هل بحثت عن: الضرب في الأعداد العشرية؟ أنظمة المعادلات الخطية ذات المتغيرين

(100-96) - الإجراء الأول
قسمة 320 على ما حدث بين قوسين - الخطوة الثانية
اضرب بخمسة - بالإجراء الثالث
زائد 350 - بالإجراء الرابع

1 350+320=670:4=167.5=837.5

مهام مماثلة:

1. املأ الفراغات: 18 طن 4 طن = كجم
6280 جرام = كجم جرام
48 طن = كجم
26302 كجم = طن كجم
7350 كجم = كجم كجم
35 كجم = جم
2. قارن 18 طن 78 كجم بـ 1 طن 878 كجم
22 طن 63 كجم 2 طن 263 كجم
380000 جرام 38 كجم
5 كجم 320 جم 532 جم
3 كجم 490 جرام 349 جرام
3. إنهاء التسجيل:
1/4 طن كجم
1/5 كيلو جرام
1/10 من القنطار هو كجم
4. التعبير بمقاييس أصغر:
86ts =
3ت =
25 كجم =
2ط 3ت =
5. حل المشكلة.
حملت كل سيارة من العربات الثلاث 28 قنطارًا من الحبوب والرابعة 16 قنطارًا. وكانت المركبات الأربع تحمل أطنانا من الحبوب.
6. حل المشكلة.
أحضر المتجر 3 أطنان من البطيخ. في اليوم الأول قمنا ببيع 900 كجم، وفي اليوم الثاني ضعف ما قمنا به في الأول، وفي اليوم الثالث الباقي. كم كيلو من البطيخ تم بيعه في اليوم الثالث؟
حل:
7. حل المشكلة. ما عدد كيلوغرامات الدقيق الموجودة في كيسين، إذا كان أحدهما يحتوي على 1/4 قنطار والآخر 1/4 قنطار؟
إجابة:
8. حل المشكلة 1/2 كجم من الحلويات تكلف 28 روبل. كم تكلفة 1 كجم من الحلويات؟
إجابة:
9.* حل المشكلة.
جينا لديها 900 روبل. وفالنتين لديه 9 مرات أقل. كم عدد الروبلات التي يجب أن تعطيها جينا لفالنتين حتى يكون لديهما مبالغ متساوية من المال؟
إجابة:
10. حل المشكلة (شفهياً):
تم تقسيم 72 كجم من الخيار بالتساوي إلى 8 سلال. لقد بعنا ثلاثًا من هذه السلال. كم كيلو من الخيار بقي؟
إجابة:

1. املأ الفراغات:
3t 005 كجم = كجم
3ط 5 ج = كجم
19 كجم = جم
39 طن = كجم
5830 كجم = كجم كجم
46500 كجم = طن كجم
2. قارن
14 طن 260 كجم 14260 كجم
7670 ج 76 طن 7 ج
73000 جرام 73 كجم
260000 جرام 26 كجم
345 طن 34500 طن
3. إنهاء التسجيل:
ربع جزء القنطار هو كيلو جرام
1/5 الطن قنطار
1/10 من الكيلو جرام هو جرام
4. التعبير بمقاييس أكبر:
73ts =
640 كجم =
2830 جرام =
3200 كجم =
5. حل المشكلة.
اشترى كل من المشترين الثلاثة 18 كجم من الجزر، والرابع - 46 كجم. اشترى الأربعة نصف جزرة
6. حل المشكلة. تم جمع 2 طن من الجزر من ثلاثة مشاركين. من القطعة الأولى تم جمع 500 كجم ، ومن الثانية - مرتين أكثر من الأولى ، ومن الثالثة - بقية الجزر. ما عدد كيلوجرامات الجزر التي تم جمعها من القطعة الثالثة؟
حل:
إجابة:
7. قارن
1/4 كجم 1/2 كجم
1/2ج 1/10ج
1/10 طن 1/2 طن
8. حل المشكلة.
تفقد أنثى الحوت الأزرق 30 طناً من وزنها أثناء إرضاع صغيرها. وهذا يشكل 1/4 من كتلته الإجمالية. تحديد كتلة أم الحوت الأزرق.
إجابة:
9. احسب واكتب الإجابة:
816:6
×5
+490
:2
_________
100:2
×7
-250
:100
________
10.* أعد ترتيب الأرقام في الرقم 810 بحيث يتناقص بمقدار 630.
إجابة.

لكتابة عدد نسبي m/n ككسر عشري، عليك قسمة البسط على المقام. في هذه الحالة، يتم كتابة حاصل القسمة على أنه محدود أو لا نهائي عدد عشري.

اكتب هذا الرقم في صورة كسر عشري.

حل. قسّم بسط كل كسر إلى عمود على مقامه: أ)قسمة 6 على 25؛ ب)قسمة 2 على 3؛ الخامس)قسّم 1 على 2، ثم أضف الكسر الناتج إلى واحد - الجزء الصحيح من هذا الرقم المختلط.

الكسور العادية غير القابلة للاختزال والتي لا تحتوي مقاماتها على عوامل أولية غير 2 و 5 ، يتم كتابتها ككسر عشري نهائي.

في مثال 1متى أ)المقام 25=5·5; متى الخامس)المقام هو 2، لذلك نحصل على الكسور العشرية النهائية 0.24 و1.5. متى ب)المقام هو 3، لذلك لا يمكن كتابة النتيجة ككسر عشري منتهٍ.

هل من الممكن تحويل ما يلي إلى كسر عشري دون القسمة المطولة؟ جزء مشترك، الذي لا يحتوي مقامه على أي قواسم غير 2 و 5؟ دعونا معرفة ذلك! ما هو الكسر الذي يسمى بالكسر العشري ويتم كتابته بدون شريط الكسور؟ الإجابة: الكسر الذي مقامه 10؛ 100؛ 1000، الخ. وكل من هذه الأعداد عبارة عن منتج متساويعدد اثنين وخمسة. في الواقع: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 إلخ.

وبالتالي، فإن مقام الكسر العادي غير القابل للاختزال يجب تمثيله كحاصل ضرب "الاثنين" و"الخمسات"، ثم ضربه في 2 و (أو) 5 بحيث يصبح "الاثنان" و"الخمسات" متساويين. ثم سيكون مقام الكسر يساوي 10 أو 100 أو 1000، وما إلى ذلك. ولضمان عدم تغير قيمة الكسر، نضرب بسط الكسر في نفس العدد الذي ضربنا به المقام.

عبر عن الكسور المشتركة التالية في صورة أعداد عشرية:

حل. كل من هذه الكسور غير قابل للاختزال. دعونا نوسع مقام كل كسر إلى العوامل الأولية.

20=2·2·5. الخلاصة: واحد "أ" مفقود.

8=2·2·2. الخلاصة: ثلاثة حروف "أ" مفقودة.

25=5·5. الخلاصة: اثنان "اثنين" مفقودان.

تعليق.من الناحية العملية، غالبًا ما لا يستخدمون تحليل المقام، ولكنهم ببساطة يطرحون السؤال التالي: إلى أي مدى يجب ضرب المقام بحيث تكون النتيجة واحدًا بأصفار (10 أو 100 أو 1000، وما إلى ذلك). ثم يتم ضرب البسط في نفس العدد.

لذلك، في حالة أ)(مثال 2) من الرقم 20 يمكنك الحصول على 100 عن طريق الضرب في 5، لذلك تحتاج إلى ضرب البسط والمقام في 5.

متى ب)(مثال 2) من الرقم 8 لن يتم الحصول على الرقم 100، ولكن سيتم الحصول على الرقم 1000 عن طريق الضرب في 125. يتم ضرب كل من البسط (3) والمقام (8) للكسر في 125.

متى الخامس)(مثال 2) من 25 تحصل على 100 إذا ضربت في 4. هذا يعني أن البسط 8 يجب أن يضرب في 4.

دوريةكعلامة عشرية. تسمى مجموعة الأرقام المتكررة فترة هذا الكسر. للإيجاز، يتم كتابة فترة الكسر مرة واحدة، بين قوسين.

متى ب)(المثال 1) هناك رقم واحد متكرر فقط ويساوي 6. وبالتالي فإن النتيجة 0.66... سيتم كتابتها على النحو التالي: 0,(6) . يقرأون: نقطة الصفر، ستة في الفترة.

إذا كان هناك واحد أو أكثر من الأرقام غير المتكررة بين العلامة العشرية والفترة الأولى، فإن هذا الكسر الدوري يسمى الكسر الدوري المختلط.

كسر عادي غير قابل للاختزال ومقامه هو جنبا إلى جنب مع الآخرينالمضاعف يحتوي على المضاعف 2 أو 5 ، يصبح مختلطجزء دوري.

اكتب الأعداد على شكل كسر عشري:

يمكن كتابة أي رقم نسبي ككسر عشري دوري لا نهائي.

اكتبها بلا نهاية جزء دوريأعداد:

حل.

أصدقائي الأعزاء!

أصدقائي الأعزاء!ستواجه قريبًا (أو واجهت بالفعل) الحاجة إلى اتخاذ القرار مشاكل في المئة. يبدأون في حل مثل هذه المسائل في الصف الخامس وينتهون... لكنهم لا ينتهون من حل المسائل المتعلقة بالنسب المئوية! تم العثور على هذه المهام في كل من الاختبارات والامتحانات: كل من اختبارات النقل وامتحان الدولة الموحدة وامتحان الدولة الموحدة. ما يجب القيام به؟ نحن بحاجة إلى أن نتعلم كيفية حل مثل هذه المشاكل. سيساعدك كتابي "كيفية حل مسائل النسبة المئوية" في ذلك.

إضافة أرقام.

أ+ب=ج، حيث a وb عبارة عن مصطلحين، وc هو المجموع.
للعثور على الحد المجهول، عليك طرح الحد المعروف من المجموع.

طرح الأرقام.

أ-ب=ج، حيث a هو الطرح، b هو المطروح، c هو الفرق.
للعثور على الحد الأدنى المجهول، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى الفرق.
لايجاد مطروح غير معروف، تحتاج إلى طرح الفرق من القائمة.

ضرب الأرقام.

أ·ب=جحيث a وb عاملان، c هو حاصل الضرب.
لايجاد مضاعف غير معروف، فأنت بحاجة إلى تقسيم المنتج على عامل معروف.

تقسيم الأعداد.

