Чому дорівнює мінус модуль x? Методична розробка «Рівняння з модулем

Модуль числа a- Це відстань від початку координат до точки А(a).

Щоб зрозуміти це визначення, підставимо замість змінної aбудь-яке число, наприклад 3 і спробуємо знову прочитати його:

Модуль числа 3 - це відстань від початку координат до точки А(3 ).

Стає ясно, що модуль це ні що інше, як звичайна відстань. Спробуймо побачити відстань від початку координат до точки А( 3 )

Відстань від початку координат до точки А( 3 ) дорівнює 3 (трьом одиницям або трьом крокам).

Модуль числа позначає двома вертикальними лініями, наприклад:

Модуль числа 3 позначається так: |3|

Модуль числа 4 позначається так: |4|

Модуль числа 5 позначається так: |5|

Ми шукали модуль числа 3 і з'ясували, що він дорівнює 3. Так і записуємо:

Читається як: «Модуль числа три дорівнює три»

Тепер спробуємо відшукати модуль числа -3. Знову ж таки повертаємося до визначення і підставляємо в нього число -3. Тільки замість крапки Aвикористовуємо нову точку B. Крапку Aми вже використали у першому прикладі.

Модулем числа - 3 називають відстань від початку координат до точки B(—3 ).

Відстань від одного пункту до іншого може бути негативним. Тому і модуль будь-якого негативного числа, будучи відстанню, теж не буде негативним. Модуль числа -3 буде число 3. Відстань від початку координат до точки B(-3) дорівнює також трьом одиницям:

Читається як: «Модуль числа мінус три дорівнює три»

Модуль числа 0 дорівнює 0, як точка з координатою 0 збігається з початком координат, тобто. відстань від початку координат до точки O(0)одно нулю:

«Модуль нуля дорівнює нулю»

Робимо висновки:

Модуль числа може бути негативним;
Для позитивного числа та нуля модуль дорівнює самому числу, а для негативного – протилежному числу;
Протилежні числа мають рівні модулі.

Протилежні числа

Числа, що відрізняються лише знаками називають протилежними. Наприклад, числа −2 та 2 є протилежними. Вони відрізняються лише знаками. У числа −2 знак мінуса, а у 2 знак плюса, але ми його не бачимо, тому що плюс, як ми говорили раніше, за традицією не пишуть.

Ще приклади протилежних чисел:

Протилежні числа мають рівні модулі. Наприклад, знайдемо модулі для −2 та 2

На малюнку видно, що відстань від початку координат до точок A(−2)і B(2)однаково дорівнює двом крокам.

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Модуль — одна з тих речей, про які начебто всі чули, але насправді ніхто нормально не розуміє. Тому сьогодні буде великий урок, присвячений вирішенню рівнянь із модулями.

Відразу скажу: урок буде нескладним. І взагалі модулі взагалі тема відносно нескладна. «Звісно, нескладна! У мене від неї мозок розривається! - скажуть багато учнів, але всі ці розриви мозку відбуваються через те, що у більшості людей у голові не знання, а якась хрень. І мета цього уроку - перетворити хрень на знання.

Трохи теорії

Тож поїхали. Почнемо з найважливішого: що таке модуль? Нагадаю, що модуль числа — це просто те саме число, але взяте без знака «мінус». Тобто, наприклад, $ \ left | -5 \right | = 5 $. Або $ \ left | -129,5 \ right | = 129,5 $.

Ось так просто? Да просто. А чому тоді дорівнює модуль позитивного числа? Тут ще простіше: модуль позитивного числа дорівнює самому цьому числу: $ \ left | 5 \right|=5$; $ \ left | 129,5 \right | = 129,5 $ і т.д.

\[\left| -a \right|=\left| a \right|\]

Ще один важливий факт: модуль ніколи не буває негативним. Яке число ми не взяли — хоч позитивне, хоч негативне — його модуль завжди виявляється позитивним (або в крайньому випадку нулем). Саме тому модуль часто називають абсолютною величиною числа.

Крім того, якщо поєднати визначення модуля для позитивного та негативного числа, то отримаємо глобальне визначення модуля для всіх чисел. А саме: модуль числа дорівнює самому числу, якщо число позитивне (або нуль), або дорівнює протилежному числу, якщо число негативне. Можна записати це у вигляді формули:

Ще є модуль нуля, але він завжди дорівнює нулю. Крім того, нуль — однина, яка не має протилежного.

