الوظائف الأولية الأساسية في شكل نقينادرًا ما يكون بدون تحويل، لذلك يتعين عليك في أغلب الأحيان العمل مع الوظائف الأولية التي تم الحصول عليها من الوظائف الرئيسية عن طريق إضافة الثوابت والمعاملات. يتم إنشاء هذه الرسوم البيانية باستخدام التحولات الهندسية للمعطى وظائف أولية.
دعونا نفكر في مثال دالة تربيعية على الصورة y = - 1 3 x + 2 3 2 + 2، ورسمها البياني هو القطع المكافئ y = x 2، والذي تم ضغطه ثلاث مرات بالنسبة إلى Oy ومتماثل بالنسبة إليه إلى Ox، وتم إزاحته بمقدار 2 3 على طول Ox إلى اليمين، بمقدار وحدتين على طول Oy. على خط الإحداثيات يبدو كما يلي:
Yandex.RTB RA-A-339285-1
التحولات الهندسية للرسم البياني للدالة
التقديم التحولات الهندسيةل من هذا الجدول الزمنينجد أن الرسم البياني موضح بوظيفة بالشكل ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b، عندما تكون k 1 > 0، k 2 > 0 معاملات ضغط عند 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 >1، ك 2 > 1 على طول O y و O x. تشير الإشارة الموجودة أمام المعاملين k 1 و k 2 إلى عرض متماثل للرسم البياني بالنسبة إلى المحاور، حيث يقوم a و b بنقله على طول O x وعلى طول O y.
التعريف 1
هناك 3 أنواع التحولات الهندسية للرسم البياني:
- التحجيمعلى طول O x و O y. ويتأثر هذا بالمعاملين k 1 و k 2 بشرط ألا يساويا 1 عند 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у, а растягивается по О х, когда k 1 >1، k 2 > 1، ثم يتم تمديد الرسم البياني على طول O y وضغطه على طول O x.
- عرض متماثل بالنسبة إلى محاور الإحداثيات.إذا كانت هناك علامة "-" أمام k 1، فإن التماثل يكون نسبة إلى O x، وأمام k 2 يكون نسبة إلى O y. إذا كان "-" مفقودًا، فسيتم تخطي العنصر عند الحل؛
- النقل الموازي (التحول)على طول O x و O y. يتم إجراء التحويل إذا كانت هناك معاملات a وb غير مساوية للصفر. إذا كانت a موجبة، فسيتم إزاحة الرسم البياني إلى اليسار بمقدار | أ | الوحدات، إذا كانت a سالبة، فإلى اليمين على نفس المسافة. تحدد قيمة b الحركة على طول المحور O y، مما يعني أنه عندما تكون b موجبة، تتحرك الدالة لأعلى، وعندما تكون b سالبة، تتحرك لأسفل.
دعونا نلقي نظرة على الحلول باستخدام الأمثلة، بدءًا من وظيفة الطاقة.
مثال 1
حول y = x 2 3 وارسم الدالة y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3 .
حل
لنمثل الوظائف بهذه الطريقة:
ص = - 1 2 8 x - 4 2 3 + 3 = - 1 2 8 x - 1 2 2 3 + 3 = - 2 x - 1 2 2 3 + 3
حيث k 1 = 2، يجدر الانتباه إلى وجود "-"، a = - 1 2، b = 3. من هنا نحصل على أن التحولات الهندسية يتم تنفيذها عن طريق التمديد على طول O y مرتين، ويتم عرضها بشكل متناظر بالنسبة إلى O x، ويتم إزاحتها إلى اليمين بمقدار 1 2 وإلى الأعلى بمقدار 3 وحدات.
إذا صورنا دالة القدرة الأصلية، فسنحصل على ذلك
عندما امتدت مرتين على طول يا لدينا ذلك
التعيين المتماثل بالنسبة لـ O x له الشكل
وانتقل إلى اليمين بمقدار 1 2
تبدو حركة 3 وحدات لأعلى
دعونا نلقي نظرة على تحويلات الدوال الأسية باستخدام الأمثلة.
مثال 2
أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة الأسية y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8.
حل.
لنقم بتحويل الدالة بناءً على خصائص دالة الطاقة. ثم حصلنا على ذلك
ص = - 1 2 1 2 (2 - س) + 8 = - 1 2 - 1 2 س + 1 + 8 = - 1 2 1 2 - 1 2 س + 8
من هذا يمكننا أن نرى أننا حصلنا على سلسلة من التحولات y = 1 2 x:
y = 1 2 x → y = 1 2 1 2 x → y = 1 2 1 2 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 1 2 x → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 - 1 2 س + 8
نجد أن الأصل وظيفة الأسيةيبدو
الضغط مرتين على طول يا يعطي
تمتد على طول Ox
رسم خرائط متناظرة فيما يتعلق O x
التعيين متماثل بالنسبة لـ O y
تحرك لأعلى 8 وحدات
دعونا نلقي نظرة على الحل باستخدام مثال وظيفة لوغاريتميةص = سجل(س) .
