الشكل المثلثي لعدد مركب
يخطط
1. التمثيل الهندسي للأعداد المركبة.
2. التدوين المثلثي للأعداد المركبة.
3. الإجراءات على الأعداد المركبة في شكل مثلثي.
التمثيل الهندسي للأعداد المركبة.
أ) يتم تمثيل الأعداد المركبة بنقاط على المستوى وفقا للقاعدة التالية: أ + ثنائية = م ( أ ; ب ) (رسم بياني 1).
الصورة 1
ب) يمكن تمثيل العدد المركب بمتجه يبدأ من النقطةعن والنهاية عند نقطة معينة (الشكل 2).
الشكل 2
مثال 7. قم ببناء نقاط تمثل الأعداد المركبة:1; - أنا ; - 1 + أنا ; 2 – 3 أنا (تين. 3).
الشكل 3
التدوين المثلثي للأعداد المركبة.
عدد مركبض = أ + ثنائية يمكن تحديدها باستخدام ناقل نصف القطر مع الإحداثيات( أ ; ب ) (الشكل 4).
الشكل 4
تعريف . طول المتجهات ، يمثل عددا مركباض ، يسمى معامل هذا الرقم ويشار إليه أوص .
لأي عدد مركبض الوحدة النمطية لهاص = | ض | يتم تحديده بشكل فريد من خلال الصيغة .
تعريف . مقدار الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي والمتجه ، التي تمثل عددًا مركبًا، تسمى وسيطة هذا العدد المركب ويتم الإشارة إليهاأ rg ض أوφ .
حجة العدد المركبض = 0 غير محدد. حجة العدد المركبض≠ 0 - كمية متعددة القيم ويتم تحديدها خلال فترة معينة2πك (ك = 0؛ - 1؛ 1؛ - 2؛ 2؛ …): أرج ض = الارجنتين ض + 2πك ، أينالارجنتين ض – القيمة الرئيسية للوسيطة الموجودة في الفاصل الزمني(-π; π] ، إنه-π < الارجنتين ض ≤ π (في بعض الأحيان يتم اعتبار القيمة التي تنتمي إلى الفاصل الزمني هي القيمة الرئيسية للوسيطة .
هذه الصيغة متىص =1 غالبًا ما تسمى صيغة Moivre:
(كوس φ + أنا خطيئة φ) ن = cos (nφ) + i sin (nφ)، n N .
مثال 11: احسب(1 + أنا ) 100 .
لنكتب عددًا مركبًا1 + أنا في شكل مثلثي.
أ = 1، ب = 1 .
كوس φ = ، خطيئة φ = , φ = .
(1+ط) 100 = [ (كوس + أنا أخطئ )] 100 = ( ) 100 (كوس 100 + أنا الخطيئة ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .
4) استخراج الجذر التربيعي لعدد مركب.
عند أخذ الجذر التربيعي لعدد مركبأ + ثنائية لدينا حالتان:
لوب
>س
، الذي - التي 
;
3.1. الإحداثيات القطبية
كثيرا ما تستخدم على متن الطائرة نظام الإحداثيات القطبية . يتم تعريفه إذا تم إعطاء نقطة O، تسمى عمودوالشعاع المنبعث من القطب (بالنسبة لنا هذا هو المحور الثور) – المحور القطبي.يتم تحديد موضع النقطة M برقمين: نصف القطر (أو ناقل نصف القطر) والزاوية φ بين المحور القطبي والمتجه.تسمى الزاوية φ زاوية قطبية تقاس بالراديان وتحسب عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور القطبي.
يتم تحديد موضع نقطة ما في نظام الإحداثيات القطبية من خلال زوج مرتب من الأرقام (r; φ). عند القطب ص = 0،وφ غير محدد. لجميع النقاط الأخرى ص > 0،ويتم تعريف φ حتى مصطلح مضاعف لـ 2π. في هذه الحالة، ترتبط أزواج الأرقام (r; φ) و (r 1 ; φ 1) بنفس النقطة إذا .
لنظام الإحداثيات مستطيلة xOyيمكن التعبير بسهولة عن الإحداثيات الديكارتية لنقطة ما بدلالة إحداثياتها القطبية على النحو التالي:
3.2. التفسير الهندسي للعدد المركب
دعونا نفكر في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل على المستوى xOy.
