Doğal logaritmanın temel özellikleri, grafik, tanım kümesi, değerler kümesi, temel formüller, türev, integral, açılımı güç serisi ve ln x fonksiyonunun karmaşık sayılar kullanılarak temsili.
Tanım
Doğal logaritma fonksiyon y = x olarak, üstel sayının tersi, x = e y ve e sayısının tabanının logaritmasıdır: ln x = log e x.
Doğal logaritma matematikte yaygın olarak kullanılır çünkü türevi en basit forma sahiptir: (ln x)' = 1/ x.
dayalı tanımlar doğal logaritmanın tabanı sayıdır e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
y = fonksiyonunun grafiği x olarak.
Doğal logaritmanın grafiği (fonksiyonlar y = x olarak) üstel grafikten elde edilir ayna görüntüsü y = x düz çizgisine göre.
Doğal logaritma şu şekilde tanımlanır: pozitif değerler değişken x.
Tanım alanında monoton bir şekilde artar. 0 x'te →
doğal logaritmanın sınırı eksi sonsuzdur (-∞). x → + ∞ olduğundan doğal logaritmanın limiti artı sonsuzdur (+ ∞). Büyük x için logaritma oldukça yavaş artar. Herhangi güç fonksiyonu x a s olumlu gösterge
a derecesi logaritmadan daha hızlı büyür.
Doğal logaritmanın özellikleri
Tanım alanı, değerler kümesi, ekstrema, artış, azalma
Doğal logaritma monotonik olarak artan bir fonksiyon olduğundan ekstremum değeri yoktur. Doğal logaritmanın temel özellikleri tabloda sunulmaktadır.
lnx değerleri
1 = 0
Doğal logaritmalar için temel formüller
Ters fonksiyonun tanımından aşağıdaki formüller:
Logaritmanın temel özelliği ve sonuçları
Baz değiştirme formülü
Herhangi bir logaritma, baz ikame formülü kullanılarak doğal logaritma cinsinden ifade edilebilir:
Bu formüllerin ispatları Logaritma bölümünde sunulmuştur.
Ters fonksiyon
Doğal logaritmanın tersi üstür.
Eğer öyleyse
Eğer öyleyse.
Türev lnx
.
Doğal logaritmanın türevi:
.
Modül x'in doğal logaritmasının türevi:
.
N'inci dereceden türev:
Formüllerin türetilmesi > > >
İntegral
.
İntegral, parçalara göre entegrasyonla hesaplanır:
Bu yüzden,
Karmaşık sayılar kullanan ifadeler
.
Karmaşık z değişkeninin fonksiyonunu düşünün: Karmaşık değişkeni ifade edelim z modül aracılığıyla R φ
:
.
Logaritmanın özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
.
Veya
.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. Eğer koyarsan
n bir tamsayı olmak üzere,
farklı n'ler için aynı sayı olacaktır.
Bu nedenle karmaşık bir değişkenin fonksiyonu olarak doğal logaritma tek değerli bir fonksiyon değildir.
Kuvvet serisi genişletmesi
Genişleme gerçekleştiğinde:
Kullanılan literatür:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.
Logaritma verilen numara başka bir sayının yükseltilmesi gereken üsse denir. temel Bu sayıyı elde etmek için logaritma. Örneğin 100'ün 10 tabanındaki logaritması 2'dir. Yani 100'ü elde etmek için 10'un karesi alınmalıdır (10 2 = 100). Eğer N – verilen numara, B– taban ve ben– logaritma, o halde b ben = n. Sayı N taban antilogaritma olarak da adlandırılır B sayılar ben. Örneğin 2'nin 10 tabanına göre antilogaritması 100'e eşittir. Bu, ilişkiler günlüğü şeklinde yazılabilir. bn = ben ve antilog b l = N.
Logaritmanın temel özellikleri:
Herhangi pozitif sayı, birlik dışında logaritmanın temeli olabilir, ancak ne yazık ki şu şekilde ortaya çıkıyor: B Ve N rasyonel sayılardır, o zaman nadir durumlarda böyle bir rasyonel sayı vardır ben, Ne b ben = n. Ancak belirlemek mümkün irrasyonel sayı benörneğin, öyle ki 10 ben= 2; bu irrasyonel bir sayı ben rasyonel sayılarla gerekli herhangi bir doğrulukla tahmin edilebilir. Verilen örnekte ortaya çıkıyor ben yaklaşık olarak 0,3010'a eşittir ve 2'nin 10 tabanlı logaritmasının bu yaklaşımı, dört basamaklı ondalık logaritma tablolarında bulunabilir. 10 tabanlı logaritmalar (veya 10 tabanlı logaritmalar) hesaplamalarda o kadar yaygın olarak kullanılır ki bunlara denir. sıradan logaritmalar ve log2 = 0,3010 veya log2 = 0,3010 olarak yazılır, logaritma tabanının açık göstergesi atlanır. Tabana göre logaritmalar e, yaklaşık olarak 2,71828'e eşit olan aşkın bir sayıya denir doğal logaritmalar. Esas olarak şu konulardaki çalışmalarda bulunurlar: matematiksel analiz ve uygulamaları çeşitli bilimler. Doğal logaritmalar da tabanı açıkça belirtmeden, ancak özel ln gösterimi kullanılarak yazılır: örneğin, ln2 = 0,6931, çünkü e 0,6931 = 2.
