أساسيات نظرية الاحتمالات للخبراء الاكتواريين. نظرية الاحتمالات

كفئة وجودية تعكس مدى إمكانية ظهور أي كيان تحت أي ظرف من الظروف. وعلى النقيض من التفسير الرياضي والمنطقي لهذا المفهوم، فإن الرياضيات الوجودية لا تربط نفسها بالتزام التعبير الكمي. يتم الكشف عن معنى V. في سياق فهم الحتمية وطبيعة التطور بشكل عام.

تعريف ممتاز

تعريف غير كامل ↓

احتمالا

مفهوم توصيف الكميات. مقياس احتمال وقوع حدث معين في وقت معين شروط. في العلمية المعرفة هناك ثلاثة تفسيرات لـ V. المفهوم الكلاسيكي لـ V. الذي نشأ من الرياضيات. يعتبر تحليل المقامرة والأكثر تطويرًا بواسطة B. Pascal وJ. Bernoulli وP. Laplace، أن الفوز هو نسبة عدد الحالات المفضلة إلى العدد الإجمالي لجميع الحالات المحتملة على قدم المساواة. على سبيل المثال، عند رمي نرد له 6 جوانب، من المتوقع أن يصل كل منهم إلى قيمة 1/6، حيث لا يتمتع أي جانب بمزايا على الآخر. يؤخذ هذا التناظر في النتائج التجريبية في الاعتبار بشكل خاص عند تنظيم الألعاب، ولكنه نادر نسبيًا في دراسة الأحداث الموضوعية في العلم والممارسة. كلاسيكي لقد أفسح تفسير V. الطريق للإحصاءات. مفاهيم V.، والتي تعتمد على الواقع ملاحظة حدوث حدث معين على مدى فترة طويلة من الزمن. الخبرة في ظل ظروف محددة بدقة. تؤكد الممارسة أنه كلما حدث حدث ما، كلما زادت درجة الاحتمال الموضوعي لحدوثه، أو ب. لذلك، إحصائية. يعتمد تفسير V. على مفهوم الارتباط. التردد، والتي يمكن تحديدها تجريبيا. V. باعتبارها النظرية ومع ذلك، فإن المفهوم لا يتطابق أبدًا مع التكرار المحدد تجريبيًا بصيغة الجمع. في الحالات، يختلف عمليا قليلا عن النسبي. التردد الموجود نتيجة للمدة. الملاحظات. يعتبر العديد من الإحصائيين أن V. تشير إلى "مزدوج". الترددات، ويتم تحديد الحواف إحصائيا. دراسة نتائج المراقبة

أو التجارب. كان تعريف V. أقل واقعية فيما يتعلق بالحد. ترددات الأحداث الجماهيرية، أو المجموعات، التي اقترحها ر. ميزس. كتطوير إضافي لنهج التردد تجاه V.، تم طرح تفسير ترتيبي أو تفضيلي لـ V. (K. Popper، J. Hacking، M. Bunge، T. Settle). وفقا لهذا التفسير، V. يميز خاصية توليد الظروف، على سبيل المثال. تجربة. المنشآت للحصول على سلسلة من الأحداث العشوائية الضخمة. هذا هو الموقف الذي يؤدي إلى المادية التصرفات، أو الاستعدادات، V. والتي يمكن التحقق منها باستخدام الأقارب. تكرار

إحصائية يهيمن تفسير V. على البحث العلمي. الإدراك، لأنه يعكس محددة. طبيعة الأنماط المتأصلة في الظواهر الجماعية ذات الطبيعة العشوائية. في العديد من المادية والبيولوجية والاقتصادية والديموغرافية. والعمليات الاجتماعية الأخرى، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار عمل العديد من العوامل العشوائية التي تتميز بتردد ثابت. تحديد هذه الترددات والكميات المستقرة. تقييمه بمساعدة V. يجعل من الممكن الكشف عن الضرورة التي تشق طريقها من خلال العمل التراكمي للعديد من الحوادث. هذا هو المكان الذي تتجلى فيه جدلية تحويل الصدفة إلى ضرورة (انظر ف. إنجلز، في الكتاب: ك. ماركس وف. إنجلز، المؤلفات، المجلد 20، ص 535-36).

يميز الاستدلال المنطقي أو الاستقرائي العلاقة بين المقدمات واستنتاج الاستدلال غير التوضيحي، وعلى وجه الخصوص، الاستدلال الاستقرائي. على عكس الاستنباط، فإن مقدمات الاستقراء لا تضمن صحة الاستنتاج، ولكنها تجعله أكثر أو أقل معقولية. يمكن في بعض الأحيان تقييم هذه المعقولية، مع المقدمات المصاغة بدقة، باستخدام V. ويتم تحديد قيمة V. في أغلب الأحيان عن طريق المقارنة. المفاهيم (أكثر من أو أقل من أو يساوي)، وأحياناً بطريقة عددية. منطقي غالبًا ما يستخدم التفسير لتحليل الاستدلال الاستقرائي وبناء أنظمة مختلفة من المنطق الاحتمالي (R. Carnap، R. Jeffrey). في الدلالات المفاهيم المنطقية غالبًا ما يتم تعريف V. على أنها الدرجة التي يتم بها تأكيد عبارة واحدة من قبل الآخرين (على سبيل المثال، فرضية من خلال بياناتها التجريبية).

فيما يتعلق بتطوير نظريات صنع القرار والألعاب، ما يسمى التفسير الشخصي لـ V. على الرغم من أن V. يعبر في الوقت نفسه عن درجة إيمان الموضوع وحدوث حدث معين، إلا أنه يجب اختيار V. أنفسهم بطريقة ترضي بديهيات حساب التفاضل والتكامل لـ V.. لذلك، V. مع مثل هذا التفسير لا يعبر عن درجة الإيمان الذاتي بقدر ما يعبر عن الإيمان المعقول. وبالتالي، فإن القرارات المتخذة على أساس هذا V. ستكون عقلانية، لأنها لا تأخذ في الاعتبار العوامل النفسية. خصائص وميول الموضوع.

مع المعرفية t.zr. الفرق بين الإحصائية والمنطقية. والتفسيرات الشخصية لـ V. هي أنه إذا كان الأول يصف الخصائص الموضوعية والعلاقات بين الظواهر الجماعية ذات الطبيعة العشوائية، فإن الأخيرين يحللان السمات الذاتية والمدركة. الأنشطة البشرية في ظل ظروف عدم اليقين.

احتمالا

أحد أهم مفاهيم العلم، حيث يتميز برؤية نظامية خاصة للعالم وبنيته وتطوره ومعرفته. وتتجلى خصوصية النظرة الاحتمالية للعالم من خلال إدراج مفاهيم العشوائية والاستقلال والتسلسل الهرمي (فكرة المستويات في بنية وتحديد النظم) ضمن المفاهيم الأساسية للوجود.

نشأت الأفكار حول الاحتمالية في العصور القديمة وترتبط بخصائص معرفتنا، في حين تم الاعتراف بوجود المعرفة الاحتمالية، والتي تختلف عن المعرفة الموثوقة وعن المعرفة الخاطئة. إن تأثير فكرة الاحتمالية على التفكير العلمي وعلى تطور المعرفة يرتبط ارتباطا مباشرا بتطور نظرية الاحتمالات كفرع رياضي. يعود أصل عقيدة الاحتمال الرياضية إلى القرن السابع عشر، عندما سمح تطور مجموعة من المفاهيم. الخصائص الكمية (العددية) والتعبير عن فكرة احتمالية.

