\(\blacktriangleright\) Кут між прямою та площиною – це кут між прямою та її проекцією на цю площину (тобто це кут \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).
\(\blacktriangleright\) Щоб знайти кут між прямою \(a\) і площиною \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\) ), потрібно:
Крок 1: з якоїсь точки \(A\in a\) провести перпендикуляр \(AO\) на площину \(\phi\) (\(O\) - основа перпендикуляра);
Крок 2: тоді (BO) - проекція похилої (AB) на площину (phi);
Крок 3: тоді кут між прямою \(a\) і площиною \(\phi\) дорівнює \(\angle ABO\) .
Завдання 1 #2850
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
Пряма \(l\) перетинає площину \(\alpha\) . На прямій \(l\) відзначений відрізок \(AB=25\) , причому відомо, що проекція цього відрізка на площину \(\alpha\) дорівнює \(24\) . Знайдіть синус кута між прямою \(l\) і площиною \(\alpha\)
Розглянемо малюнок:
Нехай \(A_1B_1=24\) - проекція \(AB\) на площину \(\alpha\) , означає, \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) . Так як дві прямі, перпендикулярні до площини, лежать в одній площині, то (A_1ABB_1) - прямокутна трапеція. Проведемо \(AH\perp BB_1\). Тоді (AH = A_1B_1 = 24 \) . Отже, за теоремою Піфагора \ Зауважимо також, що кут між прямою і площиною - це кут між прямою і її проекцією на площину, отже, кут, що шукається, - кут між \(AB\) і \(A_1B_1\) . Оскільки \(AH\parallel A_1B_1\) , то кут між \(AB\) і \(A_1B_1\) дорівнює куту між \(AB\) і \(AH\) .
Тоді \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0,28.\]
Відповідь: 0,28
Завдання 2 #2851
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
\(ABC\) - правильний трикутникзі стороною \(3\) , \(O\) – точка, що лежить поза площиною трикутника, причому \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . Знайдіть кут, який утворюють прямі (OA, OB, OC) з площиною трикутника. Відповідь дайте у градусах.
Проведемо перпендикуляр (OH) на площину трикутника.
Розглянемо \(\triangle OAH, \triangle OBH, \triangle OCH\). Вони є прямокутними і рівні за катетом та гіпотенузою. Отже, (AH = BH = CH) . Значить, \(H\) - точка, що знаходиться на однаковій відстані від вершин трикутника \(ABC\). Отже, \ (H \) - Центр описаної біля нього кола. Так як \(\triangle ABC\) - правильний, то \(H\) - точка перетину медіан (вони ж висоти та бісектриси).
Оскільки кут між прямою і площиною – це кут між прямою та її проекцією на цю площину, а \(AH\) – проекція \(AO\) на площину трикутника, то кут між \(AO\) та площиною трикутника дорівнює \( \angle OAH\) .
Нехай \(AA_1\) – медіана в \(\triangle ABC\), отже, \
Оскільки медіани точкою перетину діляться щодо \(2:1\) , рахуючи від вершини, то \ Тоді з прямокутного \(\triangle OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]
Зауважимо, що з рівності трикутників (OAH, OBH, OCH) слід, що \(\angle OAH=\angle OBH=\angle OCH=60^\circ\).
Відповідь: 60
Завдання 3 #2852
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
Пряма (l) перпендикулярна площині (pi). Пряма \(p\) не лежить у площині \(\pi\) і не паралельна їй, також не паралельна прямій \(l\) . Знайдіть суму кутів між прямими \(p\) і \(l\) і між прямою \(p\) і площиною \(\pi\) . Відповідь дайте у градусах.
З умови випливає, що пряма (p) перетинає площиною (pi). Нехай \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .
Тоді \(\angle POL\) - Кут між прямими \(p\) і \(l\) .
Так як кут між прямою і площиною - кут між прямою і її проекцією на цю площину, то (angle OPL) - кут між (p) і (pi). Зауважимо, що \(\triangle OPL\) прямокутний з \(\angle L=90^circ\) . Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутникадорівнює \(90^\circ\) , то \(\angle POL+\angle OPL=90^\circ\).
Зауваження.
