Slaidi 1

Kielelezo kilichoundwa na uso maalum na moja ya sehemu mbili za nafasi iliyopunguzwa nayo inaitwa pembe ya polyhedral. Kipeo cha kawaida S kinaitwa vertex ya pembe ya polihedral. Miale SA1, ..., SAN inaitwa kingo za pembe ya polihedral, na pembe za ndege zenyewe A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 zinaitwa nyuso za pembe ya polihedral. Pembe ya polihedra inaonyeshwa kwa herufi SA1...An, ikionyesha kipeo na pointi kwenye kingo zake. Uso unaoundwa na seti ndogo ya pembe za ndege A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 yenye vertex ya kawaida S, ambayo pembe za karibu hazina pointi za kawaida, isipokuwa pointi za ray ya kawaida, na pembe zisizo karibu. hawana pointi za kawaida, pamoja na vertex ya kawaida, itaitwa uso wa polyhedral.

Slaidi 2


Kulingana na idadi ya nyuso, pembe za polyhedral ni trihedral, tetrahedral, pentagonal, nk.

Slaidi ya 3

ANGELI TATU

Nadharia. Kila pembe ya ndege ya pembe tatu ni chini ya jumla ya pembe zake nyingine mbili za ndege. Uthibitisho: Zingatia pembe tatu za SABC. Hebu kubwa zaidi ya pembe zake za ndege iwe angle ASC. Kisha kukosekana kwa usawa ASB ASC huridhika

Slaidi ya 4


Mali. Jumla ya pembe za ndege za pembe tatu ni chini ya 360 °. Vile vile, kwa pembe tatu zenye vipeo B na C, ukosefu wa usawa ufuatao unashikilia: ABC

Slaidi ya 5

ANGELI CONVEX POLYHEDAL

Pembe ya polihedral inaitwa convex ikiwa iko sura ya convex, yaani, pamoja na pointi zake mbili, ina sehemu inayowaunganisha. Takwimu inaonyesha mifano ya pembe za polyhedral convex na zisizo za convex. Sifa: Jumla ya pembe zote za ndege za pembe ya polihedra ya mbonyeo ni chini ya 360°. Uthibitisho ni sawa na uthibitisho wa mali inayolingana kwa pembe ya trihedral.

Slaidi 6

Pembe za wima za polihedral

Takwimu zinaonyesha mifano ya pembe tatu, tetrahedral na pentahedral wima. Pembe za wima ni sawa.

Slaidi 7

Kupima pembe za polyhedral

Kwa kuwa thamani ya shahada ya angle ya dihedral iliyoendelezwa inapimwa na thamani ya shahada ya angle inayofanana ya mstari na ni sawa na 180 °, tutafikiri kwamba thamani ya shahada ya nafasi nzima, ambayo ina pembe mbili za dihedral zilizoendelea, ni sawa na 360°. Saizi ya pembe ya polyhedral, iliyoonyeshwa kwa digrii, inaonyesha ni nafasi ngapi ambayo pembe ya polihedral iliyopewa inachukua. Kwa mfano, pembe ya trihedral ya mchemraba inachukua sehemu ya nane ya nafasi na, kwa hiyo, thamani yake ya shahada ni 360 °: 8 = 45 °. Pembe ya pembetatu katika haki n-gono prism sawa na nusu pembe ya dihedral kwenye makali ya upande. Kwa kuzingatia kwamba angle hii ya dihedral ni sawa, tunapata kwamba pembe ya trihedral ya prism ni sawa.

Slaidi ya 8

Kupima pembe za pembe tatu*

Wacha tupate fomula inayoonyesha ukubwa wa pembe tatu kwa suala la pembe zake za dihedral. Hebu tueleze tufe la kitengo karibu na kipeo S cha pembe ya utatu na kuashiria pointi za makutano ya kingo za pembe tatu na tufe hii kama A, B, C. Ndege za nyuso za pembe tatu hugawanya tufe hii kuwa digoni sita kwa jozi sawa za duara zinazolingana na pembe za dihedral za pembe hii ya utatu. Mviringo pembetatu ABC na pembetatu ya duara yenye ulinganifu A"B"C" ni makutano ya digoni tatu. Kwa hiyo, jumla ya pembe za dihedral mara mbili ni sawa na 360o pamoja na pembe tatu ya pembe tatu, au SA +SB + SC = 180o + 2 SABC.

