لوغاريتم اللوغاريتم ذو الأساس المتساوي. خواص اللوغاريتمات وأمثلة على حلولها

الخصائص الأساسية للوغاريتم الطبيعي، الرسم البياني، مجال التعريف، مجموعة القيم، الصيغ الأساسية، المشتق، التكامل، التوسع في سلسلة السلطةوتمثيل الدالة ln x باستخدام الأعداد المركبة.

تعريف

اللوغاريتم الطبيعيهي الدالة ص = لن س، معكوس ل الأسي, x = e y , و هو اللوغاريتمعلى أساس الرقم ه: ln x = سجل e x.

يستخدم اللوغاريتم الطبيعي على نطاق واسع في الرياضيات لأن مشتقه له أبسط شكل: (ln x)′ = 1/ س.

مرتكز على التعاريف، أساس اللوغاريتم الطبيعي هو الرقم ه:
ه ≅ 2.718281828459045...;
.

رسم بياني للدالة y = لن س.

رسم بياني للوغاريتم الطبيعي (الدوال y = لن س) يتم الحصول عليها من الرسومات الأسية صورة مرآةنسبة إلى الخط المستقيم y = x.

يتم تعريف اللوغاريتم الطبيعي في القيم الإيجابيةالمتغير س.

ويزداد رتابة في مجال تعريفه. 0 في س →

نهاية اللوغاريتم الطبيعي هو ناقص اللانهاية (-∞). مثل x → + ∞، نهاية اللوغاريتم الطبيعي هي زائد ما لا نهاية (+ ∞). بالنسبة لـ x الكبيرة، يزداد اللوغاريتم ببطء شديد. أيوظيفة الطاقة × سمؤشر إيجابي

الدرجة a تنمو بشكل أسرع من اللوغاريتم.

خصائص اللوغاريتم الطبيعي

مجال التعريف، مجموعة القيم، القيم القصوى، الزيادة، النقصان

اللوغاريتم الطبيعي هو دالة متزايدة بشكل رتيب، لذلك ليس لها نقاط نهاية. يتم عرض الخصائص الرئيسية للوغاريتم الطبيعي في الجدول.

قيم lnx

قانون الجنسية 1 = 0

الصيغ الأساسية للوغاريتمات الطبيعية

الصيغ التالية من تعريف الدالة العكسية:

الخاصية الرئيسية للوغاريتمات وعواقبها

صيغة استبدال القاعدة يمكن التعبير عن أي لوغاريتم من حيثاللوغاريتمات الطبيعية

باستخدام صيغة الاستبدال الأساسية: يتم عرض الأدلة على هذه الصيغ في القسم.

"اللوغاريتم"

دالة عكسية معكوس اللوغاريتم الطبيعي هو.

الأس

إذاً

إذا، ثم.

مشتق ln x
.
مشتق من اللوغاريتم الطبيعي:
.
مشتق من اللوغاريتم الطبيعي للمعامل x:
.
مشتق من الترتيب ن:

اشتقاق الصيغ > > >

أساسي يتم حساب التكامل :
.
التكامل بالأجزاء

لذا،

التعبيرات باستخدام الأعداد المركبة
.
خذ بعين الاعتبار وظيفة المتغير المركب z : دعونا نعبر عن المتغير المعقدعبر الوحدة النمطية صوالحجة φ :
.
وباستخدام خصائص اللوغاريتم نحصل على:
.
أو
.
لم يتم تعريف الوسيطة φ بشكل فريد. إذا وضعت
، حيث n عدد صحيح،
سيكون نفس الرقم لمختلف n.

ولذلك، فإن اللوغاريتم الطبيعي، كدالة لمتغير معقد، ليس دالة ذات قيمة واحدة.

توسيع سلسلة الطاقة

عندما يحدث التوسع:

الأدب المستخدم:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.

نواصل دراسة اللوغاريتمات. في هذا المقال سنتحدث عنه حساب اللوغاريتمات، وتسمى هذه العملية اللوغاريتم. أولاً سوف نفهم حساب اللوغاريتمات حسب التعريف. بعد ذلك، دعونا نلقي نظرة على كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات باستخدام خصائصها. بعد ذلك، سوف نركز على حساب اللوغاريتمات في البداية تعيين القيماللوغاريتمات الأخرى. وأخيرًا، دعونا نتعلم كيفية استخدام جداول اللوغاريتمات. يتم تزويد النظرية بأكملها بأمثلة مع حلول مفصلة.

التنقل في الصفحة.

حساب اللوغاريتمات حسب التعريف

في أبسط الحالات، من الممكن تنفيذ الأمر بسرعة وسهولة إيجاد اللوغاريتم حسب التعريف. دعونا نلقي نظرة فاحصة على كيفية حدوث هذه العملية.

جوهرها هو تمثيل الرقم ب في النموذج ج، والذي، من خلال تعريف اللوغاريتم، الرقم ج هو قيمة اللوغاريتم. وهذا يعني، حسب التعريف، أن سلسلة المساواة التالية تتوافق مع إيجاد اللوغاريتم: log a b=log a a c =c.

لذا، فإن حساب اللوغاريتم حسب التعريف يؤدي إلى إيجاد رقم c بحيث يكون a c = b، والرقم c نفسه هو القيمة المطلوبة للوغاريتم.

مع الأخذ في الاعتبار المعلومات الواردة في الفقرات السابقة، عندما يتم إعطاء الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم بواسطة قوة معينة لقاعدة اللوغاريتم، يمكنك الإشارة على الفور إلى ما يساويه اللوغاريتم - يساوي المؤشردرجات. دعونا نعرض الحلول بالأمثلة.

مثال.

ابحث عن السجل 2 2 −3 واحسب أيضًا اللوغاريتم الطبيعي للرقم e 5,3.

حل.

يتيح لنا تعريف اللوغاريتم أن نقول على الفور أن السجل 2 2 −3 =−3. في الواقع، الرقم الموجود تحت علامة اللوغاريتم يساوي الأساس 2 أس −3.

وبالمثل نجد اللوغاريتم الثاني: lne 5.3 =5.3.

إجابة:

سجل 2 2 −3 =−3 و lne 5,3 =5,3.

إذا لم يتم تحديد الرقم b تحت علامة اللوغاريتم كقوة لقاعدة اللوغاريتم، فأنت بحاجة إلى النظر بعناية لمعرفة ما إذا كان من الممكن التوصل إلى تمثيل للرقم b في النموذج a c . غالبًا ما يكون هذا التمثيل واضحًا تمامًا، خاصة عندما يكون الرقم تحت علامة اللوغاريتم مساويًا للأساس أس 1، أو 2، أو 3، ...

مثال.

احسب اللوغاريتمات log 5 25 و .

حل.

من السهل أن ترى أن 25=5 2، وهذا يسمح لك بحساب اللوغاريتم الأول: log 5 25=log 5 5 2 =2.

دعنا ننتقل إلى حساب اللوغاريتم الثاني. يمكن تمثيل الرقم كقوة 7: (انظر إذا لزم الأمر). لذلك، .

دعونا نعيد كتابة اللوغاريتم الثالث النموذج التالي. الآن يمكنك أن ترى ذلك ، ومنه نستنتج ذلك . لذلك، من خلال تعريف اللوغاريتم .

باختصار يمكن كتابة الحل كالتالي: .

إجابة:

سجل 5 25=2 , و .

عندما يكون تحت علامة اللوغاريتم كبير بما فيه الكفاية عدد طبيعي، فلن يضر أن تتحلل فيه العوامل الأولية. غالبًا ما يساعد على تمثيل هذا الرقم كقوة لقاعدة اللوغاريتم، وبالتالي حساب هذا اللوغاريتم حسب التعريف.

مثال.

أوجد قيمة اللوغاريتم.

حل.

تسمح لك بعض خصائص اللوغاريتمات بتحديد قيمة اللوغاريتمات على الفور. وتشمل هذه الخصائص خاصية لوغاريتم الوحدة، وخاصية لوغاريتم العدد، يساوي القاعدة: سجل 1 1=سجل أ 0 =0 و سجل أ= سجل أ 1 =1 . أي أنه عندما يكون هناك رقم 1 أو رقم يساوي أساس اللوغاريتم تحت علامة اللوغاريتم، فإن اللوغاريتمات في هذه الحالات تساوي 0 و1 على التوالي.

مثال.

ما هي اللوغاريتمات وlog10 يساوي؟

حل.

منذ ذلك الحين يتبع من تعريف اللوغاريتم .

في المثال الثاني، الرقم 10 تحت علامة اللوغاريتم يتطابق مع قاعدته، وبالتالي فإن اللوغاريتم العشري للعشرة يساوي واحد، أي log10=lg10 1 =1.

إجابة:

و إل جي10=1 .

لاحظ أن حساب اللوغاريتمات حسب التعريف (الذي ناقشناه في الفقرة السابقة) يتضمن استخدام سجل المساواة a a p =p، وهو أحد خصائص اللوغاريتمات.

