وزارة التربية والتعليم في جمهورية بيلاروسيا
مؤسسة تعليمية
"جوميل جامعة الدولةهم. ف. سكورينا"
كلية الرياضيات
قسم MPM
التحويلات المتماثلة للتعابير وطرق تعليم الطلاب كيفية أدائها
المنفذ:
الطالب ستارودوبوفا أ.يو.
كاند. الفيزياء والرياضيات العلوم، أستاذ مشارك ليبيديفا م.ت.
جوميل 2007
مقدمة
1 الأنواع الرئيسية للتحولات ومراحل دراستها. مراحل إتقان استخدام التحولات
خاتمة
الأدب
مقدمة
يتم إجراء أبسط تحويلات التعبيرات والصيغ بناءً على خصائص العمليات الحسابية مدرسة إبتدائيةوالصفين الخامس والسادس. يتم تكوين المهارات والقدرات اللازمة لإجراء التحولات في دورة الجبر. ويرجع ذلك إلى الزيادة الحادة في عدد وتنوع التحولات التي يتم تنفيذها، وإلى تعقيد الأنشطة لتبريرها وتوضيح شروط التطبيق، وتحديد ودراسة المفاهيم المعممة للهوية، والتحول المتطابق، التحول المعادل.
1. الأنواع الرئيسية للتحولات ومراحل دراستها. مراحل إتقان استخدام التحولات
1. بدايات الجبر
يتم استخدام نظام تحويلات غير مقسم، يتم تمثيله بقواعد لتنفيذ الإجراءات على أحد جزأين الصيغة أو كليهما. الهدف هو تحقيق الطلاقة في إكمال المهام لحل المعادلات البسيطة، وتبسيط الصيغ التي تحدد الوظائف، وتنفيذ العمليات الحسابية بشكل عقلاني بناءً على خصائص الإجراءات.
أمثلة نموذجية:
حل المعادلات:
أ) ؛ ب) ؛ الخامس) .
تحويل متطابق (أ) ؛ مكافئ ومتطابق (ب).
2. تكوين المهارات في تطبيق أنواع محددة من التحولات
الاستنتاجات: صيغ الضرب المختصرة؛ التحولات المرتبطة الأسي. التحولات المرتبطة بفئات مختلفة من الوظائف الأولية.
منظمة النظام بأكملهالتحولات (التوليف)
الهدف هو إنشاء جهاز مرن وقوي مناسب للاستخدام في حل مجموعة متنوعة من المسائل المهام التعليمية . يتم الانتقال إلى هذه المرحلة خلال التكرار النهائي للدورة في سياق فهم مادة معروفةتعلمت في أجزاء، بواسطة أنواع معينةتضيف التحويلات تحويلات التعبيرات المثلثية إلى الأنواع المدروسة مسبقًا. كل هذه التحويلات يمكن أن تسمى "جبرية"، وتشمل التحويلات "التحليلية" تلك التي تقوم على قواعد التفاضل والتكامل وتحويل العبارات التي تحتوي على مقاطع إلى حدود. يكمن الاختلاف في هذا النوع في طبيعة المجموعة التي تعمل من خلالها المتغيرات في الهويات (مجموعات معينة من الوظائف).
وتنقسم الهويات التي تتم دراستها إلى فئتين:
I – هويات الضرب المختصرة الصالحة في حلقة تبديلية وهويات
عادلة في الميدان.
ثانيا – ربط الهويات عمليات حسابيةوالوظائف الأولية الأساسية.
2 ملامح تنظيم نظام المهام عند دراسة تحولات الهوية
المبدأ الأساسي لتنظيم نظام المهام هو تقديمها من البسيط إلى المعقد.
دورة التمرين- الجمع في سلسلة من التمارين بين عدة جوانب من الدراسة وتقنيات ترتيب المادة. عند دراسة تحولات الهوية، ترتبط دورة من التمارين بدراسة هوية واحدة، تتجمع حولها الهويات الأخرى التي لها علاقة طبيعية بها.تتضمن الدورة، إلى جانب الدورات التنفيذية، المهام، تتطلب الاعتراف بإمكانية تطبيق الهوية المعنية. يتم استخدام الهوية قيد الدراسة لإجراء العمليات الحسابية على المجالات العددية المختلفة. وتنقسم المهام في كل دورة إلى مجموعتين. ل أولاًوتشمل هذه المهام التي يتم إجراؤها أثناء التعرف الأولي على الهوية. هم يخدمون المواد التعليميةلعدة دروس متتالية يجمعها موضوع واحد.
المجموعة الثانيةتربط التمارين بين الهوية محل الدراسة والتطبيقات المختلفة. لا تشكل هذه المجموعة وحدة تركيبية - فالتمارين هنا متناثرة حول مواضيع مختلفة.
تشير هياكل الدورة الموصوفة إلى مرحلة تطوير المهارات اللازمة لتطبيق تحولات محددة.
وفي مرحلة التوليف تتغير الدورات، ويتم دمج مجموعات المهام في اتجاه التعقيد ودمج الدورات المتعلقة بالهويات المختلفة، مما يساعد على زيادة دور الإجراءات للتعرف على قابلية تطبيق هوية معينة.
مثال.
دورة المهام للهوية:
أنا مجموعة المهام:
أ) موجود على شكل منتج:
ب) التحقق من المساواة:
ج) قم بتوسيع الأقواس في التعبير:
.
د) احسب:
ه) التخصيم:
و) تبسيط التعبير:
.
لقد أصبح الطلاب على دراية بصياغة الهوية وكتابتها في شكل هوية وإثباتها.
المهمة أ) ترتبط بتثبيت بنية الهوية التي تتم دراستها، مع إنشاء اتصال بها مجموعات رقمية(مقارنة بنيات علامات الهوية والتعبير المتحول؛ استبدال حرف برقم في الهوية). في المثال الأخيرلا يزال من الضروري تقليصه إلى الأنواع قيد الدراسة. في الأمثلة التالية (هـ و ز) هناك تعقيد سببه الدور التطبيقيهوية وتعقيد بنية الإشارة.
تهدف المهام من النوع ب) إلى تطوير مهارات الاستبدال 
على . دور المهمة ج) مشابه.
أمثلة من النوع د)، حيث من الضروري اختيار أحد اتجاهات التحول، واستكمال تطوير هذه الفكرة.
تركز مهام المجموعة الأولى على إتقان بنية الهوية، وعملية الاستبدال في أبسط الحالات وأكثرها أهمية، وفكرة عكس التحولات التي تجريها الهوية. جداً مهملديه أيضا التخصيب الوسائل اللغويةعرض جوانب مختلفةالمتطابقات. وتعطي نصوص التكليفات فكرة عن هذه الجوانب.
المجموعة الثانية من المهام.
ز) استخدام الهوية لتحليل كثير الحدود.
ح) إزالة اللاعقلانية في مقام الكسر.
ط) أثبت أنه إذا - عدد فرديثم يقبل القسمة على 4.
ي) يتم إعطاء الوظيفة التعبير التحليلي
.
تخلص من علامة المعامل من خلال النظر في حالتين: , .
ك) حل المعادلة 
.
وتهدف هذه المهام إلى أكبر قدر ممكن استخدام كاملومع الأخذ في الاعتبار خصوصيات هذه الهوية الخاصة، تفترض تكوين مهارات في استخدام الهوية المدروسة لفرق المربعات. الهدف هو تعميق فهم الهوية من خلال النظر في تطبيقاتها المختلفة في حالات مختلفة، جنبًا إلى جنب مع استخدام المواد المتعلقة بموضوعات أخرى في دورة الرياضيات.
أو 
.
ميزات دورات المهام المتعلقة بالهويات للوظائف الأولية:
1) تتم دراستها على أساس المواد الوظيفية؛
2) تظهر هويات المجموعة الأولى لاحقًا وتتم دراستها باستخدام المهارات التي تم تطويرها بالفعل لإجراء تحويلات الهوية.
يجب أن تتضمن المجموعة الأولى من المهام في الدورة مهام إنشاء اتصالات بين هذه المناطق العددية الجديدة والمنطقة الأصلية للأعداد النسبية.
مثال.
احسب:
;
.
الغرض من هذه المهام هو إتقان ميزات السجلات، بما في ذلك رموز العمليات والوظائف الجديدة، وتطوير مهارات الكلام الرياضية.
يرتبط الكثير من استخدام تحويلات الهوية بـ وظائف أولية، يقع على حل المعادلات غير العقلانية والمتسامية. تسلسل الخطوات:
أ) أوجد الدالة φ التي لها معادلة معينةيمكن تمثيل f(x)=0 على النحو التالي:
ب) عوّض بـ y=φ(x) وحل المعادلة
ج) حل كل من المعادلات φ(x)=y k، حيث y k هي مجموعة جذور المعادلة F(y)=0.
