Kuvuka mistari iliyonyooka. Mifano ya matatizo na bila ufumbuzi

Stereometry

Kazi ya kujitegemea N 1

Chaguo 1

1. Chora mstari wa moja kwa moja a na nukta A,B Na C, sio ya mstari huu. Andika maelezo muhimu.

2. Chora ndege b, pointi E,F mali yake, na kipindi G, ambayo si yake. Andika maelezo muhimu.

3. Chora mstari wa moja kwa moja a, akiwa amelala kwenye ndege a. Fanya kiingilio kinachohitajika.

4. Chora ndege mbili zinazokatiza a na b. Fanya kiingilio kinachohitajika.

Chaguo la 2

1. Chora mbili zinazopishana kwa uhakika O moja kwa moja a Na b na nukta A,B,C, na uhakika A ni ya mstari a, B ni ya mstari b, nukta C sio ya mistari iliyotolewa.

2. Chora ndege g na pointi zisizo zake K,L na uhakika ni mali yake M. Andika maelezo muhimu.

3. Chora mstari wa moja kwa moja b, ikikatiza ndege b kwenye hatua O. Fanya kiingilio kinachohitajika.

4. Chora mistari mitatu inayokatiza a ndege a, b na g. Fanya kiingilio kinachohitajika.

Kazi ya kujitegemea N 2

Chaguo 1

1) Pembe zilizo chini ya pembetatu ya isosceles ni sawa.

2) Mstari mmoja wa moja kwa moja hupitia pointi mbili katika nafasi.

3) Pembe za wima ni sawa.

4) Sambamba ni pembe nne ambayo pande tofauti sambamba kwa pande mbili.

2. Fafanua mpangilio wa pande zote ndege a na b, ikiwa pembetatu iko ndani yao ABC. Thibitisha jibu lako.

3. Ni ndege ngapi zinaweza kupita pointi tatu?

4. Tafuta idadi kubwa zaidi mistari inayopitia jozi tofauti za nukta nne.

Chaguo la 2

1. Kutoka kwa sentensi zifuatazo, onyesha axioms, ufafanuzi, nadharia:

1) Ikiwa ndege mbili zina hatua ya kawaida, kisha wanaingiliana kwa mstari ulionyooka.

2) Mstari wa kati ya pembetatu ni sehemu inayounganisha sehemu za kati za pande zake mbili.

3) Kwa mistari ya moja kwa moja na ndege katika nafasi, axioms ya planimetry ni kuridhika.

4) Diagonals ya parallelogram imegawanywa katika nusu na hatua ya makutano.

2. Tambua nafasi ya jamaa ya ndege mbili b na g ikiwa zina pointi B Na C. Thibitisha jibu lako.

3. Tafuta idadi kubwa zaidi ya mistari inayopita kwenye jozi tofauti za pointi 5.

4. Tafuta idadi kubwa zaidi ya ndege zinazopita katika sehemu tatu tofauti za pointi nne.

2. Corollaries kutoka kwa axioms ya stereometry

Chaguo 1

1. Katika ndege ya mistari miwili inayoingiliana a Na b hatua iliyotolewa C, si mali ya mistari hii. Moja kwa moja c, amelala katika ndege iliyotolewa, hupitia hatua C c kuhusiana na mistari hii iliyonyooka?

2. Kupewa pointi tatu ambazo si za mstari mmoja. Thibitisha kuwa mistari yote inayokatiza sehemu mbili kati ya tatu zinazounganisha nukta hizi ziko kwenye ndege moja.

3. Ndege hutolewa kwa mstari wa moja kwa moja c na hatua isiyokuwa yake C a, tofauti na mstari uliopewa na sio kupita hatua hii.

4. Ndege inafafanuliwa kwa njia mbili za kuingiliana kwa uhakika O moja kwa moja a Na b. Chora mstari ulionyooka c, ambayo huingiliana na mistari hii na haina uongo katika ndege iliyotolewa.

Chaguo la 2

1. Moja kwa moja d, amelala katika ndege ya pembetatu ABC, huvuka upande wake AB. Je, inaweza kuwa nafasi gani ya jamaa ya mistari? d Na B.C.?

2. Mistari miwili sambamba imechorwa katika ndege a a Na b. Thibitisha kuwa mistari yote inayokatiza mistari hii iko kwenye ndege moja.

3. Ndege inafafanuliwa kwa njia mbili za kuingiliana kwa uhakika O moja kwa moja m Na n. Tengeneza mstari wa moja kwa moja kwenye ndege hii k, tofauti na mistari iliyotolewa na si kupita kwa uhakika O.

4. Ndege inaelezwa na pointi tatu D,E,F, si ya mstari mmoja. Chora mstari ulionyooka a, ambayo huingilia pande DE Na DF pembetatu DEF na sio uongo katika ndege hii.

3. Takwimu za anga

Chaguo 1

1. Chora prism ya pentagonal na ugawanye katika tetrahedron.

2. Kuamua idadi ya wima, kando na nyuso: a) mchemraba; b) prism ya 7-gonal; V) n-piramidi ya makaa ya mawe.

3. Tambua aina ya prism ikiwa ina: a) vertices 10; b) mbavu 21; c) nyuso 5.

4. Nyuso za prism ya 4-gonal zinawezaje kupakwa rangi ili nyuso za karibu ( zenye makali ya kawaida) ziwe na rangi katika rangi tofauti? Ambayo nambari ndogo zaidi Utahitaji maua?

Chaguo la 2

1. Chora piramidi ya pentagonal na ugawanye katika tetrahedron.

2. Kuamua idadi ya wima, kando na nyuso: a) mstatili parallelepiped; b) piramidi ya pande 6; V) n- prism ya kaboni.

3. Kuamua aina ya piramidi ikiwa ina: a) vertices 5; b) mbavu 14; c) nyuso 9.

4. Nyuso za octahedron zinawezaje kupakwa rangi ili nyuso za jirani (kushiriki makali ya kawaida) zimepigwa rangi tofauti. Ni idadi gani ndogo ya rangi inayohitajika?

4. Kuiga polihedra

Chaguo 1

1. Chora nyavu kadhaa za mchemraba.

2. Chora takwimu inayojumuisha pembetatu nne za usawa, ambazo sio wavu wa tetrahedron ya kawaida.

3. Chora maendeleo ya piramidi ya kawaida ya quadrangular na rangi kwa njia ambayo wakati wa kuunganisha nyuso za karibu zina rangi tofauti. Ni idadi gani ndogo ya maua unayohitaji kuchukua?

4. Chora maendeleo ya parallelepiped ya mstatili na rangi kwa njia ambayo wakati wa kuunganisha nyuso za karibu zina rangi tofauti. Ni idadi gani ndogo ya maua unayohitaji kuchukua?

Chaguo la 2

1. Chora nyavu kadhaa za tetrahedron ya kawaida.

2. Chora mchoro unaojumuisha miraba sita ambayo si wavu wa mchemraba.

3. Chora maendeleo ya mchemraba na uifanye rangi kwa namna ambayo wakati wa kuunganisha nyuso za karibu zina rangi tofauti. Ni idadi gani ndogo ya maua unayohitaji kuchukua?

4. Chora maendeleo ya piramidi ya kawaida ya 6-gonal na rangi kwa namna ambayo wakati wa kuunganisha nyuso za karibu zina rangi tofauti. Ni idadi gani ndogo ya maua unayohitaji kuchukua?

5. Usambamba wa mistari katika nafasi

Chaguo 1

1. Andika katika piramidi ya kawaida ya 4-gonal SABCD jozi zote za kingo zinazofanana.

2. Katika ndege ya mistari miwili inayofanana a Na b kupewa point C, si mali ya mistari hii. Kupitia hatua C mstari wa moja kwa moja ulichorwa c. Mstari wa moja kwa moja unawezaje kuwekwa? c kuhusiana na mistari iliyonyooka a Na b.

3. Kupitia hatua ambayo si ya mstari fulani, chora mstari sambamba na huu.

4. Tafuta locus mistari inayokatiza mistari miwili iliyopewa sambamba.

Chaguo la 2

1. Andika jozi nne za kingo zinazofanana za mchemraba A...D 1.

2. Kutokana na mistari mitatu a,b Na Na. Je, mistari hii iliyonyooka inawezaje kuwekwa ili ndege iweze kuchorwa iliyo na mistari hii yote iliyonyooka?

3. Kutokana na mistari miwili sambamba a Na b. Thibitisha kuwa ndege yoyote inayokatiza mmoja wao pia itaingilia nyingine.

4. Tafuta eneo la mistari sambamba na mstari uliopeanwa na ukatie mstari mwingine unaokatiza wa kwanza.

6. Kuvuka mistari

Chaguo 1

1. Katika mchemraba A...D 1 andika kingo zinazovuka ukingo AB.

2. Andika jozi za kingo za kuvuka za piramidi ya 4-gonal SABCD.

3. Je, mistari ikoje kuhusiana na kila mmoja? a Na b katika Kielelezo 1? Thibitisha jibu lako.

4. Kutokana na mistari miwili ya skew a Na b na nukta ambayo si yao C. Tengeneza mstari wa moja kwa moja c, kupita kwa uhakika C na kukatiza mistari a Na b.

Chaguo la 2

1. Andika kingo zinazoingiliana na makali S.A. piramidi ya kawaida ya 4-gonal SABCD.

2. Andika kingo ambazo zinaingiliana na diagonal B 1D Kuba A...D 1.

c(Mchoro 1). Moja kwa moja a iko kwenye ndege A na inakatiza mstari c. Je, inawezekana kuchora mstari sambamba na mstari kwenye ndege b? a? Thibitisha jibu lako.

4. Je, kuna mistari miwili inayofanana, ambayo kila moja inakatiza mistari miwili iliyotolewa ya skew? Thibitisha jibu lako.

7. Usambamba wa mstari wa moja kwa moja na ndege

Chaguo 1

1. Andika kingo sambamba na ndege ya uso CC 1D 1D prism sahihi ABCDEFA 1B 1C 1D 1E 1F 1.

2. Moja kwa moja a sambamba na ndege a; moja kwa moja b hukatiza ndege a kwa uhakika B; moja kwa moja c, kukatiza mistari a Na b kwa mtiririko huo katika pointi E Na F, inakatiza ndege a kwa uhakika C a Na b?

3. Ndege a na b hupishana kwa mstari ulionyooka c. Nukta A ni ya ndege a, uhakika B- ndege b. Jenga: a) mstari wa moja kwa moja a, amelala katika ndege, akipitia hatua A na sambamba na ndege b; b) moja kwa moja b, amelala kwenye ndege ya b inayopita kwenye uhakika B na sambamba na ndege a. Je, mistari iliyonyooka itawekwaje kuhusiana na kila mmoja? a Na b?

4. Pointi A Na B ni ya nyuso za karibu za piramidi. Chora sehemu mbili sambamba kwa kila mmoja kupitia nukta hizi kwenye nyuso hizi.

Chaguo la 2

1. Andika ndege za nyuso zinazofanana na makali CC 1 yenye bomba la parallele A...D 1.

2. Moja kwa moja a sambamba na ndege a; moja kwa moja b Na c, kukatiza mstari a kwa mtiririko huo katika pointi B Na C, kati ya ndege a kwa mtiririko huo kwenye pointi D Na E. Fanya mchoro. Je, mistari iliyonyooka inawezaje kuwekwa kuhusiana na kila mmoja? a Na b?

3. Ndege a na b hupishana kwa mstari ulionyooka c. Moja kwa moja a iko kwenye ndege a. Thibitisha kwamba ikiwa: a) a hukatiza ndege b kwa uhakika A, Hiyo A ni ya mstari c; b) a ni sambamba na ndege b, basi ni sambamba na mstari c.

4. Pointi A Na B ni ya nyuso za karibu za prism. Chora sehemu mbili sambamba kwa kila mmoja kupitia nukta hizi kwenye nyuso hizi.

8. Usambamba wa ndege mbili

Chaguo 1

1. Andika ndege zinazofanana za parallelepiped A...D 1.

2. Je, taarifa hizo ni za kweli:

1) Kupitia hatua ambayo sio ya ndege fulani, ndege moja hupita sambamba na ile iliyotolewa.

2) Ikiwa mistari miwili iliyo kwenye ndege moja inafanana na mistari miwili iliyo kwenye ndege nyingine, basi ndege hizi zinafanana.

3) Kuna mistari mingi sana sambamba na ndege fulani na kupita sehemu isiyo ya ndege hii.

4) Ikiwa moja ya ndege mbili zilizopewa ni sawa na mistari miwili ya kukatiza iliyo kwenye ndege nyingine, basi ndege hizi zinafanana.

3. Thibitisha kwamba ndege mbili zinazofanana na ndege moja ya tatu zinafanana.

4. Sehemu AB Na CD uongo katika ndege sambamba a na b, kwa mtiririko huo (Mchoro 2). Je, mistari iliyonyooka inawezaje kuwekwa kuhusiana na kila mmoja? A.C. Na BD? Je, wanaweza kuwa sambamba?

Chaguo la 2

1. Katika piramidi ya triangular SABC chora ndege sambamba na msingi wake ABC.

2. Je, taarifa hizo ni za kweli:

1) Ikiwa mstari ulio kwenye ndege moja ni sawa na mstari ulio kwenye ndege nyingine, basi ndege hizi zinafanana.

2) Ikiwa ndege inaingiliana na ndege mbili zilizotolewa kwenye mistari sambamba, basi ndege hizi zinafanana.

3) Kuna ndege nyingi sana zinazofanana na mstari fulani na kupita kwenye sehemu isiyo ya mstari huu.

4) Ikiwa ndege mbili zinafanana na mstari huo huo, basi zinafanana.

3. Thibitisha kwamba ikiwa ndege inapita kati ya ndege mbili zinazofanana, basi pia inaingilia nyingine.

4. Sehemu AB Na CD uongo katika ndege sambamba a na b, kwa mtiririko huo (Mchoro 3). Je, mistari iliyonyooka inawezaje kuwekwa kuhusiana na kila mmoja? AD Na B.C.? Je, wanaweza kukatiza?

9. Vekta katika nafasi

Chaguo 1

1. Kwa vector iliyotolewa jenga vekta: a) -; b) 2; V) -.

2. Je, ni vekta ngapi zinazofafanuliwa na jozi zote zinazowezekana za pointi zinazoundwa na wima ya piramidi ya kawaida ya quadrangular?

ABCD .

4. Kupewa parallelepiped A...D 1..gif" width="128" height="29 src=">.gif" width="15" height="19 src="> tengeneza vekta: a) 3; b) -2; V) .

2. Je, ni vekta ngapi zinazofafanuliwa na jozi zote zinazowezekana za pointi zinazoundwa na vipeo vya prism ya triangular?

3. Chora tetrahedron ya kawaida ABCD na kuteka vector: a) ; b); V) .

4. Kupewa parallelepiped A...D 1..gif" width="133" height="29 src=">.gif" width="15" height="17 src="> ili kupata vekta katika mwelekeo sawa na na ||=1.

2. Kutokana na vekta mbili zilizoelekezwa kinyume na , na || > ||..gif" width="15" height="19 src=">.

3. Kupewa tetrahedron ABCD. Andika jozi tatu za vipeo vyake vinavyofafanua vekta za coplanar.

4. Kupewa mchemraba A...D 1. Andika mara tatu ya vekta zisizo za coplanar zenye mwanzo na kuishia kwenye vipeo vyake.

Chaguo la 2

1..gif" width="15" height="21">, iliyoelekezwa kinyume na na ||=2.

2..gif" width="15" height="21 src=">.gif" width="15" height="21 src=">|. Pata mwelekeo na urefu wa vekta +.

3. Kupewa tetrahedron ABCD. Andika jozi tatu za vipeo vyake vinavyofafanua vekta zisizo za coplanar.

4. Kupewa mchemraba A...D 1. Andika mara tatu ya vekta za coplanar zenye mwanzo na kuishia kwenye vipeo vyake.

11. Uhamisho sambamba

Chaguo 1

1. Jenga takwimu inayogeuka uhamisho sambamba moja kwa moja a kwa vekta ikiwa: a) E ni mali a, F si mali a; b) pointi E Na F si mali a.

2. Taja tafsiri inayofanana, ambayo ni katikati ya sehemu G.H. inatafsiri kwa hatua fulani M.

3. Jenga takwimu ambayo hupatikana kutoka kwa mraba ABCD uhamishaji sambamba kwa vekta: a) https://pandia.ru/text/78/221/images/image025_45.gif" width="28" height="24 src=">.

4. Jenga kielelezo ambacho kinapatikana kutoka kwa tetrahedron ABCD uhamisho sambamba kwa vector.

Chaguo la 2

1. Tengeneza kielelezo ambacho kinapatikana kwa tafsiri ya sambamba ya mduara na katikati katika hatua O kwa vekta https://pandia.ru/text/78/221/images/image024_45.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24"> .

