Jinsi ya kugawanya sehemu katika sehemu 2 sawa. Mwongozo wa elimu na mbinu "Mbinu za kufanya ujenzi wa kijiometri" kwa kufanya kazi ya graphic

PEMBE TEMBE.

§ 28. UJENZI WENYE COMPASI NA MTAWALA.

Hadi sasa, wakati wa kutatua matatizo ya ujenzi, tumetumia dira, mtawala, pembetatu ya kuchora na protractor.

Wacha sasa tutatue shida kadhaa za ujenzi kwa kutumia zana mbili tu - dira na mtawala.

Jukumu la 1. Gawanya sehemu hii katika nusu.

Kwa kuzingatia sehemu ya AB, unahitaji kuigawanya kwa nusu.

Suluhisho. Radius, zaidi ya nusu sehemu ya AB, tunaelezea kutoka kwa pointi A na B, kama kutoka kwa vituo, arcs intersecting (Mchoro 161). Kupitia pointi za makutano ya arcs hizi tunachora CD ya mstari wa moja kwa moja, ambayo itavuka sehemu ya AB kwa wakati fulani K na kuigawanya kwa nusu na hatua hii: AK = KV.

Hebu tuthibitishe. Hebu tuunganishe pointi A na B na pointi C na D. /\ CAD = /\ СВD, kwani kwa ujenzi AC = СВ, АD = ВD, СD - upande wa pamoja.

Kutoka kwa usawa wa pembetatu hizi inafuata hiyo / ACK = / VSK, yaani, SK ni sehemu mbili ya pembe kwenye kipeo cha pembetatu ya isosceles ASV. Na sehemu mbili za pembe kwenye kipeo cha pembetatu ya isosceles pia ni wastani wake, yaani, CD ya mstari wa moja kwa moja inagawanya sehemu ya AB kwa nusu.

Jukumu la 2. Chora perpendicular kwa mstari fulani AB kupitia hatua O iliyoko kwenye mstari huu.

Kwa kuzingatia mstari AB na nukta O iliyo kwenye mstari huu. Inahitajika kuchora mstari wa perpendicular kwa mstari wa AB kupita kwa uhakika O.

Suluhisho. Wacha tuweke mbili kwenye mstari AB kutoka kwa nukta O sawa na sehemu OM na ON
(mchoro 162). Kutoka kwa pointi M na N, kama kutoka kwa vituo, tutaelezea arcs mbili na radius sawa, kubwa kuliko OM. Tunaunganisha hatua ya makutano yao K na uhakika O. KO ni wastani katika pembetatu ya isosceles MKN, kwa hiyo, KO_|_A B (§ 18).

Jukumu la 3. Chora perpendicular kwa mstari fulani AB kupitia nukta C iliyo nje ya mstari huu.

Kwa kuzingatia mstari wa AB na nukta C nje ya mstari huu, mstari wa AB unaopita kwenye nukta C inahitajika.

Suluhisho. Kutoka kwa uhakika C, kama kutoka katikati, tunaelezea arc na dius vile kwamba inapita mstari wa moja kwa moja AB, kwa mfano, kwa pointi M na N (Mchoro 163). Kutoka kwa pointi M na N, kama kutoka kwa vituo, tutaelezea arcs yenye radius sawa, zaidi ya nusu ya MN. Tunaunganisha hatua yao ya makutano E na hatua C na kwa pointi M na N. Triangles CME na CNE ni sawa kwa pande tatu. Ina maana, / 1 = / 2 na CE ni sehemu-mbili ya pembe C katika pembetatu ya isosceles MCN, na kwa hiyo perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja AB (§ 18).

Ujuzi wa msingi miundo ya kijiometri inafanya uwezekano wa kuteka kwa usahihi na kwa haraka, kuchagua mbinu za busara zaidi kwa kila kesi.

2.1. Kugawanya sehemu katika sehemu sawa

Unaweza kugawanya sehemu kwa nusu kwa kutumia dira kwa kujenga perpendicular wastani (Mchoro 18, a). Ili kufanya hivyo, chukua radius kupima zaidi ya nusu ya urefu wa sehemu na kuchora arcs mviringo kutoka mwisho wake pande zote mbili mpaka kuingiliana. Tunachora perpendicular ya wastani kupitia sehemu za makutano ya arcs.

Ili kugawanya kwa nambari yoyote sehemu sawa tunatumia nadharia ya Fa

scaffolding: ikiwa sehemu sawa zimewekwa kwa upande mmoja wa pembe na mistari ya moja kwa moja inayofanana hutolewa kupitia mwisho wao, basi sehemu sawa pia zitawekwa kwa upande mwingine wa pembe (Mchoro 18, b). Chini ya pro-

chora miale ya msaidizi ya AC kwa pembe ya kiholela kwa sehemu ya AB, ambayo tunaweka sehemu ya urefu wa kiholela mara nyingi kadiri idadi ya sehemu ambayo sehemu hii inahitaji kugawanywa. Tunaunganisha mwisho wa sehemu ya mwisho kwa uhakika B na kuteka mistari ya moja kwa moja sambamba na BC kupitia mwisho wa makundi yaliyobaki.

2.2. Kugawanya mduara ndani nambari ya kiholela sehemu sawa

Uwezo wa kugawanya duara katika sehemu sawa ni muhimu ili kuunda polygons za kawaida. Hebu kwanza tuchunguze mbinu maalum za kugawanya mduara.

Mgawanyiko katika sehemu tatu (Mchoro 19)

Tunaweka mguu wa dira kwenye moja ya ncha za kipenyo cha perpendicular pande zote za mduara. Suluhisho la dira, sawa na radius mduara, tunatengeneza notches juu yake pande zote mbili za mwisho huu wa kipenyo. Tunapata wima mbili pembetatu ya kawaida. Vertex ya tatu ni mwisho wa kinyume cha kipenyo.

Mgawanyiko katika sehemu nne (Mchoro 20)

Vipenyo viwili vya perpendicular vinagawanya duara katika sehemu nne sawa. Ikiwa mistari ya moja kwa moja hutolewa katikati ya mduara kwa pembe ya 45ᵒ kwa axes, basi pia watagawanya mduara katika sehemu nne sawa. Pande za mraba ulioandikwa zitakuwa sawa na axes ya mduara. Kwa pamoja miraba hii miwili iligawanya duara katika sehemu nane sawa.