مثال 3
أنشئ الدالة y = ln e 2 · - 1 2 x 3 باستخدام التحويل y = ln (x) .
حل
لحلها من الضروري استخدام خصائص اللوغاريتم، فنحصل على:
y = ln e 2 · - 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln - 1 2 x 1 3 = 1 3 ln - 1 2 x + 2
تبدو تحويلات الدالة اللوغاريتمية كما يلي:
y = ln (x) → y = 1 3 ln (x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln - 1 2 x → y = 1 3 ln - 1 2 x + 2
دعونا نرسم الدالة اللوغاريتمية الأصلية
نقوم بضغط النظام حسب O y
نحن نمتد على طول O x
نقوم بإجراء رسم خرائط فيما يتعلق بـ O y
ننتقل بمقدار وحدتين، نحصل على
لتحويل الرسوم البيانية وظيفة المثلثيةمن الضروري ملاءمة مخطط الحل بالشكل ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b. من الضروري أن يكون k 2 مساوياً لـ T k 2 . ومن هنا نحصل على 0< k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х, при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.
لنلقِ نظرة على أمثلة لحل المشكلات باستخدام التحويلات y = sin x.
مثال 4
أنشئ رسمًا بيانيًا لـ y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 باستخدام تحويلات الدالة y=sinx.
حل
من الضروري تقليل الوظيفة إلى الشكل ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b. للقيام بذلك:
y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2
يمكن ملاحظة أن ك 1 = 3، ك 2 = 1 2، أ = - 3، ب = - 2. نظرًا لوجود "-" قبل k 1، ولكن ليس قبل k 2، فإننا نحصل على سلسلة من التحولات في النموذج:
y = الخطيئة (x) → y = 3 الخطيئة (x) → y = 3 الخطيئة 1 2 x → y = - 3 الخطيئة 1 2 x → → y = - 3 الخطيئة 1 2 x - 3 → y = - 3 الخطيئة 1 2 (س - 3) - 2
مفصل تحويل موجة جيبية. عند رسم الشكل الجيبي الأصلي y = sin (x)، نجد أن أصغر فترة موجبة تعتبر T = 2 π. إيجاد الحد الأقصى عند النقاط π 2 + 2 π · k; 1، والحد الأدنى - - π 2 + 2 π · k؛ - 1، ك ∈ ض.
يتم تمديد O y ثلاث مرات، مما يعني أن الزيادة في سعة التذبذبات ستزيد بمقدار 3 مرات. T = 2 π هو الأصغر فترة إيجابية. الحد الأقصى يذهب إلى π 2 + 2 π · k; 3، ك ∈ Z، الحد الأدنى - - π 2 + 2 π · ك؛ - 3، ك ∈ ض.
عند التمدد على طول O x بمقدار النصف، نجد أن أصغر فترة موجبة تزيد بمقدار مرتين وتساوي T = 2 π k 2 = 4 π. الحد الأقصى يذهب إلى π + 4 π · k; 3، ك ∈ Z، الحد الأدنى – في - π + 4 π · ك؛ - 3، ك ∈ ض.
يتم إنتاج الصورة بشكل متناظر فيما يتعلق بـ O x. أصغر فترة إيجابية في في هذه الحالةلا يتغير ويساوي T = 2 π k 2 = 4 π . يبدو الحد الأقصى للانتقال - π + 4 π · k؛ 3, k ∈ Z، والحد الأدنى هو π + 4 π · k; - 3، ك ∈ ض.
يتم إزاحة الرسم البياني لأسفل بمقدار وحدتين. لا يوجد أي تغيير على الحد الأدنى للفترة المشتركة. إيجاد الحد الأقصى مع الانتقال إلى النقاط - π + 3 + 4 π · k; 1، ك ∈ Z، الحد الأدنى - π + 3 + 4 π · ك؛ - 5 , ك ∈ ض .
على في هذه المرحلةيعتبر الرسم البياني للدالة المثلثية محولاً.
دعونا نفكر تحويل مفصلوظائف ذ = كوس س.
مثال 5
أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 باستخدام تحويل الدالة بالصيغة y = cos x.
