Наукові дослідження, пов'язані із створенням нових машин
Основними напрямками наукових досліджень, пов'язаних із підвищенням якості, надійності та безпеки машин та обладнання, є:
фундаментальні дослідженняу сфері нових робочих процесів, ресурсозберігаючих технологій та нових конструкційних матеріалів;
створення, освоєння та впровадження сучасних методів конструювання машин, обґрунтування їх оптимальних робочих параметрів, конструктивних форм;
отримання нових матеріалів, розробка деталей, вузлів та агрегатів з дотриманням вимог щодо технологічних параметрів;
розробка нових метрологічних методів, систем та засобів;
проведення прискорених та звичайних випробувань на надійність та ресурс моделей та натурних виробів;
організація експлуатації машин із заданим ступенем надійності, безпеки, економічності за дотримання вимог ергономіки та екології.
Першорядне значення в сучасному машинобудуванні набувають проблем надійності та безпеки техніки з урахуванням ролі людського фактора.
Науковою базою застосування концептуальних, конструкторських, технологічних та матеріалознавчих рішень для всіх етапів створення машин та конструкцій мають стати принципи та методи фізичного та математичного моделювання.
Фізичне та математичне моделювання у машинобудуванні базується на загальних підходах, що розвиваються на основі фундаментальних наук, Насамперед математики, фізики, хімії та ін.
Математичне моделюванняі обчислювальний експеримент стають новим методом аналізу складних машин, робочих процесів та системи машина – людина – середовище. Фізичне та математичне моделювання проводиться у кілька стадій.
Починається моделювання з постановки та уточнення задачі, розгляду фізичних аспектів, визначення ступеня впливу на процеси, що моделюються. різних факторіву програмованих умовах функціонування моделюваних систем чи процесу. На основі будується фізична модель.
Потім на її базі будується математична модель, що включає математичний опис модельованого процесу або механічної системивідповідно до закономірностей кінематики та динаміки, поведінки матеріалів під дією навантажень і температур тощо. Модель досліджується за такими напрямами, як відповідність поставленому завданню, існування рішення тощо.
На третій стадії вибирається обчислювальний алгоритм розв'язання задачі моделювання. Сучасні чисельні методидозволяють зняти обмеження на рівень складності математичних моделей.
Далі використовуючи сучасні математичні пакети програм, такі як MathCad, Matlab, які мають великий набір можливостей і функцій і дозволяють вирішувати завдання як аналітичними, так і чисельними методами, проводять обчислювальні експерименти.
При проведенні обчислень та отриманні результатів необхідно особлива увагаприділяти грамотності та правильності подання рішень.
Завершальна стадія передбачає аналіз отриманих результатів, зіставлення їх із даними фізичних експериментів на натурних зразках виробів. У разі потреби поставлено завдання уточнення обраної математичної моделі з наступним повторенням зазначених вище стадій.
Після завершення робіт з фізичного та математичного моделювання формуються загальний висновок та висновки щодо конструкторських, технологічних та експлуатаційних заходів, пов'язаних зі створенням нових матеріалів та технологій, забезпеченням умов надійної та безпечної роботи машин, задоволенням вимог ергономіки та екології.
У останнім часомСуто математичне моделювання вкрай рідко зустрічається при проектуванні та конструюванні механізмів та деталей. Традиційне математичне моделювання при проектуванні сучасних механізмів та деталей замінюється на комп'ютерне моделювання. Основним методом сучасних програмних продуктів є метод кінцевих елементів. Подібне моделювання крім точності обчислення та наочного уявленняпро поведінку об'єкта дослідження в заданих умовприскорює процес проектування та зменшує витрати на проведення досліджень із фізичними моделями.
Створення нових машин і конструкцій з підвищеним рівнемробочих параметрів, екологічних та ергономічних вимогє складною комплексну проблему, ефективне рішенняякої базується на фізичному та математичному моделюванні.
Розробка ескізного проекту передбачає побудову фізичних моделей на основі досвіду створення прототипів. Математичні моделі включають нові знання про аналіз та синтез структурних та кінематичних схем, про динамічні характеристики взаємодії між основними елементами з урахуванням робочих середовищ та процесів. На цьому ж етапі формуються та вирішуються у загальному виглядіпитання екології та ергономіки.
Під час розробки технічного проектуповинен здійснюватися перехід до фізичних моделей основних вузлів, що випробовуються в лабораторних умов. До математичного забезпечення технічного проекту належать системи автоматизованого проектування.
Створення нових машин (машин майбутнього) вимагає вдосконалення методів математичного моделювання і побудови нових моделей. Це значною мірою стосується унікальних об'єктів. нової техніки(атомна та термоядерна енергетика, ракетна, авіаційна та кріогенна техніка), а також до нових технологічних, транспортних апаратів та пристроїв (лазерні та імпульсні технологічні установки, системи на магнітній підвісці, глибоководні апарати, адіабатні двигуни внутрішнього згоряннята ін).
На етапі робочого проектування фізичне моделювання передбачає створення макетів та випробувальних стендів для перевірки конструкторських рішень. Математична сторона цього етапу пов'язана з розробкою автоматизованих системпідготовки технічної документації Математичні моделі уточнюють у міру деталізації та уточнення граничних умовзадач конструювання.
Одночасно з проектуванням вирішуються конструкторсько-технологічні завдання вибору матеріалів, призначення технологій виготовлення та контролю. В області конструкційного матеріалознавства використовують експериментальне визначення фізико-механічних властивостей лабораторних зразкахяк при стандартних випробуваннях, так і при випробуваннях в умовах, що імітують експлуатаційні. При виготовленні високовідповідальних деталей та вузлів з нових матеріалів (високоміцні корозійно- та радіаційно стійкі, плаковані, композиційні та ін.) необхідно проводити спеціалізовані випробування щодо визначення граничних станів та критеріїв ушкодження. Математичне моделювання використовують для побудови імітаційних моделей механічної поведінки матеріалів у різних умовах навантаження з урахуванням технології отримання матеріалів та формоутворення деталей машин. Імітаційні моделі використовують під час виконання складного математичного аналізутеплових, дифузійних, електромагнітних та інших явищ, що супроводжують нові технології.
На основі фізичних та імітаційних моделей отримують складний комплекс фізико-механічних властивостей, характеристики яких повинні використовуватися при створенні на базі комп'ютерів банків даних про сучасні та перспективні матеріали.
На етапі розробки технології виготовлення деталей, вузлів і машин в цілому фізичне моделювання використовують при лабораторному та дослідно-промисловому відпрацюванні технологічних процесів як традиційних (механообробка, лиття та ін.), так і нових (лазерна обробка, плазмова, вибухова, магнітно-імпульсна та ін).
Паралельно з технологічними процесами розробляються фізичні моделі, а також "принципи контролю та дефектоскопії матеріалів та готових виробів. Математичні моделі технологічних процесів дозволяють вирішувати складні завдання теплопровідності, термопружності, понад пластичності, хвильових та інших явищ з метою раціонального виборудля даних деталей ефективних методівта параметрів обробки.
На етапі створення машин та конструкцій, коли здійснюється доведення та випробування головних зразків та досвідчених партій, фізичне моделювання передбачає проведення стендових та натурних випробувань. Стендові випробування забезпечують високу інформативність та скорочують терміни доведення дослідних зразків виробів масового та великосерійного виробництва. Натурні випробування необхідні оцінки працездатності та надійності унікальних виробів на граничних режимах. При цьому завданнями математичного моделювання стають алгоритми та програми управління випробуваннями. Аналіз отриманої експериментальної інформації слід проводити на комп'ютері у реальному масштабі часу.
При експлуатації машин фізичне моделювання використовують для діагностики стану та обґрунтування продовження ресурсу безпечної роботи. Математичне (комп'ютерне) моделювання цьому етапі має на меті побудова моделей експлуатаційних ушкоджень по комплексу прийнятих під час проектування критеріїв: Проробка таких моделей виконується нині об'єктів атомного і теплового енергетичного машинобудування, ракетної та авіаційної техніки та інших об'єктів.
