Jumla ya pembe za poligoni ya kawaida huhesabiwa kwa kutumia fomula. Poligoni mbonyeo

Wacha iwe poligoni mbonyeo iliyopewa na n > 3. Kisha tunachora diagonal n-3 kutoka kipeo kimoja hadi vipeo tofauti: . Kwa kuwa poligoni ni mbonyeo, diagonal hizi huigawanya katika n - 2 pembetatu:. Jumla ya pembe za poligoni ni jumla ya pembe za pembetatu hizi zote. Jumla ya pembe katika kila pembetatu ni 180 °, na idadi ya pembetatu hizi ni n-2. Kwa hiyo, jumla ya pembe za n-gon ni 180 ° (n-2). Nadharia imethibitishwa. Maoni Kwa n-gon isiyo ya convex, jumla ya pembe pia ni 180 ° (n-2). Uthibitisho ni sawa, lakini hutumia kwa kuongeza lema kwamba poligoni yoyote inaweza kukatwa na diagonal katika pembetatu. Vidokezo Nadharia ya jumla ya pembe za poligoni haishikilii poligoni kwenye tufe (au kwenye ndege nyingine yoyote iliyopotoka, isipokuwa katika hali fulani). Tazama jiometri zisizo za Euclidean kwa maelezo zaidi. Angalia pia Wikimedia Foundation. 2010. Tazama "Nadharia juu ya jumla ya pembe za poligoni" ni nini katika kamusi zingine: Pembetatu Nadharia juu ya jumla ya pembe za pembetatu ni nadharia ya kitamaduni ya jiometri ya Euclidean. Madai kuwa... Wikipedia - ... Wikipedia Taja kwamba poligoni mbili za eneo sawa zina uwiano sawa. Rasmi zaidi: Acha P na Q ziwe poligoni mbili zilizo na eneo moja. Kisha wanaweza kukatwa ipasavyo katika poligoni na, hivyo kwa yoyote ... Wikipedia Nadharia ya Bolyai Gerwin inasema kwamba poligoni zozote mbili za eneo sawa zinalingana. Rasmi zaidi: Acha na ziwe poligoni mbili zilizo na eneo moja. Kisha wanaweza kukatwa ipasavyo katika poligoni na, hivyo kwa... ... Wikipedia - ... Wikipedia Neno hili lina maana zingine, angalia Pembetatu (maana). Pembetatu (katika nafasi ya Euclidean) ni takwimu ya kijiometri inayoundwa na sehemu tatu zinazounganisha pointi tatu ambazo hazilala kwenye mstari sawa sawa. Nukta tatu,... ... Wikipedia

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

• Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, barua pepe, n.k.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

• Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
• Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
• Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
• Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

• Ikiwa ni lazima - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na / au kwa misingi ya maombi ya umma au maombi kutoka kwa mamlaka ya serikali katika eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
• Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Kielelezo cha kijiometri kinachojumuisha sehemu za AB,BC,CD, .., EF, FA kwa njia ambayo sehemu za karibu hazilala kwenye mstari huo huo, na sehemu zisizo karibu hazina pointi za kawaida, inaitwa poligoni. Mwisho wa makundi haya, pointi A, B, C, D, ..., E, F huitwa vilele poligoni, na sehemu AB, BC, CD, .., EF, FA zenyewe ni vyama poligoni.

Pembe poligoni inaitwa mbonyeo ikiwa iko upande mmoja wa kila mstari unaopita katika vipeo vyake viwili vilivyo karibu. Kielelezo hapa chini kinaonyesha poligoni mbonyeo:

Na takwimu ifuatayo inaonyesha poligoni isiyo ya convex:

Pembe ya poligoni mbonyeo kwenye kipeo fulani ni pembe inayoundwa na pande za poligoni hii inayojipinda kwenye kipeo fulani. Pembe ya nje ya poligoni mbonyeo kwenye kipeo fulani ni pembe iliyo karibu na pembe ya ndani ya poligoni kwenye kipeo fulani.

Nadharia: Jumla ya pembe za mbonyeo n-gon ni 180˚ *(n-2)

Uthibitisho: Fikiria n-gon mbonyeo. Ili kupata jumla ya pembe zote za ndani, unganisha moja ya vipeo vya poligoni na vipeo vingine.

Kama matokeo, tunapata pembetatu (n-2). Inajulikana kuwa jumla ya pembe za pembetatu ni digrii 180. Na kwa kuwa idadi yao katika poligoni ni (n-2), basi jumla ya pembe za poligoni ni sawa na 180˚ * (n-2). Hili ndilo lililohitaji kuthibitishwa.

Kazi:

Tafuta jumla ya pembe za mbonyeo a) pentagoni b) heksagoni c) dekagoni.

Wacha tutumie fomula kuhesabu jumla ya pembe za n-gon ya convex.

a) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.

b) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

c) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

Jibu: a) 540˚. b) 720˚. c) 1440˚.

Maumbo haya ya kijiometri yanatuzunguka kila mahali. Poligoni mbonyeo inaweza kuwa ya asili, kama vile sega la asali, au bandia (iliyotengenezwa na mwanadamu). Takwimu hizi hutumiwa katika uzalishaji wa aina mbalimbali za mipako, uchoraji, usanifu, kujitia, nk. Poligoni mbonyeo zina sifa ya kwamba pointi zake zote ziko upande mmoja wa mstari ulionyooka ambao hupitia jozi ya vipeo vya karibu vya takwimu hii ya kijiometri. Kuna ufafanuzi mwingine. Poligoni mbonyeo ni ile ambayo iko katika nusu-ndege moja inayohusiana na mstari wowote ulionyooka ulio na moja ya pande zake.

Katika kozi ya jiometri ya msingi, polygons rahisi tu huzingatiwa kila wakati. Ili kuelewa mali yote ya vile, ni muhimu kuelewa asili yao. Kwanza, unapaswa kuelewa kwamba mstari wowote ambao mwisho wake unafanana unaitwa kufungwa. Kwa kuongezea, takwimu inayoundwa nayo inaweza kuwa na usanidi anuwai. Poligoni ni laini iliyovunjika iliyofungwa ambayo viungo vya jirani haviko kwenye mstari sawa sawa. Viungo vyake na wima ni, kwa mtiririko huo, pande na wima za takwimu hii ya kijiometri. Polyline rahisi haipaswi kuwa na makutano ya kibinafsi.

Vipeo vya poligoni huitwa karibu ikiwa vinawakilisha ncha za moja ya pande zake. Kielelezo cha kijiometri ambacho kina nambari ya nth ya wima, na kwa hivyo nambari ya nth ya pande, inaitwa n-gon. Mstari uliovunjika yenyewe huitwa mpaka au contour ya takwimu hii ya kijiometri. Ndege yenye pembe nyingi au poligoni bapa ni sehemu ya mwisho ya ndege yoyote iliyopakana nayo. Pande za karibu za takwimu hii ya kijiometri ni sehemu za mstari uliovunjika unaotoka kwenye vertex moja. Hazitakuwa karibu ikiwa zinatoka kwa wima tofauti za poligoni.

Ufafanuzi mwingine wa polygons convex

Katika jiometri ya msingi, kuna ufafanuzi kadhaa zaidi sawa katika maana, kuonyesha ni poligoni ipi inaitwa convex. Aidha, michanganyiko hii yote ni sawa. Polygon inachukuliwa kuwa laini ikiwa:

Kila sehemu inayounganisha pointi mbili ndani yake iko ndani yake kabisa;

Mishale yake yote iko ndani yake;

Pembe yoyote ya ndani haizidi 180 °.

Poligoni kila mara hugawanya ndege katika sehemu 2. Mmoja wao ni mdogo (inaweza kufungwa kwenye mduara), na nyingine haina ukomo. Ya kwanza inaitwa kanda ya ndani, na ya pili ni eneo la nje la takwimu hii ya kijiometri. Poligoni hii ni makutano (kwa maneno mengine, sehemu ya kawaida) ya nusu-ndege kadhaa. Zaidi ya hayo, kila sehemu ambayo ina mwisho kwa pointi ambazo ni za poligoni kabisa ni yake.

Aina za polygons convex

Ufafanuzi wa poligoni mbonyeo hauonyeshi kuwa kuna aina nyingi. Aidha, kila mmoja wao ana vigezo fulani. Kwa hivyo, poligoni mbonyeo ambazo zina pembe ya ndani sawa na 180° huitwa umbonyeo dhaifu. Kielelezo cha kijiometri kilichobonyea ambacho kina vipeo vitatu huitwa pembetatu, nne - pembe nne, tano - pentagoni, n.k. Kila moja ya n-gons mbonyeo hukutana na mahitaji muhimu zaidi yafuatayo: n lazima iwe sawa na au zaidi ya 3. Kila moja ya pembetatu ni mbonyeo. Takwimu ya kijiometri ya aina hii, ambayo wima zote ziko kwenye mduara huo, inaitwa iliyoandikwa kwenye mduara. Poligoni mbonyeo huitwa kuzunguka ikiwa pande zake zote karibu na duara zitaigusa. Poligoni mbili zinasemekana kuwa na mshikamano ikiwa tu zinaweza kuletwa pamoja na nafasi kubwa zaidi. Poligoni ya ndege ni ndege ya poligonal (sehemu ya ndege) ambayo imepunguzwa na takwimu hii ya kijiometri.

Poligoni mbonyeo za kawaida

Polygons za kawaida ni takwimu za kijiometri zilizo na pembe na pande sawa. Ndani yao kuna hatua 0, ambayo iko katika umbali sawa kutoka kwa kila wima yake. Inaitwa katikati ya takwimu hii ya kijiometri. Sehemu zinazounganisha katikati na wima za takwimu hii ya kijiometri huitwa apothems, na zile zinazounganisha hatua 0 na pande ni radii.

Aquadrilateral ya kawaida ni mraba. Pembetatu ya kawaida inaitwa equilateral. Kwa takwimu kama hizo, kuna sheria ifuatayo: kila pembe ya poligoni mbonyeo ni sawa na 180° * (n-2)/ n,

ambapo n ni idadi ya vipeo vya takwimu hii ya kijiometri iliyobonyea.

Eneo la poligoni yoyote ya kawaida imedhamiriwa na formula:

ambapo p ni sawa na nusu ya jumla ya pande zote za poligoni fulani, na h ni sawa na urefu wa apothemu.

Sifa za poligoni mbonyeo

Poligoni mbonyeo zina sifa fulani. Kwa hivyo, sehemu inayounganisha pointi 2 za takwimu hiyo ya kijiometri ni lazima iko ndani yake. Uthibitisho:

Wacha tufikirie kuwa P ni poligoni mbonyeo iliyopewa. Tunachukua pointi 2 za kiholela, kwa mfano, A, B, ambayo ni ya P. Kulingana na ufafanuzi uliopo wa polygon ya convex, pointi hizi ziko upande mmoja wa mstari, ambao una upande wowote wa P. Kwa hiyo, AB pia ina sifa hii na iko katika P. Poligoni mbonyeo daima inawezekana kuigawanya katika pembetatu kadhaa kwa kutumia kabisa diagonal zote ambazo hutolewa kutoka kwa moja ya vipeo vyake.

Pembe za maumbo ya kijiometri ya convex

Pembe za poligoni mbonyeo ni pembe zinazoundwa na pande zake. Pembe za ndani ziko katika eneo la ndani la takwimu ya kijiometri iliyopewa. Pembe inayoundwa na pande zake zinazokutana kwenye kipeo kimoja inaitwa pembe ya poligoni mbonyeo. na pembe za ndani za takwimu ya kijiometri iliyopewa huitwa nje. Kila pembe ya poligoni mbonyeo iliyoko ndani yake ni sawa na:

ambapo x ni saizi ya pembe ya nje. Njia hii rahisi inatumika kwa maumbo yoyote ya kijiometri ya aina hii.

Kwa ujumla, kwa pembe za nje, sheria ifuatayo inatumika: kila pembe ya poligoni ya convex ni sawa na tofauti kati ya 180 ° na ukubwa wa angle ya ndani. Inaweza kuwa na maadili kutoka -180 ° hadi 180 °. Kwa hiyo, wakati angle ya ndani ni 120 °, angle ya nje itakuwa 60 °.

Jumla ya pembe za poligoni mbonyeo

Jumla ya pembe za ndani za poligoni mbonyeo imedhamiriwa na fomula:

ambapo n ni idadi ya wima ya n-gon.

Jumla ya pembe za poligoni mbonyeo huhesabiwa kwa urahisi kabisa. Fikiria takwimu yoyote ya kijiometri. Kuamua jumla ya pembe ndani ya poligoni mbonyeo, unahitaji kuunganisha moja ya vipeo vyake na vipeo vingine. Kama matokeo ya hatua hii, pembetatu (n-2) hupatikana. Inajulikana kuwa jumla ya pembe za pembetatu yoyote daima ni sawa na 180 °. Kwa kuwa idadi yao katika poligoni yoyote ni (n-2), jumla ya pembe za ndani za takwimu hiyo ni sawa na 180 ° x (n-2).

Jumla ya pembe za poligoni mbonyeo, yaani, pembe zozote mbili za nje za ndani na zilizo karibu, kwa takwimu ya kijiometri iliyopeanwa itakuwa sawa na 180 ° kila wakati. Kulingana na hili, tunaweza kuamua jumla ya pembe zake zote:

Jumla ya pembe za ndani ni 180 ° * (n-2). Kwa msingi wa hii, jumla ya pembe zote za nje za takwimu imedhamiriwa na formula:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Jumla ya pembe za nje za poligoni mbonyeo yoyote daima itakuwa 360° (bila kujali idadi ya pande).

Pembe ya nje ya poligoni mbonyeo kwa ujumla inawakilishwa na tofauti kati ya 180° na thamani ya pembe ya ndani.

Sifa zingine za poligoni mbonyeo

Mbali na mali ya msingi ya maumbo haya ya kijiometri, pia wana wengine wanaojitokeza wakati wa kuwadanganya. Kwa hivyo, poligoni yoyote inaweza kugawanywa katika n-gons kadhaa za convex. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuendelea kila pande zake na kukata takwimu hii ya kijiometri pamoja na mistari hii ya moja kwa moja. Inawezekana pia kugawanya poligoni yoyote katika sehemu kadhaa za mbonyeo kwa njia ambayo vipeo vya kila kipande vinapatana na vipeo vyake vyote. Kutoka kwa takwimu kama hiyo ya kijiometri, unaweza kutengeneza pembetatu kwa urahisi kwa kuchora diagonal zote kutoka kwa vertex moja. Kwa hivyo, poligoni yoyote inaweza hatimaye kugawanywa katika idadi fulani ya pembetatu, ambayo inageuka kuwa muhimu sana katika kutatua matatizo mbalimbali yanayohusiana na takwimu hizo za kijiometri.

Mzunguko wa poligoni mbonyeo

Sehemu za mstari zilizovunjika, zinazoitwa pande za poligoni, mara nyingi huonyeshwa na herufi zifuatazo: ab, bc, cd, de, ea. Hizi ni pande za takwimu za kijiometri na wima a, b, c, d, e. Jumla ya urefu wa pande zote za poligoni hii mbonyeo inaitwa mzunguko wake.

Mzunguko wa poligoni

Poligoni mbonyeo zinaweza kuandikwa au kuzungushwa. Mduara unaogusa pande zote za takwimu hii ya kijiometri inaitwa iliyoandikwa ndani yake. Poligoni kama hiyo inaitwa circumscribed. Katikati ya mduara ambayo imeandikwa katika poligoni ni hatua ya makutano ya vipande viwili vya pembe zote ndani ya takwimu fulani ya kijiometri. Eneo la poligoni vile ni sawa na:

ambapo r ni radius ya duara iliyoandikwa, na p ni nusu ya mzunguko wa poligoni iliyotolewa.

Mduara ulio na vipeo vya poligoni huitwa kuzunguka juu yake. Katika kesi hii, takwimu hii ya kijiometri ya convex inaitwa iliyoandikwa. Katikati ya duara, ambayo imeelezewa karibu na poligoni kama hiyo, ni sehemu ya makutano ya kinachojulikana kama sehemu za pande zote za pande zote.

Ulalo wa maumbo ya kijiometri ya convex

Milalo ya poligoni mbonyeo ni sehemu zinazounganisha wima zisizo karibu. Kila mmoja wao amelala ndani ya takwimu hii ya kijiometri. Idadi ya diagonal ya n-gon kama hiyo imedhamiriwa na formula:

N = n (n - 3)/ 2.

Idadi ya diagonal ya poligoni mbonyeo ina jukumu muhimu katika jiometri ya msingi. Idadi ya pembetatu (K) ambayo kila poligoni mbonyeo inaweza kugawanywa inakokotolewa kwa kutumia fomula ifuatayo:

Idadi ya diagonal ya poligoni mbonyeo daima inategemea idadi ya vipeo vyake.

Kugawanya poligoni mbonyeo

Katika baadhi ya matukio, ili kutatua matatizo ya kijiometri ni muhimu kugawanya polygon ya convex katika pembetatu kadhaa na diagonals zisizo intersecting. Tatizo hili linaweza kutatuliwa kwa kupata fomula fulani.

Ufafanuzi wa tatizo: hebu tuita sahihi kizigeu fulani cha n-gon mbonyeo ndani ya pembetatu kadhaa na diagonal zinazoingiliana tu kwenye vipeo vya takwimu hii ya kijiometri.

Suluhisho: Tuseme kwamba P1, P2, P3..., Pn ni wima za n-gon hii. Nambari ya Xn ni nambari ya sehemu zake. Hebu tuchunguze kwa makini diagonal inayosababisha ya takwimu ya kijiometri Pi Pn. Katika kizigeu chochote cha kawaida P1 Pn ni ya pembetatu fulani P1 Pi Pn, ambayo ina 1.

Hebu i = 2 kuwa kundi moja la partitions mara kwa mara, daima zenye diagonal P2 Pn. Idadi ya partitions ambayo ni pamoja na ndani yake sanjari na idadi ya partitions ya (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn. Kwa maneno mengine, ni sawa na Xn-1.

Ikiwa i = 3, basi kikundi hiki kingine cha partitions kitakuwa na diagonals P3 P1 na P3 Pn. Katika kesi hii, idadi ya partitions mara kwa mara zilizomo katika kundi hili itakuwa sanjari na idadi ya partitions ya (n-2)-gon P3 P4... Pn. Kwa maneno mengine, itakuwa sawa na Xn-2.

Hebu i = 4, basi kati ya pembetatu ugawaji sahihi hakika utakuwa na pembetatu P1 P4 Pn, ambayo itakuwa karibu na quadrilateral P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P4 P5 ... Pn. Idadi ya sehemu za kawaida za pembetatu kama hiyo ni X4, na idadi ya sehemu za (n-3) -gon ni Xn-3. Kulingana na yote yaliyo hapo juu, tunaweza kusema kwamba jumla ya sehemu za kawaida zilizomo katika kikundi hiki ni sawa na Xn-3 X4. Makundi mengine ambayo i = 4, 5, 6, 7 ... yatakuwa na Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... partitions mara kwa mara.

Acha i = n-2, basi idadi ya sehemu sahihi katika kikundi hiki itaambatana na idadi ya sehemu kwenye kikundi ambacho i = 2 (kwa maneno mengine, sawa na Xn-1).

Kwa kuwa X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., basi idadi ya sehemu zote za poligoni mbonyeo ni sawa na:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Idadi ya partitions za kawaida zinazokatiza diagonal moja ndani

Wakati wa kuangalia kesi maalum, mtu anaweza kuja kwa dhana kwamba idadi ya diagonals ya convex n-gons ni sawa na bidhaa ya partitions zote za takwimu hii ndani (n-3).

Uthibitisho wa dhana hii: fikiria kwamba P1n = Xn * (n-3), basi n-gon yoyote inaweza kugawanywa katika (n-2)-pembetatu. Zaidi ya hayo, (n-3) -quadrangle inaweza kuundwa kutoka kwao. Pamoja na hili, kila quadrilateral itakuwa na diagonal. Kwa kuwa diagonal mbili zinaweza kuchora katika takwimu hii ya kijiometri ya convex, hii ina maana kwamba diagonal za ziada (n-3) zinaweza kuchora katika yoyote (n-3) -quadrilaterals. Kulingana na hili, tunaweza kuhitimisha kuwa katika ugawaji wowote wa kawaida inawezekana kuteka (n-3) -diagonals zinazofikia masharti ya tatizo hili.

Eneo la polygons convex

Mara nyingi, wakati wa kutatua matatizo mbalimbali ya jiometri ya msingi, inakuwa muhimu kuamua eneo la polygon ya convex. Tuseme kwamba (Xi. Yi), i = 1,2,3... n ni mlolongo wa viwianishi vya wima zote za jirani za poligoni ambayo haina makutano ya kibinafsi. Katika kesi hii, eneo lake linahesabiwa kwa kutumia formula ifuatayo:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

wapi (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

Pembe ya ndani ya poligoni ni pembe inayoundwa na pande mbili zinazokaribiana za poligoni. Kwa mfano, ∠ ABC ni pembe ya mambo ya ndani.

Kona ya nje ya poligoni ni pembe inayoundwa na upande mmoja wa poligoni na kuendelea kwa upande mwingine. Kwa mfano, ∠ L.B.C. ni pembe ya nje.

Idadi ya pembe za poligoni daima ni sawa na idadi ya pande zake. Hii inatumika kwa pembe za ndani na nje. Ingawa pembe mbili za nje zinazofanana zinaweza kujengwa kwa kila kipeo cha poligoni, ni moja tu kati yao ambayo huzingatiwa kila wakati. Kwa hiyo, ili kupata idadi ya pembe za poligoni yoyote, unahitaji kuhesabu idadi ya pande zake.

Jumla ya pembe za mambo ya ndani

Jumla ya pembe za ndani za poligoni mbonyeo ni sawa na bidhaa ya 180° na idadi ya pande ukiondoa mbili.

s = 2d(n - 2)

Wapi s ni jumla ya pembe, 2 d- pembe mbili za kulia (yaani, 2 90 = 180 °), na n- idadi ya pande.

Ikiwa tunachora kutoka juu A poligoni ABCDEF diagonal zote zinazowezekana, basi tunaigawanya katika pembetatu, idadi ambayo itakuwa mbili chini ya pande za poligoni:

Kwa hiyo, jumla ya pembe za poligoni itakuwa sawa na jumla ya pembe za pembetatu zote zinazosababisha. Kwa kuwa jumla ya pembe za kila pembetatu ni 180° (2 d), basi jumla ya pembe za pembetatu zote itakuwa sawa na bidhaa 2 d kwa wingi wao:

s = 2d(n- 2) = 180 4 = 720 °

Kutoka kwa fomula hii inafuata kwamba jumla ya pembe za ndani ni thamani ya mara kwa mara na inategemea idadi ya pande za poligoni.

Jumla ya pembe za nje

Jumla ya pembe za nje za poligoni mbonyeo ni 360° (au 4 d).

s = 4d

Wapi s ni jumla ya pembe za nje, 4 d- pembe nne za kulia (yaani, 4 90 = 360 °).

Jumla ya pembe za nje na za ndani katika kila kipeo cha poligoni ni 180° (2 d), kwa kuwa ni pembe za karibu. Kwa mfano, ∠ 1 na ∠ 2 :

Kwa hivyo, ikiwa poligoni ina n vyama (na n vipeo), kisha jumla ya pembe za nje na za ndani kwa wote n wima itakuwa sawa na 2 dn. Ili kwamba kati ya kiasi hiki 2 dn kupata tu jumla ya pembe za nje, unahitaji kuondoa jumla ya pembe za ndani kutoka kwake, ambayo ni, 2. d(n - 2):

s = 2dn - 2d(n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d