Таким чином, якщо розглянути функцію $ y = \ left | x \right|$ і спробувати намалювати її графік, то вийде така «галка»:

Графік модуля та приклад розв'язання рівняння

З цієї картинки відразу видно, що $ \ left | -m \right|=\left| m \right|$, а графік модуля ніколи не опускається нижче за осі абсцис. Але це ще не все: червоною лінією відзначена пряма $y=a$, яка при позитивних $a$ дає нам відразу два корені: $((x)_(1))$ і $((x)_(2)) $, але про це ми поговоримо пізніше.

Крім чисто алгебраїчного визначення є геометричне. Припустимо, є дві точки на числовій прямій: $((x)_(1))$ і $((x)_(2))$. І тут вираз $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ - це просто відстань між зазначеними точками. Або, якщо завгодно, довжина відрізка, що з'єднує ці точки:

Модуль - це відстань між точками на числовій прямій

З цього визначення також випливає, що модуль завжди негативний. Але вистачить визначень та теорії — перейдемо до справжніх рівнянь.

Основна формула

Ну гаразд, з визначенням розібралися. Але легше від цього не стало. Як розв'язувати рівняння, що містять цей модуль?

Спокій тільки спокій. Почнемо з найпростіших речей. Розглянемо щось типу такого:

\[\left| x \right|=3\]

Отже, модуль$x$ дорівнює 3. Чому може дорівнювати $x$? Ну, судячи з визначення, нас цілком влаштує $x=3$. Дійсно:

\[\left| 3 \right|=3\]

Чи є інші числа? Кеп ніби натякає, що є. Наприклад, $ x = -3 $ - для нього теж $ \ left | -3 \right | = 3 $, тобто. необхідну рівність виконується.

То, може, якщо пошукати, подумати, ми знайдемо ще числа? А ось обломтеся: більше чисел немає. Рівняння $ \ left | x \right|=3$ має лише два корені: $x=3$ і $x=-3$.

Тепер трохи ускладнимо завдання. Нехай замість змінної $x$ під знаком модуля тусується функція $f\left(x \right)$, а праворуч замість трійки поставимо довільне число $a$. Отримаємо рівняння:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Ну, і як таке вирішувати? Нагадаю: $f\left(x \right)$ - довільна функція, $a$ - будь-яке число. Тобто. взагалі будь-яке! Наприклад:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \right|=-65\]

Звернімо увагу на друге рівняння. Про нього відразу можна сказати: коріння в нього немає. Чому? Все правильно: тому що в ньому потрібно, щоб модуль дорівнював негативному числу, чого ніколи не буває, оскільки ми вже знаємо, що модуль - число завжди позитивне або в крайньому випадку нуль.

А ось із першим рівнянням все веселіше. Тут два варіанти: або під знаком модуля стоїть позитивний вираз, і тоді $ \ left | 2x+1 \right|=2x+1$, або це вираз все-таки негативне, і тоді $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. У першому випадку наше рівняння перепишеться так:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

І раптово виходить, що підмодульний вираз $2x+1$ дійсно позитивний - він дорівнює числу 5. Тобто. ми можемо спокійно вирішувати це рівняння - отриманий корінь буде шматком відповіді:

Особливо недовірливі можуть спробувати підставити знайдений корінь у вихідне рівняння та переконатися, що справді під модулем буде позитивне число.

Тепер розберемо випадок негативного підмодульного виразу:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Rightarrow 2x+1=-5\]

Опа! Знову все чітко: ми припустили, що $2x+1 \lt 0$, і в результаті отримали, що $2x+1=-5$ — це вираз менше нуля. Вирішуємо отримане рівняння, при цьому вже точно знаючи, що знайдений корінь нас влаштує:

Разом ми знову отримали дві відповіді: $ x = 2 $ і $ x = 3 $. Так, обсяг обчислень виявився трохи більшим, ніж у зовсім простому рівнянні $ \ left | x \right|=3$, але нічого не змінилося. То, може, існує якийсь універсальний алгоритм?

Так, такий алгоритм існує. І зараз ми його розберемо.

Звільнення від знаку модуля

Нехай нам дано рівняння $ \ left | f\left(x \right) \right|=a$, причому $a\ge 0$ (інакше, як ми вже знаємо, коріння немає). Тоді можна позбавитися знака модуля за таким правилом:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Таким чином, наше рівняння із модулем розпадається на два, але вже без модуля. Ось і вся розробка! Спробуємо вирішити кілька рівнянь. Почнемо ось із такого

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Окремо розглянемо, коли праворуч стоїть десятка з плюсом, і окремо коли з мінусом. Маємо:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \&& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\end(align)\]

От і все! Отримали два корені: $ x = 1,2 $ і $ x = -2,8 $. Все рішення зайняло буквально два рядки.