أ:ب=ج، حيث a هو المقسوم، b هو المقسوم عليه، c هو حاصل القسمة.
للعثور على المقسوم المجهول، عليك ضرب المقسوم عليه في حاصل القسمة.
لايجاد المقسوم عليه غير معروف، تحتاج إلى قسمة الأرباح على حاصل القسمة.

قوانين الإضافة.

أ+ب=ب+أ(إبدالي: إعادة ترتيب الحدود لا يغير المجموع).
(أ+ب)+ج=أ+(ب+ج)(التجميعي: من أجل إضافة رقم ثالث إلى مجموع حدين، يمكنك إضافة مجموع الثاني والثالث إلى الرقم الأول).

جدول الإضافة.

1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

قوانين الضرب.

أ·ب=ب·أ(إبدالي: إعادة ترتيب العوامل لا يغير الناتج).
(أ ب) ج=أ (ب ج)(التوليفي: لضرب منتج رقمين في رقم ثالث، يمكنك ضرب الرقم الأول في منتج الثاني والثالث).
(أ+ب)ج=أ+ب(قانون توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع: من أجل ضرب مجموع رقمين في رقم ثالث، يمكنك ضرب كل حد في هذا الرقم وإضافة النتائج الناتجة).
(أ-ب) ج=أ ج-ب ج(قانون توزيع الضرب بالنسبة إلى الطرح: من أجل ضرب فرق رقمين في رقم ثالث، يمكنك ضرب المطرح وطرح هذا الرقم بشكل منفصل وطرح الثاني من النتيجة الأولى).

جدول الضرب.

2·1=2; 3·1=3; 4·1=4; 5·1=5; 6·1=6; 7·1=7; 8·1=8; 9·1=9.

2·2=4; 3·2=6; 4·2=8; 5·2=10; 6·2=12; 7·2=14; 8·2=16; 9·2=18.

2·3=6; 3·3=9; 4·3=12; 5·3=15; 6·3=18; 7·3=21; 8·3=24; 9·3=27.

2·4=8; 3·4=12; 4·4=16; 5·4=20; 6·4=24; 7·4=28; 8·4=32; 9·4=36.

2·5=10; 3·5=15; 4·5=20; 5·5=25; 6·5=30; 7·5=35; 8·5=40; 9·5=45.

2·6=12; 3·6=18; 4·6=24; 5·6=30; 6·6=36; 7·6=42; 8·6=48; 9·6=54.

2·7=14; 3·7=21; 4·7=28; 5·7=35; 6·7=42; 7·7=49; 8·7=56; 9·7=63.

2·8=16; 3·8=24; 4·8=32; 5·8=40; 6·8=48; 7·8=56; 8·8=64; 9·8=72.

2·9=18; 3·9=27; 4·9=36; 5·9=45; 6·9=54; 7·9=63; 8·9=72; 9·9=81.

2·10=20; 3·10=30; 4·10=40; 5·10=50; 6·10=60; 7·10=70; 8·10=80; 9·10=90.

المقسومات والمضاعفات.

مقسمعدد طبيعي أاسم العدد الطبيعي الذي أمقسمة بلا باقي. (الأعداد 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24 هي قواسم الرقم 24، حيث أن 24 قابل للقسمة على كل منها دون باقي) 1 هو المقسوم على أي عدد طبيعي. القاسم الأعظمأي رقم هو الرقم نفسه.
مضاعفاتعدد طبيعي بهو عدد طبيعي يقبل القسمة عليه ب. (الأعداد 24، 48، 72،... هي مضاعفات الرقم 24، لأنها تقبل القسمة على 24 بدون باقي). أصغر مضاعف لأي رقم هو الرقم نفسه.

علامات قابلية القسمة الأعداد الطبيعية.

الأعداد المستخدمة عند عد الأشياء (1، 2، 3، 4،...) تسمى الأعداد الطبيعية. يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف ن.
أعداد 0, 2, 4, 6, 8 مُسَمًّى حتىبالأرقام. تسمى الأرقام التي تنتهي بأرقام زوجية أرقامًا زوجية.
أعداد 1, 3, 5, 7, 9 مُسَمًّى غريببالأرقام. تسمى الأرقام التي تنتهي بأرقام فردية أرقامًا فردية.
اختبار قابلية القسمة على العدد 2 . جميع الأعداد الطبيعية التي تنتهي برقم زوجي تقبل القسمة على 2.
اختبار قابلية القسمة على العدد 5 . جميع الأعداد الطبيعية التي تنتهي بالرقم 0 أو 5 قابلة للقسمة على 5.
اختبار قابلية القسمة على العدد 10 . جميع الأعداد الطبيعية التي تنتهي بالرقم 0 قابلة للقسمة على 10.
اختبار قابلية القسمة على العدد 3 . إذا كان مجموع أرقام عدد ما يقبل القسمة على 3، فإن الرقم نفسه يقبل القسمة على 3.
اختبار قابلية القسمة على العدد 9 . إذا كان مجموع أرقام عدد يقبل القسمة على 9، فإن الرقم نفسه يقبل القسمة على 9.
اختبار قابلية القسمة على العدد 4 . إذا كان الرقم مكونًا من آخر رقمين رقم معين، يقبل القسمة على 4، فإن الرقم المعطى نفسه يقبل القسمة على 4.
اختبار قابلية القسمة على العدد 11 إذا كان الفرق بين مجموع الأرقام في الأماكن الفردية ومجموع الأرقام في الأماكن الزوجية يقبل القسمة على 11، فإن العدد نفسه يقبل القسمة على 11.

العدد الأولي هو رقم له مقسومان فقط: واحد والرقم نفسه.
الرقم الذي يحتوي على أكثر من مقسومين يسمى مركب.
الرقم 1 ليس رقمًا أوليًا ولا رقمًا مركبًا.
كتابة عدد مركب كمنتج فقط الأعداد الأوليةيسمى تحليل العدد المركب إلى عوامل أولية. أي عدد مركبيمكن تمثيلها بشكل فريد كمنتج للعوامل الأولية.

القاسم المشترك الأكبر لأعداد طبيعية معينة هو أكبر عدد طبيعي يقسم عليه كل من هذه الأعداد.
أكبر القاسم المشتركأرقام معينة يساوي المنتجالعوامل الأولية المشتركة في توسعات هذه الأعداد. مثال. GCD(24, 42)=2·3=6، بما أن 24=2·2·2·3، 42=2·3·7، فإن عواملها الأولية المشتركة هي 2 و3.
إذا كانت الأعداد الطبيعية لها قاسم مشترك واحد فقط - واحد، فإن هذه الأعداد تسمى أولية نسبيًا.

المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الطبيعية المعطاة هو أصغر عدد طبيعي يكون مضاعفًا لكل عدد من الأعداد المعطاة. مثال. م م(24, 42)=168. هذا بالضبط عدد قليلوهو يقبل القسمة على 24 و 42.
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لعدد من الأعداد الطبيعية المعطاة، تحتاج إلى: 1) تحليل كل رقم من الأعداد المعطاة إلى عوامل أولية؛ 2) اكتب تحلل العدد الأكبر واضربه في العوامل المفقودة من تحلل الأرقام الأخرى.
أصغر مضاعف لعددين أوليين نسبيًا يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام.

ب- مقام الكسر يوضح كم اجزاء متساويةمقسم؛

أ- يوضح بسط الكسر عدد هذه الأجزاء المأخوذة. شريط الكسر يعني علامة القسمة.

في بعض الأحيان بدلاً من الخط الكسري الأفقي، يتم وضع خط مائل، ويتم كتابة الكسر العادي على النحو التالي: أ / ب.

ش جزء الصحيحالبسط أقل من المقام.
ش جزء غير لائق البسط أكبر من المقام أو يساوي المقام.

إذا تم ضرب بسط الكسر ومقامه أو قسمتهما على نفس العدد الطبيعي، فستحصل على كسر متساوي.

يُطلق على قسمة كل من بسط ومقام الكسر على القاسم المشترك لهما غير الواحد تقليل الكسر.

الرقم الذي يتكون من جزء صحيح وجزء كسري يسمى رقم مختلط.
لتمثيل كسر غير فعلي كرقم كسري، عليك قسمة بسط الكسر على مقامه، ثم يكون الناتج الجزئي الجزء الكاملعدد كسري، والباقي هو بسط الجزء الكسري، ويظل المقام كما هو.
لتمثيل رقم مختلط ككسر غير حقيقي، تحتاج إلى ضرب الجزء الصحيح من الرقم الكسري بالمقام، وإضافة بسط الجزء الكسري إلى النتيجة الناتجة وكتابته في بسط الكسر غير الحقيقي، مع ترك المقام نفس الشيء.

شعاع أوهمع نقطة البداية عند النقطة عن، والتي يشار إليها قطع واحدإلى و اتجاه، مُسَمًّى شعاع الإحداثيات.
رقم، المقابلة لهذه النقطة شعاع الإحداثيات، مُسَمًّى تنسيقهذه النقطة. على سبيل المثال , أ(3). اقرأ: النقطة أ بالإحداثيات 3.

القاسم المشترك الأدنى ( الأمراض غير السارية) بيانات الكسور غير القابلة للاختزالهو المضاعف المشترك الأصغر ( شهادة عدم الممانعة) قواسم هذه الكسور.
لتقليل الكسور إلى أصغرها القاسم المشترك، عليك أن تقوم بما يلي: 1) إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات هذه الكسور، فيكون هو المقام المشترك الأصغر. 2) ابحث عن عامل إضافي لكل كسر، لماذا القسمة قاسم جديدإلى مقام كل كسر. 3) اضرب بسط ومقام كل كسر في العامل الإضافي الخاص به.

من كسرين مع نفس القواسمالذي له بسط أكبر يكون أكبر، والذي له بسط أصغر أصغر.
من بين الكسرين اللذين لهما نفس البسطين، يكون الكسر ذو المقام الأصغر أكبر، والكسر ذو المقام الأكبر أصغر.
لمقارنة الكسور ذات البسط المختلفة و قواسم مختلفة، تحتاج إلى تقليل الكسور إلى أدنى مقام مشترك، ثم مقارنة الكسور ذات المقامات نفسها.