Під об'єктоммоделювання розуміють будь-який предмет, процес чи явище, які вивчають методом моделювання. При вивченні об'єкта враховуються ті властивості, які необхідні досягнення мети. Вибір властивостей об'єкта при побудові моделі є важливим завданнямна перших етапах моделювання.
Модель об'єкту –це:
1) така уявна чи матеріально реалізована система, яка, відображаючи або відтворюючи об'єкт дослідження, здатна замінити його так, що її вивчення дає нову інформацію про об'єкт.
2) об'єкт - заступник, який враховує реальні властивості об'єкта, необхідних досягнення мети.
Основна функція моделі –як опис об'єкта, а й отримання інформації про ньому.
Розрізняють фізичне та математичне моделювання.
Фізичний моделювання- метод експериментального вивчення різних фізичних явищ, заснований на їх фізичній подобі. Метод застосовується при наступних умов:
- Вичерпно точного математичного описуявища на даному рівнірозвитку науки не існує, або такий опис занадто громіздкий і вимагає для розрахунків великого обсягувихідних даних, отримання яких важко.
- Відтворення досліджуваного фізичного явищаз метою експерименту у реальних масштабах неможливо, небажано чи надто дороге (наприклад, цунамі).
У широкому значеннібудь-який лабораторний фізичний експериментє моделюванням, оскільки в експерименті спостерігається конкретний випадокявища в приватних умовах, а потрібно отримати загальні закономірностідля всього класу подібних явищу широкому діапазоні умов. Мистецтво експериментатора полягає у досягненні фізичної подобиміж явищем, що спостерігається в лабораторних умовах і всім класом явищ, що вивчаються.
Математичне моделювання, у широкому сенсі, включає дослідження не тільки за допомогою суто математичних моделей. Тут використовуються також інформаційні, логічні, імітаційні та інші моделі та їх комбінації. У цьому випадку математична модельє алгоритм, що включає визначення залежності між характеристиками, параметрами та критеріями розрахунку, умови протікання процесу функціонування системи і т.д. Ця структура може стати моделлю явища, якщо вона з достатньою мірою відбиває його фізичну сутність, правильно визначає співвідношення властивостей і підтверджується результатами перевірки. Застосуванням математичних моделей та обчислювальної технікиреалізується один із найбільш ефективних методів наукових досліджень - обчислювальний експеримент, що дозволяє вивчати поведінку складних системякі важко фізично змоделювати. Часто це пов'язано з великою складністю та вартістю об'єктів, а в деяких випадках неможливістю відтворити експеримент у реальних умовах.
Ефективність застосування інформаційних систему сфері освіти. Завдання, які вирішуються ІС у сфері освіти. Специфіка інформаційних потребвикладацького та управлінського персоналу сфери освіти. Основні показники якості інформаційного забезпеченнясфери освіти та обґрунтування вимог до їх кількісним значенням
У сучасному суспільствізастосування інформаційних технологійу всіх сферах життєдіяльності стало обов'язковим компонентом, що супроводжує. Особливо важлива рольїї застосування відводиться у сфері пізнання, вивчення, тобто. у сфері освіти. ІТ-технології займають одне з провідних місць в інтелектуалізації людини та суспільства в цілому, підвищенні культурного та освітнього рівнякожного громадянина.
Останнім часом у сфері освіти інформаційні технології, засновані на новітніх комп'ютерних та аудіовізуальних здобутках науки та техніки, знаходять усі більше застосування. Одним з ефективних напрямківреалізації освітніх послугє використання різних формнавчання на основі інформаційних та навчальних технологій.
Крім цього, прагнення активно застосовувати сучасні інформаційні технології у сфері освіти необхідно орієнтувати на підвищення рівня та якості підготовки фахівців. З кожним роком зростає кількість організацій та підприємств, які звертаються на ринок освітніх послуг. У зв'язку з цим у найсприятливіших умовах виявляються ті навчальні заклади, які включають довузівське, вузівське та післявузівська освітаіз використанням нових освітніх технологій.
Нині дедалі більше зростає роль інформаційно-соціальних технологій у освіті, які забезпечують загальну комп'ютеризацію учнів і викладачів лише на рівні, що дозволяє вирішувати, як мінімум, три основні завдання:
- Забезпечення виходу в мережу Інтернет кожного учасника навчального процесу, причому, бажано, у будь-який час та з різних місць перебування;
– розвиток єдиного інформаційного простору освітніх індустрій та присутність у ньому різний часта незалежно один від одного всіх учасників освітнього та творчого процесу;
- Створення, розвиток і ефективне використаннякерованих інформаційних освітніх ресурсів, у тому числі особистих баз користувача і банків даних і знань учнів і педагогів з можливістю повсюдного доступу для роботи з ними.
Основними перевагами сучасних інформаційних технологій є: наочність, можливість використання комбінованих формподання інформації - дані, стереозвучання, графічне зображення, анімація, обробка та зберігання великих обсягів інформації, доступ до світових інформаційних ресурсів, які мають стати основою підтримки процесу освіти.
Необхідність посилення ролі самостійної роботиучня вимагає внесення суттєвих змін до структури та організації навчального процесу, підвищення ефективності та якості навчання, активізації мотивації пізнавальної діяльностів ході вивчення теоретичного та практичного навчального матеріалу з тієї чи іншої дисципліни.
У процесі інформатизації освіти необхідно мати на увазі, що головний принципвикористання комп'ютера - це орієнтація ті випадки, коли людина неспроможна виконати поставлену педагогічне завдання. Наприклад, викладач не може продемонструвати більшість фізичних процесів без комп'ютерного моделювання.
З іншого боку, комп'ютер повинен допомагати розвитку творчих здібностей учнів, сприяти навчанню нових професійних навичок та вмінь, розвитку логічного мислення. Процес навчання має бути спрямований не на вміння працювати з певними програмними засобами, а на вдосконалення технології роботи з різною інформацією: аудіо- та відео-, графічною, текстовою, табличною.
Сучасні мультимедіа технології та інструментальні засоби дозволяють реалізувати всю гаму комп'ютерних навчальних програм. Однак їх використання вимагає від викладачів достатньо високої кваліфікаціїкористувача.
лекція 1.
МЕТОДОЛОГІЧНІ ОСНОВИ МОДЕЛЮВАННЯ
Сучасний стан проблеми моделювання систем
Поняття моделі та моделювання
Моделюванняможна розглядати як заміщення досліджуваного об'єкта (оригіналу) його умовним чином, описом або іншим об'єктом, іменованим моделлюта забезпечує близьку до оригіналу поведінку в рамках деяких припущень та прийнятних похибок. Моделювання зазвичай виконується з метою пізнання властивостей оригіналу шляхом дослідження його моделі, а не самого об'єкта. Зрозуміло, моделювання виправдане в тому випадку, коли воно простіше створеннясамого оригіналу чи коли останній покиким причин краще взагалі не створювати.
Під моделлюрозуміється фізичний або абстрактний об'єкт, властивості якого у певному сенсі подібні до властивостей досліджуваного об'єкта. Існує низка загальних вимог до моделей:
2) повнота - надання одержувачу всієї необхідної інформації
про об'єкт;
3) гнучкість - можливість відтворення різних ситуацій у всьому
діапазон зміни умов і параметрів;
4) трудомісткість розробки має бути прийнятною для наявного
часу та програмних засобів.
Моделювання- Це процес побудови моделі об'єкта та дослідження його властивостей шляхом дослідження моделі.
Таким чином, моделювання передбачає 2 основні етапи:
1) розробка моделі;
2) дослідження моделі та отримання висновків.
При цьому на кожному етапі вирішуються різні завданнята використовуються
різні за суттю методи та засоби.
На практиці застосовують різні методимоделювання. Залежно від способу реалізації, всі моделі можна розділити на два великі класи: фізичні та математичні.
Математичне моделюванняприйнято розглядати як дослідження процесів чи явищ з допомогою їх математичних моделей.