Ок, не питання, давайте розглянемо щось трохи серйозніше:

\[\left| 7-5x \right|=13\]

Знову відкриваємо модуль з плюсом та мінусом:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \&& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(align)\]

Знову кілька рядків — і відповідь готова! Як я й казав, у модулях немає нічого складного. Потрібно лише запам'ятати кілька правил. Тому йдемо далі і приступаємо з справді складнішим завданням.

Випадок змінної правої частини

А тепер розглянемо таке рівняння:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Це рівняння принципово відрізняється від попередніх. Чим? А тим, що праворуч від знака рівності стоїть вираз $2x$ — і ми не можемо заздалегідь знати, чи воно позитивне, чи негативне.

Як бути у такому разі? По-перше, треба раз і назавжди зрозуміти, що якщо права частина рівняння виявиться негативною, то рівняння не матиме коріння— ми вже знаємо, що модуль не може дорівнювати негативному числу.

А по-друге, якщо права частина таки позитивна (або дорівнює нулю), то можна діяти так само, як раніше: просто розкрити модуль окремо зі знаком «плюс» і окремо — зі знаком «мінус».

Таким чином, сформулюємо правило для довільних функцій $f\left(x \right)$ і $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Щодо нашого рівняння отримаємо:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\end(align) \right.\]

Ну, з вимогою $2x\ge 0$ ми якось впораємося. Зрештою, можна тупо підставити коріння, яке ми отримаємо з першого рівняння, і перевірити: чи виконується нерівність чи ні.

Тому розв'яжемо саме рівняння:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(align)\]

Ну і яке з цих двох коренів задовольняє вимогу $2x\ge 0$? Так обоє! Тому у відповідь підуть два числа: $ x = (4) / (3) \; $ і $ x = 0 $. Ось і все рішення.

Підозрюю, що хтось із учнів уже почав нудьгувати? Що ж, розглянемо ще складніше рівняння:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Хоча воно і виглядає злісно, за фактом це все те саме рівняння виду «модуль дорівнює функції»:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

І вирішується воно так само:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

З нерівністю ми потім розберемося — воно якесь надто злісне (насправді просте, але ми його вирішувати не будемо). Поки що краще займемося отриманими рівняннями. Розглянемо перший випадок — коли модуль розкривається зі знаком «плюс»:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Ну, тут і їжу зрозуміло, що потрібно все зібрати зліва, навести подібні і подивитися, що вийде. А вийде ось що:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \&& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]

Виносимо загальний множник $((x)^(2))$ за дужку і отримуємо дуже просте рівняння:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Тут ми користувалися важливою властивістю твору, заради якого ми й розкладали вихідний багаточлен на множники: твір дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

Тепер так само розберемося з другим рівнянням, яке виходить при розкритті модуля зі знаком «мінус»:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \&((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \&& -3((x)^(2))+2x=0; \& x xleft(-3x+2 \right)=0. \\\end(align)\]

Знову те саме: твір дорівнює нулю, коли дорівнює нулю хоча б один із множників. Маємо:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Ну ось ми отримали три корені: $ x = 0 $, $ x = 1,5 $ і $ x = (2) / (3) \; $. Ну, і що з цього набору піде в остаточну відповідь? Для цього пригадаємо, що ми маємо додаткове обмеження у вигляді нерівності:

Як врахувати цю вимогу? Та просто підставимо знайдене коріння і перевіримо: виконується нерівність при цих $x$ чи ні. Маємо:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27) \ ge 0; \\\end(align)\]

Таким чином, корінь $ x = 1,5 $ нас не влаштовує. І у відповідь підуть лише два корені:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Як бачите, навіть у цьому випадку нічого складного не було – рівняння з модулями завжди вирішуються за алгоритмом. Потрібно лише добре розумітися на багаточленах і нерівностях. Тому переходимо до складніших завдань — там уже буде не один, а два модулі.

Рівняння з двома модулями

Досі ми вивчали лише найпростіші рівняння — там був один модуль і ще щось. Це "щось ще" ми відправляли в іншу частину нерівності, подалі від модуля, щоб у результаті все звелося до рівняння виду $ \ left | f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ або навіть більш простому $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Але дитячий садок закінчився — настав час розглянути щось серйозніше. Почнемо з рівнянь такого типу:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Це рівняння виду "модуль дорівнює модулю". Принципово важливим моментом є відсутність інших доданків та множників: тільки один модуль ліворуч, ще один модуль праворуч – і нічого більше.

Хтось зараз подумає, що такі рівняння вирішуються складніше, ніж те, що ми досі вивчали. А ось і ні: ці рівняння вирішуються навіть простіше. Ось формула:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Всі! Ми просто прирівнюємо підмодульні вирази, ставлячи перед одним із них знак «плюс-мінус». А потім вирішуємо отримані два рівняння - і коріння готове! Жодних додаткових обмежень, жодних нерівностей тощо. Все дуже просто.