Якщо пряма \(p\) не перетинає пряму \(l\) , то проведемо пряму \(p"\parallel p\) , що перетинає \(l\) .Тоді кут між прямою \(p\) і \(l\) ) буде дорівнює куту між \(p"\) і \(l\) . Аналогічно кут між \(p\) і \(\pi\) буде дорівнює куту між \(p"\) і \(\pi\) А для прямої \(p"\) вже вірно попереднє рішення.
Відповідь: 90
Завдання 4 #2905
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) - куб. Точка \(N\) - середина ребра \(BB_1\), а точка \(M\) - середина відрізка \(BD\). Знайдіть \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) , де \(\alpha\) - кут між прямою, що містить \(MN\) , і площиною \((A_1B_1C_1D_1)\) . Відповідь дайте у градусах.
\(NM\) - середня лініяу трикутнику \(DBB_1\) , тоді \(NM \parallel B_1D\) і \(\alpha\) дорівнює куту між \(B_1D\) і площиною \((A_1B_1C_1D_1)\) .
Так як \(DD_1\) - перпендикуляр до площини \(A_1B_1C_1D_1\) , то \(B_1D_1\) проекція \(B_1D\) на площину \((A_1B_1C_1D_1)\) і кут між \(B_1D\) і площиною \( (A_1B_1C_1D_1)\) є кут між \(B_1D\) і \(B_1D_1\) .
Нехай ребро куба \(x\), тоді за теоремою Піфагора \ У трикутнику \(B_1D_1D\) тангенс кута між \(B_1D\) і \(B_1D_1\) дорівнює \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\), звідки \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).
Відповідь: 0,5
Завдання 5 #2906
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) - куб. Точка \(N\) - середина ребра \(BB_1\) , а точка \(M\) ділить відрізок \(BD\) щодо \(1:2\), рахуючи від вершини \(B\). Знайдіть \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) , де \(\alpha\) - кут між прямою, що містить \(MN\) , і площиною \((ABC)\) . Відповідь дайте у градусах.
Так як \(NB\) - частина \(BB_1\), а \(BB_1\perp (ABC)\), то і \(NB\perp (ABC)\). Отже, (BM) - проекція (NM) на площину (ABC). Значить, кут \(\alpha\) дорівнює \(\angle NMB\) .
Нехай ребро куба дорівнює \ (x \). Тоді (NB = 0,5x). По теоремі Піфагора (BD = sqrt (x 2 + x 2) = sqrt2x) . Оскільки за умовою \(BM:MD=1:2\) , то \(BM=\frac13BD\) , отже, \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .
Тоді з прямокутного \(\triangle NBM\) : \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg) ^ 2 \, \ alpha = 8. \]
Відповідь: 8
Завдання 6 #2907
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
Чому дорівнює \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\), якщо \(\alpha\) - кут нахилу діагоналі куба до однієї з його граней?
Шуканий кут співпадатиме з кутом між діагоналлю куба і діагоналлю будь-якої його грані, т.к. в даному випадкудіагональ куба буде похилою, діагональ грані – проекцією цієї похилої на площину грані. Таким чином, кут, що шукається, буде дорівнює, наприклад, куту \(C_1AC\) . Якщо позначити ребро куба за \(x\) , то \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\)тоді квадрат котангенсу шуканого кута: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]
Відповідь: 2
Завдання 7 #2849
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
\(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\) .
За теоремою Піфагора \
Отже, \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\]Оскільки \(OH\perp (ABC)\) , то \(OH\) перпендикулярно будь-якій прямій із цієї площини, значить, \(\triangle OAH\) - прямокутний. Тоді \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0,4.\]
Відповідь: 0,4
Учням старших класів на етапі підготовки до ЄДІ з математики буде корисно навчитися справлятися із завданнями з розділу «Геометрія у просторі», в яких потрібно знайти кут між прямою та площиною. Досвід минулих років показує, що подібні завданнявикликають у випускників певні складнощі. При цьому знати базову теоріюі розуміти, як знайти кут між прямою та площиною, повинні старшокласники з будь-яким рівнем підготовки. Тільки в цьому випадку вони можуть розраховувати на отримання гідних балів.
Основні нюанси
Як і інші стереометричні завдання ЄДІ, завдання, в яких потрібно знайти кути та відстані між прямими та площинами, можуть бути вирішені двома методами: геометричним та алгебраїчним. Учні можуть вибрати найзручніший для себе варіант. Згідно геометричним методомнеобхідно знайти на прямий відповідну точкуопустити з неї перпендикуляр на площину і побудувати проекцію. Після цього випускнику залишиться застосувати базові теоретичні знаннята розв'язати планиметричне завдання на обчислення кута. Алгебраїчний методпередбачає введення системи координат для знаходження шуканої величини. Необхідно визначити координати двох точок на прямій, правильно скласти рівняння площини та вирішити його.