12. Kubuni sambamba

Chaguo 1

1. Ni pointi ngapi zitapatikana kwa kubuni sambamba mbili pointi mbalimbali nafasi? Tengeneza michoro inayofaa na uhalalishaji.

2. Orodhesha sifa za mstatili ambazo zimehifadhiwa wakati wa kubuni sambamba.

3. Je, mistari miwili iliyonyooka inapaswa kuwekwaje ili ionekane kwenye ndege katika mstari ulionyooka na sehemu isiyo ya mstari huu mnyoofu?

4. Mistari sambamba a Na b A,B Na C zimeonyeshwa kwenye Mchoro 4. Chora nukta ya nne D. Thibitisha jibu lako.

Chaguo la 2

1. Utapata pointi ngapi unapotengeneza pointi tatu tofauti katika nafasi? Tengeneza michoro inayofaa na uhalalishaji.

2. Orodhesha mali ya rhombus ambayo yanahifadhiwa wakati wa kubuni sambamba.

3. Je, mstari na ncha zinapaswa kupatikana vipi ili zionekane kwenye ndege kuwa mstari na sehemu inayomilikiwa na mstari huu?

4. Mistari inayokatiza a Na b kupitisha ndege sambamba a na b kwa pointi nne. Watatu kati yao A,B Na C zimeonyeshwa kwenye Mchoro 5. Chora nukta ya nne D. Thibitisha jibu lako.

13. Makadirio ya sambamba ya takwimu za ndege

Chaguo 1

1. Chora makadirio ya sambamba ya pembetatu ya isosceles ya kulia iliyolala kwenye ndege inayofanana na ndege ya makadirio.

2. Chora makadirio ya sambamba ya pembetatu ya usawa ABC na juu yake jenga picha za perpendiculars zilizoshuka kutoka kwa uhakika M- katikati ya upande AB kwa pande A.C. Na B.C..

ABCDEF, ikichukua mstatili kama sura halisi ABDE.

4. Chora makadirio ya sambamba ya pembetatu ya usawa ABC na ujenge juu yake picha ya kipenyo kilichochorwa kutoka kwa uhakika K- katikati ya sehemu B.O.(O- katikati ya pembetatu) kwa upande AB.

Chaguo la 2

1. Chora makadirio ya sambamba ya pembetatu ya usawa iliyo kwenye ndege inayofanana na ndege ya makadirio.

2. Chora makadirio ya sambamba ya mraba ABCD na juu yake jenga picha ya perpendiculars inayotolewa kutoka kwa uhakika E- katikati ya upande B.C. kwa mistari iliyonyooka BD Na AC.

3. Chora makadirio sambamba hexagons ya kawaida ABCDEF, ikichukua kama kielelezo asilia pembetatu ya usawa ACE.

4. Chora makadirio ya sambamba ya mstatili ABCD, gani AD= 2AB. Tengeneza taswira ya kipenyo kilichoshuka kutoka kwenye kipeo C kwa ulalo BD.

14. Picha ya takwimu za anga

Chaguo 1

1. Chora piramidi ya kawaida ya quadrangular na urefu wake.

2. Chora mchemraba ambao nyuso mbili zinafanana na ndege ya kubuni.

3. Kielelezo 6 kinaonyesha makadirio sambamba Kuba A...D

4. Kupewa tetrahedron ABCD. Eneo la uso wake ADC sawa na S BDC kwa ndege ADC katika mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja AB.

Chaguo la 2

1. Chora sahihi piramidi ya pembe tatu na urefu wake.

2. Chora mchemraba ambao nyuso hazifanani na ndege ya kubuni.

3. Mchoro wa 7 unaonyesha makadirio ya sambamba ya mchemraba A...D 1. Je, mchemraba ikoje kuhusiana na ndege ya kubuni?

4. Kupewa tetrahedron ABCD. Eneo la uso wake ABD sawa na Q. Tafuta eneo la makadirio ya uso wake BDC kwa ndege A.D.B. katika mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja SENTIMITA., Wapi M- katikati ya mbavu AB.

15. Sehemu za polihedra

Chaguo 1

1. Katika prism ya hexagonal A...F 1 (Mchoro 8) jenga hatua ya makutano ya mstari PQ na ndege ABC, ambapo pointi Q Na P ni mali ya kingo za nyuma za prism mtawalia BB 1 na DD 1.

2. Upande wa mbavu prism ya quadrangular A...D 1 pointi tatu zimetolewa K,L,M(Mchoro 9). Tengeneza mstari wa makutano ya ndege KLM na ndege ABC.

3. Jenga sehemu ya mchemraba na ndege inayopitia pointi X,Y,Z A.D.A.A. 1, BB 1 na vile vile AX:XD= 1:2, A 1Y:YA= 2:1, B 1Z:ZB = 1:2.

4. Katika piramidi sahihi SABCD jenga sehemu inayopita kando ya msingi AD na kipindi M, mali ya makali ya upande S.B..

Chaguo la 2

1. Upande wa mbavu BB 1 na E.E. 1 mche ABCDEA 1B 1C 1D 1E Pointi 1 zimetolewa ipasavyo F Na G(Mchoro 10). Tengeneza sehemu ya makutano ya mstari FG na ndege ABC.

2. Kupewa mchemraba A...D 1. Kwenye mbavu zake A.A. 1, CC 1 na DD 1 pointi tatu zinatolewa kwa mtiririko huo X,Y,Z(Mchoro 11). Tengeneza mstari wa makutano ya ndege XYZ Na ABC.

3. Katika prism ya kawaida ya triangular A...C 1 tengeneza sehemu inayopitia alama K,L Na M, mali kwa mtiririko wa kingo A.A. 1, A.C. Na BB 1 na vile vile: AK =K.A. 1; AL:LC= 1:2 na BM =M.B. 1.

4. Katika piramidi sahihi SABCD jenga sehemu inayopita kwenye mlalo A.C. msingi na sambamba na makali ya upande SD.

16. Pembe kati ya mistari iliyonyooka kwenye nafasi. Perpendicularity ya mistari

Chaguo 1

1. Katika mchemraba A...D AB Na BB 1; b) BD Na BB 1; V) AB 1 na CC 1; G) AB 1 na CD 1.

A...C 1 sehemu CD perpendicular kwa makali AB CD Na A.A. 1; b) CD Na A 1B 1.

3. Kwa njia sahihi piramidi ya quadrangular SABCD na kingo sawa pata pembe kati ya diagonal A.C. msingi na makali ya upande S.C..

4. Pata pembe kati ya kando ya kuvuka ya tetrahedron ya kawaida.

Chaguo la 2

1. Katika mchemraba A...D 1 pata pembe kati ya mistari: a) B.C. Na BB 1; b) A 1C 1 na AD; V) BB 1 na BD; G) A 1D Na B.C. 1.

2. Katika prism ya kawaida ya triangular A...C 1 A.M.- wastani wa msingi ABC. Tafuta pembe kati ya mistari: a) A.M. Na C 1B 1; b) A.M. Na A 1C 1.

3. Katika tetrahedron ya kawaida ABCD nukta M- katikati ya mbavu C.B.. Tafuta pembe kati ya mistari A.M. Na DC.

4. Tafuta pembe kati ya kingo zisizo na kati za piramidi ya kawaida ya pembetatu.

17. Perpendicularity ya mstari na ndege

Chaguo 1

1. Thibitisha kwamba mstari perpendicular kwa ndege, inakatiza ndege hii.

2. Kupitia kituo hicho O mraba ABCD mstari wa moja kwa moja ulichorwa sawa, perpendicular kwa ndege ya mraba huu. Thibitisha kuwa mstari huo A.K. perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja BD.

3. Tafuta eneo la pointi zinazomilikiwa na mistari inayopita kwenye sehemu uliyopewa na inayoelekea kwenye mstari fulani.

4. Uhakika M ni ya upande wa uso ABD piramidi ya pembetatu ABCD, ambamo AB =BD Na AC =CD. Tengeneza sehemu ya piramidi hii na ndege inayopita mahali hapo M na perpendicular kwa mstari AD.

Chaguo la 2

1. Moja kwa moja a, perpendicular to plane a, inakatiza ndege hii kwa uhakika A. Thibitisha kuwa mstari huo b, kupita kwa uhakika A na perpendicular kwa mstari a, iko kwenye ndege a.

2. Kupitia hatua M- katikati ya upande AB pembetatu ya usawa ABC mstari wa moja kwa moja ulichorwa M.H., perpendicular kwa ndege ya pembetatu hii. Thibitisha perpendicularity ya mistari AB Na HC.

3. Kutokana na mstari wa moja kwa moja a na nukta ambayo si yake A. Tafuta eneo la mistari inayopita kwenye sehemu moja A na perpendicular kwa mstari a.

4. Katika parallelepiped ya mstatili A...D 1 tengeneza sehemu inayopita kwenye nukta K, hatua ya ndani sehemu ya diagonal A.A. 1C 1C, na perpendicular kwa mstari BB 1.

18. Perpendicular na oblique

Chaguo 1

1. Kupewa ndege a. Kutoka kwa uhakika A wawili wameelekea AB= 20 cm na A.C.= sentimita 15. Makadirio ya ndege ya kwanza iliyoelekea kwenye ndege hii ni sentimita 16. Tafuta makadirio ya moja ya pili inayoelekea.

2. Kutoka kwa uhakika M, si mali ya ndege g, miteremko sawa inayoeleka huvutwa kwake MA,M.B. Na M.C.. Thibitisha kuwa misingi ya wale waliotega ni ya duara moja. Tafuta kituo chake.

3. Kutoka kwa uhakika B ndege mbili zilizo sawa za 2 cm zinavutwa kwenye ndege b. Pembe kati yao ni 600, na kati ya makadirio yao ni 900. Pata perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika. B kwa ndege b.

4. Kutokana na pembetatu na pande 13 cm, 14 cm na cm 15. Point M, ambayo sio ya ndege ya pembetatu hii, iko umbali wa cm 5 kutoka kwa pande za pembetatu. Tafuta perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika. M kwa ndege ya pembetatu iliyotolewa.

Chaguo la 2

1. Kutoka kwa uhakika A inayotolewa kwa ndege ya kutega AB= 9 cm na perpendicular A.O.= 6 cm. Tafuta makadirio ya hii perpendicular kwenye iliyoelekezwa iliyopewa.

2. Tafuta eneo la pointi katika nafasi ya usawa kutoka kwa pointi zote kwenye duara fulani.

3. Kutoka kwa hatua fulani, miteremko miwili ya mwelekeo sawa hutolewa kwa ndege iliyotolewa, na kutengeneza angle ya 600 kati yao wenyewe. Pata pembe kati ya kila oblique na makadirio yake.

4. Uhakika M hutolewa kutoka kwa kila vertex ya pembetatu ya kawaida kwa cm, na kutoka kila upande kwa cm 2. Pata perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika. M kwa ndege ya pembetatu.

19. Pembe kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege

Chaguo 1

1. Katika piramidi, mbavu za upande zimeelekezwa kwa usawa kwenye ndege ya msingi. Je, ni wakati gani sehemu ya juu ya piramidi inakadiriwa?

2. Katika mchemraba A...D A.A. 1 na ndege AB 1D 1.

3. Mstari ulioelekezwa huchorwa kwa ndege a M.H. (H ni mali ya ndege a). Thibitisha kwamba ikiwa makadirio ni oblique M.H. huunda pembe sawa na pembe za kulia A.H. Na B.H., amelala katika ndege a, kisha kutega M.H. huunda pembe sawa nao.

4. Piga mstari wa moja kwa moja kwa ndege iliyotolewa kupitia hatua fulani juu yake, ukitengenezea angle ya 900 na ndege.

Chaguo la 2

1. Thibitisha kuwa katika piramidi ya kawaida kingo za upande zimeelekezwa kwa ndege ya msingi.

2. Katika mchemraba A...D 1 pata kosini ya pembe kati ya ukingo A 1D 1 na ndege AB 1D 1.

3. Mstari ulioelekezwa huchorwa kwenye ndege b B.P. (P ni ya ndege b), ambayo huunda pembe sawa na pembe za kulia P.E. Na PF, amelala kwenye ndege b. Thibitisha kuwa pembe zinazoundwa na mistari iliyonyooka P.E. Na PF na makadirio ya oblique B.P. kwenye ndege b ni sawa.

4. Kupitia hatua isiyo ya ndege fulani, chora mstari wa moja kwa moja unaofanya pembe ya 900 na ndege.

20. Umbali kati ya pointi, mistari na ndege

Chaguo 1

1. Katika pembetatu ya kulia ABC(DIV_ADBLOCK16">

4. Katika mchemraba A...D 1 na ubavu a AB Na B 1C 1.

Chaguo la 2

1. Miguu ya pembetatu ya kulia ABC(C= 900) ni sawa na cm 15 na cm 20. Kutoka juu C perpendicular inatolewa kwa ndege ya pembetatu CD sawa na cm 5. Pata umbali kutoka kwa uhakika D kwa hypotenuse AB.

2. Katika mchemraba wa kitengo A...D 1 pata umbali kati ya kipeo D 1 na: a) juu B; b) makali AB; c) makali BB 1C 1C.

3. Kutoka kwa uhakika K perpendicular ya urefu d na mbili zinazoelekea hutolewa, pembe ambazo kwa perpendicular ni 300. Pembe kati ya wale wanaoelekea ni 600. Pata umbali kati ya besi za wale wanaoelekea.

4. Katika mchemraba A...D 1 na ubavu a pata umbali kati ya kingo za kuvuka DC Na BB 1.

21. Pembe ya dihedral

Chaguo 1

a. Tafuta makadirio ya orthogonal hii inaelekea kwenye ndege ikiwa pembe kati ya iliyoelekezwa na ndege ni 300.

2. Pointi mbili zinachukuliwa kwenye uso mmoja wa angle ya dihedral A Na B. Perpendiculars zimeachwa kutoka kwao A.A. 1, BB 1 kwa upande mwingine na A.A. 2, BB 2 kwa kila makali ya pembe ya dihedral. Tafuta BB 2 ikiwa A.A. 1 = 6 cm, BB 1 = 3 cm, A.A. 2 = 24 cm.

3. Mbili mstatili sawa kuwa na upande wa pamoja na ndege zao huunda angle ya 450. Pata uwiano wa maeneo ya takwimu mbili ambazo makadirio ya orthogonal ya upande wa mstatili mmoja hugawanya nyingine.

4. Thibitisha kwamba perpendiculars inayotolewa kutoka kwa pointi za mstari uliopewa kwa ndege iko kwenye ndege moja na eneo la kijiometri la besi za perpendiculars hizi ni mstari wa makutano ya ndege hizi.

Chaguo la 2

1. Mstari wa kutega unaotolewa kwa ndege ni sawa na a. Tafuta makadirio ya othogonal ya ndege hii inayoelea kwenye ndege ikiwa pembe kati ya iliyoelekezwa na ndege ni 600.

2. Pointi mbili zinachukuliwa kwenye uso mmoja wa angle ya dihedral, iliyopangwa 9 cm na 12 cm kutoka kwa makali yake. Umbali kutoka kwa hatua ya kwanza hadi uso mwingine wa angle ya dihedral ni cm 20. Tafuta umbali kutoka kwa uso huu hadi hatua ya pili.

3. Mbili pembetatu ya isosceles kuwa na msingi wa pamoja, na ndege zao huunda angle ya 600. Msingi wa kawaida ni 16 cm, upande pembetatu moja ni 17 cm, na pande za nyingine ni perpendicular. Tafuta umbali kati ya wima ya pembetatu iliyo kinyume na msingi wa kawaida.

4. Thibitisha kwamba hatua ya makutano ya makadirio ya orthogonal ya mistari miwili kwenye ndege ni makadirio ya orthogonal ya hatua ya makutano ya mistari hii kwenye ndege moja.

22. Perpendicularity ya ndege

Chaguo 1

1. Kupewa mchemraba A...D 1. Thibitisha upenyo wa ndege: a) ABD Na DCC 1; b) AB 1C 1 na ABB 1.

2. Kupitia mstari uliopewa umelazwa kwenye ndege fulani, chora ndege inayoelekea kwenye ndege hii.

Katika piramidi ya kawaida ya triangular SABC na juu S pembe kati ya makali ya upande na
ndege ya msingi ni sawa na 60°, upande wa msingi ni sawa 1 , SH- urefu wa piramidi.
Pata eneo la sehemu ya piramidi kwa ndege inayopita kwenye uhakika N
sambamba na mbavu S.A. Na B.C..

Msingi wa urefu wa piramidi ya kawaida ni katikati ya pembetatu ABC. Kwanza tutafanya
kupitia uhakika N sehemu ya mstari RT, sambamba na ukingo Jua. Alama P na T ni za sehemu hiyo.

