Wacha ndege na nukta ambayo haijalala juu yake itolewe:
Perpendicular imeshuka kutoka kwa hatua fulani kwenye ndege iliyotolewa ni sehemu inayounganisha hatua fulani na hatua kwenye ndege na kulala kwenye mstari wa moja kwa moja kwa ndege;
- mwisho wa sehemu hii iliyo kwenye ndege inaitwa msingi wa perpendicular;
- umbali kutoka hatua hadi ndege ni urefu wa perpendicular inayotolewa kutoka hatua hii hadi ndege;
Mstari ulioelekezwa kutoka kwa sehemu fulani hadi kwa ndege fulani ni sehemu yoyote inayounganisha sehemu fulani na hatua kwenye ndege ambayo si ya kawaida kwa ndege;
- mwisho wa sehemu iliyolala kwenye ndege inaitwa msingi uliowekwa;
Sehemu inayounganisha misingi ya perpendicular na oblique inayotolewa kutoka kwa hatua sawa inaitwa makadirio ya oblique.
Katika takwimu, kutoka kwa uhakika A, perpendicular AB na AC iliyoelekezwa huchorwa kwenye ndege. Uhakika B ndio msingi wa perpendicular, hatua C ndio msingi wa ile iliyoelekezwa, BC ni makadirio ya AC iliyoelekezwa kwenye ndege.
Nadharia tatu za Perpendicular:
Ikiwa mstari wa moja kwa moja umechorwa kwenye ndege kupitia msingi ulioelekezwa, perpendicular yake makadirio, basi ni perpendicular kutega. Na kinyume chake: Ikiwa mstari wa moja kwa moja katika ndege ni perpendicular kwa moja iliyoelekezwa, basi ni perpendicular na. makadirio ya oblique.
Ndege mbili zinazoingiliana huitwa perpendicular ikiwa ndege ya tatu, perpendicular kwa mstari wa makutano ya ndege hizi, inawaingilia kwa mistari ya perpendicular.
Mfano #1
Mstari wa moja kwa moja hutolewa katikati ya mduara ulioandikwa katika pembetatu, perpendicular kwa ndege ya pembetatu. Thibitisha kuwa kila nukta kwenye mstari huu ni sawa kutoka kwa pande za pembetatu.
Hebu A, B, C iwe pointi za kuwasiliana za pande za pembetatu na mduara, O iwe katikati ya duara na S iwe hatua kwenye perpendicular. Kwa kuwa radius OA ni perpendicular kwa upande wa pembetatu, basi, kwa mujibu wa theorem ya perpendiculars tatu, sehemu SA ni perpendicular kwa upande huu, na urefu wake ni umbali kutoka hatua S hadi upande wa pembetatu. Kulingana na nadharia ya Pythagorean, SA=, ambapo r ni radius ya duara iliyoandikwa. Vile vile tunapata: 
, i.e. umbali wote kutoka kwa uhakika S hadi pande za pembetatu ni sawa.
Maswali ya kudhibiti:
- Ni nini perpendicular imeshuka kutoka kwa sehemu fulani hadi kwenye ndege?
- makadirio ya oblique ni nini?
Sehemu ya vitendo:
1. Kutokana na mstari wa moja kwa moja a na ndege. Chora kupitia mstari ndege inayoendana na ndege.
2. Thibitisha kwamba ikiwa mstari unafanana na ndege, basi pointi zake zote ziko umbali sawa kutoka kwa ndege.
3. Mielekeo miwili hutolewa kutoka kwa uhakika hadi kwenye ndege, moja ambayo ni kubwa zaidi ya 20 cm kuliko nyingine. Makadirio yaliyopendekezwa ni 10 cm na 30 cm.
4. Upande wa mraba ni 4 cm hatua ya equidistant kutoka wima zote za mraba ni katika umbali wa 6 cm kutoka hatua ya makutano ya diagonals yake. Tafuta umbali kutoka kwa hatua hii hadi wima za mraba.
5. Miteremko miwili ya kutega hutolewa kutoka kwa uhakika hadi kwa ndege, sawa na cm 10 na 17 cm Tofauti katika makadirio ya wale wanaopenda ni 9 cm.
6. Miteremko miwili ya mwelekeo hutolewa kutoka kwa uhakika hadi kwa ndege, sawa na 23 cm na 33 cm Pata umbali kutoka kwa hatua hii hadi ndege ikiwa makadirio ya wale wanaoelekea ni katika uwiano wa 2: 3.
8. Mstari wa a ni sawa na ndege ya ABC. MD = 13. AC = 15, BC = 20. AC BC, MD AB. Tafuta MC.
9. Miguu ya pembetatu ya kulia ABC (C = 90 °) ni sawa na 4 cm na 3 cm Point M iko umbali wa √6 cm kutoka kwa ndege ya pembetatu ABC na kwa umbali sawa kutoka kwa wima zake zote. Tafuta umbali kutoka kwa uhakika M hadi wima ya pembetatu.
Fasihi:
1. Hisabati: kitabu cha kiada kwa taasisi zinazoanza. na Jumatano Prof. elimu / M.I. Bashmakov. -M.: Kituo cha Uchapishaji "Chuo", 2010.
Kazi ya kujitegemea nambari 5.
Kutatua matatizo yanayohusisha kuhesabu idadi ya uwekaji na vibali.
Kusudi la somo: kujua mbinu za kutatua shida zinazojumuisha kuhesabu idadi ya sampuli
Sehemu ya kinadharia:
Combinatorics ni sehemu ya hisabati ambayo imejitolea kutatua matatizo ya kuchagua na kupanga vipengele vya kuweka fulani kwa mujibu wa sheria zilizopewa, i.e. combinatorics hutatua tatizo la kuchagua vipengele kutoka kwa seti yenye kikomo na kupanga vipengele hivi kwa mpangilio fulani.
Mipangilio ya n - elementi kwa m - elementi () ni michanganyiko inayoundwa na kupewa n - elementi kwa m - vipengele vinavyotofautiana ama katika vipengele vyenyewe au kwa mpangilio wa vipengele.
N(n-1)(n-2)…(n-m+1)
Mfano Nambari 1. Ni nambari ngapi za tarakimu tatu zinaweza kufanywa kutoka kwa namba 1...9?
Vibali vya n - vipengele ni idadi ya uwekaji wa vipengele hivi vya n - kwa n - vipengele.
N(n-1)(n-2)…1=n!
Mfano Nambari 2. Ni kwa njia ngapi vitabu 5 vinaweza kupangwa kwenye rafu?
Mchanganyiko wa n - vipengele kwa m - vipengele ni mchanganyiko unaoundwa na kupewa n - vipengele na m - vipengele ambavyo hutofautiana kutoka kwa kila mmoja kwa angalau kipengele kimoja.
Mfano Nambari 3. Kuna wanafunzi 30 katika kikundi. Ili kupitisha mtihani, wanapaswa kugawanywa katika vikundi vitatu. Je, hili linaweza kufanywa kwa njia ngapi?
Maswali ya kudhibiti:
1. Eleza malengo ya combinatorics.
2. Nambari ya mchanganyiko wa vipengele vya n vya m inaitwaje?
3. Nambari ya uwekaji wa vipengele vya n katika m inaitwaje?
4. Ni nini kinachoitwa permutation ya vipengele vya n?
Sehemu ya vitendo:
1. Je, ni kwa njia ngapi kundi la watu 25 linaweza kutuma wanafunzi 4 kwenye mkutano wa kisayansi na wa vitendo?
2. Wanafunzi kumi walipeana mikono. Kulikuwa na kupeana mikono mara ngapi?
3. Ni kwa njia ngapi bendera yenye milia ya rangi tatu inaweza kufanywa kutoka kwa vipande saba vya nyenzo za rangi tofauti?
4. Je, ni kamusi ngapi zinapaswa kuchapishwa ili kuweza kutafsiri kutoka kwa mojawapo ya lugha hizo tano hadi mojawapo ya lugha hizo?
5. Kokotoa:
6. Hesabu:
7. Hesabu: 5! + 6!
8. Tafuta idadi ya mipangilio ya vipengele 10 vya 4.
9. Hesabu:
10. Wanafunzi thelathini walibadilishana picha. Ni picha ngapi kwa jumla?
11. Je, watu watatu wanaweza kuchaguliwa kwa njia ngapi kutoka kwa wagombea wanane kwa nafasi tatu?
12. Tatua mlingano:
13. Kokotoa thamani ya usemi:
14. Kokotoa thamani ya usemi.
5. Mistari sambamba
Mistari miwili iliyonyooka inaitwa sambamba, ikiwa, wakiwa katika ndege moja, hawaingiliani.
Usambamba wa mistari unaonyeshwa na ishara || (kwa mfano AB||CD).
Nadharia. Perpendiculars mbili kwa mstari huo ni sambamba.
Uthibitisho: Ikiwa perpendiculars ziliingiliana wakati fulani, basi perpendiculars mbili zitatolewa kutoka kwa hatua hii kwenye mstari wa moja kwa moja, ambayo haiwezekani.
Majina ya pembe zilizopatikana wakati mistari miwili iliyonyooka inapoingiliana na ya tatu
Ishara za usawa.
Iwapo, wakati mistari miwili iliyonyooka inapoingiliana na mstari wa tatu ulionyooka:
pembe zozote zinazolingana ni sawa,
au pembe zingine za njia panda ni sawa,
au jumla ya pembe mbili za ndani au mbili za nje za upande mmoja ni sawa na digrii 180,
kisha mistari miwili ni sambamba.
Axiom ya mistari inayofanana.
Kupitia hatua sawa haiwezekani kuteka mistari miwili tofauti sambamba na mstari huo.Muhimu 1. Ikiwa mstari unaingilia moja ya mistari inayofanana, basi pia huingilia nyingine.
Muhimu 2. Mistari miwili sambamba na ya tatu ni sambamba.
Pembe zilizo na pande zinazofanana au za perpendicular kwa mtiririko huo.
Nadharia. Ikiwa pande za pembe moja ni sawa na pande za pembe nyingine, basi pembe kama hizo ni sawa au zinaongeza hadi pembe mbili za kulia.
Nadharia. Ikiwa pande za pembe moja ni sawa kwa pande za pembe nyingine, basi pembe kama hizo ni sawa au zinaongeza hadi pembe mbili za kulia.
Jumla ya pembe za pembetatu na poligoni.
Nadharia. Jumla ya pembe za pembetatu ni sawa na pembe mbili za kulia.
Matokeo
:1. Kila pembe ya nje ya pembetatu ni sawa na jumla ya pembe mbili za ndani.
2. Ikiwa pembe mbili za pembetatu moja ni sawa na pembe mbili za pembetatu nyingine, basi pembe ya tatu pia ni sawa.
3. Jumla ya pembe mbili za papo hapo za pembetatu ya kulia ni sawa na pembe ya kulia.
Nadharia. Jumla ya pembe
n-gon ni 180*(n-2) digrii.Nadharia. Jumla ya pembe za nje za poligoni ni sawa na pembe nne za kulia.
2. Kwa kuzingatia mistari miwili inayokatiza kwenye nukta C. Je, mstari wowote wa tatu uko nao katika ndege moja, ukiwa na ncha inayofanana kwa kila moja ya mistari hii?
3.
4. Umbali kati ya ndege mbili zinazofanana ni 8 cm Sehemu ya moja kwa moja, ambayo urefu wake ni 17 cm, iko kati yao ili mwisho wake uwe wa ndege. Tafuta makadirio ya sehemu hii kwenye kila moja ya ndege.
5. Kamilisha sentensi ili kutoa kauli sahihi:
D) sijui
6. Mistari a na b ni ya pembeni. Alama A na B ni za mstari wa moja kwa moja a, pointi C na D ni za mstari wa moja kwa moja b. Je, mistari iliyonyooka AC na BD ziko kwenye ndege moja?
7. Katika mchemraba ABCDA1B1C1D1 diagonals ya nyuso AC na B1D1 hutolewa. msimamo wao ukoje?
8. Ukingo wa mchemraba ABCDA1B1C1D1 ni sawa na m. Tafuta umbali kati ya mistari iliyonyooka AB na CC1.
A) 2m B) 1/2m C) m D) sijui
9. Amua ikiwa taarifa hiyo ni ya kweli:
A) ndiyo B) hapana C) si mara zote D) hawajui
10. Katika mchemraba ABCDA1B1C1D1, pata pembe kati ya ndege za BCD na ВСС1В1.
A) 90° B) 45° C) 0° D) 60°
11. Kuna prism iliyo na uso wa upande mmoja tu wa msingi?
A) ndiyo B) hapana C) sijui
12. Je, diagonal ya parallelepiped ya mstatili inaweza kuwa chini ya makali yake ya upande?
A) ndiyo B) hapana C) sijui
13. Je! ni eneo gani la uso la mchemraba lenye makali 10?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Je! ni eneo gani la jumla la uso wa mchemraba ikiwa ulalo wake ni d?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Je, piramidi ya kawaida ya quadrangular ina ndege ngapi za ulinganifu?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Ni sehemu gani ya axial ya piramidi yoyote ya kawaida?
A) pembetatu ya usawa
B) mstatili
B) trapezoid
D) pembetatu ya isosceles
tafadhali nisaidie kutatua mtihani1. Ndege mbili tofauti zisizo sanjari zinaweza kuwa na njia ngapi za kawaida?
A) 1 B) 2 C) idadi isiyo na kikomo ya D) hakuna E) sijui
2. Kwa kuzingatia mistari miwili inayokatiza kwenye nukta C. Je, mstari wowote wa tatu uko nao katika ndege moja, ukiwa na ncha inayofanana na kila moja ya mistari hii?
A) daima ndiyo B) daima hakuna C) uongo, lakini si mara zote D) sijui
3. Amua ikiwa taarifa hiyo ni ya kweli:
Ndege mbili ziko sambamba ikiwa ziko sambamba na mstari mmoja.
A) ndio B) hapana C) sijui D) sio kila wakati
4. Umbali kati ya ndege mbili zinazofanana ni 8 cm Sehemu ya moja kwa moja, ambayo urefu wake ni 17 cm, iko kati yao ili mwisho wake uwe wa ndege. Tafuta makadirio ya sehemu hii kwenye kila moja ya ndege.
A) 15 cm B) 9 cm C) 25 cm D) sijui
5. Kamilisha kishazi ili kutoa kauli sahihi:
Ikiwa mstari wa moja kwa moja ulio katika moja ya ndege mbili za pembeni ni sawa na mstari wao wa makutano, basi ...
A) sambamba na ndege nyingine
B) huingiliana na ndege nyingine
B) perpendicular kwa ndege nyingine
D) sijui
6. Mistari a na b ni perpendicular. Alama A na B ni za mstari wa moja kwa moja a, pointi C na D ni za mstari wa moja kwa moja b. Je, mistari iliyonyooka AC na BD ziko kwenye ndege moja?
A) ndiyo B) hapana C) si mara zote D) hawajui
7. Katika mchemraba ABCDA1B1C1D1 diagonals ya nyuso AC na B1D1 hutolewa. msimamo wao ukoje?
A) vuka B) kati C) sambamba D) hawajui
8. Ukingo wa mchemraba ABCDA1B1C1D1 ni sawa na m. Tafuta umbali kati ya mistari iliyonyooka AB na CC1.
A) 2m B) B) m D) sijui
9. Amua ikiwa taarifa hiyo ni ya kweli:
Ikiwa mistari miwili ya moja kwa moja huunda pembe sawa na ndege sawa, basi zinafanana.
A) ndiyo B) hapana C) si mara zote D) hawajui
10. Katika mchemraba ABCDA1B1C1D1, pata pembe kati ya ndege za BCD na ВСС1В1.
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. Je, kuna prism yenye uso wa upande mmoja tu unaoelekea msingi?
A) ndiyo B) hapana C) sijui
12. Je, diagonal ya parallelepiped ya mstatili inaweza kuwa chini ya makali yake ya upande?
A) ndiyo B) hapana C) sijui
13. Ni eneo gani la uso wa upande wa mchemraba wenye makali 10?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Je! ni eneo gani la jumla la uso wa mchemraba ikiwa ulalo wake ni d?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Piramidi ya kawaida ya quadrangular ina ndege ngapi za ulinganifu?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Ni sehemu gani ya axial ya piramidi yoyote ya kawaida?
A) pembetatu ya usawa
B) mstatili
B) trapezoid
D) pembetatu ya isosceles
pointi ambazo haziko kwenye mstari huo huo?
2. Je, ndege mbili tofauti zinaweza kuwa na pointi mbili tu za kawaida?
Moja kwa moja a nab vuka kwa uhakika M. Mstari wa moja kwa moja c usiopita kwenye hatua M hukatiza mistari A Na b. Je, mistari hii yote mitatu iko kwenye ndege moja? Ni nafasi gani ya jamaa ya mistari: 1) A 1 D Na MN; 2) A 1 D Na V 1C; 3) MN Na A1B1(Mchoro 1). Moja kwa moja A Na b kuvuka kwa mstari ulionyooka Na. Inaweza moja kwa moja A Na b kuwa sambamba? Mistari miwili ni sambamba na ndege moja. Je, tunaweza kusema kwamba mistari hii ni sambamba kwa kila mmoja? Ikiwa sivyo, msimamo wao ni upi? Katika Mchoro 2 kuna mistari ya moja kwa moja aina sambamba. Pointi A Na KATIKA kwa mtiririko huo ni wa aina ya moja kwa moja; b iko kwenye ndege α, a\\b. Je! ni nafasi gani ya jamaa ya mistari b na c? Imepewa pembe nne ABCD na ndege α. Milalo yake AC Na BD sambamba na ndege α. Ni nini msimamo wa pande zote AB na ndege α? Ndege α na β ni sambamba. Kuingiliana kwa hatua M moja kwa moja A Na b kukatiza ndege α kwa mtiririko huo katika pointi KATIKA Na A, na ndege β - kwa pointi E Na F Tafuta mtazamo
10. Utulivu α hupitia diagonal ya msingi wa parallelepiped na katikati ya moja ya pande za msingi wa juu. Tambua aina ya sehemu.