Mfumo wa kuratibu wa polar (kuratibu za polar)

Mfumo wa kuratibu wa polar kwenye ndege ni mchanganyiko wa hatua O, inayoitwa pole, na OX ya mstari wa nusu, inayoitwa mhimili wa polar. Kwa kuongeza, imeelezwa sehemu ya mizani kwa kupima umbali kutoka pointi za ndege hadi nguzo. Kama sheria, vekta \ vec (i) huchaguliwa kwenye mhimili wa polar, inayotumiwa kwa uhakika O, urefu ambao unachukuliwa kama thamani ya sehemu ya kiwango, na mwelekeo wa vector unabainisha mwelekeo mzuri kwenye polar. mhimili (Mchoro 2.28a).

Nafasi ya pointi M katika mfumo wa polar kuratibu imedhamiriwa na umbali r ( radius ya polar) kutoka kwa uhakika M hadi nguzo (yaani. r=\vert\overrightarrow(OM)\vert) na pembe \varphi (pembe ya polar) kati ya mhimili wa polar na vekta \mshale wa kulia (OM). Radi ya polar na pembe ya polar ni kuratibu za polar pointi M, ambayo imeandikwa kama M(r,\varphi) . Pembe ya polar hupimwa kwa radiani na kupimwa kutoka kwa mhimili wa polar:

Katika mwelekeo mzuri (counterclockwise), ikiwa thamani ya angle ni chanya;

Katika mwelekeo mbaya (mwelekeo wa saa) ikiwa thamani ya pembe ni hasi.

Radi ya polar imefafanuliwa kwa sehemu yoyote kwenye ndege na inachukua maadili yasiyo hasi r\geqslant0 . Pembe ya polar \varphi imefafanuliwa kwa sehemu yoyote kwenye ndege, isipokuwa pole O, na inachukua maadili. -\pi<\varphi\leqslant\pi , kuitwa maadili kuu ya pembe ya polar. Katika baadhi ya matukio, ni vyema kudhani kuwa pembe ya polar inaelezwa hadi masharti 2\pi n , ambapo n\in\mathbb(Z) . Katika hali hii, thamani \\varphi+2\pi n ya pembe ya polar kwa zote n\in\mathbb(Z) inalingana na mwelekeo sawa wa vekta ya radius.

Mfumo wa kuratibu wa polar Or\varphi unaweza kuhusishwa na mfumo wa kuratibu wa mstatili O\vec(i)\vec(j), asili O ambayo inaambatana na nguzo, na mhimili wa abscissa (kwa usahihi zaidi, nusu-abscissa chanya. mhimili) sanjari na mhimili wa polar. Mhimili wa kuratibu umekamilika kwa perpendicular kwa mhimili wa abscissa ili mfumo wa kuratibu wa mstatili wa kulia unapatikana (Mchoro 2.28, b). Urefu wa vekta za msingi hutambuliwa na sehemu ya kiwango kwenye mhimili wa polar.

Kinyume chake, ikiwa mfumo wa kuratibu wa mstatili wa mkono wa kulia umetolewa kwenye ndege, basi, kwa kuchukua mhimili mzuri wa nusu ya abscissa kama mhimili wa polar, tunapata mfumo wa kuratibu wa polar (unaohusishwa na mstatili uliopewa).

Hebu tupate fomula zinazounganisha kuratibu za mstatili x,y ya uhakika M, tofauti na uhakika O, na kuratibu zake za polar r,\varphi. Kulingana na Mchoro 2.28,b tunapata

\anza(kesi)x=r\cdot\cos\varphi,\\y=r\cdot\sin\varphi.\mwisho(kesi)

Fomula hizi hukuruhusu kupata kuratibu za mstatili kutoka kwa kuratibu za polar zinazojulikana. Mpito wa kurudi nyuma unafanywa kulingana na fomula:

\kushoto\(\anza(iliyolingana)r&= \sqrt(x^2+y^2),\\ \cos\varphi&= \frac(x)(r)=\frac(x)(\sqrt(x^) 2+y^2)),\\ \sin\varphi&= \frac(y)(r)=\frac(y)(\sqrt(x^2+y^2)).\mwisho(zilizopangiliwa)\kulia .