العمليات على الكسور العادية

لجمع كسور لها نفس المقامات، عليك جمع بسطيها وترك المقام كما هو.
إذا كنت بحاجة إلى إضافة كسور ذات مقامات مختلفة، قم أولًا بتقليل الكسور إلى أدنى مقام مشترك، ثم قم بإضافة الكسور ذات المقامات نفسها.
لطرح الكسور ذات المقامات المتشابهة، اطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، مع ترك المقام كما هو.
إذا كنت بحاجة إلى طرح الكسور ذات القواسم المختلفة، فسيتم إحضارها أولا إلى قاسم مشترك، ثم يتم طرح الكسور التي لها نفس المقامات.
عند إجراء عمليات الجمع أو الطرح أرقام مختلطةيتم تنفيذ هذه الإجراءات بشكل منفصل للأجزاء الصحيحة والأجزاء الكسرية، ثم يتم كتابة النتيجة كرقم مختلط.

حاصل ضرب كسرين عاديين يساوي الكسر الذي بسطه يساوي حاصل ضرب البسطين، والمقام يساوي حاصل ضرب مقامات هذه الكسور.
لضرب كسر عادي في عدد طبيعي، تحتاج إلى ضرب بسط الكسر بهذا الرقم، مع ترك المقام كما هو.
يُطلق على الرقمين اللذين يكون منتجهما يساوي واحدًا أرقامًا متبادلة.
عند ضرب الأعداد الكسرية، يتم تحويلها أولاً إلى كسور غير حقيقية.
للعثور على كسر من رقم ما، عليك ضرب الرقم بهذا الكسر.

لتقسيم كسر عادي على كسر عادي، عليك ضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.
عند قسمة الأعداد الكسرية، يتم تحويلها أولاً إلى كسور غير حقيقية.
لتقسيم كسر عادي على عدد طبيعي، عليك ضرب مقام الكسر بهذا العدد الطبيعي، وترك البسط كما هو. ((2/7):5=2/(7·5)=2/35).
للعثور على رقم حسب كسره، عليك تقسيم الرقم المقابل له على هذا الكسر.

الكسر العشري هو رقم مكتوب في النظام العشري ويحتوي على أرقام أقل من واحد. (3.25؛ 0.1457، إلخ.)
تسمى المنازل بعد العلامة العشرية في الكسر العشري بالمنازل العشرية.
لن يتغير العلامة العشرية إذا قمت بإضافة أو إزالة الأصفار في نهاية العلامة العشرية.

لإضافة كسور عشرية، تحتاج إلى: 1) مساواة عدد المنازل العشرية في هذه الكسور؛ 2) اكتبها واحدة تلو الأخرى بحيث تكتب الفاصلة تحت الفاصلة؛ 3) قم بإجراء عملية الإضافة دون الانتباه إلى الفاصلة، ووضع فاصلة في المجموع تحت الفواصل في الكسور المضافة.

لطرح الكسور العشرية، تحتاج إلى: 1) مساواة عدد المنازل العشرية في المطرح والمطرح؛ 2) قم بالتوقيع على المطروح أسفل المنتصف بحيث تكون الفاصلة تحت الفاصلة؛ 3) إجراء عملية الطرح دون الالتفات إلى الفاصلة، وفي النتيجة الناتجة ضع فاصلة تحت فاصلة المطرح والمطروح.

لضرب كسر عشري برقم طبيعي، تحتاج إلى ضربه بهذا الرقم، مع تجاهل الفاصلة، وفي المنتج الناتج، قم بفصل أكبر عدد من الأرقام إلى اليمين بفاصلة كما كانت بعد العلامة العشرية في هذا الكسر.
لضرب كسر عشري بآخر، تحتاج إلى إجراء الضرب، دون الانتباه إلى الفواصل، وفي النتيجة الناتجة، قم بفصل أكبر عدد ممكن من الأرقام على اليمين بفاصلة كما كان بعد الفاصلة العشرية في كلا العاملين معًا.
لضرب كسر عشري في 10، 100، 1000، وما إلى ذلك، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليمين بمقدار 1، 2، 3، وما إلى ذلك.
لضرب عدد عشري في 0.1؛ 0.01؛ 0.001، وما إلى ذلك، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليسار بمقدار 1، 2، 3، وما إلى ذلك.

لقسمة كسر عشري على عدد طبيعي، تحتاج إلى قسمة الكسر على هذا الرقم، حيث يتم قسمة الأعداد الطبيعية، ووضع فاصلة في حاصل القسمة عند اكتمال قسمة الجزء بأكمله.
لتقسيم الكسر العشري على 10، 100، 1000، وما إلى ذلك، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليسار بمقدار 1، 2، 3، وما إلى ذلك.

لتقسيم رقم على كسر عشري، تحتاج إلى تحريك الفواصل في المقسوم والمقسوم عليه بعدد من الأرقام إلى اليمين كما هو موجود بعد العلامة العشرية في المقسوم عليه، ثم القسمة على الرقم الطبيعي.
لتقسيم عدد عشري على 0.1؛ 0.01؛ 0.001، وما إلى ذلك، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليمين بمقدار 1، 2، 3، وما إلى ذلك. (قسمة عدد عشري على 0.1، 0.01، 0.001، وما إلى ذلك هو نفس ضرب هذا العدد العشري في 10، 100، 1000، وما إلى ذلك)

لتقريب رقم إلى أي رقم نضع خطاً تحت رقم هذا الرقم، ثم نستبدل جميع الأرقام التي بعد الرقم الذي تحته خط بالأصفار، وإذا كانت بعد العلامة العشرية نتخلص منها. إذا كان الرقم الأول الذي تم استبداله بصفر أو تم تجاهله هو 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4، فسيتم ترك الرقم الذي تحته خط دون تغيير. إذا كان الرقم الأول الذي تم استبداله بصفر أو تم تجاهله هو 5 أو 6 أو 7 أو 8 أو 9، فسيتم زيادة الرقم الذي تحته خط بمقدار 1.

الوسط الحسابي لعدة أرقام.

الوسط الحسابي لعدة أرقام هو حاصل قسمة مجموع هذه الأرقام على عدد الحدود.

نطاق عدد من الأرقام.

الفرق بين الأكبر و أدنى القيمتسمى سلسلة من البيانات نطاق سلسلة من الأرقام.

طريقة سلسلة الأرقام.

يُسمى الرقم الذي يحدث بأعلى تكرار بين الأرقام المعطاة في السلسلة بنمط السلسلة الرقمية.

جزء من مائة يسمى نسبة مئوية.
للتعبير عن النسب المئوية ككسر أو عدد طبيعي، عليك قسمة النسبة المئوية على 100%. (4%=0.04; 32%=0.32).
للتعبير عن رقم كنسبة مئوية، عليك ضربه بنسبة 100%. (0.65=0.65·100%=65%; 1.5=1.5·100%=150%).
للعثور على النسبة المئوية لرقم، تحتاج إلى التعبير عن النسبة المئوية ككسر عادي أو عشري وضرب الكسر الناتج في الرقم المحدد.
للعثور على رقم بالنسبة المئوية، تحتاج إلى التعبير عن النسبة المئوية ككسر عادي أو عشري وتقسيم الرقم المحدد على هذا الكسر.
للعثور على النسبة المئوية للرقم الأول من الثاني، تحتاج إلى قسمة الرقم الأول على الثاني وضرب النتيجة بنسبة 100٪.

ويسمى حاصل عددين نسبة هذه الأرقام. أ: بأو أ / ب– النسبة بين العددين a وb، وa هو الحد السابق، وb هو الحد التالي.
إذا تم إعادة ترتيب أعضاء علاقة معينة، فإن العلاقة الناتجة تسمى معكوس العلاقة المعطاة. العلاقات b/a وa/b عكسية.
لن تتغير النسبة إذا تم ضرب حدي النسبة أو قسمتهما على نفس العدد غير الصفر.

المساواة بين نسبتين تسمى نسبة.
أ:ب=ج:د. هذه نسبة. يقرأ: أوهذا ينطبق على ب، كيف جيعود الى د. يُطلق على الرقمين a وd الحدود القصوى للنسبة، ويطلق على الرقمين b وc الحدود الوسطى للنسبة.

حاصل ضرب الحدود القصوى لنسبة ما يساوي حاصل ضرب حدودها الوسطى. بالنسبة للنسبة أ:ب=ج:دأو أ/ب=ج/دالخاصية الرئيسية مكتوبة هكذا: أ·د=ب·ج.
للعثور على الحد الأقصى غير المعروف لنسبة ما، عليك قسمة حاصل ضرب الحدود الوسطى للنسبة على الحد الأقصى المعروف.
للعثور على المجهول عضو متوسطالنسب، تحتاج إلى قسمة منتج الحدود القصوى للنسبة على الحد الأوسط المعروف.

دع القيمة ذيعتمد على الحجم X. إذا عند الزيادة Xعدة مرات الحجم فييزيد بنفس المقدار ثم هذه القيم Xو فيتسمى متناسبة بشكل مباشر.

إذا كانت كميتان متناسبتان طرديا، فإن نسبة القيمتين المأخوذتين اعتباطيا من الكمية الأولى تساوي نسبة القيمتين المتقابلتين من الكمية الثانية.

تسمى نسبة طول المقطع على الخريطة إلى طول المسافة المقابلة له على الأرض بمقياس الخريطة.

دع القيمة فييعتمد على الحجم X. إذا عند الزيادة Xعدة مرات الحجم فييتناقص بنفس المقدار ثم هذه القيم Xو فيتسمى متناسبة عكسيا.

إذا كانت كميتين معكوستين الاعتماد النسبي، فإن النسبة بين قيمتين مأخوذتين بشكل تعسفي لكمية واحدة تساوي علاقة عكسيةالقيم المقابلة لكمية أخرى.

المجموعة عبارة عن مجموعة من بعض الكائنات أو الأرقام، تم تجميعها وفقًا للبعض الخصائص العامةأو القوانين (رسائل كثيرة على صفحة، كثيرة الكسور المناسبةبمقام 5، العديد من النجوم في السماء، وما إلى ذلك).
تتكون المجموعات من عناصر ويمكن أن تكون محدودة أو لا نهائية. تسمى المجموعة التي لا تحتوي على عنصر واحد مجموعة فارغةوتدل Ø.
مجموعة من فيتسمى مجموعة فرعية من مجموعة أ، إذا كانت جميع عناصر المجموعة فيهي عناصر المجموعة أ.
تقاطع المجموعات أو فيهي مجموعة تنتمي عناصرها إلى المجموعة أوالعديد في.
اتحاد المجموعات أو فيهي مجموعة تنتمي عناصرها إلى واحدة على الأقل من هذه المجموعات أو في.

الكثير من الأرقام.

