حل عدم المساواة العقلانية. حل المتباينات العقلانية باستخدام الطريقة الفاصلة

ونواصل الخوض في موضوع "حل المتباينات بمتغير واحد". نحن نعرف بالفعل المتباينات الخطية والمتباينات التربيعية. وهي حالات خاصة عدم المساواة العقلانية، والتي سوف ندرسها الآن. لنبدأ بمعرفة نوع المتباينات التي تسمى عقلانية. بعد ذلك، سننظر إلى تقسيمها إلى متباينات عقلانية كاملة وكسرية. وبعد ذلك سوف ندرس كيفية حل المتباينات العقلانية بمتغير واحد، وكتابة الخوارزميات المقابلة والنظر في حلول الأمثلة النموذجية مع شرح مفصل.

التنقل في الصفحة.

ما هي عدم المساواة العقلانية؟

في دروس الجبر في المدرسة، بمجرد أن تبدأ المحادثة حول حل المتباينات، نواجه على الفور متباينات عقلانية. ومع ذلك، في البداية لا يتم استدعاؤهم باسمهم، لأنه في هذه المرحلة تكون أنواع عدم المساواة ذات أهمية قليلة، والهدف الرئيسي هو اكتساب المهارات الأولية في العمل مع عدم المساواة. تم تقديم مصطلح "عدم المساواة العقلانية" لاحقًا في الصف التاسع، عندما تبدأ دراسة مفصلة عن عدم المساواة من هذا النوع بالذات.

دعونا معرفة ما هي عدم المساواة العقلانية. وهنا التعريف:

التعريف المذكور لا يذكر شيئا عن عدد المتغيرات، مما يعني أنه مسموح بأي عدد منها. اعتمادا على ذلك، يتم تمييز عدم المساواة العقلانية مع واحد أو اثنين، وما إلى ذلك. المتغيرات. بالمناسبة، يعطي الكتاب المدرسي تعريفا مماثلا، ولكن بالنسبة لعدم المساواة العقلانية مع متغير واحد. وهذا أمر مفهوم، حيث تركز المدرسة على حل عدم المساواة بمتغير واحد (سنتحدث أدناه أيضًا فقط عن حل عدم المساواة العقلانية بمتغير واحد). عدم المساواة مع متغيرينتعتبر قليلة، وعدم المساواة مع ثلاثة متغيرات أو أكثر لا تحظى بأي اهتمام عمليًا.

لذا، يمكن التعرف على المتباينة المنطقية من خلال ترميزها؛ وللقيام بذلك، ما عليك سوى إلقاء نظرة على التعبيرات الموجودة على جانبيها الأيسر والأيمن والتأكد من أنها تعبيرات نسبية. تسمح لنا هذه الاعتبارات بإعطاء أمثلة على عدم المساواة العقلانية. على سبيل المثال، x>4 , س 3 +2 ص ≥5 (ص −1) (س 2 +1)، هي عدم المساواة العقلانية. وعدم المساواة ليس تعبيرًا عقلانيًا، لأن جانبه الأيسر يحتوي على متغير تحت علامة الجذر، وبالتالي فهو ليس تعبيرًا عقلانيًا. كما أن عدم المساواة ليس عقلانيًا، لأن كلا جزأيه ليسا تعبيرات عقلانية.

لتسهيل المزيد من الوصف، نقدم تقسيم المتباينات العقلانية إلى أعداد صحيحة وكسرية.

تعريف.

سوف نسمي عدم المساواة العقلانية جميع، إذا كان كلا جزئيه عبارة عن تعبيرات عقلانية كاملة.

تعريف.

عدم المساواة العقلانية الكسريةهي متباينة عقلانية، جزء واحد منها على الأقل عبارة عن تعبير كسري.

إذن 0.5 x ≥3 (2−5 y) , هي عدم المساواة عدد صحيح، و1:x+3>0 و - عقلاني جزئيا.

الآن لدينا فهم واضح لماهية المتباينات العقلانية، ويمكننا أن نبدأ بأمان في فهم مبادئ حل المتباينات العقلانية الصحيحة والكسرية بمتغير واحد.

حل عدم المساواة بأكملها

لنضع لأنفسنا مهمة: لنفترض أننا بحاجة إلى حل متباينة عقلانية كاملة بمتغير واحد x من الصيغة r(x) ، ≥)، حيث r(x) وs(x) هي بعض التعبيرات المنطقية الصحيحة. لحلها، سنستخدم تحويلات المتباينة المكافئة.

دعونا ننقل التعبير من الجانب الأيمن إلى اليسار، الأمر الذي سيقودنا إلى متباينة مكافئة من النموذج r(x)−s(x)<0 (≤, >، ≥) مع صفر على اليمين. من الواضح أن التعبير r(x)−s(x) المتكون على الجانب الأيسر هو أيضًا عدد صحيح، ومن المعروف أن أي . بعد تحويل التعبير r(x)−s(x) إلى كثير الحدود المتساوي h(x) (هنا نلاحظ أن التعبيرات r(x)−s(x) و h(x) لهما نفس المتغير x )، ننتقل إلى عدم المساواة المكافئة h(x)<0 (≤, >, ≥).

في أبسط الحالات، ستكون التحويلات التي تم إجراؤها كافية للحصول على الحل المطلوب، لأنها ستقودنا من المتباينة العقلانية الأصلية إلى متباينة نعرف كيفية حلها، على سبيل المثال، إلى متباينة خطية أو تربيعية. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

مثال.

أوجد حل المتباينة العقلانية بأكملها x·(x+3)+2·x≥(x+1) 2 +1.

حل.

أولاً ننقل التعبير من الجانب الأيمن إلى اليسار: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≥0. بعد أن أكملنا كل شيء على الجانب الأيسر، وصلنا إلى المتباينة الخطية 3 x−2≥0، والتي تعادل متباينة الأعداد الصحيحة الأصلية. الحل ليس صعبا:
3 × 2 ,
× 2/3.

إجابة:

× 2/3.

مثال.

حل عدم المساواة (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 −x) (x 2 +x).

حل.

نبدأ كالمعتاد بنقل التعبير من الجانب الأيمن، ثم نقوم بإجراء التحويلات على الجانب الأيسر باستخدام:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 −x) (x 2 +x)>0,
س 4 +2 س 2 +1−3 س 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0 .

وهكذا، من خلال إجراء تحويلات متكافئة، وصلنا إلى المتباينة 1>0، وهذا صحيح لأي قيمة للمتغير x. وهذا يعني أن حل المتباينة الأصلية هو أي عدد حقيقي.

إجابة:

س - أي.

مثال.

حل عدم المساواة x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.

حل.

يوجد صفر على الجانب الأيمن، فلا داعي لتحريك أي شيء منه. دعونا نحول التعبير بأكمله على الجانب الأيسر إلى كثير الحدود:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .

لقد حصلنا على متباينة تربيعية، وهي تعادل المتباينة الأصلية. نحن نحلها بأي طريقة معروفة لنا. دعونا نحل المتباينة التربيعية بيانيا.

أوجد جذور ثلاثية الحدود التربيعية −2 x 2 +11 x+6 :

نقوم بعمل رسم تخطيطي نحدد عليه الأصفار التي تم العثور عليها، ونأخذ في الاعتبار أن فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأسفل، حيث أن المعامل الرئيسي سلبي:

بما أننا نحل متباينة بعلامة >، فنحن مهتمون بالفترات التي يقع فيها القطع المكافئ فوق المحور السيني. يحدث هذا في الفترة (−0.5، 6)، وهو الحل المطلوب.

إجابة:

(−0,5, 6) .

في الحالات الأكثر تعقيدًا، على الجانب الأيسر من عدم المساواة الناتجة h(x)<0 (≤, >، ≥) ستكون متعددة الحدود من الدرجة الثالثة أو أعلى. لحل هذه المتباينات، تكون طريقة الفاصل الزمني مناسبة، وفي الخطوة الأولى ستحتاج إلى العثور على جميع جذور كثيرة الحدود h(x)، والتي يتم إجراؤها غالبًا من خلال .

مثال.

أوجد حل المتباينة النسبية بأكملها (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .

حل.

دعنا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر، وبعد ذلك هناك:
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0 ,
س 3 +4 س 2 +2 س+8−14+9 س<0 ,
س 3 +4 س 2 +11 س−6<0 .

تقودنا التلاعبات التي تم إجراؤها إلى عدم مساواة تعادل عدم المساواة الأصلية. على جانبها الأيسر كثير الحدود من الدرجة الثالثة. يمكن حلها باستخدام طريقة الفاصل. للقيام بذلك، عليك أولًا إيجاد جذور كثيرة الحدود التي تقع على x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. دعونا نكتشف ما إذا كان له جذور منطقية، والتي لا يمكن أن تكون إلا من بين قواسم الحد الحر، أي من بين الأرقام ±1، ±2، ±3، ±6. وبتعويض هذه الأرقام بدورها بدلاً من المتغير x في المعادلة x 3 +4 x 2 +11 x−6=0، نجد أن جذور المعادلة هي الأرقام 1، 2، 3. هذا يسمح لنا بتمثيل كثير الحدود x 3 +4 x 2 +11 x−6 كحاصل الضرب (x−1) (x−2) (x−3) ، والمتباينة x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

وبعد ذلك كل ما تبقى هو تنفيذ الخطوات القياسية لطريقة الفاصل الزمني: قم بوضع علامة على خط الأعداد على النقاط ذات الإحداثيات 1 و 2 و 3، والتي تقسم هذا الخط إلى أربع فترات، وتحديد العلامات ووضعها، ورسم التظليل فوق فترات بعلامة ناقص (نظرًا لأننا نحل متباينة بعلامة ناقص<) и записать ответ.

ومن هنا لدينا (−∞, 1)∪(2, 3) .

إجابة:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

تجدر الإشارة إلى أنه في بعض الأحيان يكون غير مناسب من عدم المساواة r(x)−s(x)<0 (≤, >، ≥) انتقل إلى عدم المساواة h(x)<0 (≤, >، ≥)، حيث h(x) هي كثيرة الحدود بدرجة أعلى من درجتين. ينطبق هذا على الحالات التي يكون فيها تحليل كثير الحدود h(x) إلى عوامل أكثر صعوبة من تمثيل التعبير r(x)−s(x) كمنتج لثنائيات خطية وثلاثية حدود تربيعية، على سبيل المثال، عن طريق تحليل العامل المشترك . دعونا نشرح ذلك بمثال.

مثال.

حل عدم المساواة (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).

حل.

هذه عدم مساواة كاملة. إذا نقلنا التعبير من جانبه الأيمن إلى اليسار، ثم فتحنا الأقواس وأضفنا مصطلحات مماثلة، نحصل على المتباينة × 4 −4 × 3 −16 × 2 +40 × +19≥0. حلها صعب للغاية، لأنه يتضمن إيجاد جذور كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة. من السهل التحقق من أنه ليس له جذور نسبية (يمكن أن تكون الأرقام 1، −1، 19 أو −19)، ولكن من الصعب البحث عن جذوره الأخرى. ولذلك فإن هذا الطريق هو طريق مسدود.

دعونا نبحث عن الحلول الممكنة الأخرى. من السهل أن نرى أنه بعد نقل التعبير من الجانب الأيمن من متباينة الأعداد الصحيحة الأصلية إلى اليسار، يمكننا إخراج العامل المشترك x 2 −2 x−1 من الأقواس:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.

التحويل الذي تم إجراؤه متكافئ، وبالتالي فإن حل المتباينة الناتجة سيكون أيضًا حلاً للمتباينة الأصلية.

والآن يمكننا إيجاد أصفار التعبير الموجود على الجانب الأيسر من المتباينة الناتجة، ولهذا نحتاج x 2 −2·x−1=0 و x 2 −2·x−19=0. جذورهم أرقام . يتيح لنا ذلك الانتقال إلى المتباينة المكافئة، ويمكننا حلها باستخدام طريقة الفاصل الزمني:

نكتب الإجابة حسب الرسم.

إجابة:

في ختام هذه النقطة، أود فقط أن أضيف أنه ليس من الممكن دائمًا العثور على جميع جذور كثيرة الحدود h(x)، ونتيجة لذلك، توسيعها إلى منتج ذوات الحدين الخطية وثلاثيات الحدود المربعة. في هذه الحالات لا توجد طريقة لحل المتراجحة h(x)<0 (≤, >، ≥) مما يعني أنه لا توجد طريقة لإيجاد حل للمعادلة العقلانية الصحيحة الأصلية.

حل المتباينات العقلانية الكسرية

الآن دعونا نحل المشكلة التالية: لنفترض أننا بحاجة إلى حل متباينة كسرية بمتغير واحد x من الصيغة r(x) ، ≥)، حيث r(x) وs(x) عبارة عن بعض التعبيرات العقلانية، وواحد منها على الأقل كسري. دعونا نقدم على الفور الخوارزمية لحلها، وبعد ذلك سنقدم التفسيرات اللازمة.

خوارزمية لحل عدم المساواة العقلانية الكسريةبمتغير واحد r(x) , ≥):

• تحتاج أولاً إلى إيجاد مدى القيم المقبولة (APV) للمتغير x للمتباينة الأصلية.
• بعد ذلك، تحتاج إلى نقل التعبير من الجانب الأيمن من المتراجحة إلى اليسار، وتحويل التعبير r(x)−s(x) المتكون هناك إلى شكل كسر p(x)/q(x) ، حيث p(x) وq(x) عبارة عن تعبيرات أعداد صحيحة هي منتجات ذات الحدين الخطيين، وثلاثيات الحدود التربيعية غير القابلة للتحلل وصلاحياتها مع الأس الطبيعي.
• بعد ذلك، علينا حل المتباينة الناتجة باستخدام طريقة الفترة.
• أخيرًا، من الحل الذي تم الحصول عليه في الخطوة السابقة، من الضروري استبعاد النقاط التي لم يتم تضمينها في ODZ للمتغير x للمتباينة الأصلية، والتي تم العثور عليها في الخطوة الأولى.

بهذه الطريقة سيتم الحصول على الحل المطلوب للمتباينة الكسرية.

تتطلب الخطوة الثانية من الخوارزمية شرحًا. نقل التعبير من الجانب الأيمن للمتباينة إلى اليسار يعطي المتباينة r(x)−s(x)<0 (≤, >، ≥)، وهو ما يعادل الأصل. كل شيء واضح هنا. ولكن يتم طرح الأسئلة من خلال تحويلها الإضافي إلى النموذج p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).

السؤال الأول هو: "هل من الممكن دائمًا تنفيذها"؟ من الناحية النظرية، نعم. نحن نعلم أن كل شيء ممكن. يحتوي البسط والمقام للكسر العقلاني على كثيرات الحدود. ومن النظرية الأساسية للجبر ونظرية بيزوت، يترتب على ذلك أن أي كثيرة حدود من الدرجة n بمتغير واحد يمكن تمثيلها كحاصل ضرب ذوات الحدين الخطية. وهذا ما يفسر إمكانية تنفيذ هذا التحول.

من الناحية العملية، من الصعب جدًا تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل، وإذا كانت درجتها أعلى من أربعة، فهذا ليس ممكنًا دائمًا. إذا كان التحليل مستحيلا، فلن تكون هناك طريقة لإيجاد حل للمتباينة الأصلية، لكن مثل هذه الحالات لا تحدث عادة في المدرسة.

السؤال الثاني: هل المتباينة p(x)/q(x)<0 (≤, >، ≥) يعادل عدم المساواة r(x)−s(x)<0 (≤, >، ≥)، وبالتالي إلى الأصل "؟ يمكن أن تكون متكافئة أو غير متساوية. وهو مكافئ عندما يتزامن ODZ للتعبير p(x)/q(x) مع ODZ للتعبير r(x)−s(x) . في هذه الحالة، ستكون الخطوة الأخيرة من الخوارزمية زائدة عن الحاجة. لكن ODZ للتعبير p(x)/q(x) قد يكون أوسع من ODZ للتعبير r(x)−s(x) . يمكن أن يحدث توسيع ODZ عندما يتم تقليل الكسور، على سبيل المثال، عند الانتقال من ل . أيضا، يمكن تسهيل توسيع ODZ من خلال جلب مصطلحات مماثلة، على سبيل المثال، عند الانتقال من ل . الخطوة الأخيرة من الخوارزمية مخصصة لهذه الحالة، حيث يتم استبعاد القرارات الدخيلة التي تنشأ بسبب توسيع منطقة ODZ. دعونا نتبع ذلك عندما ننظر إلى حلول الأمثلة أدناه.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب على جوائز أو مسابقة أو عروض ترويجية مماثلة، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من الهيئات الحكومية في الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الخلف المعني.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

أمثلة:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

عند حل عدم المساواة الكسرية، يتم استخدام طريقة الفاصل. لذلك، إذا كانت الخوارزمية الواردة أدناه تسبب لك صعوبات، فقم بإلقاء نظرة على المقالة حول .

كيفية حل عدم المساواة الكسرية:

خوارزمية لحل عدم المساواة العقلانية الكسرية.

أمثلة:



ضع العلامات على فترات خط الأعداد. دعني أذكرك بقواعد وضع العلامات:

نحدد الإشارة في الفترة الموجودة في أقصى اليمين - خذ رقمًا من هذه الفترة واستبدله في المتراجحة بدلاً من X. وبعد ذلك نحدد العلامات الموجودة بين القوسين ونتيجة ضرب هذه العلامات؛

أمثلة:




حدد الفواصل الزمنية المطلوبة. إذا كان هناك جذر منفصل، فقم بوضع علامة عليه بمربع اختيار حتى لا تنسى تضمينه في الإجابة (انظر المثال أدناه).

أمثلة:


اكتب المسافات المميزة والجذور المميزة (إن وجدت) في إجابتك.

أمثلة:
الإجابة: \(-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)