Katika ndege ya uso ACS kupitia uhakika T wacha tuchore sehemu TK sambamba na ukingo AS.

Katika ndege ya uso ABC kupitia uhakika R wacha tuchore sehemu PL. sambamba na ukingo AS.

Kuunganisha nukta KWA Na L, tunapata sehemu inayotakiwa. Hebu tuthibitishe kwamba hii ni mstatili.

Sehemu TK Na PL. si tu sambamba (kila moja ni sambamba AS), lakini pia ni sawa.

Kwa hivyo ni pembe nne KLPT- parallelogram kwa misingi ya parallelogram.
Mbali na hilo, TK ⊥ TR, kwa sababu AS⊥CB, na pande TK Na TR sambamba AS Na C.B..
Hebu tuthibitishe hilo AS⊥CB. Unaweza kutumia nadharia tatu za perpendicular.
AS-enye mwelekeo, AD makadirio ya oblique hii kwenye ABC, AD⊥CB, Maana, AS⊥CB.

Ili kupata eneo la mstatili, unahitaji kupata na kuzidisha pande zake.
Kumbuka kwamba upande TR ni theluthi mbili ya upande wa msingi KK = 1.
Upande wa pili wa mstatili TK theluthi moja ya ubavu wa upande AS.
Tunaweza kupata makali ya upande kutoka kwa pembetatu SAH, ambayo ∠SAH = 60 °
(pembe kati ya makali ya upande na msingi) na ∠ASH = 30 °, ambayo ina maana AS = 2 · AN.

Tafuta urefu wa sehemu AN, kujua upande wa msingi, unaweza kufanya hivyo kwa njia tofauti.
Ni bora kufanya bila fomula na kuzingatia pembetatu ya kulia ANF.

Hebu turudi kwenye pembetatu SAH na tutapata ubavu wa upande piramidi:

Inabakia kuzidisha pande zilizopatikana na kupata eneo la sehemu ya msalaba.

§ 2. KAZI YA KUJITEGEMEA

1. Dhana za msingi na axioms ya stereometry

Kazi ya kujitegemea N 1

Chaguo 1

1. Chora mstari wa moja kwa moja a na nukta A, B Na C, sio wa mstari huu. Andika maelezo muhimu.

2. Chora ndege b, pointi E, F, mali yake, kipindi G, ambayo si yake. Andika maelezo muhimu.

3. Chora mstari wa moja kwa moja a, akiwa amelala kwenye ndege a. Fanya kiingilio kinachohitajika.

4. Chora ndege mbili zinazokatiza a na b. Fanya kiingilio kinachohitajika.

Chaguo la 2

1. Chora mbili zinazopishana kwa uhakika O moja kwa moja a Na b na nukta A, B, C, na uhakika A ni ya mstari a, B ni ya mstari b, nukta C sio ya mistari iliyotolewa.

2. Chora ndege g na pointi zisizo zake K, L na uhakika ni mali yake M. Andika maelezo muhimu.

3. Chora mstari wa moja kwa moja b, ikikatiza ndege b kwenye hatua O. Fanya kiingilio kinachohitajika.

4. Chora mistari mitatu inayokatiza a ndege a, b na g. Fanya kiingilio kinachohitajika.

Kazi ya kujitegemea N 2

Chaguo 1

1) Pembe zilizo chini ya pembetatu ya isosceles ni sawa.

2) Mstari mmoja wa moja kwa moja hupitia pointi mbili katika nafasi.

3) Pembe za wima ni sawa.

4) Sambamba ni pembe nne ambayo pande zake kinyume ni sambamba katika jozi.

2. Tambua nafasi ya jamaa ya ndege a na b ikiwa zina pembetatu ABC. Thibitisha jibu lako.

3. Ni ndege ngapi zinaweza kupita pointi tatu?

4. Tafuta idadi kubwa zaidi ya mistari inayopita kwenye jozi tofauti za pointi nne.

Chaguo la 2

1. Kutoka kwa sentensi zifuatazo, onyesha axioms, ufafanuzi, nadharia:

1) Ikiwa ndege mbili zina hatua ya kawaida, basi huingiliana kwa mstari wa moja kwa moja.

2) Mstari wa kati wa pembetatu ni sehemu inayounganisha katikati ya pande zake mbili.

3) Kwa mistari ya moja kwa moja na ndege katika nafasi, axioms ya planimetry ni kuridhika.

4) Diagonals ya parallelogram imegawanywa katika nusu na hatua ya makutano.

2. Tambua nafasi ya jamaa ya ndege mbili b na g ikiwa zina pointi B Na C. Thibitisha jibu lako.

3. Tafuta idadi kubwa zaidi ya mistari inayopita kwenye jozi tofauti za pointi 5.

4. Tafuta idadi kubwa zaidi ya ndege zinazopita katika sehemu tatu tofauti za pointi nne.

2. Corollaries kutoka kwa axioms ya stereometry

Chaguo 1

1. Katika ndege ya mistari miwili inayoingiliana a Na b hatua iliyotolewa C, si mali ya mistari hii. Moja kwa moja c, amelala katika ndege fulani, hupitia hatua C. Mstari wa moja kwa moja unawezaje kuwekwa? c kuhusiana na mistari hii iliyonyooka?

2. Kupewa pointi tatu ambazo si za mstari mmoja. Thibitisha kuwa mistari yote inayokatiza sehemu mbili kati ya tatu zinazounganisha nukta hizi ziko kwenye ndege moja.

3. Ndege hutolewa kwa mstari wa moja kwa moja c na hatua isiyokuwa yake C a, tofauti na mstari uliopewa na sio kupitia hatua iliyotolewa.

4. Ndege inafafanuliwa kwa njia mbili za kuingiliana kwa uhakika O moja kwa moja a Na b. Chora mstari ulionyooka c, ambayo huingiliana na mistari hii na haina uongo katika ndege iliyotolewa.

Chaguo la 2

1. Moja kwa moja d, amelala katika ndege ya pembetatu ABC, huvuka upande wake AB. Je, inaweza kuwa nafasi gani ya jamaa ya mistari? d Na B.C.?

2. Mistari miwili sambamba imechorwa katika ndege a a Na b. Thibitisha kuwa mistari yote inayokatiza mistari hii iko kwenye ndege moja.

3. Ndege inafafanuliwa kwa njia mbili za kuingiliana kwa uhakika O moja kwa moja m Na n. Tengeneza mstari wa moja kwa moja kwenye ndege hii k, tofauti na mistari iliyotolewa na si kupita kwa uhakika O.

4. Ndege inaelezwa na pointi tatu D, E, F, si ya mstari mmoja. Chora mstari ulionyooka a, ambayo huingilia pande DE Na DF pembetatu DEF na sio uongo katika ndege hii.

3. Takwimu za anga

Chaguo 1

1. Chora prism ya pentagonal na ugawanye katika tetrahedron.

2. Kuamua idadi ya wima, kando na nyuso: a) mchemraba; b) prism ya 7-gonal; V) n-piramidi ya makaa ya mawe.

3. Tambua aina ya prism ikiwa ina: a) vertices 10; b) mbavu 21; c) nyuso 5.

4. Nyuso za prism 4-gonal zinawezaje kupakwa rangi ili nyuso za jirani (kushiriki makali ya kawaida) zimepigwa rangi tofauti? Ni idadi gani ndogo ya rangi inayohitajika?

Chaguo la 2

1. Chora piramidi ya pentagonal na ugawanye katika tetrahedron.

2. Kuamua idadi ya wima, kando na nyuso: a) mstatili parallelepiped; b) piramidi ya pande 6; V) n- prism ya kaboni.

3. Kuamua aina ya piramidi ikiwa ina: a) vertices 5; b) mbavu 14; c) nyuso 9.

4. Nyuso za octahedron zinawezaje kupakwa rangi ili nyuso za jirani (kushiriki makali ya kawaida) zimepigwa rangi tofauti. Ni idadi gani ndogo ya rangi inayohitajika?

4. Kuiga polihedra

Chaguo 1

1. Chora nyavu kadhaa za mchemraba.

2. Chora takwimu inayojumuisha pembetatu nne za usawa, ambazo sio wavu wa tetrahedron ya kawaida.

3. Chora maendeleo ya piramidi ya kawaida ya quadrangular na rangi kwa njia ambayo wakati wa kuunganisha nyuso za karibu zina rangi tofauti. Ni idadi gani ndogo ya maua unayohitaji kuchukua?

4. Chora maendeleo ya parallelepiped ya mstatili na rangi kwa njia ambayo wakati wa kuunganisha nyuso za karibu zina rangi tofauti. Ni idadi gani ndogo ya maua unayohitaji kuchukua?

Chaguo la 2

1. Chora nyavu kadhaa za tetrahedron ya kawaida.

2. Chora mchoro unaojumuisha miraba sita ambayo si wavu wa mchemraba.

3. Chora maendeleo ya mchemraba na uifanye rangi kwa namna ambayo wakati wa kuunganisha nyuso za karibu zina rangi tofauti. Ni idadi gani ndogo ya maua unayohitaji kuchukua?

4. Chora maendeleo ya piramidi ya kawaida ya 6-gonal na rangi kwa namna ambayo wakati wa kuunganisha nyuso za karibu zina rangi tofauti. Ni idadi gani ndogo ya maua unayohitaji kuchukua?

5. Usambamba wa mistari katika nafasi

Chaguo 1

1. Andika katika piramidi ya kawaida ya 4-gonal SABCD jozi zote za kingo zinazofanana.

2. Katika ndege ya mistari miwili inayofanana a Na b kupewa point C, si mali ya mistari hii. Kupitia hatua C mstari wa moja kwa moja ulichorwa c. Mstari wa moja kwa moja unawezaje kuwekwa? c kuhusiana na mistari iliyonyooka a Na b.

3. Kupitia hatua ambayo si ya mstari fulani, chora mstari sambamba na huu.

4. Tafuta eneo la mistari inayokatiza mistari miwili inayolingana.

Chaguo la 2

1. Andika jozi nne za kingo zinazofanana za mchemraba A… D 1 .

2. Kutokana na mistari mitatu a, b Na Na. Je, mistari hii iliyonyooka inawezaje kuwekwa ili ndege iweze kuchorwa iliyo na mistari hii yote iliyonyooka?

3. Kutokana na mistari miwili sambamba a Na b. Thibitisha kuwa ndege yoyote inayokatiza mmoja wao pia itaingilia nyingine.

4. Tafuta eneo la mistari sambamba na mstari uliopeanwa na ukatie mstari mwingine unaokatiza wa kwanza.

6. Kuvuka mistari

Chaguo 1

1. Katika mchemraba A… D 1 andika kingo zinazovuka ukingo AB.

2. Andika jozi za kingo za kuvuka za piramidi ya 4-gonal SABCD.

3. Je, mistari ikoje kuhusiana na kila mmoja? a Na b katika Kielelezo 1? Thibitisha jibu lako.

4. Kutokana na mistari miwili ya skew a Na b na nukta ambayo si yao C. Tengeneza mstari wa moja kwa moja c, kupita kwa uhakika C na kukatiza mistari a Na b.

Chaguo la 2

1. Andika kingo zinazoingiliana na makali S.A. piramidi ya kawaida ya 4-gonal SABCD.

2. Andika kingo ambazo zinaingiliana na diagonal B 1 D Kuba A...D 1 .

c(Mchoro 1). Moja kwa moja a iko kwenye ndege A na inakatiza mstari c. Je, inawezekana kuchora mstari sambamba na mstari kwenye ndege b? a? Thibitisha jibu lako.

4. Je, kuna mistari miwili inayofanana, ambayo kila moja inakatiza mistari miwili iliyotolewa ya skew? Thibitisha jibu lako.

7. Usambamba wa mstari wa moja kwa moja na ndege

Chaguo 1

1. Andika kingo sambamba na ndege ya uso CC 1 D 1 D prism sahihi ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 .

2. Moja kwa moja a sambamba na ndege a; moja kwa moja b hukatiza ndege a kwa uhakika B; moja kwa moja c, kukatiza mistari a Na b kwa mtiririko huo katika pointi E Na F, inakatiza ndege a kwa uhakika C. Fanya mchoro. Je, mistari iliyonyooka inawezaje kuwekwa kuhusiana na kila mmoja? a Na b?

3. Ndege a na b hupishana kwa mstari ulionyooka c. Nukta A ni ya ndege a, uhakika B- ndege b. Jenga: a) mstari wa moja kwa moja a, amelala katika ndege, akipitia hatua A na sambamba na ndege b; b) moja kwa moja b, amelala kwenye ndege ya b inayopita kwenye uhakika B na sambamba na ndege a. Je, mistari iliyonyooka itawekwaje kuhusiana na kila mmoja? a Na b?

4. Pointi A Na B ni ya nyuso za karibu za piramidi. Chora sehemu mbili sambamba kwa kila mmoja kupitia nukta hizi kwenye nyuso hizi.

Chaguo la 2

1. Andika ndege za nyuso zinazofanana na makali CC 1 yenye bomba la parallele A… D 1 .

2. Moja kwa moja a sambamba na ndege a; moja kwa moja b Na c, kukatiza mstari a kwa mtiririko huo katika pointi B Na C, kati ya ndege a kwa mtiririko huo kwenye pointi D Na E. Fanya mchoro. Je, mistari iliyonyooka inawezaje kuwekwa kuhusiana na kila mmoja? a Na b?

3. Ndege a na b hupishana kwa mstari ulionyooka c. Moja kwa moja a iko kwenye ndege a. Thibitisha kwamba ikiwa: a) a hukatiza ndege b kwa uhakika A, Hiyo A ni ya mstari c; b) a ni sambamba na ndege b, basi ni sambamba na mstari c.

4. Pointi A Na B ni ya nyuso za karibu za prism. Chora sehemu mbili sambamba kwa kila mmoja kupitia nukta hizi kwenye nyuso hizi.

8. Usambamba wa ndege mbili

Chaguo 1

1. Andika ndege zinazofanana za parallelepiped A… D 1 .

2. Je, taarifa hizo ni za kweli:

1) Kupitia hatua ambayo sio ya ndege fulani, ndege moja hupita sambamba na ile iliyotolewa.

2) Ikiwa mistari miwili iliyo kwenye ndege moja inafanana na mistari miwili iliyo kwenye ndege nyingine, basi ndege hizi zinafanana.

3) Kuna mistari mingi sana sambamba na ndege fulani na kupita sehemu isiyo ya ndege hii.

4) Ikiwa moja ya ndege mbili zilizopewa ni sawa na mistari miwili ya kukatiza iliyo kwenye ndege nyingine, basi ndege hizi zinafanana.

3. Thibitisha kwamba ndege mbili zinazofanana na ndege moja ya tatu zinafanana.

4. Sehemu AB Na CD uongo katika ndege sambamba a na b, kwa mtiririko huo (Mchoro 2). Je, mistari iliyonyooka inawezaje kuwekwa kuhusiana na kila mmoja? A.C. Na BD? Je, wanaweza kuwa sambamba?

Chaguo la 2

1. Katika piramidi ya triangular SABC chora ndege sambamba na msingi wake ABC.

2. Je, taarifa hizo ni za kweli:

1) Ikiwa mstari ulio kwenye ndege moja ni sawa na mstari ulio kwenye ndege nyingine, basi ndege hizi zinafanana.

2) Ikiwa ndege inaingiliana na ndege mbili zilizotolewa kwenye mistari sambamba, basi ndege hizi zinafanana.

3) Kuna ndege nyingi sana zinazofanana na mstari fulani na kupita kwenye sehemu isiyo ya mstari huu.

4) Ikiwa ndege mbili zinafanana na mstari huo huo, basi zinafanana.

3. Thibitisha kwamba ikiwa ndege inapita kati ya ndege mbili zinazofanana, basi pia inaingilia nyingine.

4. Sehemu AB Na CD uongo katika ndege sambamba a na b, kwa mtiririko huo (Mchoro 3). Je, mistari iliyonyooka inawezaje kuwekwa kuhusiana na kila mmoja? AD Na B.C.? Je, wanaweza kukatiza?

9. Vekta katika nafasi

Chaguo 1

1. Kwa vector iliyotolewa
jenga vekta: a) -; b) 2; V) -.

2. Je, ni vekta ngapi zinazofafanuliwa na jozi zote zinazowezekana za pointi zinazoundwa na wima ya piramidi ya kawaida ya quadrangular?

ABCD na chora vekta: a)
; b)
; V)
.

4. Kupewa parallelepiped A… D
; b)
; V)
.

Chaguo la 2

1. Kwa vector iliyotolewa jenga vectors: a) 3; b) -2; V) .

2. Je, ni vekta ngapi zinazofafanuliwa na jozi zote zinazowezekana za pointi zinazoundwa na vipeo vya prism ya triangular?