Sıradan logaritma tablolarının kullanılması.
Bir sayının normal logaritması, verilen sayıyı elde etmek için 10'a yükseltilmesi gereken bir üstür. 10 0 = 1, 10 1 = 10 ve 10 2 = 100 olduğundan, hemen log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 vb. değerlerini elde ederiz. 10'un tamsayı kuvvetlerini arttırmak için. Benzer şekilde, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 ve dolayısıyla log0,1 = –1, log0,01 = –2, vb. tüm tamsayılar için negatif güçler 10. Geriye kalan sayıların olağan logaritmaları, 10 sayısının en yakın tamsayı kuvvetlerinin logaritmaları arasında bulunur; log2 0 ile 1 arasında, log20 1 ile 2 arasında ve log0.2 -1 ile 0 arasında olmalıdır. Dolayısıyla logaritma, 0 ile 1 arasında yer alan bir tam sayı ve bir ondalık sayı olmak üzere iki bölümden oluşur. tamsayı kısmı denir karakteristik logaritma ve sayının kendisi tarafından belirlenir, kesirli kısım isminde mantis ve tablolardan bulunabilir. Ayrıca log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2'nin logaritması 0,3010'dur, yani log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Benzer şekilde log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. Çıkarma işleminden sonra log0.2 = – 0.6990 elde ederiz. Ancak log0.2'yi 0,3010 – 1 veya 9,3010 – 10 olarak temsil etmek daha uygundur; formüle edilebilir ve genel kural: Belirli bir sayının 10'un kuvvetleriyle çarpılmasıyla elde edilen tüm sayılar, verilen sayının mantisine eşit olan aynı mantislere sahiptir. Çoğu tablo, 1'den 10'a kadar olan aralıktaki sayıların mantislerini gösterir, çünkü diğer tüm sayıların mantisleri tabloda verilenlerden elde edilebilir.
Çoğu tablo, dört veya beş ondalık basamaklı logaritmalar verir, ancak yedi basamaklı tablolar ve daha fazla ondalık basamaklı tablolar da vardır. Bu tür tabloların nasıl kullanılacağını öğrenmenin en kolay yolu örneklerdir. Log3.59'u bulmak için öncelikle 3.59 sayısının 10 0 ile 10 1 arasında yer aldığını, dolayısıyla karakteristiğinin 0 olduğunu not ediyoruz. Tabloda 35 sayısını (solda) buluyoruz ve satır boyunca hareket ederek üst kısmında 9 rakamının bulunduğu sütun; bu sütun ile 35. satırın kesişimi 5551'dir, yani log3.59 = 0.5551. Dörtlü bir sayının mantisini bulmak için önemli rakamlar, enterpolasyona başvurmak gerekir. Bazı tablolarda enterpolasyon, tabloların her sayfasının sağ tarafındaki son dokuz sütunda verilen oranlar sayesinde kolaylaştırılmıştır. Şimdi log736.4'ü bulalım; 736.4 sayısı 10 2 ile 10 3 arasındadır, dolayısıyla logaritmasının özelliği 2'dir. Tabloda solunda 73 ve 6 numaralı sütunların bulunduğu bir satır buluyoruz. Bu satır ile bu sütunun kesişiminde 8669 sayısı. Doğrusal parçalar arasında bulduğumuz sütun 4 73. satır ile 4. sütunun kesişiminde 2 sayısı bulunur. 8669'a 2 ekleyerek mantis elde ederiz - 8671'e eşittir. Böylece log736.4 = 2,8671.
Doğal logaritmalar.
Doğal logaritmanın tabloları ve özellikleri, sıradan logaritmanın tabloları ve özelliklerine benzer. Her ikisi arasındaki temel fark, doğal logaritmanın tam sayı kısmının konumu belirlemede anlamlı olmamasıdır. ondalık nokta ve bu nedenle mantis ile karakteristik arasındaki fark özel bir rol oynamaz. 5.432 sayısının doğal logaritması; 54,32 ve 543,2 sırasıyla 1,6923'e eşittir; 3,9949 ve 6,2975. Bu logaritmalar arasındaki ilişki, aralarındaki farklara bakıldığında daha da netleşecektir: log543.2 – log54.32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; son sayı 10 sayısının doğal logaritmasından başka bir şey değildir (şu şekilde yazılır: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; son sayı 2ln10'dur. Ancak 543,2 = 10'54,32 = 10 2'5,432. Böylece, belirli bir sayının doğal logaritmasına göre A sayıların doğal logaritmasını bulabilirsiniz, ürünlere eşit sayılar A herhangi bir derece için N 10 sayısı ln ise A ln10 ile çarpılarak ekle N yani In( Aґ10N) = günlük A + N ln10 = ln A + 2,3026N. Örneğin, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Bu nedenle, doğal logaritma tabloları, sıradan logaritma tabloları gibi, genellikle yalnızca 1'den 10'a kadar sayıların logaritmasını içerir. Doğal logaritma sisteminde, antilogaritmalardan söz edilebilir, ancak daha sık olarak hakkında konuşulur. üstel fonksiyon veya katılımcı hakkında. Eğer X= günlük sen, O sen = eski, Ve senüssü denir X(tipografik kolaylık sağlamak için sıklıkla yazarlar sen= deneyim X). Üs, sayının antilogaritmasının rolünü oynar X.
