Kielelezo kilichoundwa na mionzi mitatu inayotokana na hatua moja O na sio uongo katika ndege moja, na sehemu tatu za ndege zilizofungwa kati ya mionzi hii, inaitwa pembe ya trihedral (Mchoro 352).
Pointi O inaitwa vertex ya pembe, miale a, b, c ni kingo zake, sehemu za ndege. Nyuso hizo ni pembe za ndege, pia huitwa pembe za ndege za pembe tatu za pembe tatu. Pembe kati ya nyuso za gorofa huitwa pembe za dihedral za pembe ya trihedral iliyotolewa.
Nadharia 1. Katika pembe ya trihedral, kila pembe ya ndege ni chini ya jumla ya nyingine mbili.
Ushahidi. Inatosha kuthibitisha theorem kwa pembe kubwa zaidi ya ndege. Acha pembe kubwa zaidi ya ndege ya pembe tatu kwenye Mtini. 353. Hebu tujenge pembe katika ndege sawa na pembe upande wake b hupita ndani ya pembe (kubwa zaidi ya pembe za ndege!).
Hebu tuweke kwenye mistari c na b yoyote makundi sawa Hebu tuchore ndege ya kiholela kwa njia ya pointi, kuingiliana na mionzi a na b kwa pointi N na M, kwa mtiririko huo.
Pembetatu ni sawa na kuwa nayo pembe sawa kuhitimishwa kati ya vyama sawa. Hebu tuonyeshe kwamba pembe yenye kipeo O ndani ni kubwa kuliko pembe yenye kipeo sawa katika . Hakika, pembe hizi zimo kati ya jozi pande sawa, upande wa tatu ni kubwa katika pembetatu
Hii inaonyesha kwamba jumla ya pembe mbili za ndege ni kubwa zaidi kuliko pembe ya tatu ya ndege, ambayo ndiyo iliyohitajika kuthibitishwa.
Nadharia 2. Jumla ya pembe za ndege za pembe ya trihedral ni chini ya pembe nne za kulia.
Ushahidi. Wacha tuchukue alama tatu A, B na C kwenye kingo za pembe ya trihedral na kuchora ndege ya kukata kupitia kwao, kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 354. Jumla ya pembe za pembetatu ABC ni sawa na Kwa hiyo, jumla ya pembe sita OAC, OAB, OCA, OCB, OBC, OVA ni kubwa zaidi kuliko kulingana na theorem ya awali. Lakini jumla ya pembe za pembetatu tatu OAB, OBC, OCA katika nyuso za pembe tatu ni sawa na . Kwa hivyo, sehemu ya pembe za gorofa ya pembe ya trihedral inabakia chini ya mistari minne ya moja kwa moja:. Jumla hii inaweza kuwa ndogo kiholela ("trihedral spire") au karibu kiholela ikiwa tutapunguza urefu wa piramidi ya SABC kwenye Mtini. 355, kuhifadhi msingi wake, basi jumla ya pembe za ndege kwenye vertex S itaelekea
Jumla ya pembe za dihedral za pembe tatu pia ina mipaka. Ni wazi kwamba kila pembe ya dihedral na kwa hiyo jumla yao ni chini ya . Kwa piramidi sawa kwenye Mtini. 355 Jumla hii inakaribia ukomo wake kadri urefu wa piramidi unavyopungua.Inaweza pia kuonyeshwa kuwa jumla hii daima, ingawa inaweza kutofautiana na kidogo kama inavyotakiwa.
Kwa hivyo, kwa pembe za ndege na dihedral za pembe tatu, usawa ufuatao unashikilia:
Kuna kufanana kwa kiasi kikubwa kati ya jiometri ya pembetatu kwenye ndege na jiometri ya pembe ya trihedral. Katika kesi hii, mlinganisho unaweza kuchorwa kati ya pembe za pembetatu na pembe za dihedral za pembe ya trihedral, kwa upande mmoja, na kati ya pande za pembetatu na pembe za gorofa za pembe tatu, kwa upande mwingine. Kwa mfano, na uingizwaji ulioonyeshwa wa dhana, nadharia juu ya usawa wa pembetatu inabaki kuwa halali. Wacha tuwasilishe uundaji unaolingana sambamba:
Walakini, pembe tatu za utatu ambazo pembe za dihedral zinazolingana ni sawa zinalingana. Wakati huo huo, pembetatu mbili ambazo pembe zao ni sawa ni sawa, lakini si lazima ziwe sawa. Kwa pembe tatu, pamoja na pembetatu, kazi ya kutatua pembe ya trihedral imewekwa, ambayo ni, kazi ya kutafuta baadhi ya vipengele vyake kutoka kwa wengine. Wacha tutoe mfano wa kazi kama hiyo.
