Hebu mstari wa moja kwa moja L na hatua A itolewe kwenye ndege. Hebu tuache perpendicular kutoka kwa uhakika A hadi mstari wa moja kwa moja L (Mchoro 1.8, a). Kisha msingi wake (point O) inaitwa makadirio ya orthogonal ya uhakika A kwenye mstari L. Ikiwa mstari L na hatua A hutolewa katika nafasi, basi katika kesi hii makadirio ya orthogonal ya hatua A kwenye mstari L ni hatua O ya makutano ya mstari L na ndege inayoelekea kupitia hatua A (Mchoro 1.8). , b). Ikiwa nukta A iko kwenye mstari L, basi inaambatana na makadirio yake ya othogonal kwenye L.
Kwa vekta - AB (kwenye ndege au angani), unaweza kuunda makadirio ya orthogonal kwenye mstari wa moja kwa moja L yake. mwanzo na mwisho(Mchoro 1.9). Vekta O A O B inayounganisha makadirio haya O A na O B na kulala kwenye mstari ulionyooka L inaitwa. makadirio ya orthogonal ya vekta AB kwenye mstari L.
Mstari wa moja kwa moja ambao moja ya maelekezo mawili yanayowezekana hupewa inaitwa mhimili. Mwelekeo uliochaguliwa kwenye mhimili unaonyeshwa na mshale kwenye mwisho unaofanana wa mhimili. Makadirio ya othogonal O A O B ya vekta AB kwenye mhimili wa l yanaweza kuelezewa kabisa. urefu vekta O A O B , akiipa ishara,
kuonyesha mwelekeo wa vector. Ikiwa mwelekeo O A O B unafanana na mwelekeo uliopewa wa mhimili, basi chukua ishara ya pamoja, na ikiwa mwelekeo wa vector ni kinyume na mwelekeo wa mhimili, basi chukua ishara ya minus. Urefu wa vector O A O B na ishara ambayo huamua mwelekeo wa vector hii inaitwa makadirio ya orthogonal ya vekta AB kwenye mhimili l na kuashiria pr a.
Wacha tuzingatie ukweli kwamba makadirio ya orthogonal ya vekta kwenye mhimili ni nambari, wakati makadirio ya orthogonal ya vekta kwenye mstari ni vekta. Ili vekta ilingane na nambari kama makadirio yake, moja ya njia mbili zinazowezekana lazima ichaguliwe kwenye mstari ulio sawa.
Kila vector isiyo ya kawaida l hufafanua kwa pekee mhimili: inaweza kuchukuliwa kuwa iko kwenye mstari fulani wa moja kwa moja na kutaja mwelekeo juu yake. Makadirio ya orthogonal ya vekta kwenye mhimili kama huo inaitwa makadirio ya orthogonal ya vekta hii kwenye mwelekeo vekta l.
Pembe kati ya maelekezo ya vectors mbili zisizo za sifuri inaitwa pembe kati ya vekta hizi. Pembe inaweza kutofautiana kutoka 0 hadi π. Thamani za kupita kiasi 0 na π zinalingana vekta za collinear, kwa mtiririko huo unidirectional na kinyume. Ikiwa angalau moja ya vekta mbili ni sufuri, basi angle kati ya vectors vile haijafafanuliwa. Ni rahisi, hata hivyo, kudhani kuwa katika kesi hii angle ina thamani ya kiholela. Kwa hivyo, vekta ya sifuri ni collinear kwa nyingine yoyote, ambayo inalingana rasmi na angle 0 (au π). Thamani maalum iliyotolewa kwa pembe kati ya vekta ya sifuri na vector nyingine huchaguliwa kulingana na hali hiyo.