Ondalık ve doğal logaritma tablolarını kullanarak, 10 ve 10 dışında herhangi bir tabanda logaritma tabloları oluşturabilirsiniz. e. Günlük ise ba bir = X, O bx = A ve bu nedenle günlük cbx= günlük ca bir veya X kayıt cb= günlük ca bir, veya X= günlük ca bir/kayıt cb= günlük ba bir. Bu nedenle, temel logaritma tablosundan bu ters çevirme formülünü kullanarak C başka herhangi bir tabanda logaritma tabloları oluşturabilirsiniz B. Çarpan 1/günlük cb isminde geçiş modülü tabandan Cüsse B. Örneğin ters çevirme formülünün kullanılmasını veya bir logaritma sisteminden diğerine geçişi, sıradan logaritma tablosundan doğal logaritmaların bulunmasını veya ters geçiş yapılmasını hiçbir şey engellemez. Örneğin, log105.432 = log e 5.432/günlük e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Sıradan bir logaritma elde etmek için belirli bir sayının doğal logaritmasının çarpılması gereken 0,4343 sayısı, sıradan logaritma sistemine geçiş modülüdür.
Özel tablolar.
Logaritmalar başlangıçta özellik loglarını kullanarak icat edildi. ab= günlük A+ günlük B ve kayıt A/B= günlük A-kayıt B, ürünleri toplamlara, bölümleri farklara dönüştürün. Başka bir deyişle, eğer günlük A ve kayıt B biliniyorsa, toplama ve çıkarma işlemlerini kullanarak çarpımın ve bölümün logaritmasını kolayca bulabiliriz. Ancak astronomide sıklıkla verilen değerler kayıt A ve kayıt B günlüğü bulmam gerekiyor ( A + B) veya günlük( A – B). Elbette ilk olarak logaritma tablolarından bulunabilir. A Ve B, daha sonra belirtilen toplama veya çıkarma işlemini yapın ve tekrar tablolara dönerek gerekli logaritmaları bulun, ancak böyle bir prosedür tablolara üç kez bakmayı gerektirir. Z. Leonelli 1802'de sözde tabloları yayınladı. Gauss logaritmaları– toplamların ve farkların eklenmesi için logaritmalar – bu da tablolara tek bir erişimin sınırlandırılmasını mümkün kıldı.
1624'te I. Kepler orantılı logaritma tabloları önerdi; sayıların logaritmaları A/X, Nerede A– biraz olumlu devamlı. Bu tablolar öncelikle gökbilimciler ve gezginler tarafından kullanılır.
Orantılı logaritmalar A= 1 denir logaritmalara göre ve çarpımlar ve bölümlerle uğraşmak gerektiğinde hesaplamalarda kullanılır. Bir sayının kologaritması N logaritmaya eşit karşılıklı sayı; onlar. kolonya N= günlük1/ N= – günlük N. Log2 = 0,3010 ise, colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Koloaritma kullanmanın avantajı, aşağıdaki gibi ifadelerin logaritmasının değerini hesaplarken olmasıdır. pq/modül aracılığıyla pozitif ondalık sayıların üçlü toplamı günlüğü P+ günlük Q+kolog modül aracılığıyla bulmak karışık toplam ve fark günlüğünü bulmaktan daha kolaydır P+ günlük Q-kayıt modül aracılığıyla.
Hikaye.
Herhangi bir logaritma sisteminin altında yatan prensip çok uzun zamandır bilinmektedir ve kökeni eski Babil matematiğine (MÖ 2000 civarı) kadar uzanabilmektedir. O günlerde tamsayıların tablo değerleri arasında enterpolasyon yapılıyordu. pozitif derece hesaplamak için tamsayılar kullanıldı bileşik faiz. Çok daha sonra Arşimet (MÖ 287-212) 108'in kuvvetlerini kullanarak üst sınır O zamanlar bilinen Evreni tamamen doldurmak için gereken kum tanesi sayısı. Arşimed, logaritmanın etkinliğinin altında yatan üslü sayılar özelliğine dikkat çekti: kuvvetlerin çarpımı üslerin toplamına karşılık gelir. Orta Çağ'ın sonu ve modern çağın başlangıcında matematikçiler giderek geometrik ve aritmetik ilerlemeler arasındaki ilişkiye yönelmeye başladılar. M. Stiefel makalesinde Tamsayı Aritmetiği(1544) 2 sayısının pozitif ve negatif kuvvetlerini gösteren bir tablo verdi:
Stiefel, ilk satırdaki (üsler doğrusu) iki sayının toplamının iki üssüne eşit olduğunu, yani ikinin çarpımına karşılık geldiğini fark etti. karşılık gelen sayılar alt satırda (derece çizgisi). Bu tabloyla bağlantılı olarak Stiefel dört kurala eşdeğer dört kural formüle etti. modern kurallarüslü sayılar üzerinde işlemler veya logaritma işlemleri için dört kural: üst satırdaki toplam, alt satırdaki çarpıma karşılık gelir; üst satırdaki çıkarma işlemi alt satırdaki bölme işlemine karşılık gelir; üst satırdaki çarpma, alt satırdaki üstel sayıya karşılık gelir; Üst satırdaki bölünme, alt satırdaki köklenmeye karşılık gelir.
