إذا كانت قيمة المتغير في التعبير \(\sqrt(x-2)\) هي \(0\)، فسيتم انتهاك القاعدة: يجب ألا يكون التعبير الجذري سلبيًا. هذا يعني أن \(x\) هنا لا يمكن أن يكون \(0\)، وكذلك \(1، -3، -52.7\)، وما إلى ذلك. أي أن x يجب أن تكون أكبر من أو تساوي 2 وستكون ODZ: \(x\geq2\);
لكن في التعبير \(4x+1\) يمكننا استبدال أي رقم بدلاً من X، ولن يتم كسر أي قواعد. ولذلك فإن نطاق القيم المقبولة هنا هو المحور العددي بأكمله. في مثل هذه الحالات، لا يتم تسجيل DZلأنه لا يحتوي على معلومات مفيدة.
يمكنك العثور على جميع القواعد التي يجب اتباعها.
ODZ في المعادلات
من المهم أن تتذكر نطاق القيم المقبولة عند اتخاذ القرار، لأنه نحن نبحث فقط عن قيم المتغيرات ويمكن أن نجد بالصدفة قيمًا تنتهك قواعد الرياضيات.
لفهم أهمية ODZ، دعونا نقارن حلين للمعادلة: مع ODZ وبدون ODZ.
مثال:
حل المعادلة
حل
:
| بدون ODZ: | مع أودز: | |
| \(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | \(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | |
| ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\) | ||
| \(س^2-س=12\) | \(س^2-س=12\) | |
| \(س^2-س-12=0\) | \(س^2-س-12=0\) | |
| \(د=(-1)^2-4·1·(-12)=49\) | \(د=(-1)^2-4·1·(-12)=49\) | |
| \(x_1=\)\(=4\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\) | |
| \(x_1=\)\(=-3\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2·1)\)\(=-3\) - غير مؤهل لـ ODZ | |
| إجابة : \(4; -3\) | إجابة : \(4\) |
هل ترى الفرق؟ في الحل الأول، كان لدينا خطأ إضافي في إجابتنا! لما خطأ؟ دعونا نحاول التعويض بها في المعادلة الأصلية.
\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)
كما ترون، لقد حصلنا على تعبيرات غير قابلة للحساب ولا معنى لها سواء على اليسار أو على اليمين (بعد كل شيء، لا يمكنك القسمة على صفر). وحقيقة أنهم متماثلون لم يعد يلعب أي دور، لأن هذه القيم غير موجودة. وبالتالي، فإن "\(-3\)" هو جذر غير مناسب ودخيل، ونطاق القيم المقبولة يحمينا من مثل هذه الأخطاء الجسيمة.
ولهذا السبب ستحصل على D للحل الأول، وA للحل الثاني. وهذه ليست مراوغات مملة للمعلم، لأن الفشل في مراعاة المواد المستنفدة للأوزون ليس تافهًا، ولكنه خطأ محدد للغاية، تمامًا مثل الإشارة المفقودة أو تطبيق الصيغة الخاطئة. بعد كل شيء، الإجابة النهائية خاطئة!
غالبًا ما يؤدي العثور على نطاق القيم المقبولة إلى الحاجة إلى حل أو معادلات، لذلك يجب أن تكون قادرًا على القيام بذلك بشكل جيد.
مثال : ابحث عن مجال التعبير \(\sqrt(5-2x)+\) \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2))))\)
حل : هناك جذرين في التعبير، أحدهما في المقام. ومن لا يتذكر القيود المفروضة في هذه الحالة فهو... أي شخص يتذكر يكتب أن التعبير تحت الجذر الأول أكبر من أو يساوي صفر، وتحت الجذر الثاني أكبر من صفر. هل تفهم لماذا القيود هي كما هي؟
إجابة : \((-2;2,5]\)أي تعبير يحتوي على متغير له نطاق خاص به من القيم الصالحة، حيثما وجد. يجب دائمًا أخذ ODZ في الاعتبار عند اتخاذ القرارات. إذا كانت مفقودة، قد تحصل على نتيجة غير صحيحة.
ستوضح لك هذه المقالة كيفية العثور على ODZ بشكل صحيح واستخدام الأمثلة. سيتم أيضًا مناقشة أهمية الإشارة إلى DZ عند اتخاذ القرار.
Yandex.RTB RA-A-339285-1
قيم متغيرة صالحة وغير صالحة
يرتبط هذا التعريف بالقيم المسموح بها للمتغير. عند تقديم التعريف، دعونا نرى النتيجة التي سيؤدي إليها.