Давайте спробуємо вирішувати таке завдання:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]

Елементарно, Ватсон! Розкриваємо модулі:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Розглянемо окремо кожен випадок:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]

У першому рівнянні коріння немає. Тому що коли це $3=-7$? За яких значень $x$? «Який ще нафіг $x$? Ти обкурився? Там взагалі немає $x$ - скажете ви. І будете праві. Ми здобули рівність, яка не залежить від змінної $x$, і при цьому сама рівність — неправильна. Тому і немає коріння.

З другим рівнянням все трохи цікавіше, але теж дуже просто:

Як бачимо, все вирішилося буквально в пару рядків - іншого від лінійного рівняння ми й не очікували.

У результаті остаточна відповідь: $ x = 1 $.

Ну як? Важко? Звичайно, ні. Спробуємо щось ще:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Знову у нас рівняння виду $ \ left | f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Тому одразу переписуємо його, розкриваючи знак модуля:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Можливо, хтось зараз запитає: «Гей, що за маячня? Чому «плюс-мінус» стоїть у правого вираження, а не у лівого? Спокійно зараз все поясню. Дійсно, по-хорошому ми повинні були переписати наше рівняння так:

Потім потрібно розкрити дужки, перенести всі складові в один бік від знака рівності (оскільки рівняння, очевидно, в обох випадках буде квадратним), та й далі відшукати коріння. Але погодьтеся: коли «плюс-мінус» стоїть перед трьома доданками (особливо коли один із цих доданків — квадратний вираз), це якось складніше виглядає, ніж ситуація, коли «плюс-мінус» стоїть лише перед двома доданками.

Але ж ніщо не заважає нам переписати вихідне рівняння так:

Що сталося? Та нічого особливого: просто поміняли ліву та праву частину місцями. Дрібниця, яка в результаті трохи спростить нам життя.

Загалом вирішуємо це рівняння, розглядаючи варіанти з плюсом і з мінусом:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]

Перше рівняння має коріння $x=3$ та $x=1$. Друге взагалі є точним квадратом:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Тому має єдиний корінь: $x=1$. Але це коріння ми вже отримували раніше. Таким чином, у підсумкову відповідь підуть лише два числа:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Місія виконана! Можна взяти з полиці та з'їсти пиріжок. Там їх 2, ваш середній.:)

Важливе зауваження. Наявність однакового коріння при різних варіантах розкриття модуля означає, що вихідні багаточлени розкладаються на множники, і серед цих множників обов'язково буде загальний. Дійсно:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(align)\]

Одна з властивостей модуля: $ \ left | acdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (тобто модуль твору дорівнює добутку модулів), тому вихідне рівняння можна переписати так:

\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Як бачимо, у нас справді виник спільний множник. Тепер, якщо зібрати всі модулі з одного боку, можна винести цей множник за дужку:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(align)\]

Ну а тепер згадуємо, що добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\end(align) \right.\]

Таким чином, вихідне рівняння з двома модулями звелося до двох найпростіших рівнянь, про які ми говорили на початку уроку. Такі рівняння вирішуються буквально в пару рядків.

Дане зауваження, можливо, здасться надмірно складним та незастосовним на практиці. Однак насправді вам можуть зустрітися куди складніші завдання, ніж ті, що ми сьогодні розуміємо. У них модулі можуть комбінуватися з багаточленами, арифметичним корінням, логарифмами і т.д. І в таких ситуаціях можливість знизити загальний ступінь рівняння шляхом винесення чогось за дужку може виявитися дуже доречним.

Тепер хотілося б розібрати ще одне рівняння, яке на перший погляд може здатися маревним. На ньому «залипають» багато учнів, навіть ті, які вважають, що добре розібралися в модулях.

Проте це рівняння вирішується навіть простіше, ніж те, що ми розглядали раніше. І якщо ви зрозумієте чомусь, то отримаєте ще один прийом для швидкого вирішення рівнянь з модулями.

Отже, рівняння:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Ні, це не друкарська помилка: між модулями саме плюс. І нам потрібно знайти, за яких $x$ сума двох модулів дорівнює нулю.:)

У чому взагалі проблема? А проблема в тому, що кожен модуль — позитивне число, або в крайньому випадку нуль. А що буде, якщо скласти два позитивні числа? Очевидно, знову позитивне число:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; 0,004+0,0001=0,0041 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Останній рядок може наштовхнути на думку: єдиний випадок, коли сума модулів дорівнює нулю - це якщо кожен модуль дорівнюватиме нулю:

А коли модуль дорівнює нулю? Тільки в одному випадку - коли підмодульний вираз дорівнює нулю:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\end(align) \right.\]

Таким чином, у нас є три точки, в яких обнулюється перший модуль: 0, 1 та −1; а також дві точки, в яких обнулюється другий модуль: −2 і 1. Однак нам потрібно, щоб обидва модулі обнулялися одночасно, тому серед знайдених чисел потрібно вибрати ті, що входять до обох наборів. Очевидно, таке число лише одне: $x=1$ — це буде остаточною відповіддю.