عند استخدام الطريقة الموضحة، غالبًا ما يتم تنفيذ الخطوة ب) ضمنيًا، دون إدخال رمز لـ φ(x). وبالإضافة إلى ذلك، غالبا ما يفضل الطلاب طرق مختلفةمما يؤدي إلى إيجاد الإجابة، اختر ما يؤدي إلى المعادلة الجبرية بشكل أسرع وأسهل.
مثال. حل المعادلة 4 × -3*2=0.
2)(2 2) × -3*2 × =0 (الخطوة أ)
(2 س) 2 -3*2 س =0; 2 × (2 × -3)=0; 2 × -3=0. (الخطوة ب)
مثال. حل المعادلة:
أ) 2 2x -3*2 x +2=0;
ب) 2 2س -3*2 س -4=0؛
ج) 2 2س -3*2 س +1=0.
(اقتراح لحل مستقل.)
تصنيف المهام في الدورات المتعلقة بحل المعادلات المتعالية، بما في ذلك وظيفة الأسية:
1) المعادلات التي تختزل إلى معادلات من الصورة a x =y 0 ولها إجابة عامة بسيطة:
2) المعادلات التي يتم اختزالها إلى معادلات بالشكل a x = a k، حيث k عدد صحيح، أو a x = b، حيث b≥0.
3) المعادلات التي تختزل إلى معادلات من الشكل a x =y 0 وتتطلب تحليل صريحالشكل الذي يتم فيه كتابة الرقم y 0 بشكل صريح.
المهام فيها تحولات الهويةتُستخدم لإنشاء الرسوم البيانية عند تبسيط الصيغ التي تحدد الوظائف.
أ) قم برسم الدالة y=;
ب) حل المعادلة lgx+lg(x-3)=1
ج) على أي مجموعة تعتبر الصيغة log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) هوية؟
استخدام تحويلات الهوية في العمليات الحسابية (مجلة الرياضيات في المدرسة، العدد 4، 1983، ص 45).
المهمة رقم 1. يتم إعطاء الدالة بالصيغة y=0.3x 2 +4.64x-6. أوجد قيم الدالة عند x=1.2
ص(1,2)=0.3*1.2 2 +4.64*1.2-6=1.2(0.3*1.2+4.64)-6=1.2(0 .36+4.64)-6=1.2*5-6=0.
المهمة رقم 2. حساب طول الساق مثلث قائم، إذا كان طول الوتر 3.6 سم، والساق الأخرى 2.16 سم.
المهمة رقم 3. ما هي مساحة المؤامرة شكل مستطيلبأبعاد أ) 0.64 م و 6.25 م ؛ ب) 99.8 م و 2.6 م؟
أ)0.64*6.25=0.8 2 *2.5 2 =(0.8*2.5) 2;
ب)99.8*2.6=(100-0.2)2.6=100*2.6-0.2*2.6=260-0.52.
هذه الأمثلة تجعل من الممكن التعرف عليها الاستخدام العمليتحولات الهوية. ويجب أن يكون الطالب على دراية بشروط جدوى التحويل (انظر المخططات).
| |
- صورة كثيرة الحدود، حيث تتناسب أي كثيرة الحدود مع الخطوط الدائرية (الرسم البياني 1).
-
يتم إعطاء شرط جدوى تحويل منتج أحادي الحد والتعبير الذي يسمح بالتحويل إلى فرق من المربعات. (المخطط 2)
-
هنا يعني التظليل أحاديات الحد المتساوية ويتم إعطاء تعبير يمكن تحويله إلى فرق من المربعات (المخطط 3).
| |
| |
- تعبير يسمح بوجود عامل مشترك.
ويمكن تنمية مهارات الطلاب في التعرف على الحالات باستخدام الأمثلة التالية:
أي العبارات التالية يمكن تحويله بإخراج العامل المشترك من الأقواس:
2) 
3) 0.7 أ 2 +0.2 ب 2 ؛
5) 6,3*0,4+3,4*6,3;
6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ؛
7) 0,21+0,22+0,23.
معظم العمليات الحسابية في الممارسة العملية لا تستوفي شروط الإشباع، لذلك يحتاج الطلاب إلى المهارات اللازمة لاختزالها إلى شكل يسمح بحساب التحولات. في هذه الحالة، المهام التالية مناسبة:
عند دراسة إخراج العامل المشترك من الأقواس:
قم بتحويل هذا التعبير، إن أمكن، إلى تعبير موضح في الرسم البياني 4:
4) 2أ*أ 2 *أ 2;
5) 2ن 4 +3ن 6 +ن 9 ;
8) 15أ 2 +5 أ 2 ب؛
10) 12,4*-1,24*0,7;
11) 4,9*3,5+1,7*10,5;
12) 10,8 2 -108;
13) 
14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;
15) 2*3 4 -3*2 4 +6;
18) 3,2/0,7-1,8*
عند تكوين مفهوم "التحويل المتماثل" يجب أن نتذكر أن هذا لا يعني فقط أن المعطى والتعبير الناتج نتيجة التحويل يأخذان قيمًا متساوية لأي قيم للحروف المتضمنة فيه، ولكن أيضًا أثناء التحويل المتطابق ننتقل من التعبير الذي يحدد طريقة واحدة للحساب إلى تعبير يحدد طريقة أخرى لحساب نفس القيمة.
يمكنك توضيح الرسم البياني 5 (قاعدة تحويل منتج أحادي الحد ومتعدد الحدود) مع الأمثلة
0.5 أ (ب + ج) أو 3.8 (0.7+).
تمارين لتعلم كيفية إخراج العامل المشترك من الأقواس:
احسب قيمة التعبير:
أ) 4.59*0.25+1.27*0.25+2.3-0.25؛
ب) أ + قبل الميلاد عند أ = 0.96؛ ب = 4.8؛ ج=9.8.
ج) أ(أ+ج)-ج(أ+ب) مع أ=1.4؛ ب = 2.8؛ ج=5.2.
ولنوضح بالأمثلة تكوين المهارات في العمليات الحسابية وتحولات الهوية (مجلة الرياضيات في المدرسة، العدد 5، 1984، ص 30).
1) يتم اكتساب المهارات والقدرات بشكل أسرع ويتم الاحتفاظ بها لفترة أطول إذا حدث تكوينها على أساس واعي ( مبدأ تعليميالوعي).
1) يمكنك صياغة قاعدة لجمع الكسور ذات المقامات المتشابهة أو الأولية أمثلة محددةالنظر في جوهر إضافة حصص متساوية.
2) عند التخصيم عن طريق إخراج العامل المشترك من الأقواس، من المهم ملاحظة ذلك المضاعف المشتركومن ثم تطبيق قانون التوزيع. عند إجراء التمارين الأولى، من المفيد كتابة كل حد من كثيرة الحدود كحاصل ضرب، ويكون أحد عوامله مشتركًا بين جميع الحدود:
3أ 3 -15أ 2 ب+5آب 2 = أ3أ 2 -a15ab+a5b 2 .
من المفيد بشكل خاص القيام بذلك عندما يتم إخراج أحد أحاديات كثيرة الحدود من بين قوسين:
ثانيا. المرحلة الأولىتكوين المهارة - إتقان المهارة (يتم تنفيذ التمارين باستخدام تفسيرات مفصلةوالسجلات)
(تم حل مشكلة التوقيع أولا)
المرحلة الثانية– مرحلة أتمتة المهارة من خلال إلغاء بعض العمليات الوسيطة
ثالثا. يتم تحقيق قوة المهارات من خلال حل الأمثلة المتنوعة في المحتوى والشكل.
الموضوع: "إخراج العامل المشترك بين قوسين."
1. اكتب العامل المفقود بدلاً من كثير الحدود:
2. قم بالتحليل بحيث يكون قبل القوسين وحيدة الحد ذات معامل سلبي:
3. عامل بحيث يكون للكثيرة الحدود بين قوسين معاملات صحيحة:
4. حل المعادلة:
رابعا. يكون تطوير المهارات أكثر فعالية عندما يتم إجراء بعض الحسابات أو التحويلات المتوسطة شفهيًا.
(شفهيا)؛
V. يجب أن تكون المهارات والقدرات التي يتم تطويرها جزءًا من نظام المعرفة والمهارات والقدرات الذي تم تشكيله مسبقًا لدى الطلاب.
على سبيل المثال، عند تدريس كيفية تحليل كثيرات الحدود باستخدام صيغ الضرب المختصرة، يتم تقديم التمارين التالية:
حلل إلى عوامل:
السادس. الحاجة إلى التنفيذ العقلاني للحسابات والتحولات.