حل
وفقا للخوارزمية فمن الضروري وظيفة معينةاختزل إلى الشكل ± ك 1 · و ± ك 2 · س + أ + ب. ثم حصلنا على ذلك
ص = 3 2 جتا 2 - 2 س + 1 = 3 2 جتا (- 2 (س - 1)) + 1
يتضح من الشرط أن k 1 = 3 2، k 2 = 2، a = - 1، b = 1، حيث k 2 بها "-"، وقبل k 1 تكون غائبة.
من هذا نرى أننا حصلنا على رسم بياني لدالة مثلثية من الشكل:
y = cos (x) → y = 3 2 cos (x) → y = 3 2 cos (2 x) → y = 3 2 cos (- 2 x) → → y = 3 2 cos (- 2 (x - 1 )) → ص = 3 2 كوس - 2 (س - 1) + 1
تحويل جيب التمام خطوة بخطوة مع الرسم التوضيحي.
بالنظر إلى الرسم البياني y = cos (x)، فمن الواضح أن الأصغر الفترة العامةيساوي T = 2 π. إيجاد الحد الأقصى في 2 π · k ; 1، k ∈ Z، وهناك π + 2 π · k الحد الأدنى؛ - 1، ك ∈ ض.
عند التمدد على طول Oy بمقدار 3 2 مرات، يزداد سعة الاهتزازات بمقدار 3 2 مرات. T = 2 π هي أصغر فترة موجبة. إيجاد الحد الأقصى في 2 π · k ; 3 2, k ∈ Z, الحد الأدنى في π + 2 π · k; - 3 2 , ك ∈ ض .
عند ضغطها على طول O x بمقدار النصف، نجد أن أصغر فترة موجبة هي الرقم T = 2 π k 2 = π. يحدث انتقال الحد الأقصى إلى π · k؛ 3 2 , k ∈ Z , الحد الأدنى - π 2 + π · k ; - 3 2 , ك ∈ ض .
رسم خرائط متناظرة فيما يتعلق بـ Oy. وبما أن الرسم البياني غريب، فإنه لن يتغير.
عندما يتم إزاحة الرسم البياني بمقدار 1 . لا توجد تغييرات في أصغر فترة إيجابية T = π. إيجاد الحد الأقصى في π · k + 1 ; 3 2, k ∈ Z, الحد الأدنى - π 2 + 1 + π · k; - 3 2 , ك ∈ ض .
عند الإزاحة بمقدار 1، فإن أصغر فترة موجبة تساوي T = π ولا تتغير. إيجاد الحد الأقصى في π · k + 1 ; 5 2, k ∈ Z, الحد الأدنى في π 2 + 1 + π · k; - 1 2 , ك ∈ Z .
اكتمل تحويل دالة جيب التمام.
دعونا نفكر في التحويلات باستخدام المثال y = t g x.
مثال 6
أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 باستخدام تحويلات الدالة y = t g (x) .
حل
في البداية، من الضروري اختزال الدالة المعطاة إلى الشكل ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b، وبعد ذلك نحصل على ذلك
y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3
من الواضح أن k 1 = 1 2، k 2 = 2 3، a = - π 2، b = π 3، وأمام المعاملات k 1 و k 2 يوجد "-". هذا يعني أنه بعد تحويل المماسات التي نحصل عليها
y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = - 1 2 t g 2 3 x → → y = - 1 2 t g - 2 3 x → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 → → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3
تحويل الظلال خطوة بخطوة مع التمثيل الرسومي.
لدينا أن الرسم البياني الأصلي هو y = t g (x) . التغير في الفترة الإيجابية يساوي T = π. يعتبر مجال التعريف هو - π 2 + π · k ; π 2 + π · ك، ك ∈ ض.
نقوم بضغطه مرتين على طول Oy. تعتبر T = π أصغر فترة إيجابية، حيث يكون مجال التعريف بالشكل - π 2 + π · k؛ π 2 + π · ك، ك ∈ ض.
تمتد على طول O × 3 2 مرات. لنحسب أصغر فترة موجبة، وكانت تساوي T = π k 2 = 3 2 π . ومجال تعريف الدالة بالإحداثيات هو 3 π 4 + 3 2 π · k؛ 3 π 4 + 3 2 π · k, k ∈ Z، يتغير مجال التعريف فقط.
التماثل يذهب على الجانب O x. ولن تتغير الفترة في هذه المرحلة.