من الناحية العملية، عندما يتم تمثيل رقم تحت علامة اللوغاريتم وقاعدة اللوغاريتم بسهولة كقوة لرقم معين، فمن الملائم جدًا استخدام الصيغة وهو ما يتوافق مع إحدى خصائص اللوغاريتمات. دعونا نلقي نظرة على مثال لإيجاد لوغاريتم يوضح استخدام هذه الصيغة.

مثال.

احسب اللوغاريتم.

حل.

إجابة:

.

تُستخدم أيضًا خصائص اللوغاريتمات غير المذكورة أعلاه في العمليات الحسابية، لكننا سنتحدث عن ذلك في الفقرات التالية.

إيجاد اللوغاريتمات من خلال اللوغاريتمات المعروفة الأخرى

تستمر المعلومات الواردة في هذه الفقرة في موضوع استخدام خصائص اللوغاريتمات عند حسابها. لكن الاختلاف الرئيسي هنا هو أن خصائص اللوغاريتمات تُستخدم للتعبير عن اللوغاريتم الأصلي بدلالة لوغاريتم آخر تكون قيمته معروفة. دعونا نعطي مثالا للتوضيح. لنفترض أننا نعرف ذلك log 2 3≈1.584963، ثم يمكننا إيجاد، على سبيل المثال، log 2 6 عن طريق إجراء تحويل بسيط باستخدام خصائص اللوغاريتم: سجل 2 6=سجل 2 (2 3)=سجل 2 2+سجل 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

في المثال أعلاه، كان يكفينا استخدام خاصية لوغاريتم المنتج. ومع ذلك، في كثير من الأحيان يكون من الضروري استخدام ترسانة أوسع من خصائص اللوغاريتمات لحساب اللوغاريتم الأصلي من خلال تلك المحددة.

مثال.

احسب لوغاريتم 27 للأساس 60 إذا كنت تعلم أن log 60 2=a وlog 60 5=b.

حل.

لذلك نحن بحاجة إلى العثور على سجل 60 27 . من السهل أن نرى أن 27 = 3 3 ، واللوغاريتم الأصلي، بسبب خاصية لوغاريتم الأس، يمكن إعادة كتابته بالشكل 3·log 60 3 .

الآن دعونا نرى كيفية التعبير عن السجل 60 3 بدلالة اللوغاريتمات المعروفة. خاصية لوغاريتم الرقم الذي يساوي الأساس تسمح لنا بكتابة سجل المساواة 60 60=1. ومن ناحية أخرى، سجل 60 60=log60(2 2 3 5)= سجل 60 2 2 +سجل 60 3+سجل 60 5= 2·سجل 60 2+سجل 60 3+سجل 60 5 . هكذا، 2 سجل 60 2+سجل 60 3+سجل 60 5=1. لذلك، سجل 60 3=1−2·سجل 60 2−سجل 60 5=1−2·أ−ب.

أخيرًا، نحسب اللوغاريتم الأصلي: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

إجابة:

سجل 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

بشكل منفصل، تجدر الإشارة إلى معنى صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتم النموذج الجديدة . يتيح لك الانتقال من اللوغاريتمات ذات الأساس إلى اللوغاريتمات ذات الأساس المحدد والتي تكون قيمها معروفة أو من الممكن العثور عليها. عادة، من اللوغاريتم الأصلي، باستخدام صيغة الانتقال، ينتقلون إلى اللوغاريتمات في إحدى القواعد 2 أو e أو 10، حيث توجد لهذه القواعد جداول لوغاريتمية تسمح بحساب قيمها بدرجة معينة من دقة. في النقطة التاليةسنوضح لك كيف يتم ذلك.

الجداول اللوغاريتمية واستخداماتها

يمكن استخدام الحساب التقريبي لقيم اللوغاريتم جداول اللوغاريتم. جدول اللوغاريتم الأساسي 2 الأكثر استخدامًا، وجدول اللوغاريتم الطبيعي، و اللوغاريتمات العشرية. عند العمل في النظام العشريبالنسبة لحساب التفاضل والتكامل، من المناسب استخدام جدول اللوغاريتمات بناءً على الأساس العشري. بمساعدتها سوف نتعلم كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات.

يتيح لك الجدول المعروض العثور على قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام من 1000 إلى 9999 (مع ثلاث منازل عشرية) بدقة تصل إلى جزء من عشرة آلاف. سنقوم بتحليل مبدأ إيجاد قيمة اللوغاريتم باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية مثال محدد- الأمر أوضح بهذه الطريقة. لنجد log1.256.

في العمود الأيسر من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد أول رقمين من الرقم 1.256، أي نجد 1.2 (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأزرق من أجل الوضوح). نجد الرقم الثالث من 1.256 (الرقم 5) في الأول أو السطر الأخيرعلى يسار الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأحمر). الرقم الرابع من الرقم الأصلي 1.256 (الرقم 6) موجود في السطر الأول أو الأخير على يمين الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة بخط أخضر). الآن نجد الأرقام في خلايا جدول اللوغاريتمات عند تقاطع الصف المحدد والأعمدة المحددة (يتم تمييز هذه الأرقام البرتقالي). مجموع الأرقام المحددة يعطي القيمة المطلوبة للوغاريتم العشري بدقة حتى المنزلة العشرية الرابعة، أي، سجل1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

هل من الممكن باستخدام الجدول أعلاه إيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأعداد التي تحتوي على أكثر من ثلاثة أرقام بعد العلامة العشرية، وكذلك تلك التي تتجاوز النطاق من 1 إلى 9.999؟ نعم يمكنك ذلك. دعونا نظهر كيف يتم ذلك مع مثال.

دعونا نحسب lg102.76332. أولا تحتاج إلى الكتابة رقم في النموذج القياسي : 102.76332=1.0276332·10 2. بعد ذلك، ينبغي تقريب الجزء العشري إلى المنزلة العشرية الثالثة، لدينا 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، بينما اللوغاريتم العشري الأصلي تقريبًا يساوي اللوغاريتمالرقم الناتج، أي أننا نأخذ log102.76332≈lg1.028·10 2. الآن نطبق خصائص اللوغاريتم: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. وأخيرا نجد قيمة اللوغاريتم lg1.028 من جدول اللوغاريتمات العشرية lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. ونتيجة لذلك، تبدو عملية حساب اللوغاريتم برمتها كما يلي: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

في الختام، تجدر الإشارة إلى أنه باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية، يمكنك حساب القيمة التقريبية لأي لوغاريتم. للقيام بذلك، يكفي استخدام صيغة الانتقال للانتقال إلى اللوغاريتمات العشرية، والعثور على قيمها في الجدول، وإجراء العمليات الحسابية المتبقية.

على سبيل المثال، دعونا نحسب السجل 2 3 . وفقا لصيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم، لدينا . من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد log3≈0.4771 و log2≈0.3010. هكذا، .

مراجع.

• كولموجوروف إيه إن، أبراموف إيه إم، دودنيتسين يو.بي. وغيرها الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10 - 11 من مؤسسات التعليم العام.
• جوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج. الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية).

تعليمات

اكتب المعطى التعبير اللوغاريتمي. إذا كان التعبير يستخدم لوغاريتم 10، فسيتم اختصار تدوينه ويبدو كما يلي: lg b هو اللوغاريتم العشري. إذا كان اللوغاريتم يحتوي على الرقم e كأساس له، فاكتب التعبير: ln b – اللوغاريتم الطبيعي. ومن المفهوم أن نتيجة أي هي القوة التي يجب رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.

عند إيجاد مجموع دالتين، ما عليك سوى التمييز بينهما واحدة تلو الأخرى وإضافة النتائج: (u+v)" = u"+v";

عند إيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين من الضروري ضرب مشتقة الدالة الأولى في الثانية وإضافة مشتقة الدالة الثانية مضروبة في الدالة الأولى: (u*v)" = u"*v +v"*u;

من أجل العثور على مشتق حاصل قسمة دالتين، من الضروري طرح ناتج مشتقة المقسوم مضروبًا في دالة المقسوم عليه، حاصل ضرب مشتقة المقسوم عليه في دالة المقسوم عليه، وتقسيمه كل هذا من خلال دالة المقسوم عليها. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

إذا أعطيت وظيفة معقدة، فمن الضروري مضاعفة مشتق وظيفة داخليةوالمشتق من الخارج . دع y=u(v(x)) ثم y"(x)=y"(u)*v"(x).

باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها أعلاه، يمكنك التمييز بين أي وظيفة تقريبًا. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *س));
هناك أيضًا مشاكل تتعلق بحساب المشتق عند نقطة ما. افترض أن الدالة y=e^(x^2+6x+5) معطاة، فأنت بحاجة إلى العثور على قيمة الدالة عند النقطة x=1.
1) أوجد مشتقة الدالة: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) احسب قيمة الدالة نقطة معينةص"(1)=8*ه^0=8

فيديو حول الموضوع

نصيحة مفيدة

تعلم جدول المشتقات الأولية. وهذا سيوفر الوقت بشكل كبير.

مصادر:

• مشتق من ثابت

إذن ما هو الفرق بين معادلة عقلانيةمن العقلاني؟ إذا كان المتغير غير المعروف تحت العلامة الجذر التربيعي، فإن المعادلة تعتبر غير عقلانية.