3. Chora tetrahedron ya kawaida ABCD na chora vekta: a)
; b); V)
.

4. Kupewa parallelepiped A… D 1 . Tafuta jumla ya vekta: a)
; b); V) .

10. Collinear na vectors coplanar

Chaguo 1

kupata vector , iliyoelekezwa sawa na na | |=1.

2. Kutokana na vekta mbili zilizoelekezwa kinyume na , na | | > | |. Pata mwelekeo na urefu wa vekta +.

3. Kupewa tetrahedron ABCD. Andika jozi tatu za vipeo vyake vinavyofafanua vekta za coplanar.

4. Kupewa mchemraba A… D 1 . Andika sehemu tatu za vekta zisizo za coplanar zenye mwanzo na kuishia kwenye vipeo vyake.

Chaguo la 2

1. Vekta isiyo ya sifuri inapaswa kuzidishwa kwa nambari gani? kupata vector , iliyoelekezwa kinyume na na | |=2.

2. Kutokana na vekta mbili zilizoelekezwa kinyume na , na | | |. Pata mwelekeo na urefu wa vekta +.

3. Kupewa tetrahedron ABCD. Andika jozi tatu za vipeo vyake vinavyofafanua vekta zisizo za coplanar.

4. Kupewa mchemraba A… D 1 . Andika sehemu tatu za vekta za coplanar zenye mwanzo na kuishia kwenye vipeo vyake.

11. Uhamisho sambamba

Chaguo 1

1. Jenga kielelezo ambacho kinapatikana kwa tafsiri sambamba ya mstari a kwa vekta
, ikiwa: a) E ni mali a, F si mali a; b) pointi E Na F si mali a.

2. Taja tafsiri inayofanana, ambayo ni katikati ya sehemu G.H. inatafsiri kwa hatua fulani M.

3. Jenga takwimu ambayo hupatikana kutoka kwa mraba ABCD uhamishaji sambamba kwa vekta: a)
; b)
.

ABCD uhamisho sambamba kwa vector.

Chaguo la 2

1. Tengeneza kielelezo ambacho kinapatikana kwa tafsiri ya sambamba ya mduara na katikati katika hatua O kwa vekta
, ikiwa: a) uhakika K ni ya mduara; b) uhakika K sio wa duara.

2. Bainisha tafsiri sambamba, ambayo ni sehemu ya makutano O mistari miwili iliyonyooka a Na b inatafsiri kwa hatua fulani N.

3. Jenga takwimu ambayo hupatikana kutoka kwa pembetatu ya kawaida ABC uhamisho sambamba kwa vector: a) ; b)
, uhakika uko wapi M- katikati ya upande B.C..

4. Jenga kielelezo ambacho kinapatikana kutoka kwa tetrahedron ABCD uhamisho sambamba kwa vector
.

12. Kubuni sambamba

Chaguo 1

1. Ni pointi ngapi zitapatikana kwa makadirio ya sambamba ya pointi mbili tofauti katika nafasi? Tengeneza michoro inayofaa na uhalalishaji.

2. Orodhesha sifa za mstatili ambazo zimehifadhiwa wakati wa kubuni sambamba.

3. Je, mistari miwili iliyonyooka inapaswa kuwekwaje ili ionekane kwenye ndege katika mstari ulionyooka na sehemu isiyo ya mstari huu mnyoofu?

4. Mistari sambamba a Na b A, B Na C zimeonyeshwa kwenye Mchoro 4. Chora nukta ya nne D. Thibitisha jibu lako.

Chaguo la 2

1. Utapata pointi ngapi unapotengeneza pointi tatu tofauti katika nafasi? Tengeneza michoro inayofaa na uhalalishaji.

2. Orodhesha mali ya rhombus ambayo yanahifadhiwa wakati wa kubuni sambamba.

3. Je, mstari na ncha zinapaswa kupatikana vipi ili zionekane kwenye ndege kuwa mstari na sehemu inayomilikiwa na mstari huu?

4. Mistari inayokatiza a Na b kupitisha ndege sambamba a na b kwa pointi nne. Watatu kati yao A, B Na C zimeonyeshwa kwenye Mchoro 5. Chora nukta ya nne D. Thibitisha jibu lako.

13. Makadirio ya sambamba ya takwimu za ndege

Chaguo 1

1. Chora makadirio ya sambamba ya pembetatu ya isosceles ya kulia iliyolala kwenye ndege inayofanana na ndege ya makadirio.

2. Chora makadirio ya sambamba ya pembetatu ya usawa ABC na juu yake jenga picha za perpendiculars zilizoshuka kutoka kwa uhakika M- katikati ya upande AB kwa pande A.C. Na B.C..

ABCDEF, ikichukua mstatili kama sura halisi ABDE.

4. Chora makadirio ya sambamba ya pembetatu ya usawa ABC na ujenge juu yake picha ya kipenyo kilichochorwa kutoka kwa uhakika K- katikati ya sehemu B.O.(O- katikati ya pembetatu) kwa upande AB.

Chaguo la 2

1. Chora makadirio ya sambamba ya pembetatu ya usawa iliyo kwenye ndege inayofanana na ndege ya makadirio.

2. Chora makadirio ya sambamba ya mraba ABCD na juu yake jenga picha ya perpendiculars inayotolewa kutoka kwa uhakika E- katikati ya upande B.C. kwa mistari iliyonyooka BD Na A.C..

3. Chora makadirio ya sambamba ya hexagon ya kawaida ABCDEF, ikichukua kama kielelezo cha kwanza pembetatu iliyo sawa ACE.

4. Chora makadirio ya sambamba ya mstatili ABCD, gani AD = 2AB. Tengeneza taswira ya kipenyo kilichoshuka kutoka kwenye kipeo C kwa ulalo BD.

14. Picha ya takwimu za anga

Chaguo 1

1. Chora piramidi ya kawaida ya quadrangular na urefu wake.

2. Chora mchemraba ambao nyuso mbili zinafanana na ndege ya kubuni.

3. Mchoro wa 6 unaonyesha makadirio ya sambamba ya mchemraba A… D

4. Kupewa tetrahedron ABCD. Eneo la uso wake ADC sawa na S BDC kwa ndege ADC katika mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja AB.

Chaguo la 2

1. Chora piramidi ya kawaida ya triangular na urefu wake.

2. Chora mchemraba ambao nyuso hazifanani na ndege ya kubuni.

3. Mchoro wa 7 unaonyesha makadirio ya sambamba ya mchemraba A… D 1 . Je, mchemraba unapatikanaje kuhusiana na ndege ya kubuni?

4. Kupewa tetrahedron ABCD. Eneo la uso wake ABD sawa na Q. Tafuta eneo la makadirio ya uso wake BDC kwa ndege A.D.B. katika mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja SENTIMITA., Wapi M- katikati ya mbavu AB.

15. Sehemu za polihedra

Chaguo 1

1. Katika prism ya hexagonal A… F 1 (Mchoro 8) jenga hatua ya makutano ya mstari PQ na ndege ABC, ambapo pointi Q Na P ni mali ya kingo za nyuma za prism mtawalia BB 1 na DD 1 .

2. Kwenye kingo za upande wa prism ya quadrangular A… D 1 pointi tatu zimetolewa K, L, M(Mchoro 9). Tengeneza mstari wa makutano ya ndege KLM na ndege ABC.

3. Jenga sehemu ya mchemraba na ndege inayopitia pointi X, Y, Z, mali kwa mtiririko wa kingo AD, A.A. 1 , BB 1 na vile vile AX:XD = 1:2, A 1 Y:YA= 2:1, B 1 Z:ZB = 1:2.

4. Katika piramidi sahihi SABCD jenga sehemu inayopita kando ya msingi AD na kipindi M, mali ya makali ya upande S.B..

Chaguo la 2

1. Upande wa mbavu BB 1 na E.E. 1 mche ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E Pointi 1 zimetolewa ipasavyo F Na G(Mchoro 10). Tengeneza sehemu ya makutano ya mstari FG na ndege ABC.

2. Kupewa mchemraba A… D 1 . Kwenye mbavu zake A.A. 1 , CC 1 na DD 1 pointi tatu zinatolewa kwa mtiririko huo X, Y, Z(Mchoro 11). Tengeneza mstari wa makutano ya ndege XYZ Na ABC.

3. Katika prism ya kawaida ya triangular A… C 1 tengeneza sehemu inayopitia alama K, L Na M, mali kwa mtiririko wa kingo A.A. 1 , A.C. Na BB 1 na vile vile: A.K. = K.A. 1 ; AL:L.C. = 1:2 na B.M. = M.B. 1 .

4. Katika piramidi sahihi SABCD jenga sehemu inayopita kwenye mlalo A.C. msingi na sambamba na makali ya upande SD.

16. Pembe kati ya mistari iliyonyooka kwenye nafasi. Perpendicularity ya mistari

Chaguo 1

1. Katika mchemraba A… D AB Na BB 1; b) BD Na BB 1; V) AB 1 na CC 1; G) AB 1 na CD 1 .

A… C 1 sehemu CD perpendicular kwa makali AB. Tafuta pembe kati ya mistari: a) CD Na A.A. 1; b) CD Na A 1 B 1 .

SABCD na kingo sawa pata pembe kati ya diagonal A.C. msingi na makali ya upande S.C..

4. Pata pembe kati ya kando ya kuvuka ya tetrahedron ya kawaida.

Chaguo la 2

1. Katika mchemraba A… D 1 pata pembe kati ya mistari: a) B.C. Na BB 1; b) A 1 C 1 Na AD; V) BB 1 na BD; G) A 1 D Na B.C. 1 .

2. Katika prism ya kawaida ya triangular A… C 1 A.M.- wastani wa msingi ABC. Tafuta pembe kati ya mistari: a) A.M. Na C 1 B 1; b) A.M. Na A 1 C 1 .

3. Katika tetrahedron ya kawaida ABCD nukta M- katikati ya mbavu C.B.. Tafuta pembe kati ya mistari A.M. Na DC.

4. Tafuta pembe kati ya kingo zisizo na kati za piramidi ya kawaida ya pembetatu.

17. Perpendicularity ya mstari na ndege

Chaguo 1

1. Thibitisha kuwa mstari wa pembeni kwa ndege huingiliana na ndege hii.

2. Kupitia kituo hicho O mraba ABCD mstari wa moja kwa moja ulichorwa sawa, perpendicular kwa ndege ya mraba huu. Thibitisha kuwa mstari huo A.K. perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja BD.

3. Tafuta eneo la pointi zinazomilikiwa na mistari inayopita kwenye sehemu uliyopewa na inayoelekea kwenye mstari fulani.

4. Uhakika M ni ya upande wa uso ABD piramidi ya pembe tatu ABCD, ambamo AB = BD Na A.C. = CD. Tengeneza sehemu ya piramidi hii na ndege inayopita mahali hapo M na perpendicular kwa mstari AD.

Chaguo la 2

1. Moja kwa moja a, perpendicular to plane a, inakatiza ndege hii kwa uhakika A. Thibitisha kuwa mstari huo b, kupita kwa uhakika A na perpendicular kwa mstari a, iko kwenye ndege a.

2. Kupitia hatua M- katikati ya upande AB pembetatu ya usawa ABC mstari wa moja kwa moja ulichorwa M.H., perpendicular kwa ndege ya pembetatu hii. Thibitisha perpendicularity ya mistari AB Na HC.

3. Kutokana na mstari wa moja kwa moja a na nukta ambayo si yake A. Tafuta eneo la mistari inayopita kwenye sehemu moja A na perpendicular kwa mstari a.

4. Katika parallelepiped ya mstatili A… D 1 tengeneza sehemu inayopita kwenye nukta K, hatua ya ndani ya sehemu ya diagonal A.A. 1 C 1 C, na perpendicular kwa mstari BB 1 .

18. Perpendicular na oblique

Chaguo 1

1. Kupewa ndege a. Kutoka kwa uhakika A wawili wameelekea AB= 20 cm na A.C.= sentimita 15. Makadirio ya ndege ya kwanza iliyoelekea kwenye ndege hii ni sentimita 16. Tafuta makadirio ya moja ya pili inayoelekea.

2. Kutoka kwa uhakika M, si mali ya ndege g, miteremko sawa inayoeleka huvutwa kwake M.A., M.B. Na M.C.. Thibitisha kuwa misingi ya wale waliotega ni ya duara moja. Tafuta kituo chake.

3. Kutoka kwa uhakika B ndege mbili zilizo sawa za 2 cm zinavutwa kwenye ndege b. Pembe kati yao ni 60 0, na kati ya makadirio yao - 90 0. Pata perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika B kwa ndege b.

4. Kutokana na pembetatu na pande 13 cm, 14 cm na cm 15. Point M, ambayo sio ya ndege ya pembetatu hii, iko umbali wa cm 5 kutoka kwa pande za pembetatu. Tafuta perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika. M kwa ndege ya pembetatu iliyotolewa.

Chaguo la 2

1. Kutoka kwa uhakika A inayotolewa kwa ndege ya kutega AB= 9 cm na perpendicular A.O.= 6 cm. Tafuta makadirio ya hii perpendicular kwenye iliyoelekezwa iliyopewa.

2. Tafuta eneo la pointi katika nafasi ya usawa kutoka kwa pointi zote kwenye duara fulani.

3. Kutoka kwa hatua fulani, miteremko miwili ya mwelekeo sawa hutolewa kwa ndege iliyotolewa, na kutengeneza angle ya 60 0 kati yao. Pembe kati ya makadirio yao ni sawa. Pata pembe kati ya kila oblique na makadirio yake.

4. Uhakika M umbali kutoka kwa kila kipeo cha pembetatu ya kawaida kwa
cm, na kutoka kila upande - cm 2. Pata perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika M kwa ndege ya pembetatu.

19. Pembe kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege

Chaguo 1

1. Katika piramidi, mbavu za upande zimeelekezwa kwa usawa kwenye ndege ya msingi. Je, ni wakati gani sehemu ya juu ya piramidi inakadiriwa?

2. Katika mchemraba A… D A.A. 1 na ndege AB 1 D 1 .

3. Mstari ulioelekezwa huchorwa kwa ndege a M.H. (H ni mali ya ndege a). Thibitisha kwamba ikiwa makadirio ni oblique M.H. huunda pembe sawa na pembe za kulia A.H. Na B.H., amelala katika ndege a, kisha kutega M.H. huunda pembe sawa nao.

4. Piga mstari wa moja kwa moja kwa ndege iliyotolewa kupitia hatua fulani juu yake, ukitengenezea angle ya 90 0 na ndege.

Chaguo la 2

1. Thibitisha kuwa katika piramidi ya kawaida kingo za upande zimeelekezwa kwa ndege ya msingi.

2. Katika mchemraba A… D 1 pata kosini ya pembe kati ya ukingo A 1 D 1 na ndege AB 1 D 1 .

3. Mstari ulioelekezwa huchorwa kwenye ndege b B.P. (P ni ya ndege b), ambayo huunda pembe sawa na pembe za kulia P.E. Na PF, amelala kwenye ndege b. Thibitisha kuwa pembe zinazoundwa na mistari iliyonyooka P.E. Na PF na makadirio ya oblique B.P. kwenye ndege b ni sawa.

4. Kupitia hatua isiyo ya ndege uliyopewa, chora mstari wa moja kwa moja ukitengeneza pembe ya 90 0 na ndege.

20. Umbali kati ya pointi, mistari na ndege

Chaguo 1

1. Katika pembetatu ya kulia ABC(
C= 90 0) mguu A.C. sawa na cm 8. Kutoka juu B perpendicular inatolewa kwa ndege ya pembetatu hii BD. Umbali kati ya pointi A Na D sawa na 10 cm D kwa mguu A.C..

2. Katika mchemraba wa kitengo A… D A na: a) juu C 1; b) makali CC 1; c) makali BB 1 C 1 C.

3. Uhakika M umbali kutoka kwa wima zote za pembetatu ya kulia a. Hypotenuse ya pembetatu ni sawa na c. Tafuta umbali kutoka kwa uhakika M kwa ndege ya pembetatu iliyotolewa.

4. Katika mchemraba A… D 1 na ubavu a AB Na B 1 C 1 .

Chaguo la 2

1. Miguu ya pembetatu ya kulia ABC(C= 90 0) ni sawa na cm 15 na cm 20. Kutoka juu C perpendicular inatolewa kwa ndege ya pembetatu CD sawa na cm 5. Pata umbali kutoka kwa uhakika D kwa hypotenuse AB.

2. Katika mchemraba wa kitengo A… D 1 pata umbali kati ya kipeo D 1 na: a) juu B; b) makali AB; c) makali BB 1 C 1 C.

3. Kutoka kwa uhakika K perpendicular ya urefu d na mbili zilizoelekezwa zimechorwa, pembe ambazo kwa perpendicular ni 30 0. Pembe kati ya zile zilizoelekezwa ni 60 0. Pata umbali kati ya besi za zile zinazotega.

