Mistari ambapo ndege mbili sambamba hukutana na ndege ya tatu. Usawa wa ndege: hali na mali

Malengo ya somo:

Tambulisha dhana ya ndege sambamba.
Fikiria na uthibitishe nadharia zinazoonyesha ishara ya usawa wa ndege na sifa za ndege zinazofanana.
Fuatilia matumizi ya nadharia hizi katika kutatua matatizo.

Mpango wa somo (andika ubaoni):

I. Kazi ya mdomo ya maandalizi.

II. Kujifunza nyenzo mpya:

1. Msimamo wa jamaa wa ndege mbili katika nafasi.
2. Uamuzi wa ndege sambamba.
3. Ishara ya ndege sambamba.
4. Mali ya ndege sambamba.

III. Muhtasari wa somo.

IV. Kazi ya nyumbani.

WAKATI WA MADARASA

I. Kazi ya mdomo

Ningependa kuanza somo na nukuu kutoka kwa barua ya kifalsafa ya Chaadaev:

"Nguvu hii ya miujiza ya uchambuzi katika hisabati inatoka wapi? Ukweli ni kwamba akili hapa inafanya kazi kwa utii kamili kwa sheria hii.

Tutaangalia utii huu kwa sheria katika kazi inayofuata. Ili kujifunza nyenzo mpya, unahitaji kurudia maswali kadhaa. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuanzisha taarifa inayofuata kutoka kwa taarifa hizi na kuhalalisha jibu lako:

II. Kujifunza nyenzo mpya

1. Ndege mbili zinawezaje kuwekwa angani? Ni seti gani ya alama za ndege zote mbili?

Jibu:

a) sanjari (basi tutakuwa tunashughulika na ndege moja, sio ya kuridhisha);
b) kukatiza,;
c) usikatishe ( pointi za kawaida sivyo kabisa).

2. Ufafanuzi: Ikiwa ndege mbili haziingiliani, basi zinaitwa sambamba

3. Uteuzi:

4. Toa mifano ya ndege sambamba kutoka kwa mazingira

5. Jinsi ya kujua ikiwa ndege zozote mbili kwenye anga zinalingana?

Jibu:

Unaweza kutumia ufafanuzi, lakini hii siofaa, kwa sababu Si mara zote inawezekana kuanzisha makutano ya ndege. Kwa hiyo, ni muhimu kuzingatia hali ya kutosha ili kuthibitisha kwamba ndege zinafanana.

6. Wacha tuzingatie hali:

b) ikiwa ?

c) ikiwa ?

Kwa nini jibu ni a) na b) "sio kila wakati", lakini katika c) "ndiyo"? (Mistari ya kukatiza inafafanua ndege kwa njia ya kipekee, ambayo inamaanisha kuwa imefafanuliwa kipekee!)

Hali ya 3 ni ishara ya usawa wa ndege mbili.

7. Nadharia: Ikiwa mistari miwili inayoingiliana ya ndege moja inafanana kwa mtiririko wa mistari miwili ya ndege nyingine, basi ndege hizi zinafanana.

Imetolewa:

Thibitisha:

Uthibitisho:

(Wanafunzi huweka alama kwenye mchoro.)

1. Kumbuka:. Vile vile:
2. Acha:.
3. Tuna: Vile vile:
4. Tunapata: kupitia M kuna ukinzani na axiom ya planimetry.
5. Kwa hiyo: sio sahihi, inamaanisha, nk.

8. Suluhisha nambari 51 (Wanafunzi hutumia alama kwenye mchoro).

Imetolewa:

Thibitisha:

Uthibitisho:

1 njia

1. Hebu tujenge

Mbinu 2

Ingiza kupitia.

9. Wacha tuchunguze mali mbili za ndege zinazofanana:

Nadharia: Ikiwa ndege mbili zinazofanana zimeunganishwa na theluthi, basi mistari ya makutano yao ni sawa.

(Wanafunzi wenyewe hukamilisha ujenzi na kuweka alama kwenye mchoro).

Imetolewa:

Uhusiano wa usawa wa ndege, mali na matumizi yake huzingatiwa.

Uwakilishi wa kuona wa eneo la hizo mbili

ndege hutoa modeli kwa kutumia ndege za nyuso za kuta za karibu, dari na sakafu ya chumba, vitanda vya bunk, karatasi mbili zilizofungwa.

wachawi, nk (Mchoro 242-244).

Ingawa ipo seti isiyo na mwisho chaguzi za mpangilio wa jamaa wa ndege anuwai, kuanzisha na kuashiria ni vipimo vipi vya pembe na umbali vitatumika katika siku zijazo, kwanza tutazingatia zile ambazo uainishaji (pamoja na mistari iliyonyooka na ndege) inategemea idadi ya ndege. pointi zao za kawaida.

1. Ndege mbili zina angalau tatu za kawaida pointi ambazo haziko kwenye mstari huo huo. Ndege hizo zinapatana (axiom C 2, §7).

2. Pointi za kawaida za ndege mbili ziko kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja, ambayo ni mstari wa makutano ya ndege hizi (axiom C 3, §7). Ndege kama hizo huingiliana.

3. Ndege hizo mbili hazina pointi za kawaida.

KATIKA katika kesi hii wanaitwa sambamba-

Ndege mbili zinaitwa sambamba ikiwa hazina pointi za kawaida.

Usambamba wa ndege unaonyeshwa na ishara ||: α || β.

Kama kawaida, wakati wa kuanzisha dhana za kijiometri iliibuka-

Hakuna shida na uwepo wao. Kuwepo kwa makutano -

Xia ndege ni kipengele cha tabia nafasi,

na tayari tumetumia hii mara nyingi. Chini ya wazi ni

Kuwepo kwa ndege sambamba kunathibitishwa. Hakuna

shaka kwamba, kwa mfano, ndege za grafu kinyume

Cubes ni sambamba, yaani, haziingiliani. Lakini moja kwa moja

Hakika, kwa ufafanuzi, hii haiwezi kuanzishwa. Kwa kutatua

uelewa wa swali lililoulizwa, pamoja na masuala mengine yanayohusiana na

usawa wa ndege, ni muhimu kuwa na ishara ya usawa.

Ili kutafuta ishara, inashauriwa kuzingatia ndege,

"kufumwa" kutoka kwa mistari iliyonyooka. Ni dhahiri kwamba kila mstari ulionyooka ni mmoja wapo

ndege sambamba lazima ziwe sambamba na nyingine.

KATIKA vinginevyo ndege zitakuwa na jambo la kawaida. Inatosha

Je! ndege $ \ beta $ inalingana kabisa na mstari sawa sawa $ \ alpha $

ili ndege α na β zifanane? Kabisa

lakini, hapana (halalisha hili!). Uzoefu wa vitendo unaonyesha hivyo

mistari miwili inayokatiza inatosha. Ili kupata usalama

kwenye mlingoti kuna jukwaa sambamba na ardhi, liweke tu

juu ya mihimili miwili iliyounganishwa kwenye mlingoti, sambamba
duniani (Mchoro 245). Kuna mengi zaidi
mifano ya matumizi ya mbinu hii ya utoaji
usawa wa nyuso halisi za gorofa
vitu (jaribu hii!).
Mawazo hapo juu yanaturuhusu kuunda
andika kauli ifuatayo.
		(ishara ya ndege sambamba).
		kukatiza mistari iliyonyooka ya ndege moja

Ikiwa ndege ni sawa na ndege ya pili, basi ndege hizi zinafanana.

