Sehemu za conic za uso. Sehemu za Conic - jiometri na sanaa

BAJETI YA SERIKALI

TAASISI YA ELIMU YA UTAALAM

MIJI YA MOSCOW

"CHUO CHA POLISI"

Muhtasari wa taaluma ya Hisabati

Juu ya mada: "Sehemu za Conic na matumizi yao katika teknolojia"

Imetekelezwa

Cadet ya kikosi cha 15

Alekseeva A.I.

Mwalimu

Zaitseva O.N.

Moscow

2016

Maudhui:

Utangulizi

1. Dhana ya sehemu za koni ………………………………………………………

2. Aina za sehemu za koni ……………………………………………….7

3. Utafiti……………………………………………………………..8.

4. Sifa za sehemu za koni…. ……………………………………….9

5. Ujenzi wa sehemu za koni …………………………………….10

6. Mbinu ya uchanganuzi ……………………………………………………………14

7. Maombi…………………………………………………………….16.

8. Katika koni ………………………………………………………..17

Orodha ya fasihi iliyotumika

Utangulizi

Sehemu za conic zilipendekezwa kwanza kutumiwa na geometer ya kale ya Kigiriki Menaechmus, ambaye aliishi katika karne ya 4 KK, wakati wa kutatua tatizo la mchemraba mara mbili. Kazi hii inahusishwa na hadithi ifuatayo.

Siku moja, ugonjwa wa tauni ulizuka kwenye kisiwa cha Delos. Wakazi wa kisiwa hicho waligeukia ukumbi huo, ambao walisema kwamba ili kuzuia janga hilo ni muhimu kuongeza madhabahu ya dhahabu mara mbili, ambayo ilikuwa na sura ya mchemraba na ilikuwa katika hekalu la Apollo huko Athene. Wenyeji wa kisiwa hicho walitengeneza madhabahu mpya, ambayo mbavu zake zilikuwa kubwa mara mbili kuliko mbavu za ile iliyotangulia. Hata hivyo, tauni haikukoma. Wakazi waliokasirika walisikia kutoka kwa oracle kwamba hawakuelewa maagizo yake - sio kando ya mchemraba ambayo inahitajika kuongezeka mara mbili, lakini kiasi chake, ambayo ni, kingo za mchemraba zilipaswa mara mbili.

Ili kupata sehemu za koni, Menaechmus aliingilia koni - papo hapo, mstatili au buti - na ndege iliyo sawa na moja ya jenereta. Kwa koni yenye pembe ya papo hapo, sehemu ya ndege inayoelekea kwenye jenereta yake ina sura ya duaradufu. Koni butu inatoa hyperbola, na koni ya mstatili inatoa parabola.

Hapa ndipo majina ya curves yalitoka, ambayo yalianzishwa na Apollonius wa Perga, aliyeishi katika karne ya 3 KK: ellipse, ambayo ina maana ya kasoro, upungufu (pembe ya koni kwa mstari wa moja kwa moja); hyperbole - kuzidisha, ubora (wa pembe ya koni juu ya mstari wa moja kwa moja); parabola - makadirio, usawa (wa pembe ya koni kwa pembe ya kulia). Baadaye Wagiriki waliona kwamba curves zote tatu zinaweza kupatikana kwenye koni moja kwa kubadilisha mwelekeo wa ndege ya kukata. Katika kesi hii, unapaswa kuchukua koni inayojumuisha mashimo mawili na ufikirie kuwa yanaenea hadi usio na mwisho (Mchoro 1)

Ikiwa tunachora sehemu ya koni ya mviringo perpendicular kwa mhimili wake, na kisha kuzungusha ndege ya kukata, na kuacha sehemu moja ya makutano yake na koni iliyosimama, tutaona jinsi mduara utakavyonyoosha kwanza, na kugeuka kuwa duaradufu. Kisha vertex ya pili ya duaradufu itaenda kwa infinity, na badala ya duaradufu utapata parabola, na kisha ndege pia itaingiliana na cavity ya pili ya koni na utapata hyperbola.

Kwa muda mrefu, sehemu za conic hazikupata matumizi hadi wanaastronomia na wanafizikia walipopendezwa sana nazo. Ilibadilika kuwa mistari hii hupatikana katika asili (mfano wa hii ni trajectories ya miili ya mbinguni) na graphically kuelezea taratibu nyingi za kimwili (hyperbole ni kiongozi hapa: hebu tukumbuke sheria ya Ohm na sheria ya Boyle-Marriott), bila kutaja. matumizi yao katika mechanics na optics. Katika mazoezi, mara nyingi katika uhandisi na ujenzi, mtu anapaswa kukabiliana na ellipse na parabola.

Mtini.1

mchoro

Dhana ya sehemu za conic

Sehemu za conic ni curves za ndege ambazo hupatikana kwa kuingiliana na koni ya mviringo ya kulia na ndege ambayo haipiti kupitia vertex yake. Kutoka kwa mtazamo wa jiometri ya uchambuzi, sehemu ya conic ni eneo la pointi zinazokidhi equation ya pili. Isipokuwa kesi zilizoharibika zilizojadiliwa katika sehemu ya mwisho, sehemu za conic ni ellipses, hyperbolas au parabolas (Mchoro 2).

Mtini.2

Wakati pembetatu ya kulia inazungushwa juu ya moja ya miguu yake, hypotenuse na vipanuzi vyake huelezea uso wa conical unaoitwa uso wa koni ya mviringo ya kulia, ambayo inaweza kuzingatiwa kama mfululizo wa mistari inayopita kupitia vertex na kuitwa jenereta, jenereta zote. kupumzika kwenye mduara sawa, unaoitwa kuzalisha. Kila moja ya jenereta inawakilisha hypotenuse ya pembetatu inayozunguka (katika nafasi yake inayojulikana), iliyopanuliwa kwa pande zote mbili hadi infinity. Kwa hivyo, kila jenereta inaenea pande zote mbili za vertex, kama matokeo ambayo uso una mashimo mawili: huungana kwa hatua moja kwenye vertex ya kawaida. Ikiwa uso huo umeingiliwa na ndege, basi sehemu hiyo itazalisha curve, ambayo inaitwa sehemu ya conic. Inaweza kuwa ya aina tatu:

1) ikiwa ndege inaingilia uso wa conical pamoja na jenereta zote, basi cavity moja tu hutenganishwa na curve iliyofungwa inayoitwa ellipse inapatikana katika sehemu hiyo;

2) ikiwa ndege ya kukata inaingiliana na cavities zote mbili, basi curve hupatikana ambayo ina matawi mawili na inaitwa hyperbola;

3) ikiwa ndege ya kukata ni sawa na moja ya jenereta, basi parabola hupatikana.

Ikiwa ndege ya kukata ni sawa na mzunguko wa kuzalisha, basi mduara unapatikana, ambayo inaweza kuchukuliwa kuwa kesi maalum ya ellipse. Ndege ya kukata inaweza kuingilia uso wa conical tu kwenye vertex moja, kisha sehemu hutoa uhakika, kama kesi maalum ya ellipse.

Ikiwa ndege inayopita kwenye vertex inaingiliana na ndege zote mbili, basi sehemu hiyo hutoa jozi ya mistari inayoingiliana, inayozingatiwa kama kesi maalum ya hyperbola.

Ikiwa vertex iko mbali sana, basi uso wa conical hubadilika kuwa silinda, na sehemu yake kwa ndege inayofanana na jenereta inatoa jozi ya mistari inayofanana kama kesi maalum ya parabola. Sehemu za conic zinaonyeshwa na hesabu za mpangilio wa 2, fomu ya jumla ambayo ni

Shoka 2 +Whoo+C + Dx + Ey + F= 0 na huitwa curves za mpangilio wa 2.
(sehemu ya koni)

Aina za conical sehemu .

Sehemu za conic zinaweza kuwa za aina tatu:

1) ndege ya kukata inaingiliana na jenereta zote za koni kwenye pointi za moja ya cavity yake; mstari wa makutano ni mviringo wa mviringo uliofungwa - ellipse; mduara kama kesi maalum ya duaradufu hupatikana wakati ndege ya kukata ni perpendicular kwa mhimili wa koni.

2) Ndege ya kukata ni sawa na moja ya ndege ya tangent ya koni; katika sehemu ya msalaba, matokeo yake ni Curve wazi ambayo huenda kwa infinity - parabola, amelazwa kabisa juu ya cavity moja.

3) Ndege ya kukata huingilia mashimo yote mawili ya koni; mstari wa makutano - hyperbola - ina sehemu mbili za wazi zinazofanana hadi infinity (matawi ya hyperbola) yaliyo kwenye cavities zote mbili za koni.

(Mchoro 1) parabola (Mchoro 2) duaradufu (Mchoro 3) hyperbola

Jifunze

Katika hali ambapo sehemu ya conic ina kituo cha ulinganifu (katikati), i.e. ni duaradufu au hyperbola, equation yake inaweza kupunguzwa (kwa kuhamisha asili ya kuratibu katikati) hadi fomu:

a 11 x 2 +2xy+a 22 y 2 =a 33 .

Uchunguzi zaidi wa sehemu kama hizi (zinazoitwa za kati) zinaonyesha kuwa milinganyo yao inaweza kupunguzwa kwa fomu rahisi zaidi:

Oh 2 + Wu 2 = C,

ikiwa tunachagua maelekezo kuu kwa maelekezo ya axes ya kuratibu - maelekezo ya axes kuu (axes ya ulinganifu) ya sehemu za conic. Ikiwa A na B wana ishara sawa (sanjari na ishara ya C), basi equation inafafanua duaradufu; ikiwa A na B ni za ishara tofauti, basi ni hyperbole.

Punguza mlinganyo wa parabola kwa fomu (Ah 2 + Wu 2 = C) haiwezekani. Na chaguo sahihi la mhimili wa kuratibu (mhimili mmoja wa kuratibu ndio mhimili pekee wa ulinganifu wa parabola, nyingine ni mstari wa moja kwa moja wa moja kwa moja kwa hiyo, kupita kwenye vertex ya parabola), equation yake inaweza kupunguzwa kwa fomu:

y 2 = 2px.

MALI ZA SEHEMU ZA CONIC

Ufafanuzi wa Pappus. Kuanzisha lengo la parabola kulimpa Pappus wazo la kutoa ufafanuzi mbadala wa sehemu za conic kwa ujumla. Hebu F iwe hatua fulani (lengo), na L iwe mstari wa moja kwa moja uliopewa (directrix) usiopitia F, na DF na DL umbali kutoka kwa hatua ya kusonga P hadi kuzingatia F na directrix L, kwa mtiririko huo. Kisha, kama Papp alivyoonyesha, sehemu za koni hufafanuliwa kama eneo la pointi P ambapo uwiano wa DF:DL ni wa kudumu usio hasi. Uwiano huu unaitwa eccentricity e ya sehemu ya conic. Wakati e< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - hyperbole; wakati e = 1 - parabola. Ikiwa F iko kwenye L, basi loci ina aina ya mistari (halisi au ya kufikiria), ambayo ni sehemu za koni zilizoharibika. Ulinganifu wa kuvutia wa duaradufu na hyperbola unaonyesha kwamba kila moja ya mikondo hii ina mikondo miwili na foci mbili, na hali hii ilimfanya Kepler mnamo 1604 kuwa na wazo kwamba parabola pia ina mwelekeo wa pili na mwelekeo wa pili - hatua kwa infinity na moja kwa moja. . Kwa njia hiyo hiyo, mduara unaweza kuzingatiwa kama duaradufu, foci ambayo inaambatana na kituo, na miongozo iko kwa infinity. Eccentricity e katika kesi hii ni sifuri.

Mali. Sifa za sehemu za conic hazipunguki kabisa, na yoyote kati yao inaweza kuchukuliwa kama kufafanua. Mahali muhimu katika Mkusanyiko wa Hisabati wa Pappus, Jiometri ya Descartes (1637) na Principia ya Newton (1687) inachukuliwa na tatizo la eneo la kijiometri la pointi zinazohusiana na mistari minne ya moja kwa moja. Ikiwa mistari minne L inatolewa kwenye ndege 1 , L 2 , L 3 na L4 (mbili kati ya hizo zinaweza sanjari) na uhakika P ni kwamba bidhaa ya umbali kutoka P hadi L. 1 na L 2 sawia na bidhaa ya umbali kutoka P hadi L 3 na L 4 , basi eneo la pointi P ni sehemu ya conic.

UJENZI WA SEHEMU ZA CONIC

Wanasayansi wa kale wa Ugiriki walisoma sehemu za koni kama makutano ya ndege na koni. Ilibainika kuwa duaradufu inaweza kufafanuliwa kama locus ya pointi, jumla ya umbali kutoka kwa pointi mbili zilizotolewa ni mara kwa mara; parabola - kama locus ya pointi equidistant kutoka kwa uhakika fulani na mstari wa moja kwa moja uliopewa; hyperbola - kama eneo la pointi, tofauti katika umbali kutoka kwa pointi mbili zilizopewa ni mara kwa mara.

Ufafanuzi huu wa sehemu za koni kama mikondo ya ndege pia zinapendekeza njia ya kuziunda kwa kutumia kamba iliyonyoshwa.

Ellipse. Ikiwa ncha za uzi wa urefu fulani zimewekwa kwa alama F 1 na F 2 (Mchoro 3), kisha curve iliyoelezewa na hatua ya penseli inayoteleza kwenye uzi uliowekwa vizuri ina sura ya duaradufu. F pointi 1 na F2 huitwa foci ya duaradufu, na sehemu V 1 V 2 na v 1 v 2 kati ya pointi za makutano ya duaradufu na shoka za kuratibu - shoka kuu na ndogo. Ikiwa pointi F 1 na F 2 sanjari, basi duaradufu hugeuka kuwa mduara (Mchoro 3).

Mtini.3

Hyperbola. Wakati wa kuunda hyperbola, hatua P, ncha ya penseli, imewekwa kwenye uzi ambao huteleza kwa uhuru kwenye vigingi vilivyowekwa kwenye sehemu F. 1 na F 2 , kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 4, a, umbali huchaguliwa ili sehemu ya PF 2 muda mrefu kuliko sehemu ya PF 1 kwa thamani isiyobadilika chini ya umbali F 1 F 2 . Katika kesi hii, mwisho mmoja wa nyuzi hupita chini ya pini F 1 , na ncha zote mbili za uzi hupita juu ya pini F 2 . (Sehemu ya penseli haipaswi kuteleza kwenye uzi, kwa hivyo lazima ihifadhiwe kwa kutengeneza kitanzi kidogo kwenye uzi na kunyoosha sehemu hiyo kupitia hiyo.) Tawi moja la hyperbola (PV). 1 Q) tunachora, kuhakikisha kuwa uzi unabaki kuwa laini wakati wote, na kwa kuvuta ncha zote mbili za uzi chini ya hatua ya zamani F. 2 , na wakati pointi P iko chini ya sehemu F 1 F 2 , kushikilia thread katika ncha zote mbili na kuifungua kwa uangalifu. Tunachora tawi la pili la hyperbola kwa kubadilisha kwanza pini F 1 na F 2 (Mchoro 4).