ن– مجموعة الأعداد الطبيعية: 1، 2، 3، 4،…
ز– مجموعة من الأعداد الصحيحة: …، -4، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، 4،…
س- مجموعة من أرقام نسبية، يمكن تمثيلها ككسر م / ن، أين م- جميع، ن- طبيعي (-2؛ 3/5؛ √9؛ √25، إلخ.)

الخط الإحداثي هو خط مستقيم يُعطى فيه اتجاه موجب ونقطة مرجعية (النقطة O) وقطعة وحدة.
كل نقطة على خط الإحداثيات تقابل رقمًا معينًا يسمى إحداثي هذه النقطة. على سبيل المثال، أ(5). يقرأون: النقطة أ بالإحداثيات الخامسة. على الساعة 3). يقرأون: النقطة B بإحداثياتها ناقص ثلاثة.

معامل الرقم أ (اكتب |أ|) استدعاء المسافة من الأصل إلى النقطة المقابلة لرقم معين أ. معامل أي رقم غير سلبي. |3|=3; |-3|=3، لأن المسافة من نقطة الأصل إلى الرقم -3 وإلى الرقم 3 تساوي ثلاث وحدات. |0|=0 .
حسب تعريف معامل الرقم: |أ|=أ، لو أ≥0و |أ|=-أ، لو أ<0 .

العمليات مع الأعداد النسبية.

مجموع الأرقام السالبة هو رقم سالب. معامل المجموع يساوي مجموع معاملات الحدود (-3-5=-8).

مجموع رقمين بعلامات مختلفة له علامة مصطلح بقيمة مطلقة كبيرة. للعثور على معامل المجموع، تحتاج إلى طرح المعامل الأصغر من المعامل الأكبر (-4+6=2; -7+3=-4).

حاصل ضرب رقمين سالبين هو رقم موجب. معامل المنتج يساوي منتج معاملات هذه الأرقام (-5·(-6)=30).

حاصل ضرب رقمين مختلفي الإشارة هو عدد سالب. معامل المنتج يساوي منتج معاملات هذه الأرقام (-3·7=-21؛ 4·(-7)=-28).

حاصل قسمة رقمين سالبين هو رقم موجب. معامل القسمة يساوي حاصل قسمة معامل المقسوم والمقسوم عليه (-8:(-2)=4).

حاصل قسمة رقمين مختلفي الإشارة هو عدد سالب. معامل القسمة يساوي حاصل قسمة معامل المقسوم والمقسوم عليه (-20:4=-5؛ 12:(-2)=-6).

لكتابة عدد نسبي m/n ككسر عشري، عليك قسمة البسط على المقام. في هذه الحالة، يتم كتابة حاصل القسمة إما على شكل كسر عشري منته أو لا نهائي.
الكسور العادية غير القابلة للاختزال، والتي لا تحتوي مقاماتها على عوامل أولية غير 2 و5، تتم كتابتها ككسر عشري نهائي (3/2=1.5؛ 1/5=0.2).
يسمى الكسر العشري اللانهائي الذي يتكرر فيه رقم واحد أو أكثر بشكل ثابت في نفس التسلسل دوريةكعلامة عشرية. تسمى مجموعة الأرقام المتكررة فترة هذا الكسر. للإيجاز، يتم كتابة فترة الكسر مرة واحدة، ووضعها بين قوسين: 1/3=0,(3); 1/9=0,(1). إذا كان هناك رقم واحد أو أكثر غير متكرر بين العلامة العشرية والفترة الأولى، فإن هذا الكسر الدوري يسمى الكسر الدوري المختلط: 7/15 = 0.4 (6)؛ 5/12=0.41 (6).
الكسر العادي غير القابل للاختزال، والذي يحتوي مقامه، مع عوامل أخرى، على عامل 2 أو 5، يصبح كسرًا دوريًا مختلطًا.
يمكن كتابة أي رقم نسبي ككسر عشري دوري لا نهائي. أمثلة: 5=5,(0); 3/5=0.6 (0).

الكسر العشري الدوري اللانهائي يساوي كسرًا عاديًا، بسطه هو الفرق بين العدد الكامل بعد العلامة العشرية والرقم بعد العلامة العشرية قبل الفترة، ويتكون مقامه من "تسعة" و"أصفار". ، وهناك عدد من "تسعة" يساوي عدد الأرقام في الفترة، و "يوجد عدد من الأصفار بعدد الأرقام بعد العلامة العشرية قبل الفترة. أمثلة:

1) 0,41 (6)=(416-41)/900=375/900=5/12

2) 0,10 (6)=(106-10)/900=96/900=8/75

3) 0,6 (54)=(654-6)/990=648/990=36/55

4) 0,(15)=(15-0)/99=15/99=5/33

5) 0,5 (3)=(53-5)/90=48/90=8/15.

مجموعة الأعداد الحقيقية.

أي كسر عشري غير دوري لا نهائيمُسَمًّى عدد غير نسبي. أمثلة: π ; √2 ; هإلخ.
جميع الأعداد النسبية وغير المنطقية تشكل مجموعة الأعداد الحقيقية. يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية بالحرف ر.

الوسيط لسلسلة معينة من الأرقام.

للعثور على الوسيط لسلسلة معينة، عليك ترتيب هذه الأرقام بترتيب تصاعدي أو تنازلي. الرقم الموجود في منتصف السلسلة الناتجة سيكون الوسيط لهذه السلسلة من الأرقام. إذا كان عدد الأرقام المعطاة زوجيًا، فإن متوسط السلسلة يساوي الوسط الحسابي للرقمين الموجودين في منتصف السلسلة مرتبة تصاعديًا أو تنازليًا.

تسمى التعبيرات التي يمكن فيها استخدام الأرقام والرموز الحسابية والأقواس مع الحروف بالتعبيرات الجبرية.
تسمى قيم الحروف التي يكون التعبير الجبري منطقيًا بها قيمًا حرفية صالحة.
إذا استبدلت الحروف بقيمها في تعبير جبري وقمت بتنفيذ الإجراءات المشار إليها، فإن الرقم الناتج يسمى قيمة التعبير الجبري.
يقال إن التعبيرين متساويان تمامًا إذا كانت القيم المقابلة لهذه التعبيرات متساوية بالنسبة لأي قيم مقبولة للمتغيرات.
الصيغة هي تعبير جبري مكتوب على شكل مساواة ويعبر عن العلاقة بين متغيرين أو أكثر. مثال: صيغة المسار الصورة = الخامس ر(s - المسافة المقطوعة، v - السرعة، t - الوقت).

إذا كانت هناك علامة "+" قبل القوسين أو لم تكن هناك علامة على الإطلاق، فعند فتح القوسين، يتم الحفاظ على علامات الحدود الجبرية.
إذا كان القوسان مسبوقين بالعلامة " — "، ثم عند فتح القوسين تتغير علامات الحدود الجبرية إلى علامات معاكسة.

تسمى المصطلحات التي تحتوي على نفس جزء الحرف مصطلحات مشابهة. يُطلق على إيجاد المجموع الجبري للحد المتشابه اسم تقليل الحدود المتشابهة. لإحضار مصطلحات مماثلة، تحتاج إلى إضافة معاملاتها وضرب النتيجة الناتجة في جزء الحرف المشترك.

تسمى المساواة مع المتغير معادلة.
حل المعادلة يعني إيجاد جذورها المتعددة. قد تحتوي المعادلة على جذر واحد، أو جذرين، أو عدة جذور، أو لا شيء على الإطلاق.
كل قيمة للمتغير الذي تتحول عنده معادلة معينة إلى مساواة حقيقية تسمى جذر المعادلة.
تسمى المعادلات التي لها نفس الجذور المعادلات المكافئة.
يمكن نقل أي حد من أطراف المعادلة من جزء من المساواة إلى جزء آخر مع تغيير إشارة الحد إلى العكس.
إذا تم ضرب طرفي المعادلة أو قسمتهما على نفس الرقم غير الصفر، فستحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.

أ-ب – رقم موجب، عدد إيجابي، الذي - التي أ> ب.
إذا، عند مقارنة الأرقام أ و ب، الفرق أ-بهو عدد سلبي، ثم أ

إذا كانت المتباينات مكتوبة بالعلامات< или >، ثم يطلق عليهم عدم المساواة الصارمة.

إذا كانت المتباينات مكتوبة بالعلامة ≥ أو ≥، فإنها تسمى متباينات غير صارمة.

خصائص المتباينات العددية.

إذا بدل الطرف الأيمن من المتباينة الطرف الأيسر، فإن إشارة المتباينة ستتغير إلى العكس. (لو أ> ب، الذي - التي ب ).

إذا كان الرقم أالمزيد من العدد ب، والرقم بالمزيد من العدد ج، ثم الرقم أالمزيد من العدد ج. (لو أ> ب, ب> ج، الذي - التي أ> ج).

إذا أضفت نفس العدد إلى طرفي المتراجحة، فلن تتغير إشارة المتراجحة. (لو أ> ب، الذي - التي أ+ج>ب+ج، حيث c هو أي رقم).

يمكن نقل أي حد من جزء من المتراجحة إلى جزء آخر عن طريق تغيير إشارة هذا الحد إلى الطرف المقابل.

إذا ضرب طرفا المتراجحة أو قسما على نفس العدد الموجب، فإن إشارة المتراجحة لا تتغير. (لو أ> ب; جهو رقم موجب، إذن ميلان>قبل الميلاد; أ/ج>ب/ج).

إذا ضرب طرفا المتراجحة أو قسما على نفس العدد السالب، فإن إشارة المتراجحة تنعكس. (لو أ> ب؛ جهو عدد سلبي، ثم تيار متردد ).

إذا كان الرقم إيجابيا أأكبر من رقم موجب ب، ثم الرقم 1/ أعدد أقل 1/ ب. (لو أ> ب; أ>0; ب>0 ، الذي - التي 1/ أ<1/ ب).

الفواصل العددية.

الفاصل الزمني بين النقاط المقابلة للأرقام a و b المحددة على خط الإحداثيات يمثل الفاصل الرقمي بين الرقمين a و b. أنواع الفواصل العددية: فاصلة, القطعة المستقيمة, نصف فاصل, شعاع, يفتح شعاع. يمكن توضيح حلول المتباينات العددية على فترات عددية.

أ) عدم المساواة في النموذج x
ب) عدم المساواة في النموذج x≥a. الجواب: (-∞؛أ).

الخامس) عدم المساواة في النموذج x>a. الجواب: (أ؛+∞).

د) عدم المساواة في النموذج x≥a. إجابة: .

ز) المتباينة المزدوجة بالشكل a
مباشرة على متن الطائرة.

من خلال أي نقطتين يمكن رسم خط مستقيم واحد. الخط المستقيم لانهائي.

الخطوط المتقاطعة لها نقطة مشتركة واحدة فقط.

يسمى الخطان اللذان يشكلان زوايا قائمة عند التقاطع عموديًا. خطان متعامدان يقسمان المستوى إلى أربع زوايا قائمة.

من خلال نقطة معينة يمكن رسم عمودي واحد على خط معين.

طول العمود المرسوم من نقطة معينة على خط مستقيم يساوي المسافة من نقطة معينة إلى هذا الخط.

إذا لم يتقاطع مستقيمان في المستوى، فإنهما يسمىان خطين متوازيين.

القطع الواقعة على خطوط متوازية تكون متوازية.

من خلال كل نقطة من المستوى الذي لا يقع على مستقيم، يمكن رسم خط واحد فقط موازيًا للخط المعطى.

إذا كان مستقيمان في المستوى متعامدين مع مستقيم ثالث، فإنهما متوازيان.

خطان إحداثيان متعامدان يتقاطعان عند النقطة O - أصل المرجع، الشكل نظام الإحداثيات المستطيلةويسمى أيضًا نظام الإحداثيات الديكارتية.

يسمى المستوى الذي يتم اختيار نظام الإحداثيات عليه خطة تنسيق.يتم استدعاء خطوط الإحداثيات محاور الإحداثيات. المحور الأفقي هو محور الإحداثي (Ox)، والمحور الرأسي هو المحور الإحداثي (Oy).

تقسم محاور الإحداثيات المستوى الإحداثي إلى أربعة أجزاء - أرباع. عادة ما يتم حساب الأرقام التسلسلية للأرباع عكس اتجاه عقارب الساعة.

يتم تحديد أي نقطة في المستوى الإحداثي بإحداثياتها - الإحداثي الإحداثي والإحداثي. على سبيل المثال، أ(3; 4). اقرأ: النقطة A بإحداثيات 3 و4. هنا 3 هو الإحداثي الإحداثي، 4 هو الإحداثي.

نقطتان أو أ 1تسمى متناظرة مع بعضها البعض حول خط مستقيم م، إذا كان مستقيما معمودي على هذا الجزء أأ 1ويمر في وسطه. مباشر ممُسَمًّى محاور التماثل.

عند ثني مستوى الرسم في خط مستقيم م– سيتم محاذاة محاور التماثل والأشكال المتماثلة.

المستطيل له محورين من التماثل.

يحتوي المربع على أربعة محاور تماثل.

أي خط مستقيم يمر بمركز الدائرة هو محور تماثلها. تحتوي الدائرة على عدد لا نهائي من محاور التماثل.

التماثل المركزي.

نقطتان أو أ 1تسمى متناظرة حول هذه النقطة عن، إذا نقطة عن– وسط المقطع أأ 1. نقطة عنمُسَمًّى مركز التماثل.

الرقم يسمى متناظرة مركزيانسبة إلى النقطة عن، إذا كانت لكل نقطة من الشكل نقطة متناظرة لها بالنسبة للنقطة O تنتمي أيضًا إلى هذا الشكل. أمثلة: دائرة، قطعة، مستطيل - أشكال متناظرة مركزيا.

على المستوى الإحداثي، إحداثيات النقاط المتناظرة بالنسبة للنقطة O - أصل الإحداثيات - هي أرقام متقابلة.

وظيفة.

يُطلق على الاعتماد الذي تتوافق فيه كل قيمة من المتغير المستقل مع قيمة واحدة من المتغير التابع اسم الاعتماد الوظيفي أو الوظيفة. اكتب: ذ= F(س). متغير مستقل ستسمى حجة. المتغير التابع ذتسمى وظيفة.

مجموعة القيم التي يتخذها المتغير المستقل (الوسيطة) تشكل مجال تعريف الدالة وتدل عليها د(س).

مجموعة جميع قيم الدالة تسمى مجال الدالة ويشار إليها بـ السابق).

يمكن تحديد الوظيفة بيانيا أو لفظيا أو جدوليا أو تحليليا. الطريقة التحليلية لتحديد الدالة تعني الاعتماد بين المتغيرات سو ذيتم تحديده باستخدام صيغة (تعبير).

الرسم البياني للدالة عبارة عن مجموعة من النقاط على المستوى الإحداثي، حيث تساوي الإحداثيات قيم الوسيطة، والإحداثيات تساوي القيم المقابلة للدالة.

وظيفة عكسية.

قاعدة إيجاد دالة عكسية لدالة معطاة: 1) من هذه المساواة يعبرون عنها سخلال ذ; 2) في المساواة الناتجة، بدلا من سيكتب ذ، وبدلا من ذلك ذيكتب س. الرسوم البيانية للوظائف العكسية المتبادلة متناظرة مع بعضها البعض فيما يتعلق بالخط المستقيم y=x (منصفات زوايا الإحداثيات I و III).

دالة خطية.

دالة تعطى بواسطة صيغة النموذج ص = ك س + ب(حيث x هو المتغير المستقل، k و b عبارة عن أرقام) تسمى دالة خطية. الرسم البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم. ويسمى المعامل k ميل الخط.

إذا كانت منحدرات الخطوط التي تمثل رسومًا بيانية للدوال الخطية مختلفة، فإن الخطوط تتقاطع.

إذا كانت المعاملات الزاوية للخطوط التي تمثل رسومًا بيانية للدوال الخطية هي نفسها، فإن الخطوط متوازية.

التناسب المباشر.

التناسب المباشر هو دالة تحددها صيغة النموذج ص = ك سحيث x هو متغير مستقل، ك- معامل في الرياضيات او درجة مستقيمالتناسب. الرسم البياني للتناسب المباشر هو خط مستقيم يمر عبر نقطة الأصل.

التناسب العكسي.

التناسب العكسي هو دالة تحددها صيغة النموذج ص=ك/سحيث x متغير مستقل يختلف عن الصفر ك- معامل في الرياضيات او درجة يعكسالتناسب. الرسم البياني للتناسب العكسي عبارة عن قطع زائد يتكون من فرعين. بالنسبة إلى k>0، تقع فروع القطع الزائد في I وIII، وبالنسبة إلى k<0 – во II и IV координатных четвертях.

المعادلة الخطية في متغيرين ورسمها البياني.

معادلة خط مستقيم مع متغيرينتسمى معادلة النموذج الفأس + بواسطة = ج، أين سو ذ- المتغيرات والأرقام أو ب- المعاملات، العدد مع- عضو مجاني.

يسمى زوج قيم المتغيرات الذي تصبح فيه المعادلة الخطية بمتغيرين مساواة عددية حقيقية بحل هذه المعادلة. حل المعادلة مكتوب بين قوسين. على سبيل المثال، (2; -1) هو حل للمعادلة 3x+2y=4، حيث أن 3·2+2·(-1)=4.

تسمى المعادلات التي تحتوي على متغيرين لهما نفس الحلول مكافئة.

تسمى مجموعة النقاط على المستوى الإحداثي التي تمثل إحداثياتها حلاً للمعادلة جدول المعادلات.

رسم بياني لمعادلة خطية في متغيرين الفأس + بواسطة = ج،حيث يكون أحد معاملات المتغيرات على الأقل لا يساوي الصفر مستقيم.

أنظمة المعادلات الخطية ذات المتغيرين.

زوج من القيم المتغيرةتسمى عملية تحويل كل معادلة من نظام المعادلات الخطية ذات المتغيرين إلى مساواة حقيقية حل نظام المعادلات.

حل نظام من المعادلات يعني إيجاد جميع حلوله أو إثبات عدم وجود حلول.

لحل نظام من المعادلات الخطية ذات متغيرين، استخدم الطريقة الرسومية وطريقة الاستبدال وطريقة الإضافة.

الطريقة هي رسم كل معادلة، المدرجة في هذا النظام، في مستوى إحداثي واحد وإيجاد نقاط تقاطع هذه الرسوم البيانيةالخامس. إحداثيات هذه النقطة (x; y)وسوف تظهر قرارمن هذا النظام من المعادلات.

إذا كان مستقيما تتقاطع، ثم نظام المعادلات الشيء الوحيد حل.

إذا كان مستقيما، وهي الرسوم البيانية لمعادلات النظام، موازيثم نظام المعادلات ليس لديه حلول.

إذا كان مستقيما، وهي الرسوم البيانية لمعادلات النظام، مباراة، ثم نظام المعادلات لانهائي العديد من الحلول.

في إحدى المعادلات، يتم التعبير عن متغير واحد بدلالة متغير آخر، على سبيل المثال، يتم التعبير عنه ذخلال X.

استبدل التعبير الناتج بدلاً من ذلك ذفي المعادلة الثانية - يتم الحصول على معادلة بمتغير واحد X.

من المعادلة الناتجة، أوجد قيمة هذا المتغير X.

القيمة البديلة Xفي التعبير الذي تم الحصول عليه في 1) أشر وأوجد قيمة المتغير ذ.

زوج (س؛ ص)هو الحل لهذا النظام من المعادلات.

اضرب الجانبين الأيسر والأيمن لإحدى المعادلتين أو كلتيهما بهذا الرقم الذي احتمالمع وجود أحد المتغيرات في المعادلات أرقام متضادة.

تضاف قطعة قطعةوتبقى المعادلات الناتجة معادلة ذات متغير واحد، منها يتم إيجاد قيمة هذا المتغير.

عوّض بالقيمة الموجودة للمتغير في أي من هذه المعادلات وأوجد قيمة المتغير الثاني.

يعمل زوج القيم المتغيرة الناتج كحل لنظام المعادلات هذا.

حل أنظمة المتباينات الخطية بمتغير واحد.

تسمى قيمة المتغير الذي تتحول عنده كل متباينة في النظام إلى متباينة عددية حقيقية بحل نظام المتباينات بمتغير واحد.

خوارزمية لحل أنظمة عدم المساواة بمتغير واحد.

أوجد مجموعة الحلول لكل متباينة في النظام.

ارسم على خط إحداثي واحد مجموعة الحلول لكل متباينة.

إن تقاطع الفواصل الزمنية – مجموعات الحلول لهذه المتباينات – هو الحل لهذا النظام.

يمكن كتابة حل نظام من المتباينات في صورة متباينة أو في صورة فترة عددية

الأخطاء المطلقة والنسبية.

الخطأ المطلق(يُشار إليه بـ Δx) - وحدة الفرق بين القيم المعطاة والقيم التقريبية لرقم معين. Δkh= |س-س 0 |، حيث x هو رقم محدد، وx 0 هي قيمته التقريبية.

خطأ نسبي(يُشار إليه بـ α) هو معامل نسبة الخطأ المطلق إلى القيمة التقريبية للرقم. α=|Δx/x 0 |، حيث Δ× هو الخطأ المطلق للرقم x، و x 0 هو قيمته التقريبية.

الصفحة 1 من 1 1

الخيار رقم: 3329663

عند إكمال المهام من 1 إلى 23، تكون الإجابة رقمًا واحدًا يتوافق مع رقم الإجابة الصحيحة، أو رقمًا، أو سلسلة من الحروف أو الأرقام. يجب أن تكون الإجابة مكتوبة بدون مسافات أو أي أحرف إضافية.

إذا تم إعطاء الخيار من قبل المعلم، فيمكنك إدخال إجابات المهام في الجزء ج أو تحميلها على النظام بأحد تنسيقات الرسوم. سيرى المعلم نتائج إكمال المهام في الجزء ب وسيكون قادرًا على تقييم الإجابات التي تم تحميلها للجزء ج. وستظهر الدرجات التي حددها المعلم في إحصائياتك.
نسخة للطباعة والنسخ في برنامج MS Word

1. مربع عليه،
2. أضف 1.
الأول يقوم بتربيع الرقم الموجود على الشاشة، والثاني يزيده بمقدار 1. اكتب ترتيب الأوامر في برنامج يحول الرقم 2 إلى الرقم 36 ولا يحتوي على أكثر من 4 أوامر. أدخل أرقام الأوامر فقط. (على سبيل المثال، البرنامج 2122 - هذا البرنامج
أضف 1
مربع عليه
أضف 1
أضف 1.
يقوم هذا البرنامج بتحويل الرقم 1 إلى الرقم 6.
إجابة:

1. أضف 1،
2. اضرب في 5.
الأول يزيد الرقم الموجود على الشاشة بمقدار 1، والثاني يضاعفه.
على سبيل المثال، يحدد البرنامج 121 التسلسل التالي للأوامر:
أضف 1
اضرب ب 5
أضف 1
يقوم هذا البرنامج، على سبيل المثال، بتحويل الرقم 7 إلى الرقم 41.
اكتب في إجابتك برنامجا لا يحتوي على أكثر من خمسة أوامر ويقوم بتحويل الرقم 2 إلى الرقم 280.
إجابة:

إدخال الخوارزمية هو رقم طبيعي ن. تقوم الخوارزمية بإنشاء رقم جديد منه ربالطريقة الآتية.
1. إنشاء رمز ثنائي لرقم ن.
2. يضاف رقمان آخران إلى هذا المدخل الموجود على اليمين وفقا للقاعدة التالية:
أ) تتم إضافة كافة أرقام الترميز الثنائي، ويتم إضافة باقي قسمة المجموع على 2 إلى نهاية الرقم (على اليمين). على سبيل المثال، يتم تحويل السجل 10000 إلى السجل 100001؛
ب) يتم تنفيذ نفس الإجراءات على هذا الإدخال - تتم إضافة باقي قسمة مجموع الأرقام على 2 إلى اليمين.
السجل الذي يتم الحصول عليه بهذه الطريقة (يحتوي على رقمين أكثر مما هو موجود في سجل الرقم الأصلي). ن) هو التمثيل الثنائي للرقم المطلوب ر.
أدخل أصغر رقم نوالتي تكون نتيجة الخوارزمية لها أكبر من 97. في الإجابة، اكتب هذا الرقم بنظام الأرقام العشري.
إجابة:

يتلقى الجهاز رقمًا مكونًا من خمسة أرقام كمدخل. وبناء على هذا الرقم يتم إنشاء رقم جديد وفقا للقواعد التالية.
1. يتم إضافة الرقم الأول والثالث والخامس وكذلك الرقم الثاني والرابع بشكل منفصل.
2. يتم كتابة الرقمين الناتجين واحدًا تلو الآخر بترتيب غير تنازلي دون فواصل.
مثال.الرقم الأصلي: 63179 المجموع: 6 + 1 + 9 = 16؛ 3 + 7 = 10. النتيجة: 1016.
تحديد أصغر رقم عند معالجته بواسطة الآلة للحصول على النتيجة 621.
إجابة:

1. يتم ضرب الرقمين الأول والثاني وكذلك الرقمين الثاني والثالث بشكل منفصل.
2. يتم كتابة الرقمين الناتجين واحدًا تلو الآخر بترتيب غير تصاعدي دون فواصل.
مثال. الرقم الأصلي: 179. المنتجات: 1*7 = 7; 7*9 = 63. النتيجة: 637. حدد أصغر رقم، عند المعالجة تنتج الآلة النتيجة 205.
إجابة:

يتلقى الجهاز رقمًا مكونًا من أربعة أرقام كمدخل. وبناء على هذا الرقم يتم إنشاء رقم جديد وفقا للقواعد التالية:
1. يتم ضرب الرقم الأول والثاني وكذلك الرقم الثالث والرابع من الرقم الأصلي.
مثال. الرقم الأصلي: 2466. المنتجات: 2 × 4 = 8؛ 6 × 6 = 36.
النتيجة: 368.
حدد أصغر رقم، ونتيجة لذلك ستنتج الآلة الرقم 124.
إجابة:

تتكون الكلمة من حروف الأبجدية الروسية. ومن المعروف أن الكلمة يتم تشكيلها وفق القواعد التالية:
أ) لا توجد أحرف مكررة في الكلمة؛
ب) جميع حروف الكلمة تكون بالترتيب الأبجدي المباشر أو العكسي، وربما باستثناء الأول.
أي من الكلمات التالية تحقق جميع الشروط المذكورة؟
إجابة:

يتكون فنان Accord-4 من فريقين تم تخصيص أرقام لهما:
1. اطرح 1
2. اضرب في 4
بتنفيذ الأول منهما، يقوم Accord-4 بطرح 1 من الرقم الموجود على الشاشة، وبتنفيذ الثاني، يقوم بضرب هذا الرقم في 4. اكتب ترتيب الأوامر في برنامج لا يحتوي على أكثر من خمسة أوامر و تحويل الرقم 5 إلى الرقم 62.إذا كان هناك أكثر من برنامج واحد، فاكتب أيًا منهم.
في إجابتك، أشر إلى أرقام الأوامر فقط. نعم للبرنامج
اضرب بـ 4
عليك أن تكتب: 211. هذا البرنامج يحول، على سبيل المثال، الرقم 7 إلى الرقم 26.
إجابة:

يتكون مؤدي الآلة الحاسبة من فريقين، يتم تخصيص أرقام لهما:
1. اطرح 1
2. القسمة على 3
عند إجراء أولهما، تطرح الحاسبة 1 من الرقم الموجود على الشاشة، وعند إجراء الثاني، تقسمه على 3 (إذا كانت القسمة مستحيلة، يتم إيقاف تشغيل الحاسبة).
قم بتدوين ترتيب الأوامر في برنامج الحصول على الرقم 1 من الرقم 37، بحيث لا يحتوي على أكثر من 5 أوامر، مع الإشارة إلى أرقام الأوامر فقط.
(على سبيل المثال، البرنامج 21121 هو برنامج
القسمة على 3
القسمة على 3
هذا البرنامج، على سبيل المثال، يحول الرقم 60 إلى الرقم 5.)
إجابة:

نسيت ماشا كلمة المرور لبدء تشغيل الكمبيوتر، لكنها تذكرت خوارزمية الحصول عليها من سلسلة التلميحات "KBMAM9KBK": إذا تم استبدال جميع تسلسلات الأحرف "MAM" بـ "RP"، و"KBK" بـ "1212"، ثم تتم إزالة الأحرف الثلاثة الأخيرة من السلسلة الناتجة، ثم سيكون التسلسل الناتج هو كلمة المرور. تحديد كلمة المرور:
إجابة:

ودعت أنيا صديقتها ناتاشا للزيارة، لكنها لم تخبرها برمز القفل الرقمي لمدخلها، لكنها أرسلت الرسالة التالية: "في التسلسل 4، 1، 9، 3، 7، 5، من جميع الأرقام الموجودة". أكبر من 4، وطرح 3، ثم إزالة جميع الأرقام الفردية من التسلسل الناتج. وبعد إتمام الخطوات الموضحة في الرسالة، تلقت ناتاشا الكود التالي للقفل الرقمي:
4) 4, 1, 6, 3, 4, 2
إجابة:

نسيت Lyuba كلمة المرور لبدء تشغيل الكمبيوتر، لكنها تذكرت الخوارزمية للحصول عليها من الأحرف "QWER3QWER1" في سطر التلميح. إذا تم استبدال جميع تسلسلات أحرف "QWER" بـ "QQ"، وتمت إزالة مجموعات أحرف "3Q" من السلسلة الناتجة، فسيكون التسلسل الناتج هو كلمة المرور:
إجابة:

لدى المؤدي ThreeFive فريقان، تم تخصيص أرقام لهما:
1. أضف 3،
2. اضرب في 5.
بإكمال أولهما، يضيف ThreeFive 3 إلى الرقم الموجود على الشاشة، وبإكمال الثاني، يقوم بضرب هذا الرقم بـ 5.
- كتابة ترتيب الأوامر في برنامج لا يحتوي على أكثر من 5 أوامر وتحويل الرقم 1 إلى الرقم 515.
في إجابتك، أشر إلى أرقام الأمر فقط، ولا تضع مسافات بين الأرقام.
نعم للبرنامج
اضرب ب 5
أضف 3
أضف 3
عليك أن تكتب: 211. هذا البرنامج يحول، على سبيل المثال، الرقم 4 إلى الرقم 26.
إجابة:

لدى المؤدي Kvadrator فريقان تم تخصيص أرقام لهما:
1. أضف 1،
2. مربعه.
أول هذه الأوامر يزيد الرقم الموجود على الشاشة بمقدار 1، والثاني - يقوم بتربيعه. برنامج المؤدي Quadrator عبارة عن سلسلة من أرقام الأوامر.
على سبيل المثال، 21211 هو برنامج
مربع عليه
أضف 1
مربع عليه
أضف 1
أضف 1
يقوم هذا البرنامج بتحويل الرقم 2 إلى الرقم 27.
اكتب برنامج يحول الرقم 2 إلى الرقم 102 ولا يحتوي على أكثر من 6 أوامر. إذا كان هناك أكثر من برنامج واحد، فاكتب أيًا منهم.
إجابة:

يتلقى الجهاز رقمًا مكونًا من ثلاثة أرقام كمدخل. وبناء على هذا الرقم يتم إنشاء رقم جديد وفقا للقواعد التالية.
1. تتم إضافة الرقم الأول والثاني وكذلك الرقم الثاني والثالث من الرقم الأصلي.
2. تتم كتابة الرقمين الناتجين واحدًا تلو الآخر بترتيب تنازلي (بدون فواصل).
مثال. الرقم الأصلي: 348. المجموع: 3 + 4 = 7؛ 4 + 8 = 12. النتيجة: 127. حدد أصغر رقم، ونتيجة لذلك ستنتج الآلة الرقم 1412.
إجابة:

يتلقى الجهاز رقمًا ثمانيًا مكونًا من أربعة أرقام كمدخل. وبناء على هذا الرقم يتم إنشاء رقم جديد وفقا للقواعد التالية.
1. تتم إضافة الرقم الأول والثاني وكذلك الرقم الثالث والرابع.
2. تتم كتابة الرقمين الناتجين في نظام الأرقام الثماني واحدًا تلو الآخر بترتيب تصاعدي (بدون فواصل).
مثال. الرقم الأصلي: 4531. المجاميع: 4+5 = 9؛ 3+1 = 4. النتيجة: 49. حدد أي من الأرقام التالية يمكن أن يكون نتيجة الآلة.
إجابة:

في بعض أنظمة المعلومات، يتم ترميز المعلومات بكلمات ثنائية مكونة من ستة بتات. عند نقل البيانات، يكون التشويه ممكنًا، لذلك تتم إضافة رقم سابع (تحقق) في نهاية كل كلمة بحيث يكون مجموع أرقام الكلمة الجديدة، بما في ذلك رقم التحقق، متساويًا. على سبيل المثال، سيتم إضافة 0 إلى يمين الكلمة 110011، وسيتم إضافة 1 إلى يمين الكلمة 101100.
بعد تلقي الكلمة، تتم معالجتها. في هذه الحالة، يتم التحقق من مجموع أرقامه، بما في ذلك رقم التحكم. إذا كان فرديًا، فهذا يعني أنه حدث فشل عند إرسال هذه الكلمة، ويتم استبداله تلقائيًا بالكلمة المحجوزة 0000000. وإذا كان زوجيًا، فهذا يعني أنه لم يكن هناك فشل أو كان هناك أكثر من فشل. في هذه الحالة، لا يتم تغيير الكلمة المقبولة.
رسالة أصلية
1100101 0001001 0011000
تم اعتماده ك
1100111 0001100 0011000
كيف ستبدو الرسالة المستلمة بعد معالجتها؟
1) 0000000 0001100 0011000
2) 0000000 0000000 0011000
3) 1100111 0000000 0011000
4) 1100111 0001100 0000000
إجابة:

يحتوي المؤدي Calculator1 على فريقين، تم تخصيص أرقام لهما:
1. أضف 1،
2. اضرب في 5.
من خلال تنفيذ الإجراء الأول، تضيف الآلة الحاسبة 1 الرقم الموجود على الشاشة، ومن خلال تنفيذ الإجراء الثاني، تقوم بضربه في 5.
برنامج هذا المنفذ عبارة عن سلسلة من أرقام الأوامر. على سبيل المثال، يحدد البرنامج 121 التسلسل التالي للأوامر:
أضف 1,
ضرب 5,
أضف 1,
هذا البرنامج يحول مثلا الرقم 7 إلى الرقم 41. اكتب في إجابتك برنامجا لا يحتوي على أكثر من ستة أوامر ويقوم بتحويل الرقم 1 إلى الرقم 77.
إجابة:

يحتوي منفذ CALCULATOR على أمرين فقط، تم تعيين أرقام لهما:
2. اضرب في 2
من خلال تنفيذ الأمر رقم 1، تقوم الآلة الحاسبة بالطرح من الرقم الموجود على الشاشة 1، ومن خلال تنفيذ الأمر
الأمر رقم 2، ضرب الرقم الموجود على الشاشة بـ 2. اكتب برنامجًا يحتوي على
أكثر من 4 فرق، والتي من الرقم 3 تحصل على الرقم 16. أشر فقط إلى أرقام الفريق.
فمثلا البرنامج 21211 هو برنامج:
اضرب ب 2
اضرب ب 2
الذي يحول الرقم 1 إلى 0.
إجابة:

لقد نسيت Vasya كلمة المرور لنظام التشغيل Windows XP، لكنها تذكرت خوارزمية الحصول عليها من سلسلة التلميحات "B265C42GC4": إذا تم استبدال جميع تسلسلات الأحرف "C4" بـ "F16"، ثم تتم إزالة جميع الأرقام المكونة من ثلاثة أرقام من الرقم الناتج. السلسلة، فإن التسلسل الناتج سيكون كلمة المرور. تحديد كلمة المرور:
إجابة:

لدى المؤدي TwoFive فريقان، تم تخصيص أرقام لهما:
1. اطرح 2
2. القسمة على 5
من خلال تنفيذ الأول، يقوم TwoFive بطرح 2 من الرقم الموجود على الشاشة، ومن خلال إجراء الثاني، فإنه يقسم هذا الرقم على 5 (إذا كانت القسمة مستحيلة تمامًا، فسيتم إيقاف تشغيل TwoFive).
- كتابة ترتيب الأوامر في برنامج لا يحتوي على أكثر من 5 أوامر وتحويل الرقم 152 إلى الرقم 2.
في إجابتك، أشر إلى أرقام الأمر فقط، ولا تضع مسافات بين الأرقام. نعم للبرنامج
القسمة على 5
تحتاج إلى كتابة 211. هذا البرنامج يحول، على سبيل المثال، الرقم 55 إلى الرقم 7.
إجابة:

في بعض أنظمة المعلومات، يتم ترميز المعلومات بكلمات ثنائية مكونة من ستة بتات. عند نقل البيانات، يكون التشويه ممكنًا، لذلك تتم إضافة رقم سابع (تحقق) في نهاية كل كلمة بحيث يكون مجموع أرقام الكلمة الجديدة، بما في ذلك رقم التحقق، متساويًا. على سبيل المثال، سيتم إضافة 0 إلى يمين الكلمة 110011، وسيتم إضافة 1 إلى الكلمة 101100. وبعد استلام الكلمة، تتم معالجتها. في هذه الحالة، يتم التحقق من مجموع أرقامه، بما في ذلك رقم التحكم. إذا كان فرديًا، فهذا يعني أنه حدث فشل عند إرسال هذه الكلمة، ويتم استبداله تلقائيًا بالكلمة المحجوزة 0000000. وإذا كان زوجيًا، فهذا يعني أنه لم يكن هناك فشل أو كان هناك أكثر من فشل. في هذه الحالة، لا يتم تغيير الكلمة المقبولة. تم استلام الرسالة الأصلية 1100101 0001001 1111000 على أنها 1100111 0001100 1111000. كيف ستبدو الرسالة المستلمة بعد معالجتها؟
1) 0000000 0001100 1111000
2) 0000000 0000000 1111000
3) 1100101 0000000 1111000
4) 1100111 0001100 0000000
إجابة:

دعا ميتيا صديقه فاسيا لزيارته، لكنه لم يخبره برمز القفل الرقمي لمدخله، لكنه أرسل الرسالة التالية: "في التسلسل 4، 1، 8، 2، 6، اقسم جميع الأرقام الأكبر من 3 على 2، ثم قم بإزالتها من التسلسل الناتج جميع الأرقام الزوجية." بعد الانتهاء من الخطوات الموضحة في الرسالة، تلقى Vasya الكود التالي للقفل الرقمي:
إجابة:

نسي أمين الصندوق كلمة المرور الخاصة بالخزنة، لكنه تذكر خوارزمية الحصول عليها من السلسلة "AYY1YABC55": إذا قمت بإزالة سلسلة الأحرف "YY" و"ABC" من السلسلة بالتتابع، ثم قمت بتبديل الحرفين A وY ، فإن التسلسل الناتج سيكون كلمة المرور. تحديد كلمة مرور.

أسرار الضرب السريعوالانقسامات

1. الضرب والقسمة على 5، 50، 500، إلخ.

يتم استبدال الضرب في 5، 50، 500، وما إلى ذلك بالضرب في 10، 100، 1000، وما إلى ذلك، يليه القسمة على 2 للمنتج الناتج (أو القسمة على 2 والضرب في 10، 100، 1000، وما إلى ذلك). 100:2، الخ.)

54*5=(54*10):2=540:2=*5 = (54:2)*10= 270).

لتقسيم رقم على 5.50، 500، وما إلى ذلك، عليك قسمة هذا الرقم على 10،100،1000، وما إلى ذلك، وضربه في 2.

10800: 50 = 10800:100*2 =216

10800: 50 = 10800*2:100 =216

2. الضرب والقسمة على 25، 250، 2500، إلخ.

يتم استبدال الضرب في 25، 250، 2500، إلخ، بالضرب في 100، 1000، 10000، إلخ، ويتم قسمة النتيجة على = 100: 4)

542*25=(542*100):4=13*25=248: 4*100 = 6200)

(إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 4، فإن الضرب لا يستغرق وقتًا؛ ويمكن لأي طالب القيام بذلك).

لتقسيم رقم على 25، 25،250،2500، وما إلى ذلك، يجب قسمة هذا الرقم على 100،1000،10000، وما إلى ذلك وضربه في 4

31200: 25 = 31200:100*4 = 1248.

3. الضرب والقسمة على 125، 1250، 12500، إلخ.

يتم استبدال الضرب في 125، 1250، الخ، بالضرب في 1000، 10000، الخ ويجب قسمة الناتج الناتج على = 1000: 8)

72*125=72*1000:8=9000

إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 8، فقم أولاً بالقسمة على 8، ثم اضرب في 1000، 10000، وما إلى ذلك.

48*125 = 48:8*1000 = 6000

لتقسيم رقم على 125، 1250، وما إلى ذلك، عليك قسمة هذا الرقم على 1000، 10000، وما إلى ذلك، ثم الضرب في 8.

7000: 125 = 7000:1000*8 = 56.

4. الضرب والقسمة على 75، 750، الخ.

لضرب رقم في 75، 750، وما إلى ذلك، تحتاج إلى قسمة هذا الرقم على 4 والضرب في 300، 3000، وما إلى ذلك (75 = 300: 4)

48* 75 = 48:4*300 = 3600

لتقسيم رقم على 75,750، وما إلى ذلك، عليك قسمة هذا الرقم على 300، و3000، وما إلى ذلك، والضرب في 4

7200: 75 = 7200: 300*4 = 96.

5. اضرب في 15، 150.

عند الضرب في 15، إذا كان الرقم فرديًا، اضربه في 10 وأضف نصف الناتج الناتج:

23x15=23x(10+5)=230+115=345;

إذا كان الرقم زوجيًا، فإننا نتصرف بشكل أسهل - نضيف نصفه إلى الرقم ونضرب النتيجة في 10:

18x15=(18+9)x10=27x10=270.

عند ضرب رقم في 150، نستخدم نفس التقنية ونضرب النتيجة في 10، حيث أن 150 = 15x10:

24x150=((24+12)x10)x10=(36x10)x10=3600.

بنفس الطريقة، اضرب بسرعة رقمًا مكونًا من رقمين (خصوصًا الرقم الزوجي) في رقم مكون من رقمين ينتهي بالرقم 5:

24*35 = 24*(30 +5) = 24*30+24:2*10 = 720+120=840.

6. ضرب الأعداد المكونة من رقمين أقل من 20.

إلى أحد الأرقام تحتاج إلى إضافة عدد وحدات الآخر، وضرب هذا المبلغ في 10 وإضافة إليه منتج وحدات هذه الأرقام:

18x16=(18+6)x10+8x6= 240+48=288.

باستخدام الطريقة الموضحة، يمكنك ضرب الأعداد المكونة من رقمين أقل من 20، بالإضافة إلى الأعداد التي لها نفس عدد العشرات: 23x24 = (23+4)x20+4x6=27x20+12=540+12=562.

توضيح:

(10+أ)*(10+ب) = 100 + 10أ + 10ب + أ*ب = 10*(10+أ+ب) + أ*ب = 10*((10+أ)+ب) + أ* ب.

7. ضرب عدد مكون من رقمين في 101.

ولعل أبسط قاعدة: خصص رقمك لنفسك. اكتمل الضرب.
مثال:

57 * 101 = 5> 5757

شرح: (10أ+ب)*101 = 1010أ + 101ب = 1000أ + 100ب + 10أ + ب
ويتم الضرب بنفس الطريقة أرقام مكونة من ثلاثة أرقامبمقدار 1001، وأربعة أرقام بمقدار 10001، وما إلى ذلك.

8. ضرب الرقم في 11.

يجب عليك "فصل" أرقام الرقم المضروب في 11، وإدخال مجموع هذه الأرقام في الفجوة الناتجة، وإذا كان هذا المجموع أكثر من 9، كما هو الحال مع الإضافة العادية، يجب نقل الوحدة إلى أعلى رقم.

مثال:
34 * 11 = 374، بما أن 3 + 4 = 7، فإننا نضع السبعة بين الثلاثة والأربعة
68 * 11 = 748، بما أن 6 + 8 = 14، فإننا نضع الأربعة بين السبعة (ستة زائد الواحد المنقول) وثمانية

توضيح:
10 أ + ب - عدد التعسفيحيث أ هو عدد العشرات، ب هو عدد الوحدات.

لدينا:
(10أ+ب)*11 = 10أ*11 + ب*11 = 110أ + 11ب = 100أ + 10أ + 10ب + ب = 100أ + 10*(أ+ب) + ب،
أين لدينا أمئات, أ + بعشرات و بوحدات. أي أن النتيجة تحتوي على أ*(أ+1)مئات وعشرتين وخمسة آحاد.

نقوم بتركيب المنتج: 5 وحدات، 5+2=7 عشرات، 2+6=8 مئات، 6+3=9 آلاف، 3+4=7 عشرات الآلاف، 4 مئات الآلاف.

43625*11=479875.

عندما يكون المضاعف بين 1000 و10000 (على سبيل المثال، 7543)، يمكنك استخدام الطريقة التالية للضرب في 11. أولاً، قم بتقسيم المضاعف 7543 إلى وجوه مكونة من رقمين، ثم ابحث عن حاصل ضرب الوجه الأول (75) على اليسار بـ 11، كما هو موضح في الضرب رقم مكون من رقمين في 11. الرقم الناتج (75*11=725) سيعطي مئات الناتج، حيث تم ضرب مئات الضرب. ثم عليك أن تضرب الجانب الثاني (43) في 11، فنحصل على وحدات المنتج: 43*11=473. وأخيرًا، نجمع المنتجات الناتجة: 825 مائة. +473=82739. وبالتالي 7543*11=82739.

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر: 8324*11.

83`24؛ 83 مائة *11=913 خلية.

24*11=264; 913 خلية +264=91564. وبالتالي، 8324*11=91564.

9. الضرب في 22، 33، ...، 99.

لضرب عدد مكون من رقمين 22.33، ...,99، يتعين عليك تمثيل هذا العامل كحاصل ضرب عدد مكون من رقم واحد في 11. أولًا اضرب في رقم واحدثم في الساعة 11:

15 *33= 15*3*11=45*11=495.

10. ضرب الأعداد المكونة من رقمين في 111.

أولاً، لنأخذ رقمًا مضاعفًا وعددًا مكونًا من رقمين يكون مجموع أرقامه أقل من 10. دعنا نوضح ذلك بأمثلة عددية:

بما أن 111=100+10+1، إذن 45*111=45*(100+10+1). عند ضرب عدد مكون من رقمين، مجموع أرقامه أقل من 10، في 111، من الضروري إدخال ضعف مجموع الأرقام (أي الأرقام التي تمثلها) من عشراته ووحداته 4+ 5=9 في المنتصف بين الأرقام. 4500+450+45=4995. وبالتالي 45*111=4995. عندما يكون مجموع أرقام المضاعف المكون من رقمين أكبر من أو يساوي 10، على سبيل المثال 68*11، تحتاج إلى إضافة أرقام المضاعف (6+8) وإدراج وحدتين من المجموع الناتج في الوسط بين الرقمين 6 و 8. وأخيرًا أضف 1100 إلى الرقم المؤلف 6448، وبالتالي 68*111=7548.

11. اضرب في 37.

عند ضرب رقم في 37، إذا كان الرقم المعطى من مضاعفات 3، يتم قسمته على 3 وضربه في 111.

27*37=(27:3)*(37*3)=9*111=999

إذا كان الرقم المحدد ليس من مضاعفات 3، فسيتم طرح 37 من المنتج أو إضافة 37 إلى المنتج.

23*37=(24-1)*37=(24:3)*(37*3)-37=888-37=851.

12. قم بتربيع أي رقم مكون من رقمين.

إذا حفظت مربعات جميع الأرقام من 1 إلى 25، فمن السهل العثور على مربع أي رقم مكون من رقمين أكبر من 25.

من أجل العثور على مربع أي رقم مكون من رقمين، تحتاج إلى ضرب الفرق بين هذا الرقم و 25 في 100 وإلى المنتج الناتج أضف مربع مكمل الرقم المحدد إلى 50 أو مربع فائضه 50.

لنلقي نظرة على مثال:

372=12*100+132=1200+169=1369

(M–25)*100+ (50-M) 2=100M-2500+2500–100M+M2=M2 .

13. ضرب الأعداد القريبة من 100.

عند زيادة (تناقص) أحد العوامل بعدة وحدات، اضرب العدد الصحيح الناتج والوحدات المضافة (المطروحة) بعامل آخر واطرح المنتج الثاني من المنتج الأول (أضف المنتجات الناتجة)

98∙8=(100-2) ∙8=100∙8-2∙8=800-16=784.

تتيح لك هذه التقنية المتمثلة في تمثيل أحد العوامل كفرق الضرب بسهولة في 9، 99، 999.

للقيام بذلك، ما عليك سوى ضرب الرقم في 1000) وطرح الرقم الذي تم ضربه من العدد الصحيح الناتج: 154x9=154x10-154==1386.

ولكن من الأسهل تعريف الأطفال بالقاعدة - "لضرب رقم في 9 (99، 999)، يكفي أن نطرح من هذا الرقم عدد عشراته (مئات، آلاف)، زيادة بمقدار واحد، وإلى يضيف الفرق الناتج إضافة رقم وحداته إلى 10 (مكملاً للرقم المكون من آخر رقمين (ثلاثة) من هذا الرقم):

154x9=(154-16)x10+(10-4)=138x10+6=1380+6=1386

14. ضرب الأعداد المكونة من رقمين والتي مجموع وحداتها يصل إلى 10.

دع اثنين يعطى أرقام مزدوجة، ومجموعها 10:

م=10م + ن، ك=10أ + 10 – ن. دعونا نؤلف عملهم.

م * ك = (10 م + ن) * (10 أ + 10 - ن) = 100 ص + 100 م - 10 مليون + 10 أن + +10 ن - ن2 = م * (أ + 1) * 100 + ن * (10 أ + 10 - ن) – 10mn = (10m) * * (10 * (أ + 1)) + ن * (ك – 10م).

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

17 * 23= 10 * 30 + 7 * 13= 300 + 91= 391;

33 * 67= 30 * 70 + 3 * 37= 2100 + 111= 2211.

15 . الضرب في عدد مكتوب بالتسعات فقط.

من أجل العثور على منتج رقم مكتوب فقط بالتسعات بواسطة رقم يحتوي على نفس عدد الأرقام، تحتاج إلى طرح واحد من العامل وإضافة رقم آخر إلى الرقم الناتج، وجميع أرقامه تكمل أرقام الرقم الناتج المحدد إلى 9.

137 * 999= 136 863;

ويظهر وجود مثل هذه الطريقة من خلال الطريقة التالية لحل الأمثلة المذكورة: 8 * 9 = 8 * (10 – 1) = 80 – 8 = 72،

46 * 99= 46 * (100 – 1)= 4600 – 54= 4554.

16. تربيع رقم ينتهي بالرقم 5.

اضرب عدد العشرات في الرقم التاليعشرات وإضافة 25.

15*15 = 225 = 10*20+ 25 (أو 1*2 وأضف 25 إلى اليمين)

35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 وأضف 25 إلى اليمين)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 وأضف 25 إلى اليمين)