 Acha mistari inayokatiza a na b ya ndege α iwe sambamba na ndege β. Hebu tuthibitishe kwamba ndege α na β ni sambamba na ukinzani. Ili kufanya hivyo, hebu tuchukue kwamba ndege α na β zinaingiliana kwenye mstari wa moja kwa moja

t (Kielelezo 246). Mistari a na b haiwezi kukatiza mistari kulingana na hali. Hata hivyo, basi katika ndege α mistari miwili ya moja kwa moja hutolewa kupitia hatua moja ambayo haiingiliani na mstari wa moja kwa moja, yaani, sambamba nayo. Huu ni mkanganyiko

na inakamilisha uthibitisho wa nadharia.

Ishara ya usawa wa ndege hutumiwa wakati wa kuweka kwa usawa miundo ya gorofa (slabs halisi, sakafu, disk ya vifaa vya goniometer, nk) kwa kutumia viwango viwili vilivyowekwa kwenye ndege ya muundo kwenye mistari ya moja kwa moja ya kuingiliana. Kulingana na kipengele hiki, inawezekana kujenga ndege sambamba na hii.

Tatizo 1. Kupitia hatua iliyo nje ya ndege iliyotolewa, chora ndege inayofanana na ile uliyopewa.

 Acha ndege β na uhakika M nje ya ndege itolewe (Mchoro 247, a). Wacha tuchore kupitia hatua M mistari miwili inayoingiliana a na b, sambamba na ndege β. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuchukua mistari miwili ya moja kwa moja inayoingilia c na d katika ndege ya β (Mchoro 247, b). Kisha kupitia nukta M chora mistari a na b sambamba na mistari c na d, mtawalia.

lakini (Mchoro 247, c).

Mistari inayokatiza a na b sambamba na ndege β, kulingana na usawa wa mstari na ndege (Theorem 1 §11). Wanafafanua kipekee ndege α. Kulingana na kigezo kilichothibitishwa, α || β.

Mfano 1. Kutokana na mchemraba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, pointi M , N , P ni midpoints ya kingo BC , B 1 C 1 , A 1 D 1 , kwa mtiririko huo. Sakinisha mpangilio wa pande zote ndege: 1)ABV 1 na PNM; 2) NMA na A 1 C 1 C; 3) A 1 NM

na PC 1 C; 4) MAD 1 na DB 1 C.

 1) Ndege ABB 1 na РNM (Mchoro 248) ni sawa, kulingana na usawa wa ndege (Theorem 1). Hakika, mistari РN na NM huingiliana na ni sawa na ndege ya ABB 1, kwa kuzingatia usawa wa mstari na ndege (Theorem 1 §11), kwa sababu sehemu РN na NM huunganisha katikati. pande tofauti mraba, kwa hivyo ni sawa na pande za miraba:

РN ||A 1 B 1 ,NM ||В 1 B.

2) Ndege NMA na A 1 C 1 C huingiliana kwenye mstari wa moja kwa moja AA 1 (Mchoro 249). Hakika, mistari AA 1 na CC 1 ni sambamba, kulingana na ulinganifu wa mistari (AA 1 ||ВB 1,ВB 1 ||СC 1). Kwa hivyo, mstari wa moja kwa moja AA 1 iko kwenye ndege A 1 C 1 C. Mali ya mstari wa moja kwa moja wa AA 1 kwa ndege ya NMA pia inahesabiwa haki.

3) Ndege A 1 NM na РС 1 C (Mchoro 250) ni sawa, kwa kuzingatia usawa wa ndege. Hakika, NM ||С 1 C . Kwa hiyo, mstari wa moja kwa moja wa NM ni sawa na PC ya ndege 1 C. Vipande vya PC 1 na A 1 N pia vinafanana, kwani PC ya quadrilateral 1 NA 1 ni parallelogram (A 1 P ||NC 1, A 1 P = NC 1). Kwa hivyo, mstari wa A 1 N unafanana na PC ya ndege 1 C. Mistari A 1 N na NM huingiliana.

4) Ndege za MAD 1 na DB 1 C zinaingiliana (Mchoro 251). Ingawa mstari wa makutano yao sio rahisi kuunda, sio ngumu kuashiria nukta moja ya mstari huu. Hakika, mistari A 1 D na B 1 C ni sambamba, kwa kuwa quadrilateral A 1 B 1 CD ni parallelogram ( A 1 B 1 = AB = CD , A 1 B 1 || AB , AB || CD ). Kwa hiyo, mstari A 1 D ni wa ndege DB 1 C. Mistari A 1 D na AD 1 huingiliana kwa hatua ya kawaida kwa ndege MAD 1 na DB 1 C.


		Ishara iliyotolewa ya usawa wa ndege
		Ishara iliyotolewa ya usawa wa ndege
		wakati mwingine ni rahisi zaidi kutumia katika tofauti kidogo


	1′ (ishara ya ndege sambamba).

Ikiwa mistari miwili inayoingiliana ya ndege moja inafanana kwa mtiririko wa mistari miwili ya ndege nyingine, basi ndege hizi zinafanana.

Kwa kutumia kigezo cha usambamba wa mstari na ndege (Nadharia ya 1 §11), ni rahisi kuthibitisha kwamba hali ya Nadharia 1 inafuata kutoka kwa masharti ya Nadharia 1. Utumiaji wa nadharia ya kinyume kwa kigezo cha usawa wa a. mstari na ndege (Theorem 2 §11) inakamilisha uhalali wa usawa wa masharti ya Theorems 1 na 1 ′.

Kwa kawaida, swali linatokea kuhusu upekee wa ujenzi uliotolewa katika Tatizo la 1. Kwa kuwa tutalazimika kutumia mali hii zaidi ya mara moja, tutaangazia kama nadharia tofauti. Hata hivyo, tuangalie kauli nyingine kwanza.

Theorem 2 (kuhusu makutano ya ndege mbili sambamba na ya tatu).

Ikiwa ndege mbili zinazofanana zimeunganishwa na ndege ya tatu, basi mistari ya makutano ya ndege ni sawa.

 Acha ndege zinazofanana α, β na ndege γ zinazokatiza zipewe (Mchoro 252). Wacha tuonyeshe mistari ya makutano

kupitia a na b. Mistari hii iko kwenye ndege ya γ na haiingiliani, kwani ndege α na β hazina alama za kawaida. Kwa hiyo, moja kwa moja

a na b ni sambamba.

Nadharia ya 3 (juu ya kuwepo na pekee ya ndege inayofanana na hii).

Kupitia hatua iliyo nje ya ndege iliyotolewa, mtu anaweza kuchora ndege moja sambamba na aliyopewa.