Ефективна підготовка разом із «Школковим»
Щоб заняття проходили легко і навіть складні завданняне викликали труднощів, вибирайте наш освітній портал. Тут представлений весь необхідний матеріал для успішної здачіатестаційного випробування. Потрібну базову інформаціюВи знайдете у розділі «Теоретична довідка». А щоб попрактикуватися у виконанні завдань, достатньо перейти в «Каталог» на нашому математичному порталі. У цьому розділі зібрана велика добірка вправ різного ступеняскладності. У «Каталозі» регулярно з'являються нові завдання.
Виконувати завдання на знаходження кута між прямою та площиною або на , російські школяріможуть у режимі онлайн, перебуваючи у Москві чи іншому місті. За бажанням учня будь-яку вправу можна зберегти в «Вибраному». Це дозволить за необхідності швидко його знайти та обговорити хід його рішення з викладачем.
Стаття починається з визначення кута між прямою та площиною. У цій статті буде показано знаходження кута між прямою та площиною методом координат. Докладно буде розглянуто рішення прикладів та завдань.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Попередньо необхідно повторити поняття про пряму лінію у просторі та поняття площини. Для визначення кута між прямою та площиною необхідний декілька допоміжних визначень. Розглянемо ці визначення докладно.
Визначення 1
Пряма та площина перетинаютьсяу тому випадку, коли вони мають одну загальну точку, тобто вона є точкою перетину прямої та площини.
Пряма, що перетинає площину, може бути перпендикулярною щодо площини.
Визначення 2
Пряма є перпендикулярною до площиниколи вона перпендикулярна будь-якій прямій, що знаходиться в цій площині.
Визначення 3
Проекція точки M на площинуγ є сама точка, якщо вона лежить у за даної площині, або є точкою перетину площини з прямою, перпендикулярній площиніγ , що проходить через точку M , за умови, що вона не належить площині γ .
Визначення 4
Проекція пряма а на площинуγ - це безліч проекцій усіх точок заданої прямої на площину.
Звідси отримуємо, що перпендикулярна площині γ проекція прямої має точку перетину. Отримуємо, що проекція прямої a – це пряма, що належить площині і проходить через точку перетину прямий a і площині. Розглянемо малюнку, наведеному нижче.
на Наразімаємо все необхідні відомостіта дані для формулювання визначення кута між прямою та площиною
Визначення 5
Кутом між прямою та площиноюназивають кут між цією прямою та її проекцією на цю площину, причому пряма не перпендикулярна до неї.
Визначення кута, наведене вище, допомагає дійти висновку про те, що кут між прямою і площиною являє собою кут між двома прямими, що перетинаються, тобто заданою прямою разом з її проекцією на площину. Отже, кут між ними завжди буде гострим. Розглянемо на малюнку, наведеному нижче.
Кут, розташований між прямою та площиною, вважається прямим, тобто рівним 90 градусів, а кут, розташований між паралельними прямими, не визначається. Трапляються випадки, коли його значення береться рівним нулю.
Завдання, де необхідно знайти кут між прямою та площиною, має безліч варіацій рішення. Хід рішення залежить від наявних даних за умовою. Частими супутниками рішення є ознаки подібності чи рівності фігур, косинуси, синуси, тангенси кутів. Знаходження кута можливе за допомогою методу координат. Розглянемо його детальніше.
Якщо в тривимірному просторівводиться прямокутна системакоординат О х у z тоді в ній задається пряма a перетинає площину γ в точці M , причому вона не перпендикулярна площині. Необхідно знайти кут α, що знаходиться між заданою прямою та площиною.
Для початку необхідно застосувати визначення кута між прямою та площиною методом координат. Тоді отримаємо таке.
У системі координат О х у z задається пряма a , якій відповідають рівняння прямої в просторі і напрямний вектор прямої простору, для площини відповідає рівняння площини і нормальний вектор площини. Тоді a → = (a x , a y , a z) є напрямним вектором заданої прямої a , а n → (n x , n y , n z) - нормальним вектором для площини. Якщо уявити, що у нас є координати напрямного вектора прямої a і нормального вектора площини γ , тоді відомі їх рівняння, тобто задані за умовою, тоді є можливість визначення векторів a → і n → виходячи з рівняння.