بدءًا من الصف السابع نبدأ العمل بالأرقام و التعبيرات العددية. تعريفات أوليةمع المتغيرات يقفز إلى معنى التعبيرات مع المتغيرات المحددة.
عندما تكون هناك تعبيرات ذات متغيرات محددة، فقد لا يكون بعضها مرضيًا. على سبيل المثال، تعبير بالشكل 1: أ، إذا كانت أ = 0، فهذا لا معنى له، لأنه من المستحيل القسمة على صفر. أي أن التعبير يجب أن يكون له قيم مناسبة على أي حال وسيعطي إجابة. وبعبارة أخرى، فهي منطقية مع المتغيرات الموجودة.
التعريف 1
إذا كان هناك تعبير يحتوي على متغيرات، فسيكون منطقيًا فقط إذا كان من الممكن حساب القيمة عن طريق استبدالها.
التعريف 2
إذا كان هناك تعبير يحتوي على متغيرات، فليس من المنطقي عندما لا يمكن حساب القيمة عند استبدالها.
وهذا يعني أن هذا يعني تعريفًا كاملاً
التعريف 3
المتغيرات المسموح بها هي تلك القيم التي يكون التعبير منطقيًا لها. وإذا لم يكن لها معنى، فهي تعتبر غير مقبولة.
لتوضيح ما سبق: إذا كان هناك أكثر من متغير، فمن الممكن أن يكون هناك زوج من القيم المناسبة.
مثال 1
على سبيل المثال، فكر في تعبير بالصيغة 1 x - y + z، حيث يوجد ثلاثة متغيرات. بخلاف ذلك، يمكنك كتابتها بالشكل x = 0، y = 1، z = 2، بينما يكون الإدخال الآخر بالصيغة (0، 1، 2). تسمى هذه القيم صالحة، مما يعني أنه يمكن العثور على قيمة التعبير. نحصل على 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. ومن هذا نرى أن (1، 1، 2) غير مقبولة. ينتج عن الاستبدال القسمة على صفر، أي 1 1 - 2 + 1 = 1 0.
ما هو ODZ؟
نطاق القيم المقبولة – عنصر مهمعند الحساب تعبيرات جبرية. لذلك، يجدر الانتباه إلى هذا عند إجراء الحسابات.
التعريف 4
منطقة ODZهي مجموعة القيم المسموح بها لتعبير معين.
دعونا نلقي نظرة على مثال التعبير.
مثال 2
إذا كان لدينا تعبير بالشكل 5 z - 3، فإن ODZ له الصيغة (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . هذا هو نطاق القيم الصالحة التي تلبي المتغير z لتعبير معين.
إذا كانت هناك تعبيرات بالشكل z x - y، فمن الواضح أن x ≠ y, z يأخذ أي قيمة. وهذا ما يسمى تعبيرات ODZ. ويجب مراعاتها حتى لا تحصل على القسمة على صفر عند الاستبدال.
نطاق القيم المسموح بها ونطاق التعريف لهما نفس المعنى. يتم استخدام الثاني فقط للتعبيرات، ويستخدم الأول للمعادلات أو المتباينات. بمساعدة DL، يصبح التعبير أو عدم المساواة منطقيًا. يتطابق مجال تعريف الدالة مع نطاق القيم المسموح بها للمتغير x للتعبير f (x).
كيفية العثور على ODZ؟ أمثلة، حلول
العثور على ODZ يعني العثور على جميع القيم الصالحة المناسبة لها وظيفة معينةأو عدم المساواة. قد يؤدي عدم استيفاء هذه الشروط إلى نتائج غير صحيحة. ل العثور على ODZغالبًا ما يكون من الضروري إجراء تحولات في تعبير معين.
هناك تعبيرات حيث حسابها مستحيل:
- إذا كان هناك القسمة على صفر؛
- أخذ جذر عدد سالب؛
- وجود مؤشر عدد صحيح سلبي – فقط للأرقام الموجبة؛
- حساب لوغاريتم الرقم السالب.
- مجال تعريف الظل π 2 + π · k, k ∈ Z وظل التمام π · k, k ∈ Z;
- إيجاد قيمة قوس جيب التمام وقوس جيب التمام لعدد ما لقيمة لا تنتمي إلى [ - 1 ; 1] .
كل هذا يوضح مدى أهمية الحصول على ODZ.
مثال 3
أوجد تعبير ODZ x 3 + 2 x y − 4 .
حل
يمكن تكعيب أي رقم. هذا التعبيرلا يحتوي على كسر، وبالتالي فإن قيم x و y يمكن أن تكون أي شيء. وهذا يعني أن ODZ هو أي رقم.