Mtini.4

Matawi ya hyperbola hukaribia mistari miwili iliyonyooka ambayo huingilia kati ya matawi. Mistari hii inaitwa asymptotes ya hyperbola. Coefficients ya angular ya mistari hii ni sawa na ambapo ni sehemu ya sehemu mbili ya pembe kati ya asymptotes, perpendicular kwa sehemu F. 2 F 1 ; sehemu v 1 v 2 inaitwa mhimili wa kuunganisha wa hyperbola, na sehemu ya V 1 V 2 - mhimili wake wa kuvuka. Kwa hivyo, asymptotes ni diagonal ya mstatili na pande zinazopita kupitia pointi nne v. 1 ,v 2 , V 1 , V 2 sambamba na shoka. Ili kuunda mstatili huu, unahitaji kutaja eneo la alama v 1 na v 2 . Ziko kwa umbali sawa, sawa na hatua ya makutano ya shoka O. Fomula hii inachukua ujenzi wa pembetatu ya kulia na miguu Ov. 1 na V 2 O na hypotenuse F 2 O.

Ikiwa asymptotes ya hyperbola ni pande zote mbili, basi hyperbola inaitwa equilateral. Hyperbola mbili ambazo zina asymptoti za kawaida, lakini zikiwa na mihimili ya kuvuka iliyopangwa upya na ya kuunganisha, huitwa miunganisho ya pande zote.

Parabola. Malengo ya duaradufu na hyperbola yalijulikana kwa Apollonius, lakini lengo la parabola inaonekana lilianzishwa kwanza na Pappus (nusu ya pili ya karne ya 3), ambaye alifafanua curve hii kama eneo la pointi sawa na pointi fulani (lengo) na mstari wa moja kwa moja uliopewa, unaoitwa mwalimu mkuu. Ujenzi wa parabola kwa kutumia thread ya mvutano, kulingana na ufafanuzi wa Pappus, ilipendekezwa na Isidore wa Miletus (karne ya VI) (Mchoro 5).

Mtini.5

NJIA YA UCHAMBUZI

Uainishaji wa algebra. Katika istilahi za aljebra, sehemu za koni zinaweza kufafanuliwa kuwa mikondo ya ndege ambayo viwianishi vyake katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian vinakidhi mlingano wa shahada ya pili. Kwa maneno mengine, mlinganyo wa sehemu zote za koni inaweza kuandikwa kwa umbo la jumla ambapo si coefficients zote A, B na C ni sawa na sufuri. Kwa kutumia tafsiri sambamba na mzunguko wa axes, equation (1) inaweza kupunguzwa kwa fomu

shoka 2 + kwa 2 + c = 0

px 2 +q y = 0.

Mlinganyo wa kwanza unapatikana kutoka kwa mlinganyo (1) wa B2 > AC, wa pili - kwa B 2 = AC. Sehemu za conic ambazo equations zimepunguzwa kwa fomu ya kwanza huitwa kati. Sehemu za koni zinazofafanuliwa na milinganyo ya aina ya pili na q > 0 huitwa zisizo za kati. Ndani ya makundi haya mawili, kuna aina tisa tofauti za sehemu za conic kulingana na ishara za coefficients.

1) Ikiwa coefficients a, b na c zina ishara sawa, basi hakuna pointi halisi ambazo viwianishi vinaweza kutosheleza equation. Sehemu kama hiyo ya koni inaitwa duaradufu ya kufikiria (au duara la kufikiria ikiwa a = b).

2) Ikiwa a na b wana ishara sawa, na c ina ishara kinyume, basi sehemu ya conic ni duaradufu; wakati a = b - duara.

3) Ikiwa a na b wana ishara tofauti, basi sehemu ya conic ni hyperbola.

4) Ikiwa a na b wana ishara tofauti na c = 0, basi sehemu ya conic ina mistari miwili ya kuingiliana.

5) Ikiwa a na b wana ishara sawa na c = 0, basi kuna hatua moja tu ya kweli kwenye curve ambayo inakidhi equation, na sehemu ya conic ni mistari miwili ya kufikirika inayoingiliana. Katika kesi hii, tunazungumza pia juu ya duaradufu iliyopunguzwa kwa uhakika au, ikiwa a = b, mduara uliowekwa kwa uhakika.

6) Ikiwa a au b ni sawa na sifuri, na coefficients nyingine zina ishara tofauti, basi sehemu ya conic ina mistari miwili inayofanana.

7) Ikiwa a au b ni sawa na sifuri, na coefficients iliyobaki ina ishara sawa, basi hakuna hatua moja halisi ambayo inakidhi equation. Katika kesi hii, wanasema kwamba sehemu ya conic ina mistari miwili ya kufikiria inayofanana.

8) Ikiwa c = 0, na ama a au b pia ni sifuri, basi sehemu ya conic ina mistari miwili halisi ya sanjari. (Mlinganyo haufafanui sehemu yoyote ya koni kwa = b = 0, kwani katika kesi hii mlinganyo wa asili (1) sio wa digrii ya pili.)

9) Milinganyo ya aina ya pili inafafanua parabola ikiwa p na q ni tofauti na sifuri. Ikiwa p > 0 na q = 0, tunapata curve kutoka hatua ya 8. Ikiwa p = 0, basi equation haifafanui sehemu yoyote ya conic, kwani equation ya awali (1) sio ya shahada ya pili.

Maombi

Sehemu za conic mara nyingi hupatikana katika asili na teknolojia. Kwa mfano, mizunguko ya sayari zinazozunguka Jua ina umbo la duaradufu. Mduara ni kesi maalum ya duaradufu ambayo mhimili mkuu ni sawa na mdogo. Kioo cha mfano kina sifa ambayo miale yote ya matukio sambamba na mhimili wake huungana katika hatua moja (lengo). Hii inatumika katika darubini nyingi zinazoakisi zinazotumia vioo vya kimfano, na vile vile katika antena za rada na maikrofoni maalum zilizo na viakisi vya kimfano. Mwale wa miale sambamba hutoka kwenye chanzo cha mwanga kilichowekwa kwenye sehemu ya kuangazia kimfano. Ndiyo maana vioo vya kimfano hutumiwa katika mwangaza wa nguvu za juu na taa za gari. Hyperbola ni grafu ya mahusiano mengi muhimu ya kimwili, kama vile sheria ya Boyle (inayohusiana na shinikizo na kiasi cha gesi bora) na sheria ya Ohm, ambayo inafafanua mkondo wa umeme kama kazi ya kupinga voltage ya mara kwa mara.

Miili yote katika Mfumo wa Jua huzunguka Jua kwa duaradufu. Miili ya mbinguni inayoingia kwenye Mfumo wa Jua kutoka kwa mifumo mingine ya nyota huzunguka Jua katika obiti ya hyperbolic na, ikiwa harakati zao haziathiriwa sana na sayari za Mfumo wa Jua, huondoka katika obiti sawa. Satelaiti zake za bandia na satelaiti yake ya asili, Mwezi, husogea katika duaradufu kuzunguka Dunia, na meli za angani zinazorushwa kwa sayari nyingine husogea baada ya injini kumaliza kufanya kazi pamoja na parabolas au hyperbolas (kulingana na kasi) hadi mvuto wa sayari zingine au Jua. inakuwa kulinganishwa na mvuto (Mchoro 3).

Kando ya koni

Mviringo na kesi yake maalum - mduara, parabola na hyperbola ni rahisi kupata kwa majaribio. Kwa mfano, koni ya ice cream itafaa kabisa kwa jukumu la koni. Chora kiakili moja ya jenereta zake na ukate pembe kwa pembe tofauti kwake. Kazi ni kufanya majaribio manne tu na kupata sehemu zote zinazowezekana za conic kwenye vipande. Ni rahisi zaidi kufanya majaribio na tochi: kulingana na nafasi yake katika nafasi, koni ya mwanga itatoa matangazo ya maumbo tofauti kwenye ukuta wa chumba. Mpaka wa kila doa ni moja ya sehemu za conic. Kwa kugeuza tochi kwenye ndege ya wima, utaona jinsi Curve moja inachukua nafasi ya nyingine: mduara umewekwa kwenye duaradufu, kisha inageuka kuwa parabola, na hii, kwa upande wake, kuwa hyperbola.

Mwanahisabati hutatua tatizo sawa kinadharia kwa kulinganisha pembe mbili: α - kati ya mhimili wa koni na jenereta na β - kati ya ndege ya kukata na mhimili wa koni. Na hapa ndio matokeo: kwa α< β в сечении получится эллипс или окружность, при α = β - парабола, а при α >β ni tawi la hyperbola. Ikiwa tutazingatia jenereta kuwa mistari iliyonyooka na sio sehemu, ambayo ni, kuzingatia takwimu isiyo na kikomo ya koni mbili zilizo na vertex ya kawaida, itakuwa wazi kuwa duaradufu ni curve iliyofungwa, parabola ina tawi moja lisilo na mwisho, na hyperbola inajumuisha mbili.

Sehemu rahisi zaidi ya conic - mduara - inaweza kuchorwa kwa kutumia thread na msumari. Inatosha kuunganisha mwisho mmoja wa thread kwenye msumari uliowekwa kwenye karatasi, na nyingine kwa penseli na kuivuta kwa ukali. Baada ya kufanya zamu kamili, penseli itaelezea mduara. Au unaweza kutumia dira: kwa kubadilisha ufumbuzi wake, unaweza kuteka kwa urahisi familia nzima ya miduara.

ORODHA YA MAREJEO ILIYOTUMIKA

1.Vereshchagin N.K., A.Shen. Mihadhara juu ya mantiki ya hisabati na nadharia ya algorithms. 1999

2. Prasolov V.V.. Jiometri ya Lobachevsky 2004

4. Prasolov V.V.. Jiometri ya Lobachevsky 2004

sehemu kwenye mstari wa moja kwa moja l.)

13) Imepewa sambamba ABCD. Kupitia hatua fulani P chora mstari sambamba na mstari uliopeanwa l. (Kidokezo: Tumia 10 katikati ya parallelogramu na utumie 8.)

14) Imepewa parallelogram; ongeza sehemu hii n mara. (Kidokezo: Tekeleza 13 na 11.)

15) Imepewa parallelogram; gawanya sehemu uliyopewa katika sehemu n sawa.

16) Imepewa mduara uliowekwa na kituo. Chora mstari uliolingana na mstari uliopeanwa kupitia sehemu fulani. (Kidokezo: Tekeleza 13.)

17) Imepewa mduara uliowekwa na kituo. Ongeza na punguza sehemu hii kwa n mara. (Kidokezo: Tekeleza 13.)

18) Imepewa mduara uliowekwa na kituo. Chora perpendicular kupitia hatua fulani kwa mstari fulani. (Kidokezo: tumia mstatili ulioandikwa kwenye mduara uliotolewa, na pande mbili sambamba na mstari uliotolewa, na punguza matatizo ya awali.)

19) Kupitia upya majukumu 1–18, orodhesha ni kazi zipi za msingi za ujenzi zinaweza kukamilishwa kwa kutumia rula ya pande mbili (moja yenye pande mbili zinazofanana).

20) Mistari miwili ya data l 1 na l2 huingiliana kwenye hatua ya P, iko nje ya mchoro. Tengeneza mstari wa moja kwa moja unaounganisha nukta uliyopewa Q hadi hatua P. (Maagizo: Kamilisha vipengele vilivyotolewa ili usanidi wa nadharia ya mpango wa Desargues upatikane, P na Q zikiwa sehemu za makutano ya pande zinazolingana za pembetatu mbili.)

21) Chora mstari wa moja kwa moja kupitia pointi mbili, umbali kati ya ambayo ni kubwa kuliko urefu wa mtawala. (Kidokezo: Tumia 20.)

22) Mistari l 1 na l2 huingiliana kwenye hatua ya P; mistari ya moja kwa moja m1 na m2 - kwa uhakika Q; pointi zote P na Q ziko nje ya mchoro. Jenga sehemu hiyo ya mstari wa P Q ambayo iko ndani ya mipaka ya mchoro. (Kidokezo: kupata uhakika wa mstari wa P Q, jenga usanidi wa Desargues kwa njia ambayo pande mbili za pembetatu moja ziko kwenye l1 na m1, kwa mtiririko huo, pande mbili za nyingine - kwenye l2 na m2, kwa mtiririko huo).

23) Tatua 20 kwa kutumia nadharia ya Pascal (uk. 209). (Kidokezo: Kamilisha usanidi wa Pascal kwa kutibu l1 na l2 kama jozi ya pande tofauti za heksagoni, na Q kama sehemu ya makutano ya jozi nyingine ya pande zinazopingana.)

*24) Kila moja ya mistari miwili iliyonyooka iliyo nje kabisa ya mchoro inafafanuliwa na jozi mbili za mistari iliyonyooka inayokatiza nje ya mchoro.

V pointi za mstari unaolingana. Tambua sehemu yao ya makutano kwa kutumia mistari miwili inayoingiliana nje ya mchoro.

§ 8. Sehemu za conic na quadrics

1. Jiometri ya metric ya msingi ya sehemu za conic. Kufikia sasa tumeshughulikia tu pointi, mistari, ndege, na takwimu zinazojumuisha idadi maalum ya vipengele hivi. Ikiwa jiometri ya mradi ilipunguzwa kwa kuzingatia "mistari" kama hiyo.

SEHEMU ZA CONIC NA QUADRICS

ney", itakuwa haipendezi kiasi. Lakini ukweli wa umuhimu wa msingi ni ukweli kwamba jiometri ya makadirio sio mdogo kwa hili, lakini pia inajumuisha eneo kubwa la sehemu za conic na jumla zao za multidimensional. Matibabu ya metric ya Apollonia ya sehemu za conic - ellipses, hyperbolas na parabolas - ilikuwa mojawapo ya mafanikio bora ya hisabati ya kale. Umuhimu wa sehemu za koni kwa hisabati safi na inayotumika hauwezi kukadiria (kwa mfano, mizunguko ya sayari na mizunguko ya elektroni kwenye atomi ya hidrojeni ni sehemu za koni). Haishangazi kwamba nadharia ya classical ya sehemu za conic, ambayo ilitoka Ugiriki ya Kale, bado ni sehemu ya lazima ya elimu ya hisabati leo. Lakini jiometri ya Kigiriki haikuwa na neno la mwisho. Miaka elfu mbili baadaye, mali ya ajabu ya makadirio ya sehemu za conic ziligunduliwa. Licha ya urahisi na uzuri wa sifa hizi, hali ya kitaaluma bado hutumika kama kikwazo kwa kupenya kwao katika mafundisho ya shule.