Sawa mbili za mwisho huamua pembe ya polar hadi masharti 2\pi n , ambapo n\in\mathbb(Z) . Kwa x\ne0 inafuata kutoka kwao kwamba \jina la opereta(tg)\frac(y)(x)\varphi~(-\pi<\varphi\leqslant\pi) hupatikana kulingana na fomula (Mchoro 2.29):

\varphi=\kushoto\(\anza(iliyopangiliwa)\jina la opereta(arctg)\frac(y)(x),\quad&x>0,\\\pi+\jina la opereta(arctg)\frac(y)(x),\ nne&x<0,\,y\geqslant0,\\-\pi+\operatorname{arctg}\frac{y}{x},\quad&x<0,\,y<0,\\\frac{\pi}{2},\quad&x=0,\,y>0,\\-\frac(\pi)(2),\quad&x=0,\,y<0.\end{aligned}\right.

Mfano 2.9. Katika mfumo wa kuratibu wa polar Or\varphi :

a) chora mistari ya kuratibu r=1,~r=2,~r=3,~\varphi=\frac(\pi)(4),~\varphi=\frac(\pi)(2);

b) onyesha alama M_1,~M_2 zilizo na viwianishi vya polar r_1=3,~\varphi_1=\frac(9\pi)(4),~r_2=3,~\varphi=-\frac(7\pi)(4). Pata maadili kuu ya pembe za polar za vidokezo hivi;

c) pata kuratibu za mstatili za pointi M_1, ~ M_2.

Suluhisho. a) Mistari ya kuratibu r=1,~r=2,~r=3 inawakilisha miduara ya radii inayolingana, na mistari. \varphi=\frac(\pi)(4), \varphi=\frac(\pi)(2) Na \varphi=\frac(3\pi)(4)- nusu moja kwa moja (Mchoro 2.30, a).

b) Hebu tupange pointi M_1\!\kushoto(3,\frac(9\pi)(4)\kulia) Na M_2\!\kushoto(3,-\frac(7\pi)(4)\kulia)(Mchoro 2.30, b, c). Kuratibu zao hutofautiana katika pembe ya polar, hata hivyo, zina maana sawa kuu \varphi=\frac(\pi)(4). Kwa hiyo, hii ni hatua sawa, ambayo inafanana na uhakika M\!\kushoto(3,\frac(\pi)(4)\kulia), iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 2.30, a.

c) Kwa kuzingatia nukta "b", wacha tupate kuratibu za mstatili za nukta M. Kwa kutumia fomula (2.17) tunapata:

x=r\cdot\cos\varphi=3\cdot\cos\frac(\pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2);~y=r\cdot\sin\frac( \pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2), hiyo ni M\!\kushoto(\frac(3\sqrt(2))(2),\frac(3\sqrt(2))(2)\kulia).

Vidokezo 2.8

1. Thamani kuu ya pembe ya polar inaweza kuchaguliwa tofauti, kwa mfano, 0\leqslant\varphi<2\pi .

2. Umbali kati ya pointi mbili M_1(r_1,\varphi_1) Na M_2(r_2,\varphi_2)(urefu wa sehemu M_1M_2) huhesabiwa kwa fomula

M_1M_2=\sqrt(r_1^2+r_2^2-2\cdot r_1\cdot r_2\cdot\cos(\varphi_2-\varphi_1)),

ambayo ifuatavyo kutoka kwa theorem ya cosine (Mchoro 2.31).

3. Eneo lililoelekezwa S_(\ast)^(\land) ya parallelogram (Mchoro 2.31), iliyojengwa kwenye vectors ya radius na, hupatikana kwa formula.

S_(\st\overrightarrow(OM_1),\overrightarrow(OM_2))^(\land)=\overrightarrow(OM_1)\land\overrightarrow(OM_2)=r_1\cdot r_2\cdot\sin(\varphi_2-\varphi_1) .

Ni chanya ikiwa \varphi_1<\varphi_2 (katika kesi hii, mwelekeo wa jozi ya vekta za radius \msuli wa kulia (OM_1) Na \msuli wa kulia (OM_2) kulia), na hasi ikiwa \varphi_1>\varphi_2(mwelekeo wa jozi ya vekta za radius \msuli wa kulia (OM_1) Na \msuli wa kulia (OM_2) kushoto).

Mfano 2.10. Kuratibu za polar hutolewa \varphi_A=\frac(\pi)(3),~r_A=4 Na \varphi_B=\frac(2\pi)(3),~r_B=2 pointi A na B (Mchoro 2.32). Haja ya kupata:

a) bidhaa ya scalar \bigl\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\bigl\rangle;

b) urefu wa sehemu ya AB;

c) bidhaa za nje \mshale wa kulia (OA)\land\overrightarrow(OB);

d) eneo S_(OAB) la pembetatu OAB;

e) kuratibu za kituo C cha sehemu ya AB katika mfumo wa kuratibu wa mstatili unaohusishwa na polar iliyotolewa.