تعليمات

الطريقة الرئيسية لحل مثل هذه المعادلات هي طريقة بناء كلا الطرفين المعادلاتفي مربع. لكن. وهذا أمر طبيعي، أول شيء عليك القيام به هو التخلص من العلامة. هذه الطريقة ليست صعبة من الناحية الفنية، ولكنها قد تؤدي في بعض الأحيان إلى مشاكل. على سبيل المثال، المعادلة هي v(2x-5)=v(4x-7). بتربيع الطرفين تحصل على 2x-5=4x-7. إن حل مثل هذه المعادلة ليس بالأمر الصعب؛ س = 1. ولكن لن يتم إعطاء الرقم 1 المعادلات. لماذا؟ استبدل واحدًا في المعادلة بدلًا من قيمة x وسيحتوي الجانبان الأيمن والأيسر على تعبيرات لا معنى لها. هذه القيمة غير صالحة للجذر التربيعي. لذلك 1 هو جذر غريب، وبالتالي معادلة معينةليس له جذور.

لذا، معادلة غير منطقيةيتم حلها باستخدام طريقة تربيع جزأينها. وبعد حل المعادلة، من الضروري قطع الجذور الدخيلة. للقيام بذلك، قم بالتعويض بالجذور الموجودة في المعادلة الأصلية.

النظر في واحد آخر.
2x+vx-3=0
وبالطبع يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نفس المعادلة السابقة. تحرك المركبات المعادلاتالتي ليس لها جذر تربيعي، إلى الجانب الأيمن ثم استخدم طريقة التربيع. حل المعادلة العقلانية الناتجة والجذور. ولكن أيضًا واحدة أخرى أكثر أناقة. أدخل متغيرا جديدا. vx=y. وبناء على ذلك، سوف تحصل على معادلة بالصيغة 2y2+y-3=0. وهذا هو المعتاد معادلة تربيعية. ابحث عن جذوره؛ y1=1 و y2=-3/2. التالي حل اثنين المعادلات vx=1; vx=-3/2. المعادلة الثانية ليس لها جذور؛ من الأولى نجد أن x=1. لا تنس التحقق من الجذور.

حل الهويات بسيط للغاية. للقيام بذلك ما عليك القيام به تحولات الهويةحتى يتحقق الهدف. وهكذا، بمساعدة أبسط العمليات الحسابيةسيتم حل المهمة المطروحة.

سوف تحتاج

• - ورق؛
• - قلم.

تعليمات

أبسط هذه التحويلات هي الضربات الجبرية المختصرة (مثل مربع المجموع (الفرق)، فرق المربعات، المجموع (الفرق)، مكعب المجموع (الفرق)). وبالإضافة إلى ذلك، هناك الكثير الصيغ المثلثية، والتي هي في الأساس نفس الهويات.

في الواقع، مربع مجموع فترتين يساوي مربعالأول زائد ضعف ناتج الأول في الثاني بالإضافة إلى مربع الثاني، أي (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=أ^2+2اب +ب^2.

بسّط كلا الأمرين

المبادئ العامة للحل

كرر وفقا للكتاب المدرسي التحليل الرياضيأو الرياضيات العليا، وهو تكامل محدد. كما هو معروف الحل تكامل محددهناك دالة يعطي مشتقها التكامل. هذه الوظيفةويسمى مشتق مضاد. بواسطة هذا المبدأويبني التكاملات الرئيسية.
تحديد من خلال شكل التكامل وأي من تكاملات الجدول يناسبها في هذه الحالة. ليس من الممكن دائمًا تحديد ذلك على الفور. في كثير من الأحيان، يصبح الشكل الجدولي ملحوظًا فقط بعد عدة تحويلات لتبسيط التكامل.

طريقة الاستبدال المتغيرة

إذا كانت الدالة integrand هي وظيفة المثلثية، التي تحتوي حجتها على كثيرات الحدود، فحاول استخدام طريقة استبدال المتغير. من أجل القيام بذلك، استبدل كثير الحدود في وسيطة التكامل بمتغير جديد. بناءً على العلاقة بين المتغيرات الجديدة والقديمة، حدد الحدود الجديدة للتكامل. من خلال التمييز بين هذا التعبير، ابحث عن التفاضل الجديد في . لذلك سوف تحصل نظرة جديدةالتكامل السابق، قريب أو حتى مطابق لأي تكامل جدولي.

حل التكاملات من النوع الثاني

إذا كان التكامل تكاملًا من النوع الثاني، وهو شكل متجه للتكامل، فستحتاج إلى استخدام قواعد الانتقال من هذه التكاملات إلى التكاملات العددية. إحدى هذه القواعد هي علاقة أوستروجرادسكي-غاوس. هذا القانونيسمح لك بالانتقال من التدفق الدوار لبعض وظائف المتجهات إلى التكامل الثلاثي على انحراف مجال متجه معين.

استبدال حدود التكامل

بعد إيجاد المشتقة العكسية، من الضروري التعويض بحدود التكامل. قم أولاً باستبدال القيمة الحد الأعلىفي تعبير عن المشتق العكسي. سوف تحصل على بعض الرقم. بعد ذلك، اطرح من الرقم الناتج رقمًا آخر تم الحصول عليه من الحد الأدنى إلى المشتق العكسي. إذا كان أحد حدود التكامل هو ما لا نهاية، فعند التعويض به في وظيفة مضادمن الضروري الذهاب إلى الحد الأقصى والعثور على ما يسعى إليه التعبير.
إذا كان التكامل ثنائي أو ثلاثي الأبعاد، فسيتعين عليك تمثيل حدود التكامل هندسيًا لفهم كيفية حساب التكامل. في الواقع، في حالة التكامل ثلاثي الأبعاد، على سبيل المثال، يمكن أن تكون حدود التكامل مستويات كاملة تحد من الحجم الجاري تكامله.

274. ملاحظات.

أ)إذا كان التعبير الذي تريد تقييمه يحتوي على مجموعأو اختلافالأرقام، فيجب العثور عليها دون مساعدة الجداول إضافة عاديةأو عن طريق الطرح. على سبيل المثال:

سجل (35 +7.24) 5 = 5 سجل (35 + 7.24) = 5 سجل 42.24.

ب)بمعرفة كيفية التعبيرات اللوغاريتمية، يمكننا عكس ذلك هذه النتيجةاستخدام اللوغاريتمات للعثور على التعبير الذي تم الحصول على هذه النتيجة منه؛ فإذا

سجل X=log أ+سجل ب- 3 سجل مع,

فمن السهل أن نفهم ذلك

الخامس)قبل الانتقال إلى النظر في بنية الجداول اللوغاريتمية، سنشير إلى بعض خصائص اللوغاريتمات العشرية، أي. تلك التي يتم فيها أخذ الرقم 10 كأساس (يتم استخدام هذه اللوغاريتمات فقط في العمليات الحسابية).

الفصل الثاني.

خصائص اللوغاريتمات العشرية.

275 . أ) بما أن 10 1 = 10، 10 2 = 100، 10 3 = 1000، 10 4 = 10000، وما إلى ذلك، ثم سجل 10 = 1، سجل 100 = 2، سجل 1000 = 3، سجل 10000 = 4، وما إلى ذلك.

وسائل، لوغاريتم العدد الصحيح الذي يمثله واحد متبوعا بأصفار هو عدد صحيح رقم إيجابي، تحتوي على عدد من الآحاد يساوي عدد الأصفار في الصورة الرقمية.

هكذا: سجل 100000 = 5, سجل 1000 000 = 6 ، إلخ.

ب) لأن

سجل 0.1 = -l; سجل 0.01 = - 2؛ سجل 0.001 == -3؛ سجل 0.0001 = - 4,إلخ.

وسائل، اللوغاريتم عشري، ممثلة بوحدة ذات أصفار سابقة، عبارة عن عدد صحيح سالب يحتوي على عدد من الأعداد السالبة يساوي عدد الأصفار في تمثيل الكسر، بما في ذلك 0 أعداد صحيحة.

هكذا: سجل 0.00001= - 5، سجل 0.000001 = -6،إلخ.

الخامس)لنأخذ عددًا صحيحًا لا يمثله الواحد والأصفار، على سبيل المثال. 35، أو عدد صحيح به كسر، على سبيل المثال. 10.7. لا يمكن أن يكون لوغاريتم هذا الرقم عددًا صحيحًا، نظرًا لأنه عند رفع 10 إلى قوة ذات أس صحيح (موجب أو سلبي)، نحصل على 1 بأصفار (بعد 1 أو قبله). لنفترض الآن أن لوغاريتم هذا الرقم يمثل كسرًا ما أ / ب . ثم سيكون لدينا المساواة

لكن هذه المساواة مستحيلة 10أ هناك 1s مع الأصفار، في حين أن الدرجات 35ب و 10,7ب بأي مقياس ب لا يمكن إعطاء 1 متبوعًا بالأصفار. وهذا يعني أننا لا نستطيع أن نسمح سجل 35و سجل 10.7كانت مساوية للكسور. ولكن من الخصائص وظيفة لوغاريتميةنحن نعلم () أن كل رقم موجب له لوغاريتم؛ وبالتالي، فإن كل رقم من الرقمين 35 و10.7 له لوغاريتم خاص به، وبما أنه لا يمكن أن يكون عددًا صحيحًا أو عددًا كسريًا، فهو رقم غير نسبي، وبالتالي لا يمكن التعبير عنه بالضبط بالأرقام. عادةً ما يتم التعبير عن اللوغاريتمات غير المنطقية تقريبًا ككسر عشري به عدة منازل عشرية. يتم استدعاء العدد الصحيح لهذا الكسر (حتى لو كان "0 أعداد صحيحة"). مميزة، أ جزء كسري- الجزء العشري من اللوغاريتم. على سبيل المثال، إذا كان هناك لوغاريتم 1,5441 فخصائصه متساوية 1 ، والعشري هو 0,5441 .