Wacha tuanze kwa kukumbuka ufafanuzi wa metriki wa mtiririko wa conical. Kuna ufafanuzi kadhaa kama huu, na usawa wao unathibitishwa katika jiometri ya msingi. Ufafanuzi wa kawaida unahusiana na foci ya curves. Mviringo wa duaradufu hufafanuliwa kama eneo la pointi P kwenye ndege kiasi kwamba jumla ya umbali wao r1 na r2 kutoka pointi mbili zilizotolewa F1 na F2, inayoitwa foci, ina thamani ya mara kwa mara. (Ikiwa foci inapatana, curve inageuka kuwa duara.) Hyperbola inafafanuliwa kama eneo la pointi P kwenye ndege ili kwamba thamani kamili ya tofauti r1 - r2 ni sawa na thamani sawa ya mara kwa mara. Parabola inafafanuliwa kama eneo la pointi P, umbali r ambao kutoka kwa hatua fulani F ni sawa na umbali kutoka kwa mstari wa moja kwa moja uliyopewa.

Katika jiometri ya uchanganuzi, mikunjo hii inawakilishwa na milinganyo ya shahada ya pili kuhusiana na kuratibu za mstatili x, y. Si vigumu kuthibitisha, kinyume chake, kwamba kila curve inawakilishwa na equation ya pili

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0,

ama ni mojawapo ya sehemu tatu za koni zilizotajwa hapo juu, au mstari ulionyooka, au jozi ya mistari iliyonyooka, au imepunguzwa hadi hatua moja, au ni ya kufikiria tu katika asili. Kama inavyoonyeshwa katika kozi yoyote ya jiometri ya uchambuzi, kwa uthibitisho inatosha kufanya uingizwaji uliochaguliwa vizuri wa mfumo wa kuratibu.

Ufafanuzi wa hapo juu wa sehemu za conic kimsingi ni metriki, kwani hutumia dhana ya umbali. Lakini hapa kuna ufafanuzi mwingine ambao huanzisha mahali pa sehemu za conic katika projective

Mchele. 94. Sehemu za koni

JIOMETRI YA MRADI. AXIOMATIKI

jiometri: sehemu za koni si chochote zaidi ya makadirio ya duara kwenye ndege. Ikiwa tunapanga mduara C kutoka kwa hatua fulani ya O, basi mistari inayojitokeza huunda koni mbili isiyo na mwisho, na makutano ya koni hii na ndege p itakuwa makadirio ya mduara C. Curve ya makutano itakuwa duaradufu au a. hyperbola,

kulingana na ikiwa ndege inapita "cavity" moja tu ya koni au zote mbili. Kesi ya kati ya parabola pia inawezekana ikiwa ndege p ni sawa na moja ya mistari inayojitokeza inayotolewa kupitia O (Mchoro 94).

Koni inayojitokeza sio lazima iwe "mviringo sawa" na vertex O iko kwa wima juu ya katikati ya mduara C: inaweza pia kuwa "oblique". Lakini katika hali zote (kama tutakavyokubali hapa, bila kutoa ushahidi), makutano ya koni na ndege hutoa curve ambayo equation ni ya shahada ya pili; na kinyume chake, curve yoyote ya pili inaweza kupatikana kutoka kwa mduara kwa makadirio. Kwa sababu hii, curves za mpangilio wa pili huitwa vinginevyo sehemu za conic.

Tayari tumeona kwamba ikiwa ndege inapita "cavity" moja tu ya koni ya mviringo ya kulia, basi makutano ya E ni duaradufu. Si vigumu kuthibitisha kwamba cri-

Umbo E linakidhi ufafanuzi wa kawaida wa kielelezo wa duaradufu, ambao uliundwa hapo juu. Hebu tuwasilishe uthibitisho rahisi sana na wa kifahari uliotolewa mwaka wa 1822 na mwanahisabati wa Ubelgiji Dandelin. Hebu tufikirie nyanja mbili za S1 na S2 (Kielelezo 95), ambazo zinagusa sehemu ya ndege p, kwa mtiririko huo, kwa pointi F1 na F2 na, kwa kuongeza, kugusa koni pamoja na miduara ya sambamba K1 na K2. Kuchukua hatua ya kiholela P ya curve E, tunachora sehemu P F1 na P F2. Kisha fikiria sehemu ya P O ya kuunganisha P kwenye vertex ya koni O; sehemu hii iko kabisa juu ya uso wa koni; hebu tuonyeshe kwa Q1 na Q2 pointi za makutano yake na miduara K1 na K2. Kwa kuwa P F1 na P Q1 ni mbili

SEHEMU ZA CONIC NA QUADRICS

tangents inayotolewa kutoka kwa uhakika P hadi nyanja sawa S1, basi

P F1 = P Q1.

Sawa

P F2 = P Q2.

Kuongeza usawa huu, tunapata:

P F1 + P F2 = P Q1 + P Q2.

Lakini P Q1 + P Q2 = Q1 Q2 ni umbali kati ya miduara sambamba K1 na K2 kwenye uso wa koni: haitegemei uchaguzi wa hatua P kwenye curve E. Inafuata kwamba, chochote hatua P juu ya. E, usawa unashikilia

P F1 + P F2 = const,

na huu ndio ufafanuzi wa kielelezo wa duaradufu. Kwa hivyo, E ni duaradufu, na F1 na F2 ndio foci yake.

Zoezi. Ikiwa ndege inapita "cavities" zote mbili za koni, basi curve ya makutano ni hyperbola. Thibitisha kauli hii kwa kuweka tufe moja katika kila "cavities" ya koni.

2. Mali ya mradi wa sehemu za conic. Kulingana na masharti yaliyowekwa katika aya iliyotangulia, sasa tutakubali ufafanuzi ufuatao kwa muda: sehemu ya koni ni makadirio ya duara kwenye ndege. Ufafanuzi huu katika maumivu

inalingana na roho ya jiometri projective kwa kiwango kikubwa kuliko focal kukubalika kwa ujumla Mchele. 95. Tufe za Dandelen

ny, kwa kuwa hizi za mwisho zinategemea kabisa dhana ya metriki ya umbali. Ufafanuzi mpya pia hauko huru kabisa kutokana na upungufu huu, kwani "mduara" pia ni dhana ya metri. Lakini kwa muda mfupi tutakuja kwa ufafanuzi wa kipekee wa sehemu za conic.

Mara tu tunapokubali kuwa sehemu ya koni sio chochote zaidi ya makadirio ya duara (kwa maneno mengine, kwa neno "sehemu ya koni" tunamaanisha curve yoyote inayomilikiwa na mradi.

	JIOMETRI YA MRADI. AXIOMATIKI
darasa la mduara; ona ukurasa wa 206), kisha inafuata hilo mara moja
mali yoyote ya duara ambayo ni ya kutofautiana chini ya projective
		mabadiliko	inapaswa kuwa hivi
		ni wa mshirika yeyote
		sehemu ya nic. Hebu tukumbuke
		sasa zifuatazo ni nzuri kwa sababu
		inayojulikana - metric - own-
		mduara: "imeandikwa ndani
		pembe za duara zinazounga mkono -


		kwenye arc sawa, sawa na
		sisi wenyewe kwa wenyewe." Katika Mtini. 96
		pembe AOB ikiegemea kwenye du-
		gu AB, huru ya msimamo
		pointi O kwenye duara. Mtakatifu


		kushughulika na uelewa wa makadirio
Mchele. 96. Uwiano maradufu kwenye mzingo		tion ya uhusiano maradufu, kuanzisha
Mchele. 96. Uwiano maradufu kwenye mzingo		hakuna tena mbili kwenye duara
		pointi A, B, na nne: A, B, C,
D. Mistari minne iliyonyooka a, b, c, d inayounganisha nukta hizi na nukta O kwenye
miduara ina uwiano mara mbili (a, b, c, d), kutegemea tu
pembe zinazoungwa mkono na arcs CA, CB, DA, DB. Inaunganisha A, B, C, D

na sehemu nyingine O0 kwenye duara, tunapata mistari iliyonyooka a0, b0, c0, d0. Kutoka kwa mali iliyotajwa hapo awali ya duara inafuata kwamba mistari miwili ya mistari ni "congruent"1. Kwa hiyo, watakuwa na uhusiano wa mara mbili sawa: (a0 b0 c0 d0 ) = (abcd). Wacha tuweke mduara kwenye sehemu fulani ya K: kisha kwenye K tunapata alama nne, ambazo tunaashiria tena kwa A, B, C, D, alama mbili O na O0 na mistari miwili minne a, b, c, d na a0, b0, c0 , d0 . Mistari hii miwili ya mistari iliyonyooka haitakuwa sanjari tena, kwani pembe, kwa ujumla, hazihifadhiwi wakati wa muundo. Lakini kwa kuwa uhusiano wa mara mbili haubadilika wakati wa kubuni, usawa (abcd) = (a0 b0 c0 d0) bado unashikilia. Kwa hivyo tumefikia nadharia ifuatayo ya msingi: ikiwa alama nne za sehemu ya koni K, kwa mfano A, B, C, D, zimeunganishwa.

Na hatua ya tano O ya sehemu sawa na mistari ya moja kwa moja a, b, c, d, basi uwiano wa mara mbili (abcd) hautegemei nafasi ya O kwenye curve K (Mchoro 97).

Haya ni matokeo ya ajabu. Kama tunavyojua tayari, ikiwa alama nne A, B, C, D zimechukuliwa kwenye mstari, basi uhusiano mara mbili unaojumuisha mistari iliyonyooka inayounganisha alama hizi na hatua ya tano O haitegemei.

1 Mistari minne a, b, c, d inachukuliwa kuwa sawa na sehemu nyingine nne a. 0 , b0 , c0 , d0 , ikiwa pembe kati ya kila jozi ya mistari katika quadruple ya kwanza ni sawa kwa ukubwa na katika mwelekeo wa kumbukumbu kwa pembe kati ya mistari inayofanana katika quadruple ya pili.

	SEHEMU ZA CONIC NA QUADRICS
kuchagua nukta hii ya tano. Hii ndio sehemu ya kuanzia
jiometri ya mradi. Sasa tumejifunza kwamba taarifa kama hiyo
Hii pia ni kweli kwa pointi nne zilizochukuliwa kwa baadhi
sehemu ya conical K, hata hivyo ikiwa na kizuizi kikubwa: ya tano
hatua O haiwezi tena kusonga kwa uhuru katika ndege nzima, lakini inaweza
songa tu kwenye sehemu ya conical K.
	Si vigumu kuthibitisha nadharia ya mazungumzo kama ifuatavyo:
fomu: ikiwa kwenye curve K kuna alama mbili O na O0 kuwa nazo
kwa mali ambayo kila robo ya pointi A, B, C, D imewashwa
curve K, mahusiano maradufu yanajumuisha mistari iliyonyooka inayounganisha
pointi hizi zilizo na O, na za mistari inayounganisha pointi hizi na O0 ni sawa
kati yao wenyewe, basi curve K ni sehemu ya conic (na kisha tu, na
nadharia ya moja kwa moja, uhusiano maradufu unaojumuisha mistari iliyonyooka,
kugawana pointi nne zilizopewa na pointi ya kiholela O00 kwenye K, kutakuwa na
kuwa na thamani sawa ya mara kwa mara). Lakini ushahidi uko hapa tulipo
Hatutaleta.
	Sifa za makadirio zilizowasilishwa za sehemu za koni zinapendekeza
mawazo kuhusu njia ya jumla ya ujenzi pointwise ya curves hizi. Tukubaliane
kwa kifungu cha mistari tunamaanisha seti ya mistari yote ya ndege,
kupita katika hatua hii
ku O. Fikiria bahasha za mistari,
kupita mbili

	O0 iko

sehemu ya ical K. Kati ya mistari iliyonyooka


boriti O na mihimili ya moja kwa moja

	O0 inaweza kuwekwa kwa pande zote
lakini mawasiliano ya moja kwa moja,

kutoa moja kwa moja kutoka kwa kwanza
penseli moja kwa moja a0 kutoka kwa pili nzima
wakati wowote a na0 wanapokutana		Mchele. 97. Uwiano wa mara mbili kwenye duaradufu
wakati fulani A wa curve K.
Kisha mistari minne iliyonyooka a,
b, c, d kutoka kwa kifungu O itakuwa na uwiano sawa mara mbili na ushirikiano
mara nne sambamba a0, b0, c0, d0 kutoka kwa penseli O0. Kila kitu ni sawa
mawasiliano ya thamani kati ya penseli mbili za mistari, kuwa na
mali hii ya mwisho inaitwa mawasiliano ya makadirio.
(Ufafanuzi huu ni wa pande mbili kuhusiana na ufafanuzi wa projective
Kwa mawasiliano zaidi kati ya pointi kwenye mistari miwili, ona uk. 198–198.)
Kwa kutumia ufafanuzi huu, sasa tunaweza kusema: conical
sehemu K ni eneo la kijiometri la pointi za makutano kwa pande zote
mistari inayolingana kutoka kwa penseli mbili ziko kwenye projective
kufuata. Nadharia inayotokana inaweka msingi wa yafuatayo:
ufafanuzi kamili wa makadirio ya sehemu za conic: conic

JIOMETRI YA MRADI. AXIOMATIKI

sehemu ni eneo la kijiometri la sehemu za makutano za mistari inayolingana kutoka kwa vifurushi viwili ambavyo viko katika mawasiliano yanayotarajiwa1. Haijalishi jinsi inavyojaribu kupenya ndani ya kina cha nadharia ya sehemu za conic, ambayo imejengwa juu ya ufafanuzi huo, tunalazimika kujizuia kwa maoni machache juu ya jambo hili.

Jozi za miganda ambazo ziko kwenye mawasiliano ya kutabiri zinaweza kupatikana kama ifuatavyo. Hebu tufanye pointi zote P ya mstari wa moja kwa moja l kutoka vituo viwili tofauti O na O00 na kuanzisha mawasiliano ya moja kwa moja kati ya mihimili inayojitokeza, kwa kulinganisha na kila mmoja mistari hiyo inayoingiliana kwenye l moja kwa moja. Hii inatosha kwa vifurushi vinavyotokana na kuwa katika mawasiliano yanayotarajiwa. Kisha tunachukua kifungu O00 na kuihamisha "kama kitu kigumu" kwa nafasi ya kiholela O0. Kwamba mganda mpya O0 utakuwa katika mawasiliano ya matarajio na mganda O ni dhahiri kabisa. Lakini jambo la kushangaza ni kwamba mawasiliano yoyote kati ya miganda miwili yanaweza kuwa

Mchele. 98. Juu ya ujenzi wa penseli za mradi wa mistari

ipate hivi. (Hali hii ni ya pande mbili kuhusiana na zoezi la 1 kwenye ukurasa wa 199.) Ikiwa vifungu O na O0 vinalingana, mduara hupatikana. Ikiwa pembe kati ya mionzi inayofanana katika mihimili miwili ni sawa, lakini imepimwa kwa mwelekeo tofauti, basi hyperbola ya equilateral inapatikana (Mchoro 99).