Kazi. Pembe za ndege za pembe ya trihedral hutolewa. Tafuta pembe zake za dihedral.
Suluhisho. Hebu tuweke sehemu kwenye makali a na kuchora sehemu ya kawaida ya ABC ya angle ya dihedral a. Kutoka pembetatu ya kulia OAV tunapata Pia tunayo
Kwa BC tunapata kwa nadharia ya cosine inayotumika kwa pembetatu BAC (kwa ufupi tunaashiria pembe za ndege kama ab, ac, bc, pembe za dihedral - a, b, c)
Sasa tunatumia nadharia ya cosine kwa pembetatu BOC:
Kutoka hapa tunapata
na vivyo hivyo
Kutumia fomula hizi, unaweza kupata pembe za dihedral, ukijua pembe za ndege. Wacha tuangalie, bila uthibitisho, uhusiano wa kushangaza
inayoitwa theorem ya sines.
Ufafanuzi wa mlinganisho wa kina kati ya jiometri ya pembe ya trihedral na jiometri ya pembetatu si vigumu kupata ikiwa tunafanya ujenzi unaofuata. Hebu tuweke katikati ya nyanja ya radius ya kitengo kwenye vertex ya pembe ya trihedral O (Mchoro 357).
Kisha kingo zitaingiliana na uso wa nyanja kwa alama tatu A, B, C, na kingo za pembe zitakata arcs kwenye nyanja. miduara mikubwa AC, AB, BC. Kielelezo ABC huundwa kwenye tufe, inayoitwa pembetatu ya duara. Arcs ("pande" za pembetatu) hupimwa na pembe za ndege za pembe ya trihedral, pembe kwenye vertices ni pembe za ndege za pembe za dihedral. Kwa hiyo, ufumbuzi wa pembe za trihedral sio kitu kingine zaidi ya ufumbuzi wa pembetatu za spherical, ambayo ni somo la trigonometry ya spherical. Mahusiano (243.1) na (243.2) ni kati ya mahusiano ya kimsingi ya trigonometria ya spherical. Trigonometry ya spherical Ina muhimu kwa astronomia. Kwa hiyo, nadharia ya pembe tatu ni nadharia ya pembetatu ya spherical na kwa hiyo ni kwa njia nyingi sawa na nadharia ya pembetatu kwenye ndege. Tofauti kati ya nadharia hizi ni kwamba: 1) katika pembetatu ya duara, pembe zote mbili na pande zote hupimwa kwa kipimo cha angular, kwa hivyo, kwa mfano, katika nadharia ya sines sio pande zinazoonekana, lakini sines za pande AB. , AC, BC;
Pembe ya polyhedral sehemu ya nafasi iliyopunguzwa na cavity moja ya polyhedral uso wa conical, mwelekeo ambao ni poligoni bapa bila makutano ya kibinafsi. Nyuso za uso huu huitwa nyuso za mosaic, na juu inaitwa juu ya mosaic. M. u. inaitwa kawaida ikiwa pembe zake zote za mstari na pembe zake zote za dihedral ni sawa. Meroy M. u. ni eneo lililozuiliwa na poligoni ya duara inayopatikana kwa makutano ya nyuso za poligoni, tufe yenye radius. sawa na moja, na katikati kwenye kipeo cha M. y. Tazama pia Pembe Mango.
Kubwa Ensaiklopidia ya Soviet. - M.: Encyclopedia ya Soviet. 1969-1978 .