ز)لنأخذ بعض الأعداد الصحيحة أو المختلطة، على سبيل المثال. 623 أو 623,57 . يتكون لوغاريتم هذا الرقم من خاصية وجزء عشري. وتبين أن اللوغاريتمات العشرية لديها الراحة التي يمكننا دائمًا العثور على خصائصها من خلال نوع واحد من الأرقام . للقيام بذلك، نحسب عدد الأرقام الموجودة في عدد صحيح معين، أو في جزء صحيح رقم مختلط، في أمثلةنا على هذه الأرقام 3 . لذلك، كل من الأرقام 623 و 623,57 أكثر من 100 ولكن أقل من 1000؛ وهذا يعني أن لوغاريتم كل منهم أكبر سجل 100، أي أكثر 2 ولكن أقل سجل 1000، أي أقل 3 (تذكر أن الرقم الأكبر له أيضًا لوغاريتم أكبر). لذلك، سجل 623 = 2،...، و سجل 623.57 = 2،... (النقاط تحل محل الأجزاء العشرية غير المعروفة).

ومثل هذا نجد:

10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 سجل 56.7 = 1،...

1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 سجل 8634 = 3،...

بشكل عام، دع عددًا صحيحًا معينًا، أو جزءًا صحيحًا من عدد مختلط معين، يحتوي على م أرقام بما أن أصغر عدد صحيح يحتوي على م الأرقام، نعم 1 مع م - 1 أصفار في النهاية، ثم (يشير إلى هذا الرقم ن) يمكننا كتابة عدم المساواة:

وبالتالي،

م - 1 < log N < م ,

سجل ن = ( م - 1) + جزء إيجابي .

لذلك السمة سجل ن = م - 1 .

ونحن نرى بهذه الطريقة أن تحتوي خاصية لوغاريتم العدد الصحيح أو المختلط على عدد من الوحدات الموجبة يساوي عدد الأرقام في الجزء الصحيح من الرقم ناقص واحد.

وبعد أن لاحظنا ذلك يمكننا أن نكتب مباشرة:

سجل 7.205 = 0،...; سجل 83 = 1،...; سجل 720.4 = 2،...إلخ.

د)لنأخذ عدة كسور عشرية أصغر 1 (أي وجود 0 جميع): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, إلخ.

وبالتالي، فإن كل من هذه اللوغاريتمات يقع بين عددين صحيحين سالبين يختلفان بوحدة واحدة؛ وبالتالي فإن كل واحد منهم يساوي أصغر هذه الأعداد السالبة مضافًا إليه كسر موجب. على سبيل المثال، log0.0056= -3 + كسر موجب. لنفترض أن هذا الكسر هو 0.7482. ثم يعني:

سجل 0.0056 = - 3 + 0.7482 (= - 2.2518).

مبالغ مثل - 3 + 0,7482 ، والتي تتكون من عدد صحيح سالب وكسر عشري موجب، تم الاتفاق عليها الحسابات اللوغاريتميةمختصرة على النحو التالي: 3 ,7482 (يقرأ هذا الرقم: 3 ناقص 7482 جزءًا من عشرة آلاف.) ، أي أنهم يضعون علامة الطرح فوق الخاصية ليبينوا أنها تتعلق بهذه الخاصية فقط، وليس بالعشرية التي تظل إيجابية. وهكذا يتضح من الجدول السابق أن

سجل 0.35 == 1 ,....; سجل 0.07 = 2,...; سجل 0.0008 = 4،....

دع على الإطلاق . هناك كسر عشري الذي الأول رقم مهم α التكاليف م الأصفار، بما في ذلك 0 الأعداد الصحيحة. ثم فمن الواضح أن

- م < log A < - (م- 1).

حيث أنه من عددين صحيحين:- م و - (م- 1) هناك أقل - م ، الذي - التي

سجل أ = - م+ جزء موجب,

وبالتالي السمة سجل أ = - م (مع العشري الإيجابي).

هكذا، تحتوي خاصية لوغاريتم الكسر العشري الأقل من 1 على عدد من الأعداد السالبة مثل وجود أصفار في صورة الكسر العشري قبل أول رقم مهم، بما في ذلك الأعداد الصحيحة الصفرية؛ الجزء العشري لمثل هذا اللوغاريتم إيجابي.

ه)دعونا نضرب بعض الأرقام ن(عدد صحيح أو كسر - لا يهم) بمقدار 10، أو 100، أو 1000...، وبشكل عام 1 مع الأصفار. دعونا نرى كيف يتغير هذا سجل ن. منذ لوغاريتم المنتج يساوي المبلغلوغاريتمات العوامل

سجل (N 10) = سجل N + سجل 10 = سجل N + 1؛

سجل (N 100) = سجل N + سجل 100 = سجل N + 2؛

سجل (N 1000) = سجل N + سجل 1000 = سجل N + 3؛إلخ.

متى سجل ننضيف بعض الأعداد الصحيحة، ثم يمكننا دائمًا إضافة هذا الرقم إلى الخاصية، وليس إلى الجزء العشري.

لذا، إذا كان السجل N = 2.7804، فإن 2.7804 + 1 = 3.7804؛ 2.7804 + 2 = 4.7801، إلخ؛

أو إذا كان السجل N = 3.5649، فإن 3.5649 + 1 = 2.5649؛ 3.5649 + 2 = 1.5649، إلخ.

عندما يتم ضرب رقم في 10، 100، 1000،...، بشكل عام في 1 مع أصفار، لا يتغير الجزء العشري من اللوغاريتم، وتزداد الخاصية بعدد الوحدات بقدر وجود أصفار في العامل .

وبالمثل، مع الأخذ في الاعتبار أن لوغاريتم حاصل القسمة يساوي لوغاريتم المقسوم دون لوغاريتم المقسوم عليه، نحصل على:

سجل N / 10 = سجل N- سجل 10 = سجل N -1;

سجل N / 100 = سجل N- سجل 100 = سجل N -2;

سجل N / 1000 = سجل N- سجل 1000 = سجل N -3؛إلخ.

إذا اتفقنا، عند طرح عدد صحيح من اللوغاريتم، على طرح هذا العدد الصحيح دائمًا من الخاصية وترك الجزء العشري دون تغيير، فيمكننا أن نقول:

قسمة رقم على 1 بأصفار لا يغير الجزء العشري للوغاريتم، لكن الخاصية تتناقص بعدد الوحدات بقدر وجود أصفار في المقسوم عليه.

276. العواقب.من الممتلكات ( ه) يمكن استنتاج النتيجتين الطبيعيتين التاليتين:

أ) لا يتغير الجزء العشري من لوغاريتم الرقم العشري عند نقله إلى النقطة العشرية لأن تحريك النقطة العشرية يعادل الضرب أو القسمة على 10، 100، 1000، إلخ. وبالتالي، فإن لوغاريتمات الأرقام:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

تختلف فقط في الخصائص، ولكن ليس في الأجزاء العشرية (بشرط أن تكون جميع الأجزاء العشرية إيجابية).

ب) الأجزاء العشرية من الأرقام لها نفس الشيء جزء مهم، ولكنها تختلف فقط بالأصفار في النهاية، فهي نفسها: وبالتالي، فإن لوغاريتمات الأرقام: 23، 230، 2300، 23000 تختلف فقط في الخصائص.

تعليق. من خصائص محددةاللوغاريتمات العشرية، من الواضح أنه يمكننا العثور على خصائص لوغاريتم عدد صحيح وكسر عشري دون مساعدة الجداول (هذه هي الراحة الكبيرة للوغاريتمات العشرية)؛ ونتيجة لذلك، يتم وضع جزء عشري واحد فقط في الجداول اللوغاريتمية؛ بالإضافة إلى ذلك، نظرًا لأن العثور على لوغاريتمات الكسور يقتصر على إيجاد لوغاريتمات الأعداد الصحيحة (لوغاريتم الكسر = لوغاريتم البسط بدون لوغاريتم المقام)، يتم وضع الأجزاء العشرية من اللوغاريتمات للأعداد الصحيحة فقط في الجداول.

الفصل الثالث.

تصميم واستخدام الجداول المكونة من أربعة أرقام.