Метод розщеплення

Що ж, ми вже розглянули купу завдань та вивчили безліч прийомів. Думаєте, на цьому все? А ось і ні! Зараз ми розглянемо заключний прийом – і водночас найважливіший. Йтиметься про розщеплення рівнянь із модулем. Про що взагалі йтиметься? Повернемося трохи назад і розглянемо якесь просте рівняння. Наприклад, це:

\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]

В принципі ми вже знаємо, як вирішувати таке рівняння, тому що це стандартна конструкція виду $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Але спробуємо подивитись на це рівняння трохи під іншим кутом. Точніше, розглянемо вираз, що стоїть під знаком модуля. Нагадаю, що модуль будь-якого числа може дорівнювати самому числу, а може бути протилежний цьому числу:

\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a, \quad a \lt 0. \\end(align) \right.\]

Власне, у цій неоднозначності і полягає вся проблема: оскільки число під модулем змінюється (воно залежить від змінної), нам неясно — воно позитивне чи негативне.

Але що якщо спочатку вимагати, щоб це число було позитивним? Наприклад, потрібно, щоб $3x-5 \gt 0$ — у цьому випадку ми гарантовано отримаємо позитивне число під знаком модуля, і цього самого модуля можна повністю позбутися:

Таким чином, наше рівняння перетвориться на лінійне, яке легко вирішується:

Щоправда, всі ці роздуми мають сенс лише за умови $3x-5\gt 0$ — ми самі запровадили цю вимогу, щоб однозначно розкрити модуль. Тому давайте підставимо знайдений $x=\frac(5)(3)$ в цю умову і перевіримо:

Виходить, що з зазначеному значенні $x$ наша вимога не виконується, т.к. вираз виявився рівним нулю, а нам потрібно, щоб воно було строго більше нуля. Журбинка.:(

Але нічого страшного! Адже є ще варіант $3x-5 0$. Більше того: є ще й випадок $3x-5=0$ — це також потрібно розглянути, інакше рішення буде неповним. Отже, розглянемо випадок $3x-5 \lt 0$:

Очевидно, що модуль розкриється зі знаком «мінус». Але тоді виникає дивна ситуація: і ліворуч, і праворуч у вихідному рівнянні стирчатиме той самий вираз:

Цікаво, за яких таких $x$ вираз $5-3x$ дорівнюватиме виразу $5-3x$? Від таких рівнянь навіть Капітан очевидність подавився б слиною, але ми знаємо: це рівняння є тотожністю, тобто. воно вірне за будь-яких значень змінної!

А це означає, що нас влаштують будь-які $x$. Водночас ми маємо обмеження:

Іншими словами, відповіддю буде не якесь окреме число, а цілий інтервал:

Нарешті залишилося розглянути ще один випадок: $3x-5=0$. Тут все просто: під модулем буде нуль, а модуль нуля теж дорівнює нулю (це прямо випливає з визначення):

Але тоді вихідне рівняння $ \ left | 3x-5 \right|=5-3x$ перепишеться так:

Це коріння ми вже отримували вище, коли розглядали випадок $3x-5 \gt 0$. Більше того, це корінь є рішенням рівняння $3x-5=0$ - це обмеження, яке ми самі ж і ввели, щоб обнулити модуль.

Таким чином, крім інтервалу нас влаштує ще й число, що лежить на самому кінці цього інтервалу:

Об'єднання коренів у рівняннях з модулем

Разом остаточна відповідь: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Не дуже звично бачити таку хрень у відповіді до досить простого (по суті - лінійного) рівняння з модулем Що ж, звикайте: в тому і полягає складність модуля, що відповіді в таких рівняннях можуть виявитися абсолютно непередбачуваними.

Куди важливіше інше: ми щойно розібрали універсальний алгоритм розв'язання рівняння з модуляєм! І складається цей алгоритм із наступних кроків:

Прирівняти кожен модуль, що є у рівнянні, до нуля. Отримаємо кілька рівнянь;
Вирішити всі ці рівняння і відзначити коріння на числовій прямій. В результаті пряма розіб'ється на кілька інтервалів, на кожному з яких всі модулі однозначно розкриваються;
Вирішити вихідне рівняння для кожного інтервалу та об'єднати отримані відповіді.

