أمثلة على حل المعادلات
اليوم نحن نتعامل مع المعادلات الخطية، وأبسطها فقط. بشكل عام، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط، ولا تصل إلا إلى الدرجة الأولى.
يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:
بعد ذلك، كقاعدة عامة، تحتاج إلى إحضار مماثلة على كل جانب من المساواة الناتجة، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على معامل "x"، وسنحصل على الإجابة النهائية.
من الناحية النظرية، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا، ولكن من الناحية العملية، حتى طلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة يمكن أن يرتكبوا أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادة، يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس أو عند حساب "الإيجابيات" و"السلبيات".
بالإضافة إلى ذلك، قد يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق، أو أن الحل هو خط الأعداد بأكمله، أي. أي رقم. سننظر في هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ، كما فهمت بالفعل، بأبسط المهام.
مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة
أولاً، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:
وبطبيعة الحال، هذا المخطط لا يعمل دائما؛ هناك بعض الخفايا والحيل فيه، والآن سوف نتعرف عليها.
حل أمثلة حقيقية للمعادلات الخطية البسيطة
المهمة رقم 1
الخطوة الأولى تتطلب منا فتح الأقواس. لكنهم ليسوا في هذا المثال، لذلك نتخطى هذه الخطوة. في الخطوة الثانية نحتاج إلى عزل المتغيرات. يرجى ملاحظة: نحن نتحدث فقط عن المصطلحات الفردية. دعنا نكتبها:
نقدم مصطلحات مماثلة على اليسار واليمين، ولكن تم القيام بذلك بالفعل هنا. لذلك ننتقل إلى الخطوة الرابعة: القسمة على المعامل:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
لذلك حصلنا على الجواب.
المهمة رقم 2
يمكننا أن نرى الأقواس في هذه المسألة، لذلك دعونا نوسعها:
نرى على اليسار وعلى اليمين نفس التصميم تقريبًا، ولكن دعونا نتصرف وفقًا للخوارزمية، أي. فصل المتغيرات:
وهنا بعض منها مماثلة:
في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك، يمكننا أن نكتب أن $x$ هو أي رقم.
المهمة رقم 3
المعادلة الخطية الثالثة هي الأكثر إثارة للاهتمام:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
هناك عدة أقواس هنا، لكنها غير مضروبة بأي شيء، فهي ببساطة مسبوقة بعلامات مختلفة. دعونا نقسمها:
نقوم بالخطوة الثانية المعروفة لنا بالفعل:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
دعونا نفعل الرياضيات:
ننفذ الخطوة الأخيرة - نقسم كل شيء على معامل "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية
إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا، أود أن أقول ما يلي:
الصفر هو نفس الرقم الموجود في الأرقام الأخرى، ويجب ألا تميز ضده بأي شكل من الأشكال أو تفترض أنك إذا حصلت على الصفر، فهذا يعني أنك ارتكبت خطأ ما.
ميزة أخرى تتعلق بفتح الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون هناك "ناقص" أمامهم، نقوم بإزالته، ولكن بين قوسين نقوم بتغيير العلامات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه باستخدام الخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.
إن فهم هذه الحقيقة البسيطة سيساعدك على تجنب ارتكاب أخطاء غبية ومؤذية في المدرسة الثانوية، عندما يكون القيام بهذه الأشياء أمرا مفروغا منه.
حل المعادلات الخطية المعقدة
دعنا ننتقل إلى معادلات أكثر تعقيدا. الآن ستصبح الإنشاءات أكثر تعقيدًا وستظهر دالة تربيعية عند إجراء تحويلات مختلفة. ومع ذلك، لا ينبغي لنا أن نخاف من ذلك، لأنه إذا كنا، وفقا لخطة المؤلف، نحل معادلة خطية، فعند عملية التحويل، سيتم إلغاء جميع أحاديات الحد التي تحتوي على دالة تربيعية بالضرورة.
المثال رقم 1
من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. دعونا نفعل ذلك بعناية فائقة:
والآن دعونا نلقي نظرة على الخصوصية:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
وهنا بعض منها مماثلة:
ومن الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول، لذلك سنكتب هذا في الإجابة:
\[\varnothing\]
أو لا توجد جذور.
المثال رقم 2
نحن نقوم بنفس الإجراءات. الخطوة الأولى:
دعنا ننقل كل شيء بمتغير إلى اليسار، وبدونه - إلى اليمين:
وهنا بعض منها مماثلة:
من الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل، لذا سنكتبها بهذه الطريقة:
\[\فارنوثينغ\]،
أو لا توجد جذور.
الفروق الدقيقة في الحل
تم حل كلتا المعادلتين بالكامل. باستخدام هذين التعبيرين كمثال، كنا مقتنعين مرة أخرى أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية، قد لا يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك جذور واحدة، أو لا شيء، أو عدد لا نهائي من الجذور. في حالتنا، تناولنا معادلتين، ليس لكل منهما جذور.
لكني أود أن ألفت انتباهكم إلى حقيقة أخرى: كيفية العمل مع الأقواس وكيفية فتحها إذا كانت هناك علامة ناقص أمامها. خذ بعين الاعتبار هذا التعبير:
قبل الفتح، تحتاج إلى مضاعفة كل شيء بـ "X". يرجى ملاحظة: يتضاعف كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل فترتان - على التوالي، فترتان ومضروبة.