Під фізичним моделюваннямрозуміється дослідження об'єктів і явищ на фізичних моделях, коли процес, що вивчається, відтворюються зі збереженням його фізичної природиабо використовують інше фізичне явище, аналогічне досліджуваному. При цьому фізичні моделіприпускають, як правило, реальне втілення тих фізичних властивостей оригіналу, які є суттєвими в конкретній ситуації. Наприклад, при проектуванні нового літака створюється його макет, що має ті ж аеродинамічні властивості; при плануванні забудови архітектори виготовляють макет, що відображає просторове розташування її елементів. У зв'язку з цим фізичне моделювання називають також макетуванням.
Напівнатурне моделюванняє дослідження керованих систем на моделюючих комплексах з включенням до складу моделі реальної апаратури. Поряд із реальною апаратурою в замкнуту модель входять імітатори впливів і перешкод, математичні моделі зовнішнього середовища та процесів, для яких невідомо досить точний математичний опис. Включення реальної апаратури або реальних систем у контур моделювання складних процесів дозволяє зменшити апріорну невизначеність і досліджувати процеси, для яких немає точного математичного опису. За допомогою напівнатурного моделювання дослідження виконуються з урахуванням малих постійних часів інелінійностей, властивих реальній апаратурі. При дослідженні моделей з включенням реальної апаратури використовується поняття динамічногомоделювання, при дослідженні складних систем та явищ - еволюційного, імітаційногоі кібернетичного моделювання.
Очевидно, дійсна користь від моделювання може бути отримана лише за дотримання двох умов:
1) модель забезпечує коректне (адекватне) відображення властивостей
оригіналу, суттєвих з точки зору досліджуваної операції;
2) модель дозволяє усунути перелічені вище проблеми, властиві
проведення досліджень на реальних об'єктах.
2. Основні поняття математичного моделювання
Вирішення практичних завдань математичними методами послідовно здійснюється шляхом формулювання задачі (розробки математичної моделі), вибору методу дослідження отриманої математичної моделі, аналізу отриманого математичного результату. Математична формулювання завдання зазвичай представляється як геометричних образів, функцій, систем рівнянь тощо. Опис об'єкта (яви) може бути представлено за допомогою безперервної чи дискретної, детермінованої чи стохастичної та іншими математичними формами.
Теорія математичного моделюваннязабезпечує виявлення закономірностей протікання різних явищ навколишнього світу або роботи систем та пристроїв шляхом їх математичного опису та моделювання без проведення натурних випробувань. При цьому використовуються положення та закони математики, що описують моделювані явища, системи або пристрої на певному рівні їх ідеалізації.
Математична модель (ММ)являє собою формалізований опис системи (або операції) деякою абстрактною мовою, наприклад, у виглядісукупності математичних співвідношень чи схеми алгоритму,т. е. такий математичний опис, який забезпечує імітацію роботи систем або пристроїв на рівні, досить близькому до їхньої реальної поведінки, що отримується при натурних випробуваннях систем або пристроїв.
Будь-яка ММ описує реальний об'єкт, явище або процес з деяким ступенем наближення до дійсності. Вигляд ММ залежить як від природи реального об'єкта, так і від завдань дослідження.
Математичне моделюваннясуспільних, економічних, біологічних і фізичних явищ, об'єктів, систем та різних пристроїв є одним з найважливіших засобів пізнання природи та проектування найрізноманітніших систем та пристроїв. Відомі приклади ефективного використання моделювання у створенні ядерних технологій, авіаційних та аерокосмічних систем, у прогнозі атмосферних та океанічних явищ, погоди і т.д.
Однак для таких серйозних сфер моделювання нерідко потрібні суперкомп'ютери та роки роботи великих колективів вчених з підготовки даних для моделювання та його налагодження. Тим не менш, і в цьому випадку математичне моделювання складних систем і пристроїв не тільки економить кошти на проведення досліджень і випробувань, але і може усунути екологічні катастрофи - наприклад, дозволяє відмовитися від випробувань ядерного та термоядерної зброїна користь його математичного моделювання або випробувань аерокосмічних систем перед їхніми реальними польотами. А при використанні узагальнених моделей стає можливим моделювання і досить складних систем, наприклад, телекомунікаційних систем та мереж, радіолокаційних чи радіонавігаційних комплексів.
Метою математичного моделюванняє аналіз реальних процесів (у природі чи техніці) математичними методами. У свою чергу, це вимагає формалізації ММ процесу, що підлягає дослідженню. Модель може бути математичним виразом, що містить змінні, поведінка яких аналогічна поведінці реальної системи. Модель може включати елементи випадковості, що враховують ймовірності можливих дій двох або більшого числа«гравців», як, наприклад, в теорії ігор; або вона може представляти реальні змінні параметри взаємопов'язаних частин діючої системи.
Математичне моделювання для дослідження характеристик систем можна розділити на аналітичне, імітаційне та комбіноване. У свою чергу, ММ поділяються на імітаційні та аналітичні.
Аналітичне моделювання
Для аналітичного моделюванняХарактерно, що процеси функціонування системи записуються як деяких функціональних співвідношень (алгебраїчних, диференціальних, інтегральних рівнянь). Аналітична модельможе бути досліджена такими методами:
1) аналітичним, коли прагнуть отримати у загальному вигляді явні залежності для характеристик систем;
2) чисельним, коли не вдається знайти рішення рівнянь у загальному вигляді та їх вирішують для конкретних початкових даних;
3) якісним, коли за відсутності рішення знаходять деякі його властивості.
Аналітичні моделі вдається отримати лише порівняно простих систем. Для складних систем часто виникають великі математичні проблеми. Для застосування аналітичного методу йдуть на суттєве спрощення початкової моделі. Однак дослідження на спрощеній моделі допомагає отримати лише орієнтовні результати. Аналітичні моделі математично чітко відображають зв'язок між вхідними та вихідними змінними та параметрами. Але їх структура не відображає внутрішню структуру об'єкта.
При аналітичному моделюванні його результати подаються у вигляді аналітичних виразів. Наприклад, підключивши RC-ланцюг до джерела постійної напруги E(R, Cі E- компоненти даної моделі), ми можемо скласти аналітичний вираздля тимчасової залежності напруги u(t) на конденсаторі C:
Це лінійне диференціальне рівняння (ДК) і є аналітичною моделлю даного простого лінійного ланцюга. Його аналітичне рішення, за початкової умови u(0) = 0 , що означає розряджений конденсатор Cв момент початку моделювання, дозволяє знайти потрібну залежність - у вигляді формули:
u(t) = E(1− ехp(- t/RC)). (2)
Однак навіть у цьому найпростішому прикладі потрібні певні зусилля для вирішення ДК (1) або для застосування систем комп'ютерної математики(СКМ) із символьними обчисленнями – систем комп'ютерної алгебри. Для цього цілком тривіального випадку вирішення задачімоделювання лінійної RC-ланцюга дає аналітичний вираз (2)досить загального виду - воно придатне для опису роботи ланцюга при будь-яких номіналах компонентів R, Cі E, та описує експоненційний заряд конденсатора Cчерез резистор Rвід джерела постійної напруги E.
Безумовно, знаходження аналітичних рішень при аналітичному моделюванні виявляється виключно цінним для виявлення загальних теоретичних закономірностей простих лінійних ланцюгів, систем і пристроїв. Можна отримати більш менш оглядові результати при моделюванні об'єктів другого або третього порядку, але вже при більшому порядкуаналітичні вирази стають надмірно громіздкими, складними та важко осмислюваними. Наприклад, навіть простий електронний підсилювач часто містить десятки компонентів. Тим не менш, багато сучасних СКМ, наприклад, системи символьної математики Maple, Mathematicaабо середа MATLAB, здатні значною мірою автоматизувати рішення складних завданьаналітичного моделювання.