من الضروري عرض محاور الإحداثيات بشكل متماثل. مجال التعريف في هذه الحالة لم يتغير. الجدول يتزامن مع الجدول السابق. وهذا يشير إلى أن دالة الظل غريبة. إذا وظيفة غريبةقم بتعيين تعيين متماثل لـ O x وO y، ثم قم بالتحويل إلى الوظيفة الأصلية.
تحويل الرسوم البيانية الوظيفية
سأقدم لك في هذه المقالة التحويلات الخطية للرسوم البيانية الوظيفية وأوضح لك كيفية استخدام هذه التحويلات للحصول على رسم بياني للدالة من الرسم البياني للدالة 
التحويل الخطي للدالة هو تحويل للدالة نفسها و/أو وسيطتها إلى النموذج 
، بالإضافة إلى تحويل يحتوي على وسيطة و/أو وحدة دالة.
تعود أكبر الصعوبات عند إنشاء الرسوم البيانية باستخدام التحويلات الخطية إلى الإجراءات التالية:
- عزل الوظيفة الأساسية، في الواقع، الرسم البياني الذي نقوم بتحويله.
- تعريفات ترتيب التحولات.
وحول هذه النقاط سنتناول المزيد من التفاصيل.
دعونا نلقي نظرة فاحصة على الوظيفة
لأنه يعتمد على الوظيفة. دعونا ندعوها الوظيفة الأساسية.
عند رسم دالة نقوم بإجراء تحويلات على الرسم البياني للوظيفة الأساسية.
إذا أردنا إجراء تحويلات وظيفية بنفس الترتيب الذي تم العثور على قيمته عندما قيمة معينةحجة إذن
دعونا نفكر في أنواع التحويلات الخطية للوسيطة والوظيفة الموجودة وكيفية تنفيذها.
تحولات الحجة.
1. و(خ) و(س+ب)
1. قم ببناء رسم بياني للوظيفة
2. قم بإزاحة الرسم البياني للدالة على طول محور OX بمقدار |b| وحدات
- اليسار إذا ب> 0
- الحق إذا ب<0
دعونا نرسم الوظيفة
1. قم ببناء رسم بياني للوظيفة
2. انقله وحدتين إلى اليمين:
2. و(خ) و(ك س)
1. قم ببناء رسم بياني للوظيفة
2. اقسم حدود نقاط الرسم البياني على k، مع ترك إحداثيات النقاط دون تغيير.
دعونا نبني رسمًا بيانيًا للوظيفة.
1. قم ببناء رسم بياني للوظيفة
2. قم بتقسيم كافة حروف نقاط الرسم البياني على 2، مع ترك الإحداثيات دون تغيير:
3. و(خ) و(-x)
1. قم ببناء رسم بياني للوظيفة
2. اعرضه بشكل متماثل بالنسبة لمحور OY.
دعونا نبني رسمًا بيانيًا للوظيفة.
1. قم ببناء رسم بياني للوظيفة
2. اعرضه بشكل متماثل بالنسبة لمحور OY:
4. و(خ) و(|س|)
1. قم ببناء رسم بياني للوظيفة
2. يتم مسح جزء الرسم البياني الموجود على يسار محور OY، ويتم إكمال جزء الرسم البياني الموجود على يمين محور OY بشكل متماثل بالنسبة لمحور OY:
يبدو الرسم البياني للوظيفة كما يلي:
دعونا نرسم الوظيفة
1. نقوم ببناء رسم بياني للدالة (هذا رسم بياني للدالة، مُزاحًا على طول محور OX بمقدار وحدتين إلى اليسار):
2. جزء من الرسم البياني يقع على يسار محور OY (x).<0) стираем:
3. نكمل جزء الرسم البياني الموجود على يمين محور OY (x>0) بشكل متماثل بالنسبة لمحور OY:
مهم! قاعدتان رئيسيتان لتحويل الحجة.
1. يتم تنفيذ جميع تحويلات الوسائط على طول محور OX
2. يتم تنفيذ جميع تحويلات الوسيطة "بالعكس" و"بترتيب عكسي".
على سبيل المثال، في إحدى الوظائف، يكون تسلسل تحويلات الوسائط كما يلي:
1. خذ معامل x.
2. أضف الرقم 2 إلى modulo x.
لكننا أنشأنا الرسم البياني بترتيب عكسي:
أولاً، تم إجراء التحويل 2 - تم إزاحة الرسم البياني بمقدار وحدتين إلى اليسار (أي تم تقليل حدود النقاط بمقدار 2، كما لو كان "في الاتجاه المعاكس")
ثم أجرينا التحويل f(x) f(|x|).
وباختصار، يتم كتابة تسلسل التحولات على النحو التالي:
الآن دعونا نتحدث عن تحويل الوظيفة . التحولات تحدث
1. على طول محور OY.