وفقط بعد الانتهاء من هذه التحولات التي تبدو بدائية ولكنها مهمة وخطيرة للغاية، يمكنك فتح القوس من وجهة نظر حقيقة وجود علامة ناقص بعدها. نعم، نعم: الآن فقط، عند اكتمال التحولات، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام الأقواس، مما يعني أن كل شيء أدناه يغير العلامات ببساطة. وفي الوقت نفسه، تختفي الأقواس نفسها، والأهم من ذلك، أن "الطرح" الأمامي يختفي أيضًا.
ونفعل نفس الشيء مع المعادلة الثانية:
ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه إلى هذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير ذات أهمية. لأن حل المعادلات هو دائمًا سلسلة من التحولات الأولية، حيث يؤدي عدم القدرة على تنفيذ إجراءات بسيطة بوضوح وكفاءة إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون مرة أخرى حل مثل هذه المعادلات البسيطة.
وبطبيعة الحال، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات إلى درجة التلقائية. لن تضطر بعد الآن إلى إجراء العديد من التحويلات في كل مرة؛ بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. ولكن بينما تتعلم فقط، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.
حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا
ما سنقوم بحله الآن، بالكاد يمكن أن يسمى أبسط مهمة، لكن المعنى يبقى كما هو.
المهمة رقم 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
دعونا نضرب جميع العناصر في الجزء الأول:
دعونا نفعل بعض الخصوصية:
وهنا بعض منها مماثلة:
فلنكمل الخطوة الأخيرة:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
هنا هو جوابنا النهائي. وعلى الرغم من أنه أثناء عملية الحل كانت لدينا معاملات ذات دالة تربيعية، إلا أنها ألغت بعضها البعض، مما يجعل المعادلة خطية وليست تربيعية.
المهمة رقم 2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
لننفذ الخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر من القوس الأول بكل عنصر من القوس الثاني. يجب أن يكون هناك إجمالي أربعة مصطلحات جديدة بعد التحويلات:
الآن دعونا نجري عملية الضرب بعناية في كل حد:
لننقل المصطلحات التي تحتوي على "X" إلى اليسار، وتلك التي لا تحتوي على - إلى اليمين:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
وهنا مصطلحات مماثلة:
ومرة أخرى تلقينا الجواب النهائي.
الفروق الدقيقة في الحل
وأهم ملاحظة حول هاتين المعادلتين هي ما يلي: بمجرد أن نبدأ بضرب الأقواس التي تحتوي على أكثر من حد يتم ذلك وفق القاعدة التالية: نأخذ الحد الأول من الأول ونضرب بكل عنصر من الثاني؛ ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضربه كذلك في كل عنصر من العنصر الثاني. ونتيجة لذلك، سيكون لدينا أربعة حدود.
حول المجموع الجبري
بهذا المثال الأخير، أود أن أذكر الطلاب ما هو المجموع الجبري. في الرياضيات الكلاسيكية، نعني بـ 1-7 دولارات بناءًا بسيطًا: طرح سبعة من واحد. ونقصد في الجبر ما يلي: إلى العدد "واحد" نضيف رقما آخر وهو "ناقص سبعة". هذه هي الطريقة التي يختلف بها المجموع الجبري عن المجموع الحسابي العادي.
بمجرد إجراء جميع التحويلات، كل إضافة وضرب، تبدأ في رؤية إنشاءات مماثلة لتلك الموصوفة أعلاه، فلن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.
أخيرًا، دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة أخرى ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو، ولحلها، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا قليلاً.
حل المعادلات بالكسور
لحل مثل هذه المهام، سيتعين علينا إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً، دعني أذكرك بالخوارزمية التي لدينا:
للأسف، هذه الخوارزمية الرائعة، على الرغم من فعاليتها، ليست مناسبة تمامًا عندما تكون أمامنا كسور. وفيما سنراه أدناه، لدينا كسر على كل من اليسار واليمين في كلتا المعادلتين.
كيفية العمل في هذه الحالة؟ نعم، الأمر بسيط جدًا! للقيام بذلك، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية، والتي يمكن القيام بها قبل الإجراء الأول وبعده، أي التخلص من الكسور. لذلك ستكون الخوارزمية كما يلي:
ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا يمكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع، في حالتنا، جميع الكسور عددية في مقامها، أي. في كل مكان القاسم هو مجرد رقم. ولذلك، إذا ضربنا طرفي المعادلة في هذا العدد، فسنتخلص من الكسور.
المثال رقم 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
دعونا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة، أي. فقط لأن لديك قوسين لا يعني أن عليك ضرب كل منهما بـ "أربعة". دعونا نكتب:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
الآن دعونا نتوسع:
نعزل المتغير:
نقوم بإجراء تخفيض المصطلحات المماثلة:
\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
لقد حصلنا على الحل النهائي، فلننتقل إلى المعادلة الثانية.
المثال رقم 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
هنا نقوم بتنفيذ جميع الإجراءات نفسها:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
تم حل المشكلة.
وهذا، في الواقع، هو كل ما أردت أن أخبرك به اليوم.
النقاط الرئيسية
النتائج الرئيسية هي:
آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لمزيد من الفهم لجميع الرياضيات. إذا كان هناك شيء غير واضح، فانتقل إلى الموقع وحل الأمثلة المعروضة هناك. لا تنزعج، العديد من الأشياء الأكثر إثارة للاهتمام في انتظاركم!