أي عدد مركب z=(a, b) يرتبط بنقطة على المستوى بإحداثيات ( س، ص)، أين الإحداثيات س = أ، أي الجزء الحقيقي من العدد المركب، والإحداثي y = bi هو الجزء التخيلي.
المستوى الذي نقاطه أعداد مركبة هو مستوى مركب.
في الشكل العدد المركب ض = (أ، ب)يتوافق مع نقطة م (س، ص).
يمارس.رسم الأعداد المركبة على المستوى الإحداثي:
3.3. الشكل المثلثي لعدد مركب
العدد المركب الموجود على المستوى له إحداثيات نقطة م (س؛ ص). حيث:
كتابة عدد مركب 
- الشكل المثلثي لعدد مركب.
يسمى الرقم r وحدة
عدد مركب ضويتم تعيينه. المعامل هو عدد حقيقي غير سالب. ل 
.
المعامل هو صفر إذا وفقط إذا ض = 0، أي أ = ب = 0.
الرقم φ يسمى حجة ض ويتم تعيينه. يتم تعريف الوسيطة z بشكل غامض، مثل الزاوية القطبية في نظام الإحداثيات القطبية، أي حتى حد مضاعف لـ 2π.
ثم نقبل: حيث φ هي أصغر قيمة للوسيطة. من الواضح أن
.
عند دراسة الموضوع بمزيد من التعمق، يتم تقديم حجة مساعدة φ*، مثل ذلك
مثال 1. أوجد الصورة المثلثية للعدد المركب.
حل. 1) النظر في الوحدة: ;
2) البحث عن φ : 
;
3) الشكل المثلثي: 
مثال 2.أوجد الصورة الجبرية للعدد المركب 
.
يكفي هنا استبدال قيم الدوال المثلثية وتحويل التعبير:
مثال 3.أوجد معامل ووسيطة العدد المركب؛
1) 
;
2) ; φ - في 4 أرباع:
3.4. العمليات على الأعداد المركبة في الشكل المثلثي
· جمع وطرحمن الأفضل التعامل مع الأعداد المركبة في صورة جبرية:
· عمليه الضرب– باستخدام التحويلات المثلثية البسيطة يمكن إثبات ذلك عند الضرب، يتم ضرب وحدات الأرقام، وتضاف الوسائط: ;
2.3. الشكل المثلثي للأعداد المركبة
دع المتجه يتم تحديده على المستوى المركب بالرقم.
دعونا نشير بـ φ إلى الزاوية بين نصف المحور الموجب للثور والمتجه (تعتبر الزاوية φ موجبة إذا تم قياسها عكس اتجاه عقارب الساعة، وسالبة بخلاف ذلك).
دعونا نشير إلى طول المتجه بواسطة r. ثم . ونشير أيضا
كتابة عدد مركب غير الصفر z على الصورة
يسمى الشكل المثلثي للرقم المركب z. الرقم r يسمى معامل الرقم المركب z، والرقم φ يسمى وسيطة هذا الرقم المركب ويشار إليه بـ Arg z.
الصورة المثلثية لكتابة العدد المركب - (صيغة أويلر) - الصورة الأسية لكتابة العدد المركب:
يحتوي الرقم المركب z على عدد لا نهائي من الوسائط: إذا كانت φ0 هي أي وسيطة للرقم z، فيمكن العثور على جميع الوسائط الأخرى باستخدام الصيغة
بالنسبة للعدد المركب، لم يتم تعريف الوسيطة والشكل المثلثي.
وبالتالي، فإن وسيطة العدد المركب غير الصفري هي أي حل لنظام المعادلات:
(3)
القيمة φ من وسيطة الرقم المركب z، التي تحقق عدم المساواة، تسمى القيمة الرئيسية ويشار إليها بالوسيطة z.
ترتبط الوسيطتان Arg z وarg z بـ
, (4)
الصيغة (5) هي نتيجة للنظام (3)، وبالتالي فإن جميع حجج الرقم المركب تحقق المساواة (5)، ولكن ليست كل الحلول φ للمعادلة (5) هي حجج الرقم z.