2. بنفس التسلسل الذي يتم به تنفيذ الإجراءات.
وهذه هي التحولات:
1. و(خ)و(خ)+د
2. قم بإزاحته على طول محور OY بمقدار |D| وحدات
- حتى إذا كان D> 0
- أسفل إذا د<0
دعونا نرسم الوظيفة
1. قم ببناء رسم بياني للوظيفة
2. انقله على طول محور OY بمقدار وحدتين لأعلى:
2. و(خ)AF(خ)
1. أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x)
2. نضرب إحداثيات جميع نقاط الرسم البياني بـ A، مع ترك الإحداثيات دون تغيير.
دعونا نرسم الوظيفة
1. لنقم ببناء رسم بياني للوظيفة
2. اضرب إحداثيات جميع النقاط على الرسم البياني في 2:
3.و(خ)-و(خ)
1. أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x)
دعونا نبني رسمًا بيانيًا للوظيفة.
1. قم ببناء رسم بياني للوظيفة.
2. نعرضه بشكل متناظر بالنسبة لمحور الثور.
4. و(x)|f(x)|
1. أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x)
2. يتم ترك جزء الرسم البياني الموجود أعلى محور OX دون تغيير، ويتم عرض جزء الرسم البياني الموجود أسفل محور OX بشكل متماثل بالنسبة لهذا المحور.
دعونا نرسم الوظيفة
1. قم ببناء رسم بياني للوظيفة. يتم الحصول عليه عن طريق تحويل الرسم البياني للوظيفة على طول محور OY بمقدار وحدتين لأسفل:
2. الآن سوف نعرض جزء الرسم البياني الموجود أسفل محور OX بشكل متماثل بالنسبة لهذا المحور:
والتحويل الأخير، والذي، بالمعنى الدقيق للكلمة، لا يمكن أن يسمى تحويل دالة، لأن نتيجة هذا التحويل لم تعد دالة:
|ص|=و(س)
1. أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x)
2. نقوم بمسح جزء الرسم البياني الموجود أسفل محور OX، ثم نكمل جزء الرسم البياني الموجود أعلى محور OX بشكل متماثل بالنسبة لهذا المحور.
دعونا نرسم المعادلة
1. نقوم ببناء رسم بياني للوظيفة:
2. نقوم بمسح جزء الرسم البياني الموجود أسفل المحور OX:
3. نكمل جزء الرسم البياني الموجود أعلى محور OX بشكل متماثل بالنسبة لهذا المحور.
وأخيرًا، أقترح عليك مشاهدة فيديو تعليمي أعرض فيه خوارزمية خطوة بخطوة لإنشاء رسم بياني للدالة
يبدو الرسم البياني لهذه الوظيفة كما يلي:
النقل الموازي.
الترجمة على طول المحور ص
و(خ) => و(خ) - ب
افترض أنك تريد إنشاء رسم بياني للدالة y = f(x) - b. من السهل أن نرى إحداثيات هذا الرسم البياني لجميع قيم x على |b| وحدات أقل من الإحداثيات المقابلة للرسم البياني للدالة y = f(x) لـ b>0 و |b| وحدات أكثر - عند b 0 أو أعلى عند b لرسم الرسم البياني للدالة y + b = f(x)، يجب عليك رسم الدالة y = f(x) وتحريك المحور x إلى |b| وحدات تصل إلى b>0 أو بواسطة |b| وحدات أسفل في ب
النقل على طول محور ABSCISS
و(س) => و(س + أ)
افترض أنك تريد رسم الدالة y = f(x + a). خذ بعين الاعتبار الدالة y = f(x)، والتي عند نقطة ما x = x1 تأخذ القيمة y1 = f(x1). من الواضح أن الدالة y = f(x + a) ستأخذ نفس القيمة عند النقطة x2، والتي يتم تحديد إحداثيتها من المساواة x2 + a = x1، أي. x2 = x1 - a، والمساواة قيد النظر صالحة لمجموع جميع القيم من مجال تعريف الدالة. لذلك، يمكن الحصول على الرسم البياني للدالة y = f(x + a) عن طريق تحريك الرسم البياني للدالة y = f(x) بالتوازي على طول المحور x إلى اليسار بواسطة |a| وحدات لـ > 0 أو إلى اليمين بواسطة |a| وحدات ل لإنشاء رسم بياني للدالة y = f(x + a)، يجب عليك إنشاء رسم بياني للدالة y = f(x) وتحريك المحور الإحداثي إلى |a| الوحدات إلى اليمين عند a>0 أو بواسطة |a| وحدات إلى اليسار عند أ
أمثلة:
1.ص=و(س+أ)
2.ص=و(س)+ب
انعكاس.