Nadharia 1.1. Makadirio ya othogonal ya vekta a kwenye mwelekeo wa vekta l isiyo ya sifuri ni sawa na urefu |a| unaozidishwa na kosine ya pembe φ kati ya vekta a na l, i.e.
pr l = a|a| cos
iko wapi pembe kati ya vekta a na l
◄ Hebu vector l uongo kwenye mstari L, na mwanzo wake ni hatua A. Hebu tupate mwanzo wa vector a na uhakika A, na basi mwisho wake uwe uhakika B (Mchoro 1.10). Hebu tutengeneze makadirio ya othogonal C ya nukta B kwenye mstari L. Kisha vekta AC ni makadirio ya othogonal ya vekta a = AB kwenye mstari L.
Ikiwa pembe φ kati ya vectors a na l ni ya papo hapo (kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 1.10, a), basi mwisho wa vector l na uhakika C hulala upande mmoja wa hatua A. Katika kesi hii, makadirio ya a kwenye mwelekeo. ya vekta l ni sawa na urefu |AC| = |AB| cosφ mguu AC ya pembetatu ABC.
Ikiwa angle φ ni butu (tazama Mchoro 1.10, b), basi mwisho wa vector l na uhakika C hulala kwa pande tofauti za uhakika A. Hii ina maana kwamba vectors AC na l wana mwelekeo tofauti, na makadirio ya vector a. ni sawa na - |AC| . Katika pembetatu ABC, pembe ψ inayopakana na upande AC ni sawa na π - φ, kwa hivyo |AC| = |AB| cos(π - φ) = - |AB| kosφ.
Ikiwa φ = π/2 au a = 0, basi hatua C inafanana na uhakika A na vector AC ni vector sifuri. Walakini, cosπ/2 = 0, kwa hivyo, katika kesi hii nadharia ni halali pia.
Nadharia 1.2. Makadirio ya orthogonal ya jumla ya vekta kwenye mwelekeo wa vekta isiyo ya sifuri ni sawa na jumla ya makadirio yao ya othogonal kwenye mwelekeo wa vekta hii, na wakati vekta inapozidishwa na nambari, makadirio yake ya orthogonal kwenye mwelekeo wa vekta. vekta isiyo ya sifuri inazidishwa na nambari sawa:
pr l (a + b) = pr l a + pr l b, pr l (λa) - λpr l a.
◄ Uthibitisho unafuata kutoka kwenye Mtini. 1.11. Katika kesi iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 1.11, a, tuna pr l a = |AB|, pr l b = -|BC|, pr l (a + b) = |AC| = |AB| - |BC|. Katika kesi iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 1.11, b, pr l a = |AB| na, ikiwa λ > 0, pr l (λa) = |AE| = λ|AB|. Chaguzi zilizobaki (pointi C sio ya sehemu ya AB ikiwa a, λ ≤ 0 katika kesi b) inazingatiwa sawa.
Kama ilivyoelezwa hapo juu, makadirio ya orthogonal ni kesi maalum ya makadirio sambamba. Kwa makadirio ya orthogonal, miale ya makadirio ni ya kawaida kwa ndege ya makadirio.
Kifaa cha makadirio kama haya kina ndege moja ya makadirio.
Ili kupata makadirio ya orthogonal ya uhakika A, mionzi ya makadirio lazima itolewe kupitia hiyo perpendicular kwa P1. Pointi A1 inaitwa makadirio ya othogonal au mstatili wa nukta A.
Ili kupata makadirio ya orthografia A1B 1 sehemu AB, kwa ndege P 1, muhimu kupitia pointi A Na KATIKA chora mistari ya kukariri perpendicular P 1. Wakati wa kukadiria mistari huingiliana na ndege P 1 utapata makadirio ya orthogonal A 1 Na KATIKA 1 pointi A Na KATIKA. Kwa kuunganisha makadirio ya orthogonal A 1 Na KATIKA 1 tunapata makadirio ya orthogonal A1B 1 sehemu AB.
Sifa zote za makadirio sambamba pia ni halali kwa makadirio ya orthogonal. Walakini, makadirio ya orthogonal yana mali zingine.
Sifa za makadirio ya orthografia:
1. Urefu wa sehemu ni sawa na urefu wa makadirio yake yaliyogawanywa na cosine ya angle ya mwelekeo wa sehemu kwa ndege ya makadirio.