Suluhisho. a) Kwa ufafanuzi wa bidhaa ya scalar tunayopata

\left\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\right\rangle=\left|\overrightarrow(OA)\right|(\cdot)\left|\overrightarrow(OB)\right|\!\cdot \cos\psi=r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A)=4\cdot2\cdot\cos\frac(\pi)(3)=4.

b) Tafuta urefu wa sehemu (tazama aya ya 2 ya maoni 2.8):

AB=\sqrt(r_A^2+r_B^2-2\cdot r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A))=\sqrt(4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\ cdot\frac(1)(2))=2\sqrt(3).

c) Tunapata bidhaa ya nje kama eneo lililoelekezwa la parallelogram iliyojengwa kwenye vekta na:

\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)=r_A\cdot r_B\cdot\sin(\varphi_B-\varphi_A)=2\cdot4\cdot\sin\frac(\pi)(3)=4\sqrt( 3).

Eneo hilo ni chanya, tangu vectors \mshale wa kulia (OA) Na \mshale wa kulia (OB) kuunda jozi sahihi (\varphi_A<\varphi_B) .

d) Eneo la pembetatu OAB linapatikana kama nusu ya eneo la parallelogram iliyojengwa kwa kutumia vekta za radius. \mshale wa kulia (OA) Na \mshale wa kulia (OB).

Kwa sababu S_(\st\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB))=\left|\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)\right|=4\sqrt(3)(tazama aya "c"), basi S_(OAB)=\frac(1)(2)\cdot4\sqrt(3)=2\sqrt(3).

e) Kutumia fomula (2.17) tunapata kuratibu za mstatili za alama A na B:

\anza(iliyokusanywa)x_A=r_A\cdot\cos\varphi_A=4\cdot\frac(1)(2)=2,\quad y_A=r_A\cdot\sin\varphi_A=4\cdot\frac(\sqrt( 3))(2)=2\sqrt(3);\\ x_B=r_B\cdot\cos\varphi_B=2\cdot\frac(-1)(2)=-1,\quad y_B=r_B\cdot\ sin\varphi_B=2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)=\sqrt(3).\mwisho(imekusanyika)

na kisha viwianishi vya C ya kati ya sehemu ya AB (tazama aya ya 3 ya maoni 2.1):

x_C=\frac(x_A+x_b)(2)=\frac(2+(-1))(2)=\frac(1)(2);\quad y_C=\frac(y_A+y_B)(2) =\frac(2\sqrt(3)+\sqrt(3))(2)=\frac(3\sqrt(3))(2).

Mfano 2.11. Pointi A(4,-3) imewekwa alama kwenye ndege ya kuratibu ya Oxy. Tafuta:

a) kuratibu za polar za uhakika A", picha ya uhakika A wakati wa kuzungusha vekta ya radius \mshale wa kulia (OA) kwa pembe \ frac (\ pi) (3) karibu na asili (Mchoro 2.33);

b) viwianishi vya polar vya nukta A_1, taswira ya uhakika A wakati ndege imegeuzwa kulingana na mduara wa radius ya kitengo na kituo kwenye asili (angalia mfano b wa mabadiliko ya ndege katika Sehemu ya 2.2.4).

Suluhisho. a) Tafuta viwianishi vya polar vya nukta A. Kulingana na fomula (2.17), kwa kuzingatia Mchoro 2.29, tunapata:

r_A=\sqrt(x_A^2+y_A^2)=\sqrt(4^2+(-3)^2)=5;\quad\varphi_A=\jina la opereta(arctg)\frac(y_A)(x_A)= \jina la opereta(arctg)\frac(-3)(4)=-\jina la opereta(arctg)\frac(3)(4),

kwani nukta A iko katika robo \maandishi(IV).