إنشاء رسم بياني لدالة بالصيغة Y = F(-X)
و(خ) => و(-x)
من الواضح أن الدالتين y = f(-x) و y = f(x) تأخذان قيمًا متساوية عند النقاط التي تتساوى فيها الإحداثيات القيمة المطلقة، ولكن على العكس من ذلك في الإشارة. بمعنى آخر، إحداثيات الرسم البياني للدالة y = f(-x) في منطقة القيم الموجبة (السالبة) لـ x ستكون مساوية لإحداثيات الرسم البياني للدالة y = f(x) للقيم السالبة (الإيجابية) المقابلة لـ x بالقيمة المطلقة. وهكذا نحصل على القاعدة التالية.
لرسم الدالة y = f(-x)، يجب عليك رسم الدالة y = f(x) وعكسها بالنسبة إلى الإحداثي. الرسم البياني الناتج هو الرسم البياني للدالة y = f(-x)
إنشاء رسم بياني لدالة بالصيغة Y = - F(X)
و(خ) => - و(خ)
إحداثيات الرسم البياني للدالة y = - f(x) لجميع قيم الوسيطة متساوية في القيمة المطلقة، ولكنها تتعارض في الإشارة مع إحداثيات الرسم البياني للدالة y = f(x) للدالة نفس قيم الوسيطة. وهكذا نحصل على القاعدة التالية.
لرسم رسم بياني للدالة y = - f(x)، يجب رسم رسم بياني للدالة y = f(x) وعكسه بالنسبة إلى المحور x.
أمثلة:
1.ص=-و(خ)
2.ص = و (-س)
3.ص=-و(-س)
التشوه.
تشوه الرسم البياني على طول المحور ص
و(خ) => ك و(خ)
النظر في دالة من النموذج y = k f(x)، حيث k > 0. من السهل أن نرى أنه مع القيم المتساوية للوسيطة، فإن إحداثيات الرسم البياني لهذه الوظيفة ستكون k مرات أكبر من إحداثيات الرسم البياني للدالة y = f(x) لـ k > 1 أو 1/k مرات أقل من إحداثيات الرسم البياني للدالة y = f(x) لـ k لإنشاء رسم بياني للدالة y = k f(x )، يجب عليك إنشاء رسم بياني للدالة y = f(x) وزيادة إحداثياتها بمقدار k مرات لـ k > 1 (قم بتمديد الرسم البياني على طول محور الإحداثيات) أو تقليل إحداثياتها بمقدار 1/k مرات عند k
ك > 1- تمتد من محور الثور
0 - الضغط على محور الثور
تشوه الرسم البياني على طول محور الإحداثيات
و(س) => و(ك س)
فليكن من الضروري إنشاء رسم بياني للدالة y = f(kx)، حيث k>0. النظر في الدالة y = f(x)، والتي فيها نقطة تعسفية x = x1 يأخذ القيمة y1 = f(x1). ومن الواضح أن الدالة y = f(kx) تأخذ نفس القيمة عند النقطة x = x2، والتي يتم تحديد إحداثيتها بالمساواة x1 = kx2، وهذه المساواة صالحة لمجموع جميع قيم x من مجال تعريف الوظيفة. وبالتالي، فإن الرسم البياني للدالة y = f(kx) تبين أنه مضغوط (بالنسبة لـ k 1) على طول محور الإحداثي السيني بالنسبة إلى الرسم البياني للدالة y = f(x). وهكذا نحصل على القاعدة.
لإنشاء رسم بياني للدالة y = f(kx)، يجب عليك إنشاء رسم بياني للدالة y = f(x) وتقليل حدودها بمقدار k مرات لـ k>1 (اضغط الرسم البياني على طول محور الإحداثي السيني) أو زيادته حروفها بمقدار 1/k مرات لـ k
ك > 1- الضغط على محور أوي
0 - تمتد من محور OY
تم تنفيذ العمل من قبل ألكساندر تشيشكانوف، ديمتري ليونوف تحت إشراف T. V. Tkach، S. M Vyazovova، I. V. Ostroverkhova.