Для обчислення кута необхідно перетворити формулу, що дозволяє отримати значення цього кута за допомогою наявних координат напрямного вектора прямого та нормального вектора.
Необхідно відкласти вектори a → і n → починаючи від точки перетину прямої a з площиною γ. Існують 4 варіанти розташування цих векторів щодо заданих прямих та площини. Розглянь малюнок, наведений нижче, на якому є всі 4 варіації.
Звідси отримуємо, що кут між векторами a → і n → має позначення a → , n → ^ і є гострим, тоді кут, що шукається α , що розташовується між прямою і площиною, доповнюється, тобто отримуємо вираз виду a → , n → ^ = 90 ° - α. Коли за умовою a → , n → ^ > 90 ° , тоді маємо a → , n → ^ = 90 ° + α .
Звідси маємо, що косинуси рівних кутівє рівними, тоді останні рівності записуються у вигляді системи
cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°
Необхідно використовувати формули приведення для спрощення виразів. Тоді отримаємо рівності виду cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°.
Провівши перетворення, система набуває вигляд sinα = cos a →, n → ^, a →, n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^
Звідси отримаємо, що синус кута між прямою та площиною дорівнює модулюкосинуса кута між напрямним вектором прямої та нормальним вектором заданої площини.
Розділ знаходження кута, утвореного двома векторами, виявили, що цей кут набуває значення скалярного творувекторів та твори цих довжин. Процес обчислення синуса кута, отриманого перетином прямої та площини, виконується за формулою
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x · n x + a y · n y + a z · n z a x 2 + a y 2 + a z 2 · n x 2 + n y 2 + n z 2
Значить, формулою для обчислення кута між прямою і площиною з координатами напрямного вектора прямої та нормального вектора площини після перетворення виходить виду
α = a r sin a → , n → ^ a → n → = a r sin a x · n x + a y · n y + a z · n z a x 2 + a y 2 + a z 2 · n x 2 + n y 2 + n z 2
Знаходження косинуса при відомому синусі можна, застосувавши головне тригонометрична тотожність. Перетин прямої та площини утворює гострий кут. Це говорить про те, що його значення буде позитивним числом, а його обчислення здійснюється з формули cosα = 1 - sin α.
Виконаємо рішення кількох подібних прикладівдля закріплення матеріалу.
Приклад 1
Знайти кут, синус, косинус кута, утвореного прямий x 3 = y + 1 - 2 = z - 116 і площиною 2 x + z - 1 = 0 .
Рішення
Для отримання координат напрямного вектора необхідно розглянути канонічні рівнянняпрямий у просторі. Тоді отримаємо, що a → = (3 , - 2 , 6) є напрямним вектором прямий x 3 = y + 1 - 2 = z - 116.
Для визначення координат нормального вектора необхідно розглянути загальне рівнянняплощини, оскільки їх наявність визначається коефіцієнтами, що є перед змінними рівняння. Тоді отримаємо, що з площині 2 x + z - 1 = 0 нормальний вектор має вигляд n → = (2 , 0 , 1) .
Необхідно перейти до обчислення синуса кута між прямою та площиною. Для цього необхідно провести підстановку координат векторів a → і b → задану формулу. Отримуємо вираз виду
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x · n x + a y · n y + a z · n z a x 2 + a y 2 + a z 2 · n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 · 2 + (-2) · 0 + 6 · 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 · 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5
Звідси знайдемо значення косинуса та значення самого кута. Отримаємо:
cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5
Відповідь: sin α = 12 7 5 , cos α = 101 7 5 , α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5 .
Приклад 2
Є піраміда, побудована за допомогою значень векторів A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1. Знайти кут між прямою A D і площиною АВ.
Рішення
Для обчислення шуканого кута, необхідно мати значення координат напрямного вектора прямої та нормального вектора площини. для прямої A D напрямний вектор має координати A D = 4 , 1 , 1 .