Одним з різновидів моделювання є чисельне моделювання,яке полягає в отриманні необхідних кількісних даних про поведінку систем або пристроїв будь-яким відповідним чисельним методом, таким як методи Ейлера або Рунге-Кутта. На практиці моделювання нелінійних систем та пристроїв з використанням чисельних методів виявляється набагато більш ефективним, ніж аналітичне моделювання окремих приватних лінійних ланцюгів, систем або пристроїв. Наприклад, для вирішення ДК (1) або систем ДВ більш складних випадкахрішення в аналітичному вигляді не виходить, але поданим чисельного моделювання можна отримати досить повні дані про поведінку моделюваних систем і пристроїв, а також побудувати графіки, що описують цю поведінку залежностей.
Імітаційне моделювання
При імітаційному 10імоделювання реалізує модель алгоритмвідтворює процес функціонування системи в часі. Імітуютьсяелементарні явища, що становлять процес, зі збереженням їхньої логічноїструктури та послідовності протікання в часі.
Основною перевагою імітаційних моделей порівняно саналітичним є можливість вирішення більш складних завдань.
Імітаційні моделі дозволяють легко враховувати наявність дискретних чи безперервних елементів, нелінійні характеристики, випадкові впливи та ін. Тому цей метод широко застосовується на етапіпроектування складних систем. Основним засобом реалізації імітаційного моделювання служить ЕОМ, що дозволяє здійснювати цифрове моделювання систем та сигналів.
У зв'язку з цим визначимо словосполучення « комп'ютерне моделювання», яке все частіше використовується у літературі. Вважатимемо, що комп'ютерне моделювання- це математичне моделювання з використанням засобів обчислювальної техніки. Відповідно, технологія комп'ютерного моделювання передбачає виконання наступних дій:
1) визначення мети моделювання;
2) розробка концептуальної моделі;
3) формалізація моделі;
4) програмна реалізація моделі;
5) планування модельних експериментів;
6) реалізація плану експерименту;
7) аналіз та інтерпретація результатів моделювання.
При імітаційне моделюваннявикористовувана ММ відтворював алгоритм («логіку») функціонування досліджуваної системи в часі при різних поєднаннях значень параметрів системи та зовнішнього середовища.
Прикладом найпростішої аналітичної моделі може бути рівняння прямолінійного рівномірного руху. При дослідженні такого процесу за допомогою імітаційної моделі має бути реалізовано спостереження за зміною пройденого шляху з часом. Очевидно, в одних випадках кращим є аналітичне моделювання, в інших - імітаційне (або поєднання того й іншого). Щоб вибір був вдалим, потрібно відповісти на два питання.
З якою метою проводиться моделювання?
До якого класу може бути віднесене явище, що моделюється?
Відповіді на обидва ці питання можуть бути отримані під час виконання двох перших етапів моделювання.
Імітаційні моделі як за властивостями, а й у структурівідповідають моделируемому об'єкту. При цьому є однозначна і явна відповідність між процесами, одержуваними на моделі, і процесами, що протікають на об'єкті. Недоліком імітаційного моделювання є велике час вирішення завдання отримання хорошої точності.
Результати імітаційного моделювання роботи стохастичної системи є реалізаціями випадкових величинчи процесів. Тому для знаходження характеристик системи потрібно багаторазове повторення і подальша обробка даних. Найчастіше в цьому випадку застосовується різновид імітаційного моделювання. статистичне
моделювання(Або метод Монте-Карло), тобто. відтворення у моделяхвипадкових факторів, подій, величин, процесів, полів.
За результатами статистичного моделювання визначають оцінки ймовірнісних критеріїв якості, загальних та приватних, що характеризують функціонування та ефективність керованої системи. Статистичне моделювання широко застосовується на вирішення наукових і прикладних завдань у різних галузях науки і техніки. Методи статистичногомоделювання широко застосовуються при дослідженні складних динамічних систем, оцінці їх функціонування та ефективності.
Заключний етап статистичного моделювання заснований на математичній обробці отриманих результатів. Тут використовують методи математичної статистики (параметричне та непараметричне оцінювання, перевірку гіпотез). Прикладом параметричної оцінки є вибіркове середнє показника ефективності. Серед непараметричних методів велике поширення набув метод гістограм.
Розглянута схема заснована на багаторазових статистичних випробуваннях системи та методах статистики незалежних випадкових величин. Ця схема є далеко не завжди природною на практиці та оптимальною за витратами. Скорочення часу випробування систем може бути досягнуто за рахунок використання точніших методів оцінювання. Як відомо ізмутематичної статистики, найбільшу точність при заданому обсязі вибірки мають ефективні оцінки. Оптимальна фільтрація та метод максимальної правдоподібності дають загальний методотримання таких оценок.В завданнях статистичного моделювання обробка реалізаційвипадкових процесів необхідна як аналізу вихідних процесів.
Дуже важливий також і контроль характеристик вхідних випадкових впливів. Контроль полягає у перевірці відповідності розподілівгенерованих процесів заданим розподілам. Це завдання часто формулюється як завдання перевірки гіпотез.
Загальною тенденцією моделювання з використанням ЕОМ у складних керованих систем є прагнення до зменшення часу моделювання, а також проведення досліджень у реальному масштабі часу. Обчислювальні алгоритми зручно представляти в рекурентній формі, що допускає їх реалізацію в темпі надходження поточної інформації.
ПРИНЦИПИ СИСТЕМНОГО ПІДХОДУ У МОДЕЛЮВАННІ
Основні положення теорії систем
Основні положення теорії систем виникли в ході дослідження динамічних систем та їх функціональних елементів. Під системою розуміють групу взаємозалежних елементів, що діють спільно з метою виконання заздалегідь поставленого завдання. Аналіз систем дозволяє визначити найбільш реальні способивиконання поставленої задачі, що забезпечують максимальне задоволення поставлених вимог.
Елементи, що становлять основу теорії систем, не створюються за допомогою гіпотезу, а виявляються експериментальним шляхом. Для того щоб розпочати побудову системи, необхідно мати загальні характеристики технологічних процесів. Це справедливо і щодо принципів створення математично сформульованих критеріїв, яким повинен задовольняти процес чи його теоретичний опис. Моделювання є одним з найбільш важливих методів наукового дослідження та експериментування.
При побудові моделей об'єктів використовується системний підхід, що є методологією вирішення складних завдань, в основі якої лежить розгляд об'єкта як системи, що функціонує в певному середовищі. Системний підхід передбачає розкриття цілісності об'єкта, виявлення та вивчення його внутрішньої структури, а також зв'язків із зовнішнім середовищем. При цьому об'єкт представляється як частина реального світу, яка виділяється та досліджується у зв'язку з розв'язуваною задачею побудови моделі. Крім цього, системний підхідпередбачає послідовний переход від загального до приватного, коли в основі розгляду лежить метапроектування, а об'єкт розглядається у взаємозв'язку з навколишнім середовищем.
Складний об'єкт може бути розділений на підсистеми, що є частиною об'єкта, що задовольняють наступним вимогам:
1) підсистема є функціонально незалежною частиною об'єкта. Вона пов'язана з іншими підсистемами, обмінюється з ними інформацією та енергією;
2) для кожної підсистеми можуть бути визначені функції або властивості, що не збігаються з властивостями всієї системи;
3) кожна з підсистем може бути піддана подальшому поділу до рівня елементів.
У разі під елементом розуміється підсистема нижнього рівня, подальше розподіл якої недоцільно з позицій задачі.
Таким чином, систему можна визначити як подання об'єктів у вигляді набору підсистем, елементів і зв'язків з метою його створення, дослідження або удосконалення. При цьому укрупнене уявлення системи, що включає основні підсистеми і зв'язки між ними, називається макроструктурою, а детальне розкриття внутрішньої будови системи до рівня елементів - мікроструктурою.
Поряд із системою зазвичай існує надсистема – система більш високого рівня, до складу якої входить аналізований об'єкт, причому функція будь-якої системи може бути визначена лише через надсистему.
Слід виділити поняття середовища як сукупності об'єктів зовнішнього світу, які істотно впливають на ефективність функціонування системи, але не входять до складу системи та її надсистеми.