 Ujenzi wa ndege hiyo ulifanyika katika tatizo 1. Tutathibitisha upekee wa ujenzi kwa kupingana. Wacha tuchukue kwamba ndege mbili tofauti α na γ zimechorwa kupitia point M, pa-

ndege sambamba β (Mchoro 253), na mstari wa moja kwa moja t ni mstari wa makutano yao. Hebu tuchore ndege δ kupitia hatua ya M, tukivuka mstari

m na ndege β (hii inaweza kufanywaje?). Hebu tuashiria kwa a na b

mstari wa makutano ya ndege δ na ndege α na γ, na kwa njia ya c - mstari wa makutano ya ndege δ na β (Mchoro 253). Kulingana na Theorem 2,a ||c

na b | s. Hiyo ni, katika δ ndege kupitia

mistari miwili iliyonyooka sambamba na mistari iliyonyooka hupitia sehemu ya M. Upinzani unaonyesha kuwa dhana sio sahihi.

Uhusiano wa usawa wa ndege una idadi ya mali ambazo zina analogues katika planimetry.

Nadharia ya 4 (kwenye sehemu za mistari inayofanana kati ya ndege zinazofanana).

Sehemu za mistari inayofanana iliyokatwa na ndege sambamba ni sawa kwa kila mmoja.

 Acha ndege mbili zinazofanana α na β na sehemu zipewe AB

na CD ya mistari ya moja kwa moja a na d, iliyokatwa na ndege hizi (Mchoro 254, a). Hebu tuchore ndege γ kupitia mistari ya moja kwa moja a na d (Mchoro 254, b). Inaingiliana na ndege α na β pamoja na mistari ya moja kwa moja ya AC na BD, ambayo, kulingana na Theorem 2, ni sambamba. Kwa hivyo, ABCD ya quadrilateral ni parallelogram; pande zake kinyume AC na BD ni sawa.

Kutoka kwa mali hapo juu inafuata kwamba ikiwa tunapanga kutoka kwa pointi zote za ndege

upande mmoja wa ndege mistari sambamba urefu sawa, basi mwisho wa makundi haya huunda ndege mbili zinazofanana. Ni juu ya mali hii kwamba ujenzi wa parallelepiped kwa kutumia uwekaji wa makundi ni msingi (Mchoro 255).

Nadharia ya 5 (juu ya mpito wa uhusiano wa usawa wa ndege).

Ikiwa kila moja ya ndege mbili ni sawa na ya tatu, basi ndege hizo mbili zinafanana kwa kila mmoja.

 Acha ndege α na β ziwe sambamba na ndege γ. Hebu tuchukulie hivyo

α na β haziwiani. Kisha ndege α na β zina hatua ya kawaida, na kupitia hatua hii kuna kupita ndege mbili tofauti sambamba na ndege γ, ambayo inapingana na Theorem 3. Kwa hiyo, ndege α na β hazina pointi za kawaida, yaani, zinafanana. .

Nadharia ya 5 ni ishara nyingine ya usawa wa ndege. Inatumika sana katika jiometri na shughuli za vitendo. Kwa mfano, katika jengo la ghorofa nyingi, usawa wa sakafu na ndege za dari kwenye kila sakafu huhakikishia usawa wao kwenye sakafu tofauti.

Tatizo la 2. Thibitisha kwamba ikiwa mstari wa moja kwa moja unaingiliana na ndege α, basi pia huingilia kila ndege sambamba na ndege α.

 Acha ndege α na β zifanane, na mstari wa moja kwa moja upitishe ndege α kwenye ncha A. Hebu tuthibitishe kwamba pia inaingilia ndege

β. Wacha tufikirie kuwa hii sivyo. Kisha mstari wa moja kwa moja a ni sambamba na ndege $ \ beta $. Hebu tuchore ndege γ kupitia mstari wa moja kwa moja na hatua ya kiholela ndege β (Mchoro 256).

Ndege hii inakatiza ndege sambamba α na β pamoja na mistari iliyonyooka b ni. Co-

kulingana na Theorem 2, b || c, yaani, katika ndege γ, mistari miwili a na b hupitia hatua A, sambamba na mstari c. . Mkanganyiko huu unathibitisha kauli hiyo.

Jaribu kuthibitisha mwenyewe kwamba ikiwa ndege α inaingiliana na ndege β, basi pia inaingilia kila ndege sambamba na ndege β.

Mfano 2. Katika tetrahedron ABCD, pointi K, F, E ni midpoints ya kingo DA, DC, DB, am na P - vituo vya wingi wa nyuso ABD na ВСD, kwa mtiririko huo.

1) Anzisha msimamo wa jamaa wa ndege KEF na ABC;

DEF na ABC.

2) Tengeneza njia ya makutano ya ndege za AFB na KEC.

3) Pata eneo la sehemu ya msalaba ya tetrahedron na ndege inayofanana na ABD ya ndege na kupita kwa uhakika P ikiwa kingo zote za tetrahedron ni sawa.

 Hebu tujenge mchoro unaokidhi hali (Mchoro 257, a). 1) Ndege KEF na ABC ziko sambamba, kwa kuzingatia ulinganifu wa ndege (Theorem 1'): mistari inayokatiza KE na KF ya ndege ya KEF ni sambamba na mistari inayokatiza AB na AC ya ndege ya ABC (mistari ya kati ya sambamba

pembetatu zilizopo).

Ndege DEF na ABC huingiliana kwenye mstari wa moja kwa moja BC, kwa kuwa mstari wa moja kwa moja BC ni wa ndege zote mbili, na haziwezi sanjari - pointi A, B, C, D hazilala katika ndege moja.

2) Ndege ya AFB inakatiza na ndege ya KEC kwenye mstari ulionyooka ulio na sehemu ya P, kwa kuwa mistari CE na BF iliyo kwenye ndege hizi iko kwenye ndege ya BCD na inakatiza kwa uhakika P. Hatua nyingine ni hatua ya makutano Q ya mistari ya moja kwa moja AF na CK katika ACD ya ndege (Mchoro 257, b). Kwa wazi, hatua hii ni katikati ya wingi wa uso wa ACD. Makutano yanayohitajika ni mstari wa PQ.

3) Jenga sehemu iliyoainishwa katika hali hiyo, kwa kutumia ishara ya usawa wa ndege. Hebu tuchore mistari kupitia pointi P na Q sambamba na mistari DB na DA, kwa mtiririko huo (Mchoro 257, c). Mistari hii inakatiza sehemu ya CD kwenye sehemu ya L. Mwisho hufuata kutoka kwa mali ya katikati ya wingi wa pembetatu - inagawanya wapatanishi wa pembetatu kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa vertex. Inabakia kutumia nadharia ya Thales. Kwa hivyo, ndege za PLQ na BDA ziko sambamba. Sehemu inayohitajika ni LSN ya pembetatu.

Kwa ujenzi, pembetatu BCD na SCL ni sawa na mgawo wa kufanana CE CP =3 2. Kwa hiyo LS =3 2 BD . Sawa na iliyoanzishwa

usawa ufuatao umeongezwa: LN =3 2 AD,NS =3 2 AB. Inafuata kwamba pembetatu LSN na ABD ni sawa na mgawo wa kufanana wa 3 2. Kulingana na mali ya maeneo ya pembetatu sawa,

S LNS =4 9 S ABD . Inabakia kupata eneo la pembetatu ABD. Kwa-

kwa kuwa, kwa hali, kingo zote za tetrahedron ni sawa na a, basi S ABD =4 3 a 2.