Tazama "pembe ya polyhedral" ni nini katika kamusi zingine:
Angalia pembe thabiti... Kubwa Kamusi ya encyclopedic
Tazama pembe thabiti. * * * ANGLE YA POLYHEDAL ANGLE POLYHEDAL, tazama Pembe Mango (angalia ANGLE MANGO) ... Kamusi ya encyclopedic
Sehemu ya nafasi iliyopunguzwa na cavity moja ya polyhedral conic. uso unaoelekea kwenye kundi la poligoni bapa bila makutano ya kibinafsi. Nyuso za uso huu zinaitwa. kingo za M. u., juu ya kilele cha M. u. Pembe ya polyhedral inaitwa sahihi... Encyclopedia ya hisabati
Angalia pembe Mango... Sayansi ya asili. Kamusi ya encyclopedic
pembe ya polyhedral- hisabati. Sehemu ya nafasi iliyofungwa na ndege kadhaa zinazopita kwenye sehemu moja (vertex ya pembe) ... Kamusi ya misemo mingi
NYINGI, yenye sura nyingi, yenye sura nyingi (kitabu). 1. Kuwa na nyuso au pande kadhaa. Jiwe lenye sura nyingi. Pembe ya polyhedral (sehemu ya nafasi iliyopunguzwa na ndege kadhaa zinazoingiliana kwa hatua moja; mkeka). 2. uhamisho...... Kamusi Ushakova
- (mkeka.). Ikiwa tunachora mistari ya moja kwa moja OA na 0B kutoka kwa uhakika O kwenye ndege iliyotolewa, tunapata angle AOB (Mchoro 1). Crap. 1. Pointi 0 inayoitwa kipeo cha pembe, na mistari iliyonyooka OA na 0B kama pande za pembe. Tuseme kwamba pembe mbili ΒΟΑ na Β 1 Ο 1 Α 1 zimetolewa. Hebu tulazimishe ili... ...
- (mkeka.). Ikiwa tunachora mistari ya moja kwa moja OA na 0B kutoka kwa uhakika O kwenye ndege iliyotolewa, tunapata angle AOB (Mchoro 1). Crap. 1. Pointi 0 inayoitwa kipeo cha pembe, na mistari iliyonyooka OA na 0B kama pande za pembe. Tuseme kwamba pembe mbili ΒΟΑ na Β1Ο1Α1 zimetolewa. Wacha tuziweke juu ili wima O ... Kamusi ya Encyclopedic F.A. Brockhaus na I.A. Efron
Neno hili lina maana zingine, angalia Angle (maana). Pembe ∠ Dimension ° SI vitengo Radian ... Wikipedia
Gorofa, takwimu ya kijiometri, inayoundwa na mionzi miwili (pande za uso) inayotokana na hatua moja (vertex ya uso). Kila U. yenye kipeo katikati ya O ya duara fulani (U. ya kati), inafafanua kwenye duara safu ya AB inayopakana na... ... Encyclopedia kubwa ya Soviet
Slaidi 1
Kielelezo kilichoundwa na uso maalum na moja ya sehemu mbili za nafasi iliyopunguzwa nayo inaitwa pembe ya polyhedral. Kipeo cha kawaida S kinaitwa vertex ya pembe ya polihedral. Miale SA1, ..., SAN inaitwa kingo za pembe ya polihedral, na pembe za ndege zenyewe A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 zinaitwa nyuso za pembe ya polihedral. Pembe ya polihedra inaonyeshwa kwa herufi SA1...An, ikionyesha kipeo na pointi kwenye kingo zake. Uso unaoundwa na seti ndogo ya pembe za ndege A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 yenye vertex ya kawaida S, ambayo pembe za karibu hazina pointi za kawaida, isipokuwa pointi za ray ya kawaida, na pembe zisizo karibu. hawana pointi za kawaida, pamoja na vertex ya kawaida, itaitwa uso wa polyhedral.
Slaidi 2
Kulingana na idadi ya nyuso, pembe za polyhedral ni trihedral, tetrahedral, pentagonal, nk.
Slaidi ya 3
ANGELI TATU
Nadharia. Kila pembe ya ndege ya pembe tatu ni chini ya jumla ya pembe zake nyingine mbili za ndege. Uthibitisho: Zingatia pembe tatu za SABC. Hebu kubwa zaidi ya pembe zake za ndege iwe angle ASC. Kisha kukosekana kwa usawa ASB ASC huridhika
Slaidi ya 4
Mali. Jumla ya pembe za ndege za pembe tatu ni chini ya 360 °. Vile vile, kwa pembe tatu zenye vipeo B na C, ukosefu wa usawa ufuatao unashikilia: ABC
Slaidi ya 5
ANGELI CONVEX POLYHEDAL
Pembe ya polihedral inaitwa convex ikiwa iko sura ya convex, yaani, pamoja na pointi zake mbili, ina sehemu inayowaunganisha. Takwimu inaonyesha mifano ya pembe za polyhedral convex na zisizo za convex. Sifa: Jumla ya pembe zote za ndege za pembe ya polihedra ya mbonyeo ni chini ya 360°. Uthibitisho ni sawa na uthibitisho wa mali inayolingana kwa pembe ya trihedral.