4. Katika mchemraba A… D 1 na ubavu a pata umbali kati ya kingo za kuvuka DC Na BB 1 .

21. Pembe ya dihedral

Chaguo 1

a. Tafuta makadirio ya othogonal ya ndege hii iliyoinama kwenye ndege ikiwa pembe kati ya iliyoelekezwa na ndege ni 30 0.

2. Pointi mbili zinachukuliwa kwenye uso mmoja wa angle ya dihedral A Na B. Perpendiculars zimeachwa kutoka kwao A.A. 1 , BB 1 kwa upande mwingine na A.A. 2 , BB 2 kwa kila makali ya pembe ya dihedral. Tafuta BB 2 ikiwa A.A. 1 = 6 cm, BB 1 = 3 cm, A.A. 2 = 24 cm.

3. Mistatili miwili sawa ina upande wa kawaida na ndege zao huunda pembe ya 45 0. Pata uwiano wa maeneo ya takwimu mbili ambazo makadirio ya orthogonal ya upande wa mstatili mmoja hugawanya nyingine.

4. Thibitisha kwamba perpendiculars inayotolewa kutoka kwa pointi za mstari uliopewa kwa ndege iko kwenye ndege moja na eneo la kijiometri la besi za perpendiculars hizi ni mstari wa makutano ya ndege hizi.

Chaguo la 2

1. Mstari wa kutega unaotolewa kwa ndege ni sawa na a. Tafuta makadirio ya othogonal ya ndege hii inayoelea kwenye ndege ikiwa pembe kati ya iliyoelekezwa na ndege ni 60 0.

2. Pointi mbili zinachukuliwa kwenye uso mmoja wa angle ya dihedral, iliyopangwa 9 cm na 12 cm kutoka kwa makali yake. Umbali kutoka kwa hatua ya kwanza hadi uso mwingine wa angle ya dihedral ni cm 20. Tafuta umbali kutoka kwa uso huu hadi hatua ya pili.

3. Pembetatu mbili za isosceles zina msingi wa kawaida, na ndege zao huunda pembe ya 60 0. Msingi wa kawaida ni 16 cm, upande wa pembetatu moja ni 17 cm, na pande za nyingine ni perpendicular. Tafuta umbali kati ya wima ya pembetatu iliyo kinyume na msingi wa kawaida.

4. Thibitisha kwamba hatua ya makutano ya makadirio ya orthogonal ya mistari miwili kwenye ndege ni makadirio ya orthogonal ya hatua ya makutano ya mistari hii kwenye ndege moja.

22. Perpendicularity ya ndege

Chaguo 1

1. Kupewa mchemraba A… D ABD Na DCC 1; b) AB 1 C 1 na ABB 1 .

2. Kupitia mstari uliopewa umelazwa kwenye ndege fulani, chora ndege inayoelekea kwenye ndege hii.

3. Ndege mbili za perpendicular a na b zinaingiliana kwa mstari wa moja kwa moja AB. Moja kwa moja CD iko kwenye ndege a, sambamba AB na iko umbali wa cm 60 kutoka kwake. Nukta E ni ya ndege b na iko katika umbali wa 91 cm kutoka AB. Tafuta umbali kutoka kwa uhakika E kwa mstari ulionyooka CD.

4. Thibitisha kwamba mstari a na ndege a, inayoelekea kwenye ndege hiyo hiyo b, ni sambamba ikiwa ni mstari ulionyooka a sio uongo kwenye ndege a.

Chaguo la 2

1. Kupewa mchemraba A… D 1 . Thibitisha ukamilifu wa ndege: a) A.A. 1 D 1 Na D 1 B 1 C 1; b) A 1 B 1 D Na BB 1 C 1 .

2. Kupitia ndege iliyoelekezwa, chora ndege inayoelekea kwenye ndege hii.

3. Sehemu MN ina mwisho kwenye ndege mbili za perpendicular na hufanya pembe sawa nazo. Kuthibitisha kwamba pointi M Na N umbali sawa na mstari wa makutano ya ndege hizi.

4. Thibitisha kuwa ndege mbili a na b ziko sambamba ikiwa ziko pembezoni mwa ndege g na huipitisha kwa mistari sambamba.

23*. Ubunifu wa kati

Kazi ya kujitegemea N 1

Chaguo 1

1. Wakati wa kubuni kati, mstari wa moja kwa moja unaofanana na ndege ya kubuni huenda wapi?

2. Takwimu ya gorofa iko katika ndege sambamba na ndege ya kubuni na iko kati ya kituo na ndege ya kubuni. Je, mgawo wa kufanana kati ya takwimu na makadirio yake huamuliwaje?

R. Ndege inayofanana na msingi hutolewa katikati ya urefu. Pata eneo la sehemu ya msalaba.

4. Katika piramidi ya triangular ABCD(Mchoro 12) kupitia pointi M Na N, mali ya nyuso kwa mtiririko huo ABD Na BCD, chora sehemu inayofanana na makali A.C..

Chaguo la 2

1. Katika hali gani makadirio ya kati ya mistari miwili yatakuwa mistari miwili inayofanana?

2. Kielelezo cha ndege kiko kwenye ndege sambamba na ndege ya makadirio. Ndege ya kubuni iko kati ya kituo cha kubuni na ndege ya takwimu iliyotolewa. Je, mgawo wa kufanana kati ya takwimu na makadirio yake huamuliwaje?

3. Radi ya msingi wa koni ni sawa na R. Inaingiliwa na ndege sambamba na msingi na kugawanya urefu wa koni kwa uhusiano m:n, kuhesabu kutoka juu. Pata eneo la sehemu ya msalaba.

4. Katika piramidi ya triangular ABCD(Mchoro 13) kupitia hatua M, mali ya urefu wa piramidi FANYA, chora sehemu inayofanana na uso BCD.

Kazi ya kujitegemea N 2

Chaguo 1

1. Moja kwa moja mS. Chora makadirio ya kati ya sehemu ya mstari uliyopewa iliyo katika nusu ya nafasi sawa na uhakika S jamaa na ndege uk.

A… D A.A. 1 C 1 .

3. Chora makadirio ya kati ya prism ya kawaida ya hexagonal kwenye ndege inayofanana na besi zake.

4. Kupewa piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD, ambayo pembe yake ya dihedral kwenye msingi ni sawa na 60 0. Tafuta umbali kati ya mistari AB Na S.C., Kama AB= 1.

Chaguo la 2

1. Moja kwa moja m huingiliana na ndege ya kubuni p na haipiti kituo cha kubuni S. Chora makadirio ya kati ya sehemu ya mstari uliyopewa iliyo katika nafasi tofauti za nusu na nukta S jamaa na ndege uk.

2. Chora makadirio ya kati ya mchemraba A… D 1 kwenye ndege sambamba na ndege AB 1 C 1 .

3. Chora makadirio ya kati ya prism ya kawaida ya hexagonal kwenye ndege isiyolingana na besi zake.

4. Kutokana na prism ya kawaida ya triangular A… C 1, kingo zote ambazo ni sawa na 1. Tafuta umbali kati ya mistari A.A. 1 na B.C. 1 .

24. Pembe za polyhedral

Chaguo 1

1. Andika chini ya hali gani pembe a, b na g zinaweza kuwa pembe za ndege za pembe ya trihedral.

2. B pembe tatu pembe zote za ndege ni pembe za kulia. Kwenye kingo zake, sehemu za 2 cm, 4 cm, 6 cm zimewekwa kutoka juu na ndege hutolewa kupitia ncha zao. Pata eneo la sehemu inayosababisha.

3. Ndege za nyuso zote za pembe ya tetrahedral hupishana kwa jozi kwa mistari mingapi?

Chaguo la 2

1. Pembe mbili za ndege za pembe tatu ni sawa na a na b, na a > b. Andika mipaka ambayo maadili ya pembe ya tatu ya ndege g ya pembe tatu ya pembetatu inawezekana.

2. Katika pembe ya trihedral kila kitu pembe za dihedral- moja kwa moja. Kutoka kwenye kipeo cha pembe hii katika eneo lake la ndani sehemu inachorwa ambayo makadirio yake kwenye kingo ni sawa. a, b Na c. Tafuta sehemu hii.

3. Je, ndege za nyuso zote za pembe ya pentahedral hupishana kwa jozi kwenye mistari mingapi?

25*. Polihedra mbonyeo

Chaguo 1

n-prism ya makaa ya mawe: a) convex; b) yasiyo ya convex.

2. Chora polihedroni mbonyeo yenye vipeo 5.

3. Katika polihedroni mbonyeo, idadi ya nyuso Г inajulikana, na kila uso una idadi sawa ya pande. n. Tafuta idadi ya: a) pembe za ndege (
); b) kingo (P) ya polihedroni iliyotolewa. Nambari na P zinahusiana vipi?

4. Polyhedron ya convex ina wima B, kingo za P na nyuso za G. Wakamkata m- pembe yenye sura. Tafuta idadi ya vipeo, kingo na nyuso za polyhedron inayosababisha.

Chaguo la 2

1. Bainisha idadi ya vipeo (B), kingo (P) na nyuso (D) n-piramidi ya makaa ya mawe: a) mbonyeo; b) yasiyo ya convex.

2. Chora polihedroni mbonyeo yenye vipeo 6.

3. Katika polihedroni mbonyeo, idadi ya vipeo B inajulikana, na idadi sawa ya kingo huungana kwenye kila kipeo. m. Pata idadi ya: a) pembe za ndege (); b) kingo za polihedron iliyotolewa (P). Nambari na P zinahusiana vipi?

4. Polihedroni mbonyeo ina vipeo B, kingo za P na nyuso za T. Kwake n- piramidi ilijengwa juu ya uso wa makaa ya mawe. Tafuta idadi ya vipeo, kingo na nyuso za polihedroni mpya.

26*. Nadharia ya Euler

Chaguo 1

1. Chora polihedroni isiyo na mbonyeo ambayo nadharia ya Euler inashikilia.

3. Thibitisha kuwa katika polihedroni yoyote mbonyeo iliyo na vipeo B, kingo za P na G inakabiliwa na ukosefu wa usawa ufuatao: 3B - 6 R.

4. Pata upande wa msingi wa piramidi ya kawaida ya triangular yenye urefu h na makali ya upande b.

Chaguo la 2

1. Chora polihedroni isiyo na koni ambayo nadharia ya Euler haishiki.

2. Thibitisha kuwa kwa polihedron yoyote mbonyeo uhusiano ni kweli

3. Thibitisha kuwa katika polihedroni yoyote mbonyeo iliyo na vipeo vya B, kingo za P na G inakabiliwa na usawa ufuatao: 3G - 6 P.

4. Pata urefu wa piramidi ya kawaida ya triangular na upande wa msingi a na urefu wa makali ya upande h.

27. Polyhedra ya kawaida

Chaguo 1

1. Chora: a) maendeleo ya tetrahedron; b) polihedron mbili kwa hexahedron.

2. Tengeneza sehemu ya octahedron kwa ndege inayopitia moja ya vipeo vyake na sehemu za katikati za kingo mbili zinazofanana ambazo kipeo hiki si chake. Tambua aina ya sehemu.

3. Ndani ya tetrahedron ABCD prism ya kawaida ya triangular yenye kingo sawa imeandikwa kwa njia ambayo wima ya moja ya besi zake iko kwenye kingo za upande. AD, BD, CD, na nyingine - katika ndege ABC. Makali ya tetrahedron ni a. Tafuta makali ya prism.

4. Katika tetrahedron ABCD M- urefu wa kati FANYA tetrahedron, sambamba na ndege ya uso ADC. Tambua aina ya sehemu.

Chaguo la 2

1. Chora: a) maendeleo ya mchemraba; b) polihedron mbili kwa tetrahedron.

2. Tengeneza sehemu ya octahedron na ndege inayopita kwenye kingo zake mbili zinazofanana. Tambua aina ya sehemu.

3. Mchemraba umeandikwa katika octahedron kwa namna ambayo wima zake ziko kwenye kando ya octahedron. Makali ya octahedron ni a. Pata makali ya mchemraba.

4. Katika tetrahedron ABCD chora sehemu na ndege inayopita kwenye uhakika M, mali ya uso ABC sambamba na ndege ya uso BCD. Tambua aina ya sehemu.

28*. Polyhedra ya semiregular

Chaguo 1

1. Tafuta idadi ya vipeo (B), kingo (P) na nyuso (D) za hexahedron iliyokatwa.

2. Mtu anawezaje kupata antiprism ya gonal 5?

3. Chora polyhedron mbili kwa prism ya kawaida ya hexagonal.

4. Pembetatu ya kawaida ABC na pembetatu nyingine ADC kuwa na upande wa pamoja A.C. na ziko katika ndege tofauti, pembe kati ya ambayo ni 30 0. Kipeo D imeonyeshwa kwa njia ya orthogonally kwenye ndege ya pembetatu ABC kwa kituo chake. Urefu wa pembetatu ya kawaida ni h. Tafuta upande AD pembetatu ADC.

Chaguo la 2

1. Tafuta idadi ya vipeo (B), kingo (P) na nyuso (D) za octahedron iliyopunguzwa.

2. Mtu anawezaje kupata antiprism ya octagonal?

3. Chora polihedron mbili kwa antiprism ya gonal 6.

4. Mraba ABCD na pembetatu ABE kuwa na upande wa pamoja AB na ziko katika ndege tofauti, pembe kati ya ambayo ni 45 0. Kipeo E pembetatu imeonyeshwa kwa usawa kwenye ndege ya mraba katikati yake O. Urefu E.H. pembetatu ni sawa h. Pata eneo la makadirio ya orthogonal ya pembetatu kwenye ndege ya mraba na makadirio ya orthogonal ya sehemu. O.E. kwa ndege ya pembetatu.

29*. Nyota polihedra

Chaguo 1

1. Jinsi ya kupata nyota ya Kepler kutoka kwa octahedron?

2. Tafuta idadi ya vipeo (B), kingo (P) na nyuso (D) za dodekahedron ndogo yenye nyota.

3. Je, mchemraba uliokatwa unapatikanaje kutoka kwa mchemraba? Je, makali yake ni sawa na nini ikiwa makali ya mchemraba ni sawa na a?

4. Thibitisha kwamba ikiwa ndege inapita kati ya piramidi ya triangular na inafanana na kingo zake mbili zinazoingiliana, basi sehemu hiyo itakuwa parallelogram.

Chaguo la 2

1. Jinsi ya kupata nyota ya Kepler kutoka hexahedron?

2. Tafuta idadi ya vipeo (B), kingo (P) na nyuso (D) za dodekahedron kubwa.

3. Cuboctahedron hupatikanaje kutoka kwa mchemraba? Je, makali yake ni sawa na nini ikiwa makali ya mchemraba ni sawa na a?

4. Thibitisha kwamba tetrahedron ya kawaida inaweza kuingiliwa na ndege kwa njia ambayo sehemu ya msalaba inasababisha mraba.

thelathini*. Fuwele - polyhedron za asili

Chaguo 1

1. Chora kioo cha mwamba.

2. Chora dodecahedron ya rhombic. Ni idadi gani ya wima, kingo na nyuso?

3. Tafuta jumla ya pembe zote zilizopangwa za kioo cha spar cha Iceland.

4. Pata jumla ya maeneo ya nyuso zote za kioo cha almasi (kwa namna ya cuboctahedron), ikiwa makali yake ni sawa na a.

Chaguo la 2

1. Chora kioo cha spar cha Iceland.

2. Chora dodecahedron ya rhombic. Kuamua idadi ya pembe zake za ndege, pembe za dihedral; pembe za polyhedral na aina zao.

3. Tafuta jumla ya pembe zote zilizopangwa za fuwele ya garnet.

4. Pata jumla ya maeneo ya nyuso zote za kioo cha almasi (kwa namna ya octahedron iliyopunguzwa), ikiwa makali yake ni sawa na a.

31. Tufe na mpira. Nafasi ya jamaa ya nyanja na ndege

Chaguo 1

1. Tufe ambayo radius ni 10 cm inakatizwa na ndege iko umbali wa 9 cm kutoka katikati. Pata eneo la sehemu ya msalaba.

2. Sehemu za mpira wa radius R r 1 na r 2. Tafuta umbali kati ya ndege hizi ikiwa ziko kando pande tofauti kutoka katikati.

3. Pande za pembetatu hugusa tufe. Pata umbali kutoka katikati ya nyanja hadi ndege ya pembetatu ikiwa radius ya nyanja ni 5 cm na pande za pembetatu ni 12 cm, 10 cm, 10 cm.

4. Kila upande wa rhombus unagusa nyanja ya radius 10 cm. Ndege ya rhombus iko umbali wa cm 8 kutoka katikati ya nyanja. Tafuta eneo la rhombus ikiwa upande wake ni 12.5 cm.