©2014
يتم نشر نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملةالعمل متاح في علامة التبويب "ملفات العمل" بتنسيق PDF
مقدمة
يعد تحويل الرسوم البيانية للوظائف أحد المفاهيم الرياضية الأساسية المرتبطة مباشرة به الأنشطة العملية. تمت مواجهة تحويل الرسوم البيانية للوظائف لأول مرة في جبر الصف التاسع عند دراسة الموضوع " دالة تربيعية" تم تقديم ودراسة الدالة التربيعية بشكل وثيق مع المعادلات التربيعيةوعدم المساواة. أيضا كثيرة المفاهيم الرياضيةيجري النظر فيها الأساليب الرسوميةعلى سبيل المثال، في الصفوف 10-11، تتيح دراسة الدالة العثور على مجال التعريف ومجال قيمة الدالة، ومجالات التناقص أو الزيادة، والخطوط المقاربة، وفترات الإشارة الثابتة، وما إلى ذلك. وهذا مهم يتم طرح هذه القضية أيضًا في GIA. ويترتب على ذلك أن إنشاء الرسوم البيانية للوظائف وتحويلها يعد إحدى المهام الرئيسية لتدريس الرياضيات في المدرسة.
ومع ذلك، لرسم الرسوم البيانية للعديد من الوظائف، يمكنك استخدام عدد من الطرق التي تجعل الرسم أسهل. ما ورد أعلاه يحدد الملاءمةموضوعات البحث.
موضوع الدراسةهو دراسة تحويل الرسوم البيانية في الرياضيات المدرسية.
موضوع البحث -عملية بناء وتحويل الرسوم البيانية الوظيفية في المدرسة الثانوية.
سؤال إشكالي: هل من الممكن إنشاء رسم بياني لوظيفة غير مألوفة إذا كانت لديك مهارة تحويل الرسوم البيانية للوظائف الأولية؟
هدف:وظائف التخطيط في موقف غير مألوف.
المهام:
1. التحليل المواد التعليميةحول المشكلة قيد الدراسة. 2. التعرف على مخططات تحويل الرسوم البيانية الوظيفية إلى دورة المدرسةالرياضيات. 3. اختر الأكثر طرق فعالةوأدوات لبناء وتحويل الرسوم البيانية الوظيفية. 4. أن تكون قادرًا على التقديم هذه النظريةفي حل المشاكل.
مطلوب المعرفة الأساسية، القدرات، المهارات:
حدد قيمة الدالة بقيمة الوسيط الخاص بها متى بطرق مختلفةالمهام الوظيفية؛
بناء الرسوم البيانية للوظائف المدروسة.
وصف سلوك وخصائص الوظائف باستخدام الرسم البياني، وفي أبسط الحالات، صيغة؛ العثور على أكبر وأصغر القيم من الرسم البياني للدالة؛
الأوصاف باستخدام الوظائف تبعيات مختلفةوتمثيلهم بيانيا وتفسير الرسوم البيانية.
الجزء الرئيسي
الجزء النظري
كالرسم البياني الأولي للدالة y = f(x)، سأختار دالة تربيعية ص = س 2 . سأفكر في حالات تحويل هذا الرسم البياني المرتبطة بالتغييرات في الصيغة التي تحدد هذه الوظيفة واستخلاص النتائج لأي وظيفة.
1. الدالة ص = و(خ) + أ
في صيغة جديدةتتغير قيم الدالة (إحداثيات نقاط الرسم البياني) حسب الرقم أ، مقارنة بقيمة الدالة "القديمة". يؤدي هذا إلى نقل موازي للرسم البياني للوظيفة على طول محور OY:
لأعلى إذا كان > 0؛ أسفل إذا أ< 0.
خاتمة
وبالتالي، يتم الحصول على الرسم البياني للدالة y=f(x)+a من الرسم البياني للدالة y=f(x) باستخدام الترجمة المتوازية على طول المحور الإحداثي بوحدات لأعلى إذا كانت a > 0، وبوحدات لأسفل إذا أ< 0.
2. الدالة ص = و(س-أ)،
في الصيغة الجديدة، تتغير قيم الوسيطة (إحداثيات نقاط الرسم البياني) حسب الرقم a، مقارنة بقيمة الوسيطة "القديمة". يؤدي هذا إلى نقل موازي للرسم البياني للدالة على طول محور OX: إلى اليمين، إذا كان a< 0, влево, если a >0.
خاتمة
هذا يعني أنه يتم الحصول على الرسم البياني للدالة y= f(x - a) من الرسم البياني للدالة y=f(x) عن طريق الترجمة المتوازية على طول محور الإحداثي السيني بوحدات إلى اليسار إذا كانت a > 0، وبواسطة وحدات إلى اليمين إذا أ< 0.