تحدث التطبيقات المكثفة للاحتمالية لتطوير الإدراك في النصف الثاني. 19-الطابق الأول القرن ال 20 لقد دخلت الاحتمالية إلى هياكل العلوم الأساسية للطبيعة مثل الفيزياء الإحصائية الكلاسيكية، وعلم الوراثة، ونظرية الكم، وعلم التحكم الآلي (نظرية المعلومات). وبناء على ذلك، فإن الاحتمال يجسد تلك المرحلة من تطور العلم، الذي يعرف الآن بأنه علم غير كلاسيكي. وللكشف عن حداثة وملامح طريقة التفكير الاحتمالية، لا بد من الانطلاق من تحليل موضوع نظرية الاحتمالات وأسس تطبيقاتها العديدة. تُعرَّف نظرية الاحتمالية عادةً بأنها نظام رياضي يدرس أنماط الظواهر العشوائية الجماعية في ظل ظروف معينة. وتعني العشوائية أنه في إطار الشخصية الجماعية فإن وجود كل ظاهرة أولية لا يعتمد على وجود ظواهر أخرى ولا يتحدد بها. وفي الوقت نفسه، فإن الطبيعة الجماعية للظواهر نفسها لها بنية مستقرة وتحتوي على انتظامات معينة. تنقسم الظاهرة الجماعية بشكل صارم إلى أنظمة فرعية، والعدد النسبي للظواهر الأولية في كل من الأنظمة الفرعية (التكرار النسبي) مستقر للغاية. تتم مقارنة هذا الاستقرار مع الاحتمال. تتميز الظاهرة الجماعية ككل بالتوزيع الاحتمالي، أي من خلال تحديد الأنظمة الفرعية والاحتمالات المقابلة لها. لغة نظرية الاحتمالات هي لغة التوزيعات الاحتمالية. وبناء على ذلك، يتم تعريف نظرية الاحتمالات على أنها العلم المجرد للعمل مع التوزيعات.

أدت الاحتمالية إلى ظهور أفكار في العلم حول الأنماط الإحصائية والأنظمة الإحصائية. وهذه الأخيرة عبارة عن أنظمة مكونة من كيانات مستقلة أو شبه مستقلة؛ ويتميز هيكلها بالتوزيعات الاحتمالية. ولكن كيف يمكن تشكيل أنظمة من كيانات مستقلة؟ يُفترض عادةً أنه من أجل تكوين أنظمة ذات خصائص متكاملة، من الضروري وجود اتصالات مستقرة بدرجة كافية بين عناصرها التي تعمل على ترسيخ الأنظمة. يتم تحقيق استقرار النظم الإحصائية من خلال وجود ظروف خارجية وبيئة خارجية وقوى خارجية وليست داخلية. يعتمد تعريف الاحتمال دائمًا على تحديد الشروط اللازمة لتكوين ظاهرة الكتلة الأولية. فكرة أخرى مهمة تميز النموذج الاحتمالي هي فكرة التسلسل الهرمي (التبعية). تعبر هذه الفكرة عن العلاقة بين خصائص العناصر الفردية والخصائص المتكاملة للأنظمة: فالأخيرة، كما كانت، مبنية فوق الأولى.

تكمن أهمية الأساليب الاحتمالية في الإدراك في أنها تجعل من الممكن الدراسة والتعبير نظريًا عن أنماط بنية وسلوك الأشياء والأنظمة التي لها هيكل هرمي "من مستويين".

يعتمد تحليل طبيعة الاحتمالية على تكرارها وتفسيرها الإحصائي. في الوقت نفسه، لفترة طويلة جدًا، سيطر هذا الفهم للاحتمالات في العلم، والذي كان يسمى الاحتمال المنطقي أو الاستقرائي. يهتم الاحتمال المنطقي بمسائل صحة الحكم الفردي المنفصل في ظل ظروف معينة. هل من الممكن تقييم درجة التأكيد (الموثوقية والحقيقة) للاستنتاج الاستقرائي (الاستنتاج الافتراضي) في شكل كمي؟ أثناء تطوير نظرية الاحتمالات، تمت مناقشة مثل هذه الأسئلة مرارا وتكرارا، وبدأوا في الحديث عن درجات تأكيد الاستنتاجات الافتراضية. يتم تحديد مقياس الاحتمالية هذا من خلال المعلومات المتاحة لشخص معين وخبرته ووجهات نظره حول العالم وعقليته النفسية. في جميع هذه الحالات، لا يكون حجم الاحتمال قابلاً للقياسات الصارمة ويقع عمليًا خارج نطاق اختصاص نظرية الاحتمالات باعتبارها نظامًا رياضيًا ثابتًا.

تم تأسيس التفسير الموضوعي المتكرر للاحتمال في العلوم بصعوبات كبيرة. في البداية، تأثر فهم طبيعة الاحتمالية بشدة بتلك الآراء الفلسفية والمنهجية التي كانت من سمات العلم الكلاسيكي. تاريخيًا، حدث تطور الأساليب الاحتمالية في الفيزياء تحت التأثير الحاسم لأفكار الميكانيكا: فقد تم تفسير الأنظمة الإحصائية ببساطة على أنها ميكانيكية. وبما أن المشكلات المقابلة لم يتم حلها بالطرق الصارمة للميكانيكا، فقد نشأت تأكيدات بأن اللجوء إلى الأساليب الاحتمالية والقوانين الإحصائية هو نتيجة لعدم اكتمال معرفتنا. في تاريخ تطور الفيزياء الإحصائية الكلاسيكية، جرت محاولات عديدة لإثباتها على أساس الميكانيكا الكلاسيكية، لكنها جميعها باءت بالفشل. أساس الاحتمال هو أنه يعبر عن السمات الهيكلية لفئة معينة من الأنظمة، بخلاف الأنظمة الميكانيكية: تتميز حالة عناصر هذه الأنظمة بعدم الاستقرار وطبيعة التفاعلات الخاصة (غير القابلة للاختزال إلى الميكانيكا).

يؤدي دخول الاحتمالية إلى المعرفة إلى إنكار مفهوم الحتمية الصعبة، إلى إنكار النموذج الأساسي للوجود والمعرفة التي تم تطويرها في عملية تكوين العلم الكلاسيكي. النماذج الأساسية التي تمثلها النظريات الإحصائية ذات طبيعة مختلفة وأكثر عمومية: فهي تشمل أفكار العشوائية والاستقلال. ترتبط فكرة الاحتمالية بالكشف عن الديناميكيات الداخلية للأشياء والأنظمة، والتي لا يمكن تحديدها بالكامل من خلال الظروف والظروف الخارجية.

إن مفهوم الرؤية الاحتمالية للعالم، المرتكز على الأفكار المطلقة حول الاستقلال (كما كان الحال من قبل نموذج التحديد الصارم)، قد كشف الآن عن حدوده، والتي تنعكس بقوة في انتقال العلم الحديث إلى الأساليب التحليلية للدراسة. الأنظمة المعقدة والأسس الفيزيائية والرياضية لظواهر التنظيم الذاتي.

تعريف ممتاز

تعريف غير كامل ↓

كل شيء في العالم يحدث حتميًا أو بالصدفة..
أرسطو

الاحتمال: القواعد الأساسية

نظرية الاحتمالية تحسب احتمالات الأحداث المختلفة. الأساس في نظرية الاحتمالات هو مفهوم الحدث العشوائي.

على سبيل المثال، عندما تقوم برمي عملة معدنية، فإنها تسقط بشكل عشوائي على الرأس أو الذيل. أنت لا تعرف مسبقًا الجانب الذي ستسقط عليه العملة. قمت بإبرام عقد تأمين ولا تعلم مسبقًا ما إذا كان سيتم سداد الدفعات أم لا.

في الحسابات الاكتوارية، يجب أن تكون قادرًا على تقدير احتمالية الأحداث المختلفة، لذلك تلعب نظرية الاحتمالات دورًا رئيسيًا. لا يوجد فرع آخر من فروع الرياضيات يمكنه التعامل مع احتمالات الأحداث.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على رمي العملة المعدنية. هناك نتيجتان متنافيتان: سقوط شعار النبالة أو سقوط الذيول. تكون نتيجة الرمية عشوائية، إذ لا يستطيع المراقب تحليل ومراعاة جميع العوامل التي تؤثر على النتيجة. ما هو احتمال سقوط شعار النبالة؟ سيجيب معظمهم بـ ½، ولكن لماذا؟

فليكن رسميا أيشير إلى فقدان شعار النبالة. دع العملة ترمي نمرة واحدة. ثم احتمال الحدث أيمكن تعريفها على أنها نسبة تلك الرميات التي تؤدي إلى شعار النبالة:

أين نإجمالي عدد الرميات، ن (أ)عدد قطرات شعار النبالة.

تسمى العلاقة (1). تكرارالأحداث أفي سلسلة طويلة من الاختبارات.

وتبين أنه في سلسلة مختلفة من الاختبارات التردد المقابل بشكل عام نمجموعات حول بعض القيمة الثابتة ف (أ). تسمى هذه الكمية احتمال وقوع حدث أويتم تحديده بالحرف ر- اختصار الكلمة الانجليزية احتمال - احتمال.

رسميا لدينا:

(2)

يسمى هذا القانون قانون الأعداد الكبيرة.