إجابة: x و y - أي قيم.
مثال 4
أوجد ODZ للتعبير 1 3 - x + 1 0.
حل
يمكن ملاحظة أن هناك كسرًا واحدًا مقامه صفر. هذا يعني أنه لأي قيمة x سنحصل على القسمة على صفر. وهذا يعني أنه يمكننا أن نستنتج أن هذا التعبير يعتبر غير محدد، أي أنه ليس عليه أي مسؤولية إضافية.
إجابة: ∅ .
مثال 5
أوجد ODZ للتعبير المعطى x + 2 · y + 3 - 5 · x.
حل
وجود الجذر التربيعي يعني أن هذا التعبير يجب أن يكون أكبر من أو يساوي الصفر. في قيمة سالبةهذا لا معنى له. هذا يعني أنه من الضروري كتابة متباينة بالشكل x + 2 · y + 3 ≥ 0. أي أن هذا هو النطاق المطلوب من القيم المقبولة.
إجابة:مجموعة x وy، حيث x + 2 y + 3 ≥ 0.
مثال 6
حدد تعبير ODZ بالشكل 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .
حل
بالشرط، لدينا كسر، لذا يجب ألا يساوي مقامه صفرًا. نحصل على ذلك x + 1 - 1 ≠ 0. يكون التعبير الجذري منطقيًا دائمًا عندما يكون أكبر من أو يساوي الصفر، أي x + 1 ≥ 0. نظرًا لأنه يحتوي على لوغاريتم، فيجب أن يكون تعبيره موجبًا تمامًا، أي x 2 + 3 > 0. يجب أن يكون لقاعدة اللوغاريتم أيضًا قيمة إيجابيةومختلفة عن 1، ثم نضيف الشروط x + 8 > 0 و x + 8 ≠ 1. ويترتب على ذلك أن ODZ المرغوب فيه سيأخذ الشكل:
س + 1 - 1 ≠ 0، س + 1 ≥ 0، س 2 + 3 > 0، س + 8 > 0، س + 8 ≠ 1
وبعبارة أخرى، يطلق عليه نظام المتباينات ذات المتغير الواحد. سيؤدي الحل إلى ترميز ODZ التالي [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .
إجابة: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)
لماذا من المهم أخذ DPD في الاعتبار عند قيادة التغيير؟
أثناء تحويلات الهوية، من المهم العثور على ODZ. هناك حالات لا يحدث فيها وجود ODZ. لفهم ما إذا كان تعبير معين له حل، تحتاج إلى مقارنة VA لمتغيرات التعبير الأصلي و VA للمتغير الناتج.
تحولات الهوية:
- قد لا يؤثر على DL؛
- قد يؤدي إلى توسيع أو إضافة DZ؛
- يمكن تضييق DZ.
لنلقي نظرة على مثال.
مثال 7
إذا كان لدينا تعبير بالشكل x 2 + x + 3 · x، فسيتم تعريف ODZ الخاص به على نطاق التعريف بأكمله. حتى عند جلب مصطلحات مماثلةوتبسيط التعبير ODZ لا يتغير.
مثال 8
إذا أخذنا مثال التعبير x + 3 x − 3 x، فالأمر مختلف. لدينا تعبير كسري. ونعلم أن القسمة على صفر غير مقبولة. ثم يكون لـ ODZ الصيغة (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . نلاحظ أن الصفر ليس حلاً، لذا نضيفه بين قوسين.
لنفكر في مثال بوجود تعبير جذري.
مثال 9
إذا كان هناك x - 1 · x - 3، فيجب عليك الانتباه إلى ODZ، حيث يجب كتابتها على أنها المتراجحة (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. من الممكن الحل بطريقة الفاصل الزمني، ثم نجد أن ODZ ستأخذ الصورة (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . بعد تحويل x - 1 · x - 3 وتطبيق خاصية الجذور، لدينا أنه يمكن استكمال ODZ ويمكن كتابة كل شيء في شكل نظام من المتباينات بالشكل x - 1 ≥ 0، x - 3 ≥ 0. عند حلها نجد أن [ 3 , + ∞) . هذا يعني أن ODZ مكتوب بالكامل على النحو التالي: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .
ولابد من تجنب التحولات التي تعمل على تضييق منطقة DZ.
مثال 10
لنأخذ مثالاً على التعبير x - 1 · x - 3، عندما x = - 1. عند التعويض نحصل على - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . إذا قمنا بتحويل هذا التعبير وإحضاره إلى الشكل x - 1 · x - 3، فعند الحساب نجد أن التعبير 2 - 1 · 2 - 3 لا معنى له، لأن التعبير الجذري لا ينبغي أن يكون سالبًا.