Slaidi 6
Pembe za wima za polihedral
Takwimu zinaonyesha mifano ya pembe tatu, tetrahedral na pentahedral wima. Pembe za wima ni sawa.
Slaidi 7
Kupima pembe za polyhedral
Kwa kuwa thamani ya shahada ya angle ya dihedral iliyoendelezwa inapimwa na thamani ya shahada ya sambamba pembe ya mstari na ni sawa na 180 °, basi tutafikiri kwamba thamani ya shahada ya nafasi nzima, ambayo inajumuisha pembe mbili za dihedral zilizofunuliwa, ni sawa na 360 °. Saizi ya pembe ya polyhedral, iliyoonyeshwa kwa digrii, inaonyesha ni nafasi ngapi ambayo pembe ya polihedral iliyopewa inachukua. Kwa mfano, pembe ya trihedral ya mchemraba inachukua sehemu ya nane ya nafasi na, kwa hiyo, thamani yake ya shahada ni 360 °: 8 = 45 °. Pembe ya pembetatu katika haki n-gono prism sawa na nusu pembe ya dihedral kwenye makali ya upande. Kwa kuzingatia kwamba hii angle ya dihedral sawa, tunaona kwamba pembe ya trihedral ya prism ni sawa.
Slaidi ya 8
Kupima pembe za pembe tatu*
Wacha tupate fomula inayoonyesha ukubwa wa pembe tatu kwa suala la pembe zake za dihedral. Hebu tueleze tufe la kitengo karibu na kipeo S cha pembe ya utatu na kuashiria pointi za makutano ya kingo za pembe tatu na tufe hii kama A, B, C. Ndege za nyuso za pembe tatu hugawanya tufe hii kuwa digoni sita kwa jozi sawa za duara zinazolingana na pembe za dihedral za pembe hii ya utatu. Mviringo pembetatu ABC na pembetatu ya duara yenye ulinganifu A"B"C" ni makutano ya digoni tatu. Kwa hiyo, jumla ya pembe za dihedral mara mbili ni sawa na 360o pamoja na pembe tatu ya pembe tatu, au SA +SB + SC = 180o + 2 SABC.
Slaidi 9
Kupima pembe za polihedral*
Acha SA1…Iwe pembe yenye sura n-iliyobonyea. Kuigawanya katika pembe tatu, kuchora diagonal A1A3, ..., A1An-1 na kutumia fomula inayopatikana kwao, tutakuwa na: SA1 + ... + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1… An. Pembe za polyhedral pia zinaweza kupimwa kwa nambari. Hakika, digrii mia tatu na sitini za nafasi zote zinalingana na nambari 2π. Kuhama kutoka digrii hadi nambari katika fomula inayotokana, tutakuwa na: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.
Slaidi ya 10
Zoezi 1
Je, kunaweza kuwa na pembe ya trihedral na pembe za gorofa: a) 30 °, 60 °, 20 °; b) 45 °, 45 °, 90 °; c) 30 °, 45 °, 60 °? Hakuna jibu; b) hapana; c) ndio.
Slaidi ya 11
Zoezi 2
Toa mifano ya polihedra ambazo nyuso zao, zikipishana kwenye vipeo, huunda tu: a) pembe tatu; b) pembe za tetrahedral; c) pembe za pentagonal. Jibu: a) Tetrahedron, mchemraba, dodecahedron; b) octahedron; c) icosahedron.
Slaidi ya 12
Zoezi 3
Pembe mbili za ndege za pembe ya trihedral ni 70 ° na 80 °. Je, ni mipaka gani ya pembe ya tatu ya ndege? Jibu: 10o
Slaidi ya 13
Zoezi 4
Pembe za ndege za pembe ya trihedral ni 45 °, 45 ° na 60 °. Pata pembe kati ya ndege za pembe za ndege za 45 °. Jibu: 90o.
Slaidi ya 14
Zoezi 5
Katika pembe ya trihedral, pembe mbili za ndege ni sawa na 45 °; pembe ya dihedral kati yao ni sawa. Pata pembe ya tatu ya ndege. Jibu: 60o.
Slaidi ya 15
Zoezi 6
Pembe za ndege za pembe ya trihedral ni 60 °, 60 ° na 90 °. Sehemu sawa za OA, OB, OC zimewekwa kwenye kingo zake kutoka kwa vertex. Tafuta pembe ya dihedral kati ya ndege ya pembe ya 90° na ndege ya ABC. Jibu: 90o.