Wakati wa kuzunguka vector ya radius \mshale wa kulia (OA) karibu na pole kwa pembe \frac(\pi)(3), radius ya polar haibadilika, lakini pembe ya polar huongezeka. Kwa hivyo, kuratibu za polar za nukta A": r_(A")=r_(A)=5, \varphi_(A")=\varphi_(A)+\frac(\pi)(3)=\frac(\pi)(3)-\jina la opereta(arctg)\frac(3)(4), na \varphi_(A") ndio thamani kuu ya pembe ya polar (-\pi<\varphi_{A"}\leqslant\pi) .

b) Wakati wa kugeuza kwa heshima na mduara wa radius R, kuratibu za polar r", \ varphi" za picha zinaonyeshwa kupitia viwianishi vya polar r, \ varphi ya picha ya kinyume na fomula zifuatazo:

r"=\frac(R^2)(r),\quad\varphi"=\varphi.

Kwa hivyo, kwa kuzingatia nukta "a", tunapata (kwa R=1):

r_(A_1)=\frac(1)(r_A)=\frac(1)(5),\quad\varphi_(A_1)=\varphi_(A)=-\operatorname(arctg)\frac(3)(4 )

Ukurasa wa 1

Viwianishi vya y vya nukta yoyote katika roboduara ya kwanza ni chanya.

Pointi katika roboduara ya tatu na ya nne zina viwianishi hasi vya Y, na katika roboduara ya tatu viwianishi vya X vya alama ni hasi.

Ubao wa kuratibu unaonyesha viwianishi halisi vya X- na Y vya eneo la sasa la mshale wa ArchiCAD katika mfumo wa kuratibu unaotumika.

Katika roboduara ya pili, X-kuratibu za pointi ni chanya, na Y-kuratibu ni hasi.

Ugumu ni kwamba eneo la malkia limedhamiriwa tu na kuratibu zao za Y, na kuratibu za X hazipo wazi katika uwakilishi wa nafasi.

Wakati wa kutafuta suluhisho, programu iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 4.7, hujaribu maadili mbalimbali ya viwianishi vya Y vya malkia. Ambapo katika mpango ni utaratibu wa enumeration ya chaguzi mbadala maalum?

Kwa kuwa ni kawaida kuandika uratibu wa X wa nukta kwanza, na kisha uratibu wa Y, usemi - r - / Q - P bado haujaamua thamani inayohitajika. Matokeo yake ni sawa na mgawo wa kugawanya tofauti katika kuratibu kando ya mhimili wa X kwa tofauti katika maadili ya kuratibu kando ya mhimili wa Y, ambayo, kulingana na ufafanuzi, inatoa thamani ya kinyume ya mteremko wa mstari.

COORDINATE THAMANI) na kuiweka kwenye jedwali la ujumbe wa towe na orodha ya data ya pato. Baadaye, amri hii, iliyo na viwianishi vya X na Y vya nafasi iliyochaguliwa ya skrini, itatumwa kwa kompyuta kuu.

Nafasi ya mfumo mpya XOt Y kuhusiana na mfumo wa zamani xOy itabainishwa ikiwa kuratibu a na b za asili mpya O zinajulikana kulingana na mfumo wa zamani na pembe a kati ya shoka Ox na OtX. Wacha tuonyeshe kwa x na y kuratibu za hatua ya kiholela M inayohusiana na mfumo wa zamani, na kwa X na Y kuratibu za hatua sawa na mfumo mpya. Jukumu letu ni kueleza viwianishi vya zamani x na y kupitia zile mpya X na Y. Fomula za mabadiliko zinazotokana lazima zijumuishe viunganishi a, b na oc. Tutapata suluhisho la shida hii ya jumla kwa kuzingatia kesi mbili maalum.

Inarejelea vipengele viwili katika orodha ya data - X na Y. Kichakataji onyesho cha terminal yetu kina amri tofauti za kusogeza boriti kwenye nafasi mpya katika viwianishi vya X na Y. Kwa hiyo, utaratibu wa amri ya SET ORIGIN lazima uzalishe amri mbili za kichakataji cha kuonyesha. Kwa kuongeza, lazima uamue ikiwa kitu kinachoanzishwa kwa amri ya SET ORIGIN ni sehemu au kipengele. Ili kufanya hivyo, utaratibu unauliza jedwali la uunganisho kwa kutumia uwanja wa parameta ya amri. Katika kesi ya sehemu, nafasi kwenye skrini imetajwa katika kuratibu kabisa, katika kesi ya kipengele - kwa jamaa. Utaratibu unaotekeleza amri ya SET ORIGIN lazima uweke au ufute sehemu maalum kwa amri zinazolingana za kichakataji onyesho.