Slaidi 9

Kupima pembe za polihedral*

Acha SA1…Iwe pembe yenye sura n-iliyobonyea. Kuigawanya katika pembe tatu, kuchora diagonal A1A3, ..., A1An-1 na kutumia fomula inayopatikana kwao, tutakuwa na:  SA1 + ... + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1… An. Pembe za polyhedral pia inaweza kupimwa kwa nambari. Hakika, digrii mia tatu na sitini za nafasi zote zinalingana na nambari 2π. Kuhama kutoka digrii hadi nambari katika fomula inayotokana, tutakuwa na: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

Slaidi ya 10

Zoezi 1

Je, kunaweza kuwa na pembe ya trihedral na pembe za gorofa: a) 30 °, 60 °, 20 °; b) 45 °, 45 °, 90 °; c) 30 °, 45 °, 60 °? Hakuna jibu; b) hapana; c) ndio.

Slaidi ya 11

Zoezi 2

Toa mifano ya polihedra ambazo nyuso zao, zikipishana kwenye vipeo, huunda tu: a) pembe tatu; b) pembe za tetrahedral; c) pembe za pentagonal. Jibu: a) Tetrahedron, mchemraba, dodecahedron; b) octahedron; c) icosahedron.

Slaidi ya 12

Zoezi 3

Pembe mbili za ndege za pembe ya trihedral ni 70 ° na 80 °. Je, ni mipaka gani ya pembe ya tatu ya ndege? Jibu: 10o

Slaidi ya 13

Zoezi 4

Pembe za ndege za pembe ya trihedral ni 45 °, 45 ° na 60 °. Pata pembe kati ya ndege za pembe za ndege za 45 °. Jibu: 90o.

Slaidi ya 14

Zoezi 5

Katika pembe ya trihedral, pembe mbili za ndege ni sawa na 45 °; pembe ya dihedral kati yao ni sawa. Pata pembe ya tatu ya ndege. Jibu: 60o.

Slaidi ya 15

Zoezi 6

Pembe za ndege za pembe ya trihedral ni 60 °, 60 ° na 90 °. Juu ya mbavu zake kutoka juu zimewekwa makundi sawa OA, OB, OC. Tafuta pembe ya dihedral kati ya ndege ya pembe ya 90° na ndege ya ABC. Jibu: 90o.

Slaidi ya 16

Zoezi 7

Kila pembe ya ndege ya pembe ya trihedral ni 60 °. Kwenye moja ya kingo zake sehemu sawa na cm 3 imewekwa kutoka juu, na perpendicular imeshuka kutoka mwisho wake hadi uso wa kinyume. Tafuta urefu wa perpendicular hii. Jibu: tazama

Slaidi ya 17

Zoezi 8

Tafuta locus pointi za ndani pembe tatu za usawa kutoka kwa nyuso zake. Jibu: Mionzi ambayo vertex ni vertex ya pembe ya trihedral, imelala kwenye mstari wa makutano ya ndege zinazogawanya pembe za dihedral kwa nusu.

Slaidi ya 18

Zoezi 9

Pata eneo la sehemu za ndani za pembe tatu za usawa kutoka kingo zake. Jibu: Mwale ambao kipeo chake ni kipeo cha pembe tatu, iliyo kwenye mstari wa makutano ya ndege zinazopitia sehemu mbili za pembe za ndege na. perpendicular kwa ndege pembe hizi.

Slaidi ya 19

Zoezi 10

Kwa pembe za dihedral za tetrahedron tuna: , wapi 70o30". Kwa pembe tatu za tetrahedron tuna: 15o45". Jibu: 15o45". Pata maadili ya takriban ya pembe tatu za tetrahedron.

Slaidi ya 20

Zoezi 11

Pata maadili ya takriban ya pembe za tetrahedral za octahedron. Kwa pembe za dihedral za octahedron tuna: , wapi 109о30". Kwa pembe za tetrahedral za octahedron tuna: 38о56". Jibu: 38o56".

Slaidi ya 21

Zoezi 12

Pata maadili ya takriban ya pembe za pentahedral za icosahedron. Kwa pembe za dihedral za icosahedron tunayo: , wapi 138о11". Kwa pembe za pentahedral za icosahedron tuna: 75о28". Jibu: 75o28".