الخامس)تبسيط التعبير:
العقلانية تكمن في فتح القوسين، لأن
سابعا. تحويل التعبيرات التي تحتوي على الأسس.
رقم 1011 (Alg.9) تبسيط التعبير:
رقم 1012 (Alg.9) إزالة المضاعف من تحت علامة الجذر:
رقم 1013 (Alg.9) أدخل عاملاً تحت علامة الجذر:
رقم 1014 (Alg.9) تبسيط التعبير:
في جميع الأمثلة، قم أولاً بإجراء إما التحليل أو الطرح للعامل المشترك، أو "راجع" صيغة التخفيض المقابلة.
رقم 1015 (Alg.9) تقليل الكسر:
يواجه العديد من الطلاب بعض الصعوبة في تحويل التعبيرات التي تحتوي على جذور، خاصة عند دراسة المساواة:
لذلك، إما أن تصف بالتفصيل تعبيرات النموذج أو 
أو اذهب إلى درجة ذات أس عقلاني.
رقم 1018 (Alg.9) أوجد قيمة التعبير :
رقم 1019 (Alg.9) تبسيط التعبير:
2.285 (سكانافي) تبسيط التعبير
ومن ثم رسم الدالة ذل
رقم 2.299 (سكانافي) التحقق من صحة المساواة :
تحويل التعبيرات التي تحتوي على درجة هو تعميم للمهارات والقدرات المكتسبة في دراسة التحولات المتطابقة لكثيرات الحدود.
رقم 2.320 (سكانافي) تبسيط التعبير:
توفر دورة الجبر 7 التعريفات التالية.
مواطنه. يقال إن التعبيرين اللذين تتساوى قيمهما المقابلة لقيم المتغيرات متساويان بشكل متماثل.
مواطنه. المساواة صحيحة لأي قيم للمتغيرات تسمى. هوية.
رقم 94 (الحج 7) هل المساواة :
أ) 
ج) 
د) 
تعريف الوصف: استبدال تعبير بتعبير آخر متساوٍ بشكل مماثل يسمى تحويلًا متطابقًا أو ببساطة تحويل تعبير. يتم إجراء التحويلات المتطابقة للتعبيرات ذات المتغيرات بناءً على خصائص العمليات على الأرقام.
رقم (Alg.7) من الألفاظ
ابحث عن تلك المتساوية.
الموضوع: "التحويلات المتطابقة للتعبيرات" (تقنية السؤال)
الموضوع الأول من "الجبر -7" - "التعبيرات وتحولاتها" يساعد على تعزيز المهارات الحسابية المكتسبة في الصفوف 5-6، وتنظيم وتعميم المعلومات حول تحويلات التعبيرات وحلول المعادلات.
العثور على القيم الرقمية و التعبيرات الحرفيةيجعل من الممكن تكرار قواعد العمل مع الطلاب أرقام نسبية. تعد القدرة على إجراء العمليات الحسابية باستخدام الأعداد النسبية أمرًا أساسيًا لمقرر الجبر بأكمله.
عند النظر في تحويلات التعبيرات، تظل المهارات الرسمية والتشغيلية على نفس المستوى الذي تم تحقيقه في الصفوف 5-6.
ومع ذلك، هنا يرتفع الطلاب إلى مستوى جديد في إتقان النظرية. يتم تقديم مفاهيم "التعبيرات المتساوية المتماثلة"، و"الهوية"، و"التحولات المتطابقة للتعبيرات"، والتي سيتم الكشف عن محتواها وتعميقها باستمرار عند دراسة تحولات التعبيرات المختلفة. تعبيرات جبرية. تم التأكيد على أن أساس تحويلات الهوية هو خصائص العمليات على الأعداد.
عند دراسة موضوع "متعددات الحدود"، يتم تشكيل المهارات التشغيلية الرسمية للتحويلات المتطابقة للتعبيرات الجبرية. تساهم صيغ الضرب المختصرة في العملية الإضافية لتطوير القدرة على إجراء تحويلات متطابقة للتعبيرات الكاملة؛ تُستخدم القدرة على تطبيق الصيغ لكل من الضرب المختصر وتحليل كثيرات الحدود ليس فقط في تحويل التعبيرات بأكملها، ولكن أيضًا في العمليات مع الكسور والجذور. , القوى مع الأس العقلاني .
في الصف الثامن، يتم ممارسة المهارات المكتسبة لتحولات الهوية في الإجراءات الكسور الجبرية, الجذر التربيعيوالتعبيرات التي تحتوي على القوى ذات الأس الصحيح.
في المستقبل، تنعكس تقنيات تحويلات الهوية في التعبيرات التي تحتوي على درجة ذات أس عقلاني.
مجموعة خاصة من تحويلات الهوية تتكون من التعبيرات المثلثيةوالتعابير اللوغاريتمية.
تشمل نتائج التعلم الإلزامية لدورة الجبر في الصفوف 7-9 ما يلي:
1) تحويلات الهوية للتعبيرات الصحيحة
أ) فتح وإغلاق الأقواس؛
ب) جلب أعضاء مماثلين؛
ج) الجمع والطرح والضرب لكثيرات الحدود.
د) تحليل كثيرات الحدود عن طريق وضع العامل المشترك بين قوسين وصيغ الضرب المختصرة؛
ه) التحلل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةبواسطة المضاعفات.
"الرياضيات في المدرسة" (B.U.M.) ص 110
2) تحولات الهوية التعبيرات العقلانية: جمع وطرح وضرب وقسمة الكسور، وكذلك تطبيق المهارات المذكورة عند إجراء تحويلات مجمعة بسيطة [ص. 111]
3) أن يكون الطلاب قادرين على إجراء تحويلات للتعبيرات البسيطة التي تحتوي على القوى والجذور. (ص 111-112)
تم النظر في الأنواع الرئيسية للمشكلات، والقدرة على حلها والتي تسمح للطالب بالحصول على درجة إيجابية.
أحد أهم جوانب منهجية دراسة تحولات الهوية هو تطوير الطالب لأهداف أداء تحولات الهوية.
1) 
- التبسيط القيمة العدديةالتعبيرات
2) أي من التحويلات ينبغي تنفيذها: (1) 
أو (2) يعد تحليل هذه الخيارات دافعًا (يفضل (1)، لأنه في (2) يتم تضييق نطاق التعريف)
3) حل المعادلة:
التخصيم عند حل المعادلات.
4) احسب:
دعونا نطبق صيغة الضرب المختصرة:
(101-1) (101+1)=100102=102000
5) أوجد قيمة التعبير:
للعثور على القيمة، اضرب كل كسر في مرافقه:
6) رسم بياني للوظيفة:
دعونا نختار الجزء بأكمله: .
يمكن الحصول على منع الأخطاء عند إجراء تحويلات الهوية من خلال أمثلة مختلفة لتنفيذها. في هذه الحالة، يتم ممارسة التقنيات "الصغيرة"، والتي، كمكونات، يتم تضمينها في عملية تحويل أكبر.
على سبيل المثال:
اعتمادا على اتجاهات المعادلة، يمكن النظر في عدة مشاكل: ضرب كثيرات الحدود من اليمين إلى اليسار؛ من اليسار إلى اليمين - التخصيم. الجهه اليسرىهو مضاعف لأحد العوامل الموجودة على الجانب الأيمن، وما إلى ذلك.
بالإضافة إلى تنويع الأمثلة، يمكنك استخدام اعتذار بين الهويات والمساواة العددية.
التقنية التالية هي شرح الهويات.
لزيادة اهتمام الطلاب، يمكننا تضمين الاكتشاف بطرق متعددةحل المشاكل.
ستصبح الدروس المتعلقة بدراسة تحولات الهوية أكثر إثارة للاهتمام إذا خصصتها لذلك البحث عن حل للمشكلة .
على سبيل المثال: 1) تقليل الكسر:
3) إثبات صيغة "الجذر المركب"
يعتبر:
دعونا نحول الجانب الأيمن من المساواة:
-
مجموع التعبيرات المترافقة. ويمكن ضربهما وقسمتهما على مرافقهما، لكن مثل هذه العملية ستقودنا إلى كسر مقامه الفرق بين الجذور.
لاحظ أن الحد الأول في الجزء الأول من المتطابقة عدد أكبر من الثاني، فيمكننا تربيع الجزأين:
درس عملي №3.
الموضوع: التحويلات المتطابقة للتعبيرات (تقنية السؤال).
الأدب: "ورشة عمل حول MPM"، الصفحات 87-93.
لافتة ثقافة عاليةالحسابات وتحولات الهوية للطلاب هي المعرفة الصلبةخصائص وخوارزميات العمليات على الكميات الدقيقة والتقريبية وتطبيقها الماهر؛ تقنيات عقلانيةالحسابات والتحويلات والتحقق منها؛ القدرة على تبرير استخدام أساليب وقواعد الحسابات والتحويلات، والمهارات التلقائية للتنفيذ الخالي من الأخطاء للعمليات الحسابية.
في أي صف يجب أن يبدأ الطلاب العمل على تطوير المهارات المذكورة؟
يبدأ خط التحولات المتطابقة للتعبيرات باستخدام التقنيات حساب عقلانييبدأ باستخدام تقنيات الحساب العقلاني لقيم التعبيرات الرقمية. (الصف الخامس)
عند دراسة مثل هذه المواضيع دورة المدرسةينبغي أن تعطى لهم الرياضيات انتباه خاص!
يتم تسهيل التنفيذ الواعي للطلاب لتحولات الهوية من خلال فهم حقيقة أن التعبيرات الجبرية لا توجد بمفردها، ولكن في اتصال لا ينفصم مع مجموعة رقمية معينة، فهي عبارة عن سجلات معممة للتعبيرات الرقمية. تعتبر المقارنات بين التعبيرات الجبرية والعددية (وتحويلاتها) منطقية؛ ويساعد استخدامها في التدريس على منع الطلاب من ارتكاب الأخطاء.
التحويلات المتطابقة ليست موضوعا منفصلا في مقرر الرياضيات بالمدرسة، بل تتم دراستها طوال مقرر الجبر وبدايات التحليل الرياضي.
يعد برنامج الرياضيات للصفوف من 1 إلى 5 مادة تمهيدية لدراسة التحويلات المتطابقة للتعبيرات ذات المتغير.
في دورة الجبر للصف السابع. تم تقديم تعريف الهوية وتحولات الهوية.
مواطنه.يتم استدعاء تعبيرين تكون قيمهما المقابلة متساوية لأي قيم للمتغيرات. متساوية تماما.
المساعدة الإنمائية الرسمية. تسمى المساواة الصحيحة لأي قيم للمتغيرات بالهوية.
تكمن قيمة الهوية في حقيقة أنها تسمح باستبدال تعبير معين بتعبير آخر مساوٍ له.
مواطنه.يسمى استبدال تعبير بتعبير آخر متساوٍ تمامًا تحول متطابقأو ببساطة تحويلالتعبيرات.
يتم إجراء التحويلات المتطابقة للتعبيرات ذات المتغيرات بناءً على خصائص العمليات على الأرقام.
يمكن اعتبار أساس تحولات الهوية تحولات مكافئة.
المساعدة الإنمائية الرسمية. يتم استدعاء جملتين، كل منهما نتيجة منطقية للأخرى. مقابل.
المساعدة الإنمائية الرسمية. الجملة ذات المتغيرات A تسمى . نتيجة الجملة ذات المتغيرات B، إذا كان مجال الحقيقة B هو مجموعة فرعية من مجال الحقيقة A.
يمكن إعطاء تعريف آخر للجمل المتكافئة: جملتان ذات متغيرات متكافئتان إذا تطابقت مجالات الحقيقة الخاصة بهما.
أ) ب: x-1=0 على R؛ A: (x-1) 2 على R => A~B، لأن مناطق الحقيقة (الحل) تتطابق (x=1)
ب) أ: س = 2 على ص؛ ب: x 2 = 4 على R => مجال الحقيقة أ: x = 2؛ مجال الحقيقة B: x=-2, x=2; لأن مجال حقيقة A موجود في B، إذن: x 2 = 4 هو نتيجة للقضية x = 2.
أساس تحويلات الهوية هو القدرة على تمثيل نفس الرقم في أشكال مختلفة. على سبيل المثال،
-
سيساعد هذا التمثيل عند دراسة موضوع "الخصائص الأساسية للكسور".
تبدأ مهارات إجراء تحويلات الهوية في التطور عند حل الأمثلة المشابهة لما يلي: "أوجد القيمة العددية للتعبير 2أ 3 +3اب + ب 2 مع أ = 0.5، ب = 2/3"، والتي يتم تقديمها للطلاب في الصف الدراسي 5 والسماح لمفهوم الدعائية للوظيفة.
عند دراسة صيغ الضرب المختصرة، يجب عليك الانتباه إلى فهمها العميق واستيعابها القوي. للقيام بذلك، يمكنك استخدام الرسم التوضيحي التالي:
| |
(أ+ب) 2 =أ 2 +2آب+ب 2 (أ-ب) 2 =أ 2 -2ab+ب 2 أ 2 -ب 2 =(أ-ب)(أ+ب)
سؤال: كيف تشرح للطلاب جوهر الصيغ المعطاة بناءً على هذه الرسومات؟
من الأخطاء الشائعة الخلط بين عبارة "مربع المجموع" و"مجموع المربعات". إن إشارة المعلم إلى أن هذه التعبيرات تختلف في ترتيب العمليات لا تبدو ذات أهمية، إذ يعتقد الطلاب أن هذه الأفعال تتم على نفس الأرقام وبالتالي فإن النتيجة لا تتغير بتغير ترتيب العمليات.
الواجب: إنشاء تمارين شفهية لتطوير مهارات الطلاب في استخدام الصيغ المذكورة أعلاه دون أخطاء. كيف يمكننا أن نفسر مدى تشابه هذين التعبيرين وكيف يختلف كل منهما عن الآخر؟
إن التنوع الكبير في التحولات المتطابقة يجعل من الصعب على الطلاب توجيه أنفسهم نحو الغرض الذي يتم تنفيذهم من أجله. معرفة غامضة بالغرض من إجراء التحويلات (في كل منها). حالة محددة) يؤثر سلبا على وعيهم، بمثابة مصدر أخطاء هائلةطلاب. يشير هذا إلى أن شرح أهداف إجراء تحويلات الهوية المختلفة للطلاب أمر مهم. جزء لا يتجزأطرق دراستها.
أمثلة على دوافع تحولات الهوية:
1. تبسيط الموقع القيمة العدديةالتعبيرات؛
2. اختيار تحويل المعادلة الذي لا يؤدي إلى فقدان الجذر.
3. عند إجراء التحويل، يمكنك تحديد منطقة الحساب الخاصة به؛
4. استخدام التحويلات في العمليات الحسابية، على سبيل المثال 99 2 -1=(99-1)(99+1);
لإدارة عملية اتخاذ القرار، من المهم أن يكون لدى المعلم القدرة على إعطاء وصف دقيق لجوهر الخطأ الذي ارتكبه الطالب. التوصيف الدقيق للخطأ هو المفتاح الاختيار الصحيحالإجراءات اللاحقة التي يتخذها المعلم.
أمثلة على أخطاء الطلاب:
1. إجراء الضرب: حصل الطالب على -54abx 6 (7 خلايا)؛
2. بالرفع إلى قوة (3x2) 3 حصل الطالب على 3x6 (7 درجات)؛
3. تحويل (م + ن) 2 إلى كثيرة الحدود، حصل الطالب على م 2 + ن 2 (الصف السابع)؛
4. تخفيض الكسر الذي حصل عليه الطالب (8 درجات)؛
5. إجراء الطرح: 
، يكتب الطالب (الصف الثامن)
6. تمثيل الكسر على شكل كسور حصل الطالب على : 
(8 درجات)؛
7. الإزالة الجذر الحسابيحصل الطالب على x-1 (الصف 9)؛
8. حل المعادلة (الصف التاسع).
9. بتحويل التعبير يحصل الطالب على : (الصف التاسع).
خاتمة
يتم إجراء دراسة تحويلات الهوية بشكل وثيق مع المجموعات العددية التي تمت دراستها في فئة معينة.
في البداية يجب أن تطلب من الطالب شرح كل خطوة من خطوات التحويل، لصياغة القواعد والقوانين التي تنطبق عليه.
في التحويلات المتماثلة للتعبيرات الجبرية، يتم استخدام قاعدتين: الاستبدال والاستبدال بالمتساويات. يتم استخدام الاستبدال في أغلب الأحيان، لأن لأنه يقوم على الصيغ الحسابية، أي. أوجد قيمة التعبير a*b مع a=5 وb=-3. في كثير من الأحيان، يهمل الطلاب الأقواس عند إجراء عمليات الضرب، معتقدين أن علامة الضرب ضمنية. على سبيل المثال، الإدخال التالي ممكن: 5*-3.
الأدب
1. أ. ازاروف، س. بارفينوف "وظيفية و الأساليب الرسوميةحل مسائل الامتحان"، من..أفيرسيف، 2004
2. ن. بيريوتكو "أخطاء نموذجية في اختبار مركزي"، من.. أفيرسيف، 2006
3. أ. ازاروف، س. بارفينوف "مهام الفخ في الاختبار المركزي"، Mn..Aversev، 2006
4. أ. ازاروف، س. بارفينوف "طرق الحل المشاكل المثلثية"، من.. أفيرسيف، 2005
من بين التعبيرات المختلفة التي يتم أخذها في الاعتبار في الجبر، تحتل مجموعات أحاديات الحد مكانًا مهمًا. فيما يلي أمثلة على هذه التعبيرات:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
مجموع أحاديات الحد يسمى متعدد الحدود. تسمى المصطلحات الموجودة في كثير الحدود مصطلحات كثيرة الحدود. يتم تصنيف أحاديات الحد أيضًا على أنها متعددات الحدود، معتبرا أن أحادية الحد هي متعددة الحدود تتكون من عضو واحد.
على سبيل المثال، كثير الحدود
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
يمكن تبسيطها.
دعونا نمثل جميع الحدود في شكل أحاديات الحد طريقة العرض القياسية:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
دعونا نقدم مصطلحات مماثلة في كثير الحدود الناتج:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
والنتيجة هي كثيرة الحدود، وجميع حدودها هي أحادية الحد بالشكل القياسي، ولا يوجد بينها مثيل. تسمى كثيرات الحدود هذه كثيرات الحدود من النموذج القياسي.
خلف درجة كثير الحدودذات الشكل القياسي تأخذ أعلى صلاحيات أعضائها. وبالتالي، فإن ذات الحدين \(12a^2b - 7b\) لها الدرجة الثالثة، وثلاثية الحدود \(2b^2 -7b + 6\) لها الدرجة الثانية.
عادة، يتم ترتيب حدود كثيرات الحدود ذات الشكل القياسي التي تحتوي على متغير واحد بترتيب تنازلي لأسس درجتها. على سبيل المثال:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
يمكن تحويل (تبسيط) مجموع العديد من كثيرات الحدود إلى كثير حدود بالشكل القياسي.
في بعض الأحيان، يلزم تقسيم حدود كثيرة الحدود إلى مجموعات، مع وضع كل مجموعة بين قوسين. بما أن الأقواس المغلقة هي تحويل عكسي للأقواس المفتوحة، فمن السهل صياغتها قواعد فتح الأقواس:
إذا وضعت إشارة "+" قبل القوسين فإن المصطلحات التي بين القوسين تكتب بنفس الإشارة.
إذا وضعت إشارة "-" قبل القوسين، فإن المصطلحات التي بين القوسين تكتب بإشارة معاكسة.
تحويل (تبسيط) منتج أحادي الحد ومتعدد الحدود
باستخدام خاصية التوزيع للضرب، يمكنك تحويل (تبسيط) منتج أحادية الحد ومتعددة الحدود إلى كثيرة الحدود. على سبيل المثال:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
إن حاصل ضرب أحادية الحد ومتعددة الحدود يساوي بشكل متطابق مجموع منتجات أحادية الحد وكل حد من حدود كثيرة الحدود.
عادة ما يتم صياغة هذه النتيجة كقاعدة.
لضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود، يجب عليك ضرب تلك الأحادية الحد في كل حد من حدود كثيرة الحدود.
لقد استخدمنا هذه القاعدة بالفعل عدة مرات للضرب في مجموع.
منتج كثيرات الحدود. تحويل (تبسيط) منتج متعدد الحدود
بشكل عام، حاصل ضرب كثيرتي الحدود يساوي بشكل مماثل مجموع حاصل ضرب كل حد من كثيرات الحدود وكل حد من الحدود الأخرى.
عادة ما يتم استخدام القاعدة التالية.
لضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود، تحتاج إلى ضرب كل حد من كثير الحدود في كل حد من الحد الآخر وإضافة المنتجات الناتجة.
صيغ الضرب المختصرة. مجموع المربعات والاختلافات والفرق بين المربعات
مع بعض التعبيرات في التحولات الجبريةيجب التعامل معها في كثير من الأحيان أكثر من غيرها. ولعل التعبيرات الأكثر شيوعًا هي \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) و\(a^2 - b^2 \)، أي مربع المجموع، مربع العدد الفرق والفرق بين المربعات. لقد لاحظت أن أسماء هذه التعبيرات تبدو غير مكتملة، على سبيل المثال \((a + b)^2 \) بالطبع ليس مربع المجموع فحسب، بل مربع مجموع a وb . ومع ذلك، فإن مربع مجموع A و B لا يحدث في كثير من الأحيان؛ كقاعدة عامة، بدلا من الحروف A و B، فإنه يحتوي على تعبيرات مختلفة، وأحيانا معقدة للغاية.
يمكن تحويل التعبيرات \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) بسهولة (تبسيطها) إلى كثيرات الحدود بالشكل القياسي؛ في الواقع، لقد واجهت مثل هذه المهمة بالفعل عند ضرب كثيرات الحدود :
\((أ + ب)^2 = (أ + ب)(أ + ب) = أ^2 + أب + با + ب^2 = \)
\(= أ^2 + 2ab + ب^2 \)
ومن المفيد أن نتذكر الهويات الناتجة وتطبيقها دون حسابات وسيطة. تساعد الصيغ اللفظية المختصرة على ذلك.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - مربع المجموع يساوي المبلغالمربعات ومضاعفة المنتج.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - مربع الفرق يساوي مجموع المربعات بدون حاصل الضرب المزدوج.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - فرق المربعات يساوي حاصل ضرب الفرق في المجموع.
تسمح هذه الهويات الثلاث في التحولات باستبدال الأجزاء اليسرى بالأجزاء اليمنى والعكس - الأجزاء اليمنى بالأجزاء اليسرى. أصعب شيء هو رؤية التعبيرات المقابلة وفهم كيفية استبدال المتغيرين a وb فيها. دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لاستخدام صيغ الضرب المختصرة.
ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوبة هنا:
2. قبل أن تبدأ بقراءة المقال، انتبه لمتصفحنا للأكثر مورد مفيدل
كثيرا ما نسمع هذا عبارة غير سارة: "تبسيط التعبير."عادة نرى نوعًا من الوحش مثل هذا:
نقول: "الأمر أبسط بكثير"، لكن مثل هذه الإجابة لا تنجح عادةً.
الآن سأعلمك ألا تخاف من أي من هذه المهام.
علاوة على ذلك، في نهاية الدرس سوف تقوم بتبسيط هذا المثال إلى (فقط!) رقم عادي(نعم، إلى الجحيم مع هذه الرسائل).
ولكن قبل أن تبدأ هذا النشاط، يجب أن تكون قادرًا على ذلك التعامل مع الكسورو عامل متعدد الحدود.
لذلك، إذا لم تكن قد فعلت ذلك من قبل، فتأكد من إتقان المواضيع "" و "".
هل قرأتها؟ إذا كانت الإجابة بنعم، فأنت الآن جاهز.
لنذهب لنذهب!)
عمليات تبسيط التعبير الأساسية
الآن دعونا نلقي نظرة على التقنيات الأساسية المستخدمة لتبسيط التعبيرات.
أبسط واحد هو
1. جلب المماثل
ما هي مماثلة؟ لقد أخذت هذا في الصف السابع، عندما ظهرت الحروف بدلاً من الأرقام لأول مرة في الرياضيات.
مشابه- هذه مصطلحات (وحيدات الحد) لها نفس الجزء من الحرف.
على سبيل المثال، في المجموع مصطلحات مماثلة- هذا أنا.
هل تذكر؟
إعطاء مماثلة- يعني إضافة عدة مصطلحات متشابهة لبعضها البعض والحصول على حد واحد.
كيف يمكننا جمع الحروف معاً؟ - أنت تسأل.
من السهل جدًا فهم هذا إذا كنت تتخيل أن الحروف هي نوع من الكائنات.
على سبيل المثال، الرسالة هي كرسي. ثم ما هو التعبير يساوي؟
كرسيان بالإضافة إلى ثلاثة كراسي، كم سيكون عددهم؟ صح يا كراسي : .
الآن جرب هذا التعبير: .
لتجنب الارتباك، دعونا حروف مختلفةتمثل كائنات مختلفة.
على سبيل المثال، - هو (كالعادة) كرسي، و - هو طاولة.
كراسي طاولات كراسي طاولات كراسي طاولات كراسي
يتم استدعاء الأرقام التي يتم بها ضرب الحروف في مثل هذه المصطلحات معاملات.
على سبيل المثال، في أحادية الحد يكون المعامل متساويًا. وفيه سواء.
لذا فإن القاعدة في جلب أمثالها هي:
أمثلة:
أعط مثلها:
الإجابات:
2. (وما أشبه ذلك، إذ أن هذه المصطلحات لها نفس الجزء من الحرف).
2. التخصيم
هذا عادة أكثر جزء مهمفي تبسيط التعبيرات
بعد أن قدمت أشياء مماثلة، غالبًا ما تكون هناك حاجة إلى التعبير الناتج حلل إلى عواملأي يتم تقديمه في شكل منتج.
خصوصا هذا مهم في الكسور:بعد كل شيء، لكي نتمكن من تقليل الكسر، يجب تمثيل البسط والمقام كمنتج.
لقد مررت بطرق تحليل التعبيرات بالتفصيل في الموضوع ""، لذلك عليك فقط أن تتذكر ما تعلمته.
للقيام بذلك، قم بحل عدة أمثلة (تحتاج إلى تحليلها)
أمثلة:
حلول:
3. تقليل الكسر.
حسنًا، ما الذي يمكن أن يكون أكثر متعة من شطب جزء من البسط والمقام وطردهما من حياتك؟
هذا هو جمال تقليص الحجم.
انه سهل:
إذا كان البسط والمقام يحتويان على نفس العوامل، فيمكن اختزالهما، أي إزالتهما من الكسر.
تتبع هذه القاعدة الخاصية الأساسية للكسر:
وهذا يعني أن جوهر عملية التخفيض هو ذلك نقسم بسط ومقام الكسر على نفس الرقم (أو على نفس التعبير).
لتقليل الكسر تحتاج:
1) البسط والمقام حلل إلى عوامل
2) إذا كان البسط والمقام يحتويان العوامل المشتركة، يمكن شطبها.
أمثلة:
المبدأ، أعتقد، واضح؟
أود أن ألفت انتباهكم إلى شيء واحد خطأ نموذجيعند التعاقد. على الرغم من أن هذا الموضوع بسيط، إلا أن الكثير من الناس يفعلون كل شيء بشكل خاطئ، ولا يفهمون ذلك يقلل- هذا يعنى يقسمالبسط والمقام هما نفس الرقم.
لا توجد اختصارات إذا كان البسط أو المقام عبارة عن مجموع.
على سبيل المثال: نحن بحاجة إلى تبسيط.
بعض الناس يفعلون هذا: وهذا خطأ مطلق.
مثال آخر: تقليل.
"الأذكى" سيفعل هذا:
قل لي ما هو الخطأ هنا؟ يبدو: - هذا مضاعف، مما يعني أنه يمكن تخفيضه.
لكن لا: - هذا عامل لحد واحد فقط في البسط، لكن البسط نفسه ككل غير قابل للتحليل.
وهنا مثال آخر: .
يتم تحليل هذا التعبير، مما يعني أنه يمكنك تقليله، أي قسمة البسط والمقام على، ثم على:
يمكنك تقسيمها على الفور إلى:
لتجنب مثل هذه الأخطاء، تذكر طريقة سهلةكيفية تحديد ما إذا كان التعبير تم تحليله:
العملية الحسابية التي يتم إجراؤها أخيرًا عند حساب قيمة التعبير هي العملية "الرئيسية".
أي أنه إذا قمت باستبدال بعض الأرقام (أي) بدلاً من الحروف وحاولت حساب قيمة التعبير، فعندئذ إذا أخر فعلسيكون هناك ضرب، وهو ما يعني أن لدينا منتج (يتم تحليل التعبير).
إذا كان الإجراء الأخير هو الجمع أو الطرح، فهذا يعني أن التعبير غير قابل للتحليل (وبالتالي لا يمكن اختزاله).
لتعزيز ذلك، قم بحل بعض الأمثلة بنفسك:
أمثلة:
حلول:
4. جمع وطرح الكسور. اختزال الكسور إلى قاسم مشترك.
جمع وطرح الكسور العادية- العملية معروفة جيدًا: نبحث عن قاسم مشترك، ونضرب كل كسر في العامل المفقود ونجمع/نطرح البسطين.
دعنا نتذكر:
الإجابات:
1. المقامات أولية نسبيًا، أي ليس لديها عوامل مشتركة. ولذلك، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام يساوي حاصل ضربها. وسيكون هذا هو القاسم المشترك:
2. هنا القاسم المشترك هو:
3. أول شيء هنا كسور مختلطةنحولها إلى غير صحيحة، ثم نتبع النمط المعتاد:
الأمر مختلف تمامًا إذا كانت الكسور تحتوي على أحرف، على سبيل المثال:
لنبدأ بشيء بسيط:
أ) المقامات لا تحتوي على حروف
كل شيء هنا هو نفسه كما هو الحال مع العادي الكسور العددية: ابحث عن القاسم المشترك، واضرب كل كسر في العامل المفقود وأضف/اطرح البسطين:
الآن في البسط يمكنك إعطاء أرقام متشابهة، إن وجدت، وتحليلها:
جربها بنفسك:
الإجابات:
ب) المقامات تحتوي على حروف
لنتذكر مبدأ إيجاد قاسم مشترك بدون حروف:
· أولاً نحدد العوامل المشتركة؛
· ثم نكتب جميع العوامل المشتركة واحداً تلو الآخر؛
· وضربها بجميع العوامل الأخرى غير المشتركة.
لتحديد العوامل المشتركة للمقامات، نقوم أولًا بتحليلها إلى عوامل أولية:
دعونا نؤكد على العوامل المشتركة:
الآن دعونا نكتب العوامل المشتركة واحدًا تلو الآخر ونضيف إليها جميع العوامل غير المشتركة (التي لم تحتها خط):
هذا هو القاسم المشترك.
دعونا نعود إلى الحروف. يتم إعطاء المقامات بنفس الطريقة تمامًا:
· عامل المقامات.
· تحديد العوامل المشتركة (المتطابقة).
· اكتب جميع العوامل المشتركة مرة واحدة؛
· ضربهم بجميع العوامل الأخرى غير المشتركة.
لذا بالترتيب:
1) عامل المقامات:
2) تحديد العوامل المشتركة (المتطابقة):
3) اكتب جميع العوامل المشتركة مرة واحدة واضربها في جميع العوامل الأخرى (التي لا تحتها خط):
لذلك هناك قاسم مشترك هنا. يجب ضرب الكسر الأول في الثاني في:
بالمناسبة، هناك خدعة واحدة:
على سبيل المثال: .
نحن نرى نفس العوامل في المقامات، فقط مع كل ذلك مؤشرات مختلفة. القاسم المشترك سيكون:
إلى حد ما
إلى حد ما
إلى حد ما
إلى حد ما.
دعونا تعقيد المهمة:
كيفية جعل الكسور لها نفس المقام؟
دعونا نتذكر الخاصية الأساسية للكسر:
لم يذكر في أي مكان أنه يمكن طرح (أو إضافة) نفس الرقم من بسط ومقام الكسر. لأنه ليس صحيحا!
انظر بنفسك: خذ أي كسر، على سبيل المثال، وأضف بعض الأرقام إلى البسط والمقام، على سبيل المثال، . ماذا تعلمت؟
إذن قاعدة أخرى لا تتزعزع:
عند تقليل الكسور إلى القاسم المشترك، استخدم عملية الضرب فقط!
ولكن ما الذي تحتاج إلى الضرب للحصول عليه؟
حتى تتضاعف. واضرب بـ:
سوف نطلق على التعبيرات التي لا يمكن تحليلها اسم "العوامل الأولية".
على سبيل المثال، - هذا عامل أولي. - نفس. لكن لا: يمكن تحليله.
ماذا عن التعبير؟ هل هي ابتدائية؟
لا، لأنه يمكن تحليله:
(لقد قرأت بالفعل عن التخصيم في الموضوع "").
لذلك، فإن العوامل الأولية التي تقوم بتوسيع التعبير بالأحرف إليها هي عوامل تناظرية العوامل الأولية، حيث تقوم بتحليل الأرقام. وسنتعامل معهم بنفس الطريقة.
نلاحظ أن كلا المقامين لهما مضاعف. سوف يذهب إلى القاسم المشترك إلى الدرجة (تذكر لماذا؟).
العامل أساسي، وليس لديهم عامل مشترك، مما يعني أنه يجب ببساطة ضرب الكسر الأول به:
مثال آخر:
حل:
قبل أن تضاعف هذه القواسم في حالة من الذعر، عليك أن تفكر في كيفية تحليلها؟ وكلاهما يمثل:
عظيم! ثم:
مثال آخر:
حل:
كالعادة، دعونا نحلل المقامات. في المقام الأول، قمنا ببساطة بإخراجه بين قوسين؛ في الثاني - فرق المربعات:
يبدو أنه لا توجد عوامل مشتركة. ولكن إذا نظرت عن كثب، فهي متشابهة... وهذا صحيح:
لذلك دعونا نكتب:
أي أن الأمر أصبح على النحو التالي: قمنا بتبديل الحدود داخل القوس، وفي نفس الوقت تغيرت الإشارة الموجودة أمام الكسر إلى العكس. لاحظ أنه سيتعين عليك القيام بذلك كثيرًا.
والآن لنصل إلى قاسم مشترك:
فهمتها؟ دعونا التحقق من ذلك الآن.
مهام الحل المستقل:
الإجابات:
5. ضرب وقسمة الكسور.
حسنًا، لقد انتهى الجزء الأصعب الآن. وأمامنا الأبسط ولكن في نفس الوقت الأهم:
إجراء
ما هو الإجراء لحساب التعبير العددي؟ تذكر بحساب معنى هذا التعبير:
هل حسبت؟
يجب أن تعمل.
لذلك، اسمحوا لي أن أذكركم.
الخطوة الأولى هي حساب الدرجة.
والثاني هو الضرب والقسمة. إذا كان هناك عدة عمليات ضرب وقسمة في نفس الوقت، فيمكن إجراؤها بأي ترتيب.
وأخيرًا، نجري عمليات الجمع والطرح. مرة أخرى، بأي ترتيب.
ولكن: يتم تقييم التعبير بين قوسين خارج نطاق الدور!
إذا تم ضرب عدة أقواس أو قسمتها على بعضها البعض، فإننا نحسب أولًا التعبير الموجود في كل قوس، ثم نضربها أو نقسمها.
ماذا لو كان هناك المزيد من الأقواس داخل الأقواس؟ حسنًا، لنفكر: بعض التعبيرات مكتوبة بين قوسين. عند حساب التعبير، ما الذي يجب عليك فعله أولاً؟ هذا صحيح، احسب الأقواس. حسنًا، لقد اكتشفنا ذلك: أولاً نحسب الأقواس الداخلية، ثم كل شيء آخر.
لذا، فإن الإجراء الخاص بالتعبير أعلاه هو كما يلي (يتم تمييز الإجراء الحالي باللون الأحمر، أي الإجراء الذي أقوم به الآن):
حسنا، كل شيء بسيط.
ولكن هذا ليس هو نفس التعبير مع الحروف؟
لا، إنه نفس الشيء! فقط بدلا من عمليات حسابيةتحتاج إلى إجراء عمليات جبرية، أي الإجراءات الموضحة في القسم السابق: جلب مماثلةوإضافة الكسور وتقليل الكسور وما إلى ذلك. سيكون الاختلاف الوحيد هو عملية تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل (نستخدم هذا غالبًا عند التعامل مع الكسور). في أغلب الأحيان، للتحليل، تحتاج إلى استخدام I أو ببساطة وضع العامل المشترك خارج الأقواس.
عادةً ما يكون هدفنا هو تمثيل التعبير كمنتج أو حاصل القسمة.
على سبيل المثال:
دعونا نبسط التعبير.
1) أولا، نقوم بتبسيط التعبير بين قوسين. لدينا هناك فرق بين الكسور، وهدفنا هو تقديمه كمنتج أو خارج القسمة. لذلك، نأتي بالكسور إلى قاسم مشترك ونضيف:
من المستحيل تبسيط هذا التعبير أكثر من ذلك؛ جميع العوامل هنا أولية (هل مازلت تتذكر ماذا يعني هذا؟).
2) نحصل على:
ضرب الكسور: ما يمكن أن يكون أبسط.
3) الآن يمكنك تقصير:
حسنًا، لقد انتهى كل شيء الآن. لا شيء معقد، أليس كذلك؟
مثال آخر:
تبسيط التعبير.
أولا، حاول حلها بنفسك، وبعد ذلك فقط انظر إلى الحل.
حل:
أولا وقبل كل شيء، دعونا نحدد ترتيب الإجراءات.
أولًا، دعونا نجمع الكسور الموجودة بين قوسين، لذا بدلًا من كسرين نحصل على كسر واحد.
ثم سنقوم بتقسيم الكسور. حسنًا، دعونا نضيف النتيجة مع الكسر الأخير.
سأقوم بترقيم الخطوات بشكل تخطيطي:
وأخيرا سأعطيك اثنين نصيحة مفيدة:
1. إذا كان هناك مثلها فيجب إحضارها فوراً. عندما تظهر مثل هذه الأمور في بلدنا، فمن المستحسن طرحها على الفور.
2. وكذلك الحال في تقليل الكسور: فمتى سنحت فرصة التخفيض وجب استغلالها. الاستثناء هو للكسور التي تضيفها أو تطرحها: إذا كانت موجودة الآن نفس القواسم، فيجب ترك التخفيض لوقت لاحق.
فيما يلي بعض المهام التي يمكنك حلها بنفسك:
وما وعد به في البداية:
الإجابات:
الحلول (قصيرة):
إذا تعاملت مع الأمثلة الثلاثة الأولى على الأقل، فهذا يعني أنك أتقنت الموضوع.
الآن إلى التعلم!
تحويل التعبيرات. الملخص والصيغ الأساسية
عمليات التبسيط الأساسية:
- جلب مماثل: لإضافة (تقليل) مصطلحات مماثلة، تحتاج إلى إضافة معاملاتها وتعيين جزء الحرف.
- التخصيم:وضع العامل المشترك بين قوسين، وتطبيقه، وما إلى ذلك.
- تقليل جزء: يمكن ضرب بسط الكسر ومقامه أو قسمته على نفس الرقم غير الصفر مما لا يغير من قيمة الكسر.
1) البسط والمقام حلل إلى عوامل
2) إذا كان للبسط والمقام عوامل مشتركة فيمكن شطبهما.هام: يمكن تقليل المضاعفات فقط!
- جمع وطرح الكسور:
; - ضرب وقسمة الكسور:
;
حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.
لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!
الآن الشيء الأكثر أهمية.
لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.
المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..
لماذا؟
للنجاح اجتياز امتحان الدولة الموحدة، للقبول في الكلية بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.
لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..
الناس الذين تلقوا على تعليم جيد، يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يحصلوا عليها. هذه إحصائيات.
ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.
الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن هناك ما هو أكثر انفتاحا أمامهم المزيد من الاحتمالاتوتصبح الحياة أكثر إشراقا؟ لا أعرف...
لكن فكر بنفسك..
ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟
احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.
لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.
سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.
وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.
يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.
ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول تحليل تفصيلي وتقرر، تقرر، تقرر!
يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.
لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.
كيف؟ هناك خياران:
- فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
- فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 499 روبية
نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.
يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.
ختاماً...
إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.
إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.
البحث عن المشاكل وحلها!
الخصائص الأساسية لجمع وضرب الأعداد.
الخاصية التبادلية للجمع: إعادة ترتيب الحدود لا يغير قيمة المجموع. لأي رقمين a وb تكون المساواة صحيحة
الخاصية التجميعية للجمع: من أجل إضافة رقم ثالث إلى مجموع رقمين، يمكنك إضافة مجموع الثاني والثالث إلى الرقم الأول. لأي أعداد a وb وc تكون المساواة صحيحة
خاصية الإبدال في الضرب: إعادة ترتيب العوامل لا يغير قيمة المنتج. لأي أعداد a وb وc تكون المساواة صحيحة
الخاصية التجميعية للضرب: لضرب حاصل ضرب رقمين في رقم ثالث، يمكنك ضرب الرقم الأول في حاصل ضرب الثاني والثالث.
لأي أعداد a وb وc تكون المساواة صحيحة
خاصية التوزيع: لضرب رقم في مجموع، يمكنك ضرب هذا الرقم في كل حد وإضافة النتائج. لأي أعداد a وb وc تكون المساواة صحيحة
من الخصائص التبادلية والدمجية للإضافة، يلي ذلك: في أي مجموع، يمكنك إعادة ترتيب المصطلحات بأي طريقة تريدها ودمجها بشكل تعسفي في مجموعات.
مثال 1 لنحسب المجموع 1.23+13.5+4.27.
للقيام بذلك، من المناسب الجمع بين الفصل الأول مع الفصل الثالث. نحن نحصل:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
يتبع من الخصائص التبادلية والتوليفية للضرب: في أي منتج، يمكنك إعادة ترتيب العوامل بأي شكل من الأشكال ودمجها بشكل تعسفي في مجموعات.
مثال 2 لنجد قيمة المنتج 1.8·0.25·64·0.5.
وبجمع العامل الأول مع الرابع، والثاني مع الثالث، نحصل على:
1.8·0.25·64·0.5=(1.8·0.5)·(0.25·64)=0.9·16=14.4.