277. أنظمة اللوغاريتمات.نظام اللوغاريتمات هو مجموعة من اللوغاريتمات المحسوبة لعدد من الأعداد الصحيحة المتتالية باستخدام نفس الأساس. يتم استخدام نظامين: نظام اللوغاريتمات العادية أو العشرية، حيث يتم أخذ الرقم كأساس 10 ، ونظام ما يسمى باللوغاريتمات الطبيعية، حيث يتم أخذ رقم غير نسبي كأساس (لبعض الأسباب الواضحة في فروع الرياضيات الأخرى) 2,7182818 ... بالنسبة للحسابات، يتم استخدام اللوغاريتمات العشرية، وذلك بسبب الراحة التي أشرنا إليها عندما أدرجنا خصائص هذه اللوغاريتمات.

اللوغاريتمات الطبيعية تسمى أيضًا نيبيروف، نسبة إلى مخترع اللوغاريتمات، وهو عالم رياضيات اسكتلندي نيبيرا(1550-1617)، واللوغاريتمات العشرية - بريجز على اسم الأستاذ بريجا(معاصر وصديق لنابير)، وهو أول من قام بتجميع جداول هذه اللوغاريتمات.

278. تحويل لوغاريتم سلبي إلى لوغاريتم العشري موجب، والتحويل العكسي. لقد رأينا أن لوغاريتمات الأعداد الأقل من 1 تكون سالبة. وهذا يعني أنها تتكون من خاصية سلبية وعشرية سلبية. يمكن دائمًا تحويل مثل هذه اللوغاريتمات بحيث تكون الأجزاء العشرية الخاصة بها موجبة، ولكن تظل الخاصية سلبية. للقيام بذلك، يكفي إضافة إيجابية إلى العشري، وسالبة للخاصية (والتي، بالطبع، لا تغير قيمة اللوغاريتم).

على سبيل المثال، إذا كان لدينا لوغاريتم - 2,0873 ، ثم يمكنك كتابة:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

أو مختصرا:

على العكس من ذلك، يمكن تحويل أي لوغاريتم ذو خاصية سلبية وعشرية إيجابية إلى لوغاريتم سلبي. للقيام بذلك، يكفي إضافة سلبية إلى العشري الإيجابي، وإيجابية إلى السمة السلبية: لذلك، يمكنك الكتابة:

279. وصف الجداول المكونة من أربعة أرقام.لقرار الأغلبية مشاكل عمليةالجداول المكونة من أربعة أرقام كافية تمامًا، والتعامل معها بسيط للغاية. هذه الجداول (مع نقش "اللوغاريتمات" في الأعلى) موضوعة في نهاية هذا الكتاب، وليس معظمتتم طباعتها (لشرح الموقع) على هذه الصفحة. أنها تحتوي على mantissas

اللوغاريتمات.

اللوغاريتمات لجميع الأعداد الصحيحة من 1 ل 9999 شاملة، محسوبة إلى أربع منازل عشرية، مع زيادة آخر هذه المنازل بمقدار 1 في جميع الحالات التي تكون فيها العلامة العشرية الخامسة 5 أو أكثر من 5؛ وبالتالي، فإن الجداول المكونة من 4 أرقام تعطي أجزاء تقريبية تصل إلى 1 / 2 جزء عشرة آلاف (مع نقص أو زيادة).

نظرًا لأننا نستطيع وصف لوغاريتم عدد صحيح أو كسر عشري بشكل مباشر، استنادًا إلى خصائص اللوغاريتمات العشرية، فيجب علينا أن نأخذ الأجزاء العشرية فقط من الجداول؛ وفي الوقت نفسه، يجب أن نتذكر أن موضع الفاصلة في رقم عشريوكذلك عدد الأصفار في نهاية الرقم ليس له أي تأثير على قيمة الجزء العشري. لذلك، عند العثور على العشري رقم معيننتخلص من الفاصلة في هذا الرقم وكذلك الأصفار الموجودة في نهايته إن وجدت ونجد الجزء العشري للعدد الصحيح المتكون بعد ذلك. قد تنشأ الحالات التالية.

1) العدد الصحيح يتكون من 3 أرقام.على سبيل المثال، لنفترض أننا بحاجة إلى العثور على الجزء العشري من لوغاريتم الرقم 536. أول رقمين من هذا الرقم، أي 53، موجودان في الجداول في العمود الرأسي الأول على اليسار (انظر الجدول). وبعد أن وجدنا الرقم 53 ننتقل منه على طول خط أفقي إلى اليمين حتى يتقاطع هذا الخط مع عمود رأسي يمر عبر أحد الأرقام 0، 1، 2، 3،... 9، الموضوعة في الأعلى (و أسفل) من الجدول، وهو الرقم الثالث من رقم معين، أي في مثالنا، الرقم 6. عند التقاطع نحصل على الجزء العشري 7292 (أي 0.7292)، الذي ينتمي إلى لوغاريتم الرقم 536. وبالمثل ، بالنسبة للرقم 508 نجد الجزء العشري 0.7059، بالنسبة للرقم 500 نجد 0.6990، إلخ.

2) يتكون العدد الصحيح من رقمين أو رقم واحد.ثم نخصص عقليًا صفرًا أو صفرين لهذا الرقم ونجد الجزء العشري للرقم المكون من ثلاثة أرقام الذي تم تكوينه على هذا النحو. على سبيل المثال، نضيف صفرًا واحدًا إلى الرقم 51، فنحصل منه على 510 ونجد الجزء العشري 7070؛ إلى الرقم 5 نخصص صفرين ونجد الجزء العشري 6990، وما إلى ذلك.

3) يتم التعبير عن عدد صحيح في 4 أرقام.على سبيل المثال، تحتاج إلى العثور على الجزء العشري من السجل 5436. ثم نجد أولاً في الجداول، كما هو موضح للتو، الجزء العشري للرقم الذي تمثله الأرقام الثلاثة الأولى من هذا الرقم، أي 543 (سيكون هذا الجزء العشري 7348) ; ثم ننتقل من الجزء العشري الموجود على طول الخط الأفقي إلى اليمين (إلى الجانب الأيمن من الجدول الموجود خلف الخط العمودي السميك) حتى يتقاطع مع العمود الرأسي الذي يمر عبر أحد الأرقام: 1، 2 3،. .. 9، يقع في أعلى (وفي أسفل) هذا الجزء من الجدول، والذي يمثل الرقم الرابع من رقم معين، أي في مثالنا الرقم 6. عند التقاطع نجد التصحيح (الرقم) 5)، والتي يجب تطبيقها عقليًا على الجزء العشري من الرقم 7348 من أجل الحصول على الجزء العشري من الرقم 5436؛ بهذه الطريقة نحصل على الجزء العشري 0.7353.

4) يتم التعبير عن العدد الصحيح بخمسة أرقام أو أكثر.ثم نتجاهل جميع الأرقام باستثناء الأربعة الأولى، ونأخذ رقمًا تقريبيًا مكونًا من أربعة أرقام، ونزيد الرقم الأخير من هذا الرقم بمقدار 1 في ذلك الرقم. الحالة التي يكون فيها الرقم الخامس المهمل هو 5 أو أكثر من 5. لذلك، بدلاً من 57842 نأخذ 5784، بدلاً من 30257 نأخذ 3026، بدلاً من 583263 نأخذ 5833، إلخ. بالنسبة لهذا العدد المقرب المكون من أربعة أرقام، نجد الجزء العشري كما هو موضح للتو.

مسترشدين بهذه الإرشادات، دعونا نجد اللوغاريتمات كمثال الأرقام التالية:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

بادئ ذي بدء، دون الرجوع إلى الجداول الآن، سنضع فقط الخصائص، مع ترك مساحة للأجزاء العشرية، التي سنكتبها بعد ذلك:

سجل 36.5 = 1،... سجل 0.00345 = 3،....

سجل 804.7 = 2،... سجل 7.2634 = 0،....

سجل 0.26 = 1،... سجل 3456.86 = 3،....

سجل 36.5 = 1.5623؛ سجل 0.00345 = 3.5378؛

سجل 804.7 = 2.9057؛ سجل 7.2634 = 0.8611؛

سجل 0.26 = 1.4150؛ سجل 3456.86 = 3.5387.

280. ملاحظة. في بعض الجداول المكونة من أربعة أرقام (على سبيل المثال، في الجداول V. Lorchenko و N. Ogloblina، S. Glazenap، N. Kamenshchikova) لم يتم وضع تصحيحات للرقم الرابع من هذا الرقم. عند التعامل مع مثل هذه الجداول، عليك أن تجد هذه التصحيحات باستخدام عملية حسابية بسيطة، والتي يمكن إجراؤها على أساس الحقيقة التالية: إذا تجاوزت الأرقام 100، وكانت الفروق بينها أقل من 1، فمن دون خطأ حساس يمكن قبول ذلك تتناسب الاختلافات بين اللوغاريتمات مع الاختلافات بين الأرقام المقابلة . دعونا، على سبيل المثال، نحتاج إلى العثور على الجزء العشري المطابق للرقم 5367. هذا الجزء العشري، بالطبع، هو نفسه بالنسبة للرقم 536.7. نجد في جداول الرقم 536 الجزء العشري 7292. وبمقارنة هذا الجزء العشري مع الجزء العشري 7300 المجاور لليمين، المقابلة للرقم 537 نلاحظ أنه إذا زاد العدد 536 بمقدار 1 فإن الجزء العشري منه سيزيد بمقدار 8 أجزاء من عشرة آلاف (8 هو ما يسمى فرق الجدولبين اثنين من الأجزاء العشرية المتجاورة)؛ إذا زاد الرقم 536 بمقدار 0.7، فإن الجزء العشري الخاص به لن يزيد بمقدار 8 أجزاء من عشرة آلاف، ولكن بمقدار بعض عدد أصغرX عشرة آلاف، والتي، وفقًا للتناسب المفترض، يجب أن تستوفي النسب:

X :8 = 0.7:1؛ أين X = 8 07 = 5,6,

والذي يتم تقريبه إلى 6 أجزاء من عشرة آلاف. هذا يعني أن الجزء العشري للرقم 536.7 (وبالتالي للرقم 5367) سيكون: 7292 + 6 = 7298.