Hebu tuchukue mstari ulionyooka AB na kujenga makadirio yake ya othogonal A1B 1 kwa ndege P 1. Ukichora mstari ulionyooka AC | A1B 1, kisha kutoka kwa pembetatu ABC inafuata hiyo | AC| : |AB| = kwani a au |AB| = |A 1 B 1 | :cos a, kwa sababu |A 1 B 1 | = |AC|.
2. Kwa kuongeza, kwa makadirio ya orthogonal itakuwa kweli nadharia ya makadirio ya pembe ya kulia:
Nadharia: Ikiwa angalau upande mmoja wa pembe ya kulia ni sawa na ndege ya makadirio, na nyingine sio perpendicular yake, basi angle inakadiriwa kwenye ndege hii kwa ukubwa kamili.
Uthibitisho:
Imepewa pembe ya kulia ABC, ambayo kwa hali ina mstari ulionyooka BC AB Na Jua | ndege za makadirio P 1. Kwa ujenzi ni sawa Jua kwa boriti inayoonyesha BB 1. Kwa hiyo, moja kwa moja Jua kwa ndege b (АВхВВ1), kwa kuwa ni kwa mistari miwili inayokatiza iliyo katika ndege hii. Kwa hali, moja kwa moja B 1 C 1 | Jua, kwa hiyo pia kwa ndege b, yaani, na moja kwa moja A1B 1 ndege hii. Kwa hiyo, pembe kati ya mistari A1B 1 Na B 1 C 1 ni sawa na 90 °, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.
Makadirio ya Orthogonal hutoa unyenyekevu wa ujenzi wa kijiometri wakati wa kuamua makadirio ya orthogonal ya pointi, pamoja na uwezo wa kuhifadhi sura na vipimo vya takwimu iliyopangwa kwenye makadirio. Faida hizi zimehakikisha kuwa makadirio ya orthogonal hutumiwa sana katika kuchora kiufundi.
Njia za makadirio zinazozingatiwa hufanya iwezekanavyo kutatua tatizo la moja kwa moja la jiometri ya maelezo, yaani, kujenga mchoro wa gorofa kutoka kwa asili. Makadirio kwenye ndege moja iliyopatikana kwa njia hii hutoa wazo lisilo kamili la kitu, sura yake na msimamo wake katika nafasi, i.e. mchoro kama huo hauna mali ya kugeuza.
Ili kupata mchoro unaoweza kubadilishwa, i.e. mchoro ambao unatoa picha kamili ya sura, saizi na msimamo wa asili kwenye nafasi; mchoro wa picha moja huongezewa. Kulingana na nyongeza, kuna aina tofauti za michoro.
- Mchoro wa monge au makadirio ya orthogonal. Kiini cha njia ya makadirio ya orthogonal (mstatili) ni kwamba ya asili inakadiriwa kwa usawa kwenye ndege 2 au 3 za makadirio ya pande zote za othogonal, na kisha kuzichanganya na ndege ya kuchora.
- Mchoro wa axonometric. Kiini cha mchoro wa axonometri ni kwamba kwanza asili imeunganishwa kwa uthabiti na mfumo wa kuratibu wa Cartesian. OXYZ, ipange kwa mpangilio kwenye mojawapo ya makadirio ya ndege OXY, au OXZ. Halafu, kwa makadirio sambamba, makadirio sambamba ya muundo unaopatikana hupatikana: kuratibu axes. OX, OY, OZ, makadirio ya sekondari na asili.
- Kuchora kwa mtazamo. Wakati wa kujenga mchoro wa mtazamo, kwanza hujenga makadirio ya orthogonal, na kisha kwenye ndege ya picha makadirio ya kati ya makadirio ya orthographic yaliyojengwa hapo awali na ya awali yenyewe hupatikana.