Görünüşe göre, Stiefel'in kurallarına benzer kurallar, J. Naper'in çalışmalarında ilk logaritma sistemini resmi olarak tanıtmasına yol açtı. Şaşırtıcı logaritma tablosunun açıklaması Ancak Napier'in düşünceleri, çarpımları toplamlara dönüştürme sorunuyla meşguldü; o zamandan beri, çalışmasının yayınlanmasından on yıldan fazla bir süre önce Napier, Danimarka'dan Tycho Brahe Gözlemevi'nde asistanlarının bunu yapan bir yönteme sahip olduğuna dair bir haber aldı. Ürünleri toplamlara dönüştürmek mümkündür. Napier'in aldığı mesajda bahsedilen yöntem, kullanıma dayanıyordu. trigonometrik formüller tip
bu nedenle Naper'in tabloları esas olarak logaritmalardan oluşuyordu trigonometrik fonksiyonlar. Her ne kadar Napier tarafından önerilen tanımda taban kavramı açıkça yer almasa da, onun sisteminde logaritma sisteminin tabanına eşdeğer rol, yaklaşık olarak 1/'e eşit olan (1 – 10 –7)`10 7 sayısı tarafından oynanıyordu. e.
Naper'den bağımsız olarak ve neredeyse onunla eşzamanlı olarak, tip olarak oldukça benzer bir logaritma sistemi J. Bürgi tarafından Prag'da icat edildi ve yayınlandı, 1620'de yayınlandı. Aritmetik ve geometrik ilerleme tabloları. Bunlar (1 + 10 –4) ґ10 4 tabanına göre antilogaritma tablolarıydı; sayının oldukça iyi bir tahmini e.
Naper sisteminde 10 7 sayısının logaritması sıfır alınmış, sayılar azaldıkça logaritmalar artmaktaydı. G. Briggs (1561–1631) Napier'i ziyaret ettiğinde her ikisi de 10 sayısını taban olarak kullanmanın ve bir'in logaritmasını almanın daha uygun olacağı konusunda hemfikirdi. sıfıra eşit. Daha sonra sayılar arttıkça logaritmaları da artacaktır. Yani elimizde modern sistem Briggs'in çalışmasında yayınladığı bir tablo olan ondalık logaritmalar Logaritmik aritmetik(1620). Tabana göre logaritmalar e Her ne kadar tam olarak Naper tarafından tanıtılanlar olmasa da, genellikle Naper's olarak anılır. "Karakteristik" ve "mantis" terimleri Briggs tarafından önerildi.
Yürürlükte olan ilk logaritmalar tarihsel nedenler sayılara yönelik kullanılan yaklaşımlar 1/ e Ve e. Bir süre sonra doğal logaritma fikri hiperbol altındaki alanların incelenmesiyle ilişkilendirilmeye başlandı. xy= 1 (Şekil 1). 17. yüzyılda bu eğrinin sınırladığı alanın, eksenin olduğu gösterildi X ve koordinatlar X= 1 ve X = A(Şekil 1'de bu alan daha kalın ve seyrek noktalarla kaplıdır) aritmetik ilerleme, Ne zaman A artışlar geometrik ilerleme. Üslü ve logaritmalı işlemlere ilişkin kurallarda ortaya çıkan tam da bu bağımlılıktır. Bu, Naperian logaritmalarının "hiperbolik logaritmalar" olarak adlandırılmasına yol açtı.
Logaritmik fonksiyon.
Logaritmanın yalnızca bir hesaplama aracı olarak kabul edildiği bir dönem vardı, ancak 18. yüzyılda esas olarak Euler'in çalışmaları sayesinde bu kavram oluştu. logaritmik fonksiyon. Böyle bir fonksiyonun grafiği sen= günlük X Koordinatları aritmetik bir ilerlemeyle artarken apsisleri geometrik bir ilerlemeyle artan Şekil 2'de gösterilmektedir. 2, A. Ters veya üstel bir fonksiyonun grafiği y = ex Geometrik ilerlemede koordinatları artan ve aritmetik ilerlemede apsisleri artan, sırasıyla Şekil 2'de gösterilmektedir. 2, B. (Eğriler sen= günlük X Ve sen = 10Xşekil olarak eğrilere benzer sen= günlük X Ve sen = eski.) Ayrıca önerildi alternatif tanımlar logaritmik fonksiyon, örneğin,
kpı; ve benzer şekilde -1 sayısının doğal logaritması karmaşık sayılar türleri (2 k + 1)pi, Nerede k– bir tamsayı. Benzer ifadeler genel logaritmalar veya diğer logaritma sistemleri için de geçerlidir. Ayrıca logaritmanın tanımı Euler'in kimlikleri kullanılarak genelleştirilebilir. karmaşık logaritmalar karmaşık sayılar.