Imegawanywa katika sehemu tano (Mchoro 21)

● 1). Kutumia ufunguzi wa dira sawa na radius, tunafanya notch kwenye mduara. Tunapata point2.

● Kutoka hatua ya 2 tunapunguza perpendicular kwa kipenyo kutoka mwisho ambao notch ilifanywa. Tunapata point 3.

● Tunaweka mguu wa dira kwenye hatua 3. Wacha tuchukue radius sawa na umbali kutoka hatua ya 3 hadi mwisho wa kipenyo cha wima (kumweka 4), na kuteka arc mpaka inapoingiliana na kipenyo cha usawa. Tunapata point 5.

● Unganisha pointi 4 na 5. Chord 4–5 itakuwa 1/5 ya duara.

● Tunapima urefu wa chord na dira 4-5 na kuanza kuiweka mbali na moja ya ncha za kipenyo (kulingana na jinsi pentagon inapaswa kuelekezwa kuhusiana na shoka). Kipenyo kutoka mwisho ambacho tunaanza kuweka sehemu itakuwa mhimili wa ulinganifu wa takwimu.

Inashauriwa kuweka vipande vya pande zote mbili mara moja. Sehemu iliyobaki inapaswa kuwa perpendicular kwa mhimili ulinganifu. Ikiwa urefu wake si sawa na urefu wa makundi yaliyobaki, basi ina maana kwamba ujenzi ulifanyika kwa usahihi au chord 4-5 ilipimwa kwa usahihi. Unapaswa kurekebisha urefu wa sehemu na kurudia kugawanya mduara tena.

Mgawanyiko katika sehemu sita (Mchoro 22)

Kutumia ufunguzi wa dira sawa na radius ya duara, tunatengeneza notches kutoka ncha zote mbili za kipenyo sawa kwa pande zote mbili kutoka kwao. Tunapata wima nne hexagons ya kawaida. Vipeo vingine viwili ni mwisho wa kipenyo, ambacho serifs hufanywa.

Mgawanyiko katika sehemu saba (Mchoro 23)

● Tunaweka mguu wa dira kwenye moja ya ncha za kipenyo (hatua 1). Kutumia suluhisho la dira sawa na radius ya mduara, tunafanya notch juu yake. Tunapata point2.

● Kutoka hatua ya 2 tunapunguza perpendicular kwa kipenyo kutoka mwisho ambao notch ilifanywa. Tunapata point 3. Sehemu ya 2-3 ni 1/7 ya duara.

● Tunapima urefu wa sehemu na caliper 2–3 na kuiweka kando kwa mpangilio kutoka mwisho wa kipenyo pande zote mbili mara moja. Sehemu ya mwisho inapaswa kuwa perpendicular kwa kipenyo kutoka mwisho ambao sehemu zilianza kuwekwa. Kipenyo hiki kitakuwa ulinganifu wa heptagon iliyoandikwa.

Mgawanyiko katika sehemu kumi (Mchoro 24)

● Gawanya mduara katika sehemu 5, kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 21. Tunapata pentagon ya kawaida.

● Kutoka kwa kila vertex ya pentagon tunapunguza perpendiculars kwa pande tofauti. Wote watapita katikati ya duara na kugawanya upande na arc kuipunguza kwa nusu. Tunapata wima 5 zaidi.

Mgawanyiko katika sehemu kumi na mbili (Mchoro 25)

Kutumia ufunguzi wa dira sawa na radius ya duara, tunatengeneza notches kutoka mwisho wa kipenyo pande zote mbili.

Pia kuna mbinu ya jumla ya kugawanya mduara katika idadi yoyote ya sehemu. Hebu tufikirie kwa kutumia mfano wa kujenga hexagon ya kawaida (Mchoro 27).

● Tunachora vipenyo viwili vya perpendicular (usawa na wima).

● Tunagawanya kipenyo ambacho tunataka kufanya mhimili wa ulinganifu wa takwimu katika sehemu nyingi tunazohitaji kugawanya mduara ndani. Katika Mtini. 27 kipenyo AB imegawanywa katika sehemu 9. Tunahesabu alama za mgawanyiko zinazosababisha.

● Tunaweka mguu wa dira kwenye hatua A na radius, sawa na kipenyo mduara, chora arc hadi inapoingiliana na kuendelea kwa kipenyo cha wima. Tunapata point C.

● Tunaunganisha hatua C kupitia moja na pointi za kugawanya kipenyo na kuendelea mpaka inapoingiliana na arc kinyume cha mduara kwenye pointi I, II, III, IV. Ikiwa moja ya wima ya nonagon inapaswa kuwa hatua A, kisha chora mionzi kupitia mgawanyiko wote wa kipenyo (Mchoro 27, a). Ikiwa hatua B inapaswa kuwa moja ya wima, basi miale inapaswa kuchorwa kupitia mgawanyiko wote usio wa kawaida wa kipenyo (Mchoro 27, b).

● Tunaonyesha pointi zilizojengwa kwa ulinganifu kuhusiana na kipenyo cha mlalo. Tunapata wima iliyobaki ya takwimu.

2.2.1. Kazi nambari 4. Kugawanya mduara

Kusudi: kusoma mbinu za kugawa mduara katika sehemu sawa.

Kwenye umbizo la A3 katika mchoro wa safu mlalo ya kwanza poligoni za kawaida(tatu-, nne-, tano-, sita-, saba- na tisa-gon), iliyoandikwa kwenye miduara yenye kipenyo cha 60 mm. Miduara kama mistari msaidizi inapaswa kuwa nyembamba. Eleza poligoni kwa mistari minene.

Kujua; kwamba pembetatu ni sawa kwa pande zote mbili na pembe kati yao, tunaweza kutumia dira na mtawala kugawanya sehemu hii katika sehemu mbili sawa.

Ikiwa, kwa mfano, unahitaji kugawanya sehemu kwa nusu A B(Mchoro 69), kisha uweke ncha ya dira kwenye pointi A I B na Wanaelezea karibu nao, kana kwamba karibu na vituo, arcs mbili za intersecting za radius sawa (Mchoro 70). Sehemu zao za makutano NA Na D kushikamana na mstari wa moja kwa moja, ambayo AB kwa nusu: JSC= OB.