Chaguo la 2

1. Ndege hutolewa kwa njia ya pembeni kupitia katikati ya eneo la mpira. Je, eneo la duara kubwa la mpira uliopewa linahusiana vipi na eneo la sehemu inayosababisha?

2. Sehemu za mpira wa radius R mbili ndege sambamba kuwa na radi r 1 na r 2. Tafuta umbali kati ya ndege hizi ikiwa ziko upande mmoja wa kituo.

3. Pande za rhombus hugusa nyanja ya radius cm 13. Pata umbali kutoka kwa ndege ya rhombus hadi katikati ya nyanja ikiwa diagonals ya rhombus ni 30 cm na 40 cm.

4. Ndege hutolewa kupitia mwisho wa radius ya mpira, na kufanya 30 0 nayo. Pata eneo la sehemu ya msalaba wa nyanja na ndege hii ikiwa radius ya nyanja ni 6 cm.

32. Polyhedra iliyoandikwa katika tufe

Chaguo 1

1. Orodhesha sifa ambazo prism lazima itimize ili kuelezea tufe inayoizunguka.

2. Mchoro 14 unaonyesha piramidi ya pembe tatu ABCD, ambayo ina makali D.B. perpendicular kwa ndege ABC na pembe ACB sawa na 900. Tafuta katikati ya tufe iliyoelezewa karibu na piramidi hii.

3. Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD upande wa msingi ABCD sawa na cm 4, pembe ya dihedral kwenye msingi 45 0. Tafuta kipenyo cha tufe iliyozingirwa. Kituo chake kitakuwa wapi?

4. Radi ya duara iliyozingirwa kuhusu prism ya kawaida ya quadrangular ni sawa na R. Pata urefu wa prism hii, ukijua kwamba diagonal yake huunda pembe na uso wake wa upande.

Chaguo la 2

1. Orodhesha sifa ambazo piramidi inapaswa kukidhi ili kuelezea tufe inayoizunguka.

2. Mchoro 15 unaonyesha piramidi ABCD, ambao pembe zake A.D.B., ADC Na BDC moja kwa moja. Tafuta katikati ya tufe iliyoelezewa karibu na piramidi hii.

3. Katika piramidi ya kawaida ya triangular SABC katikati ya nyanja iliyozunguka hugawanya urefu katika sehemu sawa na cm 6 na cm 3. Tafuta upande wa msingi ABC piramidi.

4. Katika prism ya kawaida ya 4-angled, diagonal ya msingi na diagonal ya uso wa upande ni 16 cm na 14 cm, kwa mtiririko huo. Pata radius ya nyanja iliyozunguka.

33. Polyhedra iliyoelezwa kuzunguka tufe

Chaguo 1

1. Je, inawezekana kuandika tufe katika piramidi ambayo pembe za dihedral kwenye msingi ni sawa? Eleza jibu lako.

2. Prism moja kwa moja inaelezewa karibu na nyanja, ambayo msingi wake ni rhombus yenye diagonals ya cm 6 na cm 8. Pata eneo la msingi na urefu wa prism.

3. Upande wa msingi wa piramidi ya kawaida ya quadrangular ni sawa na a, pembe ya dihedral kwenye msingi ni 60 0. Pata radius ya tufe iliyoandikwa.

4. Pande za besi za piramidi ya kawaida ya 4-gonal iliyopunguzwa ni 1 cm na cm 7. Ukingo wa upande umeelekezwa kwa msingi kwa pembe ya 45 0. Tafuta kipenyo cha duara iliyozungushwa.

Chaguo la 2

1. Ni mali gani lazima prism ya pembetatu ya kulia iwe nayo ili tufe iandikwe ndani yake?

2. Chini ya piramidi kuna pembetatu ya isosceles, ambayo kila moja ya pembe zake ni sawa na a na msingi wake ni sawa na. a. Nyuso za upande wa piramidi zimeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe b. Pata radius ya tufe iliyoandikwa kwenye piramidi hii.

3. Tafuta radius ya mpira iliyoandikwa ndani piramidi sahihi, ambaye urefu wake ni sawa h, na pembe ya dihedral kwenye msingi ni 45 0.

4. Katika piramidi ya kawaida ya triangular truncated, urefu ni 17 cm, radii ya miduara iliyozunguka karibu na besi ni 5 cm na cm 12. Pata radius ya nyanja iliyozunguka.

34. Silinda. Koni

Chaguo 1

1. Katika silinda ambayo radius ya msingi ni 4 cm na urefu wa 6 cm, sehemu inayofanana na mhimili hutolewa. Umbali kati ya diagonal ya sehemu ya msalaba na mhimili wa silinda ni cm 2. Pata eneo la sehemu ya msalaba.

2. Sehemu hutolewa kwa njia ya juu ya koni kwa pembe ya 60 0 hadi msingi wake. Pata umbali kutoka katikati ya msingi wa koni hadi ndege ya sehemu ikiwa urefu wa koni ni 12 cm.

3. Uhakika M ni ya urefu wa koni. Nukta N ni ya ndege ya msingi wa koni, lakini iko nje ya msingi huu. Tengeneza sehemu ya makutano ya mstari MN na uso wa koni.

4. Diagonal sehemu ya axial koni iliyokatwa ni ya pembeni, urefu ni sentimita 2. Pata eneo la sehemu ya msalaba ya koni iliyokatwa iliyochorwa katikati ya urefu sambamba na besi.

Chaguo la 2

1. Urefu wa silinda ni 15 cm, radius ya msingi ni cm 10. Kutokana na sehemu ambayo mwisho wake ni wa miduara ya besi zote mbili na urefu wake ni 3.
cm Tafuta umbali kati ya sehemu hii na mhimili wa silinda.

2. Sehemu hutolewa kwa njia ya juu ya koni kwa pembe ya 30 0 hadi urefu wake. Tafuta eneo la sehemu ya msalaba ikiwa urefu wa koni ni 3
cm, na radius ya msingi ni 5 cm.

3. Sehemu ya axial imeelezwa kwenye koni. Pointi K Na L ni ya jenereta mbili za koni ambazo hazilala katika sehemu hii. Tengeneza sehemu ya makutano ya mstari KL na ndege ya sehemu ya axial iliyotolewa.

4. Radi ya besi za koni iliyopunguzwa iko katika uwiano wa 1: 3, jenereta hufanya angle ya 45 0 na ndege ya msingi, urefu ni. h. Tafuta eneo la besi.

35. Geuka. Takwimu za mzunguko

Chaguo 1

1. Chora sura ambayo hupatikana kwa kuzunguka mraba ABCD karibu na mstari wa moja kwa moja a, kupita kwenye vertex B BD.

2. Chora takwimu ambayo hupatikana kwa kuzunguka mduara kuzunguka tangent.

3. Curve inatolewa na equation y = dhambi x, 0 x uk. Chora umbo litakalotokea wakati curve hii inazungushwa kuzunguka mhimili Oy.

4. Ndege hupitia mhimili wa silinda, na eneo la sehemu ya axial ya silinda inahusiana na eneo la msingi wake kama 4: p. Pata pembe kati ya diagonal ya sehemu ya axial.

Chaguo la 2

1. Chora sura ambayo hupatikana kwa kuzunguka rhombus ABCD karibu na mstari wa moja kwa moja a, kupita kwenye vertex C na diagonal perpendicular A.C..

2. Chora mchoro unaopatikana kwa kuzungusha mduara kuzunguka chord ambayo sio kipenyo.

3. Curve inatolewa na equation y =
, 0 x 4. Chora umbo ambalo litapatikana kwa kuzungusha curve hii kuzunguka mhimili Ng'ombe.

4. Urefu wa koni ni 20 cm, pembe kati yake na jenereta ni 60 0. Tafuta eneo la sehemu ya msalaba lililochorwa kupitia jenereta mbili za pande zote za koni.

36. Mitungi iliyoandikwa na iliyozunguka

Chaguo 1

1. Silinda imeandikwa katika nyanja ya radius 10 cm, diagonal ya sehemu ya axial ambayo inaelekea kwenye ndege ya msingi kwa pembe ya 30 0 . Pata urefu wa silinda na radius ya msingi wake.

2. Tafuta kipenyo cha msingi wa silinda iliyozungushiwa duara ya radius R.

r, prism ya kawaida ya triangular imeandikwa. Pata eneo la sehemu ya msalaba ya prism inayopita kwenye mhimili wa silinda na ukingo wa upande wa prism.

r, prism ya kawaida ya quadrangular inaelezwa. Tafuta eneo la nyuso zake.

Chaguo la 2

1. Silinda imeandikwa katika nyanja, jenereta ambayo ni 8 cm na diagonal ya sehemu ya axial inaelekea kwenye ndege ya msingi kwa pembe ya 60 0. Pata radii ya tufe na msingi wa silinda.

2. Tafuta jenereta ya silinda iliyozungushiwa duara ya radius R.

3. Ndani ya silinda ya equilateral (urefu sawa na kipenyo cha msingi), radius yake ni sawa na r, prism ya kawaida ya quadrangular imeandikwa. Pata eneo la sehemu ya msalaba ya prism inayopita kwenye mhimili wa silinda na ukingo wa upande wa prism.

4. Karibu na silinda ya equilateral ambayo msingi wa radius ni r, prism ya kawaida ya triangular inaelezwa. Tafuta eneo la nyuso zake.

37*. Sehemu za silinda na ndege. Ellipse

Chaguo 1

1. Chora silinda na duaradufu, ambayo ni makutano ya uso wa upande wa silinda na ndege inayounda angle ya 45 0 na msingi wa silinda.

2. Uso wa upande silinda inakatizwa na ndege inayounda pembe ya 30 0 na mhimili wa silinda. Tafuta mhimili mkuu wa duaradufu iliyopatikana katika sehemu ya msalaba ikiwa radius ya msingi wa silinda ni sawa na R.

3. Ndege huingilia uso wa upande wa silinda na hufanya angle ya 30 0 na ndege ya msingi. Pata umbali kati ya foci ya duaradufu iliyopatikana katika sehemu ya msalaba ikiwa radius ya msingi wa silinda ni 3 cm.

R, inaingiliwa na ndege inayounda pembe ya 45 0 na msingi wa silinda. Pata jumla ya umbali kutoka kwa pointi za duaradufu zilizopatikana katika sehemu hadi kwenye foci.

Chaguo la 2

1. Chora silinda na duaradufu, ambayo ni makutano ya uso wa upande wa silinda na ndege inayounda angle ya 60 0 na msingi wa silinda.

2. Kwa pembe gani kwa ndege ya msingi wa silinda lazima ndege itolewe ili kupata duaradufu katika sehemu ya uso wa upande, mhimili mkubwa ambao ni mara mbili zaidi kuliko mdogo?

3. Ndege huingilia uso wa upande wa silinda na hufanya angle ya 45 0 na ndege ya msingi. Pata umbali kati ya foci ya duaradufu iliyopatikana katika sehemu ya msalaba ikiwa radius ya msingi wa silinda ni 2 cm.

4. Silinda ambayo radius ya msingi ni R, inaingiliwa na ndege inayounda angle ya 30 0 na msingi wa silinda. Pata jumla ya umbali kutoka kwa alama za duaradufu zilizopatikana katika sehemu hadi foci.

38. Koni zilizoandikwa na kuzunguka

Chaguo 1

1. Koni imeandikwa katika nyanja ya radius 4 cm. Pata urefu wa koni hii na radius ya msingi wake ikiwa pembe kwenye kilele cha sehemu ya axial ni 60 0 .

2. Radi ya msingi wa koni ni sawa na r, jenereta ina mwelekeo wa ndege ya msingi kwa pembe ya 60 0. Pata radius ya tufe iliyoandikwa kwenye koni.

3. Je, inawezekana kutoshea kwenye koni piramidi ya ngome 4 ambayo pembe zake za msingi zinahusiana kama: a) 1:5:9:7; b) 4:2:5:7?

4. Msingi wa piramidi ni trapezoid ya isosceles yenye misingi ya 8 cm na 18 cm; Pembe za dihedral kwenye msingi wa piramidi ni sawa. Koni imeandikwa kwenye piramidi. Pata radius ya msingi wa koni na urefu wake ikiwa makali ya upande mdogo wa piramidi hufanya angle ya 60 0 na upande mdogo wa trapezoid.

Chaguo la 2

1. Katika koni, jenereta ni 15 cm na hufanya pembe ya 60 0 na msingi. Tafuta kipenyo cha duara iliyozungushwa.

2. Tufe imeandikwa katika koni, radius ambayo ni R. Pata radius ya msingi wa koni ikiwa pembe kwenye kilele cha sehemu ya axial ni 60 0 .

3. Je, inawezekana kuelezea piramidi ya 4-gonal karibu na koni, ambayo pande za msingi zinahusiana mara kwa mara kama: a) 5: 6: 8: 7; b) 3:10:15:7?

4. Msingi wa piramidi ni pembetatu ya kulia; mbavu za upande ni sawa kwa kila mmoja, na nyuso za upande, kupita kwa miguu, fanya pembe za 30 0 na 60 0 na msingi. Koni inaelezewa karibu na piramidi kwa namna ambayo wana urefu wa kawaida. Pata radius ya msingi wa koni ikiwa urefu wa piramidi ni h.

39*. Sehemu za Conic

Chaguo 1

1. Jenereta ya koni imeelekezwa kwa ndege ya msingi wake kwa pembe ya 60 0. Radi ya msingi wa koni ni sawa na R. Ndege hutolewa katikati ya msingi kwa pembe ya 60 0 hadi ndege ya msingi. Pata radius ya tufe iliyoandikwa kwenye uso wa koni na tanjiti kwa ndege hii.

2. Chora koni na ndege inayoingilia uso wa conical pamoja na duaradufu.

3. Pembe kwenye kilele cha sehemu ya axial ya koni ni 90 0. Kwa pembe gani kwa ndege ya msingi wa koni lazima ndege itolewe ili kupata katika sehemu ya uso wa conical: a) duaradufu; b) parabola; c) hyperbole?

4. Pembe kati ya mhimili wa koni na jenereta yake ni 45 0. Kupitia hatua ya jenereta, iliyopangwa kutoka kwa vertex ya koni kwa mbali a, ndege inachorwa kulingana na jenereta hii. Pata umbali kati ya mwelekeo na mstari wa moja kwa moja wa parabola unaotokana na sehemu ya uso wa conical na ndege hii.

Chaguo la 2

1. Pembe kwenye kilele cha sehemu ya axial ya koni ni 90 0. Kupitia hatua ya jenereta, iliyopangwa kutoka kwa vertex ya koni kwa mbali a, ndege inachorwa kulingana na jenereta hii. Pata kipenyo cha duara kilichoandikwa kwenye tanjiti ya uso wa koni kwa ndege hii.

2. Chora koni na ndege inayoingilia uso wa conical pamoja na parabola.

3. Jenereta ya koni inaelekea kwenye ndege ya msingi wake kwa pembe ya 60 0. Kwa pembe gani kwa ndege ya msingi lazima ndege itolewe ili kupata katika sehemu ya uso wa conical: a) duaradufu; b) parabola; c) hyperbole?

4. Pembe kwenye kilele cha sehemu ya axial ya koni ni 30 0 . Kupitia hatua ya jenereta, iliyopangwa kutoka kwa vertex kwa mbali b, ndege inachorwa kulingana na jenereta hii. Tafuta mhimili mkuu wa duaradufu unaotokana na sehemu ya uso wa koni na ndege hii.

40. Ulinganifu wa takwimu za anga

Chaguo 1

1. Kwa pointi mbili katika nafasi, pata uhakika kuhusu ambazo zina ulinganifu wa kati.

2. Tengeneza mstari ambao ni kioo-linganifu kwa mstari uliotolewa kuhusiana na ndege iliyotolewa a. Fikiria kesi tofauti.

3. Thibitisha kwamba kwa ulinganifu wa axial, ndege perpendicular kwa mhimili hubadilika ndani yenyewe.

4. Pata vipengele vya ulinganifu wa prism ya kawaida ya triangular.

Chaguo la 2

1. Kwa pointi mbili katika nafasi, pata mstari unaohusiana na ambayo wao ni ulinganifu.

2. Tengeneza ndege yenye ulinganifu wa kati kwa ndege uliyopewa kulingana na uhakika O. Fikiria kesi tofauti.

3. Thibitisha kwamba kwa ulinganifu wa axial, mistari ya moja kwa moja ya perpendicular kwa mhimili hubadilika kuwa mistari iliyonyooka pia perpendicular kwa mhimili.

4. Pata vipengele vya ulinganifu wa piramidi ya kawaida ya pointi 6.

41. Mienendo

Chaguo 1

1. Thibitisha kwamba muundo wa harakati mbili (utekelezaji wao wa mfululizo) ni harakati.

A Kuba A… D 1 hadi juu C 1 .

