Yandex.RTB R-A-339285-1

Должината на векторот a → ќе се означи со → . Оваа нотација е слична на модулот на број, така што должината на векторот се нарекува и модул на вектор.

За да се најде должината на векторот на рамнината од неговите координати, потребно е да се разгледа правоаголен Декартов координатен систем O x y. Нека во него е наведен некој вектор a → со координати a x; ај. Да воведеме формула за наоѓање на должината (модулот) на векторот a → преку координатите a x и a y.

Да го нацртаме векторот O A → = a → од потеклото. Дозволете ни да ги одредиме соодветните проекции на точката А на координатни оскикако A x и A y. Сега разгледајте го правоаголникот O A x A A y со дијагонала O A.

Од Питагоровата теорема следи еднаквоста O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , од каде O A = O A x 2 + O A y 2 . Од веќе позната дефиницијавекторски координати во правоаголни Декартов системкоординати наоѓаме дека O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по конструкција, должината на O A е еднаква на должината на векторот O A →, што значи O A → = O A x 2 + O A y 2.

Од ова излегува дека формула за наоѓање должина на векторот a → = a x; a y има соодветна форма: a → = a x 2 + a y 2 .

Ако векторот a → е даден како проширување во координатни вектори a → = a x · i → + a y · j →, тогаш неговата должина може да се пресмета со користење на истата формула a → = a x 2 + a y 2, во во овој случајкоефициентите a x и a y делуваат како координати на векторот a → in даден системкоординати

Пример 1

Пресметај ја должината на векторот a → = 7 ; д, специфициран во правоаголен координатен систем.

Решение

За да ја пронајдеме должината на векторот, ќе ја користиме формулата за наоѓање должина на вектор од координатите a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Одговор: a → = 49 + e.

Формула за наоѓање на должина на вектор a → = a x ; a y; a z од неговите координати во Декартовиот координатен систем Oxyz во просторот, е изведен слично на формулата за случајот на рамнина (види слика подолу)

Во овој случај, O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (бидејќи OA е дијагонала правоаголен паралелепипед), па оттука O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Од дефиницијата на векторски координати можеме да ги запишеме следните еднаквости O A x = a x ; O A y = a y; O A z = a z; , а должината OA е еднаква на должината на векторот што го бараме, затоа, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Следи дека должината на векторот a → = a x ; a y; a z е еднакво на a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Пример 2

Пресметај ја должината на векторот a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , каде што i → , j → , k → се единечни вектори правоаголен системкоординати

Решение

Дадено е векторското разложување a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k →, неговите координати се a → = 4, - 3, 5. Користејќи ја горната формула, добиваме → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.

Одговор: a → = 5 2 .

Должина на векторот низ координатите на неговите почетни и крајни точки

Погоре беа изведени формули кои ви дозволуваат да ја пронајдете должината на векторот од неговите координати. Разгледавме случаи во авионот и во тродимензионален простор. Да ги искористиме за да ги најдеме координатите на векторот од координатите на неговите почетни и крајни точки.

Значи, со оглед на поени со дадени координати A (a x ; a y) и B (b x ; b y), па оттука векторот A B → има координати (b x - a x ; b y - a y) што значи дека неговата должина може да се определи со формулата: A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2

И ако точките со дадени координати A (a x ; a y ; a z) и B (b x ; b y ; b z) се дадени во тродимензионален простор, тогаш должината на векторот A B → може да се пресмета со формулата

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Пример 3

Најдете ја должината на векторот A B → ако во правоаголниот координатен систем A 1, 3, B - 3, 1.

Решение

Користејќи ја формулата за наоѓање должина на векторот од координатите на почетната и крајната точка на рамнината, добиваме A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Второто решение вклучува примена на овие формули за возврат: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

Одговор: A B → = 20 - 2 3 .

Пример 4

Определете во кои вредности должината на векторот A B → е еднаква на 30 ако A (0, 1, 2); B (5 , 2 , λ 2) .

Решение

Прво, да ја запишеме должината на векторот A B → користејќи ја формулата: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

Потоа го изедначуваме добиениот израз со 30, од ​​тука го наоѓаме бараниот λ:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 и λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Одговор: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Наоѓање на должина на вектор со помош на косинусова теорема

За жал, во проблемите координатите на векторот не се секогаш познати, така што ќе разгледаме други начини за наоѓање на должината на векторот.

Нека се дадени должините на два вектори A B → , A C → и аголот меѓу нив (или косинус на аголот), и треба да ја пронајдете должината на векторот B C → или C B → . Во овој случај, треба да ја користите косинусната теорема во триаголникот △ A B C и да ја пресметате должината на страната B C, која е еднаква на саканата должина на векторот.

Да го разгледаме овој случај користејќи го следниов пример.

Пример 5

Должините на векторите A B → и A C → се 3 и 7, соодветно, а аголот меѓу нив е π 3. Пресметај ја должината на векторот B C → .

Решение

Должината на векторот B C → во овој случај е еднаква на должината на страната B C на триаголникот △ A B C. Должините на страните A B и A C на триаголникот се познати од условот (тие се еднакви на должините на соодветните вектори), познат е и аголот меѓу нив, така што можеме да ја користиме косинусната теорема: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Така, B C → = 37 .

Одговор: B C → = 37 .

Значи, за да се најде должината на векторот од координатите, постојат следните формули a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , од координатите на почетната и крајната точка на векторот A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 или A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, во некои случаи треба да се користи косинусната теорема .

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Апсцисата и ординатна оска се нарекуваат координати вектор. Векторските координати обично се означени во формата (x, y), а самиот вектор како: =(x, y).

Формула за одредување векторски координати за дводимензионални проблеми.

Кога дводимензионален проблемвектор со познати координати на точки A(x 1;y 1)И Б(x 2 ; y 2 ) може да се пресмета:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Формула за определување векторски координати за просторни проблеми.

Во случај на просторен проблем, вектор со познат координати на точкиА (x 1; y 1;z 1 ) и Б (x 2 ; y 2 ; z 2 ) може да се пресмета со формулата:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Координатите се дадени сеопфатен описвектор, бидејќи е можно да се конструира самиот вектор користејќи ги координатите. Знаејќи ги координатите, лесно е да се пресметаат и должина на векторот. (Својството 3 подолу).

Својства на векторските координати.

1. Било кој еднакви вектори В унифициран системкоординати имаат еднакви координати.

2. Координати колинеарни вектори пропорционален. Под услов ниту еден од векторите да не е нула.

3. Квадрат на должината на кој било вектор еднаков на збиротквадрат го координати.

4. За време на операција векторско множењена реален бројсекоја негова координата се множи со овој број.

5. При собирање вектори го пресметуваме збирот на соодветните векторски координати.

6. Скаларен производдва вектори е еднаков на збирот на производите на нивните соодветни координати.

Прво ниво

Координати и вектори. Сеопфатен водич (2019)

Во оваа статија, ќе започнеме да разговараме за едно „магично стапче“ кое ќе ви овозможи да намалите многу геометриски проблеми на едноставна аритметика. Овој „стап“ може многу да ви го олесни животот, особено кога не сте сигурни за градење просторни фигури, делови итн. Сето ова бара одредена имагинација и практични вештини. Методот што ќе почнеме да го разгледуваме овде ќе ви овозможи речиси целосно да се апстрахирате од секаков вид геометриски конструкциии расудување. Методот се нарекува „Координатен метод“. Во оваа статија ќе ги разгледаме следниве прашања:

1. Координатен авион
2. Точки и вектори на рамнината
3. Конструирање на вектор од две точки
4. Векторска должина (растојание помеѓу две точки).
5. Координати на средината на сегментот
6. Точка производ на вектори
7. Агол помеѓу два вектори

Мислам дека веќе погодивте зошто методот на координати се нарекува така? Така е, го доби тоа име затоа што не работи геометриски објекти, и со нив нумерички карактеристики(координати). И самата трансформација, која ни овозможува да преминеме од геометријата во алгебра, се состои во воведување на координатен систем. Ако првобитната фигура била рамна, тогаш координатите се дводимензионални, а ако фигурата е тродимензионална, тогаш координатите се тридимензионални. Во оваа статија ќе го разгледаме само дводимензионалниот случај. И главната цел на статијата е да ве научи како да користите некои основни техникикоординатен метод (некогаш испаѓаат корисни при решавање на проблеми на планиметрија во Дел Б од Обединетиот државен испит). Следните два дела на оваа тема се посветени на дискусија за методите за решавање на проблемите C2 (проблемот на стереометријата).

Каде би било логично да се започне со дискусија за методот на координати? Веројатно од концептот на координатен систем. Запомнете кога првпат се сретнавте со неа. Ми се чини дека во 7 одделение, кога научи за постоењето линеарна функција, На пример. Дозволете ми да ве потсетам дека го изградивте точка по точка. Дали се сеќаваш? Вие избравте произволен број, го замени во формулата и го пресмета на овој начин. На пример, ако, тогаш, ако, тогаш итн. Што добивте на крајот? И добивте поени со координати: и. Потоа, нацртавте „крст“ (координатен систем), избравте скала на неа (колку ќелии ќе имате како единичен сегмент) и ги означивте точките што сте ги добиле на него, кои потоа ги поврзавте со права линија; линијата е графикот на функцијата.

Овде има неколку точки што треба да ви се објаснат малку подетално:

1. Избирате еден сегмент од погодност, за се убаво и компактно да се вклопи во цртежот.

2. Прифатено е дека оската оди од лево кон десно, а оската оди од дното кон врвот

3. Тие се сечат под прав агол, а точката на нивното вкрстување се нарекува почеток. Тоа е означено со буква.

4. При пишувањето на координатите на точката, на пример, лево во загради стои координатата на точката по оската, а десно по оската. Конкретно, тоа едноставно значи дека во точката

5. За да наведете која било точка на координатната оска, треба да ги наведете нејзините координати (2 броја)

6. За која било точка што лежи на оската,

7. За која било точка што лежи на оската,

8. Оската се нарекува х-оска

9. Оската се нарекува y-оска

Сега ајде да го направиме тоа со вас следен чекор: Да одбележиме две точки. Ајде да ги поврземе овие две точки со отсечка. И ќе ја ставиме стрелката како да цртаме сегмент од точка до точка: односно, ќе го направиме нашиот сегмент насочен!

Запомнете како се нарекува друг насочен сегмент? Така е, се вика вектор!

Значи, ако поврземе точка со точка, и почетокот ќе биде точка А, а крајот ќе биде точка Б,тогаш добиваме вектор. Оваа конструкција ја правевте и во 8 одделение, се сеќавате?