Slaidi ya 22

Zoezi 13

Kwa pembe za dihedral za dodekahedron tunayo: , wapi 116o34". Kwa pembe tatu za dodekahedron tuna: 84o51". Jibu: 84o51". Pata takriban maadili ya pembe tatu za dodecahedron.

Slaidi ya 23

Zoezi 14

Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD, upande wa msingi ni 2 cm, urefu ni cm 1. Pata angle ya tetrahedral kwenye kilele cha piramidi hii. Suluhisho: Piramidi zilizopewa hugawanya mchemraba katika piramidi sita sawa na wima katikati ya mchemraba. Kwa hiyo, pembe ya 4-upande juu ya piramidi ni moja ya sita ya angle ya 360 °, i.e. sawa na 60o. Jibu: 60o.

Slaidi ya 24

Zoezi 15

Katika haki piramidi ya pembe tatu mbavu za pembeni sawa na 1, pembe za kipeo 90°. Tafuta pembe ya utatu kwenye kipeo cha piramidi hii. Suluhisho: Piramidi zilizoonyeshwa ziligawanya oktahedron katika piramidi nane sawa na vipeo katikati ya O ya oktahedron. Kwa hiyo, pembe ya 3-upande juu ya piramidi ni moja ya nane ya angle ya 360 °, i.e. sawa na 45o. Jibu: 45o.

Slaidi ya 25

Zoezi 16

Katika piramidi ya kawaida ya triangular, kingo za pembeni ni sawa na 1, na urefu Tafuta pembe ya trihedral kwenye vertex ya piramidi hii. Suluhisho: Piramidi zilizoonyeshwa zimevunjwa tetrahedron ya kawaida kwa nne piramidi sawa na vipeo katikati ya Otetrahedron. Kwa hiyo, pembe ya 3-upande juu ya piramidi ni moja ya nne ya angle ya 360 °, i.e. sawa na 90o. Jibu: 90o.

Tazama slaidi zote

Hebu tuchunguze miale mitatu a, b, c, inayotoka kwenye sehemu moja na sio kulala kwenye ndege moja. Pembe ya trihedral (abc) ni takwimu inayoundwa na pembe tatu za gorofa (ab), (bc) na (ac) (Mchoro 2) Pembe hizi huitwa nyuso za pembe tatu, na pande zao huitwa kingo; kipeo cha kawaida cha pembe bapa huitwa kipeo cha pembe tatu.Pembe za dihedral zinazoundwa na nyuso za pembe tatu huitwa. pembe za dihedral pembe tatu.

Dhana ya pembe ya polyhedral inafafanuliwa sawa (Mchoro 3).

Polyhedron

Katika stereometry, takwimu katika nafasi inayoitwa miili ni alisoma. Mwili wa kuona (kijiometri) lazima ufikiriwe kama sehemu ya nafasi iliyochukuliwa mwili wa kimwili na kupunguzwa na uso.

Polyhedron ni mwili ambao uso wake unajumuisha nambari ya mwisho polygons gorofa (Mchoro 4). Polyhedron inaitwa convex ikiwa iko upande mmoja wa ndege ya kila poligoni ya ndege kwenye uso wake. sehemu ya kawaida ndege kama hiyo na uso wa polihedron mbonyeo huitwa uso. Nyuso za polihedron ya convex ni bapa poligoni mbonyeo. Pande za nyuso huitwa kingo za polihedron, na vipeo huitwa vipeo vya polihedron.

Hebu tueleze hili kwa kutumia mfano wa mchemraba unaojulikana (Mchoro 5). Mchemraba ni polihedron mbonyeo. Uso wake una mraba sita: ABCD, BEFC, .... Hizi ni nyuso zake. Kingo za mchemraba ni pande za miraba hii: AB, BC, BE,.... Vipeo vya mchemraba ni vipeo vya miraba: A, B, C, D, E, .... Mchemraba una nyuso sita, kingo kumi na mbili na vipeo nane.

Kwa polihedra rahisi - prisms na piramidi, ambayo itakuwa kitu kuu cha utafiti wetu - tutatoa ufafanuzi kwamba, kwa asili, usitumie dhana ya mwili. Watafafanuliwa kama takwimu za kijiometri zinazoonyesha pointi zote katika nafasi ambazo ni zao. Dhana mwili wa kijiometri na uso wake ndani kesi ya jumla itatolewa baadaye.

20. Utafiti wa ngazi mbalimbali wa pembe za polyhedral, mali ya pembe ya ndege ya pembe ya trihedral na pembe ya polyhedral.