A tetrahedron ya kawaida ABCD hadi juu C.

4. Ni aina gani ya harakati ni utungaji (utekelezaji wa mfululizo) wa mbili ulinganifu wa axial na shoka sambamba?

Chaguo la 2

1. Thibitisha kuwa ubadilishaji kinyume na mwendo pia ni mwendo.

2. Tafuta mienendo inayosonga juu B 1 mchemraba A… D 1 hadi juu D.

3. Tafuta mienendo inayosonga juu D tetrahedron ya kawaida ABCD hadi juu B.

4. Ni aina gani ya harakati ni utungaji (utekelezaji wa mfululizo) wa ulinganifu wa kati mbili?

42*. Mwelekeo wa uso. Ukanda wa Mobius

Chaguo 1

1. Je, uso una pande ngapi: a) piramidi; b) prisms; c) ukanda wa Möbius uliosokotwa mara mbili?

2. Chora kipande cha Mobius.

a, b(a b) kwa kuunganisha pande za urefu a. Sehemu ya uso wa ukanda wa Mobius ni nini?

4. Je, inawezekana kuunganisha uso wa upande mmoja kutoka kwa hexagon?

Chaguo la 2

1. Je, uso una pande ngapi: a) koni; b) silinda; c) Mkanda wa Moebius?

2. Chora ukanda wa Möbius uliosokotwa mara mbili.

3. Mchoro wa Mobius unapatikana kutoka kwa mstatili na pande a, b(a b) kwa kuunganisha pande za urefu a. Urefu wa ukingo wa ukanda wa Mobius ni upi?

4. Je, inawezekana kuunganisha uso wa upande mmoja kutoka kwa octagon?

43. Kiasi cha takwimu katika nafasi. Kiasi cha silinda

Chaguo 1

1. Sehemu ya axial ya silinda ya mviringo ya kulia ni mraba yenye upande wa cm 3. Pata kiasi cha silinda.

2. Kutoka kwa mchemraba A… D 1, ambayo makali yake ni sawa na prism 1, 4 za pembetatu hukatwa na ndege zinazopita katikati ya pande za uso zilizo karibu. ABCD, sambamba na ukingo A.A. 1 . Pata kiasi cha sehemu iliyobaki ya mchemraba.

3. Mbegu ya pembetatu ya kulia inakatizwa na ndege inayopita kwenye ukingo wa upande na kugawanya eneo la uso wa upande unaoelekeana nayo. m:n. Kiasi cha prism kinagawanywa katika uwiano gani?

4. Msingi wa parallelepiped sahihi ni rhombus, diagonals ambayo ni katika uwiano wa 5: 2. Kujua kwamba diagonals ya parallelepiped ni 17 dm na 10 dm, pata kiasi cha parallelepiped.

Chaguo la 2

1. Ulalo wa sehemu ya axial ya silinda ni 2 cm na inaelekea kwenye ndege ya msingi kwa pembe ya 60 0. Pata kiasi cha silinda.

2. Kiasi sahihi prism ya hexagonal sawa V. Amua kiasi cha prism ambayo wima ni sehemu za kati za pande za besi za prism hii.

3. Ni kwa uwiano gani kiasi cha prism ya pembetatu ya kulia imegawanywa na ndege inayopita katikati ya besi?

4. Msingi wa parallelepiped sahihi ni rhombus, diagonals ambayo ni 1 dm na 7 dm. Kujua kwamba diagonals ya parallelepiped iko katika uwiano wa 13:17, pata kiasi cha parallelepiped.

44. Kanuni ya Cavalieri

Chaguo 1

1. Je, ni kweli kwamba koni mbili zilizo na besi na urefu sawa ni sawa kwa ukubwa?

1. Tafuta kiasi cha prism iliyoelekezwa ambayo eneo la msingi ni sawa na S, na makali ya upande b inaelekea kwenye ndege ya msingi kwa pembe ya 60 0.

3. Katika parallelepiped iliyoelekezwa, nyuso mbili za upande zina maeneo S 1 na S 2, makali yao ya kawaida ni sawa a, na huunda pembe ya dihedral ya 150 0 kati yao wenyewe. Pata kiasi cha parallelepiped.

4. Katika prism ya pembetatu iliyoelekezwa, eneo la moja ya nyuso za upande ni sawa na Q, na umbali kutoka kwake hadi makali ya kinyume ni d. Tafuta kiasi cha prism.

Chaguo la 2

1. Je, ni kweli kwamba piramidi mbili zilizo na besi sawa na urefu sawa ni sawa kwa ukubwa?

2. Tafuta kiasi cha silinda iliyoelekezwa ambayo radius ya msingi iko R, na makali ya upande b inaelekea kwenye ndege ya msingi kwa pembe ya 45 0.

3. Katika parallelepiped iliyopangwa, uso wa msingi na upande ni rectangles na maeneo yao ni 20 cm 2 na 24 cm 2, kwa mtiririko huo. Pembe kati ya ndege zao ni 30 0. Uso mwingine wa parallelepiped una eneo la 15 cm 2. Pata kiasi cha parallelepiped.

4. Katika prism ya pembe tatu iliyoinamishwa, nyuso mbili za pembeni ni za pembeni na zina makali ya kawaida sawa na a. Maeneo ya nyuso hizi ni sawa S 1 na S 2. Tafuta kiasi cha prism.

45. Kiasi cha piramidi

Chaguo 1

1. Piramidi ambayo ujazo wake ni sawa na V, na kwa msingi kuna mstatili, unaounganishwa na ndege nne, ambayo kila mmoja hupita juu ya piramidi na katikati ya pande za karibu za msingi. Pata kiasi cha sehemu iliyobaki ya piramidi.

2. Msingi wa piramidi ni pembetatu ya equilateral na upande sawa na 1. Nyuso zake mbili za upande ni perpendicular kwa ndege ya msingi, na ya tatu hufanya angle ya 60 0 na msingi. Tafuta kiasi cha piramidi.

3. Chini ya primodium kuna pembetatu ya kulia, moja ya miguu ambayo ni 3 cm, na ya karibu. kona kali sawa na 30 0 . Kingo zote za nyuma za piramidi zimeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe ya 60 0. Tafuta kiasi cha piramidi.

4. Vituo vya nyuso za mchemraba ambao makali yake ni sawa na 2 a, hutumika kama wima ya octahedron. Tafuta kiasi chake.

Chaguo la 2

1. Tafuta kiasi cha piramidi ya kawaida ya quadrangular ikiwa sehemu yake ya diagonal ni pembetatu ya kawaida na upande sawa na 1.

2. Msingi wa piramidi ni mstatili, uso wa upande mmoja ni perpendicular kwa ndege ya msingi, na nyuso nyingine tatu za upande zimeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe ya 60 0. Urefu wa piramidi ni cm 3. Pata kiasi cha piramidi.

3. Nyuso za nyuma za piramidi, chini yake kuna rhombus, zimeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe ya 30 0. Ulalo wa rhombus ni 10 cm na cm 24. Pata kiasi cha piramidi.

4. Ndani ya mchemraba na makali sawa na a, tetrahedron ya kawaida imeandikwa kwa namna ambayo vipeo vyake vinapatana na vipeo vinne vya mchemraba. Pata kiasi cha tetrahedron.

46. ​​Kiasi cha koni

Chaguo 1

1. Kipenyo cha msingi wa koni ni 12 cm, na pembe kwenye kilele cha sehemu ya axial ni 90 0. Pata kiasi cha koni.

2. Koni mbili zina urefu wa kawaida na misingi sambamba. Pata kiasi cha sehemu yao ya kawaida ikiwa kiasi cha kila koni ni sawa na V.

3. Ndani ya koni ambayo ujazo wake ni sawa na V, silinda imeandikwa. Pata kiasi cha silinda ikiwa uwiano wa vipenyo vya besi za koni na silinda ni 10: 9.

4. Kila makali ya piramidi ya kawaida ya 4-gonal ni sawa na a. Ndege inayofanana na ndege ya msingi wa piramidi hukata piramidi iliyopunguzwa kutoka kwake. Pata kiasi cha piramidi iliyopunguzwa ikiwa upande wa sehemu ni sawa na b.

Chaguo la 2

1. Sehemu ya axial ya koni ni pembetatu ya kulia ya isosceles na eneo la 9 cm 2. Pata kiasi cha koni.

2. Koni nyingine imeandikwa kwenye koni kwa njia ambayo katikati ya msingi wa koni iliyoandikwa hugawanya urefu wa koni hii kwa uwiano wa 3: 2, kuhesabu kutoka kwenye vertex ya koni, na vertex ya iliyoandikwa. koni iko katikati ya msingi wa koni hii. Pata uwiano wa kiasi cha mbegu zilizotolewa na zilizoandikwa.

3. Thibitisha kwamba ikiwa mbegu mbili sawa zina urefu wa kawaida na ndege za msingi zinazofanana, basi kiasi cha sehemu yao ya kawaida ni sawa na kiasi cha kila mmoja wao.

4. Radi ya besi za koni iliyopunguzwa ni 3 cm na cm 5. Pata uwiano wa kiasi cha sehemu za koni iliyopunguzwa ambayo imegawanywa na sehemu ya kati.

47. Kiasi cha mpira na sehemu zake

Chaguo 1

1. Pata uwiano wa kiasi cha nyanja kwa kiasi cha mchemraba ulioandikwa ndani yake.

2. Pata uwiano wa kiasi cha nyanja kwa kiasi cha octahedron iliyoelezwa karibu nayo.

3. Ndege hutolewa kwenye mpira, perpendicular kwa kipenyo na kuigawanya katika sehemu sawa na 3 cm na cm 9. Pata kiasi cha sehemu za mpira.

4. Radi ya sekta ya spherical R, pembe katika sehemu ya axial ni 120 0. Pata kiasi cha sekta ya spherical.

Chaguo la 2

1. Pata uwiano wa kiasi cha nyanja kwa kiasi cha octahedron iliyoandikwa ndani yake.

2. Pata uwiano wa kiasi cha nyanja kwa kiasi cha mchemraba uliozunguka karibu nayo.

3. Katika mpira wa radius 13 cm, sehemu mbili za sambamba za radius 5 cm zinatolewa kwa pande tofauti za katikati. Pata kiasi cha safu ya spherical inayosababisha.

4. Pata kiasi cha sekta ya spherical ikiwa radius ya mzunguko wa msingi wake ni 60 cm na radius ya nyanja ni 75 cm.

48. Eneo la uso

Chaguo 1

1. Ndege inayopitia upande wa msingi wa prism ya kawaida ya triangular na katikati ya makali ya kinyume huunda pembe ya 45 0 na msingi, na upande wa msingi ni sawa na a. Pata eneo la nyuma na la jumla la prism.

2. Msingi wa piramidi ni mraba ambao upande wake ni sawa na a. Nyuso mbili za piramidi ni za msingi kwa msingi, na nyuso mbili zilizobaki za upande zimeelekezwa kwake kwa pembe ya 60 0. Pata eneo la uso la piramidi.

3. Katika prism ya kawaida ya quadrangular, upande wa msingi ni sawa na b; sehemu inayotolewa kupitia pande tofauti za besi hufanya angle j na ndege ya msingi. Tafuta eneo la uso la upande wa silinda lililozungukwa kuzunguka prism uliyopewa.

4. Pembe kwenye kilele cha sehemu ya axial ya koni ni 60 0; mraba mduara mkubwa, iliyoandikwa katika koni hii ya mpira, ni sawa na Q

Chaguo la 2

1. Katika prism ya kawaida ya 4-angled, upande wa msingi ni sawa na a. Ndege inayotolewa kupitia pande tofauti za besi hufanya pembe ya 60 0 na mmoja wao. Pata eneo la nyuma na la jumla la prism.

2. Nyuso mbili za upande wa piramidi ya triangular ni perpendicular kwa msingi wake; urefu wa piramidi ni h; pembe za ndege kwenye kipeo ni 60 0, 60 0 na 90 0. Pata eneo la uso la piramidi.

3. Katika prism ya kawaida ya triangular, makali ya upande ni sawa na b; sehemu inayounganisha katikati ya makali ya upande na katikati ya msingi hufanya angle j na msingi. Pata eneo la uso la silinda lililoandikwa kwenye prism hii.

4. Katika koni, jenereta hufanya angle ya 60 0 na msingi; Eneo la duara kubwa la mpira uliozungushwa ni Q. Pata eneo la jumla la koni.

49. Sehemu ya uso wa mpira na sehemu zake

Chaguo 1

1. Thibitisha kuwa jumla ya eneo la koni ya usawa (sehemu ya axial ni pembetatu ya usawa) ni sawa na eneo la uso wa mpira na kipenyo cha urefu wa koni.

2. Pata eneo la uso wa mpira ulioandikwa kwenye silinda ya equilateral (sehemu ya axial ni mraba), diagonal ya sehemu ya axial ambayo ni sawa na a.

3. Radi ya besi za ukanda wa spherical ni 10 cm na 12 cm, na urefu wake ni cm 11. Pata eneo la uso wa ukanda wa spherical.

4. Radi ya sehemu ya mpira ni sawa na R, safu ya sehemu ya axial ni 90 0. Pata jumla ya eneo la sehemu.

Chaguo la 2

1. Thibitisha kwamba ikiwa koni ya usawa (sehemu ya axial ni pembetatu ya equilateral) na hemisphere ina msingi wa kawaida, basi eneo la uso wa pembeni wa koni ni sawa na eneo la hemisphere.

2. Pata uwiano wa maeneo ya uso wa nyanja mbili, moja ambayo imeandikwa, na ya pili imefungwa kuhusu silinda ya equilateral (sehemu ya axial ni mraba).

3. Radi ya mpira ni cm 25. Pata maeneo ya sehemu ambazo uso wa mpira umegawanywa na sehemu ambayo eneo lake ni 49p cm 2.

4. Urefu wa sehemu ya mpira ni h, safu ya sehemu ya axial ni sawa na 120 0. Pata jumla ya eneo la sehemu.

50. Mfumo wa kuratibu wa mstatili katika nafasi

Chaguo 1

1. Tengeneza pointi kwa kutumia viwianishi: A(1,2,3); B(-2,0,3); C(0,0,-4); D(3,-1,0).

2. Miongoni mwa pointi hizi K(-6,0,0), L(10,-5,0), M(0,6,0), N(7,-8,0), P(0,0,-20), Q(0,11,-2) tafuta zile ambazo ni za: a) mhimili Oy; b) shoka Oz; c) ndege Oksi; d) ndege Oyz.

3. Pata kuratibu za besi za perpendiculars zilizoachwa kutoka kwa pointi zilizotolewa E(6,-2,8) na F(-3,2,-5) kwenye: a) mhimili Ng'ombe; b) ndege Oxz.

G.H., Kama G(2,-3,5), H(4,1,-3).

U(8,0,6), V(20.-14.0) kuhusiana na: a) ndege Oyz; b) shoka Ng'ombe.

Chaguo la 2

1. 1. Tengeneza pointi kwa kutumia viwianishi: E(-1,2,0); F(1,0,-4); G(2,3,-1); H(0,-2,0).

2. Miongoni mwa pointi A(0,-1,0), B(0,1,-3), C(4,0,0), D(0,0,-5), E(-1,0,7), F(0,10,10) tafuta zile ambazo ni za: a) mhimili Ng'ombe; b) shoka Oy; c) ndege Oyz; d) ndege Oxz.

3. Pata kuratibu za misingi ya perpendiculars imeshuka kutoka kwa pointi M(9,-1,-6) na N(-12,5,8) kwenye: a) mhimili Oz; b) ndege Oksi.

4. Pata kuratibu za katikati ya sehemu G.H., Kama G(3,-2,4), H(5,2,-6).

5. Tafuta viwianishi vya pointi zinazolingana na pointi P(0,0,5), V(0,-1,-2) jamaa na: a) ndege Oksi; b) shoka Oy.

51. Umbali kati ya pointi katika nafasi

Chaguo 1

A(2,3,4), B(1,2,3), C(3,4,5) kwa vipeo vya pembetatu.

Oz M(-1,-2,0) na N(3,0,4).

C(-2,0,3) na: a) radius; b) kupita kwa uhakika K(1,-4,3).

x 2 + 8y + y 2 + z 2 – 6x =0.