Slaidi ya 16
Zoezi 7
Kila pembe ya ndege ya pembe ya trihedral ni 60 °. Kwenye moja ya kingo zake sehemu sawa na cm 3 imewekwa kutoka juu, na perpendicular imeshuka kutoka mwisho wake hadi uso wa kinyume. Tafuta urefu wa perpendicular hii. Jibu: tazama
Slaidi ya 17
Zoezi 8
Tafuta locus pointi za ndani pembe tatu za usawa kutoka kwa nyuso zake. Jibu: Mionzi ambayo vertex ni vertex ya pembe ya trihedral, imelala kwenye mstari wa makutano ya ndege zinazogawanya pembe za dihedral kwa nusu.
Slaidi ya 18
Zoezi 9
Pata eneo la sehemu za ndani za pembe tatu za usawa kutoka kingo zake. Jibu: Mwale ambao kipeo chake ni kipeo cha pembe tatu, iliyo kwenye mstari wa makutano ya ndege zinazopitia sehemu mbili za pembe za ndege na. perpendicular kwa ndege pembe hizi.
Slaidi ya 19
Zoezi 10
Kwa pembe za dihedral za tetrahedron tuna: , wapi 70o30". Kwa pembe tatu za tetrahedron tuna: 15o45". Jibu: 15o45". Pata maadili ya takriban ya pembe tatu za tetrahedron.
Slaidi ya 20
Zoezi 11
Pata maadili ya takriban ya pembe za tetrahedral za octahedron. Kwa pembe za dihedral za octahedron tuna: , wapi 109о30". Kwa pembe za tetrahedral za octahedron tuna: 38о56". Jibu: 38o56".
Slaidi ya 21
Zoezi 12
Pata maadili ya takriban ya pembe za pentahedral za icosahedron. Kwa pembe za dihedral za icosahedron tunayo: , wapi 138о11". Kwa pembe za pentahedral za icosahedron tuna: 75о28". Jibu: 75o28".
Slaidi ya 22
Zoezi 13
Kwa pembe za dihedral za dodekahedron tunayo: , wapi 116o34". Kwa pembe tatu za dodekahedron tuna: 84o51". Jibu: 84o51". Pata takriban maadili ya pembe tatu za dodecahedron.
Slaidi ya 23
Zoezi 14
Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD, upande wa msingi ni 2 cm, urefu ni cm 1. Pata angle ya tetrahedral kwenye kilele cha piramidi hii. Suluhisho: Piramidi zilizopewa hugawanya mchemraba katika piramidi sita sawa na wima katikati ya mchemraba. Kwa hiyo, pembe ya 4-upande juu ya piramidi ni moja ya sita ya angle ya 360 °, i.e. sawa na 60o. Jibu: 60o.
Slaidi ya 24
Zoezi 15
Katika haki piramidi ya pembe tatu mbavu za pembeni sawa na 1, pembe za kipeo 90°. Tafuta pembe ya utatu kwenye kipeo cha piramidi hii. Suluhisho: Piramidi zilizoonyeshwa hugawanya oktahedron katika piramidi nane sawa na wima katikati O ya octahedron. Kwa hiyo, pembe ya 3-upande juu ya piramidi ni moja ya nane ya angle ya 360 °, i.e. sawa na 45o. Jibu: 45o.
Slaidi ya 25
Zoezi 16
Katika piramidi ya kawaida ya triangular, kingo za pembeni ni sawa na 1, na urefu Tafuta pembe ya trihedral kwenye vertex ya piramidi hii. Suluhisho: Piramidi zilizoonyeshwa zimevunjwa tetrahedron ya kawaida kwa nne piramidi sawa na vipeo katikati ya Otetrahedron. Kwa hiyo, pembe ya 3-upande juu ya piramidi ni moja ya nne ya angle ya 360 °, i.e. sawa na 90o. Jibu: 90o.
Tazama slaidi zote
NUKUU YA MAANDIKO YA SOMO:
Katika planimetry, moja ya vitu vya kusoma ni pembe.
Pembe ni takwimu ya kijiometri inayojumuisha hatua - vertex ya pembe na mionzi miwili inayotokana na hatua hii.
Pembe mbili, upande mmoja ambao ni wa kawaida na nyingine mbili ni kuendelea kwa kila mmoja, huitwa karibu katika planimetry.
dira inaweza kuzingatiwa kama mfano wa pembe ya ndege.