Logaritmik fonksiyonun alternatif bir tanımı şunu verir: fonksiyonel analiz. Eğer F(X) – sürekli fonksiyon gerçek sayı X aşağıdaki üç özelliğe sahiptir: F (1) = 0, F (B) = 1, F (UV) = F (sen) + F (v), O F(X) sayının logaritması olarak tanımlanır X dayalı B. Bu tanımın, bu makalenin başında verilen tanıma göre birçok avantajı vardır.
Uygulamalar.
Logaritmalar başlangıçta yalnızca hesaplamaları basitleştirmek için kullanıldı ve bu uygulama hala en önemlilerinden biridir. Çarpımların, bölümlerin, kuvvetlerin ve köklerin hesaplanması, yalnızca yayınlanmış logaritma tablolarının geniş çapta bulunmasıyla değil, aynı zamanda sözde kullanımıyla da kolaylaştırılmıştır. sürgülü hesap cetveli - çalışma prensibi logaritmanın özelliklerine dayanan bir hesaplama aracıdır. Cetvel logaritmik ölçeklerle donatılmıştır; 1 numaradan herhangi bir numaraya olan mesafe X loga eşit olacak şekilde seçilmiş X; Bir ölçeği diğerine göre kaydırarak, logaritmaların toplamlarını veya farklarını çizmek mümkündür; bu, ilgili sayıların çarpımlarını veya bölümlerini doğrudan ölçekten okumayı mümkün kılar. Sayıları temsil etmenin avantajlarından yararlanın logaritmik form izin verir vb. grafikleri çizmek için logaritmik kağıt (her iki koordinat ekseninde üzerine logaritmik ölçekler basılmış kağıt). Bir fonksiyon formun güç yasasını karşılıyorsa y = kxn, sonra onu logaritmik grafik düz bir çizgiye benziyor çünkü kayıt sen= günlük k + N kayıt X– loga göre doğrusal denklem sen ve kayıt X. Aksine, logaritmik grafik herhangi ise fonksiyonel bağımlılık düz bir çizgi biçimindeyse bu bağımlılık güç yasasıdır. Yarı logaritmik kağıt (y ekseninin logaritmik bir ölçeğe sahip olduğu ve x ekseninin tek biçimli bir ölçeğe sahip olduğu), üstel fonksiyonları tanımlamanız gerektiğinde kullanışlıdır. Formun denklemleri y = kb rx nüfus, radyoaktif madde miktarı veya banka bakiyesi gibi bir miktarın, mevcut radyoaktif madde miktarıyla orantılı bir oranda azalması veya artması durumunda meydana gelir. şu anda sakinlerin sayısı, radyoaktif madde veya para. Böyle bir bağımlılık yarı logaritmik kağıda çizilirse grafik düz bir çizgi gibi görünecektir.
Logaritmik fonksiyon, çok çeşitli doğal formlarla bağlantılı olarak ortaya çıkar. Ayçiçeği salkımlarındaki çiçekler logaritmik spiraller halinde düzenlenir, yumuşakça kabukları bükülür Nautilus, dağ koyunu boynuzları ve papağan gagaları. Bütün bunlar doğal formlar Logaritmik spiral olarak bilinen bir eğrinin örnekleri olarak hizmet edebilir çünkü kutup sistemi koordinatlar, denklemi şu şekildedir r = ae bq, veya ln modül aracılığıyla= günlük A + bq. Böyle bir eğri, kutuptan uzaklığı geometrik ilerlemeyle artan ve yarıçap vektörüyle açıklanan açı aritmetik ilerlemeyle artan hareketli bir noktayla tanımlanır. Böyle bir eğrinin ve dolayısıyla logaritmik fonksiyonun her yerde bulunması, bu kadar uzak ve tamamen uzak görünmesi gerçeğiyle iyi bir şekilde gösterilmektedir. çeşitli alanlar eksantrik bir kamın dış hatları ve ışığa doğru uçan bazı böceklerin yörüngesi gibi.
1.1. Tamsayılı bir üssün üssünü belirleme
X 1 = XX 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N kere
1.2. Sıfır derece.
Tanım gereği, herhangi bir sayının sıfır kuvvetinin 1 olduğu genel olarak kabul edilir:1.3. Negatif derece.
X -N = 1/X N1.4. Kesirli kuvvet, kök.
X 1/N = X'in N kökü.Örneğin: X 1/2 = √X.
1.5. Güç ekleme formülü.
X (N+M) = X N *X M1.6.Kuvvetleri çıkarma formülü.
X (N-M) = X N /X M1.7. Kuvvetleri çarpma formülü.
X N*M = (X N) M1.8. Bir kesri bir kuvvete yükseltmek için formül.