От і все! Залишається лише одне питання: куди подіти самі корені, отримані на 1-му кроці? Припустимо, у нас вийшло два корені: $x=1$ та $x=5$. Вони розіб'ють числову пряму на 3 шматки:

Розбиття числової осі на інтервали за допомогою точок

Ну, і які тут інтервали? Зрозуміло, що їх три:

Найлівіший: $x \lt 1$ — сама одиниця в інтервал не входить;
Центральний: $1\le x \lt 5$ - ось тут одиниця в інтервал входить, проте не входить п'ятірка;
Найправіший: $x\ge 5$ - п'ятірка входить тільки сюди!

Я гадаю, ви вже зрозуміли закономірність. Кожен інтервал включає лівий кінець і не включає правий.

На перший погляд, такий запис може здатися незручним, нелогічним і взагалі якимось маревним. Але повірте: після невеликого тренування ви виявите, що саме такий підхід є найбільш надійним і при цьому не заважає однозначно розкривати модулі. Краще використовувати таку схему, ніж щоразу думати: віддавати лівий/правий кінець у поточний інтервал або «перекидати» його в наступний.

Розв'язання рівнянь та нерівностей з модулемчасто викликає труднощі. Однак, якщо добре розуміти, що таке модуль числа, і як правильно розкривати вирази, що містять знак модуля, то наявність у рівнянні вирази, що стоїть під знаком модуля, перестає бути перешкодою щодо його рішення.

Трохи теорії. Кожне число має дві характеристики: абсолютне значення числа та його знак.

Наприклад, число +5 або просто 5 має знак "+" і абсолютне значення 5.

Число -5 має знак "-" та абсолютне значення 5.

Абсолютні значення чисел 5 та -5 дорівнюють 5.

Абсолютне значення числа х називається модулем числа та позначається | x |.

Як бачимо, модуль числа дорівнює самому числу, якщо це число більше або дорівнює нулю, і цьому числу з протилежним знаком, якщо це число є негативним.

Це стосується будь-яких виразів, які стоять під знаком модуля.

Правило розкриття модуля виглядає так:

|f(x)|= f(x), якщо f(x) ≥ 0 і

|f(x)|= - f(x), якщо f(x)< 0

Наприклад |x-3|=x-3, якщо x-3≥0 і |x-3|=-(x-3)=3-x, якщо x-3<0.

Щоб вирішити рівняння, що містить вираз, що стоїть під знаком модуля, потрібно спочатку розкрити модуль за правилом розкриття модуля.

Тоді наше рівняння чи нерівність перетворюється два різних рівняння, що існують на двох різних числових проміжках.

Одне рівняння існує на числовому проміжку, у якому вираз, що стоїть під знаком модуля неотрицательно.

А друге рівняння існує на проміжку, на якому вираз, що стоїть під знаком модуля негативно.

Розглянемо найпростіший приклад.

Розв'яжемо рівняння:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Розкриємо модуль.

|x-3|=x-3, якщо x-3≥0, тобто. якщо х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, якщо x-3<0, т.е. если х<3

2. Ми отримали два числові проміжки: х≥3 і х<3.

Розглянемо, які рівняння перетворюється вихідне рівняння кожному проміжку:

А) При х≥3 |x-3|=x-3, і наше уранення має вигляд:

Увага! Це рівняння існує лише на проміжку х≥3!

Розкриємо дужки, наведемо таких членів:

і розв'яжемо це рівняння.

Це рівняння має коріння:

х 1 =0, х 2 =3

Увага! оскільки рівняння x-3=-x 2 +4x-3 існує тільки на проміжку х≥3, нас цікавить тільки те коріння, яке належить цьому проміжку. Цій умові задовольняє лише х 2 =3.

Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Увага! Це рівняння існує тільки на проміжку х<3!

Розкриємо дужки, наведемо таких членів. Отримаємо рівняння:

х 1 =2, х 2 =3

Увага! оскільки рівняння 3-х = -x 2 +4x-3 існує тільки на проміжку x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Отже: з першого проміжку беремо лише корінь х=3, з другого - корінь х=2.

Модуль – це абсолютна величина виразу. Щоб хоч якось позначити модуль, прийнято використовувати прямі дужки. Те значення, яке укладено в рівних дужках, є тим значенням, яке взято по модулю. Процес вирішення будь-якого модуля полягає в розкритті тих самих прямих дужок, які математичною мовою називаються модульними дужками. Їхнє розкриття відбувається за певним рядом правил. Також, у порядку розв'язання модулів, знаходяться й безлічі значень тих виразів, які перебували у модульних дужках. У більшості випадків, модуль розкривається таким способом, що вираз, який був підмодульним, отримує і позитивні, і негативні значення, серед яких також значення нуль. Якщо відштовхуватися від встановлених властивостей модуля, то в процесі складаються різні рівняння або нерівності від вихідного виразу, які потім необхідно вирішити. Розберемося з тим, як вирішувати модулі.