- Makadirio yenye alama za nambari, nk. Ili kupata makadirio yenye alama za nambari, ya awali inakadiriwa kwa usawa kwenye ndege ya kiwango cha sifuri na umbali kutoka kwa pointi za awali hadi kwenye ndege hii umeonyeshwa.
Hebu tuketi kwa undani zaidi juu ya utafiti wa makadirio ya mstatili na kuchora axonometric.
Makadirio ya Orthogonal ni kesi maalum ya makadirio ya sambamba, wakati mwelekeo wa makadirio S ni perpendicular (orthogonal) kwa ndege ya makadirio S 1 (Mchoro 1.11).
Mchele. 1.11. Makadirio ya Orthogonal ya pembe ya kulia
Makadirio ya Orthogonal hutumiwa sana katika mazoezi ya uhandisi kwa kuonyesha takwimu za kijiometri kwenye ndege, kwa kuwa ina faida kadhaa juu ya makadirio ya kati na sambamba (oblique), ambayo ni pamoja na:
a) unyenyekevu wa ujenzi wa picha kwa ajili ya kuamua makadirio ya orthogonal ya pointi;
b) uwezo, chini ya hali fulani, kuhifadhi sura na ukubwa wa takwimu iliyopangwa kwenye makadirio.
Faida hizi zimehakikisha matumizi makubwa ya makadirio ya orthogonal katika teknolojia, hasa kwa ajili ya maandalizi ya michoro ya uhandisi wa mitambo.
Kwa makadirio ya othogonal, sifa zote tisa zisizobadilika zilizojadiliwa hapo juu ni halali. Kwa kuongeza, ni muhimu kutambua mali moja zaidi, ya kumi, isiyobadilika, ambayo ni halali tu kwa makadirio ya orthogonal.
10. Ikiwa angalau upande mmoja wa pembe ya kulia ni sawa na ndege ya makadirio, basi pembe ya kulia inaonyeshwa kwenye ndege hii ya makadirio bila kuvuruga (Mchoro 1.11)
Katika Mtini. Mchoro 1.11 unaonyesha ABD ya pembe ya kulia, ambayo pande zote mbili zinalingana na ndege ya makadirio 1. Kwa mujibu wa mali isiyobadilika 9.2, angle hii inakadiriwa kwenye ndege 1 bila kuvuruga, yaani A 1 B 1 D 1 =90.
Hebu tuchukue hatua ya kiholela C kwenye boriti inayojitokeza DD 1, basi ABC inayotokana itakuwa sawa, tangu ABBB 1 DD 1 .
Makadirio ya pembe hii ya kulia ABC, ambayo upande mmoja tu AB ni sambamba na ndege ya makadirio 1, itakuwa pembe ya kulia A 1 B 1 D 1.
Kuzungumza juu ya takwimu za kijiometri na makadirio yao, ni muhimu kukumbuka kuwa makadirio ya takwimu ni seti ya makadirio ya pointi zake zote.
1.6. Mfumo wa ndege tatu za makadirio. Epure Monge.
Takwimu zote za anga za kijiometri zinaweza kuelekezwa kuhusiana na mfumo wa mstatili wa Cartesian wa shoka za kuratibu - mfumo wa ndege tatu za kuratibu za pande zote (Mchoro 1.12).
Mchele. 1.12. Picha ya mfumo wa makadirio ya ndege tatu
Ndege hizi za kuratibu zimeteuliwa:
ndege ya makadirio ya usawa - 1;
ndege ya mbele ya makadirio - 2;
ndege ya makadirio ya wasifu - 3.
Mistari ya makutano ya ndege hizi huunda axes za kuratibu: mhimili wa abscissa - X; mhimili wa kuratibu - Y; mhimili wa maombi - Z. Hatua O ya makutano ya mhimili wa kuratibu inachukuliwa kama asili ya kuratibu na imeteuliwa na barua O. Miongozo chanya ya shoka inazingatiwa: kwa mhimili wa x - upande wa kushoto wa asili. , kwa mhimili wa Y - kuelekea mtazamaji kutoka kwa ndege 2, kwa mhimili wa z - kutoka kwa ndege 1; mwelekeo kinyume huchukuliwa kuwa hasi.