Mpango huo utachunguza eneo hili lisilo na mwisho la nafasi, kamwe usikaribie lengo. Nafasi ya hali ya shida ya malkia nane, iliyofafanuliwa kama katika sehemu hii, kwa mtazamo wa kwanza ina mtego wa aina hii haswa. Lakini inageuka kuwa bado ni ya mwisho, kwani Y-kuratibu huchaguliwa kutoka kwa seti ndogo, na kwa hiyo si zaidi ya malkia nane wanaweza kuwekwa kwa usalama kwenye ubao.

Utaratibu wa kutekeleza amri hii hutoa aina nne za njia za kuunda vitu kwa mwingiliano. Chombo cha kwanza ni utaratibu wa jumla wa kuchora mistari iliyonyooka. Kuchora hufanyika kwa kusonga alama maalum hadi mwanzo wa mstari na kisha kuisonga hadi mwisho wa mstari. Unapohamisha lebo hadi mwisho wa mstari, vekta huzalishwa inayounganisha mwanzo wa mstari na nafasi ya sasa ya lebo. Kwa kuachilia ufunguo kwenye mwili wa kalamu nyepesi, unaweza kuhamisha alama kutoka mwisho mmoja wa mstari unaochora hadi mwingine. Mtumiaji anapoelekeza kwenye kifungo cha mwanga cha ACCEPT, amri ya L4 inazalishwa, kwa msaada ambao X, Y kuratibu za mstari unaotolewa hupitishwa kwenye kompyuta kuu.

Kurasa: 1

Mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege huundwa na shoka mbili za kuratibu za perpendicular OX na OY. Axes za kuratibu huingiliana kwenye hatua ya O, ambayo inaitwa asili, na mwelekeo mzuri huchaguliwa kwenye kila mhimili. Katika mfumo wa kuratibu wa mkono wa kulia, mwelekeo mzuri wa shoka huchaguliwa ili wakati mhimili wa OY unaelekezwa juu, mhimili wa OX unakabiliwa na kulia.

Pembe nne (I, II, III, IV) zinazoundwa na mhimili wa kuratibu X"X na Y"Y huitwa pembe za kuratibu au roboduara.

Msimamo wa hatua A kwenye ndege imedhamiriwa na kuratibu mbili x na y. Uratibu wa x ni sawa na urefu wa sehemu ya OB, uratibu wa y ni sawa na urefu wa sehemu ya OC katika vitengo vilivyochaguliwa vya kipimo. Sehemu OB na OC hufafanuliwa kwa mistari iliyochorwa kutoka kwa nukta A sambamba na shoka za Y"Y na X" X, mtawalia. Uratibu wa x unaitwa abscissa ya nukta A, uratibu wa y unaitwa mratibu wa nukta A. Imeandikwa hivi: .

Ikiwa hatua A iko katika pembe ya kuratibu I, basi uhakika A una abscissa chanya na kuratibu. Ikiwa hatua A iko katika pembe ya kuratibu II, basi hatua A ina abscissa hasi na kuratibu chanya. Ikiwa hatua A iko katika pembe ya kuratibu III, basi uhakika A una abscissa hasi na kuratibu. Ikiwa hatua A iko katika pembe ya IV ya kuratibu, basi uhakika A una abscissa chanya na kuratibu hasi.

Mfumo wa kuratibu wa mstatili katika nafasi huundwa na shoka tatu za kuratibu za perpendicular OX, OY na OZ. Axes ya kuratibu huingiliana kwenye hatua ya O, ambayo inaitwa asili, kwenye kila mhimili mwelekeo mzuri huchaguliwa, unaoonyeshwa na mishale, na kitengo cha kipimo kwa makundi kwenye axes. Vitengo kawaida ni sawa kwa shoka zote (ambayo sio lazima). OX - mhimili wa abscissa, OY - mhimili wa kuratibu, OZ - mhimili unaotumika.

Ikiwa kidole gumba cha mkono wa kulia kinachukuliwa kama mwelekeo wa X, kidole cha shahada kama mwelekeo wa Y, na kidole cha kati kama mwelekeo wa Z, basi mfumo wa kuratibu wa mkono wa kulia unaundwa. Vidole sawa vya mkono wa kushoto huunda mfumo wa kuratibu wa kushoto. Kwa maneno mengine, mwelekeo mzuri wa axes huchaguliwa ili wakati mhimili wa OX unapozungushwa kinyume na saa kwa 90 °, mwelekeo wake mzuri unafanana na mwelekeo mzuri wa mhimili wa OY, ikiwa mzunguko huu unazingatiwa kutoka kwa mwelekeo mzuri wa OZ. mhimili. Haiwezekani kuchanganya mifumo ya kuratibu ya kulia na ya kushoto ili axes zinazofanana zipatane.