Kiwango cha msingi cha:

Atanasyan

Inazingatia tu pembe ya Dihedral.

Pogorelov

Kwanza, anazingatia angle ya dihedral na kisha mara moja pembe za trihedral na polyhedral.

Hebu tuchunguze miale mitatu a, b, c, inayotoka kwenye sehemu moja na kulala kwenye ndege moja. Pembe ya trihedral (abc) ni takwimu inayoundwa na pembe tatu za gorofa (ab), (bc) na (ac) (Mchoro 400). Pembe hizi huitwa nyuso za pembe ya trihedral, na pande zao huitwa kingo. Kipeo cha kawaida cha pembe za ndege kinaitwa vertex ya pembe ya trihedral. Pembe za dihedral zinazoundwa na nyuso za pembe tatu huitwa pembe za dihedral za pembe ya trihedral.

Dhana ya pembe ya polyhedral inaletwa sawa (Mchoro 401).

Kielelezo 400 na Kielelezo 401

P kiwango cha wasifu(A.D. Aleksndrov, A.L. Werner, V.I. Ryzhikh):

Kuacha ufafanuzi na utafiti wa pembe za polyhedral za kiholela hadi § 31, sasa tutazingatia rahisi zaidi yao - pembe za trihedral. Ikiwa katika pembe za dihedral za sterometry zinaweza kuzingatiwa kama analogi za pembe za ndege, basi pembe tatu zinaweza kuzingatiwa kama analogi za pembetatu za ndege, na katika aya zifuatazo tutaona jinsi zinavyohusiana kwa asili na pembetatu za spherical.

Unaweza kuunda (na kwa hivyo kufafanua kwa njia nzuri) pembe ya utatu kama hii. Chukua miale yoyote mitatu a, b, c, kuwa nayo mwanzo wa jumla O na sio uongo katika ndege moja (Mchoro 150). Miale hii ni pande za pembe tatu za ndege mbonyeo: pembe α yenye pande b, c, pembe β yenye pande a, c, na pembe γ yenye pande a, b. Muungano wa pembe hizi tatu α, β, γ unaitwa pembe tatu Oabc (au, kwa ufupi, pembe tatu Oabc). Miale a, b, c inaitwa kingo za pembe ya trihedral Oabc, na pembe za ndege α, β, γ ni nyuso zake. Pointi O inaitwa vertex ya pembe tatu.

Maoni 3. Itawezekana kufafanua pembe ya trihedral na uso usio na convex (Mchoro 151), lakini hatutazingatia pembe hizo za trihedral.

Kwa kila makali ya pembe ya trihedral, angle ya dihedral inayofanana imedhamiriwa, moja ambayo makali yake yana makali yanayofanana ya pembe ya trihedral, na nyuso zake zina nyuso za pembe ya trihedral iliyo karibu na makali haya.

Thamani za pembe za dihedral za pembe tatu za Oabc kwenye kingo a, b, c zitaonyeshwa mtawalia na a^, b^, c^ (kofia moja kwa moja juu ya herufi).

Nyuso tatu α, β, γ za pembe tatu ya Oabc na pembe zake tatu za dihedral katika mbavu a, b, с, pamoja na kiasi α, β, γ na а^, b^, с^ tutaita vipengele vya pembe ya trihedral. (Kumbuka kwamba vipengele vya pembetatu ya ndege ni pande zake na pembe zake.)

Kazi yetu ni kueleza baadhi ya vipengele vya pembe tatu kupitia vipengele vyake vingine, yaani, kuunda "trigonometry" ya pembe tatu.

1) Wacha tuanze kwa kupata analog ya theorem ya cosine. Kwanza, fikiria pembe tatu ya Oabc, ambayo ina angalau nyuso mbili, kwa mfano α na β, pembe kali. Wacha tuchukue hatua C kwenye ukingo wake c na kuchora kutoka kwayo katika nyuso α na β perpendiculars CB na CA hadi kingo c hadi zinaingiliana na kingo a na b kwa alama A na B (Mchoro 152). Hebu tueleze umbali AB kutoka kwa pembetatu OAB na CAB kwa kutumia nadharia ya cosine.

AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) na AB 2 =OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ.