تكون خاصية التوزيع صحيحة أيضًا عند ضرب عدد في مجموع ثلاثة حدود أو أكثر.
على سبيل المثال، لأي أرقام a وb وc وd تكون المساواة صحيحة
أ(ب+ج+د)=أب+أ+إعلان.
نحن نعلم أنه يمكن الاستعاضة عن الطرح بالجمع عن طريق إضافة العدد المقابل للمطرح إلى المطروح:
هذا يسمح التعبير الرقمي اكتب أ-بيمكن اعتباره مجموع الأرقام a و -b، والتعبير العددي بالصيغة a+b-c-d يعتبر مجموع الأرقام a، b، -c، -d، وما إلى ذلك. خصائص الإجراءات المدروسة صالحة أيضًا لمثل هذه المبالغ.
مثال 3 لنجد قيمة التعبير 3.27-6.5-2.5+1.73.
هذا التعبير هو مجموع الأرقام 3.27، -6.5، -2.5، و1.73. وبتطبيق خصائص الجمع نحصل على: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.
مثال 4 لنحسب المنتج 36·().
يمكن اعتبار المضاعف بمثابة مجموع الأرقام و-. وباستخدام خاصية التوزيع للضرب نحصل على:
36()=36·-36·=9-10=-1.
المتطابقات
تعريف. يُطلق على التعبيرين اللذين تكون قيمهما المقابلة متساوية لأي قيم للمتغيرات اسم متساويان.
تعريف. تسمى المساواة الصحيحة لأي قيم للمتغيرات بالهوية.
لنجد قيم التعبيرات 3(x+y) و3x+3y لـ x=5, y=4:
3(س+ص)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.
لقد حصلنا على نفس النتيجة. من خاصية التوزيع، يترتب على ذلك، بشكل عام، لأي قيم للمتغيرات، أن القيم المقابلة للتعبيرات 3(x+y) و3x+3y متساوية.
دعونا الآن نفكر في التعبيرات 2x+y و2xy. عندما x=1، y=2 يأخذون قيمًا متساوية:
ومع ذلك، يمكنك تحديد قيم x وy بحيث لا تكون قيم هذه التعبيرات متساوية. على سبيل المثال، إذا كانت x=3، y=4، إذن
التعبيران 3(x+y) و3x+3y متساويان بشكل متطابق، لكن التعبيران 2x+y و2xy ليسا متساويين بشكل متماثل.
المساواة 3(x+y)=x+3y، صحيحة لأي قيم x وy، هي هوية.
تعتبر المساواة العددية الحقيقية أيضًا هويات.
وبالتالي، فإن المتطابقات هي مساواة تعبر عن الخصائص الأساسية للعمليات على الأعداد:
أ+ب=ب+أ، (أ+ب)+ج=أ+(ب+ج)،
أب = با، (أب) ج = أ (قبل الميلاد)، أ (ب + ج) = أب + أس.
يمكن إعطاء أمثلة أخرى للهويات:
أ+0=أ، أ+(-أ)=0، أ-ب=أ+(-ب)،
أ·1=أ، أ·(-ب)=-أب، (-أ)(-ب)=أب.
التحولات المتطابقة للتعبيرات
يُسمى استبدال تعبير بتعبير آخر متساوٍ بالتحويل المطابق أو ببساطة تحويل التعبير.
يتم إجراء التحويلات المتطابقة للتعبيرات ذات المتغيرات بناءً على خصائص العمليات على الأرقام.
للعثور على قيمة التعبير xy-xz متى القيم المعطاة x، y، z، تحتاج إلى تنفيذ ثلاثة إجراءات. على سبيل المثال، مع x=2.3، y=0.8، z=0.2 نحصل على:
xy-xz=2.3·0.8-2.3·0.2=1.84-0.46=1.38.
يمكن الحصول على هذه النتيجة عن طريق تنفيذ خطوتين فقط، إذا كنت تستخدم التعبير x(y-z)، والذي يساوي تمامًا التعبير xy-xz:
xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3·0.6=1.38.
لقد قمنا بتبسيط الحسابات عن طريق استبدال التعبير xy-xz بشكل مماثل التعبير المتساويس(ص-ي).
تستخدم التحويلات المتطابقة للتعبيرات على نطاق واسع في حساب قيم التعبيرات وحل المشكلات الأخرى. لقد كان لا بد من إجراء بعض التحويلات المتطابقة، على سبيل المثال، إدخال مصطلحات مماثلة وفتح الأقواس. دعونا نتذكر قواعد إجراء هذه التحولات:
لإحضار مصطلحات مماثلة، تحتاج إلى إضافة معاملاتها وضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك؛
إذا كانت هناك علامة زائد قبل القوسين، فيمكن حذف القوسين، مع الاحتفاظ بعلامة كل حد بين القوسين؛
إذا كانت هناك إشارة ناقص قبل القوسين، فيمكن حذف القوسين عن طريق تغيير إشارة كل حد داخل القوسين.
مثال 1: دعونا نقدم مصطلحات مماثلة في المجموع 5x+2x-3x.
دعونا نستخدم القاعدة لتقليل المصطلحات المتشابهة:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
يعتمد هذا التحويل على خاصية التوزيع للضرب.
مثال 2: لنفتح الأقواس في التعبير 2a+(b-3c).
استخدام قاعدة فتح الأقواس مسبوقة بعلامة الجمع:
2أ+(ب-3ج)=2أ+ب-3ج.
ويستند التحول الذي تم تنفيذه على ملكية مشتركةإضافة.
مثال 3: لنفتح الأقواس الموجودة في التعبير a-(4b-c).
دعونا نستخدم قاعدة فتح الأقواس مسبوقة بعلامة الطرح:
أ-(4ب-ج)=أ-4ب+ج.
يعتمد التحويل الذي يتم إجراؤه على خاصية التوزيع للضرب والخاصية التجميعية للجمع. دعونا نظهر ذلك. دعونا نتخيل في هذا التعبيرالحد الثاني -(4b-c) على شكل منتج (-1)(4b-c):
أ-(4ب-ج)=أ+(-1)(4ب-ج).
عن طريق التقديم خصائص محددةالإجراءات، نحصل على:
أ-(4ب-ج)=أ+(-1)(4ب-ج)=أ+(-4ب+ج)=أ-4ب+ج.
يمكن استبدال الأرقام والتعبيرات التي يتكون منها التعبير الأصلي بتعبيرات متساوية مماثلة. مثل هذا التحول في التعبير الأصلي يؤدي إلى تعبير مساوٍ له تمامًا.
على سبيل المثال، في التعبير 3+x، يمكن استبدال الرقم 3 بالمجموع 1+2، مما سيؤدي إلى التعبير (1+2)+x، والذي يساوي تمامًا التعبير الأصلي. مثال آخر: في التعبير 1+a 5، يمكن استبدال القوة a 5 بمنتج متساوٍ تمامًا، على سبيل المثال، بالشكل a·a 4. سيعطينا هذا التعبير 1+a·a 4 .
ولا شك أن هذا التحول مصطنع، وعادة ما يكون تمهيداً لبعض التحولات الأخرى. على سبيل المثال، في المجموع 4 × 3 +2 × 2، مع الأخذ في الاعتبار خصائص الدرجة، يمكن تمثيل المصطلح 4 × 3 كحاصل ضرب 2 × 2 2 ×. بعد هذا التحويل، التعبير الأصلي سوف يأخذ الشكل 2 x 2 2 x+2 x 2. من الواضح أن الحدود في المجموع الناتج لها عامل مشترك هو 2 × 2، حتى نتمكن من إجراء التحويل التالي - الأقواس. بعد ذلك نأتي إلى التعبير: 2 x 2 (2 x+1) .
جمع وطرح نفس العدد
التحويل الاصطناعي الآخر للتعبير هو الجمع والطرح المتزامن لنفس الرقم أو التعبير. هذا التحويل مطابق لأنه يعادل في الأساس إضافة صفر، وإضافة الصفر لا يغير القيمة.
لنلقي نظرة على مثال. لنأخذ التعبير x 2 +2·x. إذا أضفت واحدًا إليها وطرحت واحدًا، فسيسمح لك ذلك بإجراء تحويل مماثل آخر في المستقبل - تربيع ذات الحدين: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
فهرس.
- الجبر:كتاب مدرسي للصف السابع تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة 17. - م: التربية، 2008. - 240 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019315-3.
- الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
- موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف السابع. الساعة 2 بعد الظهر الجزء 1. الكتاب المدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية/ أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة 17، إضافة. - م: منيموسين، 2013. - 175 ص: مريض. ردمك 978-5-346-02432-3.