Inapaswa pia kuzingatiwa kuwa ufafanuzi ulioonyeshwa wa sehemu ya conic unaweza, hasa, kutoa mstari wa moja kwa moja, kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 98. Katika kesi hii, mstari wa moja kwa moja OO00 unafanana na yenyewe, na pointi zake zote zinapaswa kuchukuliwa kuwa za eneo la kijiometri linalohitajika. Kwa hivyo, sehemu ya conic inapungua ndani

1 Locus hii, chini ya hali fulani, inaweza kuharibika katika mstari wa moja kwa moja; tazama mtini. 98.

SEHEMU ZA CONIC NA QUADRICS

jozi ya mistari ya moja kwa moja: hali hii inalingana kikamilifu na ukweli kwamba kuna sehemu za koni yenye mistari miwili ya moja kwa moja (ikiwa ndege ya kukata inapita kupitia vertex ya koni).

9 8 O 7

Mchele. 99. Uundaji wa mduara na hyperbola equilateral kwa kutumia mihimili ya projective

Mazoezi. 1) Chora duaradufu, hyperbolas na parabolas kwa kutumia penseli zinazoonyesha. (Msomaji anahimizwa sana kufanya majaribio ya miundo ya aina hii. Hii inachangia pakubwa kuelewa kiini cha jambo.)

2) Kutokana na pointi tano O, O0, A, B, C ya baadhi ya sehemu ya conic K. Tafuta pointi za makutano D za mstari wa kiholela d wa penseli O na curve K. (Maelekezo: kupitia O kuchora mistari OA, OB, OC na uziite a, b , c. Chora mistari O0 A, O0 B, O0 C hadi O0 na uziite a0, b0, c0. Chora mstari d kupitia O na utengeneze mstari d0 wa penseli O0 ili (abcd) ) = (a0 b0 c0 d0). Kisha sehemu ya makutano ya d na d0 ni ya curve K.)

3. Sehemu za koni kama "mikondo iliyotawaliwa". Dhana ya tangent kwa sehemu ya conic ni ya jiometri ya projective, kwa kuwa tangent kwa sehemu ya conic ni mstari wa moja kwa moja ambao una hatua moja tu ya kawaida na curve yenyewe, na hii ni mali ambayo imehifadhiwa wakati wa makadirio. Sifa za makadirio za tanjenti hadi sehemu za koni ni msingi wa nadharia ifuatayo:

Uwiano wa mara mbili wa pointi za makutano ya tanjenti nne zisizobadilika kwa sehemu ya koni yenye tanjenti ya tano isiyo ya kawaida.

Mchele. 100. Zungusha kama seti ya tanjiti

JIOMETRI YA MRADI. AXIOMATIKI

haitegemei uchaguzi wa tangent hii ya tano. Ushahidi wa nadharia hii ni mkubwa sana

Tu. Kwa kuwa sehemu yoyote ya conic ni makadirio ya mduara na tangu theorem inahusika tu na mali ambazo hazibadiliki chini ya makadirio, ili kuthibitisha nadharia katika kesi ya jumla, inatosha kuthibitisha kwa kesi fulani ya mduara.

Kwa kesi hii, nadharia inathibitishwa na jiometri ya msingi. Acha P, Q, R, S iwe alama nne kwenye mduara K; a, b, c, d - tangents katika pointi hizi; T - hatua nyingine kwenye mduara, o - tangent ndani yake; acha, zaidi, A, B, C, D -

pointi za makutano ya tangent o na tanjenti a, b, c, d. Ikiwa M -

katikati ya mduara, basi, ni wazi, T MA = 1 2 T MP, na hitimisho la mwisho

Usemi huu unawakilisha pembe iliyoandikwa katika K iliyopunguzwa na arc T P. Kwa njia hiyo hiyo, T MB inawakilisha pembe iliyoandikwa katika K na kupunguzwa na arc T Q. Kwa hiyo,

AMB = 1 2 ^ P Q,

ambapo 1 2 ^ P Q inaashiria pembe iliyoandikwa katika K na kulingana na pande mbili

y P Q. Kutoka hapa ni wazi kwamba A, B, C, D inakadiriwa kutoka kwa M na mistari minne ya moja kwa moja, pembe kati ya ambayo ina maadili kulingana na nafasi ya pointi P, Q, R, S. Lakini basi uwiano wa mara mbili (ABCD) unategemea tu tangents nne a, b, c, d, lakini sio kutoka kwa tangent o. Hii ndio hasa inahitajika kusakinishwa.

Mchele. 101. Mali ya tangent kwa duara

SEHEMU ZA CONIC NA QUADRICS

Katika aya iliyotangulia, tulipata fursa ya kuthibitisha kuwa sehemu ya conic inaweza kujengwa "hatua kwa hatua" ikiwa tutaanza kuashiria alama za makutano ya mistari ya moja kwa moja inayolingana ya vifurushi viwili, kati ya ambayo mawasiliano ya makadirio yameanzishwa. Nadharia iliyothibitishwa inatupa fursa ya kuunda nadharia mbili. Hebu tuchukue tanjenti mbili a na a0 kwenye sehemu ya koni K. Hebu tangent ya tatu t ikatike a na a0 kwa mtiririko huo kwa pointi A na A0. Ikiwa t inasonga kando ya curve, basi mawasiliano yataanzishwa

A ←→ A0

kati ya pointi A na A0. Mawasiliano haya yatakuwa ya kukadiria, kwani kulingana na nadharia iliyothibitishwa, alama nne za kiholela bila shaka zitakuwa na uhusiano wa mara mbili sawa na alama nne zinazolingana kwenye a0. Inafuata kwamba sehemu ya koni K, dis-

Mchele. 102. Msururu wa makadirio wa pointi kwenye tanjenti mbili hadi duaradufu

inatazamwa kama "seti ya viambatisho vyake", "ina" mistari iliyonyooka inayounganisha alama zinazolingana za safu mbili za nukta1 kwenye a na kwenye a0, ambazo ziko katika mawasiliano yanayotarajiwa. Hali hii inaturuhusu kutambulisha ufafanuzi mpya wa sehemu za koni, zinazozingatiwa wakati huu kama "mikondo iliyotawaliwa." Hebu tulinganishe ufafanuzi huu na ufafanuzi wa awali wa makadirio ya sehemu ya conic.

1 Mkusanyiko wa pointi kwenye mstari unaitwa mfululizo wa pointi. Dhana hii ni mbili kuhusiana na penseli ya mistari.

JIOMETRI YA MRADI. AXIOMATIKI

habari iliyotolewa katika aya iliyotangulia:

Sehemu ya koni, inayozingatiwa kama mkusanyiko wa vidokezo, ina sehemu za makutano ya mistari inayolingana katika mistari miwili ya makadirio.

Sehemu ya koni, inayozingatiwa kama "mkusanyiko wa mistari," ina mistari inayounganisha alama zinazolingana katika makadirio mawili.

Ikiwa tutaanza kuzingatia tangent kwa sehemu ya conic wakati fulani kama kipengele cha pande mbili kuhusiana na uhakika yenyewe na, kwa kuongeza, kukubali kulinganisha "curve iliyotawaliwa" (iliyoundwa na seti ya tangents) na "curve ya uhakika. ” (iliyoundwa na seti ya alama) kwa msingi wa uwili, basi uundaji wa hapo awali hautakuwa mzuri kutoka kwa mtazamo wa kanuni ya uwili. Wakati wa "kutafsiri" uundaji mmoja hadi mwingine, ukibadilisha dhana zote na dhana mbili zinazofanana, "sehemu ya conic" inabakia bila kubadilika; lakini katika hali moja inafikiriwa kama "kipingo cha ncha" kinachofafanuliwa na pointi zake, katika nyingine kama "curve iliyotawaliwa" inayofafanuliwa na tanjenti zake.

Mfululizo muhimu hufuata kutoka kwa uliopita: kanuni ya uwili, iliyoanzishwa awali katika jiometri ya ndege ya projective tu kwa pointi na mistari, inageuka kuwa ya kupanuliwa kwa sehemu za conic. Ikiwa katika uundaji wa nadharia yoyote kuhusu vidokezo, mistari na sehemu za conic, tunabadilisha kila kipengele na mbili zake (bila kupoteza ukweli kwamba hatua ya sehemu ya conic lazima ihusishwe na tangent kwa sehemu hii ya conic),

basi matokeo pia yatakuwa nadharia halali. Tutaona mfano wa kanuni hii katika aya ya 4 ya aya hii.

Ujenzi wa sehemu za conic, zinazoeleweka kama "curves zilizotawaliwa," inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 103–104. Hasa, ikiwa katika safu mbili za makadirio alama za infinity zinalingana (hii hakika itatokea ikiwa safu ya vidokezo ni sawa au sawa. 1

JIOMETRI YA MRADI. AXIOMATIKI

Kanuni ya uwili kama inavyotumika kwa sehemu za koni ni uhusiano kati ya nadharia za jumla za Pascal na Brianchon. Ya kwanza yao iligunduliwa mwaka wa 1640, ya pili mwaka wa 1806. Na, hata hivyo, kila mmoja wao ni matokeo ya moja kwa moja ya mwingine, kwa kuwa nadharia yoyote, uundaji ambao unataja tu sehemu za conic, mistari na pointi, hakika inabakia halali wakati. uundaji hubadilika kulingana na kanuni ya uwili.

Nadharia zilizothibitishwa katika § 5 chini ya majina sawa zinawakilisha "kesi za kuzorota" za nadharia za jumla zifuatazo.

Nadharia ya Pascal. Pande kinyume cha heksagoni iliyoandikwa katika sehemu ya koni hukatiza katika sehemu tatu za kolifonia.

Mchele. 105. Usanidi wa jumla wa Pascal. Kesi mbili zinaonyeshwa: moja kwa hexagon 1, 2, 3, 4, 5, 6, nyingine kwa hexagon 1, 3, 5, 2, 6, 4.

Nadharia ya Brianchon. Vilalo vitatu vinavyounganisha vipeo vilivyo kinyume vya heksagoni iliyozungukwa kuhusu sehemu ya koni vinafanana.

Nadharia zote mbili zina maudhui dhahiri ya makadirio. Uwili wao ni wa kushangaza wakati umeundwa kama ifuatavyo:

Nadharia ya Pascal. Kwa kuzingatia pointi sita 1, 2, 3, 4, 5, 6 kwenye sehemu ya conic. Wacha tuunganishe alama zinazofuatana na mistari iliyonyooka (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Wacha tuweke alama alama za makutano ya mistari (1, 2) na (4, 5), (2, 3) na (5, 6), (3, 4) na (6, 1). Pointi hizi tatu ziko kwenye mstari sawa sawa.

SEHEMU ZA CONIC NA QUADRICS

Nadharia ya Brianchon. Imepewa tanji sita 1, 2, 3, 4, 5, 6 kwa sehemu ya conic. Tangenti zinazofuatana huingiliana kwa pointi (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Wacha tuchore mistari iliyonyooka ya kuunganisha (1, 2) na (4, 5), (2, 3) na (5, 6), (3, 4) na (6, 1). Mistari hii mitatu inapita kwenye nukta moja.

Uthibitisho unafanywa kwa kutumia utaalamu wa aina sawa na katika kesi za upotovu zilizozingatiwa hapo awali. Wacha tuthibitishe nadharia ya Pascal. Acha A, B, C, D, E, F ziwe wima za hexagon iliyoandikwa katika sehemu ya koni K. Kwa muundo, tunaweza kufanya mistari AB na ED, F A na CD sambamba (na kisha tunapata usanidi ulioonyeshwa kwenye Mchoro 107; kwa urahisi, hexagon katika kuchora inachukuliwa kuwa inaingiliana, ingawa hii sio lazima.) Sasa tunahitaji kuthibitisha jambo moja tu: kwamba mstari wa CB ni sawa na mstari F E; kwa maneno mengine, kwamba pande tofauti huvuka kwenye mstari ulionyooka kwa ukomo. Ili kudhibitisha hili, fikiria robo ya pointi F, A, B, D, ambayo, kama tunavyojua, inapokadiriwa kutoka kwa hatua yoyote K huhifadhi uhusiano huo mara mbili, sema k. Hebu tufanye mradi kutoka kwa uhakika C hadi mstari wa AF; tunapata pointi nne F, A, Y, ∞, na

k = (F , A, Y , ∞) = Y Y F A

(tazama ukurasa wa 205).

Hebu sasa tuangazie kutoka kwa uhakika E kwenye mstari wa BA; tunapata

	JIOMETRI YA MRADI. AXIOMATIKI

Mchele. 108. Ujenzi wa mistari inayokatiza mistari mitatu iliyotolewa ya nafasi ya jumla

pointi nne X, A, B, ∞, na

k = (X, A, B, ∞) = BX BA .

BX BA= YF A,

ambayo ina maana tu kwamba Y B k F X. Uthibitisho wa nadharia ya Pascal umekamilika.

Nadharia ya Brianchon, kama ilivyoelezwa, inafuata kutoka kwa nadharia ya Pascal juu ya kanuni ya uwili. Lakini pia inaweza kuthibitishwa moja kwa moja - kwa hoja ambayo ni mbili kwa kile kilichotolewa tu. Litakuwa zoezi zuri sana kwa msomaji kutekeleza hoja hii kwa undani.

5. Hyperboloid. Katika nafasi ya tatu-dimensional tunakutana na kinachojulikana kama quadrics (nyuso za utaratibu wa pili), ambazo katika kesi hii zina jukumu sawa na "sehemu za conic" (curves za utaratibu wa pili) kwenye ndege.

Rahisi kati yao ni tufe na ellipsoid. Quadrics ni tofauti zaidi kuliko sehemu za koni, na kuzisoma kunahusishwa na ugumu mkubwa. Tutaangalia kwa ufupi na bila uthibitisho katika moja ya nyuso za kuvutia zaidi za aina hii: kinachojulikana kushikamana (au karatasi moja) hyperboloid.

Uso huu unaweza kupatikana kama ifuatavyo. Hebu tuchukue mistari mitatu ya moja kwa moja l1, l2, l3 katika nafasi, ambayo iko katika nafasi ya jumla. Mwisho unamaanisha kuwa hakuna mbili kati yao zinazofanana na zote tatu

Mchele. 109. Hyperboloid

§ SEHEMU 8 ZA CONIC NA QUADRICS 239

haziendani na ndege moja. Inaweza kuonekana kuwa ya kushangaza kwamba kuna idadi isiyo na kikomo ya mistari kwenye nafasi, ambayo kila moja inaingiliana na mistari yote mitatu iliyotolewa. Hebu tuhakikishe hili.