Нормальний вектор n → , належить площиніА В С, є перпендикулярним вектору A B → та A C → . Це передбачає те, що нормальним вектором площини АВС можна вважати векторний витвірвекторів A B → та A C → . Обчислимо це за формулою та отримаємо:
n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6, - 2, 3 )
Необхідно провести підстановку координат векторів для обчислення кута, що шукається, освіченого перетиномпрямий та площині. отримаємо вираз виду:
α = a r sin A D → , n → ^ A D → n → = a rc sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2
Відповідь: a r c sin 23 21 2 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Кут між прямою l і площиною 6 може бути визначений через додатковий кут р між заданою прямою l і перпендикуляром п до даної площини, проведеної з будь-якої точки прямої (рис. 144). Кут Р доповнює кут, що шукається, до 90°. Визначивши справжню величину кута Р шляхом обертання навколо прямої рівня площини кута, утвореного прямою l і перпендикуляром і залишається доповнити його до прямого кута. Цей додатковий кут і дасть справжню величину кута між прямою l і площиною 0.
27. Визначення кута між двома площинами.
Справжня величина двогранного кута- між двома площинами Q та л. - може бути визначена або шляхом заміни площини проекцій з метою перетворення ребра двогранного кута в проецирующую пряму (завдання 1 і 2), або якщо ребро не задано, як кут між двома перпендикулярами n1 і n2, проведеними до даних площин з довільної точки М простору площині цих перпендикулярів при точці М отримуємо два плоскі кути а і Р, які відповідно дорівнюють лінійним кутам двох суміжних кутів(двогранних), утворених площинами q і л. Визначивши справжню величину кутів між перпендикулярними n1 і n2 шляхом обертання навколо прямого рівня, тим самим визначимо і лінійний кутдвогранного кута, утвореного площинами q та л.
Криві лінії. Особливі точки кривих ліній.
на комплексному кресленнікривою її особливі точки, до яких відносяться точки перегину, повернення, зламу, вузлові точки, є особливими точками та на її проекції. Це пояснюється тим, що особливі точкикривих пов'язані з дотичними у цих точках.
Якщо площина кривої займає проецірующее положення (рис. а),то одна проекція цієї кривої має форму пряму.
У просторової кривої всі її проекції – криві лінії (рис. б).
Щоб встановити за кресленням, яка задана крива (плоска або просторова), необхідно з'ясувати, чи всі точки кривої належать одній площині. Задана на рис. бкрива є просторовою, оскільки точка Dкривою не належить площині, яка визначається трьома іншими точками А, Ві Ецією кривою.
Окружність - плоска крива другого порядку, ортогональна проекція якої може бути колом та еліпсом.
Циліндрична гвинтова лінія (геліса) - просторова крива, що є траєкторією точки, що виконує гвинтовий рух. 
29. Плоскі та просторові криві лінії.
Див. питання 28
30. Комплексне креслення поверхні. Основні положення.
Поверхнею називають безліч послідовних положень ліній, що переміщуються у просторі. Ця лінія може бути прямою або кривою і називається утворюєповерхні. Якщо утворює крива, вона може мати постійний або змінний вигляд. Переміщається утворює по напрямним,являють собою лінії іншого напряму, ніж утворюють. Напрямні лінії задають закон переміщення утворюючим. При переміщенні утворює напрямними створюється каркасповерхні (рис. 84), що являє собою сукупність кількох послідовних положень утворюють та спрямовують. Розглядаючи каркас, можна переконатися, що утворюють lта напрямні т можна поміняти місцями, але при цьому поверхню виходить та сама.
Будь-яку поверхню можна отримати у різний спосіб.
Залежно від форми, що утворює всі поверхні, можна розділити на лінійчасті,у яких утворює пряма лінія, та нелінійчасті,у яких утворює крива лінія.
До поверхонь, що розгортаються, відносяться поверхні всіх багатогранників, циліндричні, конічні і торсові поверхні. Всі інші поверхні - що не розгортаються. Нелінійчасті поверхні можуть бути з утворює постійної форми (поверхні обертання та трубчасті поверхні) і з утворюючою змінною форми (каналові та каркасні поверхні).