5. Tufe x 2 + y 2 + z 2 +4x – 2y=0 iliyokatizwa na ndege Oyz

Chaguo la 2

1. Amua ikiwa vidokezo ni E(-4,-5,-6), F(-1,-2,-3), G(-2,-3,-4) kwa vipeo vya pembetatu.

2. Tafuta viwianishi vya sehemu inayomilikiwa na mhimili Oy na kwa usawa mbali na pointi K(1,3,0) na L(4,-1,3).

3. Andika mlinganyo wa tufe yenye katikati kwenye ncha C(0,-5,6) na: a) radius 10; b) kupita kwa uhakika H(2,-3,5).

4. Pata kuratibu za kituo na radius ya nyanja iliyotolewa na equation x 2 + y 2 + z 2 – 8z - 20 =0.

5. Tufe x 2 + y 2 + z 2 +2x – 6z=0 iliyokatizwa na ndege Oksi. Pata kuratibu za kituo na eneo la duara lililo kwenye sehemu hiyo.

52. Vector kuratibu

Chaguo 1

1. Tafuta kuratibu za vekta: a) 2 + 3 - 4 ; b) -5 + 10; c) - +.

2. Pata urefu wa vector: a) (1,-2,10); b) ikiwa A(0,-5,1), B(2,0,-8); c) + ikiwa (6,2,-6), (2,-2,0).

3. Pata kuratibu za uhakika C, ikiwa: a)
(-5,6,8), D(0,-1,2); b) D(-13, ,6),
(-5,0,0).

4. Tafuta nambari x, y, z, ili usawa ushike =
, ikiwa (5,-2,0), (0,2,-6), (-5,0,-8), (-5,2,-4).

Chaguo la 2

1. Pata kuratibu za vector: a) 3 - 4 + 2; b) -2 - ; V) -.

2. Pata urefu wa vector: a) (0,-3,2); b) ikiwa M(0,-5,1), N(2,0,-8); c) - ikiwa (0,-2,6), (-5,0,3).

3. Pata kuratibu za uhakika E, ikiwa: a) (0,-3,11), F(5,-1,0); b) F(5,0,-9),
(-2,4,-6).

4. Tafuta nambari u, v, w, ili usawa =
, ikiwa (-30.6,-12), (5,-6.0), (10,-3,2), (0,1,2).

53. Bidhaa ya dot ya vectors

Chaguo 1

1. Tambua ishara bidhaa ya nukta vekta na ikiwa pembeni kati yao inakidhi ukosefu wa usawa: a) 0 0

2. Pembe kati ya vekta na ni sawa na 90 0. Kwa nini sawa na pembe kati ya vekta: a) - na; b) - na?

+
+
= 0.

4. Katika tetrahedron ya kawaida ABCD na makali sawa na 1, pata bidhaa ya scalar: a)
; b)
; V)
, Wapi H Na QA.C. Na BD.

Chaguo la 2

1. Bainisha angle kati ya vekta na iko katika muda gani ikiwa: a) > 0.

2. Angle kati ya vectors na
sawa na 900. Je, ni pembe gani kati ya vectors: a) na -; b) - na -?

3. Thibitisha usawa: a) ; b)
=
.

4. Katika tetrahedron ya kawaida ABCD yenye makali sawa na a, pata bidhaa ya scalar: a)
; b)
; V)
, Wapi E Na F- katikati ya mbavu, kwa mtiririko huo B.C. Na AD.

54. Mlinganyo wa ndege angani

Chaguo 1

H(-3,0,7) na perpendicular kwa vector na kuratibu (1,-1,3).

2. Tafuta viwianishi vya sehemu ya makutano ya ndege 2 x – y + 3z- 1 = 0 na mhimili: a) abscissa; b) kuratibu.

B(3,-2,2) na: a) sambamba na ndege Oyz; b) perpendicular kwa mhimili Ng'ombe.

M(5,-1,3) na perpendicular kwa vector ikiwa N(0,-2,1).

Chaguo la 2

1. Andika equation ya ndege inayopita kwenye uhakika P(5,-1,0) na perpendicular kwa vector na kuratibu (0,-6,10).

2. Pata kuratibu za hatua ya makutano ya ndege x + 4y - 6z- 7 = 0 na mhimili: a) kuratibu; b) kuomba.

3. Andika equation ya ndege ikiwa inapita kwa uhakika C(2,-4,-3) na: a) sambamba na ndege Oxz; b) perpendicular kwa mhimili Oy.

4. Andika equation ya ndege ambayo inapita kwa uhakika E na perpendicular kwa vector (4,-5,0), ikiwa F(3,-1,6).

55*. Mlinganyo wa mstari katika nafasi

Chaguo 1

1. Tafuta thamani d, ambayo mstari wa moja kwa moja

huvuka mhimili Oz.

ili mstari wa moja kwa moja: a) kuwa sambamba na mhimili Ng'ombe; b) amelala kwenye ndege Oxz; c) kuvuka mhimili Oy.

na ndege za kuratibu.

Chaguo la 2

1. Tafuta maadili b Na d, ambayo mstari wa moja kwa moja

hukatiza ndege Oksi.

2. Pata masharti ambayo coefficients katika equations ya mstari lazima kukidhi

ili mstari wa moja kwa moja: a) sanjari na mhimili Oz; b) ilikuwa sambamba na ndege Oyz; c) kupita kwa njia ya asili.

3. Pata kuratibu za pointi za makutano ya mstari

na ndege za kuratibu.

4. Andika equations ya parametric ya mstari

56. Kazi ya uchambuzi wa takwimu za anga

Chaguo 1

x 2 + y 2 +z 2 = 1; b) x 2 = 1; V) xyz = 0.

A)
b)

3. Pointi zinatolewa A(2,5,12), B(1,0,0), C(-1,-5,4) na ndege
Na , iliyotolewa kwa mtiririko huo na milinganyo 2 x – y + z+1 = 0 na x – 5y –13z+1 = 0. Kwa kila moja ya ndege hizi, tafuta kati ya pointi ulizopewa zile ambazo ziko upande uleule wa ndege na asili.

4. Kupewa ndege 3 x – y +4z O(0,0,0) na D(2,1,0); b) E(1,2,1) na F(5,15,-1)?

Chaguo la 2

1. Tafuta ni ipi takwimu ya kijiometri huweka equation: a) x 2 + y 2 +(z+1) 2 = 1; b) x 2 – y 2 = 0; V) x 2 = 0.

2. Jua ni takwimu gani ya kijiometri ambayo mfumo unafafanua:

A)
b)

3. Pointi zinatolewa E(-14,22,0), F(1,-5,12), G(0,0,5) na ndege Na , iliyotolewa kwa mtiririko huo na milinganyo x – 2z+12 = 0 na x + 5y + z+25 = 0. Kwa kila moja ya ndege hizi, tafuta kati ya pointi zilizotolewa zile ambazo ziko upande mmoja wa ndege na asili.

4. Kupewa ndege 3 x – y +4z+1 = 0. Je, pointi ziko upande huo huo: a) A(-1,2,-5) na B(-15,1,0); b) K(1,
,5) na L(1,15,-15)?

57*. Polyhedra katika shida za uboreshaji

Chaguo 1

1. Vipeo vya tetrahedron vina viwianishi vifuatavyo: O(0,0,0), A(1,1,0), B(0,2,0),C(1,5,7). Andika usawa unaoonyesha eneo la ndani la tetrahedron hii.

2. Tafuta eneo linalofafanuliwa na mfumo ufuatao wa ukosefu wa usawa:

A)
b)

Picha yake.

3. Andika mfumo wa usawa ambao huamua eneo la ndani la prism ya pembetatu ya kulia. OABO 1 A 1 B 1 ikiwa O(0,0,0), A(0,2,0), B(0,0,2), O 1 (5,0,0). Chora na utafute kiasi chake.

u = x + y – 2z + 1 kwenye prism ya pembetatu kutoka kwa shida iliyotangulia.

Chaguo la 2

1. Kutokana na wima ya tetrahedron A(-1,1,0), B(-2,2,0), C(-2,0,0), D(-1,5,7). Ni ipi kati ya pointi M(2,3,-1), N(- , , ), P(0,0,1), H(- , , ) ni wa eneo la ndani la tetrahedron hii?

2. Tafuta eneo linalofafanuliwa na mfumo ufuatao wa ukosefu wa usawa: a)
b)

3. Andika mfumo wa kutofautiana unaoamua eneo la ndani la tetrahedron OABC, Kama O(0,0,0), A(5,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6). Chora na utafute kiasi chake.

4. Pata maadili makubwa na madogo zaidi ya chaguo la kukokotoa la mstari u= x – y + z – 1 kwenye tetrahedron kutoka kwa shida iliyopita.

58*. Kuratibu za polar kwenye ndege

Chaguo 1

A(2, ), B(1, ), C( , ), D(3, ), E(4, ), F( , ).

2. Andika viwianishi vya Cartesian vya pointi G(2, ), H( , ), P(5, ), Q(3,- ).

3. Tafuta viwianishi vya polar vya vipeo na nukta za makutano za darubini za mraba wa kitengo, ukichukua moja ya vipeo vyake kama asili ya viwianishi, na upande unaopita kwenye kipeo kilichochaguliwa kama mhimili wa polar.

M(1, ), N(3, ), P( ,- ), Q(, ) kuhusiana na: a) mhimili wa polar; b) asili ya kuratibu.

Chaguo la 2

1. Chora ndani mfumo wa polar kuratibu za uhakika A(3, ), B(5, ), C( , ), D(6, ), E(2, ), F( , ).

2. Andika kuratibu za polar za pointi K(0,6), L(-2,0), M(-1,1), N( ,1).

3. Tafuta viwianishi vya polar vya vipeo vya heksagoni ya kawaida ambavyo upande wake ni sawa na 1, ukichukua moja ya vipeo vyake kama asili, na upande unaopita kupitia kipeo kilichochaguliwa kama mhimili wa polar.

4. Pata kuratibu za polar za pointi zinazolingana na pointi G(2, ), H(3, ), R(3,- ), S( , ) kuhusiana na: a) asili ya viwianishi; b) mhimili wa polar.

59*. Kuratibu za spherical katika nafasi

Chaguo 1

1. Pata kuratibu za Cartesian za pointi zifuatazo katika nafasi, zilizotajwa na kuratibu za spherical: (1.45 0 .60 0), (2.30 0 .90 0), (1.90 0, 20 0).

2. Tafuta viwianishi vya duara vya nukta zifuatazo kwenye nafasi, vilivyotolewa na viwianishi vya Cartesian: A(1,1, ), B(1,0,1), C(0,0,1).

3. Pata eneo la kijiometri la pointi katika nafasi ambazo kuratibu za spherical zinakidhi masharti: a) y = 45 0; b) j= 60 0 .

r 2; b) r 1, y 0?

Chaguo la 2

1. Tafuta Viwianishi vya Cartesian vya pointi zifuatazo katika nafasi, zilizobainishwa na kuratibu za duara: (1,-45 0,60 0), (2,30 0,-90 0), (3,-90 0, 50 0) .

2. Tafuta viwianishi vya duara vya nukta zifuatazo kwenye nafasi, vilivyotolewa na viwianishi vya Cartesian: A(2,2 ), B(-1,0,1), C(0,0,-1).

3. Pata eneo la kijiometri la pointi katika nafasi ambazo kuratibu za spherical zinakidhi masharti: a) y= 30 0; b) j = 90 0 .

4. Ni takwimu gani katika nafasi inayotolewa na kutofautiana: a) r 1; b) r 1, -j 0?

60*. Kutumia programu ya kompyuta "Hisabati" kuonyesha takwimu za anga

Chaguo 1

1. Pata picha ya tetrahedron.

2. Kufanya uendeshaji wa truncation ya tetrahedron na kupata octahedron.

3. Jinsi ya kupata nyota ya Kepler kutoka kwa octahedron?

z = xy.

Chaguo la 2

1. Pata picha ya mchemraba.

2. Fanya operesheni ya kupunguza mchemraba na kupata cuboctahedron.

3. Jinsi ya kupata dodecahedron ya rhombic kutoka mchemraba?

4. Pata picha ya uso z = cos x cos y.

MAJIBU

Kazi ya kujitegemea N 2

KATIKA 1. 4. 6. B2. 3. 10. 4. 4.

KATIKA 1. 2. a) B=8, P=12, G=6; b) V=14, P=21, D=9; c) B= n+1, Р=2 n, Г= n+1. 3. a) goli 5; b) 7-gonal; c) 3-gonal. 4. Rangi tatu. SAA 2. 2. a) B=8, P=12, G=6; b) B=7, P=12, G=7; c) B=2 n, Р=3 n, Г= n+2. 3. a) tetragonal; b) 7-gonal; c) pembetatu. 4. Rangi mbili.

KATIKA 1. 3. 3. 4. 3. B2. 3. 3. 4. 3.

KATIKA 1. 3. Wanazaliana. SAA 2. 3. Hapana. 4. Hapana.

KATIKA 1. 3. Sambamba.

KATIKA 1. 2. Taarifa 1), 3), 4) ni kweli. 4. Ikiwa AB || CD, Hiyo A.C.|| BD; Kama AB huvuka na CD, Hiyo A.C. huvuka na BD. SAA 2. 2. Taarifa 3) ni kweli. 4. Ikiwa AB || CD, Hiyo AD Na B.C. vuka; Kama AB Na CD msalaba, basi AD Na B.C. kuchana.

KATIKA 1. 2. 26. 3. a); b)
; V)
, Wapi M- kati B.C.. 4. a)
; b); V) . SAA 2. 2. 24. 3. a)
; b)
; V)
, Wapi M- kati B.A.. 4. a)
; b); V) .

KATIKA 1. 1.
. 2. Vekta + ina mwelekeo sawa na vekta; | + | = | | - | |. SAA 2. 1.
. 2. Vekta + ina mwelekeo sawa na vekta; | + |=| | - | |.

KATIKA 1. 1. Moja, ikiwa mstari wa moja kwa moja unaopita kati yao unafanana na mwelekeo wa kubuni; mbili ndani vinginevyo. 2. Usambamba na usawa wa pande tofauti; kugawanya diagonal kwenye sehemu ya makutano. 3. Mistari ya moja kwa moja inaingiliana na mmoja wao ni sawa na mwelekeo wa kubuni. SAA 2. 1. Moja, ikiwa pointi zote ni za mstari mmoja wa moja kwa moja sambamba na mwelekeo wa kubuni; mbili, ikiwa mstari unaopitia pointi mbili hizi ni sawa na mwelekeo wa kubuni, na hatua ya tatu sio ya mstari huu; tatu katika kesi nyingine. 2. Usambamba na usawa wa pande tofauti; kugawanya diagonal kwenye sehemu ya makutano. 3. Mstari wa moja kwa moja haufanani na mwelekeo wa kubuni na hatua ni ya mstari au ndege inayopitia hatua hii na mstari ni sawa na mwelekeo wa kubuni.

KATIKA 1. 3. Nyuso za mchemraba hazifanani na ndege ya kubuni na mwelekeo wa kubuni ni sawa na diagonal. B.D. 4.. SAA 2. 1. H=24, P=36, D=14. 4.. 3. Rb; b) y B. 4. a) Ndiyo; b) hapana. SAA 2. 1. a) Tufe yenye kituo katikati (0,0,-1) na kipenyo cha 1; b) ndege mbili zinazoingiliana; c) ndege Oyz. 2. a) Parallelepiped ya mstatili; b) mistari miwili inayokatiza iliyo kwenye ndege Oksi. 3. Kwa : uhakika F; kwa: pointi E, F, G. 4. a) Ndiyo; b) hapana.

KATIKA 1. 1.

2. a) Eneo la ndani la tetrahedron yenye vipeo (0,0,0), (1,0,0). (0,1,0), (0,0,1); b) eneo la ndani la parallelepiped ya mstatili yenye vipeo (5,5,0), (5,3,0), (7,3,0), (7,5,0), (5,5,10) , (5 ,3,10), (7,3,10), (7,5,10).

3.
V = 20. 4. 8 - kubwa zaidi; 3 ndio ndogo zaidi.

SAA 2. 1. Pointi N Na H. 2. a) Eneo kati ya ndege mbili sambamba; b) eneo la ndani la prism ya pembetatu ya kulia yenye wima (0,0,0), (0,3,0). (0,0,3), (-2,0,0), (-2,3,0), (-2, 0.3).

(); (); (0, stereometry. Toa mifano ya vitu halisi... polyhedra. Maendeleo. Orodha msingi dhana Na axioms stereometry. Toa mifano ya vitu halisi...

Miongozo

46 - 2 Utangulizi. Kipengee stereometry. Msingi dhana Na axioms stereometry. Corollaries ya kwanza kutoka kwa axioms 2 2 ... na icosahedron) 1 § 3*. Axioms sheria, kanuni 29. Axioms stereometry Msingi dhana stereometry(uhakika, mstari wa moja kwa moja, ndege, ...

Programu ya kazi ya kozi ya mafunzo "Jiometri"

Programu ya kufanya kazi

... stereometry. Axioms stereometry. Baadhi ya mfululizo kutoka kwa axioms. Kuu Lengo ni kuunda mawazo ya wanafunzi kuhusu kuu dhana Na axioms stereometry, wao...