3. الدالة y = k f(x)، حيث k > 0 و k ≠ 1
في الصيغة الجديدة، تتغير قيم الدالة (إحداثيات نقاط الرسم البياني) بمقدار k مرة مقارنة بقيمة الدالة "القديمة". يؤدي هذا إلى: 1) "التمدد" من النقطة (0؛ 0) على طول محور OY بعامل k، إذا كان k > 1، 2) "الضغط" إلى النقطة (0؛ 0) على طول محور OY بواسطة عامل إذا كان 0< k < 1.
خاتمة
وبالتالي: لرسم الدالة y = kf(x)، حيث k > 0 و k ≠ 1، تحتاج إلى إحداثيات النقاط الجدول الزمني المحددالدالة y = f(x) مضروبة في k. يسمى هذا التحول بالامتداد من النقطة (0; 0) على طول محور OY بمقدار k مرات إذا k > 1؛ الضغط إلى النقطة (0؛ 0) على طول محور OY إذا كان 0< k < 1.
4. الدالة y = f(kx)، حيث k > 0 و k ≠ 1
في الصيغة الجديدة، تتغير قيم الوسيطة (إحداثيات نقاط الرسم البياني) بمقدار k مرات مقارنة بقيمة الوسيطة "القديمة". وهذا يؤدي إلى: 1) "التمدد" من النقطة (0؛ 0) على طول محور OX بمقدار 1/k مرة، إذا كان 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.
خاتمة
وهكذا: لإنشاء رسم بياني للدالة y = f(kx)، حيث k > 0 و k ≠ 1، تحتاج إلى ضرب حدود نقاط الرسم البياني المحدد للدالة y=f(x) بـ k . ويسمى هذا التحول بالتمدد من النقطة (0؛ 0) على طول محور OX بمقدار 1/k مرة، إذا كان 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.
5. الدالة ص = - و (خ).
في هذه الصيغة، يتم عكس قيم الدالة (إحداثيات نقاط الرسم البياني). يؤدي هذا التغيير إلى عرض متماثل للرسم البياني الأصلي للدالة بالنسبة لمحور الثور.
خاتمة
لرسم رسم بياني للدالة y = - f (x)، تحتاج إلى رسم بياني للدالة y= f(x)
تنعكس بشكل متناظر حول محور OX. يسمى هذا التحويل تحويل التماثل حول محور OX.
6. الدالة ص = و (-س).
في هذه الصيغة، يتم عكس قيم الوسيطة (إحداثيات نقاط الرسم البياني). يؤدي هذا التغيير إلى عرض متماثل للرسم البياني الأصلي للوظيفة بالنسبة لمحور OY.
مثال للدالة y = - x² هذا التحويل غير ملحوظ، لأن هذه الوظيفةحتى ولا يتغير الرسم البياني بعد التحويل. يكون هذا التحويل مرئيًا عندما تكون الدالة فردية وعندما لا تكون زوجية ولا فردية.
7. الدالة ص = |f(x)|.
في الصيغة الجديدة، تكون قيم الدالة (إحداثيات نقاط الرسم البياني) تحت علامة المعامل. يؤدي هذا إلى اختفاء أجزاء من الرسم البياني للدالة الأصلية ذات الإحداثيات السالبة (أي تلك الموجودة في نصف المستوى السفلي بالنسبة لمحور الثور) والعرض المتماثل لهذه الأجزاء بالنسبة لمحور الثور.
8. الدالة ص= و (|س|).
في الصيغة الجديدة، تكون قيم الوسيطة (حادتي نقاط الرسم البياني) تحت علامة المعامل. يؤدي هذا إلى اختفاء أجزاء من الرسم البياني للدالة الأصلية ذات الإحداثيات السالبة (أي الموجودة في نصف المستوى الأيسر بالنسبة إلى محور OY) واستبدالها بأجزاء من الرسم البياني الأصلي المتناظرة بالنسبة إلى محور OY .
الجزء العملي
دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لتطبيق النظرية المذكورة أعلاه.
مثال 1.
حل.دعونا نتحول هذه الصيغة:
1) لنقم ببناء رسم بياني للوظيفة
مثال 2.
قم برسم الدالة المعطاة بواسطة الصيغة
حل. دعونا نحول هذه الصيغة من خلال تسليط الضوء على هذا ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةمربع ذات الحدين:
1) لنقم ببناء رسم بياني للوظيفة
2) دعونا نفعل ذلك نقل موازيالرسومات المبنية على المتجهات
مثال 3.
مهمة من امتحان الدولة الموحدة رسم بياني لدالة متعددة التعريف
الرسم البياني للدالة الرسم البياني للدالة y=|2(x-3)2-2|; 1