Процес вирішення

Рішення модуля починається із запису вихідного рівняння з модулем. Щоб відповісти на питання про те, як розв'язувати рівняння з модулем, потрібно розкрити його повністю. Для вирішення такого рівняння модуль розкривається. Усі модульні вирази мають бути розглянуті. Слід визначити при яких значеннях невідомих величин, що входять до його складу, модульний вираз у дужках перетворюється на нуль. Для того щоб це зробити, достатньо прирівняти вираз у модульних дужках до нуля, а потім вирахувати рішення рівняння, що утворилося. Знайдені значення слід зафіксувати. У такий же спосіб потрібно визначити ще й значення всіх невідомих змінних для всіх модулів у цьому рівнянні. Далі необхідно зайнятися визначенням та розглядом усіх випадків існування змінних у виразах, коли вони відмінні від значення нуль. Для цього потрібно записати деяку систему з нерівностей відповідно до всіх модулів у вихідній нерівності. Нерівності повинні бути складені так, щоб вони охоплювали всі існуючі та можливі значення для змінної, які знаходять на числовій прямій. Потім потрібно накреслити для візуалізації цю числову пряму, на якій надалі відкласти всі отримані значення.

Майже все зараз можна зробити в інтернеті. Не є винятком із правил і модуль. Вирішити онлайн можна на одному з численних сучасних ресурсів. Всі значення змінної, які знаходяться в нульовому модулі, будуть особливим обмеженням, яке буде використано в процесі рішення модульного рівняння. У вихідному рівнянні потрібно розкрити всі наявні модульні дужки, при цьому, змінюючи знак виразу, таким чином, щоб значення змінної змінної збігалися з тими значеннями, які видно на числовій прямій. Отримане рівняння необхідно розв'язати. Те значення змінної, яке буде отримано в ході розв'язання рівняння, потрібно перевіряти на обмеження, яке задано самим модулем. Якщо значення змінної повністю задовольняє умова, воно є правильним. Усі коріння, які будуть отримані в ході рішення рівняння, але не підходитимуть за обмеженнями, повинні бути відкинуті.

Цей математичний калькулятор онлайн допоможе вам вирішити рівняння чи нерівність із модулями. Програма длярозв'язання рівнянь та нерівностей з модулями не просто дає відповідь задачі, вона наводитьдокладне рішення з поясненнями

Дана програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри.

А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завдання з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

|х|

Введіть рівняння або нерівність із модулями

x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Розв'язати рівняння чи нерівність
Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.

Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.
У браузері вимкнено виконання JavaScript.

Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.
Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу. За кілька секунд рішення з'явиться нижче.

Будь ласка зачекайте сік...Якщо ви
помітили помилку у рішенні , то про це ви можете написати у формі зворотного зв'язку .Не забудьте вказати яке завдання.

ви вирішуєте і що

вводьте у поля

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Рівняння та нерівності з модулями

В курсі алгебри основної школи можуть зустрітися найпростіші рівняння та нерівності з модулями. Для їх вирішення можна застосовувати геометричний метод, заснований на тому, що $|x-a|$ - це відстань на числовій прямій між точками x та a: $|x-a| = \rho(x;\; a) $. Наприклад, для вирішення рівняння $|x-3|=2 $ потрібно знайти на числовій прямій точці, віддалені від точки 3 на відстань 2. Таких точок дві: $x_1=1 $ і $x_2=5 $ .
Вирішуючи нерівність \(|2x+7|
Але основний спосіб розв'язання рівнянь і нерівностей із модулями пов'язаний із так званим «розкриттям модуля за визначенням»:

якщо $a \geq 0 $, то $|a|=a $;
1) Якщо $c > 0 $, то рівняння $|f(x)|=c $ рівносильне сукупності рівнянь: $\left[\begin(array)(l) f(x)=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) Якщо \(c > 0 $, то нерівність $|f(x)| 3) Якщо \(c \geq 0 $, то нерівність $|f(x)| > c $ рівносильна сукупності нерівностей : $\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. $
4) Якщо обидві частини нерівності $f(x) ПРИКЛАД 1. Розв'язати рівняння \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 $.

