من المحتمل جداً أن... التعريف الإحصائي للاحتمال

ومن الواضح أن كل حدث لديه درجة متفاوتة من احتمال حدوثه (تنفيذه). ومن أجل إجراء مقارنة كمية بين الأحداث مع بعضها البعض حسب درجة احتماليتها، فمن الواضح أنه من الضروري ربطها بكل حدث عدد معين، وهو أكبر كلما كان الحدث ممكنا. ويسمى هذا الرقم احتمال وقوع حدث.

احتمالية وقوع الحدث– هو مقياس عددي لدرجة الاحتمال الموضوعي لحدوث هذا الحدث.

خذ بعين الاعتبار تجربة عشوائية وحدثًا عشوائيًا (أ) تمت ملاحظته في هذه التجربة. دعونا نكرر هذه التجربة n مرات ونجعل m(A) هو عدد التجارب التي وقع فيها الحدث A.

العلاقة (1.1)

مُسَمًّى التردد النسبيالأحداث A في سلسلة التجارب التي تم إجراؤها.

من السهل التحقق من صحة الخصائص:

إذا كان A وB غير متناسقين (AB=)، إذن ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

يتم تحديد التكرار النسبي فقط بعد سلسلة من التجارب، وبشكل عام، يمكن أن يختلف من سلسلة إلى أخرى. ومع ذلك، تظهر التجربة أنه في كثير من الحالات، مع زيادة عدد التجارب، يقترب التكرار النسبي من عدد معين. لقد تم التحقق من حقيقة استقرار التردد النسبي هذه مرارًا وتكرارًا ويمكن اعتبارها مثبتة تجريبياً.

مثال 1.19.. إذا رميت عملة معدنية واحدة، فلن يتمكن أحد من توقع الجانب الذي ستستقر فيه العملة في الأعلى. ولكن إذا قمت برمي طنين من العملات المعدنية، فسيقول الجميع أن حوالي طن واحد سوف يسقط مع شعار النبالة، أي أن التردد النسبي لسقوط شعار النبالة يبلغ حوالي 0.5.

إذا، مع زيادة عدد التجارب، إذا كان التردد النسبي للحدث ν(A) يميل إلى عدد ثابت ما، فإنهم يقولون ذلك الحدث A مستقر إحصائيا، ويسمى هذا الرقم احتمال الحدث أ.

احتمالية وقوع الحدث أيتم استدعاء بعض الأرقام الثابتة P(A)، والتي يميل التردد النسبي ν(A) لهذا الحدث مع زيادة عدد التجارب، أي،

ويسمى هذا التعريف التعريف الإحصائيالاحتمالات .

دعونا نفكر في تجربة عشوائية معينة ونجعل مساحة أحداثها الأولية تتكون من مجموعة محدودة أو لا نهائية (ولكن قابلة للعد) من الأحداث الأولية ω 1، ω 2، …، ω i، …. لنفترض أنه تم تعيين رقم معين لكل حدث أولي ω i - ω i ، يصف درجة احتمال حدوثه من هذا العنصرحدث ary وتلبية الخصائص التالية:

هذا الرقم p i يسمى احتمال وقوع حدث ابتدائيωi.

لنفترض الآن أن A حدث عشوائي تمت ملاحظته في هذه التجربة، ولنجعله يتوافق مع مجموعة معينة

في هذا الإعداد احتمال وقوع حدث أ اذكر مجموع احتمالات الأحداث الأولية لصالح A(المدرجة في المجموعة المقابلة أ):

(1.4)

الاحتمال المقدم بهذه الطريقة له نفس خصائص التكرار النسبي، وهي:

وإذا كان AB = (A وB غير متوافقين)،

ثم P(A+B) = P(A) + P(B)

وبالفعل حسب (1.4)

في العلاقة الأخيرة استفدنا من حقيقة أنه لا يوجد حدث أولي واحد يمكنه تفضيل حدثين غير متوافقين في نفس الوقت.

ونلاحظ بشكل خاص أن نظرية الاحتمالات لا تشير إلى طرق تحديد p i؛ بل يجب البحث عنها من خلال الاعتبارات ذات طبيعة عمليةأو تم الحصول عليها من تجربة إحصائية مناسبة.

على سبيل المثال، النظر في المخطط الكلاسيكي لنظرية الاحتمالات. للقيام بذلك، فكر في تجربة عشوائية، يتكون فضاء الأحداث الأولية فيها من عدد محدود (n) من العناصر. لنفترض بالإضافة إلى ذلك أن كل هذه الأحداث الأولية ممكنة بالتساوي، أي أن احتمالات الأحداث الأولية تساوي p(ω i)=p i =p. إنه يتبع هذا

مثال 1.20. عند رمي عملة معدنية متناظرة، يكون الحصول على الصورة والكتابة ممكنًا بنفس القدر، واحتمالاتهما تساوي 0.5.

مثال 1.21. عند رمي حجر نرد متماثل، تكون جميع الوجوه ممكنة بالتساوي، واحتمالاتها تساوي 1/6.

الآن دع الحدث A يتم تفضيله بواسطة الأحداث الأولية، وعادة ما يتم استدعاؤها النتائج مواتية للحدث أ. ثم

يملك التعريف الكلاسيكيالاحتمالات: احتمال P(A) للحدث A يساوي نسبة عدد النتائج المفضلة للحدث A إلى إجمالي عدد النتائج

مثال 1.22. تحتوي الجرة على كرات m بيضاء و n كرات سوداء. ما هو احتمال خروجه؟ كرة بيضاء?

حل. العدد الإجمالي للأحداث الأولية هو m+n. وكلها محتملة على قدم المساواة. الحدث المواتي أ منها م. لذلك، .

الخصائص التالية تتبع من تعريف الاحتمال:

الخاصية 1. احتمالا حدث موثوقيساوي واحد.

في الواقع، إذا كان الحدث موثوقًا به، فإن كل نتيجة أولية للاختبار تفضل الحدث. في هذه الحالة ر = ع،لذلك،

ف(أ)=م/ن=ن/ن=1.(1.6)

الملكية 2. احتمالا حدث مستحيليساوي الصفر.

في الواقع، إذا كان حدث ما مستحيلًا، فلن تكون أي من النتائج الأولية للاختبار لصالح الحدث. في هذه الحالة ت= 0، وبالتالي، ف(أ)=م/ن=0/ن=0. (1.7)

الملكية 3.احتمالا حدث عشوائيهو رقم موجب يقع بين صفر وواحد.

في الواقع، جزء فقط من العدد الإجمالي للنتائج الأولية للاختبار يتم تفضيله بواسطة حدث عشوائي. أي أن 0 ≥m ≥n والتي تعني 0 ≥m/n ≥1، وبالتالي فإن احتمال أي حدث يحقق المتراجحة المزدوجة 0 ≥ ف (أ) ≤1. (1.8)

وبمقارنة تعريفي الاحتمال (1.5) والتكرار النسبي (1.1) نستنتج: تعريف الاحتمال لا يتطلب إجراء الاختبارفي الحقيقة؛ تعريف التردد النسبي يفترض ذلك تم إجراء الاختبارات بالفعل. بعبارة أخرى، يتم حساب الاحتمال قبل التجربة، والتكرار النسبي - بعد التجربة.

ومع ذلك، فإن حساب الاحتمال يتطلب معلومات أولية حول عدد أو احتمالات النتائج الأولية المفضلة لحدث معين. في حالة عدم وجود مثل هذه المعلومات الأولية، يتم استخدام البيانات التجريبية لتحديد الاحتمالية، أي يتم تحديد التكرار النسبي للحدث بناءً على نتائج تجربة عشوائية.

مثال 1.23. قسم الرقابة الفنية اكتشف 3أجزاء غير قياسية في مجموعة مكونة من 80 جزءًا تم اختيارها عشوائيًا. التكرار النسبي لحدوث الأجزاء غير القياسية ص (أ)= 3/80.

مثال 1.24. وفقا للغرض 24 إطلاق نار، وتسجيل 19 إصابة. معدل إصابة الهدف النسبي. ص (أ)=19/24.

ملاحظات طويلة المدىوأظهرت أنه إذا كان في نفس الشروطإجراء تجارب، في كل منها عدد الاختبارات كبير بما فيه الكفاية، فإن التكرار النسبي يُظهر خاصية الاستقرار. هذه الخاصية أنه في تجارب مختلفة يتغير التكرار النسبي قليلاً (كلما قل ذلك، زاد عدد الاختبارات التي يتم إجراؤها)، ويتقلب حول رقم ثابت معين.اتضح أن هذا رقم ثابتيمكن اعتبارها قيمة احتمالية تقريبية.

مزيد من التفاصيل و بتعبير أدق الاتصالبين التكرار النسبي والاحتمال سيتم توضيحه أدناه. والآن دعونا نوضح خاصية الثبات بالأمثلة.

مثال 1.25. وفقا للإحصاءات السويدية، فإن التكرار النسبي لولادات الفتيات لعام 1935 حسب الشهر يتميز بالأرقام التالية (الأرقام مرتبة حسب الأشهر، بدءا من يناير): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

ويتقلب التردد النسبي حول الرقم 0.481 الذي يمكن اعتباره القيمة التقريبيةاحتمال إنجاب البنات.

لاحظ أن البيانات الإحصائية مختلف البلدانتعطي تقريبا نفس قيمة التردد النسبي.

مثال 1.26.تم إجراء تجارب رمي العملة عدة مرات، حيث تم حساب عدد مرات ظهور "شعار النبالة". يتم عرض نتائج العديد من التجارب في الجدول.

في عند تقييم احتمالية وقوع أي حدث عشوائي، من المهم جدًا أن يكون لدينا فهم جيد لما إذا كان احتمال () وقوع الحدث الذي يهمنا يعتمد على كيفية تطور الأحداث الأخرى.

في حالة المخطط الكلاسيكي، عندما تكون جميع النتائج محتملة على قدم المساواة، يمكننا بالفعل تقدير القيم الاحتمالية للحدث الفردي الذي يهمنا بشكل مستقل. يمكننا القيام بذلك حتى لو كان الحدث عبارة عن مجموعة معقدة من عدة نتائج أولية. ماذا لو حدثت عدة أحداث عشوائية في وقت واحد أو بالتتابع؟ كيف يؤثر هذا على احتمالية وقوع الحدث الذي نهتم بحدوثه؟

إذا قمت برمي حجر النرد عدة مرات وأردت ظهور الرقم ستة، واستمر الحظ سيئًا، فهل يعني ذلك أنني يجب أن أزيد رهاني لأنني، وفقًا لنظرية الاحتمالات، على وشك أن أصبح محظوظًا؟ للأسف، نظرية الاحتمال لا تنص على أي شيء من هذا القبيل. لا يوجد نرد ولا بطاقات ولا عملات معدنية لا أستطيع أن أتذكر ما أظهرونا فيه آخر مرة. لا يهمهم على الإطلاق ما إذا كانت هذه هي المرة الأولى أو العاشرة التي أختبر فيها حظي اليوم. في كل مرة أكرر فيها الرمي، أعرف شيئًا واحدًا فقط: وهذه المرة احتمال الحصول على ستة هو السدس مرة أخرى. وبطبيعة الحال، هذا لا يعني أن العدد الذي أحتاجه لن يأتي أبدا. هذا يعني فقط أن خسارتي بعد الرمية الأولى وبعد أي رمية أخرى هي أحداث مستقلة.

يتم استدعاء الأحداث A و B مستقلإذا كان تنفيذ أحدهما لا يؤثر بأي شكل من الأشكال على احتمال وقوع حدث آخر. على سبيل المثال، لا تعتمد احتمالات إصابة هدف بالسلاح الأول من السلاحين على ما إذا كان الهدف قد أصيب بالسلاح الآخر، وبالتالي فإن حدثي "أصاب السلاح الأول الهدف" و"أصاب السلاح الثاني الهدف" هما مستقل.

إذا كان الحدثان A وB مستقلين، وكان احتمال كل منهما معروفًا، فيمكن حساب احتمال وقوع الحدث A والحدث B في وقت واحد (يُشار إليه بـ AB) باستخدام النظرية التالية.

نظرية الضرب الاحتمالية للأحداث المستقلة

ف(AB) = ف(أ)*ف(ب)- احتمالا متزامنةبداية اثنين مستقلالأحداث تساوي عملاحتمالات هذه الأحداث.

مثال.احتمالات إصابة الهدف عند إطلاق المدفعين الأول والثاني متساوية على التوالي: p 1 =0.7؛ ع 2 =0.8. أوجد احتمال الإصابة بطلقتين من كلا السلاحين في وقت واحد.

حل:وكما رأينا من قبل، فإن الحدثين A (الإصابة بالمدفع الأول) والحدث B (الإصابة بالمدفع الثاني) مستقلان، أي. P(AB)=P(A)*P(B)=ص 1 *ص 2 =0.56.

ماذا يحدث لتقديراتنا إذا كانت الأحداث الأولية غير مستقلة؟ دعونا نغير المثال السابق قليلا.

مثال.يقوم اثنان من الرماة بإطلاق النار على أهداف في إحدى المنافسات، وإذا أطلق أحدهما النار بدقة، يبدأ الخصم بالتوتر وتتفاقم نتائجه. كيفية تحويل هذا الوضع اليومي إلى مشكلة رياضيةوتوضيح سبل حلها؟ ومن الواضح بديهيًا أننا بحاجة إلى الفصل بين الخيارين بطريقة أو بأخرى التطورات، قم بإنشاء سيناريوهين بشكل أساسي، اثنان مهام مختلفة. في الحالة الأولى، إذا أخطأ الخصم، فسيكون السيناريو مناسبًا للرياضي العصبي وستكون دقته أعلى. في الحالة الثانية، إذا استغل الخصم فرصته بشكل لائق، فإن احتمال إصابة الهدف بالنسبة للرياضي الثاني يتناقص.

لفصل السيناريوهات المحتملة (التي تسمى غالبا الفرضيات) لتطور الأحداث، غالبا ما نستخدم مخطط "شجرة الاحتمالية". يشبه هذا المخطط في المعنى شجرة القرار التي ربما تكون قد تعاملت معها بالفعل. يمثل كل فرع سيناريو منفصل لتطوير الأحداث، الآن فقط لديه معنى خاص به لما يسمى الشرطالاحتمالات (س 1، س 2، س 1 -1، س 2 -1).

هذا المخطط مناسب جدًا لتحليل الأحداث العشوائية المتسلسلة.

يبقى توضيح سؤال مهم آخر: أين توجد القيم الأولية للاحتمالات مواقف حقيقية ؟ ففي نهاية المطاف، ألا تعمل نظرية الاحتمالات مع العملات المعدنية والنرد فقط؟ عادة ما يتم أخذ هذه التقديرات من الإحصائيات، وعندما لا تتوفر معلومات إحصائية، نقوم بإجراء أبحاثنا الخاصة. وكثيرًا ما يتعين علينا ألا نبدأ بجمع البيانات، بل بسؤال ما هي المعلومات التي نحتاجها بالفعل.

مثال.لنفترض أننا بحاجة إلى تقدير حجم السوق لمدينة يبلغ عدد سكانها مائة ألف نسمة. منتج جديد، وهو ليس عنصرًا أساسيًا، على سبيل المثال، بلسم للعناية بالشعر المصبوغ. دعونا نفكر في مخطط "شجرة الاحتمالية". في هذه الحالة، نحتاج إلى تقدير قيمة الاحتمالية تقريبًا لكل "فرع". لذلك، تقديراتنا لقدرة السوق:

1) 50% من سكان المدينة هم من النساء،

2) من بين جميع النساء، 30% فقط يصبغن شعرهن كثيرًا،

3) منهن 10% فقط يستخدمن بلسم للشعر المصبوغ،

4) منهم 10% فقط لديهم الشجاعة لتجربة منتج جديد،

5) 70٪ منهم عادة ما يشترون كل شيء ليس منا، ولكن من منافسينا.

حل:وفقًا لقانون ضرب الاحتمالات، نحدد احتمالية الحدث الذي يهمنا أ = (أحد سكان المدينة يشتري منا هذا البلسم الجديد) = 0.00045.

دعونا نضرب قيمة الاحتمالية هذه في عدد سكان المدينة. ونتيجة لذلك، لدينا 45 عميلاً محتملاً فقط، وبالنظر إلى أن زجاجة واحدة من هذا المنتج تكفي لعدة أشهر، فإن التجارة ليست نشطة للغاية.

ومع ذلك، هناك بعض الفوائد من تقييماتنا.

أولاً، يمكننا مقارنة توقعات أفكار الأعمال المختلفة؛ سيكون لها "شوكات" مختلفة في المخططات، وبالطبع ستكون قيم الاحتمالية مختلفة أيضًا.

ثانيا كما قلنا سابقا قيمة عشوائيةولا يطلق عليه عشوائي لأنه لا يعتمد على أي شيء على الإطلاق. فقط لها بالضبطالمعنى غير معروف مقدما. نحن نعلم أنه يمكن زيادة متوسط ​​عدد المشترين (على سبيل المثال، عن طريق الإعلان عن منتج جديد). لذا فمن المنطقي أن نركز جهودنا على تلك "الشوكات" حيث لا يناسبنا التوزيع الاحتمالي بشكل خاص، على تلك العوامل التي نستطيع التأثير عليها.

دعونا نلقي نظرة على واحد آخر مثال كميبحث حول السلوك الشرائي.

مثال.في المتوسط، يزور سوق المواد الغذائية 10000 شخص يوميًا. احتمال دخول زائر السوق إلى الجناح منتجات الألبان، يساوي 1/2. ومن المعروف أن هذا الجناح يبيع ما متوسطه 500 كجم من المنتجات المتنوعة يوميًا.

هل يمكننا القول أن متوسط ​​حجم الشراء في الجناح يزن 100 جرام فقط؟

مناقشة.بالطبع لا. من الواضح أنه ليس كل من دخل الجناح انتهى به الأمر إلى شراء شيء ما هناك.

كما هو موضح في الرسم البياني، للإجابة على السؤال الخاص بمتوسط ​​وزن الشراء، يجب أن نجد إجابة للسؤال، ما هو احتمال ذلكأن الشخص الذي يدخل الجناح سيشتري شيئًا ما هناك. إذا لم تكن لدينا مثل هذه البيانات تحت تصرفنا، ولكننا نحتاج إليها، فسيتعين علينا الحصول عليها بأنفسنا من خلال مراقبة زوار الجناح لبعض الوقت. لنفترض أن ملاحظاتنا أظهرت أن خمس زوار الجناح فقط يشترون شيئًا ما.

وبمجرد حصولنا على هذه التقديرات، تصبح المهمة بسيطة. من بين 10000 شخص يأتون إلى السوق، سيذهب 5000 إلى جناح منتجات الألبان، وسيكون هناك 1000 عملية شراء فقط، ويبلغ متوسط ​​وزن الشراء 500 جرام. ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه من أجل بناء صورة كاملة لما يحدث، يجب تحديد منطق "التفرع" المشروط في كل مرحلة من تفكيرنا بشكل واضح كما لو كنا نعمل مع موقف "محدد"، وليس مع الاحتمالات.

مهام الاختبار الذاتي

1. فليكن دائرة كهربائية، تتكون من عناصر متصلة بسلسلة n، يعمل كل منها بشكل مستقل عن العناصر الأخرى.

احتمالية فشل كل عنصر معروفة. تحديد احتمالية التشغيل السليم لقسم الدائرة بأكمله (الحدث أ).

2. يعرف الطالب 20 من 25 أسئلة الامتحان. أوجد احتمال أن يعرف الطالب الأسئلة الثلاثة التي طرحها عليه الممتحن.

3. يتكون الإنتاج من أربع مراحل متتالية، تعمل في كل منها المعدات، والتي تكون احتمالات فشلها خلال الشهر التالي تساوي ص 1، ص 2، ص 3، ع 4، على التوالي. أوجد احتمال عدم توقف الإنتاج بسبب تعطل المعدات خلال شهر واحد.

في مدونتي، ترجمة للمحاضرة القادمة من دورة "مبادئ توازن اللعبة" لمصمم الألعاب جان شرايبر، الذي عمل في مشاريع مثل Marvel Trading Card Game وPlayboy: the Mansion.

قبل اليومكل ما تحدثنا عنه تقريبًا كان حتميًا، وفي الأسبوع الماضي ألقينا نظرة فاحصة على الميكانيكا المتعدية، ودخلنا في أكبر قدر ممكن من التفاصيل التي يمكنني شرحها. لكن حتى الآن لم ننتبه إلى جانب آخر في العديد من الألعاب، وهو الجوانب غير الحتمية - وبعبارة أخرى، العشوائية.

إن فهم طبيعة العشوائية مهم جدًا لمصممي الألعاب. نقوم بإنشاء أنظمة تؤثر على تجربة المستخدم في لعبة معينة، لذلك نحتاج إلى معرفة كيفية عمل تلك الأنظمة. إذا كانت هناك عشوائية في نظام ما، فيجب علينا أن نفهم طبيعة هذه العشوائية ونعرف كيفية تغييرها حتى نحصل على النتائج التي نحتاجها.

حجر النرد

لنبدأ بشيء بسيط - الرمي حجر النرد. عندما يفكر معظم الناس في النرد، فإنهم يفكرون في حجر النرد ذو الستة جوانب المعروف باسم d6. لكن معظم اللاعبين شاهدوا العديد من أحجار النرد الأخرى: رباعي السطوح (d4)، مثمن (d8)، اثني عشر ضلعًا (d12)، عشرين ضلعًا (d20). إذا كنت مهووسًا حقيقيًا، فقد يكون لديك نرد ذو 30 أو 100 وجه في مكان ما.

إذا لم تكن على دراية بالمصطلحات، فإن d يرمز إلى die، والرقم الذي يليه هو عدد أضلاعه. إذا ظهر الرقم قبل d، فإنه يشير إلى عدد النرد المطلوب رميه. على سبيل المثال، في لعبة المونوبولي، تقوم برمي 2d6.

لذلك، في في هذه الحالةعبارة "النرد" - رمز. هناك عدد كبير من مولدات الأرقام العشوائية الأخرى التي لا تشبه الأشكال البلاستيكية، ولكنها تؤدي نفس الوظيفة - التوليد رقم عشوائيمن 1 إلى ن. يمكن أيضًا تمثيل العملة العادية على شكل نرد ثنائي السطوح d2.

رأيت تصميمين لنرد ذي سبعة جوانب: أحدهما يشبه النرد، والآخر يشبه قلم رصاص خشبي ذي سبعة جوانب. يشبه دريديل رباعي السطوح، المعروف أيضًا باسم تيتوتوم، عظم رباعي السطوح. لوحة الأسهم الدوارة في Chutes & Ladders، حيث يمكن أن تتراوح النتائج من 1 إلى 6، تتوافق مع حجر نرد ذي ستة جوانب.

يمكن لمولد الأرقام العشوائية للكمبيوتر إنشاء أي رقم من 1 إلى 19 إذا حدده المصمم، على الرغم من أن الكمبيوتر لا يحتوي على قالب ذو 19 وجهًا (بشكل عام، سأتحدث أكثر عن احتمالية ظهور الأرقام على الكمبيوتر الأسبوع المقبل). تبدو كل هذه العناصر مختلفة، لكنها في الواقع متكافئة: لديك فرصة متساوية لكل من النتائج المحتملة العديدة.

النرد لديها بعض خصائص مثيرة للاهتمامالتي نحتاج إلى معرفتها. أولاً، احتمال سقوط أي من حجر النرد هو نفسه (أفترض أنك تقوم برمي النرد الصحيح). شكل هندسي). إذا كنت تريد معرفة متوسط ​​قيمة اللفة (لأولئك المهتمين بنظرية الاحتمالات، فتعرف باسم القيمة المتوقعة) ، اجمع القيم على جميع الوجوه واقسم هذا الرقم على عدد الوجوه.

مجموع قيم جميع الجوانب للنرد القياسي ذو الستة جوانب هو 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. اقسم 21 على عدد الجوانب واحصل على متوسط ​​قيمة اللفة: 21 / 6 = 3.5. هذا حالة خاصةلأننا نفترض أن جميع النتائج متساوية في الاحتمال.

ماذا لو كان لديك نرد خاص؟ على سبيل المثال، رأيت لعبة بها نرد سداسي الجوانب مع ملصقات خاصة على الجوانب: 1، 1، 1، 2، 2، 3، لذا فهي تتصرف مثل نرد غريب ثلاثي الجوانب به المزيد من الفرصأن الرقم سيكون 1 بدلاً من 2، وأن الرقم 2 من المرجح أن يتم رميه بدلاً من الرقم 3. ما متوسط ​​قيمة لفة هذا النرد؟ لذلك، 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10، مقسوما على 6 - اتضح 5 / 3، أو حوالي 1.66. لذا، إذا كان لديك حجر نرد خاص وقام اللاعبون برمي ثلاثة أحجار نرد ثم جمعوا النتائج - فأنت تعلم أن مجموع رزمهم سيصل إلى حوالي 5، ويمكنك موازنة اللعبة بناءً على هذا الافتراض.

النرد والاستقلال

وكما قلت من قبل، فإننا ننطلق من افتراض أن احتمالات سقوط كل جانب متساوية. لا يهم عدد النرد الذي تدحرجه. كل رمية نرد مستقلة، مما يعني أن الرميات السابقة لا تؤثر على نتائج الرميات اللاحقة. مع وجود تجارب كافية، لا بد أن تلاحظ نمطًا من الأرقام - على سبيل المثال، رمي قيم أعلى أو أقل في الغالب - أو ميزات أخرى، ولكن هذا لا يعني أن النرد "ساخن" أو "بارد". سنتحدث عن هذا لاحقا.

إذا قمت برمي نرد قياسي ذي ستة جوانب وظهر الرقم 6 مرتين على التوالي، فإن احتمال أن تؤدي الرمية التالية إلى الرقم 6 هو بالضبط 1/6. ولا يزيد الاحتمال لأن النرد قد "سخن". . في الوقت نفسه، لا ينخفض ​​\u200b\u200bالاحتمال: من غير الصحيح أن نسبب أن الرقم 6 قد ظهر بالفعل مرتين على التوالي، مما يعني أنه يجب أن يظهر جانب آخر الآن.

بالطبع، إذا رميت حجر النرد عشرين مرة وحصلت على 6 في كل مرة، فإن احتمال أن تحصل على 6 في المرة الحادية والعشرين يكون مرتفعًا جدًا: ربما يكون لديك حجر النرد الخطأ. ولكن إذا كان حجر النرد عادلاً، فإن كل جانب لديه نفس احتمالية الهبوط، بغض النظر عن نتائج الرميات الأخرى. يمكنك أيضًا أن تتخيل أننا نستبدل النرد في كل مرة: إذا تم رمي الرقم 6 مرتين على التوالي، فقم بإزالة النرد "الساخن" من اللعبة واستبدله بآخر جديد. أعتذر إذا كان أي منكم على علم بهذا الأمر بالفعل، لكني كنت بحاجة إلى توضيح هذا الأمر قبل المضي قدمًا.

كيفية جعل النرد يتدحرج بشكل عشوائي أكثر أو أقل

دعونا نتحدث عن كيفية الحصول على نتائج مختلفة على أحجار النرد المختلفة. سواء قمت برمي حجر النرد مرة واحدة فقط أو عدة مرات، ستشعر باللعبة بشكل أكثر عشوائية عندما يكون للنرد جوانب أكثر. كلما زاد عدد مرات رمي ​​النرد، وكلما زاد عدد النرد، كلما اقتربت النتائج من المتوسط.

على سبيل المثال، في حالة 1d6 + 4 (أي إذا ألقيت حجر نرد قياسي ذي ستة جوانب مرة واحدة وأضفت 4 إلى النتيجة)، سيكون المتوسط ​​رقمًا بين 5 و10. إذا رميت 5d2، فإن المتوسط سيكون أيضًا رقمًا بين 5 و10. وستكون نتائج التدوير 5d2 هي بشكل أساسي الأرقام 7 و8، وفي كثير من الأحيان قيم أخرى. نفس السلسلة، وحتى نفس القيمة المتوسطة (في كلتا الحالتين 7.5)، ولكن طبيعة العشوائية مختلفة.

انتظر دقيقة. ألم أقل أن النرد لا "يسخن" أو "يبرد"؟ الآن أقول: إذا ألقيت الكثير من النرد، فإن نتائج اللفات ستقترب من المتوسط. لماذا؟

دعني أشرح. إذا قمت برمي حجر نرد واحد، فإن كل جانب لديه نفس احتمالية الهبوط. هذا يعني أنه إذا قمت برمي الكثير من النرد بمرور الوقت، فسيظهر كل جانب بنفس عدد المرات تقريبًا. كلما زاد عدد النرد الذي رميته، كلما اقتربت النتيجة الإجمالية من المتوسط.

وهذا ليس لأن الرقم المرسوم "يجبر" رقمًا آخر لم يتم سحبه بعد. ولكن لأن سلسلة صغيرة من طرح الرقم 6 (أو 20، أو رقم آخر) في النهاية لن تؤثر على النتيجة كثيرًا إذا قمت برمي النرد عشرة آلاف مرة أخرى وسيظهر الرقم المتوسط ​​في الغالب. الآن سوف تحصل على عدة أعداد كبيرة، وفي وقت لاحق العديد من الصغيرة - وبمرور الوقت سوف يقتربون من القيمة المتوسطة.

هذا ليس لأن الرميات السابقة تؤثر على النرد (على محمل الجد، النرد مصنوع من البلاستيك، وليس لديه العقل ليفكر، "أوه، لقد مر وقت طويل منذ أن رميت 2")، ولكن لأن هذا هو ما عادة يحدث عندما تقوم برمي عدد كبير من لفات النرد

وبالتالي، فمن السهل جدًا إجراء حسابات رمية نرد عشوائية واحدة - على الأقل لحساب متوسط ​​قيمة اللفة. هناك أيضًا طرق لحساب "مدى عشوائية" شيء ما والقول إن نتائج التدوير 1d6 + 4 ستكون "أكثر عشوائية" من 5d2. بالنسبة إلى 5d2، سيتم توزيع اللفات بشكل متساوٍ. للقيام بذلك، تحتاج إلى حساب الانحراف المعياري: كلما كانت القيمة أكبر، كلما كانت النتائج أكثر عشوائية. لا أود أن أقدم الكثير من الحسابات اليوم، وسأشرح هذا الموضوع لاحقًا.

الشيء الوحيد الذي سأطلب منك أن تتذكره هو أنه، كقاعدة عامة، كلما قل عدد النرد الذي رميته، زادت العشوائية. وكلما زاد عدد جوانب النرد، زادت العشوائية الخيارات الممكنةالمعاني.

كيفية حساب الاحتمالية باستخدام العد

قد يكون لديك سؤال: كيف يمكننا حساب الاحتمالية الدقيقة للحصول على نتيجة معينة؟ في الواقع، هذا مهم جدًا للعديد من الألعاب: إذا قمت برمي النرد في البداية - فمن المرجح أن يكون هناك نوع من النتيجة المثالية. جوابي هو: نحن بحاجة لحساب قيمتين. أولاً، الرقم الإجماليالنتائج عند رمي حجر النرد، وثانيًا، عدد النتائج الإيجابية. قسمة القيمة الثانية على الأولى سيعطيك الاحتمال المطلوب. ليحصل نسبة مئوية، اضرب النتيجة في 100.

أمثلة

وهنا مثال بسيط جدا. تريد أن يقوم الرقم 4 أو أعلى بدحرجة النرد ذي الجوانب الستة مرة واحدة. الحد الأقصى لعدد النتائج هو 6 (1، 2، 3، 4، 5، 6). ومن بين هذه النتائج، هناك 3 نتائج (4، 5، 6) مواتية. هذا يعني أنه لحساب الاحتمال، نقسم 3 على 6 ونحصل على 0.5 أو 50%.

إليك مثالًا أكثر تعقيدًا بعض الشيء. تريد لفة 2d6 رقم زوجي. الحد الأقصى لعدد النتائج هو 36 (6 خيارات لكل حجر نرد، لن يؤثر حجر النرد على الآخر، لذا اضرب 6 في 6 واحصل على 36). صعوبة المسألة من هذا النوعهو أنه من السهل العد مرتين. على سبيل المثال، عند تدوير 2d6، هناك نتيجتان محتملتان للرقم 3: 1+2 و2+1. تبدو متشابهة، لكن الاختلاف هو الرقم الذي يتم عرضه على النرد الأول والرقم الذي يتم عرضه على القالب الثاني.

يمكنك أيضًا أن تتخيل أن النرد ألوان مختلفة: لذلك، على سبيل المثال، في هذه الحالة يكون أحد النردين أحمر والآخر أزرق. ثم قم بحساب عدد الخيارات للحصول على رقم زوجي:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

اتضح أن هناك 18 خيارًا للحصول على نتيجة إيجابية من أصل 36 - كما في الحالة السابقة يكون الاحتمال 0.5 أو 50٪. ربما غير متوقع، ولكنه دقيق للغاية.

محاكاة مونت كارلو

ماذا لو كان لديك الكثير من النرد لإجراء هذه العملية الحسابية؟ على سبيل المثال، تريد أن تعرف ما هو احتمال الحصول على إجمالي 15 أو أكثر عند تدوير 8d6. لثمانية النرد هناك تشكيلة واسعةنتائج مختلفة، وحسابها يدويا سيستغرق وقتا طويلا جدا - حتى لو وجدنا بعضها قرار جيدلتجميع سلسلة مختلفة من لفات النرد.

في هذه الحالة، أسهل طريقة ليست العد يدويًا، بل استخدام الكمبيوتر. هناك طريقتان لحساب الاحتمالية على الكمبيوتر. يمكن أن تعطيك الطريقة الأولى إجابة دقيقة، ولكنها تتضمن القليل من البرمجة أو البرمجة النصية. سيقوم الكمبيوتر بمراجعة كل احتمال، وتقييم وحساب العدد الإجمالي للتكرارات وعدد التكرارات المطابقة النتيجة المرجوة، ومن ثم تقديم الإجابات. قد يبدو الرمز الخاص بك شيئًا كهذا بالطريقة الآتية:

إذا كنت لا تفهم البرمجة وتحتاج إلى إجابة تقريبية بدلاً من إجابة محددة، فيمكنك محاكاة هذا الموقف في Excel، حيث تقوم بتدوير 8d6 عدة آلاف من المرات وتحصل على الإجابة. لتدوير 1d6 في Excel، استخدم الصيغة =FLOOR(RAND()*6)+1.

هناك اسم للموقف عندما لا تعرف الإجابة وحاول فقط مرارًا وتكرارًا - محاكاة مونت كارلو. يعد هذا حلاً رائعًا لاستخدامه عندما يكون حساب الاحتمالية صعبًا للغاية. الشيء العظيم هو أننا في هذه الحالة لا نحتاج إلى فهم كيفية إجراء العمليات الحسابية، ونعلم أن الإجابة ستكون "جيدة جدًا" لأنه، كما نعلم بالفعل، كلما زاد عدد اللفات، كلما اقتربت النتيجة من النتيجة متوسط.

كيفية الجمع بين التجارب المستقلة

إذا سألت عن تكرار متعدد ولكن اختبارات مستقلة، فإن نتيجة رمية واحدة لا تؤثر على نتائج الرميات الأخرى. هناك تفسير آخر أبسط لهذا الموقف.

كيفية التمييز بين شيء تابع ومستقل؟ في الأساس، إذا كان بإمكانك عزل كل رمية (أو سلسلة رميات) لنرد كحدث منفصل، فهو مستقل. على سبيل المثال، لنفترض أننا نطرح 8d6 ونريد إجمالي 15. هذا الحدثلا يمكن تقسيمها إلى عدة لفات نرد مستقلة. للحصول على النتيجة، عليك حساب مجموع كل القيم، وبالتالي فإن النتيجة التي تظهر على قالب واحد تؤثر على النتائج التي يجب أن تظهر على القوالب الأخرى.

فيما يلي مثال على الرميات المستقلة: أنت تلعب لعبة النرد، وتقوم برمي النرد ذي الجوانب الستة عدة مرات. يجب أن تكون اللفة الأولى 2 أو أعلى للبقاء في اللعبة. للرمية الثانية - 3 أو أعلى. الثالثة تتطلب 4 أو أعلى، والرابع يتطلب 5 أو أعلى، والخامس يتطلب 6. إذا نجحت جميع اللفات الخمس، فستفوز. في هذه الحالة، جميع الرميات مستقلة. نعم، إذا لم تنجح رمية واحدة، فسوف تؤثر على نتيجة المباراة بأكملها، لكن رمية واحدة لا تؤثر على الأخرى. على سبيل المثال، إذا كانت رمية النرد الثانية ناجحة جدًا، فهذا لا يعني أن الرميات التالية ستكون بنفس الجودة. لذلك، يمكننا أن نفكر في احتمال رمية كل حجر نرد على حدة.

اذا كنت تمتلك الاحتمالات المستقلةوتريد أن تعرف ما هو احتمال كل الأحداث التي تحدث، عليك تحديد كل احتمال على حدة وضربهم معًا. طريقة أخرى: إذا كنت تستخدم حرف العطف "و" لوصف عدة شروط (على سبيل المثال، ما هو احتمال حدوث بعض الأحداث العشوائية وبعض الأحداث العشوائية المستقلة الأخرى؟) - احسب الاحتمالات الفردية واضربها.

بغض النظر عما تعتقده، لا تضيف أبدًا احتمالات مستقلة. هذا خطأ شائع. لفهم سبب خطأ ذلك، تخيل موقفًا تقوم فيه برمي عملة معدنية وتريد أن تعرف ما هو احتمال ظهور الصورة مرتين على التوالي. احتمال سقوط كل جانب هو 50٪. إذا قمت بجمع هذين الاحتمالين، فستحصل على فرصة بنسبة 100% للحصول على صورة، لكننا نعلم أن هذا ليس صحيحًا لأنه من الممكن أن تكون الصورة مرتين متتاليتين. إذا قمت بدلاً من ذلك بضرب الاحتمالين، فستحصل على 50% * 50% = 25% - وهي الإجابة الصحيحة لحساب احتمال الحصول على صورة مرتين على التوالي.

مثال

دعنا نعود إلى لعبة النرد ذات الجوانب الستة، حيث تحتاج أولاً إلى رمي رقم أكبر من 2، ثم أكبر من 3 - وهكذا حتى الرقم 6. ما هي احتمالات أن تكون جميع النتائج في سلسلة معينة من خمس لفات مواتية؟ ؟

كما هو مذكور أعلاه، هذه تجارب مستقلة، لذلك نقوم بحساب احتمالية كل لفة فردية ثم نضربها معًا. احتمال أن تكون نتيجة اللفة الأولى مواتية هو 5/6. الثاني - 4/6. الثالث - 3/6. الرابع - 2/6، الخامس - 1/6. نضرب جميع النتائج ببعضنا البعض ونحصل على 1.5٪ تقريبًا. الانتصارات في هذه اللعبة نادرة جدًا، لذا إذا أضفت هذا العنصر إلى لعبتك، فستحتاج إلى الفوز بالجائزة الكبرى إلى حد ما.

النفي

تفضل واحد اخر تلميح مفيد: في بعض الأحيان يكون من الصعب حساب احتمال وقوع حدث ما، ولكن من الأسهل تحديد احتمالات عدم وقوع الحدث. على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا لعبة أخرى: تحصل على 6d6 وتفوز إذا حصلت على 6 مرة واحدة على الأقل. ما هو احتمال الفوز؟

في هذه الحالة، هناك العديد من الخيارات للنظر فيها. من الممكن أن يتم رمي رقم واحد 6، أي أن أحد النرد سيظهر الرقم 6، والآخر سيظهر الأرقام من 1 إلى 5، ثم هناك 6 خيارات لأي من النرد سيظهر 6. يمكنك الحصول على الرقم 6 على نردتين، أو ثلاثة، أو حتى أكثر، وفي كل مرة ستحتاج إلى إجراء عملية حسابية منفصلة، ​​لذلك من السهل الخلط هنا.

لكن دعونا ننظر إلى المشكلة من الجانب الآخر. سوف تخسر إذا لم يصل أي من حجر النرد إلى 6. في هذه الحالة لدينا 6 تجارب مستقلة. احتمال أن يرمي كل حجر نرد رقمًا غير 6 هو 5/6. اضربهم وستحصل على حوالي 33٪. وبالتالي فإن احتمال الخسارة هو واحد من كل ثلاثة. ولذلك فإن احتمال الفوز هو 67% (أو اثنين إلى ثلاثة).

من هذا المثال، من الواضح: إذا قمت بحساب احتمال عدم حدوث حدث ما، فأنت بحاجة إلى طرح النتيجة من 100٪. إذا كان احتمال الفوز 67%، فإن احتمال الخسارة هو 100% ناقص 67%، أو 33%، والعكس صحيح. إذا كان من الصعب حساب احتمال واحد ولكن من السهل حساب العكس، فاحسب العكس ثم اطرح هذا الرقم من 100%.

نحن نجمع الشروط لاختبار واحد مستقل

لقد قلت أعلاه أنه لا ينبغي عليك أبدًا إضافة الاحتمالات عبر التجارب المستقلة. هل هناك أي حالات حيث من الممكن تلخيص الاحتمالات؟ نعم، في حالة واحدة خاصة.

إذا كنت تريد حساب احتمالية عدة نتائج إيجابية غير مرتبطة في تجربة واحدة، فاجمع احتمالات كل نتيجة إيجابية. على سبيل المثال، احتمال ظهور 4 أو 5 أو 6 في 1d6 يساوي مجموع احتمال ظهور 4، واحتمال ظهور 5، واحتمال ظهور 6. هذه الحالةيمكن تخيله بهذه الطريقة: إذا استخدمت الارتباط "أو" في سؤال حول الاحتمالية (على سبيل المثال، ما هو احتمال نتيجة واحدة أو أخرى لحدث عشوائي واحد؟) - احسب الاحتمالات الفردية واجمعها.

يرجى ملاحظة: عند قيامك بحساب جميع النتائج المحتملة للعبة ما، يجب أن يكون مجموع احتمالات حدوثها مساويًا لـ 100%، وإلا فإن حسابك قد تم بشكل غير صحيح. هذا طريقة جيدةأعد التحقق من حساباتك. على سبيل المثال، قمت بتحليل احتمالية جميع المجموعات في لعبة البوكر. إذا قمت بجمع جميع النتائج، فيجب أن تحصل على 100% بالضبط (أو على الأقل قريبة إلى حد ما من 100%: إذا كنت تستخدم الآلة الحاسبة، فقد يكون هناك خطأ تقريب بسيط، ولكن إذا قمت بجمع الأرقام الدقيقة يدويًا، فسيختفي كل شيء). يجب أن تضيف). إذا لم يتقارب المجموع، فهذا يعني أنك على الأرجح لم تأخذ في الاعتبار بعض المجموعات أو قمت بحساب احتمالات بعض المجموعات بشكل غير صحيح، ويجب إعادة التحقق من الحسابات مرة أخرى.

احتمالات غير متكافئة

لقد افترضنا حتى الآن أن كل جانب من جوانب حجر النرد يتم رميه بنفس التردد، لأن هذه هي الطريقة التي يبدو بها حجر النرد. لكن في بعض الأحيان قد تواجه موقفًا حيث تكون النتائج مختلفة واحتمالات ظهورها مختلفة.

على سبيل المثال، في إحدى الإضافات إلى لعبة الورق "الحرب النووية" يوجد ملعب به سهم تعتمد عليه نتيجة إطلاق الصاروخ. في أغلب الأحيان يسبب ضررًا عاديًا، أقوى أو أضعف، ولكن في بعض الأحيان يتضاعف الضرر أو يتضاعف ثلاث مرات، أو ينفجر الصاروخ. منصة الإطلاقويؤذيك، أو يقع حدث آخر. على عكس لوحة الأسهم في المزالق والسلالم أو لعبة الحياة، فإن نتائج لوحة اللعبة في الحرب النووية متفاوتة. تكون بعض أقسام الملعب أكبر حجمًا ويتوقف السهم عليها كثيرًا، بينما تكون الأقسام الأخرى صغيرة جدًا ونادرًا ما يتوقف السهم عليها.

لذا، للوهلة الأولى، يبدو القالب كالتالي: 1، 1، 1، 2، 2، 3 - لقد تحدثنا عنه بالفعل، فهو يشبه 1d3 مرجح. لذلك، نحن بحاجة إلى تقسيم كل هذه الأقسام إلى أجزاء متساوية، والعثور على أصغر وحدة قياس، والمقسوم عليها كل شيء مضاعف، ثم تمثيل الوضع في شكل d522 (أو أي شيء آخر)، حيث مجموعة النرد الوجوه سوف تمثل نفس الوضع، الأنف كمية كبيرةالنتائج. هذه إحدى الطرق لحل المشكلة، وهي مجدية من الناحية الفنية، ولكن هناك خيار أبسط.

لنعد إلى حجر النرد القياسي ذي الجوانب الستة. لقد قلنا أنه لحساب متوسط ​​رمية النرد العادية، فإنك تحتاج إلى جمع القيم على جميع الأوجه وتقسيمها على عدد الأوجه، ولكن كيف تتم عملية الحساب بالضبط؟ هناك طريقة أخرى للتعبير عن هذا. بالنسبة لحجر النرد ذو الستة جوانب، فإن احتمال رمي كل جانب هو بالضبط 1/6. الآن نضرب نتيجة كل حافة في احتمالية تلك النتيجة (في هذه الحالة، 1/6 لكل حافة)، ثم نضيف القيم الناتجة. وبذلك يكون الجمع (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ) نحصل على نفس النتيجة (3.5) كما في الحساب أعلاه. في الواقع، نحن نحسب بهذه الطريقة في كل مرة: نضرب كل نتيجة في احتمال تلك النتيجة.

هل يمكننا إجراء نفس الحساب للسهم الموجود في الملعب في الحرب النووية؟ بالطبع نستطيع. وإذا قمنا بجمع كل النتائج التي تم العثور عليها، فسنحصل على القيمة المتوسطة. كل ما يتعين علينا القيام به هو حساب احتمالية كل نتيجة للسهم الموجود في الملعب وضربها في قيمة النتيجة.

مثال آخر

تعتبر هذه الطريقة لحساب المتوسط ​​مناسبة أيضًا إذا كانت النتائج متساوية في الاحتمال ولكن لها مزايا مختلفة - على سبيل المثال، إذا قمت برمي حجر النرد وربحت أكثر في بعض الجوانب أكثر من غيرها. على سبيل المثال، لنأخذ لعبة كازينو: تضع رهانًا وترمي 2d6. إذا تم دمج ثلاثة أرقام أدنى قيمة(2، 3، 4) أو أربعة أرقام مع قيمة عالية(9، 10، 11، 12) - سوف تفوز بمبلغ يساوي رهانك. الأرقام ذات القيم الدنيا والأعلى هي أرقام خاصة: إذا حصلت على 2 أو 12، فستفوز بضعف رهانك. إذا ظهر أي رقم آخر (5، 6، 7، 8)، فسوف تفقد رهانك. إنه جميل لعبة بسيطة. ولكن ما هو احتمال الفوز؟

لنبدأ بإحصاء عدد المرات التي يمكنك الفوز فيها. الحد الأقصى لعدد النتائج عند تدوير 2d6 هو 36. ما هو عدد النتائج الإيجابية؟

• هناك خيار واحد لرمي الرقم 2، وخيار واحد لرمي الرقم 12.
• هناك خياران سيتم لفهما 3 وخياران سيتم لفهما 11.
• هناك 3 خيارات سيتم طرحها بالرقم 4، و3 خيارات سيتم طرحها بالرقم 10.
• هناك 4 خيارات لتدوير 9.

بتلخيص جميع الخيارات، نحصل على 16 نتيجة إيجابية من أصل 36. وهكذا، مع الظروف العاديةستفوز 16 مرة من أصل 36 مرة - احتمالية الفوز أقل بقليل من 50٪.

لكن في حالتين من بين هؤلاء الستة عشر، ستفوز بضعف المبلغ - إنه مثل الفوز مرتين. إذا لعبت هذه اللعبة 36 مرة، وراهنت بدولار واحد في كل مرة، وظهرت كل النتائج المحتملة مرة واحدة، فستربح إجمالي 18 دولارًا (ستفوز فعليًا 16 مرة، لكن اثنتين منها ستحسب بمثابة فوزين). إذا لعبت 36 مرة وربحت 18 دولارًا، ألا يعني ذلك أن الاحتمالات متساوية؟

خذ وقتك. إذا قمت بحساب عدد المرات التي يمكن أن تخسر فيها، فسوف ينتهي بك الأمر بـ 20، وليس 18. إذا لعبت 36 مرة، وراهنت بمبلغ دولار واحد في كل مرة، فسوف تفوز. المبلغ الإجمالي 18 دولارًا في حالة حدوث جميع النتائج الإيجابية. لكنك ستخسر إجمالي 20 دولارًا إذا حصلت على جميع النتائج العشرين غير المواتية. ونتيجة لذلك، سوف تتخلف قليلاً: ستخسر ما متوسطه 2 دولار صافي لكل 36 مباراة (يمكنك أيضًا القول أنك تخسر ما متوسطه 1/18 دولارًا يوميًا). الآن ترى مدى سهولة ارتكاب خطأ في هذه الحالة وحساب الاحتمال بشكل غير صحيح.

إعادة الترتيب

لقد افترضنا حتى الآن أن ترتيب الأرقام عند رمي النرد لا يهم. التدحرج 2 + 4 هو نفس التدحرج 4 + 2. في معظم الحالات، نحسب يدويًا عدد النتائج الإيجابية، ولكن في بعض الأحيان هذه الطريقةغير عملي ومن الأفضل استخدام صيغة رياضية.

مثال على هذا الموقف هو من لعبة النرد Farkle. لكل جولة جديدة، تحصل على 6d6. إذا كنت محظوظا والحصول على كل منهم النتائج المحتملة 1-2-3-4-5-6 (مستقيم)، سوف تحصل على مكافأة كبيرة. ما هو احتمال حدوث ذلك؟ في هذه الحالة، هناك العديد من الخيارات للحصول على هذه المجموعة.

الحل هو كما يلي: يجب أن يحمل الرقم 1 إحدى قطع النرد (واحدة فقط). بكم طريقة يمكن أن يظهر الرقم 1 على نرد واحد؟ هناك 6 خيارات، حيث أن هناك 6 أحجار نرد، وأي منها يمكن أن يقع على الرقم 1. وعليه، خذ نردًا واحدًا وضعه جانبًا. الآن يجب أن يرمي أحد النرد المتبقي الرقم 2. هناك 5 خيارات لهذا. خذ نردًا آخر وضعه جانبًا. ثم 4 من النرد المتبقي قد تحصل على الرقم 3، و3 من النرد المتبقي قد تحصل على الرقم 4، و2 من النرد المتبقي يمكن أن تحصل على الرقم 5. هذا يتركك مع حجر نرد واحد يجب أن يحصل على الرقم 6 (في الحالة الأخيرةهناك موت واحد فقط، وليس هناك خيار).

لحساب عدد النتائج المفضلة للوصول إلى خط مستقيم، نقوم بضرب جميع الخيارات المستقلة المختلفة: 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 - يبدو أن هناك عدد لا بأس به منها عدد كبير منخيارات للحصول على هذا المزيج.

لحساب احتمال الحصول على خط مستقيم، نحتاج إلى قسمة 720 على عدد جميع النتائج الممكنة للتدحرج 6d6. ما هو عدد جميع النتائج الممكنة؟ يمكن أن يكون لكل قالب 6 جوانب، لذلك نضرب 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 46656 (رقم أكبر بكثير من الرقم السابق). اقسم 720 على 46656 ونحصل على احتمال 1.5% تقريبًا. إذا كنت تصمم هذه اللعبة، فسيكون من المفيد لك معرفة ذلك حتى تتمكن من إنشاء نظام تسجيل وفقًا لذلك. نحن نفهم الآن لماذا ستحصل في Farkle على مثل هذه المكافأة الكبيرة إذا حصلت على بطاقة مستقيمة: هذا موقف نادر إلى حد ما.

والنتيجة مثيرة للاهتمام أيضًا لسبب آخر. يوضح المثال مدى ندرة حدوث نتيجة تتوافق مع الاحتمال خلال فترة قصيرة. بالطبع، إذا قمنا برمي عدة آلاف من أحجار النرد، وجوه مختلفةسوف يأتي النرد في كثير من الأحيان. لكن عندما نرمي ستة أحجار نرد فقط، لا يحدث أبدًا أن يظهر كل وجه. يصبح من الواضح أنه من الغباء توقع ظهور خط لم يحدث بعد، لأننا "لم نقم بتدوير الرقم 6 لفترة طويلة". استمع، مولد الأرقام العشوائي الخاص بك معطل.

وهذا يقودنا إلى الاعتقاد الخاطئ الشائع بأن جميع النتائج تحدث بنفس التردد خلال فترة زمنية قصيرة. إذا رمينا النرد عدة مرات، فلن يكون تكرار سقوط كل جانب هو نفسه.

إذا كنت قد عملت من قبل على لعبة عبر الإنترنت باستخدام أحد أنواع مولدات الأرقام العشوائية، فمن المرجح أنك واجهت موقفًا حيث يكتب أحد اللاعبين إلى الدعم الفني يشكو من أن مولد الأرقام العشوائية لا يعرض أرقامًا عشوائية. لقد توصل إلى هذا الاستنتاج لأنه قتل 4 وحوش على التوالي وحصل على 4 نفس المكافآت تمامًا، ويجب أن تظهر هذه المكافآت بنسبة 10% فقط من الوقت، لذلك من الواضح أن هذا لا ينبغي أن يحدث أبدًا.

أنت تقوم بعملية حسابية رياضية. الاحتمال هو 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10، أي نتيجة واحدة من 10 آلاف هي تمامًا حالة نادرة. هذا ما يحاول اللاعب أن يخبرك به. هل هناك مشكلة في هذه الحالة؟

كل هذا يتوقف على الظروف. كم عدد اللاعبين الموجودين حاليا على الخادم الخاص بك؟ لنفترض أن لديك لعبة مشهورة إلى حد ما وأن 100 ألف شخص يلعبونها يوميًا. كم عدد اللاعبين الذين يمكنهم قتل أربعة وحوش على التوالي؟ ربما كل ذلك، عدة مرات في اليوم، ولكن لنفترض أن نصفهم يقومون بالتبادل ببساطة كائنات مختلفةفي المزادات، أو يتوافق مع خوادم RP، أو ينفذ إجراءات لعبة أخرى - وبالتالي، فإن نصفهم فقط يصطادون الوحوش. ما هو احتمال أن يحصل شخص ما على نفس المكافأة؟ في هذه الحالة، يمكنك توقع حدوث ذلك عدة مرات على الأقل في اليوم.

بالمناسبة، لهذا السبب يبدو أنه كل بضعة أسابيع يفوز شخص ما باليانصيب، حتى لو لم يكن هذا الشخص أنت أو أي شخص تعرفه. إذا لعب عدد كافٍ من الأشخاص بانتظام، فمن المحتمل أن يكون هناك لاعب محظوظ واحد على الأقل في مكان ما. ولكن إذا لعبت اليانصيب بنفسك، فمن غير المرجح أن تفوز، بل ستتم دعوتك للعمل في Infinity Ward.

البطاقات والإدمان

لقد ناقشنا الأحداث المستقلة، مثل رمي حجر النرد، والآن أصبحنا نعرف الكثير أدوات قويةتحليل العشوائية في العديد من الألعاب. يعد حساب الاحتمالية أكثر تعقيدًا بعض الشيء عندما يتعلق الأمر بسحب البطاقات من المجموعة، لأن كل بطاقة نسحبها تؤثر على البطاقات المتبقية في المجموعة.

إذا كان لديك مجموعة بطاقات قياسية مكونة من 52 بطاقة، فقمت بإزالة 10 قلوب منها وتريد معرفة احتمال أن تكون البطاقة التالية من نفس النوع - لقد تغير الاحتمال عن الأصل لأنك قمت بالفعل بإزالة بطاقة واحدة من نفس النوع من القلوب من سطح السفينة. كل بطاقة تقوم بإزالتها تغير احتمالية ظهور البطاقة التالية في المجموعة. في هذه الحالة الحدث السابقيؤثر على ما يلي، لذلك نسمي هذا الاحتمال المعتمد.

يرجى ملاحظة أنني عندما أقول "بطاقات" فأنا أتحدث عن أي آلية لعبة حيث يكون لديك مجموعة من العناصر وتقوم بإزالة أحد الكائنات دون استبدالها. إن "مجموعة أوراق اللعب" في هذه الحالة تشبه كيسًا من الرقائق التي تأخذ منها شريحة واحدة، أو جرة يتم أخذ الكرات الملونة منها (لم يسبق لي أن رأيت ألعابًا بها جرة يتم أخذ الكرات الملونة منها، لكن المعلمين نظرية الاحتمالات حسب سبب تفضيل هذا المثال).

خصائص التبعية

أود أن أوضح أنه عندما يتعلق الأمر بالبطاقات، أفترض أنك تسحب البطاقات وتنظر إليها وتزيلها من المجموعة. كل من هذه الإجراءات هي خاصية مهمة. إذا كان لدي، على سبيل المثال، مجموعة من ستة أوراق تحمل الأرقام من 1 إلى 6، فسوف أقوم بخلطها وسحب بطاقة واحدة، ثم خلط جميع البطاقات الستة مرة أخرى - سيكون هذا مشابهًا لرمي حجر نرد ذي ستة جوانب، لأن نتيجة واحدة لها أي تأثير لتلك اللاحقة. وإذا قمت بإخراج بطاقات ولم أستبدلها، فعند إخراج البطاقة رقم 1، أقوم بزيادة احتمالية أن أسحب بطاقة تحمل الرقم 6 في المرة القادمة. وسيزداد الاحتمال حتى أقوم في النهاية بإزالة تلك البطاقة أو خلط سطح السفينة.

حقيقة أننا ننظر إلى البطاقات مهمة أيضًا. إذا أخذت بطاقة من المجموعة ولم أنظر إليها، فلن يكون لدي أي معلومات إضافية ولن يتغير الاحتمال فعليًا. قد يبدو هذا غير بديهي. كيف يمكن الوجه البسيط للبطاقة بطريقة سحريةتغيير الاحتمال؟ ولكن هذا ممكن لأنه يمكنك حساب احتمالية العناصر غير المعروفة فقط مما تعرفه.

على سبيل المثال، إذا قمت بخلط مجموعة أوراق قياسية وكشفت عن 51 بطاقة ولم تكن أي منها ملكة الأندية، فيمكنك التأكد بنسبة 100% من أن البطاقة المتبقية هي ملكة الأندية. إذا قمت بخلط مجموعة أوراق قياسية وأخرجت 51 بطاقة دون النظر إليها، فإن احتمال أن تكون البطاقة المتبقية هي ملكة الأندية لا يزال 1/52. عند فتح كل بطاقة، تحصل على المزيد من المعلومات.

حساب الاحتمال ل الأحداث التابعةتتبع نفس المبادئ المتبعة مع المستقلين، إلا أن الأمر أكثر تعقيدًا بعض الشيء نظرًا لأن الاحتمالات تتغير عندما تقوم بالكشف عن البطاقات. لذلك عليك أن تتضاعف كثيرًا معان مختلفة، بدلاً من ضرب نفس القيمة. ما يعنيه هذا حقًا هو أننا بحاجة إلى دمج جميع الحسابات التي قمنا بها في مجموعة واحدة.

مثال

يمكنك خلط مجموعة بطاقات قياسية مكونة من 52 بطاقة وسحب ورقتين. ما هو احتمال أن ترسم زوجًا؟ هناك عدة طرق لحساب هذا الاحتمال، ولكن ربما تكون أبسطها هي: ما هو احتمال أنك إذا سحبت بطاقة واحدة، فلن تتمكن من سحب زوج؟ هذا الاحتمال هو صفر، لذلك لا يهم البطاقة الأولى التي تسحبها، طالما أنها تطابق البطاقة الثانية. لا يهم البطاقة التي نسحبها أولاً، لا تزال لدينا فرصة لسحب زوج. لذلك، فإن احتمال سحب زوج بعد سحب البطاقة الأولى هو 100%.

ما هو احتمال أن تتطابق البطاقة الثانية مع الأولى؟ هناك 51 بطاقة متبقية في المجموعة، 3 منها تتطابق مع البطاقة الأولى (في الواقع سيكون هناك 4 من أصل 52، لكنك قمت بالفعل بإزالة إحدى البطاقات المطابقة عندما قمت بسحب البطاقة الأولى)، لذا فإن الاحتمال هو 1/ 17. لذلك في المرة القادمة التي تلعب فيها لعبة تكساس هولديم، يقول لك الشخص الذي على الطاولة: "رائع، زوج آخر؟ "أشعر أنني محظوظ اليوم،" ستعرف أن هناك احتمال كبير أنه يخادع.

ماذا لو أضفنا اثنين من الجوكر بحيث يكون لدينا 54 بطاقة في المجموعة ونريد أن نعرف ما هو احتمال سحب زوج؟ قد تكون البطاقة الأولى عبارة عن جوكر، وبعد ذلك لن يكون هناك سوى بطاقة واحدة متطابقة في المجموعة، وليس ثلاثة. كيفية العثور على الاحتمال في هذه الحالة؟ سنقوم بتقسيم الاحتمالات وضرب كل احتمال.

يمكن أن تكون بطاقتنا الأولى عبارة عن بطاقة جوكر أو بطاقة أخرى. احتمال سحب الجوكر هو 2/54، واحتمال سحب بطاقة أخرى هو 52/54. إذا كانت البطاقة الأولى عبارة عن جوكر (2/54)، فإن احتمال تطابق البطاقة الثانية مع الأولى هو 1/53. نضرب القيم (يمكننا ضربها لأنها حدثان منفصلان ونريد حدوث كلا الحدثين) ونحصل على 1/1431 - أقل من عُشر بالمائة.

إذا قمت بسحب بطاقة أخرى أولاً (52/54)، فإن احتمال مطابقة البطاقة الثانية هو 3/53. نضرب القيم ونحصل على 78/1431 (أكثر بقليل من 5.5٪). ماذا نفعل بهاتين النتيجتين؟ إنهما غير متقاطعتين، ونريد معرفة احتمال كل منهما، لذا نجمع القيم. وحصلنا على النتيجة النهائية 79/1431 (لا تزال حوالي 5.5%).

إذا أردنا التأكد من دقة الإجابة، يمكننا حساب احتمالية جميع النتائج المحتملة الأخرى: رسم جوكر وعدم مطابقة البطاقة الثانية، أو سحب بطاقة أخرى وعدم مطابقة البطاقة الثانية. من خلال تلخيص هذه الاحتمالات واحتمال الفوز، سنحصل على 100٪ بالضبط. لن أقوم بالحسابات هنا، ولكن يمكنك تجربة الحسابات للتحقق مرة أخرى.

مفارقة مونتي هول

يقودنا هذا إلى مفارقة مشهورة غالبًا ما تربك الكثير من الناس - مفارقة مونتي هول. تمت تسمية المفارقة على اسم مقدم البرنامج التلفزيوني Let's Make a Deal بالنسبة لأولئك الذين لم يشاهدوا هذا البرنامج التلفزيوني من قبل، فقد كان عكس برنامج The Price Is Right.

في برنامج "السعر مناسب"، فإن المضيف (بوب باركر كان هو المضيف، ومن هو الآن، درو كاري؟ لا يهم) هو صديقك. يريد منك الفوز بالمال أو الجوائز الرائعة. يحاول أن يمنحك كل فرصة للفوز، طالما يمكنك تخمين القيمة الفعلية للعناصر التي اشتراها الرعاة.

تصرف مونتي هول بشكل مختلف. لقد كان مثل التوأم الشرير لبوب باركر. كان هدفه أن يجعلك تبدو كالأحمق على شاشة التلفزيون الوطني. إذا كنت في العرض، فقد كان خصمك، ولعبت ضده، وكانت الاحتمالات لصالحه. ربما أكون قاسيًا جدًا، لكن بالنظر إلى العرض الذي من المرجح أن تشارك فيه إذا كنت ترتدي زيًا سخيفًا، هذا هو بالضبط ما توصلت إليه.

من أشهر الميمات في العرض: هناك ثلاثة أبواب أمامك، باب رقم 1، باب رقم 2، وباب رقم 3. يمكنك اختيار باب واحد مجانًا. وراء أحدهم جائزة رائعة - على سبيل المثال، سيارة جديدة. ولا توجد جوائز خلف البابين الآخرين، وكلاهما لا قيمة له. من المفترض أن يهينوك، لذلك ليس هناك شيء خلفهم فحسب، بل شيء غبي، على سبيل المثال، عنزة أو أنبوب ضخم من معجون الأسنان - أي شيء سوى سيارة جديدة.

اخترت أحد الأبواب، مونتي على وشك فتحه ليعلمك إذا فزت أم لا... لكن انتظر. قبل أن نكتشف ذلك، دعنا نلقي نظرة على أحد تلك الأبواب التي لم تخترها. يعرف مونتي الباب الذي توجد الجائزة خلفه، ويمكنه دائمًا فتح الباب الذي لا توجد جائزة خلفه. "هل تختار الباب رقم 3؟ ثم دعونا نفتح الباب رقم 1 لنظهر أنه لا توجد جائزة خلفه." والآن، من باب الكرم، يقدم لك الفرصة لاستبدال الباب المحدد رقم 3 بما يوجد خلف الباب رقم 2.

عند هذه النقطة يطرح سؤال الاحتمالية: هل تزيد هذه الفرصة من احتمالية فوزك أم تقللها أم تبقى دون تغيير؟ كيف تفكر؟

الإجابة الصحيحة: القدرة على اختيار باب آخر تزيد من احتمالية الفوز من 1/3 إلى 2/3. هذا غير منطقي. إذا لم تكن قد واجهت هذه المفارقة من قبل، فمن المرجح أنك تفكر: انتظر، كيف أنه من خلال فتح باب واحد، قمنا بتغيير الاحتمال بطريقة سحرية؟ وكما رأينا بالفعل مع الخرائط، فإن هذا هو بالضبط ما يحدث عندما نحصل على مزيد من المعلومات. من الواضح أنه عندما تختار للمرة الأولى، فإن احتمال الفوز هو 1/3. عندما يُفتح باب واحد، فإن ذلك لا يغير احتمالية الفوز للخيار الأول على الإطلاق: فالاحتمال لا يزال 1/3. لكن احتمال أن يكون الباب الآخر صحيحًا هو الآن 2/3.

دعونا ننظر إلى هذا المثال من منظور مختلف. اخترت الباب. احتمال الفوز هو 1/3. أقترح عليك تغيير البابين الآخرين، وهو ما يفعله مونتي هول. من المؤكد أنه يفتح أحد الأبواب ليكشف أنه لا توجد جائزة خلفه، لكنه يمكنه فعل ذلك دائمًا، لذلك لا يغير ذلك أي شيء حقًا. وبطبيعة الحال، سوف ترغب في اختيار باب مختلف.

إذا لم تفهم السؤال تمامًا وتحتاج إلى شرح أكثر إقناعًا، فانقر على هذا الرابط ليتم نقلك إلى تطبيق Flash صغير رائع يسمح لك باستكشاف هذه المفارقة بمزيد من التفاصيل. يمكنك اللعب بدءًا بحوالي 10 أبواب ثم الانتقال تدريجيًا إلى لعبة ذات ثلاثة أبواب. هناك أيضًا جهاز محاكاة حيث يمكنك اللعب بأي عدد من الأبواب من 3 إلى 50، أو تشغيل عدة آلاف من عمليات المحاكاة ومعرفة عدد المرات التي ستفوز فيها إذا لعبت.

اختر أحد الأبواب الثلاثة - احتمال الفوز هو 1/3. الآن لديك استراتيجيتان: قم بتغيير اختيارك بعد فتح الباب الخطأ أم لا. إذا لم تغير اختيارك، فسيبقى الاحتمال 1/3، منذ ذلك الحين الاختيار قادمفقط في المرحلة الأولى، وعليك أن تخمن على الفور. إذا قمت بالتغيير، فيمكنك الفوز إذا اخترت الباب الخطأ أولا (ثم يفتحون خطأ آخر، ويبقى الصحيح - عن طريق تغيير قرارك، فإنك تأخذه). احتمال اختيار الباب الخطأ في البداية هو 2/3 - لذلك اتضح أنه من خلال تغيير قرارك، فإنك تضاعف احتمالية الفوز.

ملاحظة من المعلم الرياضيات العلياوأخصائي توازن الألعاب مكسيم سولداتوف - شرايبر بالطبع لم يكن لديه، ولكن بدونها يمكنك فهم ذلك التحول السحريصعب بما فيه الكفاية

ومرة أخرى عن مفارقة مونتي هول

أما بالنسبة للعرض نفسه: حتى لو لم يكن خصوم مونتي هول جيدين في الرياضيات، فقد كان جيدًا فيها. وإليك ما فعله لتغيير اللعبة قليلاً. إذا اخترت بابًا خلفه جائزة، وكانت فرصة حدوثه 1/3، فسيقدم لك دائمًا خيار اختيار باب آخر. ستختار سيارة ثم تستبدلها بماعز وستبدو غبيًا جدًا - وهذا بالضبط ما تريده نظرًا لأن هول رجل شرير نوعًا ما.

ولكن إذا اخترت بابًا لا يوجد خلفه جائزة، فسوف يطلب منك فقط اختيار باب آخر نصف الوقت، أو سيُظهر لك فقط عنزتك الجديدة وستغادر المسرح. دعونا نحلل هذا لعبة جديدةحيث يستطيع مونتي هول أن يقرر ما إذا كان سيعرض عليك فرصة اختيار باب آخر أم لا.

لنفترض أنه يتبع هذه الخوارزمية: إذا اخترت بابًا به جائزة، فإنه يعرض عليك دائمًا الفرصة لاختيار باب آخر، وإلا فمن المحتمل أيضًا أن يعرض عليك اختيار باب آخر أو يعطيك عنزة. ما هي احتمالية فوزك؟

في واحدة من ثلاثة خياراتتختار على الفور الباب الذي توجد خلفه الجائزة، ويدعوك المقدم لاختيار باب آخر.

من بين الخيارين المتبقيين من بين الثلاثة (تختار في البداية بابًا بدون جائزة)، في نصف الحالات، سيعرض عليك مقدم العرض تغيير قرارك، وفي النصف الآخر من الحالات - لا.

نصف 2/3 هو 1/3، أي أنه في حالة واحدة من أصل ثلاثة ستحصل على عنزة، وفي حالة واحدة من أصل ثلاثة ستختار الباب الخطأ وسيطلب منك المضيف اختيار باب آخر، وفي حالة واحدة في حالة من بين ثلاثة، ستختار الباب الصحيح، لكنه سيعرض عليك بابًا آخر مرة أخرى.

إذا عرض المقدم اختيار باب آخر، فنحن نعلم بالفعل أن حالة واحدة من أصل ثلاث حالات، عندما يعطينا عنزة ونغادر، لم تحدث. هذا معلومات مفيدة: فهذا يعني أن فرصنا في الفوز قد تغيرت. حالتان من أصل ثلاث عندما تتاح لنا فرصة الاختيار: في حالة واحدة يعني أننا خمننا بشكل صحيح، وفي الأخرى أننا خمننا خطأ، فإذا أتيحت لنا الفرصة للاختيار على الإطلاق، فإن احتمال فوزنا هو 1/2، ومن الناحية الرياضية، لا يهم إذا بقيت مع اختيارك أو اخترت بابًا آخر.

مثل لعبة البوكر، فهي لعبة نفسية وليست رياضية. لماذا أعطاك مونتي الاختيار؟ إنه يعتقد أنك مغفل لا يعرف أن اختيار باب آخر هو القرار "الصحيح" وسوف يتمسك بعناد باختياره (بعد كل شيء، من الناحية النفسية الوضع أكثر تعقيدا، عندما اخترت سيارة ثم فقدتها)؟

أم أنه، بعد أن قرر أنك ذكي وستختار بابًا آخر، يعرض عليك هذه الفرصة لأنه يعلم أنك خمنت بشكل صحيح في المقام الأول وسوف تعلق؟ أو ربما يكون لطيفًا على نحو غير معهود ويدفعك إلى القيام بشيء مفيد لك لأنه لم يتخلى عن السيارات منذ فترة ويقول المنتجون إن الجمهور يشعر بالملل وسيكون من الأفضل التنازل عن جائزة كبيرة قريبًا للقيام بها انخفاض التقييمات؟

بهذه الطريقة، يتمكن مونتي من تقديم خيار في بعض الأحيان، وفي نفس الوقت الاحتمال العامتظل المكاسب تساوي 1/3. تذكر أن احتمال خسارتك المباشرة هو 1/3. فرصة تخمينك بشكل صحيح على الفور هي 1/3، وستفوز بنسبة 50% من هذه المرات (1/3 × 1/2 = 1/6).

احتمالية تخمينك الخاطئ في البداية ثم الحصول على فرصة لاختيار باب آخر هي 1/3، وستفوز بنصف هذه المرات (أيضًا 1/6). أضف احتمالين مستقلين للفوز وستحصل على احتمال 1/3، لذلك لا يهم ما إذا كنت متمسكًا باختيارك أو اخترت بابًا آخر - فاحتمال فوزك الإجمالي طوال اللعبة هو 1/3.

لا يصبح الاحتمال أكبر مما هو عليه في الموقف عندما خمنت الباب وأظهر لك المقدم ببساطة ما وراءه، دون أن يعرض عليك اختيار باب آخر. الهدف من الاقتراح ليس تغيير الاحتمالية، بل جعل عملية صنع القرار أكثر متعة للمشاهدة على شاشة التلفزيون.

بالمناسبة، هذا هو أحد الأسباب التي تجعل لعبة البوكر مثيرة للاهتمام للغاية: في معظم التنسيقات، بين الجولات عند إجراء الرهانات (على سبيل المثال، التقليب، الدوران والنهر في Texas Hold'em)، يتم الكشف عن البطاقات تدريجيًا، وإذا كانت لديك فرصة واحدة للفوز في بداية اللعبة، فبعد كل جولة مراهنة، عندما تكون مفتوحة المزيد من البطاقات، يتغير هذا الاحتمال.

مفارقة الصبي والفتاة

وهذا يقودنا إلى مفارقة أخرى معروفة، والتي عادة ما تحير الجميع - مفارقة الصبي والفتاة. الشيء الوحيد الذي أكتب عنه اليوم والذي لا يرتبط مباشرة بالألعاب (على الرغم من أنني أعتقد أنه من المفترض فقط أن أشجعك على إنشاء آليات لعب مناسبة). هذا لغز أكثر، لكنه مثير للاهتمام، ومن أجل حله، عليك أن تفهم الاحتمال الشرطي، الذي تحدثنا عنه أعلاه.

المشكلة: لدي صديق لديه طفلان، أحدهما على الأقل فتاة. ما هو احتمال أن يكون الطفل الثاني فتاة أيضًا؟ لنفترض أن فرص إنجاب فتاة وصبي في أي عائلة هي 50/50، وهذا صحيح لكل طفل.

في الواقع، لدى بعض الرجال عدد أكبر من الحيوانات المنوية التي تحتوي على كروموسوم X أو كروموسوم Y في حيواناتهم المنوية، وبالتالي تتغير الاحتمالات قليلاً. إذا علمت أن أحد الأطفال فتاة، فإن احتمال إنجاب فتاة ثانية يكون أعلى قليلاً، وهناك حالات أخرى، مثل الخنوثة. ولكن لحل هذه المشكلة، لن نأخذ هذا في الاعتبار ونفترض أن ولادة طفل هي حدث مستقلومن المرجح أن يكون ولادة ولد وفتاة متساويين.

وبما أننا نتحدث عن احتمال 1/2، فإننا نتوقع بشكل بديهي أن الإجابة ستكون على الأرجح 1/2 أو 1/4، أو أي رقم آخر يمثل مضاعفًا للاثنين في المقام. لكن الجواب هو 1/3. لماذا؟

تكمن الصعوبة هنا في أن المعلومات المتوفرة لدينا تقلل من عدد الاحتمالات. لنفترض أن الوالدين من عشاق شارع سمسم، وبغض النظر عن جنس الأطفال، فقد أطلقوا عليهما اسم A وB. في ظل الظروف العادية، هناك أربعة احتمالات متساوية في الاحتمال: A وB صبيان، A وB فتاتان، A هو صبي و B فتاة، A فتاة و B صبي. وبما أننا نعلم أن هناك طفلًا واحدًا على الأقل فتاة، فيمكننا استبعاد احتمال أن يكون A وB ولدين. وهذا يتركنا أمام ثلاثة احتمالات، لا تزال محتملة بنفس القدر. إذا كانت جميع الاحتمالات متساوية في احتمالها وكان هناك ثلاثة منها، فإن احتمال كل منها هو 1/3. في واحد فقط من هذه الخيارات الثلاثة يوجد كلا من الأطفال البنات، لذا فإن الإجابة هي 1/3.

ومرة أخرى عن مفارقة الصبي والفتاة

يصبح حل المشكلة غير منطقي أكثر. تخيل أن صديقي لديه طفلان وأحدهما فتاة ولدت يوم الثلاثاء. لنفترض أنه في ظل الظروف العادية يمكن أن يولد طفل في كل يوم من أيام الأسبوع السبعة باحتمال متساو. ما احتمال أن يكون الطفل الثاني فتاة أيضًا؟

قد تعتقد أن الإجابة ستظل 1/3: ما أهمية يوم الثلاثاء؟ ولكن حتى في هذه الحالة، فإن حدسنا يخذلنا. الجواب هو 27/13، وهو ليس غير بديهي فحسب، بل غريب جدًا. ما الأمر في هذه الحالة؟

في الواقع، يوم الثلاثاء يغير الاحتمال لأننا لا نعرف أي طفل ولد يوم الثلاثاء، أو ربما كلاهما ولدا يوم الثلاثاء. في هذه الحالة، نستخدم نفس المنطق: نحن نحسب كل شيء مجموعات ممكنة، عندما يكون هناك طفل واحد على الأقل فتاة ولدت يوم الثلاثاء. كما في المثال السابق، لنفترض أن الأطفال يُسمون A وB. تبدو المجموعات كما يلي:

• "أ" هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء، و "ب" صبي (في هذه الحالة هناك 7 احتمالات، واحد لكل يوم من أيام الأسبوع الذي يمكن أن يولد فيه صبي).
• B هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء، A هو صبي (أيضًا 7 احتمالات).
• أ - فتاة ولدت يوم الثلاثاء، ب - فتاة ولدت في يوم آخر من الأسبوع (6 احتمالات).
• B هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء، A هي فتاة لم تولد يوم الثلاثاء (أيضًا 6 احتمالات).
• A و B فتاتان ولدتا يوم الثلاثاء (احتمال واحد، عليك الانتباه لذلك حتى لا تحسب مرتين).

نجمع ونحصل على 27 مجموعة مختلفة ومتساوية من ولادات الأطفال والأيام مع احتمال واحد على الأقل لولادة فتاة يوم الثلاثاء. ومن بين هذه الاحتمالات، هناك 13 احتمالًا عند ولادة فتاتين. يبدو هذا أيضًا غير منطقي تمامًا - على ما يبدو هذه المهمةتم اختراعه فقط للتسبب صداع. إذا كنت لا تزال في حيرة من أمرك، فإن موقع عالم نظريات الألعاب Jesper Juhl يقدم شرحًا جيدًا لهذه المشكلة.

إذا كنت تعمل حاليا على لعبة

إذا كانت هناك عشوائية في اللعبة التي تقوم بتصميمها، فهذا هو الوقت المناسب لتحليلها. حدد بعض العناصر التي تريد تحليلها. اسأل نفسك أولاً عما تتوقعه من احتمالية وجود عنصر معين، وما ينبغي أن يكون عليه في سياق اللعبة.

على سبيل المثال، إذا كنت تصنع لعبة تقمص أدوار وتتساءل عن احتمالية أن يهزم اللاعب وحشًا في المعركة، فاسأل نفسك ما هي نسبة الفوز التي تناسبك. عادةً، في ألعاب تقمص الأدوار على وحدة التحكم، يشعر اللاعبون بالانزعاج الشديد عندما يخسرون، لذا فمن الأفضل أن يخسروا بشكل غير متكرر - 10% من الوقت أو أقل. إذا كنت مصممًا لألعاب تقمص الأدوار، فمن المحتمل أنك تعرف أفضل مني، ولكن يجب أن تعرف ذلك الفكرة الأساسية، ما ينبغي أن يكون الاحتمال.

ثم اسأل نفسك ما إذا كانت احتمالاتك تابعة (كما هو الحال مع البطاقات) أو مستقلة (كما هو الحال مع النرد). تحليل جميع النتائج المحتملة واحتمالاتها. تأكد من أن مجموع كل الاحتمالات هو 100%. وبالطبع قارن النتائج التي تم الحصول عليها مع توقعاتك. هل أنت قادر على رمي النرد أو سحب البطاقات بالطريقة التي تريدها، أم أنه من الواضح أن القيم تحتاج إلى تعديل. وبالطبع، إذا وجدت أي عيوب، يمكنك استخدام نفس الحسابات لتحديد مقدار تغيير القيم.

الواجب المنزلي

خاصة بك العمل في المنزلسيساعدك هذا الأسبوع على صقل مهاراتك الاحتمالية. فيما يلي لعبتي نرد ولعبة ورق ستحللهما باستخدام الاحتمالات، بالإضافة إلى آلية لعب غريبة قمت بتطويرها ذات مرة والتي ستختبر طريقة مونت كارلو.

اللعبة رقم 1 - عظام التنين

هذه هي لعبة النرد التي توصلت إليها أنا وزملائي ذات مرة (بفضل Jeb Heavens وJesse King) - إنها على وجه التحديد تذهل عقول الناس باحتمالاتها. إنها لعبة كازينو بسيطة تسمى Dragon Dice، وهي عبارة عن مسابقة نرد قمار بين اللاعب والمنزل.

لقد تم إعطاؤك قالب 1d6 عادي. الهدف من اللعبة هو الحصول على رقم أعلى من رقم المنزل. يُمنح توم 1d6 غير قياسي - مثل وجهك، ولكن على أحد وجوهه بدلاً من الوحدة توجد صورة تنين (وبالتالي، يحتوي الكازينو على مكعب تنين - 2-3-4-5-6 ). إذا حصل المنزل على تنين، فإنه يفوز تلقائيًا وتخسر. إذا حصل كلاهما نفس الرقم- إنه التعادل وقمت برمي النرد مرة أخرى. الشخص الذي يحصل على أكبر عدد يفوز.

وبطبيعة الحال، كل شيء لا يسير بالكامل لصالح اللاعب، لأن الكازينو يتمتع بميزة حافة التنين. ولكن هل هذا صحيح حقا؟ هذا ما عليك أن تحسبه. لكن تحقق من حدسك أولاً.

لنفترض أن الاحتمالات هي 2 إلى 1. لذا إذا فزت، فستحتفظ برهانك وستحصل على ضعف رهانك. على سبيل المثال، إذا راهنت بدولار واحد وربحت، فإنك تحتفظ بهذا الدولار وتحصل على دولارين آخرين في الأعلى، ليصبح المجموع 3 دولارات. إذا خسرت، فستخسر رهانك فقط. هل ستلعب؟ هل تشعر بشكل حدسي أن الاحتمال أكبر من 2 إلى 1، أم أنك لا تزال تعتقد أنه أقل؟ بمعنى آخر، في المتوسط ​​خلال 3 مباريات، هل تتوقع الفوز أكثر من مرة، أو أقل، أو مرة واحدة؟

بمجرد أن تكتشف حدسك، استخدم الرياضيات. لا يوجد سوى 36 موضعًا محتملاً لكلا النردين، لذا يمكنك عدهم جميعًا دون أي مشكلة. إذا لم تكن متأكدًا من عرض 2 مقابل 1، ففكر في ما يلي: لنفترض أنك لعبت اللعبة 36 مرة (تراهن بدولار واحد في كل مرة). مقابل كل فوز تحصل على دولارين، مقابل كل خسارة تخسر دولارًا واحدًا، والتعادل لا يغير شيئًا. احسب كل مكاسبك وخسائرك المحتملة وقرر ما إذا كنت ستخسر أو تربح بعض الدولارات. ثم اسأل نفسك عن مدى صحة حدسك. ومن ثم أدرك كم أنا شرير.

ونعم، إذا كنت قد فكرت بالفعل في هذا السؤال - فأنا أربكك عمدًا من خلال تحريف الآليات الفعلية لألعاب النرد، لكنني متأكد من أنه يمكنك التغلب على هذه العقبة بقليل من التفكير. حاول حل هذه المشكلة بنفسك.

اللعبة رقم 2 - رمي الحظ

هذا القمارفي نرد يسمى "لفة الحظ" (أيضًا "قفص العصافير" لأنه في بعض الأحيان لا يتم لف النرد ولكن يتم وضعه في قفص سلكي كبير، يذكرنا بالقفص من لعبة البنغو). اللعبة بسيطة وتتلخص بشكل أساسي في ما يلي: راهن، على سبيل المثال، بدولار واحد على رقم من 1 إلى 6. ثم قم برمي 3d6. مقابل كل حجر نرد يصل إليه رقمك، تحصل على دولار واحد (وتحتفظ برهانك الأصلي). إذا لم يظهر رقمك على أي من أحجار النرد، فسيحصل الكازينو على دولارك ولن تحصل أنت على شيء. لذا، إذا راهنت على 1 وحصلت على 1 على الجانبين ثلاث مرات، فستحصل على 3 دولارات.

بشكل حدسي، يبدو أن هذه اللعبة لديها فرص متساوية. كل حجر نرد له فرصة فردية للفوز بنسبة 1 من 6، لذا على مجموع اللفات الثلاثة، فإن فرصتك للفوز هي 3 من 6. ومع ذلك، بالطبع، تذكر أنك تقوم بإضافة ثلاثة أحجار نرد منفصلة، ​​ولا يُسمح لك إلا أضف إذا كنا نتحدث عن مجموعات فائزة منفصلة لنفس النرد. شيء سوف تحتاج إلى مضاعفة.

بمجرد حساب جميع النتائج المحتملة (ربما يكون القيام بذلك أسهل باستخدام برنامج Excel بدلاً من القيام بذلك يدويًا، نظرًا لوجود 216 منها)، تظل اللعبة تبدو غريبة حتى للوهلة الأولى. في الواقع، لا يزال لدى الكازينو فرصة أفضل للفوز - فكم أكثر من ذلك؟ على وجه التحديد، ما هو متوسط ​​المبلغ الذي تتوقع خسارته في كل جولة من اللعب؟

كل ما عليك فعله هو جمع المكاسب والخسائر لجميع النتائج البالغ عددها 216 ثم قسمتها على 216، وهو ما يجب أن يكون بسيطًا جدًا. ولكن، كما ترون، هناك العديد من المزالق هنا، ولهذا السبب أقول: إذا كنت تعتقد أن هذه اللعبة لديها فرصة متساوية للفوز، فأنت مخطئ تمامًا.

اللعبة رقم 3 - لعبة البوكر ذات 5 أوراق

إذا كنت قد استعدت بالفعل للألعاب السابقة، فلنتحقق مما نعرفه عن الاحتمال الشرطي باستخدام لعبة الورق هذه كمثال. لنتخيل لعبة بوكر تحتوي على مجموعة مكونة من 52 بطاقة. لنتخيل أيضًا 5 بطاقات، حيث يحصل كل لاعب على 5 بطاقات فقط. لا يمكنك التخلص من بطاقة، ولا يمكنك رسم بطاقة جديدة، ولا توجد مجموعة مشتركة - تحصل على 5 بطاقات فقط.

رويال فلوش هو 10-J-Q-K-A في يد واحدة، هناك أربعة في المجموع، لذلك هناك أربعة الطرق الممكنةاحصل على تدفق ملكي. احسب احتمالية حصولك على مجموعة واحدة من هذا القبيل.

يجب أن أحذرك من شيء واحد: تذكر أنه يمكنك سحب هذه البطاقات الخمس بأي ترتيب. أي أنه يمكنك أولاً رسم الآس أو العشرة، لا يهم. لذا، أثناء قيامك بالحسابات، ضع في اعتبارك أن هناك في الواقع أكثر من أربع طرق للحصول على رويال فلاش، على افتراض أنه تم توزيع البطاقات بالترتيب.

اللعبة رقم 4 - يانصيب صندوق النقد الدولي

المشكلة الرابعة لا يمكن حلها بهذه السهولة باستخدام الطرق التي تحدثنا عنها اليوم، ولكن يمكنك محاكاة الوضع بسهولة باستخدام البرمجة أو برنامج Excel. في مثال هذه المشكلة يمكنك حل طريقة مونت كارلو.

لقد ذكرت سابقًا لعبة Chron X، التي عملت عليها ذات مرة، وكانت هناك بطاقة واحدة مثيرة جدًا للاهتمام - يانصيب صندوق النقد الدولي. وإليك كيفية عملها: لقد استخدمتها في اللعبة. بعد انتهاء الجولة، تم إعادة توزيع البطاقات، وكان هناك احتمال بنسبة 10% لخروج البطاقة من اللعب وأن اللاعب العشوائي سيحصل على 5 وحدات من كل نوع من الموارد التي كان رمزها موجودًا على تلك البطاقة. تم إدخال البطاقة في اللعب بدون شريحة واحدة، ولكن في كل مرة ظلت قيد اللعب في بداية الجولة التالية، كانت تتلقى شريحة واحدة.

لذلك كان هناك احتمال بنسبة 10% أنه إذا قمت بتشغيلها، ستنتهي الجولة، وستغادر البطاقة اللعبة، ولن يحصل أحد على أي شيء. إذا لم يحدث هذا (فرصة 90٪)، فهناك فرصة 10٪ (في الواقع 9٪، لأنها 10٪ من 90٪) ستترك اللعبة في الجولة التالية وسيحصل شخص ما على 5 وحدات من الموارد. إذا تركت البطاقة اللعبة بعد جولة واحدة (10% من 81% المتاحة، وبالتالي فإن الاحتمال هو 8.1%)، سيحصل شخص ما على 10 وحدات، وجولة أخرى - 15، وأخرى - 20، وهكذا. سؤال: ما هي القيمة العامة المتوقعة لعدد الموارد التي ستحصل عليها من هذه البطاقة عندما تترك اللعبة أخيرًا؟

عادةً ما نحاول حل هذه المشكلة عن طريق حساب احتمالية كل نتيجة وضربها في عدد جميع النتائج. هناك احتمال 10% أن تحصل على 0 (0.1 * 0 = 0). 9% أنك سوف تحصل على 5 وحدات من الموارد (9% * 5 = 0.45 موارد). 8.1% مما ستحصل عليه هو 10 (8.1%*10=0.81 موارد - القيمة الإجمالية المتوقعة). وما إلى ذلك وهلم جرا. وبعد ذلك سوف نلخص كل شيء.

والآن أصبحت المشكلة واضحة بالنسبة لك: هناك دائمًا احتمال ألا تترك البطاقة اللعبة، ويمكن أن تظل في اللعبة إلى الأبد، عدد لا حصر لهجولات، لذلك لا توجد طريقة لحساب كل الاحتمالات. الأساليب التي درسناها اليوم لا تسمح لنا بحساب التكرار اللانهائي، لذلك سيتعين علينا إنشاؤه بشكل مصطنع.

إذا كنت جيدًا في البرمجة، فاكتب برنامجًا يحاكي هذه الخريطة. يجب أن يكون لديك حلقة زمنية تجلب المتغير إلى الوضعية الأوليةصفر، يظهر رقمًا عشوائيًا وباحتمال 10% أن يخرج المتغير من الحلقة. وإلا فإنه يضيف 5 إلى المتغير وتتكرر الحلقة. عندما تخرج الحلقة أخيرًا، قم بزيادة إجمالي عدد مرات التشغيل التجريبية بمقدار 1 وإجمالي عدد الموارد (بالمقدار الذي يعتمد على المكان الذي سينتهي فيه المتغير). ثم قم بضبط المتغير وابدأ من جديد.

قم بتشغيل البرنامج عدة آلاف من المرات. في النهاية، قم بتقسيم إجمالي عدد الموارد على إجمالي عدد مرات التشغيل - وستكون هذه هي قيمة مونت كارلو المتوقعة. قم بتشغيل البرنامج عدة مرات للتأكد من أن الأرقام التي تحصل عليها هي نفسها تقريبًا. إذا كان التشتت لا يزال كبيرًا، قم بزيادة عدد التكرارات في الحلقة الخارجية حتى تبدأ في الحصول على التطابقات. يمكنك التأكد من أن الأرقام التي ستحصل عليها في النهاية ستكون صحيحة تقريبًا.

إذا كنت جديدًا في البرمجة (حتى لو كنت كذلك)، فإليك تمرينًا سريعًا لاختبار مهاراتك في برنامج Excel. إذا كنت مصمم ألعاب، فلن تكون هذه المهارات زائدة عن الحاجة أبدًا.

الآن ستكون وظائف if وrand مفيدة جدًا لك. لا يتطلب Rand قيمًا، بل ينتج قيمة عشوائية فقط عدد عشريمن 0 إلى 1. عادةً ما نقوم بدمجها مع الأرضية والإيجابيات والسلبيات لمحاكاة رمية النرد التي ذكرتها سابقًا. ومع ذلك، في هذه الحالة، نترك فقط فرصة بنسبة 10% لمغادرة البطاقة اللعبة، لذلك يمكننا فقط التحقق لمعرفة ما إذا كانت قيمة الراند أقل من 0.1 ولا داعي للقلق بشأنها بعد الآن.

إذا كان له ثلاثة معاني. بالترتيب: الشرط الذي يكون صحيحا أو خطأ، ثم القيمة التي تعاد إذا كان الشرط صحيحا، والقيمة التي ترجع إذا كان الشرط خطأ. لذا الوظيفة التاليةسيعود 5% من الوقت، و0 90% المتبقية من الوقت: =IF(RAND())<0.1,5,0) .

هناك العديد من الطرق لتعيين هذا الأمر، ولكنني سأستخدم هذه الصيغة للخلية التي تمثل الجولة الأولى، لنفترض أنها الخلية A1: =IF(RAND())<0.1,0,-1) .

أنا هنا أستخدم متغيرًا سلبيًا ليعني "هذه البطاقة لم تترك اللعبة ولم تتخلى عن أي موارد بعد." لذا، إذا انتهت الجولة الأولى وخرجت البطاقة من اللعب، فإن A1 يساوي 0؛ وإلا فهو -1.

بالنسبة للخلية التالية التي تمثل الجولة الثانية: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND())<0.1,5,-1)) . لذا، إذا انتهت الجولة الأولى وغادرت البطاقة اللعبة على الفور، فإن A1 يساوي 0 (عدد الموارد) وستقوم هذه الخلية ببساطة بنسخ هذه القيمة. بخلاف ذلك، تكون A1 هي -1 (لم تخرج البطاقة من اللعبة بعد)، وتستمر هذه الخلية في التحرك بشكل عشوائي: في 10% من الوقت ستعيد 5 وحدات من الموارد، وفي بقية الوقت ستظل قيمتها مساوية لـ -1. إذا طبقنا هذه الصيغة على خلايا إضافية، فسنحصل على جولات إضافية، وأيًا كانت الخلية التي تنتهي بها ستعطيك النتيجة النهائية (أو -1 إذا لم تترك البطاقة اللعبة مطلقًا بعد كل الجولات التي لعبتها).

خذ هذا الصف من الخلايا، الذي يمثل الجولة الوحيدة بهذه البطاقة، وانسخ والصق عدة مئات (أو آلاف) من الصفوف. قد لا نكون قادرين على إجراء اختبار لا نهائي لبرنامج Excel (يوجد عدد محدود من الخلايا في الجدول)، ولكن على الأقل يمكننا تغطية معظم الحالات. ثم حدد خلية واحدة ستضع فيها متوسط ​​نتائج جميع الجولات - يوفر Excel بشكل مفيد دالة Average() لهذا الغرض.

في نظام التشغيل Windows، يمكنك على الأقل الضغط على F9 لإعادة حساب كافة الأرقام العشوائية. كما كان من قبل، قم بذلك عدة مرات لترى ما إذا كنت ستحصل على نفس القيم. إذا كان الفارق كبيرًا جدًا، قم بمضاعفة عدد مرات التشغيل وحاول مرة أخرى.

مشاكل لم تحل

إذا كان لديك شهادة في نظرية الاحتمالات وكانت المشكلات المذكورة أعلاه تبدو سهلة للغاية بالنسبة لك، فإليك مسألتان كنت أخدش رأسي بهما لسنوات، ولكن لسوء الحظ لست جيدًا بما يكفي في الرياضيات لحلهما.

المشكلة غير المحلولة رقم 1: يانصيب صندوق النقد الدولي

المشكلة الأولى التي لم يتم حلها هي الواجب المنزلي السابق. يمكنني بسهولة تطبيق طريقة مونت كارلو (باستخدام C++ أو Excel) وأن أكون واثقًا من الإجابة على السؤال "كم عدد الموارد التي سيحصل عليها اللاعب"، لكنني لا أعرف بالضبط كيفية تقديم إجابة دقيقة يمكن إثباتها رياضيًا (إنها سلسلة لا نهاية لها).

المشكلة غير المحلولة رقم 2: تسلسل الأرقام

هذه المشكلة (وهي أيضًا تتجاوز المهام التي تم حلها في هذه المدونة) قدمها لي صديق لاعب منذ أكثر من عشر سنوات. أثناء لعب لعبة البلاك جاك في فيغاس، لاحظ شيئًا مثيرًا للاهتمام: عندما قام بإزالة البطاقات من حذاء مكون من 8 أوراق لعب، رأى عشرة أرقام متتالية (شخصية أو بطاقة وجه - 10، جوكر، ملك أو ملكة، لذلك هناك 16 في إجمالي البطاقات القياسية المكونة من 52 مجموعة أو 128 في مجموعة البطاقات 416).

ما احتمال أن يحتوي هذا الحذاء على سلسلة واحدة على الأقل من عشرة أرقام أو أكثر؟ لنفترض أنه تم خلطها بشكل عشوائي، وبترتيب عشوائي. أو، إذا كنت تفضل ذلك، ما هو احتمال عدم ظهور سلسلة من عشرة أرقام أو أكثر في أي مكان؟

يمكننا تبسيط المهمة. هنا سلسلة من 416 جزءًا. كل جزء هو 0 أو 1. هناك 128 واحدًا و288 صفرًا متناثرة بشكل عشوائي خلال التسلسل. ما عدد الطرق المتاحة لخلط 128 آحادًا مع 288 صفرًا بشكل عشوائي، وكم مرة ستتكرر بهذه الطرق مجموعة واحدة على الأقل مكونة من عشرة آحاد أو أكثر؟

في كل مرة كنت أشرع في حل هذه المشكلة، بدا الأمر سهلاً وواضحًا بالنسبة لي، ولكن بمجرد أن تعمقت في التفاصيل، انهارت فجأة وبدت ببساطة مستحيلة.

لذا لا تتعجل في سرد ​​الإجابة: اجلس، وفكر مليًا، وادرس الظروف، وحاول التعويض بأعداد حقيقية، لأن جميع الأشخاص الذين تحدثت إليهم حول هذه المشكلة (بما في ذلك العديد من طلاب الدراسات العليا الذين يعملون في هذا المجال) تفاعلوا معها نفس الشيء: "إنه أمر واضح تمامًا... أوه، لا، انتظر، إنه ليس واضحًا على الإطلاق." هذا هو الحال عندما لا يكون لدي طريقة لحساب جميع الخيارات. يمكنني بالطبع حل المشكلة عن طريق خوارزمية حاسوبية، لكن سيكون من المثير للاهتمام معرفة الحل الرياضي.

تم تقديمه حتى الآن في البنك المفتوح لمشاكل امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (mathege.ru)، ويعتمد حلها على صيغة واحدة فقط، وهي التعريف الكلاسيكي للاحتمال.

أسهل طريقة لفهم الصيغة هي من خلال الأمثلة.
مثال 1.هناك 9 كرات حمراء و3 كرات زرقاء في السلة. الكرات تختلف فقط في اللون. نخرج أحدهم بشكل عشوائي (دون النظر). ما احتمال أن تكون الكرة المختارة بهذه الطريقة زرقاء اللون؟

تعليق.في مسائل نظرية الاحتمالات، يحدث شيء ما (في هذه الحالة، فعل سحب الكرة) يمكن أن يكون له نتيجة مختلفة - النتيجة. تجدر الإشارة إلى أنه يمكن النظر إلى النتيجة بطرق مختلفة. "لقد سحبنا نوعًا ما من الكرة" هي أيضًا نتيجة. "لقد أخرجنا الكرة الزرقاء" - النتيجة. "لقد أخرجنا هذه الكرة بالضبط من جميع الكرات الممكنة" - تسمى هذه النظرة الأقل عمومية للنتيجة بالنتيجة الأولية. إنها النتائج الأولية المقصودة في صيغة حساب الاحتمال.

حل.الآن دعونا نحسب احتمالية اختيار الكرة الزرقاء.
الحدث أ: "تبين أن الكرة المحددة زرقاء اللون"
العدد الإجمالي لجميع النتائج الممكنة: 9+3=12 (عدد جميع الكرات التي يمكننا سحبها)
عدد النتائج الملائمة للحدث أ: 3 (عدد النتائج التي وقع فيها الحدث أ - أي عدد الكرات الزرقاء)
ف(أ)=3/12=1/4=0.25
الجواب: 0.25

لنفس المشكلة، دعونا نحسب احتمال اختيار كرة حمراء.
سيبقى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة كما هو، 12. عدد النتائج الإيجابية: 9. الاحتمال المطلوب: 9/12=3/4=0.75

احتمال أي حدث يقع دائما بين 0 و 1.
في بعض الأحيان في الكلام اليومي (ولكن ليس في نظرية الاحتمالات!) يتم تقدير احتمالية الأحداث كنسبة مئوية. يتم الانتقال بين درجات الرياضيات والمحادثة عن طريق الضرب (أو القسمة) على 100%.
لذا،
علاوة على ذلك، فإن احتمال الأحداث التي لا يمكن أن تحدث هو صفر - وهو أمر لا يصدق. على سبيل المثال، في مثالنا، سيكون هذا هو احتمال سحب كرة خضراء من السلة. (عدد النتائج الإيجابية هو 0، P(A)=0/12=0، إذا تم حسابها باستخدام الصيغة)
يحتوي الاحتمال 1 على أحداث مؤكدة حدوثها تمامًا، دون خيارات. على سبيل المثال، احتمال أن تكون الكرة المحددة إما حمراء أو زرقاء هو مهمتنا. (عدد النتائج الإيجابية: 12، P(A)=12/12=1)

لقد نظرنا إلى مثال كلاسيكي يوضح تعريف الاحتمال. يتم حل جميع المسائل المماثلة لامتحان الدولة الموحدة في نظرية الاحتمالات باستخدام هذه الصيغة.
بدلاً من الكرات الحمراء والزرقاء، قد يكون هناك تفاح وكمثرى، أولاد وبنات، تذاكر متعلمة وغير متعلمة، تذاكر تحتوي أو لا تحتوي على سؤال حول موضوع ما (نماذج أولية)، أكياس معيبة وعالية الجودة أو مضخات حديقة (نماذج أولية) ،) - يظل المبدأ كما هو.

وهي تختلف قليلاً في صياغة مشكلة نظرية الاحتمالات في امتحان الدولة الموحدة، حيث تحتاج إلى حساب احتمال وقوع حدث ما في يوم معين. ( , ) كما في المسائل السابقة، تحتاج إلى تحديد النتيجة الأولية، ثم تطبيق نفس الصيغة.

مثال 2.ويستمر المؤتمر ثلاثة أيام. في اليومين الأول والثاني هناك 15 متحدثًا، وفي اليوم الثالث - 20. ما هو احتمال سقوط تقرير الأستاذ م. في اليوم الثالث إذا تم تحديد ترتيب التقارير عن طريق القرعة؟

ما هي النتيجة الأولية هنا؟ - تخصيص تقرير الأستاذ بأحد الأرقام التسلسلية الممكنة للخطاب. 15+15+20=50 شخص يشاركون في السحب. وبالتالي، قد يتلقى تقرير البروفيسور م. واحدة من 50 قضية. وهذا يعني أن هناك 50 نتيجة أولية فقط.
ما هي النتائج الإيجابية؟ - تلك التي تبين فيها أن الأستاذ سيتحدث في اليوم الثالث. أي آخر 20 رقمًا.
وفقا للصيغة، الاحتمال P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
الجواب: 0.4

يمثل سحب القرعة هنا إنشاء مراسلات عشوائية بين الأشخاص والأماكن المرتبة. في المثال 2، تم أخذ المطابقة بعين الاعتبار من حيث الأماكن التي يمكن أن يشغلها شخص معين. يمكنك التعامل مع نفس الموقف من الجانب الآخر: أي من الأشخاص لديه احتمالية الوصول إلى مكان معين (النماذج الأولية، ،،، ):

مثال 3.وتضم القرعة 5 ألمان و8 فرنسيين و3 إستونيين. ما هو احتمال أن يكون الأول (/الثاني/السابع/الأخير - لا يهم) فرنسيًا.

عدد النتائج الأولية هو عدد جميع الأشخاص المحتملين الذين يمكنهم الوصول إلى مكان معين عن طريق القرعة. 5+8+3=16 شخص.
نتائج إيجابية - الفرنسية. 8 أشخاص.
الاحتمال المطلوب: 8/16=1/2=0.5
الجواب: 0.5

النموذج الأولي مختلف قليلاً. لا تزال هناك مشكلات تتعلق بالعملات المعدنية () والنرد ()، وهي أكثر إبداعًا إلى حد ما. يمكن العثور على حل هذه المشكلات على صفحات النموذج الأولي.

فيما يلي بعض الأمثلة على رمي العملة أو النرد.

مثال 4.عندما نرمي قطعة نقود، ما احتمال سقوطها على الوجه؟
هناك نتيجتان – الرؤوس أو الذيول. (يُعتقد أن العملة لا تهبط أبدًا على حافتها) النتيجة الإيجابية هي الكتابة، 1.
الاحتمال 1/2=0.5
الجواب: 0.5.

مثال 5.ماذا لو ألقينا قطعة نقود مرتين؟ ما هو احتمال الحصول على الرؤوس في المرتين؟
الشيء الرئيسي هو تحديد النتائج الأولية التي سنأخذها في الاعتبار عند رمي عملتين معدنيتين. بعد رمي قطعتين من النقود يمكن أن تحدث إحدى النتائج التالية:
1) PP - في كل مرة ظهرت الرؤوس
2) PO - رؤوس المرة الأولى، رؤوس المرة الثانية
3) OP - الرأس في المرة الأولى، والذيل في المرة الثانية
4) OO – ظهرت الرؤوس في المرتين
ليس هناك من خيارات اخرى. وهذا يعني أن هناك 4 نتائج أولية فقط، وهي 1، هي المفضلة.
الاحتمال: 1/4=0.25
الجواب: 0.25

ما هو احتمال أن تؤدي رمي العملة مرتين إلى ظهور الكتابة؟
عدد النتائج الأولية هو نفسه، 4. النتائج المفضلة هي الثانية والثالثة، 2.
احتمال الحصول على ذيل واحد: 2/4=0.5

في مثل هذه المشاكل، قد تكون صيغة أخرى مفيدة.
إذا كان لدينا خياران محتملان للنتيجة من رمية واحدة لعملة معدنية، فستكون النتائج لرميتين = 2 2 = 2 2 = 4 (كما في المثال 5)، ولثلاث رميات 2 2 2 = 2 3 = 8، ولأربع رميات : 2·2·2·2=2 4 =16, ... بالنسبة لعدد N ستكون النتائج المحتملة 2·2·...·2=2 N .

لذلك، يمكنك العثور على احتمال الحصول على 5 صور من أصل 5 رميات للعملات المعدنية.
إجمالي عدد النتائج الابتدائية: 2 5 = 32.
النتائج الإيجابية: 1. (RRRRRR – رؤوس الجميع 5 مرات)
الاحتمال: 1/32=0.03125

وينطبق الشيء نفسه على النرد. مع رمية واحدة، هناك 6 نتائج محتملة، لذلك، لرميتين: 6 6 = 36، لثلاثة 6 6 = 216، إلخ.

مثال 6.نحن رمي النرد. ما هو احتمال ظهور رقم زوجي؟

مجموع النتائج: 6 حسب عدد الجوانب.
مواتية: 3 نتائج. (2، 4، 6)
الاحتمال: 3/6=0.5

مثال 7.نرمي اثنين من النرد. ما هو احتمال أن يكون المجموع 10؟ (تقريبا إلى أقرب مائة)

مقابل نرد واحد هناك 6 نتائج محتملة. وهذا يعني أنه بالنسبة لشخصين، وفقًا للقاعدة المذكورة أعلاه، 6·6=36.
ما هي النتائج التي ستكون مواتية لمجموع 10؟
يجب أن يتم تحليل الرقم 10 إلى مجموع رقمين من 1 إلى 6. ويمكن القيام بذلك بطريقتين: 10=6+4 و10=5+5. وهذا يعني أن الخيارات التالية ممكنة للمكعبات:
(6 في الأول و4 في الثاني)
(4 في الأول و6 في الثاني)
(5 في الأول و5 في الثاني)
المجموع، 3 خيارات. الاحتمال المطلوب: 3/36=1/12=0.08
الجواب: 0.08

ستتم مناقشة الأنواع الأخرى من مشكلات B6 في مقالة كيفية حلها في المستقبل.

في البداية، باعتبارها مجرد مجموعة من المعلومات والملاحظات التجريبية حول لعبة النرد، أصبحت نظرية الاحتمال علمًا شاملاً. أول من أعطاها إطارًا رياضيًا هما فيرما وباسكال.

من التفكير في الأبدية إلى نظرية الاحتمال

الشخصان اللذان تدين لهما نظرية الاحتمالات بالعديد من صيغها الأساسية، بليز باسكال وتوماس بايز، معروفان بأنهما شخصان متدينان للغاية، والأخير هو وزير مشيخي. على ما يبدو، فإن رغبة هذين العالمين في إثبات مغالطة الرأي حول ثروة معينة، والتي تمنح حظا سعيدا لمفضلاتها، أعطت زخما للبحث في هذا المجال. ففي الواقع، أي لعبة قمار بمكاسبها وخسائرها هي مجرد سيمفونية من المبادئ الرياضية.

بفضل شغف شوفالييه دي مير، الذي كان مقامرًا ورجلًا غير مبالٍ بالعلم، اضطر باسكال إلى إيجاد طريقة لحساب الاحتمالات. كان De Mere مهتمًا بالسؤال التالي: "كم مرة تحتاج إلى رمي نردتين في أزواج بحيث يتجاوز احتمال الحصول على 12 نقطة 50٪؟" السؤال الثاني الذي كان محل اهتمام السيد الكبير: "كيف يتم تقسيم الرهان بين المشاركين في اللعبة غير المكتملة؟" بالطبع، أجاب باسكال بنجاح على سؤالي دي مير، الذي أصبح البادئ غير المقصود لتطوير نظرية الاحتمالات. ومن المثير للاهتمام أن شخصية دي مير ظلت معروفة في هذا المجال، وليس في الأدب.

في السابق، لم يحاول أي عالم رياضيات حساب احتمالات الأحداث، حيث كان يعتقد أن هذا كان مجرد حل تخميني. أعطى بليز باسكال التعريف الأول لاحتمال وقوع حدث ما وأظهر أنه رقم محدد يمكن تبريره رياضياً. أصبحت نظرية الاحتمالية أساس الإحصاء وتستخدم على نطاق واسع في العلوم الحديثة.

ما هي العشوائية

إذا أخذنا في الاعتبار اختبارًا يمكن تكراره لعدد لا نهائي من المرات، فيمكننا تحديد حدث عشوائي. وهذه إحدى النتائج المحتملة للتجربة.

الخبرة هي تنفيذ إجراءات محددة في ظل ظروف ثابتة.

لكي تتمكن من التعامل مع نتائج التجربة، عادة ما يتم تحديد الأحداث بالحروف A، B، C، D، E...

احتمال وقوع حدث عشوائي

من أجل البدء بالجزء الرياضي من الاحتمال، من الضروري تحديد جميع مكوناته.

احتمال وقوع حدث ما هو مقياس عددي لاحتمال وقوع حدث ما (أ أو ب) نتيجة للتجربة. يُشار إلى الاحتمال بالرمز P(A) أو P(B).

في نظرية الاحتمالات يميزون:

• موثوقالحدث مضمون الحدوث نتيجة للتجربة P(Ω) = 1؛
• مستحيللا يمكن أن يحدث هذا الحدث أبدًا P(Ø) = 0;
• عشوائييقع الحدث بين الموثوق به والمستحيل، أي أن احتمال حدوثه ممكن، لكنه غير مضمون (احتمال وقوع حدث عشوائي يكون دائمًا ضمن النطاق 0≥Р(А)≥ 1).

العلاقات بين الأحداث

يتم أخذ كل من الحدث واحد ومجموع الأحداث A+B في الاعتبار، عندما يتم حساب الحدث عند تحقيق واحد على الأقل من المكونات، A أو B، أو كليهما، A وB.

بالنسبة لبعضها البعض، يمكن أن تكون الأحداث:

• ممكن بنفس القدر.
• متناسق.
• غير متوافق.
• مقابل (متنافي).
• متكل.

إذا كان من الممكن حدوث حدثين باحتمال متساوي، فإنهما ممكن على قدم المساواة.

إذا كان وقوع الحدث (أ) لا يقلل من احتمال وقوع الحدث (ب) إلى الصفر، فإنهم متناسق.

إذا لم يحدث الحدثان A وB في نفس الوقت في نفس التجربة، فسيتم استدعاؤهما غير متوافق. ورمي العملة المعدنية مثال جيد: ظهور الرؤوس هو تلقائيًا عدم ظهور الرؤوس.

يتكون احتمال مجموع هذه الأحداث غير المتوافقة من مجموع احتمالات كل حدث من الأحداث:

ف(أ+ب)=ف(أ)+ف(ب)

وإذا كان وقوع حدث يجعل وقوع حدث آخر مستحيلا، فإنهما يطلق عليهما اسم مضاد. ثم يتم تعيين أحدهما على أنه A، والآخر - Ā (اقرأ كـ "ليس A"). وقوع الحدث A يعني أن Ā لم يحدث. يشكل هذان الحدثان مجموعة كاملة مجموع احتمالاتها يساوي 1.

الأحداث التابعة لها تأثير متبادل، مما يقلل أو يزيد من احتمال حدوث بعضها البعض.

العلاقات بين الأحداث. أمثلة

باستخدام الأمثلة، يكون من الأسهل بكثير فهم مبادئ نظرية الاحتمالات ومجموعات الأحداث.

التجربة التي سيتم تنفيذها هي إخراج الكرات من الصندوق، ونتيجة كل تجربة هي نتيجة أولية.

الحدث هو إحدى النتائج المحتملة للتجربة - كرة حمراء، وكرة زرقاء، وكرة ذات رقم ستة، وما إلى ذلك.

الاختبار رقم 1. هناك 6 كرات، ثلاث منها زرقاء وعليها أرقام فردية، والثلاث الأخرى حمراء وعليها أرقام زوجية.

الاختبار رقم 2. هناك 6 كرات زرقاء بأرقام من واحد إلى ستة.

بناءً على هذا المثال، يمكننا تسمية المجموعات:

• حدث موثوق.بالإسبانية رقم 2، حدث "الحصول على الكرة الزرقاء" موثوق به، حيث أن احتمال حدوثه يساوي 1، نظرًا لأن جميع الكرات زرقاء ولا يمكن أن يكون هناك خطأ. في حين أن حدث "احصل على الكرة ذات الرقم 1" هو حدث عشوائي.
• حدث مستحيل.بالإسبانية رقم 1 مع الكرات الزرقاء والحمراء، فإن حدث "الحصول على الكرة الأرجوانية" مستحيل، لأن احتمال حدوثه هو 0.
• الأحداث الممكنة على قدم المساواة.بالإسبانية رقم 1، حدثا "الحصول على الكرة ذات الرقم 2" و"الحصول على الكرة ذات الرقم 3" ممكنان بالتساوي، وحدثا "الحصول على الكرة ذات الرقم الزوجي" و"الحصول على الكرة ذات الرقم 2" "لديها احتمالات مختلفة.
• الأحداث المتوافقة.يعد الحصول على ستة مرتين متتاليتين أثناء رمي حجر النرد حدثًا متوافقًا.
• أحداث غير متوافقةبنفس اللغة الإسبانية رقم 1، لا يمكن الجمع بين حدثي "الحصول على كرة حمراء" و"الحصول على كرة ذات رقم فردي" في نفس التجربة.
• الأحداث المعاكسة.وأبرز مثال على ذلك هو رمي العملة، حيث إن رسم الوجه يعادل عدم رسم الكتابة، ويكون مجموع احتمالاتها دائمًا 1 (المجموعة الكاملة).
• الأحداث التابعة. لذلك، باللغة الاسبانية رقم 1، يمكنك تحديد هدف سحب الكرة الحمراء مرتين على التوالي. يؤثر استردادها في المرة الأولى أم لا على احتمالية استرجاعها في المرة الثانية.

ويمكن ملاحظة أن الحدث الأول يؤثر بشكل كبير على احتمالية الحدث الثاني (40% و60%).

صيغة احتمال الحدث

يحدث الانتقال من الكهانة إلى البيانات الدقيقة من خلال ترجمة الموضوع إلى مستوى رياضي. أي أن الأحكام المتعلقة بحدث عشوائي مثل "الاحتمال الكبير" أو "الاحتمال الأدنى" يمكن ترجمتها إلى بيانات عددية محددة. يجوز بالفعل تقييم هذه المواد ومقارنتها وإدخالها في حسابات أكثر تعقيدًا.

من وجهة نظر حسابية، تحديد احتمالية حدث ما هو نسبة عدد النتائج الإيجابية الأولية إلى عدد جميع النتائج المحتملة للتجربة فيما يتعلق بحدث معين. يُشار إلى الاحتمالية بالرمز P(A)، حيث تشير P إلى كلمة "probabilite"، والتي تُترجم من الفرنسية إلى "probability".

لذا فإن صيغة احتمال وقوع حدث ما هي:

حيث m هو عدد النتائج الإيجابية للحدث A، وn هو مجموع كل النتائج الممكنة لهذه التجربة. في هذه الحالة، يكون احتمال وقوع الحدث دائمًا بين 0 و1:

0 ≥ ف (أ) ≥ 1.

حساب احتمال وقوع حدث. مثال

لنأخذ الإسبانية. رقم 1 بالكرات والذي تم وصفه سابقاً: 3 كرات زرقاء بالأرقام 1/3/5 و 3 كرات حمراء بالأرقام 2/4/6.

بناءً على هذا الاختبار، يمكن النظر في عدة مشكلات مختلفة:

• أ- سقوط الكرة الحمراء. هناك 3 كرات حمراء، وهناك 6 خيارات في المجمل. هذا هو أبسط مثال يكون فيه احتمال وقوع حدث P(A)=3/6=0.5.
• ب- رمي عدد زوجي. هناك 3 أرقام زوجية (2،4،6)، والعدد الإجمالي للخيارات الرقمية الممكنة هو 6. احتمال هذا الحدث هو P(B)=3/6=0.5.
• C - حدوث رقم أكبر من 2. هناك 4 خيارات من هذا القبيل (3،4،5،6) من إجمالي عدد النتائج المحتملة لـ 6. احتمال الحدث C يساوي P(C)=4 /6=0.67.

كما يتبين من الحسابات، فإن الحدث C لديه احتمالية أعلى، لأن عدد النتائج الإيجابية المحتملة أعلى مما هو عليه في A وB.

أحداث غير متوافقة

ولا يمكن أن تظهر مثل هذه الأحداث في نفس الوقت في نفس التجربة. كما هو الحال في الإسبانية رقم 1: من المستحيل الحصول على كرة زرقاء وكرة حمراء في نفس الوقت. أي أنه يمكنك الحصول على كرة زرقاء أو حمراء. وبنفس الطريقة، لا يمكن أن يظهر رقم زوجي ورقم فردي في حجر النرد في نفس الوقت.

يعتبر احتمال وقوع حدثين بمثابة احتمال مجموعهما أو منتجهما. مجموع هذه الأحداث A+B يعتبر حدثًا يتكون من وقوع الحدث A أو B، وحاصل ضربهما AB هو حدوث كليهما. على سبيل المثال، ظهور ستين مرة واحدة على وجوه حجري النرد في رمية واحدة.

مجموع عدة أحداث هو حدث يفترض حدوث واحد منهم على الأقل. إن إنتاج العديد من الأحداث هو حدوثها جميعًا بشكل مشترك.

في نظرية الاحتمالات، كقاعدة عامة، يشير استخدام الاقتران "و" إلى المبلغ، والاقتران "أو" - الضرب. ستساعدك الصيغ مع الأمثلة على فهم منطق الجمع والضرب في نظرية الاحتمالات.

احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة

إذا أخذ في الاعتبار احتمال الأحداث غير المتوافقة، فإن احتمال مجموع الأحداث يساوي جمع احتمالاتها:

ف(أ+ب)=ف(أ)+ف(ب)

على سبيل المثال: دعونا نحسب الاحتمالية باللغة الإسبانية. رقم 1 بالكرات الزرقاء والحمراء، سيظهر رقم بين 1 و4، ولن نقوم بالحساب في إجراء واحد، ولكن من خلال مجموع احتمالات المكونات الأولية. لذا، في مثل هذه التجربة لا يوجد سوى 6 كرات أو 6 من جميع النتائج المحتملة. الأرقام التي تحقق الشرط هي 2 و 3. احتمال الحصول على 2 هو 1/6، واحتمال الحصول على 3 هو أيضًا 1/6. احتمال الحصول على رقم بين 1 و 4 هو:

احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة للمجموعة الكاملة هو 1.

لذا، إذا قمنا في تجربة على المكعب بجمع احتمالات ظهور جميع الأرقام، فستكون النتيجة واحدة.

وهذا ينطبق أيضًا على الأحداث المعاكسة، على سبيل المثال في تجربة العملة المعدنية، حيث يكون أحد وجهيها هو الحدث A، والآخر هو الحدث المعاكس Ā، كما هو معروف،

ف(أ) + ف(Ā) = 1

احتمال وقوع أحداث غير متوافقة

يتم استخدام ضرب الاحتمال عند النظر في وقوع حدثين أو أكثر غير متوافقين في ملاحظة واحدة. احتمال ظهور الحدثين A وB في وقت واحد يساوي حاصل ضرب احتمالاتهما، أو:

ف(أ*ب)=ف(أ)*ف(ب)

على سبيل المثال، احتمال أن باللغة الإسبانية رقم 1 نتيجة محاولتين ستظهر كرة زرقاء مرتين تساوي

وهذا يعني أن احتمال وقوع حدث عندما يتم استخراج الكرات الزرقاء فقط، نتيجة لمحاولتين لاستخراج الكرات، هو 25%. من السهل جدًا إجراء تجارب عملية على هذه المشكلة ومعرفة ما إذا كان هذا هو الحال بالفعل.

الأحداث المشتركة

تعتبر الأحداث مشتركة عندما يتزامن وقوع إحداها مع وقوع أخرى. وعلى الرغم من كونها مشتركة، إلا أنه يتم أخذ احتمالية الأحداث المستقلة بعين الاعتبار. على سبيل المثال، يمكن أن يعطي رمي نردتين نتيجة عندما يظهر الرقم 6 على كليهما، على الرغم من أن الأحداث تزامنت وظهرت في نفس الوقت، إلا أنها مستقلة عن بعضها البعض - يمكن أن يسقط واحد فقط ستة، أما النرد الثاني فلا يوجد به. التأثير عليه.

يعتبر احتمال الأحداث المشتركة بمثابة احتمال مجموعها.

احتمال مجموع الأحداث المشتركة. مثال

احتمال مجموع الأحداث A و B، المشتركة فيما يتعلق ببعضها البعض، يساوي مجموع احتمالات الحدث مطروحًا منه احتمال حدوثها (أي حدوثها المشترك):

R مشترك (أ+ب)=ف(أ)+ف(ب)- ف(AB)

لنفترض أن احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.4. ثم الحدث أ يصيب الهدف في المحاولة الأولى، والحدث ب - في الثانية. هذه الأحداث مشتركة، لأنه من الممكن أن تتمكن من إصابة الهدف بالطلقتين الأولى والثانية. لكن الأحداث لا تعتمد. ما هو احتمال وقوع حدث إصابة الهدف بطلقتين (واحدة على الأقل)؟ وفقا للصيغة:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

الجواب على السؤال هو: "احتمال إصابة الهدف برصاصتين هو 64%".

يمكن أيضًا تطبيق هذه الصيغة الخاصة باحتمال وقوع حدث ما على الأحداث غير المتوافقة، حيث احتمال الحدوث المشترك لحدث ما P(AB) = 0. وهذا يعني أن احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة يمكن اعتباره حالة خاصة من الصيغة المقترحة.

هندسة الاحتمالية للوضوح

ومن المثير للاهتمام أنه يمكن تمثيل احتمال مجموع الأحداث المشتركة كمنطقتين A وB، تتقاطعان مع بعضهما البعض. وكما يتبين من الصورة فإن مساحة اتحادهما تساوي المساحة الكلية ناقص مساحة تقاطعهما. هذا التفسير الهندسي يجعل الصيغة التي تبدو غير منطقية أكثر قابلية للفهم. لاحظ أن الحلول الهندسية ليست غير شائعة في نظرية الاحتمالات.

إن تحديد احتمالية مجموع العديد من الأحداث المشتركة (أكثر من حدثين) أمر مرهق للغاية. لحساب ذلك، تحتاج إلى استخدام الصيغ المتوفرة لهذه الحالات.

الأحداث التابعة

تسمى الأحداث تابعة إذا كان وقوع أحدها (أ) يؤثر على احتمال وقوع حدث آخر (ب). علاوة على ذلك، يؤخذ في الاعتبار تأثير كل من وقوع الحدث أ وعدم وقوعه. على الرغم من أن الأحداث تسمى تابعة حسب التعريف، إلا أن واحدًا منها فقط هو تابع (B). تمت الإشارة إلى الاحتمال العادي على أنه P (B) أو احتمال الأحداث المستقلة. في حالة الأحداث التابعة، يتم تقديم مفهوم جديد - الاحتمال الشرطي P A (B)، وهو احتمال وقوع حدث تابع B يخضع لحدوث الحدث A (الفرضية) الذي يعتمد عليه.

لكن الحدث A عشوائي أيضًا، لذا فهو يحتوي أيضًا على احتمالية يمكن أخذها بعين الاعتبار في الحسابات التي يتم إجراؤها. سيوضح المثال التالي كيفية التعامل مع الأحداث التابعة والفرضية.

مثال لحساب احتمالية الأحداث التابعة

من الأمثلة الجيدة لحساب الأحداث التابعة مجموعة البطاقات القياسية.

باستخدام مجموعة من 36 بطاقة كمثال، دعونا نلقي نظرة على الأحداث التابعة. نحتاج إلى تحديد احتمال أن تكون البطاقة الثانية المسحوبة من المجموعة من الماس إذا كانت البطاقة الأولى المسحوبة هي:

1. بوبنوفايا.
2. لون مختلف.

من الواضح أن احتمال الحدث الثاني B يعتمد على الأول A. لذلك، إذا كان الخيار الأول صحيحًا، حيث يوجد بطاقة واحدة (35) وماسة واحدة (8) أقل في المجموعة، فإن احتمال الحدث B:

ر أ (ب) = 8/35=0.23

إذا كان الخيار الثاني صحيحًا، فإن المجموعة تحتوي على 35 بطاقة، ولا يزال العدد الكامل للماسات (9) محتفظًا به، عندها يكون احتمال الحدث التالي B:

ر أ (ب) = 9/35 = 0.26.

يمكن ملاحظة أنه إذا كان الحدث A مشروطًا بحقيقة أن البطاقة الأولى عبارة عن ألماسة، فإن احتمالية الحدث B تقل، والعكس صحيح.

ضرب الأحداث التابعة

مسترشدين بالفصل السابق، فإننا نقبل الحدث الأول (أ) كحقيقة، لكنه في جوهره ذو طبيعة عشوائية. احتمال هذا الحدث، وهو سحب الماسة من مجموعة أوراق اللعب، يساوي:

ف(أ) = 9/36=1/4

وبما أن النظرية لا توجد من تلقاء نفسها، ولكن المقصود منها أن تخدم أغراض عملية، فمن العدل أن نلاحظ أن ما نحتاجه في أغلب الأحيان هو احتمال إنتاج أحداث تابعة.

وفقًا لنظرية حاصل ضرب احتمالات الأحداث التابعة، فإن احتمال وقوع الأحداث المعتمدة بشكل مشترك A و B يساوي احتمال وقوع حدث واحد A، مضروبًا في الاحتمال الشرطي للحدث B (يعتمد على A):

ف(AB) = ف(أ) *ف أ(ب)

بعد ذلك، في مثال المجموعة، احتمال سحب ورقتين ببدلة الماس هو:

9/36*8/35=0.0571 أو 5.7%

واحتمال استخراج ليس الماس أولاً ثم الماس يساوي:

27/36*9/35=0.19 أو 19%

يمكن ملاحظة أن احتمال وقوع الحدث B يكون أكبر بشرط أن تكون البطاقة الأولى المسحوبة من نوع آخر غير الماس. هذه النتيجة منطقية ومفهومة تماما.

الاحتمال الإجمالي لحدث ما

عندما تصبح مشكلة الاحتمالات الشرطية متعددة الأوجه، لا يمكن حسابها باستخدام الطرق التقليدية. عندما يكون هناك أكثر من فرضيتين وهما A1,A2,…,An, ..تشكل مجموعة كاملة من الأحداث المقدمة:

• ف(أ ط)>0، ط=1،2،…
• أ أنا ∩ أ ي = Ø,i≠j.
• Σ ك ك =Ω.

لذا، فإن صيغة الاحتمال الإجمالي للحدث B مع مجموعة كاملة من الأحداث العشوائية A1، A2،...، A n تساوي:

نظرة إلى المستقبل

يعد احتمال وقوع حدث عشوائي ضروريًا للغاية في العديد من مجالات العلوم: الاقتصاد القياسي، والإحصاء، والفيزياء، وما إلى ذلك. نظرًا لأنه لا يمكن وصف بعض العمليات بشكل حتمي، نظرًا لأنها هي نفسها احتمالية بطبيعتها، فإن هناك حاجة إلى أساليب عمل خاصة. يمكن استخدام نظرية احتمالية حدث ما في أي مجال تكنولوجي كوسيلة لتحديد احتمال حدوث خطأ أو خلل.

يمكننا القول أنه من خلال التعرف على الاحتمالية، فإننا بطريقة ما نتخذ خطوة نظرية نحو المستقبل، وننظر إليه من خلال منظور الصيغ.