Ili kuhakikisha kwamba makundi JSC Na OB lazima iwe sawa, unganisha dots C Na D yenye ncha A Na KATIKA sehemu (Mchoro 71). Utapata pembetatu mbili ACD Na BCD, ambayo pande zake tatu ni sawa: AC= Jua; AD= BD; CD - kawaida, i.e. ni ya pembetatu zote mbili. Hii inamaanisha usawa kamili pembetatu zilizoonyeshwa, na kwa hivyo usawa wa pembe zote. Kwa hiyo, kwa njia, pembe ni sawa ACD Na BCD. Sasa kulinganisha pembetatu ASO Na VSO, tunaona kwamba wana upande Mfumo wa uendeshaji - jumla, A.C.= CB, na pembe kati yao ASO = ug. VSO. Pembetatu ni sawa kwa pande mbili na pembe kati yao; kwa hiyo pande zote ni sawa JSC Na OB, yaani uhakika KUHUSU kuna katikati AB.

§ 22. Jinsi ya kujenga pembetatu kwa kutumia upande na pembe mbili

Hatimaye, fikiria tatizo ambalo ufumbuzi wake unaongoza kwa ujenzi wa pembetatu kwa kutumia upande na pembe mbili:

Kwa upande mwingine wa mto (Mchoro 72) hatua muhimu inaonekana A. Inahitajika, bila kuvuka mto, kujua umbali wake kutoka kwa hatua muhimu KATIKA kwenye pwani hii.

Hebu tufanye hivi. Wacha tupime kutoka kwa uhakika KATIKA umbali wowote katika mstari wa moja kwa moja Jua na mwisho wake KATIKA Na NA Hebu tupime pembe 1 na 2 (Mchoro 73). Ikiwa sasa tunapima umbali kwenye eneo linalofaa DE, sawa Jua, na ujenge pembe kwenye ncha zake A Na b(mchoro 74), sawa na pembe 1 na 2, kisha katika hatua ya makutano ya pande zao tunapata vertex ya tatu F pembetatu DEF. Ni rahisi kuthibitisha kwamba pembetatu DEF sawa na pembetatu ABC; kweli, kama sisi kufikiria kwamba pembetatu DEF iliyowekwa juu ABC hivyo upande huo DE sanjari na upande wake sawa Jua, kisha ug. A itaambatana na pembe 1, pembe b - na pembe 2, na upande DF itaenda upande VA, na upande E.F. upande SA. Kwa kuwa mistari miwili inaweza kuingiliana tu kwa hatua moja, kisha vertex F inapaswa kuendana na juu A. Hivyo umbali DF sawa na umbali unaohitajika VA.

Tatizo, kama tunavyoona, lina suluhisho moja tu. Kwa ujumla, kwa kutumia upande na pembe mbili karibu na upande huu, pembetatu moja tu inaweza kujengwa; Hakuwezi kuwa na pembetatu nyingine zilizo na upande sawa na pembe mbili sawa karibu nayo katika maeneo sawa. Pembetatu zote zina moja upande huo huo na pembe mbili zinazofanana zinazopakana nayo katika sehemu zile zile zinaweza kuletwa katika sadfa kamili kwa nafasi ya juu. Hii ina maana kwamba hii ni ishara ambayo mtu anaweza kuanzisha usawa kamili wa pembetatu.

Pamoja na ishara zilizowekwa hapo awali za usawa wa pembetatu, sasa tunajua tatu zifuatazo:

Pembetatu:

kwa pande tatu;

katika pande mbili na katika pembe kati yao;

upande na pande mbili.

Kwa ajili ya ufupi, tutaashiria zaidi kesi hizi tatu za usawa wa pembetatu kama ifuatavyo:

kwa pande tatu: SSS;

pande mbili na pembe kati yao: SUS;

pembeni na pembe mbili: USU.

Maombi

14. Ili kujua umbali wa uhakika A upande wa pili wa mto kutoka kwa uhakika KATIKA kwenye benki hii (Mchoro 5), pima mstari fulani kwa mstari wa moja kwa moja jua, basi kwa uhakika KATIKA tengeneza pembe sawa na ABC, upande mwingine Jua, na kwa uhakika NA- kwa njia sawa, angle sawa na DIA Umbali wa uhakika D makutano ya pande za pande zote mbili za pembe kwa uhakika KATIKA sawa na umbali unaohitajika AB. Kwa nini?

Suluhisho: Pembetatu ABC Na BDC sawa kwa upande mmoja ( Jua) na pembe mbili (ang. DCB=ug. DIA; ug. DC=ug. ABC.) Kwa hiyo, AB= BD, kama pande zilizolala katika pembetatu sawa dhidi ya pembe sawa.

§ 23. Sambamba

Kutoka kwa pembetatu tunaendelea kwa pembe nne, ambayo ni, kwa takwimu zilizopunguzwa na pande 4. Mfano wa quadrilateral ni mraba - quadrilateral ambayo pande zote ni sawa na pembe zote ni sawa (Mchoro 76). Aina nyingine ya quadrilateral, pia hupatikana mara nyingi, ni mstatili:

Hili ndilo jina la quadrilateral yoyote yenye pembe 4 za kulia (Mchoro 77 na 78). Mraba pia ni mstatili, lakini kwa pande sawa.

Upekee wa mstatili (na mraba) ni kwamba jozi zote mbili za pande zake tofauti zinalingana. Katika mstatili ABCD, kwa mfano (Mchoro 78), AB sambamba DC, a AD sambamba Jua. Hii inafuata kutokana na ukweli kwamba pande zote mbili kinyume ni perpendicular kwa mstari huo, na tunajua kwamba perpendiculars mbili kwa mstari mmoja ni sambamba kwa kila mmoja (§ 16).

Sifa nyingine ya kila mstatili ni kwamba pande zake kinyume ni sawa kwa kila mmoja. Hii inaweza kuthibitishwa kwa kuunganisha vipeo kinyume mstatili na mstari wa moja kwa moja, yaani, kuchora diagonal ndani yake. Inaunganisha A Na NA(Imechorwa 79) tunapata pembetatu mbili ABC Na ADC. Ni rahisi kuonyesha kwamba pembetatu hizi ni sawa kwa kila mmoja: upande AC - jumla, ug. 1 = pembe 2, kwa sababu hizi ni pembe za msalaba na sambamba AB Na CD kwa sababu hiyo hiyo, pembe 3 na 4 ni sawa kwa upande mmoja na pembe mbili, pembetatu ABC Na ACD sawa; kwa hivyo upande AB= upande DC, na upande AD= upande Jua.