Eneo linalohitajika ni 3 1 3 a 2 .

Inafaa kumbuka kuwa jibu linategemea tu eneo la uso wa ABD. Kwa hiyo, usawa wa kingo zote ni njia tu ya kupata eneo hili. Hivyo, kazi hii inaweza kuwa ya jumla kwa kiasi kikubwa.

Jibu. 1)KEF ||ABC ; 3)3 1 3 a 2.

 Maswali ya mtihani

1. Je, ni kweli kwamba ndege mbili zinafanana ikiwa kila mstari ulio kwenye ndege moja unafanana na ndege nyingine?

2. Ndege α na β zinalingana. Je, kuna mistari ya skew kwenye ndege hizi?

3. Pande mbili za pembetatu ni sawa na ndege fulani. Je, upande wa tatu wa pembetatu unalingana na ndege hii?

4. Pande mbili za parallelogram ni sambamba na ndege fulani. Je, ni kweli kwamba ndege ya parallelogram ni sambamba na ndege iliyotolewa?

5. Je, sehemu za mistari miwili iliyonyooka iliyokatwa na ndege sambamba zinaweza kuwa zisizo sawa?

6. Je, sehemu ya msalaba ya mchemraba inaweza kuwa trapezoid ya isosceles? Je, sehemu ya msalaba ya mchemraba inaweza kuwa pentagon ya kawaida? Je, ni kweli kwamba ndege mbili zinazofanana na mstari mmoja zinafanana?

Mistari ya makutano ya ndege α na β na ndege γ ni sambamba kwa kila mmoja. Je, ndege α na β zinalingana?

Je! nyuso tatu za mchemraba zinaweza kufanana na ndege moja?

Mazoezi ya picha

1. Kielelezo 258 kinaonyesha mchemraba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, pointi M, N, K, L, P ni katikati ya kingo zinazofanana. Jaza meza kulingana na mfano uliotolewa kwa kuchagua eneo linalohitajika ndege α na β.

Kuheshimiana

eneo

α || β α = β

α × β α || β α = β

A1 B1 C1			D 1 KP
na ADC	na BB1 D	na MNP	na BMN

	B 1 KP	A1 DC1	A1 C1 C
na PLN	na DMN	na AB1 C	na MKP

2. Katika Mtini. 259 inaonyesha ABCD ya tetrahedron, pointi K, F, M, N, Q ni katikati ya kingo zinazofanana. Tafadhali onyesha:

1) ndege inayopitia hatua K sambamba na ndege ya ABC;

2) ndege inayopita kwenye mstari wa BD sambamba na ndege ya MNQ.

3. Tambua ni sehemu gani ya takwimu na ndege inayopitia pointi tatu zilizoonyeshwa kwenye takwimu.

kah 260, a)–e) na 261, a)–d).

4. Tengeneza mchoro kulingana na data iliyotolewa.

1) Kutoka kwa wima ya ABCD ya parallelogram iliyolala katika moja ya ndege mbili zinazofanana, mistari ya sambamba hutolewa ambayo huingilia ndege ya pili kwa pointi A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , kwa mtiririko huo.

2) Pembetatu A 1 B 1 C 1 ni makadirio ya pembetatu ABC kwenye ndege α sambamba nayo. Pointi M ni katikati ya jua, M 1 ni makadirio ya uhakika M kwenye ndege α.

207. Katika mchemraba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 pointi O, O 1 ni vituo vya nyuso ABCD na A 1 B 1 C 1 D 1, kwa mtiririko huo, M ni katikati ya makali AB.

1°) Amua nafasi ya jamaa ya ndege MO 1 O

na ADD 1, ABD 1 na CO 1 C 1.

2°) Tengeneza sehemu ya makutano ya ndege DCC 1 na mstari wa moja kwa moja MO 1 na mstari wa makutano ya ndege MCC 1 na A 1 D 1 C 1.

3) Pata eneo la sehemu ya msalaba ya mchemraba kwa ndege sambamba na ndege AD 1 C 1 na kupitia hatua O 1 ikiwa makali ya mchemraba ni sawa na a.

208. Katika tetrahedron ABCD, pointi K, L, P ni vituo vya wingi wa nyuso ABD, BDC, ABC, kwa mtiririko huo, na AM ni katikati ya makali ya AD.

1 °) Tambua nafasi ya jamaa ya ndege za ACD

na KLP, MLK na ABC.

2 °) Jenga hatua ya makutano ya ndege ya ABC na mstari wa ML na mstari wa makutano ya ndege MKL na ABC.

3) Pata eneo la sehemu ya msalaba ya tetrahedron kwa ndege inayopitia alama K, L na M sambamba na mstari wa moja kwa moja wa AD, ikiwa kingo zote za tetrahedron ni sawa.

209. Imepewa mchemraba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Alama L, M, M 1 ni sehemu za kati za kingo AB, AD na A 1 D 1, mtawalia.

1°) Amua nafasi ya jamaa ya ndege B 1 D 1 D

na LMM1.

2) Tengeneza ndege inayopitia sehemu ya M sambamba na ACC 1 ya ndege.

3) Tengeneza sehemu ya mchemraba na ndege inayopitia hatua M 1 sambamba na CDD 1 ya ndege.

4) Amua msimamo wa jamaa wa ndege MA 1 B 1

na CDM1.

5) Tengeneza ndege inayopita kwenye mstari C 1 D 1 sambamba na ndege CDM 1.

210. Katika piramidi ya kawaida ya quadrangularSABCD, kingo zote ni sawa. Alama L, M na N ni sehemu za kati za kingo AS, BS, CS, mtawalia.

1 °) Kuamua nafasi ya jamaa ya: mistari ya moja kwa moja LM na BC; mstari wa moja kwa moja LN na ndege ya ABD; ndege LMN na BDC.

2°) Thibitisha kuwa pembetatu ABC na LMN zinafanana.

3) Jenga sehemu ya piramidi kwa kutumia ndege AMN; ndege LMN; ndegeLBC.

4*) Ni sehemu gani kati ya piramidi inayopita kwenye kipeo cha S inayo eneo kubwa zaidi?

Usambamba wa mistari na ndege

Katika SABC tetrahedron nyuso zote ziko pembetatu za kawaida. Alama L, M na N ni sehemu za kati za kingo AS, BS, CS, mtawalia. 1 °) Tambua nafasi ya jamaa ya mistari ya moja kwa moja LM na BC. 2 °) Tambua nafasi ya jamaa ya mstari wa moja kwa moja wa LN na ndege ya ABC.

3) Thibitisha kuwa pembetatu LMN na ABC zinafanana.