ينبغي الالتزام بها تحولات الهوية، والذي لن يتغير ODZ.
إذا كانت هناك أمثلة تتوسع فيه، فيجب إضافته إلى DL.
مثال 11
لنلقِ نظرة على مثال الكسور بالشكل x x 3 + x. إذا ألغينا x، فسنحصل على 1 x 2 + 1. ثم تتوسع ODZ وتصبح (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . علاوة على ذلك، عند الحساب، نحن نعمل بالفعل مع الكسر المبسط الثاني.
في وجود اللوغاريتمات، فإن الوضع مختلف قليلا.
مثال 12
إذا كان هناك تعبير بالشكل ln x + ln (x + 3)، فسيتم استبداله بـ ln (x · (x + 3))، بناءً على خاصية اللوغاريتم. من هذا يمكننا أن نرى أن ODZ من (0 , + ∞) إلى (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . لذلك ل تعريفات ADL ln (x · (x + 3)) من الضروري إجراء العمليات الحسابية على مجموعة ODZ، أي المجموعة (0 , + ∞).
عند الحل، من الضروري دائمًا الانتباه إلى بنية وشكل التعبير المحدد. في الموقع الصحيحمنطقة التعريف ستكون النتيجة إيجابية.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
الوظيفة هي نموذج. دعونا نعرّف X على أنها مجموعة قيم لمتغير مستقل // يعني أي مستقل.
الدالة هي قاعدة يمكن من خلالها العثور على قيمة فريدة للمتغير التابع لكل قيمة لمتغير مستقل من المجموعة X. // أي. لكل x يوجد y واحد.
ويترتب على التعريف أن هناك اثنين المفاهيم - مستقلةمتغير (نشير إليه بـ x ويمكن أن يأخذ أي قيمة) ومتغير تابع (نشير إليه بـ y أو f(x) ويتم حسابه من الدالة عندما نستبدل x).
على سبيل المثال ص=5+س
1. المستقل هو x، مما يعني أننا نأخذ أي قيمة، دع x = 3
2. الآن دعونا نحسب y، وهو ما يعني y=5+x=5+3=8. (y يعتمد على x، لأنه مهما كان x الذي نستبدله، فإننا نحصل على نفس y)
يقولون أن المتغير y يعتمد وظيفيا على المتغير x وهذا ما يدل عليه بالطريقة الآتية: ص = و (س).
على سبيل المثال.
1.ص=1/س. (يسمى مبالغة)
2.ص=س^2. (يسمى القطع المكافئ)
3.ص=3س+7. (يسمى الخط المستقيم)
4. ص= √ س. (يسمى فرع القطع المكافئ)
المتغير المستقل (الذي نشير إليه بـ x) يسمى وسيطة الدالة.
مجال الوظيفة
مجموعة جميع القيم التي تأخذها وسيطة الدالة تسمى مجال الدالة ويشار إليها بـ D(f) أو D(y).
خذ بعين الاعتبار D(y) لـ 1.,2.,3.,4.
1. D (у)= (∞; 0) و (0;+∞) // المجموعة بأكملها أرقام حقيقية، باستثناء الصفر.
2. D (y)= (∞; +∞)//كل عدد الأعداد الحقيقية
3. D (y)= (∞; +∞)//كل عدد الأعداد الحقيقية
4. د (ص)= - ∞; + ∞[ .
مثال 1. ابحث عن مجال الدالة ذ = 2 .
حل. ولم يتم الإشارة إلى مجال تعريف الدالة، مما يعني أنه بموجب التعريف أعلاه يقصد بالمجال الطبيعي للتعريف. تعبير F(س) = 2 محددة لأي قيم حقيقية س، لذلك، هذه الوظيفةمحددة على المجموعة بأكملها ر أرقام حقيقية.
لذلك، في الرسم أعلاه، يتم تظليل خط الأعداد على طول الطريق من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية.
منطقة تعريف الجذر نالدرجة العاشرة
في حالة إعطاء الوظيفة بواسطة الصيغة و ن- عدد طبيعي:
مثال 2. ابحث عن مجال دالة .
حل. على النحو التالي من التعريف، يكون جذر الدرجة الزوجية منطقيًا إذا كان التعبير الجذري غير سالب، أي إذا - 1 ≥ س≥ 1. ولذلك فإن مجال تعريف هذه الوظيفة هو [- 1؛ 1] .
المنطقة المظللة لخط الأعداد في الرسم أعلاه هي مجال تعريف هذه الدالة.