Vile vya pembe nne, ambavyo, kama mstatili, pande tofauti ni sambamba, huitwa parallelograms. Fuck yake. 80 inaonyesha mfano wa sambamba: AB sambamba DC, A AD sambamba BC. Jamani.80

Mstatili ni mojawapo ya sambamba, yaani moja ambayo pembe zote ziko sawa. Ni rahisi kuthibitisha kuwa kila parallelogramu ina sifa zifuatazo:

ANGELO NYINGINEZO SARUFI SAWASAWA; Pande zinazopingana

P a r l e l o g r a m a v y s.

Ili kuthibitisha hili, hebu tuchore kwenye mlinganyo ABCD(Mchoro 81) moja kwa moja ВD(diagonal) na kulinganisha pembetatu ABD Na VDC. Pembetatu hizi ni sawa (kesi USU): BD- upande wa kawaida; ug. 1 = pembe 2, kona 3 = pembe 4 (kwa nini?). Sifa zilizoorodheshwa hapo awali zinafuata kutoka kwa hii.

Sambamba na pande nne sawa inaitwa rhombus.

Rudia maswali

Ni sura gani inayoitwa mraba? Mstatili? - Ni nini kinachoitwa diagonal? - Ni takwimu gani inayoitwa parallelogram? Almasi? - Onyesha sifa za pembe na pande za parallelogram yoyote. - Ni mstatili gani unaoitwa mraba? – Sambamba ipi inaitwa mstatili? - Je! ni kufanana na tofauti gani kati ya mraba na rhombus.

Mtaro wa picha zote huundwa na mistari mbalimbali. Mistari kuu ni mstari wa moja kwa moja, mduara na mfululizo wa curves. Wakati wa kuchora mtaro wa picha, ujenzi wa kijiometri na miunganisho hutumiwa.

Wakati wa kusoma taaluma " jiometri ya maelezo na michoro ya uhandisi" wanafunzi lazima wajifunze sheria na mlolongo wa kutekeleza miundo na miunganisho ya kijiometri.

Katika suala hili njia bora upatikanaji wa ujuzi wa ujenzi ni kazi za kuchora mtaro wa sehemu ngumu.

Kabla ya kuanza kazi ya kudhibiti, unahitaji kujifunza mbinu ya kufanya ujenzi wa kijiometri na ujumuishaji kulingana na mwongozo wa mbinu.

1. Mgawanyiko wa makundi na pembe

1.1. Kugawanya sehemu kwa nusu

Gawanya sehemu iliyotolewa AB katika nusu.

Kutoka mwisho wa sehemu ya AB, kama kutoka kwa vituo, tunachora safu za miduara na radius R, saizi ambayo inapaswa kuwa kubwa kidogo kuliko nusu ya sehemu ya AB (Mchoro 1). Tao hizi zitapishana kwa pointi M na N, wacha tupate uhakika C ambapo mistari iliyonyooka AB na MN hukatiza. Pointi C itagawanya sehemu ya AB katika sehemu mbili sawa.

Kumbuka. Ujenzi wote muhimu lazima na unaweza kufanyika tu kwa msaada wa dira na mtawala (bila mgawanyiko).

1.2. Kugawanya sehemu katika sehemu n sawa

Gawanya sehemu uliyopewa katika sehemu n sawa.

Kutoka mwisho wa sehemu - hatua A, tutatoa ray msaidizi kwa pembe ya kiholela α (Mchoro 2 a) Juu ya ray hii tutaweka sehemu 4 sawa za urefu wa kiholela (Mchoro 2b). Mwisho wa sehemu ya mwisho, ya nne, (hatua ya 4) imeunganishwa na hatua B. Ifuatayo, kutoka kwa pointi zote za awali 1 ... 3, tunatoa sehemu sambamba na sehemu ya B4 hadi watakapoingiliana na sehemu ya AB kwenye pointi 1 ", 2 ", 3". Kwa hivyo pointi zilizopatikana ziligawanya sehemu katika sehemu nne sawa

1.3. Kugawanya pembe kwa nusu

Gawanya pembe iliyoainishwa WEWE kwa nusu.

Kutoka kwenye kipeo cha pembe A radius ya kiholela chora arc mpaka inapoingiliana na pande za pembe kwa pointi B na C (Mchoro 3 a). Kisha kutoka kwa pointi B na C tunatoa arcs mbili na radius kubwa zaidi ya nusu ya umbali wa BC mpaka kuingilia kati kwa uhakika D (Mchoro 3 b). Kwa kuunganisha pointi A na D kwa mstari wa moja kwa moja, tunapata bisector ya angle, ambayo inagawanya angle iliyotolewa kwa nusu (Mchoro 3 c)

a) b) c)

2. Kugawanya duara katika sehemu sawa na kutengeneza poligoni za kawaida

2.1. Kugawanya mduara katika sehemu tatu sawa

Kutoka mwisho wa kipenyo, kwa mfano, hatua A (Mchoro 4), chora arc ya radius R sawa na radius ya mduara uliopewa. Mgawanyiko wa kwanza na wa pili unapatikana - pointi 1 na 2. Mgawanyiko wa tatu, hatua ya 3, iko kwenye mwisho wa kinyume cha kipenyo sawa. Kwa kuunganisha pointi 1,2,3 na chords, unapata pembetatu ya kawaida iliyoandikwa.

2.2. Kugawanya duara katika sehemu sita sawa

Kutoka mwisho wa kipenyo chochote, kwa mfano AB (Mchoro 5), arcs ya radius R inaelezwa. Pointi A, 1,3,B,4,2 hugawanya duara katika sehemu sita sawa. Kwa kuwaunganisha na chords, hexagon ya kawaida iliyoandikwa hupatikana.

Kumbuka. Arcs msaidizi haipaswi kuteka kabisa; inatosha kufanya notches kwenye mduara.

2.3. Kugawanya mduara katika sehemu tano sawa

Vipenyo viwili vya perpendicular AB na CD vinatolewa (Mchoro 6). Radi ya OS katika hatua ya O 1 imegawanywa kwa nusu.
Kutoka kwa uhakika O1, kama kutoka katikati, chora safu ya radius O1A hadi inapoingiliana na kipenyo cha CD kwa uhakika E.
Sehemu ya AE ni sawa na upande wa pentagoni iliyoandikwa mara kwa mara, na sehemu ya OE ni sawa na upande wa decagon ya kawaida iliyoandikwa.
Kuchukua hatua A kama kituo, safu ya radius R1 = AE alama pointi 1 na 4 kwenye mduara Kutoka pointi 1 na 4, kama kutoka vituo, arcs ya radius sawa R1 alama pointi 3 na 2. Pointi A, 1, 2, 3, 4 kugawanya duara katika sehemu tano sawa.