Kutoka kwa vipeo vya sambamba ABCD iliyolala katika moja ya
ndege mbili sambamba, zinazotolewa kwa jozi sambamba
mistari iliyonyooka inayokatiza ndege ya pili inayolingana
hasa kwa pointi A 1, B 1, C 1, D 1.
1°) Thibitisha kuwa sehemu ya pembe nne A 1 B 1 C 1 D 1 inalingana

2°) Thibitisha kuwa sambamba ABCD na A 1 B 1 C 1 D 1
ni sawa kwa kila mmoja.
3°) Bainisha nafasi ya jamaa ya ndege ABC 1
na DD1 C1.
4) Chora ndege 1 kupitia katikati ya sehemu AA hivyo
ili inakatiza mistari hii kwenye sehemu ambazo ni
wima ya parallelogram sawa na parallelogram
katika ABCD.
Imepewa ndege mbili zinazofanana na uhakika O, sio mali ya
kushinikiza yoyote ya ndege hizi na sio kulala kati
yao. Kutoka kwa uhakika O		miale mitatu inachorwa ikikatiza ndege
mifupa, kwa mtiririko huo, katika pointi A, B, C na A 1, B 1, C 1 na si uongo
wakiwa wamelala kwenye ndege moja.
1°) Amua nafasi ya jamaa ya ndege hizi
na ndege inayopita katikati ya sehemu AA 1, BB 1, CC 1.
2) Tafuta mzunguko wa pembetatu A 1 B 1 C 1 ifOA = m,
AA 1 = n, AB = c, AC = b, BC = a.
Pembetatu A 1 B 1 C 1 ni makadirio ya pembetatu ABC
kwenye ndege α sambamba nayo. Point M - katikati ya mia
ron BC ;M 1 - makadirio ya uhakika M			kwenye ndege α. Pointi N
inagawanya upande wa AB		kwa uwiano wa 1:2.	ndege M 1 MN na moja kwa moja
1) Tengeneza sehemu ya makutano N 1
yangu A 1 B 1 .
2) Kuamua sura ya quadrilateral M 1 N 1 NM.
	M iko nje ya ndege ya trapezoid ABCB kutoka msingi-
mi AD	na B.C. Tengeneza mstari wa makutano ya ndege:
1°) ABM na CDM;		2) CBM na ADM.

Tengeneza sehemu ya mchemraba ambayo ni: 1°) pembetatu ya usawa; 2) pentagon.

217. Tengeneza sehemu ya tetrahedron ambayo ni parallelogram.

218°. Thibitisha kuwa nyuso zinazopingana za parallelepiped zinalingana.

219. Thibitisha kwamba seti ya mistari yote inayopita hatua hii na sambamba na ndege iliyotolewa, huunda ndege sambamba na ile iliyotolewa.

220. Kutokana na pointi nne A, B, C, D, si kulala katika ndege moja. Thibitisha kwamba kila ndege inayolingana na mistari AB na CD inakatiza mistari AC, AD, BD, BC kwenye vipeo vya msambamba.

221. Thibitisha kwamba ndege na mstari usio wa ndege hii ni sawa na kila mmoja ikiwa zote mbili zinafanana na ndege moja.

222. Kupitia hatua ya O ya makutano ya diagonals ya mchemraba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ndege hutolewa sambamba na uso wa ABCD. Ndege hii inakatiza kingo za BB 1 na CC 1 kwa pointi M na N, mtawalia. Thibitisha kuwa pembe ya MON ni pembe ya kulia.

223. Thibitisha kwamba ndege mbili ziko sambamba ikiwa tu kila mstari ulionyooka unaokatiza moja ya ndege pia unapita kati ya pili.

224*. Katika piramidi ya pembe tatu ya SABC, kupitia sehemu za AD na CE, ambapo D ni sehemu ya katikati ya SB, na E ni sehemu ya katikati ya SA, chora sehemu za piramidi sambamba kwa kila moja.

225. Tafuta maeneo ya kijiometri:

1) sehemu za kati za sehemu zote zilizo na mwisho kwenye data mbili ndege sambamba; 2*) sehemu za katikati za sehemu zilizo na ncha kwenye mistari miwili iliyopewa ya kukatiza.

226*. Upande AB wa pembetatu ABC iliyo katika ndege α ni sambamba na ndege β. Pembetatu ya usawa 1 B 1 C 1 ni makadirio sambamba pembetatu ABC kwenye ndege β;AB = 5, BC = 6, AC = 9.

1) Anzisha nafasi ya jamaa ya mistari iliyonyooka AB na A 1 B 1,

BC na B1 C1, A1 C1 na AC.

2) Tafuta eneo la pembetatu A 1 B 1 C 1.

227*. Imepewa mistari miwili inayokatiza. Onyesha seti ya pointi zote katika nafasi ambayo mstari unaweza kuchorwa ukipita kila moja ya mistari miwili iliyotolewa.

Ufafanuzi wa kimsingi

Ndege hizo mbili zinaitwa

ziko sambamba,

ikiwa hawana pointi za kawaida.

Kauli kuu

Ishara inayofanana - Ikiwa mistari miwili ya moja kwa moja ya ndege moja ya ndege inafanana kwa mtiririko huo na mistari miwili ya moja kwa moja ya ndege ya pili, basi ndege hizi.

mifupa ni sambamba.

Nadharia juu ya kukatiza Ikiwa ndege mbili zisizo sawa zinaingiliana na ndege ya tatu, basi mistari ya makutano ya tatu ya ndege.

ziko sambamba.

a α,b α,a ×b ,c β,d β,a ||c ,b ||d α || β

α | β, a = γ∩α,b = γ∩βa ||b

Mα

β: α | β,M β

Kujitayarisha kwa mada

kwa tathmini juu ya mada "Ulinganifu wa mistari na ndege"

Kazi za kujidhibiti

1. Pointi nne sio za ndege moja. Je! baadhi yao watatu wanaweza kulala kwenye mstari mmoja ulionyooka?

2. Je! ndege tatu tofauti zinaweza kuwa na pointi mbili zinazofanana?

3. Je, mistari miwili ya skew inaweza kuwa sambamba na mstari wa tatu kwa wakati mmoja?

4. Je, ni kweli sawa a na b haziwiani ikiwa hakuna mstari c sambamba na a na b?

5. Je, wanaweza makundi sawa kuwa na makadirio yasiyo sawa?

6. Je, miale inaweza kuwa makadirio sambamba ya mstari?

7. Je, mraba unaweza kuwa picha ya mchemraba?

8. Je, ni kweli kwamba kupitia hatua fulani katika nafasi ndege moja tu inaweza kuchorwa sambamba na mstari fulani?

9. Je! inawezekana kila wakati kuchora mstari kupitia nukta uliyopewa sambamba na ndege mbili ambazo hazina uhakika huu?

10. Je, inawezekana kuteka ndege sambamba kupitia mistari miwili inayoingiliana?

Majibu kwa kazi za kujidhibiti

Sampuli ya mtihani

Sambamba mbili ABCD na ABC 1 D 1 ziko katika ndege tofauti.

1°) Bainisha nafasi inayolingana ya mistari iliyonyooka ya CD na C 1 D 1.

2 °) Tambua nafasi ya jamaa ya mstari wa moja kwa moja C 1 D 1 na ndege

3°) Tengeneza mstari wa makutano ya ndege DD 1 C 1 na ВСС 1.

4°) Bainisha nafasi inayolingana ya ndege ADD 1 na BCC 1.

5) Kupitia hatua M, kugawanya sehemu ya AB kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa uhakika A, kuchora ndege α sambamba na ndege C 1 BC. 6) Jenga hatua ya makutano ya mstari wa moja kwa moja wa AC na ndege α na upate uwiano ambao hatua hii inagawanya sehemu ya AC.