Hebu p iwe ndege ya kiholela iliyo na mstari l1; ndege hii inakatiza mistari l2 na l3 kwa nukta mbili, na mstari m uliochorwa kupitia nukta hizi mbili ni wazi hukatiza mistari yote l1, l2 na l3. Wakati ndege p inapozunguka mstari wa l1, mstari m utabadilisha msimamo wake, lakini wakati wote unaendelea kuingiliana na mistari mitatu iliyotolewa. Wakati m inasonga, uso unaonekana ambao unaenea kwa ukomo hadi usio na mwisho, ambao huitwa hyperboloid ya karatasi moja. Ina seti isiyo na kikomo ya mistari ya aina ya m. Mistari yoyote mitatu kama hii, sema m1, m2 na m3, pia itakuwa katika nafasi ya jumla, na mistari hiyo katika nafasi ambayo itakatiza mistari mitatu m1, m2 na m3 kwa wakati mmoja.

pia italala juu ya uso husika. Hii ina maana ya mali kuu ya hyperboloid: inaundwa na familia mbili tofauti za mistari ya moja kwa moja; kila mistari mitatu ya familia moja iko katika nafasi moja na kila mstari wa familia moja huingiliana na mistari yote ya nyingine.

Sifa muhimu ya makadirio ya hyperboloid ni kwamba uwiano wa mara mbili wa pointi hizo nne ambapo mistari minne iliyotolewa ya familia moja hukutana na mstari fulani wa familia ya pili haitegemei uchaguzi wa mwisho huu. Taarifa hii inafuatia kutoka kwa njia ya kujenga hyperboloid kwa kutumia ndege inayozunguka, na msomaji anaweza kushawishika juu ya uhalali wake na ubora wa zoezi hilo.

Wacha tuangalie mali moja ya kushangaza zaidi ya hyperboloid: ingawa ina familia mbili za mistari iliyonyooka, uwepo wa mistari hii iliyonyooka haizuii uso kuinama - haifanyi kuwa ngumu. Ikiwa tutaunda mfano wa hyperboloid kutoka kwa vijiti vinavyoweza kuzunguka kwa uhuru karibu na sehemu za makutano ya pande zote, basi uso kwa ujumla.

Taasisi ya Elimu ya Manispaa

Shule ya Sekondari nambari 4

Sehemu za Conic

Imekamilika

Spiridonov Anton

mwanafunzi wa darasa la 11A

Imechaguliwa

Korobeynikova A. T.

Tobolsk - 2006

Utangulizi

Dhana ya sehemu za conic

Aina za sehemu za conic

Jifunze

Ujenzi wa sehemu za conic

Mbinu ya uchambuzi

Maombi

Bibliografia

Utangulizi.

Kusudi: kusoma sehemu za conic.

Malengo: jifunze kutofautisha kati ya aina za sehemu za conic, jenga sehemu za kinetic na utumie mbinu ya uchambuzi.

Sehemu iliyopewa inaweza kuzingatiwa kama mfumo wa equations:

Lakini x 2 =ay na y 2 =2ax ni milinganyo ya parabolas. Kwa hiyo, ili kutatua tatizo, mtu lazima apate pointi zao za makutano. Ikiwa tunazingatia kwamba equation ya hyperbola xy=2a 2 pia inaweza kupatikana kutoka kwa mfumo, basi tatizo sawa linaweza kutatuliwa kwa kutafuta pointi za makutano ya parabola na hyperbola.

Hapa ndipo majina ya curves yanatoka, ambayo yaliletwa na Apollonius wa Perga, aliyeishi katika karne ya 3 KK: duaradufu (έλλείψίς), ambayo inamaanisha dosari, upungufu (wa pembe ya koni hadi mstari ulionyooka) ; hyperbola (ύπέρβωλη) - kuzidisha, preponderance (ya pembe ya koni juu ya mstari wa moja kwa moja); parabola (παραβολη) - makadirio, usawa (wa pembe ya koni kwa pembe ya kulia). Baadaye Wagiriki waliona kwamba curves zote tatu zinaweza kupatikana kwenye koni moja kwa kubadilisha mwelekeo wa ndege ya kukata. Katika kesi hii, unapaswa kuchukua koni yenye cavities mbili na kufikiri kwamba wao kupanua kwa infinity (Mchoro 1).

Dhana ya sehemu za conic.

1) ikiwa ndege inaingilia uso wa conical pamoja na jenereta zote, basi cavity moja tu hutenganishwa na curve iliyofungwa inayoitwa ellipse inapatikana katika sehemu hiyo;

2) ikiwa ndege ya kukata inaingiliana na cavities zote mbili, basi curve hupatikana ambayo ina matawi mawili na inaitwa hyperbola;

3) ikiwa ndege ya kukata ni sawa na moja ya jenereta, basi parabola hupatikana.

Ikiwa ndege inayopita kwenye vertex inapita kwenye mashimo yote mawili, basi sehemu hiyo hutoa jozi ya mistari inayoingiliana, inayozingatiwa kama kesi maalum ya hyperbola.

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

na huitwa curves za mpangilio wa 2.

Aina za sehemu za conic.

Sehemu za conic zinaweza kuwa za aina tatu:

2) Ndege ya kukata ni sawa na moja ya ndege ya tangent ya koni; katika sehemu ya msalaba, matokeo yake ni Curve wazi ambayo huenda kwa infinity - parabola, amelazwa kabisa juu ya cavity moja.

Jifunze.

Katika hali ambapo sehemu ya conic ina kituo cha ulinganifu (katikati), i.e. ni duaradufu au hyperbola, equation yake inaweza kupunguzwa (kwa kuhamisha asili ya kuratibu katikati) hadi fomu:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Uchunguzi zaidi wa sehemu kama hizi (zinazoitwa za kati) zinaonyesha kuwa milinganyo yao inaweza kupunguzwa kwa fomu rahisi zaidi:

Shoka 2 + Wu 2 = C,

Equation ya parabola haiwezi kupunguzwa kwa fomu (Ax 2 + By 2 = C). Na chaguo sahihi la mhimili wa kuratibu (mhimili mmoja wa kuratibu ndio mhimili pekee wa ulinganifu wa parabola, nyingine ni mstari wa moja kwa moja wa moja kwa moja kwa hiyo, kupita kwenye vertex ya parabola), equation yake inaweza kupunguzwa kwa fomu:

UJENZI WA SEHEMU ZA CONIC.

Ufafanuzi huu wa sehemu za koni kama mikondo ya ndege pia zinapendekeza njia ya kuziunda kwa kutumia kamba iliyonyoshwa.

Ellipse. Ikiwa mwisho wa thread ya urefu uliopewa umewekwa kwa pointi F 1 na F 2 (Mchoro 3), basi curve iliyoelezwa na hatua ya penseli inayoteleza kando ya uzi uliowekwa vizuri ina sura ya duaradufu. Pointi F 1 na F 2 huitwa mwelekeo wa duaradufu, na sehemu V 1 V 2 na v 1 v 2 kati ya sehemu za makutano ya duaradufu na shoka za kuratibu - shoka kuu na ndogo. Ikiwa pointi F 1 na F 2 zinapatana, basi ellipse inageuka kuwa mduara (Mchoro 3).

Hyperbola. Wakati wa kuunda hyperbola, hatua P, ncha ya penseli, imewekwa kwenye uzi ambao huteleza kwa uhuru kwenye vigingi vilivyowekwa kwenye sehemu F 1 na F 2, kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 4, a, umbali huchaguliwa ili sehemu ya PF 2. ni ndefu kuliko sehemu ya PF 1 kwa thamani isiyobadilika chini ya umbali F 1 F 2 . Katika kesi hii, mwisho mmoja wa uzi hupita chini ya kigingi F 1, na ncha zote mbili za uzi hupita juu ya kigingi F 2. (Hatua ya penseli haipaswi kuteleza kando ya uzi, kwa hivyo lazima ihifadhiwe kwa kutengeneza kitanzi kidogo kwenye uzi na kusambaza uhakika kupitia hiyo.) Tunachora tawi moja la hyperbola (PV 1 Q), hakikisha kwamba thread inabakia taut wakati wote, na, kuunganisha ncha zote mbili za thread chini ya hatua ya zamani F 2, na wakati hatua P ni chini ya sehemu F 1 F 2, kushikilia thread kwa ncha zote mbili na kwa uangalifu ikitoa. Tunatoa tawi la pili la hyperbola kwa kubadilisha kwanza pini F 1 na F 2 (Mchoro 4).

Matawi ya hyperbola hukaribia mistari miwili iliyonyooka ambayo huingilia kati ya matawi. Mistari hii iliyonyooka, inayoitwa asymptotes ya hyperbola, imeundwa kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 4, b. Kona

coefficients ya mistari hii ni sawa na wapi sehemu ya bisector ya angle kati ya asymptotes, perpendicular kwa sehemu F 2 F 1; sehemu ya v 1 v 2 inaitwa mhimili wa conjugate wa hyperbola, na sehemu ya V 1 V 2 ni mhimili wake wa kupita. Kwa hivyo, asymptotes ni diagonals ya mstatili na pande kupita pointi nne v 1, v 2, V 1, V 2 sambamba na axes. Ili kuunda mstatili huu, unahitaji kutaja eneo la pointi v 1 na v 2. Ziko kwa umbali sawa, sawa

kutoka sehemu ya makutano ya shoka za O. Fomula hii inachukua ujenzi wa pembetatu ya kulia na miguu Ov 1 na V 2 O na hypotenuse F 2 O.

Parabola. Malengo ya duaradufu na hyperbola yalijulikana kwa Apollonius, lakini lengo la parabola inaonekana lilianzishwa kwanza na Pappus (nusu ya pili ya karne ya 3), ambaye alifafanua curve hii kama eneo la pointi sawa na pointi fulani (lengo) na mstari wa moja kwa moja uliopewa, unaoitwa mwalimu mkuu. Ujenzi wa parabola kwa kutumia thread ya mvutano, kulingana na ufafanuzi wa Pappus, ilipendekezwa na Isidore wa Miletus (karne ya VI) (Mchoro 5).

Wacha tuweke mtawala ili makali yake yapatane na directrix, na ambatisha mguu wa AC wa pembetatu ya kuchora ABC kwa makali haya. Wacha tufunge ncha moja ya uzi wa urefu wa AB kwenye kipeo B cha pembetatu, na nyingine kwenye lengo la parabola F. Baada ya kuvuta uzi kwa ncha ya penseli, bonyeza ncha kwenye sehemu ya kutofautisha P hadi mguu wa bure AB wa pembetatu ya kuchora. Wakati pembetatu inaposonga kando ya mtawala, hatua P itaelezea safu ya parabola kwa kuzingatia F na directrix, kwa kuwa urefu wa jumla wa thread ni sawa na AB, kipande cha thread iko karibu na mguu wa bure wa pembetatu, na. kwa hivyo kipande kilichobaki cha uzi PF lazima kiwe sawa na sehemu iliyobaki ya mguu AB, hiyo ni PA. Hatua ya makutano ya V ya parabola na mhimili inaitwa vertex ya parabola, mstari wa moja kwa moja unaopita kupitia F na V ni mhimili wa parabola. Ikiwa mstari wa moja kwa moja hutolewa kwa kuzingatia, perpendicular kwa mhimili, basi sehemu ya mstari huu wa moja kwa moja iliyokatwa na parabola inaitwa parameter ya msingi. Kwa duaradufu na hyperbola, parameta ya msingi imedhamiriwa vile vile.

NJIA YA UCHAMBUZI

ambapo si coefficients zote A, B na C ni sawa na sufuri. Kwa kutumia tafsiri sambamba na mzunguko wa axes, equation (1) inaweza kupunguzwa kwa fomu

shoka 2 + kwa 2 + c = 0

Equation ya kwanza inapatikana kutoka kwa equation (1) kwa B 2> AC, ya pili - kwa B 2 = AC. Sehemu za conic ambazo equations zimepunguzwa kwa fomu ya kwanza huitwa kati. Sehemu za koni zinazofafanuliwa kwa milinganyo ya aina ya pili yenye q > 0 huitwa zisizo za kati. Ndani ya makundi haya mawili, kuna aina tisa tofauti za sehemu za conic kulingana na ishara za coefficients.

2) Ikiwa a na b wana ishara sawa, na c ina ishara kinyume, basi sehemu ya conic ni duaradufu; wakati a = b - duara.

3) Ikiwa a na b wana ishara tofauti, basi sehemu ya conic ni hyperbola.

4) Ikiwa a na b wana ishara tofauti na c = 0, basi sehemu ya conic ina mistari miwili ya kuingiliana.

6) Ikiwa a au b ni sawa na sifuri, na coefficients nyingine zina ishara tofauti, basi sehemu ya conic ina mistari miwili inayofanana.

Maombi

Bibliografia.

1. Alekseev. Nadharia ya Abeli katika shida na suluhisho. 2001

2. Bazylev V. T., Dunichev K. I., Ivanitskaya V. P.. Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa mwaka wa 1 wa vyuo vya fizikia na hisabati vya taasisi za ufundishaji. Moscow "Mwangaza" 1974

3. Vereshchagin N.K., A. Shen. Mihadhara juu ya mantiki ya hisabati na nadharia ya algorithms. 1999

4. Gelfand I.M. Mihadhara kuhusu aljebra ya mstari. 1998.

5. Gladky A.V. Utangulizi wa mantiki ya kisasa. 2001

6. M.E. Kazaryan. Kozi ya jiometri tofauti (2001-2002).

7. Prasolov V.V.. Jiometri ya Lobachevsky 2004

8. Prasolov V.V.. Matatizo katika planimetry 2001

9. Sheinman O.K.. Misingi ya nadharia ya uwakilishi. 2004

Maudhui ya makala

SEHEMU ZA CONIC, curves ya gorofa ambayo hupatikana kwa kuingiliana na koni ya mviringo ya kulia na ndege ambayo haipiti kupitia vertex yake (Mchoro 1). Kutoka kwa mtazamo wa jiometri ya uchambuzi, sehemu ya conic ni eneo la pointi zinazokidhi equation ya pili. Isipokuwa kesi zilizoharibika zilizojadiliwa katika sehemu ya mwisho, sehemu za koni ni duaradufu, hyperbolas, au parabolas.

HISTORIA YA AWALI

Mvumbuzi wa sehemu za koni anadaiwa kuwa Menaechmus (karne ya 4 KK), mwanafunzi wa Plato na mwalimu wa Alexander the Great. Menaechmus alitumia parabola na hyperbola equilateral kutatua tatizo la kuongeza mchemraba mara mbili.