У зв'язку з системним підходом до побудови моделей використовується поняття інфраструктури, що описує взаємозв'язки системи з її оточенням (середовищем).
Для підходу важливим є визначення структури системи, тобто. сукупності зв'язків між елементами системи, що відображають їхню взаємодію. Для цього спочатку розглянемо структурний та функціональний підходи до моделювання.
При структурному підході виявляються склад виділених елементів системи та зв'язку з-поміж них. Сукупність елементів та зв'язків дозволяє судити про структуру системи. Найбільш загальним описом структури є топологічний опис. Воно дозволяє визначити складові частини системи та їх зв'язку за допомогою графів. Менш загальним є функціональний опис, коли розглядаються окремі функції, тобто алгоритми поведінки системи. У цьому реалізується функціональний підхід, визначальний функції, які виконує система.
На базі системного підходу може бути запропонована послідовність розробки моделей, коли виділяють дві основні стадії проектування: макропроектування та мікропроектування.
На стадії макропроектування будується модель зовнішнього середовища, виявляються ресурси та обмеження, вибирається модель системи та критерії для оцінки адекватності.
Стадія мікропроектування значною мірою залежить від конкретного типу обраної моделі. У загальному випадкупередбачає створення інформаційного, математичного, технічного та програмного забезпечення системи моделювання. На цій стадії встановлюються основні технічні характеристики створеної моделі, оцінюються час роботи з нею та витрати ресурсів для отримання заданої якості моделі.
Незалежно від типу моделі при її побудові необхідно керуватися низкою принципів системного підходу:
1) послідовне просування за етапами створення моделі;
2) узгодження інформаційних, ресурсних, надійних та інших характеристик;
3) правильне співвідношення різних рівнівпобудови моделі;
4) цілісність окремих стадій проектування моделі.
При розрахунку фізичних процесів складається математична модель - система рівнянь, що описує залежності між фізичними величинамипри деяких попущеннях, що спрощують. Наприклад, при русі точки поблизу поверхні Землі потрібно прискорити вільного падінняпостійним, що не залежить від висоти розташування крапки над поверхнею. Для тіл, що рухаються з невеликою швидкістю або розрядженою атмосферою, нехтують опором повітря. Саме точка часто замінюють матеріальною точкою, Т. е. розмірами точки нехтують. Фізичні процесиописуються, як правило системою диференціальних рівняньдля вирішення якої застосовують різні чисельні методи (моделі). Широко використовується метод кінцевих різниць, в якому нескінченно малі збільшення змінних замінюють малими (кінцевими) збільшеннями.
Наприклад, зміну параметра часу подають у вигляді: dt=t 2 -t 1а зміна функції "Х": dX(t) = X(t)-X(t-dt) = X(t2)-X(t1) = X2-X1.
Розглянемо задачу визначення траєкторії точки, що рухається в деякій площині під дією різних сил. Наприклад, необхідно обчислити траєкторію руху снаряда з урахуванням опору повітря чи ракети з урахуванням зміни її маси, які у полі тяжіння Землі.
Координати точки X(t), Y(t) у певний момент часу "t" можна визначити, знаючи координати точки X(t-dt), Y(t-dt) у попередній момент часу "t-dt" та зміну (приріст) ) координат dX, dY:
X(t) = X(t-dt) + dX(t),
Y(t) = Y(t-dt) + dY(t).
Якщо тимчасовий інтервал вибрати досить малим, можна вважати, що швидкість точки цьому інтервалі не змінюється і збільшення координат визначаються за формулами:
dX(t) = Vx(t)dt,
dY(t) = Vy(t)dt.
Тут Vx(t), Vy(t) – проекції швидкості на осі координат.
Складові швидкості Vx(t) і Vy(t) можна обчислити за формулами:
Vx(t) = Vx(t-dt) + Ax(t)*dt,
Vy(t) = Vy(t-dt) + Ay(t)*dt.
Тут Ax(t), Ay(t) – проекції прискорення на осі координат.
Прискорення визначається силами, що діють на точка: прискорення дорівнює рівнодіючій силі, поділеній на масу точки. Сили можуть залежати від координат точки, часу та швидкості точки. Наприклад, прискорення ракети в полі тяжіння планети обернено пропорційно квадрату відстані до центру планети. При включенні двигуна ракети прискорення залежить від часу (програми двигуна). При русі в щільних шарах атмосфери на ракету діють сили опору повітря, залежні від швидкості руху, тобто прискорення залежить від швидкості.
Наведемо алгоритм розрахунку траєкторії руху точки:
1. Визначаємо сили, які діють точка, і знаходимо проекції прискорення на осі координат.У загальному випадку прискорення точки залежить від багатьох факторів і в момент часу t задається як функція від часу, швидкості та координат точки:
Ax: = Fx (Vx, Vy, X, Y, t); Ay: = Fy (Vx, Vy, X, Y, t);
Де Vx, Vy, Ax, Ay – проекції швидкості та прискорення.
2.Задаємо початкове положеннякрапки- координати X, Y та початкову швидкість та прискорення у вигляді проекцій на осі координат:
X: = X0; Y:= Y0; Vx: = V * cos (fi); Vy: = V * sin (fi);
Ax: = Fx (Vx, Vy, X, Y, t);
Ay: = Fy (Vx, Vy, X, Y, t);
Де V – початкова швидкість точки, fi – кут нахилу вектора швидкості до осі Х.
3. Задаємо тимчасовий крок dt та розбиваємо весь часовий інтервал на N ділянок. При рівномірному розбивці збільшення часу визначається за такою формулою:
dt:=(t[N]-t)/(N-1);Тут (t[N] – t) – час руху точки.
Вибір величини dt визначається необхідною точністю розрахунку, можливостями обчислювальної техніки і може уточнюватися при вирішенні задачі.
4.Обчислюємо масиви швидкості, прискорення та координат точки:
For i:= 2 to N do begin
Vx[i]: = Vx + Ax * dt;
Vy[i]: = Vy + Ay * dt;
X[i]: = X + 0.5 * (Vx + Vx [i]) * dt;
Y[i]:= Y + 0.5 * (Vy + Vy [i]) * dt;
Ax[i]: = Fx(Vx[i], Vy[i], X[i], Y[i], t[i]);
Ay[i]:= Fy(Vx[i], Vy[i], X[i], Y[i], t[i]);
(уточнюємо швидкість точки в розрахунковій точці)
VX[i]: = VX + 0.5 * (Ax + Ax [i]) * dt;
VY[i]: = VY + 0.5 * (Ay + Ay [i]) * dt;
Для зменшення похибок розрахункової схеми швидкість і прискорення на ділянці інтерполуються середніми значеннями.
5. Будуємо траєкторію руху точки. Тут зручно використовувати процедури з бібліотеки для побудови графіків GR_F. Слід визначити розрахункову область та область малювання траєкторії на екрані. Траєкторія на екрані малюється процедурою: PutPixel_G(X[i], Y[i], N);
Для тестування роботи алгоритму розглянемо задачу розрахунку траєкторії точки, що рухається з точки з координатами X, Y з початковою швидкістю Vx, Vy під дією сил, що викликають прискорення точки Ax, Ay. Дотримуючись пунктів 1. . 5 наведеного вище алгоритму необхідно розрахувати траєкторію руху точки та порівняти з траєкторією точки, описаної аналітичною залежністю X(t), Y(t).