Kuondoa ya kwanza kutoka kwa usawa wa pili, tunapata:

OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1). Kwa sababu pembetatu OSV na OCA zina pembe ya kulia, kisha AC 2 -AC 2 =OS 2 na OB 2 -VS 2 =OS 2 (2)

Kwa hivyo, kutoka (1) na (2) inafuata kwamba OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)

hizo.

Lakini
,
,
,
. Ndiyo maana

(3) - analog ya theorem ya cosine kwa pembe tatu - formula ya cosine.

Nyuso zote mbili α na β ni pembe butu.

Moja ya pembe α na β, kwa mfano α, ni ya papo hapo, na nyingine, β, ni butu.

Angalau 1 ya pembe α au β ni sawa.

Ishara za usawa wa pembe za trihedral sawa na ishara za usawa wa pembetatu. Lakini kuna tofauti: kwa mfano, pembe tatu za trihedral ni sawa ikiwa pembe zao za dihedral ni sawa sawa. Kumbuka kwamba pembetatu mbili za ndege ambazo pembe zinazolingana ni sawa zinafanana. Na kwa pembe za trihedral, hali kama hiyo husababisha sio kufanana, lakini kwa usawa.

Pembe za Trihedral zina ajabu mali ambayo inaitwa uwili. Ikiwa katika nadharia yoyote kuhusu pembe ya trihedral Oabc tunabadilisha maadili, b, kutoka hadi π-α, π-β, π-γ na, kinyume chake, badilisha α, β, γ na π-a^, π-b^, π-c^, kisha tunapata tena taarifa ya kweli kuhusu pembe tatu, mbili kwa nadharia moja ya asili. Ukweli, ikiwa uingizwaji kama huo unafanywa katika nadharia ya sines, basi tunakuja tena kwenye nadharia ya sines (ni mbili yenyewe). Lakini tukifanya hivi katika nadharia ya cosine (3), tunapata fomula mpya

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Kwa nini uwili huo hutokea itakuwa wazi ikiwa kwa pembe ya trihedral tunajenga pembe ya trihedral mbili kwa hiyo, kingo ambazo ni perpendicular kwa nyuso za angle ya awali (angalia sehemu ya 33.3 na Mchoro 356).

Baadhi ya nyuso rahisi zaidi ni pembe za polyhedral. Zinaundwa na pembe za kawaida (sasa mara nyingi tutaziita pembe kama hizo kuwa pembe za gorofa), kama vile mstari uliofungwa uliovunjika unaundwa na sehemu. Yaani, ufafanuzi ufuatao unatolewa:

Pembe ya polyhedral inaitwa takwimu inayoundwa na pembe za ndege ili hali zifuatazo zifikiwe:

1) Hakuna pembe mbili zilizo na alama za kawaida isipokuwa kipeo chao cha kawaida au upande mzima.

2) Kwa kila moja ya pembe hizi, kila moja ya pande zake ni ya kawaida na moja na nyingine tu ya pembe hiyo.

3) Kutoka kila kona unaweza kwenda kila kona kando ya pembe ambazo zina pande za kawaida.

4) Hakuna pembe mbili zilizo na upande wa kawaida ziko kwenye ndege moja (Mchoro 324).

Chini ya hali hii, pembe za ndege zinazounda pembe ya polyhedral huitwa nyuso zake, na pande zao huitwa kando yake.

Chini ya ufafanuzi huu Pembe ya dihedral pia inafaa. Inaundwa na pembe mbili za gorofa zilizofunuliwa. Kipeo chake kinaweza kuzingatiwa hatua yoyote kwenye ukingo wake, na hatua hii inagawanya makali katika kingo mbili zinazokutana kwenye vertex. Lakini kutokana na kutokuwa na uhakika huu katika nafasi ya vertex, angle ya dihedral imetengwa na idadi ya pembe za polyhedral.

P

Dhana ya pembe ya polyhedral ni muhimu, hasa, katika utafiti wa polyhedra - katika nadharia ya polyhedra. Muundo wa polyhedron unajulikana na nyuso gani zinafanywa na jinsi zinavyounganishwa kwenye wima, yaani, ni pembe gani za polyhedral zilizopo.

Fikiria pembe za polihedra za polihedra tofauti.

Kumbuka kwamba nyuso za pembe za polyhedral zinaweza pia kuwa zisizo za convex.