Mikataba juu ya sehemu zilizoandikwa na Aristaeus na Euclid mwishoni mwa karne ya 4. BC, zilipotea, lakini vifaa kutoka kwao vilijumuishwa katika maarufu Sehemu za Conic Apollonius wa Perga (c. 260–170 KK), ambao wamesalia hadi leo. Apollonius aliacha hitaji la kwamba ndege ya siri ya jenereta ya koni iwe ya pembeni na, kwa kutofautiana pembe ya mwelekeo wake, ilipata sehemu zote za conic kutoka kwa koni moja ya mviringo, moja kwa moja au iliyoelekezwa. Pia tunadaiwa majina ya kisasa ya curves kwa Apollonius - duaradufu, parabola na hyperbola.

Katika ujenzi wake, Apollonius alitumia koni ya mviringo ya karatasi mbili (kama kwenye Mchoro 1), hivyo kwa mara ya kwanza ikawa wazi kuwa hyperbola ni curve yenye matawi mawili. Tangu wakati wa Apollonius, sehemu za conic zimegawanywa katika aina tatu kulingana na mwelekeo wa ndege ya kukata kwa jenereta ya koni. Ellipse (Kielelezo 1, A) hutengenezwa wakati ndege ya kukata inaingiliana na jenereta zote za koni kwenye pointi za moja ya cavity yake; parabola (Mchoro 1, b) - wakati ndege ya kukata ni sawa na moja ya ndege ya tangent ya koni; hyperbola (Mchoro 1, V) - wakati ndege ya kukata inaingiliana na cavities zote mbili za koni.

UJENZI WA SEHEMU ZA CONIC

Ufafanuzi huu wa sehemu za koni kama mikondo ya ndege pia zinapendekeza njia ya kuziunda kwa kutumia kamba iliyonyoshwa.

Ellipse.

Ikiwa ncha za uzi wa urefu fulani zimewekwa kwa pointi F 1 na F 2 (Mchoro 2), kisha curve iliyoelezewa na hatua ya penseli inayoteleza pamoja na uzi uliowekwa vizuri ina sura ya duaradufu. Pointi F 1 na F 2 huitwa foci ya duaradufu, na sehemu V 1 V 2 na v 1 v 2 kati ya pointi za makutano ya duaradufu na shoka za kuratibu - shoka kuu na ndogo. Ikiwa pointi F 1 na F 2 sanjari, kisha duaradufu hugeuka kuwa duara.

Hyperbola.

Wakati wa kujenga hyperbola, uhakika P, ncha ya penseli, imewekwa kwenye uzi unaoteleza kwa uhuru kwenye vigingi vilivyowekwa kwenye sehemu. F 1 na F 2, kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 3, A. Umbali huchaguliwa ili sehemu PF 2 ni ndefu kuliko sehemu PF 1 kwa kiwango maalum chini ya umbali F 1 F 2. Katika kesi hii, mwisho mmoja wa thread hupita chini ya kigingi F 1 na ncha zote mbili za uzi hupita juu ya kigingi F 2. (Ncha ya penseli haipaswi kuteleza kwenye uzi, kwa hivyo lazima ihifadhiwe kwa kutengeneza kitanzi kidogo kwenye uzi na kunyoosha hatua kupitia hiyo.) Tawi moja la hyperbola ( PV 1 Q) tunachora, kuhakikisha kuwa uzi unabaki kuwa laini wakati wote, na kuvuta ncha zote mbili za uzi chini nyuma ya uhakika. F 2 na wakati uhakika P itakuwa chini ya sehemu F 1 F 2, ukishikilia uzi kwenye ncha zote mbili na kuiweka kwa uangalifu (yaani kuifungua). Tawi la pili la hyperbola ( Pў V 2 Q• tunachora, tukiwa tumebadilishana majukumu ya vigingi hapo awali F 1 na F 2 .

Matawi ya hyperbola hukaribia mistari miwili iliyonyooka ambayo huingilia kati ya matawi. Mistari hii, inayoitwa asymptotes ya hyperbola, imeundwa kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 3, b. Migawo ya angular ya mistari hii ni sawa na ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), wapi v 1 v 2 - sehemu ya kipenyo cha pembe kati ya asymptotes, perpendicular kwa sehemu F 1 F 2; sehemu ya mstari v 1 v 2 inaitwa mhimili wa conjugate wa hyperbola, na sehemu V 1 V 2 - mhimili wake wa kuvuka. Kwa hivyo, asymptotes ni diagonals ya mstatili na pande kupita pointi nne v 1 , v 2 , V 1 , V 2 sambamba na shoka. Ili kujenga mstatili huu, unahitaji kutaja eneo la pointi v 1 na v 2. Ziko kwa umbali sawa, sawa

kutoka mahali pa makutano ya shoka O. Njia hii inahusisha ujenzi wa pembetatu ya kulia na miguu Ov 1 na V 2 O na hypotenuse F 2 O.

Parabola.

Malengo ya duaradufu na hyperbola yalijulikana kwa Apollonius, lakini lengo la parabola inaonekana lilianzishwa kwanza na Pappus (nusu ya 2 ya karne ya 3), ambaye alifafanua curve hii kama eneo la pointi sawa na pointi fulani (lengo) na mstari uliopewa moja kwa moja, unaoitwa mkurugenzi. Ujenzi wa parabola kwa kutumia uzi ulionyoshwa, kulingana na ufafanuzi wa Pappus, ulipendekezwa na Isidore wa Miletus (karne ya 6). Weka mtawala ili makali yake yapatane na directrix LL• (Mchoro 4), na uomba mguu kwa makali haya A.C. kuchora pembetatu ABC. Tunafunga mwisho mmoja wa thread na urefu AB juu B pembetatu, na nyingine katika mwelekeo wa parabola F. Kutumia ncha ya penseli ili kunyoosha thread, bonyeza ncha kwenye sehemu ya kutofautiana P kwa mguu wa bure AB kuchora pembetatu. Wakati pembetatu inasonga pamoja na mtawala, hatua P itaelezea safu ya parabola kwa kuzingatia F na mwalimu mkuu LL• , kwa kuwa urefu wa jumla wa thread ni AB, kipande cha thread ni karibu na mguu wa bure wa pembetatu, na kwa hiyo kipande kilichobaki cha thread PF lazima iwe sawa na sehemu iliyobaki ya mguu AB, i.e. PA. Sehemu ya makutano V parabola yenye mhimili inaitwa vertex ya parabola, mstari unaopita F Na V, - mhimili wa parabola. Ikiwa mstari wa moja kwa moja hutolewa kwa kuzingatia, perpendicular kwa mhimili, basi sehemu ya mstari huu wa moja kwa moja iliyokatwa na parabola inaitwa parameter ya msingi. Kwa duaradufu na hyperbola, parameta ya msingi imedhamiriwa vile vile.

MALI ZA SEHEMU ZA CONIC

Ufafanuzi wa Pappus.

Kuanzisha lengo la parabola kulimpa Pappus wazo la kutoa ufafanuzi mbadala wa sehemu za conic kwa ujumla. Hebu F ni hatua fulani (lengo), na L– mstari wa moja kwa moja uliopewa (directrix) usiopitia F, Na D F Na D L- umbali kutoka kwa hatua ya kusonga P kuzingatia F na walimu wakuu L kwa mtiririko huo. Kisha, kama Pappus ilionyesha, sehemu za conic hufafanuliwa kama eneo la pointi P, ambayo uhusiano D F/D L ni isiyo hasi mara kwa mara. Uwiano huu unaitwa eccentricity e sehemu ya conical. Katika e e > 1 - hyperbola; katika e= 1 - parabola. Kama F uongo juu L, basi loci ya kijiometri ina fomu ya mistari ya moja kwa moja (halisi au ya kufikirika), ambayo ni sehemu za koni zilizoharibika.

Ulinganifu wa kuvutia wa duaradufu na hyperbola unaonyesha kwamba kila moja ya mikondo hii ina mikondo miwili na foci mbili, na hali hii ilimfanya Kepler mnamo 1604 kuwa na wazo kwamba parabola pia ina mwelekeo wa pili na mwelekeo wa pili - hatua kwa infinity na moja kwa moja. . Kwa njia hiyo hiyo, mduara unaweza kuzingatiwa kama duaradufu, foci ambayo inaambatana na kituo, na miongozo iko kwa infinity. Ekcentricity e katika kesi hii ni sawa na sifuri.

Ubunifu wa dandelion.

Foci na mwelekeo wa sehemu ya conic inaweza kuonyeshwa wazi kwa kutumia nyanja zilizoandikwa kwenye koni na kuitwa nyanja za Dandelin (mipira) kwa heshima ya mwanahisabati wa Ubelgiji na mhandisi J. Dandelin (1794-1847), ambaye alipendekeza ujenzi wafuatayo. Hebu sehemu ya conic itengenezwe na makutano ya ndege fulani uk yenye koni ya duara yenye mashimo mawili iliyonyooka na kilele kwa uhakika O. Wacha tuandike nyanja mbili kwenye koni hii S 1 na S 2 zinazogusa ndege uk kwa pointi F 1 na F 2 kwa mtiririko huo. Ikiwa sehemu ya conic ni duaradufu (Mchoro 5, A), basi nyanja zote mbili ziko ndani ya cavity sawa: nyanja moja iko juu ya ndege uk, na nyingine iko chini yake. Kila jenereta ya koni inagusa nyanja zote mbili, na eneo la sehemu za mawasiliano inaonekana kama miduara miwili. C 1 na C 2 ziko katika ndege sambamba uk 1 na uk 2. Hebu P- hatua ya kiholela kwenye sehemu ya conic. Wacha tuchore mistari iliyonyooka PF 1 , PF 2 na kupanua mstari wa moja kwa moja P.O.. Mistari hii ni tangent kwa tufe katika pointi F 1 , F 2 na R 1 , R 2. Kwa kuwa tangents zote zinazotolewa kwenye nyanja kutoka kwa nukta moja ni sawa, basi PF 1 = PR 1 na PF 2 = PR 2. Kwa hivyo, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. Tangu ndege uk 1 na uk 2 sambamba, sehemu ya mstari R 1 R 2 ina urefu wa kudumu. Hivyo, thamani PR 1 + PR 2 ni sawa kwa nafasi zote za pointi P, na uhakika P ni ya eneo la kijiometri la pointi ambazo jumla ya umbali kutoka P kabla F 1 na F 2 ni thabiti. Kwa hiyo, pointi F 1 na F 2 - foci ya sehemu ya elliptical. Aidha, inaweza kuonyeshwa kwamba mistari ya moja kwa moja pamoja ambayo ndege uk hukatiza ndege uk 1 na uk 2 , ni mielekeo ya duaradufu iliyojengwa. Kama uk huingilia mashimo yote mawili ya koni (Mchoro 5, b), kisha tufe mbili za Dandelin ziko upande mmoja wa ndege uk, nyanja moja katika kila cavity ya koni. Katika kesi hii, tofauti kati ya PF 1 na PF 2 ni mara kwa mara, na locus ya pointi P ina umbo la hyperbola yenye foci F 1 na F 2 na mistari ya moja kwa moja - mistari ya makutano uk Na uk 1 na uk 2 - kama walimu wakuu. Ikiwa sehemu ya conic ni parabola, kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 5, V, basi nyanja moja tu ya Dandelin inaweza kuandikwa kwenye koni.

Mali nyingine.

Sifa za sehemu za conic hazipunguki kabisa, na yoyote kati yao inaweza kuchukuliwa kama kufafanua. Mahali muhimu katika Mkutano wa hisabati Pappa (takriban 300), Jiometri Descartes (1637) na Mwanzo Newton (1687) alihusika na tatizo la eneo la kijiometri la pointi zinazohusiana na mistari minne iliyonyooka. Ikiwa mistari minne inatolewa kwenye ndege L 1 , L 2 , L 3 na L 4 (mbili kati ya hizo zinaweza kuwa sawa) na kipindi P ni kwamba bidhaa ya umbali kutoka P kabla L 1 na L 2 ni sawia na bidhaa ya umbali kutoka P kabla L 3 na L 4, kisha locus ya pointi P ni sehemu ya koni. Kwa kuamini kimakosa kwamba Apollonius na Pappus hawakuweza kutatua tatizo la eneo la pointi kuhusiana na mistari minne iliyonyooka, Descartes aliunda jiometri ya uchanganuzi ili kupata suluhisho na kuifanya kwa ujumla.

NJIA YA UCHAMBUZI

Uainishaji wa algebra.

Katika istilahi za aljebra, sehemu za koni zinaweza kufafanuliwa kuwa mikondo ya ndege ambayo viwianishi vyake katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian vinakidhi mlingano wa shahada ya pili. Kwa maneno mengine, equation ya sehemu zote za conic inaweza kuandikwa kwa fomu ya jumla kama

ambapo sio coefficients zote A, B Na C ni sawa na sifuri. Kwa kutumia tafsiri sambamba na mzunguko wa axes, equation (1) inaweza kupunguzwa kwa fomu

shoka 2 + kwa 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Mlinganyo wa kwanza unapatikana kutoka kwa mlingano (1) na B 2 № A.C., ya pili - saa B 2 = A.C.. Sehemu za conic ambazo equations zimepunguzwa kwa fomu ya kwanza huitwa kati. Sehemu za koni zilizotolewa na milinganyo ya aina ya pili na q Nambari 0 inaitwa isiyo ya kati. Ndani ya makundi haya mawili, kuna aina tisa tofauti za sehemu za conic kulingana na ishara za coefficients.

2831) ikiwa ni tabia mbaya a, b Na c kuwa na ishara sawa, basi hakuna pointi halisi ambazo viwianishi vinaweza kutosheleza equation. Sehemu kama hiyo ya conic inaitwa duaradufu ya kufikiria (au duara la kufikiria, ikiwa a = b).

2) Kama a Na b kuwa na ishara sawa, na c- kinyume, basi sehemu ya conic ni duaradufu (Mchoro 1, A); katika a = b- mduara (Mchoro 6, b).

3) Kama a Na b kuwa na ishara tofauti, basi sehemu ya conic ni hyperbola (Mchoro 1, V).

4) Kama a Na b kuwa na ishara tofauti na c= 0, basi sehemu ya conic ina mistari miwili inayoingiliana (Mchoro 6, A).

5) Kama a Na b kuwa na ishara sawa na c= 0, basi kuna sehemu moja tu ya kweli kwenye curve ambayo inakidhi equation, na sehemu ya conic ni mistari miwili ya kufikiria inayoingiliana. Katika kesi hii, tunazungumza pia juu ya duaradufu iliyopitishwa kwa uhakika au, ikiwa a = b, mkataba kwa uhakika kwenye mduara (Mchoro 6, b).

6) Ikiwa ama a, au b ni sawa na sifuri, na coefficients iliyobaki ina ishara tofauti, basi sehemu ya conic ina mistari miwili inayofanana.

7) Ikiwa ama a, au b ni sawa na sifuri, na coefficients iliyobaki ina ishara sawa, basi hakuna hatua moja halisi ambayo inakidhi equation. Katika kesi hii, wanasema kwamba sehemu ya conic ina mistari miwili ya kufikiria inayofanana.