Излегува дека векторите, како и точките, може да се означат со два броја: овие броеви се нарекуваат векторски координати. Прашање: Дали мислите дека е доволно да ги знаеме координатите на почетокот и крајот на векторот за да ги најдеме неговите координати? Излегува дека да! И ова е направено многу едноставно:

Така, бидејќи во векторот точката е почеток, а точката е крај, векторот ги има следните координати:

На пример, ако, тогаш координатите на векторот

Сега да го направиме спротивното, да ги пронајдеме координатите на векторот. Што треба да промениме за ова? Да, треба да го замените почетокот и крајот: сега почетокот на векторот ќе биде во точката, а крајот ќе биде во точката. Потоа:

Погледнете внимателно, која е разликата помеѓу вектори и? Нивната единствена разлика се знаците во координатите. Тие се спротивни. Овој факт обично се пишува вака:

Понекогаш, ако конкретно не е наведено која точка е почеток на векторот, а која е крај, тогаш векторите се означуваат со повеќе од два со големи букви, и една мала буква, на пример: , итн.

Сега малку вежбањесами и пронајдете ги координатите на следните вектори:

Испитување:

Сега реши малку потежок проблем:

Вектор со почеток во точка има co-or-di-na-you. Најдете ги точките abs-cis-su.

Сеедно е сосема прозаично: Нека се координатите на точката. Потоа

Системот го составив врз основа на дефиницијата што се векторски координати. Тогаш точката има координати. Ние сме заинтересирани за апсцисата. Потоа

Одговор:

Што друго можете да направите со вектори? Да, речиси сè е исто како и со обични броеви(освен што не можете да делите, но можете да множите на два начина, од кои едниот ќе разговараме овде малку подоцна)

1. Векторите може да се додадат еден на друг
2. Векторите може да се одземат еден од друг
3. Векторите може да се помножат (или поделат) со произволен број што не е нула
4. Векторите може да се множат еден со друг

Сите овие операции имаат многу јасна геометриска претстава. На пример, правилото за триаголник (или паралелограм) за собирање и одземање:

Вектор се протега или се собира или ја менува насоката кога се множи или дели со број:

Меѓутоа, овде ќе не интересира прашањето што се случува со координатите.

1. При собирање (одземање) два вектори, ги додаваме (одземаме) нивните координати елемент по елемент. Тоа е:

2. При множење (делење) на вектор со број, сите негови координати се множат (поделат) со овој број:

На пример:

· Најдете ја количината на ко-ор-ди-нат век-до-ра.

Ајде прво да ги најдеме координатите на секој од векторите. И двајцата имаат исто потекло - точка на потекло. Нивните краеви се различни. Потоа,. Сега да ги пресметаме координатите на векторот.Тогаш збирот на координатите на добиениот вектор е еднаков.

Одговор:

Сега сами решете го следниот проблем:

· Најдете збир на векторски координати

Проверуваме:

Ајде сега да го разгледаме следниот проблем: имаме две точки на координатната рамнина. Како да се најде растојанието меѓу нив? Нека биде првата точка, а втората. Да го означиме растојанието меѓу нив со. Ајде да го направиме следниот цртеж за јасност:

Што направив? Прво, се поврзав точки и, аисто така повлече линија од точката, паралелно со оската, и од точката нацртав права паралелна на оската. Дали тие се пресекле во точка, формирајќи извонредна фигура? Што е толку посебно за неа? Да, јас и ти знаеме речиси сè правоаголен триаголник. Па, Питагоровата теорема сигурно. Потребниот сегмент е хипотенузата на овој триаголник, а отсечките се катетите. Кои се координатите на точката? Да, тие се лесно да се најдат од сликата: Бидејќи отсечките се паралелни со оските и, соодветно, лесно се наоѓаат нивните должини: ако должините на отсечките ги означуваме со, соодветно, тогаш

Сега да ја користиме Питагоровата теорема. Ги знаеме должините на нозете, ќе ја најдеме хипотенузата:

Така, растојанието помеѓу две точки е коренот на збирот на квадратните разлики од координатите. Или - растојанието помеѓу две точки е должината на сегментот што ги поврзува. Лесно е да се види дека растојанието помеѓу точките не зависи од насоката. Потоа:

Од тука извлекуваме три заклучоци:

Ајде да вежбаме малку за пресметување на растојанието помеѓу две точки:

На пример, ако, тогаш растојанието помеѓу и е еднакво на

Или да одиме на друг начин: пронајдете ги координатите на векторот

И пронајдете ја должината на векторот:

Како што можете да видите, тоа е истото!

Сега вежбајте малку сами:

Задача: најдете го растојанието помеѓу наведените точки:

Проверуваме:

Еве уште неколку проблеми со користење на истата формула, иако звучат малку поинаку:

1. Најдете го квадратот на должината на очниот капак.

2. Најдете го квадратот на должината на очниот капак

Мислам дека се справивте со нив без тешкотии? Проверуваме:

1. И ова е за внимание) Координатите на векторите веќе ги најдовме порано: . Тогаш векторот има координати. Квадратот на неговата должина ќе биде еднаков на:

2. Најдете ги координатите на векторот

Тогаш квадратот на неговата должина е

Ништо комплицирано, нели? Едноставна аритметика, ништо повеќе.

Следниве проблеми не можат да се класифицираат недвосмислено; тие се повеќе за општата ерудиција и способноста за цртање едноставни слики.

1. Најдете го синусот на аголот од сечењето, поврзувајќи ја точката, со оската на апсцисата.

И

Како ќе продолжиме овде? Треба да го најдеме синусот на аголот помеѓу и оската. Каде можеме да бараме синус? Така е, во правоаголен триаголник. Значи, што треба да правиме? Изградете го овој триаголник!

Бидејќи координатите на точката се и, тогаш отсечката е еднаква на, и отсечката. Треба да го најдеме синусот на аголот. Да ве потсетам дека синусот е сооднос спротивна ногадо хипотенузата, тогаш

Што ни останува да направиме? Најдете ја хипотенузата. Можете да го направите ова на два начина: користејќи ја Питагоровата теорема (нозете се познати!) или користејќи ја формулата за растојанието помеѓу две точки (всушност, исто како и првиот метод!). Ќе одам по вториот пат:

Одговор:

Следната задача ќе ви изгледа уште полесна. Таа е на координатите на точката.

Задача 2.Од точката per-pen-di-ku-lyar се спушта на оската ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Ајде да направиме цртеж:

Основата на нормалната е точката во која ја сече оската x (оската), за мене ова е точка. На сликата се гледа дека има координати: . Ние сме заинтересирани за апсцисата - односно компонентата „x“. Таа е еднаква.

Одговор: .

Задача 3.Во услови на претходната задача, најдете го збирот на растојанијата од точката до координатните оски.

Задачата е генерално елементарна ако знаете колку е растојанието од точка до оските. Знаеш? Се надевам, но сепак ќе ве потсетам:

Значи, на мојот цртеж веднаш погоре, дали веќе нацртав една таква нормална? На која оска е? До оската. И колкава е неговата должина тогаш? Таа е еднаква. Сега сами нацртајте нормална на оската и пронајдете ја нејзината должина. Ќе биде еднакво, нели? Тогаш нивниот збир е еднаков.

Одговор: .

Задача 4.Во услови на задача 2, најдете ја ординатата на точката, симетрична точкаво однос на оската на апсцисата.

Мислам дека интуитивно ти е јасно што е симетрија? Многу предмети го имаат: многу згради, маси, авиони, многу геометриски фигури: топка, цилиндар, квадрат, ромб итн. Грубо кажано, симетријата може да се разбере на следниов начин: фигурата се состои од две (или повеќе) идентични половини. Оваа симетрија се нарекува аксијална симетрија. Што е тогаш оска? Ова е токму линијата по која фигурата може, релативно кажано, да се „пресече“ на еднакви половини (на оваа слика оската на симетријата е права):

Сега да се вратиме на нашата задача. Знаеме дека бараме точка која е симетрична во однос на оската. Тогаш оваа оска е оската на симетрија. Тоа значи дека треба да означиме точка така што оската ќе го пресече сегментот на два еднакви дела. Обидете се сами да означите таква точка. Сега споредете со моето решение:

Дали ти успеа на ист начин? Добро! Ние сме заинтересирани за ординатата на пронајдената точка. Тоа е еднакво

Одговор:

Сега кажи ми, откако ќе размислам неколку секунди, колкава ќе биде апсцисата на точката симетрична на точката А во однос на ординатата? Кој е вашиот одговор? Точен одговор: .

ВО општ случајправилото може да се напише вака:

Точка симетрична на точка во однос на оската на апсцисата ги има координатите:

Точка симетрична на точка во однос на оската на ординатите има координати:

Па, сега е сосема страшно задача: најдете координати на точка симетрична на точката во однос на потеклото. Прво размислете сами, а потоа погледнете го мојот цртеж!

Одговор:

Сега проблем на паралелограм:

Задача 5: Точките се појавуваат вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма. Најдете или-ди-на-таа точка.

Овој проблем можете да го решите на два начина: логика и метод на координати. Прво ќе го користам методот на координати, а потоа ќе ви кажам како можете да го решите поинаку.

Сосема е јасно дека апсцисата на точката е еднаква. (тоа лежи на нормалната нацртана од точката до оската на апсцисата). Треба да ја најдеме ординатата. Ајде да го искористиме фактот дека нашата фигура е паралелограм, тоа значи. Ајде да ја најдеме должината на отсечката користејќи ја формулата за растојанието помеѓу две точки:

Ние го спуштаме нормалното поврзување на точката со оската. Пресечната точка ќе ја означам со буква.

Должината на сегментот е еднаква. (најдете го проблемот сами каде што разговаравме за оваа точка), тогаш ќе ја најдеме должината на сегментот користејќи ја Питагоровата теорема:

Должината на отсечката точно се совпаѓа со нејзината ордината.

Одговор: .

Друго решение (само ќе дадам слика што го илустрира тоа)

Напредокот на решението:

1. Спроведување

2. Најдете ги координатите на точката и должината

3. Докажете го тоа.

Друг проблем со должина на сегментот:

Точките се појавуваат на врвот на триаголникот. Најдете ја должината на нејзината средна линија, паралелна.

Дали се сеќавате што е тоа средна линијатријаголник? Тогаш оваа задача е елементарна за вас. Ако не се сеќавате, тогаш ќе ве потсетам: средната линија на триаголникот е линијата што ги поврзува средните точки спротивни страни. Таа е паралелна со основата и еднаква на половина од неа.

Основата е сегмент. Должината требаше да ја бараме порано, еднаква е. Тогаш должината на средната линија е половина поголема и еднаква.

Одговор: .

Коментар: овој проблем може да се реши на друг начин, на кој ќе се осврнеме малку подоцна.

Во меѓувреме, еве неколку проблеми за вас, вежбајте на нив, тие се многу едноставни, но ви помагаат да се подобрите во користењето на методот на координати!