2.4. Kugawanya mduara katika sehemu saba sawa

Kutoka mwisho wa kipenyo, kwa mfano, hatua A kuteka arc ya radius R sawa na radius ya mduara (Mchoro 7). CD ya chord ni sawa na upande wa pembetatu ya kawaida iliyoandikwa. Nusu ya CD ya chord ni, kwa makadirio ya kutosha, sawa na upande wa heptagon ya kawaida iliyoandikwa, i.e. hugawanya duara katika sehemu saba sawa.

Mchele. 7

Fasihi

Bogolyubov S.K. Graphics za uhandisi: Kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu ya sekondari maalum. - Toleo la 3, Mch. Na ziada - M.: Uhandisi wa Mitambo, 2006. - p.
Kuprikov M.Yu. Graphics za uhandisi: kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu ya sekondari - M.: Bustard, 2010 - 495 pp.: mgonjwa.
Fedorenko V.A., Shoshin A.I. Kitabu cha mchoro wa uhandisi wa mitambo L.: Uhandisi wa mitambo. 1976. 336 p.

Kujua; kwamba pembetatu ni sawa kwa pande zote mbili na pembe kati yao, tunaweza kutumia dira na mtawala kugawanya sehemu hii katika sehemu mbili sawa.

Ili kuhakikisha kwamba makundi JSC Na OB lazima iwe sawa, unganisha dots C Na D yenye ncha A Na KATIKA sehemu (Mchoro 71). Utapata pembetatu mbili ACD Na BCD, ambayo pande zake tatu ni sawa: AC= Jua; AD = BD; CD - kawaida, i.e. ni ya pembetatu zote mbili. Hii inamaanisha usawa kamili wa pembetatu hizi, na kwa hivyo usawa wa pembe zote. Kwa hiyo, kwa njia, pembe ni sawa ACD Na BCD. Sasa kulinganisha pembetatu ASO Na VSO, tunaona kwamba wana upande Mfumo wa uendeshaji - jumla, A.C. = CB, na pembe kati yao ASO = ug. VSO. Pembetatu ni sawa kwa pande mbili na pembe kati yao; kwa hiyo pande zote ni sawa JSC Na OB, yaani uhakika KUHUSU kuna katikati AB.

Jinsi ya kutengeneza pembetatu kwa kutumia upande na pembe mbili

Hatimaye, fikiria tatizo ambalo ufumbuzi wake unaongoza kwa ujenzi wa pembetatu kwa kutumia upande na pembe mbili:

Kwa upande mwingine wa mto (Mchoro 72) hatua muhimu inaonekana A. Inahitajika, bila kuvuka mto, kujua umbali wake kutoka kwa hatua muhimu KATIKA kwenye pwani hii.

Hebu tufanye hivi. Wacha tupime kutoka kwa uhakika KATIKA umbali wowote katika mstari wa moja kwa moja Jua na mwisho wake KATIKA Na NA Hebu tupime pembe 1 na 2 (Mchoro 73). Ikiwa sasa tunapima umbali kwenye eneo linalofaa DE, sawa Jua, na ujenge pembe kwenye ncha zake A Na b(Mchoro 74), sawa na pembe 1 na 2, kisha katika hatua ya makutano ya pande zao tunapata vertex ya tatu. F pembetatu DEF. Ni rahisi kuthibitisha kwamba pembetatu DEF sawa na pembetatu ABC; kweli, kama sisi kufikiria kwamba pembetatu DEF iliyowekwa juu ABC hivyo upande huo DE sanjari na upande wake sawa Jua, kisha ug. A itaambatana na pembe 1, pembe b - na pembe 2, na upande DF itaenda upande VA, na upande E.F. upande SA. Kwa kuwa mistari miwili inaweza kuingiliana tu kwa hatua moja, kisha vertex F inapaswa kuendana na juu A. Hivyo umbali DF sawa na umbali unaohitajika VA.

Tatizo, kama tunavyoona, lina suluhisho moja tu. Kwa ujumla, kwa kutumia upande na pembe mbili karibu na upande huu, pembetatu moja tu inaweza kujengwa; Hakuwezi kuwa na pembetatu nyingine zilizo na upande sawa na pembe mbili sawa karibu nayo katika maeneo sawa. Pembetatu zote ambazo zina upande mmoja unaofanana na pembe mbili zinazofanana karibu nayo katika sehemu zile zile zinaweza kuletwa katika sadfa kamili na nafasi ya juu. Hii ina maana kwamba hii ni ishara ambayo mtu anaweza kuanzisha usawa kamili wa pembetatu.

Pamoja na ishara zilizowekwa hapo awali za usawa wa pembetatu, sasa tunajua tatu zifuatazo:

Pembetatu:

kwa pande tatu;

katika pande mbili na katika pembe kati yao;

upande na pande mbili.

Kwa ajili ya ufupi, tutaashiria zaidi kesi hizi tatu za usawa wa pembetatu kama ifuatavyo:

kwa pande tatu: SSS;

pande mbili na pembe kati yao: SUS;

pembeni na pembe mbili: USU.

Maombi

Sambamba

Hili ndilo jina la quadrilateral yoyote yenye pembe 4 za kulia (Mchoro 77 na 78). Mraba pia ni mstatili, lakini kwa pande sawa.

Sifa nyingine ya kila mstatili ni kwamba pande zake kinyume ni sawa kwa kila mmoja. Unaweza kuthibitisha hili ikiwa unganisha wima kinyume cha mstatili na mstari wa moja kwa moja, yaani, kuchora diagonal ndani yake. Inaunganisha A Na NA(Imechorwa 79) tunapata pembetatu mbili ABC Na ADC. Ni rahisi kuonyesha kwamba pembetatu hizi ni sawa kwa kila mmoja: upande AC - jumla, ug. 1 = pembe 2, kwa sababu hizi ni pembe za msalaba na sambamba AB Na CD kwa sababu hiyo hiyo, pembe 3 na 4 ni sawa kwa upande mmoja na pembe mbili, pembetatu ABC Na ACD sawa; kwa hivyo upande AB= upande DC, na upande AD= upande Jua.