8) Kama c= 0, na ama a, au b pia ni sawa na sifuri, basi sehemu ya conic ina mistari miwili ya sanjari halisi. (Mlinganyo haufafanui sehemu yoyote ya koni katika a = b= 0, kwani katika kesi hii mlinganyo wa asili (1) sio wa digrii ya pili.)

9) Milinganyo ya aina ya pili inafafanua parabola ikiwa uk Na q ni tofauti na sifuri. Kama uk Nambari 0, a q= 0, tunapata curve kutoka hatua ya 8. Ikiwa uk= 0, basi equation haifafanui sehemu yoyote ya conic, kwani equation ya awali (1) sio ya shahada ya pili.

Utoaji wa equations ya sehemu za conic.

Sehemu yoyote ya conic pia inaweza kufafanuliwa kama curve ambayo ndege huingilia uso wa quadratic, i.e. na uso uliotolewa na mlingano wa shahada ya pili f (x, y, z) = 0. Inavyoonekana, sehemu za conic zilitambuliwa kwanza katika fomu hii, na majina yao ( tazama hapa chini) ni kutokana na ukweli kwamba walipatikana kwa kuingilia ndege na koni z 2 = x 2 + y 2. Hebu ABCD- msingi wa koni ya mviringo ya kulia (Mchoro 7) na pembe ya kulia kwenye kilele V. Wacha ndege FDC huingilia jenereta VB kwa uhakika F, msingi - kwa mstari wa moja kwa moja CD na uso wa koni - kando ya curve DFPC, Wapi P- hatua yoyote kwenye curve. Wacha tuchore katikati ya sehemu CD- hatua E- moja kwa moja E.F. na kipenyo AB. Kupitia hatua P chora ndege sambamba na msingi wa koni, ukiingilia koni kwenye mduara R.P.S. na moja kwa moja E.F. kwa uhakika Q. Kisha QF Na QP inaweza kuchukuliwa, ipasavyo, kama abscissa x na kuratibu y pointi P. Curve kusababisha itakuwa parabola.

Ujenzi unaoonyeshwa kwenye Mtini. 7 inaweza kutumika kupata milinganyo ya jumla kwa sehemu za koni. Mraba wa urefu wa sehemu ya perpendicular iliyorejeshwa kutoka kwa hatua yoyote ya kipenyo hadi kwenye makutano na mduara daima ni sawa na bidhaa ya urefu wa makundi ya kipenyo. Ndiyo maana

y 2 = RQ H QS.

Kwa parabola, sehemu RQ ina urefu wa mara kwa mara (tangu katika nafasi yoyote ya uhakika P ni sawa na sehemu A.E.), na urefu wa sehemu QS sawia x(kutoka kwa uwiano QS/E.B. = QF/F.E.) Inafuata hiyo

Wapi a- mgawo wa mara kwa mara. Nambari a huonyesha urefu wa kigezo cha kuzingatia cha parabola.

Ikiwa pembe kwenye vertex ya koni ni ya papo hapo, basi sehemu RQ sio sawa na sehemu A.E.; lakini uwiano y 2 = RQ H QS ni sawa na mlinganyo wa fomu

Wapi a Na b- mara kwa mara, au, baada ya kuhamisha shoka, kwa equation

ambayo ni mlinganyo wa duaradufu. Sehemu za makutano za duaradufu na mhimili x (x = a Na x = –a) na pointi za makutano ya duaradufu na mhimili y (y = b Na y = –b) fafanua shoka kuu na ndogo, mtawalia. Ikiwa pembe kwenye vertex ya koni ni butu, basi curve ya makutano ya koni na ndege ina aina ya hyperbola, na equation inachukua fomu ifuatayo:

au, baada ya kuhamisha shoka,

Katika kesi hii, pointi za makutano na mhimili x, iliyotolewa na uhusiano x 2 = a 2, kuamua mhimili transverse, na pointi ya makutano na mhimili y, iliyotolewa na uhusiano y 2 = –b 2, kuamua mhimili conjugate. Ikiwa mara kwa mara a Na b katika equation (4a) ni sawa, basi hyperbola inaitwa equilateral. Kwa kuzunguka axes, equation yake imepunguzwa kwa fomu

xy = k.

Sasa kutoka kwa milinganyo (3), (2) na (4) tunaweza kuelewa maana ya majina yaliyotolewa na Apollonius hadi sehemu kuu tatu za koni. Maneno "ellipse", "parabola" na "hyperbola" yanatokana na maneno ya Kigiriki yenye maana ya "upungufu", "sawa" na "bora". Kutoka kwa milinganyo (3), (2) na (4) ni wazi kwamba kwa duaradufu y 2 b 2 / a) x, kwa parabola y 2 = (a) x na kwa hyperbole y 2 > (2b 2 /a) x. Katika kila kisa, thamani iliyoambatanishwa kwenye mabano ni sawa na kigezo cha msingi cha curve.

Apollonius mwenyewe alizingatia aina tatu tu za jumla za sehemu za conic (aina 2, 3 na 9 zilizoorodheshwa hapo juu), lakini mbinu yake inaweza kuwa ya jumla kuzingatia curves zote za mpangilio wa pili. Ikiwa ndege ya kukata imechaguliwa sambamba na msingi wa mviringo wa koni, basi sehemu ya msalaba itasababisha mzunguko. Ikiwa ndege ya kukata ina hatua moja tu ya kawaida na koni, vertex yake, basi sehemu ya aina ya 5 itapatikana; ikiwa ina vertex na tangent kwa koni, basi tunapata sehemu ya aina ya 8 (Mchoro 6, Mtini. b); ikiwa ndege ya kukata ina jenereta mbili za koni, basi sehemu hiyo hutoa curve ya aina ya 4 (Mchoro 6, A); wakati vertex inapohamishwa kwa infinity, koni inageuka kuwa silinda, na ikiwa ndege ina jenereta mbili, basi sehemu ya aina ya 6 inapatikana.

Ikiwa unatazama mduara kutoka kwa pembe ya oblique, inaonekana kama duaradufu. Uhusiano kati ya duara na duaradufu, inayojulikana kwa Archimedes, inakuwa dhahiri ikiwa duara X 2 + Y 2 = a 2 kwa kutumia badala X = x, Y = (a/b) y badilisha kuwa duaradufu iliyotolewa na mlinganyo (3a). Uongofu X = x, Y = (ai/b) y, Wapi i 2 = -1, inaruhusu sisi kuandika equation ya duara katika fomu (4a). Hii inaonyesha kwamba hyperbola inaweza kutazamwa kama duaradufu yenye mhimili mdogo wa kuwaziwa, au, kinyume chake, duaradufu inaweza kutazamwa kama hyperbola yenye mhimili wa kuwaza wa kuunganisha.

Uhusiano kati ya waratibu wa duara x 2 + y 2 = a 2 na duaradufu ( x 2 /a 2) + (y 2 /b 2) = 1 moja kwa moja inaongoza kwa formula ya Archimedes A = p ab kwa eneo la duaradufu. Kepler alijua takriban fomula uk(a + b) kwa eneo la duaradufu karibu na duara, lakini usemi halisi ulipatikana tu katika karne ya 18. baada ya kuanzishwa kwa viungo vya mviringo. Kama Archimedes alionyesha, eneo la sehemu ya mfano ni theluthi nne ya eneo la pembetatu iliyoandikwa, lakini urefu wa safu ya parabola inaweza kuhesabiwa tu baada ya karne ya 17. Calculus tofauti ilivumbuliwa.

MBINU YA MRADI

Jiometri ya mradi inahusiana kwa karibu na ujenzi wa mtazamo. Ikiwa unatoa mduara kwenye karatasi ya uwazi na kuiweka chini ya chanzo cha mwanga, basi mduara huu utaonyeshwa kwenye ndege hapa chini. Zaidi ya hayo, ikiwa chanzo cha mwanga iko moja kwa moja juu ya katikati ya mduara, na ndege na karatasi ya uwazi ni sawa, basi makadirio pia yatakuwa mduara (Mchoro 8). Msimamo wa chanzo cha mwanga huitwa hatua ya kutoweka. Inaonyeshwa na barua V. Kama V haipo juu ya katikati ya duara au ikiwa ndege hailingani na karatasi, basi makadirio ya mduara huchukua sura ya duaradufu. Kwa mwelekeo mkubwa zaidi wa ndege, mhimili mkubwa wa duaradufu (makadirio ya duara) huongezeka, na duaradufu hatua kwa hatua hubadilika kuwa parabola; kwenye ndege sambamba na mstari wa moja kwa moja V.P., makadirio yana aina ya parabola; kwa mwelekeo mkubwa zaidi, makadirio huchukua fomu ya moja ya matawi ya hyperbola.

Kila nukta kwenye mduara wa asili inalingana na hatua fulani kwenye makadirio. Ikiwa makadirio yana fomu ya parabola au hyperbola, basi wanasema kwamba hatua inayolingana na uhakika P, iko katika ukomo au mbali sana.

Kama tulivyoona, kwa uchaguzi unaofaa wa pointi za kutoweka, mduara unaweza kukadiriwa kuwa duaradufu ya saizi tofauti na kwa usawa tofauti, na urefu wa shoka kuu hauhusiani moja kwa moja na kipenyo cha duara iliyokadiriwa. Kwa hivyo, jiometri ya mradi haishughulikii umbali au urefu kwa kila sekunde; kazi yake ni kusoma uwiano wa urefu ambao huhifadhiwa wakati wa makadirio. Uhusiano huu unaweza kupatikana kwa kutumia ujenzi ufuatao. Kupitia hatua yoyote P ndege, chora tangents mbili kwenye mduara wowote na uunganishe pointi za tangent na mstari wa moja kwa moja uk. Acha mstari mwingine upite kwenye hatua P, huvuka mduara kwa pointi C 1 na C 2 na moja kwa moja uk- kwa uhakika Q(Mchoro 9). Katika planimetry imethibitishwa kuwa Kompyuta 1 /Kompyuta 2 = –QC 1 /QC 2. (Ishara ya minus inatokana na ukweli kwamba mwelekeo wa sehemu QC 1 ni kinyume na maelekezo ya sehemu nyingine.) Kwa maneno mengine, pointi P Na Q kugawanya sehemu C 1 C 2 nje na ndani kwa heshima sawa; pia wanasema kwamba uwiano wa harmonic wa makundi manne ni sawa na - 1. Ikiwa mduara unapangwa katika sehemu ya conic na nukuu sawa huhifadhiwa kwa pointi zinazofanana, basi uwiano wa harmonic ( Kompyuta 1)(QC 2)/(Kompyuta 2)(QC 1) itabaki sawa na - 1. Point P inayoitwa nguzo ya mstari uk kuhusiana na sehemu ya conic, na mstari wa moja kwa moja uk- hatua ya polar P kuhusiana na sehemu ya conic.

Wakati uhakika P inakaribia sehemu ya conic, polar huwa na kuchukua nafasi ya tangent; kama uhakika P iko kwenye sehemu ya koni, kisha polar yake inalingana na tangent hadi sehemu ya koni kwenye hatua. P. Ikiwa uhakika P iko ndani ya sehemu ya conic, basi polar yake inaweza kujengwa kama ifuatavyo. Hebu kuchora kwa uhakika P mstari wowote wa moja kwa moja unaoingilia sehemu ya conic kwa pointi mbili; chora tangents kwa sehemu ya conic kwenye sehemu za makutano; tuseme kwamba tanjiti hizi zinaingiliana kwa uhakika P 1 . Hebu kuchora kwa uhakika P mstari mwingine wa moja kwa moja unaoingilia sehemu ya conic katika pointi nyingine mbili; wacha tuchukue kwamba tangenti za sehemu ya koni kwenye nukta hizi mpya huingiliana kwa uhakika P 2 (Mchoro 10). Mstari unaopitia pointi P 1 na P 2 , na kuna polar inayotaka uk. Ikiwa uhakika P inakaribia katikati O sehemu ya kati ya conic, kisha polar uk kusonga mbali na O. Wakati uhakika P sanjari na O, kisha polar yake inakuwa mbali sana, au bora, moja kwa moja kwenye ndege.

MAJENGO MAALUM

Ya kuvutia hasa kwa wanaastronomia ni ujenzi ufuatao rahisi wa pointi duaradufu kwa kutumia dira na rula. Ruhusu mstari wa moja kwa moja wa kiholela kupita kwa uhakika O(Mchoro 11, A), hukatiza kwa pointi Q Na R miduara miwili iliyokolea iliyozingatia hatua moja O na radii b Na a, Wapi b a. Hebu kuchora kwa uhakika Q mstari mlalo, na kupitia R- mstari wa wima, na kuashiria sehemu yao ya makutano P P wakati wa kuzunguka mstari wa moja kwa moja OQR karibu na uhakika O kutakuwa na duaradufu. Kona f kati ya mstari wa moja kwa moja OQR na mhimili mkuu unaitwa pembe ya eccentric, na duaradufu iliyojengwa inabainishwa kwa urahisi na milinganyo ya parametric. x = a cos f, y = b dhambi f. Ukiondoa kigezo f, tunapata equation (3a).

Kwa hyperbola, ujenzi unafanana kwa kiasi kikubwa. Mstari wa moja kwa moja wa kiholela unaopita kwenye uhakika O, hukata moja ya miduara miwili kwa uhakika R(Mchoro 11, b) Kwa uhakika R duara moja na hadi mwisho S kipenyo cha mlalo cha mduara mwingine, chora tanjiti zinazopishana Mfumo wa Uendeshaji kwa uhakika T Na AU- kwa uhakika Q. Ruhusu mstari wima upite kwenye nukta T, na mstari wa mlalo unaopita kwenye uhakika Q, vuka kwa uhakika P. Kisha locus ya pointi P wakati wa kuzungusha sehemu AU karibu O itakuwa hyperbola iliyotolewa na hesabu za parametric x = a sekunde f, y = b tg f, Wapi f- pembe ya eccentric. Milinganyo hii ilipatikana na mwanahisabati Mfaransa A. Legendre (1752–1833). Kwa kuwatenga parameter f, tunapata equation (4a).

Mviringo wa duaradufu, kama N. Copernicus (1473–1543) alivyobainisha, unaweza kutengenezwa kwa kutumia mwendo wa epicyclic. Ikiwa duara huzunguka bila kuteleza ndani ya mduara mwingine wa kipenyo mara mbili, basi kila nukta P, ambayo haina uongo kwenye duara ndogo, lakini haina mwendo kuhusiana nayo, itaelezea duaradufu. Ikiwa uhakika P iko kwenye mduara mdogo, basi trajectory ya hatua hii ni kesi iliyoharibika ya duaradufu - kipenyo cha mduara mkubwa. Ujenzi rahisi zaidi wa duaradufu ulipendekezwa na Proclus katika karne ya 5. Ikiwa mwisho A Na B sehemu ya mstari AB ya slaidi ya urefu uliopeanwa pamoja na mistari miwili ya moja kwa moja inayopita (kwa mfano, kando ya shoka za kuratibu), kisha kila nukta ya ndani. P sehemu itaelezea duaradufu; mwanahisabati wa Uholanzi F. van Schooten (1615-1660) alionyesha kwamba hatua yoyote katika ndege ya mistari inayoingiliana, iliyowekwa sawa na sehemu ya kuteleza, pia itaelezea duaradufu.