Ili kurahisisha hoja zaidi, tutazingatia tu sehemu ya nafasi iliyo upande wa kushoto wa ndege ya wasifu ya makadirio 3.
Kwa dhana hii, ndege tatu za kuratibu za makadirio huunda pembe nne za anga - octants (kwa ujumla - octants 8).
Kutoka Mtini. 1.12 inaweza kuonekana kuwa abscissa X inagawanya ndege ya usawa ya makadirio 1 katika sehemu mbili: nusu ya mbele 1 (X na Y axes) na nusu ya nyuma 1 (X na - Y axes).
Mhimili wa X hugawanyika ndege ya mbele ya makadirio 2 pia katika sehemu mbili: nusu ya juu 2 (X na Z axes) na nusu ya chini 2 (X na - Z axes).
Axes za kuratibu Y na applicate Z hugawanya ndege ya wasifu ya makadirio 3 katika sehemu nne:
ghorofa ya juu ya mbele 3 (shoka Y na Z)
sakafu ya juu ya nyuma 3 ( -Y na shoka Z)
sakafu ya chini ya mbele 3 (shoka Y na -Z)
sakafu ya chini ya nyuma ya 3 (shoka - Y na -Z)
Ili kupata mfano wa gorofa (mbili-dimensional) wa ndege za makadirio ya uratibu wa anga, usawa 1 na wasifu ndege 3 zinajumuishwa na mbele 2 kwa utaratibu ulioonyeshwa na mishale kwenye Mchoro. 1.12.
P 
Katika kesi hiyo, ndege ya makadirio ya usawa 1 inazunguka karibu na mhimili wa X na 90, na ndege ya makadirio ya wasifu 3 inazunguka karibu na mhimili wa Z pia kwa 90 (mwelekeo wa mzunguko unaonyeshwa kwenye Mchoro 1.12).
Mchanganyiko wa ndege tatu za makadirio zilizopatikana kwa njia hii (Mchoro 1.13) ni mfano wa gorofa wa mfumo wa tatu wa anga.
Kwa
Mchele. 1.13. Mfano wa anga wa point A
Ili kujenga mfano wa gorofa wa takwimu ya kijiometri ya anga, kila moja ya pointi zake inakadiriwa orthogonally kwenye ndege za makadirio 1, 2 na 3, ambazo zinaunganishwa kwenye ndege moja. Mfano wa gorofa wa takwimu ya kijiometri ya anga iliyopatikana kwa njia hii inaitwa mchoro wa Monge.
Utaratibu wa kuunda mchoro wa hatua iliyo katika oktani ya kwanza.
Katika Mtini. Mchoro 1.13 unaonyesha hatua ya anga A, kuratibu ambazo (x, y, z) zinaonyesha umbali ambao hatua hiyo imeondolewa kwenye ndege za makadirio.
D 
Ili kupata makadirio ya orthogonal ya uhakika A, ni muhimu kupunguza perpendiculars kutoka hatua hii kwenye ndege ya makadirio.
Sehemu za makutano ya hizi perpendiculars na ndege za makadirio huunda makadirio ya uhakika A:
A 1 - makadirio ya usawa ya uhakika;
A 2 - makadirio ya mbele ya uhakika;
A
Mchele. 1.14. Mchoro wa pointi A
Katika Mtini. Ndege za makadirio 1.14 1 na 3 zimejumuishwa na ndege ya kuchora (pamoja na ndege ya makadirio 2), na pamoja nao ni pamoja na ndege ya kuchora na makadirio ya uhakika A (A 1, A 2, A 3) na hivyo mfano wa mpango wa ndege za kuratibu hupatikana makadirio na mfano wa mpango wa hatua ya anga A - mchoro wake.
Msimamo wa makadirio ya hatua A kwenye mchoro ni ya kipekee kuamua na kuratibu zake tatu (Mchoro 1.14).