1. Точките се врвот на тра-пе-циите. Најдете ја должината на нејзината средна линија.

2. Поени и појави вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма. Најдете или-ди-на-таа точка.

3. Најдете ја должината од сечењето, поврзувајќи ја точката и

4. Најдете ја областа зад обоената фигура на координативната рамнина.

5. Низ точката поминува круг со центар во na-cha-le ko-or-di-nat. Најдете ја ра-ди-нас.

6. Најди-ди-те ра-ди-ус на кругот, опиши-сан-ној за прав-агол-не-ка, врвовите на нешто имаат ко-или -ди-на-толку си одговорен.

Решенија:

1. Познато е дека средната линија на трапезот е еднаква на половина од збирот на неговите основи. Основата е еднаква, а основата. Потоа

Одговор:

2. Најлесен начин да се реши овој проблем е да се забележи тоа (паралелограм правило). Пресметувањето на координатите на векторите не е тешко: . Кога се собираат вектори, се додаваат координатите. Потоа има координати. Точката исто така ги има овие координати, бидејќи потеклото на векторот е точката со координатите. Ние сме заинтересирани за ординатата. Таа е еднаква.

Одговор:

3. Веднаш постапуваме според формулата за растојание помеѓу две точки:

Одговор:

4. Погледни ја сликата и кажи ми меѓу кои две фигури се наоѓа засенчената област? Сендвич е помеѓу два квадрати. Тогаш површината на саканата фигура е еднаква на површината на големиот квадрат минус плоштината на малиот. Страна мал плоштаде отсечка што поврзува точки и Неговата должина е

Тогаш површината на малиот плоштад е

Ние го правиме истото со голем квадрат: неговата страна е сегмент што ги поврзува точките, а неговата должина е

Тогаш површината на големиот плоштад е

Ја наоѓаме областа на саканата фигура користејќи ја формулата:

Одговор:

5. Ако кругот го има потеклото како центар и минува низ точка, тогаш неговиот радиус ќе биде точно еднаква на должинатасегмент (направете цртеж и ќе разберете зошто е тоа очигледно). Ајде да ја најдеме должината на овој сегмент:

Одговор:

6. Познато е дека радиусот на кругот опкружен со правоаголник еднаква на половинанеговите дијагонали. Ајде да ја најдеме должината на која било од двете дијагонали (на крајот на краиштата, во правоаголник тие се еднакви!)

Одговор:

Па, дали се справивте со се? Не беше многу тешко да се сфати, нели? Тука има само едно правило - бидете во можност да направите визуелна слика и едноставно да ги „прочитате“ сите податоци од неа.

Ни остана многу малку. Има буквално уште две точки за кои би сакал да разговарам.

Ајде да се обидеме да го решиме овој едноставен проблем. Дозволете два поени и се дадени. Најдете ги координатите на средната точка на отсечката. Решението за овој проблем е следново: нека точката е посакуваната средина, тогаш таа има координати:

Тоа е: координати на средината на отсечката = аритметичка средина на соодветните координати на краевите на отсечката.

Ова правило е многу едноставно и обично не предизвикува потешкотии за учениците. Ајде да видиме во какви проблеми и како се користи:

1. Најди-ди-те или-ди-на-ту се-ре-ди-ни од-сече, поврзи-точка и

2. Се чини дека бодовите се врвот на светот. Најди-ди-те или-ди-на-ту поени пер-ре-се-че-нија на неговата дија-го-на-леј.

3. Најди-ди-те апс-цис-су центарот на кругот, опише-сан-ној за правоаголното-не-ка, врвовите на нешто имаат ко-или-ди-на-ти толку-одговорно-но.

Решенија:

1. Првиот проблем е едноставно класичен. Продолжуваме веднаш да ја одредиме средината на сегментот. Има координати. Ординатата е еднаква.

Одговор:

2. Лесно е да се види дека овој четириаголник е паралелограм (дури и ромб!). Можете да го докажете тоа сами со пресметување на должините на страните и споредувајќи ги едни со други. Што знам за паралелограмите? Неговите дијагонали се поделени на половина со точката на пресек! Да! Значи, која е точката на пресек на дијагоналите? Ова е средината на која било од дијагоналите! Ќе изберам, особено, дијагоналата. Тогаш точката има координати Ординатата на точката е еднаква на.

Одговор:

3. Со што се совпаѓа центарот на кругот опишан околу правоаголникот? Се совпаѓа со пресечната точка на неговите дијагонали. Што знаете за дијагоналите на правоаголникот? Тие се еднакви и точката на пресек ги дели на половина. Задачата беше сведена на претходната. Да ја земеме, на пример, дијагоналата. Тогаш, ако е центарот на кружниот круг, тогаш е средната точка. Барам координати: Апсцисата е еднаква.

Одговор:

Сега вежбајте малку сами, само ќе ги дадам одговорите на секој проблем за да можете да се тестирате.

1. Најди-ди-те ра-ди-ус на кругот, опиши-сан-ној за триаголникот-не-ка, врвовите на нешто имаат ко-ор-ди -нема господари

2. Најдете-ди-те или-ди-на-оној центар на кругот, опишете-сан-ној за триаголникот-но-ка, чии врвови имаат координати

3. Каква ра-ди-у-са треба да има круг со центар во точка така што ќе ја допира оската ab-ciss?

4. Најди-ди-тие или-ди-на-таа точка на повторно пресекување на оската и од-пресечете, поврзете ја-точката и

Одговори:

Дали сè беше успешно? Навистина се надевам на тоа! Сега - последниот притисок. Сега бидете особено внимателни. Материјалот што сега ќе го објаснам е директно поврзан не само со едноставни задачидо методот на координати од делот Б, но се среќава и насекаде во задачата C2.

Кое од моите ветувања сè уште не сум го исполнил? Запомнете кои операции на вектори ветив дека ќе ги воведам и кои на крајот ги воведов? Дали си сигурен дека ништо не заборавив? Заборави! Заборавив да објаснам што значи векторско множење.

Постојат два начина да се множи вектор со вектор. Во зависност од избраниот метод, ќе добиеме предмети од различна природа:

Вкрстениот производ е направен доста паметно. Како да го направиме тоа и зошто е потребно, ќе разговараме во следната статија. И во овој ќе се фокусираме на скаларниот производ.

Постојат два начини кои ни овозможуваат да го пресметаме:

Како што претпоставувате, резултатот треба да биде ист! Значи, прво да го погледнеме првиот метод:

Производ со точки преку координати

Најдете: - општо прифатена ознака производ со точки

Формулата за пресметка е како што следува:

Односно скаларниот производ = збирот на производите на векторските координати!

Пример:

Најди-ди-те

Решение:

Ајде да ги најдеме координатите на секој од векторите:

Ние го пресметуваме скаларниот производ користејќи ја формулата:

Одговор:

Видете, апсолутно ништо комплицирано!

Па, сега пробајте сами:

· Најдете скаларен про-из-ве-де-ние од векови и

Дали се снајде? Можеби забележавте мал улов? Ајде да провериме:

Векторски координати како во последна задача! Одговор:.

Покрај координатниот, постои уште еден начин за пресметување на скаларниот производ, имено, преку должините на векторите и косинусот на аголот меѓу нив:

Го означува аголот помеѓу векторите и.

Односно, скаларниот производ е еднаков на производот од должините на векторите и косинусот на аголот меѓу нив.

Зошто ни е потребна оваа втора формула, ако ја имаме првата, која е многу поедноставна, барем во неа нема косинуси. И тоа е потребно за од првата и втората формула да можеме јас и ти да заклучиме како да го најдеме аголот помеѓу векторите!

Нека Потоа запомнете ја формулата за должината на векторот!

Потоа, ако ги заменам овие податоци во формулата за скаларен производ, добивам:

Но, на друг начин:

Па, што добивме јас и ти? Сега имаме формула која ни овозможува да го пресметаме аголот помеѓу два вектори! Понекогаш за кратко се пишува и вака:

Односно, алгоритмот за пресметување на аголот помеѓу векторите е како што следува:

1. Пресметајте го скаларниот производ преку координати
2. Најдете ги должините на векторите и помножете ги
3. Поделете го резултатот од точка 1 со резултатот од точка 2

Ајде да вежбаме со примери:

1. Најдете го аголот помеѓу очните капаци и. Дајте го одговорот во град-ду-сах.

2. Во услови на претходната задача, најди го косинусот меѓу векторите

Ајде да го направиме ова: ќе ти помогнам да го решиш првиот проблем, а вториот обиди се да го направиш самиот! Се согласувам? Тогаш да почнеме!

1. Овие вектори се нашите стари пријатели. Веќе го пресметавме нивниот скаларен производ и беше еднаков. Нивните координати се: , . Потоа ги наоѓаме нивните должини:

Потоа го бараме косинусот помеѓу векторите:

Колку изнесува косинусот на аголот? Ова е аголот.

Одговор:

Па, сега сами решете го вториот проблем, па споредете! Ќе дадам само многу кратко решение:

2. има координати, има координати.

Нека е аголот помеѓу векторите и тогаш

Одговор:

Треба да се забележи дека проблемите директно на вектори и методот на координати во делот Б испитен труддоста ретко. Сепак, огромното мнозинство на C2 проблеми може лесно да се решат со воведување на координатен систем. Така, оваа статија можете да ја сметате за основата врз основа на која ќе направиме доста паметни конструкции што ќе треба да ги решиме сложени задачи.

КООРДИНАТИ И ВЕКТОРИ. ПРОСЕЧНО НИВО

Јас и ти продолжуваме да го проучуваме методот на координати. Во последниот дел изведовме серија важни формули, кои дозволуваат:

1. Најдете векторски координати
2. Најдете ја должината на векторот (алтернативно: растојанието помеѓу две точки)
3. Додавање и одземање вектори. Помножете ги со реален број
4. Најдете ја средната точка на отсечката
5. Пресметај производ на точки на вектори
6. Најдете го аголот помеѓу векторите

Се разбира, целиот координатен метод не се вклопува во овие 6 точки. Таа лежи во основата на таквата наука како аналитичката геометрија, со која ќе се запознаете на универзитет. Само сакам да изградам основа која ќе ви овозможи да ги решавате проблемите во една држава. испит. Се занимававме со задачите од делот Б. Сега е време да преминеме на висококвалитетно ново ниво! Оваа статија ќе биде посветена на метод за решавање на оние C2 проблеми во кои би било разумно да се префрли на методот на координати. Оваа разумност се одредува според тоа што се бара да се најде во проблемот и која бројка е дадена. Значи, би го користел координатниот метод ако прашањата се:

1. Најдете го аголот помеѓу две рамнини
2. Најдете го аголот помеѓу права линија и рамнина
3. Најдете го аголот помеѓу две прави линии
4. Најдете го растојанието од точка до рамнина
5. Најдете го растојанието од точка до права
6. Најдете го растојанието од права линија до рамнина
7. Најдете го растојанието помеѓу две линии

Ако фигурата дадена во изјавата за проблемот е тело на ротација (топче, цилиндар, конус...)