Wacha tukumbuke wazo la pembe ya dihedral.
Hii ni takwimu inayoundwa na mstari wa moja kwa moja a na nusu-ndege mbili c mpaka wa pamoja Na, sio mali ya ndege moja katika jiometri inaitwa angle ya dihedral. Ndege-nusu ni nyuso za pembe ya dihedral. Mstari wa moja kwa moja a ni ukingo wa pembe ya dihedral.
Paa la nyumba linaonyesha wazi angle ya dihedral.
Lakini paa la nyumba katika takwimu ya pili hufanywa kwa namna ya takwimu iliyoundwa kutoka kwa pembe sita za gorofa na vertex ya kawaida ili pembe zichukuliwe. kwa utaratibu fulani na kila jozi ya pembe za karibu, ikiwa ni pamoja na ya kwanza na ya mwisho, ina upande wa pamoja. Je! umbo hili la paa linaitwaje?
Katika jiometri, takwimu inayoundwa na pembe
Na pembe ambazo angle hii hufanywa huitwa pembe za ndege. Pande za pembe za ndege huitwa kingo za pembe ya polyhedral. Pointi O inaitwa vertex ya pembe.
Mifano ya pembe za polyhedral zinaweza kupatikana katika tetrahedron na parallelepiped.
Nyuso za tetrahedron DBA, ABC, DBC huunda pembe ya polihedral BADC. Mara nyingi zaidi inaitwa pembe tatu.
Katika bomba linalofanana, nyuso za AA1D1D, ABCD, AA1B1B huunda pembe ya utatu AA1DB.
Naam, paa la nyumba hufanywa kwa sura ya pembe ya hexagonal. Inajumuisha pembe sita za gorofa.
Idadi ya mali ni kweli kwa pembe ya polihedral. Tuyaunge na kuyathibitisha. Inasema hapa kwamba taarifa hiyo
Kwanza, kwa pembe yoyote ya polihedral ya convex kuna ndege inayoingilia kingo zake zote.
Kwa uthibitisho, zingatia pembe ya polihedra OA1A2 A3…An.
Kwa hali, ni convex. Pembe inaitwa convex ikiwa iko upande mmoja wa ndege ya kila moja ya pembe zake za ndege.
Kwa kuwa, kwa hali, angle hii ni convex, kisha pointi O, A1, A2, A3, Uongo upande mmoja wa ndege OA1A2.
Hebu kutekeleza mstari wa kati KM ya pembetatu OA1A2 na uchague kutoka kingo OA3, OA4, OAn ukingo unaounda pembe ndogo zaidi ya dihedral na ndege ya OKM. Hebu hii iwe makali OAi. (оа jumla)
Hebu tuzingatie nusu ya ndege α na CM ya mpaka, kugawanya angle ya dihedral OKMAi katika pembe mbili za dihedral. Wima zote kutoka A hadi An ziko upande mmoja wa ndege α, na zielekeze O kwa upande mwingine. Kwa hiyo, ndege α inaingilia kando zote za pembe ya polyhedral. Taarifa hiyo imethibitishwa.
Pembe mbonyeo za polihedral zina mali nyingine muhimu.
Jumla ya pembe za ndege za pembe ya polihedral ya convex ni chini ya 360 °.
Fikiria pembe ya polyhedral ya convex na vertex katika hatua ya O. Kwa mujibu wa taarifa iliyothibitishwa, kuna ndege inayoingilia kingo zake zote.
Wacha tuchore ndege kama hiyo $ \ alpha $, ipitishe kingo za pembe kwa alama A1, A2, A3 na kadhalika.
Ndege α kutoka eneo la nje la pembe ya ndege itakata pembetatu. Jumla ya pembe ni 180 °. Tunapata kwamba jumla ya pembe zote za ndege kutoka A1OA2 hadi AnOA1 ni sawa na usemi, tunabadilisha usemi huu, tunapanga upya masharti, tunapata
KATIKA usemi huu hesabu zilizoonyeshwa kwenye mabano ni hesabu za pembe za ndege za pembe tatu, na kama inavyojulikana ni kubwa kuliko pembe ya tatu ya ndege.
Ukosefu huu wa usawa unaweza kuandikwa kwa pembe zote tatu zinazounda pembe ya polihedral iliyotolewa.