مجال وظيفة السلطة
مجال دالة القدرة ذات الأس الصحيح
لو أ- موجب، فإن مجال تعريف الدالة هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية، وهي ]- ∞؛ + ∞[ ;
لو أ- سالب، فمجال تعريف الدالة هو المجموعة ]- ∞؛ 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , أي خط الأعداد بالكامل باستثناء الصفر.
في الرسم المقابل أعلاه، يتم تظليل خط الأعداد بالكامل، ويتم ثقب النقطة المقابلة للصفر (لا يتم تضمينها في مجال تعريف الدالة).
مثال 3. ابحث عن مجال دالة .
حل. الفصل الدراسي الأول درجة كاملة x يساوي 3، ويمكن تمثيل درجة x في الحد الثاني كواحد - وهو أيضًا عدد صحيح. وبالتالي، فإن مجال تعريف هذه الدالة هو خط الأعداد بأكمله، وهو ]- ∞; + ∞[ .
مجال دالة القدرة ذات الأس الكسرى
في الحالة التي يتم فيها إعطاء الوظيفة بالصيغة:
إذا كانت موجبة، فإن مجال تعريف الدالة هو المجموعة 0؛ + ∞[ .
مثال 4. أوجد مجال الدالة .
حل. كلا المصطلحين في تعبير الوظيفة هما وظائف الطاقةمع الأسس الكسرية الإيجابية. وبالتالي، فإن مجال تعريف هذه الدالة هو المجموعة - ∞; + ∞[ .
مجال الدوال الأسية واللوغاريتمية
مجال الدالة الأسية
في حالة إعطاء دالة بواسطة صيغة، يكون مجال تعريف الدالة هو خط الأعداد بأكمله، وهو ] - ∞; + ∞[ .
مجال الدالة اللوغاريتمية
يتم تعريف الدالة اللوغاريتمية بشرط أن تكون وسيطتها موجبة، أي أن مجال تعريفها هو المجموعة ]0؛ + ∞[ .
ابحث عن مجال الدالة بنفسك ثم انظر إلى الحل
مجال الدوال المثلثية
مجال الوظيفة ذ= كوس( س) - نفس المجموعة ر أرقام حقيقية.
مجال الوظيفة ذ= تيراغرام( س) - مجموعة من ر
أعداد حقيقية غير الأعداد 
.
مجال الوظيفة ذ= ctg( س) - مجموعة من ر الأعداد الحقيقية، باستثناء الأعداد.
مثال 8. أوجد مجال الدالة .
حل. وظيفة خارجية - اللوغاريتم العشريومجال تعريفه يخضع لشروط مجال التعريف وظيفة لوغاريتميةعلى الاطلاق. أي أن حجتها يجب أن تكون إيجابية. الوسيطة هنا هي جيب "x". وبتدوير بوصلة خيالية حول دائرة، نرى أن الشرط هو الخطيئة س> 0 تم انتهاكه بـ "x" يساوي الصفر، "pi"، اثنان، مضروبًا في "pi" وبشكل عام يساوي المنتج pi وأي عدد صحيح زوجي أو فردي.
وبالتالي، يتم تحديد مجال تعريف هذه الوظيفة من خلال التعبير
,
أين ك- عدد صحيح.
مجال تعريف الدوال المثلثية العكسية
مجال الوظيفة ذ= أركسين( س) - مجموعة 1؛ 1] .
مجال الوظيفة ذ= أركوس( س) - أيضًا المجموعة [-1؛ 1] .
مجال الوظيفة ذ= أركانتان ( س) - مجموعة من ر أرقام حقيقية.
مجال الوظيفة ذ= أرككتج( س) - نفس المجموعة ر أرقام حقيقية.
مثال 9. أوجد مجال الدالة .
حل. دعونا نحل عدم المساواة:
وهكذا نحصل على مجال تعريف هذه الوظيفة - المقطع [- 4؛ 4] .
مثال 10. أوجد مجال الدالة
.
حل. دعونا نحل متباينتين:
حل المتباينة الأولى:
حل المتباينة الثانية:
وهكذا نحصل على مجال تعريف هذه الوظيفة - الجزء.
نطاق الكسر
إذا تم إعطاء الوظيفة التعبير الكسري، حيث يكون المتغير في مقام الكسر، فإن مجال تعريف الدالة هو المجموعة ر الأعداد الحقيقية، باستثناء هذه سحيث يصبح مقام الكسر صفراً.
مثال 11. أوجد مجال الدالة .
حل. وبحل مساواة مقام الكسر بالصفر، نجد مجال تعريف هذه الدالة - المجموعة ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .