كيفية تبسيط أمثلة التعبير. كيفية تبسيط التعابير الجبرية

§ 1 مفهوم تبسيط التعبير الحرفي

في هذا الدرس، سوف نتعرف على مفهوم "المصطلحات المتشابهة"، وباستخدام الأمثلة، سوف نتعلم كيفية إجراء اختزال المصطلحات المتشابهة، وبالتالي تبسيط التعبيرات الحرفية.

دعونا معرفة معنى مفهوم "التبسيط". كلمة "تبسيط" مشتقة من كلمة "تبسيط". التبسيط يعني جعل الأمر بسيطًا وأبسط. ولذلك، فإن تبسيط التعبير الحرفي هو جعله أقصر، مع الحد الأدنى للكميةأجراءات.

خذ بعين الاعتبار التعبير 9x + 4x. هذا تعبير حرفي وهو مبلغ. يتم تقديم المصطلحات هنا كمنتجات لرقم وحرف. ويسمى العامل العددي لهذه المصطلحات بالمعامل. في هذا التعبير، ستكون المعاملات هي الرقمين 9 و4. يرجى ملاحظة أن العامل الذي يمثله الحرف هو نفسه في كلا حدي هذا المجموع.

دعونا نتذكر قانون التوزيع للضرب:

لضرب مجموع في رقم، يمكنك ضرب كل حد في هذا الرقم وإضافة المنتجات الناتجة.

في منظر عاممكتوبة على النحو التالي: (أ + ب) ∙ ج = أ + ق.

هذا القانون صحيح في كلا الاتجاهين ac + bc = (a + b) ∙ c

دعونا نطبق ذلك على تعبيرنا الحرفي: مجموع منتجات 9x و 4x يساوي المنتج الذي عامله الأول هو يساوي المبلغ 9 و 4، العامل الثاني هو x.

9 + 4 = 13، أي 13س.

9س + 4 س = (9 + 4)س = 13س.

بدلا من ثلاثة إجراءات في التعبير، لم يتبق سوى إجراء واحد - الضرب. وهذا يعني أننا جعلنا تعبيرنا الحرفي أبسط، أي. بسّطته.

§ 2 تخفيض المصطلحات المماثلة

يختلف المصطلحان 9x و4x فقط في معاملاتهما - وتسمى هذه المصطلحات متشابهة. جزء الرسالة من المصطلحات المماثلة هو نفسه. تتضمن المصطلحات المشابهة أيضًا الأرقام والشروط المتساوية.

على سبيل المثال، في التعبير 9أ + 12-15، ستكون الحدود المتشابهة هي الأرقام 12 و-15، وفي مجموع حاصل ضرب 12 و6أ، الرقم 14 وحاصل ضرب 12 و6أ (12 ∙ 6أ + 14 + 12 ∙ 6أ) الحدود المتساوية التي يمثلها حاصل ضرب 12 و6أ.

من المهم أن نلاحظ أن الحدود التي معاملاتها متساوية، ولكن عوامل حروفها مختلفة، ليست متشابهة، على الرغم من أنه من المفيد في بعض الأحيان تطبيق قانون توزيع الضرب عليها، على سبيل المثال، مجموع المنتجات 5x و 5y هو يساوي منتج الرقم 5 ومجموع x و y

5س + 5ص = 5(س + ص).

دعونا نبسط التعبير -9a + 15a - 4 + 10.

مصطلحات مماثلة في في هذه الحالةهما المصطلحان -9a و15a، لأنهما يختلفان فقط في معاملاتهما. مضاعف الحروف هو نفسه، والمصطلحان -4 و10 متشابهان أيضًا، لأنهما أرقام. إضافة مصطلحات مماثلة:

9 أ + 15 أ - 4 + 10

9أ + 15أ = 6أ؛

نحصل على: 6 أ + 6.

ومن خلال تبسيط التعبير، وجدنا مجموع الحدود المتشابهة؛ ويسمى هذا في الرياضيات بتبسيط الحدود المتشابهة.

إذا كان من الصعب إضافة مثل هذه المصطلحات، فيمكنك التوصل إلى كلمات لها وإضافة كائنات.

على سبيل المثال، النظر في التعبير:

لكل حرف نأخذ غرضنا الخاص: ب-تفاحة، ج-كمثرى، ثم نحصل على: 2 تفاحات ناقص 5 كمثرى بالإضافة إلى 8 كمثرى.

هل يمكننا طرح الكمثرى من التفاح؟ بالطبع لا. لكن يمكننا إضافة 8 كمثرى إلى سالب 5 كمثرى.

دعونا نقدم مصطلحات مماثلة -5 كمثرى + 8 كمثرى. المصطلحات المتشابهة لها نفس جزء الحرف، لذلك عند إحضار مصطلحات متشابهة يكفي إضافة المعاملات وإضافة جزء الحرف إلى النتيجة:

(-5 + 8) كمثرى - تحصل على 3 كمثرى.

بالعودة إلى التعبير الحرفي، لدينا -5 s + 8 s = 3 s. وهكذا، بعد إحضار مصطلحات مماثلة، نحصل على التعبير 2ب + 3ج.

لذا، تعرفت في هذا الدرس على مفهوم "المصطلحات المتشابهة" وتعلمت كيفية تبسيط تعبيرات الحروف عن طريق تقليل المصطلحات المتشابهة.

قائمة الأدبيات المستخدمة:

1. الرياضيات. الصف السادس: خطط الدرسإلى الكتاب المدرسي I.I. زوباريفا، أ.ج. موردكوفيتش // المؤلف والمترجم L.A. توبيلينا. منيموسين 2009.
2. الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية. I. I. زوباريفا، أ.ج. موردكوفيتش - م: منيموسين، 2013.
3. الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام / ج.ف. دوروفييف ، آي إف. شارجين ، س.ب. سوفوروف وآخرون / حرره ج.ف. دوروفيفا ، آي إف. شاريجينا. الأكاديمية الروسية للعلوم، الأكاديمية الروسية للتربية. م.: «التنوير»، 2010.
4. الرياضيات. الصف السادس: الدراسة في مؤسسات التعليم العام/ن.يا. فيلينكين، ف. جوخوف، أ.س. تشيسنوكوف، إس. شوارتزبرد. – م.: منيموسين، 2013.
5. الرياضيات. الصف السادس: الكتاب المدرسي/G.K. مورافين، أو.ف. مورافينا. - م: حبارى، 2014.

الصور المستخدمة:

في كثير من الأحيان تتطلب المهام إجابة مبسطة. على الرغم من أن الإجابات المبسطة وغير المبسطة صحيحة، إلا أن معلمك قد يخفض درجتك إذا لم تقم بتبسيط إجابتك. علاوة على ذلك، فإن التعامل مع التعبير الرياضي المبسط أسهل بكثير. لذلك، من المهم جدًا تعلم كيفية تبسيط التعبيرات.

خطوات

الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية

1. تذكر الترتيب الصحيح للتنفيذ عمليات رياضية. عند تبسيط التعبير الرياضي، فمن الضروري أن نلاحظ ترتيب معينالإجراءات، حيث أن بعض العمليات الحسابية لها الأسبقية على غيرها ويجب إجراؤها أولاً (في الواقع، عدم اتباع الترتيب الصحيح لإجراء العمليات سيؤدي إلى نتيجة خاطئة). تذكر الترتيب التالي للعمليات الرياضية: التعبير بين قوسين، الأس، الضرب، القسمة، الجمع، الطرح.

   • لاحظ أن معرفة الترتيب الصحيح للعمليات سيسمح لك بتبسيط معظم التعبيرات البسيطة، ولكن لتبسيط كثير الحدود (تعبير بمتغير) تحتاج إلى معرفة حيل خاصة (انظر القسم التالي).

2. ابدأ بحل التعبير الموجود بين قوسين.في الرياضيات، تشير الأقواس إلى أنه يجب تقييم التعبير الموجود داخلها أولاً. لذلك، عند تبسيط أي تعبير رياضي، ابدأ بحل التعبير الموجود بين قوسين (لا يهم العمليات التي تحتاج إلى تنفيذها داخل القوسين). لكن تذكر أنه عند التعامل مع تعبير بين قوسين، يجب عليك اتباع ترتيب العمليات، أي أن المصطلحات الموجودة بين قوسين يتم أولاً ضربها وتقسيمها وإضافتها وطرحها وما إلى ذلك.

   • على سبيل المثال، دعونا نبسط التعبير 2س + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). هنا نبدأ بالتعبيرات الموجودة بين قوسين: 5 + 2 = 7 و 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • يتم تبسيط التعبير الموجود في الزوج الثاني من الأقواس إلى 5 لأنه يجب تقسيم 4/2 أولاً (وفقًا للترتيب الصحيح للعمليات). إذا لم تتبع هذا الترتيب، فستحصل على الإجابة الخاطئة: 3 + 4 = 7 و7 ÷ 2 = 7/2.
   • إذا كان هناك زوج آخر من الأقواس، ابدأ في التبسيط عن طريق حل التعبير الموجود بين القوسين الداخليين ثم انتقل إلى حل التعبير الموجود بين القوسين الخارجيين.

3. الأس.بعد حل التعبيرات الموجودة بين قوسين، انتقل إلى الأسي (تذكر أن القوة لها أس وقاعدة). ارفع التعبير (أو الرقم) المقابل إلى قوة واستبدل النتيجة بالتعبير المعطى لك.

   • في مثالنا، التعبير (الرقم) الوحيد للأس هو 3 2: 3 2 = 9. في التعبير المعطى لك، استبدل 3 2 بـ 9 وستحصل على: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. تتضاعف.تذكر أنه يمكن تمثيل عملية الضرب بالرموز التالية: "x" أو "∙" أو "*". ولكن إذا لم تكن هناك رموز بين الرقم والمتغير (على سبيل المثال، 2x) أو بين الرقم والرقم الموجود بين قوسين (على سبيل المثال، 4(7))، فهذه أيضًا عملية ضرب.

   • في مثالنا، هناك عمليتان للضرب: 2x (اثنتان مضروبتان في المتغير "x") و4(7) (أربعة مضروبة في سبعة). نحن لا نعرف قيمة x، لذلك سنترك التعبير 2x كما هو. 4(7) = 4 × 7 = 28. الآن يمكنك إعادة كتابة التعبير المعطى لك على النحو التالي: 2x + 28 + 9 - 5.

5. يقسم.تذكر أنه يمكن تمثيل عملية القسمة بالرموز التالية: "/" أو "÷" أو "-" (قد ترى هذا الحرف الأخير في صورة كسور). على سبيل المثال، 3/4 يساوي ثلاثة مقسومًا على أربعة.

   • في مثالنا، لم تعد هناك عملية قسمة، لأنك قمت بالفعل بقسمة 4 على 2 (4/2) عند حل التعبير بين قوسين. حتى تتمكن من الذهاب إلى الخطوة التالية. تذكر أن معظم التعبيرات لا تحتوي على جميع العمليات الرياضية (بعضها فقط).

6. يطوى.عند إضافة مصطلحات تعبير، يمكنك البدء بالمصطلح الموجود في الأبعد (إلى اليسار)، أو يمكنك إضافة المصطلحات التي يمكن إضافتها بسهولة أولاً. على سبيل المثال، في التعبير 49 + 29 + 51 +71، من الأسهل أولاً إضافة 49 + 51 = 100، ثم 29 + 71 = 100 وأخيرًا 100 + 100 = 200. ومن الأصعب بكثير إضافة مثل هذا: 49 + 29 = 78؛ 78 + 51 = 129؛ 129 + 71 = 200.

   • في مثالنا 2x + 28 + 9 + 5 هناك عمليتان جمع. لنبدأ بالحد الخارجي (الأيسر): 2x + 28؛ لا يمكنك إضافة 2x و28 لأنك لا تعرف قيمة المتغير "x". لذلك، أضف 28 + 9 = 37. الآن يمكن إعادة كتابة التعبير على النحو التالي: 2x + 37 - 5.

7. طرح او خصم.هذا العملية الأخيرةالخامس بالترتيب الصحيحأداء العمليات الحسابية. في هذه المرحلة يمكنك أيضا إضافة أرقام سلبيةأو قم بذلك في مرحلة إضافة الأعضاء - وهذا لن يؤثر على النتيجة النهائية بأي شكل من الأشكال.

   • في مثالنا 2x + 37 - 5 توجد عملية طرح واحدة فقط: 37 - 5 = 32.

8. في هذه المرحلة، بعد إجراء جميع العمليات الحسابية، يجب أن تحصل على تعبير مبسط.أما إذا كان التعبير المعطى لك يحتوي على متغير واحد أو أكثر، فتذكر أن الحد ذو المتغير سيبقى كما هو. يتضمن حل (وليس تبسيط) تعبير بمتغير إيجاد قيمة هذا المتغير. في بعض الأحيان يمكن تبسيط التعبيرات المتغيرة باستخدام طرق خاصة(انظر القسم التالي).

   • في مثالنا، الإجابة النهائية هي 2x + 32. لا يمكنك إضافة الحدين حتى تعرف قيمة المتغير "x". بمجرد معرفة قيمة المتغير، يمكنك بسهولة تبسيط هذه ذات الحدين.

   تبسيط التعبيرات المعقدة

   1. إضافة مصطلحات مماثلة.تذكر أنه يمكنك فقط طرح وإضافة مصطلحات متشابهة، أي المصطلحات التي لها نفس المتغير و نفس المؤشردرجات. على سبيل المثال، يمكنك إضافة 7x و5x، لكن لا يمكنك إضافة 7x و5x2 (نظرًا لاختلاف الأسس).

      • تنطبق هذه القاعدة أيضًا على الأعضاء ذوي المتغيرات المتعددة. على سبيل المثال، يمكنك إضافة 2xy 2 و -3xy 2 ، لكن لا يمكنك إضافة 2xy 2 و -3x 2 y أو 2xy 2 و -3y 2 .
      • لننظر إلى مثال: x 2 + 3x + 6 - 8x. الحدود المتشابهة هنا هي 3x و8x، لذا يمكن جمعهما معًا. التعبير المبسط يبدو كالتالي: x 2 - 5x + 6.

   2. تبسيط الكسر العددي.في مثل هذا الكسر، يحتوي كل من البسط والمقام على أرقام (بدون متغير). الكسر العدديمبسطة بعدة طرق. أولاً، قم ببساطة بتقسيم المقام على البسط. ثانيًا، قم بتحليل البسط والمقام وألغي العوامل المتشابهة (نظرًا لأن قسمة الرقم على نفسه سيعطيك 1). بمعنى آخر، إذا كان لكل من البسط والمقام نفس العامل، فيمكنك إسقاطه والحصول على كسر مبسط.

      • على سبيل المثال، النظر في الكسر 36/60. باستخدام الآلة الحاسبة، اقسم 36 على 60 لتحصل على 0.6. لكن يمكنك تبسيط هذا الكسر بطريقة أخرى عن طريق تحليل البسط والمقام: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). بما أن 6/6 = 1، فإن الكسر المبسط هو: 1 × 6/10 = 6/10. لكن يمكن أيضًا تبسيط هذا الكسر: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. إذا كان الكسر يحتوي على متغير، فيمكنك إلغاء العوامل المتشابهة مع المتغير.قم بتحليل كل من البسط والمقام وألغي العوامل المتشابهة، حتى لو كانت تحتوي على متغير (تذكر أن العوامل المتشابهة هنا قد تحتوي أو لا تحتوي على متغير).

      • لننظر إلى مثال: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). يمكن إعادة كتابة هذا التعبير (تحليله) بالشكل: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). بما أن الحد 3x موجود في كل من البسط والمقام، فيمكنك حذفه للحصول على تعبير مبسط: (x + 1)/(5 - x). لننظر إلى مثال آخر: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • يرجى ملاحظة أنه لا يمكنك إلغاء أي حدود - يتم إلغاء العوامل المتطابقة فقط الموجودة في كل من البسط والمقام. على سبيل المثال، في التعبير (x(x + 2))/x، المتغير (العامل) "x" موجود في كل من البسط والمقام، لذا يمكن تبسيط "x" للحصول على تعبير مبسط: (x + 2)/1 = x + 2. ومع ذلك، في التعبير (x + 2)/x، لا يمكن تبسيط المتغير "x" (نظرًا لأن "x" ليس عاملاً في البسط).

   4. فتح قوسين.للقيام بذلك، اضرب الحد الموجود خارج الأقواس في كل حد داخل الأقواس. في بعض الأحيان يساعد هذا في تبسيط التعبير المعقد. وهذا ينطبق على كلا الأعضاء الذين هم الأعداد الأوليةوإلى الأعضاء التي تحتوي على المتغير.

      • على سبيل المثال، 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24، و3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • يرجى ملاحظة أنه في التعبيرات الكسريةليست هناك حاجة لفتح الأقواس إذا كان العامل نفسه موجودًا في كل من البسط والمقام. على سبيل المثال، في التعبير (3(x 2 + 8))/3x ليست هناك حاجة لفك الأقواس، حيث يمكنك هنا إلغاء العامل 3 والحصول على التعبير المبسط (x 2 + 8)/x. هذا التعبير أسهل في العمل؛ إذا قمت بفك الأقواس، فستحصل على التعبير المعقد التالي: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. عامل كثيرات الحدود.باستخدام هذه الطريقة، يمكنك تبسيط بعض التعبيرات ومتعددات الحدود. التخصيم هو عملية مقابل الفتحبين قوسين، أي أن التعبير مكتوب كنتيجة لتعبيرين، كل منهما محاط بين قوسين. في بعض الحالات، يمكن أن يقلل التخصيم نفس التعبير. في حالات خاصة(عادة مع المعادلات التربيعية) سيسمح لك التخصيم بحل المعادلة.

      • خذ بعين الاعتبار التعبير x 2 - 5x + 6. وقد تم تحليله إلى عوامل: (x - 3)(x - 2). وبالتالي، على سبيل المثال، إذا تم إعطاء التعبير (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2))، فيمكنك إعادة كتابته بالشكل (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)))، اختصر التعبير (x - 2) واحصل على تعبير مبسط (x - 3)/2.
      • يتم استخدام كثيرات الحدود إلى العوامل لحل معادلات (العثور على الجذور) (المعادلة هي كثيرة الحدود تساوي 0). على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المعادلة x 2 - 5x + 6 = 0. وبتحليلها إلى عوامل، تحصل على (x - 3)(x - 2) = 0. بما أن أي تعبير مضروب في 0 يساوي 0، يمكننا كتابته هكذا هذا: x - 3 = 0 و x - 2 = 0. وبالتالي، x = 3 و x = 2، أي أنك وجدت جذرين للمعادلة المعطاة لك.

التعبير الحرفي (أو التعبير ذو المتغيرات) هو التعبير الرياضيوالتي تتكون من أرقام وحروف ورموز العمليات الحسابية. على سبيل المثال، التعبير التالي حرفي:

أ+ب+4

باستخدام التعبيرات الأبجدية يمكنك كتابة القوانين والصيغ والمعادلات والدوال. القدرة على التعامل مع تعبيرات الحروف هي المفتاح معرفة جيدةالجبر والرياضيات العليا.

أي مشكلة خطيرة في الرياضيات تتلخص في حل المعادلات. ولكي تتمكن من حل المعادلات، عليك أن تكون قادرًا على التعامل مع التعبيرات الحرفية.

للعمل مع التعبيرات الحرفية، يجب أن تكون على دراية جيدة بالحسابات الأساسية: الجمع والطرح والضرب والقسمة والقوانين الأساسية للرياضيات والكسور والعمليات مع الكسور والنسب. وليس مجرد دراسة، ولكن فهم شامل.

محتوى الدرس

المتغيرات

تسمى الحروف الموجودة في التعبيرات الحرفية المتغيرات. على سبيل المثال، في التعبير أ+ب+4المتغيرات هي الحروف أو ب. إذا عوضنا بأي أرقام بدلاً من هذه المتغيرات، فالتعبير الحرفي أ+ب+4اتصال التعبير الرقمي، والتي يمكن العثور على قيمتها.

يتم استدعاء الأرقام التي يتم استبدالها بالمتغيرات قيم المتغيرات. على سبيل المثال، دعونا نغير قيم المتغيرات أو ب. يتم استخدام علامة المساواة لتغيير القيم

أ = 2، ب = 3

لقد قمنا بتغيير قيم المتغيرات أو ب. عامل أتم تعيين قيمة 2 ، عامل بتم تعيين قيمة 3 . ونتيجة لذلك، التعبير الحرفي أ+ب+4يتحول إلى تعبير رقمي عادي 2+3+4 والتي يمكن العثور على قيمتها:

2 + 3 + 4 = 9

عندما يتم ضرب المتغيرات، يتم كتابتها معا. على سبيل المثال، سجل أبيعني نفس الإدخال أ × ب. إذا قمنا باستبدال المتغيرات أو بأعداد 2 و 3 ، ثم نحصل على 6

2 × 3 = 6

يمكنك أيضًا كتابة ضرب رقم معًا بتعبير بين قوسين. على سبيل المثال، بدلا من أ×(ب + ج)يمكن كتابتها أ(ب + ج). وبتطبيق قانون توزيع الضرب نحصل على أ(ب + ج)=أب+أ.

احتمال

في التعبيرات الحرفية، يمكنك غالبًا العثور على تدوين يتم فيه كتابة رقم ومتغير معًا، على سبيل المثال 3 أ. هذا في الواقع اختصار لضرب الرقم 3 في متغير. أوهذا الإدخال يبدو 3 × أ .

وبعبارة أخرى، التعبير 3 أهو منتج الرقم 3 والمتغير أ. رقم 3 في هذا العمل يسمونه معامل في الرياضيات او درجة. يوضح هذا المعامل عدد المرات التي سيتم فيها زيادة المتغير أ. يمكن قراءة هذا التعبير كـ " أثلاث مرات" أو "ثلاث مرات أ"، أو" زيادة قيمة المتغير أثلاث مرات"، ولكن غالبًا ما تُقرأ على أنها "ثلاث مرات". أ«

على سبيل المثال، إذا كان المتغير أيساوي 5 ، ثم قيمة التعبير 3 أسوف يساوي 15

3 × 5 = 15

تكلم بلغة بسيطة، المعامل هو الرقم الذي يأتي قبل الحرف (قبل المتغير).

يمكن أن يكون هناك عدة رسائل، على سبيل المثال 5abc. هنا المعامل هو الرقم 5 . هذا المعامليوضح أن منتج المتغيرات اي بي سييزيد خمسة أضعاف. يمكن قراءة هذا التعبير كـ " اي بي سيخمس مرات" أو "زيادة قيمة التعبير اي بي سيخمس مرات" أو "خمسة اي بي سي«.

إذا بدلا من المتغيرات اي بي سيعوض بالأرقام 2 و 3 و 4 ثم قيمة التعبير 5abcسوف تكون متساوية 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

يمكنك أن تتخيل عقليًا كيف تم ضرب الأرقام 2 و3 و4 لأول مرة، وزادت القيمة الناتجة خمسة أضعاف:

تشير إشارة المعامل إلى المعامل فقط ولا تنطبق على المتغيرات.

النظر في التعبير -6 ب. ناقص قبل المعامل 6 ، ينطبق فقط على المعامل 6 ، ولا ينتمي إلى المتغير ب. إن فهم هذه الحقيقة سيسمح لك بعدم ارتكاب الأخطاء في العلامات في المستقبل.

دعونا نجد قيمة التعبير -6 بفي ب = 3.

-6 ب −6×ب. من أجل الوضوح، دعونا نكتب التعبير -6 بفي شكل موسع واستبدال قيمة المتغير ب

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

مثال 2.أوجد قيمة التعبير -6 بفي ب = −5

دعونا نكتب التعبير -6 بفي شكل موسع

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

مثال 3.أوجد قيمة التعبير -5أ+بفي أ = 3و ب = 2

-5أ+بهذا نموذج قصيرإدخالات من −5 × أ + ب، لذلك من أجل الوضوح نكتب التعبير −5×أ+بفي شكل موسع واستبدال قيم المتغيرات أو ب

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

في بعض الأحيان تتم كتابة الرسائل بدون معامل، على سبيل المثال أأو أب. في هذه الحالة، المعامل هو الوحدة:

ولكن تقليديا لا يتم كتابة الوحدة، لذلك يكتبون ببساطة أأو أب

إذا كان هناك سالب قبل الحرف، فإن المعامل يكون رقمًا −1 . على سبيل المثال، التعبير -أيبدو في الواقع -1أ. هذا هو حاصل ضرب سالب واحد والمتغير أ.اتضح مثل هذا:

−1 × أ = −1أ

هناك صيد صغير هنا. في التعبير -أعلامة الطرح أمام المتغير أيشير في الواقع إلى "وحدة غير مرئية" بدلاً من متغير أ. لذلك يجب توخي الحذر عند حل المشاكل.

على سبيل المثال، إذا أعطيت التعبير -أويطلب منا إيجاد قيمته عند أ = 2، ثم في المدرسة قمنا باستبدال الرقم اثنين بدلاً من المتغير أوحصلت على إجابة −2 ، دون التركيز كثيرًا على كيفية ظهوره. في الواقع، تم ضرب ناقص واحد في رقم موجب، عدد إيجابي 2

−أ = −1 × أ

−1 × أ = −1 × 2 = −2

إذا أعطيت التعبير -أوتحتاج إلى العثور على قيمته في أ = −2، ثم نستبدل −2 بدلا من متغير أ

−أ = −1 × أ

−1 × أ = −1 × (−2) = 2

لتجنب الأخطاء، في البداية يمكن كتابة الوحدات غير المرئية بشكل واضح.

مثال 4.أوجد قيمة التعبير اي بي سيفي أ = 2 , ب = 3و ج = 4

تعبير اي بي سي 1×أ×ب×ج.من أجل الوضوح، دعونا نكتب التعبير اي بي سي أ، بو ج

1 × أ × ب × ج = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

مثال 5.أوجد قيمة التعبير اي بي سيفي أ=−2 , ب=−3و ج=−4

دعونا نكتب التعبير اي بي سيفي شكل موسع واستبدال قيم المتغيرات أ، بو ج

1 × أ × ب × ج = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

مثال 6.أوجد قيمة التعبير − اي بي سيفي أ=3 و ب=5 و ج=7

تعبير − اي بي سيهذا نموذج قصير لـ −1×أ×ب×ج.من أجل الوضوح، دعونا نكتب التعبير − اي بي سيفي شكل موسع واستبدال قيم المتغيرات أ، بو ج

−abc = −1 × أ × ب × ج = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

مثال 7.أوجد قيمة التعبير − اي بي سيفي أ=−2 و ب=−4 و ج=−3

دعونا نكتب التعبير − اي بي سيفي شكل موسع:

−abc = −1 × أ × ب × ج

دعونا نستبدل قيم المتغيرات أ , بو ج

−abc = −1 × أ × ب × ج = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

كيفية تحديد المعامل

في بعض الأحيان تحتاج إلى حل مشكلة تحتاج فيها إلى تحديد معامل التعبير. أساسًا، هذه المهمةبسيط جدا. يكفي أن تكون قادرًا على مضاعفة الأرقام بشكل صحيح.

لتحديد المعامل في التعبير، تحتاج إلى مضاعفة الأرقام المضمنة في هذا التعبير بشكل منفصل وضرب الحروف بشكل منفصل. وسيكون العامل العددي الناتج هو المعامل.

مثال 1. 7م×5أ×(−3)×ن

يتكون التعبير من عدة عوامل. يمكن رؤية ذلك بوضوح إذا كتبت التعبير في شكل موسع. أي الأعمال 7 مو 5 أاكتبه في النموذج 7 × مو 5 × أ

7 × م × 5 × أ × (−3) × ن

دعونا نطبق قانون الضرب الترابطي، الذي يسمح لك بضرب العوامل بأي ترتيب. وهي أننا سنضرب الأرقام بشكل منفصل ونضرب الحروف (المتغيرات) بشكل منفصل:

−3 × 7 × 5 × م × أ × ن = −105man

المعامل هو −105 . بعد الانتهاء من المستحسن ترتيب جزء الحرف حسب الترتيب الأبجدي:

-105 آمين

مثال 2.تحديد المعامل في التعبير: -أ×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

المعامل هو 6.

مثال 3.تحديد المعامل في التعبير:

دعونا نضرب الأرقام والحروف بشكل منفصل:

المعامل هو −1. يرجى ملاحظة أن الوحدة غير مكتوبة، لأنه من المعتاد عدم كتابة المعامل 1.

هذه المهام التي تبدو بسيطة يمكن أن تلعب مزحة قاسية علينا. غالبًا ما يتبين أن علامة المعامل تم ضبطها بشكل غير صحيح: إما أن الطرح مفقود أو على العكس من ذلك تم تعيينه عبثًا. لتجنب هذه أخطاء مزعجة، يجب دراستها بمستوى جيد.

يضاف في التعبيرات الحرفية

عند إضافة عدة أرقام، يتم الحصول على مجموع هذه الأرقام. الأرقام التي تضيف تسمى الإضافات. يمكن أن يكون هناك عدة مصطلحات، على سبيل المثال:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

عندما يتكون التعبير من مصطلحات، يكون تقييمه أسهل كثيرًا لأن الجمع أسهل من الطرح. ولكن التعبير يمكن أن يحتوي ليس فقط على الجمع، ولكن أيضا الطرح، على سبيل المثال:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

في هذا التعبير، الرقمان 3 و5 مطروحان وليسان جمع. لكن لا شيء يمنعنا من استبدال الطرح بالجمع. ثم نحصل مرة أخرى على تعبير يتكون من مصطلحات:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

لا يهم أن الرقمين −3 و −5 يحملان الآن علامة الطرح. الشيء الرئيسي هو أن جميع الأرقام في هذا التعبير مرتبطة بعلامة الجمع، أي أن التعبير عبارة عن مجموع.

كلا التعبيرين 1 + 2 − 3 + 4 − 5 و 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) يساوي نفس القيمة - ناقص واحد

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

وبالتالي فإن معنى التعبير لن يتأثر إذا استبدلنا الطرح بالإضافة في مكان ما.

يمكنك أيضًا استبدال الطرح بالجمع في التعبيرات الحرفية. على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار التعبير التالي:

7أ + 6ب − 3ج + 2د − 4ث

7أ + 6ب + (−3ج) + 2د + (−4ث)

لأي قيم للمتغيرات ا ب ت ثو سالتعبيرات 7أ + 6ب − 3ج + 2د − 4ث و 7أ + 6ب + (−3ج) + 2د + (−4ث) سيكون مساوياً لنفس القيمة.

يجب أن تكون مستعدًا لحقيقة أن المعلم في المدرسة أو المعلم في المعهد قد يتصل بالأرقام الزوجية (أو المتغيرات) التي ليست إضافات.

على سبيل المثال، إذا كان الفرق مكتوبا على السبورة أ - ب، فلن يقول المعلم ذلك أهو مينند، و ب- قابل للطرح. سوف يطلق على كلا المتغيرين واحدًا بعبارات عامة — شروط. وكل ذلك بسبب التعبير عن النموذج أ - بعالم الرياضيات يرى كيف المبلغ أ+(-ب). في هذه الحالة، يصبح التعبير مجموعا، والمتغيرات أو (-ب)تصبح شروط.

مصطلحات مماثلة

مصطلحات مماثلة- هذه مصطلحات لها نفس الجزء من الحرف. على سبيل المثال، النظر في التعبير 7 أ + 6 ب + 2 أ. عناصر 7 أو 2 ألها نفس جزء الحرف - متغير أ. هكذا الشروط 7 أو 2 أمتشابهة.

عادة، تتم إضافة مصطلحات مماثلة لتبسيط التعبير أو حل المعادلة. هذه العملية تسمى جلب مصطلحات مماثلة.

للحصول على مصطلحات مماثلة، تحتاج إلى إضافة معاملات هذه المصطلحات، وضرب النتيجة الناتجة في جزء الحرف المشترك.

على سبيل المثال، دعونا نقدم مصطلحات مماثلة في التعبير 3 أ + 4 أ + 5 أ. في هذه الحالة، جميع المصطلحات متشابهة. دعونا نجمع معاملاتهم ونضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك - في المتغير أ

3أ + 4أ + 5أ = (3 + 4 + 5)×أ = 12أ

عادةً ما يتم طرح مصطلحات مماثلة في الاعتبار ويتم تدوين النتيجة على الفور:

3أ + 4أ + 5أ = 12أ

كما يمكن الاستدلال بما يلي:

كان هناك 3 متغيرات a، و4 متغيرات أخرى a و5 متغيرات أخرى a تمت إضافتها إليهم. ونتيجة لذلك، حصلنا على 12 متغيرا

دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لجلب مصطلحات مماثلة. معتبرا أن هذا الموضوعمهم جدًا، في البداية سنكتب كل التفاصيل الصغيرة بالتفصيل. على الرغم من أن كل شيء بسيط للغاية هنا، إلا أن معظم الناس يرتكبون العديد من الأخطاء. ويرجع ذلك أساسا إلى الغفلة، وليس الجهل.

مثال 1. 3 أ + 2 أ + 6 أ + 8أ

لنجمع المعاملات في هذا التعبير ونضرب النتيجة الناتجة في جزء الحرف المشترك:

3أ + 2أ + 6أ + 8أ = (3 + 2 + 6 + 8) × أ = 19أ

تصميم (3 + 2 + 6 + 8)×أليس عليك كتابتها، لذلك سنكتب الإجابة على الفور

3 أ + 2 أ + 6 أ + 8 أ = 19 أ

مثال 2.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 2أ+أ

الفصل الثاني أمكتوبة بدون معامل، ولكن في الواقع هناك معامل أمامها 1 وهو ما لا نراه لأنه لم يتم تسجيله. لذلك يبدو التعبير كما يلي:

2 أ + 1 أ

الآن دعونا نقدم مصطلحات مماثلة. أي أننا نجمع المعاملات ونضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك:

2أ + 1أ = (2 + 1) × أ = 3أ

دعونا نكتب الحل باختصار:

2أ + أ = 3أ

2أ+أ، يمكنك التفكير بشكل مختلف:

مثال 3.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 2أ−أ

لنستبدل الطرح بالجمع:

2أ + (-أ)

الفصل الثاني (-أ)مكتوبة دون معامل، ولكن في الواقع يبدو الأمر كذلك (−1 أ).معامل في الرياضيات او درجة −1 مرة أخرى غير مرئية بسبب عدم تسجيله. لذلك يبدو التعبير كما يلي:

2أ + (−1أ)

الآن دعونا نقدم مصطلحات مماثلة. دعونا نضيف المعاملات ونضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

عادة ما يتم كتابتها بشكل أقصر:

2أ - أ = أ

إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 2أ−أيمكنك التفكير بشكل مختلف:

كان هناك متغيرين أ، اطرح متغيرًا واحدًا أ، ونتيجة لذلك لم يبق سوى متغير واحد

مثال 4.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 6أ − 3أ + 4أ − 8أ

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

الآن دعونا نقدم مصطلحات مماثلة. دعونا نضيف المعاملات ونضرب النتيجة في إجمالي جزء الحرف

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × أ = −1a = −a

دعونا نكتب الحل باختصار:

6أ − 3أ + 4أ − 8أ = −أ

هناك تعبيرات تحتوي على عدة مجموعات مختلفةمصطلحات مماثلة. على سبيل المثال، 3أ + 3ب + 7أ + 2ب. بالنسبة لمثل هذه التعبيرات، تنطبق نفس القواعد على الآخرين، وهي إضافة المعاملات وضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك. ولكن لتجنب الأخطاء، فهي مريحة مجموعات مختلفةيتم تمييز المصطلحات بخطوط مختلفة.

على سبيل المثال، في التعبير 3أ + 3ب + 7أ + 2بتلك المصطلحات التي تحتوي على متغير أ، يمكن تسطيرها بسطر واحد، وتلك المصطلحات التي تحتوي على متغير ب، يمكن التأكيد عليها بخطين:

الآن يمكننا تقديم مصطلحات مماثلة. أي قم بإضافة المعاملات وضرب النتيجة الناتجة في إجمالي جزء الحرف. يجب أن يتم ذلك لكلتا مجموعتي المصطلحات: للمصطلحات التي تحتوي على متغير أوللمصطلحات التي تحتوي على متغير ب.

3أ + 3ب + 7أ + 2ب = (3+7)×أ + (3 + 2)×ب = 10أ + 5ب

مرة أخرى، نكرر، التعبير بسيط، ويمكن وضع مصطلحات مماثلة في الاعتبار:

3أ + 3ب + 7أ + 2ب = 10أ + 5ب

مثال 5.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 5أ − 6أ −7ب + ب

لنستبدل الطرح بالجمع حيثما أمكن:

5أ − 6أ −7ب + ب = 5أ + (−6أ) + (−7ب) + ب

دعونا نؤكد على المصطلحات المتشابهة بأسطر مختلفة. المصطلحات التي تحتوي على متغيرات أنؤكدها بخط واحد، والحدود هي محتويات المتغيرات ب، ضع خطًا تحت خطين:

الآن يمكننا تقديم مصطلحات مماثلة. أي قم بإضافة المعاملات وضرب النتيجة الناتجة بجزء الحرف المشترك:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

إذا كان التعبير يحتوي على أرقام منتظمةوبدون عوامل الحروف، يتم إضافتها بشكل منفصل.

مثال 6.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 4أ + 3أ − 5 + 2ب + 7

لنستبدل الطرح بالجمع حيثما أمكن:

4أ + 3أ − 5 + 2ب + 7 = 4أ + 3أ + (−5) + 2ب + 7

دعونا نقدم مصطلحات مماثلة. أعداد −5 و 7 لا تحتوي على عوامل حرفية، ولكنها مصطلحات متشابهة - تحتاج فقط إلى إضافتها. والمصطلح 2بسيبقى دون تغيير، لأنه الوحيد في هذا التعبير الذي يحتوي على عامل الحرف ب،وليس هناك ما يمكن إضافته مع:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

دعونا نكتب الحل باختصار:

4أ + 3أ − 5 + 2ب + 7 = 7أ + 2ب + 2

يمكن ترتيب المصطلحات بحيث تكون تلك المصطلحات التي لها نفس جزء الحرف موجودة في نفس الجزء من التعبير.

مثال 7.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 5ط+2س+3س+5ط+س

وبما أن التعبير عبارة عن مجموع عدة حدود، فهذا يتيح لنا إيجاد قيمته بأي ترتيب. ولذلك، فإن المصطلحات التي تحتوي على المتغير ر، يمكن كتابتها في بداية التعبير، والمصطلحات التي تحتوي على المتغير سفي نهاية التعبير:

5ط + 5ط + 2س + 3س + س

الآن يمكننا تقديم مصطلحات مماثلة:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

دعونا نكتب الحل باختصار:

5ط + 2س + 3س + 5ط + س = 10ط + 6س

مجموع أرقام متضادةيساوي الصفر. تنطبق هذه القاعدة أيضًا على التعبيرات الحرفية. إذا كان التعبير يحتوي على مصطلحات متطابقة، ولكن مع علامات عكسية، فيمكنك التخلص منها في مرحلة تقليل المصطلحات المشابهة. بمعنى آخر، ما عليك سوى حذفها من التعبير، لأن مجموعها يساوي صفرًا.

مثال 8.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 3t − 4t − 3t + 2t

لنستبدل الطرح بالجمع حيثما أمكن:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

عناصر 3tو (−3 طن)متضادون. مجموع الحدود المتضادة هو صفر. إذا أزلنا هذا الصفر من التعبير، فلن تتغير قيمة التعبير، لذا سنقوم بإزالته. وسنقوم بإزالته بمجرد شطب الشروط 3tو (−3 طن)

ونتيجة لذلك، سوف نترك مع التعبير (−4t) + 2t. في هذا التعبير، يمكنك إضافة مصطلحات مماثلة والحصول على الإجابة النهائية:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

دعونا نكتب الحل باختصار:

تبسيط التعبيرات

"تبسيط التعبير" وفيما يلي التعبير الذي يحتاج إلى تبسيط. تبسيط التعبيريعني جعلها أبسط وأقصر.

في الواقع، لقد قمنا بالفعل بتبسيط التعبيرات عندما قمنا بتبسيط الكسور. بعد التخفيض، أصبح الكسر أقصر وأسهل للفهم.

النظر في المثال التالي. تبسيط التعبير.

يمكن فهم هذه المهمة حرفيًا على النحو التالي: "قم بتطبيق أي إجراءات صحيحة على هذا التعبير، ولكن اجعله أكثر بساطة." .

في هذه الحالة، يمكنك تقليل الكسر، أي تقسيم البسط والمقام للكسر على 2:

ماذا يمكنك أن تفعل أيضا؟ يمكنك حساب الكسر الناتج. ثم نحصل على الكسر العشري 0.5

ونتيجة لذلك، تم تبسيط الكسر إلى 0.5.

السؤال الأول الذي عليك أن تطرحه على نفسك عند اتخاذ القرار مهام مماثلةينبغي أن يكون "ماذا يمكن ان يفعل؟" . لأن هناك أفعال يمكنك القيام بها، وهناك أفعال لا يمكنك القيام بها.

آخر نقطة مهمةالشيء الذي يجب تذكره هو أن قيمة التعبير يجب ألا تتغير بعد تبسيط التعبير. دعنا نعود إلى التعبير. يمثل هذا التعبير عملية تقسيم يمكن إجراؤها. وبعد إجراء هذا القسمة، نحصل على قيمة هذا التعبير، وهي 0.5

لكننا بسطنا التعبير وحصلنا على تعبير مبسط جديد. لا تزال قيمة التعبير المبسط الجديد 0.5

لكننا حاولنا أيضًا تبسيط التعبير عن طريق حسابه. ونتيجة لذلك، تلقينا الإجابة النهائية 0.5.

ومن ثم، بغض النظر عن كيفية تبسيط التعبير، فإن قيمة التعبيرات الناتجة تظل تساوي 0.5. وهذا يعني أن التبسيط تم تنفيذه بشكل صحيح في كل مرحلة. هذا هو بالضبط ما يجب أن نسعى جاهدين لتحقيقه عند تبسيط التعبيرات - لا ينبغي أن يعاني معنى التعبير من أفعالنا.

غالبًا ما يكون من الضروري تبسيط التعبيرات الحرفية. تنطبق عليهم نفس قواعد التبسيط كما هو الحال مع التعبيرات الرقمية. يمكنك تنفيذ أي إجراءات صالحة، طالما لم تتغير قيمة التعبير.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1.تبسيط التعبير 5.21ث × ر × 2.5

للتبسيط هذا التعبير، يمكنك ضرب الأرقام بشكل منفصل وضرب الحروف بشكل منفصل. هذه المهمة مشابهة جدًا لتلك التي نظرنا إليها عندما تعلمنا تحديد المعامل:

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

هكذا التعبير 5.21ث × ر × 2.5مبسطة ل 13.025.

مثال 2.تبسيط التعبير −0.4 × (−6.3b) × 2

القطعة الثانية (−6.3 ب)يمكن ترجمتها إلى شكل مفهوم بالنسبة لنا، أي كتابتها بالشكل ( −6,3)×ب ,ثم اضرب الأرقام كل على حدة، ثم اضرب الحروف كل على حدة:

− 0,4 × (−6.3ب) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × ب × 2 = 5.04ب

هكذا التعبير −0.4 × (−6.3b) × 2 مبسطة ل 5.04 ب

مثال 3.تبسيط التعبير

لنكتب هذا التعبير بمزيد من التفصيل لنرى بوضوح مكان وجود الأرقام وأين توجد الحروف:

الآن دعونا نضرب الأرقام بشكل منفصل ونضرب الحروف بشكل منفصل:

هكذا التعبير مبسطة ل -اي بي سي.يمكن كتابة هذا الحل باختصار:

عند تبسيط العبارات، يمكن تبسيط الكسور أثناء عملية الحل، وليس في النهاية، كما فعلنا مع الكسور العادية. على سبيل المثال، إذا صادفنا أثناء الحل تعبيرًا من النموذج، فليس من الضروري على الإطلاق حساب البسط والمقام والقيام بشيء مثل هذا:

يمكن تبسيط الكسر عن طريق اختيار عامل من البسط والمقام وتقليل هذين العاملين إلى أكبرهما القاسم المشترك. بمعنى آخر، الاستخدام الذي لا نصف فيه بالتفصيل ما تم تقسيم البسط والمقام إليه.

على سبيل المثال، في البسط العامل هو 12 وفي المقام يمكن تخفيض العامل 4 بمقدار 4. نحتفظ بالأربعة في أذهاننا، وبقسمة 12 و4 على هذا الأربعة، نكتب الإجابات بجانب هذه الأرقام، بعد أن شطبتهم أولاً

الآن يمكنك مضاعفة العوامل الصغيرة الناتجة. وفي هذه الحالة فهي قليلة ويمكنك مضاعفتها في عقلك:

ومع مرور الوقت، قد تجد أنه عند حل مشكلة معينة، تبدأ التعبيرات "تتسمن"، لذلك ينصح بالاعتياد على ذلك حسابات سريعة. ما يمكن أن يحسب في العقل يجب أن يحسب في العقل. ما يمكن تخفيضه بسرعة يجب تخفيضه بسرعة.

مثال 4.تبسيط التعبير

هكذا التعبير مبسطة ل

مثال 5.تبسيط التعبير

دعونا نضرب الأرقام بشكل منفصل والحروف بشكل منفصل:

هكذا التعبير مبسطة ل مليون.

مثال 6.تبسيط التعبير

لنكتب هذا التعبير بمزيد من التفصيل لنرى بوضوح مكان وجود الأرقام وأين توجد الحروف:

الآن دعونا نضرب الأرقام بشكل منفصل والحروف بشكل منفصل. لسهولة الحساب، الكسر العشري −6.4 و رقم مختلطيمكن تحويلها إلى كسور عادية:

هكذا التعبير مبسطة ل

يمكن كتابة الحل لهذا المثال بشكل أقصر بكثير. سوف يبدو مثل هذا:

مثال 7.تبسيط التعبير

دعونا نضرب الأرقام بشكل منفصل والحروف بشكل منفصل. لسهولة الحساب، رقم مختلط و الكسور العشريةيمكن تحويل 0.1 و0.6 إلى كسور عادية:

هكذا التعبير مبسطة ل ا ب ت ث. إذا تخطيت التفاصيل، ثم هذا القراريمكن كتابتها بشكل أقصر بكثير:

لاحظ كيف تم تخفيض الكسر. يُسمح أيضًا بتخفيض العوامل الجديدة التي يتم الحصول عليها نتيجة تخفيض العوامل السابقة.

الآن دعنا نتحدث عن ما لا يجب فعله. عند تبسيط التعبيرات، يمنع منعا باتا ضرب الأرقام والحروف إذا كان التعبير مجموعا وليس منتجا.

على سبيل المثال، إذا كنت تريد تبسيط التعبير 5أ+4ب، فلا يمكنك كتابتها بهذه الطريقة:

وهذا هو نفسه كما لو طُلب منا جمع رقمين وقمنا بضربهما بدلاً من جمعهما.

عند استبدال أي قيم متغيرة أو بتعبير 5أ +4بيتحول إلى تعبير عددي عادي. لنفترض أن المتغيرات أو بلها المعاني التالية:

أ = 2، ب = 3

إذن قيمة التعبير ستكون 22

5أ + 4ب = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

أولا، يتم إجراء الضرب، ثم يتم إضافة النتائج. ولو حاولنا تبسيط هذا التعبير بضرب الأرقام والحروف لحصلنا على ما يلي:

5أ + 4ب = 5 × 4 × أ × ب = 20أب

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

اتضح معنى مختلفًا تمامًا للتعبير. في الحالة الأولى عملت 22 ، في الحالة الثانية 120 . وهذا يعني تبسيط التعبير 5أ+4بتم تنفيذه بشكل غير صحيح.

بعد تبسيط التعبير يجب ألا تتغير قيمته بنفس قيم المتغيرات. إذا تم الحصول على قيمة واحدة عند استبدال أي قيم متغيرة في التعبير الأصلي، فبعد تبسيط التعبير، يجب الحصول على نفس القيمة كما كانت قبل التبسيط.

مع التعبير 5أ+4بلا يوجد شيء يمكنك فعله حقًا. لا يبسط ذلك.

إذا كان التعبير يحتوي على مصطلحات مشابهة، فيمكن إضافتها إذا كان هدفنا هو تبسيط التعبير.

مثال 8.تبسيط التعبير 0.3 أ − 0.4 أ + أ

0.3a − 0.4a + أ = 0.3a + (−0.4a) + أ = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

أو أقصر: 0.3 أ - 0.4 أ + أ = 0.9 أ

هكذا التعبير 0.3 أ − 0.4 أ + أمبسطة ل 0.9 أ

مثال 9.تبسيط التعبير −7.5 أ - 2.5 ب + 4 أ

لتبسيط هذا التعبير، يمكننا إضافة مصطلحات مماثلة:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

أو أقصر −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)

شرط (−2.5 ب)ظلت دون تغيير لأنه لم يكن هناك ما يمكن وضعه معه.

مثال 10.تبسيط التعبير

لتبسيط هذا التعبير، يمكننا إضافة مصطلحات مماثلة:

وكان المعامل لسهولة الحساب.

هكذا التعبير مبسطة ل

مثال 11.تبسيط التعبير

لتبسيط هذا التعبير، يمكننا إضافة مصطلحات مماثلة:

هكذا التعبير مبسطة ل .

في في هذا المثالسيكون من الأنسب إضافة المعاملات الأولى والأخيرة أولاً. في هذه الحالة سيكون لدينا حل قصير. انها تبدو مثل هذا:

مثال 12.تبسيط التعبير

لتبسيط هذا التعبير، يمكننا إضافة مصطلحات مماثلة:

هكذا التعبير مبسطة ل .

وظل المصطلح دون تغيير، لأنه لم يكن هناك ما يمكن إضافته إليه.

يمكن كتابة هذا الحل بشكل أقصر بكثير. سوف يبدو مثل هذا:

تخطى الحل القصير خطوات استبدال الطرح بالجمع وشرح بالتفصيل كيفية اختزال الكسور إلى مقام مشترك.

الفرق الآخر هو أن في حل مفصليبدو الجواب ولكن باختصار . في الواقع، هما نفس التعبير. الفرق هو أنه في الحالة الأولى يتم استبدال الطرح بالجمع، لأننا في البداية عندما كتبنا الحل بالتفصيل، استبدلنا الطرح بالجمع حيثما أمكن، وتم الاحتفاظ بهذا الاستبدال للإجابة.

المتطابقات. تعبيرات متساوية متطابقة

بمجرد تبسيط أي تعبير، يصبح أبسط وأقصر. للتحقق من صحة التعبير المبسط، يكفي استبدال أي قيم متغيرة أولاً في التعبير السابق الذي يحتاج إلى تبسيط، ثم في التعبير الجديد الذي تم تبسيطه. إذا كانت القيمة في كلا التعبيرين هي نفسها، فإن التعبير المبسط يكون صحيحًا.

دعونا نفكر أبسط مثال. فليكن من الضروري تبسيط التعبير 2 أ × 7 ب. لتبسيط هذا التعبير، يمكنك ضرب الأرقام والحروف بشكل منفصل:

2أ × 7ب = 2 × 7 × أ × ب = 14أب

دعونا نتحقق مما إذا كنا قد قمنا بتبسيط التعبير بشكل صحيح. للقيام بذلك، دعونا نعوض بأي قيم للمتغيرات أو بأولا في التعبير الأول الذي يحتاج إلى تبسيط، ثم في الثاني، الذي تم تبسيطه.

دع قيم المتغيرات أ , بسيكون على النحو التالي:

أ = 4، ب = 5

دعونا نستبدلهم في التعبير الأول 2 أ × 7 ب

الآن دعونا نعوض بنفس قيم المتغير في التعبير الناتج عن التبسيط 2 أ × 7 ب، أي في التعبير 14اب

14أ = 14 × 4 × 5 = 280

نرى ذلك عندما أ=4و ب=5قيمة التعبير الأول 2 أ × 7 بومعنى التعبير الثاني 14ابمتساوي

2أ × 7ب = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14أ = 14 × 4 × 5 = 280

سيحدث الشيء نفسه مع أي قيم أخرى. على سبيل المثال، دعونا أ = 1و ب=2

2أ × 7ب = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14أ = 14 × 1 × 2 =28

وبالتالي، لأية قيم متغيرات التعبير 2 أ × 7 بو 14ابتساوي نفس القيمة. تسمى هذه التعبيرات متساوية تماما.

نستنتج أن بين العبارات 2 أ × 7 بو 14ابيمكنك وضع علامة يساوي لأنهما يساويان نفس القيمة.

2أ × 7ب = 14أب

المساواة هي أي تعبير مرتبط بعلامة المساواة (=).

والمساواة في الشكل 2أ×7ب = 14أبمُسَمًّى هوية.

الهوية هي المساواة الحقيقية لأي قيم للمتغيرات.

أمثلة أخرى للهويات:

أ + ب = ب + أ

أ(ب+ج) = أب + أس

أ(قبل الميلاد) = (أب)ج

نعم، قوانين الرياضيات التي درسناها هي الهويات.

مخلص المساواة العدديةهي أيضا الهويات. على سبيل المثال:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

اتخاذ القرار مهمة صعبةلتسهيل الحساب، يتم استبدال التعبير المعقد بتعبير أبسط يساوي تمامًا التعبير السابق. ويسمى هذا الاستبدال تحويل مماثل للتعبيرأو ببساطة تحويل التعبير.

على سبيل المثال، قمنا بتبسيط التعبير 2 أ × 7 ب، وحصلت على تعبير أبسط 14اب. يمكن أن يسمى هذا التبسيط تحويل الهوية.

يمكنك غالبًا العثور على مهمة تقول "أثبت أن المساواة هي هوية" ومن ثم تعطى المساواة التي يجب إثباتها. عادة ما تتكون هذه المساواة من جزأين: الجزء الأيسر والأيمن من المساواة. مهمتنا هي إجراء تحويلات الهوية مع أحد أجزاء المساواة والحصول على الجزء الآخر. أو قم بإجراء تحويلات متطابقة مع طرفي المساواة وتأكد من أن طرفي المساواة يحتويان على نفس التعبيرات.

على سبيل المثال، دعونا نثبت أن المساواة 0.5أ × 5ب = 2.5ابهي هوية.

دعونا نبسط الجانب الأيسر من هذه المساواة. للقيام بذلك، اضرب الأرقام والحروف بشكل منفصل:

0.5 × 5 × أ × ب = 2.5اب

2.5اب = 2.5اب

نتيجة لتحول بسيط في الهوية، الجهه اليسرىأصبحت المساواة مساوية للجانب الأيمن من المساواة. لذلك أثبتنا أن المساواة 0.5أ × 5ب = 2.5ابهي هوية.

ومن التحويلات المتطابقة تعلمنا جمع الأعداد وطرحها وضربها وقسمتها، وتبسيط الكسور، وإضافة مصطلحات مماثلة، وكذلك تبسيط بعض التعبيرات.

لكن هذه ليست كلها تحولات متطابقة موجودة في الرياضيات. تحولات الهويةأكثر بكثير. وسنرى هذا أكثر من مرة في المستقبل.

مهام الحل المستقل:

هل أعجبك الدرس؟
انضم الينا مجموعة جديدةفكونتاكتي وابدأ في تلقي إشعارات حول الدروس الجديدة

القسم 5 التعابير والمعادلات

في هذا القسم سوف تتعلم:

ü o التعبيرات وتبسيطاتها؛

ü ما هي خصائص المساواة؟

ü كيفية حل المعادلات بناء على خصائص المساواة؛

ü ما هي أنواع المشاكل التي يتم حلها باستخدام المعادلات؟ ما هي الخطوط المتعامدة وكيفية بنائها؟

ü ما هي الخطوط التي تسمى متوازية وكيفية بنائها؟

ü ما هو المستوى الإحداثي؟

ü كيفية تحديد إحداثيات نقطة على المستوى؟

ü ما هو الرسم البياني للعلاقة بين الكميات وكيفية بنائه؟

ü كيفية تطبيق المادة المدروسة عمليا

§ 30. التعبيرات وتبسيطها

أنت تعرف بالفعل ما هي التعبيرات الحرفية وتعرف كيفية تبسيطها باستخدام قوانين الجمع والضرب. على سبيل المثال، 2a ∙ (-4ب) = -8 أب . في التعبير الناتج، يسمى الرقم -8 معامل التعبير.

هل التعبيرقرص مضغوط معامل في الرياضيات او درجة؟ لذا. وهو يساوي 1 لأنقرص مضغوط - 1 ∙ قرص مضغوط .

تذكر أن تحويل التعبير الذي يحتوي على أقواس إلى تعبير بدون أقواس يسمى توسيع الأقواس. على سبيل المثال: 5(2س + 4) = 10س+ 20.

الإجراء العكسي في هذا المثال هو إخراج العامل المشترك من الأقواس.

تسمى المصطلحات التي تحتوي على عوامل الحروف نفسها مصطلحات متشابهة. وبإخراج العامل المشترك من الأقواس، تظهر مصطلحات مماثلة:

5س + ص + 4 - 2س + 6 ص - 9 =

= (5س - 2س) + (ص + 6 ص )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* ص -5 =

ب س+ 7ص - 5.

قواعد فتح الأقواس

1. إذا كانت هناك علامة "+" أمام القوسين، فعند فتح القوسين يتم الحفاظ على علامات العبارات الموجودة بين القوسين؛

2. إذا كانت علامة "-" أمام القوسين، فعند فتح القوسين تتغير إشارات الألفاظ الموجودة بين القوسين إلى العكس.

مهمة 1. تبسيط التعبير:

1) 4س+(-7س+5);

2) 15 ص -(-8 + 7 ص ).

حلول. 1. قبل القوسين توجد علامة "+"، لذلك عند فتح القوسين يتم الاحتفاظ بعلامات جميع المصطلحات:

4س +(-7س + 5) = 4س - 7س + 5=-3س + 5.

2. قبل القوسين توجد إشارة "-"، لذلك عند فتح القوسين: تُعكس إشارات جميع المصطلحات:

15 - (- 8 + 7ص) = 15ص + 8 ​​- 7ص = 8ص +8.

لفتح الأقواس استخدم خاصية التوزيعالضرب : أ(ب + ج ) = أب + ميلان. إذا كان > 0، فإن علامات المصطلحاتب ومع لا تتغير. اذا كان< 0, то знаки слагаемых ب والتغيير إلى العكس .

المهمة 2. تبسيط التعبير:

1) 2(6 ص -8) + 7 ص ;

2)-5(2-5س) + 12.

حلول. 1. العامل 2 الموجود أمام القوسين موجب، لذلك عند فتح القوسين نحافظ على إشارات جميع الحدود: 2(6)ص - 8) + 7 ص = 12 ص - 16 + 7 ص = 19 ص -16.

2. العامل -5 الموجود أمام القوسين هو سالب، لذلك عند فتح القوسين نغير إشارات جميع الحدود إلى العكس:

5(2 - 5س) + 12 = -10 + 25س +12 = 2 + 25س.

اكتشف المزيد

1. كلمة "مجموع" تأتي من اللاتينيةالخلاصة ، وهو ما يعني "المجموع"، "المبلغ الإجمالي".

2. كلمة "زائد" تأتي من اللاتينيةزائد والتي تعني "أكثر" وكلمة "ناقص" هي من اللاتينيةناقص ماذا يعني "أقل"؟ تستخدم الإشارة "+" و"-" للدلالة على عمليات الجمع والطرح. هذه العلامات قدمها العالم التشيكي ج. ويدمان عام 1489 في كتاب “حساب سريع وممتع لجميع التجار”(الشكل 138).

أرز. 138

تذكر المهم

1. ما هي المصطلحات التي تسمى مماثلة؟ كيف يتم بناء مثل هذه المصطلحات؟

2. كيف يمكنك فتح الأقواس المسبوقة بعلامة "+"؟

3. كيف تفتح الأقواس المسبوقة بعلامة "-"؟

4. كيف تفتح القوسين مسبوقًا بعامل إيجابي؟

5. كيف يمكنك فتح القوسين اللذين يسبقهما عامل سالب؟

1374". قم بتسمية معامل التعبير:

1)12 أ؛ 3) -5.6 س ص؛

2)4 6; 4)-س.

1375". قم بتسمية المصطلحات التي تختلف فقط حسب المعامل:

1) 10 أ + 76-26 + أ؛ 3) 5 ن + 5 م -4 ن + 4؛

2) قبل الميلاد -4 د - قبل الميلاد + 4 د ; 4)5x + 4y-x + y.

ماذا تسمى هذه المصطلحات؟

1376". هل هناك مصطلحات مماثلةفي التعبير:

1)11أ+10أ؛ 3)6 ن + 15 ن ؛ 5) 25 ص - 10 ص + 15 ص؛

2) 14س-12؛ 4)12 م + م ؛ 6)8 ك +10 ك - ن ؟

1377". هل يلزم تغيير علامات الألفاظ الموجودة بين القوسين، وفتح القوسين في عبارة:

1)4 + (أ+ 3 ب)؛ 2)-ج +(5-د)؛ 3)16-(5م -8ن) ؟

1378 درجة. بسّط التعبير وضع خط تحت المعامل:

1379 درجة. بسّط التعبير وضع خط تحت المعامل:

1380 درجة. الجمع بين المصطلحات المتشابهة:

1) 4 أ - بو + 6 أ - 2 أ؛ 4) 10 - 4د - 12 + 4 د ;

2) 4 ب - 5 ب + 4 + 5 ب ; 5) 5 أ - 12 ب - 7 أ + 5 ب؛

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 ن - 12 م -4 ن -3 م.

1381°. الجمع بين المصطلحات المتشابهة:

1) 6 أ - 5 أ + 8 أ -7 أ؛ 3) 5ث + 4-2ث-3ث؛

2)9 ب +12-8-46؛ 4) -7 ن + 8 م - 13 ن - 3 م.

1382 درجة. أخرج العامل المشترك من الأقواس:

1)1.2 أ +1.2 ب؛ 3) -3 ن - 1.8 م؛ 5)-5 ص + 2.5 ك -0.5 طن ؛

2) 0.5 ث + 5 د؛ 4) 1.2 ن - 1.8 م؛ 6) -8r - 10k - 6t.

1383 درجة. أخرج العامل المشترك من الأقواس:

1) 6 أ-12 ب؛ 3) -1.8 ن -3.6 م؛

2) -0.2 ث + 1 4 د ; أ) 3ع - 0.9 ك + 2.7 طن.

1384 درجة. افتح القوسين واجمع المصطلحات المتشابهة؛

1) 5 + (4أ -4)؛ 4) -(5 ج - د) + (4 د + 5 ج)؛

2) 17x-(4x-5); 5) (ن - م) - (-2 م - 3 ن)؛

3) (76 - 4) - (46 + 2)؛ 6) 7(-5س + ص) - (-2ص + 4س) + (س - 3ص).

1385 درجة. افتح القوسين واجمع المصطلحات المتشابهة:

1) 10أ + (4 - 4أ)؛ 3) (ق - 5د) - (- د + 5 ج)؛

2) -(46- 10) + (4- 56)؛ 4)-(5 ن + م) + (-4 ن + 8 م)-(2 م -5 ن).

1386 درجة. افتح القوسين وابحث عن معنى العبارة:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. افتح القوسين وابحث عن معنى العبارة:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388 درجة. فتح قوسين:

1)0.5 ∙ (أ + 4)؛ 4) (ن - م) ∙ (-2.4 ص)؛

2)- ق ∙ (2.7-1.2 د ); 5)3 ∙ (-1.5 ص + ك - 0.2ر)؛

3) 1.6 ∙ (2 ن + م)؛ 6) (4.2 ع - 3.5 ك -6 ر) ∙ (-2 أ).

1389°. فتح قوسين:

1) 2.2 ∙ (x-4); 3)(4 ج - د )∙(-0.5 ص );

2) -2 ∙ (1.2 ن - م)؛ 4)6- (-ص + 0.3 ك - 1.2 ر).

1390. تبسيط التعبير:

1391. تبسيط التعبير:

1392. تقليل الشروط المتشابهة:

1393. الجمع بين المصطلحات المتشابهة:

1394. تبسيط التعبير:

1)2.8 - (0.5 أ + 4) - 2.5 ∙ (2 أ - 6)؛

2) -12 ∙ (8 - 2، بواسطة) + 4.5 ∙ (-6 ص - 3.2)؛

4) (-12.8 م + 24.8 ن) ∙ (-0.5)-(3.5 م -4.05 م) ∙ 2.

1395. تبسيط التعبير:

1396. ابحث عن معنى اللفظ؛

1) 4-(0.2 أ-3)-(5.8 أ-16)، إذا كانت أ = -5؛

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5)، إذا = -0.8؛

م = 0.25، ن = 5.7.

1397. ابحث عن معنى اللفظ:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1)، إذا كانت x = -0.25؛

1398*. ابحث عن الخطأ في الحل:

1)5- (أ-2.4)-7 ∙ (-أ+ 1.2) = 5أ - 12-7أ + 8.4 = -2أ-3.6;

2) -4 ∙ (2.3 أ - 6) + 4.2 ∙ (-6 - 3.5 أ) = -9.2 أ + 46 + 4.26 - 14.7 أ = -5.5 أ + 8.26.

1399*. افتح الأقواس وقم بتبسيط التعبير:

1) 2أ - 3(6(4أ - 1) - 6(6 - 10أ)) + 76;

1400*. رتب الأقواس للحصول على المساواة الصحيحة:

1)أ-6-أ + 6 = 2أ؛ 2) أ -2 ب -2 أ + ب = 3 أ -3 ب .

1401*. اثبات ذلك لأي أرقام وب إذا أ> ب ، فإن المساواة تحمل:

1) (أ + ب) + (أ- ب) = 2أ؛ 2) (أ + ب) - (أ - ب) = 2 ب.

فهل تكون هذه المساواة صحيحة إذا: أ) أ< ب ؛ ب) أ = 6؟

1402*. اثبات ذلك لأي عدد طبيعيوالوسط الحسابي للأعداد السابقة واللاحقة يساوي الرقم أ.

ضعها موضع التنفيذ

1403. لتحضير حلوى الفواكه لثلاثة أشخاص تحتاج إلى: 2 تفاح، 1 برتقالة، 2 موز، 1 كيوي. كيف يمكن إنشاء تعبير حرفي لتحديد كمية الفاكهة اللازمة لتحضير الحلوى للضيوف؟ ساعد مارين في حساب عدد الفاكهة التي تحتاج إلى شرائها إذا: 1) جاء 5 أصدقاء لزيارتها؛ 2) 8 أصدقاء.

1404. قم بعمل تعبير حرفي لتحديد الوقت اللازم لإكمال واجب الرياضيات إذا:

1) تم إنفاق دقيقة واحدة على حل المشكلات؛ 2) تبسيط التعبيرات أكبر مرتين من حل المشكلات. كم من الوقت استغرق لإكمال العمل في المنزلفاسيلكو، لو قضى 15 دقيقة في حل المشاكل؟

1405. يتكون الغداء في كافتيريا المدرسة من السلطة، والبورشت، ولفائف الملفوف، والكومبوت. تكلفة السلطة 20٪، بورشت - 30٪، لفائف الملفوف - 45٪، كومبوت - 5٪ من التكلفة الإجمالية للغداء بأكمله. اكتب تعبيرًا لإيجاد تكلفة وجبة الغداء في مقصف المدرسة. كم تكلفة الغداء إذا كان سعر السلطة 2 غريفنا؟

مشاكل المراجعة

1406. حل المعادلة:

1407. أنفقت تانيا على الآيس كريمكل الأموال المتاحة والحلوى -البقية. كم من المال بقي لدى تانيا؟

إذا تكاليف الحلوى 12 غريفنا؟

ملاحظة 1

يمكن كتابة دالة منطقية باستخدام تعبير منطقي ويمكن بعد ذلك نقلها إلى دائرة منطقية. من الضروري تبسيط التعبيرات المنطقية للحصول على أبسط دائرة منطقية (وبالتالي أرخص). في الأساس، وظيفة منطقية، وتعبير منطقي و الدائرة المنطقية- هذه ثلاثة لغات مختلفة، تحكي عن كيان واحد.

للتبسيط التعبيرات المنطقيةيستخدم قوانين منطق الجبر.

تشبه بعض التحويلات تحويلات الصيغ في الجبر الكلاسيكي (مع إخراج العامل المشترك من الأقواس، باستخدام التبادلية و القوانين التوافقيةوما إلى ذلك)، وتعتمد التحولات الأخرى على خصائص لا تمتلكها عمليات الجبر الكلاسيكي (استخدام قانون التوزيع للربط، وقوانين الامتصاص، واللصق، وقواعد دي مورغان، وما إلى ذلك).

تمت صياغة قوانين الجبر المنطقية للأساسيات العمليات المنطقية- "NOT" - الانقلاب (النفي)، "AND" - الربط (الضرب المنطقي) و"OR" - الانفصال (الإضافة المنطقية).

قانون النفي المزدوج يعني أن عملية "ليس" قابلة للعكس: إذا قمت بتطبيقها مرتين، فلن تتغير القيمة المنطقية في النهاية.

ينص قانون الوسط المستبعد على أن أي تعبير منطقي يكون صحيحًا أو خاطئًا ("لا يوجد ثالث"). لذلك، إذا كان $A=1$، فإن $\bar(A)=0$ (والعكس صحيح)، مما يعني أن اقتران هذه الكميات يساوي دائمًا الصفر، والانفصال دائمًا يساوي واحدًا.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

دعونا نبسط هذه الصيغة:

الشكل 3.

ويترتب على ذلك أن $A = 0$، $B = 1$، $C = 1$، $D = 1$.

إجابة:الطلاب $B$ و$C$ و$D$ يلعبون الشطرنج، لكن الطالب $A$ لا يلعب.

عند تبسيط التعبيرات المنطقية، يمكنك تنفيذ تسلسل الإجراءات التالي:

1. استبدال جميع العمليات "غير الأساسية" (التكافؤ، التضمين، الحصرية OR، إلخ) بعباراتها من خلال العمليات الأساسيةالانقلاب والاقتران والانفصال.
2. قم بتوسيع الانقلابات تعبيرات معقدةوفقا لقواعد دي مورغان بحيث تبقى عمليات النفي للمتغيرات الفردية فقط.
3. ثم قم بتبسيط التعبير باستخدام فتح الأقواس، وإزالة العوامل المشتركةخارج الأقواس وغيرها من قوانين الجبر المنطق.

مثال 2

وهنا يتم استخدام قاعدة دي مورغان، وقانون التوزيع، وقانون الوسط المستبعد، والقانون التبادلي، وقانون التكرار، ومرة ​​أخرى القانون التبادلي وقانون الامتصاص على التوالي.