		Usambamba wa mistari na ndege
Nafasi ya jamaa ya mistari katika nafasi
			Jedwali 21
	Idadi ya pointi za kawaida
Angalau mbili
		lala katika moja	usiseme uongo katika moja
		ndege	ndege

Nafasi ya jamaa ya mistari ya moja kwa moja na ndege katika nafasi

			Jedwali 22

	Idadi ya pointi za kawaida
Angalau mbili		Hakuna

a uongo katika α	na hukatiza α	na i α - sambamba
(a)	(a × α)	ny (a \|\| α)
Mpangilio wa pande zote wa ndege katika nafasi
		Jedwali 23
	Idadi ya pointi za kawaida
Angalau tatu	Angalau moja, lakini	Hakuna
sio kulala	hakuna pointi za kawaida, hakuna le-	Hakuna
mstari mmoja ulionyooka	kushinikiza kwenye mstari mmoja ulionyooka

Trigonometric

Tayari umeshughulikia vipengele vya trigonometric katika masomo ya jiometri. Hadi sasa, maombi yao yalipunguzwa sana katika kutatua pembetatu, yaani, tulikuwa tukizungumza juu ya kupata baadhi ya vipengele vya pembetatu kutoka kwa wengine. Kutoka kwa historia ya hisabati inajulikana kuwa kuibuka kwa trigonometry kunahusishwa na kipimo cha urefu na pembe. Hata hivyo, sasa nyanja

yake maombi ni pana zaidi kuliko nyakati za kale.

Neno "trigonometry" linatokana na Kigiriki τριγωνον

(trigoni) - pembetatu na µετρεω (mita) - kipimo, kipimo-

nabweka. Kwa kweli ina maana ya kupima pembetatu.

KATIKA Sura hii inapanga nyenzo ambazo tayari unazijua kutoka kwa kozi ya jiometri, na kuendelea na utafiti kazi za trigonometric na maombi yao ya kuainisha michakato ya kundi, haswa harakati za mzunguko, michakato ya oscillatory Nakadhalika.

Utumizi mwingi wa trigonometry huhusiana haswa na michakato ya mara kwa mara, ambayo ni, michakato ambayo hurudia kwa vipindi vya kawaida vya wakati. Jua na jua, mabadiliko ya misimu, mzunguko wa gurudumu - hizi ni mifano rahisi zaidi ya taratibu hizo. Mitambo na mitetemo ya sumakuumeme pia ni mifano muhimu ya michakato ya mara kwa mara. Kwa hiyo, utafiti wa michakato ya mara kwa mara ni kazi muhimu. Na jukumu la hisabati katika suluhisho lake ni la kuamua.

kujiandaa kusoma mada "Kazi za Trigonometric"

Inashauriwa kuanza kusoma mada "Kazi za Trigonometric" kwa kukagua ufafanuzi na sifa za kazi za trigonometric za pembe za pembetatu na matumizi yao ya kutatua pembetatu za kulia na za kiholela.

Sine, cosine, tangent, cotangent ya pembe za mstatili

pembetatu

Jedwali 24

Sine ya pembe ya papo hapo ni uwiano upande kinyume kwa hypotenuse:

dhambi α = a c .

Cosine ya pembe ya papo hapo ni uwiano mguu wa karibu kwa hypotenuse:

cosα = b c.

Tangent ya pembe ya papo hapo ni uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu:

tg α =a b .

Cotangent ya pembe ya papo hapo ni uwiano wa upande wa karibu na upande mwingine:

ctgα = a b .

Sine, cosine, tangent, cotangent ya pembe kutoka 0 ° hadi 180 °

Jedwali 25

dhambi α = R y ; cosα = R x;

tg α = x y ; cotgα = x y.

(X;katika) - kuratibu za uhakika A iko kwenye semicircle ya juu, α - angle inayoundwa na radius OA mduara na mhimili X.

Thamani za sine, cosine, tangent, cotangent

pembe fulani

Jedwali 26

Kona t

0°

90°

180°

dhambi t

cos t

tg t

ctg t

Kazi za Trigonometric

Kutatua pembetatu za kiholela

Jedwali 27

Nadharia ya sines

Pande za pembetatu ni sawia na sine za pembe tofauti:

dhambi aα = dhambi bβ = dhambi cγ .

Nadharia ya Cosine

Mraba wa upande wa kiholela wa pembetatu ni sawa na jumla ya miraba ya pande zingine mbili bila bidhaa ya pande hizi mara mbili na cosine ya pembe kati yao:

c2 = a2 + b2 − 2 ab cos γ , b2 = a2 + c2 − 2 ac cos β , a2 = b2 + c2 − 2 bc cos α .

Eneo la pembetatu ni sawa na nusu ya bidhaa ya pande zake mbili na sine ya pembe kati yao:

S=1 2 abdhambiγ = 1 2 acdhambiβ = 1 2 bcdhambiα .

Vitambulisho vya msingi vya trigonometric

)

Jedwali 28

0 ° ≤ α ≤ 180°

dhambi 2 α + cos 2 α = 1

0 ° ≤ α ≤ 180°, α ≠ 90°

1 +tgα = cos2 α

0 ° < α < 180°

1 + ctg 2 α =

dhambi 2 α

Imepewa pembetatu ABC,NA= 90°, Jua=3 ,AB= 2. Nini ni sawa na

KATIKA ?

B. 45 °.

KATIKA. 60 °.

A. 30 °.

G. Haiwezekani kuhesabu bila zana za kompyuta.

Imepewa pembetatu

ABC , NA

Jua= 3,

KATIKA= 60 °. Nini ni sawa na

AB ?

A. 3

B. 6.

3 .

Kulingana na vyama hivi pembetatu ya kulia tafuta

cosine ya pembe yake ndogo: A= 3,b= 4,c

A. 0,8.

Ni ipi kati ya maadili yaliyopewa ambayo haiwezi kuchukua skew-

nus ya pembe ya papo hapo?

7 − 1

7 2

5. Linganisha jumla ya sines pembe kali pembetatu ya kulia ya kiholela (tunaashiria kwaA) na moja.

< 1. B.A= 1.

> 1. G. Haiwezekani kulinganisha. Panga nambari kwa mpangilio wa kupanda: A= dhambi 30 °, b= cos 30 °,

= tg 30 °.

< b<c.B.a<c<b

Kazi za Trigonometric

Je, ni pembe zipi kali ambazo sine chini ya cosine?

Kwa wote.

Kwa ndogo 45 °.

Kwa 45 ° kubwa.

G. Sio kwa mtu yeyote.

Cos ni sawa na nini?

α, ikiwa α ni pembe ya papo hapo ya pembetatu ya mstatili

mraba na dhambiα =

12 .

Urefu wa kivuli cha mti ni m 15. Miale ya Jua huunda pembe

30 ° na uso wa Dunia. Urefu wa takriban ni nini?

mti? Chagua matokeo sahihi zaidi.

B. 13 m.

KATIKA. 7m.

Ni nini thamani ya kujieleza

1 − x2

katika X= – 0,8?

B. –0,6.

G.≈ 1,34.

Kutoka kwa formula a2 +b2 =4 kueleza b< 0 черезa.

A.b=4 −a2 .

B.b=a2 −4 .

b= −a2

− 4 .

b= −4 −a2 .

Nukta A

iko katika robo ya tatu kwa umbali wa 3 kutoka kwa mhimili X Na

kwa umbali

10 kutoka asili. Je, ni kuratibu

ina uhakika A?

B.(−1; 3).

KATIKA.(−1; −3).

G.(−3; −1).

pointi zinazofuata

ni mali

mduara

x 2+ y 2

= 1?

B.(0,5; 0,5).

. G.

15. Taja viwianishi vya uhakikaA, amelala kwenye mzunguko wa radius 1 (angalia takwimu).

(−1; 0).B.(1; 0).

(0; − 1). G.(0; 1).A.KATIKA.

Katika somo hili tutaangalia mali tatu za ndege sambamba: makutano ya ndege mbili sambamba na ndege ya tatu; kuhusu sehemu zinazofanana zilizofungwa kati ya ndege zinazofanana; na kuhusu kukata pande za pembe kwa ndege sambamba. Ifuatayo, tutasuluhisha shida kadhaa kwa kutumia mali hizi.

Mada: Usambamba wa mistari na ndege

Somo: Sifa za Ndege Sambamba

Ikiwa ndege mbili zinazofanana zimeunganishwa na theluthi, basi mistari ya makutano yao ni sawa.

Ushahidi

Hebu ndege zinazofanana na zipewe na ndege inayoingiliana na ndege na kwenye mistari iliyonyooka A Na b ipasavyo (Mchoro 1.).

Moja kwa moja A Na b lala katika ndege moja, yaani katika ndege γ. Hebu tuthibitishe kwamba mistari iliyonyooka A Na b usikatishe.

Ikiwa moja kwa moja A Na b intersected, yaani, ingekuwa na hatua ya kawaida, basi hatua hii ya kawaida itakuwa ya ndege mbili na, na, ambayo haiwezekani, kwa kuwa ni sawa na hali.

Hivyo, moja kwa moja A Na b ziko sambamba, jambo ambalo lilihitaji kuthibitishwa.

Sehemu za mistari sambamba zilizomo kati ya ndege sambamba ni sawa.

Ushahidi

Hebu ndege sambamba na mistari sambamba itolewe AB Na NAD, ambayo huingiliana na ndege hizi (Mchoro 2.). Hebu tuthibitishe kwamba makundi AB Na NAD ni sawa.

Mistari miwili inayofanana AB Na NAD kuunda ndege moja γ, γ = ABDNA. Ndege γ inaingiliana na ndege zinazofanana na kwa mistari inayofanana (kulingana na mali ya kwanza). Kwa hivyo ni sawa AC Na KATIKAD sambamba.

Moja kwa moja AB Na NAD pia ni sambamba (kwa hali). Kwa hivyo ni pembe nne ABDNA- parallelogram, kwa kuwa pande zake kinyume ni sambamba katika jozi.

Kutoka kwa mali ya parallelogram ifuatavyo kwamba makundi AB Na NAD ni sawa, kama inavyotakiwa kuthibitisha.

Ndege sambamba hukata pande za pembe katika sehemu za sawia.

Ushahidi

Hebu tupewe ndege zinazofanana na zinazopunguza pande za pembe A(Mchoro 3.). Inahitajika kuthibitisha hilo.

Ndege sambamba na kukatwa na ndege ya pembe A. Wacha tuite mstari wa makutano ya ndege ya pembe A na ndege - jua, na mstari wa makutano ya ndege ya pembe A na ndege - B 1 C 1. Kulingana na mali ya kwanza, mistari ya makutano Jua Na B 1 C 1 sambamba.

Kwa hivyo pembetatu ABC Na AB 1 C 1 sawa. Tunapata:

3. Tovuti ya hisabati ya Vitaly Stanislavovich Tsegelny ()

4. Tamasha la mawazo ya ufundishaji "Somo wazi" ()

1. Pointi KUHUSU- katikati ya kawaida ya kila sehemu AA 1, BB 1, SS 1, ambazo hazilala kwenye ndege moja. Thibitisha kwamba ndege ABC Na A 1 B 1 C 1 sambamba.

2. Thibitisha kwamba ndege zinazofanana zinaweza kupigwa kupitia mistari miwili ya skew.

3. Thibitisha kwamba mstari unaovuka moja ya ndege mbili zinazofanana pia huingilia pili.

4. Jiometri. Darasa la 10-11: kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya jumla (viwango vya msingi na maalum) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Toleo la 5, lililorekebishwa na kupanuliwa - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: mgonjwa.

Majukumu 6, 8, 9 uk.29

Usambamba wa ndege. Ikiwa mistari miwili inayokatiza ya ndege moja inafanana kwa mtiririko huo na mistari miwili inayokatiza ya ndege nyingine, basi ndege hizi zinafanana.
Ushahidi. Hebu a Na b- data ya ndege, a 1 Na a 2- mistari iliyonyooka kwenye ndege a, nikikatiza kwa uhakika A, b 1 Na b 2 vivyo hivyo, mistari inayolingana nao kwenye ndege b. Wacha tufikirie kwamba ndege a Na b si sambamba, yaani, zinakatiza kwenye mstari fulani ulionyooka Na. Moja kwa moja A 1 ni sambamba na mstari b 1, ambayo ina maana ni sambamba na ndege yenyewe b(ishara ya usawa kati ya mstari na ndege). Moja kwa moja A 2 ni sambamba na mstari b 2, hii ina maana ni sambamba na ndege yenyewe b(ishara ya usawa kati ya mstari na ndege). Moja kwa moja Na ni ya ndege a, ambayo inamaanisha angalau moja ya mistari iliyonyooka a 1 au a 2 hukatiza mstari Na, yaani, ina jambo la kawaida nayo. Lakini moja kwa moja Na pia ni mali ya ndege b, ambayo ina maana ya kuvuka mstari Na, moja kwa moja a 1 au a 2 hukatiza ndege b, ambayo haiwezi kuwa, kwa kuwa wao ni sawa a 1 Na a 2 sambamba na ndege b. Inafuata kutoka kwa hili kwamba ndege a Na b usiingiliane, yaani, ziko sambamba.

Nadharia 1 . Ikiwa ndege mbili zinazofanana zinaingiliana kwa theluthi, basi mistari ya moja kwa moja ya makutano ni sawa.
Ushahidi. Hebu a Na b- ndege sambamba, na g - ndege inawaingilia. Ndege a aliingiliana na ndege g katika mstari ulionyooka A. Ndege b aliingiliana na ndege g katika mstari ulionyooka b. Mistari ya makutano A Na b lala kwenye ndege moja g na kwa hivyo inaweza kuwa mistari inayokatiza au inayolingana. Lakini, mali ya ndege mbili zinazofanana, haziwezi kuwa na pointi za kawaida. Kwa hivyo ziko sambamba.

Nadharia 2. Sehemu za mistari inayofanana iliyofungwa kati ya ndege mbili zinazofanana ni sawa.
Ushahidi. Hebu a Na b- ndege sambamba, na A Na b- mistari inayofanana inayokatiza. Kupitia mistari iliyonyooka A Na b tutafanya ndege g (mistari hii ni sambamba, ambayo ina maana fafanua ndege, na moja tu). Ndege a aliingiliana na ndege g kwa mstari wa moja kwa moja AB . Ndege b aliingiliana na ndege g kando ya mstari wa moja kwa moja wa SD. Kulingana na nadharia ya awali, mstari wa moja kwa moja Na sambamba na mstari d. Moja kwa moja A,b, AB Na SD ni mali ya ndege g Upande wa nne uliofungwa na mistari hii ni parallelogram (pande zake kinyume ni sambamba). Na kwa kuwa hii ni parallelogram, basi pande zake kinyume ni sawa, yaani, AD = BC

e mali ya pa mistari sambamba, inayoitwa mpitousambamba:

Ikiwa mistari miwili a na b ni sambamba na mstari wa tatu c, basi ni sambamba sisi kwa sisi.

Lakini ni vigumu zaidi kuthibitisha mali hii katika stereometry. Kwenye ndege, mistari isiyo na usawa lazima ikatike na kwa hiyo haiwezi kuwa sambamba na mstari wa tatu kwa wakati mmoja (vinginevyo axiom inayofanana inakiukwa). Katika prokatika nafasi kuna yasiyo ya sambamba nakiasi cha mistari iliyotenganaikiwa wanalala kwenye ndege tofauti. Mistari hiyo iliyonyooka inasemekana kuvuka.

Katika Mtini. 4 inaonyesha mchemraba; mistari ya moja kwa moja AB na BC inaingiliana, AB na CDziko sambamba, na AB na B NA kuchana. Katika siku zijazo, mara nyingi tutaamua msaada wa mchemraba kuelezeajaribu dhana na ukweli wa stereometry. Mchemraba wetu umeunganishwa kutoka kwa nyuso sita za mraba. Kulingana na hili, tutapata sifa zake nyingine. Kwa mfano, tunaweza kusema kwamba mstari AB ni sambamba na CD,kwa sababu zote mbili ni sambamba na upande wa kawaida wa CD naviwanja wakiwashikilia.

Katika stereometry, uhusiano wa sambamba pia huzingatiwa kwa ndege: ndege mbiliMstari au mstari na ndege ni sawa ikiwa hawana pointi za kawaida. Ni rahisi kuzingatia mstari wa moja kwa moja na ndege kuwa sambamba hata wakati iko kwenye ndege. Kwa ndege na mistari iliyonyooka nadharia zifuatazo za upitishaji ni halali:

Ikiwa ndege mbili zinafanana na ndege ya tatu, basi zinafanana kwa kila mmoja.
Ikiwa mstari na ndege ni sawa na mstari fulani (au ndege), basi ni sawa kwa kila mmoja.

Kesi muhimu zaidi ya nadharia ya pili ni ishara ya usawa kati ya mstari na ndege:

Mstari ni sambamba na ndege ikiwa ni sambamba na mstari fulani katika ndege hii.

Na hapa kuna ishara ya ndege zinazofanana:

Ikiwa mistari miwili inayoingiliana katika ndege moja ni sawa na mistari miwili inayoingiliana katika ndege nyingine, basi ndege zinafanana.

Nadharia ifuatayo rahisi hutumiwa mara nyingi:

Mistari ambayo ndege mbili zinazofanana huingiliana na theluthi ni sawa kwa kila mmoja.

Hebu tuangalie mchemraba tena (Mchoro 4). Kutoka kwa ishara ya usawa kati ya mstari na ndege inafuata, kwa mfano, mstari wa moja kwa moja A KATIKA sambamba na ndege ABCD (kwa kuwa ni sambamba na mstari AB katika ndege hii), na nyuso kinyume cha mchemraba, hasa A. KATIKA NA D na ABCD, sambamba kulingana na ulinganifu wa ndege: mistari iliyonyooka A B na B NA katika uso mmoja ni mtiririko sambamba na mistari iliyonyooka AB na BC katika nyingine. Na mfano rahisi kidogo. Ndege iliyo na mistari sambamba AA na SS, kati ya ndege zinazofanana ABCD na A B C D kwa mistari iliyonyooka AC na A NA, hii ina maana kwamba mistari hii ni sambamba: vivyo hivyo, mistari sambamba B C na A D. Kwa hiyo, ndege sambamba AB C na A DC inakatiza mchemraba katika pembetatu.

III. Picha ya takwimu za anga.

Kuna vile aphorism Jiometrini majaribuuwezo wa kufikiria kwa usahihi kwenye mchoro usio sahihi. Kwa kweli, ikiwa tutarudiKulingana na hoja hapo juu, zinageuka:

faida pekee tuliyopata kutokana na mchoro unaoandamana wa mchemraba ni kwamba ilituokoa nafasi katika kuelezanukuu za NI. Inaweza kuonyeshwa kwa urahisi kama mwili kwenye Mtini. 4, mimi, ingawa, ni wazi, kitu kilichowakilishwa juu yake sio tu si mchemraba, lakini pia si polyhedron. Na bado, aphorism hapo juu ina sehemu tu ya ukweli. Baada ya yote, kabla ya kujadiliwasilisha uthibitisho uliokamilika, lazima iwefikiri. Na kwa hili unahitaji kufikiria wazi takwimu iliyotolewa, mahusiano kati ya vipengele vyake. Mchoro mzuri husaidia kukuza wazo kama hilo. Kwa kuongeza, kama tutakavyoona, katika sterometry kuchora kwa mafanikio kunawezainaweza kuwa si kielelezo tu, bali msingi wa kutatua tatizo.

Msanii (au tuseme, msanii wa uhalisia) amewashwahuchota mchemraba wetu jinsi tunavyouona (Mchoro 5, b), i.e. kwa mtazamo, au katikati.hakuna makadirio. Na makadirio ya kati kutoka kwa uhakika O (kituo cha makadirio) kwenye ndege,hatua ya kiholela X inawakilishwa na hatua ya X ambayo a huingilia mstari wa moja kwa moja OX (Mchoro 6). Makadirio ya kati hudumisha unyoofumpangilio wa mstari wa alama, lakini, kama sheria, hubadilisha mistari inayofanana kuwa makutanokubadilisha, bila kutaja ukweli kwamba inabadilisha umbali na pembe. Kusoma sifa zake katikailisababisha kuibuka kwa sehemu muhimu ya jiometri (tazama makala jiometri Projective).

Lakini katika michoro za kijiometri makadirio tofauti hutumiwa. Tunaweza kusema kwamba hupatikana kutoka kwa ile ya kati wakati kituo cha O kinaposogea mbali na kutokuwa na mwisho na mistari iliyonyooka OX inakuwa pa.sambamba.

Wacha tuchague ndege a na mstari wa moja kwa moja unaoukata. Wacha tuchore mstari wa moja kwa moja kupitia hatua X, pasambamba l. Hatua ya X ambayo mstari huu hukutana na ni makadirio ya sambamba ya X kwenye ndege, a pamoja na mstari wa moja kwa moja l (Mchoro 7). Kuhusumakadirio ya takwimu yana makadirio ya pointi zake zote. Katika jiometri, picha ya takwimu ni makadirio yake sambamba.

Hasa, picha ya mstari wa moja kwa mojani mstari ulionyooka au (katika hali za kipekee)chai, wakati mstari ni sambamba na mwelekeo wa makadirio) uhakika. Kuna sambamba katika picha