Pembe ya polyhedral

sehemu ya nafasi iliyopunguzwa na cavity moja ya polyhedral uso wa conical, mwelekeo ambao ni poligoni bapa bila makutano ya kibinafsi. Nyuso za uso huu huitwa nyuso za mosaic, na juu inaitwa juu ya mosaic. M. u. inaitwa sahihi ikiwa yote ni sawa pembe za mstari na pembe zake zote za dihedral. Meroy M. u. ni eneo lililozuiliwa na poligoni ya duara inayopatikana kwa makutano ya nyuso za poligoni, tufe yenye radius. sawa na moja, na katikati kwenye kipeo cha M. y. Tazama pia Pembe Mango.

Kubwa Ensaiklopidia ya Soviet. - M.: Encyclopedia ya Soviet. 1969-1978 .

Tazama "pembe ya polyhedral" ni nini katika kamusi zingine:

Angalia pembe thabiti... Kubwa Kamusi ya encyclopedic

Tazama pembe thabiti. * * * ANGLE YA POLYHEDAL ANGLE POLYHEDAL, tazama Pembe Mango (angalia ANGLE MANGO) ... Kamusi ya encyclopedic

Sehemu ya nafasi iliyopunguzwa na cavity moja ya polyhedral conic. uso unaoelekea kwenye kundi la poligoni bapa bila makutano ya kibinafsi. Nyuso za uso huu zinaitwa. kingo za M. u., juu ya kilele cha M. u. Pembe ya polyhedral inaitwa sahihi... Encyclopedia ya hisabati

Angalia pembe Mango... Sayansi ya asili. Kamusi ya encyclopedic

pembe ya polyhedral- hisabati. Sehemu ya nafasi iliyofungwa na ndege kadhaa zinazopita kwenye sehemu moja (vertex ya pembe) ... Kamusi ya misemo mingi

NYINGI, yenye sura nyingi, yenye sura nyingi (kitabu). 1. Kuwa na nyuso au pande kadhaa. Mawe yenye sura nyingi. Pembe ya polyhedral (sehemu ya nafasi iliyopunguzwa na ndege kadhaa zinazoingiliana kwa hatua moja; mkeka). 2. uhamisho...... Kamusi Ushakova

- (mkeka.). Ikiwa tunachora mistari ya moja kwa moja OA na 0B kutoka kwa uhakika O kwenye ndege iliyotolewa, tunapata angle AOB (Mchoro 1). Crap. 1. Pointi 0 inayoitwa kipeo cha pembe, na mistari iliyonyooka OA na 0B kama pande za pembe. Tuseme kwamba pembe mbili ΒΟΑ na Β 1 Ο 1 Α 1 zimetolewa. Hebu tulazimishe ili... ...

- (mkeka.). Ikiwa tunachora mistari ya moja kwa moja OA na 0B kutoka kwa uhakika O kwenye ndege iliyotolewa, tunapata angle AOB (Mchoro 1). Crap. 1. Pointi 0 inayoitwa kipeo cha pembe, na mistari iliyonyooka OA na 0B kama pande za pembe. Tuseme kwamba pembe mbili ΒΟΑ na Β1Ο1Α1 zimetolewa. Wacha tuziweke juu ili wima O ... Kamusi ya Encyclopedic F.A. Brockhaus na I.A. Efron

Neno hili lina maana zingine, angalia Angle (maana). Pembe ∠ Dimension ° SI vitengo Radian ... Wikipedia

Gorofa, takwimu ya kijiometri, inayoundwa na mionzi miwili (pande za uso) inayotokana na hatua moja (vertex ya uso). Kila U. yenye kipeo katikati ya O ya duara fulani (U. ya kati), inafafanua kwenye duara safu ya AB inayopakana na... ... Encyclopedia kubwa ya Soviet

Ufafanuzi. Wacha tuchukue pembe kadhaa (Mchoro 37): ASB, BSC, CSD, ambayo, karibu na kila mmoja, iko kwenye ndege moja karibu na vertex ya kawaida S.

Wacha tuzungushe ndege ya pembe ya ASB kuzunguka upande wa pamoja SB ili ndege hii itengeneze pembe fulani ya dihedral na BSC ya ndege. Kisha, bila kubadilisha angle ya dihedral inayosababisha, tunaizunguka karibu na mstari wa moja kwa moja SC ili ndege ya BSC ifanye angle fulani ya dihedral na ndege ya CSD. Wacha tuendelee mzunguko huu wa kufuatana kuzunguka kila upande wa pamoja. Ikiwa upande wa mwisho SF unafanana na upande wa kwanza SA, basi takwimu huundwa (Mchoro 38), ambayo inaitwa. pembe ya polyhedral. Angles ASB, BSC,... zinaitwa pembe za gorofa au kingo, pande zao SA, SB, ... zinaitwa mbavu, na kipeo cha kawaida S- juu pembe ya polyhedral.