(X/Y) N = X N /Y N2. Sayı e.
e sayısının değeri aşağıdaki limite eşittir:E = lim(1+1/N), N → ∞ olarak.
17 haneli doğrulukla e sayısı 2,71828182845904512'dir.
3. Euler eşitliği.
Bu eşitlik matematikte özel bir rol oynayan beş sayıyı birbirine bağlar: 0, 1, e, pi, sanal birim.E (i*pi) + 1 = 0
4. Üstel fonksiyon exp(x)
tecrübe(x) = e x5. Üstel fonksiyonun türevi
Üstel fonksiyon vardır dikkat çekici özellik: Bir fonksiyonun türevi üstel fonksiyonun kendisine eşittir:(ifade(x))" = tecrübe(x)
6. Logaritma.
6.1. Logaritma fonksiyonunun tanımı
Eğer x = b y ise logaritma fonksiyondurY = Günlük b(x).
Logaritma, belirli bir sayıyı (X) elde etmek için bir sayının (logaritmanın tabanı (b)) hangi güce yükseltilmesi gerektiğini gösterir. Logaritma fonksiyonu sıfırdan büyük X için tanımlanır.
Örneğin: Log 10 (100) = 2.
6.2. Ondalık logaritma
Bu 10 tabanının logaritmasıdır:Y = Log 10(x) .
Log(x) ile gösterilir: Log(x) = Log 10 (x).
Ondalık logaritmanın kullanımına bir örnek desibeldir.
6.3. Desibel
Öğe ayrı bir sayfada vurgulanır Desibel6.4. İkili logaritma
Bu 2 tabanının logaritması:Y = Günlük 2 (x).
Lg(x) ile gösterilir: Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. Doğal logaritma
Bu, e tabanının logaritmasıdır:Y = Log e(x) .
Ln(x) ile gösterilir: Ln(x) = Log e (X)
Doğal logaritma - ters fonksiyonüstel işlevler deneyimi(X).
6.6. Karakteristik noktalar
Loga(1) = 0Log a (a) = 1
6.7. Ürün logaritması formülü
Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)6.8. Bölümün logaritması formülü
Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)6.9. Güç formülünün logaritması
Log a (x y) = y*Log a (x)6.10. Farklı bir tabana sahip logaritmaya dönüştürme formülü
Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)Örnek:
Günlük 2 (8) = Günlük 10 (8)/Günlük 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3
7. Hayatta faydalı formüller
Genellikle hacmi alana veya uzunluğa dönüştürmede sorunlar yaşanır ve ters problem-- Alanın hacme dönüştürülmesi. Örneğin levhalar küp (metreküp) halinde satılıyor ve içinde bulunan levhalarla ne kadar duvar alanının kaplanabileceğini hesaplamamız gerekiyor. belli bir hacim, tahtaların hesaplanmasına bakın, bir küpte kaç tane tahta var. Veya duvarın boyutları biliniyorsa tuğla sayısını hesaplamanız gerekir, bkz. tuğla hesaplaması.
Kaynağa aktif bir bağlantı kurulması koşuluyla site malzemelerinin kullanılmasına izin verilir.
Pozitif bir b sayısının a tabanına göre logaritması (a>0, a, 1'e eşit değildir), a c = b olacak şekilde bir c sayısıdır: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)
Pozitif olmayan bir sayının logaritmasının tanımsız olduğunu unutmayın. Ayrıca logaritmanın tabanının 1'e eşit olmayan pozitif bir sayı olması gerekir. Örneğin -2'nin karesini alırsak 4 sayısını elde ederiz ancak bu, logaritmanın -2'nin 4 tabanına eşit olmadığı anlamına gelmez. 2'ye eşittir.
Temel logaritmik kimlik
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Bu formülün sağ ve sol taraflarının tanım kapsamının farklı olması önemlidir. Sol taraf yalnızca b>0, a>0 ve a ≠ 1 için tanımlanır. Sağ taraf herhangi bir b için tanımlanır ve a'ya hiçbir şekilde bağlı değildir. Bu nedenle, denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken temel logaritmik "özdeşliğin" uygulanması OD'de bir değişikliğe yol açabilir.
Logaritmanın tanımının iki belirgin sonucu
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Nitekim a sayısını birinci kuvvetine yükselttiğimizde aynı sayıyı elde ederiz, a sayısını birinci kuvvetine yükselttiğimizde ise aynı sayıyı elde ederiz. sıfır derece- bir.
Çarpımın logaritması ve bölümün logaritması
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken bu formülleri düşüncesizce kullanmamaları konusunda okul çocuklarını uyarmak isterim. Bunları "soldan sağa" kullanırken ODZ daralır ve logaritmaların toplamından veya farkından ürünün veya bölümün logaritmasına geçerken ODZ genişler.
Aslında, log a (f (x) g (x)) ifadesi iki durumda tanımlanır: her iki fonksiyon da kesinlikle pozitif olduğunda veya f(x) ve g(x) her ikisi de sıfırdan küçük olduğunda.