Практичне завдання N 2. 22
N X 1 Y 1 Vx 1 Vy 1 Axi Ayi X(t) Y(t)
1 0 0 0 b 2*a -y a*t 2 b*sin(t)
2 0 0 a b 0 -y a*t b*sin(t)
3 1 0 1 1 -2*y 2*x e t * cos(t) e t *sin(t)
4 a 0 0 0 -x x*b/a a* cos(t) b*(1-cos(t))
5 a b 0 0 -4*x y a* cos(2*t) b*cos(t)
6 0 0 0 b 2*a 0 a*t 2 b*t
7 2*a 0 0 x 0 a*(e t + e -t) a*t
8 0 b a 0 -x -y a* sin(t) b*cos(t)
Y V  F, * V 0 g fi 0 X |
Розглянемо задачу розрахунку траєкторії снаряда, що рухається з початковою швидкістю "V0" під кутом "fi" до горизонту з урахуванням сил опору повітря, пропорційних швидкості снаряда. Проекції прискорень визначимо як функцій:
FUNCTION Fx(Vx, kc: real): real; begin Fx:= - kc*Vx end;
FUNCTION Fy(Vy, kc: real): real; begin Fy:= - kc*Vy - g end;
Де kc - коефіцієнт опору повітря,
g = 9. 81, м/с - прискорення вільного падіння на поверхні Землі.
Оскільки час підльоту снаряда до мети невідомий, то параметр "dt" вибирається приблизно, наприклад, виходячи з максимального часу польоту снаряда над горизонтальною поверхнею без урахування опору повітря: tмах = 2 * V * sin (fi) / g. Для N = 500 dt = t/500. При вирішенні конкретних завдань процес розрахунку припиняється при досягненні снарядом мети або при обмеженнях за статичними координатами, наприклад:
REPEAT i:=i+1;
(оператори розрахунку масивів швидкості, прискорення та координат точки)
Until (cc = GetPixel_G(X[i], Y[i])) or (Y[i]< 0) or (i = N);
Тут cc - колір пікселів мети, Y[i]< 0 - ограничение по горизонтальній поверхні, i = N – обмеження за розміром масиву. У разі передчасного завершення польоту снаряда необхідно збільшити dt або параметр N.
Практичне завдання N 2. 23
1. Розрахувати різницевим моделюванням та за аналітичною залежністю траєкторії польоту снаряда без урахування опору повітря. Побудувати траєкторію польоту снаряда. Початкова швидкість V 0 =1000 м/с, кут fi=450. Аналітична залежність має вигляд:
X = V 0 * t * cos (fi); Y = V 0 * t * sin (fi) - g * t 2 / 2;
2. Розрахувати різницевим моделюванням та за аналітичною залежністю траєкторії польоту снаряда з урахуванням опору повітря, пропорційним швидкостіснаряд. Побудувати траєкторію польоту снаряда. Початкова швидкість V 0 =3000 м/с, кут fi = 45 0 . Коефіцієнт опору повітря kc = 0.01,с -1.
Аналітична залежність має вигляд:
X = V 0 * cos (fi) * (1-е (-kc * t)) / kc; Y=(V 0 *sin(fi)+g/kc)*(1-е (-kc*t))/kc-g*t/kc;
3. Розрахувати різницеве моделювання траєкторії польоту снаряда з урахуванням опору повітря, пропорційним квадрату швидкості снаряда. Коефіцієнт опору повітря kc1 = kc2. Побудувати спільно траєкторії польоту снаряда п. 1, 2, 3. Початкова швидкість V 0 = 3000, м/с, кут fi = 45 0 .
4. Скласти програму поразки нерухомої мети при kc 1 = kc 2 . Змінюючи в циклі кут fi на невелику величину, визначити в програмі кут, при якому буде вражена мета - невеликий прямокутник з координатами вершин (x1, y1) та (x2, y2). Побудувати всі траєкторії польоту снаряда.
Примітка п. 1. . 4:Виводити на екран вихідні дані: V 0 fi, kc, а також найбільшу висотута дальність польоту снаряда.
Розглянемо завдання розрахунку траєкторії космічного тіла в полі тяжіння планети без урахування сил опору. У початковий моментчасу тіло рухається на висоті "Н" зі швидкістю "V 0 ", спрямованої по дотичній до кола радіуса R 0 . Оскільки рух супутника навколо планети досить тривалий, то не доцільно запам'ятовувати оперативної пам'ятівсі параметри (координати, швидкості та прискорення) у кожний момент часу. Зазвичай ці параметри записуються у файл на диск при обчисленнях через деякі моменти часу, а траєкторію будують відразу, або запускаючи окрему програму, що зчитує дані з файлу. Розрахункова область визначається виходячи з оціночних розрахунків. Для супутника, що рухається навколо Землі, можна прийняти:
Xmin = Ymin = -Kv * R 0 , Xmax = Ymax = Kv * R 0
Тут R0 = (Rz + H), Rz = 6. 37 * 106, м. - радіус Землі.
Kv=1. 5 при V 0<= W 1 ; Kv=10 при W 1 < V 0 < W 2 ; Kv=20 при V >= V2.
W 1 = Rz*Ö(g/R 0)- перша космічна швидкість,
W 2 = Ö2 * W 1- Друга космічна швидкість.
Параметр "dt" можна визначити приблизно за формулою: dt=T/N,
де T= 6. 28*Rz/W 1 - час обороту супутника навколо Землі, N=300.
Відстань від супутника до центру планети визначається через координати:
function R(x, y: double): double; begin R: = sqrt (x * x + y * y) end;
Проекції прискорень визначимо як функції:
function FA(x, r, kz: double): double; begin FA:= -kz*x/(r*r*r) end;
Тут kz = 4. E+14 для Землі (у системі СІ).
Нехай у початковий момент часу відомі координати супутника:
x 1 = R 0; y 1 = 0; r 1 = R(x 1 , y 1);
швидкість: Vx 1 = 0; Vy 1 = V 0;
і прискорення: Ax 1 = FA(X 1 r 1 kz); Ay 1 = FA (Y 1, r 1, kz);
Зазначимо, що швидкість початковий момент часу спрямована по дотичній до кола радіуса r 1 .
Для запису алгоритму розрахунку траєкторії необхідне знання параметрів у двох сусідніх точкахнаприклад, у точці "1" - для попереднього моменту часу і в точці "2" - для розрахункового моменту часу. Розрахунок проводимо в циклі з одночасним виведенням траєкторії руху супутника на екран доти, доки виконується обмеження по радіусу траєкторії або не натиснута будь-яка клавіша.
While (r1< Xmax) or (r1>Rz) or (not keyPressed) do begin
Vx2: = Vx1 + Ax1 * dt; Vy2: = Vy1 + Ay1 * dt;
X2: = X1 + 0.5 * (Vx1 + Vx2) * dt;
Y2:= Y1 + 0.5 * (Vy1 + Vy2) * dt; r2:= R(x2, y2);
Ax2:=FA(X2, r2, kz);
Ay2:=FA(Y2, r2, kz);
Vx2: = Vx1 + 0.5 * (Ax1 + Ax2) * dt;(уточнюємо швидкість)
Vy2: = Vy1 + 0.5 * (Ay1 + Ay2) * dt;
(Перевизначаємо значення параметрів у точці)
x1: = x2; y1:= y2; r1: = r2;
Vx1: = Vx2; Vy1: = Vy2; Ax1: = Ax2; Ay1:= Ay2
PutPixel_G(x1, y1, c);( Будуємо траєкторію руху точки, c - колір точки)
Практичне завдання N 2. 24
r = P/(1 + e*cos(fi));
де e = P/R 0 - 1; P = (V 0 * R 0 / Rz) 2 / g; 0 <= fi = 2*Pi.
У початковий момент часу відомі координати супутника: x1 = R0; y 1 = 0;
та швидкість: Vx 1 = 0; Vy 1 = V 0; Розглянути випадки:
1_1. Початкова швидкість V0<= W 1 , высота H = 300000, м.
1_2. Початкова швидкість W 1<= V 0 < W 2 , высота H = 400000, м.
1_2. Початкова швидкість V0> = W2, висота H = 500000, м.
Примітка:Побудувати траєкторію польоту супутника. Через рівні проміжки часу виводити на екран час польоту супутника, швидкість та висоту.