Katika Mtini. 1.13 na mtini. 1.14 pia ni wazi kuwa kwenye mchoro makadirio ya usawa na ya mbele ya alama ziko kwenye perpendicular sawa kwa mhimili wa X, na vile vile makadirio ya mbele na ya wasifu - kwenye perpendicular sawa kwa mhimili wa Z:
A 1 A 2 X, A 2 A 3 Z.
Kutoka kwa Mchoro 1.12 ni wazi kwamba pointi ziko katika octants tofauti zina ishara fulani za kuratibu.
Jedwali linaonyesha ishara za kuratibu za pointi ziko katika octants tofauti
Jedwali la ishara za kuratibu
|
Ishara za kuratibu |
|||
Maswali ya kujidhibiti
Ni wazo gani nyuma ya njia ya makadirio?
Ni nini kiini cha makadirio ya kati na ni nini mali yake kuu?
Ni nini kiini cha makadirio sambamba na ni nini mali yake kuu?
Ni nini kiini cha makadirio ya orthogonal (mstatili)?
Je, nadharia ya makadirio ya pembe sahihi inaundwaje?
Kazi zinazofanana:
Upande wa AB wa rhombus ABCD ni sawa na a, moja ya pembe ni digrii 60. Ndege ya alpha inachorwa kupitia upande wa AB kwa umbali a/2 kutoka kwa uhakika D.
a) pata umbali kutoka kwa uhakika C hadi ndege ya alpha.
b) onyesha kwenye takwimu pembe ya dihedral ya mstari DABM. M ni ya alpha.
c) Tafuta sine ya pembe kati ya ndege ya rhombus na ndege ya alpha.
Upande wa AB wa rhombus ABCD ni sawa na a, moja ya pembe ni digrii 60. Ndege ya alfa inachorwa kupitia upande wa AB kwa umbali a/2 kutoka kwa uhakika D. a) pata umbali kutoka kwa uhakika C hadi kwenye ndege ya alpha. b) onyesha kwenye takwimu pembe ya dihedral ya mstari DABM. M ni ya alpha. c) Tafuta sine ya pembe kati ya ndege ya rhombus na ndege ya alpha.
Upande wa AB wa rhombus ABCD ni sawa na a, na moja ya pembe zake ni sawa na digrii 60. Ndege ya alpha inachorwa kupitia upande wa AB kwa umbali A2 kutoka kwa uhakika D.
a) Tafuta umbali kutoka kwa uhakika C hadi ndege ya alpha.
b) Onyesha katika kielelezo pembe ya mstari wa pembe ya dihedral DABM, M ni ya pl. alfa.
c) Tafuta sine ya pembe kati ya ndege ya rhombus na ndege ya alpha.
Fikiria ndege uk na mstari ulionyooka ukiukata . Hebu A - hatua ya kiholela katika nafasi. Hebu tuchore mstari ulionyooka kupitia hatua hii , sambamba na mstari . Hebu . Nukta inayoitwa makadirio ya uhakika A kwa ndege uk na muundo sambamba pamoja na mstari wa moja kwa moja uliopewa . Ndege uk , ambayo pointi za nafasi zimepangwa inaitwa ndege ya makadirio.
p - ndege ya makadirio;
- kubuni moja kwa moja; ;
; ; ;
Muundo wa Orthogonal ni kesi maalum ya kubuni sambamba. Muundo wa Orthogonal ni muundo sambamba ambao mstari wa kubuni ni perpendicular kwa ndege ya makadirio. Muundo wa Orthogonal hutumiwa sana katika kuchora kiufundi, ambapo takwimu inakadiriwa kwenye ndege tatu - za usawa na mbili za wima.
Ufafanuzi:
Makadirio ya Orthogonal ya uhakika M kwa ndege uk inayoitwa msingi M 1 perpendicular MM 1, imeshuka kutoka kwa uhakika M kwa ndege uk.
Uteuzi: , 
, .