Якщо $x-1 \geq 0 $, то $|x-1| = x-1 $ і задане рівняння набуває вигляду
$x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 $.
Якщо ж (x-1 $x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 $.
Таким чином, задане рівняння слід розглянути окремо у кожному із двох зазначених випадків.
1) Нехай (x-1 \ geq 0 \), тобто. (x \geq 1 \). З рівняння $x^2 +2x -8 = 0 $ знаходимо $x_1=2, \; x_2=-4$.
Умови $x \geq 1 $ задовольняє лише значення $x_1=2$.

2) Нехай $x-1 Відповідь: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) $

ПРИКЛАД 2. Розв'язати рівняння $|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) $.Перший спосіб
(Розкриття модуля за визначенням).

Розмірковуючи, як у прикладі 1, приходимо до висновку, що задане рівняння потрібно розглянути окремо при виконанні двох умов: $x^2-6x+7 \geq 0 $ або $x^2-6x+7
1) Якщо \(x^2-6x+7 \geq 0 $, то $|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 $ і задане рівняння набуває вигляду $x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 $. Розв'язавши це квадратне рівняння, отримаємо: $x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) $.
З'ясуємо, чи задовольняє значення $x_1=6 $ умові $x^2-6x+7 \geq 0 $. Для цього підставимо вказане значення у квадратну нерівність. Отримаємо: \ (6 ^ 2-6 \ cdot 6 +7 \ geq 0 \), тобто. $7 \geq 0 $ - правильна нерівність.

Отже, (x_1 = 6) - корінь заданого рівняння.

З'ясуємо, чи задовольняє значення $x_2=\frac(5)(3) $ умовою $x^2-6x+7 \geq 0 $. Для цього підставимо вказане значення у квадратну нерівність. Отримаємо: $\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 $, тобто. $\frac(25)(9) -3 \geq 0 $ - неправильна нерівність. Значить, $x_2=\frac(5)(3) $ не є коренем заданого рівняння. 2) Якщо $x^2-6x+7 значення \(x_3=3$ задовольняє умову $x^2-6x+7 значення \(x_4=\frac(4)(3) $ не задовольняє умову \) (x^2-6x+7 Отже, задане рівняння має два корені: $x=6, \; x=3 $.
Обидва ці рівняння вирішені вище (при першому способі розв'язання заданого рівняння), їх коріння таке: $6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4)(3) $. Умови $\frac(5x-9)(3) \geq 0 $ із цих чотирьох значень задовольняють лише два: 6 і 3. Значить, задане рівняння має два корені: \(x=6, \; x=3 \ ).

Третій спосіб(графічний).
1) Побудуємо графік функції (y = | x ^ 2-6x + 7 | \). Спочатку збудуємо параболу $y = x^2-6x+7 $.
Маємо (x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Графік функції $y = (x-3)^2-2 $ можна отримати з графіка функції $y = x^2 $ зрушенням його на 3 одиниці масштабу вправо (по осі x) і на 2 одиниці масштабу вниз ( по осі y).
Пряма x=3 - вісь параболи, що цікавить нас. Як контрольні точки для більш точної побудови графіка зручно взяти точку (3; -2) - вершину параболи, точку (0; 7) і симетричну їй щодо осі параболи точку (6; 7).

Щоб побудувати тепер графік функції $y = |x^2-6x+7| $, потрібно залишити без зміни ті частини збудованої параболи, які лежать не нижче осі x, а ту частину параболи, яка лежить нижче осі x, відобразити дзеркально щодо осі x.

2) Побудуємо графік лінійної функції (y = \frac(5x-9)(3) \). Як контрольні точки зручно взяти точки (0; -3) і (3; 2).Істотно те, що точка х = 1,8 перетину прямий з віссю абсцис розташовується правіше за ліву точку перетину параболи з віссю абсцис - це точка $x=3-\sqrt(2) $ (оскільки \(3-\sqrt(2) ) 3) Судячи з креслення, графіки перетинаються у двох точках - А(3; 2) і У(6; 7). іншому значенні виходить вірна числова рівність. Отже, наша гіпотеза підтвердилася – рівняння має два корені: x = 3 та x = 6. Відповідь: 3;

Зауваження

ПРИКЛАД 2. Розв'язати рівняння $|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) $.
. Графічний спосіб при всій своїй витонченості не дуже надійний. У розглянутому прикладі він спрацював лише тому, що коріння рівняння – цілі числа.

ПРИКЛАД 3. Розв'язати рівняння $|2x-4|+|x+3| = 8 $
Вираз 2x–4 звертається до 0 у точці х = 2, а вираз х + 3 - у точці х = –3. Ці дві точки розбивають числову пряму на три проміжки: $x
Розглянемо перший проміжок: \((-\infty; \; -3) $.