لاحظ أن العثور على رقم وسيط باستخدام رقمين متجاورين في الجداول يسمى الاستيفاء.الاستيفاء الموصوف هنا يسمى متناسبلأنه يقوم على افتراض أن التغير في اللوغاريتم يتناسب مع التغير في الرقم. ويسمى أيضًا خطيًا، لأنه يفترض أنه يتم التعبير عن التغير في الدالة اللوغاريتمية بيانيًا بخط مستقيم.

281. حد الخطأ في اللوغاريتم التقريبي.إذا كان الرقم المطلوب لوغاريتمه هو رقم دقيق، فيمكن أخذ حد خطأ اللوغاريتم الخاص به الموجود في الجداول المكونة من 4 أرقام، كما قلنا في 1 / 2 الجزء العشرة آلاف. إذا كان هذا الرقم غير دقيق، فيجب علينا أيضًا أن نضيف إلى حد الخطأ هذا حد خطأ آخر ناتج عن عدم دقة الرقم نفسه. لقد ثبت (نحن نحذف هذا الدليل) أن مثل هذا الحد يمكن اعتباره المنتج

أ(د +1) عشرة آلاف،

فيها أ هو هامش الخطأ للرقم الأكثر دقة، على افتراض ذلك الجزء الصحيح يحتوي على 3 أرقام، أ د الفرق الجدولي للأجزاء العشرية المقابلة لرقمين متتاليين مكونين من ثلاثة أرقام يقع بينهما الرقم غير الدقيق المحدد. وبالتالي، سيتم التعبير عن حد الخطأ النهائي للوغاريتم بالصيغة:

1 / 2 + أ(د +1) عشرة آلاف

مثال. البحث عن السجل π ، أخذ ل π الرقم التقريبي 3.14 بالضبط 1 / 2 مائة.

بتحريك الفاصلة بعد الرقم الثالث في الرقم 3.14، عد من اليسار، نحصل على رقم من ثلاثة أرقام 314، بالضبط 1 / 2 وحدات؛ وهذا يعني أن هامش الخطأ لعدد غير دقيق أي ما دلنا عليه بالحرف أ ، هنالك 1 / 2 ومن الجداول نجد:

سجل 3.14 = 0.4969.

فرق الجدول د بين الأجزاء العشرية من الأرقام 314 و 315 يساوي 14، وبالتالي فإن خطأ اللوغاريتم الموجود سيكون أقل

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 عشرة آلاف.

وبما أننا لا نعرف عن اللوغاريتم 0.4969 ما إذا كان ناقصًا أم زائدًا، فلا يمكننا إلا أن نضمن أن اللوغاريتم الدقيق π تقع بين 0.4969 - 0.0008 و 0.4969 + 0.0008 أي 0.4961< log π < 0,4977.

282. ابحث عن رقم باستخدام لوغاريتم معين. للعثور على رقم باستخدام لوغاريتم معين، يمكن استخدام نفس الجداول للعثور على الأجزاء العشرية لأرقام معينة؛ ولكن من الأفضل استخدام جداول أخرى تحتوي على ما يسمى بمضادات اللوغاريتمات، أي الأرقام المقابلة لهذه الأجزاء العشرية. وهذه الجداول المشار إليها بالنقش الموجود في الأعلى "اللوغاريتمات المضادة" توضع في نهاية هذا الكتاب بعد أن يوضع جزء بسيط منها في هذه الصفحة (للتوضيح).

لنفترض أنك حصلت على الرقم العشري 2863 المكون من 4 أرقام (نحن لا ننتبه إلى الخاصية) وتحتاج إلى العثور على العدد الصحيح المقابل. بعد ذلك، مع وجود جداول اللوغاريتمات المضادة، تحتاج إلى استخدامها بنفس الطريقة تمامًا كما تم شرحها مسبقًا للعثور على الجزء العشري لرقم معين، وهي: نجد أول رقمين من الجزء العشري في العمود الأول على اليسار. ثم ننتقل من هذه الأرقام على طول الخط الأفقي إلى اليمين حتى يتقاطع مع العمود الرأسي القادم من الرقم الثالث من العشري، والذي يجب البحث عنه في السطر العلوي (أو السفلي). عند التقاطع نجد الرقم المكون من أربعة أرقام 1932، الموافق للجزء العشري 286. ثم من هذا الرقم نتحرك أكثر على طول الخط الأفقي إلى اليمين حتى التقاطع مع العمود العمودي القادم من الرقم الرابع للجزء العشري، والذي يجب أن يمكن العثور عليها في الأعلى (أو الأسفل) بين الأرقام 1، 2 الموضوعة هناك، 3،... 9. عند التقاطع نجد التصحيح 1، والذي يجب تطبيقه (في العقل) على الرقم 1032 الموجود سابقًا بالترتيب للحصول على الرقم المقابل للجزء العشري 2863.

وبالتالي، سيكون الرقم 1933. بعد ذلك، مع الانتباه إلى الخاصية، تحتاج إلى وضع الرقم 1933 في المكان المناسب. على سبيل المثال:

لو سجل س = 3.2863 إذن X = 1933,

„ سجل س = 1,2863, „ X = 19,33,

, سجل س = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ سجل س = 2 ,2863, „ X = 0,01933

فيما يلي المزيد من الأمثلة:

سجل س = 0,2287, X = 1,693,

سجل س = 1 ,7635, X = 0,5801,

سجل س = 3,5029, X = 3184,

سجل س = 2 ,0436, X = 0,01106.

إذا كان الجزء العشري يحتوي على 5 أرقام أو أكثر، فإننا نأخذ الأرقام الأربعة الأولى فقط، ونتخلص من الباقي (ونزيد الرقم الرابع بمقدار 1 إذا كان الرقم الخامس يحتوي على خمسة أو أكثر). على سبيل المثال، بدلاً من الجزء العشري 35478 نأخذ 3548، بدلاً من 47562 نأخذ 4756.

283. ملاحظة.يمكن أيضًا العثور على تصحيح الرقم الرابع والأرقام اللاحقة من الجزء العشري من خلال الاستيفاء. لذا، إذا كان الجزء العشري هو 84357، فبعد العثور على الرقم 6966، المطابق للجزء العشري 843، يمكننا أيضًا التفكير على النحو التالي: إذا زاد الجزء العشري بمقدار 1 (بالألف)، أي يصبح 844، فإن الرقم، كما يلي: يمكن رؤيته من الجداول، سيزيد بمقدار 16 وحدة؛ إذا زاد الجزء العشري ليس بمقدار 1 (ألف)، ولكن بمقدار 0.57 (ألف)، فسيزيد العدد بمقدار X الوحدات، و X يجب أن تستوفي النسب:

X : 16 = 0.57: 1، من أين س = 16 0,57 = 9,12.

وهذا يعني أن الرقم المطلوب سيكون 6966+ 9.12 = 6975.12 أو (يقتصر على أربعة أرقام فقط) 6975.

284. حد الخطأ في الرقم الذي تم العثور عليه.لقد ثبت أنه في حالة وجود الفاصلة في الرقم الموجود بعد الرقم الثالث من اليسار، أي عندما تكون خاصية اللوغاريتم 2، يمكن اعتبار المجموع كحد للخطأ

أين أ هو حد الخطأ في اللوغاريتم (معبرًا عنه بعشرة آلاف) الذي تم من خلاله العثور على الرقم، و د - الفرق بين الأجزاء العشرية المكونة من رقمين متتاليين مكونين من ثلاثة أرقام يقع بينهما الرقم الموجود (مع فاصلة بعد الرقم الثالث من اليسار). عندما لا تكون الخاصية 2، ولكن بعض الخصائص الأخرى، في الرقم الذي تم العثور عليه، يجب نقل الفاصلة إلى اليسار أو إلى اليمين، أي تقسيم الرقم أو ضربه ببعض قوة 10. في هذه الحالة، الخطأ سيتم أيضًا تقسيم النتيجة أو ضربها بنفس القوة 10.

لنفترض، على سبيل المثال، أننا نبحث عن رقم باستخدام اللوغاريتم 1,5950 ، والذي يُعرف بأنه دقيق حتى 3 أجزاء من عشرة آلاف؛ وهذا يعني ذلك الحين أ = 3 . الرقم المقابل لهذا اللوغاريتم الموجود في جدول اللوغاريتمات المضادة هو 39,36 . بتحريك الفاصلة بعد الرقم الثالث من اليسار نحصل على الرقم 393,6 ، تتكون بين 393 و 394 . من جداول اللوغاريتمات نرى أن الفرق بين الأجزاء العشرية المقابلة لهذين الرقمين هو 11 عشرة آلاف؛ وسائل د = 11 . سيكون خطأ الرقم 393.6 أقل

وهذا يعني أن الخطأ في الرقم 39,36 سيكون هناك أقل 0,05 .

285. العمليات على اللوغاريتمات ذات الخصائص السلبية.لا يمثل جمع وطرح اللوغاريتمات أية صعوبات، كما يتبين من الأمثلة التالية:

كما لا توجد صعوبة في ضرب اللوغاريتم بعدد موجب، على سبيل المثال:

في المثال الأخيربشكل منفصل، اضرب الجزء العشري الموجب بـ 34، ثم خاصية سلبيةفي 34.

إذا تم ضرب لوغاريتم الخاصية السالبة والأجزاء العشرية الموجبة بعدد سالب، فعندئذ يتم المضي بطريقتين: إما أن يتحول اللوغاريتم المحدد إلى سالب أولاً، أو يتم ضرب الأجزاء العشرية والخصائص بشكل منفصل ويتم دمج النتائج معًا، على سبيل المثال :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

عند التقسيم قد تنشأ حالتان: 1) السمة السلبية مقسمة و 2) لا يقبل القسمة على المقسوم عليه. في الحالة الأولى، يتم فصل الخاصية والجزء العشري بشكل منفصل:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

وفي الحالة الثانية، يتم إضافة العديد من الوحدات السالبة إلى الخاصية بحيث يتم قسمة الرقم الناتج على المقسوم عليه؛ تتم إضافة نفس العدد من الوحدات الإيجابية إلى الجزء العشري:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

ويجب أن يتم هذا التحول في العقل، فيسير الإجراء على النحو التالي:

286. استبدال اللوغاريتمات المطروحة بالمصطلحات.عند حساب بعض تعبير معقدباستخدام اللوغاريتمات، عليك إضافة بعض اللوغاريتمات وطرح أخرى؛ في هذه الحالة، بالطريقة المعتادة لتنفيذ الإجراءات، يجدون بشكل منفصل مجموع اللوغاريتمات المضافة، ثم مجموع الطرح، وطرح الثاني من المجموع الأول. على سبيل المثال، إذا كان لدينا:

سجل X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

عندها سيبدو التنفيذ المعتاد للإجراءات كما يلي:

ومع ذلك، من الممكن استبدال الطرح بالجمع. لذا:

الآن يمكنك ترتيب الحساب على النحو التالي:

287. أمثلة على العمليات الحسابية.

مثال 1. تقييم التعبير:

لو أ = 0.8216، ب = 0.04826، ج = 0.005127و د = 7.246.

لنأخذ اللوغاريتم هذا التعبير:

سجل X= 1/3 سجل A + 4 سجل B - 3 سجل C - 1/3 سجل D

الآن، لتجنب ضياع الوقت غير الضروري وتقليل احتمالية حدوث أخطاء، سنقوم أولاً بترتيب جميع الحسابات دون تنفيذها في الوقت الحالي، وبالتالي دون الرجوع إلى الجداول:

بعد ذلك، نأخذ الجداول ونضع اللوغاريتمات على الباقي أماكن مجانية:

حد الخطأ.أولاً، دعونا نجد حد الخطأ في الرقم س 1 = 194,5 ، يساوي:

لذلك، أولا وقبل كل شيء تحتاج إلى العثور عليها أ ، أي حد الخطأ في اللوغاريتم التقريبي، معبرًا عنه بعشرة آلاف. ولنفترض أن هذه الأرقام أ، ب، جو دكلها دقيقة. عندها ستكون الأخطاء في اللوغاريتمات الفردية كما يلي (بعشرة آلاف):

V سجل أ.......... 1 / 2

V 1/3 سجل أ......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 تمت إضافتها لأنه عند القسمة على 3 لوغاريتمات 1.9146، قمنا بتقريب الناتج عن طريق تجاهل الرقم الخامس، وبالتالي ارتكبنا خطأ أصغر 1 / 2 عشرة آلاف).

الآن نجد حد الخطأ في اللوغاريتم:

أ = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (عشرة آلاف).

دعونا نحدد كذلك د . لأن س 1 = 194,5 ، ثم عددين صحيحين أرقام متتالية، بينهما يكمن س 1 سوف 194 و 195 . فرق الجدول د بين الأجزاء العشرية المقابلة لهذه الأرقام يساوي 22 . وهذا يعني أن حد الخطأ في الرقم هو س 1 هنالك:

لأن س = س 1 : 10، ثم حد الخطأ في الرقم س يساوي 0,3:10 = 0,03 . وهكذا الرقم الذي وجدناه 19,45 يختلف عن العدد الدقيق بأقل من 0,03 . وبما أننا لا نعرف هل كان تقريبنا قد وجد بنقص أم بزيادة، فلا يسعنا إلا أن نضمن ذلك

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 ، أي.

19,48 > X > 19,42 ,

وبالتالي، إذا قبلنا X =19,4 ، فسيكون لدينا تقريب مع عيب بدقة تصل إلى 0.1.

مثال 2.احسب:

X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

لأن أرقام سلبيةلا تحتوي على لوغاريتمات، فنجد أولاً:

X" = (2,31) 3 5 √72

عن طريق التحلل:

سجل X"= 3 سجل 2.31 + 1/5 سجل 72.

وبعد الحساب يتبين:

X" = 28,99 ;

لذلك،

س = - 28,99 .

مثال 3. احسب:

لا يمكن استخدام اللوغاريتم المستمر هنا، لأن علامة الجذر هي cum a. في مثل هذه الحالات، قم بحساب الصيغة بالأجزاء.

أولا نجد ن = 5 √8 ، ثم ن 1 = 4 √3 ; ثم عن طريق إضافة بسيطة نحدد ن+ ن 1 ، وأخيراً نحسب 3 √ن+ ن 1 ; اتضح:

ن = 1.514, ن 1 = 1,316 ; ن+ ن 1 = 2,830 .

سجل س= سجل 3 √ 2,830 = 1 / 3 سجل 2.830 = 0,1506 ;

س = 1,415 .

الفصل الرابع.

المعادلات الأسية واللوغاريتمية.

288. المعادلات الأسية هي تلك التي يتم فيها تضمين المجهول في الأس، و لوغاريتمي- تلك التي يدخل فيها المجهول تحت العلامة سجل. مثل هذه المعادلات لا يمكن حلها إلا في حالات خاصة، ويجب على المرء الاعتماد على خصائص اللوغاريتمات وعلى مبدأ أنه إذا كانت الأرقام متساوية، فإن اللوغاريتمات الخاصة بها متساوية، وعلى العكس، إذا كانت اللوغاريتمات متساوية، فإن اللوغاريتمات المقابلة لها الأرقام متساوية.

مثال 1.حل المعادلة: 2 س = 1024 .

دعونا لوغاريتم طرفي المعادلة:

مثال 2.حل المعادلة: أ 2x - أ س = 1 . وضع أ س = في ، نحصل على معادلة تربيعية:

ذ 2 - في - 1 = 0 ,

لأن 1-√5 < 0 فإن المعادلة الأخيرة مستحيلة (function أ س هناك دائمًا رقم موجب)، والأول يعطي:

مثال 3.حل المعادلة:

سجل( أ + س) + سجل ( ب + س) = سجل ( ج + س) .

يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي:

سجل[( أ + س) (ب + س)] = سجل ( ج + س) .

ومن تساوي اللوغاريتمات نستنتج أن الأعداد متساوية:

(أ + س) (ب + س) = ج + س .

هذه معادلة تربيعية وحلها ليس بالصعب.

الفصل الخامس.

الفوائد المركبة والمدفوعات لأجل والمدفوعات لأجل.

289. المشكلة الأساسية في الفائدة المركبة.كم سيتحول رأس المال؟ أ روبل، نظرا للنمو في ص الفائدة المركبة، بعد ر سنين ( ر - عدد صحيح)؟

ويقولون إن رأس المال يدفع بالفائدة المركبة إذا أخذ في الاعتبار ما يسمى بـ”الفائدة على الفائدة”، أي إذا أضيفت أموال الفوائد المستحقة على رأس المال إلى رأس المال في نهاية كل سنة من أجل زيادة مع الاهتمام في السنوات اللاحقة.

تم التخلي عن كل روبل من رأس المال ص %، سيحقق ربحًا خلال عام واحد ص / 100 الروبل، وبالتالي، فإن كل روبل من رأس المال في سنة واحدة سوف يتحول إلى 1 + ص / 100 الروبل (على سبيل المثال، إذا تم إعطاء رأس المال بسعر 5 ٪، فإن كل روبل في السنة سوف يتحول إلى 1 + 5 / 100 ، أي في 1,05 روبل).

من باب الاختصار، للدلالة على الكسر ص / 100 بحرف واحد مثلا ص يمكننا القول أن كل روبل من رأس المال سيتحول إلى 1 + ص روبل. لذلك، أ سيتم إرجاع الروبل خلال عام واحد أ (1 + ص ) فرك. وبعد سنة أخرى، أي سنتين من بداية النمو، كل روبل منها أ (1 + ص ) فرك. سوف اتصل مرة أخرى 1 + ص فرك.؛ وهذا يعني أن كل رأس المال سوف يتحول إلى أ (1 + ص ) 2 فرك. وبنفس الطريقة نجد أنه بعد ثلاث سنوات سيكون رأس المال أ (1 + ص ) 3 ، في أربع سنوات سيكون أ (1 + ص ) 4 ،... عموما من خلال ر سنوات إذا ر هو عدد صحيح، وسوف تتحول إلى أ (1 + ص ) رفرك. وبالتالي، مما يدل على أرأس المال النهائي، سيكون لدينا الصيغة التاليةالفائدة المركبة:

أ = أ (1 + ص ) رأين ص = ص / 100 .

مثال.يترك أ =2300 فرك، ص = 4, ر=20 سنين؛ ثم تعطي الصيغة:

ص = 4 / 100 = 0,04 ; أ = 2300 (1.04) 20.

لحساب أ، نستخدم اللوغاريتمات:

سجل أ = سجل 2300 + 20 سجل 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617+0.3400 = 3.7017.

أ = 5031روبل.

تعليق.في هذا المثال كان علينا أن سجل 1.04اضرب بها 20 . منذ الرقم 0,0170 هناك قيمة تقريبية سجل 1.04ما يصل الى 1 / 2 جزء من عشرة آلاف، ثم حاصل ضرب هذا العدد بـ 20 سيكون بالتأكيد حتى 1 / 2 20، أي ما يصل إلى 10 أجزاء من عشرة آلاف = 1 جزء من الألف. لذلك في المجموع 3,7017 لا يمكننا أن نضمن ليس فقط عدد العشرة آلاف، بل أيضًا عدد الأجزاء من الألف. بحيث يكون من الممكن الحصول عليها في مثل هذه الحالات دقة أكبر، أفضل للعدد 1 + ص خذ اللوغاريتمات ليس من 4 أرقام، ولكن مع عدد كبيرأرقام، على سبيل المثال. 7 أرقام. ولهذا الغرض نقدم هنا جدولًا صغيرًا يتم فيه كتابة اللوغاريتمات المكونة من 7 أرقام للقيم الأكثر شيوعًا ص .

290. المهمة الرئيسية هي للمدفوعات العاجلة.أخذ شخص ما أ روبل لكل ص % مع شرط سداد الدين مع فوائده المستحقة عليه ر سنوات، ويدفع نفس المبلغ في نهاية كل سنة. ماذا يجب أن يكون هذا المبلغ؟

مجموع س ويسمى الدفع السنوي في ظل هذه الظروف بالدفع العاجل. دعونا نشير مرة أخرى بالحرف ص أموال الفائدة السنوية من 1 فرك، أي الرقم ص / 100 . ثم بحلول نهاية السنة الأولى من الديون أ يزيد ل أ (1 + ص )، الدفع الأساسي X سيكلف روبل أ (1 + ص )-X .

بحلول نهاية السنة الثانية، سوف يتحول كل روبل من هذا المبلغ مرة أخرى إلى 1 + ص روبل، وبالتالي سيكون الدين [ أ (1 + ص )-X ](1 + ص ) = أ (1 + ص ) 2 - س (1 + ص )، وللدفع س الروبل سيكون: أ (1 + ص ) 2 - س (1 + ص ) - X . بنفس الطريقة، سوف نتأكد من أنه بحلول نهاية السنة الثالثة سيكون الدين

أ (1 + ص ) 3 - س (1 + ص ) 2 - س (1 + ص ) - س ,

وبشكل عام والنهاية ر السنة ستكون:

أ (1 + ص ) ر - س (1 + ص ) ر -1 - س (1 + ص ) ر -2 ... - س (1 + ص ) - س ، أو

أ (1 + ص ) ر - س [ 1 + (1 + ص ) + (1 + ص ) 2 + ...+ (1 + ص ) ر -2 + (1 + ص ) ر -1 ]

يمثل كثير الحدود الموجود داخل الأقواس مجموع الحدود التقدم الهندسي; الذي لديه العضو الأول 1 ، آخر ( 1 + ص ) ر -1، والمقام ( 1 + ص ). باستخدام صيغة مجموع حدود التقدم الهندسي (القسم 10 الفصل 3 § 249) نجد:

ومبلغ الدين بعد ر -الدفعة ستكون:

وبحسب ظروف المشكلة يكون الدين في النهاية ر -السنة يجب أن تكون مساوية ل 0 ; لهذا السبب:

أين

عند حساب هذا صيغ الدفع العاجلةباستخدام اللوغاريتمات يجب علينا أولا العثور على الرقم المساعد ن = (1 + ص ) ربواسطة اللوغاريتم: سجل ن = رسجل (1+ ص) ; بعد أن وجدت ن، اطرح منه 1، ثم نحصل على مقام الصيغة لـ X، وبعد ذلك نجد باللوغاريتم الثانوي:

سجل X=log أ+ سجل N + سجل ص - سجل (ن - 1).

291. المهمة الرئيسية للمساهمات الأجل.يقوم شخص ما بإيداع نفس المبلغ في البنك في بداية كل عام. أ فرك. تحديد رأس المال الذي سيتم تكوينه من هذه المساهمات بعد ذلك ر سنوات إذا قام البنك بالدفع ص الفائدة المركبة.

المعينة من قبل ص أموال الفائدة السنوية من 1 روبل، أي. ص / 100 نحن نفكر على هذا النحو: بحلول نهاية السنة الأولى سيكون رأس المال أ (1 + ص );

في بداية السنة الثانية سيتم إضافتها إلى هذا المبلغ أ روبل. وهذا يعني أنه في هذا الوقت سيكون رأس المال أ (1 + ص ) + أ . بحلول نهاية السنة الثانية سيكون أ (1 + ص ) 2 + أ (1 + ص );

في بداية السنة الثالثة يتم إدخاله مرة أخرى أ روبل. وهذا يعني أنه في هذا الوقت سيكون هناك رأس المال أ (1 + ص ) 2 + أ (1 + ص ) + أ ; بحلول نهاية اليوم الثالث سيكون أ (1 + ص ) 3 + أ (1 + ص ) 2 + أ (1 + ص ) وبمواصلة هذه الحجج أكثر نجد ذلك في النهاية ر سنة رأس المال المطلوب أسوف:

هذه هي صيغة مساهمات الأجل المقدمة في بداية كل عام.

يمكن الحصول على نفس الصيغة من خلال المنطق التالي: الدفعة الأولى إلى أ روبل أثناء وجوده في البنك ر سنوات، سوف تتحول، وفقا لصيغة الفائدة المركبة، إلى أ (1 + ص ) رفرك. القسط الثاني: البقاء في البنك لمدة سنة أقل، أي. ر - 1 سنة، اتصل أ (1 + ص ) ر- 1فرك. وبالمثل، فإن الدفعة الثالثة سوف تعطي أ (1 + ص ) ر-2وما إلى ذلك، وأخيرًا، سيتم إرسال القسط الأخير، الذي ظل في البنك لمدة عام واحد فقط، إلى أ (1 + ص ) فرك. وهذا يعني رأس المال النهائي أفرك. سوف:

أ= أ (1 + ص ) ر + أ (1 + ص ) ر- 1 + أ (1 + ص ) ر-2 + . . . + أ (1 + ص ),

والتي، بعد التبسيط، تعطي الصيغة الموجودة أعلاه.

عند الحساب باستخدام لوغاريتمات هذه الصيغة، يجب عليك المتابعة بنفس الطريقة المتبعة عند حساب صيغة الدفعات العاجلة، أي ابحث أولاً عن الرقم N = ( 1 + ص ) رمن خلال اللوغاريتم: سجل ن = رسجل(1 + ص )، ثم الرقم ن- 1ثم خذ لوغاريتم الصيغة:

سجل أ = سجل أ+سجل(1+ ص) + السجل (N - 1) - 1оgص

تعليق.إذا مساهمة عاجلة ل أ فرك. لم يتم السداد في بداية كل عام، بل في نهاية كل عام (على سبيل المثال، عند إجراء دفعة عاجلة X لسداد الدين)، إذن، بالاستدلال المماثل للسابق، نجد ذلك في النهاية ر سنة رأس المال المطلوب أ"فرك. سيكون (بما في ذلك الدفعة الأخيرة أ فرك.، لا تحمل الفائدة):

أ"= أ (1 + ص ) ر- 1 + أ (1 + ص ) ر-2 + . . . + أ (1 + ص ) + أ

وهو يساوي:

أي. أ"ينتهي في ( 1 + ص ) مرات أقل أ، وهو ما كان متوقعا، لأن كل روبل من رأس المال أ"يكمن في البنك لمدة عام أقل من الروبل المقابل لرأس المال أ.