Kwa hivyo, tunapata muendelezo ufuatao wa usawa
Jibu linathibitisha kwamba jumla ya pembe za ndege za pembe ya polihedral ya convex ni chini ya digrii 360.
20. Utafiti wa ngazi mbalimbali wa pembe za polyhedral, mali ya pembe ya ndege ya pembe ya trihedral na pembe ya polyhedral.
Kiwango cha msingi cha:
Atanasyan
Inazingatia tu pembe ya Dihedral.
Pogorelov
Kwanza, anazingatia angle ya dihedral na kisha mara moja pembe za trihedral na polyhedral.
Hebu tuchunguze miale mitatu a, b, c, inayotoka kwenye sehemu moja na kulala kwenye ndege moja. Pembe ya trihedral (abc) ni takwimu inayoundwa na pembe tatu za gorofa (ab), (bc) na (ac) (Mchoro 400). Pembe hizi huitwa nyuso za pembe ya trihedral, na pande zao huitwa kingo. Kipeo cha kawaida cha pembe za ndege kinaitwa vertex ya pembe ya trihedral. Pembe za dihedral zinazoundwa na nyuso za pembe tatu huitwa pembe za dihedral za pembe ya trihedral.
Dhana ya pembe ya polyhedral inaletwa sawa (Mchoro 401).
Kielelezo 400 na Kielelezo 401
P 
kiwango cha wasifu(A.D. Aleksndrov, A.L. Werner, V.I. Ryzhikh):
Kuacha ufafanuzi na utafiti wa pembe za polyhedral za kiholela hadi § 31, sasa tutazingatia rahisi zaidi yao - pembe za trihedral. Ikiwa katika pembe za dihedral za sterometri zinaweza kuzingatiwa kama analogi za pembe za ndege, basi pembe tatu zinaweza kuzingatiwa kama analogi za pembetatu za ndege, na katika aya zifuatazo tutaona jinsi zinavyohusiana kwa asili na pembetatu za spherical.
Unaweza kuunda (na kwa hivyo kufafanua kwa njia nzuri) pembe ya utatu kama hii. Chukua miale yoyote mitatu a, b, c, kuwa nayo mwanzo wa jumla O na sio uongo katika ndege moja (Mchoro 150). Miale hii ni pande za pembe tatu za ndege mbonyeo: pembe α yenye pande b, c, pembe β yenye pande a, c, na pembe γ yenye pande a, b. Muungano wa pembe hizi tatu α, β, γ unaitwa pembe tatu Oabc (au, kwa ufupi, pembe tatu Oabc). Miale a, b, c inaitwa kingo za pembe ya trihedral Oabc, na pembe za ndege α, β, γ ni nyuso zake. Pointi O inaitwa vertex ya pembe tatu.
Maoni 3. Itawezekana kufafanua pembe ya trihedral na uso usio na convex (Mchoro 151), lakini hatutazingatia pembe hizo za trihedral. 
Kwa kila makali ya pembe ya trihedral, angle ya dihedral inayofanana imedhamiriwa, moja ambayo makali yake yana makali yanayofanana ya pembe ya trihedral, na nyuso zake zina nyuso za pembe ya trihedral iliyo karibu na makali haya.
Thamani za pembe za dihedral za pembe tatu za Oabc kwenye kingo a, b, c zitaonyeshwa mtawalia na a^, b^, c^ (kofia moja kwa moja juu ya herufi).
Nyuso tatu α, β, γ za pembe tatu ya Oabc na pembe zake tatu za dihedral katika mbavu a, b, с, pamoja na kiasi α, β, γ na а^, b^, с^ tutaita vipengele vya pembe ya trihedral. (Kumbuka kwamba vipengele vya pembetatu ya ndege ni pande zake na pembe zake.)
Kazi yetu ni kueleza baadhi ya vipengele vya pembe tatu kupitia vipengele vyake vingine, yaani, kuunda "trigonometry" ya pembe tatu.
1) Wacha tuanze kwa kupata analog ya theorem ya cosine. Kwanza, fikiria pembe tatu ya Oabc, ambayo ina angalau nyuso mbili, kwa mfano α na β, pembe kali. Wacha tuchukue hatua C kwenye ukingo wake c na kuchora kutoka kwayo katika nyuso α na β perpendiculars CB na CA hadi kingo c hadi zinaingiliana na kingo a na b kwa alama A na B (Mchoro 152). Hebu tueleze umbali AB kutoka kwa pembetatu OAB na CAB kwa kutumia nadharia ya cosine.
AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) na AB 2 =OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ.
Kuondoa ya kwanza kutoka kwa usawa wa pili, tunapata:
OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1). Kwa sababu pembetatu OSV na OCA zina pembe ya kulia, kisha AC 2 -AC 2 =OS 2 na OB 2 -VS 2 =OS 2 (2)
Kwa hivyo, kutoka (1) na (2) inafuata kwamba OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)
hizo. 
Lakini 
,
,
,
. Ndiyo maana
(3) - analog ya theorem ya cosine kwa pembe tatu - formula ya cosine.
Nyuso zote mbili α na β ni pembe butu.
Moja ya pembe α na β, kwa mfano α, ni ya papo hapo, na nyingine, β, ni butu.
Angalau 1 ya pembe α au β ni sawa.
Ishara za usawa wa pembe za trihedral sawa na ishara za usawa wa pembetatu. Lakini kuna tofauti: kwa mfano, pembe tatu za trihedral ni sawa ikiwa pembe zao za dihedral ni sawa sawa. Kumbuka kwamba pembetatu mbili za ndege ambazo pembe zinazolingana ni sawa zinafanana. Na kwa pembe za trihedral, hali kama hiyo husababisha sio kufanana, lakini kwa usawa.
Pembe za Trihedral zina ajabu mali ambayo inaitwa uwili. Ikiwa katika nadharia yoyote kuhusu pembe ya trihedral Oabc tunabadilisha maadili, b, kutoka hadi π-α, π-β, π-γ na, kinyume chake, badilisha α, β, γ na π-a^, π-b^, π-c^, kisha tunapata tena taarifa ya kweli kuhusu pembe tatu, mbili kwa nadharia moja ya asili. Ukweli, ikiwa uingizwaji kama huo unafanywa katika nadharia ya sines, basi tunakuja tena kwenye nadharia ya sines (ni mbili yenyewe). Lakini tukifanya hivi katika nadharia ya cosine (3), tunapata fomula mpya
cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.
Kwa nini uwili huo hutokea itakuwa wazi ikiwa kwa pembe ya trihedral tunajenga pembe ya trihedral mbili kwa hiyo, kingo ambazo ni perpendicular kwa nyuso za angle ya awali (angalia sehemu ya 33.3 na Mchoro 356).
Baadhi ya nyuso rahisi zaidi ni pembe za polyhedral. Zinaundwa na pembe za kawaida (sasa mara nyingi tutaziita pembe kama hizo kuwa pembe za gorofa), kama vile mstari uliofungwa uliovunjika unaundwa na sehemu. Yaani, ufafanuzi ufuatao unatolewa:
Pembe ya polyhedral inaitwa takwimu inayoundwa na pembe za ndege ili hali zifuatazo zifikiwe:
1) Hakuna pembe mbili zilizo na alama za kawaida isipokuwa kipeo chao cha kawaida au upande mzima.
2) Kwa kila moja ya pembe hizi, kila moja ya pande zake ni ya kawaida na moja na nyingine tu ya pembe hiyo.
3) Kutoka kila kona unaweza kwenda kila kona kando ya pembe ambazo zina pande za kawaida.
4) Hakuna pembe mbili zilizo na upande wa kawaida ziko kwenye ndege moja (Mchoro 324).
Chini ya hali hii, pembe za ndege zinazounda pembe ya polyhedral huitwa nyuso zake, na pande zao huitwa kando yake.
Chini ya ufafanuzi huu Pembe ya dihedral pia inafaa. Inaundwa na pembe mbili za gorofa zilizofunuliwa. Kipeo chake kinaweza kuzingatiwa hatua yoyote kwenye ukingo wake, na hatua hii inagawanya makali katika kingo mbili zinazokutana kwenye vertex. Lakini kutokana na kutokuwa na uhakika huu katika nafasi ya vertex, angle ya dihedral imetengwa na idadi ya pembe za polyhedral.
P 
Dhana ya pembe ya polyhedral ni muhimu, hasa, katika utafiti wa polyhedra - katika nadharia ya polyhedra. Muundo wa polyhedron unajulikana na nyuso gani zinafanywa na jinsi zinavyounganishwa kwenye wima, yaani, ni pembe gani za polyhedral zilizopo.
Fikiria pembe za polihedra za polihedra tofauti.
Kumbuka kwamba nyuso za pembe za polyhedral zinaweza pia kuwa zisizo za convex.