Vile vya pembe nne, ambavyo, kama mstatili, pande tofauti ni sambamba, huitwa parallelograms. Fuck yake. 80 inaonyesha mfano wa sambamba: AB sambamba DC, A AD sambamba BC. Jamani.80

Mstatili ni mojawapo ya sambamba, yaani moja ambayo pembe zote ziko sawa. Ni rahisi kuthibitisha kuwa kila parallelogramu ina sifa zifuatazo:

ANGELO NYINGINEZO SARUFI SAWASAWA; Pande zinazopingana

P a r l e l o g r a m a v y s.

Sambamba na pande nne sawa inaitwa rhombus.

Rudia maswali

Maombi

15. Mraba huchorwa kama hii: ukiweka kando upande mmoja, chora perpendiculars kwa ncha, weka urefu sawa juu yao na uunganishe ncha kwa mstari wa moja kwa moja (Mchoro 82). Unawezaje kuwa na uhakika kwamba upande wa nne wa pembe nne iliyochorwa ni sawa na nyingine tatu na kwamba pembe zake zote ni pembe za kulia?

Suluhisho. Ikiwa uundaji ulifanyika kwa njia ambayo kwa upande AB kwa pointi A Na KATIKA perpendiculars zilichorwa ambazo ziliwekwa: AC = AB Na DВ= AB, basi inabakia kuthibitisha kwamba pembe NA Na D moja kwa moja na nini CD sawa AB. Ili kufanya hivyo, hebu tuchore (Mchoro 83) diagonal A.D. Ugh. CAD = A.D.B. zinazolingana (kwa zipi zinazofanana?); AC= D.B., na hivyo pembetatu CAD Na MBAYA sawa (kulingana na SUS). Kutoka kwa hili tunaamua kuwa CD = AB na ug. C = pembe ya kulia KATIKA. Jinsi ya kuthibitisha kwamba pembe ya nne CDB pia ni sawa?

16. Jinsi ya kuteka mstatili? Kwa nini takwimu inayotolewa inaweza kuitwa mstatili? (Onyesha kwamba pembe zote za takwimu iliyochorwa ni sawa).

Suluhisho ni sawa na suluhisho la tatizo la awali.

17. Thibitisha kwamba diagonal zote mbili za mstatili ni sawa.

Suluhisho (Mchoro 84) hufuata kutoka kwa usawa wa pembetatu ABC Na ABD(kulingana na SUS).

18. Thibitisha kwamba diagonal za parallelogram hugawanyika kila mmoja.

Suluhisho: Kulinganisha (Kielelezo 85) pembetatu ABO Na DCO, tunahakikisha kuwa wako sawa (kulingana na USU). Kutoka hapa JSC= Mfumo wa uendeshaji, 0V= OD.

19. Urefu wa perpendicular ya kawaida kati ya mistari miwili inayofanana inaitwa umbali kati yao. Thibitisha kuwa umbali kati ya ulinganifu ni sawa kila mahali.

Dalili: Ni aina gani ya takwimu inayoundwa? mistari sambamba na perpendiculars mbili kati yao?

IV. KIPIMO CHA ENEO

Hatua za mraba. Palette

Katika takwimu, mara nyingi ni muhimu kupima sio tu urefu wa mistari na pembe kati yao, lakini pia ukubwa wa eneo ambalo hufunika - yaani, eneo lao. Je, eneo linapimwa katika vitengo gani? Urefu fulani (mita, sentimita) huchukuliwa kama kipimo cha urefu, na pembe fulani (1 °) inachukuliwa kama kipimo cha pembe; eneo fulani linachukuliwa kama kipimo cha eneo, yaani, eneo la mraba na upande wa mita 1, 1 cm, nk. Mraba kama huo unaitwa "mita za mraba", " sentimita ya mraba", n.k. Kupima eneo maana yake ni kujua ni vipimo vingapi vya mraba vilivyomo ndani yake.

Ikiwa eneo linalopimwa si kubwa (linafaa kwenye karatasi), linaweza kupimwa kwa njia ifuatayo. Karatasi ya uwazi hukatwa kwenye mraba wa sentimita na kuwekwa kwenye takwimu inayopimwa. Kisha si vigumu kuhesabu moja kwa moja ni ngapi sentimita za mraba zilizomo ndani ya mipaka ya takwimu. Katika kesi hii, mraba usio kamili karibu na mpaka huchukuliwa (kwa jicho) kwa nusu ya mraba, mraba wa robo, nk, au kiakili huwaunganisha kadhaa kwa wakati mmoja katika mraba mzima. Imepambwa sana karatasi ya uwazi inayoitwa pallet. Njia hii mara nyingi hutumiwa kupima maeneo ya maeneo yasiyo ya kawaida kwenye mpango.

Lakini si mara zote inawezekana au rahisi kulazimisha mtandao wa mraba kwenye takwimu iliyopimwa. Haiwezekani, kwa mfano, kupima eneo la sakafu au shamba la ardhi. Katika hali kama hizi, badala ya kipimo cha moja kwa moja eneo hilo, huamua jambo lisilo la kufurahisha, ambalo ni kupima tu urefu wa takwimu fulani za mstari na kufanya mahesabu kwa nambari zinazosababishwa. vitendo fulani. Baadaye tutaonyesha jinsi hii inafanywa.

Rudia maswali

Ni hatua gani zinazotumiwa kuamua eneo la takwimu? - Palette ni nini na inatumiwaje?

Eneo la mstatili

Tuseme unahitaji kuamua eneo la mstatili fulani, kwa mfano, ABDC(mchoro 86). Inapimwa kwa kitengo cha mstari, k.m. mita, urefu wa sehemu hii. Wacha tufikirie kuwa mita imewekwa mara 5 kwa urefu. Wacha tugawanye eneo hilo kuwa vipande vya kupita mita moja kwa upana, kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 87. Kwa wazi, kutakuwa na kupigwa 5 vile Ifuatayo, hebu tupime upana wa eneo kwa mita; iwe sawa na mita 3. Tutagawanya eneo hilo katika vipande vya longitudinal vya upana wa mita 1, kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 88; Bila shaka, kutakuwa na 3 kati yao kila moja ya vipande vitano vya transverse vitakatwa katika mita 3 za mraba, na njama nzima itagawanywa katika mraba 5 x 3 = 15 na upande wa mita 1: tulijifunza kwamba njama hiyo itagawanywa katika mraba 5 x 3 = 15. ina mita 15 za mraba. mita. Lakini tunaweza kupata nambari sawa 15 bila kuchora eneo hilo, lakini tu kwa kuzidisha urefu wake kwa upana wake. Kwa hivyo, ili kujua ni kiasi gani mita za mraba katika mstatili, unahitaji kupima urefu wake, upana wake na kuzidisha namba zote mbili.