1) V 0 Rz Rz 2) Rz V 0 Rz
 |
|||
 |
|||
1) 20 * Rz 2) 20 * Rz
Розглянемо завдання розрахунку траєкторії точки змінної маси, що рухається під дією реактивної тяги Рух точки у разі описується рівнянням Мещерского:
A = (U/M)*(dM/dt) + F/M
Де A – прискорення точки, M – маса точки.
U - швидкість реактивного струменя щодо точки,
F - результуюча зовнішніх сил, що діють на точку,
Враховуючи, що F = kz*M/r 2- сила тяжіння спрямована до центру Землі, а P = U * (dM / dt)- реактивна сила двигуна (тяга) спрямована по дотичній траєкторії руху, визначаємо проекції прискорення на осі координат:
Ax = P * Vx / (M * V) - kz * x / (r 3); Ay = P * Vy / (M * V) - kz * y / (r 3);
Де V = Ö(Vx 2 + Vy 2)- Швидкість точки,
r = Ö(x 2 + y 2)- відстань до центру Землі,
Vx , Vy – проекції швидкості точки на осі координат, x, y – координати точки.
Вважаючи витрату палива z = dM/dtпостійним, масу точки можна визначити за формулою: M = M0 - z * t; при t< Tk ,
де M 0 - Початкова маса точки, Tk - час роботи двигуна.
Практичне завдання N 2. 25
1. Побудувати десять траєкторій польоту балістичної ракети, розрахованих різницевим моделюванням. Початкова швидкість V 0 =1,м/с, тяга двигуна P=2. 5Е6,н, стартова маса M 0 = 1. 5Е5, кг, витрата палива z = 700, кг / с, час роботи двигуна Tk = 200, с.
2. Побудувати траєкторії польоту двоступінчастої балістичної ракети, розраховані різницевим моделюванням. Початкова швидкість V 0 = 1,м/с, стартова маса M 0 = 3Е5, кг для першого ступеня: тяга P 1 =5Е6, н, витрата палива z 1 = 1700, кг/с, час роботи двигуна Tk 1 = 130 , с. Для другого ступеня: тяга P 2 = 1. 1Е6, н, витрата палива z 2 = 300, кг/с, час роботи двигуна Tk 2 = 230, с.
Примітка до п. 1, 2:опір повітря та обертання Землі не враховувати. Кут запуску ракети до горизонту = 900-N*0. 002 0 де N= 1, 2, 3, ..., 10. Під час роботи двигуна dt=0. 05 c, потім dt=0. 5, c.
3. Побудувати траєкторію польоту супутника Землі під час включення двигуна, розраховану різницевим моделюванням. Початкові умови на висоті H=400000 м прийняти наступні: швидкість V 0 =W 1 і спрямована по дотичній до кола, M 0 =11000, кг, тяга двигуна P=4Е5, н, витрата палива z=100, кг/с, час роботи двигуна Tk = 70, с. Розрахувати швидкість супутника при роботі двигуна за формулою Ціолковського: V = V 0 + U * ln (M 0 / M), де U = P/z.
Через кожні 10 секунд виводити на екран час польоту супутника та швидкість.
Розглянемо завдання розрахунку траєкторії точки, прикріпленої до пружної нитки, і що рухається з початковою швидкістю "V 1 " під кутом "fi" до осі "x" з точки з координатами (x 1 , y 1), без урахування сил опору повітря. Це завдання моделює відому іграшку – м'яч, прив'язаний на резинці.
Нехай точка має масу "M", довжина нитки "L". Вважаємо, що нитка невагома і абсолютно пружна. Коефіцієнт пружності "Kn".
Осі координат проведемо через точку закріплення нитки вгору та вліво. Розрахункову область обмежимо: X_min = Y_min = -Lm, X_max = Y_max = Lm,
де Lm = abs(V 1 * Ö(M/Kn)) + Ö(x12 + y12) + L + 2*M*g/Kn.
| Y V 1 x,y 0 X |
Період вільних коливань вантажу,
підвішеного на пружній нитці:
T = 6, 28 * Ö (M / Kn). Приймемо dt = T/300.
Проекції прискорення визначаються як дискретна функція відстані "r" від початку координат до точки закріплення нитки: якщо r<= L, то ускорение от сил упругости равно нулю, в остальных случаях:
Ax = -x * Ky * dr / (r * M);
Ay = -y * Ky * dr / (r * M) - 9.81; де dr = (r-L)> 0.
Проекцію прискорення на вісь "Х" від сил пружності, запишемо як функції:
FUNCTION FA(x, r, L, Kn, M: double): double;
begin if (r-L)>0 then FA:= -x*Kn*(r-L)/(r*M) else FA:= 0 end;
Аналогічна функція складається для проекції прискорення вісь “У”. Методика розрахунку відповідає наведеної руху супутника у полі тяжіння планети.
Практичне завдання N 2. 26
1. Побудувати траєкторію руху м'яча, підвішеного на пружній нитці у в'язкому середовищі, розраховану різницевим моделюванням. Опір середовища пропорційний швидкості руху м'яча: kc=0. 01, з -1. Нитка закріплена у центрі квадрата зі стороною 2*Lm, довжина нитки L=1, м, коефіцієнт пружності Kn=5, н/м. Маса м'яча M=0. 2 кг. М'яч починає рух із точки з координатами x 1 =-0. 5*L, y 1 =0 зі швидкістю V 1 =10 м/с під кутом 45 0 .
2. Побудувати траєкторію руху м'яча, підвішеного на пружній нитці у квадратній коробці, розраховану різницевим моделюванням, з урахуванням зменшення нормальної складової швидкості на 20% при відображенні м'яча від стінки. Опір середовища пропорційний швидкості руху м'яча: kc=0. 05, з -1. Нитка довжиною L=1, м, закріплена у центрі квадрата зі стороною a=1. 5*L. Коефіцієнт пружності Kn=5, н/м, маса м'яча M=0. 1 кг. М'яч починає рух із точки з координатами x 1 =-L, y 1 =0, зі швидкістю V 1 x=1, м/с, V 1 y=5, м/с.
2. 4. Моделювання багатоваріантних завдань із використанням графів
| |
Розглянемо "класичний" приклад багатоваріантного завдання. Нехай пункти A і B пов'язані між собою дорогами, які можуть проходити через пункти 1, 2, 3,..., N. У випадку кожен пункт пов'язаний дорогами з іншими. В окремому випадку деякі зв'язки (дороги) відсутні. Схематично ці пункти та зв'язку можна зобразити у вигляді графа.
Графом називається сукупність вузлів (пункти A, B, 1, 2, . . . , N) і ребер (доріг), що їх зв'язують. Маршрутом руху називається послідовність пов'язаних ребрами вузлів. Надалі будемо розглядати маршрути руху, які завжди починаються з пункту A і закінчуються в пункті B. Причому пункти A і B на маршруті повторюватися не можуть. Наприклад: А-1-4-В.
Ставиться завдання скласти маршрути при заданих обмеженнях (фільтрах), або знайти оптимальний за деякими параметрами маршрут і т.д. Наприклад, відома вартість проїзду кожною дорогою. Необхідно знайти маршрут з найменшою вартістю проїзду, або знайти всі маршрути з вартістю, що не перевищує певну величину і т.д.
Нехай вузол A має номер "0", а вузол B - номер "N+1". Розглянемо загальний випадок: кожен пункт пов'язаний із рештою. Позначимо M – число проміжних вузлів на маршруті.
При М = 0 маршрут може проходити лише з вузла "0" у вузол "N+1".
При М = 1 маршрут проходить через один із вузлів: j1 = 1, або j1 = 2, .., або j1 = N.
При М = 2 маршрут проходить через два вузли, причому перший може мати номер: j1=1, або j1=2, ... або j1=N, а другий - номер: j2=1, або j2=2, . .. чи j2=N, т. е. можливо N 2 маршрутів. Графічно всі маршрути можна подати у вигляді:
A M = 1 A M = 2
1 . . . j1. . . N
1 2 3 ... j1 ... N 1 2 3 ... j2. N 1 2 3 ... j2 ... N 1 2 3 ... j2 .. N
 |
Таким чином, число маршрутів дорівнює N M і час перебору маршрутів при великих значеннях N і M дуже швидко зростає.