Kila makali pia ni makali ya angle fulani ya dihedral; kwa hivyo, katika pembe ya polihedral kuna pembe nyingi za dihedral na pembe nyingi za ndege kama kuna kingo zote ndani yake. Nambari ndogo zaidi kuna nyuso tatu katika pembe ya polyhedral; pembe hii inaitwa pembetatu. Kunaweza kuwa na pembe za tetrahedral, pentagonal, nk.

Pembe ya polyhedral inaonyeshwa ama kwa herufi moja S iliyowekwa kwenye vertex, au kwa safu ya herufi SABCDE, ambayo ya kwanza inaashiria vertex, na zingine - kingo kwa mpangilio wa eneo lao.

Pembe ya polyhedral inaitwa convex ikiwa iko kabisa upande mmoja wa ndege ya kila nyuso zake, ambayo hupanuliwa kwa muda usiojulikana. Hii ni, kwa mfano, angle iliyoonyeshwa katika kuchora 38. Kinyume chake, angle katika kuchora 39 haiwezi kuitwa convex, kwa kuwa iko pande zote mbili za makali ya ASB au makali ya BCC.

Ikiwa tutaingiliana na nyuso zote za pembe ya polyhedral na ndege, basi poligoni huundwa katika sehemu ( abcde ) Katika pembe ya polihedral mbonyeo, poligoni hii pia ni mbonyeo.

Tutazingatia tu pembe za polihedral convex.

Nadharia. Katika pembe ya utatu, kila pembe ya ndege ni chini ya jumla ya pembe nyingine mbili za ndege.

Hebu kubwa zaidi ya pembe za ndege katika pembe ya trihedral SABC (Kielelezo 40) iwe ASC ya pembe.

Hebu tufanye kwa pembe hii angle ya ASD, sawa na angle ya ASB, na kuchora mstari wa moja kwa moja wa AC intersecting SD wakati fulani D. Hebu tupange SB = SD. Kwa kuunganisha B na A na C, tunapata \(\Delta\)ABC, ambayo

AD+DC< АВ + ВС.

Pembetatu ASD na ASB zinalingana kwa sababu kila moja ina pembe sawa kati yake pande sawa: kwa hiyo AD = AB. Kwa hivyo, ikiwa katika ukosefu wa usawa unaotokana tutatupa masharti sawa AD na AB, tunapata DC hiyo< ВС.

Sasa tunaona kwamba katika pembetatu SCD na SCB, pande mbili za moja ni sawa na pande mbili za nyingine, lakini pande za tatu si sawa; katika kesi hii, angle kubwa iko kinyume na kubwa ya pande hizi; Ina maana,

∠CSD< ∠ CSВ.

Kwa kuongeza pembe ya ASD kwenye upande wa kushoto wa ukosefu huu wa usawa, na pembe ASB sawa nayo kulia, tunapata ukosefu wa usawa ambao ulihitaji kuthibitishwa:

∠ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.

Tumethibitisha kwamba hata pembe kubwa zaidi ya ndege ni chini ya jumla ya pembe nyingine mbili. Hii inamaanisha kuwa nadharia imethibitishwa.

Matokeo. Ondoa kutoka pande zote mbili za usawa wa mwisho kwa angle ASB au angle CSB; tunapata:

∠ASC - ∠ASB< ∠ CSB;

∠ASC - ∠CSB< ∠ ASB.

Kwa kuzingatia usawa huu kutoka kulia kwenda kushoto na kwa kuzingatia kwamba angle ASC kama kubwa ya pembe tatu kubwa kuliko tofauti ya pembe nyingine mbili, tunafikia hitimisho kwamba katika pembe ya utatu, kila pembe ya ndege ni kubwa kuliko tofauti ya pembe nyingine mbili.

Nadharia. Katika pembe ya polihedra mbonyeo, jumla ya pembe zote za ndege ni chini ya 4d (360°) .

Wacha tuvuke kingo (Mchoro 41) pembe ya mbonyeo SABCDE na baadhi ya ndege; kutoka kwa hii tunapata sehemu ya msalaba ya convex n-ingia ABCDE.

Utumiaji wa nadharia iliyothibitishwa mapema kwa kila pembe tatu ambazo wima ziko katika sehemu A, B, C, D na E, sisi pacholym:

∠ABC< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

Hebu tujumuishe ukosefu huu wote wa usawa kwa muda baada ya muda. Kisha upande wa kushoto tunapata jumla ya pembe zote za poligoni ABCDE, ambayo ni sawa na 2. dn - 4d , na upande wa kulia - jumla ya pembe za pembetatu ABS, SBC, nk, isipokuwa kwa pembe hizo ambazo ziko kwenye vertex S. Kuashiria jumla ya pembe hizi za mwisho na herufi. X , tunapata baada ya kuongeza:

2dn - 4d < 2dn -x .

Kwa kuwa katika tofauti 2 dn - 4d na 2 dn -x minuends ni sawa, basi kwa tofauti ya kwanza kuwa chini ya ya pili, ni muhimu kwamba subtrahend 4. d ilikuwa zaidi ya makato X ; hiyo ina maana 4 d > X , i.e. X < 4d .

Kesi rahisi zaidi za usawa wa pembe za trihedral

Nadharia. Pembe za Trihedral ni sawa ikiwa zina:

1) kwa pembe ya dihedral sawa iliyofungwa kati ya pembe mbili za ndege zinazolingana na zilizotengana kwa nafasi sawa, au

2) kando ya pembe ya ndege iliyoambatanishwa kati ya pembe mbili za dihedral zinazolingana sawa na zilizo na nafasi sawa.

1) Acha S na S 1 ziwe pembe tatu za utatu (Kielelezo 42), ambazo ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1, ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (na hizi pembe sawa iko sawa) na pembe ya dihedral AS ni sawa na pembe ya dihedral A 1 S 1 .

Hebu tuingize pembe S 1 kwenye angle S ili pointi zao S 1 na S, mistari ya moja kwa moja S 1 A 1 na SA na ndege A 1 S 1 B 1 na ASB sanjari. Kisha makali S 1 B 1 itaenda pamoja na SB (kutokana na usawa wa pembe A 1 S 1 B 1 na ASB), ndege A 1 S 1 C 1 itaenda pamoja na ASC (kwa mujibu wa usawa wa pembe za dihedral. ) na makali S 1 C 1 itaenda kando ya SC (kutokana na usawa wa pembe A 1 S 1 C 1 na ASC). Kwa hivyo, pembe za trihedral zitapatana na kando zao zote, i.e. watakuwa sawa.

2) Ishara ya pili, kama ya kwanza, inathibitishwa kwa kupachika.

Pembe za polihedral zenye ulinganifu

Kama inavyojulikana, pembe za wima ni sawa tunapozungumzia pembe zinazoundwa na mistari iliyonyooka au ndege. Wacha tuone ikiwa taarifa hii ni ya kweli kuhusiana na pembe za polyhedral.

Wacha tuendelee (Mchoro 43) kingo zote za pembe SABCDE zaidi ya vertex S, kisha pembe nyingine ya polyhedral SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 inaundwa, ambayo inaweza kuitwa. wima kuhusiana na pembe ya kwanza. Ni rahisi kuona kwamba pembe zote mbili zina pembe sawa za gorofa na dihedral, kwa mtiririko huo, lakini zote mbili ziko ndani. utaratibu wa nyuma. Hakika, ikiwa tunafikiria mtazamaji akiangalia kutoka nje ya pembe ya polyhedral kwenye vertex yake, basi kingo za SA, SB, SC, SD, SE zitaonekana kwake kuwa ziko katika mwelekeo kinyume na saa, wakati, akiangalia pembe SA 1 B. 1 C 1 D 1 E 1, anaona kingo SA 1, SB 1, ..., iko katika mwelekeo wa saa.

Pembe za polihedral zilizo na ndege sawa na pembe za dihedral, lakini ziko katika mpangilio tofauti, kwa ujumla haziwezi kuunganishwa wakati zimewekwa; maana yake hawako sawa. Pembe kama hizo huitwa ulinganifu(inayohusiana na vertex S). Ulinganifu wa takwimu katika nafasi utajadiliwa kwa undani zaidi hapa chini.

Nyenzo zingine