Соодветни бројки за координатен метод се:

1. Правоаголен паралелепипед
2. Пирамида (триаголна, четириаголна, шестоаголна)

Исто така од моето искуство несоодветно е да се користи методот на координати за:

1. Наоѓање области на попречни пресек
2. Пресметка на волумени на тела

Сепак, веднаш треба да се забележи дека трите „неповолни“ ситуации за координатниот метод се доста ретки во пракса. Во повеќето задачи, може да стане ваш спасител, особено ако не сте многу добри во тродимензионалните конструкции (кои понекогаш знаат да бидат прилично сложени).

Кои се сите бројки што ги наведов погоре? Тие веќе не се рамни, како, на пример, квадрат, триаголник, круг, туку обемни! Соодветно на тоа, треба да разгледаме не дводимензионален, туку тридимензионален координатен систем. Сосема е лесно да се конструира: само покрај оската на апсцисата и ординатите, ќе воведеме уште една оска, апликативната оска. Сликата шематски ја прикажува нивната релативна положба:

Сите тие се меѓусебно нормални и се сечат во една точка, која ќе ја наречеме почеток на координатите. Како и досега, ќе ја означиме оската на апсцисата, оската на ординатите - и воведената апликативна оска - .

Ако претходно секоја точка на рамнината се карактеризирала со два броја - апсциса и ордината, тогаш секоја точка во просторот е веќе опишана со три броја - апсциса, ордината и апликативна. На пример:

Според тоа, апсцисата на точката е еднаква, ординатата е , а апликативната е .

Понекогаш апсцисата на точка се нарекува и проекција на точка на оската на апсцисата, ординатата - проекција на точка на оската на ординатите, а апликативната - проекција на точка на апликативната оска. Според тоа, ако е дадена точка, тогаш точка со координати:

наречена проекција на точка на рамнина

наречена проекција на точка на рамнина

Се поставува природно прашање: дали сите формули изведени за дводимензионалниот случај важат во просторот? Одговорот е да, тие се фер и имаат ист изглед. За мал детал. Мислам дека веќе погодивте која е. Во сите формули ќе треба да додадеме уште еден термин одговорен за апликативната оска. Имено.

1. Ако се дадени две точки: , тогаш:

• Векторски координати:
• Растојание помеѓу две точки (или векторска должина)
• Средината на отсечката има координати

2. Ако се дадени два вектори: и, тогаш:

• Нивниот скаларен производ е еднаков на:
• Косинусот на аголот помеѓу векторите е еднаков на:

Сепак, просторот не е толку едноставен. Како што разбирате, додавањето на уште една координата внесува значителна разновидност во спектарот на фигури кои „живеат“ во овој простор. А за понатамошно раскажување ќе треба да воведам некоја, грубо кажано, „генерализација“ на правата линија. Оваа „генерализација“ ќе биде рамнина. Што знаете за авионот? Обидете се да одговорите на прашањето што е авион? Многу е тешко да се каже. Сепак, сите ние интуитивно замислуваме како тоа изгледа:

Грубо кажано, ова е еден вид бескраен „чаршаф“ заглавен во вселената. „Бесконечност“ треба да се разбере дека рамнината се протега во сите правци, односно неговата површина е еднаква на бесконечноста. Сепак, ова „практично“ објаснување не дава ни најмала идеја за структурата на авионот. И токму таа ќе биде заинтересирана за нас.

Да се ​​потсетиме на една од основните аксиоми на геометријата:

• во два различни точкиима права линија на авионот и само една:

Или неговиот аналог во вселената:

Се разбира, се сеќавате како да ја изведете равенката на правата од две дадени точки; тоа не е воопшто тешко: ако првата точка има координати: а втората, тогаш равенката на правата ќе биде како што следува:

Го земавте ова во 7 одделение. Во просторот, равенката на правата изгледа вака: да ни бидат дадени две точки со координати: , тогаш равенката на правата што минува низ нив има форма:

На пример, линија поминува низ точки:

Како треба да се разбере ова? Ова треба да се сфати на следниов начин: точка лежи на права ако нејзините координати го задоволуваат следниов систем:

Нема да бидеме многу заинтересирани за равенката на линијата, но треба да обрнеме внимание на самото важен концептнасочувачки вектор права линија. - кој било вектор кој не е нула што лежи на дадена права или паралелна со неа.

На пример, двата вектори се вектори на насока на права линија. Нека е точка која лежи на права и нека е нејзиниот вектор на насока. Тогаш равенката на линијата може да се напише во следнава форма:

Уште еднаш, нема да ме интересира многу равенката на права линија, но навистина ми треба да запомните што е векторот на насока! Повторно: ова е СЕКОЈ не-нулта вектор што лежи на права или паралелна со неа.

Повлечете равенка на рамнина заснована на три дадени точкиповеќе не е толку тривијално, и обично ова прашање не се решава во текот средно школо. Но, залудно! Оваа техника е од витално значење кога прибегнуваме кон координатен метод за решавање на сложени проблеми. Сепак, претпоставувам дека сте желни да научите нешто ново? Покрај тоа, ќе можете да го импресионирате вашиот наставник на универзитетот кога ќе се покаже дека веќе можете да ја користите техниката што обично се изучува на курсот аналитичка геометрија. Па ајде да започнеме.

Равенката на рамнината не се разликува премногу од равенката на права линија на рамнина, имено, има форма:

некои бројки (не сите еднаква на нула), и променливи, на пример: итн. Како што можете да видите, равенката на рамнината не се разликува многу од равенката на права линија (линеарна функција). Сепак, се сеќаваш што се расправавме јас и ти? Рековме дека ако имаме три точки кои не лежат на иста линија, тогаш равенката на рамнината може уникатно да се реконструира од нив. Но како? Ќе се обидам да ти објаснам.

Бидејќи равенката на рамнината е:

И точките припаѓаат на оваа рамнина, тогаш кога ги заменуваме координатите на секоја точка во равенката на рамнината треба да го добиеме точниот идентитет:

Така, има потреба да се решат три равенки со непознати! Дилема! Сепак, секогаш можете да претпоставите дека (за да го направите ова треба да се подели со). Така, добиваме три равенки со три непознати:

Сепак, ние нема да решиме таков систем, туку ќе го испишеме мистериозниот израз што следи од него:

Равенка на рамнина што минува низ три дадени точки

\[\лево| (\begin(низа)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(низа)) \десно| = 0\]

Стоп! Што е ова? Некој многу необичен модул! Меѓутоа, објектот што го гледате пред вас нема никаква врска со модулот. Овој објект се нарекува детерминанта од трет ред. Отсега натаму, кога се занимавате со методот на координати на рамнина, многу често ќе се сретнете со истите тие детерминанти. Што е детерминанта од трет ред? Доволно чудно, тоа е само бројка. Останува да разбереме која конкретна бројка ќе ја споредиме со детерминантата.

Ајде прво да ја напишеме детерминантата од трет ред во поопшта форма:

Каде се некои бројки. Притоа, под прв индекс го мислиме бројот на редот, а под индекс го мислиме бројот на колоната. На пример, тоа значи даден бројстои на пресекот на вториот ред и третата колона. Ајде да го облечеме следно прашање: Како точно ќе пресметаме ваква детерминанта? Односно, која конкретна бројка ќе споредиме со неа? За детерминантата од трет ред постои правило за хеуристичко (визуелно) триаголник, изгледа како на следниот начин:

1. Производот на елементите од главната дијагонала (од горниот лев агол до долниот десен) производот од елементите што го формираат првиот триаголник „нормален“ на главната дијагонала, производот од елементите што го формираат вториот триаголник „нормален“ на главна дијагонала
2. Производот на елементите на секундарната дијагонала (од горниот десен агол до долниот лев агол) производот од елементите што го формираат првиот триаголник „нормален“ на секундарната дијагонала, производот од елементите што го формираат вториот триаголник „нормален“ на секундарна дијагонала
3. Тогаш детерминантата е еднаква на разликата помеѓу вредностите добиени на чекорот и

Ако сето ова го запишеме во бројки, ќе го добиеме следниот израз:

Сепак, не треба да се сеќавате на начинот на пресметување во оваа форма; доволно е само да ги задржите во главата триаголниците и самата идеја за тоа што се собира на што и што потоа се одзема од што).

Ајде да го илустрираме методот на триаголник со пример:

1. Пресметај ја детерминантата:

Ајде да откриеме што додаваме, а што одземаме:

Услови кои доаѓаат со плус:

Ова е главната дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Првиот триаголник, „нормален на главната дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Втор триаголник, „нормален на главната дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Соберете три броја:

Услови кои доаѓаат со минус

Ова е странична дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Првиот триаголник, „нормален на секундарната дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Вториот триаголник, „нормален на секундарната дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Соберете три броја:

Сè што останува да се направи е да се одземе збирот на членовите „плус“ од збирот на членовите „минус“:

Така,

Како што можете да видите, нема ништо комплицирано или натприродно во пресметувањето на детерминантите од трет ред. Важно е само да запомните за триаголниците и да не дозволите аритметички грешки. Сега обидете се сами да го пресметате:

Проверуваме:

1. Првиот триаголник нормално на главната дијагонала:
2. Втор триаголник нормално на главната дијагонала:
3. Збир на термини со плус:
4. Првиот триаголник нормално на секундарната дијагонала:
5. Втор триаголник нормално на страничната дијагонала:
6. Збир на термини со минус:
7. Збирот на членовите со плус минус збирот на членовите со минус:

Еве уште неколку детерминанти, пресметајте ги самите нивните вредности и споредете ги со одговорите:

Одговори:

Па, дали сè се совпадна? Одлично, тогаш можете да продолжите понатаму! Ако има потешкотии, тогаш мојот совет е ова: на Интернет има многу програми за пресметување на детерминантата онлајн. Сè што ви треба е да смислите своја детерминанта, да ја пресметате сами, а потоа да ја споредите со она што го пресметува програмата. И така натаму додека резултатите не почнат да се совпаѓаат. Сигурен сум дека овој момент нема да потрае многу за да дојде!

Сега да се вратиме на детерминантата што ја напишав кога зборував за равенката на авион што минува низ три дадени поени:

Сè што ви треба е директно да ја пресметате неговата вредност (со методот на триаголник) и да го поставите резултатот на нула. Секако, бидејќи тоа се променливи, ќе добиете израз што зависи од нив. Токму овој израз ќе биде равенката на рамнината што минува низ три дадени точки кои не лежат на иста права линија!

Ајде да го илустрираме ова со едноставен пример:

1. Конструирај ја равенката на рамнина што минува низ точките

Ние составуваме детерминанта за овие три точки:

Ајде да поедноставиме:

Сега го пресметуваме директно користејќи го правилото триаголник:

\[(\лево| (\почеток(низа)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\крај (низа)) \ десно| = \лево((x + 3) \десно) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \десно) + \лево((y - 2) \десно) \cточка 5 \cточка 6 - )\]

Така, равенката на рамнината што минува низ точките е:

Сега обидете се сами да решите еден проблем, а потоа ќе разговараме за тоа:

2. Најдете ја равенката на рамнината што минува низ точките

Па, ајде сега да разговараме за решението:

Ајде да создадеме детерминанта:

И пресметајте ја неговата вредност:

Тогаш равенката на рамнината има форма:

Или, намалувајќи се за, добиваме:

Сега две задачи за самоконтрола:

1. Конструирај ја равенката на рамнина што минува низ три точки:

Одговори:

Дали сè се совпадна? Повторно, ако има одредени потешкотии, тогаш мојот совет е овој: земете три поени од вашата глава (со во голема мерашансите се дека нема да лежат на иста права линија), ќе изградите авион врз основа на нив. А потоа се проверуваш на интернет. На пример, на страницата:

Меѓутоа, со помош на детерминанти ќе ја конструираме не само равенката на рамнината. Запомнете, ви реков дека не само производ со точки е дефиниран за вектори. Постои и векторски производ, како и мешан производ. И ако скаларниот производ на два вектори е број, тогаш векторскиот производ на два вектори ќе биде вектор, а овој вектор ќе биде нормален на дадените:

Згора на тоа, неговиот модул ќе биде еднаква на површинапаралелограм конструиран на вектори и. Овој векторЌе ни треба за да го пресметаме растојанието од точка до права. Како можеме да броиме? векторски производвектори и, ако се дадени нивните координати? Повторно ни доаѓа на помош одредницата од трет ред. Меѓутоа, пред да преминам на алгоритмот за пресметување на векторскиот производ, морам да направам мала дигресија.

Оваа дигресија се однесува на основните вектори.

Тие се прикажани шематски на сликата:

Зошто мислиш дека се нарекуваат основни? Факт е дека:

Или на сликата:

Валидноста на оваа формула е очигледна, бидејќи:

Векторски уметнички дела

Сега можам да започнам со воведување на вкрстен производ:

Векторскиот производ на два вектори е вектор, кој се пресметува според следново правило:

Сега да дадеме неколку примери за пресметување на вкрстен производ:

Пример 1: Најдете го вкрстениот производ на вектори:

Решение: Составувам детерминанта:

И јас го пресметам:

Сега од пишувањето преку основни вектори, ќе се вратам на вообичаената векторска нотација:

Така:

Сега пробајте го.

Подготвени? Проверуваме:

И традиционално два задачи за контрола:

1. Најдете го векторскиот производ на следните вектори:
2. Најдете го векторскиот производ на следните вектори:

Одговори:

Мешан производ од три вектори

Последната конструкција што ќе ми треба е измешаниот производ од три вектори. Тоа, како скалар, е бројка. Постојат два начина да се пресмета. - преку детерминанта, - преку мешан производ.

Имено, да ни бидат дадени три вектори:

Тогаш измешаниот производ на три вектори, означен со, може да се пресмета како:

1. - односно мешаниот производ е скаларен производ на вектор и векторски производ на два други вектори

На пример, мешаниот производ на три вектори е:

Обидете се сами да го пресметате користејќи го векторскиот производ и уверете се дека резултатите се совпаѓаат!

И повторно - два примери за независна одлука:

Одговори:

Избор на координатен систем

Па, сега ги имаме сите потребни основи на знаење за решавање на сложени стереометриски геометриски проблеми. Сепак, пред да се продолжи директно на примери и алгоритми за нивно решавање, верувам дека ќе биде корисно да се задржиме на следното прашање: како точно изберете координатен систем за одредена фигура.На крајот на краиштата, тоа е изборот релативна положбакоординатни системи и форми во вселената на крајот ќе одредат колку ќе бидат незгодни пресметките.

Дозволете ми да ве потсетам дека во овој дел ги разгледуваме следните бројки:

1. Правоаголен паралелепипед
2. Права призма (триаголна, шестоаголна...)
3. Пирамида (триаголна, четириаголна)
4. Тетраедар (исто како триаголна пирамида)

За правоаголен паралелепипед или коцка, ви ја препорачувам следната конструкција:

Тоа е, ќе ја поставам фигурата „во аголот“. Коцката и паралелепипедот се многу добри фигури. За нив, секогаш можете лесно да ги најдете координатите на нејзините темиња. На пример, ако (како што е прикажано на сликата)

тогаш координатите на темињата се следни:

Се разбира, не треба да се сеќавате на ова, но се препорачува да запомните како најдобро да поставите коцка или правоаголен паралелепипед.

Права призма

Призмата е поштетна фигура. Може да се позиционира во вселената на различни начини. Сепак, следнава опција ми се чини најприфатлива:

Триаголна призма:

Односно, една од страните на триаголникот ја поставуваме целосно на оската, а едно од темињата се совпаѓа со потеклото на координатите.

Шестоаголна призма:

Тоа е, едно од темињата се совпаѓа со потеклото, а едната од страните лежи на оската.

Четириаголна и шестоаголна пирамида:

Ситуацијата е слична на коцка: порамнуваме две страни од основата со координатните оски, а едно од темињата порамнуваме со потеклото на координатите. Единствената мала тешкотија ќе биде да се пресметаат координатите на точката.

За шестоаголна пирамида - слично како и за хексагонална призма. Главната задача повторно ќе биде да се најдат координатите на темето.

Тетраедар (триаголна пирамида)

Ситуацијата е многу слична на онаа што ја дадов за триаголна призма: едно теме се совпаѓа со потеклото, едната страна лежи на координатната оска.

Па, сега ти и јас сме конечно блиску до почеток да ги решаваме проблемите. Од она што го кажав на самиот почеток на статијата, можете да го извлечете следниот заклучок: повеќето проблеми C2 се поделени во 2 категории: проблеми со агол и проблеми со растојание. Прво, ќе ги разгледаме проблемите за наоѓање агол. Тие за возврат се поделени во следните категории (како што се зголемува сложеноста):

Проблеми за наоѓање агли

1. Наоѓање на аголот помеѓу две прави линии
2. Наоѓање на аголот помеѓу две рамнини

Да ги погледнеме овие проблеми последователно: да започнеме со наоѓање на аголот помеѓу две прави линии. Па, запомнете, зарем јас и ти не одлучивме? слични примерипорано? Се сеќавате ли, веќе имавме нешто слично... Го баравме аголот помеѓу два вектори. Да ве потсетам, ако се дадени два вектори: и, тогаш аголот меѓу нив се наоѓа од релацијата:

Сега нашата цел е да го најдеме аголот помеѓу две прави линии. Ајде да ја погледнеме „рамната слика“:

Колку агли добивме кога се сечат две прави? Само неколку работи. Точно, само две од нив не се еднакви, додека другите се вертикални на нив (и затоа се совпаѓаат со нив). Значи, кој агол треба да го разгледаме аголот помеѓу две прави: или? Еве го правилото: аголот помеѓу две прави секогаш не е поголем од степени. Односно, од два агли секогаш ќе го избираме аголот со најмал степен мерка. Односно, на оваа слика аголот помеѓу две прави линии е еднаков. За да не се мачат секој пат со наоѓање на најмалиот од двата агли, лукавите математичари предложија користење на модул. Така, аголот помеѓу две прави линии се одредува со формулата:

Вие, како внимателен читател, требаше да имате прашање: од каде точно ги добиваме овие бројки што ни се потребни за да го пресметаме косинусот на аголот? Одговор: ќе ги земеме од векторите на насоката на правите! Така, алгоритмот за наоѓање на аголот помеѓу две прави е како што следува:

1. Ја применуваме формулата 1.

Или подетално:

1. Ги бараме координатите на векторот на насоката на првата права линија
2. Ги бараме координатите на векторот на насоката на втората права линија
3. Го пресметуваме модулот на нивниот скаларен производ
4. Ја бараме должината на првиот вектор
5. Ја бараме должината на вториот вектор
6. Помножете ги резултатите од точка 4 со резултатите од точка 5
7. Резултатот од точката 3 го делиме со резултатот од точката 6. Добиваме косинус на аголот помеѓу правите
8. Ако овој резултатви овозможува прецизно да го пресметате аголот, побарајте го
9. Во спротивно пишуваме преку лак косинус

Па, сега е време да се префрлиме на проблемите: ќе го покажам решението за првите два детално, ќе го претставам решението на друго во накратко, а за последните два проблема ќе дадам само одговори, мора сами да ги извршите сите пресметки за нив.

Задачи:

1. Во десната тет-ра-ед-ре, пронајдете го аголот помеѓу висината на тет-ра-ед-ра и средната страна.

2. Во десниот шестаголник пи-ра-ми-де, стоте ос-но-ва-нија се еднакви, а страничните рабови се еднакви, пронајдете го аголот помеѓу линиите и.

3. Должините на сите рабови на десниот четиријаглен пи-ра-ми-ди се еднакви една со друга. Најди го аголот меѓу правите линии и ако од рез - ти си со дадениот пи-ра-ми-ди, точката е се-ре-ди-на неговите бо-ко- втори ребра.

4. На работ на коцката има точка така што Најди го аголот помеѓу правите и

5. Точка - на рабовите на коцката Најдете го аголот помеѓу правите линии и.

Не случајно ги подредив задачите по овој редослед. Додека сè уште не сте почнале да се движите по методот на координати, јас сам ќе ги анализирам најпроблематичните бројки и ќе ве оставам да се справите со наједноставната коцка! Постепено ќе треба да научите како да работите со сите фигури; јас ќе ја зголемувам сложеноста на задачите од тема до тема.

Да почнеме да ги решаваме проблемите:

1. Нацртајте тетраедар, ставете го во координатен систем како што предложив претходно. Бидејќи тетраедарот е правилен, тогаш сите негови лица (вклучувајќи ја и основата) се правилни триаголници. Бидејќи не ни е дадена должината на страната, можам да земам дека е еднаква. Мислам дека разбирате дека аголот всушност нема да зависи од тоа колку нашиот тетраедар е „испружен“?. Ќе ги нацртам и висината и медијаната во тетраедарот. Попатно ќе ја нацртам неговата основа (исто така ќе ни биде од корист).

Треба да го најдам аголот помеѓу и. Што знаеме? Ја знаеме само координатата на точката. Тоа значи дека треба да ги најдеме координатите на точките. Сега мислиме: точка е точката на пресек на надморските височини (или симетрали или средни) на триаголникот. И точка е подигната точка. Поентата е средината на сегментот. Тогаш конечно треба да ги најдеме: координатите на точките: .

Да почнеме со наједноставната работа: координатите на точка. Погледнете ја сликата: Јасно е дека примената на точката е еднаква на нула (точката лежи на рамнината). Нејзината ордината е еднаква (бидејќи е медијаната). Потешко е да се најде нејзината апсциса. Сепак, ова лесно се прави врз основа на Питагоровата теорема: Размислете за триаголник. Неговата хипотенуза е еднаква, а едната нога е еднаква. Тогаш:

Конечно имаме: .

Сега да ги најдеме координатите на точката. Јасно е дека неговата апликација е повторно еднаква на нула, а нејзината ордината е иста како онаа на точка, т.е. Да ја најдеме нејзината апсциса. Ова е направено сосема тривијално ако се сеќавате на тоа висини рамностран триаголникпресечната точка е поделена пропорционално, броејќи од врвот. Бидејќи: , тогаш потребната апсциса на точката, еднаква на должината на отсечката, е еднаква на: . Така, координатите на точката се:

Да ги најдеме координатите на точката. Јасно е дека нејзината апсциса и ордината се поклопуваат со апсцисата и ординатата на точката. А апликацијата е еднаква на должината на сегментот. - ова е една од краците на триаголникот. Хипотенузата на триаголник е отсечка - крак. Се бара од причини што ги истакнав со задебелени букви:

Поентата е средината на сегментот. Потоа треба да ја запомниме формулата за координатите на средната точка на сегментот:

Тоа е сè, сега можеме да ги бараме координатите на векторите на насоката:

Па, сè е подготвено: ги заменуваме сите податоци во формулата:

Така,

Одговор:

Не треба да се плашите од такви „страшни“ одговори: за задачите C2 ова е вообичаена практика. Повеќе би сакал да ме изненади „убавиот“ одговор во овој дел. Исто така, како што забележавте, практично не прибегнав кон ништо друго освен Питагоровата теорема и својството на височини на рамностран триаголник. Односно, за да го решам стереометрискиот проблем, го искористив самиот минимум на стереометрија. Добивката во ова е делумно „изгаснат“ со прилично незгодни пресметки. Но, тие се доста алгоритамски!

2. Дозволете ни да прикажеме правилна шестоаголна пирамида заедно со координатниот систем, како и неговата основа:

Треба да го најдеме аголот помеѓу линиите и. Така, нашата задача се сведува на наоѓање на координатите на точките: . Координатите на последните три ќе ги најдеме со помош на мал цртеж, а координатата на темето ќе ја најдеме преку координатата на точката. Има многу работа, но треба да започнеме!

а) Координати: јасно е дека нејзината апликација и ордината се еднакви на нула. Ајде да ја најдеме апсцисата. За да го направите ова, размислете за правоаголен триаголник. За жал, во него ја знаеме само хипотенузата, која е еднаква. Ќе се обидеме да ја најдеме ногата (затоа што е јасно дека двојната должина на ногата ќе ни ја даде апсцисата на точката). Како можеме да го бараме? Да се ​​потсетиме каква фигура имаме во основата на пирамидата? Ова е редовен шестоаголник. Што значи тоа? Ова значи дека сите страни и сите агли се еднакви. Треба да најдеме еден таков агол. Некои идеи? Има многу идеи, но има формула:

Збир на агли регуларен n-гонеднаква на .

Така, збирот на аглите правилен шестоаголникеднаква на степени. Тогаш секој од аглите е еднаков на:

Ајде да ја погледнеме сликата повторно. Јасно е дека отсечката е симетрала на аголот. Потоа аголот еднаква на степени. Потоа:

Тогаш од каде.

Така, има координати

б) Сега лесно можеме да ја најдеме координатата на точката: .

в) Најдете ги координатите на точката. Бидејќи нејзината апсциса се совпаѓа со должината на сегментот, таа е еднаква. Наоѓањето на ординатата исто така не е многу тешко: ако ги поврземе точките и ја означиме точката на пресек на правата како, да речеме, . (направете го тоа сами едноставна конструкција). Тогаш Така, ординатата на точката Б е еднаква на збирот на должините на отсечките. Ајде повторно да го погледнеме триаголникот. Потоа

Потоа од Тогаш точката има координати

г) Сега да ги најдеме координатите на точката. Разгледајте го правоаголникот и докажете дека Така, координатите на точката се:

д) Останува да се најдат координатите на темето. Јасно е дека нејзината апсциса и ордината се поклопуваат со апсцисата и ординатата на точката. Ајде да ја најдеме апликацијата. Од тогаш. Размислете за правоаголен триаголник. Според условите на проблемот странично ребро. Ова е хипотенузата на мојот триаголник. Тогаш висината на пирамидата е крак.

Тогаш точката има координати:

Па, тоа е тоа, ги имам координатите на сите точки што ме интересираат. Ги барам координатите на насочувачките вектори на прави линии:

Го бараме аголот помеѓу овие вектори:

Одговор:

Повторно, при решавањето на овој проблем не користев никакви софистицирани техники освен формулата за збир на аглите на правилен n-аголник, како и дефиницијата на косинус и синус на правоаголен триаголник.

3. Бидејќи повторно не ни се дадени должините на рабовите во пирамидата, ќе ги избројам еднакво на еден. Така, бидејќи СИТЕ рабови, а не само страничните, се еднакви еден на друг, тогаш во основата на пирамидата и јас има квадрат, а страничните лица се правилни триаголници. Дозволете ни да нацртаме таква пирамида, како и нејзината основа на рамнина, забележувајќи ги сите податоци дадени во текстот на проблемот:

Го бараме аголот помеѓу и. Ќе направам многу кратки пресметки кога ќе ги барам координатите на точките. Ќе треба да ги „дешифрирате“:

б) - средината на сегментот. Неговите координати:

в) Ќе ја најдам должината на отсечката користејќи ја Питагоровата теорема во триаголник. Можам да го најдам користејќи ја Питагоровата теорема во триаголник.

Координати:

г) - средината на сегментот. Нејзините координати се

д) Векторски координати

ѓ) Векторски координати

е) Барање агол:

коцка - наједноставна фигура. Сигурен сум дека ќе го сфатиш сам. Одговорите на проблемите 4 и 5 се како што следува:

Наоѓање на аголот помеѓу права линија и рамнина

Па, времето за едноставни загатки заврши! Сега примерите ќе бидат уште покомплицирани. За да го пронајдеме аголот помеѓу права линија и рамнина, ќе постапиме на следниов начин:

1. Користејќи три точки, конструираме равенка на рамнината
   ,
   користејќи детерминанта од трет ред.
2. Користејќи две точки, ги бараме координатите на векторот за насочување на права линија:
3. Ја применуваме формулата за да го пресметаме аголот помеѓу права линија и рамнина:

Како што можете да видите, оваа формула е многу слична на онаа што ја користевме за наоѓање агли помеѓу две прави. Структурата на десната страна е едноставно иста, а од левата сега го бараме синусот, а не косинусот како порано. Па, додадена е една гадна акција - пребарување на равенката на авионот.

Да не одолговлекуваме примери за решенија:

1. Директната призма главната-но-ва-ни-ем-ние сме триаголник еднаков на сиромашните. Најдете го аголот помеѓу правата линија и рамнината

2. Во правоаголна par-ral-le-le-pi-pe-de од запад Најдете го аголот помеѓу правата линија и рамнината

3. Во десна шестаголна призма, сите рабови се еднакви. Најдете го аголот помеѓу правата линија и рамнината.

4. Во десниот триаголен пи-ра-ми-де со ос-но-ва-ни-ем од познатите ребра Најди агол, об-ра-зо-ван -рамен во основа и прави, поминува низ сивилото. ребра и

5. Должините на сите рабови на правоаголен четириаголен пи-ра-ми-ди со теме се еднакви една со друга. Најдете го аголот помеѓу правата линија и рамнината ако точката е на страната на работ на пи-ра-ми-ди.

Пак ќе ги решам првите два проблема детално, третиот накратко, а последните два ти оставам да си ги решиш сам. Освен тоа, веќе сте морале да се справите со триаголното и четириаголни пирамиди, но со призми - сè уште не.

Решенија:

1. Да прикажеме призма, како и нејзината основа. Ајде да го комбинираме со координатниот систем и да ги забележиме сите податоци што се дадени во изјавата за проблемот:

Се извинувам за некакво непочитување на пропорциите, но за решавање на проблемот ова, всушност, не е толку важно. Авионот е едноставно „задниот ѕид“ на мојата призма. Доволно е едноставно да се погоди дека равенката на таква рамнина има форма:

Сепак, ова може да се покаже директно:

Ајде да избереме произволни три точки на оваа рамнина: на пример, .

Ајде да ја создадеме равенката на рамнината:

Вежба за вас: пресметајте ја оваа одредница сами. Дали успеавте? Тогаш равенката на рамнината изгледа вака:

Или едноставно

Така,

За да го решам примерот, треба да ги најдам координатите на векторот на насоката на правата линија. Бидејќи точката се совпаѓа со потеклото на координатите, координатите на векторот едноставно ќе се совпаднат со координатите на точката.За да го направите ова, прво ги наоѓаме координатите на точката.

За да го направите ова, размислете за триаголник. Ајде да ја нацртаме висината (позната и како медијана и симетрала) од темето. Бидејќи, ординатата на точката е еднаква на. За да ја најдеме апсцисата на оваа точка, треба да ја пресметаме должината на отсечката. Според Питагоровата теорема имаме:

Тогаш точката има координати:

Точката е „подигната“ точка:

Тогаш векторските координати се:

Одговор:

Како што можете да видите, нема ништо фундаментално тешко при решавање на вакви проблеми. Всушност, процесот е малку повеќе поедноставен со „правилото“ на фигура како што е призмата. Сега да преминеме на следниот пример:

2. Нацртајте паралелепипед, нацртајте рамнина и права линија во него, а исто така одделно нацртајте ја неговата долна основа:

Прво, ја наоѓаме равенката на рамнината: Координатите на трите точки што лежат во неа:

(првите две координати се добиваат на очигледен начин и последна координатаможете лесно да го најдете од сликата од точката). Потоа ја составуваме равенката на рамнината:

Ние пресметуваме:

Ги бараме координатите на водечкиот вектор: Јасно е дека неговите координати се совпаѓаат со координатите на точката, нели? Како да најдете координати? Ова се координатите на точката, подигнати по апликативната оска за еден! . Потоа го бараме саканиот агол:

Одговор:

3. Нацртајте правилна шестоаголна пирамида, а потоа нацртајте рамнина и права линија во неа.

Тука е дури и проблематично да се нацрта рамнина, а да не зборуваме за решавање на овој проблем, но на методот на координација не му е грижа! Неговата разновидност е нејзината главна предност!

Авионот минува низ три точки: . Ги бараме нивните координати:

1) . Откријте ги сами координатите за последните две точки. За ова ќе треба да го решите проблемот со хексагоналната пирамида!

2) Ја конструираме равенката на рамнината:

Ги бараме координатите на векторот: . (Повторно погледнете го проблемот со триаголната пирамида!)

3) Барате агол:

Одговор:

Како што можете да видите, нема ништо натприродно тешко во овие задачи. Само треба да бидете многу внимателни со корените. Ќе дадам одговори само на последните два проблеми:

Како што можете да видите, техниката за решавање проблеми е иста насекаде: главната задача е да ги пронајдете координатите на темињата и да ги замените во одредени формули. Сè уште треба да разгледаме уште една класа проблеми за пресметување агли, имено:

Пресметување агли помеѓу две рамнини

Алгоритмот за решение ќе биде како што следува:

1. Користејќи три точки, ја бараме равенката на првата рамнина:
2. Користејќи ги другите три точки, ја бараме равенката на втората рамнина:
3. Ја применуваме формулата:

Како што можете да видите, формулата е многу слична на двете претходни, со чија помош баравме агли помеѓу прави и помеѓу права и рамнина. Така, нема да ви биде тешко да го запомните ова. Да преминеме на анализа на задачите:

1. Страната на основата на десната триаголна призма е еднаква, а дијагоналата на страничното лице е еднаква. Најдете го аголот помеѓу рамнината и рамнината на оската на призмата.

2. Во десниот четириаголник пи-ра-ми-де, чиишто рабови се еднакви, пронајдете го синусот на аголот помеѓу рамнината и рамнината коска, минувајќи низ точката per-pen-di-ku- лажго-но прав.

3. Во правилна четириаголна призма, страните на основата се еднакви, а страничните рабови се еднакви. Има точка на работ од-ме-че-на така што. Најдете го аголот помеѓу рамнините и

4. Во правоаголна четириаголна призма, страните на основата се еднакви, а страничните рабови се еднакви. Има точка на работ од точката така што Најдете го аголот помеѓу рамнините и.

5. Во коцка најди го co-si-nus на аголот помеѓу рамнините и

Проблемски решенија:

1. Го цртам точниот (во основата има рамностран триаголник) триаголна призмаи означете ги рамнините што се појавуваат во изјавата за проблемот:

Треба да ги најдеме равенките на две рамнини: Равенката на основата е тривијална: можете да ја составите соодветната детерминанта користејќи три точки, но јас веднаш ќе ја составам равенката:

Сега да ја најдеме равенката Точка има координати Точка - Бидејќи е средна и надморска височина на триаголникот, лесно се наоѓа со помош на Питагоровата теорема во триаголникот. Тогаш точката има координати: Да ја најдеме примената на точката За да го направите ова, разгледајте правоаголен триаголник

Потоа ги добиваме следните координати: Ја составуваме равенката на рамнината.

Го пресметуваме аголот помеѓу рамнините:

Одговор:

2. Изработка на цртеж:

Најтешко е да се разбере каков вид на мистериозна рамнина е ова, поминувајќи нормално низ точката. Па, главната работа е, што е тоа? Главната работа е внимателност! Всушност, линијата е нормална. Правата линија е исто така нормална. Тогаш рамнината што минува низ овие две линии ќе биде нормална на линијата и, патем, ќе помине низ точката. Овој авион исто така поминува низ врвот на пирамидата. Тогаш посакуваниот авион - И авионот веќе ни е даден. Ги бараме координатите на точките.

Ја наоѓаме координатата на точката низ точката. Од малата слика лесно може да се заклучи дека координатите на точката ќе бидат како што следува: Што останува сега да се најде за да се најдат координатите на врвот на пирамидата? Исто така, треба да ја пресметате неговата висина. Ова е направено со користење на истата Питагорова теорема: прво докажете го тоа (тривијално од мали триаголници кои формираат квадрат во основата). Бидејќи по услов имаме:

Сега сè е подготвено: координати на теме:

Ја составуваме равенката на рамнината:

Веќе сте експерт за пресметување на детерминанти. Без тешкотии ќе добиете:

Или поинаку (ако ги помножиме двете страни со коренот од два)

Сега да ја најдеме равенката на рамнината:

(Не сте заборавиле како ја добиваме равенката на рамнина, нели? Ако не ви е јасно од каде е овој минус еден, тогаш вратете се на дефиницијата за равенката на рамнина! Само секогаш испаѓаше пред тоа мојот авион му припаѓаше на потеклото на координатите!)

Ја пресметуваме детерминантата:

(Можете да забележите дека равенката на рамнината се совпаѓа со равенката на правата што минува низ точките и! Размислете зошто!)

Сега да го пресметаме аголот:

Треба да го најдеме синусот:

Одговор:

3. Слабо прашање: што е тоа? правоаголна призма, Како мислиш? Ова е само паралелепипед кој добро го познавате! Ајде да направиме цртеж веднаш! Не мора ни да ја отсликате основата одделно; тоа е од мала корист овде:

Рамнината, како што забележавме претходно, е напишана во форма на равенка:

Сега ајде да создадеме авион

Веднаш ја создаваме равенката на рамнината:

Барате агол:

Сега одговорите на последните два проблеми:

Па, сега е време да направиме мала пауза, бидејќи јас и ти сме одлични и завршивме одлична работа!

Координати и вектори. Напредно ниво

Во оваа статија ќе разговараме со вас за друга класа проблеми што може да се решат со помош на методот на координати: проблеми со пресметување на растојание. Имено, ќе ги разгледаме следните случаи:

1. Пресметка на растојанието помеѓу линиите што се пресекуваат.

Ги нарачав овие задачи со цел поголема тежина. Излегува дека е најлесно да се најде растојание од точка до рамнина, а најтешко е да се најде растојание помеѓу линиите на вкрстување. Иако, се разбира, ништо не е невозможно! Да не одолговлекуваме и веднаш да продолжиме да ја разгледуваме првата класа на проблеми:

Пресметување на растојанието од точка до рамнина

Што ни треба за да го решиме овој проблем?

1. Точка координати

Значи, штом ги добиеме сите потребни податоци, ја применуваме формулата:

Веќе треба да знаете како ја конструираме равенката на рамнина претходните задачи, за што разговарав во последниот дел. Да преминеме директно на задачите. Шемата е следна: 1, 2 - ви помагам да одлучите, а во некои детали, 3, 4 - само одговорот, сами го спроведувате решението и споредете. Да почнеме!

Задачи:

1. Дадена е коцка. Должината на работ на коцката е еднаква. Најдете го растојанието од се-ре-ди-на од сечењето до рамнината

2. Со оглед на десниот четири-јаглен пи-ра-ми-да, страната на страната е еднаква на основата. Најдете го растојанието од точката до рамнината каде што - се-ре-ди-на рабовите.

3. Во десниот триаголен пи-ра-ми-де со ос-но-ва-ни-ем, страничниот раб е еднаков, а сто-ро-на ос-но-ва-нија е еднаков. Најдете го растојанието од врвот до авионот.

4. Во десна шестоаголна призма сите рабови се еднакви. Најдете го растојанието од точка до рамнина.

Решенија:

1. Нацртајте коцка со единечни рабови, конструирајте отсечка и рамнина, средината на отсечката означете ја со буква

.

Прво, да започнеме со лесното: пронајдете ги координатите на точката. Оттогаш (запомнете ги координатите на средината на сегментот!)

Сега ја составуваме равенката на рамнината користејќи три точки

\[\лево| (\почеток(низа)(*(20)(в))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\крај (низа)) \десно| = 0\]

Сега можам да почнам да ја наоѓам растојанието:

2. Почнуваме повторно со цртеж на кој ги означуваме сите податоци!

За пирамида, би било корисно да се нацрта нејзината основа посебно.

Дури и тоа што цртам како кокошка со шепата нема да не спречи лесно да го решиме овој проблем!

Сега е лесно да се најдат координатите на точка

Од координатите на точката, тогаш

2. Бидејќи координатите на точката a се средината на отсечката, тогаш

Без никакви проблеми можеме да ги најдеме координатите на уште две точки на рамнината.Креираме равенка за рамнината и ја поедноставуваме:

\[\лево| (\лево| (\begin(низа)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end (низа)) \десно|) \десно| = 0\]

Бидејќи точката има координати: , го пресметуваме растојанието:

Одговор (многу ретко!):

Па, дали сфативте? Ми се чини дека овде сè е исто толку техничко како и во примерите што ги разгледавме во претходниот дел. Значи, сигурен сум дека ако сте го совладале тој материјал, тогаш нема да ви биде тешко да ги решите преостанатите два проблема. Само ќе ви ги дадам одговорите:

Пресметување на растојанието од права линија до рамнина

Всушност, тука нема ништо ново. Како може права линија и рамнина да се постават релативно едни на други? Тие имаат само една можност: да се сечат, или права линија е паралелна со рамнината. Што мислите, колку е растојанието од права линија до рамнината со која се вкрстува оваа права? Ми се чини дека овде е јасно дека таквото растојание е еднакво на нула. Не е интересен случај.

Вториот случај е посложен: тука растојанието веќе е не-нула. Меѓутоа, бидејќи правата е паралелна со рамнината, тогаш секоја точка од правата е еднакво оддалечена од оваа рамнина:

Така:

Ова значи дека мојата задача е сведена на претходната: ги бараме координатите на која било точка на права линија, ја бараме равенката на рамнината и го пресметуваме растојанието од точката до рамнината. Всушност, ваквите задачи се исклучително ретки во обединетиот државен испит. Успеав да најдам само еден проблем, а податоците во него беа такви што методот на координати не беше многу применлив за него!

Сега да преминеме на друга, многу поважна класа на проблеми:

Пресметување на растојанието од точка до права

Што ни треба?

1. Координати на точката од која го бараме растојанието:

2. Координати на која било точка што лежи на права

3. Координати на насочувачкиот вектор на права линија

Која формула ја користиме?

Што значи именителот на оваа дропка треба да ви биде јасно: ова е должината на насочувачкиот векторот на правата линија. Ова е многу незгоден броител! Изразот значи модул (должина) на векторскиот производ на вектори и Како да се пресмета векторскиот производ, ги проучувавме во претходниот дел од работата. Освежете го вашето знаење, сега ќе ни треба многу!

Така, алгоритмот за решавање проблеми ќе биде како што следува:

1. Ги бараме координатите на точката од која го бараме растојанието:

2. Ги бараме координатите на која било точка на правата до која го бараме растојанието:

3. Конструирај вектор

4. Конструирај насочувачки вектор на права линија

5. Пресметај го векторскиот производ

6. Ја бараме должината на добиениот вектор:

7. Пресметајте го растојанието:

Имаме многу работа, а примерите ќе бидат доста сложени! Па сега фокусирајте го целото ваше внимание!

1. Даден е правоаголен триаголен пи-ра-ми-да со врв. Стотата-ро-на основа на пи-ра-ми-ди е еднаква, вие сте еднакви. Најдете го растојанието од сивиот раб до права линија, каде што точките и се сивите рабови и од ветеринарното.

2. Должините на ребрата и правиот агол-не-го пар-рал-ле-ле-пи-пе-да се соодветно еднакви и Најдете го растојанието од врвот до права линија

3. Во десна шестоаголна призма, сите рабови се еднакви, најдете го растојанието од точка до права линија

Решенија:

1. Правиме уреден цртеж на кој ги означуваме сите податоци:

Имаме многу работа! Прво, би сакал со зборови да опишам што ќе бараме и по кој редослед:

1. Координати на точки и

2. Точки координати

3. Координати на точки и

4. Координати на вектори и

5. Нивниот вкрстен производ

6. Векторска должина

7. Должина на векторскиот производ

8. Растојание од до

Па, ни претстои многу работа! Ајде да дојдеме до тоа со засукани ракави!

1. За да ги најдеме координатите на висината на пирамидата, треба да ги знаеме координатите на точката. Неговата апликација е нула, а нејзината ордината е еднаква на нејзината апсциса е еднаква на должината на отсечката. Бидејќи е висината на рамностран триаголник, тој се дели во однос, сметајќи од темето, од тука. Конечно, ги добивме координатите:

Точка координати

2. - средината на сегментот

3. - средината на сегментот

Средината на сегментот

4.Координати

Векторски координати

5. Пресметајте го векторскиот производ:

6. Векторска должина: најлесниот начин за замена е дека отсечката е средната линија на триаголникот, што значи дека е еднаква на половина од основата. Значи.

7. Пресметајте ја должината на векторскиот производ:

8. Конечно, го наоѓаме растојанието:

Уф, тоа е тоа! Искрено ќе ви кажам: решението за овој проблем е традиционални методи(преку конструкција), би било многу побрзо. Но, тука сведев сè на готов алгоритам! Мислам дека алгоритмот за решение ти е јасен? Затоа, ќе ве замолам сами да ги решите преостанатите два проблема. Ајде да ги споредиме одговорите?

Повторно, повторувам: полесно (побрзо) е да се решат овие проблеми преку конструкции, наместо да се прибегне кон координатен метод. Ова решение го покажав само за да ви покажам универзален метод, што ви овозможува „да не завршите ништо со изградбата“.

Конечно, разгледајте ја последната класа на проблеми:

Пресметување на растојанието помеѓу линиите што се пресекуваат

Овде алгоритмот за решавање проблеми ќе биде сличен на претходниот. Она што го имаме:

3. Секој вектор што ги поврзува точките од првата и втората линија:

Како го наоѓаме растојанието помеѓу линиите?

Формулата е како што следува:

Бројачот е модулот мешан производ(го воведовме во претходниот дел), а именителот е како во претходната формула (модулот на векторскиот производ на насочувачките вектори на правите, растојанието меѓу кое го бараме).

Ќе те потсетам на тоа

Потоа формулата за растојанието може да се препише како:

Ова е детерминанта поделена со одредница! Иако, да бидам искрен, немам време за шеги овде! Оваа формула, всушност, е многу незгоден и води до доста сложени пресметки. Да сум на твое место, би прибегнал кон тоа само како последно средство!

Ајде да се обидеме да решиме неколку проблеми користејќи го горенаведениот метод:

1. Во вистинската насока триаголна призма, чиишто рабови се еднакви, пронајдете го растојанието помеѓу правите линии и.

2. Со правоаголна триаголна призма, сите рабови на основата се еднакви на делот што минува низ реброто на телото, а ребрата на се-ре-ди-бунарот се квадрат. Најдете го растојанието помеѓу правите линии и

Јас го одлучувам првото, а врз основа на него, вие одлучувате за второто!

1. Цртам призма и означувам прави и

Координати на точка В: тогаш

Точка координати

Векторски координати

Точка координати

Векторски координати

Векторски координати

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \десно) = \лево| (\почеток(низа)(*(20)(л))(\почеток(низа)(*(20)(в))0&1&0\крај(низа)\\(\почеток(низа)(*(20) (в))0&0&1\крај (низа))\\(\почеток(низа)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\крај (низа))\крај (низа)) \десно| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Го пресметуваме векторскиот производ помеѓу вектори и

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \лево| \почетна(низа)(л)\почеток(низа)(*(20)(в))(\overrightarrow i)&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k)\end(низа)\\\почеток(низа )(*(20)(в))0&0&1\крај(низа)\\\почеток(низа)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(низа)\крај(низа) \десно| - \frac((\sqrt 3))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Сега ја пресметуваме неговата должина:

Одговор:

Сега обидете се внимателно да ја завршите втората задача. Одговорот на тоа ќе биде: .

Координати и вектори. Краток опис и основни формули

Вектор е насочен сегмент. - почетокот на векторот, - крајот на векторот.
Векторот се означува со или.

Абсолутна вредноствектор - должината на сегментот што го претставува векторот. Означено како.

Векторски координати:

,
каде се краевите на векторот \displaystyle a .

Збир на вектори: .

Производ на вектори:

Точка производ на вектори:

Окси

ЗА А ОП.

, каде ОП .

Така, .

Ајде да погледнеме на пример.

Пример.

Решение.

:

Одговор:

Оксизво вселената.

А ОПќе биде дијагонала.

Во овој случај (од ОП ОП .

Така, должина на векторот .

Пример.

Пресметајте ја векторската должина

Решение.

, оттука,

Одговор:

Права линија на авион

Општа равенка

Ax + By + C ( > 0).

Вектор = (А; Б)е нормален вектор.

Во векторска форма: + C = 0, каде е векторот на радиусот произволна точкана права линија (сл. 4.11).

Посебни случаи:

1) Со + C = 0- права линија паралелна на оската Вол;

2) Ax + C = 0- права линија паралелна на оската Ој;

3) Ax + By = 0- правата линија минува низ потеклото;

4) y = 0- оска Вол;

5) x = 0- оска Ој.

Равенка на права во отсечки

Каде а, б- вредностите на сегментите отсечени со права линија на координатните оски.

Нормална равенкадиректно(Сл. 4.11)

каде е формираниот агол нормално на правата и на оската Вол; стр- растојанието од потеклото до правата линија.

Донесување општа равенкадиректно во нормална форма:

Еве го нормализираниот фактор на линијата; знакот е избран спротивен знак В, ако и произволно, ако C=0.

Наоѓање на должина на вектор од координати.

Должината на векторот ќе ја означиме со . Поради оваа нотација, должината на векторот често се нарекува модул на векторот.

Да почнеме со наоѓање на должината на векторот на рамнина користејќи координати.

Да воведеме правоаголен Декартов координатен систем на рамнината Окси. Нека во него е наведен вектор и нека има координати. Добиваме формула која ни овозможува да ја најдеме должината на векторот преку координатите и .

Да го одложиме потеклото на координатите (од точка ЗА) вектор . Да ги означиме проекциите на точката Ана координатните оски како и соодветно и разгледајте правоаголник со дијагонала ОП.

Врз основа на Питагоровата теорема, еднаквоста , каде . Од дефиницијата на векторски координати во правоаголен координатен систем, можеме да констатираме дека и , и со конструкција должината ОПеднаква на должината на векторот, затоа, .

Така, формула за наоѓање должина на векторотспоред своите координати на рамнината ја има формата .

Ако векторот е претставен како разложување во координатни вектори , тогаш неговата должина се пресметува со истата формула , бидејќи во овој случај коефициентите и се координати на векторот во даден координатен систем.

Ајде да погледнеме на пример.

Пример.

Најдете ја должината на векторот даден во Декартовиот координатен систем.

Решение.

Веднаш ја применуваме формулата за да ја најдеме должината на векторот од координатите :

Одговор:

Сега ја добиваме формулата за наоѓање на должината на векторот по неговите координати во правоаголен координатен систем Оксизво вселената.

Да го нацртаме векторот од потеклото и да ги означиме проекциите на точката Ана координатните оски како и . Потоа можеме да конструираме правоаголен паралелепипед на страните, во кој ОПќе биде дијагонала.

Во овој случај (од ОП– дијагонала на правоаголен паралелепипед), од каде . Одредувањето на координатите на векторот ни овозможува да напишеме еднаквости и должина ОПеднаква на саканата векторска должина, затоа, .

Така, должина на векторот во просторот е еднаков на квадратниот корен од збирот на квадратите на неговите координати, односно пронајден по формулата .

Пример.

Пресметајте ја векторската должина , каде се единечните вектори на правоаголниот координатен систем.

Решение.

Добиено ни е векторско распаѓање на координатни вектори на формата , оттука, . Потоа, користејќи ја формулата за наоѓање должина на векторот од координати, имаме .

Уште од нашите училишни денови знаеме што е тоа вектор е сегмент кој има насока и се карактеризира со нумеричка вредностнарачан пар поени. Бројот еднаков на должината на сегментот што служи како основа е дефиниран како должина на векторот . За да го дефинираме ќе користиме координатен систем. Исто така, земаме предвид уште една карактеристика - насока на сегментот . За да ја пронајдете должината на векторот, можете да користите два методи. Наједноставно е да земете линијар и да измерите што ќе биде. Или можете да ја користите формулата. Сега ќе ја разгледаме оваа опција.

Неопходно:

— координатен систем (x, y);
- вектор;
- познавање на алгебра и геометрија.

Инструкции:

• Формула за одредување на должина на насочен сегментда го напишеме на следниов начин r²= x²+y². Земајќи го квадратниот корен од r²а добиениот број ќе биде резултат. За да ја пронајдеме должината на векторот, ги извршуваме следните чекори. Ја одредуваме почетната точка на координатите (x1;y1), крајна точка (x2;y2). Ние најдовме xИ yсо разликата меѓу координатите на крајот и почетокот на насочената отсечка. Со други зборови, бројот (X)утврдени со следнава формула x=x2-x1, и бројот (y)соодветно y=y2-y1.
• Најдете го квадратот на збирот на координати користејќи ја формулата x²+y². Го извлекуваме квадратниот корен од добиениот број, што ќе биде должината на векторот (р). Решението на проблемот ќе биде поедноставено доколку веднаш се знаат првичните податоци на координатите на насочениот сегмент. Сè што треба да направите е да ги вклучите податоците во формулата.
• Внимание!Векторот можеби не е на координатната рамнина, туку во просторот, во тој случај на формулата ќе се додаде уште една вредност и ќе има следен поглед: r²= x²+y²+ z², Каде - (з)дополнителна оска која помага да се одреди големината на насочен сегмент во просторот.