Katika kesi iliyozingatiwa, kitengo cha urefu - mita - kiliwekwa pande zote za mstatili idadi kamili ya nyakati. Vitabu vya kina vya hisabati vinathibitisha kuwa sheria iliyoanzishwa sasa ni kweli pia wakati pande za mstatili hazina idadi kamili ya vitengo vya urefu. Katika hali zote:

Eneo la eneo la mstatili

bidhaa ya urefu kwa upana,

au, kama wanasema, katika jiometri - yake

"msingi" juu ya "urefu".

Ikiwa urefu wa msingi wa mstatili unaonyeshwa na barua A, na urefu wa urefu ni herufi b, kisha eneo lake S sawa na

S = a? b,

au kwa urahisi S = ab, kwa sababu ishara ya kuzidisha haijawekwa kati ya herufi.

Ni rahisi kuelewa kuwa ili kuamua eneo la mraba, unahitaji kuzidisha urefu wa upande wake peke yake, ambayo ni, "inua kwa mraba." Kwa maneno mengine:

Eneo la mraba ni sawa na upande wa mraba. Ikiwa urefu wa upande wa mraba A, kisha eneo lake S sawa na

S= a? a = a 2.

Kujua hili, inawezekana kuanzisha uhusiano kati ya mbalimbali vitengo vya mraba. Kwa mfano, mita ya mraba ina desimita za mraba 10 X 10, yaani 100, na sentimita za mraba 100 X 100, yaani 10,000, kwa sababu sentimita ya mstari imewekwa kando. decimeter ya mraba Mara 10, na mita ya mraba ni mara 100.

Kwa kupima viwanja vya ardhi kipimo maalum hutumiwa - hekta, yenye mita za mraba 10,000. Kiwanja cha mraba na upande wa mita 100 kina eneo la hekta 1; kiwanja cha mstatili na msingi wa mita 200 na urefu wa mita 150 kina eneo la 200 x 150, i.e. mita za mraba 30,000. m au 3 hekta. Maeneo makubwa - kama vile kata na wilaya - yanapimwa

KILOMETA ZA MRABA.

Uteuzi uliofupishwa wa hatua za mraba ni:

mraba mita …………………………………. sq. m au m2

mraba desimita ……………………………. sq. dm au dm2

mraba sentimita…………………………… sq. cm au cm2

mraba milimita ………………………….. sq. mm au mm2

hekta………………………………………….. ha

Rudia maswali

Je, eneo la mstatili linahesabiwaje? Mraba? - sq ngapi. cm kwa sq. m? sq ngapi. mm katika sq. m? - Hekta ni nini? - Ni hekta ngapi katika mraba? km? Kifupi ni cha nini hatua za mraba?

Maombi

20. Inahitajika kuchora mambo ya ndani ya chumba kilichoonyeshwa kwenye kuchora. 6. Vipimo vinaonyeshwa kwa mita. Ni vifaa ngapi na nguvu kazi, ikiwa inajulikana kuwa kwa uchoraji mraba mmoja. mita za sakafu ya mbao iliyo na nyufa na matawi juu ya rangi ya hapo awali, kwa mbili, inahitajika (kulingana na Kanuni za Haraka):

Malyarov……………………………………….. 0.044

Mafuta ya kukaushia, kilo ……………………….… 0.18

Ocher nyepesi, kg…………………………………… 0;099

Putties, kg………………………………………….0.00225

Pumice, kg……………………………………….. 0.0009.

Suluhisho: Je! eneo la sakafu ni 8? 12 = 96 sq. m.

Matumizi ya nyenzo na kazi ni kama ifuatavyo

Malyarov........ 0.044? 96 = 4.2

Kukausha mafuta......0.18? 96= kilo 17

Ocher......... 0.099? 96 - 9.9 kg

putties........ 0.00225? 96 = 0.22 kg

Pumice.........0.0009? 96 = 0.09 kg.

21. Fanya taarifa ya matumizi ya kazi na vifaa kwa ajili ya Ukuta wa chumba kilichopita. kazi. Ili kufunika kuta na Ukuta rahisi na mipaka, inahitajika (kulingana na kanuni za mitaa) kwa sq. mita:

Wapaka rangi au vipandikizi …………………………… 0.044

Karatasi (upana wa sentimita 44) vipande ………………………… 0.264

Kuzuia (kulingana na hesabu)

Gramu za wanga …………………………………. 90.

Suluhisho - kulingana na sampuli iliyoainishwa ndani kazi ya awali. Tunaona tu wakati wa kuhesabu kiasi kinachohitajika Kwa mazoezi, fursa za ukuta hazijatolewa kutoka kwa eneo lao la Ukuta (kwani wakati wa kuweka takwimu kwenye paneli za karibu, baadhi ya Ukuta hupotea).

Eneo la pembetatu

Wacha kwanza tuchunguze jinsi eneo la pembetatu ya kulia linahesabiwa. Tuseme tunahitaji kuamua eneo la pembetatu ABC(Mchoro 89), ambayo pembe KATIKA- moja kwa moja. Hebu tupitishe kwenye vilele A Na NA sawa, sambamba vyama vinavyopingana. Tunapata (Mchoro 90) mstatili ABCD(kwa nini takwimu hii ni mstatili?), ambayo imegawanywa na diagonal AC katika pembetatu mbili sawa (kwa nini?). Eneo la mstatili huu ni ah; eneo la pembetatu yetu ni nusu ya eneo la mstatili, i.e. sawa na 1/2. ah. Kwa hivyo, eneo la kila pembetatu ya kulia sawa na nusu ya bidhaa za pande zake zinazofunga pembe ya kulia.

Tuseme sasa unahitaji kuamua eneo la pembetatu ya oblique (yaani, sio mstatili) - kwa mfano. ABC(mchoro 91). Tunachora perpendicular kwa moja ya wima yake upande kinyume; perpendicular vile inaitwa urefu wa pembetatu hii, na upande ambao hutolewa ni msingi wa pembetatu. Wacha tuonyeshe urefu kwa h, na sehemu ambazo hugawanya msingi ni uk Na q. Eneo la pembetatu ya kulia ABD, kama tunavyojua tayari, ni sawa na 1/2 ph; mraba VDC = 1/2 qh. Mraba S pembetatu ABC sawa na jumla ya maeneo haya: S= 1/2 ph + 1/2 qh = 1/2 h (R+ q) Lakini R+ q = a; hivyo S = 1/2 ah.