При постановці завдання знаходження маршрутів вказується значення M – найменша кількість вузлів на маршруті, M1 – найбільша кількість вузлів на маршруті. Причому 1<=M<=M1. Например, пусть на графе имеется три узла N=3 и необходимо составить маршруты, проходящие через два узла, т. е. M=2, M1=2. Тогда в общем случае имеются маршруты:
0-1-1-4; 0-2-1-4; 0-3-1-4; односторонній зв'язок
0-1-2-4; 0-2-2-4; 0-3-2-4; 1 2 3
0-1-3-4; 0-2-3-4; 0-3-3-4; двосторонній зв'язок
Постановка задачі знаходження маршрутів включає визначення матриці коефіцієнтів aij, що характеризують зв'язки між вузлами i та j. Зв'язок вузла A визначається коефіцієнтами a 0 j, вузла В - коефіцієнтами ai N+ 1 . Матриця має вигляд:
a 11 a 12 a 13 ... a 1NЯкщо aij = aji = 0, то зв'язок
a 21 a 22 a 23 ... a 2Nміж вузлами i та j відсутня.
a 31 a 32 a 33 ... a 3NЯкщо aij=0 та aji<>0, то зв'язок
........................... . між вузлами i та j одностороння.
a N1 a N2 a N3 ... a NNЯкщо aij<>0 та aji<>0, то зв'язок
між вузлами i та j двостороння.
Якщо aij = aji при i = 1, 2, . . , N; j = 1, 2, . . , N, то матриця симетрична.
Якщо aij = 0 при j = 1, 2, . . , N; i > j, то трикутна матриця.
Значення aij може містити значення ребра, що зв'язує вузли i та j (наприклад, вартість проїзду), або значення, що міститься у вузлі i або j, або будь-яке значення, що вказує існування зв'язку між вузлами i і j.
Введемо лінійний масив "Y", коефіцієнти якого позначають номери вузлів графа, через які проходить маршрут, а індекси показують номер пункту по порядку прямування на маршруті. Оператори з перебору маршрутів мають вигляд:
Y:=0;(Номер вузла "А" графа)
repeat(цикл за кількістю вузлів на маршруті)
для j:= 1 до М до Y[j]:=1;(Початкові номери вузлів на маршруті)
Y:=N+1;(Номер вузла "B" графа)
repeat(цикл із перебору номерів вузлів на маршруті)
for j: = 1 до M + 1 до if a, y [j]] = 0 then goto METKA;(перевірка)
(****** тут ставляться оператори фільтра ************)
{****** . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ************}
for j:=0 to M+1 do write("-", Y[j]); writeln;(виведення маршруту)
METKA: Y:=Y+1;(Зміна номера вузла першого пункту на маршруті)
for j:=1 to M-1 do(визначаємо номери вузлів на маршруті)
if Y[j]>N then begin Y[j]:=1; Y:=Y+1 end else Break;
until Y[M]=N+1;
until M>M1;
На початку програми задається можливий маршрут 0-1-1-1-. . . -1-N+1 для заданого значення M>0. Перевіряється наявність зв'язків і ставляться фільтри визначення маршруту. Потім збільшується номер вузла першого пункту по порядку проходження на маршруті: 0-2-1-1-. . . -1-N+1 і т. д. до 0-N-1-1-. . . -1-N+1. При перевищенні номера вузла значення N номер вузла скидається до одиниці, а номер наступного вузла збільшується на одиницю: 0-1-2-1-. . . -1-N+1 і знову збільшується номер вузла першого пункту значення N: 0-N-2-1-. . . -1-N+1 і далі скидається до одиниці зі збільшенням номера наступного вузла: 0-1-3-1-. . . -1-N+1. Після (N-1)-го скидання та збільшення значення вузла першого пункту до N отримаємо маршрут: 0-N-N-1-. . . -1-N+1 і далі: 0-1-1-2-. . . -1-N+1. Таким чином відбувається перебір всіх можливих маршрутів до 0-N-N-N-. . . -N-N+1. Після цього розглядаються маршрути M=M+1 включаючи M=M1. Зазначимо, що за необхідності маршрут 0-N+1 для M=0 слід розглянути окремо.
При вирішенні конкретних завдань необхідно визначити значення коефіцієнтів aij матриці зв'язку та встановити необхідні фільтри.
Розглянемо завдання визначення вартості маршрутів з A до B.
1.) Задамо вартість проїзду з вузла i у вузол j:
для i:=0 до N+1 для j:=і до N+1 для:=Random(X);(X-дано)
for i:=0 до N+1 до:=0;(Рух всередині вузла заборонено)
для i:=0 до N+1 для j:=і до N+1 для:=a;(зв'язку)
(двосторонні та рівнозначні)
2). Матрицю зв'язків можна вивести на екран для перевірки. При виведенні маршруту на екран або файл можна також виводити значення вартості маршруту.
S:=0; для m:=1 до M1+1 до S:=S+a,y[m]];(Вартість маршруту)
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Розглянемо завдання розміщення мін на прямокутному полірозміром Nx*Ny. При цьому M=M1=N=Nx*Ny та всі вузли мають бути пройдені без повторень. Розташування починається з вузла із заданим номером NH і може закінчитись у вузлах на верхньому кордоні.
1) Визначимо матрицю зв'язків:
for i:=0 to N+1 do for j:=1 to N+1 do a:=0;
for i:=1 до N-1 до початку:=1; a:=1 end;(Зв'язки по гориз)
для j:=1 до Ny-1 до початку k:=Nx*j; a:=0; a:=0 end;
for i:=1 to Nx do for j:=1 to Ny-1 do(зв'язки по вертикалі)
begin k:=Nx*(j-1)+i; a:=1; a:=1 end;
a:=2;(NH - вузол зв'язку з вузлом 0)
для i:=1 до Nx до:=3;(1, . . , Nx - вузли зв'язку з вузлом N+1)
2). Встановимо фільтр, який забороняє повернення у вузол на маршруті:
для k:=1 до M до c]:=0; for k:=1 to M do
begin c]:=c]+1; if c]=1 then goto METKA end;
Тут проводиться підсумовування номерів вузлів, що повторюються, на маршруті. При збігу номера вузла значення лічильника c] = 1 -маршрут не розглядається.
Розглянемо завдання завантаження N - видів коробоку машину. Задається число коробок кожного виду: Ki, їх вага Mi і обсяг Vi де i=1, 2, . . , N. Обмеження можуть бути за загальною вагою та обсягом. Число вузлів графа дорівнює N. Число вузлів на маршруті M = 1, М1 = K 1 + K 2 +. . . +K N . Інтервал М-М1 можна зменшити прорахувавши найбільше допустиме за вагою та об'ємом число коробок KMi кожного виду завантажуваних у машину (KMi<=Ki). Тогда М = min(KMi), а М1 = max(KMi). Поскольку порядок загрузки не имеет значения, то все связи односторонние. 0
1 2 ... k ... N N+1
1) Визначимо матрицю зв'язків:
для i:=0 до N+1 для j:=і до N+1 для:=0;(нижній трикутник)
для i:=0 до N+1 для j:=і до N+1 для:=1;(верхній трикутник)
2) Визначення числа коробок кожного виду аналогічно до підсумовування повторюваних номерів вузлів на маршруті.
Практичне завдання N 2. 27
1) Вивести у файл вартість маршрутів без повторюваних вузлів при N=4, M=3, M1=4, Х=9. Визначити номери маршрутів з найменшою та найбільшою вартістю
для різних значень М.
2) Вивести символами псевдографіки у текстовому режимі маршрути руху прямокутнику 2х4, чи 4х2. Початок руху за NH=8.
3) Вивести загальну вагу та кількість коробок кожного з 3-х видів, що завантажуються в машину. Встановити ваги функцією Random(50)+50; Встановити фільтр загальної ваги G<900. Общее число коробок: M=10, M1=12.