Nafasi ya hatua A katika nafasi imedhamiriwa na kuratibu tatu x, y na z. Uratibu wa x ni sawa na urefu wa sehemu ya OB, uratibu wa y ni urefu wa sehemu ya OC, uratibu wa z ni urefu wa sehemu ya OD katika vitengo vilivyochaguliwa vya kipimo. Sehemu za OB, OC na OD zinafafanuliwa na ndege zinazotolewa kutoka kwa uhakika A sambamba na ndege YOZ, XOZ na XOY, kwa mtiririko huo. Uratibu wa x unaitwa abscissa ya nukta A, uratibu wa y unaitwa mratibu wa hatua A, uratibu wa z unaitwa applicate ya uhakika A. Imeandikwa hivi: .

ODA. Mfumo wa kuratibu (O; , , ) unaitwa. mstatili ikiwa: 1) vekta za msingi zina urefu wa kitengo: = = =1;

2) vekta msingi ni pairwise orthogonal (perpendicular): ⏊ ⏊ .

vekta za msingi kawaida hurejelewa kama vekta za msingi, na viwianishi ni x, y, z. Mihimili ya kuratibu inaitwa: Ox - abscissa axis, Oy - ordinate axis, Oz - applicate axis.

Nadharia. Urefu wa vekta =(X,Y,Z) ni sawa na mzizi wa jumla wa miraba ya viwianishi vyake: | |= .

Hati. Vector inawakilishwa na diagonal ya parallelepiped ya mstatili na pande X,.

Urefu wa pande za bomba la sambamba ni sawa na |X|,|Y|,|Z|. Mraba wa urefu wa mshazari wa usawa wa mstatili. ni sawa na jumla ya mraba wa urefu wa pande zake (unahitaji kutumia theorem ya Pythagorean mara mbili). Kuanzia hapa tunapata formula inayohitajika.

Matokeo. umbali kati ya pointi A() na B() ni sawa na AB=.

Hati. AB=| |, a =().

13. Ukubwa wa makadirio ya vector kwenye mhimili. Kosini za mwelekeo.

Mhimili ni mstari wa moja kwa moja ambao mwelekeo huchaguliwa. Hebu mwelekeo kwenye mhimili upewe na vector ya kitengo.

Hebu iwe kivekta kiholela na acha A΄ na B΄ kuwa makadirio ya othogonal ya pointi A na B kwenye mstari ulionyooka l. Jina la Vector makadirio ya vekta kwenye mhimili wa l.

ODA. Ukubwa wa makadirio ya vector kwenye mhimili wa l inaitwa. uratibu wa vector kwenye mstari l jamaa na vector msingi, i.e. nambari kama hiyo = , .

Kwa hivyo, tunatofautisha kati ya makadirio ya vekta kwenye mhimili na ukubwa wa makadirio ya vekta kwenye mhimili: ya kwanza ni vector, na ya pili ni namba. Wakati vector inapohamishwa kwa sambamba, vector pia hubadilishwa kwa sambamba kwenye mhimili wa l. Kwa hiyo, ukubwa wa makadirio ya vector haitegemei uchaguzi wa mwakilishi wa vector. Pia, ukubwa wa makadirio ya jumla ya vekta ni sawa na jumla ya ukubwa wa makadirio yao.

Nadharia. Ukubwa wa makadirio ya vekta kwenye mhimili ni sawa na bidhaa ya urefu wa vekta hii na cosine ya pembe kati ya vector na mhimili: =| |cosφ,wapi φ=<().

Dokta. Wacha tuchunguze kesi mbili: 1) pembe ya papo hapo, 2) pembe ya buti.

Kosini za mwelekeo.

Acha α, β, γ ziwe pembe ambazo vekta =(X,Y,Z) hufanya kwa shoka za kuratibu. Cosines za pembe hizi, cosα, cosβ, cosγ zinaitwa. mwelekeo cosines ya vector.

α=<(Ox. ); β=<(Oy ); γ=<(Oz, .

Ni wazi kwamba kuratibu za vector ni sawa na ukubwa wa makadirio ya vector hii kwenye axes za kuratibu. Kwa hiyo X= = |cosα; Y= = |cosβ; Z= = |cosγ.

Kutoka hapa tunaweza kupata cosines mwelekeo: cos = = ; cosβ= ; cosγ=