Dönüştürme bu ifade log a f (x) + log a g (x) toplamına baktığımızda kendimizi yalnızca f(x)>0 ve g(x)>0 durumuyla sınırlamak zorunda kalıyoruz. Alan daralması var kabul edilebilir değerler ve bu kategorik olarak kabul edilemez çünkü çözüm kaybına yol açabilir. Benzer sorun formül (6) için mevcuttur.
Derece logaritmanın işaretinden çıkarılabilir
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Ve yine doğruluk için çağrıda bulunmak istiyorum. Aşağıdaki örneği düşünün:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Eşitliğin sol tarafı, f(x)'in sıfır hariç tüm değerleri için açıkça tanımlanmıştır. Sağ taraf sadece f(x)>0 içindir! Logaritmadan dereceyi çıkararak ODZ'yi tekrar daraltıyoruz. Ters prosedür, kabul edilebilir değerler aralığının genişlemesine yol açar. Bütün bu açıklamalar sadece 2. kuvvet için değil aynı zamanda herhangi bir çift kuvvet için de geçerlidir.
Yeni bir temele geçmenin formülü
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)O nadir durum ODZ dönüşüm sırasında değişmediğinde. Eğer c tabanını akıllıca seçtiyseniz (pozitif ve 1'e eşit değil), yeni bir tabana geçme formülü tamamen güvenlidir.
Yeni c tabanı olarak b sayısını seçersek önemli bir sonuç elde ederiz. özel durum formüller (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Logaritmalarla ilgili bazı basit örnekler
Örnek 1. Hesaplayın: log2 + log50.
Çözüm. log2 + log50 = log100 = 2. Logaritma toplamı formülünü (5) ve ondalık logaritmanın tanımını kullandık.
Örnek 2. Hesaplayın: lg125/lg5.
Çözüm. log125/log5 = log 5 125 = 3. Yeni bir tabana (8) geçmek için formülü kullandık.
Logaritmalarla ilgili formül tablosu
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Yani iki gücümüz var. Alt satırdaki sayıyı alırsanız, bu sayıyı elde etmek için ikiyi yükseltmeniz gereken gücü kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, 16 elde etmek için ikinin dördüncü kuvvetini yükseltmeniz gerekir. Ve 64'ü elde etmek için ikinin altıncı gücünü artırmanız gerekir. Bu tablodan görülebilmektedir.
Ve şimdi - aslında logaritmanın tanımı:
x'in logaritması tabanı, x'i elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken kuvvettir.
Tanım: log a x = b, burada a tabandır, x argümandır, b ise logaritmanın gerçekte eşit olduğu şeydir.
Örneğin, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2 3 = 8 olduğundan 8'in 2 tabanlı logaritması üçtür). Aynı başarı günlüğü ile 2 64 = 6, çünkü 2 6 = 64.
Bir sayının belirli bir tabana göre logaritmasını bulma işlemine logaritma denir. Şimdi tablomuza yeni bir satır ekleyelim:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| günlük 2 2 = 1 | günlük 2 4 = 2 | günlük 2 8 = 3 | günlük 2 16 = 4 | günlük 2 32 = 5 | günlük 2 64 = 6 |
Ne yazık ki tüm logaritmalar bu kadar kolay hesaplanamıyor. Örneğin, log 2 5'i bulmayı deneyin. Tabloda 5 sayısı yok ama mantık, logaritmanın parça üzerinde bir yerde olacağını söylüyor. Çünkü 2 2< 5 < 2 3 , а чем daha fazla derece iki, sayı ne kadar büyükse.
Bu tür sayılara irrasyonel denir: Ondalık noktadan sonraki sayılar sonsuza kadar yazılabilir ve asla tekrarlanmaz. Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, onu bu şekilde bırakmak daha iyidir: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Logaritmanın iki değişkenli (taban ve argüman) bir ifade olduğunu anlamak önemlidir. İlk başta birçok kişi temelin nerede olduğunu ve argümanın nerede olduğunu karıştırır. Kaçınmak için sinir bozucu yanlış anlamalar, sadece resme bakın:
Önümüzde bir logaritmanın tanımından başka bir şey yok. Hatırlamak: logaritma bir kuvvettir Bir argüman elde etmek için tabanın içine inşa edilmesi gerekir. Bir güce yükseltilen tabandır - resimde kırmızıyla vurgulanmıştır. Tabanın her zaman altta olduğu ortaya çıktı! Öğrencilerime bu harika kuralı daha ilk derste anlatıyorum ve hiçbir kafa karışıklığı ortaya çıkmıyor.
Tanımı çözdük; geriye kalan tek şey logaritmanın nasıl sayılacağını öğrenmek. "log" işaretinden kurtulun. Başlangıç olarak, tanımdan iki önemli gerçeğin çıktığını not ediyoruz:
- Argüman ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, derecenin tanımından kaynaklanmaktadır. rasyonel gösterge Logaritmanın tanımı buraya gelir.
- Taban birden farklı olmalıdır, çünkü bir dereceye kadar bir hala bir olarak kalır. Bu nedenle “iki elde etmek için kişinin hangi güce yükseltilmesi gerekir” sorusu anlamsızdır. Böyle bir derece yok!