Hoja hii haiwezi kutumika moja kwa moja kwa pembetatu yenye angle butu(Mchoro 92), kwa sababu CD ya perpendicular haipatikani msingi AB, na muendelezo wake. Katika kesi hii, tunapaswa kufikiria tofauti. Wacha tuonyeshe sehemu AD kupitia p, BD- kupitia, q, hivyo msingi A pembetatu ni sawa uk – q. Eneo la pembetatu yetu ABC ni sawa na tofauti katika maeneo ya pembetatu mbili ADC – BDC = 1/2 ph – 1/2 qh = 1/2 h (uk – q) = 1/2 ah.

Kwa hivyo, katika hali zote, eneo la pembetatu ni sawa na nusu ya bidhaa ya msingi wake wowote na urefu unaolingana.

Inafuata kwamba pembetatu zilizo na besi sawa na mwinuko zina maeneo sawa, au, kama wanasema,

sawa.

Takwimu za ukubwa sawa kwa ujumla ni wale ambao wana maeneo sawa, angalau takwimu zenyewe hazikuwa sawa (yaani, hazikuendana wakati zimewekwa juu).

Rudia maswali

Urefu wa pembetatu unaitwaje? Msingi wa pembetatu? - Je, urefu ngapi unaweza kuchorwa katika pembetatu moja? - Chora pembetatu kwa pembe iliyofifia na chora urefu wote ndani yake. - Je, eneo la pembetatu linahesabiwaje? Jinsi ya kuelezea sheria hii katika fomula? - Ni takwimu gani zinazoitwa sawa kwa ukubwa?

Maombi

22. Bustani ya mboga ina sura ya pembetatu yenye msingi wa 13.4 m na urefu wa 37.2 m ... Ni mbegu ngapi (kwa uzito) zinahitajika kupanda na kabichi, ikiwa kwa sq. m ni gramu 0.5 za mbegu?

Suluhisho: Je, eneo la bustani ya mboga ni 13.4? 37.2 = 498 sq. m.

Utahitaji 250 g ya mbegu.

23. Sambamba imegawanywa na diagonals katika sehemu 4 za triangular. Ambayo anayo nai eneo kubwa?

Suluhisho la pembetatu zote 4 ni sawa kwa saizi, kwani zina misingi sawa na urefu.

Eneo la parallelogram

Sheria ya kuhesabu eneo la parallelogram imeanzishwa kwa urahisi sana ikiwa utaigawanya kwa diagonal katika pembetatu mbili. Kwa mfano, eneo la parallelogram ABCD(Mchoro 93) ni sawa na mara mbili ya rehema ya kila moja ya hizo mbili pembetatu sawa, ambayo imegawanywa na diagonal AC. Kuashiria msingi wa pembetatu ADC kupitia A, na urefu kupitia h, tunapata eneo hilo S parallelogram

Perpendicular h inaitwa "urefu wa parallelogram", na upande A, ambayo hutolewa - "msingi wa parallelogram". Kwa hivyo, sheria iliyowekwa sasa inaweza kusemwa kama ifuatavyo:

Eneo la parallelogram ni sawa na bidhaa ya urefu wowote mpya.

Rudia maswali

Msingi na urefu wa parallelogram ni nini? Je, eneo la parallelogram linahesabiwaje? - Eleza sheria hii kwa fomula. - Ni mara ngapi eneo la parallelogram ni kubwa kuliko eneo la pembetatu ambayo ina msingi na urefu sawa? - Katika urefu sawa na besi, ni takwimu gani ina eneo kubwa zaidi: mstatili au parallelogram?

Maombi

24. Mraba yenye upande wa 12.4 cm ni sawa na ukubwa wa parallelogram yenye urefu wa 8.8 cm.

Suluhisho la eneo la mraba huu, na kwa hiyo parallelogram, ni 12.42 = mita za mraba 154. cm Msingi unaohitajika ni 154: 8.8 = 18 cm.

Eneo la trapezoid

Mbali na parallelograms, hebu fikiria aina nyingine ya quadrilaterals - yaani wale ambao wana jozi moja tu ya pande sambamba (Mchoro 94). Takwimu kama hizo huitwa trapezoids. Pande sambamba trapezoids huitwa besi zake, na zisizo sambamba zinaitwa pande.

Crap. 94 Jamani. 95

Wacha tuanzishe sheria ya kuhesabu eneo la trapezoid. Tuseme tunahitaji kuhesabu eneo la trapezoid ABCD(Mchoro 95), urefu wa besi ambazo a Na b. Hebu tuchore diagonal AC, ambayo hukata trapezoid katika pembetatu mbili ACD Na ABC. Tunajua hilo

eneo ACD = 1/2 ah

eneo ABC = 1/2 bh.

eneo ABCD= 1/2 ah+ 1/2 bh= 1/2 (a+ b) h.

Tangu umbali h kati ya besi za trapezoid inaitwa urefu wake, basi sheria ya kuhesabu eneo la trapezoid inaweza kusemwa kama ifuatavyo:

Eneo la trapezoid ni sawa na nusu ya jumla iliyozidishwa na ndani yako na takriban t kwa.

Rudia maswali

Ni sura gani inayoitwa trapezoid? Je, ni misingi gani ya trapezoid, pande zake na urefu wake? - Je, eneo la trapezoid linahesabiwaje?

Maombi

25. Sehemu ya barabara ina sura ya trapezoid yenye besi ya 180 m na 170 m na urefu wa 8.5 m ni vitalu ngapi vya mbao vitahitajika kuiweka, ikiwa kwa sq. m kuna 48 checkers?

Suluhisho la eneo la kiwanja ni 8.5 H = (180 + 170)/2 = 1490 sq. m. Idadi ya wachunguzi = 72,000.

26. Mteremko wa paa una sura ya trapezoid, misingi ambayo ni 23.6 m na 19.8 m, na urefu ni 8.2 m ni kiasi gani cha nyenzo na kazi kitahitajika kuifunika, ikiwa kwa sq. m inahitajika:

Karatasi za chuma...... 1.23

Kucha za paa kg.... 0.032

Mafuta ya kukaushia kg........0.036

Paa...... 0.45.

Suluhisho: Je, eneo la mteremko ni sawa na 8.2? (23.6 + 19.8)/ 2 = 178 sq. m. Inabakia kuzidisha nambari zote kwenye kompyuta kibao na 178.