حل المعادلات التفاضلية العشوائية. تحليل الطرق العددية الصريحة لحل المعادلات التفاضلية العشوائية

فن إريشكو. F.،

مركز الحاسبة اسمه. رأس,

أكاديمية Świętokrzyska في كيلسي، بولندا

تحليل الطرق العددية الصريحة

الحلول العشوائية

المعادلات التفاضلية

تم النظر في المبادئ الأساسية لبناء الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية العشوائية (SDE). يتم تحليل مشكلة صلابة أنظمة CDS. بالنسبة لـ Ito SDE أحادي البعد، تتم مقارنة دقة التقريب للطرق العددية الصريحة الموجودة.

1 المقدمة

غالبًا ما يرتبط تحليل وتوليف الأنظمة الديناميكية العشوائية باستخدام الحل العددي لـ SDEs. بالنسبة لعدد من المهام مثل التصفية والتحديد والتنبؤ والتحكم الأمثل، يجب تنفيذ تكامل الحل العددي لـ SDE في الوقت الفعلي، علاوة على ذلك، بدقة واستقرار معينين. وفي هذا الصدد، ينشأ عدد من المشاكل. من ناحية، عدد قليل جدًا من SDEs لديها حلول تحليلية (معظمها عبارة عن SDEs خطية ذات ضوضاء مضافة أو مضاعفة أو SDEs غير خطية يمكن اختزالها إلى تلك الخطية)، ومن ناحية أخرى، فإن السمات الفيزيائية للأنظمة الديناميكية الحقيقية تؤدي إلى ظهور الصلابة ، والذي له تأثير غير مرض على الحل العددي الناتج. لذلك، فإن إحدى المراحل المهمة بشكل خاص في تصميم النظام الديناميكي العشوائي هي اختيار مخطط الحل العددي لـ SDE.

2. مبادئ بناء طرق الحل العددي

المعادلات التفاضلية العشوائية

حاليًا، هناك عدة طرق لإنشاء مخططات عددية لحل SDEs. أحد الاحتمالات هو تكييف المخططات الحالية للدوائر التفاضلية العادية (ODCs) مع الأخذ في الاعتبار خصائص التكاملات العشوائية، والآخر هو تطوير طرق خاصة لحل ODEs. يستخدم معظم الباحثين النهج الأول، نظرًا لأن نظرية الحل العددي لمعايير ODE متطورة ومن السهل جدًا إجراء تشابهات بين ODEs وSDEs.

إن أبسط طريقة لتقريب الحل العددي لـ SDE (من وجهة نظر حسابية) هي طريقة أويلر، التي طورها ماروياما في عام 1955. يلبي هذا المخطط العديد من الخصائص الضرورية المطلوبة للطرق العددية (لديه ترتيب تقارب)، ولكن في الوقت نفسه لديه عدد من القيود (ليس مستقرًا دائمًا، وخطأ التقريب مرتفع جدًا، وما إلى ذلك). للقضاء على أوجه القصور هذه، وكذلك لزيادة ترتيب تقارب المخططات العددية لحل SDEs، تم إجراء البحوث وما زالت جارية، والتي يمكن تقديم اتجاهاتها في شكل رسم تخطيطي (انظر الشكل 1). 1).

قياسًا على تطوير مخططات الحل العددي للمعادلات التفاضلية التفاضلية، لزيادة ترتيب التقارب ودقة التقريب والاستقرار، يمكن للمرء استخدام توسيع السلسلة عند نقطة التقريب، أي استخدام مشتقات من أوامر مختلفة، سواء المتغير أو المتغير. معاملات الانجراف والانتشار. في الأدب، يسمى هذا النهج طريقة تايلور. ومع ذلك، فإن عيب مخططات تايلور هو أنه في كل خطوة تقريبية من الضروري حساب التكاملات العشوائية المتعددة المرتبطة بالمشتقات المذكورة أعلاه. لتجنب الصعوبات الحسابية، يمكنك استخدام تقسيمات متعددة لخطوة التقريب (طرق رونج-كوتا) أو نتائج تقريب الخطوات السابقة (طرق متعددة الخطوات).

كل من الأنظمة العادية والعشوائية للمعادلات التفاضلية التي تصف العديد من الظواهر الفيزيائية والبيولوجية والاقتصادية، عندما تتم محاكاتها بواسطة الكمبيوتر باستخدام المخططات العددية التقليدية، تظهر سلوكًا "غير مرغوب فيه" ويمكن تصنيفها على أنها مشاكل سيئة الطرح. في معظم الحالات، يشير السلوك "غير المرغوب فيه" إلى عدم الاستقرار العالي جدًا للحل العددي، المرتبط بما يسمى بظاهرة الصلابة. هناك عدة تفسيرات محتملة لهذه الظاهرة.

يرتبط السبب الأول بالإمكانيات التقنية للكمبيوتر. لذا، لتحقيق الدقة المطلوبة، يمكنك تطبيق أقسام متعددة لخطوة التكامل. من ناحية، يؤدي ذلك إلى تراكم أخطاء التقريب، ونتيجة لذلك، يحدث تجاوز سجلات الكمبيوتر. ومن ناحية أخرى، فإن استخدام قيم صغيرة جدًا لخطوة التكامل يتطلب موارد زمنية هائلة ويؤدي أيضًا إلى تراكم أخطاء التقريب. أما السبب الثاني فيتعلق بالجانب المادي للنظام قيد النظر. وهذا يعني أن النظام يصف عمليات ذات سرعات أو تدرجات مختلفة (وهذا في المقام الأول نموذجي للمشكلات غير المطروحة). وتظهر هذه الظاهرة عادة في مشاكل الطبقة الحدودية (الهيدروديناميكية)، وتأثير الجلد (الكهرومغناطيسية)، والتفاعلات الحركية الكيميائية، وما إلى ذلك. وأخيرا، يمكن أن يكون سبب الصلابة كلا السببين. لذلك، عند تطوير الطرق العددية المستقرة، من الضروري مراعاة المواقف المذكورة أعلاه.

أظهر تحليل الأدبيات الحديثة أن إنشاء طرق عددية لحل الأنظمة الجامدة يعتمد في معظم الحالات على الأفكار التي قدمها هيرر ووانر. في عملهم، افترضوا أن الأنظمة الجامدة لا يمكن حلها بطرق واضحة، وقدموا طرقًا تعتمد فقط على استخدام الطرق الضمنية. ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن التطبيق المباشر لهذه الأساليب يرتبط دائمًا بإجراء معقد للغاية لتحديد معلمات الدائرة، استنادًا إلى منطقة الاستقرار المخصصة مسبقًا فقط للنظام قيد النظر. هذا الظرف يجعل الأساليب المقترحة غير مقبولة لمعظم التطبيقات المذكورة أعلاه، لكنه يسمح لنا بتسليط الضوء على خاصيتين رياضيتين مهمتين للصلابة. أولاً، جميع الأنظمة الصلبة لها نطاق واسع جدًا (أو وجود أسس ليابونوف مختلفة جدًا). ثانياً، وفقاً لنظرية التفرد ووجود الحل، تتميز الأنظمة الصلبة بقيم كبيرة لثابت ليبشيتز.

لذلك، أظهر تحليل مبادئ إنشاء مخططات عددية لحل SDEs الحاجة إلى دراسة شاملة للطرق الحالية وربما البحث عن طرق جديدة عند حل مشاكل محددة.

3. المخططات العددية القوية الصريحة

دعونا نكتب SDE في تمثيل Ito بشكل عام

حيث - https://pandia.ru/text/78/507/images/image006_22.gif" width = "80 height = 28" height = "28">؛ -https://pandia.ru/text/78/ 507/images/image009_18.gif" width="79 height=28" height="28">.gif" width="79" height="28 src="> - وظائف قابلة للتمييز مرتين بشكل مستمر للانجراف والانتشار - ناقل الأبعاد ؛ حدود.

يعد الحصول على حل قوي لـ SDE (3.1) نقطة مهمة في العديد من المشكلات العملية؛ والغرض من العمل هو إجراء تحليل مقارن للطرق العددية الواضحة القوية الموجودة لحل SDE.

دعونا ننظر في الحالة الأكثر شيوعا في الأدبيات المالية - حالة المعادلة أحادية البعد (3.1)، باستخدام المخططات التالية: أويلر، ميلستين، تايلور، رونج-كوتا وخطوتين. في الحالة أحادية البعد، يكون لمخطط أويلر الشكل التالي:

أين و (https://pandia.ru/text/78/507/images/image019_9.gif" width="55" height="24">، يظهر كـ

مخطط ترتيب تايلور https://pandia.ru/text/78/507/images/image022_10.gif" width="484" height="212"> (3.4)

ونظام ترتيب من خطوتين:

https://pandia.ru/text/78/507/images/image025_10.gif" width = "509" height = "52 src = ">

https://pandia.ru/text/78/507/images/image027_8.gif" width = "355" height = "52 src = ">

مخطط Runge-Kutta، حيث ترتيب التقارب https://pandia.ru/text/78/507/images/image029_8.gif" width="384" height="119 src="> (3.6)

https://pandia.ru/text/78/507/images/image031_6.gif" width = "100" height = "28 src = ">.gif" width = "345" height = "68">،

https://pandia.ru/text/78/507/images/image035_5.gif" width="44" height="28"> والحل التحليلي لـ SDE (3.1) في نهاية فترة التكامل DIV_ADBLOCK220">

, (4.1)

أين هو عامل التوقع الرياضي.

دعونا نستبدل القيمة النظرية لمعيار "الخطأ المطلق" (4.1) بنظيره الإحصائي، بناءً على محاكاة مونت كارلو..gif" width="44" height="28">..gif" width="29" height = "27 src =">، فإن التناظرية الإحصائية للمعيار (4.1) هي

(4.2)

دعونا نقارن المخططات المذكورة أعلاه باستخدام معيار الخطأ المطلق. كمثال اختبار أول، قمنا بدراسة SDE خطي بمعاملات متجانسة ثابتة

الذي الحل التحليلي له الشكل

مثال الاختبار الثاني هو Ito SDE غير الخطي للنموذج

مع وظيفة تفاضلية والحل العام

https://pandia.ru/text/78/507/images/image049_5.gif" width = "108" height = "57 src = ">.

على وجه الخصوص، للمعادلة

(4.4)

هناك حل تحليلي

https://pandia.ru/text/78/507/images/image052_2.gif" width = "17" height = "19">، عدد المسارات ودقة التقريب (4.2). وترد نتائج الحساب في الجداول 1 – 3، دعونا نحللها باستخدام معيار المتوسط (4.2).

بالنسبة لمعادلات الاختبار الأولى والثانية (انظر الجدول 1 والجدول 2)، مع انخفاض طول خطوة التكامل وزيادة ترتيب تقارب المخطط العددي، تزداد دقة التقريب لجميع المخططات العددية قيد الدراسة.

ومع ذلك، لا يمكن ذكر ذلك في الحالة الثالثة، التي تمثل SDE جامدًا (انظر الجدول 3). كان من الممكن حساب قيمة الخطأ المطلق لجميع مجموعات طول خطوة التكامل وعدد المسارات فقط لمخطط أويلر والمخطط المكون من خطوتين.

الجدول 1.دقة تقريب الحل العددي للمعادلة (4..gif" width="53" height="20 src=">.gif" width="93" height="28 src=">)

مخطط	طول خطوة التكامل



ميلشتاين

خطوتان
رونج-كوتا


ميلشتاين

خطوتان
رونج-كوتا


ميلشتاين

خطوتان
رونج-كوتا

بالنسبة لدوائر Milstein وTaylor وRunge-Kutta على، https://pandia.ru/text/78/507/images/image068_3.gif" width="57" height="23">, , , ) سجل تجاوز السعة حدث ذلك، مما جعل من المستحيل إجراء المزيد من الحسابات.

وبالتالي، يمكن ملاحظة أنه، على عكس ODEs، عند التكامل العددي لحل SDEs الجامدة، ينبغي للمرء استخدام طرق حل صريحة "بسيطة"، أي تجنب الأساليب التي تستخدم أقسامًا متعددة لخطوة التقريب أو مشتقات وظائف الانجراف والانتشار . إذا كانت هناك حاجة إلى حل رقمي لـ SDE في مهام مثل التصفية أو تحديد معلمات SDE باستخدام إجراء مونت كارلو، فإن طول الخطوة المفضل هو DIV_ADBLOCK222">

الجدول 2.دقة تقريب الحل العددي للمعادلة (4.4) (https://pandia.ru/text/78/507/images/image070_4.gif" width = "100" height = "25 src = ">)

مخطط	طول خطوة التكامل



ميلشتاين

خطوتان
رونج-كوتا


ميلشتاين

خطوتان
رونج-كوتا


ميلشتاين

خطوتان
رونج-كوتا

الجدول 3.دقة تقريب الحل العددي للمعادلة

(4.3)(https://pandia.ru/text/78/507/images/image071_4.gif" width = "55" height = "20 src = ">.gif" width = "100" height = "25 src = "> )

مخطط	طول خطوة التكامل



ميلشتاين

خطوتان
رونج-كوتا
ميلشتاين

خطوتان
رونج-كوتا
ميلشتاين

خطوتان
رونج-كوتا الأدب 1. أوكسيندال ب.المعادلات التفاضلية العشوائية. برلين: سبرينغر، 2000. 2. , طرق حل المشكلات المطروحة. م: ناوكا، 1986. 3. كلودن بي إي، بلاتن إي.الحل العددي للمعادلات التفاضلية العشوائية. برلين: سبرينغر، 1999. 4. بوراج ك., تيان تي. طرق Runge-Kutta شديدة الدقة للمعادلات التفاضلية العشوائية الصلبة // اتصالات فيزياء الكمبيوتر. 2001. المجلد 142. ص 186 – 190. 5. بوراج ك., بورج بي، ميتسوي تي.الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العشوائية – قضايا التنفيذ والاستقرار // مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية. 2000. المجلد 125. ص 171 – 182. 6. كوزنتسوف د.ف.الطرق العددية القوية المكونة من ثلاث خطوات لأوامر الدقة 1.0 و 1.5 لمعادلات إيتو التفاضلية العشوائية // مجلة الأتمتة وعلوم المعلومات. 2002. المجلد 34. العدد 12. ص 22 – 35. 7. جاينز جي جي., ليونز تي جيه.التحكم في حجم الخطوة المتغيرة في الحل العددي للمعادلات التفاضلية العشوائية // مجلة SIAM للرياضيات التطبيقية. 1997. المجلد 57. العدد 5. ص 1455 – 1484. 8. هيرير إي، وانر جي.حل المعادلات التفاضلية العادية 2: المسائل الجبرية الصعبة والتفاضلية. برلين: دار نشر سبرينغر، 1996. 9. لامبرتون د.، لابير ب.مقدمة في حساب التفاضل والتكامل العشوائي المطبق على التمويل. لندن: تشابمان وهول. 2000. 10. شيرييف أ.ن. أساسيات الرياضيات المالية العشوائية. م: فازيس، 1998. 11. ميلشتاين جي إن، بلاتن إي، شورز إتش.الطرق الضمنية المتوازنة للأنظمة العشوائية الصلبة // مجلة SIAM للتحليل العددي. 1998. المجلد 35. ص 1010 – 1019. 12. فيلاتوفا د.، جرزيواكزيوسكي م.، ماكدونالد د.. تقدير معلمات المعادلات التفاضلية العشوائية باستخدام دالة معيارية بناءً على إحصائيات Kolmogorov-Smirnov // ACTA ET COMMENTATIONES UNIVERSITATIS TARTUENSIS DE MATHEMATICA. 2004. المجلد 8. – ص 93 – 99. 13. نيلسن جي إن، مادسن إتش.تطبيق EKF على المعادلات التفاضلية العشوائية مع تأثيرات المستوى // Automatica. 2001. المجلد 37. ص 107 – 112. 14. نيلسن جي إن، مادسن إتش، يونغ بي سي.التقدير البارامتري في المعادلات التفاضلية العشوائية: نظرة عامة // المراجعات السنوية في السيطرة. 2000. المجلد 24. ص 83 – 94.

لنعد إلى المعادلة الديناميكية من الدرجة الأولى (نظام يتمتع بنصف درجة حرية)، ومن الأمثلة عليها معادلة تقلبات السعة الصغيرة في مذبذب ذاتي [الصيغة الأولى (29.1)]، أي معادلة النموذج

نتعامل مع نفس المعادلة في المسائل المتعلقة بالسرعة والحركة أحادية البعد لجسيم كتلي في وسط به احتكاك لزج، أو حول إزاحة هذا الجسيم، لكنه خالي من الكتلة ومرتبط بنابض بمعامل مرونة، أو عن الجهد V في دائرة سعة، أو عن التيار I في الدائرة، إلخ.

وفقًا لما قيل في الفقرة 28، نتوقع أنه عندما يتم التأثير على النظام الديناميكي (35.1) من خلال صدمات متجانسة "كثيفة" (مقارنة بوقت التأسيس)، ستكون الاستجابة متجانسة ومستمرة

عملية ماركوف مع احتمال انتقالي يرضي معادلة أينشتاين-فوكر

أي المعادلة (29.2)، ولكن في الحالة أحادية البعد، عندما لا يكون هناك اعتماد لـ v على المتغير الثاني. وفقا للطريقة الموضحة في الفقرة 28، فإن المعامل في (35.2) يساوي التعبير عن x، أي الجانب الأيمن من المعادلة (35.1):

تحت الحالة الأولية

يتم التعبير عن حل المعادلة (35.2) بالقانون العادي

[سم. (29.5) و (29.6)]. في الحد عند ، أي بالنسبة لـ t، تتحول الصيغة (35.3) إلى توزيع ثابت مستقل عن . في مسألة السرعة والجسيمات في وسط لزج، عندما يجب أن يكون التوزيع ماكسويل:

لذا، حيث يمكن كتابة تعبيرات مماثلة لـ B في المشكلات الأخرى المذكورة أعلاه - ببساطة كنتيجة لنظرية التوزيع المتساوي للطاقة على درجات الحرية: يجب أن يكون متوسط طاقة النظام الذي يحتوي على 1/2 درجة حرية متساويًا إلى (في هذه الحالة

وبالنظر إلى الافتراضات الأولية المقدمة، فإن هذا مخطط احتمالي بحت لحل مشكلة التقلبات. الآن سنفعل الأشياء بشكل مختلف. دعونا ندخل قوة عشوائية (أو تقلب) في المعادلة (35.1):

إذا ناقشنا، من أجل الوضوح، مشكلة حركة جسيم في وسط غير محدود اللزوجة، فإننا نتحدث عن معادلة الحركة

ينقسم فيها تأثير البيئة على الجسيم إلى قسمين: قوة الاحتكاك المنتظم، والقوة العشوائية

بافتراض أن قوة الاحتكاك النظامية يتم التعبير عنها بقانون ستوكس (بالنسبة لجسيم كروي نصف قطره a، حيث لزوجة السائل)، فإننا نضع افتراضين.

أولاً، يجب استيفاء شرط التدفق الصفحي حول الجسيم، أي أن يكون رقم رينولدز صغيرًا:

أين هي كثافة السائل. إذا أخذنا قيمة جذر متوسط مربع سرعة الحركة الحرارية [وهي كثافة مادة الجسيم]، أي نأخذ في الاعتبار أسرع اهتزازات الجسيم، إذن

عندما يكون لدينا ذلك حتى بالنسبة للأحجام الجزيئية فإن القيمة تعطي القيمة وبالتالي يتم استيفاء شرط الصفيحة.

ثانيًا، القوة النظامية الكلية المؤثرة على كرة تتحرك في مائع لزج غير قابل للضغط متساوية، وفقًا لبوسينت،

حيث الكتلة المضافة تساوي نصف الكتلة المزاحه بواسطة الجسيم السائل. في المعادلة (35.6)، يتم الاحتفاظ بالحد الأول فقط من القوة الكلية F. ولكن عندما يكون المصطلحان الثاني والثالث بنفس ترتيب . فيما يتعلق بهذا، فإن هذا ليس مهمًا، نظرًا لأن دور هذا المصطلح يقتصر فقط على التغيير في الكتلة الفعالة للجسيم. والأهم من ذلك هو المصطلح الثالث، الذي يعبر عن التأثير الهيدروديناميكي اللزج (انظر الفقرتين 15 و21)، عند أخذه بعين الاعتبار، يكتسب النظام عددًا لا حصر له من درجات الحرية.

في ظل وجود تأثير لاحق لزج (وبالتالي احتمالي)، تم العثور على متوسط الإزاحة المربعة للجسيم بواسطة V.V. فلاديميرسكي وياب تيرليتسكي. تبين أن التعبير المعتاد صالح فقط للفترات الزمنية t التي تكون كبيرة بما فيه الكفاية مقارنة بزمن الاسترخاء، وسوف نقتصر على صياغة مبسطة للمشكلة على أساس المعادلة (35.5).

وسوف نتعامل مع هذه المعادلة العشوائية كما لو كانت معادلة تفاضلية عادية.

دمجها في ظل الشرط الأولي الذي حصلنا عليه

حيث أنه، على سبيل الافتراض، فإن المتوسط (35.7) على مجموعة من القوى العشوائية يعطي

أي أنه بالنسبة لـ x يتم الحصول على نفس القانون الديناميكي من المعادلة (35.1) ومن معادلة أينشتاين-فوكر (35.2). دعونا الآن العثور على التباين. وفق (35.7) و (35.8)

وبالتالي، للحصول عليه من الضروري تعيين وظيفة ارتباط القوة العشوائية. يمكنك تحديد أي دالة ارتباط تسمح بها القيود العامة لشكلها، ولكننا سنضع افتراضًا خاصًا، وهو أننا سنفترض أن العملية المرتبطة بالدلتا ثابتة:

حيث C ثابت. لاحظ أنه بالتالي قوة الدفع

هي دالة عشوائية مستمرة ذات زيادات مستقلة وبالتالي يتم توزيعها بشكل طبيعي لأي t (الفقرة 34).

بالتعويض (35.10) في (35.9) نجد

(35.11)

فإذا وضعنا فإن ذلك سيتوافق مع التعبير (35.4) الذي تم الحصول عليه من معادلة أينشتاين-فوكر (35.2).

لم نجد سوى لحظات، ولكن يمكن قول المزيد. وبما أن الزيادة في الزخم يتم توزيعها بشكل طبيعي لأي قيمة معينة، فإن الفرق، وفقًا لـ (35.7)، هو مجموع (أو بشكل أكثر دقة، حد المجموع) للكميات الموزعة بشكل طبيعي. وبالتالي، فإن التوزيع يتم أيضًا بموجب قانون غاوسي مع التشتت (35.11). هذا التوزيع الشرطي (بشرط أن ) يتطابق ببساطة مع (35.3). علاوة على ذلك، من السهل التحقق عن طريق الاستبدال المباشر من أن هذا النوع من الاحتمالات الشرطية يفي بمعادلة سمولوتشوسكي (وهي احتمالات انتقالية)، أي أن العملية تبين أنها ماركوفية. وبالتالي، إذا كانت القوة العشوائية في المعادلة التفاضلية العشوائية (35.5) ثابتة ومرتبطة بالدلتا [انظر. (35.10)]، فإن الاستجابة هي عملية ماركوف الانتشارية التي يلبي احتمال انتقالها معادلة أينشتاين-فوكر مع

كلا النهجين - استنادًا إلى معادلة أينشتاين-فوكر واستنادًا إلى المعادلة التفاضلية العشوائية لوظيفة عشوائية - يتبين أنهما متساويان في المشكلة قيد النظر. وهذا لا يعني بالطبع أنهما متطابقان خارج هذه المهمة. تتمتع معادلة أينشتاين-فوكر، على سبيل المثال، بميزة لا شك فيها في الحالات التي يتم فيها فرض قيود معينة على مجموعة القيم المحتملة للدالة العشوائية (وجود جدران عاكسة أو ماصة، وما إلى ذلك)، والتي تؤخذ في الاعتبار ببساطة عن طريق شروط الحدود المقابلة. في صياغة لانجفين للمشكلة، فإن إدخال هذا النوع من القيود أمر صعب للغاية. من ناحية أخرى، وكما تم التأكيد عليه بالفعل، فإن طريقة لانجفين لا تتطلب أن تكون القوة مرتبطة بالدلتا.

ربما تجدر الإشارة إلى أنه في حالة القوة المرتبطة بالدلتا على وجه التحديد، فإن العمل بالمعادلة التفاضلية (35.5) له، بمعنى ما، طابع شرطي. هذه المعادلة لم تكتب من أجل x، بل من أجل القيمة اللحظية. ولكن في حالة الصدمات المتكررة إلى ما لا نهاية، فإن الاستجابة ليست دالة قابلة للتفاضل، أي أنها غير موجودة (بأي من المعاني الاحتمالية لمفهوم المشتق). وبالتالي، فإن "المعادلة التفاضلية" بأكملها ليس لها سوى معنى رمزي معين. يجب أن يفهم هذا على النحو التالي.

يؤدي التكامل الرسمي للمعادلة (35.5) إلى الحل (35.7) لـ الذي لم يعد في مشكلة لأنه يحتوي على ديلا مرتبطة بالدلتا فقط تحت التكامل. بمعنى آخر المعادلة (35.5) هي

هذا (في حالة القوة المرتبطة بالدلتا قيد النظر) هو تدوين غير صحيح رياضيًا للحل اللاحق - بالفعل ذو معنى تمامًا، وفي النهاية، الحل الوحيد الذي يهمنا - لهذه المعادلة. مبرر هذا النهج هو المزايا المعروفة للعمل مع المعادلات التفاضلية عند صياغة المشكلة - القدرة على الانطلاق من القوانين الديناميكية العامة، والقدرة على استخدام كامل الترسانة الحالية من الأدوات الرياضية للحصول على حل، وما إلى ذلك. لا نتحدث حتى عن حقيقة أنه مع كل التحفظات غير المرتبطة بالدلتا تصبح غير ضرورية: المعادلات التفاضلية العشوائية للوظائف العشوائية نفسها تكتسب بعد ذلك محتوى رياضيًا محددًا تمامًا، علاوة على ذلك، تسمح للمرء بتجاوز فئة عمليات ماركوف.

من الواضح أن الثابت C في دالة الارتباط (35.10) يميز شدة الصدمات العشوائية. دعنا نعود إلى المتغيرات التي تكون فيها قوة النظام واستجابة النظام مترافقتين طاقيًا، أي أن حاصل ضرب القوة ومشتق الاستجابة يمثل القوة الممنوحة للنظام. وهذا صحيح، على سبيل المثال، بالنسبة للقوة في المعادلة (35.6)، حيث أن القدرة المنقولة إلى الجسيم تساوي . وتصبح المعادلة (35.6) (35.5) مقسومة على كتلة الجسيم m، وبالتالي فإن دالة ارتباط القوة الحالية طبقاً لـ (35.10) تساوي

لقد أنشأنا أعلاه ماذا وماذا في مشكلة سرعة الجسيم البراوني. ولذلك فإن الثابت C في دالة ارتباط القوة يساوي

أي أنه يرتبط فقط بمعامل الاحتكاك النظامي h. في مشكلة التيار في الدائرة، يجب أن نفهم الحرارة العشوائية (§ 28)، و h المقاومة النشطة للدائرة R، وبالتالي فإن ثابت الارتباط سيكون

المعادلة التفاضلية العشوائية(SDE) - معادلة تفاضلية يكون فيها واحد أو أكثر من الحدود ذات طبيعة عشوائية، أي أنها تمثل عملية عشوائية (اسم آخر هو عملية عشوائية). وبالتالي، فإن حلول المعادلة يتبين أيضًا أنها عمليات عشوائية. المثال الأكثر شهرة والأكثر استخدامًا لـ SDE هو معادلة بمصطلح يصف الضوضاء البيضاء (والتي يمكن اعتبارها مثالًا على مشتق عملية وينر). ومع ذلك، هناك أنواع أخرى من التقلبات العشوائية، مثل عملية القفز (لمزيد من التفاصيل، راجع).

قصة

في الأدبيات، يرتبط أول استخدام لـ SDE تقليديًا بالعمل على وصف الحركة البراونية، والذي تم إجراؤه بشكل مستقل بواسطة ماريان سمولوتشوفسكي (ج.) وألبرت أينشتاين (ج.). ومع ذلك، تم استخدام SDEs قبل ذلك بقليل (سنوات) من قبل عالم الرياضيات الفرنسي لويس بوشيلييه في أطروحته للدكتوراه "نظرية الافتراضات". بناء على أفكار هذا العمل، بدأ الفيزيائي الفرنسي بول لانجفين في استخدام SDE في أعمال الفيزياء. وفي وقت لاحق، قام هو والفيزيائي الروسي رسلان ستراتونوفيتش بتطوير مبرر رياضي أكثر صرامة لـ SDE.

المصطلح

في الفيزياء، تتم كتابة SDEs تقليديًا في شكل معادلة لانجفين. وفي كثير من الأحيان، وبشكل غير دقيق تمامًا، يطلقون عليها اسم معادلة لانجفين نفسها، على الرغم من أنه يمكن كتابة SDE بعدة طرق أخرى. يتكون SDE في شكل معادلة لانجفين من معادلة تفاضلية عادية غير عشوائية وجزء إضافي يصف الضوضاء البيضاء. الشكل الثاني الشائع هو معادلة فوكر-بلانك، وهي معادلة تفاضلية جزئية وتصف تطور كثافة الاحتمال مع مرور الوقت. يُستخدم الشكل الثالث من SDE في كثير من الأحيان في الرياضيات والرياضيات المالية، وهو يشبه معادلات لانجفان، ولكنه مكتوب باستخدام التفاضلات العشوائية (انظر التفاصيل أدناه).

حساب التفاضل والتكامل العشوائي

دعها، واتركها

ثم المعادلة التفاضلية العشوائية لشروط أولية معينة

لديه حل فريد (بمعنى "شبه مؤكد") ومستمر بحيث - عملية مكيفة للتصفية، يتم إنشاؤها بواسطة و و و و

تطبيق المعادلات العشوائية

الفيزياء

في الفيزياء، غالبًا ما تتم كتابة SDEs في شكل معادلة لانجفين. على سبيل المثال، يمكن كتابة نظام SDE من الدرجة الأولى على النحو التالي:

حيث هي مجموعة من المجهولات، وهي دوال عشوائية، وهي دوال عشوائية للزمن، والتي تسمى غالبًا بمصطلحات الضوضاء. يتم استخدام هذا النوع من التدوين نظرًا لوجود تقنية قياسية لتحويل المعادلة ذات المشتقات الأعلى إلى نظام من المعادلات من الدرجة الأولى عن طريق إدخال مجهولات جديدة. إذا كانت ثوابت، يقال أن النظام يخضع لضوضاء إضافية. يتم أيضًا أخذ الأنظمة ذات الضوضاء المضاعفة في الاعتبار عند . ومن بين هاتين الحالتين، تكون الضوضاء الإضافية أبسط. غالبًا ما يمكن العثور على حل لنظام به ضوضاء إضافية باستخدام طرق التحليل الرياضي القياسية فقط. على وجه الخصوص، يمكن استخدام الطريقة المعتادة لتكوين وظائف غير معروفة. ومع ذلك، في حالة الضوضاء المضاعفة، فإن معادلة لانجفين غير محددة بشكل جيد بمعنى التحليل الرياضي العادي ويجب تفسيرها من حيث حساب التفاضل والتكامل إيتو أو حساب التفاضل والتكامل ستراتونوفيتش.

في الفيزياء، الطريقة الرئيسية لحل SDEs هي إيجاد حل في شكل كثافة احتمالية وتحويل المعادلة الأصلية إلى معادلة فوكر-بلانك. معادلة فوكر-بلانك هي معادلة تفاضلية جزئية بدون شروط عشوائية. إنها تحدد التطور الزمني لكثافة الاحتمال، تمامًا كما تحدد معادلة شرودنغر الاعتماد الزمني للدالة الموجية لنظام ما في ميكانيكا الكم أو تحدد معادلة الانتشار التطور الزمني للتركيز الكيميائي. ويمكن أيضًا البحث عن الحلول عدديًا، على سبيل المثال باستخدام طريقة مونت كارلو. تستخدم تقنيات الحل الأخرى تكامل المسار، وتعتمد هذه التقنية على التشابه بين الفيزياء الإحصائية وميكانيكا الكم (على سبيل المثال، يمكن تحويل معادلة فوكر-بلانك إلى معادلة شرودنغر باستخدام بعض التحويلات للمتغيرات)، أو حل المعادلات التفاضلية العادية لـ لحظات كثافة الاحتمال.

نظرية الاحتمالية والرياضيات المالية

مادة الاحياء

كيمياء

روابط

العالم العشوائي – مقدمة بسيطة للمعادلات التفاضلية العشوائية

الأدب

ادوميان جورجالأنظمة العشوائية. - أورلاندو، فلوريدا: Academic Press Inc.، 1983.
ادوميان جورجمعادلات المشغل العشوائي غير الخطية. - أورلاندو، فلوريدا: Academic Press Inc.، 1986.
ادوميان جورجنظرية النظم العشوائية غير الخطية وتطبيقاتها في الفيزياء. - دوردريخت: مجموعة كلوير للناشرين الأكاديميين، 1989.
أوكسيندال بيرنت ك.المعادلات التفاضلية العشوائية: مقدمة مع التطبيقات. - برلين: سبرينغر، 2003. - ردمك ISBN 3-540-04758-1
تيوجيلز، ج. وسوند ب. (محرران)موسوعة العلوم الاكتوارية. - تشيتشيستر: وايلي، 2004. - ص 523-527.
سي دبليو جاردينردليل الطرق العشوائية: للفيزياء والكيمياء والعلوم الطبيعية. - سبرينغر، 2004. - ص 415.
توماس ميكوشحساب التفاضل والتكامل العشوائي الأولي: مع وضع التمويل في الاعتبار. - سنغافورة: النشر العلمي العالمي، 1998. - ص 212. - ISBN 981-02-3543-7
باشيلير، ل. Théorie de laتخمين (بالفرنسية)، رسالة دكتوراه. - NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0، 1900. - ISBN باللغة الإنجليزية عام 1971 كتاب "الطابع العشوائي لسوق الأوراق المالية" محرران. درجة الحموضة. كوتنر

1. من بين عمليات Ito X = (Xt)t^o لها تفاضل عشوائي
dXt = أ(t,oj)dt + P(t,oj)dBt, (1)
تلعب دورًا مهمًا تلك التي تعتمد معاملاتها a(t, a>) و (3(t, u) على a(t,u) = a(t,Xt(u>)), /3(t ,u> ) = ب(t,Xt (si))), (2)
حيث a = a(t, x) وb = b(t, x) هي دوال قابلة للقياس على M+ x K. لذلك، على سبيل المثال، العملية
St=S0eateaBt-4-\\ (3)
تسمى الحركة البراونية الهندسية أو الاقتصادية (انظر § For)، ولها (وفقًا لصيغة إيتو) تفاضل عشوائي
dSt = aSt dt + aSt dBt. (4)
عملية
= و
جو الثالث
دو (5)
لديه، كما هو سهل التحقق، مرة أخرى باستخدام صيغة إيتو، تفاضلًا
dYt = (1 + aYt) dt + oYt dBt. (6)
(تلعب العملية Y = (Yt)t^o دورًا مهمًا في مشاكل الاكتشاف السريع للتغيرات في الانجراف المحلي للحركة البراونية؛ انظر.) إذا
Г، Г* دو Г* dBu1
(7)
ض = ش
Zq + (си - ас2) / -Х- + С2
جو جو.
مع بعض الثوابت c\\ وc2، ثم مرة أخرى باستخدام صيغة إيتو، تم التحقق من ذلك
dZt = (си + aZt) dt + (c2 + aZt) dBt. (8)
في الأمثلة المقدمة، بدأنا من النموذج "الصريح" للعمليات S = (St)، У = (УІ)، Z = (Zt) وباستخدام صيغة Ito حصلنا على تفاضلاتها العشوائية (4)، (6) و (8).
ومع ذلك، من الممكن تغيير وجهة النظر، أي اعتبار (4) و(6) و(8) معادلات تفاضلية عشوائية فيما يتعلق بالعمليات غير المعروفة S = (St)،Y = (Yt)، Z = (Zt) وحاول إثبات أن الحلول التي وجدوها (3) و(5) و(7) هي (بمعنى ما) الحلول الوحيدة لهذه المعادلات.
وبطبيعة الحال، من الضروري إعطاء معنى دقيق لمفهوم "المعادلة التفاضلية العشوائية"، لتحديد ما هو "حلها"، وبأي معنى ينبغي فهم "تفرد" الحل.
في تحديد كل هذه المفاهيم، التي تمت مناقشتها أدناه، يلعب الدور الرئيسي مفهوم التكامل العشوائي الذي تم تقديمه أعلاه.
2. سنفترض أن مساحة الاحتمال المرشحة (الأساس العشوائي) (ft, (^t)t^Oi P) معطاة بالشروط المعتادة (البند 2, §7a) ودع B = (Bt,&t)f^ o تكون الحركة براونية.
دع a = a(t, x) و b = b(t, x) تكون دوال قابلة للقياس على K+ x M.
التعريف 1. يقال أن المعادلة التفاضلية العشوائية هي
dXt = أ(t، Xt)dt + ب(t،Xt) ديسيبل (9)
مع شرط أولي ^-قابل للقياس Xo لديه حل قوي مستمر (أو ببساطة حل) X = (Xt)t^o، إذا كان لكل t > O
Xt هي ^-قابلة للقياس،
P(^J* \\a(s,Xa)\\ds p(^J* b2(s,Xa)ds (12)
Xt=Xo+ Ɛ a(s,Xa) ds + Ɛ b(s,Xa)dBa. جو جو
التعريف 2. تسمى عمليتان عشوائيتان مستمرتان X = (Xt)t^o وY = (Yt)t^0 لا يمكن تمييزهما عشوائيًا إذا كان هناك أي t > O
ص(sup|Xs -Ys\\ >0) =0. (13)
فا و (R-p.n.)
التعريف 3. سنقول أن الدالة القابلة للقياس / ¦ f(t, x)، المحددة على R+ x K، تلبي (فيما يتعلق بمتغير الطور x) شرط Lipschitz المحلي إذا كان لكل n ^ 1 ثابت K (ن) بحيث يكون لجميع t > 0 و|x| \\a(t,x)-a(t,y)\\ + \\b(t,x)-b(t,y)\\ النظرية 1 (K.Ito, ; انظر أيضًا، على سبيل المثال، ). دع المعاملات a(t,x) ub(t,x) تلبي شرط Lipschitz المحلي وشرط النمو الخطي:
la(t,x)\\ + \\b(t,x)\\ ودع الشرط الأولي XQ يكون ^-قابل للقياس.
ثم تحتوي المعادلة التفاضلية العشوائية (9) على حل مستمر فريد (حتى عدم القدرة على التمييز العشوائي) X = (Xt,&t)، وهي عملية ماركوف.
هناك تعميمات لهذه النتيجة في اتجاهات مختلفة: تم إضعاف شرط Lipschitz المحلي، ويسمح بالاعتماد (ولكن ذو طبيعة خاصة) للمعاملات على u>، وحالات الاعتماد على المعاملات a - a(t,Xt) و b = b(t,Xt) تعتبر من "الماضي" (بتدوين فضفاض إلى حد ما: a = a(t; Xs, s. هناك أيضًا تعميمات للحالة متعددة الأبعاد، عندما X = (X1,..., Xd) هي عملية متجهة، a = a(t,x) - متجه، b = b(t,x) - مصفوفة وB = (B1,... ,Bd) - حركة براونية ذات أبعاد d انظر في هذا الشأن ، على سبيل المثال، ، ، .
من التعميمات المختلفة، نقدم نتيجة واحدة فقط، غير متوقعة إلى حد ما، لـ A.K.Zvonkin، والتي تنص على وجود حل قوي للمعادلة التفاضلية العشوائية
dXt = أ(t، Xt)dt + dBt (15)
ليست هناك حاجة على الإطلاق لاشتراط تحقيق شرط ليبشيتز المحلي، ولكن فقط قابلية القياس في (؟، x) والحدود الموحدة للمعامل a(t، x) كافية. (تم الحصول على تعميم متعدد الأبعاد لهذه النتيجة بواسطة A. Yu. Veretennikov، .)
وهكذا، على سبيل المثال، المعادلة التفاضلية العشوائية
dXt = أ(Xt) dt + dBt، X0 = 0، (16)
مع معامل "سيئ".
ز 1، س > أو،
I.-1، x لديه، علاوة على ذلك، حل قوي فريد من نوعه.
ومع ذلك، لاحظ أنه إذا نظرنا إلى المعادلة بدلاً من المعادلة (16).
dXt=a(Xt)dBt، Xo = 0، (18)
مع نفس الوظيفة сpr(x)، يتغير الوضع بشكل كبير، لأنه أولاً، توجد مساحات احتمالية تحتوي هذه المعادلة بوضوح على حلين قويين على الأقل، وثانيًا، في بعض مساحات الاحتمال، قد لا يكون لهذه المعادلة حل قوي على الاطلاق.
لإظهار صحة العبارة الأولى، ضع في اعتبارك مساحة الدوال المستمرة u> = (u>t)t>o مع قياس Wiener لعملية Wiener المعطاة بشكل تنسيقي W = (Wt)t^Oi، أي أن Wt( ث)=الوزن،ر>0.
بعد ذلك، وفقًا لنظرية ليفي (انظر النقطة 3 في §3b)، العملية B = (Bt)t^o لـ
Bt= С o(Ws)dWa Jo
ستكون أيضًا عملية وينر (حركة براونية). ومن السهل رؤية ذلك
[ o(Wa)dBa = [ o2(Wa)dWa=Wt, Jo Jo
بما أن cr2(x) = 1.
وبالتالي، فإن العملية W =¦ (Wt)t^o هي (في الفضاء الاحتمالي قيد النظر) حل للمعادلة (18) بحركة براونية مختارة خصيصًا B¦ ولكن بما أن cr(-x) = -cr(x )، ثم
[ o(Wa)dBa = -Wt, Jo
Г س(-وا) ديسيبل = - جو
أولئك. مع W = (Wt)t^о فإن العملية -W = (-Wt)t>о هي أيضًا حل للمعادلة (18).
أما العبارة الثانية فنفترض أن المعادلة 1
Xt= [ o(Xa)dBs Jo
هناك حل قوي (بالنسبة لتدفق الجبر (الناتج عن الحركة البراونية B). من نظرية ليفي يتبع ذلك أن العملية X = (Xt، o هي حركة براونية.
وفقًا لصيغة Taiak (انظر المزيد من الفقرة 5ج وقارنها بالمثال الموجود في § lb، الفصل الثاني):
\\Xt\\= Г a(Xa)dXa+Lt(0)، جو
اين
Lt(0) = limi- f I(\\Xa\\^e)da
ej.0 من الألف إلى الياء جو
هو الزمن المحلي (Lévy) للحركة البراونية X، والذي يقضيه عند الصفر في الفاصل الزمني. لذلك (R-p.n.)
Bt= Г o(Xa)dXa = \\Xt\\-Lt(0) جو
وبالتالي ج
الافتراض أعلاه بأن X تم تكييفه فيما يتعلق بالتدفق = (&t)t^o يتضمن تضمين C\