Ufafanuzi: Makadirio ya Orthogonal ya takwimu F kwa ndege uk ni seti ya pointi zote za ndege ambazo ni makadirio ya orthogonal ya seti ya pointi za takwimu F kwa ndege uk.
Ubunifu wa Orthogonal, kama kesi maalum ya muundo sambamba, ina mali sawa:
p - ndege ya makadirio;
- kubuni moja kwa moja; ;
1) ;
2) , .
- Makadirio ya mistari sambamba ni sambamba.
ENEO LA MRADI WA KIELELEZO CHA TAMBARARE
Nadharia: Eneo la makadirio ya poligoni ya ndege kwenye ndege fulani ni sawa na eneo la poligoni iliyokadiriwa ikizidishwa na kosini ya pembe kati ya ndege ya poligoni na ndege ya makadirio.
Hatua ya 1: Kielelezo kilichopangwa ni pembetatu ABC, upande ambao AC iko katika ndege ya makadirio a (sambamba na ndege ya makadirio a).
Imetolewa:
Thibitisha:
Ushahidi:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. Kwa nadharia ya perpendiculars tatu;
BD - urefu; B 1 D - urefu;
5. - angle ya mstari wa angle ya dihedral;
6. ; ; ; 
;
Hatua ya 2: Kielelezo kilichopangwa ni pembetatu ya ABC, hakuna pande zote ambazo ziko kwenye ndege ya makadirio a na hailingani nayo.
Imetolewa:
Thibitisha:
Ushahidi:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(Hatua ya 1);
5. ; ; ;
(Hatua ya 1);
Hatua: Kielelezo kilichoundwa ni poligoni kiholela.
Ushahidi:
Poligoni imegawanywa na vilaza vilivyochorwa kutoka kwenye kipeo kimoja hadi nambari pungufu ya pembetatu, kwa kila moja ambayo nadharia ni ya kweli. Kwa hiyo, theorem pia itakuwa kweli kwa jumla ya maeneo ya pembetatu zote ambazo ndege zinaunda pembe sawa na ndege ya makadirio.
Maoni: Nadharia iliyothibitishwa ni halali kwa kielelezo chochote cha ndege kinachopakana na mkunjo uliofungwa.
Mazoezi:
1. Tafuta eneo la pembetatu ambayo ndege yake ina mwelekeo wa ndege ya makadirio kwa pembe, ikiwa makadirio yake ni pembetatu ya kawaida na upande a.
2. Tafuta eneo la pembetatu ambayo ndege yake ina mwelekeo wa ndege ya makadirio kwa pembe, ikiwa makadirio yake ni pembetatu ya isosceles na upande wa cm 10 na msingi wa cm 12.
3. Tafuta eneo la pembetatu ambayo ndege yake ina mwelekeo wa ndege ya makadirio kwa pembe, ikiwa makadirio yake ni pembetatu yenye pande 9, 10 na 17 cm.
4. Kuhesabu eneo la trapezoid, ndege ambayo ina mwelekeo wa ndege ya makadirio kwa pembe, ikiwa makadirio yake ni trapezoid ya isosceles, msingi wake mkubwa ni 44 cm, upande ni 17 cm na diagonal. ni 39 cm.
5. Kuhesabu eneo la makadirio ya hexagon ya kawaida na upande wa cm 8, ndege ambayo ina mwelekeo wa ndege ya makadirio kwa pembe.
6. Rhombus yenye upande wa cm 12 na angle ya papo hapo huunda pembe na ndege iliyotolewa. Kuhesabu eneo la makadirio ya rhombus kwenye ndege hii.
7. Rhombus yenye upande wa cm 20 na diagonal ya cm 32 huunda pembe na ndege iliyotolewa. Kuhesabu eneo la makadirio ya rhombus kwenye ndege hii.
8. Makadirio ya dari kwenye ndege ya usawa ni mstatili na pande na. Tafuta eneo la dari ikiwa nyuso za upande ni mistatili sawa iliyoelekezwa kwa ndege ya usawa kwa pembe, na sehemu ya kati ya dari ni mraba sambamba na ndege ya makadirio.