Поверхня на комплексному кресленні задається проекціями геометричної частини її визначника із зазначенням способу побудови її утворюють. На кресленні поверхні для будь-якої точки простору однозначно вирішується питання щодо належності її даної поверхні. Графічне завдання елементів визначника поверхні забезпечує оборотність креслення, але робить його наочним. Для наочності вдаються до побудови проекцій досить щільного каркасу утворюють і побудови нарисових ліній поверхні (рис. 86). При проектуванні поверхні Q на площину проекцій проекції промені торкаються цієї поверхні в точках, що утворюють на ній деяку лінію l, яка називається контурноїлінією. Проекція контурної лінії називається нарисомповерхні. На комплексному кресленні будь-яка поверхня має: П 1 - горизонтальний нарис, П 2 - фронтальний нарис, на П 3 - профільний нарис поверхні. Нарис включає, крім проекцій лінії контуру, також проекції ліній обріза.
Поняття проекції фігури на площину
Для введення поняття кута між прямою та площиною спочатку необхідно розібратися в такому понятті, як проекція довільної фігури на площину.
Визначення 1
Нехай нам дано довільну точку $A$. Точка $A_1$ називається проекцією точки $A$ на площину $\alpha$, якщо вона є основою перпендикуляра, проведеного з точки $A$ на площину $\alpha$ (рис. 1).
Малюнок 1. Проекція точки на площину
Визначення 2
Нехай нам дано довільну фігуру $F$. Фігура $F_1$ називається проекцією фігури $F$ на площину $\alpha$, складена з проекцій усіх точок фігури $F$ на площину $\alpha$ (рис. 2).
Рисунок 2. Проекція фігури на площину
Теорема 1
Проекція перпендикулярної площині прямої є пряма.
Доведення.
Нехай нам дана площина $\alpha$ і пряма $d$, що її перетинає, не перпендикулярна їй. Виберемо на прямій $d$ точку $M$ та проведемо її проекцію $H$ на площину $\alpha$. Через пряму $(MH)$ проведемо площину $\beta$. Очевидно, що ця площина буде перпендикулярна площині $ alfa $. Нехай вони перетинаються прямою $m$. Розглянемо довільну точку$M_1$ прямий $d$ і проведемо через неї пряму $(M_1H_1$) паралельно прямий $(MH)$ (рис. 3).
Малюнок 3.
Так як площина $ \ beta $ перпендикулярна площині $ \ alpha $, то $ M_1H_1 $ перпендикулярно прямий $ m $, тобто точка $ H_1 $ - проекція точки $ M_1 $ на площину $ \ alpha $. Через довільність вибору точки $M_1$ всі точки прямої $d$ проектуються на пряму $m$.
Розмірковуючи аналогічно. У зворотному порядку, отримуватимемо, що кожна точка прямої $m$ є проекцією будь-якої точки прямої $d$.
Значить, пряма $d$ проектується на пряму $m$.
Теорему доведено.
Поняття кута між прямою та площиною
Визначення 3
Кут між прямою, що перетинає площину та її проекцією на цю площину, називається кутом між прямою та площиною (рис. 4).
Рисунок 4. Кут між прямою та площиною
Зазначимо тут кілька зауважень.
Зауваження 1
Якщо пряма перпендикулярна до площини. То кут між прямою та площиною дорівнює $90^\circ$.
Примітка 2
Якщо пряма паралельна чи лежить у площині. То кут між прямою та площиною дорівнює $0^\circ$.
Приклади завдань
Приклад 1
Нехай нам дано паралелограм $ABCD$ і точка $M$, що не лежить у площині паралелограма. Довести, що трикутники $AMB$ і $MBC$ прямокутні, якщо точка $B$ -- проекція точки $M$ на площину паралелограма.
Доведення.
Зобразимо умову завдання малюнку (рис. 5).
Малюнок 5.
Оскільки точка $B$ -- проекція точки $M$ на площину $(ABC)$, то пряма $(MB)$ перпендикулярна площині $(ABC)$. За зауваженням 1, отримуємо, що кут між прямою $(MB)$ і площиною $(ABC)$ дорівнює $90^\circ$. Отже
\[\angle MBC=MBA=(90)^0\]
Отже, трикутники $AMB$ та $MBC$ є прямокутними.
Приклад 2
Дана площина $ alfa $. Під кутом $\varphi$ до цієї площини проведено відрізок, початок якого лежить у цій площині. Проекція цього відрізка вдвічі менша від самого відрізка. Знайти величину $ Varphi $.
Рішення.
Розглянемо рисунок 6.
Малюнок 6.
За умовою, маємо
Оскільки трикутник $BCD$ прямокутний, то, за визначенням косинуса
\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]