تم العثور على القيمة الرئيسية لوسيطة الرقم المركب غير الصفري وفقًا للصيغ:
صيغ ضرب وقسمة الأعداد المركبة في الصورة المثلثية هي كما يلي:
. (7)
عند رفع عدد مركب إلى قوة طبيعية، يتم استخدام صيغة Moivre:
عند استخراج جذر عدد مركب، يتم استخدام الصيغة:
, (9)
حيث ك=0، 1، 2، …، ن-1.
المشكلة 54. احسب أين .
دعونا نقدم الحل لهذا التعبير في الصورة الأسية لكتابة عدد مركب: .
اذا ثم.
ثم ، 
. لذلك إذن 
و 
، أين .
إجابة: ، في .
المسألة 55. اكتب الأعداد المركبة في صورة مثلثية:
أ) ؛ ب) ؛ الخامس) ؛ ز) ؛ د) ؛ ه) 
; و) .
بما أن الصورة المثلثية للعدد المركب هي :
أ) في العدد المركب : .
,
لهذا 
ب) 
، أين ،
ز) 
، أين ،
ه) 
.
و) 
، أ 
، الذي - التي .
لهذا 
إجابة: 
; 
4; 
; 
; 
; 
; 
.
المسألة 56. أوجد الصورة المثلثية للرقم المركب
.
يترك ، 
.
ثم ، 
, .
منذ و 
، ، ثم و
لذلك، لذلك
إجابة: 
، أين .
المسألة 57. باستخدام الصورة المثلثية للرقم المركب، قم بتنفيذ الإجراءات التالية: .
دعونا نتخيل الأرقام و 
في شكل مثلثي.
1) حيث 
ثم
أوجد قيمة الوسيطة الرئيسية:
دعونا نستبدل القيم وفي التعبير، نحصل على 
2) ، أين إذا 
ثم 
3) دعونا نجد حاصل القسمة
بافتراض أن k=0، 1، 2، نحصل على ثلاث قيم مختلفة للجذر المطلوب:
اذا ثم 
اذا ثم 
اذا ثم 
.
إجابة: :
:
: .
مسألة 58. دع ، ، ، تكون أعدادًا معقدة مختلفة و 
. اثبت ذلك
رقم 
هو عدد موجب حقيقي؛
ب) المساواة تعني:
أ) دعونا نمثل هذه الأعداد المركبة في شكل مثلثي:
لأن .
دعونا نتظاهر بذلك. ثم 
.
التعبير الأخير هو رقم موجب، لأن علامات الجيب تحتوي على أرقام من الفاصل الزمني.
منذ الرقم حقيقية وإيجابية. في الواقع، إذا كان a وb عددين مركبين وحقيقيين وأكبر من الصفر، فإن .
بجانب،
وبالتالي تثبت المساواة المطلوبة.
المسألة 59. اكتب الرقم في الصورة الجبرية 
.
لنمثل العدد على الصورة المثلثية ثم نوجد صورته الجبرية. لدينا 
. ل 
نحصل على النظام:
وهذا يعني المساواة: 
.
تطبيق صيغة Moivre: ,
نحن نحصل
تم العثور على الشكل المثلثي للرقم المحدد.
ولنكتب الآن هذا العدد على الصورة الجبرية:
.
إجابة: 
.
المسألة 60. أوجد المجموع ،،
دعونا نفكر في المبلغ
وبتطبيق صيغة موافر نجد
هذا المجموع هو مجموع الحدود n للتقدم الهندسي مع المقام 
والعضو الأول 
.
بتطبيق الصيغة لمجموع شروط هذا التقدم، لدينا
وبعزل الجزء التخيلي في التعبير الأخير نجد
وبعزل الجزء الحقيقي نحصل أيضاً على الصيغة التالية: , , .
المشكلة 61. أوجد المجموع:
أ) 
; ب) .
وفقا لصيغة نيوتن للأس، لدينا
باستخدام صيغة Moivre نجد:
بمساواة الأجزاء الحقيقية والتخيلية من التعبيرات الناتجة لـ ، لدينا:
و 
.
يمكن كتابة هذه الصيغ في شكل مضغوط على النحو التالي:
,
، أين هو الجزء الصحيح من الرقم أ.
المشكلة 62. ابحث عن الكل الذي .
بسبب ال 
ثم باستخدام الصيغة
, 
لاستخراج الجذور نحصل عليها 
,
لذلك، 
, 
,
, 
.
تقع النقاط المقابلة للأرقام عند رؤوس مربع منقوش في دائرة نصف قطرها 2 ومركزها عند النقطة (0؛0) (الشكل 30).
إجابة: , ,
, .
المشكلة 63. حل المعادلة 
, .
بالشرط؛ وبالتالي فإن هذه المعادلة ليس لها جذر، وبالتالي فهي مكافئة للمعادلة.
لكي يكون الرقم z هو جذر هذه المعادلة، يجب أن يكون الرقم هو الجذر النوني للرقم 1.
من هنا نستنتج أن المعادلة الأصلية لها جذور تتحدد من المتساويات
, 
هكذا، 
,
أي. 
,
إجابة: 
.
المشكلة 64. حل المعادلة في مجموعة الأعداد المركبة.
وبما أن الرقم ليس جذر هذه المعادلة، فإن هذه المعادلة تعادل المعادلة
أي المعادلة.
يتم الحصول على جميع جذور هذه المعادلة من الصيغة (انظر المشكلة 62):
; 
; ; 
; 
.
المسألة 65. ارسم على المستوى المركب مجموعة من النقاط التي تحقق المتباينات: 
. (الطريقة الثانية لحل المشكلة 45)
يترك 
.
الأعداد المركبة التي لها وحدات متطابقة تتوافق مع نقاط في المستوى تقع على دائرة مركزها نقطة الأصل، ومن هنا تنشأ المتراجحة 
إرضاء جميع نقاط الحلقة المفتوحة التي تحدها دوائر ذات مركز مشترك عند الأصل ونصف القطر و (الشكل 31). دع نقطة ما من المستوى المركب تتوافق مع الرقم w0. رقم 
، يحتوي على وحدة أصغر عدة مرات من الوحدة w0، ووسيطة أكبر من الوسيطة w0. من وجهة نظر هندسية، يمكن الحصول على النقطة المقابلة لـ w1 باستخدام تجانس مع مركز عند الأصل ومعامل، بالإضافة إلى الدوران بالنسبة إلى الأصل بزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة. ونتيجة لتطبيق هذين التحويلين على نقاط الحلقة (الشكل 31)، ستتحول الأخيرة إلى حلقة تحدها دوائر لها نفس المركز ونصف القطر 1 و 2 (الشكل 32).
تحويل 
تم تنفيذها باستخدام النقل المتوازي إلى المتجه. من خلال نقل الحلقة مع المركز عند النقطة إلى المتجه المحدد، نحصل على حلقة من نفس الحجم مع المركز عند النقطة (الشكل 22).
ربما تكون الطريقة المقترحة، التي تستخدم فكرة التحولات الهندسية للمستوى، أقل ملاءمة للوصف، ولكنها أنيقة وفعالة للغاية.
المشكلة 66. اكتشف إذا 
.
اسمحوا ، ثم و . المساواة الأولية سوف تتخذ الشكل 
. من شرط مساواة عددين مركبين نحصل على , , منها , . هكذا، .
لنكتب العدد z على الصورة المثلثية:
، أين ، . وباستخدام صيغة موافر نجد .
الجواب: – 64.
المسألة 67. بالنسبة للعدد المركب، ابحث عن جميع الأعداد المركبة مثل و و 
.
دعونا نمثل الرقم في شكل مثلثي:
. من هنا، . بالنسبة للرقم الذي نحصل عليه، يمكن أن يكون مساويًا أو.
في الحالة الأولى 
، في الثانية
.
إجابة: ، 
.
المشكلة 68. أوجد مجموع هذه الأرقام التي . يرجى الإشارة إلى أحد هذه الأرقام.
لاحظ أنه من صياغة المشكلة نفسها يمكن أن نفهم أنه يمكن إيجاد مجموع جذور المعادلة دون حساب الجذور نفسها. في الواقع، مجموع جذور المعادلة 
هو المعامل، مأخوذ بالعلامة المعاكسة (نظرية فييتا المعممة)، أي
الطلاب، وثائق المدرسة، يستخلصون استنتاجات حول درجة إتقان هذا المفهوم. تلخيص دراسة سمات التفكير الرياضي وعملية تكوين مفهوم العدد المركب. وصف الأساليب. التشخيص: المرحلة الأولى. أجريت المحادثة مع مدرس الرياضيات الذي يدرس الجبر والهندسة في الصف العاشر. المحادثة جرت بعد مرور بعض الوقت منذ بدايتها..
الرنين" (!)) والذي يتضمن أيضًا تقييمًا لسلوك الفرد. 4. تقييم نقدي لفهم الفرد للموقف (الشكوك). 5. أخيرًا، استخدام توصيات من علم النفس القانوني (يأخذ المحامي في الاعتبار العوامل النفسية جوانب الأعمال المهنية التي يتم تنفيذها - الاستعداد النفسي المهني).دعونا الآن نتناول التحليل النفسي للوقائع القانونية...
رياضيات الاستبدال المثلثي واختبار فعالية منهجية التدريس المطورة. مراحل العمل: 1. تطوير مقرر اختياري حول موضوع: "تطبيق الاستبدال المثلثي لحل المسائل الجبرية" مع الطلاب في فصول الرياضيات المتقدمة. 2. إجراء المقرر الاختياري المطور. 3. إجراء الاختبار التشخيصي...
تهدف المهام المعرفية فقط إلى استكمال الوسائل التعليمية الموجودة ويجب أن تكون في مزيج مناسب مع جميع الوسائل والعناصر التقليدية للعملية التعليمية. الفرق بين المشكلات التعليمية في تدريس العلوم الإنسانية والمشكلات الدقيقة، من المشكلات الرياضية، هو أنه في المشكلات التاريخية لا توجد صيغ أو خوارزميات صارمة، وما إلى ذلك، مما يعقد حلها. ...
الأعداد المركبة الحادي عشر
§ 256. الشكل المثلثي للأعداد المركبة
دع عددا مركبا أ + ثنائية يتوافق مع ناقلات الزراعة العضوية.> مع الإحداثيات ( أ، ب ) (انظر الشكل 332).
دعونا نشير إلى طول هذا المتجه بواسطة ص ، والزاوية التي يصنعها مع المحور X ، خلال φ . حسب تعريف الجيب وجيب التمام:
أ / ص =cos φ , ب / ص = خطيئة φ .
لهذا أ = ص كوس φ , ب = ص خطيئة φ . لكن في هذه الحالة العدد المركب أ + ثنائية يمكن كتابتها على النحو التالي:
أ + ثنائية = ص كوس φ + إير خطيئة φ = ص (كوس φ + أنا خطيئة φ ).
كما تعلم، فإن مربع طول أي متجه يساوي مجموع مربعات إحداثياته. لهذا ص 2 = أ 2 + ب 2، من أين ص = √أ 2 + ب 2
لذا، أي عدد مركب أ + ثنائية يمكن تمثيلها في النموذج :
أ + ثنائية = ص (كوس φ + أنا خطيئة φ ), (1)
حيث ص = √أ 2 + ب 2 والزاوية φ يتم تحديده من الشرط:
يسمى هذا النوع من كتابة الأعداد المركبة حساب المثاثات.
رقم ص في الصيغة (1) يسمى وحدة، والزاوية φ - دعوى، عدد مركب أ + ثنائية .
إذا كان عددا مركبا أ + ثنائية لا يساوي الصفر، فإن معامله موجب؛ لو أ + ثنائية = 0 إذن أ = ب = 0 وبعد ذلك ص = 0.
يتم تحديد معامل أي عدد مركب بشكل فريد.
إذا كان عددا مركبا أ + ثنائية لا يساوي الصفر، فسيتم تحديد وسيطته بالصيغة (2) قطعاًدقيقة لزاوية قابلة للقسمة على 2 π . لو أ + ثنائية = 0 إذن أ = ب = 0. في هذه الحالة ص = 0. من الصيغة (1) من السهل فهم ذلك كوسيطة φ في هذه الحالة، يمكنك اختيار أي زاوية: بعد كل شيء، لأي φ
0 (كوس φ + أنا خطيئة φ ) = 0.
ولذلك فإن الوسيطة الفارغة غير محددة.
معامل العدد المركب ص يُشار إليه أحيانًا | ض |، والحجة هي arg ض . دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لتمثيل الأعداد المركبة في شكل مثلثي.
مثال. 1. 1 + أنا .
دعونا نجد الوحدة ص والحجة φ هذا العدد.
ص = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
ولذلك الخطيئة φ = 1 / √ 2, جتا φ = 1 / √ 2، من أين φ = π / 4 + 2نπ .
هكذا،
1 + أنا = √ 2 ,
أين ص - أي عدد صحيح. عادة، من مجموعة القيم اللانهائية لوسيطة العدد المركب، يتم اختيار واحد يقع بين 0 و 2 π . في هذه الحالة، هذه القيمة π / 4 . لهذا
1 + أنا = √ 2 (كوس π / 4 + أنا خطيئة π / 4)
مثال 2.اكتب عددًا مركبًا على الصورة المثلثية √ 3 - أنا . لدينا:
ص = √ 3+1 = 2، كوس φ = √ 3 / 2، خطيئة φ = - 1 / 2
لذلك، حتى زاوية تقبل القسمة على 2 π , φ = 11 / 6 π ; لذلك،
√ 3 - أنا = 2(كوس 11 / 6 π + أنا الخطيئة 11 / 6 π ).
مثال 3اكتب عددًا مركبًا على الصورة المثلثية أنا.
عدد مركب أنا يتوافق مع ناقلات الزراعة العضوية.> وينتهي عند النقطة A من المحور في بالإحداثي 1 (الشكل 333). طول هذا المتجه هو 1، والزاوية التي يصنعها مع المحور السيني تساوي π / 2. لهذا
أنا =cos π / 2 + أنا خطيئة π / 2 .
مثال 4.اكتب العدد المركب 3 على الصورة المثلثية.
الرقم المركب 3 يتوافق مع المتجه الزراعة العضوية. > X الإحداثي السيني 3 (الشكل 334).
طول هذا المتجه هو 3، والزاوية التي يصنعها مع المحور السيني هي 0. لذلك
3 = 3 (كوس 0 + أنا الخطيئة 0)،
مثال 5.اكتب العدد المركب -5 على الصورة المثلثية.
الرقم المركب -5 يتوافق مع المتجه الزراعة العضوية.> تنتهي عند نقطة المحور X مع الإحداثي السيني -5 (الشكل 335). طول هذا المتجه هو 5، والزاوية التي يشكلها مع المحور السيني تساوي π . لهذا
5 = 5(كوس π + أنا خطيئة π ).
تمارين
2047. اكتب هذه الأعداد المركبة في شكل مثلثي، مع تحديد وحداتها ووسيطاتها:
1) 2 + 2√3 أنا , 4) 12أنا - 5; 7).3أنا ;
2) √3 + أنا ; 5) 25; 8) -2أنا ;
3) 6 - 6أنا ; 6) - 4; 9) 3أنا - 4.
2048. وضح على المستوى مجموعة من النقاط التي تمثل الأعداد المركبة التي تستوفي وحداتها r ووسيطاتها الشروط:
1) ص = 1, φ = π / 4 ; 4) ص < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;
2) ص =2; 5) 2 < ص <3; 8) 0 < φ < я;
3) ص < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < ص < 2,
10) 0 < φ < π / 2 .
2049. هل يمكن للأرقام أن تكون في نفس الوقت مقياسًا لعدد مركب؟ ص و - ص ?
2050. هل يمكن أن تكون حجة العدد المركب زوايا في نفس الوقت؟ φ و - φ ?
اعرض هذه الأعداد المركبة في شكل مثلثي، مع تحديد وحداتها ووسائطها:
2051*. 1 + كوس α + أنا خطيئة α . 2054*. 2(كوس 20° - أنا الخطيئة 20 درجة).
2052*. خطيئة φ + أنا كوس φ . 2055*. 3(- كوس 15° - أنا الخطيئة 15 درجة).