إذا كانت العملة عادلة (متماثلة)، فإن احتمال الحصول على شعار النبالة يساوي احتمال الحصول على صورة ويساوي ½.

يترك أو فيبعض الأحداث، على سبيل المثال، ما إذا كان الحدث المؤمن عليه قد وقع أم لا. اتحاد حدثين هو حدث يتكون من تنفيذ حدث أالأحداث فيأو كلا الحدثين معًا. تقاطع حدثين أو فييسمى حدث يتكون في التنفيذ كحدث أ، والأحداث في.

القواعد الاساسيةحساب احتمالات الحدث هو كما يلي:

1. احتمال وقوع أي حدث يقع بين صفر وواحد:

2. ليكن A وB حدثين، إذن:

يقرأ مثل هذا:احتمال اجتماع حدثين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين مطروحًا منه احتمال تقاطع الحدثين. إذا كانت الأحداث غير متوافقة أو غير متداخلة، فإن احتمال اتحاد (مجموع) حدثين يساوي مجموع الاحتمالات. هذا القانون يسمى القانون إضافة الاحتمالات.

نقول أن الحدث يكون موثوقًا إذا كان احتماله يساوي 1. عند تحليل ظواهر معينة، يطرح السؤال حول كيفية تأثير وقوع الحدث فيعند وقوع حدث ما أ. للقيام بذلك، أدخل احتمال مشروط :

(4)

يقرأ مثل هذا:احتمال وقوع أبشرط فييساوي احتمال التقاطع أو في، مقسومًا على احتمالية الحدث في.
الصيغة (4) تفترض احتمال وقوع حدث ما فيفوق الصفر.

يمكن أيضًا كتابة الصيغة (4) على النحو التالي:

(5)

هذه هي الصيغة مضاعفة الاحتمالات.

ويسمى أيضا الاحتمال الشرطي خلفي احتمال وقوع حدث أ- احتمال وقوع أبعد الهجوم في.

في هذه الحالة، يسمى الاحتمال نفسه بداهة احتمالا. هناك العديد من الصيغ المهمة الأخرى التي يتم استخدامها بشكل مكثف في الحسابات الاكتوارية.

صيغة الاحتمال الإجمالي

لنفترض أنه يتم إجراء تجربة يمكن تحديد شروطها مسبقًا متبادلالافتراضات (الفرضيات) الحصرية المتبادلة:

نحن نفترض أن هناك إما فرضية، أو... أو. واحتمالات هذه الفرضيات معروفة ومتساوية:

ثم تحمل الصيغة ممتلىءالاحتمالات :

(6)

احتمال وقوع حدث ما أيساوي مجموع منتجات احتمال الحدوث ألكل فرضية احتمالية هذه الفرضية.

صيغة بايز

صيغة بايز يسمح بإعادة حساب احتمالية الفرضيات في ضوء المعلومات الجديدة التي توفرها النتيجة أ.

صيغة بايز بمعنى ما هي معكوس صيغة الاحتمالية الإجمالية.

النظر في المشكلة العملية التالية.

المشكلة 1

لنفترض أن هناك حادث تحطم طائرة والخبراء مشغولون بالتحقيق في أسبابه. 4 أسباب لحدوث الكارثة معروفة مسبقا: إما السبب، أو، أو، أو. وبحسب الإحصائيات المتوفرة فإن هذه الأسباب لها الاحتمالات التالية:



وبفحص موقع الحادث، تم العثور على آثار اشتعال الوقود، وبحسب الإحصائيات فإن احتمالية وقوع هذا الحدث لسبب أو لآخر هي كما يلي:




سؤال: ما هو السبب الأرجح للكارثة؟

دعونا نحسب احتمالات الأسباب في ظل ظروف وقوع الحدث أ.



ومن هذا يتبين أن السبب الأول هو الأرجح، لأن احتماله هو الحد الأقصى.

المشكلة 2

فكر في هبوط طائرة في أحد المطارات.

عند الهبوط قد تكون الأحوال الجوية على النحو التالي: لا توجد سحب منخفضة ()، توجد سحب منخفضة (). في الحالة الأولى، احتمال الهبوط الآمن هو ص1. في الحالة الثانية - ص2. انه واضح ص1>ص2.

الأجهزة التي توفر الهبوط الأعمى لديها احتمالية التشغيل بدون مشاكل ر. إذا كان هناك غطاء سحابي منخفض وتعطلت أدوات الهبوط العمياء، فإن احتمال الهبوط الناجح يكون مرتفعًا ص3، و ص3<Р2 . من المعروف أنه بالنسبة لمطار معين، فإن نسبة الأيام في السنة التي تكون فيها السحب منخفضة تساوي .

أوجد احتمال هبوط الطائرة بسلام.

علينا إيجاد الاحتمال.

هناك خياران متنافيان: أجهزة الهبوط العمياء تعمل، وأجهزة الهبوط العمياء تعطلت، لذلك لدينا:

وبالتالي، وفقا لمعادلة الاحتمالية الإجمالية:

المشكلة 3

توفر شركة التأمين التأمين على الحياة. 10% من المؤمن عليهم من قبل هذه الشركة هم من المدخنين. إذا كان المؤمن عليه لا يدخن فإن احتمال وفاته خلال العام هو 0.01 وإذا كان مدخناً فإن هذا الاحتمال هو 0.05.

ما هي نسبة المدخنين من بين المؤمن عليهم الذين توفوا خلال العام؟

إجابات ممكنة: (أ) 5%، (ب) 20%، (ج) 36%، (د) 56%، (هـ) 90%.

حل

لندخل في الأحداث:

حالة المشكلة تعني ذلك

بالإضافة إلى ذلك، بما أن الأحداث تشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة، إذن.
الاحتمال الذي يهمنا هو .

باستخدام صيغة بايز، لدينا:

وبالتالي فإن الخيار الصحيح هو ( في).

المشكلة 4

تبيع شركة التأمين عقود التأمين على الحياة في ثلاث فئات: القياسية والمفضلة والمميزة للغاية.

50% من جميع المؤمن عليهم عاديون، و40% مفضلون و10% متميزون للغاية.

احتمال الوفاة خلال عام للمؤمن عليه القياسي هو 0.010، للمتميز - 0.005، وللمتميز للغاية - 0.001.

ما هو احتمال أن يكون المؤمن عليه المتوفى ذو امتيازات فائقة؟

حل

ولنضع الأحداث التالية بعين الاعتبار:

فيما يتعلق بهذه الأحداث، فإن الاحتمال الذي يهمنا هو . حسب الشرط:

بما أن الأحداث تشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة، باستخدام صيغة بايز لدينا:

المتغيرات العشوائية وخصائصها

فليكن بعض المتغيرات العشوائية، على سبيل المثال، الأضرار الناجمة عن حريق أو مبلغ مدفوعات التأمين.
يتميز المتغير العشوائي بشكل كامل بوظيفة التوزيع الخاصة به.

تعريف.وظيفة مُسَمًّى وظيفة التوزيع متغير عشوائي ξ .

تعريف.إذا كانت هناك وظيفة من هذا القبيل التعسفي أ منتهي

ثم يقولون أن المتغير العشوائي ξ لقد دالة الكثافة الاحتمالية f(x).

تعريف.يترك . لوظيفة التوزيع المستمر F كمية ألفا النظريةيسمى حل المعادلة

وقد لا يكون هذا الحل هو الحل الوحيد.

المستوى الكمي ½ تسمى النظرية الوسيط ، المستويات الكمية ¼ و ¾ -الربعين السفلي والعلوي على التوالى.

في التطبيقات الاكتوارية يلعب دورا هاما عدم المساواة تشيبيشيف:

في أي

رمز التوقع الرياضي.

يقرأ مثل هذا:احتمال أن يكون المعامل أكبر من أو يساوي التوقع الرياضي للمعامل مقسومًا على .

العمر كمتغير عشوائي

يعد عدم اليقين بشأن لحظة الوفاة عامل خطر رئيسي في التأمين على الحياة.

لا يمكن قول أي شيء محدد فيما يتعلق بلحظة وفاة الفرد. ومع ذلك، إذا كنا نتعامل مع مجموعة كبيرة متجانسة من الناس ولا نهتم بمصير أفراد من هذه المجموعة، فإننا ندخل في إطار نظرية الاحتمالات كعلم الظواهر العشوائية الجماعية التي لها خاصية استقرار التردد .

على التوالى، يمكننا الحديث عن متوسط ​​العمر المتوقع كمتغير عشوائي T.

وظيفة البقاء على قيد الحياة

تصف نظرية الاحتمالية الطبيعة العشوائية لأي متغير عشوائي توظيفة التوزيع و(خ)،والذي يعرف بأنه احتمال المتغير العشوائي تأقل من العدد س:

.

في الرياضيات الاكتوارية، من الجيد العمل ليس مع وظيفة التوزيع، ولكن مع وظيفة التوزيع الإضافية . من حيث طول العمر، هذا هو احتمال أن يعيش الشخص حتى العمر سسنين.

مُسَمًّى وظيفة البقاء(وظيفة البقاء):

تتميز وظيفة البقاء بالخصائص التالية:

تفترض جداول الحياة عادة وجود بعض منها الحد العمري (الحد من العمر) (عادة سنوات)، وبالتالي، في س>.

عند وصف الوفيات بالقوانين التحليلية، يُفترض عادةً أن مدة الحياة غير محدودة، ولكن يتم اختيار نوع ومعايير القوانين بحيث يكون احتمال الحياة بعد عمر معين ضئيلًا.

وظيفة البقاء لها معنى إحصائي بسيط.

لنفترض أننا نراقب مجموعة من الأطفال حديثي الولادة (عادة)، الذين نلاحظهم ونستطيع تسجيل لحظات وفاتهم.

دعونا نشير إلى عدد الممثلين الأحياء لهذه المجموعة في العمر بواسطة . ثم:

.

رمز ههنا وأدناه تستخدم للدلالة على التوقع الرياضي.

لذا، فإن دالة البقاء تساوي متوسط ​​نسبة أولئك الذين بقوا على قيد الحياة حتى سنهم من مجموعة ثابتة من الأطفال حديثي الولادة.

في الرياضيات الاكتوارية، غالبًا ما لا يعمل المرء باستخدام دالة البقاء، ولكن مع القيمة التي تم تقديمها للتو (تحديد حجم المجموعة الأولي).

يمكن إعادة بناء وظيفة البقاء من الكثافة:

خصائص العمر

من الناحية العملية، تعتبر الخصائص التالية مهمة:

1 . متوسطحياة

,
2 . تشتتحياة

,
أين
,

في الواقع، تعد الصيغتان (1) و (2) سجلًا قصيرًا للاحتمال الشرطي استنادًا إلى جدول الميزات المحتملة. دعنا نعود إلى المثال الذي تمت مناقشته (الشكل 1). لنفترض أننا علمنا أن عائلة تخطط لشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة. ما هو احتمال أن تشتري هذه العائلة مثل هذا التلفزيون بالفعل؟

أرز. 1. سلوك شراء التلفاز ذو الشاشة العريضة

في هذه الحالة، نحتاج إلى حساب الاحتمال الشرطي P (اكتمل الشراء | الشراء المخطط له). وبما أننا نعلم أن العائلة تخطط للشراء، فإن مساحة العينة لا تتكون من جميع العائلات البالغ عددها 1000 عائلة، ولكن فقط أولئك الذين يخططون لشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة. من بين 250 عائلة، 200 عائلة اشترت هذا التلفزيون بالفعل. لذلك، يمكن حساب احتمال أن تشتري الأسرة بالفعل جهاز تلفزيون بشاشة عريضة إذا كانت قد خططت للقيام بذلك باستخدام الصيغة التالية:

P (اكتمل الشراء | الشراء المخطط له) = عدد العائلات التي خططت واشترت تلفزيونًا بشاشة عريضة / عدد العائلات التي تخطط لشراء تلفزيون بشاشة عريضة = 200 / 250 = 0.8

الصيغة (2) تعطي نفس النتيجة:

أين هو الحدث أهو أن الأسرة تخطط لشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة، وهذا الحدث في- أنها ستشتريه بالفعل. باستبدال البيانات الحقيقية في الصيغة نحصل على:

شجرة القرار

في التين. 1 تنقسم العائلات إلى أربع فئات: أولئك الذين خططوا لشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة وأولئك الذين لم يفعلوا ذلك، وكذلك أولئك الذين اشتروا مثل هذا التلفزيون وأولئك الذين لم يفعلوا ذلك. يمكن إجراء تصنيف مماثل باستخدام شجرة القرار (الشكل 2). الشجرة الموضحة في الشكل 2 لديه فرعين يتوافقان مع العائلات التي خططت لشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة والعائلات التي لم تفعل ذلك. وينقسم كل فرع من هذه الفروع إلى فرعين إضافيين يتوافقان مع الأسر التي اشترت جهاز تلفزيون بشاشة عريضة ولم تشتره. والاحتمالات المكتوبة في نهايتي الفرعين الرئيسيين هي الاحتمالات غير المشروطة للأحداث أو أ'. الاحتمالات المكتوبة في نهايات الفروع الأربعة الإضافية هي الاحتمالات المشروطة لكل مجموعة من الأحداث أو في. يتم حساب الاحتمالات الشرطية عن طريق قسمة الاحتمال المشترك للأحداث على الاحتمال غير المشروط المقابل لكل منها.

أرز. 2. شجرة القرار

على سبيل المثال، لحساب احتمال قيام عائلة بشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة إذا كانت تخطط للقيام بذلك، يجب تحديد احتمالية الحدث الشراء مخطط له ومكتمل، ثم قسمته على احتمالية الحدث الشراء المخطط له. التحرك على طول شجرة القرار الموضحة في الشكل. 2- نحصل على الإجابة التالية (مشابهة للإجابة السابقة):

الاستقلال الإحصائي

في مثال شراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة، فإن احتمال قيام عائلة تم اختيارها عشوائيًا بشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة نظرًا لأنهم خططوا للقيام بذلك هو 200/250 = 0.8. تذكر أن الاحتمال غير المشروط لقيام عائلة مختارة عشوائيًا بشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة هو 300/1000 = 0.3. وهذا يؤدي إلى نتيجة مهمة للغاية. المعلومات المسبقة التي تفيد بأن الأسرة كانت تخطط لعملية شراء تؤثر على احتمالية الشراء نفسها.وبعبارة أخرى، فإن هذين الحدثين يعتمدان على بعضهما البعض. وعلى النقيض من هذا المثال، هناك أحداث مستقلة إحصائيا لا تعتمد احتمالاتها على بعضها البعض. يتم التعبير عن الاستقلال الإحصائي بالهوية: ف(أ|ب) = ف(أ)، أين ف(أ|ب)- احتمال الحدث أبشرط أن يكون الحدث قد وقع في, ف (أ)- الاحتمال غير المشروط للحدث أ.

يرجى ملاحظة أن الأحداث أو في ف(أ|ب) = ف(أ). إذا كان حجم جدول الخصائص 2 × 2 موجودًا، فإن هذا الشرط يكون مستوفيًا لمجموعة واحدة على الأقل من الأحداث أو في، سيكون صالحًا لأي مجموعة أخرى. في مثالنا الأحداث الشراء المخطط لهو اكتملت عملية الشراءليست مستقلة إحصائيا لأن المعلومات المتعلقة بحدث ما تؤثر على احتمال وقوع حدث آخر.

دعونا نلقي نظرة على مثال يوضح كيفية اختبار الاستقلال الإحصائي لحدثين. دعونا نسأل 300 عائلة اشترت جهاز تلفزيون بشاشة عريضة إذا كانوا راضين عن شرائهم (الشكل 3). تحديد ما إذا كانت درجة الرضا عن الشراء ونوع التلفزيون مرتبطان.

أرز. 3. بيانات توضح درجة رضا مشتري أجهزة التلفاز ذات الشاشات العريضة

وبالحكم على هذه البيانات،

في نفس الوقت،

ف (رضا العميل) = 240 / 300 = 0.80

ولذلك فإن احتمال رضا العميل عن الشراء واحتمال شراء العائلة لجهاز HDTV متساويان، وهذه الأحداث مستقلة إحصائيًا لأنها غير مرتبطة ببعضها البعض.

قاعدة الضرب الاحتمالية

تتيح لك صيغة حساب الاحتمال الشرطي تحديد احتمالية وقوع حدث مشترك أ و ب. بعد حل الصيغة (1)

نسبة إلى الاحتمال المشترك ف(أ وب)نحصل على قاعدة عامة لضرب الاحتمالات. احتمالية وقوع الحدث أ و بيساوي احتمال وقوع الحدث أبشرط وقوع الحدث في في:

(3) الاحتمال (أ و ب) = الاحتمال (أ|ب) * الاحتمال (ب)

لنأخذ على سبيل المثال 80 عائلة اشترت تلفزيونًا عالي الدقة بشاشة عريضة (الشكل 3). يوضح الجدول أن 64 أسرة راضية عن الشراء و16 أسرة غير راضية. لنفترض أنه تم اختيار عائلتين عشوائيًا من بينهم. حدد احتمالية رضا كلا العميلين. وباستخدام الصيغة (3) نحصل على:

ف(أ وب) = ف(أ|ب) * ف(ب)

أين هو الحدث أهو أن الأسرة الثانية راضية عن شرائها، والحدث في- أن تكون الأسرة الأولى راضية عن شرائها. احتمال أن تكون الأسرة الأولى راضية عن شرائها هو 64/80. ومع ذلك، فإن احتمال رضا الأسرة الثانية أيضًا عن مشترياتها يعتمد على استجابة الأسرة الأولى. إذا لم تعد الأسرة الأولى إلى العينة بعد المسح (اختيار بدون إرجاع)، ينخفض ​​عدد أفراد العينة إلى 79. وإذا كانت الأسرة الأولى راضية عن شرائها، فإن احتمال رضا الأسرة الثانية أيضًا هو 63 /79، حيث أنه لم يتبق في العينة سوى 63 أسرة راضية عن شرائها. وبالتالي، باستبدال بيانات محددة في الصيغة (3)، نحصل على الإجابة التالية:

ف(أ وب) = (63/79)(64/80) = 0.638.

وبالتالي فإن احتمال رضا العائلتين عن مشترياتهما هو 63.8%.

لنفترض أنه بعد المسح تعود الأسرة الأولى إلى العينة. حدد احتمالية رضا العائلتين عن الشراء. في هذه الحالة، احتمالات رضا العائلتين عن الشراء هي نفسها وتساوي 64/80. لذلك، P(A وB) = (64/80)(64/80) = 0.64. وبالتالي فإن احتمال رضا العائلتين عن مشترياتهما هو 64.0%. يوضح هذا المثال أن اختيار الأسرة الثانية لا يعتمد على اختيار الأسرة الأولى. وبالتالي استبدال الاحتمال الشرطي في الصيغة (3) ف(أ|ب)احتمالا ف (أ)نحصل على صيغة لضرب احتمالات الأحداث المستقلة.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة.إذا الأحداث أو فيمستقلة إحصائيا، واحتمال وقوع حدث أ و بيساوي احتمال وقوع الحدث أ، مضروبًا في احتمالية الحدث في.

(4) ف(أ وب) = ف(أ)ف(ب)

إذا كانت هذه القاعدة صحيحة بالنسبة للأحداث أو فيمما يعني أنها مستقلة إحصائيا. وبالتالي، هناك طريقتان لتحديد الاستقلال الإحصائي لحدثين:

  1. الأحداث أو فيمستقلة إحصائيا عن بعضها البعض إذا وفقط إذا ف(أ|ب) = ف(أ).
  2. الأحداث أو بمستقلة إحصائيا عن بعضها البعض إذا وفقط إذا ف(أ وب) = ف(أ)ف(ب).

إذا كان حجم جدول الخصائص 2×2 موجودًا في جدول احتمالي للخصائص، فسيتم استيفاء أحد هذه الشروط لمجموعة واحدة على الأقل من الأحداث أو ب، سيكون صالحًا لأي مجموعة أخرى.

الاحتمال غير المشروط لحدث ابتدائي

(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B ك)P(B k)

حيث الأحداث B 1، B 2، ... B k متنافية وشاملة.

دعونا نوضح تطبيق هذه الصيغة باستخدام المثال في الشكل 1. وباستخدام الصيغة (5) نحصل على:

ف(أ) = ف(أ|ب 1)ف(ب 1) + ف(أ|ب 2)ف(ب 2)

أين ف (أ)- احتمالية التخطيط لعملية الشراء، ف(ب 1)- احتمال أن يتم الشراء، ف(ب2)- احتمال عدم إتمام عملية الشراء.

مبرهنة بايز

يأخذ الاحتمال المشروط لحدث ما في الاعتبار المعلومات التي تفيد بحدوث حدث آخر. يمكن استخدام هذا النهج لتحسين الاحتمالية مع الأخذ في الاعتبار المعلومات الواردة حديثًا، ولحساب احتمالية أن يكون التأثير الملحوظ نتيجة لسبب محدد. يُطلق على الإجراء الخاص بتحسين هذه الاحتمالات نظرية بايز. تم تطويره لأول مرة بواسطة توماس بايز في القرن الثامن عشر.

لنفترض أن الشركة المذكورة أعلاه تبحث في السوق عن طراز تلفزيون جديد. في الماضي، كانت 40% من أجهزة التلفاز التي صنعتها الشركة ناجحة، بينما لم يتم التعرف على 60% من الموديلات. قبل الإعلان عن إطلاق نموذج جديد، يقوم متخصصو التسويق بدراسة السوق بعناية وتسجيل الطلب. في الماضي، كان من المتوقع أن تكون 80% من النماذج الناجحة ناجحة، في حين تبين أن 30% من التنبؤات الناجحة كانت خاطئة. أعطى قسم التسويق توقعات إيجابية للنموذج الجديد. ما هو احتمال أن يكون هناك طلب على طراز تلفزيون جديد؟

يمكن استخلاص نظرية بايز من تعريفات الاحتمال الشرطي (1) و (2). لحساب الاحتمال P(B|A)، خذ الصيغة (2):

واستبدل بدلاً من P(A وB) القيمة من الصيغة (3):

ف(أ وب) = ف(أ|ب) * ف(ب)

باستبدال الصيغة (5) بدلاً من P(A)، نحصل على نظرية بايز:

حيث الأحداث B 1، B 2، ... B k متنافية وشاملة.

دعونا نقدم الترميز التالي: الحدث S - التلفزيون في الطلبالحدث S’ - التلفزيون ليس في الطلبالحدث ف - توقعات مواتيةالحدث F’ - إنذارات ضعيفة أو تشخيص طبي ضعيف. لنفترض أن P(S) = 0.4، P(S') = 0.6، P(F|S) = 0.8، P(F|S') = 0.3. وبتطبيق نظرية بايز نحصل على:

احتمال الطلب على طراز تلفزيون جديد، في ظل توقعات مواتية، هو 0.64. وبالتالي، فإن احتمال نقص الطلب في ظل توقعات مواتية هو 1-0.64 = 0.36. تظهر عملية الحساب في الشكل. 4.

أرز. 4. (أ) الحسابات باستخدام صيغة بايز لتقدير احتمال الطلب على أجهزة التلفزيون؛ (ب) شجرة القرار عند دراسة الطلب على نموذج تلفزيوني جديد

دعونا نلقي نظرة على مثال لاستخدام نظرية بايز للتشخيص الطبي. احتمال أن يعاني الشخص من مرض معين هو 0.03. يمكن للاختبار الطبي التحقق من صحة ذلك. إذا كان الشخص مريضًا حقًا، فإن احتمال التشخيص الدقيق (القول أن الشخص مريض بينما هو مريض بالفعل) هو 0.9. إذا كان الشخص يتمتع بصحة جيدة، فإن احتمال التشخيص الإيجابي الخاطئ (القول بأن الشخص مريض عندما يكون بصحة جيدة) هو 0.02. لنفترض أن الاختبار الطبي يعطي نتيجة إيجابية. ما هو احتمال أن يكون الشخص مريضا فعلا؟ ما هو احتمال التشخيص الدقيق؟

دعونا نقدم الترميز التالي: الحدث د - الشخص مريضالحدث د - الشخص بصحة جيدةالحدث ت - التشخيص إيجابيالحدث T’ - التشخيص سلبي. ويترتب على شروط المشكلة أن P(D) = 0.03، P(D’) = 0.97، P(T|D) = 0.90، P(T|D’) = 0.02. وبتطبيق الصيغة (6) نحصل على:

احتمال أن يكون الشخص مريضًا بالفعل مع التشخيص الإيجابي هو 0.582 (انظر أيضًا الشكل 5). يرجى ملاحظة أن مقام صيغة بايز يساوي احتمال التشخيص الإيجابي، أي. 0.0464.

أفهم أن الجميع يريد أن يعرف مسبقًا كيف سينتهي الحدث الرياضي ومن سيفوز ومن سيخسر. مع هذه المعلومات، يمكنك المراهنة على الأحداث الرياضية دون خوف. ولكن هل هذا ممكن، وإذا كان الأمر كذلك، فكيف نحسب احتمالية وقوع حدث ما؟

الاحتمال هو كمية نسبية، لذلك لا يمكن أن يتحدث بيقين عن أي حدث. تتيح لك هذه القيمة تحليل وتقييم الحاجة إلى الرهان على منافسة معينة. تحديد الاحتمالات هو علم كامل يتطلب دراسة وفهمًا متأنيين.

معامل الاحتمالية في نظرية الاحتمالات

في المراهنات الرياضية، هناك عدة خيارات لنتيجة المنافسة:

  • فوز الفريق الأول؛
  • فوز الفريق الثاني؛
  • يرسم؛
  • المجموع

كل نتيجة من نتائج المنافسة لها احتمالها الخاص وتكرار حدوث هذا الحدث، بشرط الحفاظ على الخصائص الأولية. كما قلنا سابقًا، من المستحيل حساب احتمالية أي حدث بدقة - فقد يتزامن أو لا يتزامن. وبالتالي، فإن رهانك إما أن يفوز أو يخسر.

لا يمكن أن يكون هناك توقع دقيق بنسبة 100% لنتائج المسابقة، حيث أن هناك عوامل كثيرة تؤثر على نتيجة المباراة. بطبيعة الحال، لا يعرف وكلاء المراهنات نتيجة المباراة مقدمًا ويفترضون النتيجة فقط، ويتخذون القرارات باستخدام نظام التحليل الخاص بهم ويقدمون احتمالات معينة للمراهنة.

كيفية حساب احتمال وقوع حدث؟

لنفترض أن احتمالات المراهنات هي 2.1/2 – نحصل على 50%. وتبين أن المعامل 2 يساوي احتمال 50٪. باستخدام نفس المبدأ، يمكنك الحصول على معامل احتمال التعادل - 1/الاحتمال.

يعتقد العديد من اللاعبين أنه بعد عدة هزائم متكررة، سيحدث الفوز بالتأكيد - وهذا رأي خاطئ. احتمال الفوز بالرهان لا يعتمد على عدد الخسائر. حتى لو قمت بقلب عدة رؤوس متتالية في لعبة العملات المعدنية، فإن احتمال قلب الصورة يظل كما هو - 50%.

"الحوادث ليست صدفة"... يبدو الأمر كما قال أحد الفلاسفة، لكن في الحقيقة، دراسة العشوائية هي قدر علم الرياضيات العظيم. في الرياضيات، يتم التعامل مع الصدفة من خلال نظرية الاحتمالات. سيتم عرض صيغ وأمثلة للمهام وكذلك التعريفات الأساسية لهذا العلم في المقالة.

ما هي نظرية الاحتمالات؟

نظرية الاحتمالية هي أحد التخصصات الرياضية التي تدرس الأحداث العشوائية.

ولجعل الأمر أكثر وضوحًا، دعونا نعطي مثالًا صغيرًا: إذا رميت عملة معدنية للأعلى، فيمكن أن تستقر على الصورة أو الكتابة. وبينما تكون العملة في الهواء، فإن كلا هذين الاحتمالين ممكنان. أي أن احتمال العواقب المحتملة هو 1:1. إذا تم سحب واحدة من مجموعة مكونة من 36 بطاقة، فسيتم الإشارة إلى الاحتمال على أنه 1:36. يبدو أنه لا يوجد شيء يمكن استكشافه والتنبؤ به هنا، خاصة بمساعدة الصيغ الرياضية. ومع ذلك، إذا قمت بتكرار إجراء معين عدة مرات، فيمكنك تحديد نمط معين، وبناء عليه، التنبؤ بنتائج الأحداث في ظروف أخرى.

لتلخيص كل ما سبق فإن نظرية الاحتمالات بالمعنى الكلاسيكي تدرس إمكانية حدوث أحد الأحداث المحتملة بقيمة عددية.

من صفحات التاريخ

ظهرت نظرية الاحتمال والصيغ وأمثلة المهام الأولى في العصور الوسطى البعيدة، عندما نشأت محاولات التنبؤ بنتائج ألعاب الورق لأول مرة.

في البداية، لم يكن لنظرية الاحتمالات أي علاقة بالرياضيات. وقد تم تبريره من خلال الحقائق التجريبية أو خصائص حدث يمكن إعادة إنتاجه في الممارسة العملية. ظهرت الأعمال الأولى في هذا المجال كنظام رياضي في القرن السابع عشر. المؤسسون هم بليز باسكال وبيير فيرما. لقد درسوا المقامرة لفترة طويلة ورأوا أنماطًا معينة قرروا إخبار الجمهور عنها.

تم اختراع نفس التقنية بواسطة كريستيان هويجنز، على الرغم من أنه لم يكن على دراية بنتائج أبحاث باسكال وفيرما. وقد قدم مفهوم "نظرية الاحتمالية" والصيغ والأمثلة التي تعتبر الأولى في تاريخ هذا التخصص.

كما أن أعمال جاكوب برنولي ونظريات لابلاس وبواسون ليست ذات أهمية كبيرة. لقد جعلوا نظرية الاحتمالات أشبه بالتخصص الرياضي. تلقت نظرية الاحتمالات والصيغ وأمثلة المهام الأساسية شكلها الحالي بفضل بديهيات كولموغوروف. ونتيجة لكل هذه التغيرات، أصبحت نظرية الاحتمالات أحد فروع الرياضيات.

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. الأحداث

المفهوم الرئيسي لهذا الانضباط هو "الحدث". هناك ثلاثة أنواع من الأحداث:

  • موثوق.تلك التي ستحدث على أي حال (سوف تسقط العملة).
  • مستحيل.أحداث لن تحدث تحت أي ظرف من الظروف (ستظل العملة معلقة في الهواء).
  • عشوائي.تلك التي ستحدث أو لن تحدث. يمكن أن تتأثر بعوامل مختلفة يصعب التنبؤ بها. إذا تحدثنا عن عملة معدنية، فهناك عوامل عشوائية يمكن أن تؤثر على النتيجة: الخصائص الفيزيائية للعملة، وشكلها، وموضعها الأصلي، وقوة الرمي، وما إلى ذلك.

تتم الإشارة إلى جميع الأحداث في الأمثلة بأحرف لاتينية كبيرة، باستثناء P، الذي له دور مختلف. على سبيل المثال:

  • أ = "جاء الطلاب لإلقاء المحاضرة".
  • Ā = "لم يحضر الطلاب إلى المحاضرة."

في المهام العملية، عادة ما يتم تدوين الأحداث بالكلمات.

من أهم خصائص الأحداث هو تساوي احتمالاتها. وهذا يعني أنه إذا رميت عملة معدنية، فإن جميع أشكال السقوط الأولي تكون ممكنة حتى تسقط. ولكن الأحداث أيضا ليست ممكنة على قدم المساواة. يحدث هذا عندما يؤثر شخص ما عمدا على النتيجة. على سبيل المثال، أوراق اللعب أو النرد "المميزة" التي يتم فيها إزاحة مركز الثقل.

يمكن أيضًا أن تكون الأحداث متوافقة وغير متوافقة. الأحداث المتوافقة لا تستبعد حدوث بعضها البعض. على سبيل المثال:

  • أ = "جاء الطالب إلى المحاضرة".
  • ب = "جاء الطالب إلى المحاضرة".

وهذه الأحداث مستقلة عن بعضها البعض، ولا يؤثر وقوع أحدهما على وقوع الآخر. يتم تعريف الأحداث غير المتوافقة من خلال حقيقة أن حدوث أحدها يلغي وقوع حدث آخر. إذا تحدثنا عن نفس العملة، فإن فقدان "الذيول" يجعل من المستحيل ظهور "الرؤوس" في نفس التجربة.

الإجراءات على الأحداث

يمكن مضاعفة الأحداث وإضافتها وفقًا لذلك، ويتم إدخال الروابط المنطقية "AND" و"OR" في التخصص.

يتم تحديد المبلغ من خلال حقيقة أن الحدث A أو B أو الحدثين يمكن أن يحدثا في وقت واحد. إذا كانا غير متوافقين، فسيكون الخيار الأخير مستحيلًا؛

مضاعفة الأحداث تتمثل في ظهور A و B في نفس الوقت.

يمكننا الآن تقديم عدة أمثلة لتذكر الأساسيات ونظرية الاحتمالات والصيغ بشكل أفضل. أمثلة على حل المشكلات أدناه.

التمرين 1: تشارك الشركة في مسابقة للحصول على عقود لثلاثة أنواع من العمل. الأحداث المحتملة التي قد تحدث:

  • أ = "سوف تحصل الشركة على العقد الأول."
  • أ 1 = "لن تحصل الشركة على العقد الأول."
  • B = "ستحصل الشركة على عقد ثان."
  • ب 1 = "الشركة لن تحصل على عقد ثان"
  • C = "ستحصل الشركة على عقد ثالث."
  • ج1 = "لن تحصل الشركة على عقد ثالث."

باستخدام الإجراءات على الأحداث، سنحاول التعبير عن المواقف التالية:

  • K = "سوف تتلقى الشركة جميع العقود."

في الصورة الرياضية، ستكون المعادلة بالشكل التالي: K = ABC.

  • M = "لن تحصل الشركة على عقد واحد."

م = أ 1 ب 1 ج 1.

لنجعل المهمة أكثر تعقيدًا: H = "ستحصل الشركة على عقد واحد". نظرًا لأنه من غير المعروف أي عقد ستحصل عليه الشركة (الأول أو الثاني أو الثالث)، فمن الضروري تسجيل سلسلة الأحداث المحتملة بأكملها:

ح = أ 1 ق 1 υ أ ب 1 ج 1 υ أ 1 ب 1 ج.

و1 ق 1 عبارة عن سلسلة من الأحداث حيث لا تحصل الشركة على العقد الأول والثالث، بل تحصل على العقد الثاني. تم تسجيل الأحداث المحتملة الأخرى باستخدام الطريقة المناسبة. يشير الرمز υ في التخصص إلى الرابط "OR". إذا قمنا بترجمة المثال أعلاه إلى لغة بشرية، فستحصل الشركة إما على العقد الثالث، أو الثاني، أو الأول. وبطريقة مماثلة، يمكنك كتابة شروط أخرى في تخصص "نظرية الاحتمالية". ستساعدك الصيغ والأمثلة لحل المشكلات الموضحة أعلاه على القيام بذلك بنفسك.

في الواقع، الاحتمال

ربما، في هذا التخصص الرياضي، احتمال وقوع حدث هو المفهوم المركزي. هناك ثلاثة تعريفات للاحتمال:

  • كلاسيكي.
  • إحصائية؛
  • هندسي.

ولكل منها مكانها في دراسة الاحتمال. تستخدم نظرية الاحتمالات والصيغ والأمثلة (الصف التاسع) التعريف الكلاسيكي بشكل أساسي، والذي يبدو كما يلي:

  • احتمالية الموقف (أ) تساوي نسبة عدد النتائج التي تؤيد حدوثه إلى عدد جميع النتائج المحتملة.

تبدو الصيغة كما يلي: P(A)=m/n.

A هو في الواقع حدث. إذا ظهرت حالة معاكسة لـ A، فيمكن كتابتها كـ Ā أو A 1 .

م هو عدد الحالات المواتية المحتملة.

ن - جميع الأحداث التي يمكن أن تحدث.

على سبيل المثال، A = "ارسم بطاقة بدلة القلب." هناك 36 بطاقة في المجموعة القياسية، 9 منها على شكل قلوب. وبناء على ذلك فإن صيغة حل المشكلة ستكون كما يلي:

ف(أ)=9/36=0.25.

ونتيجة لذلك، فإن احتمال سحب بطاقة بدلة القلب من المجموعة سيكون 0.25.

نحو الرياضيات العليا

الآن أصبح من غير المعروف ما هي نظرية الاحتمالية والصيغ والأمثلة لحل المشكلات التي تظهر في المناهج الدراسية. ومع ذلك، توجد نظرية الاحتمالات أيضًا في الرياضيات العليا التي يتم تدريسها في الجامعات. غالبًا ما تعمل باستخدام تعريفات هندسية وإحصائية للنظرية والصيغ المعقدة.

نظرية الاحتمال مثيرة جدا للاهتمام. من الأفضل أن تبدأ بدراسة الصيغ والأمثلة (الرياضيات العليا) بشكل صغير - مع التعريف الإحصائي (أو التكراري) للاحتمال.

لا يتعارض النهج الإحصائي مع النهج الكلاسيكي، ولكنه يوسعه قليلا. إذا كان من الضروري في الحالة الأولى تحديد احتمال حدوث حدث ما، فمن الضروري في هذه الطريقة الإشارة إلى عدد مرات حدوثه. هنا يتم تقديم مفهوم جديد لـ "التردد النسبي"، والذي يمكن الإشارة إليه بالرمز W n (A). الصيغة لا تختلف عن الصيغة الكلاسيكية:

إذا تم حساب الصيغة الكلاسيكية للتنبؤ، فسيتم حساب الصيغة الإحصائية وفقا لنتائج التجربة. لنأخذ مهمة صغيرة على سبيل المثال.

يقوم قسم المراقبة التكنولوجية بفحص المنتجات للتأكد من جودتها. ومن بين 100 منتج، تبين أن 3 منها ذات نوعية رديئة. كيفية العثور على احتمالية التردد لمنتج عالي الجودة؟

أ = "مظهر المنتج عالي الجودة."

دبليو ن (أ)=97/100=0.97

وبالتالي، فإن تكرار المنتج عالي الجودة هو 0.97. من أين حصلت على 97؟ من بين 100 منتج تم فحصها، تبين أن 3 منها ذات نوعية رديئة. نطرح 3 من 100 ونحصل على 97، هذه هي كمية البضائع عالية الجودة.

قليلا عن التوافقيات

طريقة أخرى لنظرية الاحتمالات تسمى التوافقيات. مبدأها الأساسي هو أنه إذا كان من الممكن إجراء اختيار معين A بطرق مختلفة، ويمكن إجراء اختيار B بطرق مختلفة، فيمكن إجراء اختيار A وB عن طريق الضرب.

على سبيل المثال، هناك 5 طرق تؤدي من المدينة أ إلى المدينة ب. هناك 4 مسارات من المدينة B إلى المدينة C. بكم طريقة يمكنك الانتقال من المدينة أ إلى المدينة ج؟

الأمر بسيط: 5x4=20، أي يمكنك الانتقال من النقطة "أ" إلى النقطة "ج" بعشرين طريقة مختلفة.

دعونا تعقيد المهمة. كم عدد الطرق المتاحة لوضع البطاقات في لعبة السوليتير؟ هناك 36 بطاقة في المجموعة - هذه هي نقطة البداية. لمعرفة عدد الطرق، تحتاج إلى "طرح" بطاقة واحدة في كل مرة من نقطة البداية والضرب.

أي أن 36x35x34x33x32...x2x1= لا تظهر النتيجة على شاشة الآلة الحاسبة، لذلك يمكن ببساطة تحديدها بالرقم 36!. لافتة "!" بجوار الرقم يشير إلى أن سلسلة الأرقام بأكملها مضروبة معًا.

في التوافقيات هناك مفاهيم مثل التقليب والتنسيب والجمع. كل واحد منهم لديه صيغة خاصة به.

تسمى المجموعة المرتبة من عناصر المجموعة بالترتيب. يمكن تكرار المواضع، أي أنه يمكن استخدام عنصر واحد عدة مرات. وبدون تكرار، عندما لا تتكرر العناصر. n هي جميع العناصر، m هي العناصر التي تشارك في التنسيب. ستبدو صيغة التنسيب بدون تكرار كما يلي:

أ ن م = ن!/(ن-م)!

تسمى اتصالات العناصر n التي تختلف فقط في ترتيب المواضع بالتباديل. في الرياضيات يبدو الأمر كالتالي: P n = n!

مجموعات n من عناصر m هي تلك المركبات التي من المهم فيها تحديد العناصر الموجودة فيها وما هو العدد الإجمالي لها. ستبدو الصيغة كما يلي:

ا ن م =ن!/م!(ن-م)!

صيغة برنولي

في نظرية الاحتمالات، كما هو الحال في كل تخصص، هناك أعمال لباحثين بارزين في مجالهم والذين ارتقوا بها إلى مستوى جديد. إحدى هذه الأعمال هي صيغة برنولي، التي تسمح لك بتحديد احتمال وقوع حدث معين في ظل ظروف مستقلة. يشير هذا إلى أن حدوث A في التجربة لا يعتمد على حدوث أو عدم حدوث نفس الحدث في تجارب سابقة أو لاحقة.

معادلة برنولي:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

الاحتمال (ع) لحدوث الحدث (أ) ثابت لكل تجربة. سيتم حساب احتمال حدوث الموقف بالضبط m مرات في عدد n من التجارب من خلال الصيغة الموضحة أعلاه. وعليه فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو كيفية معرفة الرقم q.

إذا حدث الحدث A لعدد مرات، وفقًا لذلك، فقد لا يحدث. الوحدة عبارة عن رقم يُستخدم لتعيين جميع نتائج الموقف في أحد التخصصات. لذلك، q هو رقم يشير إلى احتمال عدم وقوع حدث ما.

الآن أنت تعرف صيغة برنولي (نظرية الاحتمالية). سننظر في أمثلة حل المشكلات (المستوى الأول) أدناه.

المهمة 2:سيقوم زائر المتجر بإجراء عملية شراء باحتمال 0.2. دخل 6 زوار المتجر بشكل مستقل. ما هو احتمال قيام الزائر بإجراء عملية شراء؟

الحل: نظرًا لأنه من غير المعروف عدد الزوار الذين يجب عليهم إجراء عملية شراء، سواء كان واحدًا أو الستة جميعًا، فمن الضروري حساب جميع الاحتمالات الممكنة باستخدام صيغة برنولي.

أ = "سيقوم الزائر بالشراء".

في هذه الحالة: ع = 0.2 (كما هو موضح في المهمة). وبناء على ذلك، ف=1-0.2 = 0.8.

ن = 6 (حيث يوجد 6 عملاء في المتجر). سيختلف الرقم m من 0 (لن يقوم عميل واحد بالشراء) إلى 6 (سيشتري جميع زوار المتجر شيئًا ما). ونتيجة لذلك نحصل على الحل:

ف 6 (0) = ج 0 6 ×ص 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

لن يقوم أي من المشترين بإجراء عملية شراء باحتمال 0.2621.

كيف يتم استخدام صيغة برنولي (نظرية الاحتمالية)؟ أمثلة على حل المشكلات (المستوى الثاني) أدناه.

بعد المثال أعلاه، تطرح أسئلة حول أين ذهب C وr. بالنسبة إلى p، فإن الرقم أس 0 سيكون مساويًا لواحد. أما بالنسبة لـ C فيمكن إيجادها بالصيغة:

ج ن م = ن! /م!(ن-م)!

حيث أنه في المثال الأول m = 0، على التوالي، C = 1، وهو ما لا يؤثر من حيث المبدأ على النتيجة. باستخدام الصيغة الجديدة، دعونا نحاول معرفة احتمال قيام زائرين بشراء البضائع.

ف 6 (2) = ج 6 2 ×ص 2 ×ف 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

نظرية الاحتمالية ليست بهذا التعقيد. إن صيغة برنولي، والأمثلة المعروضة أعلاه، هي دليل مباشر على ذلك.

صيغة بواسون

تُستخدم معادلة بواسون لحساب المواقف العشوائية ذات الاحتمالية المنخفضة.

الصيغة الأساسية:

ف ن (م)=  م /م! × ه (-ẫ) .

في هذه الحالة lect = n x p. هنا صيغة بواسون بسيطة (نظرية الاحتمالية). سننظر في أمثلة حل المشكلات أدناه.

المهمة 3: أنتج المصنع 100.000 قطعة. حدوث جزء معيب = 0.0001. ما هو احتمال وجود 5 أجزاء معيبة في الدفعة؟

كما ترون، الزواج هو حدث غير محتمل، وبالتالي يتم استخدام صيغة بواسون (نظرية الاحتمالية) للحساب. لا تختلف أمثلة حل المشكلات من هذا النوع عن المهام الأخرى في التخصص؛ فنحن نستبدل البيانات الضرورية في الصيغة المحددة:

A = "الجزء الذي تم اختياره عشوائيًا سيكون معيبًا."

ع = 0.0001 (حسب شروط المهمة).

ن = 100000 (عدد الأجزاء).

م = 5 (الأجزاء المعيبة). نستبدل البيانات في الصيغة ونحصل على:

100000 ر (5) = 10 5 /5! X ه -10 = 0.0375.

تمامًا مثل صيغة برنولي (نظرية الاحتمالية)، وأمثلة الحلول المستخدمة المذكورة أعلاه، تحتوي معادلة بواسون على قيمة e غير معروفة، وفي الواقع يمكن العثور عليها من خلال الصيغة:

e -π = lim n ->∞ (1-/n) n .

ومع ذلك، هناك جداول خاصة تحتوي على جميع قيم e تقريبًا.

نظرية دي موافر لابلاس

إذا كان عدد التجارب في مخطط برنولي كبيرًا بدرجة كافية، وكان احتمال وقوع الحدث A في جميع المخططات هو نفسه، فيمكن العثور على احتمال وقوع الحدث A لعدد معين من المرات في سلسلة من الاختبارات بواسطة صيغة لابلاس:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

لتتذكر صيغة لابلاس (نظرية الاحتمالية) بشكل أفضل، توجد أمثلة للمسائل أدناه للمساعدة.

أولاً، دعونا نعثر على X m، ونستبدل البيانات (جميعها مذكورة أعلاه) في الصيغة ونحصل على 0.025. باستخدام الجداول نجد الرقم ϕ(0.025) وقيمته 0.3988. يمكنك الآن استبدال كافة البيانات في الصيغة:

ف 800 (267) = 1/√(800 × 1/3 × 2/3) × 0.3988 = 3/40 × 0.3988 = 0.03.

وبالتالي، فإن احتمال أن تعمل النشرة بالضبط 267 مرة هو 0.03.

صيغة بايز

صيغة بايز (نظرية الاحتمالية)، أمثلة على حل المشكلات التي سيتم تقديم المساعدة بها أدناه، هي معادلة تصف احتمالية حدث ما بناءً على الظروف التي يمكن أن ترتبط به. الصيغة الأساسية هي كما يلي:

P (A|B) = P (B|A) × P (A) / P (B).

A و B حدثان محددان.

P(A|B) هو احتمال مشروط، أي أن الحدث A يمكن أن يقع بشرط أن يكون الحدث B صحيحًا.

P (B|A) - الاحتمال الشرطي للحدث B.

لذا، فإن الجزء الأخير من الدورة القصيرة "نظرية الاحتمالية" هو صيغة بايز، وفيما يلي أمثلة لحلول المشكلات.

المهمة 5: تم إحضار هواتف من ثلاث شركات إلى المستودع. وفي الوقت نفسه، تبلغ حصة الهواتف التي يتم تصنيعها في المصنع الأول 25%، وفي الثاني 60%، وفي الثالث 15%. ومن المعروف أيضًا أن متوسط ​​​​نسبة المنتجات المعيبة في المصنع الأول 2٪ وفي الثاني 4٪ وفي الثالث 1٪. أنت بحاجة إلى إيجاد احتمال أن يكون الهاتف الذي تم اختياره عشوائيًا معيبًا.

أ = "الهاتف الذي تم اختياره عشوائيًا".

ب1- الهاتف الذي أنتجه المصنع الأول. وعليه سيظهر التعريف ب2 وب3 (للمصنعين الثاني والثالث).

ونتيجة لذلك نحصل على:

ف (ب 1) = 25%/100% = 0.25؛ ف(ب 2) = 0.6؛ P (B 3) = 0.15 - وهكذا وجدنا احتمال كل خيار.

أنت الآن بحاجة إلى إيجاد الاحتمالات الشرطية للحدث المطلوب، أي احتمال وجود منتجات معيبة في الشركات:

ف (أ/ب 1) = 2%/100% = 0.02؛

ف(أ/ب 2) = 0.04؛

ف (أ/ب 3) = 0.01.

الآن دعونا نستبدل البيانات في صيغة بايز ونحصل على:

ف (أ) = 0.25 × 0.2 + 0.6 × 0.4 + 0.15 × 0.01 = 0.0305.

تقدم المقالة نظرية الاحتمالات والصيغ والأمثلة لحل المشكلات، ولكن هذا ليس سوى غيض من فيض من نظام واسع. وبعد كل ما تم كتابته، سيكون من المنطقي طرح سؤال ما إذا كانت هناك حاجة إلى نظرية الاحتمال في الحياة. من الصعب على الشخص العادي الإجابة؛ فمن الأفضل أن تسأل شخصًا استخدمها للفوز بالجائزة الكبرى أكثر من مرة.