11. Mazoezi juu ya mada "Mistari na ndege katika nafasi":
Pande za pembetatu ni sawa na cm 20, 65 cm, cm 75. Kutoka kwenye vertex ya pembe kubwa ya pembetatu, perpendicular sawa na cm 60 hutolewa kwa ndege yake. Tafuta umbali kutoka mwisho wa perpendicular hadi upande mkubwa wa pembetatu.
2. Kutoka kwa hatua iko umbali wa cm kutoka kwa ndege, mbili zinazoelekea hutolewa, na kutengeneza pembe na ndege sawa na, na pembe ya kulia kati yao. Pata umbali kati ya pointi za makutano ya ndege zinazoelekea.
3. Upande wa pembetatu ya kawaida ni cm 12. Uhakika M huchaguliwa ili makundi ya kuunganisha uhakika M na wima zote za pembetatu huunda pembe na ndege yake. Tafuta umbali kutoka kwa uhakika M hadi wima na pande za pembetatu.
4. Ndege hutolewa kwa upande wa mraba kwa pembe kwa diagonal ya mraba. Pata pembe ambazo pande mbili za mraba zimeelekezwa kwa ndege.
5. Mguu wa pembetatu ya kulia ya isosceles umeelekezwa kwa ndege kupita kwenye hypotenuse kwa pembeni. Thibitisha kuwa pembe kati ya ndege A na ndege ya pembetatu ni sawa na .
6. Pembe ya dihedral kati ya ndege za pembetatu ABC na DBC ni sawa na . Pata AD ikiwa AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
Jaribu maswali juu ya mada "Mistari na ndege angani"
1. Orodhesha dhana za msingi za stereometry. Tengeneza axioms za stereometry.
2. Thibitisha matokeo kutoka kwa axioms.
3. Je, ni nafasi gani ya jamaa ya mistari miwili katika nafasi? Toa ufafanuzi wa mistari inayokatiza, inayolingana, na mikenge.
4. Thibitisha ishara ya mistari ya skew.
5. Je, ni nafasi gani ya jamaa ya mstari na ndege? Toa ufafanuzi wa mistari inayopita, sambamba na ndege.
6. Thibitisha ishara ya usawa kati ya mstari na ndege.
7. Msimamo wa jamaa wa ndege hizo mbili ni nini?
8. Eleza ndege zinazofanana. Thibitisha ishara kwamba ndege mbili zinafanana. Nadharia za serikali kuhusu ndege zinazofanana.
9. Eleza angle kati ya mistari ya moja kwa moja.
10. Thibitisha ishara ya perpendicularity ya mstari na ndege.
11. Eleza msingi wa perpendicular, msingi wa inclined, makadirio ya kutega kwenye ndege. Tengeneza sifa za mistari ya pembeni na iliyoelekezwa iliyoshuka kwenye ndege kutoka kwa sehemu moja.
12. Eleza angle kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege.
13. Thibitisha nadharia kuhusu perpendiculars tatu.
14. Toa ufafanuzi wa angle ya dihedral, angle ya mstari wa angle ya dihedral.
15. Thibitisha ishara ya perpendicularity ya ndege mbili.
16. Eleza umbali kati ya pointi mbili tofauti.
17. Eleza umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.
18. Eleza umbali kutoka kwa uhakika hadi kwenye ndege.
19. Eleza umbali kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege inayofanana nayo.
20. Eleza umbali kati ya ndege sambamba.
21. Eleza umbali kati ya mistari inayoingiliana.
22. Bainisha makadirio ya othogonal ya uhakika kwenye ndege.
23. Eleza makadirio ya orthogonal ya takwimu kwenye ndege.
24. Tengeneza sifa za makadirio kwenye ndege.
25. Tengeneza na uthibitishe nadharia kwenye eneo la makadirio ya poligoni ya ndege.