Bu tür kısıtlamalara denir kabul edilebilir değerler aralığı(ODZ). Logaritmanın ODZ'sinin şu şekilde göründüğü ortaya çıktı: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
b sayısı (logaritmanın değeri) üzerinde herhangi bir kısıtlama olmadığını unutmayın. Örneğin logaritma negatif olabilir: log 2 0,5 = −1, çünkü 0,5 = 2−1.
Ancak şimdi sadece düşünüyoruz sayısal ifadeler Logaritmanın CVD'sini bilmenin gerekli olmadığı durumlarda. Sorunların yazarları tarafından tüm kısıtlamalar zaten dikkate alınmıştır. Ama gittiklerinde logaritmik denklemler ve eşitsizlikler nedeniyle DHS gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Sonuçta, temel ve argüman, yukarıdaki kısıtlamalara tam olarak uymayan çok güçlü yapılar içerebilir.
Şimdi düşünelim genel şema Logaritmaların hesaplanması. Üç adımdan oluşur:
- A tabanını ve x argümanını, mümkün olan minimum tabanı birden büyük olacak şekilde bir kuvvet olarak ifade edin. Bu arada ondalık sayılardan kurtulmak daha iyidir;
- b değişkeninin denklemini çözün: x = a b ;
- Ortaya çıkan b sayısı cevap olacaktır.
İşte bu! Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, bu zaten ilk adımda görülecektir. Tabanın olması şartı birden fazla, çok önemlidir: hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. Aynısı ondalık sayılar: Bunları hemen normal olanlara dönüştürürseniz, çok daha az hata olacaktır.
Belirli örnekleri kullanarak bu şemanın nasıl çalıştığını görelim:
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 5 25
- Tabanı ve argümanı beşin kuvveti olarak düşünelim: 5 = 5 1; 25 = 52;
- Cevabını aldık: 2.
Denklemi oluşturup çözelim:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Görev. Logaritmayı hesaplayın:
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 4 64
- Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 4 = 2 2; 64 = 26;
- Denklemi oluşturup çözelim:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Cevabını aldık: 3.
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 16 1
- Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
- Denklemi oluşturup çözelim:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Cevabını aldık: 0.
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 7 14
- Tabanı ve argümanı yedinin kuvveti olarak düşünelim: 7 = 7 1; 7 1 olduğundan 14 yedinin kuvveti olarak temsil edilemez< 14 < 7 2 ;
- İtibaren önceki paragraf buradan logaritmanın sayılmadığı sonucu çıkar;
- Cevap değişiklik yok: log 7 14.
Küçük bir not son örnek. Bir sayının başka bir sayının tam kuvveti olmadığından nasıl emin olabilirsiniz? Çok basit; sadece parçalara ayırın asal faktörler. Genişlemenin en az iki farklı faktörü varsa, sayı tam bir kuvvet değildir.
Görev. Sayıların tam kuvvetleri olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tam derece, çünkü yalnızca bir çarpan vardır;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - tam bir kuvvet değildir, çünkü iki çarpan vardır: 3 ve 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tam derece;
35 = 7 · 5 - yine kesin bir kuvvet değil;
14 = 7 · 2 - yine kesin bir derece değil;
Şunu da belirtelim ki biz kendimiziz asal sayılar her zaman kendilerinin kesin dereceleridir.
Ondalık logaritma
Bazı logaritmalar o kadar yaygındır ki özel bir isme ve sembole sahiptirler.
X'in ondalık logaritması, 10 tabanına göre logaritmasıdır; X sayısını elde etmek için 10 sayısının yükseltilmesi gereken kuvvet. Tanım: lg x.
Örneğin log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - vb.
Artık bir ders kitabında “Lg 0.01'i bul” gibi bir ifade çıktığında bunun bir yazım hatası olmadığını bilin. Bu ondalık logaritma. Ancak bu gösterime aşina değilseniz, istediğiniz zaman yeniden yazabilirsiniz:
günlük x = günlük 10 x
Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık logaritmalar için de doğrudur.
Doğal logaritma
Kendi tanımı olan başka bir logaritma var. Bazı yönlerden ondalık sayıdan bile daha önemlidir. yaklaşık Doğal logaritma hakkında.
X'in doğal logaritması e tabanının logaritmasıdır, yani. x sayısını elde etmek için e sayısının yükseltilmesi gereken güç. Tanım: ln x .
Birçoğu şunu soracak: e sayısı nedir? Bu irrasyonel bir sayıdır ve kesin değer bulmak ve kaydetmek imkansızdır. Sadece ilk rakamları vereceğim:
e = 2,718281828459...
Bu sayının ne olduğu ve neden gerekli olduğu konusunda ayrıntıya girmeyeceğiz. Sadece e'nin doğal logaritmanın tabanı olduğunu unutmayın:
ln x = log e x
Böylece ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - vb. Öte yandan ln 2 irrasyonel bir sayıdır. Genel olarak herhangi bir sayının doğal logaritması rasyonel sayı mantıksız. Elbette biri hariç: ln 1 = 0.
Doğal logaritmalar için sıradan logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir.