مخطط برنولي. أمثلة على حل المشكلات

في التطبيق العملي لنظرية الاحتمالات، غالبًا ما يواجه المرء مشكلات يتم فيها تكرار نفس التجربة أو تجارب مماثلة بشكل متكرر. ونتيجة لكل تجربة، قد يظهر أو لا يظهر حدث ما أ، ونحن لسنا مهتمين بنتيجة كل تجربة على حدة، ولكن إجمالي عدد المظاهرالأحداث أنتيجة لسلسلة من التجارب. على سبيل المثال، إذا تم إطلاق مجموعة من الطلقات على نفس الهدف، فلا يهمنا نتيجة كل طلقة، بل يهمنا إجمالي عدد الضربات. يمكن حل مثل هذه المشكلات بكل بساطة إذا تم إجراء التجارب مستقل.

تعريف. المحاكمات المستقلة عن الحدث A هي تلك التي لا يعتمد فيها احتمال الحدث A في كل تجربة على نتائج التجارب الأخرى.

مثال.تشكل عمليات الإزالة المتتالية للبطاقة من المجموعة تجارب مستقلة، بشرط إعادة البطاقة المحذوفة إلى المجموعة في كل مرة ويتم خلط البطاقات؛ وبخلاف ذلك، فهذه تجارب تابعة.

مثال. تشكل عدة طلقات تجارب مستقلة فقط إذا تم التصويب من جديد قبل كل طلقة؛ في حالة تنفيذ التصويب مرة واحدة قبل إطلاق النار بأكمله أو تنفيذه بشكل مستمر أثناء عملية إطلاق النار (إطلاق النار في سلسلة، القصف المتسلسل)، فإن الطلقات تمثل تجارب تابعة.

يمكن إجراء الاختبارات المستقلة في ظل نفس الظروف أو ظروف مختلفة. في الحالة الأولى، احتمال وقوع حدث أفي جميع التجارب هو نفسه، وفي الحالة الثانية احتمال وقوع الحدث أالتغييرات من تجربة إلى أخرى. ترتبط الحالة الأولى بالعديد من المشكلات في نظرية الموثوقية ونظرية التصوير وتؤدي إلى ما يسمى ب مخطط برنولي، وهي كالتالي:

1) يتم تنفيذ التسلسل نمحاكمات مستقلة، في كل منها الحدث أقد تظهر أو لا تظهر؛

2) احتمال وقوع حدث أفي كل تجربة ثابت ومتساوي، وكذلك احتمال عدم حدوثه .

صيغة برنولي، والتي تستخدم لإيجاد احتمال وقوع حدث ما كمرة كل نمحاكمات مستقلة، في كل منها الحدث أيظهر مع الاحتمال ص:

. (1)

ملاحظة 1. مع زيادة نو كيرتبط تطبيق صيغة برنولي بصعوبات حسابية، لذلك يتم تطبيق الصيغة (1) بشكل أساسي إذا كلا يتجاوز 5 و نليس عظيما.

ملاحظة 2.نظرًا لأن الاحتمالات في الصورة تمثل حدود التوسع ذي الحدين، فإن التوزيع الاحتمالي بالشكل (1) يسمى ذات الحدينتوزيع.

مثال. احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.8. أوجد احتمال خمس ضربات بستة طلقات.

حل.منذ ذلك الحين علاوة على ذلك و . وباستخدام صيغة برنولي نحصل على:

مثال. تم إطلاق أربع طلقات مستقلة على نفس الهدف من مسافات مختلفة. احتمالات الإصابة لهذه اللقطات متساوية على التوالي:

أوجد احتمالات لا، واحدة، اثنتان، ثلاث، وأربع ضربات:

حل.نحن نؤلف وظيفة التوليد:

مثال. يتم إطلاق خمس طلقات مستقلة على هدف، واحتمال الإصابة هو 0.2. ثلاث ضربات كافية لتدمير الهدف. أوجد احتمالية تدمير الهدف.

حل.يتم حساب احتمالية تدمير الهدف باستخدام الصيغة:

مثال. يتم إطلاق عشر طلقات مستقلة على هدف، واحتمال ضربها برصاصة واحدة هو 0.1. ضربة واحدة تكفي لإصابة الهدف. أوجد احتمال إصابة الهدف.

حل.يتم حساب احتمالية حدوث إصابة واحدة على الأقل باستخدام الصيغة:

3. نظرية موافر لابلاس المحلية

في التطبيقات، غالبًا ما يكون من الضروري حساب احتمالات الأحداث المختلفة المتعلقة بعدد تكرارات الحدث في ناختبارات دائرة برنولي عند القيم الكبيرة ن. في هذه الحالة، تصبح الحسابات باستخدام الصيغة (1) صعبة. وتزداد الصعوبات عندما يتعين علينا جمع هذه الاحتمالات. تنشأ أيضًا صعوبات في الحسابات عند القيم الصغيرة صأو س.

حصل لابلاس على صيغة تقريبية مهمة لاحتمال وقوع حدث ما أبالضبط ممرات، إذا كان عدد كبير بما فيه الكفاية، أي في .

نظرية موافر-لابلاس المحلية. إذا كان الاحتمال p لحدوث الحدث A في كل تجربة ثابتًا ويختلف عن صفر وواحد، ، القيمة محدودة بشكل موحد في m و n، فإن احتمال وقوع الحدث A بالضبط m مرات في n تجارب مستقلة يساوي تقريبًا

عند حل المشكلات الاحتمالية، غالبًا ما يواجه المرء مواقف يتم فيها تكرار نفس الاختبار عدة مرات وتكون نتيجة كل اختبار مستقلة عن نتائج الاختبارات الأخرى. وتسمى هذه التجربة أيضًا مخطط الاختبار المستقل المتكررأو مخطط برنولي.

أمثلة على الاختبارات المتكررة:

1) تكرار إخراج كرة واحدة من الجرة، على أن يتم إعادة الكرة المستخرجة إلى الجرة بعد تسجيل لونها؛

2) تكرار إطلاق النار من قبل مطلق النار على نفس الهدف، بشرط أن يكون احتمال الإصابة الناجحة بكل طلقة هو نفسه (لا يؤخذ دور التصفير في الاعتبار).

لذا، فلتكن الاختبارات ممكنة نتيجة لذلك نتيجتين: إما أن يظهر حدث أأو الحدث المعاكس. دعونا نجري اختبارات برنولي. وهذا يعني أن جميع التجارب n مستقلة؛ يكون احتمال حدوث الحدث $A$ في كل تجربة فردية أو فردية ثابتًا ولا يتغير من تجربة إلى أخرى (أي يتم إجراء التجارب تحت نفس الظروف). دعونا نشير إلى احتمال وقوع الحدث $A$ في تجربة واحدة بالحرف $p$، أي. $p=P(A)$، واحتمال الحدث المعاكس (الحدث $A$ لم يحدث) - بالحرف $q=P(\overline(A))=1-p$.

ثم احتمال وقوع الحدث أسوف تظهر في هذه نالاختبارات بالضبط كمرات، أعرب صيغة برنولي

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$

يسمى توزيع عدد النجاحات (تكرار الحدث). توزيع ثنائي.

الآلات الحاسبة على الإنترنت لصيغة برنولي

تمت مناقشة بعض أنواع المسائل الأكثر شيوعًا التي تستخدم صيغة برنولي في المقالات ومجهزة بآلة حاسبة على الإنترنت، ويمكنك اتباع الروابط:

أمثلة على حلول المشاكل باستخدام صيغة برنولي

مثال.هناك 20 كرة بيضاء و10 كرات سوداء في الجرة. يتم إخراج 4 كرات، ويتم إرجاع كل كرة تمت إزالتها إلى الجرة قبل إخراج الكرة التالية ويتم خلط الكرات الموجودة في الجرة. أوجد احتمال أن تكون هناك كرتان أبيضتان من أصل أربع كرات مسحوبة.

حل.حدث أ- أخرج كرة بيضاء. ثم الاحتمالات
, .
وفقا لصيغة برنولي، فإن الاحتمال المطلوب يساوي
.

مثال.أوجد احتمال ألا يكون لدى الأسرة التي لديها خمسة أطفال أكثر من ثلاث فتيات. من المفترض أن تكون احتمالات إنجاب ولد وفتاة هي نفسها.

حل.احتمالية إنجاب فتاة
، ثم .

دعونا نجد احتمالات عدم وجود فتيات في الأسرة، وُلدت فتاة واحدة أو فتاتان أو ثلاث:

, ,

, .

وبالتالي الاحتمال المطلوب

.

مثال.من بين الأجزاء التي يعالجها العامل، في المتوسط ​​4% هي أجزاء غير قياسية. أوجد احتمال أنه من بين 30 جزءًا تم أخذها للاختبار، سيكون اثنان غير قياسيين.

حل.تتكون التجربة هنا من فحص جودة كل جزء من الأجزاء الثلاثين. الحدث أ هو "ظهور جزء غير قياسي"، واحتماله إذن هو . ومن هنا، باستخدام صيغة برنولي، نجد
.

مثال.ومع كل طلقة من مسدس، فإن احتمال إصابة الهدف هو 0.9. أوجد احتمال أن يكون عدد الرميات الناجحة من بين 20 رمية 16 على الأقل وليس أكثر من 19.

حل.نحسب باستخدام صيغة برنولي:

مثال.يستمر الاختبار المستقل حتى الحدث ألن يحدث كمرة واحدة. أوجد احتمالية أن تكون مطلوبة ناختبارات ( ن ³ ك ) إذا كان في كل منها .

حل.حدث في- بالضبط نالاختبارات من قبل ك- وقوع حدث ما أ– هو ناتج الحدثين التاليين :

د – في ن-الاختبار أحدث؛

ج – أولا (ن-1)-الاختبارات أظهر (ك-1)مرة واحدة.

قبل عرض السؤال الثالث من المحاضرة يحدد المعلم مشكلة تتطلب النظر في نظرية تكرار التجارب، مع الإشارة إلى أنه في مقرر نظرية الاحتمالات محل الدراسة فقط نظرية معينة تتعلق بتكرار التجارب المستقلة، في كل حدث يظهر A باحتمال ثابت، سيتم أخذه في الاعتبار.

وبعد ذلك يعرض المعلم برهان هذه النظرية (اشتقاق صيغة برنولي).

لشرح الجوهر المادي للنظرية قيد النظر، يستخدم المعلم جهاز عرض علوي وشرائح معدة.

في نهاية المحاضرة يشرح المعلم لماذا التوزيع الاحتمالي لحدوث الحدث A في سلسلة من الاختبارات n، في الظروف التي تكون فيها غير متناسقة وتشكل مجموعة كاملة من الأحداث، يسمى ذو الحدين ويلفت الانتباه إلى أهمية ومعرفة هذا التوزيع لحل المشكلات التطبيقية.

حتى الآن، نظرنا في مجموعات من عدد صغير نسبيًا من الأحداث، عندما لم يسبب التطبيق المباشر لقواعد الجمع وضرب الاحتمالات صعوبات حسابية كبيرة. ومع ذلك، مع زيادة عدد الأحداث أو عدد التجارب التي قد يظهر فيها الحدث محل الاهتمام، تصبح طريقة الحساب المستفادة مرهقة للغاية.

علاوة على ذلك، لم يتم حل المشكلة بكل بساطة إلا إذا كانت التجارب مستقلة.

يتم استدعاء العديد من التجارب مستقل، إذا كان احتمال نتيجة واحدة أو أخرى لكل تجربة لا يعتمد على النتائج التي حققتها التجارب الأخرى.

من الناحية العملية، هناك حالات يكون فيها احتمال وقوع حدث ما أوفي جميع التجارب المستقلة يمكن أن تكون هي نفسها أو تختلف من تجربة إلى أخرى. على سبيل المثال، إذا قمت بضبط نيرانك بعد كل طلقة، فإن احتمال إصابة الهدف سيتغير مع كل طلقة.

في حالة تغير احتمال وقوع حدث ما في التجارب المستقلة من تجربة إلى أخرى، يتم استخدام النظرية العامة لتكرار التجارب، وعندما لا يتغير احتمال وقوع حدث ما في التجارب المستقلة من التجربة للتجربة، يتم استخدام نظرية معينة حول تكرار التجارب.

في دورة نظرية الاحتمالات التي ندرسها، سننظر فقط في الموضوع المحدد وهو تكرار التجارب عندما يكون من الضروري تحديد احتمالية وقوع حدث ما أفي سلسلة من التجارب المستقلة، في كل منها يظهر الحدث A باحتمال متساو.

على سبيل المثال، من الضروري حساب احتمال أنه مع خمس طلقات من مسدس في إعدادات ثابتة، سيتم الحصول على إصابتين بالضبط على الهدف إذا كانت الطلقات مستقلة ومع كل طلقة يكون احتمال إصابة الهدف معروفًا ولا يُعرف. يتغير.

إذا قمنا بتكوين مجموعات محتملة من حدوث الحدث الذي يهمنا أ 1، نحصل على:

سيكون هناك 10 مجموعات محتملة يقع فيها الحدث A=(احصل على ضربتين بخمس طلقات).

وبتطبيق نظرية مجموع وحاصل الأحداث المستقلة نجد أن:

ستؤدي الزيادة في عدد الأحداث أو الاختبارات التي تهمنا إلى زيادة أكبر في حجم العمليات الحسابية، لذلك تنشأ مهمة إيجاد طرق حسابية أقل كثافة في العمالة.

صياغة المشكلة:

لنفترض، في ظل ظروف متطابقة، إجراء عدد من الاختبارات المستقلة، قد تكون نتيجة كل منها حدوث أي من الحدثين أ، أو عكسه .

دعونا نشير بواسطة أ 1 وقوع حدث ما أفي الاختبار الأول، أ 2 - في الاختبار الثاني أ ن- في الاختبار الأخير.

بسبب ثبات شروط الاختبار:

ف(أ 1 ) = ف(أ 2 ) = … ف(أ ن ) = ص

نحن مهتمون باحتمال وقوع الحدث A بالضبط m مرات في تجارب n، ولن يحدث في تجارب n-m المتبقية (أي أن الحدث المعاكس للحدث A سيحدث - ).

لنفترض أن الحدث الذي يهمنا أيحدث على التوالي م مرات، بدءا من الأول، أي. حدث يحدث - ه.

ه= أ 1 أ 2 … أ م -1 أ م 
(1)

م ن- م

ووفقاً لشرط تكرار الاختبارات، فإن الأحداث المتضمنة في هذه المجموعة مستقلة، أما احتمالات وقوع الأحداث أ1، أ 2 ،… أ م -1 ، أ منفس ومتساوية ص: ف(أ 1 ) = ف(أ 2 ) =…= ف(أ م ) = ص،واحتمالات عدم وقوع الأحداث
نفس ومتساوية س=1-ص:.

وبتطبيق قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة على التعبير 1، نحصل على:

ف(ه) = ف(أ 1 ) ف(أ 2 ) … ف(أ م -1 ) ف(أ م ) ص(
= ص م (1-ص) ن  - م = ص م س ن - م

نظرًا لثبات ظروف الاختبار، افترضنا أن الحدث يهمنا أيحدث في صف م مرات، بدءا من الأول. لكن الحدث أالخامس نقد تأتي المحاكمات بالضبط ممرات في تسلسلات أو مجموعات مختلفة. في هذه الحالة، لا نبالي بالتسلسل الدقيق الذي يظهر فيه الحدث A تمامًا ممرة واحدة.

عدد هذه المجموعات يساوي عدد المجموعات من العناصر n بواسطة م.

نظرًا لأن مجموعات الأحداث هذه (المشابهة للمجموعة E) غير متوافقة ولسنا مهتمين بتسلسل حدوث الحدث أفي الاختبار بالضبط ممرات، ثم يدل على الاحتمال الذي يهمنا من خلال ر م، نحن نحصل:

ر م =
ر م (1-ص) ن - م =
=

أين
- عدد مجموعات نالعناصر بواسطة م.

هذه الصيغة تسمى صيغة برنولي.

تتيح لنا صيغة برنولي الحصول على إجابة للسؤال: ما هو احتمال حدوث حدث ما عند تكرار عدد n من الاختبارات المستقلة؟ أيأتي بالضبط ممرات، إذا كان في كل من هذه التجارب احتمال وقوع الحدث أثابت ومتساوي ف(أ) = ص.

تعتبر صيغة برنولي المذكورة أعلاه مهمة للغاية في نظرية الاحتمالات لأنها مرتبطة بتكرار الاختبارات تحت نفس الظروف، أي. مع مثل هذه الظروف التي تظهر فيها قوانين نظرية الاحتمالات نفسها.

خاتمة المحاضرة:

في المحاضرة، قمنا بدراسة القضايا الأساسية لنظرية الاحتمالات فيما يتعلق بالمتغيرات العشوائية، وقدمنا ​​الجهاز المفاهيمي الأساسي اللازم لمزيد من الدراسة للانضباط: تعريف المتغير العشوائي، وتصنيفه؛ مفاهيم قانون التوزيع وشكله لمختلف أنواع المتغيرات العشوائية.

استعدادًا للمحاضرات والتمارين العملية اللاحقة، يجب عليك استكمال ملاحظات المحاضرة بشكل مستقل أثناء دراسة الأدبيات الموصى بها بعمق وحل المشكلات المقترحة.

بالإضافة إلى ذلك، سندرس في الدروس اللاحقة النظريات والتبعيات التي تسمح لنا بتحديد احتمال ظهور متغير عشوائي بالعدد المطلوب من المرات أو في فترة زمنية معينة، على سبيل المثال، احتمال إصابة هدف ما.

يستكشف:

فنتزل إي إس. نظرية الاحتمالات. كتاب مدرسي.

الطبعة الثامنة، النمطية. – م: الثانوية العامة 2002 – 575 ص. - ص 67-78، 80-84

Ventzel E.S.، Ovcharov L.A.. نظرية الاحتمالية وتطبيقاتها الهندسية. درس تعليمي. الطبعة الثالثة، منقحة وموسعة. – م: “الأكاديمية”، 2003 – 464 ص. – ص 73-93

جمورمان ف. نظرية الاحتمالية والإحصاء الرياضي. درس تعليمي. الطبعة العاشرة، النمطية - م: الثانوية العامة، 2004 - 480 ص. الصفحة 64-73

تعريف الاختبارات المستقلة المتكررة. صيغ برنولي لحساب الاحتمال والعدد الأكثر احتمالا. الصيغ المقاربة لصيغة برنولي (نظريات لابلاس المحلية والتكاملية). باستخدام نظرية التكامل. صيغة بواسون للأحداث العشوائية غير المحتملة.

من الناحية العملية، يتعين علينا التعامل مع المهام التي يمكن تمثيلها في شكل اختبارات متكررة، ونتيجة لكل منها قد يظهر أو لا يظهر الحدث A. في هذه الحالة، ما يهم ليس نتيجة كل تجربة فردية، ولكن العدد الإجمالي لتكرارات الحدث (أ) نتيجة لعدد معين من المحاولات. في مثل هذه المشكلات، يجب أن تكون قادرًا على تحديد احتمالية حدوثه أي عدد m من تكرارات الحدث A نتيجة لعدد n من التجارب. ضع في اعتبارك الحالة التي تكون فيها التجارب مستقلة ويكون احتمال وقوع الحدث A في كل تجربة ثابتًا. المستقلة المتكررة.

أحد الأمثلة على الاختبارات المستقلة هو التحقق من مدى ملاءمة المنتجات المأخوذة من عدد من الدفعات. إذا كانت النسبة المئوية للعيوب في هذه الدفعات هي نفسها، فإن احتمال أن يكون المنتج المحدد معيبًا هو رقم ثابت في كل حالة.

صيغة برنولي

دعونا نستخدم هذا المفهوم حدث معقد، وهو ما يعني مجموعة من الأحداث الأولية التي تتكون من ظهور أو عدم حدوث الحدث A في التجربة الأولى. دعونا نجري تجارب مستقلة، في كل منها يمكن أن يظهر الحدث A مع الاحتمال p أو لا يظهر مع الاحتمال q=1-p. خذ بعين الاعتبار الحدث B_m، وهو أن الحدث A سوف يحدث بالضبط m مرات في هذه التجارب n، وبالتالي، لن يحدث بالضبط (n-m) مرات. دعونا نشير A_i~(i=1,2,\ldots,(n))وقوع الحدث A، \overline(A)_i - عدم وقوع الحدث A في التجربة i. نظرا لثبات شروط الاختبار، لدينا

يمكن أن يظهر الحدث A عدة مرات في تسلسلات أو مجموعات مختلفة، بالتناوب مع الحدث المعاكس \overline(A) . عدد المجموعات الممكنة من هذا النوع يساوي عدد مجموعات العناصر n بواسطة m، أي C_n^m. وبالتالي، يمكن تمثيل الحدث B_m كمجموع أحداث معقدة غير متسقة مع بعضها البعض، وعدد المصطلحات يساوي C_n^m:

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( ن-م)A_(ن-م+1)\cdots(A_n)،

حيث يحتوي كل منتج على الحدث A m مرات، و\overline(A) - (n-m) مرات.

احتمال كل حدث مركب مدرج في الصيغة (3.1) ، وفقًا لنظرية ضرب احتمالات الأحداث المستقلة ، يساوي p^(m)q^(n-m) . نظرًا لأن العدد الإجمالي لهذه الأحداث يساوي C_n^m، فإننا باستخدام نظرية جمع احتمالات الأحداث غير المتوافقة، نحصل على احتمال الحدث B_m (نشير إليه P_(m,n))

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(or)\quad P_(m,n)=\frac(n){m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

تسمى الصيغة (3.2). صيغة برنولي، وتسمى التجارب المتكررة التي تحقق شرط الاستقلال والثبات لاحتمالات وقوع الحدث أ في كل منها اختبارات برنوليأو مخطط برنولي.

مثال 1. احتمال تجاوز منطقة التسامح عند معالجة الأجزاء على المخرطة هو 0.07. حدد احتمال أن يكون من بين الأجزاء الخمسة التي تم اختيارها عشوائيًا أثناء التحول، أبعاد قطر لا تتوافق مع التفاوت المحدد.

حل. حالة المشكلة تفي بمتطلبات مخطط برنولي. لذلك، على افتراض ن=5,\,م=1,\,ع=0,\!07باستخدام الصيغة (3.2) نحصل عليها

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\approx0,\!262.

مثال 2. أثبتت الملاحظات أنه يوجد في منطقة معينة 12 يومًا ممطرًا في شهر سبتمبر. ما هو احتمال أن يكون هناك 3 أيام ممطرة من بين 8 أيام تم اختيارها عشوائيًا هذا الشهر؟

حل.

P_(3;8)=C_8^3(\left(\frac(12)(30)\right)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

العدد الأكثر احتمالا لتكرار الحدث

تاريخ حدوثه على الأرجحيُطلق على الحدث A في n من التجارب المستقلة هذا الرقم m_0 الذي يتجاوز فيه الاحتمال المقابل لهذا الرقم، أو على الأقل، لا يقل عن احتمال كل من الأعداد المحتملة الأخرى لحدوث الحدث A. لتحديد العدد الأكثر احتمالا، ليس من الضروري حساب احتمالات العدد المحتمل لحدث ما؛ يكفي معرفة عدد المحاولات n واحتمال وقوع الحدث A في تجربة منفصلة. دعونا نشير إلى P_(m_0,n) الاحتمال المقابل للرقم الأكثر احتمالا m_0. باستخدام الصيغة (3.2)، نكتب

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n){m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

وفقًا لتعريف الرقم الأكثر احتمالًا، فإن احتمالات وقوع الحدث A، على التوالي m_0+1 وm_0-1 مرات، يجب ألا تتجاوز على الأقل الاحتمال P_(m_0,n)، أي.

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

باستبدال القيمة P_(m_0,n) والتعبيرات الاحتمالية P_(m_0+1,n) وP_(m_0-1,n) في المتباينات، نحصل على

بحل هذه المتباينات لـ m_0، نحصل على

M_0\geqslant(np-q)،\quad m_0\leqslant(np+p)

بجمع المتباينات الأخيرة، نحصل على متباينة مزدوجة، تُستخدم لتحديد العدد الأكثر احتمالاً:

نب-ف\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

وبما أن طول الفترة المحددة بالمتباينة (3.4) يساوي واحدًا، أي.

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

ويمكن أن يحدث الحدث في عدد n من المحاولات فقط لعدد صحيح من المرات، فيجب أن يؤخذ في الاعتبار ما يلي:

1) إذا كان np-q عددًا صحيحًا، فهناك قيمتان للرقم الأكثر احتمالاً، وهما: m_0=np-q و m"_0=np-q+1=np+p ؛

2) إذا كان np-q رقمًا كسريًا، فهناك رقم واحد أكثر احتمالًا، وهو: العدد الصحيح الوحيد الموجود بين الأعداد الكسرية التي تم الحصول عليها من عدم المساواة (3.4)؛

3) إذا كان np عددًا صحيحًا، فهناك رقم واحد أكثر احتمالًا، وهو: m_0=np.

بالنسبة للقيم الكبيرة لـ n، فمن غير المناسب استخدام الصيغة (3.3) لحساب الاحتمال المقابل للرقم الأكثر احتمالا. إذا استبدلنا صيغة ستيرلينغ بالمساواة (3.3)

N!\approx(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n)))،

صالحة لـ n كبير بما فيه الكفاية، ونأخذ الرقم الأكثر احتمالاً m_0=np، ثم نحصل على صيغة لحساب تقريبي للاحتمال المقابل للرقم الأكثر احتمالاً:

P_(m_0,n)\approx\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

مثال 2. من المعروف أن \frac(1)(15) جزء من المنتجات التي يوردها المصنع إلى القاعدة التجارية لا يفي بجميع متطلبات المعيار. تم تسليم دفعة مكونة من 250 قطعة إلى القاعدة. ابحث عن العدد الأكثر احتمالاً من المنتجات التي تفي بمتطلبات المعيار واحسب احتمال أن تحتوي هذه الدفعة على العدد الأكثر احتمالاً من المنتجات.

حل. بالشرط n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). وفقا لعدم المساواة (3.4) لدينا

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

أين 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. وبالتالي، فإن العدد الأكثر احتمالا من المنتجات التي تلبي متطلبات المعيار هو في دفعة من 250 جهاز كمبيوتر شخصى. يساوي 234. باستبدال البيانات في الصيغة (3.5)، نحسب احتمال وجود العدد الأكثر احتمالاً من المنتجات في الدفعة:

P_(234,250)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\approx0,\!101

نظرية لابلاس المحلية

من الصعب جدًا استخدام صيغة برنولي للقيم الكبيرة لـ n. على سبيل المثال، إذا ن=50,\,م=30,\,ع=0,\!1، ثم للعثور على الاحتمال P_(30.50) من الضروري حساب قيمة التعبير

P_(30.50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

وبطبيعة الحال، يطرح السؤال: هل من الممكن حساب احتمالية الفائدة دون استخدام صيغة برنولي؟ اتضح أن هذا ممكن. تعطي نظرية لابلاس المحلية صيغة مقاربة تسمح لنا بإيجاد احتمال وقوع أحداث بالضبط m مرات في n من المحاولات، إذا كان عدد المحاولات كبيرًا بدرجة كافية.

نظرية 3.1. إذا كان الاحتمال p لحدوث الحدث A في كل تجربة ثابتًا ومختلفًا عن الصفر والواحد، فإن الاحتمال P_(m,n) أن يظهر الحدث A تمامًا m مرات في n من المحاولات يكون متساويًا تقريبًا (كلما كان أكثر دقة، الأكبر n) لقيمة الدالة

Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (نبك))في .

هناك جداول تحتوي على قيم الوظائف \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2))، المقابلة للقيم الإيجابية للوسيطة x. بالنسبة للقيم السالبة للوسيطة، يتم استخدام نفس الجداول، لأن الدالة \varphi(x) زوجية، أي. \varphi(-x)=\varphi(x).

لذا، فإن الاحتمال التقريبي لظهور الحدث A بالضبط m مرات في n من المحاولات هو

P_(m,n)\approx\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x),أين x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).

مثال 3. أوجد احتمال وقوع الحدث A 80 مرة بالضبط في 400 تجربة إذا كان احتمال وقوع الحدث A في كل تجربة هو 0.2.

حل. بالشرط ن=400,\,م=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. دعونا نستخدم صيغة لابلاس المقاربة:

P_(80,400)\approx\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (خ).

لنحسب القيمة x التي تحددها بيانات المهمة:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.

وفقا للجدول 1 نجد \varphi(0)=0,\!3989. الاحتمالية المطلوبة

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

تؤدي صيغة برنولي إلى نفس النتيجة تقريبًا (تم حذف الحسابات بسبب صعوبتها):

P_(80,100)=0,\!0498.

نظرية لابلاس التكاملية

لنفترض أنه تم إجراء n تجارب مستقلة، في كل منها يكون احتمال حدوث الحدث A ثابتًا ويساوي p. من الضروري حساب الاحتمال P_((m_1,m_2),n) أن يظهر الحدث A في تجارب n على الأقل m_1 وعلى الأكثر m_2 مرات (للإيجاز سنقول "من m_1 إلى m_2 مرات"). ويمكن القيام بذلك باستخدام نظرية لابلاس المتكاملة.

نظرية 3.2. إذا كان الاحتمال p لحدوث الحدث A في كل تجربة ثابتًا ومختلفًا عن الصفر والواحد، فإن الاحتمال التقريبي P_((m_1,m_2),n) سيظهر هذا الحدث A في التجارب من m_1 إلى m_2 مرات،

P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,دي إكس,أين .

عند حل المسائل التي تتطلب تطبيق نظرية لابلاس التكاملية، يتم استخدام جداول خاصة، حيث أن التكامل غير المحدد \int(e^(-x^2/2)\,dx)لا يتم التعبير عنها من خلال الوظائف الأولية. جدول متكامل \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dzالواردة في الملحق. 2، حيث يتم إعطاء قيم الدالة \Phi(x) للقيم الموجبة لـ x، لـ x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 يمكننا أن نأخذ \Phi(x)=0,\!5 .

لذا، فإن الاحتمال التقريبي لظهور الحدث A في عدد n من التجارب المستقلة من m_1 إلى m_2 مرة هو

P_((m_1,m_2),n)\تقريبا\Phi(x"")-\Phi(x"),أين x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).

مثال 4. احتمال تصنيع جزء ما بطريقة مخالفة للمعايير هو p=0,\!2. أوجد احتمال أنه من بين 400 جزء تم اختياره عشوائيًا، سيكون هناك من 70 إلى 100 جزء غير قياسي.

حل. بالشرط ع=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. دعونا نستخدم نظرية لابلاس التكاملية:

P_((70,100),400)\تقريبًا\Phi(x"")-\Phi(x").

دعونا نحسب حدود التكامل:

أدنى

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

العلوي

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

هكذا

P_((70,100),400)\approx\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

وفقا للجدول adj. 2 نجد

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

الاحتمالية المطلوبة

P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

تطبيق نظرية لابلاس التكاملية

إذا تغير الرقم m (عدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المستقلة) من m_1 إلى m_2، فإن الكسر \frac(m-np)(\sqrt(npq))سوف تختلف من \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x"قبل \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". لذلك، يمكن أيضًا كتابة نظرية لابلاس التكاملية على النحو التالي:

P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

دعونا نحدد مهمة إيجاد احتمال أن لا يتجاوز انحراف التردد النسبي \frac(m)(n) عن الاحتمال الثابت p في القيمة المطلقة رقمًا معينًا \varepsilon>0. بمعنى آخر، نوجد احتمال المتباينة \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilonوهو نفس الشيء -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. وسوف نشير إلى هذا الاحتمال على النحو التالي: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). وبأخذ الصيغة (3.6) لهذا الاحتمال نحصل عليه

P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\يمين).

مثال 5. احتمال أن يكون الجزء غير قياسي هو p=0,\!1. أوجد احتمال أنه من بين 400 جزء تم اختيارها عشوائيًا، فإن التكرار النسبي لحدوث الأجزاء غير القياسية سوف ينحرف عن الاحتمال p=0,\!1 في القيمة المطلقة بما لا يزيد عن 0.03.

حل. بالشرط n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. علينا إيجاد الاحتمال P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). وباستخدام الصيغة (3.7) نحصل على

P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)

وفقا للجدول adj. 2 نجد \Phi(2)=0,\!4772 ، وبالتالي 2\Phi(2)=0,\!9544 . وبالتالي فإن الاحتمال المطلوب هو 0.9544 تقريبًا. معنى النتيجة هو كما يلي: إذا أخذت عددًا كبيرًا بما فيه الكفاية من العينات المكونة من 400 جزء لكل منها، ففي حوالي 95.44% من هذه العينات يكون انحراف التردد النسبي عن الاحتمال الثابت p=0.\!1 بالمطلق لن تتجاوز القيمة 0.03.

صيغة بواسون للأحداث غير المتوقعة

إذا كان الاحتمال p لحدوث حدث ما في تجربة واحدة قريبًا من الصفر، فحتى مع وجود عدد كبير من المحاولات n، ولكن مع قيمة صغيرة للمنتج np، فإن قيم الاحتمال P_(m,n) التي تم الحصول عليها من صيغة لابلاس ليست دقيقة بما فيه الكفاية وتنشأ الحاجة إلى صيغة تقريبية أخرى.

نظرية 3.3. إذا كان الاحتمال p لحدوث الحدث A في كل تجربة ثابتًا ولكنه صغير، وكان عدد التجارب المستقلة n كبيرًا بما فيه الكفاية، ولكن قيمة المنتج np=\lambda تظل صغيرة (لا تزيد عن عشرة)، فإن الاحتمال هذا الحدث A سوف يحدث م مرات في هذه التجارب

P_(m,n)\approx\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}

لتبسيط العمليات الحسابية باستخدام صيغة بواسون، تم تجميع جدول قيم دالة بواسون \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(انظر الملحق 3).

مثال 6. دع احتمال إنتاج جزء غير قياسي هو 0.004. أوجد احتمال وجود 5 أجزاء غير قياسية من بين 1000 جزء.

حل. هنا n=1000,p=0.004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. جميع الأرقام الثلاثة تلبي متطلبات النظرية 3.3، لذلك لإيجاد احتمال الحدث المطلوب P_(5,1000)، نستخدم صيغة بواسون. من جدول قيم دالة بواسون (الملحق 3) مع \lambda=4;m=5 نحصل على P_(5,1000)\approx0,\!1563.

دعونا نوجد احتمال وقوع نفس الحدث باستخدام صيغة لابلاس. للقيام بذلك، نحسب أولاً قيمة x المقابلة لـ m=5:

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\approx\frac(1)(1,\!996)\approx0 ,\!501.

ولذلك، وفقا لصيغة لابلاس، الاحتمال المطلوب

P_(5,1000)\approx\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\approx\frac(0,\!3519)(1,\!996)\approx0,\ 1763

ووفقًا لصيغة برنولي، فإن قيمتها الدقيقة هي

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\approx0,\!1552.

وبالتالي، فإن الخطأ النسبي في حساب الاحتمالات P_(5,1000) باستخدام صيغة لابلاس التقريبية هو

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!196أو 13.\!6\%

ووفقا لصيغة بواسون -

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!007أو 0.\!7\%

وهذا هو، عدة مرات أقل.
انتقل إلى القسم التالي
المتغيرات العشوائية أحادية البعد تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
لإجراء العمليات الحسابية، يجب عليك تمكين عناصر تحكم ActiveX!

صيغة برنولي- صيغة في نظرية الاحتمالات تسمح لك بإيجاد احتمالية وقوع حدث ما أ (\displaystyle A)في الاختبارات المستقلة. تسمح لك صيغة برنولي بالتخلص من عدد كبير من الحسابات - جمع الاحتمالات وضربها - من خلال عدد كبير بما فيه الكفاية من الاختبارات. سميت على اسم عالم الرياضيات السويسري المتميز جاكوب برنولي، الذي اشتق هذه الصيغة.

يوتيوب الموسوعي

1 / 3

✪ نظرية الاحتمالية. 22. صيغة برنولي. حل المشاكل

✪ صيغة برنولي

✪ 20 تكرارًا لاختبارات صيغة برنولي

ترجمات

صياغة

نظرية.إذا كان الاحتمال ص (\displaystyle p)وقوع حدث ما أ (\displaystyle A)ثابت في كل تجربة، ثم الاحتمال ف ك , ن (\displaystyle P_(ك,ن))أن الحدث أ (\displaystyle A)سوف يأتي بالضبط ك (\displaystyle ك)مرة كل ن (\displaystyle n)الاختبارات المستقلة تساوي: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k))، أين ف = 1 − ص (\displaystyle q=1-p).

دليل

دعها تنفذ ن (\displaystyle n)اختبارات مستقلة، ومن المعلوم أن نتيجة كل اختبار يحدث أ (\displaystyle A)يحدث مع الاحتمال P (A) = p (\displaystyle P\left(A\right)=p)وبالتالي لا يحدث مع الاحتمال P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). دعونا، أيضا، خلال اختبارات الاحتمال ص (\displaystyle p)و ف (\displaystyle ف)يبقى على حاله. ما هو احتمال نتيجة لذلك ن (\displaystyle n)اختبارات مستقلة، الحدث أ (\displaystyle A)سوف يأتي بالضبط ك (\displaystyle ك)مرة واحدة؟

اتضح أنه من الممكن حساب عدد المجموعات "الناجحة" لنتائج الاختبار بدقة والتي وقع عليها الحدث أ (\displaystyle A)يأتي ك (\displaystyle ك)مرة كل ن (\displaystyle n)الاختبارات المستقلة - هذا هو بالضبط عدد مجموعات  ن (\displaystyle n)  بواسطة  ك (\displaystyle ك) :

ج ن (ك) = ن ! ك!{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

(ن - ك) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n أ (\displaystyle A)وفي الوقت نفسه، بما أن جميع الاختبارات مستقلة ونتائجها غير متوافقة (event

سواء حدث أو لم يحدث)، فإن احتمال الحصول على تركيبة "ناجحة" يساوي تمامًا: . ن (\displaystyle n)وأخيرا، من أجل العثور على احتمال ذلك أ (\displaystyle A)سوف يأتي بالضبط ك (\displaystyle ك)حدث اختبار مستقل مرة أخرى، تحتاج إلى جمع احتمالات الحصول على جميع المجموعات "الناجحة". احتمالات الحصول على جميع المجموعات "الناجحة" هي نفسها ومتساويةص ل ⋅ ف ن − ك (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k)) ، عدد المجموعات "الناجحة" يساويج ن (ك) (\displaystyle C_(n)(k))

، حتى نحصل أخيرًا على:.

P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( ك)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k))

التعبير الأخير ليس أكثر من صيغة برنولي. ومن المفيد أيضًا ملاحظة أنه نظرًا لاكتمال مجموعة الأحداث، سيكون الأمر صحيحًا:.