B. Pascal (1623-1662) akiwa na umri wa miaka 16 alitengeneza nadharia maarufu ya Pascal sasa, ambayo inasema: sehemu tatu za makutano za pande tofauti za hexagon zilizoandikwa katika sehemu yoyote ya conic ziko kwenye mstari sawa sawa. Pascal alipata zaidi ya nakala 400 kutoka kwa nadharia hii.

Kudinov Vladislav

Aina tofauti za sehemu za conic na matumizi yao katika mazoezi

Pakua:

Hakiki:

KAMATI YA ELIMU NA SAYANSI

MKOA WA VOLGOGRAD

GBPOU "Chuo cha Volgograd cha Uhandisi wa Mafuta na Gesi kilichoitwa baada. N. Serdyukova"

MRADI WA MTU

kwa nidhamu ya kitaaluma

Hisabati: algebra na kanuni za uchambuzi; jiometri

Mada: "Sehemu za Conic na matumizi yao katika teknolojia"

Inafanywa na mwanafunzi

Kikundi nambari 30

Kudinov Vladislav

Meneja wa mradi

mwalimu

Chenskaya Karina Romanovna

2017

1. Utangulizi ………………………………………………………………………………

2. Dhana ya sehemu za koni…………………………………………………………5

3. Aina ya sehemu za koni ……………………………………………………………………

4. Utafiti……………………………………………………………..7.

5. Sifa za sehemu za koni…. ……………………………………….8

6. Ujenzi wa sehemu za koni ……………………………………………………….9

7. Mbinu ya uchanganuzi ……………………………………………………………11

8. Maombi…………………………………………………………………………….13.

9. Katika koni ………………………………………………………..14

10. Hitimisho……………………………………………………………..15

11. Orodha ya marejeleo………………………………………..15

UTANGULIZI

Sehemu za conic zilipendekezwa kwanza kutumiwa na geometer ya kale ya Kigiriki Menaechmus, ambaye aliishi katika karne ya 4 KK, wakati wa kutatua tatizo la mchemraba mara mbili.

Umuhimu

Mtini.1

Lengo la kazi:

Chunguza aina tofauti za sehemu za koni na sifa zao.

Kazi:

1. Jifunze maelezo ya kinadharia kwa kutumia rasilimali za mtandao kwenye mada hii.

2. Jijulishe na matumizi ya sehemu za conic katika teknolojia.

Vitu vya masomo:sehemu za conic.

Mada ya masomo:matumizi ya sehemu za conic katika teknolojia.

DHANA YA SEHEMU ZA CONIC

Mtini.2

1) ikiwa ndege inaingilia uso wa conical pamoja na jenereta zote, basi cavity moja tu hutenganishwa na curve iliyofungwa inayoitwa ellipse inapatikana katika sehemu hiyo;

2) ikiwa ndege ya kukata inaingiliana na cavities zote mbili, basi curve hupatikana ambayo ina matawi mawili na inaitwa hyperbola;

3) ikiwa ndege ya kukata ni sawa na moja ya jenereta, basi parabola hupatikana.

Ikiwa ndege inayopita kwenye vertex inaingiliana na ndege zote mbili, basi sehemu hiyo hutoa jozi ya mistari inayoingiliana, inayozingatiwa kama kesi maalum ya hyperbola.

Ax 2 + Bhu + C +Dx + Ey + F = 0 na zinaitwa curves za utaratibu wa 2.

AINA ZA SEHEMU ZA CONIC.

Sehemu za conic zinaweza kuwa za aina tatu:

2) Ndege ya kukata ni sawa na moja ya ndege ya tangent ya koni; katika sehemu ya msalaba, matokeo yake ni Curve wazi ambayo huenda kwa infinity - parabola, amelazwa kabisa juu ya cavity moja.

(Mchoro 1) parabola (Mchoro 2) duaradufu (Mchoro 3) hyperbola

JIFUNZE

Katika hali ambapo sehemu ya conic ina kituo cha ulinganifu (katikati), i.e. ni duaradufu au hyperbola, equation yake inaweza kupunguzwa (kwa kuhamisha asili ya kuratibu katikati) hadi fomu:

a 11 x 2 +2 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Uchunguzi zaidi wa sehemu kama hizi (zinazoitwa za kati) zinaonyesha kuwa milinganyo yao inaweza kupunguzwa kwa fomu rahisi zaidi:

Shoka 2 + Wu 2 = C,

y 2 = 2px.

MALI ZA SEHEMU ZA CONIC

Ufafanuzi wa Pappus. Kuanzisha lengo la parabola kulimpa Pappus wazo la kutoa ufafanuzi mbadala wa sehemu za conic kwa ujumla. Hebu F iwe hatua fulani (lengo), na L iwe mstari wa moja kwa moja uliopewa (directrix) usiopitia F, na DF na DL umbali kutoka kwa hatua ya kusonga P hadi kuzingatia F na directrix L, kwa mtiririko huo. Kisha, kama Papp alivyoonyesha, sehemu za koni hufafanuliwa kama eneo la pointi P ambapo uwiano wa DF:DL ni wa kudumu usio hasi. Uwiano huu unaitwa eccentricity e ya sehemu ya conic. Wakati e 1 - hyperbola; wakati e = 1 - parabola. Ikiwa F iko kwenye L, basi loci ina aina ya mistari (halisi au ya kufikiria), ambayo ni sehemu za koni zilizoharibika. Ulinganifu wa kuvutia wa duaradufu na hyperbola unaonyesha kwamba kila moja ya mikondo hii ina mikondo miwili na foci mbili, na hali hii ilimfanya Kepler mnamo 1604 kuwa na wazo kwamba parabola pia ina mwelekeo wa pili na mwelekeo wa pili - hatua kwa infinity na moja kwa moja. . Kwa njia hiyo hiyo, mduara unaweza kuzingatiwa kama duaradufu, foci ambayo inaambatana na kituo, na miongozo iko kwa infinity. Eccentricity e katika kesi hii ni sifuri.

Mali. Sifa za sehemu za conic hazipunguki kabisa, na yoyote kati yao inaweza kuchukuliwa kama kufafanua. Mahali muhimu katika Mkusanyiko wa Hisabati wa Pappus, Jiometri ya Descartes (1637) na Principia ya Newton (1687) inachukuliwa na tatizo la eneo la kijiometri la pointi zinazohusiana na mistari minne ya moja kwa moja. Ikiwa mistari minne L inatolewa kwenye ndege 1, L 2, L 3 na L4 (mbili kati ya hizo zinaweza sanjari) na uhakika P ni kwamba bidhaa ya umbali kutoka P hadi L. 1 na L2 sawia na bidhaa ya umbali kutoka P hadi L 3 na L4 , basi eneo la pointi P ni sehemu ya conic.

UJENZI WA SEHEMU ZA CONIC

Ufafanuzi huu wa sehemu za koni kama mikondo ya ndege pia zinapendekeza njia ya kuziunda kwa kutumia kamba iliyonyoshwa.

Ellipse. Ikiwa ncha za uzi wa urefu fulani zimewekwa kwa alama F 1 na F2 (Mchoro 3), kisha curve iliyoelezewa na hatua ya penseli inayoteleza kwenye uzi uliowekwa vizuri ina sura ya duaradufu. F pointi 1 na F2 huitwa foci ya duaradufu, na sehemu V 1 V 2 na v 1 v 2 kati ya pointi za makutano ya duaradufu na shoka za kuratibu - shoka kuu na ndogo. Ikiwa pointi F 1 na F2 sanjari, basi duaradufu hugeuka kuwa mduara (Mchoro 3).

Mtini.3

Hyperbola. Wakati wa kuunda hyperbola, hatua P, ncha ya penseli, imewekwa kwenye uzi ambao huteleza kwa uhuru kwenye vigingi vilivyowekwa kwenye sehemu F. 1 na F2 , kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 4, a, umbali huchaguliwa ili sehemu ya PF 2 muda mrefu kuliko sehemu ya PF 1 kwa thamani isiyobadilika chini ya umbali F 1 F 2 . Katika kesi hii, mwisho mmoja wa nyuzi hupita chini ya pini F 1 , na ncha zote mbili za uzi hupita juu ya pini F 2 . (Sehemu ya penseli haipaswi kuteleza kwenye uzi, kwa hivyo lazima ihifadhiwe kwa kutengeneza kitanzi kidogo kwenye uzi na kunyoosha sehemu hiyo kupitia hiyo.) Tawi moja la hyperbola (PV). 1 Q) tunachora, kuhakikisha kuwa uzi unabaki kuwa laini wakati wote, na kwa kuvuta ncha zote mbili za uzi chini ya hatua ya zamani F. 2 , na wakati pointi P iko chini ya sehemu F 1 F 2 , kushikilia thread katika ncha zote mbili na kuifungua kwa uangalifu. Tunachora tawi la pili la hyperbola kwa kubadilisha kwanza pini F 1 na F 2 (Mchoro 4).

Mtini.4

Matawi ya hyperbola hukaribia mistari miwili iliyonyooka ambayo huingilia kati ya matawi. Mistari hii inaitwa asymptotes ya hyperbola. Coefficients ya angular ya mistari hii ni sawa na ambapo ni sehemu ya sehemu mbili ya pembe kati ya asymptotes, perpendicular kwa sehemu F. 2 F 1; Sehemu ya 1 v 2 inaitwa mhimili wa kuunganisha wa hyperbola, na sehemu ya V 1 V 2 - mhimili wake wa kuvuka. Kwa hivyo, asymptotes ni diagonal ya mstatili na pande zinazopita kupitia pointi nne v. 1, v2, V1, V2 sambamba na shoka. Ili kuunda mstatili huu, unahitaji kutaja eneo la alama v 1 na 2 . Ziko kwa umbali sawa, sawa na hatua ya makutano ya shoka O. Fomula hii inachukua ujenzi wa pembetatu ya kulia na miguu Ov. 1 na V 2 O na hypotenuse F 2 O.

Mtini.5

NJIA YA UCHAMBUZI

shoka 2 + kwa 2 + c = 0

px 2 + q y = 0.

2) Ikiwa a na b wana ishara sawa, na c ina ishara kinyume, basi sehemu ya conic ni duaradufu; wakati a = b - duara.

3) Ikiwa a na b wana ishara tofauti, basi sehemu ya conic ni hyperbola.

4) Ikiwa a na b wana ishara tofauti na c = 0, basi sehemu ya conic ina mistari miwili ya kuingiliana.

6) Ikiwa a au b ni sawa na sifuri, na coefficients nyingine zina ishara tofauti, basi sehemu ya conic ina mistari miwili inayofanana.

MAOMBI

AROSS KONI

Mwanahisabati hutatua tatizo sawa kinadharia kwa kulinganisha pembe mbili: α - kati ya mhimili wa koni na jenereta na β - kati ya ndege ya kukata na mhimili wa koni. Na hapa ndio matokeo: kwa α β ni tawi la hyperbola. Ikiwa tutazingatia jenereta kuwa mistari iliyonyooka na sio sehemu, ambayo ni, kuzingatia takwimu isiyo na kikomo ya koni mbili zilizo na vertex ya kawaida, itakuwa wazi kuwa duaradufu ni curve iliyofungwa, parabola ina tawi moja lisilo na mwisho, na hyperbola inajumuisha mbili.

HITIMISHO

Wakati wa kuandika kazi kwenye sehemu za kisayansi za Mtandao, nilifahamiana na aina mbalimbali za sehemu za conic, kujifunza kuzitambua, na kupata mifano yao katika vitu vinavyotuzunguka. Baada ya kuchambua matukio ya asili na ya kiufundi, nilifikia hitimisho kwamba sehemu za conic ni msingi wa kuunda vyombo mbalimbali vya kiufundi na mifano, na pia hutumiwa sana katika astronomy.

ORODHA YA MAREJEO ILIYOTUMIKA Slaidi 2

Utangulizi: Kusudi la kazi: Kusoma aina tofauti za sehemu za conic na mali zao. Malengo: 1. Soma maelezo ya kinadharia kwa kutumia rasilimali za mtandao kuhusu mada hii. 2. Jijulishe na matumizi ya sehemu za conic katika teknolojia. Vitu vya masomo: sehemu za conic. Somo la utafiti: matumizi ya sehemu za conic katika teknolojia.

Umuhimu Sehemu za Koniko hutokea katika asili na huelezea kwa michoro michakato mingi ya kimwili (sheria ya Ohm na sheria ya Boyle-Mariotte), bila kutaja matumizi yao katika mechanics na optics. Katika mazoezi, mara nyingi katika uhandisi na ujenzi, mtu anapaswa kukabiliana na ellipse na parabola.

Aina ya sehemu za conic: 1) ikiwa ndege ya kukata ni sawa na moja ya jenereta, basi parabola hupatikana; 2) ikiwa ndege inaingilia uso wa conical pamoja na jenereta zote, basi cavity moja tu hutenganishwa na curve iliyofungwa inayoitwa ellipse inapatikana katika sehemu hiyo; 3) Ikiwa ndege ya kukata inaingiliana na cavities zote mbili, basi curve inapatikana ambayo ina matawi mawili na inaitwa hyperbola;

Njia za kuunda sehemu za conic

maombi

Hitimisho Wakati wa kuandika kazi yangu kwenye sehemu za kisayansi za Mtandao, nilifahamiana na aina mbalimbali za sehemu za conic, kujifunza kuzitambua, na kupata prototypes zao katika vitu vinavyotuzunguka. Kufanya uchambuzi wa matukio ya asili na ya kiufundi, nilifikia hitimisho kwamba sehemu za conic ni msingi wa kuunda vyombo mbalimbali vya kiufundi na mifano, na pia inatumika sana katika astronomy.

Orodha ya fasihi iliyotumika 1 . Vereshchagin N.K., A. Shen. Mihadhara juu ya mantiki ya hisabati na nadharia ya algorithms. 1999 2. Prasolov V.V., jiometri ya Lobachevsky 2004 3. http://www.0zd.ru/matematika/konicheskie_secheniya.html 4. Komatsu M. Aina mbalimbali za jiometri. - M.; Maarifa, 1981 5. Kordemsky B.A. Maisha Bora katika Hisabati. - M; Mwangaza, 1995. ru.wikipedia.org/wiki/ Jiometri 6. http: //www.coolreferat.com/ History_Geometry 7. http//www.shevkin.ru/? action= Ukurasa&ID =232

Asante kwa umakini wako!